第07-08学时 典型环节传递函数 [兼容模式]_399
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传递函数
在控制工程中，一般并不需要精确地求出系统微分方程式的 解，作出它的输出响应曲线，而是希望用简单的方法了解系统 是否稳定及其在动态过程中的主要特征，能判别某些参数的改 变或校正装置的加入对系统性能的影响。
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因为控制理论着重分析系统的结构、参数与系统的动 态性能之间的关系，所以为简化分析，设系统的初始条 件为零。
例： 试求 RLC无源网络的传递函数
R
L
解: 该网络微分方程已求出,如式
ui(t)
i(t)
C uo(t) Ld C 2d uo2(tt)RdC d o(ut)tuo(t)ui(t)
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在零初始条件下,对上式进行拉氏变换,令 U0(s)=L[U0(t)], U i(s)=L[Ui(t)] 得: (L2 C Rs C 1 )U o ( s s) U i(s)
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于是,由定义得系统的传递函数为
G ( s ) C R ( ( s s ) ) b a 0 0 s s m n b a 1 1 s s m n 1 1 b a m n 1 1 s s b a m n M N ( ( s s ) )
式中
M ( s ) b 0 s m b 1 s m 1 b m 1 s b m N ( s ) a 0 s n a 1 s n 1 a n 1 s a n
R(s)
C(s)
G(s)
传递函数的图示
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说明：
传递函数是物理系统的数学模型,但不能 反应系统的物理性质，不同的物理系统可 以有相同的传递函数； 传递函数只适用于线性定常系统;
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⑶ 物理意义
传递函数是在零初始条件下定义的,控制系统的零初始 条件有两方面的含义:
一是指输入量是在t≥0时才作用于系统,因此在t=0-时 输入量及其各阶导数均为零;
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因为控制理论着重分析系统的结构、参数与系统的动 态性能之间的关系，所以为简化分析，设系统的初始条 件为零。
例： 试求 RLC无源网络的传递函数
R
L
解: 该网络微分方程已求出,如式
ui(t)
i(t)
C uo(t) Ld C 2d uo2(tt)RdC d o(ut)tuo(t)ui(t)
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在零初始条件下,对上式进行拉氏变换,令 U0(s)=L[U0(t)], U i(s)=L[Ui(t)] 得: (L2 C Rs C 1 )U o ( s s) U i(s)
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于是,由定义得系统的传递函数为
G ( s ) C R ( ( s s ) ) b a 0 0 s s m n b a 1 1 s s m n 1 1 b a m n 1 1 s s b a m n M N ( ( s s ) )
式中
M ( s ) b 0 s m b 1 s m 1 b m 1 s b m N ( s ) a 0 s n a 1 s n 1 a n 1 s a n
R(s)
C(s)
G(s)
传递函数的图示
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说明：
传递函数是物理系统的数学模型,但不能 反应系统的物理性质，不同的物理系统可 以有相同的传递函数； 传递函数只适用于线性定常系统;
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⑶ 物理意义
传递函数是在零初始条件下定义的,控制系统的零初始 条件有两方面的含义:
一是指输入量是在t≥0时才作用于系统,因此在t=0-时 输入量及其各阶导数均为零;
第二章(3)传递函数.ppt
m
cxo kxo kxi csX o (s) kXo (s) kXi (s) c
传递函数 G(s) Xo(s) k 1 Xi (s) cs k Ts 1
略去质量的阻尼—弹簧系统
例 如图所示无源滤波电路，
已知
u i
(t)
i(t)R
1 C
u 0 (t)
1 C
i(t)dt
i(t)dt
g(t) L1[G(s)]
传递函数具有以下特点：
(1) 传递函数的分母是系统的特征多项式，代表系统的 固有特性；分子代表输入与系统的关系，而与输入 量无关，因此传递函数表达了系统本身的固有特性。
(2) 传递函数不说明被描述系统的具体物理结构，不同 的物理系统可能具有相同的传积分运算转化为简单的代数运算；
特点：延时环节也是线性环节，有输入信号后，在τ时间内没有任何输出， 到τ时间后，不失真地反映输入。 延时常作为一个特性，与其他环节共同存在，而不单独存在。
延迟环节与惯性环节的区别：
✓ 惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅 由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要 求的输出值；
✓ 延迟环节从输入开始之初，在0 ~ 时间内, 没有输出，但t=之后，输出等于之前时刻 的 输入。
电路中常遇到下述的近似微分环节。
图 永磁式直流测速机
2
近似微分环节
G(s) kTs Ts1
已知
u
i
(t)
1 C
i(t)dt i(t)R
u 0 (t) i(t)R
例7 图2-14所示的无源微分电路
ui (t)
C
u0 (t)
其中，
拉氏变换得
U
i
(s)
1 Cs
《控制工程》传递函数
1．系统由单变量非线性函数所描述
df 1 d2 f Dx + Dx 2 f ( x) f ( x0 ) + dx x 2! dx 2 0 x0 1 d3 f + 3! dx 3 D x 3 + LL f ( x0 ) +
y= f (x) y(t):输出 x(t):输入 df Dx dx x 0 df Dx dx x 0
1、机械平移系统（即m、c、k系统）
第二章 传递函数
原则：根据牛二定律列写相应的动力学方程
y(t)
质量m
m
Fm m(t ) y
y2
弹簧k
y1
k
压弹簧：Fk=k(y1-y2) 拉弹簧： Fk=k(y2-y1)
压：说明y1要大于y2，这才有压的效果 其中y1与y2之差为弹簧的净形变量
阻尼c
y1 c y2
( ( an X 0n) (t ) + an1 X 0n 1) (t ) + … + a0 X 0 (t )
X0(t)——系统输出
bm X i( m) (t ) + bm1 X i( m1) + … + b0 X i (t )
Xi(t)——系统输入
3．根据系统微分方程对系统进行分类 1）线性系统：方程只包含变量X0(t)、Xi(t)的各阶导数 a．线性定常系统：an…a0 ；bm…b0为常数 b．线性时变系统：an…a0 ；bm…b0为时间的函数
第二章 传递函数
一、定义
定义：对于单输入、单输出线性定常系统，当输入 输出的初始条件为零时，其输出量的拉氏变 换与输入量的拉氏变换之比。 设线性定常系统的微分方程为：
a n x(0n)( t ) + a n 1 x(0n 1)( t ) + L + a0 x0( t )
79-学习手册-知识点四建立典型环节的传递函数
c（t）（= T1）或r （t）dt
T
dc（t） dt
=
r
t
式中：T 为积分时间常数。 （ 2） 传 递 函 数
G（s）
=
C（s） R（s）
=
1 Ts
（ 3） 特 点 积分环节中输出量为输入量对时间的积累。若输入突变，输出值要经一段时间积累后才
等于输入值，故有滞后作用。即便是输入变为零，输出也保持原值不变，即具有记忆功能。 只有当输入反向时，输出才反向积分而下降。
典型环节有：比例环节、积分环节、理想积分环节、惯性环节、比例微分环节、振荡环节和 延时环节等。 1.比 例 环 节 比例环节又称放大环节，其输出量变化与输入量变化成比例关系，也就是说，它的输出量 能够按照一定的比例复现输入量。 （ 1） 微 分 方 程
c（t）（= K）r t
（ 2） 传 递 函 数
7.延迟环节
（1）微分方程
c（） t （ = ）r t-τ 0
式中：r0为延时时间。 （2）传递函数
G（s） = e-t02
（3）特点
延迟环节的输出波形与输入波形相同，但延迟了时间。延迟环节的存在对系统的稳 定性不利。
例：求运算放大器构成的惯性环节的传递函数
R2
解： G(s)
=
Uo（s） Ui（s）
=
-
R1 R2Cs
+1
4理 想 微 分 环 节 传递函数为：
G(s)= CR((ss)) =Tc s
4.理想微分环节 理想微分环节是积分环节逆运算，其输出量反映了输入信号的变化趋势。
（1）微分方程
c（t）
=ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
t
dr（t） dt
式中：r为微分时间常数。
第二章 传递函数
R1 C 1 R2 C 2 u 2 ( t ) ( R1 C 1
R 2 C 2 ) u 2 ( t ) + Hu 2 ( t ) = u (t )
.
此结果错误
四、非线性微分方程线性化
*非线性微分方程的线性化
为什么要研究非线性方程的线性化问题？
– 系统、元件非线性特性的普遍存在性；
– 精确描述系统的动态方程通常为非线性微分方程；
图形化表示： 用比较直观的结构图（方块图）和信号
流图进行描述。
同一系统的数学模型可以表示为不同的形式，需要 根据不同的情况对这些模型进行取舍。
第二章 传递函数
4、建立数学模型的两种基本方法
– 分析法：
依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学 规律列写出相应的数学关系式，建立模型。
适用于比较简单的系统
第二章 传递函数
第二章 传递函数
主要内容：控制系统的数学模型
1. 系统微分方程的建立及非线性方程的线性化 2. 传递函数的定义、性质及典型环节的传递函数 3. 系统传递函数方块图及简化 4. 相似原理
控制理论的研究对象是系统、输入、输出三者之
间的动态关系，描述系统这种动态关系的是系统的数 学模型，古典控制理论内系统的数学模型有两种：
用数学方式把系统的输入量和输出量之间的 关系表达出来。 微分方程式、传递函数、频率特性和差分方 程 。
第二章 传递函数
状态空间描述或内部描述
–不仅可以描述系统输入、输出之间的关系，而且
还可以描述系统的内部特性。
–它特别适用于多输入、多输出系统， –也适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统
–
–
第二章 传递函数
R 2 C 2 ) u 2 ( t ) + Hu 2 ( t ) = u (t )
.
此结果错误
四、非线性微分方程线性化
*非线性微分方程的线性化
为什么要研究非线性方程的线性化问题？
– 系统、元件非线性特性的普遍存在性；
– 精确描述系统的动态方程通常为非线性微分方程；
图形化表示： 用比较直观的结构图（方块图）和信号
流图进行描述。
同一系统的数学模型可以表示为不同的形式，需要 根据不同的情况对这些模型进行取舍。
第二章 传递函数
4、建立数学模型的两种基本方法
– 分析法：
依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学 规律列写出相应的数学关系式，建立模型。
适用于比较简单的系统
第二章 传递函数
第二章 传递函数
主要内容：控制系统的数学模型
1. 系统微分方程的建立及非线性方程的线性化 2. 传递函数的定义、性质及典型环节的传递函数 3. 系统传递函数方块图及简化 4. 相似原理
控制理论的研究对象是系统、输入、输出三者之
间的动态关系，描述系统这种动态关系的是系统的数 学模型，古典控制理论内系统的数学模型有两种：
用数学方式把系统的输入量和输出量之间的 关系表达出来。 微分方程式、传递函数、频率特性和差分方 程 。
第二章 传递函数
状态空间描述或内部描述
–不仅可以描述系统输入、输出之间的关系，而且
还可以描述系统的内部特性。
–它特别适用于多输入、多输出系统， –也适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统
–
–
第二章 传递函数
专题3-传递函数
R(s) G(s) C(s)
传递函数的图示
说明：
传递函数是物理系统的数学模型,但பைடு நூலகம்能 反应系统的物理性质，不同的物理系统可 以有相同的传递函数；
传递函数只适用于线性定常系统;
⑶ 物理意义
传递函数是在零初始条件下定义的,控制系统的零初始条 件有两方面的含义: 一是指输入量是在t≥0时才作用于系统,因此在t=0-时输 入量及其各阶导数均为零; 二是指输入量加于系统之前,系统处于稳定的工作状态, 即输出量及其各阶导数在t=0-时的值也为零.现实的工程控制 系统多属此类情况.
于是,由定义得系统的传递函数为
C ( s) b0 s m b1s m1 bm1s bm M ( s) G( s ) n n 1 R( s ) a0 s a1s an1s an N ( s)
式中
M ( s) b0sm b1sm1 bm1s bm
2 2 bm (1s 1)( 2 s 2 2 s 1)( i s 1) G( s ) an (T1s 1)(T22 s 2 2T2 s 1)(T j s 1)
式中，一次因子对应于实数零极点，二次因子对应于复数零极点。
3.典型环节的传递函数
4. 典型元部件的传递函数
N ( s) a0sn a1sn1 an1s an
例： 试求 RLC无源网络的传递函数 R ui(t) L i(t)
解: 该网络微分方程已求出,如式
2 d uo(t) LC uo (t ) RC duo (t ) u (t ) u (t ) o i 2 C dt dt
本讲内容：
1.传递函数的定义和性质 2.传递函数的零点和极点 3.典型环节的传递函数 4.典型元部件的传递函数
传递函数的图示
说明：
传递函数是物理系统的数学模型,但பைடு நூலகம்能 反应系统的物理性质，不同的物理系统可 以有相同的传递函数；
传递函数只适用于线性定常系统;
⑶ 物理意义
传递函数是在零初始条件下定义的,控制系统的零初始条 件有两方面的含义: 一是指输入量是在t≥0时才作用于系统,因此在t=0-时输 入量及其各阶导数均为零; 二是指输入量加于系统之前,系统处于稳定的工作状态, 即输出量及其各阶导数在t=0-时的值也为零.现实的工程控制 系统多属此类情况.
于是,由定义得系统的传递函数为
C ( s) b0 s m b1s m1 bm1s bm M ( s) G( s ) n n 1 R( s ) a0 s a1s an1s an N ( s)
式中
M ( s) b0sm b1sm1 bm1s bm
2 2 bm (1s 1)( 2 s 2 2 s 1)( i s 1) G( s ) an (T1s 1)(T22 s 2 2T2 s 1)(T j s 1)
式中，一次因子对应于实数零极点，二次因子对应于复数零极点。
3.典型环节的传递函数
4. 典型元部件的传递函数
N ( s) a0sn a1sn1 an1s an
例： 试求 RLC无源网络的传递函数 R ui(t) L i(t)
解: 该网络微分方程已求出,如式
2 d uo(t) LC uo (t ) RC duo (t ) u (t ) u (t ) o i 2 C dt dt
本讲内容：
1.传递函数的定义和性质 2.传递函数的零点和极点 3.典型环节的传递函数 4.典型元部件的传递函数
《控制工程》传递函数
1．系统由单变量非线性函数所描述
df 1 d2 f Dx + Dx 2 f ( x) f ( x0 ) + dx x 2! dx 2 0 x0 1 d3 f + 3! dx 3 D x 3 + LL f ( x0 ) +
y= f (x) y(t):输出 x(t):输入 df Dx dx x 0 df Dx dx x 0
1相加点c前移再相加点交换第二章传递函数2内环简化3内环简化1g1g2h1图2321g1g2h1g2g3h2图2334总传递函数1g1g2h1g2g3h2g1g2g3图2341分支点e前移h2g3h1图230第二章传递函数2内环简化3内环简化g2图236第二章传递函数4总传递函数图238含有多个局部反馈的闭环系统中当满足下面条件时1只有一条前向通道2各局部反馈回路间存在公共的传递函数方块递函数之和每一反馈回路的开环传结论
i
式中：a n…a 0, b m…b 0 均为常系数
x 0 (t)为系统输出量，x i(t)为系统输入量
第二章 传递函数 若输入、输出的初始条件为零，即 (K ) x 0 (0 ) 0 K = 0, 1 ,…, n－1
x i(
K)
(0 ) 0
K = 0, 1 ,…, m－1
a n x(0n)( t ) + a n 1 x(0n 1)( t ) + L + a0 x0( t ) 对微分方程两边取拉氏变换得： bm x(i m)( t ) + bm 1 x( m 1)( t ) + L + b0 xi( t )
( ( an X 0n) (t ) + an1 X 0n 1) (t ) + … + a0 X 0 (t )
第六章 传递函数
第六章 传递函数对于线性定常系统，传递函数是常用的一种数学模型，它是在拉氏变换的基础上建立的。
用传递函数描述系统可以免去求解微分方程的麻烦，间接地分析系统结构及参数与系统性能的关系，并且可以根据传递函数在复平面上的形状直接判断系统的动态性能，找出改善系统品质的方法。
因此，传递函数是经典控制理论的基础，是一个极其重要的基本概念。
第一节 传递函数的定义一、传递函数的定义1、定义对于线性定常系统，在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉()()C s R s ==零初始条件输出信号的拉氏变换传递函数输入信号的拉氏变换2、推导设线性定常系统的微分方程的一般形式为1011110111()()()()()()()()n n n n nn m m m m mm d d d a c t a c t a c t a c t dtdtdtd d d b r t b r t b r t b r t dtdtdt------++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++◆ 式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，r(t)、c(t)及其各阶导数在t=0时的值均为零，即零初始条件。
◆a ， 1a ，…，na 及b ， 1b ，…，mb 均为系统结构参数所决定的实常数。
对上式中各项分别求拉氏变换，并令C(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s 的代数方程为：11011011[]()[]()nn mm n n m m a s a sa s a C sb sb sb s b R s ----++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++于是，由定义得到系统的传递函数为：10111011()()()()()m m m m nn n nb s b sb s b C s M s G s R s a s a sa s a N s ----++⋅⋅⋅++===++⋅⋅⋅++其中，1011()m m m m M s b s b s b s b --=++⋅⋅⋅++ 1011()n n n n N s a s a s a s a --=++⋅⋅⋅++ N(s)=0称为系统的特征方程，其根称为系统特征根。
第四章系统传递函数模型
H(s) 1
s1
3 微分环节 凡是系统的输出正比例于系统输入的微分，即：
y(t)Tdu(t)Tu(t) dt
系统的传递函数为 H(s)Y(s) Ts
U(s)
其中T称为微分环节的时间常数，一般情况下微分环节 在实际中不可能单独存在。 在实际应用中，常将微分环节与其他环节联合使用。
4 积分环节
该环节的输出等于系统的输入量对时间的积分成正比
方次大于等于分母方次的时候，通常要转换成余项研 究）
例4-1 设系统的动力学方程为： m y c y k y u (t) ， 计算单自由度弹簧质量的传递函数的零极点模型。
解：
H ( s ) u y ( ( s s ) ) m s 2 1 c s k s 2 2 1 /p m s p 2 ( s p 1 1 ) /( m s p 2 )
可以证明：各个留数可以通过下式求出：
ki sl iim H(s)(si)
i1,2, n
例4-3 某系统的传递函数为： H(s) 5s3
s36s21s16
将系统模型写成零极点增益模型。 解： H(s)5 s0.6
(s3)s(2)s(1)
系统的零点：z0.6 极点： (3,2,1) 增益： k 5 写成留数形式，则有：
k3sl im 2H(s)(s3)
5(ss3 )(0s.6 2)5(ss3)(0s.6 2)|s151 20.61
则系统的留数为： k1 6 k2 7
k3 1
传递函数的留数形式为： H(s)6 7 1
s3 s2 s1
例4-4 已知系统的传递函数为:
H(s)s3s22s23s5s110
将系统模型写成零极点增益模型：
dt
在机械系统中，如图所示不考虑AB杆的质量情况下，
自动控制原理 线性系统的数学模型传递函数
反馈连接 37/47
§ 2.4 方框图
反馈连接后，信号的传递形成了闭合回路。通常 把由信号输入点到信号输出点的通道称为前向通道； 把输出信号反馈到输入点的通道称为反馈通道。 对于负反馈连接，给定信号r(t)和反馈信号b(t)之差， 称为偏差信号e(t) 即:
e(t) r(t) b(t)
E(s) R(s) B(s)
D(s) a0 s n a1s n1 an1s an
而D(s)=0称为特征方程。
7/47
§2.3 传递函数
(9)传递函数式可表示成
G(s) Kg (s z1)(s z2 ) (s zm ) (s p1)(s p2 ) (s pn )
式 中 p1，p2……pn 为 分 母多项式的根，称为传 递 函 数 的 极 点 ； z1、 z2、… zn为分子多项式 的根，称为传递函数的 零点； Kg称为传递系 数或增益。
K1 R
14/47
§2.3 传递函数
3. 积分环节
输出量正比于输入量的积分的环节称为积分 环节，其动态特性方程：
c(t) 1
t
r(t)dt
Ti 0
其传递函数： G(s) C(s) 1 R(s) Ti s
式中Ti为积分时间常数。
15/47
§2.3 传递函数
积分环节的单位阶跃响应为： C(t) 1 t Ti
M D (s) Js(s) M L (s)
32/47
§ 2.4 方框图
将同一变量的信号线连接起来，将输入
Ua(s)放在左端，输出Ω(s)放在图形右端，得系
统方框图如图所示。
33/47
§ 2.4 方框图
2.4.3 环节间的连接
环节的连接有串联、并联和反馈三种基本形式。
§ 2.4 方框图
反馈连接后，信号的传递形成了闭合回路。通常 把由信号输入点到信号输出点的通道称为前向通道； 把输出信号反馈到输入点的通道称为反馈通道。 对于负反馈连接，给定信号r(t)和反馈信号b(t)之差， 称为偏差信号e(t) 即:
e(t) r(t) b(t)
E(s) R(s) B(s)
D(s) a0 s n a1s n1 an1s an
而D(s)=0称为特征方程。
7/47
§2.3 传递函数
(9)传递函数式可表示成
G(s) Kg (s z1)(s z2 ) (s zm ) (s p1)(s p2 ) (s pn )
式 中 p1，p2……pn 为 分 母多项式的根，称为传 递 函 数 的 极 点 ； z1、 z2、… zn为分子多项式 的根，称为传递函数的 零点； Kg称为传递系 数或增益。
K1 R
14/47
§2.3 传递函数
3. 积分环节
输出量正比于输入量的积分的环节称为积分 环节，其动态特性方程：
c(t) 1
t
r(t)dt
Ti 0
其传递函数： G(s) C(s) 1 R(s) Ti s
式中Ti为积分时间常数。
15/47
§2.3 传递函数
积分环节的单位阶跃响应为： C(t) 1 t Ti
M D (s) Js(s) M L (s)
32/47
§ 2.4 方框图
将同一变量的信号线连接起来，将输入
Ua(s)放在左端，输出Ω(s)放在图形右端，得系
统方框图如图所示。
33/47
§ 2.4 方框图
2.4.3 环节间的连接
环节的连接有串联、并联和反馈三种基本形式。