2020届全国各地高考试题分类汇编06平面向量
2020高考真题汇编 2020届全国各地高考试题分类汇编 06平面向量 1.（2020•北京卷）已知正方形ABCD的边长为2，点P满足1()2APABAC，则||PD_________；PBPD_________． 【答案】 (1). 5 (2). 1 【解析】以点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，求得点P的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得PD以及PBPD的值.
【详解】以点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点0,0A、2,0B、2,2C、0,2D，
111
2,02,22,1222APABAC，
则点2,1P，2,1PD，0,1PB， 因此，22215PD，021(1)1PBPD.故答案为：5；1. 【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点P的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.
2.（2020•全国1卷）设,ab为单位向量，且||1ab，则||ab
______________.
【答案】3 【解析】整理已知可得：2abab，再利用,ab为单位向量即可求得21ab，对ab变形可得：222abaabb，问题得解.
【详解】因为,ab为单位向量，所以1ab 2020高考真题汇编
所以222
2221ababaabbab
解得：21ab,所以22223ababaabb,故答案为：3
【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.
3.（2020•全国2卷）已知单位向量a,b
的夹角为45°，kab与a垂直，则k＝__________.
【答案】22 【解析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值.
【详解】由题意可得：211cos452ab，由向量垂直的充分必要条件可得：0kaba，
即：2202kaabk，解得：22k.故答案为：22． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4.（2020•全国3卷）已知向量a，b满足||5a，||6b，6ab，则cos,=aab（ ）
A. 3135 B. 1935 C. 1735 D.
19
35
【答案】D 【解析】计算出aab、ab的值，利用平面向量数量积可计算出cos,aab的值.
【详解】5a，6b，6ab，2
25619aabaab.
2
22
22526367ababaabb，
因此，1919cos,5735aabaabaab
.故选：D.
【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.
5.（2020•江苏卷）在△ABC中，43=90ABACBAC，，∠，D在边BC上，延长AD到P，使得AP＝9，若3()2PAmPBmPC（m为常数），则CD的长度是________． 2020高考真题汇编
【答案】185 【解析】根据题设条件可设0PAPD，结合32PAmPBmPC与,,BDC三点共线，可求得，再根据勾股定理求出BC，然后根据余弦定理即可求解.
【详解】∵,,ADP三点共线，∴可设0PAPD，∵32PAmPBmPC，
∴32PDmPBmPC
，即32mmPDPBPC，
若0m且32m，则,,BDC三点共线，∴321mm，即32
，
∵9AP，∴3AD，∵4AB,3AC,90BAC，∴5BC，
设CDx，CDA，则5BDx，BDA.
∴根据余弦定理可得222cos26ADCDACxADCD，222257cos265xADBDABADBDx，
∵coscos0，∴2570665xxx，解得185x，∴CD的长度为
18
5.
当0m时， 32PAPC，,CD重合，此时CD的长度为0， 当32m时，32PAPB，,BD重合，此时12PA，不合题意，舍去.故答案为：0或185.
【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出0PAPD．
6.（2020•新全国1山东）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则APAB 的取值范用是
（ ） A. ()2,6 B. (6,2)
C. (2,4) D. (4,6) 【答案】A 2020高考真题汇编
【解析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP在AB方向上的投影的取值范围是(1,3)，利用向量数量积的定义式，求得结果.
【详解】 AB的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP在AB方向上的投影的取值范围是(1,3)， 结合向量数量积的定义式，可知APAB等于AB的模与AP在AB方向上的投影的乘积， 所以APAB的取值范围是()2,6， 故选：A.
【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.
7.（2020•天津卷）如图，在四边形ABCD中，60,3BAB，6BC，且
3,2ADBCADAB，则实数的值为_________，若,MN是线段BC
上的动点，且
||1MN，则DMDN的最小值为_________．
【答案】 (1). 16 (2). 132 【解析】可得120BAD，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设点,0Mx，则点1,0Nx（其中05x），得出DMDN关于x的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得DMDN的最小值. 2020高考真题汇编
【详解】ADBC，//ADBC，180120BADB， cos120ABADBCABBCAB1363922
，解得
1
6，
以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy，
66,0BCC，,∵3,60ABABC，∴A的坐标为333,22A,
∵又∵16ADBC,则533,22D
，设,0Mx，则1,0Nx（其中05x），
533,22DMx，333,22DNx
，
222
53332113
4222222DMDNxxxxx
，
所以，当2x时，DMDN取得最小值132.故答案为：16；132.
【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.
8.（2020•浙江卷）设1e，2e为单位向量，满足21|22|ee，12aee，123bee
，设a，b的夹
角为，则2cos的最小值为_______．
【答案】2829 【解析】利用复数模的平方等于复数的平方化简条件得1234ee，再根据向量夹角公式求2cos函数关系式，根据函数单调性求最值.
专题07 2020版平面向量(解析版)
(1,
3)
，
结合向量数量积的定义式，
可知 AP AB 等于 AB 的模与 AP 在 AB 方向上的投影的乘积，
所以
AP
AB
的取值范围是
(2,
6)
，
故选：A．
【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积 的定义式，属于简单题目.
3．【2020 年高考全国Ⅰ卷理数】设 a, b 为单位向量，且| a b | 1，则| a b | ______________.
2．【2020 年新高考全国Ⅰ卷】已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点，则 AP AB 的取值范围是
A． (2, 6)
B． (6, 2)
C． (2, 4)
D． (4, 6)
【答案】A 【解析】如图，
1
AB 的模为 2，根据正六边形的特征，
可以得到
AP
在
AB
方向上的投影的取值范围是
a
b
0
且不反向共线，
a
b
2
3t
0
，得
t
2
.
3
向量
a
2,
t
，
b
1,
3
共线时，
2
3
t
，得
t
6
.此时
a
2b
.
所以 t 2 且 t 6 . 3
故选 C．
【点睛】
本题主要考查了利用数量积研究向量的夹角，当为钝角时，数量积为 0，容易忽视反向共线时，属于易
A．−8
B．−6
C．6
D．8
【答案】D
【解析】∵
(广东版第01期)2020届高三数学试题分省分项汇编专题05平面向量理(无答案)
广东版（第01期）-2020届高三数学（理）试题分省分项汇编：专题05平面向量•基础题组1.【广东省惠州市 2020届高三第一次模拟考试（理）a//( a b)，贝U mA. 2|b| 1，则 |a 2b |( )若(a 2b) A . 2 B（2〔 r ） r ，则 r , r j 夹角为（）A.—4•能力题组1.【广东省韶关市20914届高三摸底考试（理）若 | a b||a b | 2|a|，则向量 ar与a 的夹 角为已知向量 a ( 1,1), b (3, m),2•【广东省汕头四中 2020届高三上学期第一次月考（理） 】已知平面向量a , b 的夹角为A.2C.2、、3D. 2.13.【广东省东莞市 2020届高三模拟考试一（理）】已知(1,2),(0,1) , c (k, 2),4.【广东省湛江市 2020届高三普通高考调研测试（理）向量a1, 2 ,b 0,1，贝Ur r a b ()A. 1, 1B.1, 3C.1, 3D. 0, 2 5•【广东省珠海一中等六校2020届高三第一次联考（理） 】已知单位向量i, j 满足C. —D3a b a b ”是"a b ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D. 既不充分也不必要条件5.［广东省广州市越秀区 2020届高三入学摸底考试（理）】在厶ABC 中, sin A -,5uuu uuur ABAC 8 ,则厶ABC 的面积为 ()A.3B.4C.6D.125三•拔高题组1.［广东省十校 2020届高三第一次联考（理）】已知函数f (x)sin 1n — cos n2 2x R .（1）求函数f （x ）的最大值和最小值;（2）设函数f （x ）在［1,1］上的图象与X 轴的交点从左到右分别为uuu (ABuuur uuurAD) AC 0,则四边形ABCD 是 () A . 矩形B•梯形C.正方形D.菱形4.［广-东省珠海市 2020届高三9月摸底考试 (理) 】如图，在 ABC 中，点D 是BC 边上uuur靠近B 的三等分则 AD ()3.［广东省十校2020届高三第一次联考（理）A . _ B.62.【广东省佛山市南海区C.23D. 562020届高三8月质检（理）若a , b 是两个非零向量，则uuu uuu r】平面四边形 ABCD 中AB CD 0 ,2uuu i umr A .AB AC 3 3 2 uuu i uuurC . - AB AC 3 3 1 uuu 2 uuurB . AB AC3 31 uuu2 uuur D . -AB AC 3 3M ,N ，图象的最高点为P,uuuur uuur求PM 与PN 的夹角的余弦．。
2020届全国各地高考试题分类汇编10 平面向量
AP
在
AB
方向上的投影的取值范围是
(1,
3)
，
结合向量数量积的定义式，可知 AP AB 等于 AB 的模与 AP 在 AB 方向上的投影的乘积，
所以
AP
AB
的取值范围是
(2,
6)
，
故选：A.
7.（2020•天津卷）如图，在四边形 ABCD 中， B 60, AB 3 ， BC 6 ，且
3 2
m
，即
1
3 2
，
∵ AP 9 ，∴ AD 3 ，∵ AB 4 , AC 3 , BAC 90 ，∴ BC 5 ，
设 CD x ， CDA ，则 BD 5 x ， BDA .
∴根据余弦定理可得 cos AD2 CD2 AC 2 x ，
2AD CD
6
cos
x, 0
，则
N
x
1,
0
（其中
0
x
5
），
DM
x
5
,
3
3
，
DN
x
3
,
3
3 ，
2 2
2 2
DM
DN
x
5 2
x
3 2
33 2
2
x
2
4x
21 2
x
22
13 2
，
所以，当
x
2
时，
DM
DN
取得最小值
13 2
.故答案为：
1 6
；
13 2
.
8.（2020•浙江卷）设 e1 ， e2 为单位向量，满足 | 2e1 e2 |
2020 届全国各地高考试题分类汇编
2020届高考数学复习第五章平面向量与解三角形5.1平面向量的概念及线性运算平面向量基本定理及坐标表示课件
整理得4λ2-4λ+1=0,即(2λ-1)2=0,解得λ= 1,选A.
3.(2019浙江宁波效实中学高三上期中,12)已知平面向量a=(2,1),b=(-1,m).若a∥b,则m=
;
若a⊥b,则m=
.
答案 - 1 ;2
2
解析 a∥b⇒2m+1=0,∴m=- 1 ;
2
a⊥b⇒-2+m=0,∴m=2.
3.(2019上海,9,5分)过曲线y2=4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与曲线y2=4x交于A、B,A在B
上方,M为抛物线上一点,OM
=λ
OA +(λ-2)
OB
,则λ=
.
答案 3
解析
由题意可得A(1,2),B(1,-2),设M的坐标为(x,y),由OM
=λ
OA
+(λ-2)
OB
得(x,y)=λ(1,2)+(λ-2)
.
答案 -3
解析 由a=(2,1),b=(1,-2),可得ma+nb=(2m,m)+(n,-2n)=(2m+n,m-2n),
由已知可得
2m n m 2n
9, 8,
解得
m 2, n 5,
从而m-n=-3.
教师专用题组
1.(2015四川,7,5分)设四边形ABCD为平行四边形,|
AB
|=6,|
高考数学 (浙江专用)
第五章 平面向量与解三角形
§ 5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理 及坐标表示
五年高考
统一命题、省(区、市)卷题组
考点一 平面向量的线性运算及几何意义
1.(2017课标全国Ⅱ文,4,5分)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则 ( ) A.a⊥b B.|a|=|b| C.a∥b D.|a|>|b| 答案 A 本题考查向量加法的几何意义,向量模的概念. 解法一:由向量加法的几何意义知,|a+b|=|a-b|等价于以向量a,b为邻边的平行四边形的对角线 相等,则该平行四边形是矩形,所以a⊥b. 解法二:由|a+b|=|a-b|得a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,即a·b=0,则a⊥b,故选A.
专题09 平面向量(原卷版)-三年(2022–2024)高考数学真题分类汇编(全国通用)
专题09平面向量考点三年考情（2022-2024）命题趋势考点1：平面向量线性运算2022年新高考全国I 卷数学真题平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题，如证明垂直、距离等是每年必考的内容，单独命题时，一般以选择、填空形式出现．交汇命题时，向量一般与解析几何、三角函数、平面几何等相结合考查，而此时向量作为工具出现．向量的应用是跨学科知识的一个交汇点，务必引起重视．预测命题时考查平面向量数量积的几何意义及坐标运算，同时与三角函数及解析几何相结合的解答题也是热点．考点2：数量积运算2022年高考全国甲卷数学（理）真题2023年高考全国乙卷数学（文）真题2022年高考全国乙卷数学（理）真题2024年北京高考数学真题考点3：求模问题2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题2023年北京高考数学真题2022年高考全国乙卷数学（文）真题考点4：求夹角问题2023年高考全国甲卷数学（文）真题2023年高考全国甲卷数学（理）真题2022年新高考全国II 卷数学真题考点5：平行垂直问题2024年上海夏季高考数学真题2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题2022年高考全国甲卷数学（文）真题2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题2024年高考全国甲卷数学（理）真题考点6：平面向量取值与范围问题2024年天津高考数学真题2023年高考全国乙卷数学（理）真题2022年新高考北京数学高考真题2022年新高考天津数学高考真题2022年新高考浙江数学高考真题2023年天津高考数学真题考点1：平面向量线性运算1．（2022年新高考全国I 卷数学真题）在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n == ，，则CB=（）A ．32m n- B ．23m n-+C ．32m n+ D ．23m n+ 考点2：数量积运算2．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a = ，3b =r ，则()2a b b +⋅=．3．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则EC ED ⋅=（）A 5B ．3C ．25D ．54．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知向量,a b 满足||1,||3,|2|3a b a b ==-= ，则a b ⋅=（）A ．2-B ．1-C ．1D ．25．（2024年北京高考数学真题）设a ，b 是向量，则“()()·0a b a b +-=”是“a b =- 或a b = ”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点3：求模问题6．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量a ，b满足3a b -= ，2a b a b +=- ，则b = ．7．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量,a b满足1,22a a b =+= ，且()2b a b -⊥ ，则b = （）A ．12B ．22C ．32D ．18．（2023年北京高考数学真题）已知向量a b，满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=- ，则22||||a b -= （）A ．2-B ．1-C ．0D ．19．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -r r （）A ．2B ．3C ．4D ．5考点4：求夹角问题10．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量()()3,1,2,2a b ==，则cos ,a b a b +-= （）A ．117B 1717C 55D 25511．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知向量,,a b c 满足1,2a b c === 0a b c ++= ，则cos ,a c b c 〈--〉=（）A ．45-B ．25-C ．25D ．4512．（2022年新高考全国II 卷数学真题）已知向量(3,4),(1,0),t ===+ a b c a b ，若,,<>=<>a cbc ，则t =（）A ．6-B ．5-C ．5D ．6考点5：平行垂直问题13．（2024年上海夏季高考数学真题））已知()(),2,5,6,k a b k ∈==R ，且//a b ，则k 的值为．14．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．215．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+ ．若a b ⊥ ，则m =．16．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量()()1,1,1,1a b ==-，若()()a b a b λμ+⊥+ ，则（）A ．1λμ+=B ．1λμ+=-C ．1λμ=D ．1λμ=-17．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量()()1,,,2a x x b x =+=，则（）A ．“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件B ．“3x =-”是“//a b ”的必要条件C ．“0x =”是“a b ⊥”的充分条件D ．“13x =-”是“//a b ”的充分条件考点6：平面向量取值与范围问题18．（2024年天津高考数学真题）在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点，1,2CE DE BE BA BC ==+uur uu r uu u r λμ，则λμ+=；F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ⋅的最小值为．19．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知O 的半径为1，直线PA 与O 相切于点A ，直线PB 与O 交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若2PO =PA PD ⋅的最大值为（）A ．122B ．1222+C ．12D ．2220．（2022年新高考北京数学高考真题）在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[5,3]-B ．[3,5]-C ．[6,4]-D ．[4,6]-21．（2022年新高考天津数学高考真题）在ABC 中，,CA a CB b == ，D 是AC 中点，2CB BE = ，试用,a b表示DE 为，若AB DE ⊥ ，则ACB ∠的最大值为22．（2022年新高考浙江数学高考真题）设点P 在单位圆的内接正八边形128A A A 的边12A A 上，则222182PA PA PA +++ 的取值范围是．23．（2023年天津高考数学真题）在ABC 中，160BC A =∠=，，11,22AD AB CE CD == ，记,AB a AC b ==，用,a b表示AE =；若13BF BC = ，则AE AF ⋅的最大值为．。
浙江专版2020届高考数学一轮复习单元检测六平面向量与复数单元检测含解析
单元检测六 平面向量与复数(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若复数z 满足i z ＝3＋4i ，则|z |等于( ) A ．1B ．2C.5D ．5 答案 D解析 因为z ＝3＋4ii ＝－(3＋4i)i ＝4－3i ，所以|z |＝42＋(－3)2＝5.2．若z 1＝(1＋i)2，z 2＝1－i ，则z 1z 2等于( ) A ．1＋iB ．－1＋iC ．1－iD ．－1－i 答案 B解析 ∵z 1＝(1＋i)2＝2i ，z 2＝1－i ， ∴z 1z 2＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－2＋2i2＝－1＋i.3．设平面向量m ＝(－1,2)，n ＝(2，b )，若m ∥n ，则|m ＋n |等于( ) A.5B.10C.2D ．3 5 答案 A解析 由m ∥n ，m ＝(－1,2)，n ＝(2，b )，得b ＝－4， 故n ＝(2，－4)，所以m ＋n ＝(1，－2)， 故|m ＋n |＝5，故选A.4.如图所示，向量OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点A ，B ，C 在一条直线上，且AC →＝－4CB →，则( )A ．c ＝12a ＋32bB ．c ＝32a －12bC ．c ＝－a ＋2bD ．c ＝－13a ＋43b答案 D解析 c ＝OB →＋BC →＝OB →＋13AB →＝OB →＋13(OB →－OA →)＝43OB →－13OA →＝43b －13a .故选D.5．设向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，－3)，且a ⊥b ，则向量a －3b 与b 的夹角为( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案 D解析 因为a ⊥b ，所以x －3＝0，解得x ＝3，所以a ＝(3，1)，a －3b ＝(0,4)，则cos 〈a －3b ，b 〉＝(a －3b )·b|a －3b |·|b |＝－434×2＝－32，所以向量a －3b 与b 的夹角为5π6，故选D.6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 2019OC →，且A ，B ，C 三点共线(O 为该直线外一点)，则S 2019等于( )A ．2019B ．2020C.20192D ．1010答案 C解析 A ，B ，C 三点共线，且OB →＝a 1OA →＋a 2019OC →，则a 1＋a 2019＝1，所以S 2019＝20192(a 1＋a 2019)＝20192，故选C.7.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，cos∠BAC ＝13，DC →＝2BD →，则AD →·BC →的值为( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3 答案 B解析 AD →·BC →＝(AC →＋CD →)·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC →＋23CB →·BC →＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤AC →＋23(AB →－AC →)·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →＋13AC →·(AC →－AB →)＝－23|AB →|2＋13AB →·AC →＋13|AC →|2＝－6＋1＋3＝－2，故选B.8．(2018·嘉兴期末)对任意两个非零向量a ，b ，下列说法中正确的是( ) A ．(a ＋b )2≥(a －b )2B ．(a ＋b )2≥a 2＋b 2C ．(a ＋b )2≥4|a ||b |D ．(a ＋b )2＋(a －b )2≥4a ·b 答案 D解析 因为(a ＋b )2－(a －b )2＝4a ·b ，与0的大小关系不确定，所以A 错误；(a ＋b )2－a 2－b 2＝2a ·b ，与0的大小关系不确定，所以B 错误；(a ＋b )2－4|a ||b |＝|a |2＋|b |2＋2|a ||b |cos θ－4|a ||b |≥2|a ||b |(cos θ－1)，而2|a ||b |(cos θ－1)≤0，所以C 错误；(a ＋b )2＋(a －b )2－4a ·b ＝2(|a |2＋|b |2－2a ·b )＝2(a －b )2≥0，所以(a ＋b )2＋(a －b )2≥4a ·b ，故选D.9.如图，在等腰梯形ABCD 中，已知DC ∥AB ，∠ADC ＝120°，AB ＝4，CD ＝2，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝12λBC →，DF →＝λDC →，则AE →·BF →的最小值是( )A ．46＋13B ．46－13C ．46＋132D ．46－132答案 B解析 在等腰梯形ABCD 中，AB ＝4，CD ＝2，∠ADC ＝120°，易得AD ＝BC ＝2. 由动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上得， ⎩⎪⎨⎪⎧0<12λ<1，0<λ<1，所以12<λ<1.所以AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·(BC →＋CF →) ＝AB →·BC →＋BE →·BC →＋AB →·CF →＋BE →·CF →＝|AB →|·|BC →|cos120°＋|BE →|·|BC →|－|AB →|·|CF →|＋|BE →|·|CF →|cos60° ＝4×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1λ×2－4×(1－λ)×2＋1λ×(1－λ)×2×12＝－13＋8λ＋3λ≥－13＋28λ×3λ＝46－13，当且仅当λ＝64时取等号． 所以AE →·BF →的最小值是46－13.10．已知共始点的三个向量e 1，e 2，m ，且e 1，e 2为单位向量，e 1·e 2＝12，m ＝x e 1＋y e 2，若m ·e 1>0，m ·e 2<0，且满足x ＋y ＝1，则实数x 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．(1,2) C ．(1，＋∞) D ．(2，＋∞)答案 D解析 由m ＝x e 1＋y e 2及x ＋y ＝1，可知m 的终点与e 1，e 2的终点共线，由m ·e 1>0，可知m 与e 1的夹角为锐角或同向共线，由m ·e 2<0，可知m 与e 2的夹角为钝角或反向共线，又由|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝12，得〈e 1，e 2〉＝π3.令e 1＝OA →，e 2＝OB →，m ＝OM →，则A ，B ，M 三点共线，且〈m ，e 1〉为锐角，〈m ，e 2〉为钝角，如图所示，作OC ⊥OB ，易得OC →＝2e 1－e 2，由题意可知点M 在射线CD 上(点C 除外)运动， 可知x >2.第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)11．已知复数z ＝i 2017＋i 2018，则z 的共轭复数z ＝________，⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ＋3z ＋2＝________. 答案 －i －1 102解析 因为z ＝i 2017＋i2018＝i －1，所以z ＝－i －1.因为z ＋3z ＋2＝i ＋2－i ＋1＝1＋3i 2， 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ＋3z ＋2＝1＋92＝102. 12．已知点O 为△ABC 内一点，且满足OA →＋OB →＋4OC →＝0.设△OBC 与△ABC 的面积分别为S 1，S 2，则S 1S 2＝______.答案 16解析 设E 为AB 的中点，连接OE ，延长OC 到D ，使OD ＝4OC ，因为点O 为△ABC 内一点，且满足OA →＋OB →＋4OC →＝0，所以OA →＋OB →＋OD →＝0，则点O 是△ABD 的重心，则E ，O ，C ，D 共线，OD ∶OE ＝2∶1，所以OC ∶OE ＝1∶2，则CE ∶OE ＝3∶2，则S 1＝13S △BCE ＝16S △ABC ，所以S 1S 2＝16.13．在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，A ＝120°，动点P 在以C 为圆心，2为半径的圆上，则PA →·PB →的最小值是________． 答案 16解析 设AB 的中点为M ，则PA →·PB →＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(PA →＋PB →)2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(PA →－PB →)2＝PM →2－MA →2＝PM →2－9，所以要求PA →·PB →的最小值，即求|PM →|的最小值， 显然当点P 为线段MC 与圆的交点时， |PM →|取得最小值，最小值为|MC →|－2.在△AMC 中，由余弦定理得|MC →|2＝32＋52－2×3×5×cos120°＝49， 所以|MC →|＝7，所以|PM →|的最小值为5， 则PA →·PB →的最小值为16.14．在△ABC 中，AB ＝3AC ，∠CAB ＝120°，以A 为圆心，AC 长为半径作圆弧，交AB 于点D ，M 为圆弧CD 上任一点，AM →＝xAB →＋yAC →，则3x ＋y 的取值范围为________，xy 的最大值为________． 答案 [1,2] 13解析 如图，连接CD 交AM 于点N ，设AM →＝λAN →，则λ∈[1,2]． ∵AM →＝xAB →＋yAC →＝3xAD →＋yAC →， ∴AN →＝3x λAD →＋y λAC →，由C ，N ，D 三点共线，得3x λ＋yλ＝1，∴3x ＋y ＝λ∈[1,2]．∴4×3x ·y ≤(3x ＋y )2≤4，∴xy ≤13，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝y ，3x ＋y ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝1时取等号，∴(xy )max ＝13.15．在平面中，已知向量a ，b 的夹角为π3，|a －b |＝6，向量c －a ，c －b 的夹角为2π3，|c －a |＝23，则a 与c 的夹角为________；a ·c 的最大值为________．答案π618＋12 3解析 设a ＝OA →，b ＝OB →，c ＝OC →， 则a －b ＝BA →，c －a ＝AC →，c －b ＝BC →， 知∠AOB ＝π3，∠ACB ＝2π3.当点O ，C 在AB 两侧时，由题可得O ，A ，C ，B 四点共圆， 在△ABC 中，BA ＝6，AC ＝23，∠ACB ＝2π3，由正弦定理得BA sin∠ACB ＝ACsin∠CBA ，则sin∠CBA ＝12，即∠CBA ＝π6，则∠CBA ＝∠COA ＝π6，可得a 与c 的夹角为π6.因为|c －a |＝23，所以12＝c 2＋a 2－2a ·c ≥2|a ||c |－2a ·c ， 又由a ·c ＝|a ||c |cos π6得|a ||c |＝23a ·c ，所以12≥43a ·c －2a ·c ，所以a ·c ≤632－3＝18＋12 3.当点O ，C 在AB 同侧时，可得点A ，B ，O 在以C 为圆心，AC 为半径的圆上，则当点O ，C ，A 在同一直线上，即OA 为圆C 的直径时，a ·c ＝OA →·OC →取得最大值， (a ·c )max ＝|OA →|·|OC →|＝43×23＝24.综上所述，a ·c 的最大值为18＋123，此时a 与c 的夹角为π6.16．已知定点A ，B 满足|AB →|＝2，动点P 与动点M 满足|PB →|＝4，AM →＝λAB →＋(1－λ)AP →(λ∈R )，且|MA →|＝|MP →|，则AP →·AM →的取值范围是________；若动点C 也满足|CB →|＝4，则AC →·AM →的取值范围是________． 答案 [2,18] [－6,18]解析 因为AM →＝λAB →＋(1－λ)AP →(λ∈R )，λ＋1－λ＝1， 所以根据三点共线知，点M 在直线PB 上， 又|MA →|＝|MP →|，记PA 的中点为D ，连接MD ，如图，则MD ⊥AP ，AP →·AM →＝AP →·(AD →＋DM →)＝AP →·AD →＋0＝12AP →2，因为|PB →|＝4，所以点P 在以B 为圆心，4为半径的圆上， 则|AP →|∈[2,6]，则AP →·AM →＝12AP →2∈[2,18]．由于|MA →|＋|MB →|＝|MP →|＋|MB →|＝4， 所以点M 在以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆上，以直线AB 为x 轴， 线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系， 则椭圆方程为x 24＋y 23＝1，点C 在圆(x －1)2＋y 2＝16上，A (－1,0)， 设M (2cos α，3sin α)，C (4cos β＋1,4sin β)， 则AC →＝(4cos β＋2,4sin β)， AM →＝(2cos α＋1，3sin α)，AC →·AM →＝(8cos α＋4)cos β＋43sin αsin β＋4cos α＋2＝(8cos α＋4)2＋(43sin α)2sin(β＋φ)＋4cos α＋2 ＝(4cos α＋8)sin(β＋φ)＋4cos α＋2，最大值是(4cos α＋8)＋4cos α＋2＝8cos α＋10≤18， 最小值是－(4cos α＋8)＋4cos α＋2＝－6， 所以AC →·AM →∈[－6,18]．17．已知平面向量a ，b ，c ，其中a ，b 的夹角为θ，若|a |·|b |·sin θ＝2，c ＝λa ＋b (λ为实数)，则c ·(c －a )＋a 2的最小值是________． 答案 2 3解析 方法一 令OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， 则∠BOA ＝θ，并记|OA →|＝|a |＝a ，|OB →|＝|b |＝b ， 线段OA 的中点为M ，则|a |·|b |·sin θ＝ab sin θ＝2. 由c ＝λa ＋b 知，c －b ＝λa ，即BC ∥OA ，c ·(c －a )＋a 2＝OC →·(OC →－OA →)＋a 2＝OC →·AC →＋a 2＝CO →·CA →＋a 2 ＝14[(CO →＋CA →)2－(CO →－CA →)2]＋a 2 ＝CM →2－14a 2＋a 2＝|CM →|2＋34a 2.又|CM →|≥|OB →|sin∠BOA ＝b sin θ，所以c ·(c －a )＋a 2＝|CM →|2＋34a 2≥b 2sin 2θ＋34a 2≥2b 2sin 2θ·34a 2＝3ab sin θ＝2 3.当且仅当b 2sin 2θ＝34a 2时取到最小值．方法二 令OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， ∠BOA ＝θ，|OA →|＝|a |＝a ，|OB →|＝|b |＝b ， 由|a |·|b |·sin θ＝ab sin θ＝2，得b sin θ＝2a.设O (0,0)，A (a,0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫m ，2a ，则a ＝(a ，0)，b ＝⎝⎛⎭⎪⎫m ，2a ，令c ＝λa ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋λa ，2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，2a ，则c ·(c －a )＋a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，2a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a ，2a ＋a 2＝x 2－ax ＋4a2＋a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22－14a 2＋4a 2＋a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋34a 2＋4a 2≥0＋234a 2·4a2＝23， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2，34a 2＝4a2时取到最小值．三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 18．(14分)(2018·杭州萧山区第一中学月考)已知复数z ＝(1＋i )2＋2(5－i )3＋i .(1)求|z |；(2)若z (z ＋a )＝b ＋i ，求实数a ，b 的值． 解 (1)∵z ＝2i ＋10－2i 3＋i ＝103＋i ＝10(3－i )10＝3－i ，∴|z |＝10.(2)∵(3－i)(3－i ＋a )＝(3－i)2＋(3－i)a ＝8＋3a －(a ＋6)i ＝b ＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧8＋3a ＝b ，－(a ＋6)＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－7，b ＝－13.19．(15分)(2019·湖州调研)已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|3a －2b |＝13，且a ，b 的夹角为60°. (1)求|b |的值；(2)求2a －b 和a －2b 夹角的余弦值． 解 (1)由已知得|3a －2b |2＝9＋4|b |2－12a ·b ＝9＋4|b |2－12×|b |×cos60°＝13， 即2|b |2－3|b |－2＝0，解得|b |＝2. (2)|2a －b |＝4＋4－4×2cos60°＝2， |a －2b |＝1＋16－4×2cos60°＝13. 又(2a －b )·(a －2b )＝2＋8－5×2cos60°＝5.所以2a －b 和a －2b 夹角的余弦值为(2a －b )·(a －2b )|2a －b ||a －2b |＝5213＝51326.20．(15分)如图，在△OAB 中，点P 为线段AB 上的一个动点(不包含端点)，且满足AP →＝λPB →.(1)若λ＝12，用向量OA →，OB →表示OP →；(2)若|OA →|＝4，|OB →|＝3，且∠AOB ＝60°，求OP →·AB →取值范围． 解 (1)∵AP →＝12PB →，∴OP →－OA →＝12(OB →－OP →)，∴32OP →＝OA →＋12OB →，即OP →＝23OA →＋13OB →. (2)∵OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos60°＝6，AP →＝λPB →(λ>0)， ∴OP →－OA →＝λ(OB →－OP →)，(1＋λ)OP →＝OA →＋λOB →， ∴OP →＝11＋λOA →＋λ1＋λOB →.∵AB →＝OB →－OA →，∴OP →·AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋λ OA →＋λ1＋λ OB →·(OB →－OA →) ＝－11＋λOA →2＋λ1＋λOB →2＋⎝⎛⎭⎪⎫11＋λ－λ1＋λOA →·OB → ＝－16＋9λ＋6－6λ1＋λ＝3λ－101＋λ＝3－131＋λ.∵λ>0，∴3－131＋λ∈(－10,3)．∴OP →·AB →的取值范围是(－10,3)．21.(15分)(2018·温州测试)设AD 是半径为5的半圆O 的直径(如图)，B ，C 是半圆上两点，已知AB ＝BC ＝10.(1)求cos∠AOC 的值； (2)求DC →·DB →的值． 解 (1)如图，连接OB ，由余弦定理得cos∠AOB ＝25＋25－102×5×5＝45.由AB ＝BC 知∠AOC ＝2∠AOB ，则cos∠AOC ＝cos2∠AOB ＝2cos 2∠AOB －1＝725.(2)方法一 由题意可知∠ADC ＝∠AOB ， ∠ADB ＝∠BDC ，则|DC →|＝8. 又在Rt△ADB 中，sin∠ADB ＝1010， 可得cos∠ADB ＝310，|DB →|＝310， 所以cos∠BDC ＝310，故DC →·DB →＝8×310×310＝72.方法二 DC →·DB →＝(OC →－OD →)·(OB →－OD →)＝(OC →＋OA →)·(OB →＋OA →)＝OC →·OA →＋OC →·OB →＋OB →·OA →＋OA →2＝|OC →||OA →|cos∠AOC ＋|OC →||OB →|cos∠COB ＋|OB →||OA →|cos∠AOB ＋25＝7＋20＋20＋25＝72.方法三 如图建立平面直角坐标系， 由(1)知，B ，C 的坐标分别为B (4,3)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫75，245， 又D (－5,0)，则DC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫325，245，DB →＝(9,3)，可得DC →·DB →＝72. 22.(15分)如图，在△ABC 中，AM →＝34AB →＋14AC →.(1)求△ABM 与△ABC 的面积之比；(2)若N 为AB 中点，AM →与CN →交于点P ，且AP →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，求x ＋y 的值．解 (1)在△ABC 中，AM →＝34AB →＋14AC →， 4AM →＝3AB →＋AC →，3(AM →－AB →)＝AC →－AM →，即3BM →＝MC →，即点M 是线段BC 靠近B 点的四等分点．故△ABM 与△ABC 的面积之比为14. (2)因为AM →＝34AB →＋14AC →，AM →∥AP →， AP →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，所以x ＝3y,因为N 为AB 的中点，所以NP →＝AP →－AN →＝xAB →＋yAC →－12AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12AB →＋yAC →， CP →＝AP →－AC →＝xAB →＋yAC →－AC →＝xAB →＋(y －1)AC →，因为NP →∥CP →，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(y －1)＝xy ， 即2x ＋y ＝1，又x ＝3y ，3 7，y＝17，所以x＋y＝47.所以x＝。
(浙江专)2020届高考数学单元检测六平面向量与复数单元检测(含解析)
单元检测六平面向量与复数(时间：120分钟满分：150分)第Ⅰ卷(选择题共40 分)一、选择题(本大题共10小题，每题4分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是吻合题目要求的)1．若复数z满足i z＝3＋4i，则|z|等于( )A．1B．2C.5D．5答案 D分析因为z ＝3＋4i＝－(3＋4i)i ＝4－3i，i因此|z|＝42＋－32＝5.2．若z1＝(1＋i)2，z2＝1－i，则z 1 等于( )z2A．1＋iB．－1＋iC．1－iD．－1－i答案 B分析∵z1＝(1＋i)2＝2i，z2＝1－i，∴z1 2i 2i1＋i －2＋2i＝＝＝＝－1＋i. z2 1－i 1－i1＋i 23．设平面向量m＝(－1,2) ，n＝(2，b)，若m∥n，则|m＋n|等于( )A.5B.10C.2D．35答案A分析由m∥n，m＝(－1,2)，n＝(2，b)，得b＝－4，故n＝(2，－4)，因此m＋n＝(1，－2)，故|m＋n|＝5，应选A.4.以以下图，→→→→→向量OA＝a，OB＝b，OC＝c，点A，B，C在一条直线上，且AC＝－4CB，则()13 31A．c＝2a＋2b B．c＝2a－2bC．c＝－a＋2bD．c＝－1a＋4b33答案D→→→ 1→→ 1→→ 4→1→ 4 1分析 c ＝OB ＋BC ＝OB ＋3AB ＝OB ＋ 3(OB －OA )＝ 3OB －3OA ＝ 3b －3a .应选D.5．设向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，－ 3)，且a ⊥b ，则向量a －3b 与b 的夹角为()π π 2π 5π A.6B.3C. 3 D. 6答案 D分析 因为a ⊥b ，因此x －3＝0，解得x ＝3，因此a ＝( 3，1)，a －3b ＝(0,4) ，则cos〈a － 3b ，b 〉＝a －－43 33b 与b 的夹角为 5π3b ·b ＝＝－，因此向量a －，故|a －3b |·|b | 4×226 选D.6．已知等差数列{ a n}的前n 项和为 n ，若 →＝1→＋2019→ ，且 ，，三点共线( 为该直SOBaOAaOCABCO线外一点)，则S等于()20192019A ．2019B ．2020C.2D ．1010答案 C分析→→→＝2019 (a ＋a )＝A ，B ，C 三点共线，且OB ＝aOA ＋aOC ，则a ＋a ＝1，因此S2201912019120192019120192 ，应选C.7.如图，在△ 中， ＝ ＝3，cos ∠ ＝1， →＝2→，则 →· →的值为( )ABC AB AC BAC 3 DC BD AD BCA ．2B ．－2C ．3D ．－3 答案 B分析 → · → ＝( → ＋ → → → 2→→→ 2→ →→) ·＝AC ＋CB · ＝AC ＋－AC ·BC AD BC ACCD BC 3BC 3 AB2→＋ 1→→ →＝3AB 3AC·(AC －AB )2 → 21→ → 1→2＝－3|AB |＋3AB ·AC ＋3|AC | ＝－6＋1＋ 3＝－ 2，应选B.8．(2018·嘉兴期末)对任意两个非零向量 a ，b ，以下说法中正确的选项是()A ．(a ＋b )2≥(a －b )2B ．(a ＋b )2≥a 2＋b 2C ．(a ＋b )2≥4|a ||b |D ．( a ＋ ) 2＋( a － b)2≥4·bba 答案 D分析 因为(a ＋b )2－(a －b )2＝4a ·b ，与0的大小关系不确立，因此A 错误；(a ＋b )2－a 2－b 2＝2 · ，与0的大小关系不确立，因此 B 错误；(a ＋b )2－4|a || |＝| |2＋|b |2＋abba2|a || b |cos θ－4|a ||b |≥2|a ||b |(cos θ－1)，而2|a ||b |(cosθ－1)≤0，因此 C 错误；(a＋ b )2＋(a －b )2－4a ·b ＝2(|a |2＋|b |2－2a ·b )＝2(a －b )2≥0，因此(a ＋b )2＋(a － b )2≥4a ·b ，应选D.9. 如图，在等腰梯形ABCD 中，已知DC ∥AB ，∠ADC ＝120°，AB ＝4，CD ＝2，动点E 和F 分别在线段BC 和 DC 上，且 →1→→→→→ BE ＝2λBC ，DF ＝λDC ，则AE ·BF 的最小值是 ( )A ．46＋13B ．46－131313C ．46＋D ．46－22答案 B分析 在等腰梯形中， ＝4， ＝2，∠＝120°，易得 ＝ ＝2.ABCD AB CDADCADBC由动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上得，1<1， 10<2λ 因此2<λ<1.0<λ<1，→ → → → → → 因此AE ·BF ＝ (AB ＋BE )·(BC ＋CF ) → → → → → → →→ ＝AB ·BC ＋BE ·BC ＋AB ·CF ＋BE ·CF→ → →→ → →→ →＝||·| |cos120°＋ || ·|| －||·||＋|| ·||cos60°AB BCBEBC ABCFBE CF1 111＝4×2× －＋λ×2－4×(1－λ)×2＋λ×(1－λ)×2×2233＝－13＋8λ＋λ≥－13＋28λ×λ＝46－13，6当且仅当λ＝4时取等号．→→6－13.因此AE ·BF 的最小值是4110．已知共始点的三个向量e 1，e 2，m ，且e 1，e 2为单位向量，e 1·e 2＝2，m ＝xe 1＋ye 2，若m ·e 1>0， ·2 <0，且满足 ＋ ＝1，则实数 x 的取值范围是( )mexyA ．(－∞，－2)B ．(1,2)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)答案 D分析由m ＝xe 1＋ye 2及x ＋y ＝1，可知m 的终点与e 1，e 2的终点共线，由m ·e 1>0，可知m 与 e 1的夹角为锐角或同向共线， 由m ·e 2<0，可知m 与e 2的夹角为钝角或反向共线， 又由|e 1|＝| 2|＝1， 1· 2＝ 1，得〈 e 1， e2〉＝π.ee e23→ → → 令e 1＝OA ，e 2 ＝OB ，m ＝OM ，则 ，， 三点共线，且〈 ，1〉为锐角，〈，2〉为钝角，以以下图，AB Mm e me→作OC ⊥OB ，易得OC ＝2e 1－e 2，由题意可知点M 在射线CD 上(点C 除外)运动， 可知x >2.第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题(本大题共 7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共 36分．把答案填在题中横线上)11．已知复数z ＝i 2017＋i 2018，则z 的共轭复数z ＝________，z ＋3＝________.z ＋ 2答案 －i －1102分析 因为z ＝i 2017＋i 2018＝i －1，因此z ＝－i－1.因为z ＋3i ＋21＋3i＝＝，z ＋2－i ＋12z ＋31＋910因此 z ＋2 ＝ 2 ＝2.12．已知点O 为△ 内一点，且满足→＋→＋4→＝0.设△与△的面积分别为1，ABCOAOBOCOBCABCS1S 2，则S＝______.S 2答案 16分析 设 E 为 的中点，连接 ，延长 到 ，使 ＝4，因为点 O 为△ 内一点，且ABOE OC D ODOC ABC→ → → → →→E ，O ，C ，D 共线，满足OA ＋OB ＋ 4OC ＝ 0，因此OA ＋OB ＋OD ＝0，则点O 是△ABD 的重心，则1 1 S △ABC ，因此 S 11 OD ∶OE ＝2∶1，因此OC ∶OE ＝1∶2，则CE ∶OE ＝3∶2，则S 1＝S △BCE ＝S ＝. 3 6 62→→13．在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，A ＝120°，动点P 在以C 为圆心，2为半径的圆上，则PA ·PB 的最小值是________． 答案16分析设AB 的中点为M ， 则→·→＝ 1 → → 2 － 1 → →22＋PB2－PBPAPBPAPA→2→2→2＝ PM －MA ＝PM －9，→→ →因此要求PA ·PB 的最小值，即求 |PM |的最小值， 明显当点P 为线段MC 与圆的交点时， |→|获得最小值，最小值为 |→|－2.PMMC在△AMC 中，由余弦定理得 → 2 2 2|MC | ＝3 ＋5 －2×3×5×cos120°＝49，因此|→|＝7，因此|→|的最小值为 5，MC PM则→·→ 的最小值为16.PAPB14．在△ABC 中，AB ＝3AC ，∠CAB ＝120°，以A 为圆心，AC 长为半径作圆弧，交AB 于点D ，M 为圆弧 CD 上任一点，→＝→＋ →，则3 x ＋ y 的取值范围为________， xy 的最大值为AMxAByAC________．答案[1,2]1 3分析如图，连接CD 交AM 于点N ， →→设AM ＝λAN ，则λ∈[1,2]． →→→→→∵AM ＝xAB ＋yAC ＝3xAD ＋yAC ， →3x →y →∴ AN ＝λAD ＋λAC ，由C ，N ，D 三点共线，得3x ＋y＝1， λ λ∴3x ＋y ＝λ∈[1,2]．∴ 4×3x ·y ≤(3x ＋y )2≤4，∴xy ≤1，33x ＝y ， 11x ＝ ，当且仅当 3x ＋y ＝2， 即 3时取等号，∴(xy )max ＝3.y ＝115．在平面中，已知向量 a ， b 的夹角为 π，| a －|＝6，向量 c － ， － b 的夹角为 2π，|c3 b a c 3－ a |＝23，则a 与c 的夹角为________；a ·c 的最大值为________．答案 π 18＋1236→ → →分析设a ＝OA ，b ＝OB ，c ＝OC ，则a → → →－b ＝BA ，c －a ＝AC ，c －b ＝BC ，知∠ ＝π ，∠ ＝2π. AOB 3ACB 3当点O ，C 在AB 双侧时，由题可得 O ，A ，C ，B 四点共圆， 在△中，＝6，＝23，∠＝2π ，ABCBAACACB 3由正弦定理得 BA ＝ AC ，sin∠ACB sin ∠CBA1π则sin ∠CBA ＝2，即∠CBA ＝6，则∠CBA ＝∠COA ＝π，可得a 与c 的夹角为π.6 6因为|c －a |＝23，因此12＝c 2＋a 2－2a ·c ≥2|a || c |－2a ·c ，又由 · ＝| || |cos π得| a || c |＝ 2 · ，ac ac 6 3 ac4因此12≥a ·c －2a ·c ，36 3 ＝18＋123.因此a ·c ≤2－3当点O ，C 在AB 同侧时，可得点 A ，B ，O 在以C 为圆心，AC 为半径的圆上，则当点 O ，C ，A在同向来线上，即→→OA 为圆C 的直径时，a ·c ＝OA ·OC 获得最大值，→ →＝43×23＝24.(a ·c )max ＝|OA | ·|OC |π综上所述，a ·c 的最大值为 18＋123，此时a 与c 的夹角为6.→ → →→→ 16．已知定点A ，B 满足|AB |＝2，动点P 与动点M 满足|PB |＝4 ，AM ＝λAB ＋(1 －λ)AP (λ∈R)，→ → → → → →→且|MA | ＝|MP | ，则AP ·AM 的取值范围是________；若动点C 也满足|CB | ＝4，则AC ·AM 的取值 范围是________．答案 [2,18][－6,18]分析 →→ → 因为AM ＝λAB ＋(1－λ)AP (λ∈R)，λ＋1－λ＝1， 因此依据三点共线知，点M 在直线PB 上，→ → ， 又|MA | ＝|MP | 记PA 的中点为 D ，连接MD ，如图，→ → → → → → → 1→2 则MD ⊥AP ，AP ·AM ＝AP ·(AD ＋DM )＝AP ·AD ＋0＝AP ，2因为|→|＝4，因此点P 在以 B 为圆心，4 为半径的圆上，PB→→ →1→2则|AP | ∈[2,6] ，则 AP ·AM ＝2AP ∈[2,18] ．→ → → ＋| → ＝4，因为|MA | ＋|MB |＝| MP | MB | 因此点 在以 ， 为焦点，M AB长轴长为 4的椭圆上，以直线 AB 为x 轴， 线段AB 的垂直均分线为y 轴建立平面直角坐标系，x 2y 2则椭圆方程为＋＝1，4 3点C 在圆(x －1)2＋y 2＝16上，A (－1,0)，设M (2cos α，3sin α)，C (4cos β＋1,4sin β)， →则AC ＝(4cos β＋2,4sin β)， →α)， AM ＝(2cos α＋1，3sin → →β＋ 43sin αsin β＋4cos α＋2 AC ·AM ＝(8cos α＋4)cos ＝8cos α＋42＋43sin α 2sin(β＋φ)＋4cos α＋2＝ (4cos α＋8)sin(β＋φ)＋4cos α＋2，最大值是(4cos α＋8)＋4cos α＋2＝8cos α＋10≤18， 最小值是－(4cos α＋8)＋4cos α＋2＝－6，→→ ． 因此AC ·AM ∈[－6,18]17．已知平面向量 a ， ， c ，此中 a ， b 的夹角为θ，若|a|·||·sin θ＝2，＝λ＋(λb b cab为实数)，则c ·(c －a )＋a 2的最小值是________．答案 23分析方法一→ → → 令OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，→ ＝| a | →则∠BOA ＝θ，并记|OA | ＝a ，|OB |＝|b |＝b ，线段的中点为 ，则| a |·||·sin θ＝ sin θ＝2.OA M bab由c ＝λa ＋b 知，c －b ＝λa ，即BC ∥OA ，2→ → →2c ·(c －a )＋a ＝OC ·(OC －OA )＋a＝→ ·→＋2＝→·→＋ 2OCACa COCAa1 → →2→ →2＋a 2＝[( CO ＋CA )－ (CO －CA )]4→ 212 2→23 2＝CM －4a ＋a ＝ |CM | ＋4a .→ → ∠BOA ＝b sin θ， 又|CM |≥|OB |sin2 → 23 2 223 2因此c ·(c －a )＋a ＝|CM | ＋4a≥b sin θ＋4a≥2b 2sin 2θ·3a 2＝3ab sin θ＝23.42232当且仅当b sin θ＝a 时取到最小值．方法二→ → →令OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，→ → ＝|b |＝b ，∠BOA ＝θ，|OA | ＝|a |＝a ，|OB |2由|a |·|b |·sinθ＝ab sin θ＝2，得b sin θ＝a .2设O (0,0)，A (a,0)，Bm ，a ，2 则a ＝(a ，0)，b ＝m ，a ，2 2令c ＝λa ＋b ＝m ＋λa ，a ＝x ，a ，则c ·(c －a )＋a 2＝x ，2a ·x －a ，2a ＋a 2242＝x －ax ＋a 2＋aa 21242＝x －2－4a ＋a 2＋aa 232432 4＝x－＋4a ＋a 2≥0＋24a ·a 2＝23，2ax ＝，当且仅当 2时取到最小值．3424a ＝a 2三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)21＋i ＋25－i18．(14分)(2018·杭州萧山区第一中学月考)已知复数z ＝.(1) 求|z |；(2) 若z (z ＋a )＝b ＋i ，务实数a ，b 的值．(1)∵z ＝ 2i ＋10－2i 10 103－i ＝3－i ，解 3＋i ＝3＋i ＝ 10 ∴|z |＝10.(2)∵(3－i)(3－i ＋a )＝(3－i)2＋(3－i)a ＝ 8＋3a －(a ＋6)i ＝b ＋i ，8＋3a ＝b ，a ＝－7，∴得－a ＋6 ＝1， b ＝－13.19．(15分)(2019·湖州调研 )已知平面向量 a ，b 满足| a |＝1，|3a －2b |＝13，且a ，b 的夹角为60°.(1) 求|b |的值；(2) 求2a －b 和a －2b 夹角的余弦值．解(1)由已知得|3a －2b |2＝9＋4|b |2－12a ·b ＝ 9＋4|b |2－12×|b |×cos60°＝13，即2|b |2－3|b |－2＝0，解得|b |＝2.(2)|2a －b | ＝ 4＋4－4×2cos60°＝ 2，| a －2b |＝ 1＋16－4×2cos60°＝ 13.又(2a －b )·(a －2b )＝2＋8－5×2cos60°＝5.因此2a －b 和a －2b 夹角的余弦值为2a －b ·a －2b5 513|2a －b ||a －2b |＝ 2 13 ＝26.→→20．(15分)如图，在△OAB 中，点P 为线段AB 上的一个动点(不包括端点)，且满足AP ＝λPB .1 → → →(1) 若λ＝2，用向量OA ，OB 表示OP ；(2) 若| →|＝4，|→|＝3，且∠ ＝60°，求 →·→ 取值范围．OAOBAOBOPAB解 → 1→ → → 1 →→(1)∵AP ＝PB ，∴OP －OA ＝(OB －OP )，223→ → 1→→ 2→ 1→∴2OP ＝OA ＋2OB ，即OP ＝3OA ＋3OB .→ → → →→ → λ>0)，(2)∵OA ·OB ＝ |OA | ·|OB |·cos60°＝6，AP ＝λPB ( → → → → → → →∴OP －OA ＝λ( OB －OP )， (1＋λ)OP ＝OA ＋λOB ，→1 → λ→∴OP ＝1＋λOA ＋1＋λOB .→ → → ∵AB ＝OB －OA ，∴ → · → ＝ 1 → λ → → →OA ＋OB ·(－OPAB 1＋λ 1＋λOBOA )1 →2 λ →2 1λ → →＝－1＋λOA ＋1＋λOB ＋1＋λ－1＋λOA ·OB－16＋9λ＋6－6λ3λ－10 13＝ 1＋λ＝1＋λ＝3－1＋λ.13∵λ>0，∴3－1＋λ∈(－10,3)．→→∴OP ·AB 的取值范围是(－10,3)．21.(15分)(2018·温州测试)设AD 是半径为5的半圆O 的直径(如图)，B ，C 是半圆上两点，已知AB ＝BC ＝10.(1) 求cos ∠AOC 的值；→ →(2) 求DC ·DB 的值． 解(1)如图，连接OB ，cos ∠AOB ＝ 25＋25－10 4由余弦定理得 2×5×5 ＝5.由AB ＝BC 知∠AOC ＝2∠AOB ，则cos ∠AOC ＝cos2∠AOB ＝2cos 2∠AOB －1＝7.25 (2) 方法一由题意可知∠ADC ＝∠AOB ，→∠ADB ＝∠BDC ，则|DC |＝8.10 又在Rt △ADB 中，sin ∠ADB ＝10，3 ， → ＝310， 可得cos ∠ADB ＝ |DB | 103，因此cos ∠BDC ＝10→ →3故DC ·DB ＝8×310×＝72.10方法二 → → → → → →DC ·DB ＝( OC －OD ) ·(OB －OD )＝ → → → → (OC ＋OA ) ·(OB ＋OA )＝ →·→＋ →·→＋→ ·→＋→2OCOAOCOBOBOAOA＝ → → → → ∠COB ＋ |OC || OA |cos ∠AOC ＋ |OC || OB |cos → → |OB || OA |cos ∠AOB ＋25 ＝ 7＋20＋20＋25＝72.方法三如图建立平面直角坐标系，7 24由(1)知，B ，C 的坐标分别为B (4,3)，C 5，5 ， 又D (－5,0)， → 3224 →→→ 则DC ＝5，5 ，DB ＝(9,3) ，可得DC ·DB ＝72. →3→1→22.(15分)如图，在△ABC 中，AM ＝4AB ＋4AC .(1) 求△ABM 与△ABC 的面积之比；(2) 若 N 为AB 中点， →与→交于点 ，且 →＝ →＋ →( ， ∈R)，求 x ＋ y 的值．AMCNP AP xAB yACxy解(1) 在△中， →＝ 3→＋ 1→ ，ABCAM 4AB4AC→→→ → → → →4AM ＝ 3AB ＋AC ，3(AM －AB )＝AC －AM ，→ →1即3BM ＝MC ，即点M 是线段BC 凑近B 点的四均分点．故△ABM 与△ABC 的面积之比为4.→ 3→1→→→(2) 因为AM ＝AB ＋AC ，AM ∥AP ，44→＝ →＋→ ( ， ∈R)，因此 x ＝3AP xAB yACx yy,因为N 为AB 的中点，因此→＝ →－→＝ →＋ →－1→＝x －1→ ＋ →，NP AP ANxAByAC 2AB 2AB yAC→ → → → → → → →CP ＝AP －AC ＝xAB ＋yAC －AC ＝xAB ＋(y －1)AC ，因为 →∥ →，因此x －1 － ＝ ，NP CP2 (y1)xy即2x ＋y ＝1，又x ＝3y ， 3 1 4因此x ＝，y ＝，因此x ＋y ＝.7 77。
2020届高考数学一轮复习第五章平面向量5.1平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示课件
,故选A.
4
44
题型归纳 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 (1)考查向量加法或减法的几何意义. (2)求已知向量的和或差.一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则;求首 尾相连的向量的和用三角形法则. (3)与三角形综合,求参数的值.求出向量的和或差,与已知条件中的式子比较,求得参数. (4)与平行四边形综合,研究向量的关系.画出图形,找出图中的相等向量、共线向量,将所求向 量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.
1.(2016四川,9,5分)已知正三角形ABC的边长为2 3 ,平面ABC内的动点P,M满足| AP |=1, PM =
MC
,则| BM
|2的最大值是
(
)
A. 43
4
B. 49
4
C. 37 6 3 4
D. 37 2 33 4
答案 B 以A为坐标原点,
建立如图所示的平面直角坐标系,
.
答案 8 解析 本题考查两向量垂直的充要条件和向量的坐标运算,考查了方程的思想方法. ∵a⊥b,∴a·b=(-4,3)·(6,m)=-24+3m=0, ∴m=8.
易错警示 容易把两向量平行与垂直的条件混淆.
3.(2011北京,10,5分)已知向量a=( 3 ,1),b=(0,-1),c=(k, 3 ).若a-2b与c共线,则k=
.
答案 -3
解析 本题考查向量平行的条件. ∵a=(2,6),b=(-1,λ),a∥b, ∴2λ-6×(-1)=0,∴λ=-3.
8.(2015江苏,6,5分)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为
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2020届高考数学复习平面向量习题精编精解100题
2020届高考数学复习平面向量习题精编精解100题一、选择题1.如图，平面四边形ABCD 中，90ABC ADC ∠=∠=，2BC CD ==，点E 在对角线AC 上，AC =4，AE =1，则EB ED ⋅的值为A ．17B ．13C ．5D ．12.设A ，B ，C 是半径为1的圆O 上的三点，OA OB ⊥，则()()OC OA OC OB -⋅-的最大值是（ ）A ．1B ．1C 1D ．13.设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件4.已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅= A ．－3 B ．－2C ．2D ．35.已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π66.在△ABC 中，060=∠BAC ，AB =5，AC =6，D 是AB 上一点，且5-=⋅，则||等于（ ）A. 1 B . 2 C. 3 D.4 7.平行四边形ABCD 中，120BAD ∠=︒，2AB =，3AD =，13BE BC =，则AE BD ⋅=（ ） A ．3 B ．－3C ．2D ．－28.如图，在圆O 中，若3AB =，4AC =，则AO BC ⋅的值等于A ．－8B ．72- C ．72D ．89.已知向量)7,1(),1,2(=-=b a，则下列结论正确的是 A.b a ⊥ B.a ∥b C. )(b a a -⊥ D. )(b a a +⊥10.已知平面向量a ，b 满足||1a =，||2b =，a 与b 的夹角为3π，以,a b 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条长度为（ ）A ．2B ．1211.已知向量AB 与AC 的夹角为3π，),(,3||,2||R ∈+===μλμλ，且AM ⊥，则=μλ（ ） A ．61B ．6C ．41D ．412.已知点D 是ABC ∆所在平面内一点，且满足4AD DB =-，若(,)CD xCA yCB x y R =+∈，则x y -=（ ）A. 43-B.1C. 53-D. 5313.向量m ，n ，p 满足：2m n ==，2m n ⋅=-，1()()2m p n p m p n p -⋅-=-⋅-，则p 最大值为（ ）A ．2BC ．1D ．4 14.已知△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是AC ，BC 的中点，G 是EF 的中点，则FE AG ⋅=A. －1B. 12-C.12D. 115.在△ABC 中，点P 满足2BP PC =，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM mAB =，AN nAC =(m ＞0，n ＞0)，则m +2n 的最小值为（ ） A ．3 B ．4C ．83D ．10316.下列四种说法中，①命题“存在x ∈R ，x 2﹣x ＞0”的否定是“对于任意x ∈R ，x 2﹣x ＜0”； ②命题“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的必要不充分条件；③已知幂函数f （x ）＝xα的图象经过点（2，2），则f （4）的值等于12； ④已知向量a ＝（3,4），b ＝（2,1），则向量a 在向量b 方向上的投影是25． 说法正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．417.如图，在△ABC 中，BE 是边AC 的中线，O 是BE 边的中点，若,AB a AC b ==,则AO =（ ）A ．1122a b +B ．1124a b +C ．1142a b +D ．1144a b + 18.已知|a |=|b |=1，且a ⊥b ，则2a +b 在a +b 方向上的投影为 A.223 B. 22C.233 D. 2319.已知单位向量1e 与2e 的夹角为3π，向量122e e +与122e e λ+的夹角为23π，则λ=（ ）A ．23- B ．－3C ．－3或23-D ．－1或－320.已知P 是边长为2的等边三角形ABC 边BC 上的动点，则()AP AB AC ⋅+的值 A.有最大值8 B.是定值6 C.有最小值2D.与P 点的位置有关21.已知点O 为坐标原点，点1,2n A n n ⎛⎫ ⎪+⎝⎭()*n N ∈，向量()0,1i =，n θ是向量n OA 与i 的夹角，则使得312123cos cos cos cos ...sin sin sin sin n nt θθθθθθθθ++++<恒成立的实数t 的最小值为( ) A.34B.32C.2D.322.已知平面直角坐标系内的两个向量()3,2a m =-，()1,2b m =-，且平面内的任一向量c 都可以唯一地表示成c a b λμ=+(λ，μ为实数)，则实数m 的取值范围是( ) A.(－∞,2)B.6,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C.(－∞,－2)∪(－2,+∞)D.66,,55⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23.在2=33ABC AB AC BAC π∆=∠=中，，，，BD =若23BC ，则AD BD ⋅= A ．229B ．229-C ．169D ．89-24.已知Rt ABC ∆，点D 为斜边BC 的中点，62AB =, 6AC =, 12AE ED =,则AE EB ⋅等于A. －14B. －9C. 9D.14 25.若向量,a b 的夹角为3π，且||2a =，||1b =，则向量2a b +与向量a 的夹角为（ ） A.3π B.6π C.23π D.56π 26.已知平面向量(1,3),(2,0)=-=-a b ，则|2|+=a bA. B. 3 C. D. 527.已知1A ，2A ，3A 为平面上三个不共线的定点，平面上点M 满足11213()AM A A A A λ=+（λ是实数），且123MA MA MA ++是单位向量，则这样的点M 有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个 28.向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示.若向量λ+a b 与c 共线,则实数λ=（ ） A.－2 B. －1 C.1 D.2 29.欧拉公式cos sin i e i θθθ=+(e 是自然对数的底,i 是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的.它将三角函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位当θπ=时,就有10i e π+=.根据上述背景知识试判断20183i e π-表示的复数在复平面对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限30.已知向量(1,)a m =，(3,2)b =-，且()//a b b +，则m =（ ）A ．23- B ． 23 C ．－8 D ．831.在△ABC 中，若点D 满足3BD DC =，点E 为AC 的中点，则ED = A ．5163AC AB + B ．1144AB AC + C ．3144AC AB - D ．5163AC AB - 32.设向量()3,4=-a ，()0,2=-b ，则与+a b 垂直的向量的坐标可以是（ ） A ．(3,2) B ．(3,－2) C ．(4,6) D ．(4,－6)33.如图所示，已知点．．．．．．．．G ．是．△．ABC ．．．的重心，．．．．过点．．G ．作直线与．．．．AB ．．，．AC ．．两边分别交于．．．．．．M ．，．N ．两点，且．．．．,AM xAB AN yAC ==，则．．xy x y+的值为．．．(． )． A ．．．3 B.．．．1．3． C ．．．2 D.．．．1．2．34.已知1a =，(0,2)b =，且1a b ⋅=，则向量a 与b 夹角的大小为A.6π B.4π C.3π D.2π 35.如图所示，已知点．．．．．．．．G ．是．△．ABC ．．．的重心，过点．．．．．．G ．作直线与．．．．AB ．．，．AC ．．两边分别交于．．．．．．M ．，．N ．两点，且．．．．,AM x AB AN y AC ==，．则．xy x y+的值为．．．(． )．A ．．．3 B.．．．13 C ．．．2 D. ．．．1236.已知△ABC 中， 2A π∠=， 1AB AC ==，点P 是AB 边上的动点，点Q 是AC 边上的动点，则BQ CP ⋅的最小值为（ ） A. －4 B. －2 C. －1 D. 0 37.在四边形ABCD 中，2=AC ，1=BD ，则=+⋅+)()(（ ） A ．5 B ．－5 C ．－3 D ．3 38.已知向量(1,2)a =，(1,1)b =-，若c 满足()//c a b +，()c a b ⊥+，则c =（ ） A ．(－3,0) B ．(1,0) C ．(0,－3) D ．(0,1)39.设单位向量1e ,2e 对任意实数λ都有|1e +22e |≤|1e +λ2e |，则向量1e ,2e 的夹角为( ) A.3π B. 23π C. 6π D. 56π 40.已知0a 1,b 2,,60a b ===，则a b +在a 上的投影是（ ）A. 1 B . 7 C. 2 D .441.已知平面向量a 与b 的夹角为32π，若(3,1)a =-， 2213a b -=，则b =（ ）A. 3B. 4C. 3D. 2二、填空题42.已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ,90BAD ∠=,45ADC ∠=21AD BC ==，,P 是腰CD 上的动点，则3+PA BP 的最小值为____________. 43.设向量，满足2||=，1||=，且)(+⊥，则向量在向量方向上的投影为 . 44.已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______.45.在四边形ABCD 中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅= . 46.已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=c a ，则cos ,<>=a c ___________. 47.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________． 48.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.49.已知()()()1 0 1 1 OA OB x y OA OB λμ===+，，，，，.若012λμ≤≤≤≤时，()0 0x yz m n m n=+>>，的最大值为2，则m n +的最小值为 50.在平行四边形ABCD 中，3π=∠A ，边AB ，AD 的边长分别为2,1，若M ，N 分别是边BC ，CD=⋅的取值范围是 ．51.已知平面向量b a ,满足32|2|,1||,2||=+==b a b a，则b a 与的夹角为___________．52.设,,a b c 为三个非零向量，且0,2,2a b c a b c ++==-=，则b c +的最大值是 ▲ ． 53.在边长为2的等边三角形ABC 中，2BC BD =，则向量BA 在AD 上的投影 为______． 54.设向量a =(3，－1)，b =(1，m )，且(a +2b )^a ，则|b |=_______. 55.已知(2,0)a =，(1,2)b =，实数λ满足5a b λ-=，则λ= ． 56.在△ABC 中，点P 是边AB 的中点，已知3CP =4CA =，23ACB π∠=，则CP CA ⋅= ．57.在△ABC 中，AB =5， AC =7，BC =3，P 为△ABC 内一点（含边界），若满足1()4BP BA BC R λλ=+∈，则BA BP ⋅的取值范围为 ▲ ． 58.已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=，点E 、F 分别在边BC 、DC 上，BE BC λ=，DF DC μ=.若1AE AF ⋅=，23CE CF ⋅=-，则λμ+= ．59.已知向量34（-，）a =，b (2,1)=-，若-a b 与2λa +b 的夹角为90°，则=λ_______. 60.已知向量()()6,2,3,a b m =-=，且//a b ，则a b -=__________． 61.已知向量,a b 满足||||2==a b ,且2⋅=a b ,则向量a 与b 的夹角为 . 62.已知平面向量()1,2m =，()1,0n =，则m n +在n 上的投影为________. 63.已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP · (AB ＋AC )＝_________． 64.若平面内不共线的向量a ，b ，c 两两所成的角相等，且|a |＝1，|b |＝1，|c |＝2，则|a +b +c |＝ ． 65.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角的大小是____. 66.若向量(1,)a x =、(1,2)b =--不共线，且()()a b a b +⊥-，则a b ⋅=_______； 67.若非零向量 a b ，满足()2a a b ⊥+，则a b b+= .68.已知向量a ,b 满足|a |=2, a ·(b －a )=－3，则b 在a 方向上的投影为 . 69.设向量12,e e 不共线，向量122e e λ+与124e e +平行，则实数λ= ． 70.正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，(0,0)A ，(2,0)B ，则向量AE 在AC 方向上的投影为 ． 71.如图,在直角梯形ABCD 中,,.若M ,N 分别是边AD 、BC 上的动点,满足，，其中,若,则的值为 .72.已知A ，B 是以F 为焦点的抛物线24y x =上两点，且满足4AF FB =，则弦AB 中点到准线距离为 .73.在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ． 74.设非零向量a ，b 满足()a ab ⊥+，且2b a =，则向量a 与b 的夹角为 ．75.已知平面向量,a b 满足||2,||3,(2,3)a b a b ==-=, ,则||a b += .76.已知腰长为2的等腰直角△ABC 中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若||2PC =，则(4)()PA PB PC PM ⋅+⋅的最小值是 ________.77.在△ABC 中，226,AB AC BA BC BA ==⋅=，点P 是△ABC 所在平面内一点，则当222PA PB PC ++取得最小值时，AP BC ⋅= .78.设向量、a )2,1(=)3,2(=b ，若向量λ+与向量=(－3,－3)共线，则λ= ． 79.已知向量(1,0)a =，(,2)b λ=，2a b a b +=-，则λ= ． 80.已知单位向量,a b 的夹角为120°，则()a b a +⋅= ． 81.在△ABC 中，点D 是线段BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM AB AC =+λμ，则λμ+= . 82.如图，已知直角△ABC 的斜边AB 长为4，设P 是以C 为圆心的单位圆的任意一点，则PA PB ⋅的取值范围为 ．83.在平行四边形ABCD 中，AB AD AB AD +=-，2DE EC =，CF FB =，且7AE AF ⋅=，则平行四边形ABCD 的面积的最大值为 ．84.如图，在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，E 、F 是AB 上的两个三等分点，G 、H 是AC 上的两个三等分点，910)()(-=-⋅+CF BH CE BG ，则C b cos 的最小值为 .85.已知向量, a b r r 满足(2)()6a b a b -⋅+=r r r r ，且||2,||1a b ==r r ，则a r 与b r的夹角为 .86.平面向量(1,0),(1,3)a b ==-，则向量a 在向量b 方向上的投影为 ． 87.已知向量a ＝(2，m )，b ＝(－1，2)，若a ⊥b ，则b 在向量=-c a b 上的投影为________．88.已知平面向量a ,b ,c 满足|a |=|b |=2，a ,b 的夹角为3π，2240c a c b c -⋅-⋅+=，则(a +c )·b 的最大值为 .89.向量a ，b 满足：｜a ｜＝2，｜a +b ｜＝1，则a b 的最大值为＿＿ 90.已知向量,夹角为60°，且1||=，10|2|=-，则=|| . 91.已知向量a ,b 的夹角为45°，且|a |=1，|b ，则|a －b |=____________．三、解答题92.已知x x x x x x f 2sin cos sin 3)6sin(cos 2)(-⋅++⋅=π，（Ⅰ）求函数)(x f y = （π<<x 0）的单调递增区间； （Ⅱ）设△ABC 的内角A 满足2)(=A f ，而3=⋅AC AB ，求BC 边上的高AD 长的最大值．* 93.已知向量(2sin ,1)a α=，(1,sin())4b πα=+.（1）若角α的终边过点(3,4)，求a ·b 的值； （2）若a ∥b ，求锐角α的大小. 94.已知抛物线x 2＝2py ，准线方程为y ＋2＝0，直线l 过定点T (0，t )(t >0)，且与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点． (1)求抛物线方程；(2)OA ·OB 是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)当t ＝1时，设AT ＝λTB ，记|AB |＝f (λ)，求f (λ)的最小值及取最小值时对应的λ．95.已知向量a 11(,)sin sin x x =-，b (2,cos 2)x =. （Ⅰ）若π(0,]2x ∈，试判断a 与b 能否平行； （Ⅱ）若π(0,]3x ∈，求函数()f x =a⋅b 的最小值.96.△ABC的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量m =（a ）与n =（cos A ，sin B ）平行． （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若a ，b =2，求△ABC 的面积． 97.已知向量)sin 2,3(),1,cos (x x =-= （1）当⊥时，求xxx 2cos 1sin cos 3+的值； （2）已知钝角△ABC 中，角B 为钝角，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且)sin(2B A b c +=，若函数224)(x f -=，求)(B f 的值．98.已知向量a )1,cos 2(θ=，)sin 2,1(θ=b 且),0(πθ∈ （1）若b a //，求θ的值； （2）若52=⋅b a ，求||b a +的值. 99.已知0a b c ++=，3a =，5b =，7c =． （1）求a 与b 的夹角；（2）是否存在实数k ，使a b +与a kb -垂直？ 100.已知(3sin ,cos )m x x ωω=，(cos ,cos )n x x ωω=- (0,x R >∈ω)，1()2f x m n =⋅-且()f x 的图象上相邻两条对称轴之间的距离为2π. （Ⅰ） 求函数f (x )的单调递增区间；（Ⅱ）若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b =()0f B =，sin 3sin A C =，求a ，c 的值及AC 边上的中线.答案解析1. D2. A以OA,OB 所在直线分别为轴，轴，则,设，且，所以，由于，所以，当时，有最大值，选A.3. C 【分析】由题意结合向量的减法公式和向量的运算法则考查充分性和必要性是否成立即可. 【详解】∵A ､B ､C 三点不共线,∴|AB +AC |>|BC |⇔|AB +AC |>|AB -AC |⇔|AB +AC |2>|AB -AC |2AB ⇔•AC >0AB ⇔与AC的夹角为锐角.故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件,故选C. 4. C∵(1,3)BC AC AB t =-=-，∴2||11BC ==，解得3t =，(1,0)BC =， ∴2AB BC ⋅=. 5. B设a 与b 的夹角为θ，∵()a b b -⊥∴2()cos a b b a b b θ-⋅=-=0 ∴1cos =2θ ∴=3πθ.6. C 在中，，，是是上一点，且，如图所示，设，所以，所以，解得，所以，故选C ．7.B平行四边形ABCD 中，120BAD ∠=︒，2AB =，3AD =，∴12332AB AD ⎛⎫⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，∵13BE BC =，∴1133AE AB BC AB AD =+=+，BD AD AB =-，则()13AE BD AB AD AD AB ⎛⎫⋅=+⋅ ⎪⎝⎭-221233AD AD AB AB =+⋅-()233433=+⨯--=-，故选B ．8.C9.D10.B因为与的夹角为，所以此平行四边形的两条对角线中较短的一条长度为，而，故选B.11.B由题设有，故，整理得：即，，选B.12.C13.D因为，，所以的夹角为120°，因为，所以的夹角为60°；作（如图1、图2所示），则，由图象，得的最大值为4．图1 图214.A15.A三点共线，则当且仅当即时等号成立.故选A.16.A①命题“存在x∈R，x2-x＞0”的否定是“对于任意x∈R，x2-x≤0”，故命题①不正确；②命题“p且q为真”，则命题p、q均为真，∴“p或q为真”．反之“p或q为真”，则p、q不一定都真，∴不一定有“p且q为真”，∴命题“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件，故命题②不正确；③由幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，）∴2α=，∴α=−∴幂函数为f(x)＝，故f（4）的值等于∴命题③正确；④向量在向量方向上的投影是||cosθ＝ .其中θ是和的夹角，故④错误．∴正确的命题有一个． 故选：A ． 17. B∵在中，是边上的中线∴ ∵是边的中点∴ ∴ ∵ ∴ 故选B. 18. A ∵ ∴ ∴在方向上的投影为故选A 19.B 20.B如图，D 为边BC 的中点，()AP AB AC ⋅+()22226AP AD AP AD AD =⋅=⋅==，答案选B.21.A 22.D 23.C 24.C 25.B 26.A由题意知，2(3,3)+=--a b ，所以|2|+=a b 故选A. 27.C试题分析：由题意得，11213()MA A A A A λ=-+，2112MA MA A A =+，3113MA MA A A =+，∴1231213(13)()MA MA MA A A A A λ++=-+，如下图所示，设D 为23A A 的中点，∴1213(13)()A A A A λ-+与1A D 为共起点且共线的一个向量，显然直线1A D 与以1A 为圆心的单位圆有两个交点，故这样的点λ有两个，即符合题意的点M 有两个，故选C.28.D 29.C 30.C解：由题意得圆心为(),0a 。
2020届高考全国卷24省9月联考甲卷--数学(理)试卷(附答案)
以
ｃｋ＋１ ｃｋ
＝ｂｂｎｎ＋２
＝
９，所以数列｛ｃｎ｝是公比和首项均为 ９的等比数列，即 Ｈｎ＝９（９ｎ８－１）＝９ｎ８＋１ － ９ ８．
１７．【名师指导】本题考查线面垂直的判定定理和二面角 ．
（Ⅰ）利用勾股定理得到 ＯＡ１⊥ ＯＢ，再利用面面垂直
判定定理即可证明；（Ⅱ）以 Ｏ为坐标原点，ＯＢ，ＯＣ，
有 ７２＋３６＝１０８种购买方式，故选 Ｄ． １０．Ａ 【解析】本题考查存在性问题 ．由题意知 ａｅａ ＝ｍ，
－ｂ２
＋ｋｂ－
２ ｅ
＝ｍ，令
ｆ（ａ）＝ａｅａ，ｇ（ｂ）＝ －ｂ２ ＋
ｋｂ－ ２ｅ，即存在实数 ａ，ｂ，ｍ，使得 ｆ（ａ）＝ｇ（ｂ）＝ｍ，
— 数学（理科）·答 １—
因为 ｆ′（ａ）＝（ａ＋１）ｅａ，所以 ｆ（ａ）在（－∞，－１）上
６．Ｂ 【解析】本题考查函数的奇偶性及函数单调性．由题意
可知 ｆ（ｘ）为奇函数，因为对任意 ｘ１，ｘ２∈［０，＋∞）时， 均有 ｇ（ｘ１ｘ）１－－ｇ ｘ２（ｘ２）＞０，可知函数 ｇ（ｘ）在［０，＋∞）上 单调递增，所以 ｆ（ｘ）在 Ｒ上单调递增，又因为 ｇ（１）＝
２，所以 ｆ（１）＝２，ｆ（－１）＝ －２，由 ｜ｆ（ｍ）｜＞２，可 得
左平移４３π个单位长度，则 ｇ（ｘ）＝－槡３ｃｏｓｘ－槡２３，Ｄ满 足条件；若 ｆ（ｘ）的图象向右平移 ５６π个单 位 长 度，则
( ) ｇ（ｘ）＝槡３ｓｉｎ ｘ－２３π －槡２３，不满足条件；若 ｆ（ｘ）的图
象向左平移５６π个单位长度，则 ｇ（ｘ）＝－槡３ｓｉｎｘ－槡２３，
不满足条件，Ｃ不满足条件，故选 Ｃ．
（Ⅰ）利用图表 １，２即可求解；（Ⅱ）根据条件列出甲的
月收入的可能取值，并计算符合要求的概率 ．