直线与圆、圆与圆的位置关系 高考数学真题解析 高考数学总复习
圆C的方程是(x－2)2＋y2＝4，∴点P到圆心C(2,0) A
的距离d＝1<2，∴点P在圆C内部，∴直线l与圆C相交．
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2．将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是 A．x＋y－1＝0 C．x－y＋1＝0 解析 B．x＋y＋3＝0 D．x－y＋3＝0
(
)．
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解析
根据直线与圆相切建立 m 与 n 的关系，再由基本
不等式求解 m＋n 的取值范围．由题意可得 |m＋ n| m＋ n 2 ， 2 2＝ 1，化简得 mn＝ m＋ n＋ 1≤ 4 m＋ 1 ＋ n＋ 1 解得 m＋ n≤ 2－ 2 2或 m＋ n≥ 2＋ 2 2，故选择 D.
(2)( 2， 2)
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(1)判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或 圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参 数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法． (2)解决直线与圆的位置关系的应用问题，常常借助几何 性质结合数形结合思想解题．
①内含时：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3
条；⑤外离：4条． (2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可
得公共弦所在直线的方程．
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考点自测
1．(2012· 陕西)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的 直线，则 A．l与C相交 C．l与C相离 解析 答案 B．l与C相切 D．以上三个选项均有可能 ( )．
判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：
1代数法 Δ＞0⇔相交 _____⇒弦长|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|， 判别式 Δ＝0⇔⇔相切 _____， ――――――→ 2 Δ＝b －4ac 相离 _____. Δ＜0⇔⇔
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(2)几何法：利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小
圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0可化为标准方程(x－1)2＋
(y－2)2＝4，要使直线平分此圆，则直线需过圆心 (1,2)．因此可通过代入法，看哪一条直线过圆心(1,2)即 可．经检验，选项C满足条件．故选C. 答案 C
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3．(2012· 山东)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的
位置关系为
A．内切
解析
(
B．相交 C．外切 D．相离
)．
两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为 2
和 3，圆心距 d＝ 42＋1＝ 17.∵3－2<d<3＋2，∴两 圆相交．
答案
B
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4． (2012· 天津)设 m，n∈ R，若直线(m＋ 1)x＋ (n＋1)y－ 2 ＝0 与圆 (x－ 1)2＋ (y－ 1)2＝ 1 相切，则 m＋ n 的取值范 围是 A． [1－ 3，1＋ 3] B． (－∞， 1－ 3， ]∪[1＋ 3，＋∞) C． [2－ 2 2，2＋ 2 2] D． (－∞， 2－ 2 2]∪ [2＋ 2 2，＋∞) ( )．
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|OA| |OP |＝ ＝ 2，易得 P 为 CD 中点，故 P( 2， 2)． sin∠ OPA
法二
设
2 2 x ＋ y ＝ 2， P(x， y)，则 x＋ y－ 2 2＝ 0
x＝ ⇒ y＝
2， 2，
故 P( 2， 2)．
答案
(1)C
相交 ⇒弦长＝2 r2－d2，d＝ r⇔_____ 相切 ，d 关系： d＜ r⇔_____ 相离 ． ＞r⇔_____
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2．圆与圆的位置关系
设两圆半径分别是R，r(R≥r)，两圆圆心的距离为
d，则两圆有如下位置关系： (1)d＞R＋r，两圆外离，无公共点； (2)d＝R＋r，两圆外切，一个公共点； (3)R－r＜d＜R＋r，两圆相交，两个公共点；
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[审题视点] (1)由几何法或代数法判断； (2)思路1：由数与形结合分析，得|OP|＝2，从而确定P为 CD中点，然后求得点P. 思路2：由思路1知|OP|＝2，建立方程组求解． 解析 (1)因为直线y＝kx＋1过定点(0,1)，且点(0,1)在圆 内，但是直线不过圆心(0,0)，故选C. (2)法一 如图所示，
答案
D
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5．若直线3x＋4y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0没有
公共点，则实数m的取值范围是________．
解析 将圆 x2＋y2－2x＋4y＋4＝0 化为标准＝ 1，圆心坐标为(1，－ 2)，半径为 1.若直线与圆无公共点，即圆心到直线的距离大于半 |3×1＋4×－2＋m| |m－5| 径，即 d＝ ＝ >1，∴m<0 2 2 5 3 ＋4 或 m>10.
答案
(－∞，0)∪(10，＋∞)
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考向一 直线与圆的位置关系的判定及应用
【例1】►(1)(2012· 重庆)对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆
x2＋y2＝2的位置关系一定是 A．相离 B．相切 ( )．
C．相交但直线不过圆心
D．相交且直线过圆心
(2)(2012· 江西)过直线x＋y－2＝0上点P作圆x2＋y2＝1的 两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是 ________．
第3讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
【2014年高考会这样考】 1．考查直线与圆的相交、相切、相离和弦长问题． 2．考查圆与圆的位置关系．
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考点梳理
1．直线与圆的位置关系 三种位置关系： 相交 ，直线与圆恰有两个公共点： _____ 相切 ，直线与圆恰有一个公共点； _____ 相离 ，直线与圆无公共点． _____
(4)d＝R－r＞0，两圆内切，一个公共点；
(5)d＜R－r，大圆内含小圆，无公共点； (6)d＝0，两圆同心，(当R＝r时，重合)．
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【助学· 微博】
一法巧解“相交”
直线与圆相交时，适当使用垂径定理(半径、半弦、弦心 距满足勾股定理)，可以减少运算量． 两个重要结论 (1)两圆的位置关系与公切线的条数：
2022年新高考数学总复习：直线与圆、圆与圆的位置关系
2022年新高考数学总复习：直线与圆、圆与圆的位置关系1．当两圆相交(切)时，两圆方程(x 2，y 2项的系数相同)相减便可得公共弦(内公切线)所在的直线方程．两圆相交时，两圆连心线垂直平分公共弦；两圆相切时，两圆连心线必过切点．2．过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2．过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2．3．过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在的直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2．4．直线与圆相交时，弦心距d ，半径r ，弦长的一半12l 满足关系式r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫12l 2． 5．过圆内一点的最长的弦是直径，最短的是垂直这点与圆心连线的弦．题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( × )(2)“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的必要不充分条件．( × )(3)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则O ，P ，A ，B 四点共圆且直线AB 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2．( √ )(4)圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与圆C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线有且仅有2条．( √ )题组二 走进教材2．(必修2P 132A5改编)直线l ：3x －y －6＝0与圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0相交于A ，B 两点，则|AB |＝．[解析] 圆的方程可化为(x －1)2＋(y －2)2＝(5)2，又圆心(1,2)到直线l 的距离为102， ∴|AB |＝25－⎝⎛⎭⎫1022＝10． 题组三 走向高考3．(2019·浙江，12)已知圆C 的圆心坐标是(0，m )，半径长是r ．若直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A (－2，－1)，则m ＝__－2__，r ＝．[解析] 解法一：设直线2x －y ＋3＝0为l ，则AC ⊥l ，又k l ＝2，∴k AC ＝m ＋10＋2＝－12， 解得m ＝－2，∴C (0，－2)，∴r ＝|AC |＝(0＋2)2＋(－2＋1)2＝5．解法二：由题知点C 到直线的距离为|－m ＋3|5， r ＝|AC |＝22＋(m ＋1)2，由直线与圆C 相切得22＋(m ＋1)2＝|－m ＋3|5， 解得m ＝－2，∴r ＝22＋(－2＋1)2＝5．4．(2015·广东)平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( A )A ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0D ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0[解析] 设直线的方程为2x ＋y ＋c ＝0，则由题意知|c |5＝5，∴c ＝±5， ∴所求直线的方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0．故选A ．5．(2020·高考全国Ⅰ)已知圆x 2＋y 2－6x ＝0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( B )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 圆x 2＋y 2－6x ＝0化为(x －3)2＋y 2＝9，∴圆心C 坐标为C (3,0)，半径为3，设P (1,2)，当过点P 的直线和直线CP 垂直时，圆心到过点P 的直线的距离最大，所求的弦长最短，根据弦长公式最小值为29－|CP |2＝29－8＝2，故选B ．。
高考数学专题复习：直线与圆、圆与圆的位置关系
高考数学专题复习：直线与圆、圆与圆的位置关系一、单选题1．已知圆22:2440A x y x y +---=，圆22:2220B x y x y +++-=，则两圆的公切线的条数是（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条2．已知点(,)P x y 是直线l ：40kx y -+=(0k >)上的动点，过点P 作圆C ：2220x y y =++的切线PA ，A 为切点，若||PA 最小为2时，圆M ：220x y my +-=与圆C 外切，且与直线l 相切，则m 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．4D 23．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是（ ） A ．23-B ．13C ．43D ．24．已知直线10x my m -+-=被圆O ：224x y +=所截得的弦长为m =（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．5．已知直线():10l mx y m R +-=∈是圆22:4210C x y x y +-++=的对称轴，过点()2,A m -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB 等于（ ）A ．4B ．C ．D ．36．设a ，b 为正数，若圆224210x y x y ++-+=关于直线10ax by -+=对称，则2a bab+的最小值为（ ） A ．9B ．8C ．6D ．107．已知圆221:4240C x y x y ++--=，2223311:222C x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则这两圆的公共弦长为（ ）A ．2B ．C ．2D ．18．设0r >，圆()()22213x y r -++=与圆2216x y +=的位置关系不可能是（ ） A ．相切B ．相交C ．内切或内含D ．外切或相离9．已知圆C ：()()22cos sin 3x y θθ-+-=交直线1y =-于A ，B 两点，则对于θ∈R ，线段AB 长度的最小值为（ ）A ．1B C D ．210．在同一平面直角坐标系下，直线ax by ab +=和圆222()()x a y b r -+-=（0ab ≠，0r >）的图象可能是（ ）．A ．B ．C ．D ．11．圆1C ：221x y +=与圆2C ：()224310x y k x y +++-=（k ∈R ，0k ≠）的位置关系为（ ）A ．相交B ．相离C ．相切D ．无法确定12．若直线:1l y kx =-与圆()()22:212C x y -+-=相切，则直线l 与圆()22:23D x y -+=的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定二、填空题13．圆22230x y y ++-=被直线0x y k +-=分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为1：3，则k =________.14．过原点且倾斜角为60︒的直线与圆2240x y y +-=相交，则直线被圆截得的弦长为_____.15．过点()2,0与圆22 A: 230x y x +--+=相切的直线方程为__________.16．若直线mx ＋2ny －4＝0（m ，n ∈R ）始终平分圆22420x y x y +--=的周长，则mn 的取值范围是________． 三、解答题17．已知以点()1,1A 为圆心的圆与直线1:220l x y ++=相切，过点()2,0B 的动直线l 与圆A 相交于M ､N 两点. （1）求圆A 的方程；（2）当4MN =时，求直线l 的方程.18．已知圆C ：222430x y x y ++-+=．（1）若直线l 过点(2,0)-且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程；（2）从圆C 外一点P 向圆C 引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且PM PO =，求PM 的最小值．19．直线l ：y x =与圆C ：()()221316x y -+-=相交于A 、B 两点．（1）求平行于l 且与圆C 相切的直线方程； （2）求ABC 面积．20．已知圆C 过点()2,0R 、()4,2S -，且圆心C 在直线280x y --=上． （1）求圆C 的方程；（2）若点P 在圆C 上，O 为原点，()(),00A t t >，求tan POA ∠的最大值．21．已知圆C 的方程为226440x y x y ++-+=.（1）若直线:10l x y -+=与圆C 相交于M 、N 两点，求||MN 的长; （2）已知点()1,5P ，点Q 为圆C 上的动点，求||PQ 的最大值和最小值.22．已知直线:20l mx y m -+-=，C 的方程为22240x y x y +--=. （1）求证：l 与C 相交；（2）若l 与C 的交点为A 、B 两点，求OAB 的面积最大值.（O 为坐标原点）参考答案1．B 【分析】分别求得两圆的圆心坐标和半径，结合两圆的位置关系的判定方法，求得两圆的位置关系，即可求解. 【详解】由圆22:2440A x y x y +---=可化为22(1)(2)9x y -+-=， 可得圆心坐标为(1,2)A ，半径为3R =，由圆22:2220B x y x y +++-=可化为22(1)(1)4x y +++=， 可得圆心坐标为(1,1)B --，半径为2r，则圆心距为d AB == 又由5,1R r R r +=-=，所以R r AB R r -<<+， 可得圆A 与圆B 相交，所以两圆公共切线的条数为2条. 故选：B. 2．B 【分析】根据题意当CP 与l 垂直时，||PA 的值最小，进而可得2k =，再根据圆M 与圆C 外切可得0m >，根据圆M 与直线l 相切，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，即可求出. m 的值.【详解】圆C 的圆心为(0,1)C -，半径为1，当CP 与l 垂直时，||PA 的值最小，此时点C 到直线l 的距离为d =，由勾股定理得22212+=，又0k >，解得2k =， 圆M 的圆心为(0,)2mM ，半径为||2m ， ∵圆M 与圆C 外切，∴||1|(1)|22m m+=--，∴0m >，∵圆M 与直线l 相切，∴|4|2m m -+=2m =， 故选:B 3．C 【分析】根据直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式建立不等式，解之可得选项. 【详解】圆C 的标准方程为22(4)1x y -+=，半径1r =，当圆心(4,0)到直线2y kx =-的距离1d r ≤+时，满足题意，圆心在直线上的射影点即满足题意，故有2d =≤，解得403k ≤≤，即k 的最大值为43， 故选：C. 4．A 【分析】由于直线过定点(1,1)--P，而||OP =OP 垂直，从而由斜率的关系列方程可求出m 【详解】∵直线10x my m -+-=过定点(1,1)--P ，连接OP，则||OP ∴直线10x my m -+-=与OP 垂直，11m=-， ∴1m =-， 故选：A. 5．A 【分析】根据直线():10l mx y m R +-=∈是圆22:4210C x y x y +-++=的对称轴，则圆心在直线l 上，求得m ，由过点()2,A m -作圆C 的一条切线，切点为B ，利用勾股定理即可求得AB . 【详解】由方程224210x y x y +-++=得()()22214x y -++=，圆心为()2,1C -，因为直线l 是圆C 的对称轴，所以圆心在直线l 上，所以1m =，所以A 点坐标为()2,1-，则AC =4AB =.故选：A ． 6．A 【分析】求出圆的圆心坐标，得到,a b 的关系，然后利用基本不等式求解不等式的最值即可． 【详解】解：圆224210x y x y ++-+=，即()()22214x y ++-=，所以圆心为(2,1)-， 所以210a b --+=，即21a b +=，因为0a >、0b >，则2222(2)(2)2252229a b a b a b a b ab a ab ab abab+++++⋅===，当且仅当13b a ==时，取等号． 故选：A ． 7．C 【分析】先求出两圆的公共弦所在直线的方程，用垂径定理求弦长. 【详解】由题意知221:4240C x y x y ++--=，222:3310C x y x y ++--=，将两圆的方程相减，得30x y +-=，所以两圆的公共弦所在直线的方程为30x y +-=.又因为圆1C 的圆心为(2,1)-，半径3r =，所以圆1C 的圆心到直线30x y +-=的距离d ==所以这两圆的公共弦的弦长为222223222d .故选：C. 8．D 【分析】计算出两圆圆心距d ，并与两圆半径和作大小比较，由此可得出结论. 【详解】两圆的圆心距d 4r +，4r +，所以两圆不可能外切或相离．9．C 【分析】由题意圆C 的圆心C 在单位圆上，求出点C到直线1y =-的距离的最大值，根据圆的弦长AB =. 【详解】解：由圆C ：()()22cos sin 3x y θθ-+-=，知该圆的半径r =()cos ,sin C θθ在单位圆221x y +=上，∵原点O到直线1y =-12=，则点C 到直线1y =-的距离d 的最大值为13122+=，由AB =d 取最大值32时，线段AB故选：C ．10．D 【分析】根据直线的位置及圆心所在的象限判断参数a 、b 的符号，进而确定正确选项. 【详解】直线ax by ab +=在x ，y 轴上的截距分别为b 和a ，圆心横坐标为a ，纵坐标为b ． A ：由直线位置可得0b <，而由圆的位置可得0b >，不正确． B ：由直线位置可得0a >，而由圆的位置可得0a <，不正确． C ：由直线位置可得0a >，而由圆的位置可得0a <，不正确．D ：由直线位置可得0a >，0b <，而由圆的位置可得0a >，0b <，正确.11．A 【分析】求出两圆的圆心和半径，再求出两圆的圆心距，与两圆的半径和差比较可得结论 【详解】解：圆1C ：221x y +=的圆心1(0,0)C ，半径为11r =，由()224310x y k x y +++-=，得222325(2)()124x k y k k +++=+，所以圆2C 的圆心为23(2,)2C k k --，半径2r所以12121C C r r +=1>0k ≠）1，所以1221C C r r >-所以两圆相交． 故选：A 12．A 【分析】由直线l 与圆C 相切可构造方程求得k；分别在2k =2k =过比较圆心到直线距离与圆的半径之间大小关系可得位置关系. 【详解】由圆C 方程知其圆心()2,1C直线l 与圆C相切，=2k =由圆D 方程知其圆心()2,0D，半径r =∴圆心D 到直线l距离d =当2k =(()222233021d r+-=-=<+，即d r <，此时圆D 与直线l 相交；当2k =(()222233021d r --=-=<+，即d r <，此时圆D 与直线l 相交； 综上所述：圆D 与直线l 相交. 故选：A. 13．1或3- 【分析】由题意可知较短弧所对圆心角是90︒，此时圆心到直线0x y k +-==，再由点到直线的距离公式求解即可 【详解】由题意知，圆的标准方程为()2214x y ++=，较短弧所对圆心角是90︒，所以圆心()0,1-到直线0x y k +-==1k =或3k =-.故答案为：1或3- 14．【分析】由已知求出直线方程，将圆方程化为标准方程求出圆心和半径，然后求出圆心到直线的距离，再利用弦长、弦心距和半径的关系求出弦长 【详解】解：由题意得直线方程为tan60y x =︒0y -=， 由2240x y y +-=，得22(2)4x y +-=，则圆心为(0,2)，半径为2， 所以圆心(0,2)0y -=的距离为1d ==，所以所求弦长为=故答案为：15．x =2或)2y x =-. 【分析】 分斜率不存在和斜率存在两种情况讨论：斜率不存在时，直线l ：x =2与圆相切；斜率存在时，设其为k ，则直线l ：()2y k x =-，利用圆心到直线的距离等于半径，列方程求出k ，即可求出直线方程.【详解】圆22 A: 230x y x +--+=化为标准方程：()(22 11x y -+=，所以当过点()2,0的直线斜率不存在时，直线l ：x =2与圆相切；过点()2,0的直线斜率存在时，设其为k ，则直线l ：()2y k x =-，因为l 与圆A 相切，所以圆心到直线的距离等于半径，1=，解得：k =，此时l：)2y x =-. 故答案为：x =2或)2y x =-. 16．(,1]-∞【分析】 由题意得直线过圆心，进而得到2240m n +-=，所以mn 可转化为()2n n -，结合二次函数的值域即可求解.【详解】因为直线mx ＋2ny －4＝0（m ，n ∈R ）始终平分圆22420x y x y +--=的周长，所以直线经过圆心，又因为圆心为()2,1，则2240m n +-=，即2m n +=，因此2m n =-，所以()()2222111mn n n n n n =-=-+=--+≤，所以mn 的取值范围是(,1]-∞，故答案为：(,1]-∞.17．（1）()()22115x y -+-=；（2）2x =或0y =.【分析】（1）利用圆心到直线的距离求半径，即可得圆的方程；（2）首先考查直线斜率不存在的直线，判断是否满足4MN =，当直线的斜率存在时，设直线20kx y k --=，利用弦长公式求得斜率k ，即可得直线方程.【详解】解：（1）由题意可知，点A 到直线1l 的距离d =因为圆A 与直线1l 相切，则圆A 的半径r d ==所以，圆A 的标准方程为()()22115x y -+-=（2）①当直线l 的斜率不存在时因为直线l 的方程为2x =.所以圆心A 到直线l 的距离11d =.由（1）知圆的半径为r 4MN ==. 故2x =是符合题意的一条直线.②当直线l 的斜率存在时设直线l 的斜率为k ，则直线20kx y k --=圆心A 到直线l 的距离1d =因为22212MN d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以245+=，即()2211k k +=+，解得0k = 因此，直线l 的方程为0y =综上所述，直线l 的方程为2x =或0y =.18．（1）2x =-或3460x y -+=；（2． 【分析】（1）根据题意，由圆的方程分析圆的圆心与半径，分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，求出直线的方程，综合即可得答案；（2）根据题意，连接MC ，PC ，分析可得PMC △为直角三角形，即222||||||PM PC MC =-，设(,)P x y ，分析可得||MC ||||PM PO =，分析可得2222(1)(2)2x y x y ++--=+，变形可得P 的轨迹方程，据此结合直线与圆的方程分析可得答案．【详解】解：（1）222430x y x y ++-+=可化为22(1)(2)2x y ++-=．当直线l 的斜率不存在时，其方程为2x =-，易求得直线l 与圆C 的交点为(2,1)A -，()23B -，，2AB =，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设其方程为(2)y k x =+，即20kx y k -+=，则圆心C 到直线l 的距离1d ，解得34k =． 所以直线l 的方程为3460x y -+=，综上，直线l 的方程为2x =-或3460x y -+=．（2）如图，PM 为圆C 的切线，连接MC ，PC ，则CM PM ⊥．所以PMC △为直角三角形．所以222PM PC MC =-．设点P 为(,)x y ，由（1）知点C 为(1,2)-，MC =PM PO =，P 的轨迹方程为2430x y -+=． 求PM 的最小值，即求PO 的最小值，也即求原点O 到直线2430x y -+=的距离，代入点到直线的距离公式可求得PM 的最小值d =19．（1）20x y -++或20x y -+-=；（2）【分析】（1）设切线方程为y x b =+，由切线定义求得b ，进而求得结果；（2）作CD AB ⊥，由点到直线距离公式求得CD ，再由弦长公式求得AB ，进而求得面积.【详解】（1）设切线方程为y x b =+，则圆心(1,3)C 到切线的距离4d r ==，解得2b =±所以切线方程为20x y -++或20x y -+-=；（2）作CD AB ⊥，垂足为D ，CD ==，∴AB ==∴1122ABC S AB CD =⋅=⨯△20．（1）()2244x y -+=；（2 【分析】 （1）根据垂径定理的逆定理可得弦RS 的垂直平分线过原点，又圆心C 在直线280x y --=上，联立直线方程即可得解；（2）根据题意知当OP 与圆相切时，tan POA ∠值最大，计算即可得解.【详解】（1）由20142RS k --==--，线段RS 中点坐标为(3,1)-， 所以线段RS 的垂直平分线为4y x =-，即40x y --=，由28040x y x y --=⎧⎨--=⎩可得圆C 的圆心为(4,0)，易得半径2r ，所以圆C 的方程为22(4)4x y -+=；（2）由圆心在x 轴正半轴上，由()(),00A t t >，所以OA 在正半轴上，由090POA <∠<，故当OP 和圆相切时，即P 为切点时POA ∠最大，此时tan POA ∠最大，tanPOA ∠=. 21．（1）2；（2）最大值为8，最小值为3.【分析】（1）先将圆的方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径，求出圆心到直线l 的距离，由勾股定理可得答案.（2）先求出PC 的长度，由圆的性质可得PC r PQ PC r -≤≤+，从而得到答案.【详解】解：（1）圆C 的一般式方程为()()22329x y ++-=，即圆心()C 3,2-，半径3r =，所以圆心C 到直线l ：10x y -+=的距离d ==所以弦长 2MN ==；（2）5PC ，又3r =，所以max 8PQ PC r =+=，min 2PQ PC r =-=，即PQ 的最大值为8，最小值为3.22．（1）证明见解析；（2）5【分析】 （1）由题知直线l 过定点1,2，且为C 的圆心，故l 与C 相交；（2）由题知2AB r ==l 与直线OC 垂直时，O 到直线l 的距离最大，最大值为OC =.【详解】解：（1）由题知直线():21l y m x -=-，C 的标准方程为()()22125x y -+-=， 所以直线l 过定点1,2，为圆的圆心，所以直线过C 的圆心，故l 与C 相交；（2）由（1）知直线:20l mx y m -+-=过圆C 的圆心，C 的半径为r =所以2AB r ==所以当O 到直线l 的距离最大时，OAB 的面积取最大值，故当直线l 与直线OC 垂直时，O 到直线l 的距离最大，最大值为OC =所以OAB 的面积最大值为11522AB OC =。
高考数学复习考点题型与知识专题讲解6---直线和圆、圆和圆的位置关系
＝ 3，则―O→A ·―O→B 的值是( )
1
1
A．－2
B.2
4 C．－3
D．0
[玩转跟踪]
3/7
1．已知圆 C：(x－1)2＋(y－2)2＝2 截 y 轴所得线段与截直线 y＝2x＋b 所得线段的长度 相等，则 b＝________. 2．若点 P(1,1)为圆 x2＋y2－6x＝0 中弦 AB 的中点，则弦 AB 所在直线的方程为________， |AB|＝________.
[玩转典例]
题型一 直线与圆的位置关系的判断 例 1 (1)(一题多解)直线 l：mx－y＋1－m＝0 与圆 C：x2＋(y－1)2＝5 的位置关系是( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
(2)(2020·杭州模拟)若无论实数 a 取何值时，直线 ax＋y＋a＋1＝0 与圆 x2＋y2－2x－2y
32 3，
3
3
B．( 3，3) D.1，2 3 3
题型二 圆的弦长问题
例 2 (1)(2020·太原模拟)若 3a2＋3b2－4c2＝0，则直线 ax＋by＋c＝0 被圆 O：x2＋y2＝
1 所截得的弦长为( ) 2
A.3
B．1
1
3
C.2
D.4
(2)(2020·成都模拟)已知直线 ax＋by＋c＝0 与圆 O：x2＋y2＝1 相交于 A，B 两点，且|AB|
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(3)过圆 x2＋y2＝r2 外一点 M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 x0x＋y0y ＝r2. 2．圆系方程 (1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中 a，b 是定值，r 是参数； (2)过直线 Ax＋By＋C＝0 与圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋ Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)； (3)过圆 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0 和圆 C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0 交点的圆系 方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆 C2， 解题时，注意检验圆 C2 是否满足题意，以防漏解)．
2023年高考数学(文科)一轮复习讲义——直线与圆、圆与圆的位置关系
第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系考试要求 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.1.直线与圆的位置关系设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆心C (a ，b )到直线l 的距离为d ，由⎩⎨⎧（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，Ax ＋By ＋C ＝0消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，其判别式为Δ.位置关系相离相切相交图形量化方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点d >rd ＝rd <r2.圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R ，r (R ＞r )，两圆圆心间的距离为d ，则两圆的位置关系可用下表表示： 位置关系 外离外切相交内切内含图形量的关系d ＞R ＋rd ＝R ＋rR －r ＜d ＜R ＋rd ＝R －rd ＜R －r公切线条数432101.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x ＋y0y＝r2.2.直线被圆截得的弦长的求法(1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2r2－d2.(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出x M＋x N和x M·x N，则|MN|＝1＋k2·（x M＋x N）2－4x M·x N.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件.()(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.()(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.()(4)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分不必要条件；(2)除外切外，还有可能内切；(3)两圆还可能内切或内含.2.(2021·绍兴一模)设m∈R，则“1≤m≤2”是“直线l：x＋y－m＝0和圆C：x2＋y 2－2x －4y ＋m ＋2＝0有公共点”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A解析 圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝3－m ，圆心为(1，2)，半径r ＝3－m (m <3).若直线l 与圆C 有公共点，则圆心(1，2)到直线l 的距离d ＝|3－m |2≤3－m ，解得1≤m <3. 因为{m |1≤m ≤2}{m |1≤m <3}，所以“1≤m ≤2”是“直线l ：x ＋y －m ＝0和圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＋2＝0有公共点”的充分不必要条件.3.(2022·全国百校联盟质检)已知直线l ：x －2y ＋6＝0与圆C ：x 2＋y 2－4y ＝0相交于A ，B 两点，则CA →·CB →＝( ) A.165 B.－165 C.125 D.－125 答案 D解析 由圆的一般方程x 2＋y 2－4y ＝0得标准方程为x 2＋(y －2)2＝4，故可得圆心C (0，2)，半径r ＝2， 联立得⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋6＝0，x 2＋y 2－4y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝65，y ＝185.不妨设A (－2，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫65，185，则CA →＝(－2，0)，CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫65，85，所以CA →·CB →＝－2×65＋0×85＝－125.4.(2021·洛阳模拟)若圆x 2＋y 2＝a 2与圆x 2＋y 2＋ay －6＝0的公共弦长为23，则a ＝________. 答案 ±2解析 两圆方程作差得公共弦所在直线方程为a 2＋ay －6＝0，原点到a 2＋ay －6＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a －a .∵公共弦长为23， ∴a 2＝(3)2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a －a 2，∴a 2＝4，a ＝±2.5.(易错题)若半径为r ，圆心为(0，1)的圆和定圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相切，则r 的值等于________. 答案2＋1或2－1解析 由题意，定圆(x －1)2＋(y －2)2＝1的圆心为A (1，2)，半径R ＝1，半径为r 的圆的圆心为B (0，1)， 所以|AB |＝（1－0）2＋（2－1）2＝ 2.因为两圆相切，所以|AB |＝|R －r |或|AB |＝|R ＋r |， 即|1－r |＝2或 |1＋r |＝2， 解得r ＝1±2或r ＝－1±2. 因为r >0，所以r＝2＋1或r＝2－1.6.(易错题)过点A(3，5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为________________.答案5x－12y＋45＝0或x－3＝0解析化圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0为标准方程得(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(1，2)，半径为2.∵|OA|＝（3－1）2＋（5－2）2＝13>2，∴点A(3，5)在圆外.显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0.当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.又圆心为(1，2)，半径r＝2，而圆心到切线的距离d＝|3－2k|k2＋1＝2，即|3－2k|＝2k2＋1，∴k＝512，故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0.考点一直线与圆的位置关系1.若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A.[－3，－1]B.[－1，3]C.[－3，1]D.(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案 C解析由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为2，∴|a－0＋1|12＋（－1）2≤2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.2.(2022·成都诊断)直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离D.不确定答案 A解析 法一 (代数法)由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x 2＋（y －1）2＝5，消去y ，整理得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0，因为Δ＝16m 2＋20>0，所以直线l 与圆相交.法二 (几何法)由题意知，圆心(0，1)到直线l 的距离d ＝|－m |m 2＋1<1<5，故直线l 与圆相交.法三 易得直线l 过定点(1，1)， 把点(1，1)代入圆的方程有1＋0<5， ∴点(1，1)在圆的内部，故直线l 与圆C 相交.3.“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A解析 若直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切，则有|a －3＋4|2＝22，即|a ＋1|＝4，所以a ＝3或－5.故“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的充分不必要条件.感悟提升判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系.(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.考点二圆的弦长问题例1 (1)(2022·河南名校联考)已知圆C：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)与直线x－y＋22－2＝0相切，则圆C与直线x－y－4＝0相交所得弦长为()A.1B. 2C.2D.2 2(2)已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A.1B.2C.3D.4答案(1)D(2)B解析(1)根据题意，圆C：(x－a)2＋y2＝4的半径r＝2.圆C：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)与直线x－y＋22－2＝0相切，则圆心C到直线x－y＋22－2＝0的距离为2，即|a＋22－2|2＝2，解得a＝2或a＝2－42(舍去)，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，则圆心C(2，0)到直线x－y－4＝0的距离d＝|2－4|2＝2，所以圆C与直线x－y－4＝0相交所得弦长为222－d2＝2 2.(2)圆的方程可化为(x－3)2＋y2＝9，故圆心的坐标为C(3，0)，半径r＝3.如图，记点M(1，2)，则当MC与直线垂直时，直线被圆截得的弦的长度最小，此时|MC |＝22， 弦的长度l ＝2r 2－|MC |2＝29－8＝2.感悟提升 弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长. (2)几何方法：若弦心距为d ，圆的半径长为r ，则弦长l ＝2r 2－d 2.训练1 (2022·南昌摸底测试)若直线x ＋ay －a －1＝0与圆C ：(x －2)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，当|AB |最小时，劣弧AB 的长为( ) A.π2 B.πC.2πD.3π答案 B解析 圆C ：(x －2)2＋y 2＝4的圆心为C (2，0)，半径r ＝2.直线的方程可化为x －1＋a (y －1)＝0，可知直线恒过点D (1，1). 因为点D (1，1)的坐标满足(1－2)2＋12<4， 所以点D (1，1)恒在圆C 内，且|CD |＝2，易知，当CD ⊥AB 时，|AB |取得最小值，且最小值为2r 2－|CD |2＝2 2.此时，劣弧AB 对应的圆心角为π2，所以劣弧AB 对应的弧长为π2×2＝π. 考点三 圆的切线问题例2 (经典母题)过点P (2，4)引圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为________________.答案 x ＝2或4x －3y ＋4＝0解析 当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0.∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d＝|k －1＋4－2k |k 2＋（－1）2＝|3－k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，∴所求切线方程为43x －y ＋4－2×43＝0， 即4x －3y ＋4＝0.综上，切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.迁移1 在例2中，若点P 坐标变为⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1，22＋1，其他条件不变，求切线方程.解 易知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1，22＋1在圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1上，则k PC ＝22＋1－122＋1－1＝1，∴所求切线方程的斜率为－1，则切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1，即x ＋y －2－2＝0.迁移2 在例2中，已知条件不变，设两个切点为A ，B ，求切点弦AB 所在的直线方程.解 由题意得，点P ，A ，C ，B 在以PC 为直径的圆上，此圆的方程为(x －2)(x －1)＋(y －4)(y －1)＝0，整理得x 2＋y 2－3x －5y ＋6＝0.①圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1展开得x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，② 由②－①得x ＋3y －5＝0，即为直线AB 的方程.感悟提升 求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线.训练2 (1)过直线y ＝2x ＋3上的点作圆C ：x 2＋y 2－4x ＋6y ＋12＝0的切线，则切线长的最小值为( )A.19B.2 5C.21D.555(2)(2021·晋中模拟)过点P (2，3)作圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A →·PB →＝________.答案 (1)A (2)32解析 (1)圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝1，要使切线长最小，只需直线y ＝2x ＋3上的点和圆心之间的距离最短，此最小值即为圆心(2，－3)到直线y ＝2x ＋3的距离d ，d ＝|2×2＋3＋3|5＝25，故切线长的最小值为d 2－r 2＝19.(2)由x 2＋y 2－2x ＝0得(x －1)2＋y 2＝1，所以圆心C (1，0)，半径为1，所以|PC |＝2，|P A |＝|PB |＝3，∠APB ＝60°， 所以P A →·PB →＝|P A →||PB →|cos 60°＝32. 考点四 圆与圆的位置关系例3 已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0，x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0. (1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？(3)当m ＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 解 因为两圆的标准方程分别为 (x －1)2＋(y －3)2＝11， (x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，所以两圆的圆心分别为(1，3)，(5，6)，半径分别为11，61－m ，(1)当两圆外切时，由（5－1）2＋（6－3）2＝11＋61－m ，得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因为定圆半径11小于两圆圆心之间的距离5，所以61－m －11＝5，解得m＝25－1011.(3)由(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0，故两圆的公共弦的长为2（11）2－（|4×1＋3×3－23|42＋32）2＝27.感悟提升 1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.训练3 (1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离(2)(2022·东北三省三校联考)圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有()A.1条B.2条C.3条D.4条答案(1)B(2)D解析(1)由题意得圆M的标准方程为x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝a2，所以2a2－a22＝22，解得a＝2.圆M，圆N的圆心距|MN|＝2小于两圆半径之和1＋2，大于两圆半径之差1，故两圆相交.(2)x2－4x＋y2＝0⇒(x－2)2＋y2＝22，圆心坐标为(2，0)，半径为2；x2＋y2＋4x＋3＝0⇒(x＋2)2＋y2＝12，圆心坐标为(－2，0)，半径为1，圆心距为4，两圆半径和为3.因为4>3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条.阿波罗尼斯圆公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.如图，点A ，B 为两定点，动点P 满足|P A |＝λ|PB |.则λ＝1时，动点P 的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点P 的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆.证明：设|AB |＝2m (m >0)，|P A |＝λ|PB |，以AB 的中点为原点，直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－m ，0)，B (m ，0).又设P (x ，y )，则由|P A |＝λ|PB |得（x ＋m ）2＋y 2＝λ（x －m ）2＋y 2， 两边平方并化简整理得(λ2－1)x 2－2m (λ2＋1)x ＋(λ2－1)y 2＝m 2(1－λ2).当λ＝1时，x ＝0，轨迹为线段AB 的垂直平分线；当λ>0且λ≠1时，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －λ2＋1λ2－1m 2＋y 2＝4λ2m 2（λ2－1）2，轨迹为以点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫λ2＋1λ2－1m ，0为圆心，⎪⎪⎪⎪⎪⎪2λm λ2－1为半径的圆. 例1 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；(2)若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.解 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝2x －4，得圆心为C (3，2). 由题意知切线的斜率存在，设切线方程为y ＝kx ＋3，圆心C 到切线的距离d ＝|3k ＋3－2|1＋k2＝r ＝1，得k ＝0或k ＝－34. 故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2)设点M (x ，y )，由|MA |＝2|MO |， 知x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋(y ＋1)2＝4，即点M 的轨迹为以(0，－1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D .又因为点M 也在圆C 上，故圆C 与圆D 的关系为相交或相切，故1≤|CD |≤3，其中|CD |＝a 2＋（2a －3）2， 解得0≤a ≤125. 即圆心C 的横坐标a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125. 例2 在平面直角坐标系xOy 中，设点A (1，0)，B (3，0)，C (0，a )，D (0，a ＋2)，若存在点P ，使得|P A |＝2|PB |，|PC |＝|PD |，则实数a 的取值范围是________. 答案 [－22－1，22－1]解析设P(x，y)，则（x－1）2＋y2＝2·（x－3）2＋y2，整理得(x－5)2＋y2＝(22)2，即动点P在以(5，0)为圆心，22为半径的圆上运动. 另一方面，由|PC|＝|PD|知动点P在线段CD的垂直平分线y＝a＋1上运动，因而问题就转化为直线y＝a＋1与圆(x－5)2＋y2＝(22)2有交点.所以|a＋1|≤2 2.故实数a的取值范围是[－22－1，22－1].1.(2022·兰州质检)“k＝33”是“直线l：y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1相切”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析若直线l与圆相切，则有|2k|k2＋1＝1，解得k＝±33，所以“k＝33”是“直线l：y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1相切”的充分不必要条件.2.(2021·福州调研)已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得的弦的长度为4，则实数a的值是()A.－2B.－4C.－6D.－8答案 B解析将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心为(－1，1)，半径r＝2－a，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝|－1＋1＋2|2＝2，故r2－d2＝4，即2－a－2＝4，所以a＝－4.3.圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点共有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案 C解析圆的方程可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线的距离d＝|－1－2＋1|＝2，半径是22，结合图形(图略)可知有3个符合条件的点.24.(2021·南昌模拟)已知圆O：(x－1)2＋(y－1)2＝1，则下列选项所对应的图形中，与圆O相切的是()A.x2＋y2＝1B.(x－4)2＋(y－5)2＝16C.x＋y＝1D.x－y＝2答案 B解析圆O：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心坐标为(1，1)，半径r＝1.对于选项A，x2＋y2＝1表示的是圆心坐标为(0，0)，半径r1＝1的圆，此圆与圆O的圆心距为12＋12＝2<r＋r1＝2，所以两圆不相切，不符合题意.对于选项B，(x－4)2＋(y－5)2＝16表示的是圆心坐标为(4，5)，半径r2＝4的圆，此圆与圆O的圆心距为（4－1）2＋（5－1）2＝5＝r＋r2＝5，所以两圆相切.对于选项C，圆心(1，1)到直线x＋y＝1的距离为22<1，故直线x＋y＝1与圆O 相交.对于选项D，圆心(1，1)到直线x－y＝2的距离为2>1，故直线x－y＝2与圆O 相离.5.过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB 所在直线的方程为()A.y＝－34 B.y＝－12C.y＝－32 D.y＝－14答案 B解析由题意知，点P，A，C，B在以PC为直径的圆上，易求得这个圆为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，此圆的方程与圆C的方程作差可得AB所在直线的方程为y＝－12.6.(2022·宜宾诊断)已知直线l：y＝3x＋m与圆C：x2＋(y－3)2＝6相交于A，B 两点，若∠ACB＝120°，则实数m的值为()A.3＋6或3－ 6B.3＋26或3－2 6C.9或－3D.8或－2答案 A解析由题意知圆心C(0，3)到直线l的距离d＝|0－3＋m|3＋1＝|m－3|2.因为∠ACB＝120°，所以|m－3|2×2＝6，解得m＝3±6.7.已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.答案－2 5解析根据题意画出图形，可知A(－2，－1)，C(0，m)，B(0，3)，则|AB|＝（－2－0）2＋（－1－3）2＝25，|AC|＝（－2－0）2＋（－1－m）2＝4＋（m＋1）2，|BC |＝|m －3|.∵直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A ，∴∠BAC ＝90°，∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2.即20＋4＋(m ＋1)2＝(m －3)2，解得m ＝－2.因此r ＝|AC |＝4＋（－2＋1）2＝ 5.8.(2021·长春模拟)已知点P (1，2)和圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，过点P 作圆C 的切线有两条，则实数k 的取值范围是________.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－233，233 解析 因为C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0为圆， 所以k 2＋4－4k 2>0，解得－233<k <233.又过点P 作圆C 的切线有两条，所以点P 在圆的外部，故1＋4＋k ＋4＋k 2>0，解得k ∈R ，综上可知－233<k <233.故k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－233，233. 9.在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为______.答案 10 2解析 圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心(1，3)，半径r ＝10，圆心(1，3)与E (0，1)距离（1－0）2＋（3－1）2＝5.由题意知AC ⊥BD ，且|AC |＝210，|BD |＝210－5＝25，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC |·|BD |＝12×210×25＝10 2.10.已知圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋10ay －24＝0，圆N ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，且圆M 上任意一点关于直线x ＋y ＋4＝0的对称点都在圆M 上.(1)求圆M 的方程；(2)证明圆M 和圆N 相交，并求两圆公共弦的长度l .(1)解 圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋10ay －24＝0的圆心为M (a ，－5a )，∵圆M 上任意一点关于直线x ＋y ＋4＝0的对称点都在圆M 上，∴直线x ＋y ＋4＝0经过M ，则a －5a ＋4＝0，解得a ＝1.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0.(2)证明 ∵圆M 的圆心M (1，－5)，半径r 1＝52，圆N 的圆心N (－1，－1)，半径r 2＝10，∴|MN |＝（1＋1）2＋（－5＋1）2＝2 5.∵52－10<25<52＋10，∴圆M 和圆N 相交.由圆M ，圆N 的方程左右两边分别相减，得x －2y ＋4＝0，∴两圆公共弦的直线方程为x －2y ＋4＝0.∵M 到直线x －2y ＋4＝0的距离d ＝|1＋10＋4|5＝35， ∴公共弦长度l ＝2h 2－d 2＝2 5.11.已知圆C 经过(2，4)，(1，3)两点，圆心C 在直线x －y ＋1＝0上，过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点.(1)求圆C 的方程；(2)①请问AM →·AN →是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由；②若OM →·ON →＝12(O 为坐标原点)，求直线l 的方程.解 (1)设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）2＋（4－b ）2＝r 2，（1－a ）2＋（3－b ）2＝r 2，a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，r ＝1，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1.(2)①AM →·AN →为定值，理由如下：过点A (0，1)作直线AT 与圆C 相切，切点为T ，易得|AT |2＝7，∴AM →·AN →＝|AM →|·|AN →|cos 0°＝|AT |2＝7.根据圆的弦切角定理及相似三角形，∴AM →·AN →为定值，且定值为7.②依题意可知，直线l 的方程为y ＝kx ＋1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋1代入(x －2)2＋(y －3)2＝1，并整理，得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，∴x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2， ∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，即4k （1＋k ）1＋k 2＝4，解得k ＝1.又当k ＝1时，Δ>0，∴k ＝1，∴直线l 的方程为y ＝x ＋1.12.(2022·宝鸡模拟)过点P (x ，y )作圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：(x －2)2＋(y －2)2＝1的切线，切点分别为A ，B ，若|P A |＝|PB |，则x 2＋y 2的最小值为( )A. 2B.2C.2 2D.8 答案 B解析 由(x 2＋y 2－1)－(x 2＋y 2－4x －4y ＋7)＝0得x ＋y －2＝0，则P 点在直线l ：x ＋y －2＝0上，原点到直线l 的距离d ＝2，所以(x 2＋y 2)min ＝d 2＝2.13.(2022·南阳联考)阿波罗尼斯(约公元前262～公元前190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k (k >0，且k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将此圆称为阿氏圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为4，动点P 满足|P A ||PB |＝3，则动点P 的轨迹所围成的图形的面积为________；P A →·PB →的最大值是________. 答案 12π 24＋16 3解析 以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系， 则A (－2，0)，B (2，0).设P (x ，y )，∵|P A ||PB |＝3，∴（x ＋2）2＋y 2（x －2）2＋y 2＝3，得x 2＋y 2－8x ＋4＝0，即(x －4)2＋y 2＝12，所以点P 的轨迹为圆，其面积为12π.P A →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝|OP |2－4，如图，当P 位于点D 时，|OP |2最大，|OP |2的最大值为(4＋23)2＝28＋163， 故P A →·PB →的最大值是24＋16 3.14.(2021·北京海淀区模拟)已知A (2，0)，直线4x ＋3y ＋1＝0被圆C ：(x ＋3)2＋(y －m )2＝13(m <3)所截得的弦长为43，且P 为圆C 上任意一点.(1)求|P A |的最大值与最小值；(2)圆C 与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径. 解 (1)∵直线4x ＋3y ＋1＝0被圆C ：(x ＋3)2＋(y －m )2＝13(m <3)所截得的弦长为43，∴圆心到直线的距离d ＝|－12＋3m ＋1|5＝（13）2－（23）2＝1.∵m <3，∴m ＝2，∴|AC |＝（－3－2）2＋（2－0）2＝29， ∴|P A |的最大值与最小值分别为29＋13，29－13.(2)由(1)可得圆C 的方程为(x ＋3)2＋(y －2)2＝13，令x ＝0，得y ＝0或4； 令y ＝0，得x ＝0或－6，∴圆C 与坐标轴相交于三点M (0，4)，O (0，0)，N (－6，0)，∴△MON为直角三角形，斜边|MN|＝213，∴△MON内切圆的半径为4＋6－2132＝5－13.。
高三数学直线与圆的位置关系试题答案及解析
高三数学直线与圆的位置关系试题答案及解析1.已知直线（其中为非零实数）与圆相交于两点，O为坐标原点，且为直角三角形，则的最小值为 .【答案】4【解析】∵直线（其中为非零实数）与圆相交于两点，O为坐标原点，且为直角三角形，∴，∴圆心O（0,0）到直线的距离，化为，∴，当且仅当取等号，∴的最小值为4.【考点】基本不等式.2.已知直线及直线截圆C所得的弦长均为10，则圆C的面积是．【答案】．【解析】两条平行直线直线x-y-1=0及直线x-y-5=0之间的距离，∴弦心距∴半径∴圆C的面积是π•r2=27π，故答案为：27π．【考点】直线和圆相交的性质.3.若直线ax＋by＝1过点M(cos α，sin α)，则( )A．a2＋b2≥1B．a2＋b2≤1C．＋≤1D．＋≥1【答案】A【解析】点M(cos α，sin α)在单位圆上，由直线ax＋by＝1过点M得≤1⇒≥1⇒a2＋b2≥1，故选A．4.若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点M(a，b)向圆所作的切线长的最小值是()A．2B．3C．4D．6【答案】C【解析】由题意，圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝2，直线2ax＋by＋6＝0过圆心C(－1,2)，故a－b－3＝0.当点M(a，b)到圆心的距离|MC|最小时，切线长最短，|MC|＝＝，当a＝2时，|MC|最小，此时b＝－1，切线长为＝4.5.设点M（,1），若在圆O:上存在点N，使得∠OMN=45°，则的取值范围是________.【答案】【解析】由题意知：直线MN与圆O有公共点即可，即圆心O到直线MN的距离小于等于1即可，如图，过OA⊥MN，垂足为A，在中，因为∠OMN=45，所以=，解得，因为点M（,1），所以，解得，故的取值范围是.【考点】本小题主要考查考查直线与圆的位置关系，考查数形结合能力和逻辑思维能力，考查同学们分析问题和解决问题的能力，有一定的区分度.6.如图，PA是圆O的切线，A为切点，PBC是圆O的割线．若＝，则＝________．【答案】【解析】根据切割线定理得PA2＝PB·PC＝PB(PB＋BC)，而＝，即PA＝BC，将其代入上式得PB2＋PB·BC－BC2＝0，即(2PB＋3BC)(2PB－BC)＝0，所以＝－ (舍去)或＝．7.过点A（-1,0），斜率为k的直线，被圆截得的弦长为2，则k的值为（）。
专题49 直线与圆、圆与圆的位置关系-2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)(解析版)
专题49直线与圆、圆与圆的位置关系最新考纲1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.基础知识融会贯通1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系． d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离． (2)代数法：――――→判别式Δ＝b 2－4ac⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交；＝0⇔相切；<0⇔相离.2．圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)， 圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0).1．圆的切线方程常用结论(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2. (3)过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. 2．圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．(2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．重点难点突破【题型一】直线与圆的位置关系【典型例题】若直线ax+by＝1与圆x2+y2＝1有两个公共点，则点P（a，b）与圆x2+y2＝1的位置关系是（）A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．以上都有可能【解答】解：根据题意，直线ax+by＝1与圆x2+y2＝1有两个公共点，即直线与圆相交，则有圆心到直线ax+by＝1的距离d r＝1，变形可得a2+b2＞1，则点P（a，b）在圆x2+y2＝1的外部；故选：B．【再练一题】过点P（0，1）的直线l与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1相交于A，B两点，若|AB|，则该直线的斜率为（）A．±1 B．C．D．±2【解答】解：由题意设直线l的方程为y＝kx+1，因为圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1的圆心为（1，1），半径为r＝1，又弦长|AB|，所以圆心到直线的距离为d，所以有，解得k＝±1．故选：A．思维升华判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．【题型二】圆与圆的位置关系【典型例题】圆与圆的位置关系为（）A．外离B．相切C．相交D．内含【解答】解：根据题意，圆的圆心为（1，2），半径r1＝1，圆的圆心为（2，﹣1），半径r2，则两圆的圆心距为|O1O2|，r1+r21，则有|O1O2|＞r1+r2，两圆外离；故选：A．【再练一题】若圆C：x2+y2＝5﹣m与圆E：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16有三条公切线，则m的值为（）A．2 B．C．4 D．6【解答】解：若两圆有三条公切线，等价为两圆相外切，圆E（3，4），半径R＝4，圆C（0，0），半径r，则|EC|＝45，即1，得5﹣m＝1，则m＝4，故选：C．思维升华判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是(1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1＋r2，|r1－r2|；(3)比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．【题型三】直线与圆的综合问题命题点1求弦长问题【典型例题】已知两条平行直线l1，l2之间的距离为1，l1与圆C：x2+y2＝4相切，l2与C相交于A，B两点，则|AB|＝（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，l1与圆C：x2+y2＝4相切，则圆心C到直线l1的距离为2，又由两条平行直线l1，l2之间的距离为1，则圆心C到直线l2的距离d＝2﹣1＝1，则|AB|＝22；故选：D．【再练一题】直线l：截圆x2+y2＝12所得弦长为（）A．B．C．6 D．3【解答】解：圆心为O（0，0），半径R，圆心到直线的距离d，则直线截圆所得的弦长l＝222，故选：A．命题点2直线与圆相交求参数范围【典型例题】若直线l：ax+y+2a＝0被圆C：x2+（y﹣4）2＝4所截得的弦长为，则a的值为（）A．﹣7或﹣1 B．7或1 C．7或﹣1 D．﹣7或1【解答】解：圆心为C（0，4），半径R＝2，∵直线l：ax+y+2a＝0被圆C：x2+（y﹣4）2＝4所截得的弦长为，∴圆心到直线的距离d满足d2＝R2﹣（）2＝4﹣2＝2，即d，平方得2a2+2＝16+16a+4a2，即a2+8a+7＝0，即（a+1）（a+7）＝0，得a＝﹣1或a＝﹣7，故选：A．【再练一题】已知圆x2+y2＝1的圆心为O，点P是直线l：mx﹣3y+3m﹣2＝0上的动点，若该圆上存在点Q使得∠QPO＝30°，则实数m的最大值为【解答】解：直线l的方程可化为（x+3）m﹣（y+2）＝0，令，得，即直线l过定点（﹣3，﹣2），因为该圆上存在点Q使得∠QPO＝30°，故，即OP≥2，所以OP2，解得，故填：4命题点3直线与圆相切的问题【典型例题】以点A（1，﹣2）为圆心，且与直线x+y＝0相切的圆的方程是（）A．（x﹣1）2+（y+2）2B．（x﹣1）2+（y+2）2C．（x+1）2+（y﹣2）2D．（x+1）2+（y﹣2）2【解答】解：点A（1，﹣2）到直线x+y＝0的距离即为圆的半径，∴r，所以所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+2）2．故选：A．【再练一题】过直线l：y＝x﹣2上任意点P作圆C：x2+y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，当切线最小时，△P AB的面积为 ． 【解答】解：如图，要使切线长最小，则|OP |最小，过O 作直线y ＝x ﹣2的垂线，则垂足为P ，可得|OP |，∴A ，B 为圆C ：x 2+y 2＝1与两坐标轴的交点， 则P A ＝PB ＝1，∠APB ＝90°， ∴△P AB 的面积为．故答案为：．思维升华 直线与圆综合问题的常见类型及解题策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形． (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．基础知识训练1．【广西南宁市“4N”高中联合体2018-2019学年高一下学期期末】圆心为点()4,7C ，并且截直线3410x y −+=所得的弦长为8的圆的方程（ ）A ．()224(7)5x y −+−= B ．()224(7)25x y −+−= C ．()227(4)5x y −+−= D ．()227(4)25x y −+−=【答案】B 【解析】圆心到直线的距离d 3==，在直线3410x y −+=上截的的弦长为8∴圆的半径5r ==∴圆的方程为()()224725x y −+−=故选：B2．【北京市昌平区2018-2019学年高一年级第二学期期末】已知直线y x b =+与圆222x y +=相切，那么实数b 的值是( ) A ．0 B ．2 C ．±1 D ．2±【答案】D 【解析】解：由圆x 2+y 2＝2，得到圆心（0，0），半径r∵圆222x y +=与直线y x b =+＝0相切，∴圆心到直线的距离d ＝r =，整理得：b ＝±2， 则实数b 的值为±2，． 故选：D ．3．【江苏省扬州市扬州中学2018—2019学年度高一第二学期期末检测】已知圆22:4C x y +=，直线:1(1)l y k x −=+，则直线l 与圆C 的位置关系（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上皆有可能【答案】C 【解析】直线l 方程可整理为：10kx y k −++= 由圆C 方程可知，圆心：()0,0；半径：2r =∴圆心到直线l的距离：d ===若0k ≤，则1d r ≤<，此时直线与圆相交若0k >，则d ==又12k k+≥（当且仅当1k =时取等号）2121k k∴+≤+则d r ≤<，此时直线与圆相交综上所述：直线与圆相交 本题正确选项：C4．【江苏省涟水中学2018-2019学年高一5月月考】直线y x b =+与曲线x =则b 的取值范围是（ ） A．b =B ．11b −<…或b =C ．11b −剟D ．以上都不对【答案】B 【解析】由x =2201x x y ≥⎧⎨+=⎩，所以曲线x =为y 轴右侧的半圆， 因为直线y x b =+与半圆有且仅有一个公共点，如图所示：所以11b −<≤或01b <⎧=，所以11b −<≤或b =，故选B.5．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】已知圆22220x y x y a +−++=截直线40x y +−=所得弦的长度小于6，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(22+B ．()22− C ．()15,−+∞ D ．()15,2−【答案】D 【解析】由题意知，圆的方程为：()()22112x y a −++=−，则圆心为()1,1−则：20a −>，解得：2a <圆心到直线40x y +−=的距离为：d ==6∴<，解得：15a >−综上所述：()15,2a ∈− 本题正确选项：D6．【晋冀鲁豫中原名校2019届高三第三次联考】已知圆C 的方程为22(1)(1)2x y −+−=，点P 在直线3y x =+上，线段AB 为圆C 的直径，则PA PB ⋅的最小值为（）A ．2B ．52C ．3D ．72【答案】B 【解析】()()()()PA PB PC CA PC CB PC CA PC CA ⋅=+⋅+=+⋅−2222||||||22PC CA PC =−=−≥−52=.故选B. 7．【福建省三明市第一中学2018-2019学年高一下学期学段考试（期中)】直线3y kx =+与圆O ：221x y +=相交于A ，B 两点，则OAB ∆面积的最大值为（ ）A ．1B ．12C ．4D ．4【答案】B 【解析】设圆心到直线的距离为d 01)d ≤<（，则所截得的弦长l =所以12ABC S d ∆=⋅=，由均值不等式可得：221122ABCd d S ∆−+=≤=，当且仅当2d =时等号成立. 故选B. 8．【福建省三明市第一中学2018-2019学年高一下学期学段考试（期中】已知圆C ：2240x y ax y ++−=的圆心在直线10x y −+=，则实数a 的值为（ ） A ．-2 B ．2 C ．-4 D ．4【答案】A 【解析】因为圆C ：2240x y ax y ++−= 所以圆心(,2)2a−， 代入直线10x y −+=102a−−=，解得2a =− 故选A.9．【重庆市第八中学2018-2019学年高二下学期第二次月考】过原点的直线l 被圆22(2)4x y +−=所截得的弦长为l 的倾斜角为（ ）A ．6π B ．6π或56πC ．3πD ．3π或23π【答案】D 【解析】当直线l 的斜率不存在时，显然直线l 为y 轴时，此时截得的弦长为4，不满足题意； 当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，又直线l 过原点， ∴直线l 的方程为y ＝kx ，即kx ﹣y ＝0，∴圆心到直线的距离d =，又r 2=，d 2=1， ∴241k =+1， 整理得： k 2＝3，解得：k =，设此时直线l 的倾斜角为α，则有tanα＝k =， ∴α＝60°或120°，综上，l 的倾斜角大小为60°或120°． 故选：D ．10．【河北省邢台市2018-2019学年高一下学期第三次月考】若直线:40l x y −+=被圆222(1)(3):C x y r −+−=截得的弦长为4，则圆C 的半径为（ ）A B ．2CD ．6【答案】C 【解析】由题意可得，圆C 的圆心到直线l 的距离为d ==C =.故选C11．【江苏省无锡市锡山区天一中学2019年高一期末】已知点(,1),P t t t R −∈，点E 是圆2214x y +=上的动点，点F 是圆229(3)(1)4x y −++=上的动点，则PF PE −的最大值为（ ）A ．2B ．52C ．3D ．4【答案】D 【解析】 如图：依题意得点(,1),P t t t R −∈在直线1y x =−上， 点E 关于直线1y x =−对称的点E ',点E '在圆2214x y +=关于直线1y x =−对称的圆2211:(1)(1)4O x y ++−=上， 则PE PE '=，设圆229(3)(1)4x y −++=的圆心为2O ，因为11PE PO E O ''≥−，22PF PO FO ≤+，所以22112112()()224PF PE PF PE PO FO PO E O PO PO O O ''−=−≤+−−=−+≤+=，当12,,,,P E F O O '五点共线，E '在线段1O 上，2O 在线段PF 上时“=”成立.因此，PF PE −的最大值为4.12．【北京市朝阳区2019年高三年级第一次综合练习】已知圆()22:22C x y −+=,直线:2l y kx =−,若直线l 上存在点P ，过点P 引圆的两条切线12,l l ,使得12l l ⊥,则实数k 的取值范围是（ ）A ．()0,22⎡⋃+∞⎣B ．[2,2+C ．(),0−∞D ．[0∞+，） 【答案】D 【解析】圆C （2,0），半径r ，设P （x ，y ），因为两切线12l l ⊥，如下图，P A ⊥PB ，由切线性质定理，知：P A ⊥AC ，PB ⊥BC ，P A ＝PB ，所以，四边形P ACB 为正方形，所以，｜PC ｜＝2， 则：22(2)4x y −+=，即点P 的轨迹是以（2,0）为圆心，2为半径的圆.直线:2l y kx =−过定点（0，－2），直线方程即20kx y −−=，只要直线与P 点的轨迹（圆）有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径， 即：2d =≤，解得：0k ≥，即实数k 的取值范围是[0∞+，）. 本题选择D 选项.13．【天津市滨海新区2019届高三毕业班质量监测】已知直线y ax =与圆222220:x y ax y C +−−+=相交于A B ，两点（C 为圆心），且ABC ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值为________.【答案】【解析】由于三角形ABC 为等腰直角三角形，所以圆心到直线的距离等于半径的2.直线的一般方程为0ax y −=，圆的方程为()()22211x a y a −+−=−，圆心为(),1a)1a >.故2=，解得a =. 14．【天津市红桥区2019届高三一模】圆C ：()2211x y −+=的圆心到直线l ：()00x y a a −+=>的距a 的值为______. 【答案】1 【解析】解：圆（x ﹣1）2+y 2＝1的圆心坐标为：（1，0）， 则：圆心（1，0）到直线x ﹣y +a ＝0的距离d ==解得：a ＝1或﹣3．又0a > ∴a ＝1 故答案为：1．15．【天津市南开区2018～2019学年度高三第二学期基础训练】直线与圆的四个交点把圆分成的四条弧长相等，则____________。
高考数学复习考知识解析与专题练习24---直线与圆、圆与圆的位置关系
∴0<m<1 和－1<m<0 都是直线与圆相交的充分不必要条件． 7 ． 过 点 A(3,5) 作 圆 O ： x2 ＋ y2 － 2x － 4y ＋ 1 ＝ 0 的 切 线 ， 则 切 线 的 方 程 为
________________． 答案 5x－12y＋45＝0 或 x－3＝0 解析 化圆 x2＋y2－2x－4y＋1＝0 为标准方程得(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(1,2)，半 径为 2， ∵|OA|＝ (3－1)2＋(5－2)2＝ 13>2，∴点 A(3,5)在圆外．显然，当切线斜率不存在时，
故有 61－m－ 11＝5，解得 m＝25－10 11.
6－3 3
4
因为 kMN＝5－1＝4，所以两圆公切线的斜率是－3.
4
43×1＋3－b
设切线方程为 y＝－3x＋b，则有
432＋1 ＝ 11.
13 5 解得 b＝ 3 ±3 11.
13 5 容易验证，当 b＝ 3 ＋3
11时，直线与圆 x2＋y2－10x－12y＋m＝0 相交，舍去．
A．0<r≤1
B．0<r<1
C．r≥1
D．r>1
答案 D 1
解析 圆心到直线的距离 d＝ cos2α＋sin2α＝1，
故 r>1. (2)(多选)已知圆 M 的一般方程为 x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法中正确的是( )
ห้องสมุดไป่ตู้
A．圆 M 的圆心为(4，－3)
B．圆 M 被 x 轴截得的弦长为 8
C．圆 M 的半径为 25
题组二 教材改编 2．若直线 x－y＋1＝0 与圆(x－a)2＋y2＝2 有公共点，则实数 a 的取值范围是( )
高考数学—— 直线与圆的位置关系-考点复习
判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是： （1）确定两圆的圆心坐标和半径长；
（2）利用平面内两点间的距离公式求出圆心距 d，求 r1 + r2，| r1－r2 | ；
3
（3）比较 d , r1 + r2 ,| r1－r2 | 的大小，写出结论.
典例 2 圆 O1: x2 + y2 − 2x = 0 和圆 O2 : x2 + y2 − 4 y = 0 的位置关系是
的位置关系是 A．相交 C．相离 【答案】A
B．相切 D．不确定
【名师点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及点到直线的距离，属于中档题.判定直线与圆的位置关系可 以联立方程，利用方程组的解的个数判断位置关系，也可以转化为判断圆心到直线的距离与半径的大小关
系来确定直线与圆位置关系.求解本题时，直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于半径，求出斜率 k ， 再根据圆 D 的圆心到直线的距离，判断其与直线的关系.
5
只有一条；若点在圆外，切线有两条；若点在圆内，则切线不存在．
典例 4 已知点 P( 2 +1, 2 − 2) ，点 M（3，1），圆 C：（x－1）2＋（y－2）2＝4．
（1）求过点 P 的圆 C 的切线方程； （2）求过点 M 的圆 C 的切线方程，并求出切线长．
【答案】（1） x − y +1− 2 2 =0 ；（2）过点 M 的圆 C 的切线方程为 x－3=0 或 3x－4y－5＝0，切线长为
1．已知半圆 (x −1)2 + ( y − 2)2 = 4( y ≥ 2) 与直线 y= k ( x −1) + 5 有两个不同交点，则实数 k 的取值范围是
A． −
5, 2
5 2
高考数学复习考点知识讲解课件44 直线与圆 圆与圆的位置关系
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5．(教材P98T3改编)已知直线l：y＝k(x－2)被圆C：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长的范 围是(0， 10)，则k的取值范围是____－__13_，__12__∪__12_，__3______．
[解析] 圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，直线l过定点(2,0)，且点(2,0)在圆C
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2．直线被圆截得的弦长的求法 (1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝ 2 r2－d2. (2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程 代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，则|MN|＝ 1＋k2· xM＋xN2－4xM·xN. 3．两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．
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(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，
∴点M在圆C外部．
当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.
又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，
即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线；
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，
核心考点突破
02
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考点一 直线与圆的位置关系的判断——自主练透
对点训练
1．(2022·广东茂名一模)过三点A(0,0)，B(0,2)，C(2,0)的圆M与直线l：kx－y＋2－2k
高考数学知识点复习：直线与圆、圆与圆的位置关系 课件
d___<____r
Δ____>___0
相切
d___＝____r
Δ___＝____0
相离
d___>____r
Δ____<___0
2. 圆与圆的位置关系
设圆 O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆 O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).
位置关系
方法
代数法：两圆方程联立组成
5. 圆 x2＋y2－4＝0 与圆 x2＋y2－4x＋4y－12＝0 的公共弦长为__2___2___.
【解析】 由xx22＋＋yy22－－44x＝＋04，y－12＝0， 得两圆公共弦所在直线为 x－y＋2＝0.又圆
x2＋y2＝4
的圆心到直线
x－y＋2＝0
的距离为
2＝ 2
2.由勾股定理得弦长的一半为
研题型 ·融会贯通
分类解析 目标 1 直线与圆的位置关系
已知圆 C 的方程为 x2＋y2－8mx－(6m＋2)y＋6m＋1＝0(m∈R，m≠0)， (1) 证明圆 C 恒过一定点 M，并求此定点 M 的坐标； (2) 判断直线 4x＋3y－3＝0 与圆 C 的位置关系，并证明你的结论．
【解答】 (1) 圆 C 的方程可化为(x2＋y2－2y＋1)－m(8x＋6y－6)＝0， 由x82x＋＋y62y－－26y＝＋01，＝0， 解得yx＝＝10，， 所以圆 C 过定点 M(0,1)． (2) 圆 C 的方程可化为(x－4m)2＋[y－(3m＋1)]2＝25m2， 圆心到直线 l 的距离为 d＝|4·4m＋34·23＋m3＋2 1－3|＝255|m|＝5|m|＝r，所以直线与圆 C 相切．
4－2
＝ 2，所以所求弦长为 2 2.