312等式的性质第二课时
第 1 页 3.1.2 等式的性质（二）
一. 1.学习目标：
（1）能用文字和数学式子表达等式的两个性质.
（2）能用等式的性质解简单的一元一次方程.
2.学习重、难点：
重点：等式的性质.
难点：等式的性质解方程.
例2利用等式的性质解下列方程：
（1）x+7=26； （2）-5x=20； （3）-13x-5=4．
解：（1）根据等式性质____，两边同______，得：
（2）分析：-5x=20中-5x表示-5乘x，其中-5是这个式子-5x的系数，式子x的系数为1，-x的系数为-1，如何把方程-5x=20转化为x=a形式呢？即把-5x的系数变为1，应把方程两边同除以______．．
解：根据等式性质____，两边都除以____，得
于是x=_____
（3）分析：方程-13x-5=4的左边的-5要去掉，同时还要把
-13x的系数化为1，如何去掉-5呢？根据两个互为相反数的和为______，
第 2 页 所以应把方程两边都加上____ 。
解：根据等式性质______，两边都加上_____，得 -13x-5+5=4+5
化简，得-13x=9
再根据等式性质____，两边同除以-13（即乘以-3），得
-13x·（-3）=9×（-3）
于是 x=_____
请同学们自己代入原方程检验；
【课堂练习】：
1．课本第84页练习；
【要点归纳】 ：
1．根据等式的两条性质，对等式进行变形必须等式两边同时进行，即：??同时加或减，同时乘或除，不能漏掉一边；
2．等式变形时，两边加、减、乘、除的数或式必须相同．
3．利用性质2进行等式变形时，须注意除以的同一个数不能是0；
第 3 页 【拓展训练】
1.回答下列问题：
（1）从a+b=b+c，能否得到a=c，为什么？
（2）从a-b=c-b，能否得到a=c，为什么？
（3）从ab=bc能否得到a=c，为什么？
（4 ）从ab=cb，能否得到a=c，为什么？
（5）从xy=1，能否得到 x=1y，为什么？
2. 利用等式的性质解下列方程并检验 （1）-3x=15； （2 ）23x-1=5；
一、基础巩固
1.（20分）下列说法错误的是（ ）
A.若x=5，则5=x. B.若M=N，N=H，则H=M.
C.若ab=-1，则a=-1b. D.若2+a=b-3, 则4+2a=2b-3.
2.（20分）x=3,x=0,x=-2,各是下列哪个方程的解?
(1)5x+7=7-2x (2)6x-8=8x-4
(3)3x-2=4+x
第 4 页 3.（20分）利用等式的性质解下列方程
(1) x-5=6 (2) 0.3x=45
(3)5x+4=0 （4）2 -14x=3
二、综合应用
4.（10分）小刚带了18元钱到文具店买学习用品.他买了5支单价为1.2元的圆珠笔，剩下的钱刚好可以买8本笔记本.问笔记本的单价是多少?
（用列方程的方法求解）
三、拓展延伸
5.（10分）服装厂用355米布做成人服装和儿童服装,成人服装每套平均用布3.5米,儿童服装每套平均用布1.5米.现已做了80套成人服装,用余下的布还可以做几套儿童服装?
等式的性质与方程的解集- 高一数学 (人教B版2019必修第一册)
2.1.1 等式的性质与方程的解集
一、单选题
1．已知370xyy，则下列比例式成立的是（ ）
A．37xy B．73xy C．37xy D．73xy
【答案】B
【分析】由等式的性质可判断各选项的正误.
【详解】因为370xyy，则0x，则73xy，73xy，故B选项正确，ACD选项错误.
故选：B.
2．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”，意思是：用绳子去量一根长木，绳子还余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问长木长多少尺 （ ）
A．11尺 B．10尺 C．6.5尺 D．6尺
【答案】C
【分析】利用条件可得方程组，即得.
【详解】设长木长为x尺，绳子长为y尺，则
4.5112yxxy，解得6.5,11xy
故选：C.
3．已知关于x的方程123axx的解集为，则实数a的值（ ）
A．0 B．1
C．23 D．32
【答案】C
【分析】先对方程整理得1123ax，再由解集为空集可得1023a，从而可求出实数a的值
【详解】由123axx，得1123ax，
因为关于x的方程123axx的解集为，
所以1023a，得23a， 故选：C
4．一元二次方程2560xx的解集为（ ）
A．6,1 B．6,1 C．2,3 D．2,3
【答案】B
【分析】直接求解一元二次方程的解即可.
【详解】2560xx可化为(6)(1)0xx，解得6x或1x
所以一元二次方程2560xx的解集为6,1
故选：B
5．某市长期追踪市民的经济状况，依照订立的标准将市民分为高收入和低收入两类.统计数据表明该市高收入市民人口一直是低收入市民人口的两倍，且高收入市民中每年有40%会转变为低收入市民.那么该市每年低收入市民中转变为高收入市民的百分比是（ ）
不等式以及其性质
不等式以及其性质 1 / 14
一、不等式及其性质
【学习目标】
1．认识不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数目关系；
2. 理解不等式的三条基天性质，并会简单应用；
3．理解并掌握一元一次不等式的观点及性质；
【重点梳理】 重点一、不等式的观点
一般地，用 “＜ ”、 “＞”、 “≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用 “≠”表示不等关
系的式子也是不等式．
重点解说：
(1)不等号 “＜ ”或 “＞”表示不等关系，它们拥有方向性，不等号的张口所对的数较大．
(2)五种不等号的读法及其意义：
符号 读法 意义
“≠” 读作 “不等于 ” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不可以确立哪
个大，哪个小
“＜ ” 读作 “小于 ” 表示左侧的量比右侧的量小
“＞ ” 读作 “大于 ” 表示左侧的量比右侧的量大
“≤” 读作 “小于或等 即“不大于 ”，表示左侧的量不大于右侧的量
于 ”
“≥” 读作 “大于或等 即“不小于 ”，表示左侧的量不小于右侧的量
于 ”
(3) 有些不等式中不含未知数，如 3＜ 4， -1＞ -2；有些不等式中含有未知数，如 2x＞ 5 中， x
表示未知数，对于含有未知数的不等式， 当未知数取某些值时，不等式的左、右两边切合不等号所表示的大小关系，我们说不等式建立，不然，不等式不建立．
种类一、不等式的观点
例1. 判断以下各式哪些是等式，哪些是不等式．（1） 4＜ 5；
（ 2） x2+1＞0；
（ 3） x＜ 2x-5；
（ 4） x=2x+3；
（ 5） 3a2+a；
（ 6） a2+2a ≥ 4a-2．
变式练习：
1.（2017 春 ?城关区校级期末） 贵阳市今年 5 月份的最高气温为知某一天的气温为 t℃ ，则下边表示气温之间的不等关系正确的选项是（
27℃ ，最低气温为
八年级数学下册（新版北师大版）精品导学案【第二章_一元一次不等式和一元一次不等式组】
⼋年级数学下册（新版北师⼤版）精品导学案【第⼆章_
⼀元⼀次不等式和⼀元⼀次不等式组】
第⼆章⼀元⼀次不等式和⼀元⼀次不等式组
第⼀节不等关系
【学习⽬标】1．理解不等式的概念，感受⽣活中存在的不等关系。
2．能根据条件列出不等式，增强学⽣的符号感，发展其数学化的能⼒。
3．通过观察、分析、猜想、独⽴思考的过程感受不等式这个重要的过程，发展学⽣归纳、猜想能⼒。
【学习⽅法】⾃主探究与⼩组合作交流相结合．
【学习重难点】重点：对不等式概念的理解。
难点：怎样建⽴量与量之间的不等关系。
【学习过程】
模块⼀预习反馈
⼀．学习准备1．⼀般地，⽤符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）连成的式⼦叫做。
注意：⽤符号“≠”连接的式⼦也叫不等式。2．列不等式：列不等式类似于列⽅程，列⽅程依据的是等量关系，列不等式依据的是不等关系，列不等式的关键是找不等关系。⼤于⽤符号表⽰，⼩于⽤符号表⽰；不⼤于⽤符号表⽰，不⼩于⽤符号表⽰。3.阅读教材：第⼀节不等关系
⼆．教材精读4.例题：如图，⽤两根长度均为l cm的绳⼦，分别围成⼀个正⽅形和圆，
（1）如果要使正⽅形的⾯积不⼤于25cm2，那么绳长l应满⾜怎样的关系式？
（2）如果要使圆的⾯积不⼩于100 cm2，那么绳长l应满⾜怎样的关系式？
（3）当l=8时，正⽅形和圆的⾯积哪个⼤？l=12呢？
（4）你能得到什么猜想？改变l的取值再试⼀试？
分析：正⽅形的⾯积等于边长的平⽅.圆的⾯积是πR2，其中R是圆的半径.两数⽐较有⼤于、等于、⼩于三种情况，“不⼤于”就是等于或⼩于. “不⼩于”就是⼤于或等于。
做⼀做：通过测量⼀棵树的树围（树⼲的周长），可以计算出它的树龄，通常规定以树⼲离地⾯1.5m的地⽅作为测量部位。某树栽种时的树围为5㎝，以后树围每年增加约3㎝，这棵树⾄少⽣长多少年其树围才能超过2.4m？（只列关系式）
归纳⼩结：⼀般地，⽤符号“〈”（或“≤”），“〉”（或“≥”）连接的式⼦叫做不等式。
实践练习：判断下列各式哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式。
不等式的概念、性质及一元一次不等式的解法
第九章 不等式与不等式组
专题18不等式的概念、性质及一元一次不等式的解法
知识要点
1.不等式及其解集：
2.不等式的性质
（1）不等式的性质1：如果a>b，那么；
（2）不等式的性质2：如果a>b，c>0，那么ac>bc或；
（3）不等式的性质3：如果a>b，c<0，那么ac
由不等式和等式的性质可知，
可以用求差法比较大小，当两数同号时，还可以用求商法比较大小
3.一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式.
4.解一元一次不等式即根据不等式的性质，将不等式化为x>a或x
典例精析
例1 （1）不等式x<3的正整数解有 ；
（2）关于x的不等式－x≥a的解集为x≤－1，则a的值是 ；
（3）已知x>a的解集中最小整数为－2，则a的最小值是 .
【分析】在数轴上表示出不等式的解集，结合数轴解决与整数解相关的问题.
【解】（1）依题意，如图18-1所示，可知正整数解有1，2.
（2）依题意，x≤-a∴，.
（3）依题意，如图18-2所示，可知a的最小值是－3.
acbcabccabcc0,0,0abababababab1a1a【点评】与不等式解集有关的问题特别是有整数解的问题要注意结合数轴，数形结合，同时要注意等号能否取到，可将取等的值代入原题中检验是否要取.
拓展与变式1 （1）不等式的解集中的非负整数解为
；
（2）已知x≥a的解集中最小整数为－2，则a的最大值为 .
拓展与变式2 关于x的不等式3m-2x<5的解集如图18-3所示，求m的值.
拓展与变式3 关于x的不等式解集是，则m的取值范围是 .
【反思】和不等式解集有关的问题注意结合数轴，利用数轴既直观又准确，同时注意等号能否取到.
初三数学总复习数学《方程(组)及不等式(组)教案
。
-可编辑修改- 12-13下学期初三数学总复习
《方程（组）与不等式（组）》
主备人：汤恒星
本章教学分析
一、本章教学目标
1、方程（组）、一次方程（组）、一次不等式（组）、分式方程的概念及解法
2、用方程（组）解决实际问题
二、本章教学重难点
重点：目标1,2
难点：目标2
三、学情分析
初三复习阶段，学生对本部分内容有接触，但是遗忘比较多，教师在复习的过程中应加强基本技能的训练，适当加以示范。
四、课时安排（共计10 课时）
第1节：2课时 第2节：2课时
第3节：2课时 第4节：2课时
测评及讲解：2课时
五、章节测试命题人安排：汤恒星
。
-可编辑修改-
第一节 一次方程（组）及其应用（2课时）
教学目标：
1．方程、一元一次方程、方程的解、一元一次方程的解法；
2．二元一次方程、二元一次方程组、二元一次方程的解、二元一次方程的解法、利用方程解决生活中的实际问题
3. 用一元一次方程和二元一次方程组解决实际问题；
4 数学思想方法：消元
教学重难点：
教学重点：一元一次方程解法、二元一次方程组的解法、用一元一次方程和二元一次方程组解决实际问题
难点：用一元一次方程和二元一次方程组解决实际问题
教学过程：
一、知识点
（1） 方程：含有未知数的等式
（2） 等式性质：
1、等式两边分别加上或减去一个数字或式子，结果仍然是等式；
2、等式两边分别乘以或除以一个不为0的数，结果仍然是等式；
（3） 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值
（4） 一元一次方程的解法：去分母、去括号、移项、合并、系数化为1
（5） 二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程为二元一次方程
（6） 二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组
（7） 二元一次方程组的解：一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程组的解，即二元一次方程组中方程的公共解。
不等式的性质（1）同向不等式可以相加
不等式
1、不等式的性质：（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,abcd
，
则acbd
（若,abcd
，则acbd
），但异向不等式不可以相加；同向不等
式不可以相减；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式
可以相除，但不能相乘：若0,0abcd
，则acbd
（若0,0abcd，则
ab
cd
）；（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0ab
，则nn
ab或
nnab
；（4）若0ab
，ab，则11
ab
；若0ab
，ab，则11
ab
。如（1）对
于实数cba,,
中，给出下列命题：①22
,bcacba则若
；②babcac则若,22
；
③22
,0bababa则若；④
baba11
,0则若；⑤
ba
ab
ba则若,0
；
⑥baba则若,0；⑦
bcb
aca
bac
则若,0；⑧11
,ab
ab若
，则
0,0ab
。其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）；（2）已知11xy
，
13xy
，则3xy
的取值范围是______（答：137xy
）；（3）已知cba
，
且,0cba则
ac
的取值范围是______（答：1
2,
2
）
2. 不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差
的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）
分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ；(8)图象法。
其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如（1）设0,10taa且
，比较
21
loglog
21t
t
aa和
的大小（答：当1a时，11
loglog
22aat
t
（1t
时取等号）；当
01a时，11
loglog
22aat
t
（1t
时取等号））；（2）设2a，1
等式的基本性质 精品 【公开课教案】
5.1 认识一元一次方程
第2课时 等式的基本性质
[学习目标] 1、知道等式的性质；
2、会用等式的性质解简单的一元一次方程。
[重点] 理解并掌握等式的性质。
[难点] 会用等式的性质解简单的一元一次方程。
[学习过程]
[练习一]
已知ba，请用等于号“=”或不等号“”填空：
①3a 3b； ②3a 3b； ③)6(a )6(b；
④xa xb； ⑤ya yb； ⑥3a 5b；
⑦3a 7b； ⑧xa yb。 ⑨)32(xa )32(xb；
⑩)32(xa )32(xb。
[等式的性质1]等式两边加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等。
[练习二]
已知ba，请用等于号“=”或不等号“”填空：
①a3 b3； ②4a 4b； ③a5 b5； ④2a 2b。
[等式的性质2]等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
[练习三]
利用等式的性质解下列方程：
（1）267x； （2）205x；（3）4531x；（4）10)1(2x。
解：（1）两边减7，得
72677x
∴x
（2）两边 ，得 如果ba，那么ca
如果ba，那么ac ；
如果ba，0c那么ca 。
∴x 。
（3）两边 ，得
，
两边 ，得
，
∴x 。
（4）两边 ，得
，
两边 ，得
312等式的性质(2)
3.1.2 等式的性质（2）
教学目标 1、进一步理解用等式的性质解简简单的（两次运用等式的性质）一元一次方程
2、初步具有解方程中的化归意识；
3、培养言必有据的思维能力和良好的思维品质．
教学重点 用等式的性质解方程．
知识难点 需要两次运用等式的性质，并且有一定的思维顺序．
教学过程（师生活动） 设计理念
复习引入 解下列方程：（1）x＋7=1.2； （2）2332x
在学生解答后的讲评中围绕两个问题：
1、每一步的依据分别是什么？
2、求方程的解就是把方程化成什么形式？
这节课继续学习用等式的性质解一元一次方程． 由于这一课时也是学习用等式的性质解方程，所以通过复习来引入比较自然．
探究新知 对于简单的方程，我们通过观察就能选择用等式的哪一条性质来解，下列方程你也能马上做出选择吗？
例1： 利用等式的性质解方程：
（）0.5x－x=3.4 （2）1543x
先让学生对第（1）题进行尝试，然后教师进行引导：
① 要把方程0.5x－x=3.4转化为x=a的形式，必须去掉方程左边的0.5，怎么去？
② 要把方程－x=2.9转化为x=a的形式，必须去掉x前面的“－”号，怎么去？
然后给出解答：
解：两边减0.5，得0.5－x－0.5=3.4－0.5
化简，得
－x=－2．9，、
两边同乘－1，得l
x=－2.9
小结：（1）这个方程的解答中两次运用了等式的性质（2）解方程的目标是把方程最终化为x=a的形式，在运用性质进行变形时，始终要朝着这个目标去转化．
你能用这种方法解第（2）题吗？
在学生解答后再点评．
解后反思：
①：第（2）题能否先在方程的两边同乘“一3”？
②：比较这两种方法，你认为哪一种方法更好？为什么？
允许学生在讨论后再回答．
例2：（补充）服装厂用355米布做成人服装和儿童服装，成人服装每套平均用布3．5米，儿童服装每套平均用布1．5米．现已做了80套成人服装，用余下的布还可以做几套儿童服装？
数学人教B必修1第三章312 指数函数
数学人教B必修1第三章312 指数函数
3、1、2 指数函数
1。指数函数的概念
（1）定义:一般地,函数y＝ax(a＞0，a≠1,x∈R）叫做指数函数，其中x是自变量,函数的定义域是R、
（2)理解指数函数的定义,需要注意的三个问题：
①因为a＞0,且a≠1,x是任意一个实数时，ax是一个确定的实数,所以函数的定义域为实数集R、
②规定底数a大于零且不等于1的理由：
如果a＝0,错误!
如果a＜0，比如y＝（－4）x，这时对于x＝错误!,x＝错误!,…，在实数范围内函数值不存在；
如果a＝1，y＝1x＝1，是一个常量,对它没有研究的必要。
针对上述各种情况，所以规定a＞0,且a≠1、
③y＝ax是指数函数的定义式,ax的系数必须是1,自变量x必须在指数的位置上，并且指数一定为x、如y＝－ax,y＝2×3x,21=2xy－,y＝3x＋1等都不是指数函数.
【例1－1】下列函数中,指数函数的个数是（ )
①y＝3x＋1；②y＝3x；③y＝x3、
A。0 B.1 C.2 D.3
答案：B
【例1－2】函数y＝(a－2)2ax是指数函数,则( )
A.a＝1或a＝3 B.a＝1
C。a＝3 D。a＞0,且a≠1
解析：由指数函数定义知2(2)=10,1aaa，且，所以解得a＝3、
答案:C
2.指数函数的图象与性质
（1)根据解析式作函数图象，一般用描点法，即列出x,y的对应值表，描点、连线.利用这种方法,我们在同一坐标系中作出函数y＝2x,y＝10x,y＝错误!x和y＝错误!x的图象.
(2）指数函数y＝ax（a＞0,a≠1）的图象和性质.
a＞1 0＜a＜1 数学人教B必修1第三章312 指数函数
图象
性
质 ①定义域为R,值域为（0，＋∞)
②图象都过点（0，1)
③当x＞0时，y＞1;当x＜0时,0＜y＜1 ③当x＞0时，0＜y＜1;当x＜0时,y＞1
312 椭圆的简单几何性质(基础知识+基本题型)(含解析)2022高二数学(选择性必修第一册)
3.1.2椭圆的简单几何性质
（基础知识+基本题型）
知识点一椭圆的范围以椭圆22
221(0)xy
ab
ab为例．由标准方程可知，椭圆上点的坐标(,)xy都适合不等式22
221,1xy
ab，即2222,xayb，所以||,||xayb．
这说明椭圆位于直线xa和yb所围成的矩形框内（如图2．2-8）．
拓展
（1）确定了曲线的范围后，用描点法作图时，就可以不取范围之外的点了，在解析几
何中，讨论曲线的范围就是确定方程中变量的取值范围．（2）如果将椭圆的标准方程22
221(0)xy
ab
ab变形为22b
yax
a，那么这个椭圆的方程可以分成22b
yax
a，22b
yax
a两个函数式，研究椭圆的范围，就是讨论这两个函数的定义域和值域，这也是讨论椭圆范围的一种方法．
知识点二椭圆的对称性以椭圆22
221(0)xy
ab
ab为例．
1．椭圆的对称轴：坐标轴．
2．椭圆的对称中心：原点(0,0)O，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．
通过观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．
提示：（1）在方程22
221(0)xy
ab
ab中，将x换成x，方程显然不变，这就是说椭圆上的
点(,)xy关于y轴的对称点(,)xy也在椭圆上，故椭圆关于y轴对称；将方程中的y换成y
，方程也不变，故椭圆关于x轴对称；同理，将,xy分别换成,xy时，方程也不变，故椭圆
关于原点对称．
（2）椭圆的中心是焦点连线的中点，对称轴是焦点的连线及它的垂直平分线．
（3）椭圆关于x轴、y轴成轴对称，关于原点成中心对称，原点为椭圆的中心．
知识点三椭圆的顶点与长轴、短轴以椭圆22
221(0)xy
ab
ab为例．
1．椭圆的顶点
令0x，得yb，令0y，得xa．
这说明12(,0),(,0)AaAa是椭圆与x轴的两个交点，
1(0,)Bb，
2(0,)Bb是椭圆与y的两
个交点，因为x轴、y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆和它的对称轴有四个交点．这四个交点