(完整版)直线与圆的方程测试题(含答案)
直线与圆的方程测试题（本试卷满分150分，考试时间120分钟）一、单项选择题(本大题共18小题，每小题4分，共72分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出，错选、多选或未选均无分.1.点M 1(2,-5)与M 2(5,y)之间的距离是5，则y=（ ）A.-9B.-1C.-9或-1D. 122. 数轴上点A 的坐标是2，点M 的坐标是-3，则|AM|=（ ）A.5B. -5C. 1D. -13. 直线的倾斜角是32π，则斜率是（ ） A.3-3B.33C.3-D.34. 以下说法正确的是（ ）A.任意一条直线都有倾斜角B. 任意一条直线都有斜率C.直线倾斜角的范围是(0,2π) D. 直线倾斜角的范围是(0,π)5. 经过点(4, -3)，斜率为-2的直线方程是（ ）A. 2x+y+2=0B.2x-y-5=0C. 2x+y+5=0D. 2x+y-5=06. 过点(2,0)且与y 轴平行的直线方程是（ ）A.x=0B.y=0C.x=2D.y=27. 直线在y 轴上的截距是-2，倾斜角为0°，则直线方程是（） A.x+2=0 B.x-2=0 C.y+2=0 D.y-2=08. “B ≠0”是方程“Ax+By+C=0表示直线”的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分且必要条件D.非充分非必要条件9. 直线3x-y+21=0与直线6x-2y+1=0之间的位置关系是（ ）A.平行B.重合C.相交不垂直D.相交且垂直10.下列命题错误．．的是（ ）A. 斜率互为负倒数的两条直线一定互相垂直B. 互相垂直的两条直线的斜率一定互为负倒数C. 两条平行直线的倾斜角相等D. 倾斜角相等的两条直线平行或重合11. 过点(3,-4)且平行于直线2x+y-5=0的直线方程是（ ）A. 2x+y+2=0B. 2x-y-2=0C. 2x-y+2=0D.2x+y-2=012. 直线ax+y-3=0与直线y=21x-1垂直，则a=（ ）A.2B.-2C. 21D. 21-13. 直线x=2与直线x-y+2=0的夹角是（ ）A.30°B. 45°C. 60°D. 90°14. 点P (2,-1)到直线l ：4x-3y+4=0的距离是（ ）A.1B.511 C.53 D.3 15. 圆心在( -1,0)，半径为5的圆的方程是（ ）A.(x+1)2+y 2=5B. (x+1)2+y 2=25C. (x-1)2+y 2=5D. (x-1)2+y 2=2516. 直线3x+4y+6=0与圆(x-2)2+(y+3)2=1的位置关系是（ ）A.相交不过圆心B.相交且过圆心C.相切D.相离17. 方程x 2+y 2-2kx+4y+3k+8=0表示圆，则k 的取值范围是（ ）A.k<-1或k>4B. k=-1或k=4C. -1<k<4D. -1≤k ≤418. 直线y=0与圆C:x 2+y 2-2x-4y=0相交于A 、B 两点，则△ABC 的面积是（ ）A.4B.3C.2D.1二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分.19. 计算M 1(2,-5)，M 2(5,-1)两点间的距离是20. 已知点(0,2)是点(-2,b)与点(2,4)的对称中心，则b=21. 直线x-y=0的倾斜角是22. 圆(x-1)2+y 2 -2=0的半径是23. 过圆x 2+y 2=4上一点(3,1)的圆的切线方程是三、解答题(本大题共6小题，第24~27小题各9分，第28、29小题每小题11分，共58分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24. 已知直线m 过点(3,0)，在y 轴上的截距是-2，求直线m 的方程.25.已知直线3x+(1-a)y+5=0与x-y=0平行，求a 的值及两条平行线之间的距离.26.已知直线l经过直线2x-y=0与直线x+y-3=0的交点P且与直线3x+2y-1=0垂直，①求点P的坐标；②求直线l的方程.27. 已知点A(2,5)，B(8,3)，求以线段AB为直径的圆的标准方程.28. 求过三点P(2,2)，M(5,3)，N(3，-1)的圆的方程，并求出圆心和半径.29.过原点O作圆C：(x-1)2+(y-2)2=1的切线l，求切线l的方程.直线与圆的方程测试题参考答案一、单项选择题(本大题共18小题，每小题4分，共72分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出，错选、多选或未选均无分.1~5：CACAD 6~10：CCABB 11~15：DABDB 16~18：BAC二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
19.5 20. 0 21.45° 22.2 23. 3x+y-4=0三、解答题(本大题共6小题，第24~27小题各9分，第28、29小题每小题11分，共58分) 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
24. 已知直线m 过点(3,0)，在y 轴上的截距是-2，求直线m 的方程.解：∵直线过点(3,0)，且在y 轴上的截距是-2，∴直线m 过点(3,0)和(0，-2) ………2分将它们代入斜率公式，得 k=323002=---………4分 又知，直线m 在y 轴上的截距是-2，即b= -2………5分将它们代入斜截式方程，得 y=2x 32-………7分 化简，得2x-3y-6=0这就是所求直线m 的方程………9分25.已知直线3x+(1-a)y+5=0与x-y=0平行，求a 的值及两条平行线之间的距离.解：当a=1时，直线3x+(1-a)y+5=0与y 轴平行，显然，与x-y=0不平行. ………1分 当a ≠1时，直线3x+(1-a)y+5=0的斜率为a13-………2分 因为直线x-y=0的斜率为1，而两直线平行………3分所以1a13=-………4分 解得：a= -2………5分故第一条直线方程为3x+3y+5=0在直线x-y=0上取一点P(0,0) ………6分则点P 到直线3x+3y+5=0的距离d 就是两条平行线间的距离因62533|50303|d 32=++⨯+⨯=………8分故两条平行线之间的距离是625………9分26.已知直线l 经过直线2x-y=0与直线x+y-3=0的交点P 且与直线3x+2y-1=0垂直，①求点P 的坐标；②求直线l 的方程.解：①因点P 坐标是以下方程组的解⎩⎨⎧=-+=-03y x 0y x 2………2分 解之得：x=1,y=2所以点P(1,2) ………4分②因直线3x+2y-1=0可化为21x 23y +-= 故其斜率为23- 因直线l 与直线3x+2y-1=0垂直 所以直线l 的斜率为32………6分 因直线l 过点P ，由点斜式方程可得y-2=32(x-1) ………8分 所以直线l 的方程是：2x-3y+4=0 ………9分27. 已知点A(2,5)，B(8,3)，求以线段AB 为直径的圆的标准方程.解：设所求圆的标准方程为：(x-a)2+(y-b)2=r 2根据已知，设C(a,b)是线段AB 的中点，因此点C 的坐标为………2分282a +==5，235b +==4 ………5分 根据两点间的距离公式，得圆的半径为r=|CA|=22)54()25(-+-=10………8分将a,b,r 代入所设方程，得(x-5)2+(y-4)2=10这就是所求以线段AB 为直径的圆的标准方程………9分28. 求过三点P(2,2)，M(5,3)，N(3，-1)的圆的方程，并求出圆心和半径.解：设圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0 ………1分因为P ，M ，N 三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程的解.将它们的坐标依次代入上面的方程，得到关于D ，E ，F 的三元一次方程组 2D+2E+F= -8,5D+3E+F= -343D-E+F= -10 ………4分解这个方程组，得D= -8,E= -2,F=12 ………7分故所求圆的方程为x 2+y 2-8x-2y+12=0………8分配方可得(x-4)2+(y-1)2=5 ………10分故所求圆的圆心为(4,1)，半径为5………11分说明：该题若设圆的方程为标准方程，则参照以上分值给分.29.过原点O 作圆C ：(x-1)2+(y-2)2=1的切线l ，求切线l 的方程. 解：设所求切线方程为y=kx ，则有方程组………1分⎩⎨⎧=-+-=1)2y ()1x (kx y 22………3分 将一次方程代入二次方程，得(x-1)2+(kx-2)2=1………4分整理，得(k 2+1)x 2-2(2k+1)x+4=0. ………5分其中,△=[-2(2k+1)]2-4×(k 2+1)×4=0………6分解得 43k =………7分 即所求切线方程为y=43x ………8分 另外，由于方程组⎩⎨⎧=-+-=1)2y ()1x (0x 22 ………10分 也只有一个解，所以x=0也是圆C 的切线方程故所求圆的切线有两条，它们分别是y=43x 和x=0………11分 说明：该题若利用圆心到切线距离等于半径来计算，则参照以上分值给分.。
上海上师初级中学选修一第二单元《直线和圆的方程》测试卷(包含答案解析)
一、选择题1．如果直线:5l y kx =-与圆22240x y x my +-+-=交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线20x y +=对称，则直线l 被圆截得的弦长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．2．若P 是直线l ：3490x y +-=上一动点，过P 作圆C ：2240x y x ++=的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 面积的最小值为（ ）A B ．CD ．3．若P 是直线l ：260x y ++=上一动点，过P 作圆C ：22230x y x ++-=的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 面积的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．设P 为直线2x ＋y ＋2＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 的面积的最小值时直线AB 的方程为（ ） A ．2x －y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x ＋y ＋1＝05．已知M (3，)，N (－1，)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为（ ）A B ．C ．D ．6．圆22(1)2x y ++=上一点到直线5y x =+的距离最小值为（ ） A ．1 B ．2CD ．7．在平面直角坐标系xOy 中，直线240x y +-=与两坐标轴分别交于点A 、B ，圆C 经过A 、B ，且圆心在y 轴上，则圆C 的方程为（ ） A ．226160x y y ++-= B ．226160x y y +--= C ．22890x y y ++-=D ．22890x y y +--=8．设点M 为直线2x =上的动点，若在圆22:3O x y +=上存在点N ，使得30OMN ∠=︒，则M 的纵坐标的取值范围是（ ）A ．[1,1]-B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[-D ．⎡⎢⎣⎦9．直线l ：230kx y --=与圆C ：()()22124x y -++=交于A 、B 两点，若ABC的周长为4+k 的值为（ ） A ．32B ．32-C ．32±D ．12±10．一艘海监船上配有雷达，其监测范围是半径为26 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发径直驶向位于海监船正北30km 的B 处岛屿，船速为10 km/h 这艘外籍轮船能被海监船监测到且持续时间长约为（ ） 小时A ．1B ．2C ．3D ．411．若点()1,1P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为（ ） A ．230x y +-= B ．210x y -+= C ．230x y +-= D ．210x y --=12．曲线214y x ([]2,2x ∈-)与直线()24y k x =-+有两个公共点时，则实数k的取值范围是（ ）A ．50,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,34⎛⎫⎪⎝⎭C ．5,12⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．53,124二、填空题13．已知直线l 经过点(2,1)，且和直线30x --=的夹角等于30，则直线l 的方程是_________．14．若P 为直线40x y -+=上一个动点，从点P 引圆2240y x C x +-=：的两条切线PM ，PN （切点为M ，N ），则MN的最小值是________.15．直线l 过点()2,3P -且与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，则直线l 的方程为_________．16．若直线l ：y kx =23-60x y +=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是___________.17．已知直线l 过点(4,1)A -20y -+=的夹角为30°，则直线l 的方程为____________.18．设圆222:()0O x y r r +=>，定点(3,4)A ，若圆O 上存在两点到A 的距离为2，则r 的取值范围是________．19．在直角坐标系xoy 中，已知圆C ：()222824580x y m x my m m +---+-=，直线l 经过点()2,1，若对任意的实数m ，直线l 被圆C 截得弦长为定值，则直线l 方程为______.20．已知过抛物线2:4C y x =焦点F 的直线交抛物线C 于P ，Q 两点，交圆2220x y x +-=于M ，N 两点，其中P ，M 位于第一象限，则11PM QN+的最小值为_____．参考答案三、解答题21．已知ABC 的顶点()5,1A ，B 的平分线所在直线方程为0x y -=，C ∠的平分线所在直线方程为20x -=. （1）求BC 边所在的直线方程；（2）求B .22．圆心为C 的圆经过点(4,1)A -和(3,2)B -，且圆心C 在直线:20l x y --=上. （1）求圆心为C 的圆的方程；（2）过点(5,8)P 作圆C 的切线，求切线的方程.23．已知在平面直角坐标系xOy 中，点()0,3A ，直线l ：24y x =-.圆C 的半径为1，圆心C 在直线l 上.（1）若直线34120x y +-=与圆C 相切，求圆C 的标准方程；（2）已知动点(),M x y ，满足2=MA MO ，说明M 的轨迹是什么？若点M 同时在圆C 上，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.24．已知圆C ：222440x y x y +-+-=，斜率为1的直线l 与圆C 交于A 、B 两点. （1）化圆的方程为标准形式，并指出圆心和半径；（2）是否存在直线l ，使以线段AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由；（3）当直线l 平行移动时，求CAB △面积的最大值.25．（1）如图，已知直线l ： 0mx ny r ++=（0mn ≠）外一点P （a ，b ），请写出点P 到直线l 的距离PH 的公式及公式的推导过程．．．．.（2）一质点从点(4,0)A 处沿向量(1,1)a =-方向按每秒2个单位速度移动，求几秒后质点与点(2,4)B 距离最近. 26．如图，已知ABC 的边AB 所在直线的方程为360x y --=，()2,0M 满足BM MC =，点()1,1T -在AC 边所在直线上且满足0AT AB ⋅=.（1）求AC 边所在直线的方程； （2）求ABC 外接圆的方程；（3）求过()2,0N -的ABC 外接圆的切线方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由题意推出圆心在直线上，求出m ，求出圆的半径与弦心距，利用圆心距、半径、半弦长满足勾股定理，求出弦长. 【详解】因M 、N 关于直线20x y +=对称，故圆心(1,)2m-在直线20x y +=上，4m ∴=. 又因为直线20x y +=与:5l y kx =-垂直，21K ∴-⨯=-，12K ∴=， 设圆心(1,2)-，到直线1502x y --=的距离为d ，d ∴==圆的半径为3r ==.4MN ∴==.故选：C . 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用对称性可知圆心在直线20x y +=上.2．B解析：B 【分析】画出图象，根据对称性可得四边形PACB 面积2PACS S=，利用勾股定理可得PA =PC 最小时，PA 最小，面积最小，根据点到直线距离公式，即可求得答案. 【详解】圆C ：22(2)4x y ++=，圆心为（-2，0）半径2AC r ==，画出图象，如图所示：因为直线与圆相切，所以90PAC PBC ∠=∠=︒，且PAC PBC ≌ 所以四边形PACB 面积12222PACS S AC PA PA ==⨯⨯⨯=，又2224PA PC AC PC =-=-所以当PC 最小时，PA 最小，四边形PACB 面积的最小值， 由图象可得，PC 最小值即为点C 到直线3490x y +-=的距离， 所以min 223(2)9334PC ⨯--==+，所以min 945PA =-所以四边形PACB 面积的最小值225S PA == 故选：B 【点睛】解题的关键是画出图象，根据几何关系，得到PC 最小时，面积最小，再求解，将动点问题转化为点到直线距离问题，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.3．B解析：B 【分析】根据题意得要使四边形PACB 面积的最小值，只需PC 取最小即可，再根据几何关系求解即可. 【详解】解：根据题意：要使四边形PACB 面积的最小值，则只需切线长,PA PB 最小， 进而只需PC 取最小即可.由于()2214x y ++=，故圆心为()1,0-，2r，由于P 是直线l ：260x y ++=上一动点， 所以过圆心作直线l 的垂线，垂足即为P ，此时1655CP -+==此时切线长541PA PB ==-=，此时四边形PACB 面积为122S =⨯=. 即四边形PACB 面积的最小值为2. 故选：B. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查化归转化思想和运算求解能力，是中档题.解题的关键是将问题转化为求PC 取最小值，再结合点到线的距离即可解答.4．D解析：D 【分析】根据圆的切线性质可知四边形PACB 的面积转化为直角三角形的面积，结合最小值可求直线AB 的方程. 【详解】由于,PA PB 是圆()()22:114C x y -+-=的两条切线，,A B 是切点，所以2||||2||PACB PAC S S PA AC PA ∆==⋅=== 当||PC 最小时，四边形PACB 的面积最小， 此时PC :11(x 1)2y -=-,即210.y x --= 联立210,220y x x y --=⎧⎨++=⎩得1,,(1,0),0x P y =-⎧-⎨=⎩PC的中点为1(0,),||2PC ==以PC 为直径的圆的方程为2215(),24x y +-=即2210x y y +--=，两圆方程相减可得直线AB 的方程210,x y ++=故选：D.5．B解析：B 【分析】首先利用题中所给的点N (－1，，F (1，0)，求出直线NF 的方程，之后利用点到直线的距离公式求得结果. 【详解】易知NF 的斜率kNF 的方程为y(x －1)，＋y＝0. 所以M 到NF.故选：B.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关点到直线的距离的问题，解题思路如下：（1）根据题意首先求出直线的方程，可以先求斜率，利用点斜式求，也可以直接利用两点式求；（2）之后利用点到直线的距离公式直接求结果.6．C解析：C 【分析】求出圆心到直线距离，减去半径得解. 【详解】圆心为(1,0)-，直线方程为5y x =+，所以d == ，圆22(1)2x y ++=上一点到直线5y x =+的距离最小值d r -=故选C ． 【点睛】圆上的点到直线的距离的最值的几何求法通常运用圆心到直线的距离加减半径得到.属于基础题.7．A解析：A 【分析】求出点A 、B 的坐标，设圆心坐标为()0,b ，由AC BC =可求出圆心C 的坐标，并求出圆的半径，由此可求得圆C 的方程. 【详解】易知，直线240x y +-=交x 轴于点()4,0A ，交y 轴于点()0,2B ，设圆心C 的坐标为()0,b ，由AC BC =2b =-，解得3b =-， 所以，圆C 的半径为325BC =--=，因此，圆C 的方程为()22325x y ++=，即为226160x y y ++-=.故选：A. 【点睛】求圆的方程，主要有两种方法：（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线；（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．8．C解析：C【分析】在OMN 中，由正弦定理可得22223My+=，从而得到()223sin4My ONM=±∠-，再根据角ONM∠的取值范围，求出My的取值范围，即可得解；【详解】解：设()2,MM y，在OMN中，由正弦定理得sin sinOM ONONM OMN=∠∠因为30OMN∠=︒，3ON=，所以22232312My+==整理得()223sin4My ONM=±∠-由题意知0150ONM︒<∠<︒，所以(]sin0,1ONM∠∈，所以sin1ONM∠=时，My取得最值，即直线MN为圆22:3O x y+=的切线时，M y取值最值，所以22,22My⎡⎤∈-⎣⎦故选：C【点睛】本题考查直线与圆的综合应用，解答的关键转化到OMN中利用正弦定理计算，考查转化思想；9．A解析：A 【分析】先根据半径和周长计算弦长AB =即可. 【详解】圆C ：()()22124x y -++=中，圆心是()1,2C -，半径是2r，故ABC的周长为4+24r AB +=+AB =又直线与圆相交后的弦心距d ==，故由2222AB r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得()221434k k +=++，解得32k . 故选：A. 【点睛】本题考查了直线与圆的综合应用，考查了点到直线的距离公式，属于中档题.10．B解析：B 【分析】根据题意建立合适平面直角坐标系，将问题转化为求直线被圆所截得的弦长问题，然后根据弦长对应的距离求解出监测时间. 【详解】根据题意以海监船的位置为坐标原点，其正东方向为x 轴，正北方向为y 轴， 所以()()40,0,0,30A B ，圆22:676O x y +=，记从N 处开始被监测，到M 处监测结束， 所以:14030AB x yl +=，即:341200AB l x y +-=， 因为O 到:341200AB l x y +-=的距离为24OO '==，所以20MN ==，所以监测时间持续2010=2小时， 故选：B.【点睛】思路点睛：建立平面直角坐标系求解直线与圆的有关问题的思路：（1）选择合适坐标原点（方便求解直线、圆的方程），建立平面直角坐标系； （2）根据题意写出直线与圆的方程；（3）根据直线与圆的位置关系，采用几何法计算相关长度，完成问题的求解.11．D解析：D 【分析】求得圆心坐标为(3,0)C ，根据斜率公式求得PC k ，再由根据圆的弦的性质，得到2MN k =，结合直线点斜式方程，即可求解.【详解】由题意，圆2260x y x +-=，可得22(3)9x y -+=，所以圆心坐标为(3,0)C ，半径为3， 又由斜率公式，可得011312PC k -==--， 根据圆的弦的性质，可得1PC MN k k ⋅=-，所以2MN k =， 所以弦MN 所在直线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=， 所以弦MN 所在直线方程为210x y --=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了直线方程的求解，以及圆的弦的性质，其中解答中熟练应用圆的弦的性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12．D解析：D 【分析】 易知曲线214y x 表示以()0,1 为圆心，以2为半径的半圆，直线()24y k x =-+过定点()2,4A ，然后在同一坐标系中作出直线与半圆的图象，利用数形结合法求解.曲线214y x 变形为22214141y x x y y 表示以()0,1 为圆心，以2为半径的半圆，直线()24y k x =-+过定点()2,4A ，在同一坐标系中作出直线与半圆的图象，如图所示：当直线()24y k x =-+与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，23221kk -=+，解得512k =，即512AC k ，又413224AB k ， 由图知：当曲线214y x ([]2,2x ∈-)与直线()24y k x =-+有两个公共点时：ACAB k kk ，即53124k <≤. 故选：D 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.二、填空题13．或【分析】分析可得已知直线的倾斜角为则直线的倾斜角为或分类讨论并利用点斜式方程求解即可【详解】由已知可得直线的斜率所以倾斜角为因为直线与的夹角为所以直线的倾斜角为或当倾斜角为时直线为即为；当倾斜角为解析：1y =32310x y --=分析可得已知直线的倾斜角为30，则直线l 的倾斜角为0或60，分类讨论并利用点斜式方程求解即可. 【详解】 由已知可得直线333y x =-的斜率33k =，所以倾斜角为30， 因为直线l 与33y x =-的夹角为30，所以直线l 的倾斜角为0或60， 当倾斜角为60时,直线l 为()132y x -=-，即为31230x y -+-=； 当倾斜角为0︒时,直线l 为1y =， 故答案为：1y =或31230x y -+-=. 【点睛】本题考查直线与直线的夹角，关键点是求出直线330x y --=的倾斜角得到l 的倾斜角，考查求直线方程，考查分类讨论思想.14．【分析】根据题意得当的长度最小时取最小值进而根据几何关系求解即可【详解】如图由题可知圆C 的圆心为半径要使的长度最小即要最小则最小因为所以当最小时最小因为所以当最小时最小因为所以所以由于所以故答案为： 解析：47【分析】根据题意得当||MN 的长度最小时，||PC 取最小值，进而根据几何关系求解即可. 【详解】如图，由题可知圆C 的圆心为(2,0)C ，半径2r．要使||MN 的长度最小，即要MCN ∠最小，则MCP ∠最小． 因为||||tan 2PM PM MCP r ∠==，所以当||PM 最小时，||MN 最小因为PM =∣， 所以当||PC 最小时，||MN 最小．因为min ||PC ==，所以cos3MCP ∠==，所以sin MCP ∠=由于1in 2s 2MCP MN∠=所以min ||3MN =．故答案为：3. 【点睛】本题解题的关键是根据已知当||MN 的长度最小，即要MCN ∠最小，进而得当||PC 最小时，||MN 最小．由于||PC 的最小值为C 点到直线40x y -+=，故min ||PC =.考查化归转化思想和运算能力，是中档题.15．3x ﹣2y+12=0【详解】设A （x0）B （0y ）由中点坐标公式得：解得：x=﹣4y=6由直线过点（﹣23）（﹣40）∴直线的方程为：即3x ﹣2y+12=0故答案为3x ﹣2y+12=0解析：3x ﹣2y+12=0 【详解】设A （x ，0）、B （0，y ），由中点坐标公式得：002322x y++=-=， 解得：x=﹣4，y=6，由直线l 过点（﹣2，3）、（﹣4，0），∴直线l 的方程为：320342y x -+=--+， 即3x ﹣2y+12=0． 故答案为3x ﹣2y+12=016．【解析】若直线与直线的交点位于第一象限如图所示：则两直线的交点应在线段上（不包含点）当交点为时直线的倾斜角为当交点为时斜率直线的倾斜角为∴直线的倾斜角的取值范围是故答案为解析：(,)62ππ 【解析】若直线:3l y kx =-与直线2360x y +-=的交点位于第一象限，如图所示：则两直线的交点应在线段AB 上（不包含,A B 点）, 当交点为()0,2A 时，直线l 的倾斜角为2π，当交点为()3,0B 时，斜率(03330k -==-l 的倾斜角为6π ∴直线的倾斜角的取值范围是,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭． 故答案为,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭17．或【分析】分析可得已知直线的倾斜角为则直线的倾斜角为或分类讨论并利用点斜式方程求解即可【详解】由题直线的倾斜角为则直线的倾斜角为或当倾斜角为时直线为即为；当倾斜角为时直线为故答案为：或【点睛】本题考解析：4x =-334330x y -+= 【分析】分析可得已知直线的倾斜角为60︒,则直线l 的倾斜角为30或90︒,分类讨论,并利用点斜式方程求解即可 【详解】 由题,直线32y x =+的倾斜角为60︒,则直线l 的倾斜角为30或90︒,当倾斜角为30时,直线l 为)3143y x -=+,334330x y -+=； 当倾斜角为90︒时,直线l 为4x =-, 故答案为：4x =-334330x y -+= 【点睛】本题考查直线倾斜角与斜率的关系,考查求直线方程,考查分类讨论思想18．【分析】将问题转化为以为圆心为半径的圆为圆与圆相交问题再根据圆与圆的位置关系求解即可得答案【详解】解：根据题意设以为圆心为半径的圆为圆所以圆圆心为半径为则两圆圆心距为：因为圆O 上存在两点到A 的距离为 解析：()3,7【分析】将问题转化为以(3,4)A 为圆心，2为半径的圆为圆A 与圆O 相交问题，再根据圆与圆的位置关系求解即可得答案. 【详解】解：根据题意设以(3,4)A 为圆心，2为半径的圆为圆A ， 所以圆222:()0O x y r r +=>，圆心为()0,0O ，半径为r ，则两圆圆心距为：5OA =， 因为圆O 上存在两点到A 的距离为2， 所以圆O 与圆A 相交，所以252r r -<<+，解得：37r <<. 所以r 的取值范围是：()3,7. 故答案为：()3,7 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，考查回归转化思想，是中档题.19．【分析】先将圆的方程化为标准形式求出圆心和半径通过分析可以看出圆心在一条直线上若对于任意的实数直线被圆截得弦长为定值可得直线与圆心所在的直线平行即可得出结论【详解】圆：化为标准形式可得：所以圆心半径 解析：25x y +=【分析】先将圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，通过分析可以看出，圆心在一条直线上，若对于任意的实数m ，直线l 被圆C 截得弦长为定值，可得直线l 与圆心所在的直线平行，即可得出结论. 【详解】圆C ：()222824580x y m x my m m +---+-=化为标准形式可得：()()224216x m y m --+-=⎡⎤⎣⎦ ，所以圆心()4,2C m m - ，半径4r =， 令4,2x m y m =-= ，可得28x y += ，所以圆心在28x y +=上，又因为直线l 经过点()2,1，若对任意的实数m ，直线l 被圆C 截得弦长为定值， 所以直线l 与圆心所在的直线平行，， 所以设直线l 的方程为：2x y c +=， 将()2,1代入得：5c =， 所以则直线l 方程为：25x y +=. 故答案为：25x y += 【点睛】本题主要考查了圆的标准方程，直线和圆的位置关系，考查分析解决问题的能力，属于基础题.20．【分析】设根据题意可设直线的方程为将其与抛物线方程联立可求出结合图形及抛物线的焦半径公式可得再利用基本不等式即可求出的最小值【详解】圆可化为圆心坐标为半径为抛物线的焦点可设直线的方程为设由得所以又所 解析：2【分析】设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，根据题意可设直线PQ 的方程为1x my =+，将其与抛物线C 方程联立可求出121=x x ，结合图形及抛物线的焦半径公式可得12||||1PM QN x x ⋅==，再利用基本不等式，即可求出11PM QN+的最小值. 【详解】圆2220x y x +-=可化为22(1)1x y -+=，圆心坐标为(1,0)，半径为1，抛物线C 的焦点(1,0)F ，可设直线PQ 的方程为1x my =+，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由214x my y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my --=，所以124y y =-， 又2114y x =，2224y x =，所以222121212()14416y y y y x x =⋅==，因为1212||||(||||)(||||)(11)(11)1PM QN PF MF QF NF x x x x ⋅=--=+-+-==， 所以111122PM QN PM QN+≥⋅=，当且仅当||||1PM QN ==时，等号成立. 所以11PM QN+的最小值为2. 故答案为：2 【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，基本不等式求最值，考查基本运算能力，属于中档题.三、解答题21．（1）23y x =+；（2）4arccos 5B ∠=. 【分析】（1）求出点()5,1A 关于直线0x y -=和20x -=对称的点，利用两个对称点都在直线BC 上，即可求得BC 边所在的直线方程；（2）联立直线方程求出,B C 两点的坐标，利用两点间距离公式求出ABC 三条边长，再利用余弦定理即可求得B . 【详解】（1）作点()5,1A 关于B 的平分线0x y -=的对称点()11,5A ， 作点()5,1A 关于C ∠的平分线20x -=的对称点()21,1A -， 由题意得B ，1A ，2A ，C 四点共线， 所以直线BC 的方程为511(1)11y x --=++，即23y x =+； （2）由023x y y x -=⎧⎨=+⎩得()3,3B --，由2023x y x -=⎧⎨=+⎩得()2,7C ，又()5,1A ，所以AB ==AC ==BC ==由余弦定理得2224cos25AB BC AC B AB BC +-===⨯， 所以4arccos 5B ∠=. 【点睛】关键点点睛：根据角的两边所在的直线关于角的平分线所在的直线对称，可得BA 与BC 关于直线0x y -=对称，CB 与CA 关于直线20x -=对称，所以点()5,1A 关于直线0x y -=，20x -=对称的点都在直线BC 上，即可求得BC 边所在的直线方程；第二问求角B 要想到利用余弦定理，因此需要求,B C 两点的坐标，利用两点间距离公式求三边长.22．（1）22(2)25x y ++=；（2）5x =或34170x y -+=. 【分析】（1）联立点A 和B 的中垂线与直线l ，求出圆心坐标，算出圆心与A 距离，写出圆的标准方程即可；（2）讨论斜率存在与不存在，将直线与圆相切转化为d r =，解出k ，代回直线方程化简即可. 【详解】（1）根据题意可得2113(4)AB k -==---，,A B 中点坐标为73(,)22-，所以AB 的中垂线为7322y x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，即2y x =--， 联立方程202x y y x --=⎧⎨=--⎩可得圆心坐标(0,2)-，又222(0(3))(22)25r =--+--=， 所以圆C 的方程为22(2)25x y ++=.（2）①过点P 斜率不存在的直线为5x =，与圆C 相切； ②过点P 斜率存在的直线设斜率为k ， 则(5)8y k x =-+，即580kx y k --+= 圆心(0,2)-到切线的距离为5=，解得34k =综上，切线的方程为5x =或34170x y -+=. 【点睛】求圆的方程的两种方法：（1）几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程； （2）待定系数法：①根据题意，选择标准方程与一般方程； ②根据条件列出关于,,a b r 或,,D E F 的方程组； ③解出,,a b r 或,,D E F ，代入标准方程或一般方程. 23．(1) 22(3)(2)1x y -+-=或22232()()11111x y -+-=（2）120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】(1）设圆心C 为（a ，2a -4)，利用直线与圆相切，求解a ，得到圆心坐标，求出圆的方程. (2)由2=MA MO ，求出动点M 的轨迹方程，说明轨迹，通过点M 同时在圆C 上，说明圆C 与圆D 有公共点，利用两个圆的位置关系，转化求解圆心C 的横坐标a 的取值范围即可． 【详解】（1）因为圆心C 在直线l 上，所以圆心C 可设为(a ，2a -4)，|1128|15a -==，即|1128|5a -=， 所以11285a -=±，解得3a =或2311a =， 所以圆心C 的坐标为(3，2)或232,1111⎛⎫⎪⎝⎭, 所以圆C 的标准方程为22(3)(2)1x y -+-=或22232()()11111x y -+-=(2) 由2=MA MO ,= 化简得：22230x y y ++-=， 即22(1)4x y ++=，所以动点M 的轨迹是以D (0，-1)为圆心，半径是2的圆， 若点M 同时在圆C 上，则圆C 与圆D 有公共点， 则21||21CD -≤≤+，即1 3.≤≤整理得：2251280,5120a a a a ⎧-+≥⎨-≤⎩解得1205a ≤≤， 所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为[0，125]. 【点睛】关键点点睛：判断两圆位置关系式，只需求出两圆圆心的距离，比较与两圆半径的关系即可，本题根据两圆有公共点可得21||21CD -≤≤+，解不等式即可求解,属于中档题. 24．（1）()()22129x y -++=；圆心()1,2C -，3r =；（2）存在；；1y x =+或4y x =-；（3）92. 【分析】（1）将一般方程化为标准方程后即可得到结果；（2）设:l y x m =+，与圆的方程联立得到根与系数的关系，利用OA OB ⊥，即12120x x y y +=，由此整理可得方程求得m ，进而得到所求方程；（3）设:l y x m =+，由垂径定理表示出AB ，将所求面积表示为关于圆心到直线距离d 的函数，利用函数最值的求法可求得结果. 【详解】（1）由222440x y x y +-+-=得：()()22129x y -++=.∴圆C 的圆心为：()1,2C -，半径3r =.（2）假设存在直线l ，设方程为y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，以AB 为直径的圆过圆心O ，∴OA OB ⊥，即12120x x y y +=.由222440y x m x y x y =+⎧⎨+-+-=⎩消去y 得：()22221440x m x m m ++++-=. 由()()22418440m m m ∆=+-+->得：33m -<<.由根与系数关系得：()121x x m +=-+，212442m m x x +-=，()()()212121212y y x m x m x x m x x m ∴=++=+++，()21212121220x x y y x x m x x m ∴+=+++=，解得：1m =或4-.∴直线l 方程为：1y x =+或4y x =-.（3）设圆心C 到直线l ：y x m =+的距离为d，则AB =12CABSd ∴=⨯== ∴当2d =()max 92CAB S=， ∴圆心到直线距离2d ==，解得：0m =或6m =-， ∴当直线l 的方程为y x =或6y x =-时，CAB △面积取得最大值92. 【点睛】方法点睛：处理直线与圆问题中的三角形面积的最值或取值范围问题时，通常结合垂径定理和点到直线距离公式将所求面积表示为关于圆心到直线距离d 或者半径r 的函数关系式的形式，利用函数最值的求解方法求得结果. 25．（1）PH =2）2. 【分析】（1）根据直线PH 的斜率与l 的斜率的关系得到方程，再将l 的方程与所得方程联立并化简，即可推导出P 到直线l 的距离PH 的公式；（2）先确定出质点的运动轨迹对应的直线方程，然后根据点到直线的距离公式求解出最近距离，由此确定出质点的运动时间. 【详解】（1）P 到直线l的距离PH =设(),H x y ，所以1PH l k k ⋅=-，所以1y b m x a n -⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭，所以10y b m x a n mx ny r ⎧-⎛⎫⋅-=-⎪ ⎪-⎝⎭⎨⎪++=⎩，所以()()()()()0m y b n x a m x a n y b ma nb r ⎧---=⎪⎨-+-=-++⎪⎩， 所以()()()()()()()222222+=m y b n x a m x a n y b m n x a y b ⎡⎤----+-+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦()2ma nb r =++，所以()()()22222ma nb r x a y b m n++⎡⎤-+-=⎣⎦+，所以()()2222ma nb r x a y b m n ++-+-=+ 又因为()()22P a y b H x -+-=，所以22ma nb rm PH n ++=+；（2）由条件可知：质点运动轨迹所在直线方程为()1041y x -=--，即40x y +-=， 如下图，作BC l ⊥，垂足为C ，显然质点运动到C 时离B 点最近，又244211BC +-==+，()()22420425AB =-+-=，所以2232AC AB BC =-=，所以质点运动时间为322秒.【点睛】关键点点睛：解答问题的关键是选用合理的方法推导出点到直线的距离公式，第二问即可使用点到直线的距离公式进行分析求解.26．（1）320x y ++=；（2）22(2)8x y -+=；（3）20x y -+=或20x y ++=.【分析】（1）求出直线AC 的斜率后可得直线AC 的方程.（2）求出点A 的坐标，结合圆心坐标可求圆的半径，从而可得圆的方程.（3）利用点到直线的距离为半径可求切线的斜率，从而可得所求的切线的方程.【详解】（1）0AT AB ⋅=，AT AB ∴⊥，又T 在AC 上，AC AB ∴⊥，ABC ∴为Rt ABC ∆，又AB 边所在直线的方程为360x y --=，∴直线AC 的斜率为3-， 又点()1,1T -在直线AC 上，AC ∴边所在直线的方程为13(1)y x -=-+，即320x y ++=.（2）AC 与AB 的交点为A ，∴由360320x y x y --=⎧⎨++=⎩解得点A 的坐标为()0,2-， BM MC =，()2,0M ∴为Rt ABC 斜边上的中点，即为Rt ABC 外接圆的圆心，又||r AM ===从而ABC 外接圆的方程为22(2)8x y -+=.（3）设切线方程为(2)y k x =+=，解得1k =或1-.所以切线方程为20x y -+=或20x y ++=.【点睛】思路点睛：（1）确定直线的方程往往需要两个独立的条件，比如直线所过的两个不同点，或直线所过的一个点和直线的斜率；（2）确定圆的方程，关键是圆心坐标和半径的确定；（2）直线与圆的位置关系，往往通过圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断.。
第二章 直线和圆的方程 专题测试(原卷版+解析版) (人教A版)高二数学选择性必修一
第二章直线和圆的方程专题测试(原卷版+解析版) (人教A版)高二数学选择性必修一第二章直线和圆的方程专题测试注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息。
2.请将答案正确填写在答题卡上。
第I卷（选择题）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）1.（2020·福建高二学业考试）已知直线 $ $l_1\parallell_2$，则实数 $k=$（）。
A。
$-2$B。
$-1$C。
$1$D。
$2$2.（2020·XXX高一月考）直线$l_1:(a-2)x+(a+1)y+4=0$，$l_2:(a+1)x+ay-9=0$ 互相垂直，则 $a$ 的值是（）。
A。
$-0.25$B。
$1$C。
$-1$D。
$1$ 或 $-1$3.（2020·XXX高一月考）直线 $l:(m-1)x-my-2m+3=0$（$m\in R$）过定点 $A$，则点 $A$ 的坐标为（）。
A。
$(-3,1)$B。
$(3,1)$C。
$(3,-1)$D。
$(-3,-1)$4.（2020·广东高二期末）设 $a\in R$，则“$a=1$”是“直线$ax+y-1=0$ 与直线 $x+ay+1=0$ 平行”的（）。
A。
充分不必要条件B。
必要不充分条件C。
充分必要条件D。
既不充分也不必要条件5.（2020·黑龙江高一期末）若曲线 $y=4-x^2$ 与直线$y=k(x-2)+4$ 有两个交点，则实数 $k$ 的取值范围是（）。
A。
$\left[\frac{3}{4},1\right]$B。
$\left[\frac{3}{4},+\infty\right)$C。
$(1,+\infty)$D。
$(1,3]$6.（2020·XXX高三其他）已知直线 $x+y=t$ 与圆$x+y=2t-t^2$（$t\in R$）有公共点，则 $\frac{t(4-t)}{9}$ 的最大值为（）。
直线与圆的方程复习(含答案)
，解得
k
=
3
所以
y x
的最大值为
3 ，最小值为 -
3
(2) 令 x = 3 cos θ + 2 ， y = 3 sin θ
得 x + y = 3 (sin θ + cos θ)+ 2
因为 sin θ + cos θ = 2 sinèæçççθ + π4 øö÷÷÷Î éêë- 2, 2ùúû
所以 x + y 的最大值为 2 + 6 ，最小值为 2 - 6
sinPAM = PM =
2
=2
AM (3 + 1)2 +(3 -1)2 2
所以 PAM = 45
即 PAQ = 90
(2) 过 A(a,b)作 AD，AE 分别与圆 M 相切于 D，E 两点
因为 DAE ³ BAC
所以要使圆 M 上存在两点 B，C，使得 BAC = 60 ，只要作 DAE ³ 60
+
1 2
ö÷÷ø÷2
+ æèçççy
+
1 2
öø÷÷÷2
=
5 4
10．解：由题意得，(x - 2)2 + y2 = 3
(1)
设
y x
=
k
，则 y = kx
，是一条恒过点 (0, 0)
的直线
画图可知，它与圆 (x
- 2)2
+
y2
=
3
的两条切线的斜率就是
y x
的最大值和最小值
所以
(2k)2
k2 +1
=
3
从而 a = 2 ， c = 5 ， b2 = c2 - a2 = 1
新人教版高中数学选修一第二单元《直线和圆的方程》测试题(含答案解析)
一、选择题1．直线()()()230x m x y m -+-+=∈R 过下面哪个定点（ ） A ．()4,0B ．()0,4C ．()2,5D ．()3,22．设点(1,2),(2,3)A B -，若直线10ax y ++=与线段AB 有交点，则a 的取值范围是（ ） A ．[3,2]- B ．[2,3]-C ．(,2][3,)-∞-⋃+∞D ．(,3][2,)-∞-⋃+∞3．已知两点()1,2A -、()2,1B ，直线l 过点()0,1P -且与线段AB 有交点，则直线l 的倾斜角的取值范围为（ ） A ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．30,,424πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ C ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ D ．3,,4224ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦4．已知圆M ：22(1)(2)5x y -+-=和点(3,5)P ，过点P 做圆M 的切线，切点分别为A 、B ，则下列命题：①4PA PB k k ⋅=-；②PA =；③AB 所在直线方程为：23130x y +-=；④PAB △外接圆的方程为2247130x y x y +--+=．其中真命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．赵州桥，是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，因赵具古称赵州而得名．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的一座圆拱桥，已知在某个时间段这座桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米；当水面上涨2米后，桥在水面的跨度为（ ）A ．10米B ．米C ．米D ．6．已知点()1,0A m -，()()1,00B m m +>，若圆C ：2288280x y x y +--+=上存在一点P ，使得PA PB ⊥，则实数m 的取值范围是( ) A ．3m ≥ B ．3m 7≤≤ C ．27m -<≤D ．46m ≤≤7．在平面直角坐标系中，定义1212(,)||||d A B x x y y =-+-为两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及直线l 上任意一点Q ，称(,)d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(,)d P l ，给出下列三个命题： ①对任意三点A 、B 、C ，都有(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥； ②已知点(3,1)P 和直线:210l x y --=，则4(,)3d P l =； ③定义(0,0)O ，动点(,)P x y 满足(,)1d P O =，则动点P 的轨迹围成平面图形的面积是4；其中真命题的个数（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38．111222(,),(,)P a b P a b 是直线1y kx =+(k 为常数)上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ）A ．无论12,,k P P 如何，总是无解B ．无论12,,k P P 如何，总有唯一解C ．存在12,,k P P ，使12x y =⎧⎨=⎩是方程组的一组解 D ．存在12,,k P P ，使之有无穷多解9．圆221:2410C x y x y ++++=与圆222:4410C x y x y +---=的公切线有几条（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条10．已知11(,)P x y 是直线1:(,)0l f x y =上一点，22(,)Q x y 是l 外一点，则方程(,)f x y =1122(,)(,)f x y f x y +表示的直线（ ）A ．与l 重合B ．与l 交于点PC ．过Q 与l 平行D ．过Q 与l 相交11．直线:210l x my m +--=与圆22:(2)4C x y +-=交于A B 、两点，则当弦AB 最短时直线l 的方程为（ ） A ．2410x y +-= B ．2430x y -+= C ．2410x y ++= D ．2430x y ++=12．曲线214y x ([]2,2x ∈-)与直线()24y k x =-+有两个公共点时，则实数k的取值范围是（ ） A ．50,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,34⎛⎫⎪⎝⎭C ．5,12⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．53,124二、填空题13．已知三条直线的方程分别为0y=0y -+=0y +-，那么到三条直线的距离相等的点的坐标为___________．14．已知点(4,0),(0,2)A B ，对于直线:0l x y m -+=的任意一点P ，都有22||||18PA PB +>，则实数m 的取值范围是__________.15．若实数x ，y 满足关系10x y ++=，则式子S =______．16．当直线:(21)(1)740()l m x m y m m R +++--=∈被圆22:(1)(2)25C x y -+-=截得的弦最短时，m 的值为____________.17．已知定点A 到动直线l ：()221420+---=mx m y m （m R ∈）的距离为一常数，则定点A 的坐标为________．18．已知点A (0，2)，O (0，0)，若圆()()22:21C x a y a -+-+=上存在点M ，使3MA MO ⋅=，则圆心C 的横坐标a 的取值范围为________________.19．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，这条直线称为“欧拉线”.已知ABC 的顶点(2,0),(0,4)A B ，其“欧拉线”的直线方程为20x y -+=，则ABC 的顶点C 的坐标__________.20．直线2ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点(其中a ，b 是实数)，且AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P (a ，b )与点(0，1)之间的距离的最大值为________.三、解答题21．已知一圆经过点()3,1A ，()1,3B -，且它的圆心在直线320x y --=上. （1）求此圆的方程；（2）若点D 为所求圆上任意一点，且点()3,0C ，求线段CD 的中点M 的轨迹方程. 22．在平面直角坐标系中，已知射线OA ：0(0)x y x -=≥，OB ：20(0)x y x +=≥．过点(1,0)P 作直线分别交射线,OA OB 于点A ，B ．（1）当AB 的中点在直线20x y -=上时，求直线AB 的方程； （2）当AOB 的面积取最小值时，求直线AB 的方程； （3）当||||PA PB ⋅取最小值时，求直线AB 的方程．23．已知直线l ：2830mx y m ---=和圆C ：22612200x y x y +-++=. （1）求圆C 的圆心、半径（2）求证：无论m 为何值，直线l 总与圆C 有交点；（3）m 为何值时，直线l 被圆C 截得的弦最短？求出此时的弦长.24．（1）已知点(,)a b 在直线3210x y ++=上，则直线20ax by ++=必过定点M ，求定点M 的坐标.（2）已知直线1l 过（1）中的定点M ，且与直线2:4l y x =相交于第一象限内的点A ，与x 正半轴交于点B ，求使△OAB 面积最小时的直线1l 的方程.25．△ABC 中∠C 的平分线所在直线方程为y x =，且A （－1，52），B （4，0）.（1）求直线AB 的截距式．．．方程； （2）求△ABC 边AB 的高所在直线的一般式．．．方程.26．在①经过直线1:20l x y -=与直线2:210l x y +-=的交点.②圆心在直线20x y -=上.③被y 轴截得弦长AB =；从上面这三个条件中任选一个，补充下面问题中，若问题中的圆存在，求圆的方程；若问题中圆不存在，请说明理由.问题：是否存在圆Q ，且点()2,1A --，()1,1B -均在圆上？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由恒等式的思想得出2030x x y -=⎧⎨-+=⎩，解之可得选项.【详解】由2030x x y -=⎧⎨-+=⎩，解得：25x y =⎧⎨=⎩，故直线过恒过点()2,5，故选：C. 【点睛】方法点睛：求直线恒过点的方法：方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成()y k x a b =-+，将x a =带入原方程之后，所以直线过定点()a b ，；方法二（特殊引路法）：因为直线的中的m 是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点.取两个m 的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点.2．D解析：D 【分析】求出线段AB 的方程，列方程组求得直线与线段交点坐标（横坐标），由21x -≤≤可求得a 的范围． 【详解】321213AB k -==---，∴AB 方程为12(1)3y x -=--，即370x y +-=，由10370ax y x y ++=⎧⎨+-=⎩，解得1013x a =-，（显然310a -≠），由102113a-≤≤-解得3a ≤-或2a ≥．【点睛】方法点睛：本题考查直线与线段有公共点问题，解题方法有两种：（1）求出直线AB 方程，由直线AB 方程知直线方程联立方程组求得交点坐标（只要求得横坐标），然后由横坐标在已知两个点的横坐标之间列不等式解之可得；（2）求出直线过定点P ，再求出定点P 与线段两端点连线斜率，结合图形可得直线斜率范围，从而得出参数范围．3．C解析：C 【分析】作出图形，求出直线PA 、PB 的斜率，数形结合可得出直线l 的斜率的取值范围，进而可求得直线l 的倾斜角的取值范围. 【详解】 如下图所示：直线PA 的斜率为21110PA k -+==--，直线PB 的斜率为11120PB k +==-， 由图形可知，当直线l 与线段AB 有交点时，直线l 的斜率[]1,1k ∈-. 因此，直线l 的倾斜角的取值范围是30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：求直线倾斜角的取值范围的关键就是求出直线的斜率的取值范围，结合图象，利用直线PA 、PB 的斜率可得所要求的斜率的取值范围.4．D解析：D 【分析】设出斜率k ，得出切线方程，利用相切可得2+2440k k -=，即可得出4PA PB k k ⋅=-，判断①；由22PA PM MA =-②；可得,,,P A B M 四点共圆，圆心为PM 中点，即72,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为1322PM =，写出圆的方程可判断④；两圆相减可得直线AB 方【详解】可知切线的斜率存在，设斜率为k ，则切线方程为53y k x ，即350kx y k ，=2+2440k k -=，可得,PA PB k k 是该方程的两个根，故4PA PB k k ⋅=-，故①正确； 又PM ==PA MA ⊥，PA ∴==故②正确；,PA MA PB MB ⊥⊥，,,,P A B M ∴四点共圆，且圆心为PM 中点，即72,2⎛⎫⎪⎝⎭，半径为22PM =， 故PAB △外接圆的方程为22713(2)()24x y -+-=，即2247130x y x y +--+=，故④正确；将两圆方程相减可得23130x y +-=，即直线AB 方程，故③正确. 故选：D. 【点睛】本题考查过圆外一点作圆的切线问题，解题的关键是利用相切关系得出圆心到直线的距离为半径，且,,,P A B M 四点共圆.5．C解析：C 【分析】根据题意，建立圆拱桥模型，设圆O 半径为R , 当水面跨度是20米，拱顶离水面4米，分析可得22100(4)R R =--，求出R ，当水面上涨2米后，可得跨度2CD CN =，计算可得解. 【详解】根据题意，建立圆拱桥模型，如图所示：设圆O 半径为R ,当水面跨度是20米，拱顶离水面4米，此时水面为AB ，M 为AB 中点，即20AB =，4OM R =-，利用勾股定理可知，22222AB AM OA OB ==-，即22100(4)R R =--，解得292R =，当水面上涨2米后，即水面到达CD ，N 为CD 中点，此时2ON R =-， 由勾股定理得2222(2)66CD CN R R ==--=.故选：C 【点睛】关键点睛：本题考查圆的弦长，解题的关键是利用已知条件建立模型，利用数形结合求解，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于基础题.6．B解析：B 【分析】根据题意，分析圆C 的圆心坐标以及半径，设AB 的中点为M ，由AB 的坐标分析M 的坐标以及|AB |的值，可得以AB 为直径的圆；进而分析，原问题可以转化为圆C 与圆M 有公共点，结合圆与圆的位置关系，分析可得答案． 【详解】根据题意，圆2288280C x y x y +--+=：，即()()22444x y -+-=；其圆心为()4,4，半径2r =， 设AB 的中点为M ，又由点()()1,0,1,0,A m B m -+则()1,0,2M AB m =， 以AB 为直径的圆为()2221x y m -+=，若圆2288280C x y x y +--+=：上存在一点P ，使得PA ⊥PB ，则圆C 与圆M 有公共点，又由22(14)(04)5MC =-+-=， 即有25m -≤且25m +≥,即37m ≤≤， 又0,37m m >∴≤≤，故选：B. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，注意将圆问题转化为圆与圆的位置关系，属于基础题．7．B解析：B 【分析】由新定义表示出三点,,A B C 两两之间的“切比雪夫距离”，然后根据绝对值的性质判断①，由新定义计算出(,)d P l ，判断②，根据新定义求出P 的轨迹方程，确定其轨迹，求得轨迹围成的图形面积判断③． 【详解】①设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则1212(,)d A B x x y y =-+-，13132323(,)(,)d A C d B C x x y y x x y y +=-+-+-+-，显然1323132312()()x x x x x x x x x x -+-≥---=-，同理132312y y y y y y -+-≥-，∴(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥，①正确； ②设(,)P x y 是直线l 上任一点，则21y x =-，(,)31322d P l x y x x =-+-=-+-35,31,1353,1x x x x x x -≥⎧⎪=+≤<⎨⎪-<⎩，易知(,)d P l 在[1,)+∞上是增函数，在(,1)-∞上是减函数，∴1x =时，min (,)13222d P l =-+-=，②错； ③由(,)1d P O =得1x y +=，易知此曲线关于x 轴，y 轴，原点都对称，它是以(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)--为顶点的正方形，其转成图形面积为12222S =⨯⨯=，③错．故选：B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是理解新定义，解题方法是把新概念转化为绝对值的问题，利用绝对值的性质求解．8．B解析：B 【分析】由点在直线上，点的坐标代入直线方程，确定1221a b a b -是否为0，不为0，方程组有唯一解，为0时，再讨论是否有无数解． 【详解】由题意112211b ka b ka =+⎧⎨=+⎩，则1221122112(1)(1)a b a b a ka a ka a a -=+-+=-，∵直线1y kx =+的斜率存在，∴12a a ≠，120a a -≠，∴方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩总有唯一解．A ，D 错误，B 正确；若12x y =⎧⎨=⎩是方程组的一组解，则11222121a b a b +=⎧⎨+=⎩，则点1122(,),(,)a b a b 在直线21x y +=，即1122y x =-+上，但已知这两个在直线1y kx =+上，这两条直线不是同一条直线，∴12x y =⎧⎨=⎩不可能是方程组的一组解，C 错误．故选：B ． 【点睛】本题考查直线方程，考查方程组解的个数的判断．掌握直线方程是解题关键．9．C解析：C 【分析】将两圆化为标准形式,求出圆心距和两圆半径之和,判断即可. 【详解】圆221:(1)(2)4C x y +++=，圆心 1(1,2)C -- ，12r =， 圆222:(2)(2)9C x y -+-= ，圆心2C ()2,2，23r =，圆心距125C C ==1212C C r r =+,∴两圆外切，有3条公切线.故选:C. 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系,考查学生数形结合思想以及求解运算能力,属于基础题.10．C解析：C 【分析】由题意有可得1(f x ，1)0y =，2(f x ，2)0y ≠，根据当两直线方程的一次项系数相等，但常数项不相等时，两直线平行，得出结论． 【详解】解：由题意有可得1(f x ，1)0y =，2(f x ，2)0y ≠，则方程(f x ，1)(y f x -，12)(y f x -，2)0y =即(f x ，2)(y f x -，2)0y =，它与直线:(,)0l f x y =的一次项系数相等，但常数项不相等，故(f x ，2)(y f x -，2)0y =表示过Q 点且与l 平行的直线， 故选：C ． 【点睛】根据平行直线系方程，即两直线方程10Ax By C ++=与20Ax By C ++=互相平行.11．B解析：B 【分析】先求出直线经过定点1(,1)2P ，圆的圆心为()0,2C ，根据直线与圆的位置关系可知，当CP l ⊥时弦AB 最短，根据1CP l k k ⋅=-求出m 的值，即可求出直线l 的方程.【详解】解：由题得，(21)(1)0x m y -+-=，21010x y -=⎧∴⎨-=⎩，解得：121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以直线l 过定点1(,1)2P ，圆22:(2)4C x y +-=的圆心为()0,2C ，半径为2，当CP l ⊥时，弦AB 最短，此时1CP l k k ⋅=-， 由题得212102CP k -==--，12l k ∴=， 所以212m -=，4m ∴=-， 所以直线l 的方程为：2430x y -+=.故选：B. 【点睛】本题考查直线过定点问题，考查直线方程的求法，以及直线和圆的位置关系，考查分析推理和化简运算能力.12．D解析：D 【分析】 易知曲线214y x 表示以()0,1 为圆心，以2为半径的半圆，直线()24y k x =-+过定点()2,4A ，然后在同一坐标系中作出直线与半圆的图象，利用数形结合法求解. 【详解】 曲线214y x 变形为22214141y x x y y 表示以()0,1 为圆心，以2为半径的半圆，直线()24y k x =-+过定点()2,4A ，在同一坐标系中作出直线与半圆的图象，如图所示：当直线()24y k x =-+与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，23221kk -=+，解得512k =，即512AC k ，又413224AB k ， 由图知：当曲线214y x ([]2,2x ∈-)与直线()24y k x =-+有两个公共点时：ACAB k kk ，即53124k <≤. 故选：D 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.二、填空题13．【分析】先画出图形求出再分四种情况讨论得解【详解】如图所示由题得的平分线：和的平分线：的交点到三条直线的距离相等联立两直线的方程解方程组得交点为；的外角平分线：和的外角平分线：的交点到三条直线的距离 解析：(0,3)30,33)(3)- 【分析】先画出图形，求出3),(1,0),(1,0)A B C -，再分四种情况讨论得解. 【详解】 如图所示，由题得3),(1,0),(1,0)A B C -,CAB ∠的平分线AO ：0x =和ACB ∠的平分线CD ：3(1)3y x =+的交点到三条直线的距离相等，联立两直线的方程解方程组03(1)3xy x =⎧⎪⎨=+⎪⎩得交点为3(0,)； ACB ∠的外角平分线CE ：3(1)y x =-+和ABC ∠的外角平分线BF ：3(1)y x =-的交点到三条直线的距离相等，联立两直线的方程解方程组3(1)3(1)y x y x ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩得交点为(0,3)-；ACB ∠的外角平分线CG ：3(1)y x =-+和CAB ∠的外角平分线AG ：3y =的交点到三条直线的距离相等，联立两直线的方程解方程组3(1)3y x y ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩得交点为(2,3)-；ABC ∠的外角平分线BH ：3(1)y x =-和CAB ∠的外角平分线AG ：3y =的交点到三条直线的距离相等，联立两直线的方程解方程组3(1)3y x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩得交点为(2,3).故答案为：(0,3)-、30,3、(2,3)、(2,3)-【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用平面几何的知识分析找到四个点，再利用直线的知识解答即可.14．【分析】设根据条件可得即点P 在圆外故圆与直线相离根据直线与圆的位置关系可得答案【详解】设由可得即所以点P 在圆外又点P 在直线上所以圆与直线相离所以解得：或故答案为：【点睛】关键点睛：本题考查根据直线与 解析：(,12)(221,)-∞--⋃+∞【分析】设(),P x y ，根据条件可得()()22214x y -+->，即点P 在圆()()22214x y -+-=外，故圆()()22214x y -+-=与直线:0l x y m -+=相离，根据直线与圆的位置关系可得答案. 【详解】设(),P x y ，由22||||18PA PB +>可得()()22224218x y x y -+++->，即()()22214x y -+-> 所以点P 在圆()()22214x y -+-=外，又点P 在直线:0l x y m -+=上 所以圆()()22214x y -+-=与直线:0l x y m -+=相离所以2d r =>=，解得：1m >或1m <--故答案为：(,11,)-∞--⋃+∞ 【点睛】关键点睛：本题考查根据直线与圆的位置关系求参数范围，解答本题的关键是根据条件得到点P 在圆()()22214x y -+-=外，即圆()()22214x y -+-=与直线:0l x y m -+=相离，属于中档题.15．【分析】化简看成是一个动点到一个定点的距离结合点到直线的距离公式即可求解【详解】由题意化简可得所以上式可看成是一个动点到一个定点的距离从而即为点与直线：上任意一点的距离由点到直线的距离公式可得所以的解析：2【分析】=，看成是一个动点(),M x y 到一个定点()1,1N 的距离，结合点到直线的距离公式，即可求解.【详解】=，所以上式可看成是一个动点(),M x y 到一个定点()1,1N 的距离， 从而S 即为点N 与直线l ：10x y ++=上任意一点(),M x y 的距离，由点到直线的距离公式，可得2d ==，所以S 的最小值为min 2S d ==故答案为：2. 【点睛】形如：22()()x a y b -+-的形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题，结合两点间的距离公式或点到直线的距离公式进行求解.16．【分析】先求得直线过定点分析可知当直线与CM 垂直时直线被圆截得的弦长最短进而利用斜率的关系即可求得m 的值【详解】直线的方程可化为所以直线会经过定点解得定点坐标为圆C 圆心坐标为当直线与CM 垂直时直线被解析：34-【分析】先求得直线过定点()3,1M ，分析可知当直线l 与CM 垂直时，直线被圆截得的弦长最短 ，进而利用斜率的关系即可求得m 的值． 【详解】直线l 的方程可化为()2740x y m x y +-++-=所以直线l 会经过定点27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得定点坐标为()3,1M ，圆C 圆心坐标为()1,2当直线l 与CM 垂直时，直线被圆截得的弦长最短211132CM k -==-- ，211l m k m +=-+ 所以121121CM l m k k m +⎛⎫⎛⎫⨯=-⨯-=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，解方程得34m =-【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，根据斜率关系求得参数的值，属于基础题．17．【解析】【分析】设出定点A 根据点到直线的距离公式求出点到直线l 的距离由距离为常数利用一般到特殊的思想令分析可得定点A 的坐标检验一般性可知动直线l 是以为圆心半径为的圆的切线系即可求出定点A 的坐标为【详 解析：()2,1【解析】 【分析】设出定点A ，根据点到直线的距离公式求出点A 到直线l 的距离，由距离为常数，利用一般到特殊的思想，令0,1,1m =-分析可得，定点A 的坐标，检验一般性可知，动直线l 是以()2,1 为圆心,半径为1的圆的切线系,即可求出定点A 的坐标为()2,1. 【详解】设定点A 为(),a b ，所以点A 到直线l 的距离d =无论m R ∈，d 为定值，所以令0m = 可得，2d b =-，令1m = 可得，3d a =-， 令1m =-可得，1d a =- ，由31a a -=- 可得，2a =，即有1b =或3b = ． 当定点A 为()2,1时，22111m d m +===+ ，符合题意； 当定点A 为()2,3 时，22131m d m -==+ ，显然d 的值随m 的变化而变化，不符题意，舍去．综上可知，动直线l 是以()2,1 为圆心,半径为1的圆的切线系，所以定点A 为2,1．故答案为：()2,1． 【点睛】本题主要考查直线系方程的识别和应用，点到直线的距离公式的应用，考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．18．【解析】【分析】设利用可得的轨迹方程以为圆心2为半径的圆利用圆上存在点可得两圆相交或相切建立不等式即可求出实数的取值范围【详解】解：设因为A(02)O(00)所以因为所以化简得：所以点的轨迹是以为圆 解析：[0,3]【解析】 【分析】设(),M x y ，利用 3MA MO ⋅= ，可得M 的轨迹方程以()0,1 为圆心，2为半径的圆，利用圆C 上存在点M ，可得两圆相交或相切，建立不等式，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】解：设(),M x y ，因为 A (0，2)，O (0，0)， 所以(,2)MA x y =-- ，(,)MO x y =-- . 因为3MA MO ⋅= ，所以()()()()23x x y y --+--= ，化简得：22(1)4x y +-= ，所以M 点的轨迹是以()0,1 为圆心，2为半径的圆. 因为M 在()()22:21C x a y a -+-+= 上， 所以两圆必须相交或相切.所以13≤≤ ，解得03a ≤≤.所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为： [0,3]. 故答案为：[0,3]. 【点睛】本题主要考查求轨迹方程，考查圆与圆的位置关系，确定M 的轨迹方程是解题的关键，属于中档题.19．【分析】设由题意结合重心的性质可得求得AB 的中垂线方程与欧拉线方程联立可得外心由外心的性质可得解方程即可得解【详解】设由重心坐标公式得的重心为代入欧拉线方程得整理得①因为AB 的中点为所以AB 的中垂线 解析：(4,0)-【分析】设(),C m n ，由题意结合重心的性质可得40m n -+=，求得AB 的中垂线方程，与欧拉=可得解. 【详解】设(),C m n ，由重心坐标公式得ABC 的重心为24,33m n ++⎛⎫⎪⎝⎭，代入欧拉线方程得242033m n++-+=整理得40m n -+=①， 因为AB 的中点为()1,2，40202AB k -==--，所以AB 的中垂线的斜率为12，所以AB 的中垂线方程为()1212y x -=-即230x y -+=， 联立23020x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，∴ABC 的外心为()1,1-，=，联立①②得4,0m n =-=或0,4m n ==， 当0,4m n ==时，点B 、C 两点重合，舍去； ∴4,0m n =-=即ABC 的顶点C 的坐标为()4,0-. 故答案为：()4,0-. 【点睛】本题考查了直线方程的求解与应用，考查了两点间距离公式的应用，关键是对题意的正确转化，属于中档题.20．【分析】根据AOB 是直角三角形解得圆心O 到直线ax ＋by ＝1距离即得ab 关系式再根据两点间距离公式代入消去根据二次函数性质以及的范围求最值【详解】因为是直角三角形且所以O 到直线ax ＋by ＝1距离为因1【分析】根据AOB 是直角三角形，解得圆心O ax ＋by ＝1距离，即得a ，b 关系式，再根据两点间距离公式，代入消去a ，根据二次函数性质以及b 的范围求最值 【详解】因为AOB 是直角三角形，且||||1AO OB ==,所以O ax ＋by ＝1，因此22222a b =+= 设点P (a ，b )与点(0，1)之间的距离为d ，d ====因为22,b b ≤≤≤b =d 取最大值为1=+1 【点睛】本题考查直线与圆位置关系、利用二次函数性质求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题21．(1) 22(2)(4)10x y -+-=(2) ()2255222x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ 【分析】（1）首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而确定其方程；（2）首先设出点M 的坐标，利用中点得到点D 坐标，代入圆的方程整理化简得到的中点M 的轨迹方程. 【详解】（1）由已知可设圆心N （a ，3a -2），又由已知得|NA |=|NB |，=，解得：a =2．于是圆N 的圆心N （2，4），半径r ==所以，圆N 的方程为22(2)(4)10x y -+-=,(2) 设M （x ，y ），D ()11,x y ，则由C （3，0）及M 为线段CD 的中点得：113202x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得11232x x y y=-⎧⎨=⎩又点D 在圆N ：22(2)(4)10x y -+-=上，所以有()()222322410x y --+-=，化简得：()2255222x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭． 故所求的轨迹方程为()2255222x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭．【点睛】方法点睛：与圆相关的点的轨迹问题，一般可以考虑转移法（相关点法），设动点的坐标，根据条件，用动点坐标表示圆上点的坐标，再根据圆上点的坐标满足圆的方程求解即可.22．（1）7470x y --=（2）440x y --=（3）3)10x y --= 【分析】（1）设11(,)A x x ，22(,2)B x x -，根据AB 的中点在直线20x y -=上求出125x x =，利用斜率公式求出直线AB 的斜率，再由点斜式可求出直线AB 的方程； （2）设直线AB 的方程为1x my =+，求出,A B 的坐标，利用AOBAOPBOPSSS=+求出面积关于m 的解析式，再根据基本不等式求最值可得m 和直线AB 的方程；（3）利用（2）中,A B 的坐标求出||PA 、||PB ，得到||||PA PB 关于m 的函数关系式，再换元利用基本不等式求出||||PA PB 取最小值时的m ，从而可得直线AB 的方程. 【详解】（1）设11(,)A x x ，22(,2)B x x -，则AB 的中点为12122(,)22x x x x +-， 因为AB 的中点在直线20x y -=上，所以121222022x x x x +--⨯=，即125x x =， 所以直线AB 的斜率12212227744x x x k x x x +===-， 所以直线AB 的方程为7(1)4y x =-，即7470x y --=. （2）设直线AB 的方程为1x my =+，联立10x my x y =+⎧⎨-=⎩，得11x y m ==-，所以11(,)11A m m --(1)m <， 联立120x my x y =+⎧⎨+=⎩，得121x m =+，221y m =-+1()2m >-，所以12(,)2121B m m -++， 所以AOB AOP BOP S S S =+112||()2121OP m m =+-+112221m m =+-+，因为220,210m m ->+>，所以112221m m +-+112221()22213m m m m -++=+⨯-+ 12122(11)32221m m m m +-=+++-+14(233≥+=， 当且仅当14m =时，等号成立， 所以AOB S的最小值为43，此时14m =，直线AB 的方程为114x y =+，即440x y --=.（3）由（2）知，||PA ==||PB =21m =+， 所以||||PA PB ⋅=222212121m m m m m +=-+-++222(1)2(1)3m m m +=-+++ 22321m m =+-++， 令53(,4)2m t +=∈，则2231(3)1m t m t +=+-+21106106t t t t t ==-++-≤=，当且仅当=t3m =时，231m m ++取得最大值，||||PA PB ⋅取得最小值，此时直线AB的方程为3)1x y =+，即3)10x y --=. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 23．（1）圆心(3,6)C -，半径5R =（2）证明见解析（3）16m =-时，直线l 被圆C 截得的弦最短，弦长为【分析】（1）利用6,12,20D E F =-==可求得结果； （2）利用直线l 经过的定点在圆C 内可证结论成立；（3）设圆心C 到直线l 的距离为d ，直线l 被圆C 截得的弦为AB ，根据弦长公式可知d 最大即CM l ⊥时，弦长最短，由此可求得结果. 【详解】（1）因为6,12,20D E F =-==所以6322D --=-=，12622E -=-=-，所以(3,6)C -，所以半径5R ===. （2）由2830mx y m ---=得(28)(3)0x m y --+=，由28030x y -=⎧⎨+=⎩得4,3x y ==-，所以直线l 经过定点M (4,3)-，5=<，所以定点M (4,3)-在圆C 内， 所以无论m 为何值，直线l 总与圆C 有交点.（3）设圆心C 到直线l 的距离为d ，直线l 被圆C 截得的弦为AB ，则||AB =d 最大值时，弦长||AB 最小，因为||d CM ≤==，当且仅当CM l ⊥时，d ，||AB取最小值=111236343CMm k =-=-=--+-，所以16m =-.所以16m =-时，直线l 被圆C 截得的弦最短，弦长为 【点睛】关键点点睛：第（2）问的关键是证明直线经过的定点在圆内，第（3）问的关键是推出CM l ⊥时，弦长最短.24．（1）(6,4)；（2）10x y +=.【分析】（1）点(,)a b 在直线3210x y ++=上，所以213b a +=-，代入直线20ax by ++=得6(32)0x b y x -+-=可得答案；（2）讨论直线的斜率存在和不存在情况，分别求出三角形的面积比较，并求较小时直线的【详解】（1）因为点(,)a b 在直线3210x y ++=上，所有3210a b ++=，即213b a +=-， 代入直线20ax by ++=得21203b x by +-++=，整理得6(32)0x b y x -+-=， 所以60320x y x -=⎧⎨-=⎩解得64x y =⎧⎨=⎩，定点(6,4)M . （2）设(,)A m n (0,0)m n >>，(,0)(0)B c c >，所以M 、A 、B 三点共线， 当1l 与x 轴垂直时，(4,24)A ，(4,0)B ，112444822OAB SOB AB =⨯⨯=⨯⨯=， 当1l 与x 轴不垂直时，所以AM BM k k =，即44066n m c --=--，644n m c n -=-， 因为在直线2:4l y x =上，所以4n m =，所以64541n m m c n m -==--， 因为0,0m c >>，所以501m c m =>-，所以1m ， 2115101101222111OAB A m m S y OB n m m m m ⎛⎫=⨯⨯=⨯⨯==-++ ⎪---⎝⎭()102240≥⨯+=，当且仅当111m m -=-即2m =时等号成立，此时48n m ==，所以(2,8)A ，因为48>40，所以△OAB 面积最小时直线1l 与x 轴不垂直，且1l 的斜率为84126AM k -==--，所以直线1l 的方程为8(2)y x -=--，即为100x y +-=. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.25．（1）142x y +=；（2）280x y -+=. 【分析】（1）设出直线的截距式方程1x y a b+=，代入点的坐标，求解出参数的值，从而截距式方程可求；（2）先求解出A 关于直线y x =的对称点A '，然后根据A '在BC 上求解出C 点坐标，再根据高所在直线的斜率与AB 斜率的关系，从而可求解出AB 的高所在直线的一般式方程.（1）设AB 的方程为1x y a b +=，代入点()51,,4,02A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以1512401a b a b-⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以42a b =⎧⎨=⎩，所以AB 的截距式方程为：142x y +=； （2）设A 关于y x =的对称点为A '，所以5,12A ⎛⎫'- ⎪⎝⎭且A '在直线BC 上， 又因为()4,0B ，所以()()01:04542A B l y x '---=--，即2833y x =-， 又因为C 在y x =上，也在2833y x =-上，所以2833y x y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以88x y =-⎧⎨=-⎩，所以()8,8C --， 又因为5012142AB k -==---，设AB 的高所在直线的一般式方程为20x y m -+=，代入点()8,8C --，所以1680m -++=，所以8m =，所以AB 的高所在直线的一般式方程为280x y -+=.【点睛】思路点睛：点关于直线l 的对称点坐标的求解步骤（直线的斜率存在且不为零，已知点()11,A x y ，直线l 的斜率k ）：（1）设出对称点的坐标(),A a b '；（2）AA '的中点11,22x a y b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭必在l 上，由此得到第一个方程； （3）根据1AA k k '=-得到第二个方程；（4）两个方程联立可求解出(),A a b '.26．答案见解析【分析】由点()2,1A --，()1,1B -均在圆上，可知圆心在直线AB ：1y =-的垂直平分线上，即12x =-，设圆心坐标为1,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径为r ，若选①，求出直线1l 和2l 的交点为21,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，再利用两点之间的距离求出半径，即可求得圆的方程；若选②，由已知得圆心1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，再利用两点之间的距离求出半径，即可求得圆的方程；若选③，由弦长AB =，可得半径及圆心，即可求出圆的方程.【详解】因为点()2,1A --，()1,1B -均在圆上，所以圆心在直线AB 的垂直平分线上， 又直线AB 的方程为1y =-，直线AB 垂直平分线所在直线方程为：21122x -+==-，则可设圆心坐标为1,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭；设圆的半径为r ， 若选①，存在圆Q ，使得点()2,1A --，()1,1B -均在圆上.由20210x y x y -=⎧⎨+-=⎩解得2515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即直线1l 和2l 的交点为21,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，则圆过点21,55⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以()222221211112552r b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-=--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得1b =-，则294r =， 即存在圆Q ，且圆Q 的方程为()2219124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭； 若选②，存在圆Q ，使得点()2,1A --，()1,1B -均在圆上. 由圆心在直线20x y -=上可得1202b ⎛⎫⨯--= ⎪⎝⎭，则1b =-， 所以()2221911124r ⎛⎫=--+-+= ⎪⎝⎭， 即存在圆Q ，且圆Q 的方程为()2219124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭； 若选③，存在圆Q ，使得点()2,1A --，()1,1B -均在圆上. 若圆被y轴截得弦长AB =，根据圆的性质可得，22219224AB r ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由()222191124r b ⎛⎫=--++= ⎪⎝⎭，解得1b =-， 即存在圆Q ，且圆Q 的方程为()2219124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭；综上，存在圆Q ，且圆Q 的方程为()2219124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭ 【点睛】方法点睛：本题考查求圆的标准方程，常用的方法有：(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法：若已知条件与圆心(),a b 和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；。
第二章 直线和圆的方程 专题测试(原卷版+解析版) (人教A版)高二数学选择性必修一
第二章 直线和圆的方程专题测试注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）1．（2020·福建高二学业考试）已知直线1l ：2y x =-，2l ：y kx =，若12//l l ，则实数k =（ ） A ．－2B ．－1C ．0D ．12．（2020·洮南市第一中学高一月考）直线()()1:2140l a x a y -+++=与()2:190l a x ay ++-=互相垂直，则a 的值是（ ）. A ．-0.25B ．1C ．-1D ．1或-13．（2020·江苏省海头高级中学高一月考）直线:l (1)230m x my m ---+=（m R ∈）过定点A ，则点A 的坐标为（ ） A ．(3,1)-B ．(3,1)C ．(3,1)-D ．(3,1)--4．（2020·广东高二期末）设a R ∈，则“a =1”是“直线ax+y -1=0与直线x+ay+1=0平行”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件,5．（2020·黑龙江高一期末）若曲线y 与直线y ＝k （x ﹣2）+4有两个交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．3,14⎛⎤⎥⎝⎦B ．3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．（1，+∞）D ．（1，3]6．（2020·浙江柯城。
衢州二中高三其他）已知直线x y t +=与圆()2222x y t tt R +=-∈有公共点，则()4t t -的最大值为（ ）A ．4B ．289C ．329D ．3277．（2020·广东高一期末）若两平行直线20,(0)x y m m ++=>与30x ny --=则m +n ＝（ ） A ．0B ．1C ．1-D ．2-8．（2020·北京市第五中学高三其他）过直线y ＝x 上的一点作圆22(5)(1)2x y -+-=的两条切线l 1，l 2，当直线l 1，l 2关于y ＝x 对称时，它们之间的夹角为（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°二、多选题（每题不止有一个选项为正确答案，每题5分，共20分）9．（2020·江苏省苏州第十中学校高一期中）圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（ ）A ．公共弦AB 所在直线方程为0x y -= B ．线段AB 中垂线方程为10x y +-=C ．公共弦ABD ．P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB 距离的最大值为12+ 10．（2020·江苏徐州.高一期末）已知直线12:10,:(2)330l x my l m x y +-=-++=，则下列说法正确的是（ ）A ．若12l l //，则m =-1或m =3B ．若12l l //，则m =3C ．若12l l ⊥，则12m =-D ．若12l l ⊥，则12m =11．（2020·江苏扬州.高一期末）已知直线l 与圆22:240C x y x y a ++-+=相交于,A B 两点，弦AB 的中点为()0,1M ，则实数a 的取值可为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．（2020·江苏省江阴高级中学高一期中）下列说法正确的是（ ） A ．直线32()y ax a a R =-+∈必过定点(3,2) B ．直线32y x =-在y 轴上的截距为2-C 10y ++=的倾斜角为60°D ．过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为20x y +=第II 卷（非选择题）三、填空题(每题5分，共20分）13．（2020·湖南张家界。
人教版高中数学选修一第二单元《直线和圆的方程》测试卷(有答案解析)
一、选择题1．已知直线1:210l ax y +-=2:820l x ay a ++-=，若12l l //，则a 的值为（ ）A ．4±B ．－4C ．4D ．2±2．已知(1,1)P ，(2,3)Q --，点P ，Q 到直线l 的距离分别为2和4，则满足条件的直线l的条数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．已知M (3，)，N (－1，)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为（ ）A B ．C ．D ．4．圆22(1)2x y ++=上一点到直线5y x =+的距离最小值为（ ） A ．1 B ．2CD ．5．直线220ax by -+=被222440x y x y ++--=截得弦长为6，则ab 的最大值是（ ） A ．9B ．4C ．12D ．146．已知圆1C ：224470x y x y ++-+=与圆2C ：()()222516x y -+-=的位置关系是（ ） A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切7．在平面直角坐标系中，定义1212(,)||||d A B x x y y =-+-为两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及直线l 上任意一点Q ，称(,)d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(,)d P l ，给出下列三个命题： ①对任意三点A 、B 、C ，都有(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥； ②已知点(3,1)P 和直线:210l x y --=，则4(,)3d P l =； ③定义(0,0)O ，动点(,)P x y 满足(,)1d P O =，则动点P 的轨迹围成平面图形的面积是4；其中真命题的个数（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38．过坐标原点O 作圆()()22341x y -+-=的两条切线，切点为,A B ，直线AB 被圆截得弦AB 的长度为( )A ．5B ．5CD9．直线l ：230kx y --=与圆C ：()()22124x y -++=交于A 、B 两点，若ABC的周长为4+k 的值为（ ） A ．32B ．32-C ．32±D ．12±10．点(2,3)P 到直线：(1)30ax a y +-+=的距离d 最大时，d 与a 的值依次为( ) A ．3，－3 B ．5，2 C ．5，1D ．7，111．圆221:2410C x y x y ++++=与圆222:4410C x y x y +---=的公切线有几条（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条12．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，若将军从点()20A ，处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A 1B ．1C ．D二、填空题13．已知点M 是直线l ：22y x =--上的动点，过点M 作圆C ：()()22114x y -+-=的切线MA ，MB ，切点为A ，B ，则当四边形MACB 的面积最小时，直线AB 的方程为______.14．直线()130m x my m ++++=被圆2225x y +=所截的弦长的最小值为________. 15．已知方程：22(42)20,()x y m x my m m R +-+--=∈ ①该方程表示圆，且圆心在直线210x y --=上； ②始终可以找到一条定直线与该方程表示的曲线相切；③当1m =-时，该方程表示的曲线关于直线:10l x y -+=的对称曲线为C ，则曲线C上的点到直线l 的最大距离为22； ④若m 1≥，过点(1,0)-作该方程表示的面积最小的曲线的两条切线，切点分别为,A B ，则AB 所在的直线方程为420x y +-=．以上四个命题中，是正确的有_______________（填序号）16．将直线:10l x y +-=，20l nx y n +-=:，3:0l x ny n +-=（n *∈N ，2n ≥）围成的三角形面积记为n S ，则n n lim S →∞=___________．17．已知等腰三角形的底边所在直线过点()2,1P ，两腰所在的直线为20x y +-=与740x y -+=，则底边所在的直线方程是_____________.18．直线:20180l x y +-=的倾斜角为__________；19．已知直线l 过点(4,1)A -，且和直线320x y -+=的夹角为30°，则直线l 的方程为____________.20．直线2ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点(其中a ，b 是实数)，且AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P (a ，b )与点(0，1)之间的距离的最大值为________.三、解答题21．已知三条直线123121323:20,:20,:210,,,l x y l x l x y l l A l l B l l C -=+=+-=⋂=⋂=⋂=．（1）求ABC 外接圆的方程；（2）若圆22:20D x y ax +-=与ABC 的外接圆相交，求a 的取值范围．22．已知直线方程为()()221340m x m y m -++++=，其中m R ∈. （1）当m 变化时，求点()3,4Q 到直线的距离的最大值；（2）若直线分别与x 轴、y 轴的负半轴交于A ，B 两点，求AOB 面积的最小值及此时的直线方程.23．已知圆C ：222430x y x y ++-+=（1）若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程； （2）若从圆C 外一点()1,2P -向该圆引切线PA 和PB （A ，B 为切点），求弦长AB 的大小.24．已知圆1C 过点(0,6)A ，且与圆222:10100C x y x y +++=相切于原点，直线:(21)(1)740l m x m y m +++--=．（1）求圆1C 的方程；（2）求直线l 被圆1C 截得的弦长最小值．25．（1）如图，已知直线l ： 0mx ny r ++=（0mn ≠）外一点P （a ，b ），请写出点P 到直线l 的距离PH 的公式及公式的推导过程．．．．.（2）一质点从点(4,0)A 处沿向量(1,1)a =-方向按每秒2个单位速度移动，求几秒后质点与点(2,4)B 距离最近.26．已知正方形的一条边AB 所在直线为310--=x y ，正方形的中心为()0,1R .求:（1）该正方形的面积;（2）该正方形的两条对角线所在直线的一般式方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由12l l //可得280,a a ⨯-⨯=解得4a =±，然后再检验,得出答案. 【详解】因为12l l //，所以280,4a a a ⨯-⨯=∴=±. 当4a =时，两直线重合，所以4a =舍去. 当4a =-时，符合题意. 所以4a =-. 故选：B 【点睛】易错点睛：已知直线1110a x b y c ++=和直线2220a x b y c ++=平行求参数的值时，除了要计算12210a b a b -=，还一定要把求出的参数值代入原直线方程进行检验，看直线是否重合.本题就是典型例子，否则容易出现错解，属于中档题2．B解析：B 【分析】以P 为圆心，以2为半径的圆记为圆P ，以Q 为圆心，以4为半径的圆记为圆Q ，利用圆P 与圆Q 相交，两圆有两条公切线，可得结果.【详解】22||(12)(13)5PQ =+++=，以P 为圆心，以2为半径的圆记为圆P ，以Q 为圆心，以4为半径的圆记为圆Q ， 因为42-<524<+，所以圆P 与圆Q 相交，所以两圆有两条公切线，所以满足条件的直线l 的条数是2. 故选：B 【点睛】关键点点睛：转化为判断两个圆的公切线的条数是解题关键.3．B解析：B 【分析】首先利用题中所给的点N (－1，，F (1，0)，求出直线NF 的方程，之后利用点到直线的距离公式求得结果. 【详解】易知NF 的斜率kNF 的方程为y(x －1)，＋y＝0. 所以M 到NF.故选：B. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关点到直线的距离的问题，解题思路如下：（1）根据题意首先求出直线的方程，可以先求斜率，利用点斜式求，也可以直接利用两点式求；（2）之后利用点到直线的距离公式直接求结果.4．C解析：C 【分析】求出圆心到直线距离，减去半径得解. 【详解】圆心为(1,0)-，直线方程为5y x =+，所以d == ，圆22(1)2x y ++=上一点到直线5y x =+的距离最小值d r -=故选C ． 【点睛】圆上的点到直线的距离的最值的几何求法通常运用圆心到直线的距离加减半径得到.属于基础题.5．D解析：D 【分析】根据弦长可知直线过圆心，再利用基本不等式求ab 的最大值. 【详解】将222440x y x y ++--=化为标准形式：22(1)(2)9x y ++-=， 故该圆圆心为(1,2)-，半径为3. 因为直线截圆所得弦长为6，故直线过圆心，所以2220a b --+=，即1a b +=，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭（当且仅当12a b ==时取等号），故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆相交，基本不等式求最值，本题的关键是根据弦长判断直线过圆心，这样问题就变得简单易求.6．B解析：B 【分析】分别求得两圆的圆心坐标和半径，结合圆与圆的位置关系的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，圆1C ：224470x y x y ++-+=，可得圆心坐标为1(2,2)C -，半径为11r =，圆2C ：()()222516x y -+-=，可得圆心坐标为1(2,5)C ，半径为14r =，又由125C C ==，且12145r r =+=+，即1212C C r r =+，所以圆12,C C 相外切. 故选：B. 【点睛】圆与圆的位置关系问题的解题策略：判断两圆的位置关系时常采用几何法，即利用两圆的圆心之间的距离与两圆的半径间的关系进行判断，一般不采用代数法；若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去22,x y 项得到.7．B解析：B 【分析】由新定义表示出三点,,A B C 两两之间的“切比雪夫距离”，然后根据绝对值的性质判断①，由新定义计算出(,)d P l ，判断②，根据新定义求出P 的轨迹方程，确定其轨迹，求得轨迹围成的图形面积判断③． 【详解】①设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则1212(,)d A B x x y y =-+-，13132323(,)(,)d A C d B C x x y y x x y y +=-+-+-+-，显然1323132312()()x x x x x x x x x x -+-≥---=-，同理132312y y y y y y -+-≥-，∴(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥，①正确； ②设(,)P x y 是直线l 上任一点，则21y x =-，(,)31322d P l x y x x =-+-=-+-35,31,1353,1x x x x x x -≥⎧⎪=+≤<⎨⎪-<⎩，易知(,)d P l 在[1,)+∞上是增函数，在(,1)-∞上是减函数，∴1x =时，min (,)13222d P l =-+-=，②错； ③由(,)1d P O =得1x y +=，易知此曲线关于x 轴，y 轴，原点都对称，它是以(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)--为顶点的正方形，其转成图形面积为12222S =⨯⨯=，③错．故选：B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是理解新定义，解题方法是把新概念转化为绝对值的问题，利用绝对值的性质求解．8．A解析：A 【分析】求得圆的圆心坐标和半径，借助11222AOM AB S OA MA OM ∆=⨯⨯=⨯⨯，即可求解. 【详解】如图所示，设圆()()22341x y -+-=的圆心坐标为(3,4)M ，半径为1r =，则5OM ==,OA ===，则11222AOM AB S OA MA OM ∆=⨯⨯=⨯⨯，可得25OA MA AB OM ⨯⨯== 故选A.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到圆的切线方程应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9．A解析：A 【分析】先根据半径和周长计算弦长23AB =即可. 【详解】圆C ：()()22124x y -++=中，圆心是()1,2C -，半径是2r，故ABC 的周长为423+2423r AB +=+23AB =又直线与圆相交后的弦心距2243144k k d k k +-+==++，故由2222AB r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得()221434k k +=++，解得32k . 故选：A. 【点睛】本题考查了直线与圆的综合应用，考查了点到直线的距离公式，属于中档题.10．C解析：C 【分析】将直线方程整理为()()30a x y y ++-=，可得直线()130ax a y +-+=经过定点()3,3Q -，由此可得当直线()130ax a y +-+=与PQ 垂直时PQ 的长，并且此时点P 到直线的距离达到最大值，从而可得结果. 【详解】直线()130ax a y +-+=，即()()30a x y y ++-=，∴直线()130ax a y +-+=是过直线0x y +=和30y -=交点的直线系方程，由030x y y +=⎧⎨-=⎩，得33x y =-⎧⎨=⎩，可得直线()130ax a y +-+=经过定点()3,3Q -，∴当直线()130ax a y +-+=与PQ 垂直时，点()2,3P 到直线()130ax a y +-+=的距离最大，d ∴的最大值为5PQ ==，此时//PQ x 轴，可得直线()130ax a y +-+=斜率不存在，即1a =. 故选：C. 【点睛】本题主要考查直线的方程与应用，以及直线过定点问题，属于中档题. 探索曲线过定点的常见方法有两种：① 可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为()(),,0tf x y g x y +=的形式，根据()(),0,0f x y g x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ，从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.11．C解析：C 【分析】将两圆化为标准形式,求出圆心距和两圆半径之和,判断即可. 【详解】圆221:(1)(2)4C x y +++=，圆心 1(1,2)C -- ，12r =， 圆222:(2)(2)9C x y -+-= ，圆心2C ()2,2，23r =，圆心距125C C ==1212C C r r =+,∴两圆外切，有3条公切线.故选:C. 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系,考查学生数形结合思想以及求解运算能力,属于基础题.12．B解析：B 【分析】先求出点A 关于直线4x y +=的对称点'A ，点'A 到圆心的距离减去半径即为最短． 【详解】解：设点A 关于直线4x y +=的对称点(,)A a b '，'2AA bk a =-，AA '的中点为2,22a b +⎛⎫⎪⎝⎭，故122422b a a b ⎧=⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩解得4a =，2b =， 要使从点A 到军营总路程最短，即为点f A 到军营最短的距离， 即为点'A 和圆上的点连线的最小值，为点'A 和圆心的距离减半径， “将军饮马”的最短总路程为4161251+-=-，故选：B 【点睛】本题考查了数学文化问题、点关于直线的对称问题、点与圆的位置关系等等，解决问题的关键是将实际问题转化为数学问题，建立出数学模型，从而解决问题．二、填空题13．【分析】由已知结合四边形面积公式可得四边形MACB 面积要使四边形MACB 面积最小则需最小此时CM 与直线垂直求得以CM 为直径的圆的方程再与圆C 的方程联立可得AB 所在直线方程【详解】由圆的标准方程可知圆 解析：210x y ++=【分析】由已知结合四边形面积公式可得四边形MACB 面积22||||2||2||4,CAM S S CA AM MA CM ==⋅==-△要使四边形MACB 面积最小，则需||CM 最小，此时CM 与直线l 垂直，求得以CM 为直径的圆的方程，再与圆C 的方程联立可得AB 所在直线方程.【详解】由圆的标准方程可知，圆心C (1，1) ，半径r =2.因为四边形MACB的面积2||||2||CAM S S CA AM MA ==⋅==△ 要使四边形MACB 面积最小，则需||CM 最小，此时CM 与直线l 垂直. 直线CM 的方程为11(x 1)2y -=- ，即11.22y x =+联立112222y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=--⎩，解得(1,0)M -则以CM 为直径的圆的方程为2215()24x y +-=， 联立222215(),24(1)(1)4x y x y ⎧+-=⎪⎨⎪-+-=⎩消去二次项可得直线AB 的方程为210x y ++=， 故答案为：210x y ++= 【点睛】关键点点睛：根据四边形的面积表达式可以看出要使四边形MACB 面积最小，则需||CM 最小，此时CM 与直线l 垂直，此时所做圆的直径为CM ，写出圆的方程，两圆方程相减即可求出过AB 的直线方程.14．【分析】转化条件为直线过结合垂径定理可得当直线与直线垂直时弦长最小即可得解【详解】直线可变为由可得所以直线过定点又圆的圆心为半径所以点在圆内所以当直线与直线垂直时弦长最小此时弦长为故答案为：【点睛】解析：【分析】转化条件为直线过()3,2A -，结合垂径定理可得当直线AO 与直线()130m x my m ++++=垂直时，弦长最小，即可得解.【详解】直线()130m x my m ++++=可变为()130x y m x ++++=，由1030x y x ++=⎧⎨+=⎩可得32x y =-⎧⎨=⎩，所以直线()130m x my m ++++=过定点()3,2A -， 又圆2225x y +=的圆心为()0,0O ，半径=5r ，所以213AO =，点()3,2A -在圆内，所以当直线AO 与直线()130m x my m ++++=垂直时，弦长最小，此时弦长为==.故答案为： 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是找到直线经过的定点，再利用几何法转化出弦长.15．③④【分析】先将方程：化为：确定出圆心半径判断选项①②；将代入得圆方程可转化为该圆上的点到直线的最大距离问题求解；先求出以圆外点与圆心连线为直径的圆方程再将两圆方程相减即可得两切点连线的直线方程【详解析：③④ 【分析】先将方程：22(42)20x y m x my m +-+--=化为：()()22221551x m y m m m -++-=++⎡⎤⎣⎦，确定出圆心，半径判断选项①②；将1m =-代入得圆方程，可转化为该圆上的点到直线l 的最大距离问题求解；先求出以圆外点(1,0)-与圆心连线为直径的圆方程，再将两圆方程相减即可得两切点连线的直线方程.【详解】方程：22(42)20x y m x my m +-+--=可化为：()()22221551x m y m m m -++-=++⎡⎤⎣⎦，当25510m m ++>即m >或m <时，方程表示圆，故①错；由①知，当m >或m <时，该方程表示圆，且圆心()21,M m m +在直线210x y --=上移动，且半径不定，故②显然不正确；当1m =-时，方程表示圆M ：()()22111x y +++=,由条件知曲线C 上的点到直线l 的最大距离即为圆M 上的点到直线l 212+=，所以③正确；当m 1≥时，22211551524r m m m ⎛⎫=++=+- ⎪⎝⎭，所以当1m =时，圆面积最小，此时圆心为()3,1M ，圆M 方程为：()()223111x y -+-=，设()1,0P -，则PM 的中点为11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，217PM =， 所以PM 为直径的圆方程为()22117124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，两圆方程相减即得AB 所在的直线方程为420x y +-=，故④正确. 故答案为：③④ 【点睛】方法点睛：已知圆外一点引圆的两条切线，求解切点连线的直线方程，通常先求出以圆外一点与圆心连线为直径的圆方程，然后将两圆方程相减，即可得切点连线的直线方程.16．【分析】求出三条直线的交点坐标从而可求得三角形的面积再求极限即可【详解】由得即同理可得到直线的距离为∴∴故答案为：【点睛】本题考查数列的极限解题关键是求出三角形的面积 解析：12【分析】求出三条直线的交点坐标，从而可求得三角形的面积n S ，再求极限即可。
成都理工大学附属中学选修一第二单元《直线和圆的方程》测试卷(含答案解析)
一、选择题1．如图一所示，在平面内，点P 为圆O 的直径AB 的延长线上一点，2AB BP ==，过动点Q 作圆的切线QR ，满足2PQ QR =，则QAP 的面积的最大值为（ ）A ．83B 83C ．163D 163 2．若平面上两点()2,0A -，()10B ,，则l ：()1y k x =-上满足2PA PB =的点P 的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．与实数k 的取值有关3．已知两点()1,2A -、()2,1B ，直线l 过点()0,1P -且与线段AB 有交点，则直线l 的倾斜角的取值范围为（ ）A ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．30,,424πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ C ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ D ．3,,4224ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦4．光线从(3,4)A -点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点(1,6)D -，则BC 所在直线的方程是（ ）A ．5270x y -+=B ．310x y +-=C ．3240x y -+=D ．230x y --= 5．夹在两平行直线1:340l x y -=与2:34200l x y --=之间的圆的最大面积等于（ ） A ．2π B ．4π C ．8π D ．12π6．直线220ax by -+=被222440x y x y ++--=截得弦长为6，则ab 的最大值是（ ）A ．9B ．4C ．12D ．147．点P 是直线2100x y ++=上的动点，直线PA ，PB 分别与圆224x y +=相切于A ，B 两点，则四边形PAOB （O 为坐标原点）的面积的最小值等于（ ）A ．8B ．4C ．24D ．168．已知0a >，0b >，直线1l ：()410x a y +-+=，2l ：220bx y +-=，且12l l ⊥，则1112a b++的最小值为（ ） A ．2 B ．4 C ．23 D ．459．直线y =x +b 与曲线x =b 的取值范围是（ ）A ．||b =B ．-1<b ≤1或b =C ．-1≤b <1D ．非以上答案10．已知()()4,0,0,4A B ，从点(1,0)P 射出的光线被直线AB 反射后，再射到直线OB 上，最后经OB 反射后回到P 点，则光线所经过的路程是（ ）A B ．6 C ．D ．11．直线0x ay a +-=与直线(23)10ax a y ---=互相垂直，则a 的值为（ ） A ．2 B ．－3或1 C ．2或0D ．1或0第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案12．若圆()2220x y rr +=>上仅有4个点到直线20x y --=的距离为1，则实数r 的取值范围为（ ）A ．)1,+∞B ．)1-C ．()1-D ．()1 二、填空题13．已知过点()4,1P 的直线l 与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当AOB 的面积最小时，直线l 的方程为______．14．已知圆O ：221x y +=，圆M ：22()(2)2x a y -+-=．若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得PA PB ⊥，则实数a 的取值范围为______．15．已知三条直线的方程分别为0y =0y -+=0y +-，那么到三条直线的距离相等的点的坐标为___________．16．若直线0x y m +-=与曲线2y =没有公共点，则实数m 所的取值范围是______.17．点(,)P x y 是直线30kx y ++=上一动点，,PA PB 是圆22:430C x y y +-+=的两条切线，,A B 是切点，若四边形PACB 面积的最小值为2，则k 的值为______. 18．已知k ∈R ，过定点A 的动直线10kx y +-=和过定点B 的动直线30x ky k --+=交于点P ，则22PA PB +的值为__________.19．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+，曲线2C 的方程为22(1)4x y ++=，若1C 与2C 有且仅有三个公共点，则实数k 的值为_____．20．已知过抛物线2:4C y x =焦点F 的直线交抛物线C 于P ，Q 两点，交圆2220x y x +-=于M ，N 两点，其中P ，M 位于第一象限，则11PM QN +的最小值为_____．参考答案三、解答题21．已知圆221:2440C x y x y ++--=.（1）在下列两个条件中任选一个作答.注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.①已知不过原点的直线l 与圆1C 相切，且在x 轴、y 轴上的截距相等，求直线l 的方程； ②从圆外一点(2,1)P 向圆引切线，求切线方程.（2）若圆222:4C x y +=与圆1C 相交与D 、E 两点，求线段DE 的长. 22．如图，已知点()4,0A ，()0,2B ，直线l 过原点，且A 、B 两点位于直线l 的两侧，过A 、B 作直线l 的垂线，分别交l 于C 、D 两点．（1）当C 、D 重合时，求直线l 的方程；（2）当23AC BD =时，求线段CD 的长度．23．光线从(1,1)A 点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点(1,7)D . （1）求BC 所在直线的方程； （2）过点(2,2)E 且斜率为(0)m m ->的直线l 与x ，y 轴分别交于,P Q ，过,P Q 作直线BC 的垂线，垂足为,R S ，求线段||RS 长度的最小值.24．已知圆M 过点)5,3P ，且与圆222:(1)(2)(0)N x y r r -+-=>关于直线0:20x y l +-=对称.（1）求两圆的方程；（2）若直线1:70l x y +-=，在1l 上取一点A ，过点A 作圆M 的切线，切点为B ，C ．证明：23BC ≠.25．已知圆C ：x 2+y 2+Dx +Ey -12＝0过点(1,7)P -，圆心C 在直线l ：x -2y -2＝0上. （1）求圆C 的一般方程.（2）若不过原点O 的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且12OA OB ⋅=-，试问直线l 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.26．已知直线:10l x y +-=与圆22:430C x y x +-+=相交于,A B 两点.（1）求||AB ；（2）若(,)P x y 为圆C 上的动点，求+1y x 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，利用两点间距离公式推导出点Q 的轨迹方程，可得点Q 到AP 距离的最大值，由此能求出QAP 的面积的最大值.【详解】以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，因为2AB BP ==，所以()3,0P ，设(),Q x y因为过动点Q 作圆的切线QR ，满足2PQ QR =，()2224PQ QO OR =-所以()()2222341x y x y -+=+-， 整理得：()221613x y ++=， 所以点Q 的轨迹是以()1,0-3所以当点Q 在直线1x =-上时，y =此时点Q 到AP 距离最大，QAP 的面积的最大，所QAP 的面积最大为114223QAP SAP =⨯=⨯==， 故选：B【点睛】 关键点点睛：本题的关键点是建立直角坐标系，设(),Q x y ，利用()222244PQ QR OQ OR ==-，即可求出点Q 的轨迹方程，可得点Q 到AP 距离的最大值，即为三角形高最大，从而QAP 的面积最大.2．C解析：C【分析】首先利用直接法求点P 的轨迹方程，则转化为直线()1y k x =-与轨迹曲线的交点个数.【详解】设(),P x y ，2PA PB =，=整理为：()22224024x y x x y +-=⇔-+=，即点P 的轨迹是以()2,0为圆心，2r 为半径的圆，直线():1l y k x =-是经过定点()1,0，斜率存在的直线，点()1,0在圆的内部，所以直线():1l y k x =-与圆有2个交点，则l ：()1y k x =-上满足2PA PB =的点P 的个数为2个.故选：C【点睛】方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：直接法：把题设条件直接“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法. 3．C解析：C【分析】作出图形，求出直线PA 、PB 的斜率，数形结合可得出直线l 的斜率的取值范围，进而可求得直线l 的倾斜角的取值范围.【详解】如下图所示：直线PA 的斜率为21110PA k -+==--，直线PB 的斜率为11120PB k +==-， 由图形可知，当直线l 与线段AB 有交点时，直线l 的斜率[]1,1k ∈-. 因此，直线l 的倾斜角的取值范围是30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭. 故选：C.【点睛】关键点点睛：求直线倾斜角的取值范围的关键就是求出直线的斜率的取值范围，结合图象，利用直线PA 、PB 的斜率可得所要求的斜率的取值范围.4．A解析：A【分析】根据题意做出光线传播路径，求()3,4A -关于x 轴的对称点()'3,4A --，点(1,6)D -关于x 轴的对称点()'1,6D ，进而得BC 所在直线的方程即为''A D 直线方程，再根据两点式求方程即可.【详解】解：根据题意，做出如图的光线路径，则点()3,4A -关于x 轴的对称点()'3,4A --，点(1,6)D -关于y 轴的对称点()'1,6D ，则BC 所在直线的方程即为''A D 直线方程，由两点是方程得''A D 直线方程为：436413y x ++=++，整理得：5270x y -+= 故选：A.【点睛】本题解题的关键在于做出光线传播路径，将问题转化为求A 关于x 轴的对称点'A 与D 关于y 轴的对称点'D 所在直线''A D 的方程，考查运算求解能力，是中档题.5．B解析：B【分析】夹在两平行直线之间的面积最大的圆与这两条直线都相切，求出直径即可得到面积【详解】两平行直线1:340l x y -=与2:34200l x y --=之间的距离：204916d ==+，夹在两平行直线1:340l x y -=与2:34200l x y --=之间的圆半径最大值为2， 所以该圆的面积为4π.故选：B【点睛】此题考查求两条平行直线之间的距离，关键在于熟记距离公式正确求解.6．D解析：D【分析】根据弦长可知直线过圆心，再利用基本不等式求ab 的最大值.【详解】将222440x y x y ++--=化为标准形式：22(1)(2)9x y ++-=，故该圆圆心为(1,2)-，半径为3.因为直线截圆所得弦长为6，故直线过圆心，所以2220a b --+=，即1a b +=，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭（当且仅当12a b ==时取等号）， 故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆相交，基本不等式求最值，本题的关键是根据弦长判断直线过圆心，这样问题就变得简单易求.7．A解析：A【分析】根据题意，得到四边形PAOB 的面积22PAO S SPA ===只需求PO 最小值，进而可求出结果.【详解】因为圆224x y +=的圆心为()0,0O ，半径为2r ，圆心()0,0O 到直线2100x y ++=的距离为2d ==>， 所以直线2100x y ++=与圆224x y +=相离， 又点P 是直线2100x y ++=上的动点，直线PA ，PB 分别与圆224x y +=相切于A ，B 两点，所以PA PB =，PA OA ⊥，PB OB ⊥，因此四边形PAOB 的面积为12222PAO PBO PAO S S S S PA r PA =+==⨯⨯== 为使四边形面积最小，只需PO 最小，又min PO 为圆心()0,0O 到直线2100x y ++=的距离d =所以四边形PAOB 的面积的最小值为8=.故选：A.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据圆的切线的性质，将四边形的面积化为2PAO S=求面积最值问题，转化为定点到线上动点的最值问题，即可求解. 8．D解析：D【分析】根据12l l ⊥得到125a b ++=，再将1112a b++化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果.【详解】因为12l l ⊥，所以240b a +-=，即125a b ++=，因为0,0a b >>，所以10,20a b +>>， 所以1112a b ++=1112a b ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭()1125a b ⨯++1212512b a a b +⎛⎫=++ ⎪+⎝⎭14255⎛≥+= ⎝， 当且仅当35,24a b ==时，等号成立. 故选：D【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 9．B解析：B【分析】作出曲线x =y x b =+，求出直线过半圆直径两端点时的b 值，及直线与半圆相切时的b 值可得结论．【详解】作出曲线x =y x b =+，如图，易知(0,1),(1,0)A B -，当直线y x b =+过点A 时，1b =，当直线y x b =+过点B 时，1b =-，当直线y x b =+1=，b =b =∴b 的取值范围是11b -<≤或b =故选：B【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题时要注意曲线是半圆，因此直线过B 点时与半圆有两个交点，直线与半圆相切时，也只有一个公共点，这是易错点．10．A解析：A【分析】设点P 关于y 轴的对称点P '，点P 关于直线:40AB x y +-=的对称点P ''，由对称点可求得P '和P ''的坐标，在利用入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，光线所经过的路程||P P '''．【详解】解：点P 关于y 轴的对称点P '坐标是(1,0)-，设点P 关于直线:40AB x y +-=的对称点(,)P a b '' ∴0111422b a a b -⎧=⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩，解得43a b =⎧⎨=⎩，(4,3)P ∴''， ∴光线所经过的路程22||(41)334P P '''=++故选A ．【点睛】本题考查求一个点关于直线的对称点的方法（利用垂直及中点在轴上），入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，把光线走过的路程转化为||P P '''的长度，属于中档题．11．C解析：C【分析】先考虑其中一条直线的斜率不存在时（0a =和32a =）是否满足，再考虑两直线的斜率都存在，此时根据垂直对应的直线一般式方程的系数之间的关系可求解出a 的值.【详解】当0a =时，直线为：10,3x y ==，满足条件； 当32a =时，直线为：3320,223x y x +-==，显然两直线不垂直，不满足； 当0a ≠且32a ≠时，因为两直线垂直，所以()230a a a --=，解得2a =， 综上：0a =或2a =. 故选C. 【点睛】根据两直线的垂直关系求解参数时，要注意到其中一条直线斜率不存在另一条直线的斜率为零的情况，若两直线对应的斜率都存在可通过121k k 去计算参数的值.12．A解析：A 【分析】到已知直线的距离为1的点的轨迹，是与已知直线平行且到它的距离等于1的两条直线，根据题意可得这两条平行线与222x y r +=有4个公共点，由此利用点到直线的距离公式加以计算，可得r 的取值范围． 【详解】解：作出到直线20x y --=的距离为1的点的轨迹，得到与直线20x y --=平行， 且到直线20x y --=的距离等于1的两条直线， 圆222x y r +=的圆心为原点，原点到直线20x y --=的距离为d∴两条平行线中与圆心O 距离较远的一条到原点的距离为1d '=，又圆222(0)x y r r +=>上有4个点到直线20x y --=的距离为1，∴两条平行线与圆222x y r +=有4个公共点，即它们都与圆222x y r +=相交．由此可得圆的半径r d '>，即1r ，实数r 的取值范围是)1,+∞．故选：A ．【点睛】本题给出已知圆上有四点到直线的距离等于半径，求参数的取值范围．着重考查了圆的标准方程、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．二、填空题13．【分析】由题意可知直线的斜率存在且不为零可设直线的方程为求出点的坐标结合已知条件可求得的取值范围并求出的面积关于的表达式利用基本不等式可求得面积的最小值及其对应的值由此可求得直线的方程【详解】由题意 解析：480x y +-=【分析】由题意可知，直线l 的斜率存在且不为零，可设直线l 的方程为()14y k x -=-，求出点A 、B 的坐标，结合已知条件可求得k 的取值范围，并求出AOB 的面积关于k 的表达式，利用基本不等式可求得AOB 面积的最小值及其对应的k 值 ，由此可求得直线l 的方程.【详解】由题意可知，直线l 的斜率存在且不为零，可设直线l 的方程为()14y k x -=-，即14y kx k =+-. 在直线l 的方程中，令0x =，可得14y k =-；令0y =，可得41k x k-=. 即点41,0k A k -⎛⎫⎪⎝⎭、()0,14B k -，由题意可得410140k k k -⎧>⎪⎨⎪->⎩，解得0k <， AOB 的面积为()()14111111481682168222AOBk S k k k k k k ⎛-⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-=--≥+-⋅-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝△，当且仅当()1160k k k-=-<时，即当14k =-时，等号成立，所以，直线l 的方程为()1144y x -=--，即480x y +-=.故答案为：480x y +-=. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点： （1）将三角形的面积利用k 加以表示；（2）在求解最值时，可充分利用基本不等式、导数、函数的单调性等知识来求解.14．【分析】将转化为由圆与圆：有公共点可解得结果【详解】因为所以所以所以圆与圆：有公共点所以所以得所以故答案为：【点睛】关键点点睛：转化为圆与圆：有公共点求解是解题关键 解析：22a -≤≤【分析】将PA PB ⊥转化为PO =，由圆222x y +=与圆M ：22()(2)2x a y -+-=有公共点可解得结果. 【详解】因为PA PB ⊥，所以4APO BPO π∠=∠=，所以1PA PB ==，PO =，所以圆222x y +=与圆M ：22()(2)2x a y -+-=有公共点，所以OM PO PM ≤+==≤24a ≤，所以22a -≤≤. 故答案为：22a -≤≤ 【点睛】关键点点睛：转化为圆222x y +=与圆M ：22()(2)2x a y -+-=有公共点求解是解题关键.15．【分析】先画出图形求出再分四种情况讨论得解【详解】如图所示由题得的平分线：和的平分线：的交点到三条直线的距离相等联立两直线的方程解方程组得交点为；的外角平分线：和的外角平分线：的交点到三条直线的距离解析：(0,30,3(- 【分析】先画出图形，求出(1,0),(1,0)A B C -，再分四种情况讨论得解. 【详解】 如图所示，由题得(1,0),(1,0)A B C -,CAB ∠的平分线AO ：0x =和ACB ∠的平分线CD ：(1)3y x =+的交点到三条直线的距离相等，联立两直线的方程解方程组3(1)3xy x=⎧⎪⎨=+⎪⎩得交点为3(0,)3；ACB∠的外角平分线CE：3(1)y x=-+和ABC∠的外角平分线BF：3(1)y x=-的交点到三条直线的距离相等，联立两直线的方程解方程组3(1)3(1)y xy x⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩得交点为(0,3)-；ACB∠的外角平分线CG：3(1)y x=-+和CAB∠的外角平分线AG：3y=的交点到三条直线的距离相等，联立两直线的方程解方程组3(1)3y xy⎧=-+⎪⎨=⎪⎩得交点为(2,3)-；ABC∠的外角平分线BH：3(1)y x=-和CAB∠的外角平分线AG：3y=的交点到三条直线的距离相等，联立两直线的方程解方程组3(1)3y xy⎧=-⎪⎨=⎪⎩得交点为(2,3).故答案为：(0,3)-、30,3、(2,3)、(2,3)-【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用平面几何的知识分析找到四个点，再利用直线的知识解答即可.16．【分析】根据题意作出曲线的图象然后采用平移直线的方法求解出的临界值由此求解出的取值范围【详解】如下图所示：即为表示圆心在半径为的半圆当直线与曲线在左下方相切时此时所以此时（舍）或；当直线经过点时所以解析：((),122,-∞⋃+∞【分析】根据题意作出曲线()22y x x =--+的图象，然后采用平移直线的方法求解出m 的临界值，由此求解出m 的取值范围. 【详解】如下图所示：()22y x x =--+即为()()()2212112x y y ++-=≤≤，表示圆心在()1,2-，半径为1的半圆，当直线与曲线在左下方相切时，此时0m <，所以12111m -+-=+，此时21m +=（舍）或12m =-；当直线经过点()0,2时，020m +-=，所以2m =，综上可知：当直线与曲线()22y x x =--+没有交点时，()(),122,m ∈-∞-⋃+∞， 故答案为：()(),122,-∞-⋃+∞.【点睛】思路点睛：根据直线与半圆的交点数求解参数范围的思路： （1）根据条件画出半圆的图象确定好圆心和半径； （2）采用平移直线的方法确定出直线的临界位置；（3）利用圆心到直线的距离公式以及直线经过某点求解出参数的临界值，由此确定出参数的取值范围.17．【分析】根据圆的切线性质可知四边形的面积转化为直角三角形的面积结合最小值可求的值【详解】由于是圆的两条切线是切点所以当最小时四边形的面积最小而的最小值即为到直线的距离又所以故答案为： 解析：2±【分析】根据圆的切线性质可知四边形PACB 的面积转化为直角三角形的面积，结合最小值可求k 的值. 【详解】由于,PA PB 是圆()22:21C x y +-=的两条切线，,A B 是切点，所以2||||2||PACB PAC S S PA AC PA ∆==⋅=== 当||PC 最小时，四边形PACB 的面积最小，而||PC 的最小值即为C 到直线的距离d ， 又d =所以224 2.k k =⇒=⇒=± 故答案为：2±.18．13【分析】由两直线方程可得定点再联立两直线方程解出的坐标然后由两点间距离公式可得进而可以求解【详解】动直线过定点动直线过定点联立方程解得则由两点间距离公式可得：故答案为：13【点睛】本题考查了直线解析：13 【分析】由两直线方程可得定点(0,1)A ，(3,1)B --，再联立两直线方程解出P 的坐标，然后由两点间距离公式可得2PA ，2PB ，进而可以求解． 【详解】动直线10kx y +-=过定点(0,1)A 动直线30x ky k --+=过定点(3,1)B -- 联立方程1030kx y x ky k +-=⎧⎨--+=⎩，解得223(1k P k -+，2231)1k k k -+++， 则由两点间距离公式可得：PA =PB =2432432222222222224129412991249124()()(1)(1)(1)(1)k k k k k k k k k k PA PB k k k k -+-+++++∴+=+++++++422213(21)13(1)k k k ++==+，故答案为：13． 【点睛】本题考查了直线中定点问题以及两点间距离公式，考查了学生的运算能力，属于基础题．19．【分析】利用是过点B(02)且关于y 轴对称的两条射线将C1与C2有且仅有三个公共点等价转化为l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点验证即可解析：43-【分析】利用1C 是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线,将C 1与C 2有且仅有三个公共点等价转化为l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点,或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点，验证，即可得出答案. 【详解】易知2C 是圆心为A (-1,0),半径为2的圆.由题设知,1C 是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线，记y 轴右边的射线为l 1,y 轴左边的射线为l 2，由于B 在圆C 2的外面,故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点,或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点. 当l 1与C 2只有一个公共点时,A 到l 1所在直线的距离为2,2=,故43k =-或k =0.经检验，当k =0时，l 1与C 2没有公共点； 当43k =-时，l 1与C 2只有一个公共点,l 2与C 2有两个公共点 当l 2与C 2只有一个公共点时，A 到l 2所在直线的距离为22=,故k =0或43k =,经检验，当k =0时，l 1与C 2没有公共点，当43k =时，l 2与C 2没有公共点. 故答案为：43- 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题.20．【分析】设根据题意可设直线的方程为将其与抛物线方程联立可求出结合图形及抛物线的焦半径公式可得再利用基本不等式即可求出的最小值【详解】圆可化为圆心坐标为半径为抛物线的焦点可设直线的方程为设由得所以又所 解析：2【分析】设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，根据题意可设直线PQ 的方程为1x my =+，将其与抛物线C 方程联立可求出121=x x ，结合图形及抛物线的焦半径公式可得12||||1PM QN x x ⋅==，再利用基本不等式，即可求出11PM QN+的最小值. 【详解】圆2220x y x +-=可化为22(1)1x y -+=，圆心坐标为(1,0)，半径为1，抛物线C 的焦点(1,0)F ，可设直线PQ 的方程为1x my =+，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由214x my y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my --=，所以124y y =-， 又2114y x =，2224y x =，所以222121212()14416y y y y x x =⋅==，因为1212||||(||||)(||||)(11)(11)1PM QN PF MF QF NF x x x x ⋅=--=+-+-==，所以111122PM QN PM QN+≥⋅=，当且仅当||||1PM QN ==时，等号成立. 所以11PM QN+的最小值为2. 故答案为：2 【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，基本不等式求最值，考查基本运算能力，属于中档题.三、解答题21．（1）①132y x =-+±②4350x y --=或2x =；（2）4. 【分析】（1）①由已知得直线l 的斜率为1-，然后利用点到直线的距离等于半径可得直线截距可得答案；②分别讨论当过P 的直线斜率不存在和存在两种情况，不存在时特殊情况可得答案；存在时利用圆心到直线的距离等于半径可得答案；（2）两个圆的方程联立求得交点坐标，再利用两点间的距离公式可得答案. 【详解】（1）①圆C 的方程变形为22(1)(2)9x y ++-=，∴圆心C 的坐标为(1,2)-，半径为3.直线l 在两坐标轴上的截距相等且不为零， 故直线l 的斜率为1-.∴设直线l 的方程y x b =-+，又直线l 与圆22(1)(2)9x y ++-=相切，3=，整理得1b =± ∴所求直线l的方程为1y x =-+±②圆C 的方程变形为22(1)(2)9x y ++-=，∴圆心C 的坐标为(1,2)-，半径为3.当过P 的直线斜率不存在时，直线方程为2x =， 此时圆C 到直线的距离为3， 所以直线2x =是圆C 的切线. 当过P 的直线斜率存在时， 设切线方程为1(2)y k x -=-， 即120kx y k -+-=3=，43k ∴=，∴切线方程4412033x y -+-⨯=， 即4350x y --=，综上所述，切线方程为4350x y --=或2x =.（2）联立方程222224404x y x y x y ⎧++--=⎨+=⎩，得1155x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，2255x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，||4DE ∴===. 【点睛】直线和圆相切时，可以利用圆与直线联立的方程组有一组实数解，或者利用圆心到直线的距离等于圆的半径求得参数，有时利用后面方法计算运算量比较小些. 22．（1）2y x=；（2）2. 【分析】（1）求出直线AB 的斜率，由AB l ⊥可求得直线l 的斜率，进而可求得直线l 的方程； （2）设直线l 的方程为0kxy ，可知0k>，利用点到直线的距离公式结合AC =可求得k 的值，进而可求得AC 、BD ，利用勾股定理可求得OC 、OD ，由此可求得CD .【详解】（1）当C 、D 重合时，AB l ⊥， 直线AB 的斜率为021402ABk -==--，所以，直线l 的斜率为12AB k k =-=， 因此，直线l 的方程为2y x =； （2）设直线l 的倾斜角为的方程为0kx y ，可知0k >，则AC =，BD =，AC BD ==k =AC ∴=1BD =，由勾股定理可得2OC ==，OD ==因此，2CD OC OD =-=. 【点睛】在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．23．（1）430x y +-=；（2）17. 【分析】（1）点(1,1)A 关于x 轴对称点()1,1E -，点D 关于y 轴对称点为()1,7F -，则其对称点,E F 在反射线上，即可求出反射线的直线方程；（2）写出直线l 的方程，求出()22,0,0,22P Q m m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，得到直线PR 和QS 的方程，转化为平行线的距离问题. 【详解】解：（1）点(1,1)A 关于x 轴对称为()1,1E - 点D 关于y 轴对称点为()1,7F -， 又直线BC 经过,F E 两点， 故直线BC ：430x y +-=； （2）设l 的方程为()22y m x -=--， 则()22,0,0,22P Q m m ⎛⎫++⎪⎝⎭，可得直线PR 和QS 的方程分别为24(2)0x y m--+=和()44220x y m -++=， 又//PR QS ，∴RS =≥，当且仅当12m =取等号， ∴线段RS【点睛】 三种距离公式：（1）两点间的距离公式：平面上任意两点111222(,),(,),P x y P x y间的距离公式为12||PP = （2）点到直线的距离公式：点111(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离d =;（3）两平行直线间的距离公式：两条平行直线10Ax By C ++=与20Ax By C ++=间的距离d =.24．（1）圆22:(1)9M x y +-=，圆22:(1)(2)9N x y -+-=；（2）证明见解析. 【分析】（1）由MN 与0l 垂直，MN 的中点在0l 上，可求得M 点坐标，得圆半径，从而得两圆方程；（2）设点(,7)A a a -，设B ，C 中点为Q .，假设BC =，则BQ =求得AM2=，如果此方程有解，则在在，此方程无解，则不存在，假设错误．从而可得结论． 【详解】解：（1）设点()00,M x y ，因为圆M 与圆N 关于直线0:20x y l +-=对称，且()1,2N ，根据直线MN 与直线0l 垂直，M ，N 中点在直线0l 上，得0000211122022y x x y -⎧=⎪-⎪⎨++⎪+-=⎪⎩，解得0001x y =⎧⎨=⎩，即(0,1)M ，所以||3MP ==，3r =，所以圆22:(1)9M x y +-=，圆22:(1)(2)9N x y -+-=.（2）由题可知1:70l x y +-=，设点(,7)A a a -，设B ，C 中点为Q . 假设23BC =，则3BQ =， 又∵3BM =，90BQM ∠=︒， ∴936MQ =-=，∵BMQ 与AMB 相似，∴MQ BMBM AM=， ∴23626BM AM MQ===， ∴2236(0)(71)2a a -+--=， 整理得24521202a a -+=， ∵45144421602∆=-⨯⨯=-<，所以方程无解， 假设23BC =不成立，所以23BC ≠.【点睛】方法点睛：本题考查圆关于直线对称问题，考查圆的切点弦长问题．解题方法：关于直线对称的圆的方程，圆心关于直线的对称点即为对称圆的圆心，半径为变，由此易得．过圆外一点作圆的切线，切点弦长一般结合几何方法求解，即由图中的BMQ 与AMB 相似建立关系求解．25．（1）x 2+y 2-4x -12＝0；（2）直线l 过定点(2，0). 【分析】（1）根据题意，联立方程求解即可（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx +m (m ≠0)，联立方程，利用韦达定理得到222(2)212121km km m k ---=-+，进而化简求证；而当直线l 的斜率不存在时，直接求解即可证明题中条件成立 【详解】解：（1）由题意可得圆心C 的坐标为(,)22D E --，则2()2022D E--⨯--=，①因为圆C经过点(P -，所以17120D +--=，②联立①②，解得D ＝-4，E ＝0.故圆C 的一般方程是x 2+y 2-4x -12＝0.（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx +m (m ≠0)，11(,)A x y ，22(,)B x y .联立224120,,x y x y kx m ⎧+--=⎨=+⎩整理得(k 2+1)x 2+2(km-2)x +m 2-12＝0，则1222(2)1km x x k -+=-+，2122121m x x k -=+.因为12OA OB ⋅=-，所以121212x x y y +=-，由1212()()y y kx m kx m =++得，222(2)212121km km m k ---=-+，整理得m (m +2k )＝0.因为m ≠0，所以m ＝-2k ，所以直线l 的方程为y ＝kx -2k ＝k (x -2).故直线l 过定点(2，0). 当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为x ＝m ，则A (m ，y )，B (m ，-y )，从而2241212OA OB m m ⋅=--=-，解得m ＝2，m ＝0（舍去）.故直线l 过点(2，0).综上，直线l 过定点(2，0). 【点睛】关键点睛：解题关键是分类讨论直线l 的情况，并联立方程，利用韦达定理化简，根据直线l 的情况，得到12OA OB ⋅=-121212x x y y =+=-和2241212OA OB m m ⋅=--=-，进而求证，难度属于中档题26．（1；（2）44⎡-⎢⎣⎦. 【分析】（1）求出圆的圆心与半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d ，由||AB =.（2）利用+1yx 表示圆上的点与原点构成直线的斜率即可求解. 【详解】（1）()222243021x y x x y +-+=⇒-+=，所以圆心为()2,0，半径1r =，则圆心到直线:10l x y +-=的距离：2d ==，所以||AB ===（2）+1yx 表示圆上的点(),x y 与()1,0-构成直线的斜率，当直线与圆相切时取得最值，设(1),1+1yk y k x x ==-=，，可得2291k k =+，218k =，4k =±，所以，+1y x的取值范围为44⎡-⎢⎣⎦.【点睛】关键点睛：解题的关键在于利用几何法求弦长以及利用两点求斜率的计算公式得到+1yx 的取值范围。
深圳建文中学选修一第二单元《直线和圆的方程》测试(含答案解析)
一、选择题1．若过直线3420x y +-=上一点M 向圆C ：()()22234x y +++=作一条切线切于点T ，则MT 的最小值为（ ）A B ．4C ．D ．2．若P 是直线l ：260x y ++=上一动点，过P 作圆C ：22230x y x ++-=的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 面积的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．光线从(3,4)A -点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点(1,6)D -，则BC 所在直线的方程是（ ） A ．5270x y -+=B ．310x y +-=C ．3240x y -+=D ．230x y --=4．夹在两平行直线1:340l x y -=与2:34200l x y --=之间的圆的最大面积等于（ ） A ．2πB ．4πC ．8πD ．12π5．已知圆()221:24C x a y ++=与圆()22:1C x y b +-=有且仅有1条公切线，则2211a b +的最小值为（ ） A ．6 B ．7C ．8D ．96．已知圆22:(1)1C x y +-=，点(3,0)A 在直线l 上，过直线l 上的任一点P 引圆C 的两条切线，若切线长的最小值为2，则直线l 的斜率k =（ ） A ．2B ．12C ．2-或12D ．2或12-7．过点P (1，2)引直线使两点A (2，3)､B (4，-5)到它的距离相等，则直线方程是（ ） A ．4x +y -6=0B ．x +4y -6=0C ．2x +3y -7=0或x +4y -6=0D ．4x +y -6=0或3x +2y -7=08．直线y =x +b 与曲线x =b 的取值范围是（ ）A ．||b =B ．-1<b ≤1或b =C ．-1≤b <1D ．非以上答案9．直线l ：230kx y --=与圆C ：()()22124x y -++=交于A 、B 两点，若ABC的周长为4+k 的值为（ ） A ．32B ．32-C ．32±D ．12±10．若直线y x b =+与曲线3y =2个公共点，则b 的取值范围是（ ）A ．[1-+B ．(11]--C ．[3,122)+D ．[1,3]-11．已知直线1l ：(4)10kx k y +-+=与2l ：2230kx y -+=平行，则k 的值是（ ） A ．1或0B ．5C ．0或5D ．1或512．设点()0,1M x ，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得45OMN ︒∠=，则0x 的取值范围是（ ） A ．[0,1]B ．[1,1]-C ．22,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．20,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题13．经过点(2,1)M ，并且与圆2268240x y x y +--+=相切的直线方程是________． 14．已知直线3x ＋4y -12＝0与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点，点C 在圆x 2＋y 2-10x -12y ＋52＝0上移动，则△ABC 面积的最大值和最小值之差为________.15．如图，已知圆22:16,,O x y A B +=是圆O 上两个动点，点(2,0)P ，则矩形PACB 的顶点C 的轨迹方程是___________．16．已知圆()222:2400C x y mx y m m +--+=>被直线:30l x y -+=截得的弦长为2 ，则m =______．17．在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是_______．（写出所有正确命题的编号）① 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ② 如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点； ③ 如果直线l 经过两个不同的整点，则直线l 必经过无穷多个整点； ④ 直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数．18．已知直线l 过点(4,1)A -320x y -+=的夹角为30°，则直线l 的方程为____________.19．在直角坐标系xoy 中，已知圆C ：()222824580x y m x my m m +---+-=，直线l 经过点()2,1，若对任意的实数m ，直线l 被圆C 截得弦长为定值，则直线l 方程为______.20．若实数,a b ∈R 且0b ≠，则()221a b a b ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的最小值为_______. 三、解答题21．已知圆22:(1)(1)2C x y -+-=．（1）过点(1,0)的直线l 截圆C 的周长为1:2的两部分，求直线l 的方程（2）直线m 与圆C 相切，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于,A B 两点，求OAB （O 为坐标原点）面积的最小值．22．已知圆C 经过点()0,1A ，()2,1B ，()3,4M ． （1）求圆C 的方程；（2）设点P 为直线l ：210x y --=上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为E ，F ．若60EPF ∠=︒，求点P 的坐标．23．如图，已知点()4,0A ，()0,2B ，直线l 过原点，且A 、B 两点位于直线l 的两侧，过A 、B 作直线l 的垂线，分别交l 于C 、D 两点．（1）当C 、D 重合时，求直线l 的方程； （2）当23AC BD =时，求线段CD 的长度．24．已知ABC 的顶点(5,1)A ，直线BC 的方程为6590x y AB --=，边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=． （1）求顶点C 的坐标；（2）求AC 边上的高所在直线方程．25．如图，已知圆()()221:112C x y -++=，圆()()222:215C x y +++=，过原点O 的直线l 与圆1C ，2C 的交点依次是,,P O Q .（1）若2OQ OP =，求直线l 的方程；（2）若线段PQ 的中点为M ，求点M 的轨迹方程. 26．圆心在直线:10l x y ++=上的经过点(1,2),(1,0)A B -；（1）求圆C 的方程（2）若过点(0,3)D 的直线1l 被圆C 截得的弦长为1l 的方程；【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据题意，求出圆的圆心与半径，由切线长公式可得||MT =||MC 取得最小值时，||MT 的值最小，由点到直线的距离分析||MC 的最小值，进而计算可得答案． 【详解】根据题意，圆22:(2)(3)4C x y +++=，其圆心为(2,3)--，半径2r m =，过点M 向圆C 作一条切线切于点T ，则||MT == 当||MC 取得最小值时，||MT 的值最小，而||MC 的最小值为点C 到直线3420x y +-=的距离，则||4min MC ==，则||MT = 故选：D 【点睛】方法点睛：解析几何中的最值问题，常用的方法有：（1）函数单调性法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法.要结合已知条件灵活选择合适的方法求解.本题利用的是数形结合的方法求最值的.2．B解析：B 【分析】根据题意得要使四边形PACB 面积的最小值，只需PC 取最小即可，再根据几何关系求解即可. 【详解】解：根据题意：要使四边形PACB 面积的最小值，则只需切线长,PA PB 最小， 进而只需PC 取最小即可.由于()2214x y ++=，故圆心为()1,0-，2r，由于P 是直线l ：260x y ++=上一动点，所以过圆心作直线l 的垂线，垂足即为P ，此时CP ==此时切线长1PA PB ===，此时四边形PACB 面积为122S =⨯=. 即四边形PACB 面积的最小值为2. 故选：B. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查化归转化思想和运算求解能力，是中档题.解题的关键是将问题转化为求PC 取最小值，再结合点到线的距离即可解答.3．A解析：A 【分析】根据题意做出光线传播路径，求()3,4A -关于x 轴的对称点()'3,4A --，点(1,6)D -关于x 轴的对称点()'1,6D ，进而得BC 所在直线的方程即为''A D 直线方程，再根据两点式求方程即可. 【详解】解：根据题意，做出如图的光线路径， 则点()3,4A -关于x 轴的对称点()'3,4A --， 点(1,6)D -关于y 轴的对称点()'1,6D ， 则BC 所在直线的方程即为''A D 直线方程， 由两点是方程得''A D 直线方程为：436413y x ++=++，整理得：5270x y -+= 故选：A.【点睛】本题解题的关键在于做出光线传播路径，将问题转化为求A 关于x 轴的对称点'A 与D 关于y 轴的对称点'D 所在直线''A D 的方程，考查运算求解能力，是中档题.4．B解析：B 【分析】夹在两平行直线之间的面积最大的圆与这两条直线都相切，求出直径即可得到面积 【详解】两平行直线1:340l x y -=与2:34200l x y --=之间的距离：204916d ==+，夹在两平行直线1:340l x y -=与2:34200l x y --=之间的圆半径最大值为2， 所以该圆的面积为4π. 故选：B 【点睛】此题考查求两条平行直线之间的距离，关键在于熟记距离公式正确求解.5．D解析：D 【分析】由题意可知，圆2C 内切于圆1C ，由题意可得出2241a b +=，然后将代数式2211a b+与224a b +相乘，展开后利用基本不等式可求得2211a b +的最小值. 【详解】圆()221:24C x a y ++=的圆心为()12,0C a -，半径为12r =，圆()22:1C x y b +-=的圆心为()20,C b ，半径为21r =，由于两圆有且仅有1条公切线，则圆2C 内切于圆1C ，所以12121C C r r ==-=，可得2241a b +=，()2222222222111144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=∴++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当222b a =时，等号成立，因此，2211a b +的最小值为9. 故选：D. 【点睛】结论点睛：圆与圆的位置关系：设圆1C 与圆2C 的半径长分别为1r 和2r .（1）若1212C C r r <-，则圆1C 与圆2C 内含；（2）若1212C C r r =-，则圆1C 与圆2C 内切；（3）若121212r r C C r r -<<+，则圆1C 与圆2C 相交； （4）若1212C C r r =+，则圆1C 与圆2C 外切； （5）若1212C C r r >+，则圆1C 与圆2C 外离.6．C解析：C 【分析】根据勾股定理由切线长最小值求出||PC C 到直线l 的距离为l 的方程，根据点到直线的距离列式可解得结果.【详解】圆22:(1)1C x y +-=的圆心为(0,1)C ，半径为1，因为切线长的最小值为2，所以min ||PC ==所以圆心C 到直线l ，所以直线必有斜率，设:(3)l y k x =-，即30kx y k --=，所以圆心(0,1)C 到直线30kx y k --===22320k k +-=，解得12k =或2k =-.故选：C 【点睛】关键点点睛：根据勾股定理由切线长的最小值求出||PC 的最小值，也就是圆心C 到直线l 的距离是解题关键.7．D解析：D 【分析】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =1，不成立；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为20kx y k --+=，由此利用点到直线的距离公式能求出直线方程. 【详解】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =1，不成立； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2(1)y k x -=-，即20kx y k --+=， ∵直线l 与两点A (2，3)， B (4，-5）的距离相等，=解得4k =-或32k =-.:.直线l 的方程为4420x y --++=或332022x y --++= 整理，得：460x y +-=或3270x y +-=故选：D 【点睛】解决本题要注意设直线方程时，分直线的斜率存在、不存在两种情况讨论，然后根据点到直线的距离相等即可求解.8．B解析：B 【分析】作出曲线x =y x b =+，求出直线过半圆直径两端点时的b 值，及直线与半圆相切时的b 值可得结论． 【详解】作出曲线x =y x b =+，如图， 易知(0,1),(1,0)A B -，当直线y x b =+过点A 时，1b =，当直线y x b =+过点B 时，1b =-，当直线y x b =+与半圆相切时，12b=，2b =±，由图可知2b =-∴b 的取值范围是11b -<≤或2b =-． 故选：B【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题时要注意曲线是半圆，因此直线过B 点时与半圆有两个交点，直线与半圆相切时，也只有一个公共点，这是易错点．9．A解析：A 【分析】先根据半径和周长计算弦长23AB =即可. 【详解】圆C ：()()22124x y -++=中，圆心是()1,2C -，半径是2r，故ABC 的周长为423+2423r AB +=+23AB =又直线与圆相交后的弦心距2243144k k d k k +-+==++，故由2222AB r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得()221434k k +=++，解得32k . 故选：A. 【点睛】本题考查了直线与圆的综合应用，考查了点到直线的距离公式，属于中档题.10．B解析：B 【分析】将234y x x =-22(2)(3)4-+-=x y (3y ≤)，作出直线与半圆的图形，利用两个图形有2个公共点，求出切线的斜率，观察图形可得解. 【详解】由234y x x =--得22(2)(3)4-+-=x y (3y ≤)，所以直线y x b =+与半圆22(2)(3)4-+-=x y (3y ≤)有2个公共点， 作出直线与半圆的图形，如图：当直线经y x b =+过点(4,3)时，341b =-=-， 当直线与圆22(2)(3)4-+-=x y 211=+，解得122b =-或122b =+由图可知，当直线y x b =+与曲线234y x x =-2个公共点时，1221b -<≤-，故选：B 【点睛】关键点点睛：作出直线与半圆的图形，利用切线的斜率表示b 的范围是解题关键.11．C解析：C 【分析】由两直线平行得出()224k k k -=-，解出k 的值，然后代入两直线方程进行验证. 【详解】 解:直线1l ：(4)10kx k y +-+=与2l ：2230kx y -+=平行，()224k k k ∴-=-，整理得()50k k -=，解得0k =或5.当0k =时，直线11:4l y =-，23:2l y =，两直线平行；当5k =时，直线1:510l x y -+=，23:502l x y -+=，两直线平行. 因此，0k =或5. 故选:C. 【点睛】方法点睛:本题考查直线的一般方程与平行关系，在求出参数后还应代入两直线方程进行验证.(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A1、A2、B1、B2都不为零, ①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠； ②2112210A A l B B l +⇔=⊥；12．B解析：B 【分析】首先根据题中条件，可以判断出直线MN 与圆O 有公共点即可，从而可以断定圆心O 到直线MN 的距离小于等于半径，列出对应的不等关系式，求得结果. 【详解】依题意，直线MN 与圆O 有公共点即可， 即圆心O 到直线MN 的距离小于等于1即可，过O 作OA ⊥MN ，垂足为A ， 在Rt OMA ∆中，因为OMA ∠045=， 故02sin 452OA OM ==1≤， 所以2OM ≤2012x +≤，解得011x -≤≤．故选：B. 【点睛】该题考查的是有关直线与圆的问题，涉及到的知识点有直线与圆的位置关系，解直角三角形，属于简单题目.二、填空题13．或【分析】求出圆心和半径判断斜率不存在的直线是否是切线斜率存在时设出直线方程由圆心到切线距离等于半径求得参数值得切线方程【详解】圆标准方程是圆心为半径为1易知直线与圆相切设斜率存在的切线方程为即由解解析：2x =或4350x y --= 【分析】求出圆心和半径，判断斜率不存在的直线是否是切线，斜率存在时设出直线方程，由圆心到切线距离等于半径求得参数值得切线方程． 【详解】圆标准方程是22(3)(4)1x y -+-=，圆心为(3,4)，半径为1． 易知直线2x =与圆相切，设斜率存在的切线方程为1(2)y k x -=-，即210kx y k --+=，1=，解得43k =，切线方程为481033x y --+=，即4350x y --=．故答案为：2x =或4350x y --=． 【点睛】本题考查求圆的切线方程，解题方法是由圆心到切线的距离等于半径求解．但解题时要注意过定点斜率不存在的直线是否是切线，否则由方程求不出此直线方程．如果所过的点在圆上，由可由过切点的半径与切线垂直得出切线斜率后得直线方程．14．15【分析】根据直线3x ＋4y-12＝0可求得的坐标及利用圆心到直线的距离求出点C 到直线的距离的最小值和最大值利用面积公式可求得结果【详解】令得令得所以A （40）点B （03）∴|AB|＝5由x2＋y解析：15 【分析】根据直线3x ＋4y -12＝0可求得,A B 的坐标及||AB ，利用圆心到直线的距离求出点C 到直线AB 的距离的最小值和最大值，利用面积公式可求得结果. 【详解】令0y =得4x =，令0x =得3y =，所以A （4，0），点B （0，3）， ∴|AB |＝5，由x 2＋y 2-10x -12y ＋52＝0得22(5)(6)9x y -+-=， 所以圆的半径为3，圆心为(5,6)， 圆心(5,6)到直线AB的距离d ==275，所以点C 到直线AB 的距离的最小值为2712355-=，最大值为2742355+=， 所以ABC S的最大值为14252125⨯⨯=，最小值为1125625⨯⨯=， 所以△ABC 面积的最大值和最小值之差为21615-=. 故答案为：15【点睛】关键点点睛：利用圆心到直线的距离求出点C 到直线AB 的距离的最小值和最大值是解题关键.15．【分析】设点连接交于可写出的坐标再在直角中利用勾股定理列方程可得xy 的关系式即顶点的轨迹方程【详解】设点如图连接交于由矩形可知为的中点连接在直角中则即整理得所以顶点的轨迹方程是故答案为：【点睛】关键 解析：2228x y +=【分析】设点(,)C x y ，连接,AB PC 交于M ，可写出M 的坐标，再在直角OMB △中，OM MB ⊥，利用勾股定理列方程可得x, y 的关系式，即顶点C 的轨迹方程. 【详解】设点(,)C x y ，如图连接,AB PC 交于M ，由矩形PACB 可知M 为PC 的中点，2,22x y M +⎛⎫⎪⎝⎭，PM MB = 连接,OB OM ，在直角OMB △中，OM MB ⊥，则22222OB OM BM OM MP =+=+即2222221622222x y x y +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，整理得2228x y +=，所以顶点C 的轨迹方程是2228x y += 故答案为：2228x y +=【点睛】关键点睛：本题考查求轨迹方程，解题的关键是求谁设谁，设点(,)C x y ，然后再利用图像的几何关系找到x, y 的关系式，即求得轨迹方程，考查学生的直观想象能力与运算求解能力，属于中档题.16．1【分析】根据题意求出圆的圆心与半径由直线与圆的位置关系可得圆心到直线l 的距离d 利用点到直线的距离公式可得解可得m 的值即可得答案【详解】根据题意圆即其圆心C 为半径若圆C 被直线截得的弦长为则圆心到直线解析：1 【分析】根据题意，求出圆的圆心与半径，由直线与圆的位置关系可得圆心到直线l 的距离d ，利用点到直线的距离公式可得d ==m 的值，即可得答案.【详解】根据题意，圆()222:2400C x y mx y m m +--+=>，即()()2224-+-=x m y ，其圆心C 为()m,2，半径2r，若圆C 被直线:30l x y -+=截得的弦长为 则圆心到直线l的距离d ==圆心到直线l的距离d ==，则有=1m =或-3（舍），故1m =，故答案为：1． 【点睛】思路点睛：涉及直线与圆相交的弦长问题，主要是利用垂径定理，即圆心到直线的距离、弦长的一半以及圆的半径构成直角三角形来解.17．①③【分析】给直线分别取不同的方程可得到②和④的反例同时找到符合条件①的直线；通过直线经过两个不同的整点可证得其经过无穷多个整点③正确【详解】①令直线为：则其不与坐标轴平行且不经过任何整点①正确；②解析：①③ 【分析】给直线l 分别取不同的方程，可得到②和④的反例，同时找到符合条件①的直线；通过直线经过两个不同的整点可证得其经过无穷多个整点，③正确. 【详解】①令直线l 为：12y x =+，则其不与坐标轴平行且不经过任何整点，①正确； ②令直线l为：y =-()2,0，②错误；③令直线l 为：y kx b =+，过两个不同的整点()11,x y ，()22,x y ，则1122y kx b y kx b =+⎧⎨=+⎩，两式作差得：()1212y y k x x -=-，即直线l 经过整点()1212(),(),n x x n y y n Z --∈，∴直线l 经过无穷多个整点，③正确；④令直线l 为：1132y x =+，则l 不过整点，④错误. 故答案为：①③.【点睛】本题考查对于直线方程的理解，关键是能够通过特例来否定命题和验证存在性的问题，对于学生对直线方程特点的掌握有较高的要求.18．或【分析】分析可得已知直线的倾斜角为则直线的倾斜角为或分类讨论并利用点斜式方程求解即可【详解】由题直线的倾斜角为则直线的倾斜角为或当倾斜角为时直线为即为；当倾斜角为时直线为故答案为：或【点睛】本题考解析：4x =-330y -+= 【分析】分析可得已知直线的倾斜角为60︒,则直线l 的倾斜角为30或90︒,分类讨论,并利用点斜式方程求解即可 【详解】由题,直线2y =+的倾斜角为60︒,则直线l 的倾斜角为30或90︒,当倾斜角为30时,直线l 为)14y x -=+,330y -+=； 当倾斜角为90︒时,直线l 为4x =-,故答案为：4x =-330y -+= 【点睛】本题考查直线倾斜角与斜率的关系,考查求直线方程,考查分类讨论思想19．【分析】先将圆的方程化为标准形式求出圆心和半径通过分析可以看出圆心在一条直线上若对于任意的实数直线被圆截得弦长为定值可得直线与圆心所在的直线平行即可得出结论【详解】圆：化为标准形式可得：所以圆心半径 解析：25x y +=【分析】先将圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，通过分析可以看出，圆心在一条直线上，若对于任意的实数m ，直线l 被圆C 截得弦长为定值，可得直线l 与圆心所在的直线平行，即可得出结论. 【详解】圆C ：()222824580x y m x my m m +---+-=化为标准形式可得：()()224216x m y m --+-=⎡⎤⎣⎦ ，所以圆心()4,2C m m - ，半径4r =， 令4,2x m y m =-= ，可得28x y += ，所以圆心在28x y +=上，又因为直线l 经过点()2,1，若对任意的实数m ，直线l 被圆C 截得弦长为定值， 所以直线l 与圆心所在的直线平行，， 所以设直线l 的方程为：2x y c +=， 将()2,1代入得：5c =，所以则直线l 方程为：25x y +=. 故答案为：25x y += 【点睛】本题主要考查了圆的标准方程，直线和圆的位置关系，考查分析解决问题的能力，属于基础题.20．2【分析】根据两点间的距离公式的几何意义可知表示点到点的距离点在直线上点在曲线上通过平移法设曲线的切线方程联立切线方程和曲线方程通过求出可求出切线方程最后利用两平行线间的距离公式求出两平行直线与的距解析：2 【分析】(),a a 到点1,b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离，点(),a a 在直线y x =上，点1,b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭在曲线1y x =-上，通过平移法，设曲线1y x=-的切线方程y x m =+，联立切线方程和曲线方程，通过0∆=求出m ，可求出切线方程，最后利用两平行线间的距离公式，求出两平行直线0x y -=与20x y -+=的距. 【详解】表示点(),a a 到点1,b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离， 而点(),a a 在直线y x =上，点1,b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭在曲线1y x =-上， 将直线y x =平移到与曲线1y x=-相切，设切线为y x m =+，切线方程和曲线方程联立，即1y x my x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，得210x mx ++=，则240m ∆=-=，解得：2m =±，当2m =时，切线方程为：2y x =+，即20x y -+=， 所以两平行直线0x y -=与20x y -+=的距离为：d ==， 所以()221a b a b ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的最小值为2. 故答案为：2. 【点睛】本题考查利用两点间距离的几何意义求最值，考查两点间的距离公式以及两平行线间的距离公式的应用，还涉及两平行线的斜率关系和一元二次方程根的判别式，考查转化思想和运算能力.三、解答题21．（1）10x y +-=或10x y --=；（2）8. 【分析】（1）由题意，求得点C 到直线l 的距离为2，再设:1l x ny =+，由点到直线的距离公式列式求解n ，则直线l 的方程可求；（2）设直线:1(0,0)x ym a b a b+=>>，由圆心到直线的距离可得关于,a b 的等式，结合基本不等式求解ab 的最小值，代入三角形面积公式可得OAB 的面积的最小值. 【详解】（1）设l 与圆C 相交于,E F 两点，由题意知120ECF ︒∠=．又||||CE CF ==所以点C 到l 的距离为2． 该直线的斜率不为0，设:1l x ny =+，由点到直线的距离公式得，2d ==，解得1n =±． 所以直线l 的方程为10x y +-=或10x y --=．（2）设直线:1(0,0)x ym a b a b+=>>．由于直线m 与圆C= 即2222222222222a b a b ab a b ab a b +++--=+．所以222222()24a b ab a b ab a b ab +=++++ 解得16ab ．当且仅当a b =时，等号成立． 此时OAB 的面积182S ab =．故OAB 面积的最小值为8． 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关直线与圆位置关系的应用，方法如下： （1）根据圆中特殊三角形，勾股定理求得弦心距； （2）利用点到直线的距离公式求得参数； （3）利用基本不等式求面积最值.22．（1）222650x y x y +--+=；（2）()1,1--或2711,55⎛⎫⎪⎝⎭． 【分析】（1）设出圆C 的一般方程，将()0,1A ，()2,1B ，()3,4M 三点代入即可求解； （2）设出P 点的坐标，利用切线的性质以及勾股定理即可求得. 【详解】解：（1）设圆C 的方程为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->， 将()0,1A ，()2,1B ，()3,4M 三点代入，得：1052025340E F D E F D E F ++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩，解得：265D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴圆C 的方程为222650x y x y +--+=；（2）设点()21,P y y +， 由（1）圆C 的圆心()1,3C，r ==由已知得：CE PE ⊥，1302CPE EPF ∠=∠=︒， 在Rt CPE △中：2PC CE =，=解得：1y =-或115y =， P ∴的坐标为()1,1--或2711,55⎛⎫⎪⎝⎭． 【点睛】方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．23．（1）2y x =；（2）2. 【分析】（1）求出直线AB 的斜率，由AB l ⊥可求得直线l 的斜率，进而可求得直线l 的方程； （2）设直线l 的方程为0kxy ，可知0k >，利用点到直线的距离公式结合AC =可求得k 的值，进而可求得AC 、BD ，利用勾股定理可求得OC 、OD ，由此可求得CD .【详解】（1）当C 、D 重合时，AB l ⊥， 直线AB 的斜率为021402AB k -==--，所以，直线l 的斜率为12ABk k =-=， 因此，直线l 的方程为2y x =； （2）设直线l 的倾斜角为的方程为0kx y ，可知0k >，则AC =，BD =，AC BD ==k =AC ∴=1BD =，由勾股定理可得2OC ==，OD ==因此，2CD OC OD =-=. 【点睛】在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况． 24．（1）(4,3)C ；（2）250x y --=． 【分析】（1）联立直线方程可解得结果；（2）设出()00,B x y ，利用AB 的中点M 在直线CM 上以及点()00,B x y 在直线BC 上，解方程组可得B 的坐标，利用垂直可得斜率，根据点斜式可得所求直线方程. 【详解】（1）联立6590250x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得43x y =⎧⎨=⎩，可得(4,3)C ；（2）设()00,B x y ，则AB 的中点0051,22x y M ++⎛⎫⎪⎝⎭， 则0000659015502x y y x --=⎧⎪⎨++--=⎪⎩，解得(1,3)B --， 又23145AC k -==--，所以AC 边上的高所在直线的斜率12k =，所以AC 边上的高所在直线方程为13(1)2y x +=+，即250x y --=. 【点睛】关键点点睛：求出点B 的坐标是求出AC 边上的高所在直线方程的关键，设()00,B x y ，利用直线BC 的方程和AB 的中点坐标满足CM 的方程可解得点B 的坐标. 25．（1）0y =或4y x =；（2）2220x y x y +++=（挖去点33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭和36,55⎛⎫- ⎪⎝⎭）. 【分析】（1）设直线l 的方程为：y kx =，结合圆的几何关系和勾股定理，分别求出11,22OQ OP ，再结合2OQ OP =代值求解即可； （2）联立直线与圆方程分别求出,P Q 坐标，结合中点坐标公式求出M 坐标，消参即可求解M 的轨迹方程 【详解】解：（1）设直线l 的方程为：y kx =，12,C C 到直线l 的距离为12,d d .由条件=221243d d -=，所以2243⨯-=，整理，得240k k -=，解得0k =或4k =， 所以直线l 的方程为：0y =或4y x =；（2）设:l y kx =；则由()()22215y kx x y =⎧⎪⎨+++=⎪⎩消去y ，得()()221240k x k x +++=， 解得122240,1k x x k +==-+.其中2k ≠-，所以()222424,11k k k Q k k +⎛⎫+-- ⎪++⎝⎭， 由()()22112y kx x y =⎧⎪⎨-++=⎪⎩消去y ，得()()221220k x k x ++-=， 解得342220,1k x x k -==+，其中1k ≠，所以()222222,11k k k P k k -⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 设(),M x y ，则()22211211k x k k k y k +⎧=-⎪+⎪⎨+⎪=-⎪+⎩①②，将y k x =代入①式 消去k ，得：2220x y x y +++=，又1k ≠且2k ≠-，代入①②求得33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭和36,55⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故点M 的轨迹方程为：2220x y x y +++=（挖去点33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭和36,55⎛⎫- ⎪⎝⎭）. 【点睛】 方法点睛：本题考查由直线与圆的位置关系求直线方程，求动点轨迹方程，常用以下方法：（1）直线与圆的位置关系求直线方程或弦长问题常结合几何关系求解，即l =l 为弦长，r 为圆的半径，d 为弦心距；（2）求动点轨迹方程大多数题采用直接法，设法表示出所求点坐标，再消参即可；也可采用代换法，将所求点坐标代入已知方程化简求解（适用于所求点与已知方程存在直接联系的情况）.26．（1）22(1)4x y ++=；（2）0x =，或4390x y -+=.【分析】（1）求出线段AB 中垂线方程，由中垂线与直线l 相交求得圆心坐标，再求得半径可得圆标准方程；（2）求得圆心到直线1l 距离为1，检验斜率不存在的直线是否满足题意，在斜率存在时设直线方程为30kx y --=，由圆心到直线的距离可得k ，得直线方程．【详解】（1）由题意得，圆心C 一定在线段AB 的垂直平分线上，0211(1)AB k -==---，线段AB 中点为(0,1)， ∴直线AB 的垂直平分线为10x y -+=，∴直线:10l x y ++=与10x y -+=的交点即为圆心C ，坐标为()1,0-．∴圆C 的方程为22(1)4x y ++=，（2）当直线1l 斜率不存在时，方程为0x =，此时圆心到1l 距离为1，截得的弦长为当直线1l 斜率存在时，设为k ，则1:30l kx y --=，圆心(1,0)-到1l距离1d ===∴43k = ∴直线1l 的方程为0x =，或4390x y -+=．【点睛】易错点睛：本题考查求圆的标准方程，考查直线与圆相交弦长问题．已知弦长求直线方程时，须考虑斜率不存在的直线是否满足题意，在斜率存在的情况下，设出直线方程，由圆心到直线的距离列式可得结论．。
人教A版高一直线与圆的方程的应用精选试卷练习(含答案)1
人教A 版高一直线与圆的方程的应用精选试卷练习（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||AB =（ ）A ．2B ．C ．6D ．2．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3440x y ++=与圆C 相切，则圆C 的方程为( ) A ．22230x y x +--= B ．2240x y x ++= C ．22230x y x ++-=D ．2240x y x +-=3．已知直线0ax by c ++=（0abc ≠）与圆221x y +=相切，则三条边长分别为a 、b 、c 的三角形是A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不存在4．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，则阴影部分面积约为（注： 3.14π≈，5sin 22.513︒≈，1尺=10寸）（ ）A ．6.33平方寸B ．6.35平方寸C ．6.37平方寸D ．6.39平方寸5．若直线x ﹣my+m ＝0与圆（x ﹣1）2+y 2＝1相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则m 的取值范围是（ ）A ．（0，1）B ．（0，2）C ．（﹣1，0）D ．（﹣2，0）6．圆2250x y +=与圆22126400x y x y +--+=的公共弦长为（ ）A BC ．D ．7．已知过点P(2,2) 的直线与圆22(1)5x y -+=相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =（ ）A ．12-B ．1C ．2D ．128．过点()3,0P作直线()2120x y λλ++-=（R λ∈）的垂线，垂足为M ，己知定点()4,2N ，则当λ变化时，线段MN 的长度取值范围是（ ）A ．⎡⎣B ．C ．D ．9．如下图，在同一直角坐标系中表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a ，正确的是( )A ．B ．C ．D ．10．由直线1y x =+上的一点P 向圆C ：()2231x y -+=引切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 面积的最小值为（ ）A ．1B ．CD ．311．过圆()()22111C x y -+-=：的圆心，作直线分别交x 、y 正半轴于点A 、B ，AOB∆被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足,S S S S ⅥⅡⅢI +=+则直线AB 有（ ）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条12．若直线10x y --=被圆心坐标为（2，-1）的圆截得的弦长为方程A ．()()22214x y -++= B ．()()22214x y ++-= C ．()()22212x y ++-=D ．()()22212x y -++=13．若方程220x y x y m -++=+表示一个圆，则m 的取值范围是( ) A ．2m ≤ B ．2m < C ．12m <D ．12m ≤二、填空题14．若直线3450x y -+=与圆()2220x y r r +=>相交于A,B 两点，且120oAOB ∠=（O 为坐标原点），则r =_____.15．若C 为半圆直径AB 延长线上的一点，且2AB BC ==，过动点P 作半圆的切线，切点为Q ，若PC =，则PAC ∆面积的最大值为____．16．已知圆O ：221x y +=，O 为坐标原点，若正方形ABCD 的一边AB 为圆O 的一条弦，则线段OC 长度的最大值是 .17．在平面直角坐标系xOy 中，过点()5,P a -作圆222210x y ax y +-+-=的两条切线，切点分别为()11,M x y 、()22,Nx y ，且2112211220y y x x x x y y -+-+=-+，则实数a 的值是______.18．已知平面直角坐标系中两点12(,)A a a 、12(,)B b b ，O 为原点，有122112AOB S a b a b ∆=-.设11(,)M x y 、22(,)N x y 、33(,)P x y 是平面曲线2224x y x y +=-上任意三点，则12212332T x y x y x y x y =-+-的最大值为________19．已知实数x 、y 满足()2211x y -+≤，则342z x y =-+的最大值为_____． 20．已知A ，B 为圆C :22(1)(1)5x y ++-=上两个动点，且AB =2，直线l :(5)y k x =-，若线段AB 的中点D 关于原点的对称点为D ′，若直线l 上任一点P ，都有1PD '≥，则实数k 的取值范围是__________.21．如图，正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P 、Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点P 的“盲区”中，已知点P 以1.5米/秒的速度从A 出发向D 移动，同时，点Q 以1米/秒的速度从C 出发向B 移动，则在点P 从A 移动到D 的过程中，点Q 在点P 的盲区中的时长约________秒（精确到0.1）．22．已知圆O ：x 2＋y 2＝4和圆O 外一点P(0x ，0y )，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，且∠AOB ＝120°．若点C(8，0)和点P 满足PO ＝λPC ，则λ的范围是_______．三、解答题23．已知圆C 经过点()0,6E ，()5,5F ，且圆心在直线:3590l x y -+=上 （1）求圆C 的方程.（2）过点()0,3M 的直线与圆C 交于A ，B 两点，问：在直线3y =上是否存在定点N ，使得AN BN k k =-（AN k ，BN k 分别为直线AN ，BN 的斜率）恒成立？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.24．已知圆C 过(1,0)A ，(0,1)B -两点，且圆心C 在直线20x y -+=上． （1）求圆C 的方程；（2）设点P 是直线4380x y --=上的动点，PM 、PN 是圆C 的两条切线，M 、N 为切点，求四边形PMCN 面积的最小值．25．已知圆()()22:414C x y -+-=,直线():23120l mx m y -++=（1）求证：直线l 过定点；（2）求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时m 的值；（3）已知点()4,5M ，在直线MC 上（C 为圆心），存在定点N （异于点M ），满足：对于圆C 上任一点P ，都有PM PN为一常数，试求所有满足条件的点N 的坐标及该常数．26．如图，某处立交桥为一段圆弧AB .已知地面上线段40AB =米，O 为AB 中点.桥上距离地面最高点P ，且OP 高5米.工程师在OB 中点C 处发现他的正上方桥体有裂缝.需临时找根直立柱，立于C 处，用于支撑桥体.求直立柱的高度.（精确到0.01米）.27．某景区欲建造同一水平面上的两条圆形景观步道1M 、2M （宽度忽略不计），已知AB AC ⊥，60AB AC AD ===（单位：米），要求圆1M 与AB 、AD 分别相切于点B 、D ，2M 与AC 、AD 分别相切于点C 、D ，且90CAD BAD ︒∠+∠=. （1）若60BAD ︒∠=，求圆1M 、圆2M 的半径（结果精确到0.1米）；（2）若景观步道1M 、2M 的造价分别为每米0.8千元、0.9千元，如何设计圆1M 、圆2M 的大小，使总造价最低？最低总造价为多少（结果精确到0.1千元）？ 28．在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3),A 直线:24=-l y x ，设圆C 的半径长为1，圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 存在点M ，使2=MA MO ,求圆心C 的横坐标a 的取值范围. 29．已知圆C 过点A (2,6),且与直线l 1: x +y －10=0相切于点B (6,4). (1)求圆C 的方程；(2)过点P (6,24)的直线l 2与圆C 交于M ,N 两点,若△CMN 为直角三角形,求直线l 2的斜率； (3)在直线l 3: y =x －2上是否存在一点Q ,过点Q 向圆C 引两切线,切点为E ,F , 使△QEF 为正三角形,若存在,求出点Q 的坐标,若不存在,说明理由.30．已知动点P 与两个定点O （0，0），A （3，0）的距离的比值为2，点P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的轨迹方程（2）过点（﹣1，0）作直线与曲线C 交于A ，B 两点，设点M 坐标为（4，0），求△ABM 面积的最大值．31．已知圆M 过两点A （1，﹣1），B （﹣1，1），且圆心M 在x +y ﹣2＝0上， （Ⅰ）求圆M 的方程；（Ⅱ）设P 是直线x +y +2＝0上的动点．PC ，PD 是圆M 的两条切线，C ，D 为切点，求四边形PCMD 面积的最小值．32．在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A （看做一点）的东偏南θ角方向cos θ⎛= ⎝⎭，300 km 的海面P 处，并以20km / h 的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10km / h 的速度不断增大．（1） 问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A ，并说明理由； （2） 城市A 受到该台风侵袭的持续时间为多久？33．如图，12,l l是通过某城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道，连结M，N 两地之间的铁路线是圆心在2l上的一段圆弧，若点M在点O正北方向3公里；点N到,l l距离分别为4公里和5公里.的12（1）建立适当的坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；（2）若该城市的某中学拟在点O的正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O的距离大于4公里，求该校址距点O的最短距离（注：校址视为一个点）34．已知A（﹣1，0），B（1，0），动点G满足GA⊥GB，记动点G的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）如图，点M是C上任意一点，过点（3，0）且与x轴垂直的直线为l，直线AM 与l相交于点E，直线BM与l相交于点F，求证：以EF为直径的圆与x轴交于定点T，并求出点T的坐标．35．已知圆C ：22(1)5x y +-=，直线l ：10mx y m -+-=. ①求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同的交点；②设l 与圆C 交于A 、B 两点，若AB =l 的倾斜角； ③当实数m 变化时，求直线l 被圆C 截得的弦的中点的轨迹方程.36．已知椭圆22221(0)x y a b a b Γ+=>>：的左右顶点分别是(2,0)A -，(2,0)B ，点12⎫⎪⎭在椭圆上，过该椭圆上任意一点P 作PQ x ⊥轴，垂足为Q ，点C 在QP 的延长线上，且||||QP PC =．（1）求椭圆Γ的方程；（2）求动点C 的轨迹E 的方程；（3）设直线AC （C 点不同A 、B ）与直线2x =交于R ，D 为线段RB 的中点，证明：直线CD 与曲线E 相切；37．已知圆O ：224x y +=，直线:280l x y +-=，点A 在直线l 上． （1）若点A 的横坐标为2，求过点A 的圆O 的切线方程．（2）已知圆A 的半径为2，求圆O 与圆A 的公共弦EF 的最大值．38．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O 的方程为2216x y +=，过点(0,1)M 的直线l 与圆O 交于两点A ，B ．（1）若AB =l 的方程；（2）若直线l 与x 轴交于点N ，设NA mMA =u u u r u u u r ，NB mMB =u u u r u u u r，m ，n ∈R ，求m n +的值．39．已知圆M 与直线2x =相切，圆心M 在直线0x y +=上，且直线20x y --=被圆M 截得的弦长为（1）求圆M 的方程，并判断圆M 与圆22:68150N x y x y +-++=的位置关系； （2）若横截距为-1且不与坐标轴垂直的直线l 与圆M 交于,A B 两点，在x 轴上是否存在定点Q ， 使得0AQ BQ k k +=，若存在，求出Q 点坐标，若不存在，说明理由. 40．已知点M 与定点()6,0A 和原点O 的距离的比为2． （1）求点M 的轨迹C 方程；（2）设过点()4,0B 的直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点． ①求线段PQ 的中点N 的轨迹方程；②求证：BP BQ ⋅u u u r u u u r为定值，并求出这个定值．41．已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(，0)，离心率是3，直线y t =与椭圆C 交与不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆P,圆心为P 。
中职数学基础模块下册直线和圆的方程章末测试题(附答案)
直线与圆的方程第I 卷（选择题）一、单选题1．已知直线的倾斜角是π3，则此直线的斜率是（ ）AB ．CD ．2．已知直线斜率等于1−，则该直线的倾斜角为（ ） A ．30︒B ．45︒C ．120︒D ．135︒3．已知直线1:210l ax y ++=与直线2:(1)10l x a y +++=平行，则实数a 的值为（ ） A ．2−B ．23−C ．1D ．1或2−420y −+=的倾斜角为（ ） A ．30B ．45C ．60D ．1205．已知直线l 经过点()2,4M ，且与直线240x y −+=垂直，则直线l 的方程为（ ） A ．210x y −+= B ．210x y −−= C ．220x y −+=D ．280x y +−=6．直线2330x y +−=的一个方向向量是（ ） A ．()2,3−B ．()2,3C ．()3,2−D ．()3,27．若直线1l ：430x y −−=与直线2l ：310x my −+=（m ∈R ）互相垂直，则m =（ ）A ．34B ．34−C ．12D ．12−8．经过(1,A −−，(B 两点的直线的倾斜角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°9．“1a =±”是“直线0x y +=和直线20x a y −=垂直”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件10．已知直线:8l y x =−.则下列结论正确的是（ ） A ．点()2,6在直线l 上 B ．直线l 的倾斜角为4π C ．直线l 在y 轴上的截距为8D ．直线l 的一个方向向量为()1,1v =−11．已知圆C ：2225x y +=与直线l ：()3400x y m m −+=>相切，则m =（ ） A ．15B ．5C ．20D ．2512．已知两圆2210x y +=和()()221320x y −+−=相交于A ，B 两点，则AB =（ ）A ．B ．CD ．13．圆2220x y x y ++−=的圆心坐标为（ ） A ．11,2⎛⎫− ⎪⎝⎭B ．11,2⎛⎫−− ⎪⎝⎭C ．11,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,2⎛⎫− ⎪⎝⎭14．已知圆C 的圆心为()10，，且与直线2y =相切，则圆C 的方程是（ ） A ．()2214x y −+= B ．()2214x y ++= C ．()2212x y −+=D ．()2212x y ++=15．已知圆221:1C x y +=与圆()()()2222:221C x y r r −+−=>有两个交点，则r 的取值范围是（ ）A ．()1 B ．()1,1C ．(1⎤⎦D ．1,1⎡⎤⎣⎦16．在平面直角坐标系xOy 中，圆221:1C x y +=与圆222:6890C x y x y +−++=，则两圆的位置关系是（ ） A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切17．关于x 、y 的方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示一个圆的充要条件是（ ）. A ．0B =，且0A C =≠ B ．1B =，且2240D E AF +−>C ．0B =，且0A C =≠，2240DE AF +−≥ D ．0B =，且0A C =≠，2240D E AF +−> 18．圆222410x y x y +−++=的半径为（ ）A ．1BC ．2D ．419．已知圆的一条直径的端点分别为()12,5P ，()24,3P ，则此圆的标准方程是（ ） A ．()()22348x y +++= B ．()()22348x y −+−= C ．()()22342x y +++=D ．()()22342x y −+−=20．已知圆C ：22430x y y +−+=，则圆C 的圆心和半径为（ ） A ．圆心(0,2)，半径1r = B ．圆心(2,0)，半径1r = C ．圆心(0,2)，半径2r =D ．圆心(2,0)，半径2r =第II 卷（非选择题）二、填空题21．直线l 1：10x y +−=与直线l 2：30x y ++=间的距离是___________. 22．直线l 过点()2,1，若l 的斜率为3，则直线l 的一般式方程为______． 23．圆225x y +=的过点(2,1)M 的切线方程为___________.24．圆()()22:211C x y −+−=关于直线1y x =+对称的圆C '的标准方程为______. 25．赵州桥又名安济桥，是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，因赵县古称赵州而得名.赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代最久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥.小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的一座圆拱桥，已知在某个时间段这座桥的水面跨度是40米，拱顶离水面5米;当水面上涨4米后，桥在水面的跨度为______米；三、解答题26．已知直线l ：3450x y +−=，点()1,1P −. (1)求过点P 且与l 平行的直线方程； (2)求过点P 且与l 垂直的直线方程. 27．a 为何值时，(1)直线1:210l x ay +−=与直线()2:3110l a x ay −−−=平行？ (2)直线3:22l x ay +=与直线4:21l ax y +=垂直？28．已知三角形ABC 的顶点坐标为()1,5A −，()2,1B −−，()4,3C ，M 是BC 边上的中点.(1)求AB 边所在的直线方程； (2)求中线AM 的方程.29．求直线l ：3x ＋y －6＝0被圆C: x 2＋y 2－2y －4＝0截得的弦长．30．圆C 的圆心为()2,0C ，且过点32A ⎛ ⎝⎭.(1)求圆C 的标准方程；(2)直线:10l kx y ++=与圆C 交,M N 两点，且MN =k .参考答案：1．C 2．D 3．A 4．C 5．D 6．C 7．B 8．B 9．C 10．B 11．D 12．D 13．D 14．A 15．B 16．B 17．D 18．C 19．D 20．A21．22．350x y −−= 23．250x y +−= 24．()2231x y +−=25．26．(1)3410x y +−= (2)4370x y −+=.27．(1)当16a =或0时，两直线平行 (2)当a ＝0时，两直线垂直28．(1)6110x y −+= (2)230x y +−=2930．(1)()2221x y −+= (2)1k =−或17−。