2018-2019学年山东省青岛市李沧区九年级(上)期中数学试卷(解析版)
2018-2019学年山东省青岛市李沧区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．一元二次方程x2﹣x=0的根为（）A．x=1B．x=0C．x1=0，x2=1D．x1=1，x2=﹣12．下列命题，其中是真命题的为（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．一组邻边相等的矩形是正方形3．已知x=2是一元二次方程x2﹣mx﹣10=0的一个根，则m等于（）A．﹣5B．5C．﹣3D．34．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OC，OB=3OD），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段a的两个端点上，当CD=1.8cm时，则AB的长为（）A．7.2 cm B．5.4 cm C．3.6 cm D．0.6 cm5．用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏；分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（）A．B．C．D．6．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（）A．100×80﹣100x﹣80x=7644B．（100﹣x）（80﹣x）+x2=7644C．（100﹣x）（80﹣x）=7644D．100x+80x=3567．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC与E，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AEF，若AB=2，∠B=45°，则△AEF与菱形ABCD重叠部分（阴影部分）的面积为（）A．2B．2﹣C．4﹣2D．2﹣28．如图，E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，且AB=CD，下列结论：①EG⊥FH；②四边形EFGH是菱形；③HF平分∠EHG；④EG=（BC﹣AD），其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本题满分21分，共有7道小题，每小题3分）9．已知3x=5y，则=．10．已知一个菱形的周长是20，两条对角线的长的比是4：3，则这个菱形的面积是．11．现有50张大小、质地及背面图案均相同的《三国演义》任务卡片，正面朝下放置在桌面上，从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘人物的名字后，原样放回，洗匀后再抽，通过多次试验后，发现抽到绘有“诸葛亮”这个人物卡片的频率约为0.3，估计这些卡片中绘有“诸葛亮”这个人物的卡片张数约为张．12．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2﹣10x+21=0的根，则三角形的周长为．13．如图，把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角为度．14．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为．15．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示放置，点A1，A2，A3和C1，C2，C3，…分别在直线y=x+1和x轴上，则点B2018的纵坐标是．三、作图题（本题满分4分用圆规、直尺作图、不写作法、但要保留作图痕迹）16．（4分）已知：线段a，b，求作一菱形，使其两对角线长分别等于a，b．四、解答题（本题满分71分，共有8道小题）17．（16分）（1）x2﹣2x﹣2=0（用配方法解）（2）3x2+1=4x（3）2（x﹣3）2=x2﹣9（4）关于x的一元二次方程2x2+3x﹣m=0有实数根，求m的取值范围．18．（5分）振华贸易公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是324万元，假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本是多少？19．（6分）2018年9月，第24届山东省运动会在青岛举行，有20名志愿者参加某分会场的工作，其中男生8人，女生12人．（1）若从这20人中随机选取一人作为联络员，求选到女生的概率；（2）若该分会场的某项工程只在甲、乙两人选一人，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为2，3，4，5的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取1张，不放回，再取1张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加；否则乙参加，试问这个游戏公平吗？请用树状图或列表法说明理由．20．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=6，求BC的长．21．（8分）利客来超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价毎降低2元，平均每天可多售出4件．（1）若降价6元，则平均每天销售数量为件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN与E，垂足为F，连接CD，BE．（1）求证：CE=AD；（2）当D在AB中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明理由；（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形CDBE是正方形？请说明你的理由．23．（10分）几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个顶点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）模型应用：（1）如图2，已知平面直角坐标系中两定点A（0，﹣1）和B（2，﹣1），P为x轴上一动点，则当PA+PB的值最小时，点P的横坐标是，此时PA+PB=．（2）如图3，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点，连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称，则PB+PE的最小值是．（3）如图4，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一动点P，则PD+PE的最小值为．（4）如图5，在菱形ABCD中，AB=8，∠B=60°，点G是边CD边的中点，点E、F分别是AG、AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是．24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）当t为何值，DF=DA？（2）当t为何值时，△ADE为直角三角形？请说明理由．（3）是否存在某一时刻t，使点F在线段AC的中垂线上，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由．（4）请用含有t式子表示△DEF的面积，并判断是否存在某一时刻t，使△DEF的面积是△ABC面积的，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由．2018-2019学年山东省青岛市李沧区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．一元二次方程x2﹣x=0的根为（）A．x=1B．x=0C．x1=0，x2=1D．x1=1，x2=﹣1【分析】方程左边含有公因式x，可先提取公因式，然后再分解因式求解．【解答】解：原方程可化为：x（x﹣1）=0，x=0或x﹣1=0；解得x1=0，x2=1；故选C．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．2．下列命题，其中是真命题的为（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．一组邻边相等的矩形是正方形【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：A、例如等腰梯形，故本选项错误；B、根据菱形的判定，应是对角线互相垂直的平行四边形，故本选项错误；C、对角线相等且互相平分的平行四边形是矩形，故本选项错误；D、一组邻边相等的矩形是正方形，故本选项正确．故选：D．【点评】本题主要考查平行四边形的判定与命题的真假区别．正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，难度适中．3．已知x=2是一元二次方程x2﹣mx﹣10=0的一个根，则m等于（）A．﹣5B．5C．﹣3D．3【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．【解答】解：将x=2代入x2﹣mx﹣10=0，∴4﹣2m﹣10=0∴m=﹣3故选：C．【点评】本题考查一元二次方程的解定义，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．4．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OC，OB=3OD），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段a的两个端点上，当CD=1.8cm时，则AB的长为（）A．7.2 cm B．5.4 cm C．3.6 cm D．0.6 cm【分析】首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解．【解答】解：∵OA=3OC，OB=3OD，∴OA：OC=OB：OD=3：1，∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△COD，∴==，∴AB=3CD=3×1.8=5.4（cm）．故选：B．【点评】本题考查的是相似三角形的应用，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可，体现了数形转化思想的应用．5．用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏；分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据题意，用列表法将所有可能出现的结果，分析可能得到紫色的概率，得到结论．【解答】解：用列表法将所有可能出现的结果表示如下：所有可能出现的结果共有12种．上面等可能出现的12种结果中，有5种情况可以得到紫色，所以可配成紫色的概率是，故选：B ．【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率．6．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x 米，则可列方程为（ ）A ．100×80﹣100x ﹣80x=7644B ．（100﹣x ）（80﹣x ）+x 2=7644C．（100﹣x）（80﹣x）=7644D．100x+80x=356【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．【解答】解：设道路的宽应为x米，由题意有（100﹣x）（80﹣x）=7644，故选：C．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．7．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC与E，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AEF，若AB=2，∠B=45°，则△AEF与菱形ABCD重叠部分（阴影部分）的面积为（）A．2B．2﹣C．4﹣2D．2﹣2【分析】在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，可求得AE的长，求得△ABF、△AEF、△CGF的面积，计算即可．【解答】解：∵在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，∴AE=，由折叠的性质可知，△ABF为等腰直角三角形，=AB•AF=2，S△ABE=1，∴S△ABF∴CF=BF﹣BC=2﹣2，∵AB∥CD，∴∠GCF=∠B=45°，又由折叠的性质知，∠F=∠B=45°，∴CG=GF=2﹣．=GC•GF=3﹣2，∴S△CGF∴重叠部分的面积为：2﹣1﹣（3﹣2）=2﹣2，故选：D．【点评】本题考查的是翻转变换的性质、菱形的性质以及等腰直角三角形的性质，掌握翻转变换的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．8．如图，E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，且AB=CD，下列结论：①EG⊥FH；②四边形EFGH是菱形；③HF平分∠EHG；④EG=（BC﹣AD），其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半与AB=CD可得四边形EFGH是菱形，然后根据菱形的对角线互相垂直平分，并且平分每一组对角的性质对各小题进行判断．【解答】解：∵E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，∴EF=CD，FG=AB，GH=CD，HE=AB，∵AB=CD，∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH是菱形，∴①EG⊥FH，正确；②四边形EFGH是菱形，正确；③HF平分∠EHG，正确；④当AD∥BC，如图所示：E，G分别为BD，AC中点，∴连接CD，延长EG到CD上一点N，∴EN=BC，GN=AD，∴EG=（BC﹣AD），只有AD∥BC时才可以成立，而本题AD与BC很显然不平行，故本小题错误．综上所述，①②③共3个正确．故选：C．【点评】本题考查了三角形中位线定理与菱形的判定与菱形的性质，根据三角形的中位线定理与AB=CD判定四边形EFGH是菱形是解答本题的关键．二、填空题（本题满分21分，共有7道小题，每小题3分）9．已知3x=5y，则=．【分析】根据两外项的积等于两内项的积，可得答案．【解答】解：∵3x=5y，∴=，故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，利用了比例的性质：外项的积等于内项的积．10．已知一个菱形的周长是20，两条对角线的长的比是4：3，则这个菱形的面积是24．【分析】由菱形ABCD的周长是20，AC：BD=4：3，即可得AD=5，AC⊥BD，AC=2OA，BD=2OD，则可得OA：OD=4：3，然后设OA=4x，OD=3x，由勾股定理即可求得AD 的长，继而求得两条对角线的长，由菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得答案．【解答】解：如图，菱形ABCD的周长是20，AC：BD=4：3，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD=5，AC⊥BD，AC=2OA，BD=2OD，∴OA：OD=4：3，设OA=4x，OD=3x，在Rt△AOD中，AD==5x=5，∴x=1，∴OA=4，OD=3，∴AC=8，BD=6，=AC•BD=×8×6=24．∴∴S菱形ABCD故答案为：24．【点评】此题考查了菱形的性质与勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．11．现有50张大小、质地及背面图案均相同的《三国演义》任务卡片，正面朝下放置在桌面上，从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘人物的名字后，原样放回，洗匀后再抽，通过多次试验后，发现抽到绘有“诸葛亮”这个人物卡片的频率约为0.3，估计这些卡片中绘有“诸葛亮”这个人物的卡片张数约为15张．【分析】利用频率估计概率得到抽到绘有诸葛亮这个人物卡片的概率为0.3，则根据概率公式可计算出这些卡片中绘有诸葛亮这个人物的卡片张数，于是可估计出这些卡片中绘有诸葛亮这个人物的卡片张数．【解答】解：因为通过多次试验后，发现抽到绘有诸葛亮这个人物卡片的频率约为0.3，所以估计抽到绘有诸葛亮这个人物卡片的概率为0.3，则这些卡片中绘有诸葛亮这个人物的卡片张数=0.3×50=15（张）．所以估计这些卡片中绘有诸葛亮这个人物的卡片张数约为15张．故答案为：15．【点评】本题考查了用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．12．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2﹣10x+21=0的根，则三角形的周长为16．【分析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长．【解答】解：解方程x2﹣10x+21=0得x1=3、x2=7，∵3＜第三边的边长＜9，∴第三边的边长为7．∴这个三角形的周长是3+6+7=16．故答案为：16．【点评】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．13．如图，把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角为45度．【分析】根据翻折变换的性质及正方形的判定进行分析从而得到最后答案．【解答】解：一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线，所以当剪口线与折痕成45°角，菱形就变成了正方形．故答案为：45．【点评】本题考查了剪纸的问题，同时考查了菱形和正方形的判定及性质，以及学生的动手操作能力．14．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为x（x﹣1）=21．【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数为x（x﹣1），即可列方程．【解答】解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：x（x﹣1）=21，故答案为：x（x﹣1）=21．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．15．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示放置，点A1，A2，A3和C1，C2，C3，…分别在直线y=x+1和x轴上，则点B2018的纵坐标是22017．【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质即可得出点B1、B2、B3、…的坐标，根据点坐标的变化找出点B n的坐标，依此即可得出结论．【解答】解：当x=0时，y=x+1=1，∴点A1的坐标为（0，1）．∵A1B1C1O为正方形，∴点C1的坐标为（1，0），点B1的坐标为（1，1）．同理，可得：B2（3，2），B3（7，4），B4（15，8），∴点B n的坐标为（2n﹣1，2n﹣1），∴点B2018的坐标为（22018﹣1，22017）．故答案为：22017．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型中点的坐标，根据点坐标的变化找出变化规律“点B n的坐标为（2n﹣1，2n﹣1）”是解题的关键．三、作图题（本题满分4分用圆规、直尺作图、不写作法、但要保留作图痕迹）16．（4分）已知：线段a，b，求作一菱形，使其两对角线长分别等于a，b．【分析】根据菱形的对角线相互垂直平分，先画两条垂直平分的线段，得到菱形的4个顶点，再顺次连接即可．【解答】解：如图，（1）先画线段AC=a，（2）作AC的中垂线，与AC的交点为O，以交点O为圆心，b为半径画弧交B、D 的两点．（3）顺次连接ABCD，就是所求作的菱形．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是利用菱形的对角线相互垂直平分进行尺规作图．四、解答题（本题满分71分，共有8道小题）17．（16分）（1）x2﹣2x﹣2=0（用配方法解）（2）3x2+1=4x（3）2（x﹣3）2=x2﹣9（4）关于x的一元二次方程2x2+3x﹣m=0有实数根，求m的取值范围．【分析】（1）运用配方法，首先移常数项，再方程两边加一次项系数一半的平方，配方即可，再开平方求出方程的解．（2）移项后利用十字相乘法求解可得；（3）利用因式分解法求解可得；（4）根据方程有实数根，得到根的判别式大于或等于0，求出m的范围即可．【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣2=0，∴x2﹣2x=2，∴x2﹣2x+1=2+1，即（x﹣1）2=3，则x﹣1=±，∴x=1±，即x1=1+，x2=1﹣；（2）∵3x2+1=4x，∴3x2﹣4x+1=0，则（3x﹣1）（x﹣1）=0，∴3x﹣1=0或x﹣1=0，解得：x1=，x2=1；（3）∵2（x﹣3）2=（x+3）（x﹣3），∴2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）=0，则（x﹣3）（x﹣9）=0，∴x﹣3=0或x﹣9=0，解得：x1=3，x2=9；（4）∵关于x的一元二次方程2x2+3x﹣m=0有实数根，∴△=9﹣4×2×（﹣m）≥0，解得：m≥﹣．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法熟练掌握一元二次方程的几种解法是解决问题的关键．18．（5分）振华贸易公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是324万元，假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本是多少？【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．【解答】解：（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据题意得：400（1﹣x）2=324，解得：x1=0.01=1%，x2=1.90（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为1%．（2）324×（1﹣1%）=320.76（万元）．答：预测4月份该公司的生产成本为320.76万元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．19．（6分）2018年9月，第24届山东省运动会在青岛举行，有20名志愿者参加某分会场的工作，其中男生8人，女生12人．（1）若从这20人中随机选取一人作为联络员，求选到女生的概率；（2）若该分会场的某项工程只在甲、乙两人选一人，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为2，3，4，5的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取1张，不放回，再取1张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加；否则乙参加，试问这个游戏公平吗？请用树状图或列表法说明理由．【分析】（1）直接利用概率公式求出即可；（2）利用树状图表示出所有可能，进而利用概率公式求出即可．【解答】解：（1）∵共20名志愿者，女生12人，∴选到女生的概率是：=；（2）不公平，根据题意画图如下：∵共有12种情况，和为偶数的情况有4种，∴牌面数字之和为偶数的概率是=，∴甲参加的概率是，乙参加的概率是，∴这个游戏不公平．【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个人的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=6，求BC的长．【分析】根据等边三角形性质求出OA=OB=AB=6，根据平行四边形的性质求出OA=OC，OB=OD，得出AC=BD=12，证出四边形ABCD是矩形，得出∠ABC=90°，由勾股定理求出BC即可．【解答】解：∵△ABO是等边三角形，∴OA=OB=AB=6，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∴OA=OC=OB=OD，∴AC=BD=12，∴四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，由勾股定理得：BC=．【点评】本题考查了等边三角形的性质、平行四边形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质；熟练掌握平行四边形和等边三角形的性质，证明四边形是矩形是解决问题的关键．21．（8分）利客来超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价毎降低2元，平均每天可多售出4件．（1）若降价6元，则平均每天销售数量为32件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3=6件，即平均每天销售数量为20+6=26件；（2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可．【解答】解：（1）若降价6元，则平均每天销售数量为20+4×3=32件．故答案为：32；（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．根据题意，得（40﹣x）（20+2x）=1200，整理，得x2﹣30x+200=0，解得：x1=10，x2=20．∵要求每件盈利不少于25元，∴x2=20应舍去，解得：x=10．答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键．22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN与E，垂足为F，连接CD，BE．（1）求证：CE=AD；（2）当D在AB中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明理由；（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形CDBE是正方形？请说明你的理由．【分析】（1）证出AC∥DE，得出四边形ADEC是平行四边形，即可得出结论；（2）先证出BD=CE，得出四边形BECD是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出CD=AB=BD，即可得出四边形BECD是菱形；（3）当△ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得出CD⊥AB，即可得出四边形BECD是正方形．【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE=AD；（2）四边形BECD是菱形，理由如下：∵D为AB中点，∴AD=BD，∵CE=AD，∴BD=CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB=90°，D为AB中点，∴CD=AB=BD，∴四边形BECD是菱形；（3）当△ABC是等腰直角三角形时，四边形BECD是正方形；理由如下：∵∠ACB=90°，当△ABC是等腰直角三角形，∵D为AB的中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∴四边形BECD是正方形；【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、正方形的判定、菱形的判定、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．23．（10分）几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个顶点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）模型应用：（1）如图2，已知平面直角坐标系中两定点A（0，﹣1）和B（2，﹣1），P为x轴上一动点，则当PA+PB的值最小时，点P的横坐标是1，此时PA+PB=2．（2）如图3，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点，连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称，则PB+PE的最小值是．（3）如图4，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一动点P，则PD+PE的最小值为2．（4）如图5，在菱形ABCD中，AB=8，∠B=60°，点G是边CD边的中点，点E、F分别是AG、AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是4．【分析】（1）取点A关于x轴对称的点A′，连接A′B，交x轴于P，作BH⊥x轴于H，求出OP，得到点P的横坐标，根据勾股定理求出A′B，得到答案；（2）根据正方形的性质求出AE，根据勾股定理计算即可；（3）由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE 最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果．（4）作DH⊥AC垂足为H与AG交于点E，根据菱形的性质、勾股定理计算．。
2018-2019九年级上学期期中考试数学试题
2018—2019学年度上学期期中学业水平质量调研试题九年级数学 2017.11（时间：120分钟总分120分）注意事项：1.答题前，请先将自己的姓名、考号、座号在答题纸的相应位置填写清楚；2.选择题答案用2B铅笔涂在答题纸的答题卡上，非选择题用0.5mm黑色中性笔直接写在答题纸相应题号上.一、选择题(本大题共14小题，每小题3分，共42分）1．下面图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）2．抛物线2234y x=-+（）顶点坐标是（）A．（3，4）B．（﹣3，4）C．（3，﹣4）D．（2，4）3．已知m是方程220x x--=的一个根，则2m m-的值是( )A. 0B. 1C. 2D. 2-4．抛物线223y x=+（）-可以由抛物线2y x=平移得到，则下列平移过程正确的（）A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=60°，AB=AC=2，则弦BC的长为（）A．3B．3A DCBC ．23D ．46．某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元．已知两次降价的百分率相同， 每次降价的百分率为x ，根据题意列方程得（ ）A ．168(1+x )2=128B ．168(1﹣x )2=128C ．168(1﹣2x )=128D ．168(1﹣x 2)=1287．若(2，5)，(4，5)是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上的两个点，则抛物线的对称轴是（ ）A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝3D ．x ＝48．已知⊙O 的半径是6cm ，点O 到同一平面内直线l 的距离为5cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法判断9．若关于x 的一元二次方程2210kx x =--有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．k ＞﹣1 B ．k ＜1且k ≠ 0 C ．k ≥﹣1且k ≠ 0 D ．k ＞﹣1且k ≠ 010．边长为a 的正六边形的内切圆的半径为（ ）A ．2aB ．aC ．32a D ．12a 11．如图，⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连结AO 并延长交⊙O 于点E ，连结EC ．若AB =8，CD =2，则EC 的长为（ ）A ．215B ．8C ．210D ．21312. 如图，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD 丄AB ，∠CAB =20°，则∠AOD 等于（ ）A . 120°B . 140°C . 150°D . 160°13．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =30°，AC =1，将△ABC 绕点C 逆时针旋转至△EFC ，使点E 恰巧落在AB 上，连接BF ，则BF 的长度为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．214. 如图，已知顶点为（－3，－6）的抛物线2y ax bx c =++经过点（－1，－4），下列结论：①b 2＞4ac ；②ax 2+bx +c ≥－6；③若点（－2，m ），（－5，n ）在抛物线上，则m ＞n ；④关于x 的一元二次方程24ax bx c ++=-的两根为﹣5和﹣1，其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分）15.（1）点A （－2，3）与点B （a ，b ）关于坐标原点对称，则a b 的值为 ．（2）已知⊙O 的半径为5cm ，弦AB ∥CD ，AB =8cm ，CD =6cm ，则AB 和CD 的距离为 ．（3）二次函数210y ax bx a =+≠-（）的图象经过点（1，1），则代数式1a b --的值 为 ．（4）将二次函数2y x =的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象 与一次函数2y x b =+的图象有公共点，则实数b 的取值范围 ．（5）如图，⊙O 的半径为2，C 1是函数22y x =的图象，C 2是函数22y x =-的图象，则 图中阴影部分的面积为 ．三、简答题(本大题共6小题，共63分）16．（本题10分）用适当的方法解下列方程①2430x x =--； ②2323x x +=+（）-（）17．（本题9分）第12题图 第11题图 第13题图 第14题图 第15（5）题图如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，△AOB 的顶点均在格点上，点O 为原点，点A 、B 的坐标分别是A （3，2）、B （1，3）．（1）将△AOB 向下平移3个单位后得到△A 1O 1B 1，则点B 1的坐标为 ；（2）将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°后得到△A 2OB 2，请在图中作出△A 2OB 2，并求出这时点A 2的坐标为 ；（3）在（2）中的旋转过程中，线段OA 扫过的图形的面积为 ．18．（本题9分）已知：如图，△ABC 中，AC =BC ，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ．求证：（1）AD =BD ；（2）DF 是⊙O 的切线．19． (本题10分)某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现；当销售单价为25元/件时，每天的销售量是250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w （元）与销售单价x （元）之间的 函数关系式；（2）当销售单价为多少时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？第17题图第18题图20．(本题12分)边长为6的等边△ABC中，点D、E分别在AC、BC边上，DE∥AB，EC=23（1）如图20-1，将△DEC沿射线BC方向平移，得到△D′E′C′，边D′E′与AC的交点为M，边C′D′与∠ACC′的角平分线交于点N，当CC′多大时，四边形MCND′为菱形？并说明理由．（2）如图20-2，将△DEC绕点C旋转∠α（0°＜α＜360°），得到△D′E′C，连接AD′、BE′．边D′E′的中点为P．①在旋转过程中，AD′和BE′有怎样的数量关系？并说明理由；②连接AP，当AP最大时，求AD′的值．（结果保留根号）第20-1图第20-2图21. (本题13分)如图，已知抛物线经过点A（-1,0），B（3,0），C(0，3)三点。
2018-2019学年山东省青岛市胶州市九年级(上)期中数学试卷(解析版)
2018-2019学年山东省青岛市胶州市九年级（上）期中数学试卷一、选择题：请把唯一正确答案的字母标号涂在答题卡的相应位置1．一元二次方程4+2x2﹣5x=0的二次项系数、一次项系数及常数项分别是（）A．4，2，5B．4，2，﹣5C．2．﹣5，4D．2，4，﹣52．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有（）A．AC⊥BD B．AB=BC C．AC=BD D．∠1=∠23．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD=2AD，则（）A．=B．=C．=D．=4．如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．下面有三个推断：①某次实验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则该次试验“钉尖向上”的频率是0.616；②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620．其中合理的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③5．如图，E是正方形ABCD的边BC的延长线上一点，若CE=CA，AE交CD于F，则∠FAC 的度数是（）A．22.5°B．30°C．45°D．67.5°6．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k＞﹣1且k≠0C．k＜1D．k＜1且k≠07．如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是（）A．（4，5）B．（5，4）C．（4，4）D．（5，3）8．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（）A．5B．4C．D．二、填空愿：请把正确答案填写在答题卡的相应位置9．若（b+d≠0），则=．10．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2018=0有一个根为x=﹣1，则a+b=．11．甲、乙两位同学各抛掷一枚质地均匀的骰子，他们抛掷的点数分别记为a、b，则a+b=9的概率为．12．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，那么的值等于．13．如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠ABC=120”，则花坛对角线AC 的长等于．14．已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AD，DC上，AE=DF=1，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为．四、解答题（共10小题，满分78分）15．（4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：线段a和∠α．求作：菱形ABCD，使菱形ABCD的边长为a，其中一个内角等于∠α．16．（8分）解方程：（1）x=x（x﹣1）；（2）（y+2）2=（2y+1）2．17．（6分）在数字1，2，3中任选两个组成一个两位数，求这个两位数能被3整除的概率．18．（6分）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用14m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边）．若花园的面积为48m2，求AB的长度为多少？19．（6分）如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC=∠OCB．（1）求证：▱ABCD是矩形；（2）请添加一个条件使矩形ABCD为正方形并说明理由．20．（8分）小王和小张利用如图所示的转盘做游戏，转盘的盘面被分为面积相等的4个扇形区域，且分别标有数字1，2，3，4．游戏规则如下：两人各转动转盘一次，分别记录指针停止时所对应的数字，如两次的数字都是奇数，则小王胜；如两次的数字都是偶数，则小张胜；如两次的数字是奇偶，则为平局．解答下列问题：（1）小王转动转盘，当转盘指针停止，对应盘面数字为奇数的概率是多少？（2）该游戏是否公平？请用列表或画树状图的方法说明理由．21．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE．（1）求证：△AGE≌△BGF；（2）试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．22．（10分）东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产76件，每件利润10元，调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．（1）若生产的某批次蛋糕每件利润为16元，此批次蛋糕属第几档次产品；（2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件，若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘培店生产的是第几档次的产品？23．（10分）材料阅读：如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E 叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：（1）图①中，若∠A=∠B=∠DEC=40°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点（无需写解答过程）；（3）如图③所示的矩形ABCD，将矩形ABCD沿CM折叠后，点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究点E的位置．24．（12分）如图，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O，且AC=12cm，BD=16cm．点P 从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为lcm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为lcm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q．F，当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：（1）求菱形ABCD的面积；（2）当t=1时，求QF长；（3）是否存在某一时刻t，使四边形APFD是平行四边形？若存在，求出t值，若不存在，请说明理由；（4）设△DEF的面积为s（cm2），试用含t的代数式表示S，并求t为何值时，△DEF 的面积与△BPC的面积相等．2018-2019学年山东省青岛市胶州市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：请把唯一正确答案的字母标号涂在答题卡的相应位置1．一元二次方程4+2x2﹣5x=0的二次项系数、一次项系数及常数项分别是（）A．4，2，5B．4，2，﹣5C．2．﹣5，4D．2，4，﹣5【分析】方程整理为一般形式，找出所求即可．【解答】解：方程整理得：2x2﹣5x+4=0，则二次项系数为2，一次项系数为﹣5，常数项为4，故选：C．【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）．2．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有（）A．AC⊥BD B．AB=BC C．AC=BD D．∠1=∠2【分析】根据平行四边形的性质．菱形的判定方法即可一一判断．【解答】解：A、正确．对角线垂直的平行四边形的菱形．B、正确．邻边相等的平行四边形是菱形．C、错误．对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形．D、正确．可以证明平行四边形ABCD的邻边相等，即可判定是菱形．故选：C．【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法．3．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD=2AD，则（）A．=B．=C．=D．=【分析】根据题意得出△ADE∽△ABC，进而利用已知得出对应边的比值．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵BD=2AD，∴，则，∴A，B，C选项错误，D选项正确，故选：D．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确得出对应边的比是解题关键．4．如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．下面有三个推断：①某次实验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则该次试验“钉尖向上”的频率是0.616；②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620．其中合理的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【分析】根据图形和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以此时“钉尖向上”的频率是：308÷500=0.616，故①正确；随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618．故②正确，若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率可能是0.620，但不一定是0.620，故③错误，故选：A．【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答．5．如图，E是正方形ABCD的边BC的延长线上一点，若CE=CA，AE交CD于F，则∠FAC 的度数是（）A．22.5°B．30°C．45°D．67.5°【分析】由四边形ABCD是正方形，∠ACB=45°，然后由CE=CA，可得∠E=∠FAC，继而由三角形外角的性质，求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB=45°，∴∠E+∠∠FAC=∠ACB=45°，∵CE=CA，∴∠E=∠FAC，∴∠FAC=∠ACB=22.5°．故选：A．【点评】此题考查了正方形的性质以及等腰三角形的性质．注意证得∠E=∠DAC=∠ACB 是解此题的关键．6．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k＞﹣1且k≠0C．k＜1D．k＜1且k≠0【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义得出关于k的不等式组，求出k的取值范围即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，∴，即，解得k＞﹣1且k≠0．故选：B．【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与判别式的关系是解答此题的关键．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是（）A．（4，5）B．（5，4）C．（4，4）D．（5，3）【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标．【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，∴AB=5，∴DO=4，∴点C的坐标是：（5，4）．故选：B．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，得出DO的长是解题关键．8．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（）A ．5B ．4C ．D ．【分析】已知OM 是△ADC 的中位线，再结合已知条件则DC 的长可求出，所以利用勾股定理可求出AC 的长，由直角三角形斜边上中线的性质则BO 的长即可求出．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D=90°，∵O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OM ∥AB ，∴OM 是△ADC 的中位线，∵OM=3，∴DC=6，∵AD=BC=10，∴AC==2，∴BO=AC=， 故选：D ．【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理的运用，直角三角形斜边上中线的性质以及三角形的中位线的应用，解此题的关键是求出AC 的长．二、填空愿：请把正确答案填写在答题卡的相应位置9．若（b +d ≠0），则= 3 ． 【分析】根据比例的等比性质代入即可得解．【解答】解：∵ ==3，∴a=3b ，c=3d ，∴===3．故答案为3．【点评】本题主要考查了比例的等比性质，若a ：b=c ：d=…=m ：n ，则（a +c +…+m ）：（b +d +…+n ）=m：n（注意分母的和不为0），难度适中．10．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2018=0有一个根为x=﹣1，则a+b=2018．【分析】把x=﹣1代入方程，整理即可求出a+b的值．【解答】解：把x=﹣1代入方程有：a+b﹣2018=0，即a+b=2018．故答案是：2018．【点评】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，可以求出代数式的值．11．甲、乙两位同学各抛掷一枚质地均匀的骰子，他们抛掷的点数分别记为a、b，则a+b=9的概率为．【分析】利用列表法即可解决问题．【解答】解：甲、乙两位同学各抛掷一枚质地均匀的骰子，所有可能的结果是：满足a+b=9的有4种可能，∴a+b=9的概率为=，故答案为．【点评】本题考查的是古典型概率．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．12．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，那么的值等于．【分析】首先求出AD的长度，然后根据平行线分线段成比例定理，列出比例式即可得到结论．【解答】解：∵AG=2，GD=1，∴AD=3，∵AB∥CD∥EF，∴=，故答案为：．【点评】该题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题；解题的关键是准确找出图形中的对应线段，正确列出比例式求解、计算．13．如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠ABC=120”，则花坛对角线AC的长等于6米．【分析】由菱形花坛ABCD的周长是24米，∠ABC=120°，可证△ABD是等边三角形，求出OA即可解决问题；【解答】解：∵菱形花坛ABCD的周长是24米，∠ABC=60°，∴AC⊥BD，AC=2OA，∠BAD=∠BCD=60°，AD=6米，∴∠DAC=∠DAB=30°∴OA=AD•cos30°=6×=3米，∴AC=2OA=6米．故答案为：6米．【点评】此题考查了菱形的性质以及三角函数的性质．注意根据菱形的对角线互相垂直且平分求解是解此题的关键．．14．已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AD，DC上，AE=DF=1，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为．【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB=AD，每一个角都是直角可得∠BAE=∠D=90°，然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF得∠ABE=∠DAF，进一步得∠AGE=∠BGF=90°，从而知GH=BF，利用勾股定理求出BF的长即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAE=∠D=90°，AB=AD，在△ABE和△DAF中，∵，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠ABE=∠DAF，∵∠ABE+∠BEA=90°，∴∠DAF+∠BEA=90°，∴∠AGE=∠BGF=90°，∵点H为BF的中点，∴GH=BF，∵BC=4、CF=CD﹣DF=4﹣1=3，∴BF==5，∴GH=BF=，故答案为：．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识，掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键．四、解答题（共10小题，满分78分）15．（4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：线段a和∠α．求作：菱形ABCD，使菱形ABCD的边长为a，其中一个内角等于∠α．【分析】①作∠MAB=∠α．②在∠MAN的两边截取AD=AB=a，③分别以D、B为圆心a为半径画弧，两弧交于点C．菱形ABCD即为所求．【解答】解：如图菱形ABCD即为所求．【点评】本题考查作图﹣复杂作图、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．16．（8分）解方程：（1）x=x（x﹣1）；（2）（y+2）2=（2y+1）2．【分析】（1）先移项得到x﹣x（x﹣1）=0，然后利用因式分解法解方程；（2）两边开方得到y+2=±（2y+1），然后解两个一次方程即可．【解答】解：（1）x﹣x（x﹣1）=0，x（﹣x+1）=0，x=0或﹣x+1=0，所以x1=0，x2=+1；（2）y+2=±（2y+1）所以y1=1，x2=﹣1．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了直接开平方法解一元二次方程．17．（6分）在数字1，2，3中任选两个组成一个两位数，求这个两位数能被3整除的概率．【分析】利用树状图法列举出所有可能，看是否能被3整除．找出满足条件的数的个数除以总的个数即可．【解答】解：如图所示：共有6种情况，能被3整除的有12，21两种．因此这个两位数能被3整除的概率为=．【点评】本题考查了树状图法求概率以及概率公式，注意能被3整除即两位数加起来和为3的倍数．18．（6分）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用14m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边）．若花园的面积为48m2，求AB的长度为多少？【分析】根据题意得出长×宽=48列出方程，进一步解方程得出答案即可．【解答】解：设AB的长为x m，则BC的长为（14﹣x）m，依题意得：x（14﹣x）=48，解得x1=6，x2=8，答：AB的长度为6m或8m．【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意列出相应的关系式，找出所求问题需要的条件．19．（6分）如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC=∠OCB．（1）求证：▱ABCD是矩形；（2）请添加一个条件使矩形ABCD为正方形并说明理由．【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，根据等角对等边可得OB=OC，然后求出AC=BD，再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明；（2）根据正方形的判定方法添加即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵∠OBC=∠OCB，∴OB=OC，∴AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形；（2）解：AB=AD（或AC⊥BD答案不唯一）．理由：∵四边形ABCD是矩形，又∵AB=AD，∴四边形ABCD是正方形．或∵四边形ABCD是矩形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形．【点评】本题考查了正方形的判断，平行四边形的性质，矩形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定方法与性质是解题的关键．20．（8分）小王和小张利用如图所示的转盘做游戏，转盘的盘面被分为面积相等的4个扇形区域，且分别标有数字1，2，3，4．游戏规则如下：两人各转动转盘一次，分别记录指针停止时所对应的数字，如两次的数字都是奇数，则小王胜；如两次的数字都是偶数，则小张胜；如两次的数字是奇偶，则为平局．解答下列问题：（1）小王转动转盘，当转盘指针停止，对应盘面数字为奇数的概率是多少？（2）该游戏是否公平？请用列表或画树状图的方法说明理由．【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出两次的数字都是奇数的结果数得到小王胜的概率；找出两次的数字都是偶数的结果数得到小张胜的概率，然后比较两概率的大小可判断该游戏是否公平．【解答】解：（1）小王转动转盘，当转盘指针停止，对应盘面数字为奇数的概率==；（2）该游戏公平．理由如下：画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中两次的数字都是奇数的结果数为4，所以小王胜的概率==；两次的数字都是偶数的结果数为4，所以小张胜的概率==，因为小王胜的概率与小张胜的概率相等，所以该游戏公平．【点评】本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了树状图法．21．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE．（1）求证：△AGE≌△BGF；（2）试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠AEG=∠BFG，由AAS证明△AGE ≌△BGF即可；（2）由全等三角形的性质得出AE=BF，由AD∥BC，证出四边形AFBE是平行四边形，再根据EF⊥AB，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEG=∠BFG，∵EF垂直平分AB，∴AG=BG，在△AGE和△BGF中，，∴△AGE≌△BGF（AAS）；（2）解：四边形AFBE是菱形，理由如下：∵△AGE≌△BGF，∴AE=BF，∵AD∥BC，∴四边形AFBE是平行四边形，又∵EF⊥AB，∴四边形AFBE是菱形．【点评】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定方法、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．22．（10分）东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产76件，每件利润10元，调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．（1）若生产的某批次蛋糕每件利润为16元，此批次蛋糕属第几档次产品；（2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件，若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘培店生产的是第几档次的产品？【分析】（1）根据生产每提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元，即可求出每件利润为16元的蛋糕属第几档次产品；（2）设烘焙店生产的是第x档次的产品，根据单件利润×销售数量=总利润，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）（16﹣10）÷2+1=4（档次）．答：此批次蛋糕属第4档次产品．（2）设烘焙店生产的是第x档次的产品，根据题意得：（2x+8）×（76+4﹣4x）=1080，整理得：x2﹣16x+55=0，解得：x1=5，x2=11（不合题意，舍去）．答：该烘焙店生产的是五档次的产品．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系，列式计算；（2）根据单件利润×销售数量=总利润，列出关于x的一元二次方程．23．（10分）材料阅读：如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E 叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：（1）图①中，若∠A=∠B=∠DEC=40°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点（无需写解答过程）；（3）如图③所示的矩形ABCD，将矩形ABCD沿CM折叠后，点D落在AB边上的点E 处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究点E的位置．【分析】（1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△BEC，所以问题得解．（2）根据两个直角三角形相似得到强相似点的两种情况即可．（3）因为点E是梯形ABCM的AB边上的一个强相似点，所以就有相似三角形出现，根据相似三角形的对应线段成比例，可以判断出AE和BE的数量关系，从而可求出解．【解答】解：（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点，理由是：∵∠A=40°，∴∠ADE+∠DEA=140°，∵∠DEC=40°，∴∠BEC+∠DEA=140°，∴∠ADE=∠BEC，∵∠A=∠B，∴△ADE∽△BEC，∴点E是四边形ABCD的边AB上的相似点；（2）作图如下：（3）若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，则△AEM∽△BCE∽△ECM，∴∠BCE=∠ECM=∠AEM，由折叠得：∠ECM=∠DCM，CE=CD，∴∠BCE=∠BCD=30°，∴BE=CE=AB，即E为AB的中点．【点评】本题是相似三角形综合题，主要考查了相似三角形的对应边成比例的性质，读懂题目信息，理解相似点和强相似点的定义，判定三角形是否相似是解题的关键．24．（12分）如图，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O，且AC=12cm，BD=16cm．点P 从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为lcm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为lcm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q．F，当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：（1）求菱形ABCD的面积；（2）当t=1时，求QF长；（3）是否存在某一时刻t，使四边形APFD是平行四边形？若存在，求出t值，若不存在，请说明理由；（4）设△DEF的面积为s（cm2），试用含t的代数式表示S，并求t为何值时，△DEF 的面积与△BPC的面积相等．【分析】（1）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可；（2）由EF∥AC，可得=，构建方程即可解决问题；（3）由△DFQ∽△DCO．得出=，求出DF．由AP=DF．求出t．（4）根据三角形的面积公式计算即可，再根据△DEF的面积与△BPC的面积相等构建方程求出t即可解决问题；【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AC=12cm，BD=16cm，∴菱形ABCD的面积为×12×16=96（cm2）．（2）∵AB∥CD，AC⊥BD，OA=OC=6cm，OB=OD=8cm，在Rt△AOB中，AB==10（cm），当t=1时，DQ=1，∵EF⊥BD，AC⊥BD，∴EF∥AC，∴=，∴=，∴QF=（cm）．（3）∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，OA=OC=6，OB=OD=8．在Rt△AOB中，AB==10．∵EF⊥BD，∴∠FQD=∠COD=90°．又∵∠FDQ=∠CDO ，∴△DFQ ∽△DCO ．∴=，即=，∴DF=t ．∵四边形APFD 是平行四边形，∴AP=DF ．即10﹣t=t ，解这个方程，得t=． ∴当t=s 时，四边形APFD 是平行四边形．（4）S=S△DEF =•EF•QD=t•t=t 2．如图作CG ⊥AB 于点G ．∵S 菱形ABCD =AB•CG=AC•BD ，即10•CG=×12×16，∴CG=，∴S △BPC =•t ×=t ， 当△DEF 的面积与△BPC 的面积相等时，t 2=t ， 解得t=或t=0（舍弃），∴S=t 2，当t=时，△DEF 的面积与△BPC 的面积相等【点评】本题属于四边形综合题，主要涉及到菱形的性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、函数与方程以及数形结合思想的综合运用，解题的关键是根据三角形相似比求出相关线段．。
2018-2019年青岛市北师大九年级上期中数学模拟试卷(有答案)-精编
2018-2019学年山东省青岛市九年级（上）期中数学模拟试卷一．选择题（共15小题，满分30分，每小题2分）1．方程x2﹣2x=0的解是（）A．0B．2C．0或﹣2D．0或2【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x2﹣2x=0，x（x﹣2）=0，x=0，x﹣2=0，x1=0，x2=2，故选：D．【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．2．关于x的一元二次方程 kx2+2x﹣1=0有两个不相等实数根，则k 的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k≠0D．k＞﹣1且k≠0【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△=22﹣4k×（﹣1）＞0，然后解两个不等式求出它们的公共部分即可．【解答】解：根据题意得k≠0且△=22﹣4k×（﹣1）＞0，所以k＞﹣1且k≠0．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．3．下列说法正确的是（）A．邻边相等的平行四边形是矩形B．一组邻边相等的矩形是正方形C．一组邻边互相垂直的四边形是菱形D．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形【分析】A、由邻边相等的平行四边形是菱形，可得出结论A不正确；B、由一组邻边相等的矩形是正方形，可得出结论B正确；C、由选项C的论述结合菱形的判定定理，可得出结论C不正确；D、由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得出结论D不正确．此题得解．【解答】解：A、∵邻边相等的平行四边形是菱形，∴结论A不正确；B、∵一组邻边相等的矩形是正方形，∴结论B正确；C、∵由一组邻边互相垂直，无法证出该四边形为菱形，∴结论C不正确；D、∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴结论D不正确．故选：B．【点评】本题考查了菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定以及平行四边形的判定，牢记平行四边形、菱形、矩形及正方形的各判定定理是解题的关键．4．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同．小张通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是（）A．6B．16C．18D．24【分析】先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数×频率=频数计算白球的个数，即可求出答案．【解答】解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，∴摸到白球的频率为1﹣15%﹣45%=40%，故口袋中白色球的个数可能是40×40%=16个．故选：B．【点评】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．5．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形OCED 的周长为（）A．4B．8C．10D．12【分析】由四边形ABCD为矩形，得到对角线互相平分且相等，得到OD=OC，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形DECO为平行四边形，利用邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形DECO为菱形，根据AC的长求出OC的长，即可确定出其周长．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，∴OA=OB=OC=OD=2，∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形DECO为平行四边形，∵OD=OC，∴四边形DECO为菱形，∴OD=DE=EC=OC=2，则四边形OCED的周长为2+2+2+2=8，故选：B．【点评】此题考查了矩形的性质，以及菱形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．6．已知a是一元二次方程x2﹣3x﹣5=0的较小的根，则下面对a的估计正确的是（）A．﹣2＜a＜﹣1B．2＜a＜3C．﹣3＜a＜﹣4D．4＜a＜5【分析】利用公式法表示出方程的根，估算即可．【解答】解：一元二次方程x2﹣3x﹣5=0，∵a=1，b=﹣3，c=﹣5，∴△=9+20=29，∴x=，则较小的根a=，即﹣2＜a＜﹣1，故选：A．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，以及估算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．方程（x+1）（x﹣3）=0的根是（）A．x=﹣1B．x=3C．x1=1，x2=3D．x1=﹣1，x2=3【分析】根据已知得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（x+1）（x﹣3）=0，x+1=0，x ﹣3=0， x 1=﹣1，x 2=3， 故选：D ．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．8．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）A ．9人B ．10人C ．11人D ．12人【分析】设参加酒会的人数为x 人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯55次，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：设参加酒会的人数为x 人，根据题意得： x （x ﹣1）=55， 整理，得：x 2﹣x ﹣110=0，解得：x 1=11，x 2=﹣10（不合题意，舍去）． 答：参加酒会的人数为11人． 故选：C ．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．如图，在▱ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，若AE=20，CE=15，CF=7，AF=24，则BE 的长为（ ）A ．10B ．C ．15D ．【分析】先证明△AEB ∽△AFD ，根据相似三角形的性质可得==，设BE=5x ，得到DF=6x ，AB=7+6x ，在Rt △ABE 中，根据勾股定理即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠B=∠D ， ∵AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∴∠AEB=∠AFD=90°， ∴△AEB ∽△AFD ，∴==，设BE=5x ，则DF=6x ， AB=7+6x ，在△ABE 中，（7+6x ）2=（5x ）2+202， 11x 2+84x ﹣351=0，解得x 1=3，x 2=﹣（舍去），∴BE=5x=15． 故选：C ．【点评】考查了平行四边形的性质，勾股定理，关键是得到BC ：CD=6：5，设出未知数列出方程求解即可．10．用配方法方程x 2+6x ﹣5=0时，变形正确的方程为（ ） A ．（x+3）2=14B ．（x ﹣3）2=14C ．（x+6）2=4D ．（x ﹣6）2=4【分析】方程常数项移到右边，两边加上9，利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断．【解答】解：方程移项得：x 2+6x=5， 配方得：x 2+6x+9=14，即（x+3）2=14， 故选：A ．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 11．某种童鞋原价为100元，由于店面转让要清仓，经过连续两次降价处理，现以64元销售，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ） A ．19%B ．20%C ．21%D ．22%【分析】此题可设每次降价的百分率为x ，第一次降价后价格变为100（1﹣x ），第二次在第一次降价后的基础上再降，变为100（x ﹣1）（x ﹣1），即100（x ﹣1）2元，从而列出方程，求出答案．【解答】解：设每次降价的百分率为x ，第二次降价后价格变为100（x ﹣1）2元，根据题意，得100（x ﹣1）2=64 即（x ﹣1）2=0.64解之，得x1=1.8，x2=0.2．因x=1.8不合题意，故舍去，所以x=0.2．即每次降价的百分率为0.2，即20%．故选：B．【点评】此题的关键在于分析降价后的价格，要注意降价的基础，另外还要注意解的取舍．12．如图，点A（1，1），B（3，1），C（3，﹣1），D（1，﹣1）构成正方形ABCD，以AB为边做等边△ABE，则∠ADE和点E的坐标分别为（）A．15°和（2，1+）B．75°和（2，﹣1）C．15°和（2，1+）或75°和（2，﹣1）D．15°和（2，1+）或75°和（2，1﹣）【分析】分为两种情况：①当△ABE在正方形ABCD外时，过E作EM⊥AB于M，根据等边三角形性质求出AM、AE，根据勾股定理求出EM，即可得出E的坐标，求出∠EAD，根据三角形的内角和定理和等腰三角形性质即可求出∠ADE；②当等边△ABE在正方形ABCD内时，同法求出此时E的坐标，求出∠DAE，根据三角形的内角和定理和等腰三角形性质即可求出∠ADE．【解答】解：分为两种情况：①△ABE在正方形ABCD外时，如图，过E作EM⊥AB于M，∵等边三角形ABE，∴AE=AB=3﹣1=2，∴AM=1，由勾股定理得：AE2=AM2+EM2，∴22=12+EM2，∴EM=，∵A（1，1），∴E的坐标是（2，1+），∵等边△ABE和正方形ABCD，∴∠DAB=90°，∠EAB=60°，AD=AE，∴∠ADE=∠AED=（180°﹣90°﹣60°）=15°；②同理当△ABE在正方形ABCD内时，同法求出E的坐标是（2，﹣+1），∵∠DAE=90°﹣60°=30°，AD=AE，∴∠ADE=∠AED=（180°﹣30°）=75°；∴∠ADE和点E的坐标分别为15°，（2，1+）或75°，D（2，﹣+1），故选：D．【点评】本题考查了等边三角形性质、勾股定理、等腰三角形性质、正方形性质、坐标与图形性质、三角形的内角和定理等知识点的运用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，本题综合性比较强，有一定的难度，但题型较好，注意要分类讨论啊．13．一个不透明的袋子中有1个红球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球后放回，再随机摸出1个球，两次摸出的球都是黄球的概率（）A．B．C．D．【分析】先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次摸出的球都是黄球的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是黄球的结果数为4，所以两次摸出的球都是黄球的概率为．故选：D．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，AE=3，ED=3BE，则AB 的值为（ ）A ．6B ．5C ．2D ．3【分析】由在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，BE ：ED=1：3，易证得△OAB 是等边三角形，继而求得∠BAE 的度数，由△OAB 是等边三角形，求出∠ADE 的度数，又由AE=3，即可求得AB 的长．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形， ∴OB=OD ，OA=OC ，AC=BD ， ∴OA=OB ， ∵BE ：ED=1：3， ∴BE ：OB=1：2， ∵AE ⊥BD ， ∴AB=OA ， ∴OA=AB=OB ，即△OAB 是等边三角形， ∴∠ABD=60°， ∵AE ⊥BD ，AE=3，∴AB==2，故选：C ．【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质，结合已知条件和等边三角形的判定方法证明△OAB 是等边三角形是解题关键． 15．如图，在菱形ABCD 中，AB=BD ，点E 、F 分别是AB 、AD 上任意的点（不与端点重合），且AE=DF ，连接BF 与DE 相交于点G ，连接CG 与BD 相交于点H ．给出如下几个结论： ①∠ADE=∠DBF ；②△DAE ≌△BDG ；③若AF=2DF ，则BG=6GF ；④CG 与BD 一定不垂直；⑤∠BGE=60°．其中正确的结论个数为（）A．5B．4C．3D．2【分析】①先证明△ABD为等边三角形，根据“S AS”证明△AED≌△DFB，利用全等三角形的性质解答即可；②先证明△ABD为等边三角形，根据“SAS”证明△AED≌△DFB；③过点F作FP∥AE于P点，根据题意有FP：AE=DF：D A=1：3，则FP：BE=1：6=FG：BG，即BG=6GF；④因为点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE=DF，当点E，F分别是AB，AD中点时，CG⊥BD；⑤∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°【解答】解：①∵ABCD为菱形，∴AB=AD，∵AB=BD，∴△ABD为等边三角形，∴∠A=∠BDF=60°，又∵AE=DF，AD=BD，∴△AED≌△DFB，∴∠ADE=∠DBF，故本选项正确；②∵ABCD为菱形，∴AB=AD，∵AB=BD，∴△ABD为等边三角形，∴∠A=∠BDF=60°，又∵AE=DF，AD=BD，∴△AED≌△DFB，故本选项错误；③过点F作FP∥AE交DE于P点（如图2），∵AF=2FD，∴FP：AE=DF：DA=1：3，∵AE=DF，AB=AD，∴BE=2AE，∴FP：BE=FP：2AE=1：6，∵FP∥AE，∴PF∥BE，∴FG：BG=FP：BE=1：6，即BG=6GF，故本选项正确；④当点E，F分别是AB，AD中点时（如图3），由（1）知，△ABD，△BDC为等边三角形，∵点E，F分别是AB，AD中点，∴∠BDE=∠DBG=30°，∴DG=BG，在△GDC与△BGC中，，∴△GDC≌△BGC，∴∠DCG=∠BCG，∴CH⊥BD，即CG⊥BD，故本选项错误；⑤∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°，为定值，故本选项正确；综上所述，正确的结论有①③⑤，共3个，故选：C．【点评】此题综合考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形，把不规则图形的面转化为两个全等三角形的面积是解题的关键．二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）16．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，则菱形ABCD的面积为2．【分析】由菱形ABCD，得到邻边相等，且对角线互相平分，再由一个角为60°的等腰三角形为等边三角形得到三角形ABD为等边三角形，求出BD的长，再由菱形的对角线垂直求出AC 的长，即可求出菱形的面积．【解答】解：∵菱形ABCD，∴AD=AB，OD=OB，OA=OC，∵∠DAB=60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD=AB=2，∴OD=1，在Rt△AOD中，根据勾股定理得：AO==，∴AC=2，则S=AC•BD=2，菱形ABCD故答案为：2【点评】此题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键．17．（3分）在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则黄球的个数为 4 ．【分析】根据白球个数除以小球总数进而得出得到白球的概率，进而得出答案．【解答】解：∵在一个不透明的盒子中装有8个白球，从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，设黄球有x 个，根据题意得出：∴=，解得：x=4． 故答案为：4．【点评】此题主要考查了概率公式的应用，熟练利用概率公式是解题关键．18．（3分）若α，β是方程x 2﹣2x ﹣1=0的两根，则（α+1）（β+1）的值为 2 ． 【分析】首先根据根与系数的关系求得α+β=2，αβ=﹣1；再进一步利用整式的乘法把（α+1）（β+1）展开，代入求得数值即可．【解答】解：∵α，β是方程x 2﹣2x ﹣1=0的两根， ∴α+β=2，αβ=﹣1， 则原式=αβ+α+β+1 =2﹣1+1 =2，故答案为：2．【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．19．（3分）一个两位数，它的数值等于它的个位上的数字的平方的3倍，它的十位数字比个位数字大2．若设个位数字为x ，列出求该两位数的方程式为 10（x+2）+x=3x 2 ． 【分析】设个位数字为x ，则这个数为3x 2，十位数字为x+2，根据题意表示出这个两位数，列出方程．【解答】解：设个位数字为x ，则这个数为3x 2，十位数字为x+2， 由题意得，10（x+2）+x=3x 2． 故答案为：10（x+2）+x=3x 2．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程． 20．（3分）根据如下表格对应值：的范围是0＜x＜0.5或1.5＜x＜2 ．【分析】利用表中数据得到x=1.5和x=2时，代数式ax2+bx+c的值一个小于1.5，一个大于1.5，从而可判断当0＜x＜0.5或1.5＜x＜2时，代数式ax2+bx+c﹣1.5的值为0．【解答】解：当x=0.5和1.5时，ax2+bx+c=，当x=0和2时，ax2+bx+c=2，所以方程的解的范围为0＜x＜0.5或1.5＜x＜2．故答案为：0＜x＜0.5或1.5＜x＜2．【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．21．（3分）一个不透明的布袋中有分别标着数字1，2，3，4的四个乒乓球，先从袋中随机摸出两个乒乓球，则这两个乒乓球上的数字之和大于5的概率为．【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两个乒乓球上数字之和大于5的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：列表得：则P==．故答案为：．【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22．（3分）如图大矩形的长10cm，宽8cm，阴影部分的宽2cm，则空白部分的面积是48 cm2．【分析】根据平移的性质，把两条小路都平移到矩形的边上，然后求出空白部分的长和宽，再根据矩形的面积公式计算即可得解．【解答】解：把小路平移到矩形的边上，则空白部分的长为10﹣2=8cm，宽为8﹣2=6cm，所以，空白部分的面积是：8×6=48cm2．故答案为：48．【点评】本题考查了平移的性质，构想出把四个空白部分平移为一个空白矩形求解更简便．23．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF．若∠EFD=15°，则∠CDF的度数为30°．【分析】由旋转前后的对应边和对应角相等可知，一个特殊三角形△ECF为等腰直角三角形，可知∠EFC=45°，进而求出∠CFD=60°，因为三角形DCF是直角三角形，所以可以求出∠CDF的度数为30°．【解答】解：∵△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，∴CE=CF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB=90°，∴∠DCF=90°，∴∠CEF=∠CFE=45°，∵∠EFD=15°，∴∠CFD=60°，∴∠CDF=90°﹣60°=30°故答案为：30°．【点评】本题考查旋转的性质和正方形的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．三．解答题（共7小题，满分66分） 24．（12分）解下列方程 （1）4x 2﹣1=0（2）x 2﹣4x+3=0（配方法） （3）2x 2+x ﹣1=0（公式法）【分析】（1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解； （2）方程整理后，利用配方法求出解即可； （3）方程利用公式法求出解即可．【解答】解：（1）方程整理得：x 2=，开方得：x=±；（2）方程整理得：x 2﹣4x=﹣3， 配方得：x 2﹣4x+4=1，即（x ﹣2）2=1， 开方得：x ﹣2=1或x ﹣2=﹣1， 解得：x 1=3，x 2=1；（3）这里a=2，b=1，c=﹣1， ∵△=1+8=9，∴x=，解得：x 1=，x 2=﹣1．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，直接开平方法，以及配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．25．（8分）某商场将原来每件进价80元的某种商品按每件100元出售，一天可出售100件，后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低2元，其销量可增加20件．（1）求商场经营该商品原来一天可获利多少元？（2）若商场经营该商品一天要获得利润2160元，则每件商品应降价多少元？【分析】（1）原来1天的获利情况=1件的利润×卖出的件数；（2）关系式为：实际1件的利润×卖出的件数=2160，把相关数值代入计算即可．【解答】解：（1）商场经营该商品原来一天可获利（100﹣80）×100=2000元；（2）设每件商品应降价x元．（20﹣x）（100+10x）=2160，（x﹣2）（x﹣8）=0，解得x1=2，x2=8．答：每件商品应降价2元或8元．【点评】考查一元二次方程的应用；得到降价后可卖出商品的数量是解决本题的易错点．26．（8分）已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AB=1，BC=．（1）求平行四边形ABCD的面积S□ABCD；（2）求对角线BD的长．【分析】（1）先求出AC，根据平行四边形的面积=底×高，进行计算即可．（2）在Rt△ABO中求出BO，继而可得BD的长．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC==2，则S□ABCD=AB×AC=2．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=O C，BO=OD，∴AO=1，在Rt△ABO中，BO==，∴BD=2．【点评】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分的性质．27．（8分）已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，请你判断BE与CF的大小关系，并说明你的理由．【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得OB=OC，然后利用“角角边”证明△OBE和△OCF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证．【解答】解：BE=CF．理由如下：在矩形ABCD中，OB=OC，∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，∴∠BEO=∠CFO=90°，在△OBE和△OCF中，，∴△OBE≌△OCF（AAS），∴BE=CF．【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，证明两边相等，通常利用证明这两边所在的三角形全等，这是常用的方法也是基本方法．28．（8分）某电视台的一档娱乐性节目中，在游戏PK环节，为了随机分选游戏双方的组员，主持人设计了以下游戏：用不透明的白布包住三根颜色长短相同的细绳AA1、BB1、CC1，只露出它们的头和尾（如图所示），由甲、乙两位嘉宾分别从白布两端各选一根细绳，并拉出，若两人选中同一根细绳，则两人同队，否则互为反方队员．（1）若甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出，求他恰好抽出细绳AA1的概率；（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率．【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数和甲、乙两位嘉宾能分为同队的结果数，再根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）∵共有三根细绳，且抽出每根细绳的可能性相同，∴甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出，恰好抽出细绳AA1的概率是=；（2）画树状图：共有9种等可能的结果数，其中甲、乙两位嘉宾能分为同队的结果数为3种情况，则甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率是=．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意首先分别求得左右两端的情况，再画出树状图是关键．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．29．（10分）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且B，C，D三点共线，连接AD，BE相交于点P，求证：BE=AD．【分析】根据等边三角形的性质得CA=CB，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，则∠ACE=60°，利用“SAS”可判断△ACD≌△BCE，则AD=BE．【解答】证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，∴∠ACE=60°，∴∠ACD=∠BCE=120°，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．30．（12分）如图，AB⊥BC，射线CM⊥BC，且BC=5，AB=1，点P是线段BC （不与点B、C重合）上的动点，过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连结AD．（1）如图1，若BP=4，求△ABP的周长．（2）如图2，若DP平分∠ADC，试猜测PB和PC的数量关系，并说明理由．（3）若△PDC是等腰三角形，作点B关于AP的对称点B′，连结B′D，则B′D= 5 ．（请直接写出答案）【分析】（1）先在Rt△ABP中，利用勾股定理求得AP的长，再计算△APB的周长；（2）先延长线段AP、DC交于点E，运用ASA判定△DPA≌△DPE，再运用AAS判定△APB≌△EPC，即可得出结论；（3）先连接B'P，过点B'作B'F⊥CD于F，根据轴对称的性质，得出△ABP为等腰直角三角形，并判定四边形B'PCF是矩形，求得B'F=4，DF=3，最后在Rt△B'FD中，根据勾股定理求得B'D的长度．【解答】解：（1）如图1，∵AB⊥BC，∴∠ABP=90°，∴AP2=AB2+BP2，∴AP===，∴AP+AB+BP=+1+4=+5∴△APB的周长为+5；（2）PB=PC，理由：如图2，延长线段AP、DC交于点E，∵DP平分∠ADC，∴∠ADP=∠EDP．∵DP⊥AP，∴∠DPA=∠DPE=Rt∠．在△DPA和△DPE中，，∴△DPA≌△DPE（ASA），∴PA=PE．∵AB⊥BP，CM⊥CP，∴∠ABP=∠ECP=Rt∠．在△APB和△EPC中，，∴△APB≌△EPC（AAS），∴PB=PC；（3）如图，连接B'P，过点B'作B'F⊥CD于F，则∠B'FC=∠C=90°，∵△PDC是等腰三角形，∴△PCD为等腰直角三角形，即∠DPC=45°，又∵DP⊥AP，∴∠APB=45°，∵点B关于AP的对称点为点B′，∴∠BPB'=90°，∠APB=45°，BP=B'P，∴△ABP为等腰直角三角形，四边形B'PCF是矩形，∴BP=AB=1=B'P，PC=5=1=4=B'F，CF=B'P=1，∴B'F=4，DF=4﹣1=3，∴Rt△B'FD中，B'D==5，故答案为：5．【点评】本题以动点问题为背景，主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及矩形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，以及灵活运用勾股定理计算线段的长度．。
2018-2019学年度上学期期中九年级数学试卷及答案
2018-2019学年度上学期期中考试 九年级数学试题 （满分120分，时间120分钟）卷一（请将正确选项涂在答题卡上）一、选择题（本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分，在每小题给出的四1. 下列图形中，旋转60°后可以和原图形重合的是( ) A ．正六边形 B ．正五边形 C ．正方形 D ．正三角形 2．二次函数y ＝12x 2－4x ＋3的顶点坐标和对称轴分别是( )A ．(1，2)，x ＝1B ．(－1，2), x ＝－1C ．(－4，－5)，x ＝－4D ．(4，－5)，x ＝43．抛物线y ＝x 2－2x ＋1与x 轴的交点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．将y ＝(2x －1)(x ＋2)＋1化成y ＝a(x ＋m)2＋n 的形式为( ) A ．y ＝2(x ＋34)2－2516 B ．y ＝2(x －34)2－178C ．y ＝2(x ＋34)2－178D ．y ＝2(x ＋34)2＋1785．抛物线y ＝(x ＋2)2－3可以由抛物线y ＝x 2平移得到，则下列平移过程正确的是( )A ．先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度B ．先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度C ．先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度D ．先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度6．设A(－4，y 1)，B(－3，y 2)，C(0，y 3)是抛物线y ＝(x ＋1)2＋a 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为( )A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＞y 3＞y 2C ．y 3＞y 2＞y 1D ．y 3＞y 1＞y 27．如图所示的桥拱是抛物线形，其函数的解析式为y ＝－14x 2，当水位线在AB 位置时，水面宽12 m ，这时水面离桥顶的高度为( )A ．3 mB ．2 6 mC ．4 3 mD ．9 m,(第8题图)),(第10题图))8．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，有以下结论：①a ＋b ＋c<0；②a －b ＋c>1；③abc>0；④4a －2b ＋c<0；⑤c －a>1.其中所有正确结论的序号是( ) A ．①② B ．①③④ C ．①②③⑤ D ．①②③④⑤9．下列方程采用配方法求解较简便的是( ) A ．3x 2＋x －1＝0 B ．4x 2－4x －8＝0 C ．x 2－7x ＝0 D.()x －32＝4x 210．如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形(阴影部分)铁皮备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应分别为( ) A ．x ＝10，y ＝14 B ．x ＝14，y ＝10 C ．x ＝12，y ＝15 D ．x ＝12，y ＝1211. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点(－1，0)．设t ＝a ＋b ＋1，则t 值的变化范围是( )A ．0＜t ＜1B ．0＜t ＜2C ．1＜t ＜2D ．－1＜t ＜112. 如图，O 是等边三角形的旋转中心，∠EOF ＝120°，∠EOF 绕点O 进行旋转，在旋转过程中，OE 与OF 与△ABC 的边构成的图形的面积( )A ．等于△ABC 面积的13B ．等于△ABC 面积的12 C ．等于△ABC 面积的14 D ．不能确定13. 点P 1（-1，y 1），P 2（3，y 2），P 3（5，y 3）均在二次函数y =-x 2+2x +c 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A.y 3＞y 2＞y 1B.y 3＞y 1=y 2C.y 1＞y 2＞y 3D.y 1=y 2＞y 314. 如图，△ABC 是等边三角形，四边形BDEF 是菱形，其中线段DF 的长与DB 相等，将菱形BDEF 绕点B 按顺时针方向旋转，甲、乙两位同学发现在此旋转过程中，有如下结论． 甲：线段AF 与线段CD 的长度总相等；乙：直线AF 和直线CD 所夹的锐角的度数不变． 那么，你认为( )A ．甲、乙都对B ．乙对甲不对C ．甲对乙不对D ．甲、乙都不对15. 如图，将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°，得到△A ′OB ′.若点A 的坐标为(a ，b)，则点A ′的坐标为( )．A . (－b ，a) B. (b ，a) C. (－b ，-a) D. (b ，-a)16. 平时我们在跳绳时，绳子甩到最高处的形状可近似看作抛物线，如图建立直角坐标系，抛物线的函数解析式为y ＝－16x 2＋13x ＋32，绳子甩到最高处时刚好通过站在点(2，0)处跳绳的学生小明的头顶，则小明的身高为( )m .A.1.6B.1.5C.1.4 D1.314题图 15题图12题图2018-2019学年度上学期期中考试九年级数学试题卷二2分.把答案写在题中横线上）17.如图，把抛物线y＝12x2平移得到抛物线m. 抛物线m经过点A(－6，0)和原点(0，0)，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝12x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为．(第17题图) (第19题图)18.在二次函数y＝2则m的值为．19.如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10.若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，则点P与点P′之间的距离为，∠APB＝．三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）20. (本题8分）（1）用公式法解方程x2-3x-7=0．（2）解方程：4x（2x-1）=3（2x-1）21. (本题7分）如图，已知△ABC的顶点A，B，C的坐标分别是A（-1，-1），B（-4，-3），C（-4，-1）．（1）作出△ABC关于原点O中心对称的图形△A’B’C’；（2）将△ABC绕原点O按顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标．22.(本题8分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，P是BC边上一点，将△ABP绕点A逆时针旋转50°，点P旋转后的对应点为点P′.(1)画出旋转后的三角形；(2)连接PP′，若∠BAP＝20°，求∠PP′C的度数．23. (9分)如图，一个二次函数的图象经过A，B，C三点，点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(4，0)，点C在y轴的正半轴上，且AB＝OC.(1)求点C的坐标；(2)求这个二次函数的解析式，并求出该函数的最大值．24. (10分)已知关于x的函数y＝ax2＋x＋1(a为常数)．(1)若函数的图象与x轴恰有一个交点，求a的值；(2)若函数的图象是抛物线，且顶点始终在x轴上方，求a的取值范围．25. (本题12分）感知：如图①，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，D 是边BC 上一点(点D 不与点B ，C 重合)．连接AD ，将AD 绕着点D 逆时针旋转90°，得到DE ，连接BE ，过点D 作DF ∥AC 交AB 于点F ，可知△ADF ≌△EDB ，则∠ABE 的大小为________．并说明理由.探究：如图②，在△ABC 中，∠C ＝α(0°＜α＜90°)，AC ＝BC ，D 是边BC 上一点(点D 不与点B ，C 重合)，连接AD ，将AD 绕着点D 逆时针旋转α，得到DE ，连接BE ，求证：∠ABE ＝α. 应用：设图②中的α＝60°，AC ＝2.当△ABE 是直角三角形时，AE ＝________．并说明理由.26. (本题12分）某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y 1与投资成本x 成正比例关系，种植花卉的利润y 2与投资成本x 的平方成正比例关系，并得到了表格中的数据：(1)分别求出利润y 1与y 2关于投资量x 的函数关系式；(2)如果这位专业户计划用8万元资金投入种植花卉和树木，设他投入种植花卉金额m 万元，种植花卉和树木共获利润w 万元，求出w 与m 之间的函数关系式，并求他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？(3)若该专业户想获利不低于22万元，在(2)的条件下，直接写出投资种植花卉的金额m 的范围．。
2018-2019年青岛市北师大九年级上期中数学模拟试卷(有答案)[精品]
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2018-2019学年山东省青岛市九年级（上）期中数学模拟试卷一．选择题（共15小题，满分30分，每小题2分）1．方程2﹣2=0的解是（）A．0B．2C．0或﹣2D．0或2【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：2﹣2=0，（﹣2）=0，=0，﹣2=0，1=0，2=2，故选：D．【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．2．关于的一元二次方程2+2﹣1=0有两个不相等实数根，则的取值范围是（）A．＞﹣1B．≥﹣1C．≠0D．＞﹣1且≠0【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到≠0且△=22﹣4×（﹣1）＞0，然后解两个不等式求出它们的公共部分即可．【解答】解：根据题意得≠0且△=22﹣4×（﹣1）＞0，所以＞﹣1且≠0．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程a2+b+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．3．下列说法正确的是（）A．邻边相等的平行四边形是矩形B．一组邻边相等的矩形是正方形C．一组邻边互相垂直的四边形是菱形D．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形【分析】A、由邻边相等的平行四边形是菱形，可得出结论A不正确；B、由一组邻边相等的矩形是正方形，可得出结论B正确；C、由选项C的论述结合菱形的判定定理，可得出结论C不正确；D、由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得出结论D不正确．此题得解．【解答】解：A、∵邻边相等的平行四边形是菱形，∴结论A不正确；B、∵一组邻边相等的矩形是正方形，∴结论B正确；C、∵由一组邻边互相垂直，无法证出该四边形为菱形，∴结论C不正确；D、∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴结论D不正确．故选：B．【点评】本题考查了菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定以及平行四边形的判定，牢记平行四边形、菱形、矩形及正方形的各判定定理是解题的关键．4．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同．小张通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是（）A．6B．16C．18D．24【分析】先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数×频率=频数计算白球的个数，即可求出答案．【解答】解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，∴摸到白球的频率为1﹣15%﹣45%=40%，故口袋中白色球的个数可能是40×40%=16个．故选：B．【点评】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．5．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形OCED的周长为（）A．4B．8C．10D．12【分析】由四边形ABCD为矩形，得到对角线互相平分且相等，得到OD=OC，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形DECO为平行四边形，利用邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形DECO为菱形，根据AC的长求出OC的长，即可确定出其周长．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，∴OA=OB=OC=OD=2，∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形DECO为平行四边形，∵OD=OC，∴四边形DECO为菱形，∴OD=DE=EC=OC=2，则四边形OCED的周长为2+2+2+2=8，故选：B．【点评】此题考查了矩形的性质，以及菱形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．6．已知a是一元二次方程2﹣3﹣5=0的较小的根，则下面对a的估计正确的是（）A．﹣2＜a＜﹣1B．2＜a＜3C．﹣3＜a＜﹣4D．4＜a＜5【分析】利用公式法表示出方程的根，估算即可．【解答】解：一元二次方程2﹣3﹣5=0，∵a=1，b=﹣3，c=﹣5，∴△=9+20=29，∴=，则较小的根a=，即﹣2＜a ＜﹣1，故选：A ． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，以及估算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．方程（+1）（﹣3）=0的根是（ ）A ．=﹣1B ．=3C ．1=1，2=3D ．1=﹣1，2=3【分析】根据已知得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（+1）（﹣3）=0，+1=0，﹣3=0，1=﹣1，2=3，故选：D ．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．8．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）A ．9人B ．10人C ．11人D ．12人【分析】设参加酒会的人数为人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯55次，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设参加酒会的人数为人，根据题意得： （﹣1）=55，整理，得：2﹣﹣110=0，解得：1=11，2=﹣10（不合题意，舍去）．答：参加酒会的人数为11人．故选：C ．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．如图，在▱ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，若AE=20，CE=15，CF=7，AF=24，则BE 的长为（ ）A ．10B ．C ．15D ．【分析】先证明△AEB ∽△AFD ，根据相似三角形的性质可得==，设BE=5，得到DF=6，AB=7+6，在Rt △ABE 中，根据勾股定理即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠B=∠D ，∵AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∴∠AEB=∠AFD=90°，∴△AEB ∽△AFD ，∴==， 设BE=5，则DF=6，AB=7+6，在△ABE 中，（7+6）2=（5）2+202，112+84﹣351=0，解得1=3，2=﹣（舍去），∴BE=5=15．故选：C ．【点评】考查了平行四边形的性质，勾股定理，关键是得到BC ：CD=6：5，设出未知数列出方程求解即可．10．用配方法方程2+6﹣5=0时，变形正确的方程为（ ）A ．（+3）2=14B ．（﹣3）2=14C ．（+6）2=4D ．（﹣6）2=4 【分析】方程常数项移到右边，两边加上9，利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断．【解答】解：方程移项得：2+6=5，配方得：2+6+9=14，即（+3）2=14，故选：A ．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．11．某种童鞋原价为100元，由于店面转让要清仓，经过连续两次降价处理，现以64元销售，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ）A ．19%B ．20%C ．21%D ．22%【分析】此题可设每次降价的百分率为，第一次降价后价格变为100（1﹣），第二次在第一次降价后的基础上再降，变为100（﹣1）（﹣1），即100（﹣1）2元，从而列出方程，求出答案．【解答】解：设每次降价的百分率为，第二次降价后价格变为100（﹣1）2元，根据题意，得100（﹣1）2=64即（﹣1）2=0.64解之，得1=1.8，2=0.2．因=1.8不合题意，故舍去，所以=0.2．即每次降价的百分率为0.2，即20%．故选：B ．【点评】此题的关键在于分析降价后的价格，要注意降价的基础，另外还要注意解的取舍．12．如图，点A （1，1），B （3，1），C （3，﹣1），D （1，﹣1）构成正方形ABCD ，以AB为边做等边△ABE ，则∠ADE 和点E 的坐标分别为（ ）A ．15°和（2，1+）B ．75°和（2，﹣1）C ．15°和（2，1+）或75°和（2，﹣1）D ．15°和（2，1+）或75°和（2，1﹣）【分析】分为两种情况：①当△ABE 在正方形ABCD 外时，过E 作EM ⊥AB 于M ，根据等边三角形性质求出AM、AE，根据勾股定理求出EM，即可得出E的坐标，求出∠EAD，根据三角形的内角和定理和等腰三角形性质即可求出∠ADE；②当等边△ABE在正方形ABCD内时，同法求出此时E的坐标，求出∠DAE，根据三角形的内角和定理和等腰三角形性质即可求出∠ADE．【解答】解：分为两种情况：①△ABE在正方形ABCD外时，如图，过E作EM⊥AB于M，∵等边三角形ABE，∴AE=AB=3﹣1=2，∴AM=1，由勾股定理得：AE2=AM2+EM2，∴22=12+EM2，∴EM=，∵A（1，1），∴E的坐标是（2，1+），∵等边△ABE和正方形ABCD，∴∠DAB=90°，∠EAB=60°，AD=AE，∴∠ADE=∠AED=（180°﹣90°﹣60°）=15°；②同理当△ABE在正方形ABCD内时，同法求出E的坐标是（2，﹣+1），∵∠DAE=90°﹣60°=30°，AD=AE，∴∠ADE=∠AED=（180°﹣30°）=75°；∴∠ADE和点E的坐标分别为15°，（2，1+）或75°，D（2，﹣+1），故选：D．【点评】本题考查了等边三角形性质、勾股定理、等腰三角形性质、正方形性质、坐标与图形性质、三角形的内角和定理等知识点的运用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，本题综合性比较强，有一定的难度，但题型较好，注意要分类讨论啊．13．一个不透明的袋子中有1个红球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球后放回，再随机摸出1个球，两次摸出的球都是黄球的概率（）A．B．C．D．【分析】先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次摸出的球都是黄球的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是黄球的结果数为4，所以两次摸出的球都是黄球的概率为．故选：D．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，AE=3，ED=3BE，则AB的值为（）A．6B．5C．2D．3【分析】由在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，BE：ED=1：3，易证得△OAB是等边三角形，继而求得∠BAE的度数，由△OAB是等边三角形，求出∠ADE的度数，又由AE=3，即可求得AB的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，∴OA=OB，∵BE：ED=1：3，∴BE：OB=1：2，∵AE⊥BD，∴AB=OA，∴OA=AB=OB，即△OAB是等边三角形，∴∠ABD=60°，∵AE⊥BD，AE=3，∴AB==2，故选：C．【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质，结合已知条件和等边三角形的判定方法证明△OAB是等边三角形是解题关键．15．如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．给出如下几个结论：①∠ADE=∠DBF；②△DAE≌△BDG；③若AF=2DF，则BG=6GF；④CG与BD一定不垂直；⑤∠BGE=60°．其中正确的结论个数为（）A．5B．4C．3D．2【分析】①先证明△ABD为等边三角形，根据“SAS”证明△AED≌△DFB，利用全等三角形的性质解答即可；②先证明△ABD为等边三角形，根据“SAS”证明△AED≌△DFB；③过点F作FP∥AE于P点，根据题意有FP：AE=DF：DA=1：3，则FP：BE=1：6=FG：BG，即BG=6GF；④因为点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE=DF，当点E，F分别是AB，AD中点时，CG⊥BD；⑤∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°【解答】解：①∵ABCD为菱形，∴AB=AD，∵AB=BD，∴△ABD为等边三角形，∴∠A=∠BDF=60°，又∵AE=DF，AD=BD，∴△AED≌△DFB，∴∠ADE=∠DBF，故本选项正确；②∵ABCD为菱形，∴AB=AD，∵AB=BD，∴△ABD为等边三角形，∴∠A=∠BDF=60°，又∵AE=DF，AD=BD，∴△AED≌△DFB，故本选项错误；③过点F作FP∥AE交DE于P点（如图2），∵AF=2FD，∴FP：AE=DF：DA=1：3，∵AE=DF，AB=AD，∴BE=2AE，∴FP：BE=FP：2AE=1：6，∵FP∥AE，∴PF∥BE，∴FG：BG=FP：BE=1：6，即BG=6GF，故本选项正确；④当点E，F分别是AB，AD中点时（如图3），由（1）知，△ABD，△BDC为等边三角形，∵点E，F分别是AB，AD中点，∴∠BDE=∠DBG=30°，∴DG=BG，在△GDC与△BGC中，，∴△GDC≌△BGC，∴∠DCG=∠BCG，∴CH⊥BD，即CG⊥BD，故本选项错误；⑤∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°，为定值，故本选项正确；综上所述，正确的结论有①③⑤，共3个，故选：C．【点评】此题综合考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形，把不规则图形的面转化为两个全等三角形的面积是解题的关键．二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）16．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，则菱形ABCD的面积为2．【分析】由菱形ABCD，得到邻边相等，且对角线互相平分，再由一个角为60°的等腰三角形为等边三角形得到三角形ABD为等边三角形，求出BD的长，再由菱形的对角线垂直求出AC的长，即可求出菱形的面积．【解答】解：∵菱形ABCD，∴AD=AB，OD=OB，OA=OC，∵∠DAB=60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD=AB=2，∴OD=1，在Rt△AOD中，根据勾股定理得：AO==，∴AC=2，则S=AC•BD=2，故答案为：2【点评】此题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键．17．（3分）在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则黄球的个数为 4 ．【分析】根据白球个数除以小球总数进而得出得到白球的概率，进而得出答案．【解答】解：∵在一个不透明的盒子中装有8个白球，从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，设黄球有个，根据题意得出：∴=，解得：=4． 故答案为：4．【点评】此题主要考查了概率公式的应用，熟练利用概率公式是解题关键． 18．（3分）若α，β是方程2﹣2﹣1=0的两根，则（α+1）（β+1）的值为 2 ．【分析】首先根据根与系数的关系求得α+β=2，αβ=﹣1；再进一步利用整式的乘法把（α+1）（β+1）展开，代入求得数值即可．【解答】解：∵α，β是方程2﹣2﹣1=0的两根， ∴α+β=2，αβ=﹣1， 则原式=αβ+α+β+1 =2﹣1+1 =2，故答案为：2．【点评】本题考查了一元二次方程a 2+b+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程两个为1，2，则1+2=﹣，1•2=．19．（3分）一个两位数，它的数值等于它的个位上的数字的平方的3倍，它的十位数字比个位数字大2．若设个位数字为，列出求该两位数的方程式为 10（+2）+=32 ．【分析】设个位数字为，则这个数为32，十位数字为+2，根据题意表示出这个两位数，列出方程．【解答】解：设个位数字为，则这个数为32，十位数字为+2， 由题意得，10（+2）+=32． 故答案为：10（+2）+=32．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程． 20．（3分）根据如下表格对应值：）的解的范围是0＜＜0.5或1.5＜＜2 ．【分析】利用表中数据得到=1.5和=2时，代数式a2+b+c的值一个小于1.5，一个大于1.5，从而可判断当0＜＜0.5或1.5＜＜2时，代数式a2+b+c﹣1.5的值为0．【解答】解：当=0.5和1.5时，a2+b+c=，当=0和2时，a2+b+c=2，所以方程的解的范围为0＜＜0.5或1.5＜＜2．故答案为：0＜＜0.5或1.5＜＜2．【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．21．（3分）一个不透明的布袋中有分别标着数字1，2，3，4的四个乒乓球，先从袋中随机摸出两个乒乓球，则这两个乒乓球上的数字之和大于5的概率为．【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两个乒乓球上数字之和大于5的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：列表得：则P==．故答案为：．【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22．（3分）如图大矩形的长10cm，宽8cm，阴影部分的宽2cm，则空白部分的面积是48 cm2．【分析】根据平移的性质，把两条小路都平移到矩形的边上，然后求出空白部分的长和宽，再根据矩形的面积公式计算即可得解．【解答】解：把小路平移到矩形的边上，则空白部分的长为10﹣2=8cm，宽为8﹣2=6cm，所以，空白部分的面积是：8×6=48cm2．故答案为：48．【点评】本题考查了平移的性质，构想出把四个空白部分平移为一个空白矩形求解更简便．23．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF．若∠EFD=15°，则∠CDF的度数为30°．【分析】由旋转前后的对应边和对应角相等可知，一个特殊三角形△ECF为等腰直角三角形，可知∠EFC=45°，进而求出∠CFD=60°，因为三角形DCF是直角三角形，所以可以求出∠CDF的度数为30°．【解答】解：∵△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，∴CE=CF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB=90°，∴∠DCF=90°，∴∠CEF=∠CFE=45°，∵∠EFD=15°，∴∠CFD=60°，∴∠CDF=90°﹣60°=30° 故答案为：30°．【点评】本题考查旋转的性质和正方形的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．三．解答题（共7小题，满分66分） 24．（12分）解下列方程 （1）42﹣1=0（2）2﹣4+3=0（配方法） （3）22+﹣1=0（公式法）【分析】（1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解； （2）方程整理后，利用配方法求出解即可； （3）方程利用公式法求出解即可．【解答】解：（1）方程整理得：2=， 开方得：=±；（2）方程整理得：2﹣4=﹣3， 配方得：2﹣4+4=1，即（﹣2）2=1， 开方得：﹣2=1或﹣2=﹣1， 解得：1=3，2=1；（3）这里a=2，b=1，c=﹣1， ∵△=1+8=9，∴=，解得：1=，2=﹣1．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，直接开平方法，以及配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．25．（8分）某商场将原每件进价80元的某种商品按每件100元出售，一天可出售100件，后经过市场调查，发现这种商品单价每降低2元，其销量可增加20件． （1）求商场经营该商品原一天可获利多少元？（2）若商场经营该商品一天要获得利润2160元，则每件商品应降价多少元？ 【分析】（1）原1天的获利情况=1件的利润×卖出的件数；（2）关系式为：实际1件的利润×卖出的件数=2160，把相关数值代入计算即可． 【解答】解：（1）商场经营该商品原一天可获利（100﹣80）×100=2000元； （2）设每件商品应降价元． （20﹣）（100+10）=2160， （﹣2）（﹣8）=0， 解得1=2，2=8．答：每件商品应降价2元或8元．【点评】考查一元二次方程的应用；得到降价后可卖出商品的数量是解决本题的易错点． 26．（8分）已知：如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，AB ⊥AC ，AB=1，BC=．（1）求平行四边形ABCD 的面积S □ABCD ； （2）求对角线BD 的长．【分析】（1）先求出AC ，根据平行四边形的面积=底×高，进行计算即可． （2）在Rt △ABO 中求出BO ，继而可得BD 的长．【解答】解：（1）在Rt △ABC 中，AC==2，则S □ABCD =AB ×AC=2．（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO=OC ，BO=OD ， ∴AO=1，在Rt △ABO 中，BO==，∴BD=2．【点评】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分的性质．27．（8分）已知：如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F ，请你判断BE 与CF 的大小关系，并说明你的理由．【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得OB=OC ，然后利用“角角边”证明△OBE 和△OCF 全等，根据全等三角形对应边相等即可得证． 【解答】解：BE=CF ．理由如下：在矩形ABCD 中，OB=OC ， ∵BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F ， ∴∠BEO=∠CFO=90°，在△OBE 和△OCF 中，，∴△OBE ≌△OCF （AAS ）， ∴BE=CF ．【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，证明两边相等，通常利用证明这两边所在的三角形全等，这是常用的方法也是基本方法．28．（8分）某电视台的一档娱乐性节目中，在游戏P 环节，为了随机分选游戏双方的组员，主持人设计了以下游戏：用不透明的白布包住三根颜色长短相同的细绳AA 1、BB 1、CC 1，只露出它们的头和尾（如图所示），由甲、乙两位嘉宾分别从白布两端各选一根细绳，并拉出，若两人选中同一根细绳，则两人同队，否则互为反方队员．（1）若甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出，求他恰好抽出细绳AA的概率；1（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率．【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数和甲、乙两位嘉宾能分为同队的结果数，再根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）∵共有三根细绳，且抽出每根细绳的可能性相同，的概率是=；∴甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出，恰好抽出细绳AA1（2）画树状图：共有9种等可能的结果数，其中甲、乙两位嘉宾能分为同队的结果数为3种情况，则甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率是=．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意首先分别求得左右两端的情况，再画出树状图是关键．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．29．（10分）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且B，C，D三点共线，连接AD，BE 相交于点P，求证：BE=AD．【分析】根据等边三角形的性质得CA=CB，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，则∠ACE=60°，利用“SAS”可判断△ACD≌△BCE，则AD=BE．【解答】证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，∴∠ACE=60°，∴∠ACD=∠BCE=120°，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．30．（12分）如图，AB⊥BC，射线CM⊥BC，且BC=5，AB=1，点P是线段BC （不与点B、C重合）上的动点，过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连结AD．（1）如图1，若BP=4，求△ABP的周长．（2）如图2，若DP平分∠ADC，试猜测PB和PC的数量关系，并说明理由．（3）若△PDC是等腰三角形，作点B关于AP的对称点B′，连结B′D，则B′D= 5 ．（请直接写出答案）【分析】（1）先在Rt△ABP中，利用勾股定理求得AP的长，再计算△APB的周长；（2）先延长线段AP、DC交于点E，运用ASA判定△DPA≌△DPE，再运用AAS判定△APB ≌△EPC，即可得出结论；（3）先连接B'P，过点B'作B'F⊥CD于F，根据轴对称的性质，得出△ABP为等腰直角三角形，并判定四边形B'PCF是矩形，求得B'F=4，DF=3，最后在Rt△B'FD中，根据勾股定理求得B'D的长度．【解答】解：（1）如图1，∵AB⊥BC，∴∠ABP=90°，∴AP2=AB2+BP2，∴AP===，∴AP+AB+BP=+1+4=+5∴△APB的周长为+5；（2）PB=PC，理由：如图2，延长线段AP、DC交于点E，∵DP平分∠ADC，∴∠ADP=∠EDP．∵DP⊥AP，∴∠DPA=∠DPE=Rt∠．在△DPA和△DPE中，，∴△DPA≌△DPE（ASA），∴PA=PE．∵AB⊥BP，CM⊥CP，∴∠ABP=∠ECP=Rt∠．在△APB和△EPC中，，∴△APB≌△EPC（AAS），∴PB=PC；（3）如图，连接B'P，过点B'作B'F⊥CD于F，则∠B'FC=∠C=90°，∵△PDC是等腰三角形，∴△PCD为等腰直角三角形，即∠DPC=45°，又∵DP⊥AP，∴∠APB=45°，∵点B关于AP的对称点为点B′，∴∠BPB'=90°，∠APB=45°，BP=B'P，∴△ABP为等腰直角三角形，四边形B'PCF是矩形，∴BP=AB=1=B'P，PC=5=1=4=B'F，CF=B'P=1，∴B'F=4，DF=4﹣1=3，∴Rt△B'FD中，B'D==5，故答案为：5．【点评】本题以动点问题为背景，主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及矩形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，以及灵活运用勾股定理计算线段的长度．。
2018-2019学年新人教版九年级上册数学期中试卷(含答案)
2018-2019学年度（上）九年级数学期中试卷（含答案）一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列四个图形中，不是中心对称图形的是( C)2.把方程x2-12x+33=0化成(x+m)2=n的形式,则m,n的值是CA.6,3B.-6,-3C.-6,3D.6,-33．将y＝x2＋4x＋1化为y＝a(x－h)2＋k的形式，h，k的值分别为( B) A．2，－3 B．－2，－3 C．2，－5 D．－2，－54.已知点A(x-2,3)与点B(x+4,y-5)关于原点对称,则y x的值是BA.2B.C.4D.85．某商品原价800元，连续两次降价a%后售价为578元，下列所列方程正确的是( B)A．800(1＋a%)2＝578 B．800(1－a%)2＝578C．800(1－2a%)＝578 D．800(1－a2%)＝5786.二次函数y=ax2+bc+c的图象如图所示,则下列判断中错误的是BA.图象的对称轴是直线x=-1B.当x>-1时,y随x的增大而减小C.当-3<x<1时,y<0D.一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是-3,17．把一个物体以初速度v(米/秒)竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，物体的运动路线是一条抛物线，且物体的上升高度h(米)与抛出时间t(秒)之间满足：h＝v0t－12gt2(其中g是常数，取10米/秒2)．某时，小明在距地面2米的O点，以10米/秒的初速度向上抛出一个小球，抛出2.1秒时，该小球距地面的高度是( C)A．1.05米B．－1.05米C．0.95米D．－0.95米8.黄山市某塑料玩具生产公司,为了减少空气污染,国家要求限制塑料玩具生产,这样有时企业会被迫停产,经过调研预测,它一年中每月获得的利润y(万元)和月份n之间满足函数关系式y=-n2+14n-24,则企业停产的月份为A.2月和12月B.2月至12月C.1月D.1月、2月和12月9．抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，与x轴的一个交点A 在点(－3，0)和(－2，0)之间，其部分图象如图所示，则下列4个结论：①b2－4ac＜0；②2a－b＝0；③a＋b＋c＜0；④点M(x1，y1)，N(x2，y2)在抛物线上，若x1＜x2，则y1≤y2.其中正确结论的个数是(B) A．1个 B．2个C．3个 D．4个10.如图,直线y=kx+b(k≠0)与抛物线y=ax2(a≠0)交于A,B两点,且点A的横坐标是-2,点B的横坐标是3,则以下结论:B①抛物线y=ax2(a≠0)的图象的顶点一定是原点;②x>0时,直线y=kx+b(k≠0)与抛物线y=ax2(a≠0)的函数值都随着x的增大而增大;③AB的长度可以等于5;④△OAB有可能成为等边三角形;⑤当-3<x<2时,ax2+kx<b,其中正确的结论是A.①②④B.①②⑤C.②③④D.③④⑤二、填空题(每小题3分，共18分)11.如果关于x的一元二次方程2x(kx-4)-x2+6=0没有实数根,那么k的最小整数值是2.12．在平面直角坐标系内，若点P(－1，p)和点Q(q，3)关于原点O对称，则pq的值为__－3__．13.如图,一个拱形桥架可以近似看作是由等腰梯形ABD8D1和其上方的抛物线D 1OD8组成.若建立如图所示的直角坐标系,跨度AB=44米,∠A=45°,AC1=4米,点D2的坐标为(-13,-1.69),则桥架的拱高OH= 7.24米.14．已知关于x的一元二次方程x2＋ax＋b＝0有一个非零根－b，则a－b的值为__1__．15．如图，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O分斜边AB为BO∶OA＝1∶3，将△BOC绕C点顺时针方向旋转到△AQC的位置，则∠AQC＝__105°__．16.在如图所示的平面直角坐标系中,△OA1B1是边长为2的等边三角形,作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称,再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称,如此作下去,则△B2n A2n+1B2n+1(n是正整数)的顶点A2n+1的坐标是(4n+1,).三、解答题(共72分)17．(8分)解下列方程：(1)2x2－x＝1; (2)x2＋4x＋2＝0.【解析】(1)x1＝－12，x2＝1. (2)x1＝－2＋2，x2＝－2－ 2.18.按要求解方程. (1)x2+3x+1=0(公式法);解:x1=-,x2=--.(2)(x-3)2+4x(x-3)=0(因式分解法).解:x1=3,x2=.19．(8分)如图，正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.(1)求证：EF＝FM；(2)当AE＝2时，求EF的长．【解析】(1)∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴∠FCM＝∠FCD＋∠DCM ＝180°，∴F，C，M三点共线，∴DE＝DM，∠EDM＝90°，∴∠EDF＋∠FDM＝90°.∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝∠EDF＝45°，∴△DE F≌△DMF(SAS)，∴EF＝MF.(2)设EF＝MF＝x，∵AE＝CM＝2，且BC＝6，20.已知y=(m-2)-+3x+6是二次函数,求m的值,并判断此抛物线的开口方向,写出对称轴及顶点坐标.解:∵y=(m-2)-+3x+6是二次函数,∴m-2≠0且m2-m=2,解得m=-1.将m=-1代入,得y=-3x2+3x+6.抛物线开口向下,对称轴为x=--,将x=代入得y=,∴抛物线的顶点坐标为,.21．(8分)已知关于x的方程x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0.(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)设方程的两根分别为x1，x2，求x21＋x22的最小值．【解析】(1)∵Δ＝[－(2m＋1)]2－4m(m＋1)＝1＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．(2)∵方程的两根分别为x1，x2，∴x1＋x2＝2m＋1，x1·x2＝m(m＋1)，∴x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝(2m＋1)2－2m(m＋1)＝2m2＋2m＋1＝2(m＋12)2＋12，∴x2 1＋x22的最小值为12.22．(8分)如图，矩形ABCD的长AD＝5 cm，宽AB＝3 cm，长和宽都增加x cm，那么面积增加y cm2.(1)写出y与x的函数关系式；(2)当增加的面积y＝20 cm2时，求相应的x是多少？【解析】(1)由题意可得(5＋x)(3＋x)－3×5＝y，化简得：y＝x2＋8x.(2)把y＝20代入解析式y＝x2＋8x中，得x2＋8x－20＝0，解得x1＝2，x2＝－10(舍去)．∴当增加的面积为20 cm2时，相应x为2 cm.23.为打造“文化太湖,书香圣地”,太湖中学的学生积极开展“图书飘扬”活动,让全体师生创美好,校团委学生处在对上学期学生借阅登记簿进行统计时发现,在4月份有1000名学生借阅了名著类书籍,5月份人数比4月份增加10%,6月份全校借阅名著类书籍人数比5月份增加340人.(1)求6月份全校借阅名著类书籍的学生人数;(2)列方程求从4月份到6月份全校借阅名著类书籍的学生人数的平均增长率.解:(1)由题意,得5月份借阅了名著类书籍的人数是1000×(1+10%)=1100(人),则6月份借阅了名著类书籍的人数为1100+340=1440(人).(2)设平均增长率为x.1000(1+x)2=1440,解得x=0.2.答:从4月份到6月份全校借阅名著类书籍的学生人数的平均增长率为20%24．(8分)如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A(－3，2)，B(0，4)，C(0，2)．(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1，平移△ABC，对应点A2的坐标为(0，－4)，画出平移后对应的△A2B2C2；(2)若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心P点的坐标．25.已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A(2,0),B(0,-6)两点.(1)求这个二次函数的解析式;(2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C,连接BA,BC,求△ABC的面积和周长.解:(1)二次函数的解析式是y=-x2+4x-6.(2)∵对称轴x=-=4,∴C点的坐标是(4,0),∴AC=2,OB=6,AB=2BC=2,∴S△ABC=AC·OB=×2×6=6,△ABC的周长=AC+AB+BC=2+2+2.。
2018-2019年九年级上册数学期中测试题带答案
2018-2019年九年级上册期中测试题带答案C 两点同时出发，以 1 cm/s 的速度沿BC , CD 运动，到点C , D 时停止运动，设运动时间 为t(s),A OEF 的面积为S(cm 2),则S(cm 2)与t(s)的函数关系可用图象表示为 (B)二、填空题(每小题3分，共15分)11.已知x =- 1是方程x 2 + mx - 5 = 0的一个根，则 m = -4.12・如图，把Rt △ ABC 绕点A 逆时针旋转40°,得到Rt A AB' C'点C'恰好落在边 AB 上, 连接 BB ，则/ BB C = 20° 13・已知点A(4 , y 1), B( - 2, y 2)都在二次函数y = (x - 2)2- 1的图象上，贝V 屮,y 2的大小关 系是 y i v y 2.一、选择题(每小题3分，共30分)下列各小题均有四个答案，其中只有一个正确的 1•下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是2•已知点P(2, 3),那么点 A.( - 3, -2) 3)3•方程x 2= 3x 的解是(C) =3 =3, X 2 = 04.若m , n 是一元二次方程 A. - 7P 关于原点的对称点的坐标是 B.( - 2，- 3) X 2— 5x - 2= 0的两个实数根, (D) (B)C.(2 , - 3)D.( - 2,=—3, X 2= 0则 m + n — mn 的值是(B)D. - 35•如图所示，边长为2的等边△ ABO 的边OB 在x 轴上, 得到等边厶OA 1B 1,则点A 1的坐标为(A) A.( .3, - 1) C.(1，— 一 3)6•已知二次函数 y = kx 2 - 7x - 7的图象和x 轴有交点，则 将厶ABO 绕原点O 逆时针旋转30 ° B.( .3, 1) D.(2 , - 1) k 的取值范围是(D)>-74>-g 且 k z 047扌巴抛物线 的解析式为 y = x 2 + 4先向左平移1个单位长度，再向下平移 3个单位长度，得到的抛物线 (A)=(x + 1)2+ 1 =(x - 1)2+ 7=(x - 1)2+ 1 =(x + 1)2+ 78.如图，在一幅长为 60 cm ,宽为40 cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的纸边，制成 一幅矩形挂图.若要使整个挂图的面积是 3 500 cm 2，设纸边的宽为x cm ,则x 满足的方程是(B)A ・(60 + x)(40 + x) = 3 5003 500 B ・(60 + 2x)(40 + 2x)=C ・(60 - x)(40 - x) = 3 5003 5009.二次函数y = ax 2 + bx + c(a ^ 0)的图象如图所示，给出下列结论：①v 0:③4a - 2b + c = 0;④a + b + c > 0・其中正确的是(D)A ・①②B ・②③C ・③④D ・①④D ・(60 - 2x)(40 - 2x)= b 2- 4ac > 0 :② 2a + b 10.如图，正方形 ABCD 中，AB = 8 cm ，对角线 AC , BD 相交于点O ,点E , F 分别从B , >-74114. 如图，小明在校运动会上掷铅球时，铅球的运动路线是抛物线 y =— 5(x + 1)(X — 7)，铅球落在A 点处，则OA = 7_米.15. 如图，正方形AEFG 与正方形 ABCD 的边长都为2，正方形AEFG 绕正方形 ABCD 的顶 点A 旋转一周，在此旋转过程中，线段DF 的长可取的整数值可以为1或2或3或4.三、解答题(本大题共8个小题，满分75分) 16. (8分)用适当的方法解下列方程. (1) (2x + 1)2=— (2x + 1); 解：(2x + 1)2+ (2x + 1) = 0, (2x + 1)(2x + 1+ 1) = 0, (2x + 1)(2x + 2) = 0, ••• 2x + 1 = 0 或 2x + 2= 0. 1•-X 1 = — ^, X 2=— 1.(2) 2x 2— 4x — 9= 0. 解：2x 2— 4x = 9,9 x 2— 2x + 1 = 2 + 1 ,2 11 . ,V 22 (x — 1)2= 7，x = 1±^， …X 1= 1 + 〒,X 2= 1—〒. 17. (9 分)抛物线 y = x 2+ 2x — 3. (1) 用配方法求顶点坐标、对称轴；(2) 直接写出x 取何值时，y 随x 的增大而减小(3) 直接写出x 取何值时，y = 0; x 取何值时，y > 0; x 取何值时，y v 0. 解：(1)y = (x + 1)2— 4,顶点坐标为(—1, 4),对称轴为直线 x =— 1. ⑵•/ a = 1>0，抛物线开口向上，对称轴为直线 x =— 1,•••当x v — 1时，y 随x 的增大而减小.(3) 令 y = 0,艮卩 x 2+ 2x — 3 = 0,「. X 1=— 3, X 2 = 1，抛物线开口向上. 当 x =— 3或 x = 1 时，y = 0; 当 x v — 3或 x > 1 时，y > 0; 当一3v x v 1 时，y<0.18. (9分)已知关于x 的一元二次方程 x 2— 2x + m — 1 = 0有两个实数根 X 1, X 2. (1) 求m 的取值范围；(2) 当 x 1 + x 2= 6x 1x 2 时，求 m 的值.解：(1)■原方程有两个实数根，•• △= (— 2)2— 4(m — 1)》0,即4 — 4m + 4》0. 解得m < 2.⑵•- X 1 + X 2= 2, X 1X 2= m — 1 且 x 2 + x 2 = 6x 1x 2,•- (X 1 + X 2)2 — 2X 1X 2= 6X 1X 2,即(X 1 + X 2)2 — 8X 1X 2=0.2 3••• 22- 8(m —1) = 0. A m =3 3T m=2<2，•符合条件的m的值为~219. (9分)在创城活动中，某小区想借助如图所示的互相垂直的两面墙(墙体足够长)，在墙角区域用28 m长的篱笆围成一个矩形花园.设AB = x m.(1) 若围成花园的面积为192 m2，求x的值；⑵已知在点0处有一棵树，且与墙体AD的距离为6 m，与墙体CD的距离为15 m.如果在围建花园时，要将这棵树围在花园内(含边界上，树的粗细忽略不计)，那么能围成的花园的最大面积是多少解：⑴由题意，得x(28 —x) = 192,解得xu 12, X2= 16.答：x的值是12或16.⑵设矩形花园的面积为S,贝U S = x(28 —x) = —x2+ 28x = —(x —14)2+ 196.T—1v 0,A当x v 14时，S随x的增大而增大，当x> 14时，S随x的增大而减小.x > 6,根据题意，得28 —x > 15,解得6W x w 13.•••当x= 13时，S取得最大值，S最大=195.答：能围成的花园的最大面积是195 m220. (9分)四边形ABCD是正方形，E, F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE = BF，连接AE , AF , EF.(1)试判断△ AEF的形状，并说明理由；⑵填空：△ ABF可以由△ ADE绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90°得到；⑶若BC = 8,则四边形AECF的面积为64.(直接写结果)解：△ AEF是等腰直角三角形.理由：T四边形ABCD是正方形，F是BC延长线上一点，•AB = AD，/ DAB =Z ABF = Z D = 90°在厶ADE和厶ABF中，•△ADE ◎△ ABF(SAS). • AE = AF，/ DAE =Z FAB.T/ DAB =Z DAE +Z BAE = 90°FAE = Z FAB + Z BAE =Z DAB = 90°.•△AEF 是等腰直角三角形.21. (10分)某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元).设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元.(1) 求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；(2) 每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润最大的月利润是多少元(3) 每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2 200元根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于 2 200元解：(1) T设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元.•上涨后每件商品的利润为(10 + x)元，每月能销售(210 —10x)件商品.由题意，得y= (210 —10x)(50 + x —40)=—10x2+ 110x+ 2 100=—10(x —2+ 2 (0 v x w 15 且x 为整数).⑵•/ a=- 10v 0,「.当x =时，y有最大值2 .•/ 0v x w 15,且x 为整数，当x= 5 时，50 + x= 55, y= 2 400,当x= 6 时，50+ x = 56, y =2 400. •••当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是 2 400元.⑶当y= 2 200 时，一10x2+ 110x+ 2 100 = 2 200，解得X i= 1, X2= 10.•••当x= 1 时，50 + x= 51，当x= 10 时，50 + x = 60.•••当售价定为每件51或60元，每个月的利润为 2 200元.当售价定为51或60元，每个月的利润为 2 200元.当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于 2 200元(或当售价分别为51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元时，每个月的利润不低于 2 200元). 22. (10分)如图〔，△ ABC和厶AED都是等腰直角三角形，/ BAC = / EAD = 90°点B在线段AE上，点C在线段AD上.(1) 请直接写出线段BE与线段CD的数量关系；⑵如图2,将图1中的△ ABC绕点A顺时针旋转角a (V aV 360 °①(1)中的结论是否成立若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；1②当AC = ^ED时，探究在厶ABC旋转的过程中，是否存在这样的角a,使以A , B , C, D四点为顶点的四边形是平行四边形若存在，请直接写出角a的度数；若不存在，请说明理由.解：(1)BE = CD.(2) ①成立•证明：•••△ ABC 和厶AED 都是等腰直角三角形，•/BAC = / EAD = 90 ° AB =AC , AE = AD.又•••/ BAE = Z BAC -Z CAE，/ CAD = Z EAD -Z CAE，•/ BAE =Z CAD.AB = AC ,在厶ABE 和厶ACD 中，Z BAE =Z CAD ,AE = AD ,• △ ABE ◎△ ACD(SAS). • BE = CD.②存在，a= 45°或315°或225°.23. (11分)如图：经过点E( —2, 0)的直线y= mx + n与抛物线y= ax2+ bx + 6(a^0)相交于点A(^, §和B(4 , t).点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC丄x轴于点D，交抛物线于点C.(1) 直线的解析式是y = x+ 2;抛物线的解析式是y= 2x2—8x + 6 ；(2) 是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；(3) 若厶PAC为直角三角形，直接写出点P的坐标.解：(2)存在点P,使PC的长有最大值.设点P的坐标为(p, p+ 2)，将x= p代入抛物线的解析式中，得y = 2p2—8p+ 6,所以点C的坐标是(p, 2p2—8p + 6),所以PC= p + 2 —2p2+ 8p—6=—2(p —9)2+ 4^.4 8所以，当p=9时，线段PC的长有最大值，最大值为詈，此时点P的坐标为(4，予.⑶连接AC.因为点P在直线y = x + 2上，且直线与x轴正方向夹角为45 ° 所以/ APC = 45°当厶PAC是直角三角形时，存在两种情况：①当/ P i AC i = 90。
2018-2019学年度九年级数学上学期期中试卷(含答案)
上学期九年级数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1.若1-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是A. x ≥1B. x >1C. x ≤1D. x ≠1 2.方程22x x =的解是A.021==x xB.221==x xC.2,021==x xD.2,021==x x3.如图，AD ∥BE ∥CF ，直线a 、b 与这三条平行线分别交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F .若AB =4，BC =6，DE =3，则EF 的长为A.4B. 4.5C. 5D. 6（第3题） （第4题） （第5题）4.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD 是斜边AB 上的中线.若CD =4，AC =6，则cos A 的值是 A.37 B.47 C.34 D.43 5．如图，学校种植园是长32米，宽20米的矩形.为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，使种植面积为600平方米.若设小道的宽为x 米，则下面所列方程正确的是A. (32-x )(20-x )=600B.(32-x )(20-2x )=600C. (32-2x )(20-x )=600D.(32-2x )(20-2x )=6006.已知点),(11y x A 、),(22y x B 在二次函数22+4y x x =-+的图象上.若121>>x x ，则1y 与2y 的大小关系是A .21y y ≥B .21y y =C .21y y >D .21y y <7. 如图，在⊙O 中，半径OA 垂直弦BC 于点D ．若∠ACB =33°，则∠OBC 的大小为 A.24° B. 33° C. 34° D. 66°（第7题） （第8题）8．如图，△ABC 和△ADE 均为等边三角形，点D 在BC 上，DE 与AC 相交于点F .若AB =9，BD =3，则CF 的长为A.1B.2C.3D.4 二、填空题（每小题3分，共18分） 9.计算：3-27= .10.若关于x 的一元二次方程0122=-++m x x 有实数根，则m 的取值范围是 ． 11.将抛物线2)1(2+-=x y 向下平移2个单位后，得到的抛物线所对应的函数表达式为 ．12.如图，四边形ABCD 是圆内接四边形，E 是BC 延长线上一点.若∠BAD =105°，则∠DCE 的大小是 度．（第12题） （第13题） （第14题）13. 如图，在平面直角坐标系中，线段AB 两个端点的坐标分别为（6，6），（8，2）.以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ，则点C 的坐标为 .14.如图，在平面直角坐标系中，点A 在第二象限，以A 为顶点的抛物线经过原点，与x 轴负半轴交于点B ，对称轴为直线x =-2，点C 在抛物线上，且位于点A 、B 之间（C 不与A 、B 重合）．若四边形AOBC 的周长为a ，则△ABC 的周长为 （用含a 的代数式表示）．三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15．（6分）计算：︒+-30sin 22053.16．（6分）解方程：231x x -=.17．（6分）某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同．求2013年到2015年这种产品产量的年增长率. 18．（7分）图①、图②均是边长为1的正方形网格，△ABC 的三个顶点都在格点上．按要求在图①、图②中各画一个三角形，使它的顶点均在格点上.（1）在图①中画一个△A 1B 1C 1，满足△A 1B 1C 1∽△ABC ，且相似比不为1. （2）在图②中将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△A 2B 2C ，求旋转过程中B 点所经过的路径长.图① 图②19．（7分）如图，AB 是半圆所在圆的直径，点O 为圆心，OA =5，弦AC =8，OD ⊥AC 于E ，交⊙O 于D ，连结BC 、BE ． （1）求OE 的长.（2）设∠BEC =α，求tan α的值．20．（7分） 如图，在平面直角坐标系中，过抛物线62412+-=x x y 的顶点A 作x 轴的平行线，交抛物线12+=x y 于点B ，点B 在第一象限. （1）求点A 的坐标.（2）点P 为x 轴上任意一点，连结AP 、BP ，求△ABP 的面积.21．（8分）(8分)某超市利用一个带斜坡的平台装卸货物，其纵断面ACFE如图所示．AE为台面，AC 垂直于地面，AB表示平台前方的斜坡．斜坡的坡角∠ABC为43°,坡长AB为2m．为保障安全，又便于装卸货物，决定减小斜坡AB的坡角，AD是改造后的斜坡（D在直线BC上），坡角∠ADC为31°．求斜坡AD底端D与平台AC的距离CD．（结果精确到0. 1m）【参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93；sin31°=0.52，cos31°=0.86，tan31°=0.60】22．（9 分）(9分)如图，在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，AB=4．延长CA到O，使AO=AC，以O 为圆心，OA长为半径作⊙O交BA延长线于点D，连结OD、CD．（1）求扇形OAD的面积．（2）判断CD所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由.23. (10分)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm .动点P 从点B 出发，在BA 边上以每秒5cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点Q 从点C 出发， 在CB 边上以每秒4cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间为t 秒（0＜t ＜2）. （1）用含t 的代数式表示BP 、BQ 的长.（2）连结PQ ，如图①所示.当△BPQ 与△ABC 相似时，求t 的值.（3）过点P 作PD ⊥BC 于D ，连结AQ 、CP ，如图②所示.当AQ ⊥CP 时，直接写出线段PD 的长.图①图②24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线42-+=bx ax y 与x 轴交于A （4，0）、B （-3，0）两点，与y 轴交于点C ．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式.（2）如图①，点D 是x 轴下方抛物线上的动点，且不与点C 重合.设点D 的横坐标为m ，以O 、A 、C 、D 为顶点的四边形面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式.（3）如图②，连结BC ，点M 为线段AB 上一点，点N 为线段BC 上一点，且BM =CN =n ，直接写出当n 为何值时△BMN 为等腰三角形.图①图②一、1.A 2. C 3. B 4. D 5. C 6. D 7. A 8. B二、9.32 10.2≤m 11.2)1(-=x y （化成一般式也可） 12. 105 13.（3，3） 14.a -4三、15.原式=1521252-53+=⨯+.（化简20正确给2分，计算sin30°正确给1分，结果2分）16. 0132=--x x .（1分）∵a =1，b =-3，c =-1，∴13)1(14)3(422=-⨯⨯--=-ac b .（2分）(最后结果正确，不写头两步不扣分) ∴21331213)3(±=⨯±--=x . （5分）∴.2133,213321-=+=x x （6分） 【或222)23(1)23(3+=+-x x ，（2分） 413)23(2=-x .（3分） 21323±=-x ，2133±=x .（5分）.2133,213321-=+=x x （6分）】 17.设2013年到2015年这种产品产量的年增长率为x . （1分）根据题意，得121)11002=+x （. （3分） 解得 x 1=0.1=10%，x 2=﹣2.1（不合题意，舍去）. （5分） 答：2013年到2015年这种产品产量的年增长率为10%．（6分）18.（1）（2）画图略. （4分）（每个图2分，不用格尺画图总共扣1分，不标字母不扣分） （2）由图得22=BC . （5分）（结果正确，不写这步不扣分） 旋转过程中B 点所经过的路径长：ππ21802290=⨯=l . （7分）（过程1分，结果1分） 19. （1）∵OD ⊥AC ，∴482121=⨯==AC AE . （1分） 在Rt △OEA 中，3452222=-=-=AE OA OE . （3分）（过程1分，结果1分） （2）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠C =90°． （4分）在Rt △ABC 中，AB =2OA =10，∴68102222=-=-=AC AB BC . （5分） ∵OD ⊥AC ，∴482121=⨯==AC CE . （6分） 在Rt △BCE 中，tan α=2346==CE BC . （7分） 20. （1）2)4(412)168416241222+-=++-=+-=x x x x x y （.（3分）（过程2分，结果1分） （用顶点坐标公式求解横坐标2分，纵坐标1分）∴点A 的坐标为（4,2）. （4分） （2）把2=y 代入12+=x y 中，解得11=x ，12-=x （不合题意，舍去）. （6分）∴314=-=AB . （7分） ∴32321=⨯⨯=∆ABP S . （8分）21. 在Rt △ABC 中，sin ∠ABC =ABAC， ∴AC =AB ⋅sin43°=2×0.68=1.36 (m) . （4分）（过程2分，有其中两步即可，结果2分）在Rt △ADC 中，tan ∠ADC =CDAC， ∴3.260.036.131tan ≈=︒=AC CD (m). （给分方法同上） ∴斜坡AD 底端D 与平台AC 的距离CD 约为2.3m ．（8分）（不答不扣分，最终不写单位扣1分）22. （1）在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，∴242121=⨯==AB AC ，（1分）∠BAC =60°． （2分） ∴AO =AC =2，∠OAD =∠BAC =60°．∵OA =OD ，∴△OAD 是等边三角形． （3分） ∴∠AOD =60°． （4分） ∴323602602ππ=⨯=OAD S 扇形． （5分） （2）CD 所在直线与⊙O 相切．（只写结论得1分）理由：∵△OAD 是等边三角形，∴ AO =AD ，∠ODA =60°． （6分） ∵AO =AC ，∴ AC =AD ．∴∠ACD =∠ADC =︒=︒⨯=∠30602121BAC ． （7分） ∴∠ODC =∠ODA +∠ADC =60°+30°=90°，即OD ⊥CD . （8分） ∵OD 为⊙O 的半径，∴CD 所在直线与⊙O 相切． （9分）23. （1）BP =5t ，BQ =8-4t ． （2分）（2）在Rt △ABC 中，10862222=+=+=BC AC AB ． （3分）当△BPQ ∽△BAC时，BC BQ BA BP =，即848105tt -=.（4分）解得1=t ． （5分） 当△BPQ ∽△BCA 时，BA BQ BC BP =，即104885tt -=.（6分）解得4132=t ． （8分） （3）821=PD ． （10分） 24. （1）把A （4，0）、B （-3，0）代入42-+=bx ax y 中，得⎩⎨⎧=--=-+.0439,04416b a b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.31,31b a （2分）∴这条抛物线所对应的函数表达式为431312--=x x y ． （3分）（2）当-3<m <0时，824421)(421+-=⨯⨯+-⨯⨯=m m S ． （6分）当0<m <4时，83832)4313142142122++-=++-⨯⨯+⨯⨯=m m m m m S （． （9分）（每段自变量1分，若加等号共扣1分，解析式2分） （3）25=n ，1125=n ，1130=n ． （12分）。
山东省青岛实验中学九年级(上)期中数学试卷(解析版)
一．单选题1．（3分）在同一时刻的太阳光下，小刚的影子比小红的影子长，那么，在晚上同一路灯下，（）A．小刚的影子比小红的长B．小刚的影子比小红的影子短C．小刚跟小红的影子一样长D．不能够确定谁的影子长2．（3分）如图，空心圆柱的俯视图是（）A．B．C． D．3．（3分）由两个可以自由转动的转盘、每个转盘被分成如图所示的几个扇形、游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出了红色，另一转盘转出了蓝色，游戏者就配成了紫色下列说法正确的是（）A．两个转盘转出蓝色的概率一样大B．如果A转盘转出了蓝色，那么B转盘转出蓝色的可能性变小了C．先转动A 转盘再转动B 转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率不同D．游戏者配成紫色的概率为4．（3分）下列命题正确的是（）（1）一角相等的两个平行四边形相似：（2）一角相等的两个菱形相似：（3）一组邻边成比例的两个平行四边形相似（4）一组邻边成比例的两个矩形相似．A．（1）（3）B．（2）（4）C．（1）（4）D．（2）（4）5．（3分）如图，三角形ABC中，D、E、F分别是AB，AC，BC上的点，且DE∥BC，EF∥AB，AD：DB=1：2，BC=30cm，则FC的长为（）A．10cm B．20cm C．5cm D．6cm6．（3分）反比例函数y=图象上有三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），其中x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y17．（3分）反比例函数y=与一次函数y=﹣kx﹣k在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，E、F在AD上，BE与CF相交于点G，若AB=7，BC=10，则△EFG与△BCG的面积之比为（）A．4：25 B．49：100 C．7：10 D．2：5二、填空题9．（3分）若，则=．10．（3分）为了估计不透明的袋子里装有多少白球，先从袋中摸出10个球都做上标记，然后放回袋中去，充分摇匀后再摸出10个球，发现其中有一个球有标记，那么你估计袋中大约有个白球．11．（3分）如图，一块长5米宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的，如果设配色条纹的宽度为x米，则可列方程．12．（3分）如图，矩形ABCD 的对角线AC、BD 交于点O，∠AOD=60″，AB=2，AE⊥BD 于点E，则OE长．13．（3分）如图，△ABC是一块锐角三角形的余料，边BC=6cm，高AD=4cm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC 上，这个正方形零件PQMN的边长是cm．14．（3分）某地大力发展经济作物，果树种植己初具规模．今年受气候、南水等因素的影响，樱桃较丢年有所增产、但售价却有所降低，一果农去年樱祧的市场销售量为200千克，销售均价为20元千克，今年樱桃的市场销售量比去年增加的百分数正好是销售均价比去年减少的百分数的2倍，若该果农今年的销售总金额与去年的销售总金额相同；则销售均价比去年减少的百分数为．15．（3分）如图，反比例函数y=与一次函数y=﹣x+6的图象交点为E、F，则点E的坐标为，△EOF 的面积为．反比例函数值大于一次函数值时x的范围是．16．（3分）如图，一个几何体的三视图分别是两个矩形、一个扇形，则这个几何体表面积的大小为．三、计算题17．（1）解方程4x（2x+1）=3（2x+1）（2）关于x的方程x2+（m﹣2）x=0有两个相等的实数根，求m的值．四、作图题18．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C （2，2）（正方形网袼中每个小正方形的边长是一个单位长度）、以点B为位似中心，在网格内画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC 位似，且相似比为2：1．五．解答题19．在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球，它们除颜色外完全相同，其中红球有2 个，黄球有1个，蓝球有1个．现有一张电影票，小明和小亮决定通过摸球游戏定输赢，赢的一方得电影票．（1）游戏规则1：两人各摸1个球，先由小明从纸箱里随机摸出1个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，再由小亮随机摸出1个球．若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢．这个游戏规则对双方公平吗？请你利用树状图或列表法说明理由．（2）游戏规则2；两人同时各摸1个球，若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢．这个游戏小明赢得电影票的概率为．20．一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？21．如图1，平行四边形ABCD，DE⊥AB．垂足E在BA的延长线上，BF⊥DC，垂足F在DC的延长线上．（1）求证：四边形BEDF是矩形；（2）如图2，若M、N分别为AD、BC的中点，连接EM、EN、FM、FN，求证：四边形EMFN是平行四边形．22．数学兴趣小组研究某型号冷柜温度的变化情况，发现该冷柜的工作过程是：当温度达到设定温度﹣20℃时，制冷停止，此后冷柜中的温度开始逐渐上升，当上升到﹣4℃时，制冷开始，温度开始逐渐下降，当冷柜自动制冷至一20℃时，制冷再次停止，．．按照以上方式循环进行同学们记录了44min 内15个时间点冷柜中的温度y（℃）随时间x（min）的变化情况，制成下表：时间x/min… 4 8 10 16 20 21 22 23 24 28 30 36 40 42 44 …温度y/℃…﹣20﹣10﹣8﹣5﹣4﹣8﹣12﹣16﹣20﹣10﹣8﹣5﹣4 a﹣20…（1）通过分析发现，冷柜中的温度y是时间x的函数．①当4≤x＜20时，写出一个符合表中数据的函数解析式；②当20≤x＜24时，写出一个符合表中数据的函数解析式；（2）温度不低于﹣8℃的持续时间为min；（3）A的值为．23．如图1，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，AE=DG，请写出S四边形EFGH与S矩形ABCD之间的数量关系（S表示面积）实验探究：某数学实验小组发现：若图1中AH≠BF，点G在CD上移动时，上述结论会发生变化，分别过点E、G作BC边的平行线，再分别过点F、H作AB边的平行线，四条平行线分别相交于点A1，B1，C1，D1，得到矩形A1B1C1D1如图2，当AH＞BF时，若将点G向点C靠近（DG＞AE），经过探索，发现：2S四边形EFGH=S矩形ABCD+S如图3，当AH＞BF时，若将点G向点D靠近（DG＜AE），请探索S四边形EFGH，S矩形ABCD与S之间的数量关系迁移应用：请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：如图4，点E，F，G，H分别是面积为25的正方形ABCD各边上的点，已知AH＞BF，AE＞DG，S四边形EFGH=9.5，HF=，则EG长．24．如图，菱形ABCD的边长为5 厘米，对角线BD长8厘米．点P从点A出发沿AB方向匀速运动，速度为1厘米秒；点Q从点D 出发沿DB 方向匀速运动，速度为2 厘米/秒：P、Q 同时出发，当点Q与点B重合时，P、Q停止运动，设运动时间为t秒，解答下列问题：（1）当t为何值时，△PBQ为等腰三角形？（2）当t为何值时，△PBQ的面积等于菱形ABCD面积的？（3）连接AQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使∠PQA=∠ABD？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理虫：（4）直线PQ 交线段BC于点M，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使BM：CM=2：3？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．2017-2018学年山东省青岛实验中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．单选题1．（3分）在同一时刻的太阳光下，小刚的影子比小红的影子长，那么，在晚上同一路灯下，（）A．小刚的影子比小红的长B．小刚的影子比小红的影子短C．小刚跟小红的影子一样长D．不能够确定谁的影子长【解答】解：在同一路灯下由于位置不同，影长也不同，所以无法判断谁的影子长．故选：D．2．（3分）如图，空心圆柱的俯视图是（）A．B．C． D．【解答】解：从上边看是三个水平边较短的矩形，中间矩形的左右两边是虚线，故选：D．3．（3分）由两个可以自由转动的转盘、每个转盘被分成如图所示的几个扇形、游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出了红色，另一转盘转出了蓝色，游戏者就配成了紫色下列说法正确的是（）A．两个转盘转出蓝色的概率一样大B．如果A转盘转出了蓝色，那么B转盘转出蓝色的可能性变小了C．先转动A 转盘再转动B 转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率不同D．游戏者配成紫色的概率为【解答】解：A、A盘转出蓝色的概率为、B盘转出蓝色的概率为，此选项错误；B、如果A转盘转出了蓝色，那么B转盘转出蓝色的可能性不变，此选项错误；C、由于A、B两个转盘是相互独立的，先转动A 转盘再转动B 转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率相同，此选项错误；D、画树状图如下：由于共有6种等可能结果，而出现红色和蓝色的只有1种，所以游戏者配成紫色的概率为，故选：D．4．（3分）下列命题正确的是（）（1）一角相等的两个平行四边形相似：（2）一角相等的两个菱形相似：（3）一组邻边成比例的两个平行四边形相似（4）一组邻边成比例的两个矩形相似．A．（1）（3）B．（2）（4）C．（1）（4）D．（2）（4）【解答】解：（1）一角相等的两个平行四边形对应边不一定成比例，所以不一定相似，（1）是假命题；一角相等的两个菱形相似，（2）是真命题；一组邻边成比例的两个平行四边形对应角不一定相等，所以不一定相似，（3）是假命题；一组邻边成比例的两个矩形相似，（4）是真命题；故选：B．5．（3分）如图，三角形ABC中，D、E、F分别是AB，AC，BC上的点，且DE∥BC，EF∥AB，AD：DB=1：2，BC=30cm，则FC的长为（）A．10cm B．20cm C．5cm D．6cm【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形BDEF是平行四边形，∴BF=DE．∵AD：DB=1：2，∴AD：AB=1：3．∵DE∥BC，∴DE：BC=AD：AB=1：3，即DE：30=1：3，∴DE=10，∴BF=10．故FC的长为20cm．故选B6．（3分）反比例函数y=图象上有三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），其中x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1【解答】解：∵反比例函数y=中，k=6＞0，∴此反比例函数图象的两个分支在一、三象限；∵x3＞0，∴点（x3，y3）在第一象限，y3＞0；∵x1＜x2＜0，∴点（x1，y1），（x2，y2）在第三象限，y随x的增大而减小，故y2＜y1，由于x1＜0＜x3，则（x3，y3）在第一象限，（x1，y1）在第三象限，所以y1＜0，y2＞0，y1＜y2，于是y2＜y1＜y3．故选B．7．（3分）反比例函数y=与一次函数y=﹣kx﹣k在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：当k＞0时，∵k＞0，﹣k＜0，∴反比例函数y=的图象在第一、三象限，一次函数y=﹣kx﹣k的图象经过第二、三、四象限；当k＜0时，∵k＜0，﹣k＞0，∴反比例函数y=的图象在第二、四象限，一次函数y=﹣kx﹣k的图象经过第一、二、三象限．故选C．8．（3分）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，E、F在AD上，BE与CF相交于点G，若AB=7，BC=10，则△EFG与△BCG的面积之比为（）A．4：25 B．49：100 C．7：10 D．2：5【解答】解：∵在▱ABCD中，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∴AD∥BC，AB=DC，AD=BC，∠CABE=∠CBE，∠DCF=∠BCF，∴∠AEB=∠CBE，∠DFC=∠BCF，∴∠ABE=∠AEB，∠DFC=∠DCF，∴AB=AE，DF=DC，又∵AB=7，BC=10，∴AE=DE=7，AD=10，∴AF=DE=3，∴FE=4，∵FE∥BC，∴△FGE∽△CGB，∴，∴，故选A．二、填空题9．（3分）若，则=．【解答】解：由，得a=，∴=．故答案为：．10．（3分）为了估计不透明的袋子里装有多少白球，先从袋中摸出10个球都做上标记，然后放回袋中去，充分摇匀后再摸出10个球，发现其中有一个球有标记，那么你估计袋中大约有100个白球．【解答】解：∵摸出10个球，发现其中有一个球有标记，∴带有标记的球的频率为，设袋中大约有x个球，由题意得=，∴x=100个．故本题答案为：100．11．（3分）如图，一块长5米宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的，如果设配色条纹的宽度为x米，则可列方程2x×5+2x×4﹣4x2=×5×4．【解答】解：设配色条纹的宽度为x米．依题意得2x×5+2x×4﹣4x2=×5×4，故答案为2x×5+2x×4﹣4x2=×5×4．12．（3分）如图，矩形ABCD 的对角线AC、BD 交于点O，∠AOD=60″，AB=2，AE⊥BD 于点E，则OE长1．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠DAB=90°，OA=OD，∵∠AOD=60°，∴△AOD为等边三角形，∴∠ADO=60°，OA=AD，在Rt△ADB中，AD==2，∵AE⊥BD，∴OE=DE=OD=1．故答案为：113．（3分）如图，△ABC是一块锐角三角形的余料，边BC=6cm，高AD=4cm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC 上，这个正方形零件PQMN的边长是 2.4cm．【解答】解：设这个正方形零件的边长是xcm，则PN=ED=xcm，∵矩形为正方形，∴PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴=，则=，解得：x=2.4答：这个正方形零件的边长是2.4cm．故答案为：2.4．14．（3分）某地大力发展经济作物，果树种植己初具规模．今年受气候、南水等因素的影响，樱桃较丢年有所增产、但售价却有所降低，一果农去年樱祧的市场销售量为200千克，销售均价为20元千克，今年樱桃的市场销售量比去年增加的百分数正好是销售均价比去年减少的百分数的2倍，若该果农今年的销售总金额与去年的销售总金额相同；则销售均价比去年减少的百分数为50%．【解答】解：设销售均价比去年减少的百分数为x，200（1+2x）×20（1﹣x）=200×20，解得，x=0.5或x=0（舍去），故答案为：50%．15．（3分）如图，反比例函数y=与一次函数y=﹣x+6的图象交点为E、F，则点E的坐标为（1，5），△EOF 的面积为12．反比例函数值大于一次函数值时x的范围是0＜x＜1或x＞5．【解答】解：联立两函数解析式可得，解得或，∴E点坐标为（1，5），在y=﹣x+6中，令y=0可求得x=6，∴A（6，0），∴OA=6，∴S△EOF=S△AOE﹣S△AOF=×6×5﹣×6×1=15﹣3=12，∵E（1，5），F（5，1），∴当反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围为0＜x＜1或x＞5，故答案为：（1，5）；12；0＜x＜1或x＞5．16．（3分）如图，一个几何体的三视图分别是两个矩形、一个扇形，则这个几何体表面积的大小为12+15π．【解答】解：由几何体的三视图可得：该几何体的表面是由3个长方形与两个扇形围成，该几何体的表面积为：S=2×2×3+×2+×3=12+15π，故答案为：12+15π．三、计算题17．（1）解方程4x（2x+1）=3（2x+1）（2）关于x的方程x2+（m﹣2）x=0有两个相等的实数根，求m的值．【解答】解：（1）∵4x（2x+1）=3（2x+1），∴4x=3或2x+1=0，解得：x=或x=﹣．（2）∵关于x的方程x2+（m﹣2）x=0有两个相等的实数根，∴△=（m﹣2）2﹣4×1×0=（m﹣2）2=0，∴m=2．四、作图题18．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C （2，2）（正方形网袼中每个小正方形的边长是一个单位长度）、以点B为位似中心，在网格内画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC 位似，且相似比为2：1．【解答】解：如图，△A1B1C1为所作．五．解答题19．在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球，它们除颜色外完全相同，其中红球有2 个，黄球有1个，蓝球有1个．现有一张电影票，小明和小亮决定通过摸球游戏定输赢，赢的一方得电影票．（1）游戏规则1：两人各摸1个球，先由小明从纸箱里随机摸出1个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，再由小亮随机摸出1个球．若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢．这个游戏规则对双方公平吗？请你利用树状图或列表法说明理由．（2）游戏规则2；两人同时各摸1个球，若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢．这个游戏小明赢得电影票的概率为．【解答】解：（1）此游戏不公平．理由如下：列树状图如下，列表如下，由上述树状图或表格知：所有可能出现的结果共有16种．P（小明赢）=，P（小亮赢）=．∴此游戏对双方不公平，小亮赢的可能性大；（2）列表如下：红1红2黄蓝红1红1红1红1红2红1黄红1蓝红2红2红1红2红2红2黄红2蓝黄黄红1黄红2黄黄黄蓝蓝蓝红1蓝红2蓝黄蓝蓝由表格可知，共有16种等可能的结果，其中两球颜色相同的情况有6种，故小明赢得门票的概率为．故答案为：20．一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？【解答】解：因为60棵树苗售价为120元×60=7200元＜8800元，所以该校购买树苗超过60棵，设该校共购买了x棵树苗，由题意得：x[120﹣0.5（x﹣60）]=8800，解得：x1=220，x2=80．当x=220时，120﹣0.5×（220﹣60）=40＜100，∴x=220（不合题意，舍去）；当x=80时，120﹣0.5×（80﹣60）=110＞100，∴x=80．答：该校共购买了80棵树苗．21．如图1，平行四边形ABCD，DE⊥AB．垂足E在BA的延长线上，BF⊥DC，垂足F在DC的延长线上．（1）求证：四边形BEDF是矩形；（2）如图2，若M、N分别为AD、BC的中点，连接EM、EN、FM、FN，求证：四边形EMFN是平行四边形．【解答】证明：（1）∵平行四边形ABCD，∴AB∥CD，∴∠ABF+∠F=180°，∠FDE+∠E=180°，∵DE⊥AB．BF⊥DC，∴∠E=90°，∠F=90°，∴∠ABF=90°，∠FDE=90°，∴四边形BE DF是矩形；（2）∵平行四边形ABCD，四边形BEDF是矩形，∴∠NBF+∠BCF=90°，∠EDM+∠ADC=90°，AD∥BC，AD=BC，BF=DE，∴∠ADC=∠BCF，∴∠NBF=∠MDE，∵M、N分别为AD、BC的中点，∴BN=DM，在△BNF与△DME中∴△BNF≌△DME（SAS），∴EM=FN，同理可得：EN=MF，∴四边形EMFN是平行四边形．22．数学兴趣小组研究某型号冷柜温度的变化情况，发现该冷柜的工作过程是：当温度达到设定温度﹣20℃时，制冷停止，此后冷柜中的温度开始逐渐上升，当上升到﹣4℃时，制冷开始，温度开始逐渐下降，当冷柜自动制冷至一20℃时，制冷再次停止，．．按照以上方式循环进行同学们记录了44min 内15个时间点冷柜中的温度y（℃）随时间x（min）的变化情况，制成下表：时间x/min… 4 8 10 16 20 21 22 23 24 28 30 36 40 42 44 …温度y/℃…﹣20﹣10﹣8﹣5﹣4﹣8﹣12﹣16﹣20﹣10﹣8﹣5﹣4 a﹣20…（1）通过分析发现，冷柜中的温度y是时间x的函数．①当4≤x＜20时，写出一个符合表中数据的函数解析式y=﹣；②当20≤x＜24时，写出一个符合表中数据的函数解析式y=﹣4x+76；（2）温度不低于﹣8℃的持续时间为11min；（3）A的值为﹣12．【解答】解：（1）①∵4×（﹣20）=﹣80，8×（﹣10）=﹣80，10×（﹣8）=﹣80，16×（﹣5）=﹣80，∴当4≤x＜20时，y=﹣．故答案为：y=﹣；②当20≤x＜24时，设y关于x的函数解析式为y=kx+b，将（20，﹣4）、（21，﹣8）代入y=kx+b中，，解得：，∴此时y=﹣4x+76．当x=22时，y=﹣4x+76=﹣12，当x=23时，y=﹣4x+76=﹣16，当x=24时，y=﹣4x+76=﹣20．∴当20≤x＜24时，y=﹣4x+76．故答案为：y=﹣4x+76．（2）由表格可知，10≤x≤21时，y≥﹣8，则温度不低于﹣8℃的持续时间为21﹣10=11分钟．故答案为11；（3）观察表格，可知该冷柜的工作周期为20分钟，∴当x=42时，与x=22时，y值相同，∴a=﹣12．故答案为：﹣12．23．如图1，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，AE=DG，请写出S四边形EFGH与S矩之间的数量关系S四边形EFGH=S矩形ABCD（S表示面积）形ABCD实验探究：某数学实验小组发现：若图1中AH≠BF，点G在CD上移动时，上述结论会发生变化，分别过点E、G作BC边的平行线，再分别过点F、H作AB边的平行线，四条平行线分别相交于点A1，B1，C1，D1，得到矩形A1B1C1D1如图2，当AH＞BF时，若将点G向点C靠近（DG＞AE），经过探索，发现：2S四边形EFGH=S矩形ABCD+S如图3，当AH＞BF时，若将点G向点D靠近（DG＜AE），请探索S四边形EFGH，S矩形ABCD与S之间的数量关系2S四边形EFGH=S矩形ABCD﹣S矩形A1B1C1D1迁移应用：请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：如图4，点E，F，G，H分别是面积为25的正方形ABCD各边上的点，已知AH＞BF，AE＞DG，S四边形EFGH=9.5，HF=，则EG长．【解答】证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠A=90°，∵AE=DG，∴四边形AEGD是矩形，∴S△HGE=S矩形AEGD，同理S△EGF=S矩形BEGC，∴S四边形EFGH=S△HGE+S△EFG=S矩形ABCD．故答案为：S四边形EFGH=S矩形ABCD．实验探究：结论：2S四边形EFGH=S矩形ABCD﹣S矩形A1B1C1D1．理由：∵S△EHC1=S矩形AEC1H，S△HGD1=S矩形HDGD1，S△EFB1=S矩形EBFB1，S△FGA1=S矩形CFA1G，∴S四边形EFGH=S△EHC1+S△HGD1+S△EFB1+S△FGA1﹣S矩形A1B1C1D1，∴2S四边形EFGH=2S△EHC1+2S△HGD1+2S△EFB1+2S△FGA1﹣2S矩形A1B1C1D1，∴2S四边形EFGH=S矩形ABCD﹣S矩形A1B1C1D1．故答案为：2S四边形EFGH=S矩形ABCD﹣S矩形A1B1C1D1迁移应用：解：（1）如图4中，∵2S四边形EFGH=S矩形ABCD﹣S矩形A1B1C1D1．∴S矩形A1B1C1D1=25﹣2×9=7=A1B1•A1D1，∵正方形的面积为25，∴边长为5，∵A1D12=HF2﹣52=29﹣25=4，∴A1D1=2，A1B1=，∴EG2=A1B12+52=，∴EG=故答案为：．24．如图，菱形ABCD的边长为5 厘米，对角线BD长8厘米．点P从点A出发沿AB方向匀速运动，速度为1厘米秒；点Q从点D 出发沿DB 方向匀速运动，速度为2 厘米/秒：P、Q 同时出发，当点Q与点B重合时，P、Q停止运动，设运动时间为t秒，解答下列问题：（1）当t为何值时，△PBQ为等腰三角形？（2）当t为何值时，△PBQ的面积等于菱形ABCD面积的？（3）连接AQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使∠PQA=∠ABD？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理虫：（4）直线PQ 交线段BC于点M，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使BM：CM=2：3？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．【解答】解：由运动知，AP=t，DQ=2t，∵AB=5，BD=8，∴BP=5﹣t，BQ=8﹣2t，（0≤t≤4）（1）如图，连接AC交BD于O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB=BD=4，在Rt△AOB中，AB=5，OB=4，根据勾股定理得，OA=3，sin∠ABD==，cos∠ABD==，∵△BPQ是等腰三角形，∴①如图1，BP=PQ过点P作PE⊥OD于E，∴BE=BQ=4﹣t，在Rt△BPE中，cos∠ABD===，∴t=0，②如图2，BP=BQ，∴5﹣t=8﹣2t，∴t=3，③如图3，BQ=PQ，过点Q作QE⊥AB于E，∴BE=BP=（5﹣t），在Rt△BEQ中，cos∠ABD===，∴t=，即：△BPQ是等腰三角形时，t的值为0或3或；（2）如图4，由（1）知，AC=2OA=6，∵BD=8，∴S菱形ABCD=AC×BD=24，过点P作PE⊥BD于E，在Rt△BPE中，sin∠ABD=，∴=，∴PE=（5﹣t），∴S△BPQ=BQ×PE=×（8﹣2t）×（5﹣t）=（4﹣t）（5﹣t），∵△PBQ的面积等于菱形ABCD面积的，∴（4﹣t）（5﹣t）=×24，∴t=8（舍）或t=1秒，（3）如图5，∵∠ABD=∠AQP，∴∠BPQ=∠AQP+∠BAQ=∠ABD+∠BAQ，∵∠AQD=∠ABD+∠BAQ，∴∠BPQ=∠DQA，∵BD是菱形ABCD的对角线，∴∠ABD=∠ADB，∴△BPQ∽△DQA，∴，∴，∴t=或t=；（4）存在：理由：如图6，过点M作MN∥CD交BD于N，∴MN∥BP，∵BM：CM=2：3，且BC=5，∴BM=2，∵MN∥CD，∴△BMN∽△BCD，∴，∴，∴MN=2，BN=，∵BQ=8﹣2t，∴NQ=BN﹣BQ=﹣（8﹣2t）=2t﹣，∵MN∥BP，∴△BPQ∽△NMQ，∴，∴，∴5t2﹣47t+100=0，∴t=＞4（舍去）或t=．。
青岛版九年级上册数学期中考试试卷及答案
青岛版九年级上册数学期中考试试题一、选择题（每小题3分，共60分）1．下列方程中，一元二次方程共有（ ）①2320x x += ②22340x xy -+= ③214x x -= ④21x =⑤2303xx -+= A ． 2个 B ．3个 C ．4个 D ． 5个 2．一元二次方程x x 22=的根是（ ）A ．2=xB ．0=xC ．2,021==x xD ．2,021-==x x3．如图，下列四组条件中．不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）．A 、AB=DC ，AD=BCB 、AB ∥DC ，AD ∥BC C 、AB ∥DC ，AD=BCD 、AB ∥DC ，AB=DC4．下列关于矩形的说法，正确的是（ ）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相平分的四边形是矩形C ．矩形的对角线互相垂直且平分D ．矩形的对角线相等且互相平分5．用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD 是菱形的依据是（ ）． A ．一组邻边相等的四边形是菱形B ．四边都相等的四边形是菱形C ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D ．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形6．一元二次方程x 2-x+2=0的根的情况是（ ）．A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．只有一个实数根7．下列命题中，不正确的是（ ）A ．关于轴对称的两个图形是全等形B ．关于中心对称的两个图形是全等形C ．全等的两个三角形成中心对称D ．成中心对称的两个图形的对称点连线经过对称中心GF O EDCB A8．如图，在△ABC 中，BD 、CE 是△ABC 的中线，BD 与CE 相交于点O ，点F 、G 分别是BO 、 CO 的中点，连结AO.若AO=6cm ，BC=8cm ，则四边形DEFG 的周长是 （ ）．A. 14cmB. 18 cmC. 24cmD. 28cm9．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交与点O ．已知∠AOB=60°，AC=16，则图中长度为8的线段有（ ）． A 、2条B 、4条C 、5条D 、6条10．已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比为4∶3，则这个菱形的面积是（ ）． A ．12cm 2 B ．24cm 2 C ．48cm 2 D ．96cm 211．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝5，AF 平分∠DAE ，EF ⊥AE ，则CF 等于（ ）． A ．23B ．1C ．32D ．212．已知关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣a=0有两个相等的实数根，则a 的值是（ ） A ． 1 B ﹣1C ．D ． ﹣13．给出以下四个命题：①一组对边平行的四边形是梯形；②一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形； ③对角线互相垂直的矩形是正方形；④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形． 其中真命题有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个14．图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（ ）A ．点MB ．点NC ．点OD ．点P15．如图：等腰梯形ABCD 中 ，AD ∥BC ，AB=DC ，AD=3，AB=4,∠B=60︒，则梯形ABCD 的面积是（ ）．A.310B.320C.346+D.3812+16．对于任意实数x ，x 2-4x+7的值是一个（ ）A 负数B 非正数C 正数D 不确定17．在如图所示的平面直角坐标系内，画在透明胶片上的▱ABCD ，点A 的坐标是（0，2）．现将这张胶片平移，使点A 落在点A′（5，-1）处，则此平移可以是（ ） A ．先向右平移5个单位，再向下平移1个单位 B ．先向右平移5个单位，再向下平移3个单位 C ．先向右平移4个单位，再向下平移1个单位 D ．先向右平移4个单位，再向下平移3个单位18．如图，将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′的度数是（ ） A ．25° B ．30° C ．35° D ．40°19．如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为（ ）A 、1米B 、1.5米C 、2米D 、2.5米20．如图，在正方形ABCD 中，点O 为对角线AC 的中点，过点0作射线OM 、ON 分别交AB 、BC 于点E 、F ，且∠EOF=900 ,BO 、EF 交于点P ．则下列结论中： (1)图形中全等的三角形只有两对；(2)正方形ABCD 的面积等于四边形OEBF 面积的4倍；(3)BE+BF=2 0A ；(4)AE 2+CF 2=20P •OB ，正确的结论有（ ）． A ．1 8．2 C ．3 D ．4A DB C二、填空题（每小题3分，共12分）21．将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上，按图示画线得到四边形ABCD，则四边形ABCD 的形状是．22．如图，两块相同的三角板完全重合在一起，∠A=30°，AC=10，把上面一块绕直角顶点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，点C′在AC上，A′C ′与AB相交于点D，则C′D= .23．写一个以2和-3为根的一元二次方程.24．已知ABCD的周长为28，自顶点A作AE⊥DC于点E，AF⊥BC于点F. 若AE=3，AF=4，则CE－CF= .三、解答题（共48分）25．解方程（每小题5分，共10分）（1）3x2 －9x＋2=0（配方法）（2）（3x+2）（x+3）=x+1426．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．(1) 求证：BE = DF；(6分)(2) 若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状(不必说明理由)．(2分)27．近年来，某县为发展教育事业，加大了对教育经费的投入，2009年投入6000万元，2011年投入8640万元．（1）求2009年至2011年该县投入教育经费的年平均增长率；（6分）（2）该县预计2012年投入教育经费不低于9500万元，若继续保持前两年的平均增长率，该目标能否实现？请通过计算说明理由．（2分）28．已知：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，BC=2AD ，E 是BC 的中点，连接AE 、AC ．（1）点F 是DC 上一点，连接EF ，交AC 于点O （如图1），求证：△AOE ∽△COF ；（4分）（2）若点F 是DC 的中点，连接BD ，交AE 与点G （如图2），求证：四边形EFDG 是菱形．（6分）图 1OFDCE BA29．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=AB ，过点A 作AE ∥DB 交CB 的延长线于点E ．（1）求证：∠ABD=∠CBD ；（4分） （2）若∠C=2∠E ，求证：AB=DC ；（4分）（3）在（2）的条件下，sinC ＝45，AD ＝2，求四边形AEBD 的面积．（4分）附加题：在一次研究性学习活动中，某小组将两张互相重合的正方形纸片ABCD 和EFGH 的中心O 用图钉固定住，保持正方形ABCD 不动，顺时针旋转正方形EFGH ，如图所示. （1）小组成员经观察、测量，发现在旋转过程中，有许多有趣的结论. 下面是旋转角度小于90°时他们得到的一些猜想：①ME ＝MA ；②两张正方形纸片的重叠部分的面积为定值；③∠MON 保持45°不变.请你对这三个猜想做出判断（正确的在序号后的括号内打上“√”，错误的打上“×”）： ①（ ）；②（ ）；③（ ）.（2）小组成员还发现：（1）中的△EMN 的面积S 随着旋转角度∠AOE 的变化而变化. 请你指出在怎样的位置时△EMN 的面积S 取得最大值. （不必证明）NHME DA O（3）上面的三个猜想中若有正确的，请选择其中的一个给予证明；若都是错误的，请选择其一说明理由.答案：1—5 :BCCDB 6—10：CCADB 11—15：CBBDA 16—20：CBBAC21．将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上，按图示画线得到四边形ABCD，则四边形ABCD的形状是等腰梯形．22．如图，两块相同的三角板完全重合在一起，∠A=30°，AC=10，把上面一块绕直角顶点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，点C′在AC上，A′C ′与AB相交于点D，则C′D=2.5 .23．写一个以2和-3为根的一元二次方程 （x-2）(x+3)=0 . 24．已知ABCD 的周长为28，自顶点A 作AE ⊥DC 于点E ，AF ⊥BC 于点F. 若AE=3，AF=4，则 CE －CF= . 【答案】2＋3或2－3。