高一下期中数学试卷及答案
- 1 - 振阳公学2017—2018学年第二学期期中考试 高一数学试题 （考试时间：120分钟 试卷分值：150分） 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 在ABC中，若::1:2:3ABC，则::abc等于（ ） A.1:2:3 B.3:2:1 C.2:3:1 D.1:3:2 2.不等式x2-2x+3<0的解集是（ ） A.{x|－1＜x＜3} B.{x|－3＜x＜1} C.{x|x＜－3或x＞1} D. 3．数列na的通项公式32nan则31aa（ ） A．0 B．2 C．5 D．－1 4．等比数列｛an｝中，a3=7，前3项之和S3=21， 则公比q的值为（ ）
A．1 B．－21 C．1或－21 D．－1或21 5．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a12＋a13＝24，则7a为( )． A．6 B．7 C．8 D．9
6．若xy，满足约束条件03003xyxyx，，，≥≥≤≤则2zxy的最大值为（ ）
A．０ B．6 C．9 D．15 7．在△ABC 中，222abcbc ，则A等于（ ） A．60° B．45° C．120° D．30° 8．在△ABC中，若222sinsinsinABC，则△ABC的形状是（ ） A、钝角三角形 B、直角三角形 C、锐角三角形 D、不能确定 9．设0ba ，则下列不等式中不成立的是（ ）
A．ba11 B．aba11 C．ba D．ba
10．若称na1＋a2＋„＋an为n个正数a1＋a2＋„＋an的“均倒数”已知数列{an}的各项均为正，且其前n项的“均倒数”为12n－1则数列{an}的通项公式为( )． A．2n－1 B．4n－3 C．4n－1 D．4n－5
第Ⅱ卷 非选择题（共100分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上。
11．若数列na满足：11a，121nnaa,n=1,2,3,„.则naaa21 .
12．不等式022bxax的解集是(－21,31)则a＋b的值是 . 13．已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且边a=4，c=3，则△ABC的面积等于 _______ 14．已知数列na的前n项和23nnS，则数列na的通项公式为 .
15．在△ABC中∠C＝60°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边则cabcba＝ . 三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出必要的文字说明、证明过 - 2 -
程及演算步骤。 16．(本小题满分12分) 已知1)1()(2xaaxxf，
（I）当21a时，解不等式0)(xf； （II）若0a，解关于x的不等式0)(xf。
17．(本小题满分12分)数列}{na满足11a，111122nnaa（*Nn）。 （I）求证1na是等差数列； （II）若331613221nnaaaaaa，求n的取值范围。
18．(本小题满分12分) 已知ABC△的周长为21，且sinsin2sinABC． （I）求边AB的长；
（II）若ABC△的面积为1sin6C，求角C的度数． - 3 -
19．(本小题满分13分) 如图1渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上． （I）求渔船甲的速度； （II）求sin的值．
20．(本小题满分13分) 在等差数列}{na中，首项11a，数列}{nb满足,21nanb641321bbb （I）求数列}{na的通项公式； （II）求22211nnbababa
60 A
B
C 东 南 西
北 - 4 -
21．(本小题满分13分) 在等比数列{an}中，an＞0(n∈N*)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，a3与a5的等比中项为2. （I）求数列{an}的通项公式；
（II）设bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，当S11＋S22＋„＋Snn最大时，求n的值．
振阳公学2012—2013学年第二学期期中考试 高一数学试题答案 一、选择题 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D B C A C C A B B 二、填空题 11．12n ; 12．－14; 1333．; 14. 11,12,2nnnan; 15. 1;
16. 解：（I）当21a时，有不等式0125)(2xxxf，∴0)2)(21(xx， ∴不等式的解为：}221|{xxx„„„„„„„„5分 （II）∵不等式0))(1()(axaxxf - 5 -
当10a时，有aa1，∴不等式的解集为}1|{axax； 当1a时，有aa1，∴不等式的解集为}1|{axax； 当1a时，不等式的解为1x。„„„„„„„„12分 17. 解：（I）由111122nnaa可得：1112nnaa所以数列}1{na是等差数列，首项111a，公差2d„„„„„„„„2分 ∴ 12)1(111ndnaan ∴121nan „„„„„„„„6分
（II）∵)121121(21)12)(12(11nnnnaann ∴)12112151313111(2113221nnaaaaaann11(1)22121nnn ∴ 162133nn 解得16n 解得n的取值范围：*{|16,}nnnN„„„„„„12分 18. (本小题满分12分) 解：（I）由题意及正弦定理，得21ABBCAC ①， 2BCACAB ②， „„„„„„„„4分 两式相减，得1AB． „„„„„„„„„6分
（II）由ABC△的面积CCACBCsin61sin21，得31ACBC，„„„„8分
由余弦定理，得BCACABBCACC2cos222 „„„„„„„10分
2122)(22BCACABBCACBCAC 所以60C．„„„12分
19.(本小题满分13分)解：（I）依题意，120BAC，12AB，10220AC，BCA．在
△ABC中，由余弦定理，得 2222cosBCABACABACBAC „„„„„„„„4分
22122021220cos120784
．解得28BC．„„„5分
所以渔船甲的速度为142BC海里/小时． 答：渔船甲的速度为14海里/小时．„„„„„„„7分 （II）在△ABC中，因为12AB，120BAC，28BC，
BCA，由正弦定理，得 sinsin120ABBC．„„„„„„„10分
即312sin120332sin2814ABBC． 答：sin的值为3314． „„„„„12分 20．(本小题满分13分) nanba)21(,11， 【解】（1）设等差数列}{na的公差为d，
60 A
B
C 东 南 西
北 - 6 -
.)21(,)21(,21,)21(,12131211ddanbbbban 由641321bbb，解得d=1. .1)1(1nnan„„„„6分 （2）由（1）得.)21(nnb设nnnnnbababaT)21()21(3)21(2211322211 则.)21()21(3)21(2)21(1211432nnnT 两式相减得
.)21()21()21()21(2121132nnnnTnnnnnnnT2212)21(2211])21(1[21211
.
又 2.2221222111nnnnbababan又„„„„13分
21．(本小题满分13分) 解：(1)∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，∴a23＋2a3a5＋a25＝25. 又an＞0，∴a3＋a5＝5. 又a3与a5的等比中项为2，∴a3a5＝4. 而q∈(0,1)，∴a3＞a5.
∴a3＝4，a5＝1，q＝12，a1＝16. ∴an＝16×12n－1＝25－n. „„„„„6分 (2)bn＝log2an＝5－n， „„„„„8分 ∴bn＋1－bn＝－1， ∴{bn}是以4为首项，－1为公差的等差数列．
∴Sn＝n9－n2，Snn＝9－n2，„„„„„9分
∴当n≤8时，Snn＞0；当n＝9时，Snn＝0；当n＞9时，Snn＜0； ∴n＝8或9时，S11＋S22＋„＋Snn最大．„„„„„13分
高一数学期中试题及答案
高一数学期中试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x)=x^2-2x+3的最小值是m，则m的值为（）A. 2B. -1C. 1D. 02. 已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2-4x+3=0}，则A∩B=（）A. {1}B. {2}C. {1,2}D. {1,3}3. 若直线y=kx+b与直线y=-2x平行，则k的值为（）A. 2C. 0D. 14. 函数y=x^3-3x+1的零点个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，若f(a)=0，则a的值为（）A. 1B. 3C. 1或3D. 06. 已知等比数列{an}的首项a1=2，公比q=3，则a5的值为（）A. 162C. 729D. 14587. 已知向量a=(3,-2)，b=(-1,4)，则a·b的值为（）A. -10B. 10C. -2D. 28. 已知函数f(x)=x^2-6x+8，若f(1)=f(5)，则f(3)的值为（）A. 1B. 3C. 5D. 79. 已知双曲线x^2/9 - y^2/16 = 1的焦点为F1和F2，则|F1F2|的值为（）A. 10C. 5D. 210. 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，则a10的值为（）A. 19B. 9C. 11D. 21二、填空题（每题4分，共20分）11. 若函数f(x)=x^3-3x+1的单调递增区间为（）。
12. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5=15，则a3的值为（）。
13. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，若f(a)=0，则a的值为（）。
14. 已知向量a=(1,2)，b=(3,-1)，则|a+b|的值为（）。
15. 已知双曲线x^2/9 - y^2/16 = 1的渐近线方程为（）。
三、解答题（每题10分，共40分）16. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求f(x)的最小值及对应的x值。
陕西省西安市西工大附高2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷及参考答案
西工大附高2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷及参考答案一、单项选择题：（本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，1.复数11iz =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点所在象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知a ，b 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，其中正确的命题为（）A.a α∥，b a b α⊂⇒∥B.a α∥，b a b α⇒∥∥C.a α⊄，b α⊂，a b a α⇒∥∥ D.b α⊂，b αββ⇒∥∥3.已知向量(),1a x =，()2,1b =- ，若()()2a b a b +⊥- ，则实数x =（）A.2B.12-C.2-或4D.44.如图，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A.232+ B.8C.6D.223+5.复数z 满足1z =，则1i z --的最大值为（）A.21- B.1C.2D.21+6.已知ABC △中，()0BA BC AC +⋅= ，3ABACABAC+=，则此三角形为（）A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形7.在《九章算术•商功》中将上、下底面均为正方形的正棱台称为方亭，在方亭1111ABCD A B C D -中，1124AB A B ==，方亭的体积为283，则侧面11ABB A 的面积为（）A.32B.7C.22D.3118.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为1DD 的中点，过点D 作正方体截面使其与平面11A EC 平行，则该截面的面积为（）A.23B.26C.46D.43二、多项选择题：（本题共4小题，每小题3分，共12分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分.）9.下列说法中正确的是（）A.向量()12,3e =-，213,24e =-⎛⎫ ⎪⎝⎭ 不能作为平面内所有向量的一组基底B.非零向量a ，b ，满足a b > 且a 与b 同向，则a b>C.对于任意向量a ，b，必有a b a b+≤+ D.对于任意向量a 与b，不等式a b a b ⋅≤⋅ 恒成立10.下列命题中的真命题是（）A.设1z ，2z 是复数，若120z z -=，则12z z =B.设1z ，2z 是复数，若12z z =，则12z z =C.若z 为复数，则22z z =D.已知m ，n 为实数，1i -（i 为虚数单位）是关于x 的方程20x mx n -+=的一个根，则4m n +=11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 交于点O ，则（）A.1AD ∥平面1BOC B.三棱锥1C BOC -的体积为23C.三角形1C OB 是锐角三角形D.三棱锥1C ABC -的四个面都是直角三角形12.下列命题中正确的是（）A.用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台B.圆柱形容器底半径为5cm ，两直径为5cm 的玻璃球都浸没在容器的水中，若取出这两个小球，则容器内水面下降的高度为5cm3C.已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为45π，则该圆锥的体积为32213D.已知三棱锥A BCD -的所有棱长均为2，若球O 经过三棱锥A BCD -各棱的中点，则到O 的表面积为4π三、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分.）13.已知平面向量a ，b 满足2a = ，1b =，且a b ⋅= a 与b的夹角为______.14.在锐角ABC △中，角A 、B 所对的边长分别为a 、b ，若2sin a B =，则角A 等于______.15.设i 为虚数单位，则23101i i i i ++++⋅⋅⋅+=______.16.正四棱锥S ABCD -，点S 、A 、B 、C 、D 都在同一个球面上，则该球的体积为______.17.如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 、F 分别为1AA ，AB 的中点，点P 是正方体表面上的动点，若1C P ∥平面1CD EF ，则点P 在正方体表面上运动所形成的轨迹长度为______.18.在ABC △中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若229611b bccosA c +=，则角B 的最大值为______.四、解答题：（本题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
【必考题】高一数学下期中试卷带答案
①直线 AM 与 CC1 是相交直线； ②直线 AM 与 BN 是平行直线；
③直线 BN 与 MB1 是异面直线；
④直线 AM 与 DD1 是异面直线．
其中正确的结论的序号为________．
14．如图，在长方形 ABCD 中， AB 2 ， BC 1， E 为 DC 的中点， F 为线段 EC （端 点除外）上一动点，现将 AFD 沿 AF 折起，使平面 ABD 平面 ABC ，在平面 ABD 内 过点 D 作 DK AB， K 为垂足，设 AK t ，则 t 的取值范围是__________．
B．若 a / /b,b ,则 a / /
C．若 / /, a, b, 则 a / /b
D．若 a ,b , a //,b // ,则 / /
4．已知平面 / / 平面 ，直线 m ，直线 n ，点 Am ,点 B n ，记点 A、B 之
间的距离为 a ,点 A 到直线 n 的距离为 b,直线 m 和 n 的距离为 c,则
A． 7 2
B． 56
C．14
D． 64
10．设直线 a, b 是空间中两条不同的直线，平面, 是空间中两个不同的平面，则下列说
法正确的是（ ）
A．若 a ∥ ， b ∥ ，则 a ∥ b
B．若 a ∥ b ， b ∥ ，则 a ∥
C．若 a ∥ ， ∥ ，则 a ∥
D．若 ∥ ， a ，则 a ∥
A． 8π
B．12π
C． 20π
D． 24π
6．如图是某四面体 ABCD 水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为 1，则四
面体 ABCD 外接球的表面积为
A． 20
B． 125 6
C． 25
数学高一下期中经典测试卷(含答案解析)(1)
一、选择题1．(0分)[ID ：12425]设曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行，则a=（ ）A ．-4B ．14-C ．14D ．42．(0分)[ID ：12421]设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A ．若//l α，//l β，则//αβB ．若l α⊥，l β⊥，则//αβC ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥3．(0分)[ID ：12416]水平放置的ABC 的斜二测直观图如图所示，若112A C ＝，111A B C △的面积为22，则AB 的长为（ ）A ．2B ．217C ．2D ．84．(0分)[ID ：12398]已知定义在R 上的函数()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f 2b (log 5),c (2)f f m ,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a << 5．(0分)[ID ：12377]<九章算术>中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面,2,4ABC PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π6．(0分)[ID ：12356]在我国古代数学名著 九章算术 中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中， AB ⊥平面BCD ，且AB BC CD ==，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为（ ）A ．12B ．12-C 3D ．3 7．(0分)[ID ：12344]用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．正方形D ．正六边形 8．(0分)[ID ：12396]若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b9．(0分)[ID ：12395]正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，DD 1的中点，AB ＝4，则过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面周长为（ ）A ．62+45B ．62+25C ．32+45D ．32+25 10．(0分)[ID ：12387]α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）①若α//β，m ⊂α，则m//β； ②若m//α，n ⊂α，则m//n ；③若α⊥β，α∩β=n ，m ⊥n ，则m ⊥β ④若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β. A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 11．(0分)[ID ：12371]若方程21424x kx k +-=-+ 有两个相异的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．13,34⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．13,34⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．53,124⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．53,124 12．(0分)[ID ：12369]某锥体的三视图如图所示（单位：cm ），则该锥体的体积（单位：cm 3）是（ ）A ．13 B ．12 C ．16 D ．113．(0分)[ID ：12410]已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（ ） A 2 B 3C 2 D 2 14．(0分)[ID ：12397]若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( )A ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,3 15．(0分)[ID ：12360]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．64B ．643C ．16D ．163二、填空题16．(0分)[ID ：12478]在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，BD AC O ⋂=,M 是线段1D O 上的动点，过M 做平面1ACD 的垂线交平面1111D C B A 于点N ，则点N 到点A 的距离最小值是___________．17．(0分)[ID ：12463]已知圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是22，则圆M 与圆22:(1)(1)1N x y -+-=的位置关系是_________．18．(0分)[ID ：12462]若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为 .19．(0分)[ID ：12522]在三棱锥P ABC -中,PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，3AB =，4BC =，5PA =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为__________20．(0分)[ID ：12508]已知P 是抛物线24y x =上的动点，点Q 是圆22:(3)(3)1C x y ++-=上的动点，点R 是点P 在y 轴上的射影，则PQ PR +的最小值是____________．21．(0分)[ID ：12443]已知B 与点()1,2,3A 关于点()0,1,2M -对称，则点B 的坐标是______．22．(0分)[ID ：12431]已知棱长等于23的正方体1111ABCD A B C D -，它的外接球的球心为O ﹐点E 是AB 的中点，则过点E 的平面截球O 的截面面积的最小值为________.23．(0分)[ID ：12430]若直线:20l kx y --=与曲线()2:111C y x --=-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围________.24．(0分)[ID ：12432]如图所示，二面角l αβ--为60,,A B 是棱l 上的两点，,AC BD 分别在半平面内,αβ，且AC l ⊥，，4,6,8AB AC BD ===，则CD 的长______．25．(0分)[ID ：12450]已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点．如果2AB AC ==，22BC =，则球心到平面ABC 的距离为__________．三、解答题26．(0分)[ID ：12628]已知点()1,0P ，圆22:6440C x y x y +-++=.（1）若直线l 过点P 且到圆心C 的距离为2，求直线l 的方程；（2）设过点()0,1Q -的直线m 与圆C 交于A 、B 两点（m 的斜率为负），当||4AB =时，求以线段AB 为直径的圆的方程.27．(0分)[ID ：12597]已知点(3,3)M ，圆22:(1)(2)4C x y -+-=.（1）求过点M 且与圆C 相切的直线方程；（2）若直线40()ax y a -+=∈R 与圆C 相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，求实数a 的值.28．(0分)[ID ：12545]如图所示，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60,,ABC E F ∠=分别是,BC PB 的中点．（1）证明：AE ⊥平面PAD ；（2）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为3，求二面角B AF C --的正切值．29．(0分)[ID ：12622]已知圆22C (4)4x y +-=：，直线:(31)(1)40l m x m y ++--=.（1）求直线l 所过定点A 的坐标；（2）求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时直线l 的方程及最短弦长；（3）已知点M (-3,4)，在直线MC 上(C 为圆心)，存在定点N (异于点M )，满足：对于圆C 上任一点P ，都有||||PM PN 为一常数， 试求所有满足条件的点N 的坐标及该常数.30．(0分)[ID ：12542]如图，将棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -沿着相邻的三个面的对角线切去四个棱锥后得一四面体11A CB D -．（Ⅰ）求该四面体的体积；（Ⅱ）求该四面体外接球的表面积．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案 **科目模拟测试一、选择题1．D2．B3．B4．B5．C6．A7．A8．B9．A10．B11．D12．A13．A14．B15．D二、填空题16．【解析】连结易知面面而即在面内且点的轨迹是线段连结易知是等边三角形则当为中点时距离最小易知最小值为17．相交【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式求出的值结合两圆的位置关系进行判断即可【详解】解：圆的标准方程为则圆心为半径圆心到直线的距离圆截直线所得线段的长度是即则圆心为半径圆的圆心为半径则即两个18．2π【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r高为h底面积为S体积为V则有2πr=2⇒r=1π故底面面积S=πr2=π×(1π)2=1π故圆柱的体积V=Sh=1π×2=2π考点：圆柱的体积19．【解析】【分析】以为长宽高构建长方体则长方体的外接球是三棱锥的外接球由此能求出三棱锥的外接球的表面积【详解】由题意在三棱锥中平面以为长宽高构建长方体则长方体的外接球是三棱锥的外接球所以三棱锥的外接球20．【解析】根据抛物线的定义可知而的最小值是所以的最小值就是的最小值当三点共线时此时最小最小值是所以的最小值是3【点睛】本题考查了点和圆的位置关系以及抛物线的几何性质和最值问题考查了转化与化归能力圆外的21．【解析】【分析】根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果【详解】设B则所以所以的坐标为【点睛】本题考查空间直角坐标系中点坐标公式考查基本分析求解能力属基础题22．【解析】【分析】当过球内一点的截面与垂直时截面面积最小可求截面半径即可求出过点的平面截球的截面面积的最小值【详解】解：棱长等于的正方体它的外接球的半径为3当过点的平面与垂直时截面面积最小故答案为：【23．【解析】【分析】由题意可知曲线为圆的右半圆作出直线与曲线的图象可知直线是过点且斜率为的直线求出当直线与曲线相切时k的值利用数形结合思想可得出当直线与曲线有两个公共点时实数的取值范围【详解】对于直线则24．【解析】【分析】推导出两边平方可得的长【详解】二面角为是棱上的两点分别在半平面内且的长故答案为：【点睛】本题考查线段长的求法考查空间中线线线面面面间的位置关系等基础知识考查运算求解能力考查函数与方程25．【解析】设球的半径为表面积解得∵在中∴从圆心作平面的垂线垂足在斜边的中点处∴球心到平面的距离故答案为点睛：本题考查的知识点是空间点线面之间的距离计算其中根据球心距球半径解三角形我们可以求出所在平面截三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】求出原函数的导函数，得到函数在2x =时的导数，再由两直线平行与斜率的关系求得a 值．【详解】 解：由31x y x +=-，得()()2213411x x y x x ---=---'=， ∴2'|4x y ==-，又曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行， ∴4a -=-，即4a =．故选D ．【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查两直线平行与斜率的关系，是中档题．2．B解析：B【解析】A 中，,αβ也可能相交；B 中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C 中，,αβ也可能相交；D 中，l 也可能在平面β内.【考点定位】点线面的位置关系3．B解析：B【解析】【分析】依题意由111A B C △的面积为114B C =，所以8BC =，2AC =，根据勾股定理即可求AB ．【详解】依题意，因为111A B C △的面积为所以11111sin 452AC B C ︒=⨯⋅=11122B C ⨯⨯，解得114B C =， 所以8BC =，2AC =，又因为AC BC ⊥，由勾股定理得：AB ====故选B ．【点睛】本题考查直观图还原几何图形，属于简单题. 利用斜二测画法作直观图，主要注意两点：一是与x 轴平行的线段仍然与x '轴平行且相等；二是与y 轴平行的线段仍然与y '轴平行且长度减半. 4．B解析：B【解析】由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.5．C解析：C【解析】【分析】先作出三棱锥P ABC -的图像，根据P ABC -四个面都为直角三角形和PA ⊥平面ABC ，可知PC 中点即为球心，利用边的关系求出球的半径，再由24S R π=计算即得.【详解】三棱锥P ABC -如图所示，由于P ABC -四个面都为直角三角形，则ABC 是直角三角形，且2ABC π∠=，2223BC AC AB ∴=-=，又PA ⊥平面ABC ，且PAC 是直角三角形，∴球O 的直径2222PC R PA AB BC ==++2025==，5R ∴=，则球O 的表面积2420S R ππ==.故选：C【点睛】本题考查多面体外接球的表面积，是常考题型.6．A解析：A【解析】如图，分别取,,,BC CD AD BD 的中点,,,M N P Q ，连,,,MN NP PM PQ ，则,MN BD NP AC ，∴PNM ∠即为异面直线AC 和BD 所成的角（或其补角）．又由题意得PQ MQ ⊥，11,22PQ AB MQ CD ==. 设2AB BC CD ===，则2PM =又112,222MN BD NP AC ====, ∴PNM ∆为等边三角形，∴60PNM =︒∠，∴异面直线AC 与BD 所成角为60︒，其余弦值为12．选A ． 点睛：用几何法求空间角时遵循“一找、二证、三计算”的步骤，即首先根据题意作出所求的角，并给出证明，然后将所求的角转化为三角形的内角．解题时要注意空间角的范围，并结合解三角形的知识得到所求角的大小或其三角函数值． 7．A解析：A【解析】【分析】【详解】画出截面图形如图显然A 正三角形C 正方形：D 正六边形可以画出三角形但不是直角三角形；故选A ．用一个平面去截正方体，则截面的情况为：①截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；②截面为四边形时，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；③截面为五边形时，不可能是正五边形；④截面为六边形时，可以是正六边形．故可选A ．8．B解析：B【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gc log c ,log c lg a lg b==，01c <<，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用c y x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较. 9．A解析：A【解析】【分析】利用线面平行的判定与性质证明直线1BC 为过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线,从而证得1,,,B E F C 四点共面,然后在正方体中求等腰梯形1BEFC 的周长即可.【详解】作图如下:因为,E F 是棱1,AD DD 的中点,所以11////EF AD BC ,因为EF ⊄平面11BCC B ,1BC ⊂平面11BCC B ,所以//EF 平面11BCC B ，由线面平行的性质定理知,过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线l 平行于直线EF ,结合图形知,l 即为直线1BC ,过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面即为等腰梯形1BEFC ,因为正方体的棱长AB ＝4,所以11EF BE C F BC ====所以所求截面的周长为+故选:A【点睛】本题主要考查多面体的截面问题和线面平行的判定定理和性质定理；重点考查学生的空间想象能力;属于中档题.10．B解析：B【解析】【分析】在①中，由面面平行的性质定理得m ∥β；在②中，m 与n 平行或异面；在③中，m 与β相交、平行或m ⊂β；在④中，由n ⊥α，m ⊥α，得m ∥n ，由n ⊥β，得m ⊥β．【详解】由α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，知：在①中，若α∥β，m ⊂α，则由面面平行的性质定理得m ∥β，故①正确；在②中，若m ∥α，n ⊂α，则m 与n 平行或异面，故②错误；在③中，若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m 与β相交、平行或m ⊂β，故③错误； 在④中，若n ⊥α，m ⊥α，则m ∥n ，由n ⊥β，得m ⊥β，故④正确．故选：B ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，是中档题．11．D解析：D【解析】【分析】由题意可得，曲线22(1)4(1)x y y +-=与直线4(2)y k x -=-有2个交点，数形结合求得k 的范围.【详解】如图所示，化简曲线得到22(1)4(1)x y y +-=，表示以(0,1)为圆心，以2为半径的上半圆，直线化为4(2)y k x -=-，过定点(2,4)A ，设直线与半圆的切线为AD ，半圆的左端点为(2,1)B -，当AD AB k k k <，直线与半圆有两个交点，AD 与半圆相切时，2|124|21k k --+=+，解得512AD k =， 4132(2)4AB k -==--，所以53,124k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 故选：D【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题.12．A解析：A【解析】【分析】根据三视图知该几何体对应的三棱锥，结合图中数据求得三棱锥的体积．【详解】由题意可知三棱锥的直观图如图：三棱锥的体积为：111211323⨯⨯⨯⨯=． 故选：A ．【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，考查了空间想象能力，是基础题．13．A解析：A【解析】【分析】【详解】根据题意作出图形：设球心为O ，过ABC 三点的小圆的圆心为O 1，则OO 1⊥平面ABC ，延长CO 1交球于点D ，则SD ⊥平面ABC ．∵CO 1=233323⨯=， ∴116133OO =-=， ∴高SD=2OO 1=263，∵△ABC 是边长为1的正三角形，∴S △ABC =34， ∴132623436S ABC V -=⨯⨯=三棱锥．考点：棱锥与外接球，体积．【名师点睛】本题考查棱锥与外接球问题，首先我们要熟记一些特殊的几何体与外接球（内切球）的关系，如正方体（长方体）的外接球（内切球）球心是对角线的交点，正棱锥的外接球（内切球）球心在棱锥的高上，对一般棱锥来讲，外接球球心到名顶点距离相等，当问题难以考虑时，可减少点的个数，如先考虑到三个顶点的距离相等的点是三角形的外心，球心一定在过此点与此平面垂直的直线上．如直角三角形斜边中点到三顶点距离相等等等．14．B解析：B【解析】【分析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可【详解】解：函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩单调递增，()301373a a a a ⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤< 所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：B ．【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 15．D 解析：D【解析】根据三视图知几何体是：三棱锥D ABC -为棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：B 是棱的中点，由正方体的性质得，CD ⊥平面,ABC ABC ∆的面积12442S =⨯⨯=，所以该多面体的体积1164433V =⨯⨯=，故选D.二、填空题16．【解析】连结易知面面而即在面内且点的轨迹是线段连结易知是等边三角形则当为中点时距离最小易知最小值为6【解析】连结11B D ，易知面1ACD ⊥面11BDD B ，而1MN ACD ⊥，即1NM D O ⊥，NM 在面11BDD B 内，且点N 的轨迹是线段11B D ，连结1AB ，易知11AB D 是等边三角形，则当N 为11B D 中点时，NA 6 17．相交【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式求出的值结合两圆的位置关系进行判断即可【详解】解：圆的标准方程为则圆心为半径圆心到直线的距离圆截直线所得线段的长度是即则圆心为半径圆的圆心为半径则即两个【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式，求出a 的值，结合两圆的位置关系进行判断即可．【详解】解：圆的标准方程为222:()(0)M x y a a a +-=>，则圆心为(0,)a ，半径R a =，圆心到直线0x y +=的距离d =，圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是∴即24a =，2a =，则圆心为(0,2)M ，半径2R =，圆22:(1)(1)1N x y -+-=的圆心为(1,1)N ，半径1r =，则MN =3R r +=，1R r -=，R r MN R r ∴-<<+，即两个圆相交．故答案为：相交．【点睛】本题主要考查直线和圆相交的应用，以及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出a 的值是解决本题的关键．18．2π【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r 高为h 底面积为S 体积为V 则有2πr=2⇒r=1π故底面面积S=πr2=π×(1π)2=1π故圆柱的体积V=Sh=1π×2=2π考点：圆柱的体积解析：2π【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，底面积为S ，体积为V ，则有2πr =2⇒r =1π，故底面面积S =πr 2=π×(1π)2=1π，故圆柱的体积V =Sh =1π×2=2π. 考点：圆柱的体积 19．【解析】【分析】以为长宽高构建长方体则长方体的外接球是三棱锥的外接球由此能求出三棱锥的外接球的表面积【详解】由题意在三棱锥中平面以为长宽高构建长方体则长方体的外接球是三棱锥的外接球所以三棱锥的外接球 解析：50π【解析】以,,AB BC PA 为长宽高构建长方体，则长方体的外接球是三棱锥P ABC -的外接球，由此能求出三棱锥P ABC -的外接球的表面积.【详解】由题意，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面,,3,4,5ABC AB BC AB BC PA ⊥===， 以,,AB BC PA 为长宽高构建长方体，则长方体的外接球是三棱锥P ABC -的外接球， 所以三棱锥P ABC -的外接球的半径为22215234522R =++=， 所以三棱锥P ABC -的外接球的表面积为225244()502S R πππ==⨯=. 【点睛】 本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积的计算问题，其中解答中根据几何体的结构特征，以,,AB BC PA 为长宽高构建长方体，得到长方体的外接球是三棱锥P ABC -的外接球是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力.20．【解析】根据抛物线的定义可知而的最小值是所以的最小值就是的最小值当三点共线时此时最小最小值是所以的最小值是3【点睛】本题考查了点和圆的位置关系以及抛物线的几何性质和最值问题考查了转化与化归能力圆外的 解析：【解析】根据抛物线的定义，可知1PR PF =-，而PQ 的最小值是1PC -，所以PQ PR +的最小值就是2PF PC +-的最小值，当,,C P F 三点共线时，此时PF FC +最小，最小值是()()2231305CF =--+-= ，所以PQ PR +的最小值是3.【点睛】本题考查了点和圆的位置关系以及抛物线的几何性质和最值问题，考查了转化与化归能力，圆外的点和圆上的点最小值是点与圆心的距离减半径，最大值是距离加半径，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，这样转化后为抛物线上的点到两个定点的距离和的最小值，即三点共线时距离最小.21．【解析】【分析】根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果【详解】设B则所以所以的坐标为【点睛】本题考查空间直角坐标系中点坐标公式考查基本分析求解能力属基础题解析：()1,4,1--【解析】【分析】根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果.【详解】设B (),,x y z ,则1230,1,2222x y z +++=-==，所以1,4,1x y z =-=-=，所以B 的坐标为()1,4,1--．【点睛】本题考查空间直角坐标系中点坐标公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 22．【解析】【分析】当过球内一点的截面与垂直时截面面积最小可求截面半径即可求出过点的平面截球的截面面积的最小值【详解】解：棱长等于的正方体它的外接球的半径为3当过点的平面与垂直时截面面积最小故答案为：【 解析：3π.【解析】【分析】当过球内一点E 的截面与OE 垂直时，截面面积最小可求截面半径，即可求出过点E 的平面截球O 的截面面积的最小值．【详解】解：棱长等于1111ABCD A B C D -，它的外接球的半径为3，||OE =当过点E 的平面与OE 垂直时，截面面积最小，r 33S ππ=⨯=， 故答案为：3π．【点睛】本题考查过点E 的平面截球O 的截面面积的最小值及接体问题，找准量化关系是关键，属于中档题．23．【解析】【分析】由题意可知曲线为圆的右半圆作出直线与曲线的图象可知直线是过点且斜率为的直线求出当直线与曲线相切时k 的值利用数形结合思想可得出当直线与曲线有两个公共点时实数的取值范围【详解】对于直线则 解析：4,23⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】由题意可知，曲线C 为圆()()22111x y -+-=的右半圆，作出直线l 与曲线C 的图象，可知直线l 是过点()0,2-且斜率为k 的直线，求出当直线l 与曲线C 相切时k 的值，利用数形结合思想可得出当直线l 与曲线C 有两个公共点时实数k 的取值范围.【详解】对于直线:2l y kx =-，则直线l 是过点()0,2P -且斜率为k 的直线，对于曲线()2:111C y x --=-，则101x x -≥⇒≥，曲线C 的方程两边平方并整理得()()22111x y -+-=，则曲线C 为圆()()22111x y -+-=的右半圆，如下图所示：当直线l 与曲线C 相切时，0k >()222123111k k k k ---==++-，解得43k =， 当直线l 过点()1,0A 时，则有20k -=，解得2k =.结合图象可知，当4,23k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，直线l 与曲线C 有两个交点. 故答案为：4,23⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查利用直线与曲线的交点个数求参数，解题的关键就是将曲线C 化为半圆，利用数形结合思想求解，同时要找出直线与曲线相切时的临界位置，考查数形结合思想的应用，属于中等题.24．【解析】【分析】推导出两边平方可得的长【详解】二面角为是棱上的两点分别在半平面内且的长故答案为：【点睛】本题考查线段长的求法考查空间中线线线面面面间的位置关系等基础知识考查运算求解能力考查函数与方程 解析：217【解析】【分析】推导出CD CA AB BD =++，两边平方可得CD 的长．【详解】二面角l αβ--为60︒，A 、B 是棱l 上的两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内， 且AC l ⊥，BD l ⊥，4AB =，6AC =，8BD =，∴CD CA AB BD =++，∴22()CD CA AB BD =++2222CA AB BD CA BD =+++361664268cos12068=+++⨯⨯⨯︒=，CD ∴的长||68217CD ==．故答案为：217．【点睛】本题考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．25．【解析】设球的半径为表面积解得∵在中∴从圆心作平面的垂线垂足在斜边的中点处∴球心到平面的距离故答案为点睛：本题考查的知识点是空间点线面之间的距离计算其中根据球心距球半径解三角形我们可以求出所在平面截 3【解析】设球的半径为r ，表面积24π20πS r ==，解得5r =ABC 中，2AB AC ==，22BC =222AB AC BC +=，∴90BAC ∠=︒，从圆心作平面ABC 的垂线，垂足在斜边BC 的中点处，∴球心到平面ABC 的距离22132d r BC ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭3 点睛：本题考查的知识点是空间点、线、面之间的距离计算，其中根据球心距d ，球半径R ，解三角形我们可以求出ABC 所在平面截球所得圆（即ABC 的外接圆半径），构造直角三角形，满足勾股定理，我们即可求出球心到平面ABC 的距离是与球相关的距离问题常用方法.三、解答题26．（1）1x =或0y =；（2）()()22134x y -++=.【解析】【分析】（1）对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，利用圆心到直线l 的距离等于2可求得直线l 的方程；（2）先通过点到直线的距离及勾股定理可解得直线m 的斜率，然后将直线m 的方程与圆的方程联立，求出线段AB 的中点，作为圆心，并求出所求圆的半径，进而可得出所求圆的方程.【详解】（1）由题意知，圆C 的标准方程为()()22329x y -++=，∴圆心()3,2C -，半径3r =，①当直线l 的斜率k 存在时，设直线的方程为()01y k x -=-，即kx y k 0--=， 则圆心到直线l的距离为2d ==，0k ∴=.∴直线l 的方程为0y =；②当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，此时圆心C 到直线l 的距离为2，符合题意.综上所述，直线l 的方程为1x =或0y =；（2）依题意可设直线m 的方程为1y kx =-，即()100kx y k --=<，则圆心()3,2C -到直线m的距离d === 22320k k ∴+-=，解得12k =或2k =-， 又0k <，2k ∴=-，∴直线m 的方程为210x y ---=即210x y ++=，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立直线m 与圆C 的方程得()()22210329x y x y ++=⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 消去y 得251010x x -+=，122x x ∴+=，则线段AB 的中点的横坐标为1212x x +=，把1x =代入直线m 中得3y =-， 所以，线段AB 的中点的坐标为()1,3-， 由题意知，所求圆的半径为：122AB =， ∴以线段AB 为直径的圆的方程为：()()22134x y -++=.【点睛】本题考查利用圆心到直线的距离求直线方程，同时也考查了圆的方程的求解，涉及利用直线截圆所得弦长求参数，考查计算能力，属于中等题.27．（1）3x =或34210x y +-=；（2）34-. 【解析】【分析】（1）考虑切线的斜率是否存在，结合直线与圆相切的的条件d=r ，直接求解圆的切线方程即可．（2）利用圆的圆心距、半径及半弦长的关系，列出方程，求解a 即可．【详解】（1）由圆的方程得到圆心(1,2)，半径2r .当直线斜率不存在时，直线3x =与圆C 显然相切；当直线斜率存在时，设所求直线方程为3(3)y k x -=-，即330kx y k -+-=，2=，解得34k =-， ∴ 方程为33(3)4y x -=--，即34210x y +-=. 故过点M 且与圆C 相切的直线方程为3x =或34210x y +-=. （2）∵ 弦长AB为 2.圆心到直线40ax y -+=的距离d =∴2242⎛⎛⎫+= ⎝⎭， 解得34a =-. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查切线方程的求法，考查了垂径定理的应用，考查计算能力． 28．(1)见证明；(2) 【解析】【分析】(1)由PA ⊥面ABCD 可知PA AE ⊥，又可证AE BC ⊥，根据线面垂直的判定即可证明(2) 取AB 中点M ，作MN AF ⊥于N ，连CN ，可证MNC ∠是二面角B AF C --的平面角，解三角形即可求解.【详解】（1）PA ⊥面ABCD ，AE ⊂面ABCD ，PA AE ∴⊥； 又底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=，E 为BC 中点，,//,,AE BC AD BC AE AD ∴⊥∴⊥AE ∴⊥面PAD ；（2）AE 面PAD ，AHE ∴∠是EH 与面PAD 所成角，tan ,AE AHE AH PO AH∠=⊥时，AH 最小，tan AHE ∠最大，AHE ∠最大， 令2AB =，则3,1AE AH ==，在Rt AHD ∆中，2,30AD ADH =∠=， 在Rt PAD ∆中，233PA = PA ⊥面ABCD ，∴面PAB ⊥面ABCD ，且交线为AB ，取AB 中点M ，正ABC ∆中，,CM AB CM ⊥∴⊥面PAB ，作MN AF ⊥于N ，连CN ，由三垂线定理得CN AF ⊥，MNC ∠是二面角B AF C --的平面角.3CM =.在PAB ∆中，23,2,3BF AF AB ===边AF 上的高11,2BG MN ==， tan 23CM MNC MN∠==【点睛】 本题主要考查了线面垂直的判定，线面垂直的性质，二面角的求法，属于难题. 29．（1）A （1，3）；（2）直线l 方程为20x y -+=，最短弦长为223）在直线MC 上存在定点4,43N ⎛⎫-⎪⎝⎭，使得||||PM PN 为常数32． 【解析】【分析】（1）利用直线系方程的特征，直接求解直线l 过定点A 的坐标；（2）当AC ⊥l 时，所截得弦长最短，由题知C （0，4），2r，求出AC 的斜率，利用点到直线的距离，转化求解即可；（3）由题知，直线MC 的方程为4y =，假设存在定点N （t ，4）满足题意，则设。
高一下学期期中数学试卷-(解析版)
高一下学期期中数学试卷一、填空题（共12小题）.1．2021°角是第象限角．2．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为．3．已知tanθ＝2，则＝．4．函数y＝arcsin（2x﹣1）的定义域为．5．S n为数列{a n}的前n项的和，，则a n＝．6．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，为其终边上一点，则＝．7．已知，若，则sinα＝．8．如图所示，有一电视塔DC，在地面上一点A测得电视塔尖C的仰角是45°，再向塔底方向前进100米到达点B，此时测得电视塔尖C的仰角为60°，则此时电视塔的高度是米．（精确到0.1米）9．已知数列{a n}与{b n}都是等差数列，且a1＝1，b1＝4，a25+b25＝149，则数列{a n+b n}的前25项和等于．10．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则此数列的项数为．11．已知公式cos3θ＝4cos3θ﹣3cosθ，θ∈R，借助这个公式，我们可以求函数f（x）＝4x3﹣3x﹣2（x∈[0，]）的值域．则该函数的值域是．12．函数f（x）＝sin（ωx）（其中ω＞0）的图象与其对称轴在y轴右侧的交点从左到右依次记为A1，A2，A3，…，A n，…，在点列{A n}中存在四个不同的点成为某菱形的四个顶点，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数列记为{ωn}，则ω2020＝．二.选择题13．“tan x＝1”是“”成立的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要14．要得到函数y＝2sin（2x+）的图象，只需要将函数y＝2sin（2x﹣）的图象（）A．向右平移π个长度单位B．向左平移π个长度单位C．向右平移个长度单位D．向左平移个长度单位15．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S15＞0，S16＞0，则中最大项为（）A．B．C．D．16．函数f（x）＝sin x在区间（0，10π）上可找到n个不同数x1，x2，…，x n，使得＝＝…＝，则n的最大值等于（）A．8 B．9 C．10 D．11三.解答题17．已知，，，求：（1）tanα和tanβ的值；（2）tan（α﹣2β）的值．18．已知函数f（x）＝sin n x+cos x（x∈R）．（1）当n＝1时，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当n＝2时，求f（x）的最值并指出此时x的取值集合．19．在△ABC中，4sin B sin2（+）+cos2B＝1+．（1）求角B的度数；（2）若a＝4，S△＝5，求边b的值．20．在等差数列{a n}中，a3+a4＝﹣2，a5+a7＝8．（1）求{a n}的通项公式；（2）求{a n}的前n项和S n的最小值；（3）设，求数列{b n}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数．21．已知函数f（x）＝cos2x+2sin x cos x+l，x∈R．（1）把f（x）表示为A sin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的形式，并写出函数f（x）的最小正周期、值域；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）定义：对下任意实数x1、x2，max{x1、x2}＝．设g（x）＝max{a sin x，a cos x}．x ∈R（常数a＞0），若对于任意x1∈R，总存在x2∈R，使得g（x1）＝f（x2）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一.填空题1．2021°角是第三象限角．解：2021°＝360°×5+221°，是第三象限角．故答案为：三．2．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为2．解：设扇形的半径为r，则×2×r8＝2，∴扇形的弧长＝2×＝4．故答案为：2．3．已知tanθ＝2，则＝．解：∵tanθ＝2，∴＝＝．故答案为：．4．函数y＝arcsin（2x﹣1）的定义域为[0，1] ．解：设t＝2x﹣1，∵反正弦函数y＝arcsin t的定义域为[﹣1，1]，所以函数的定义域为：[0，7]．故答案为：[0，1]．5．S n为数列{a n}的前n项的和，，则a n＝．解：因为，所以a3＝S1＝2﹣3+1＝0，当n≥7时a n＝S n﹣S n﹣1＝（2n6﹣3n+1）﹣[2（n﹣1）2﹣3（n﹣5）+1]＝4n﹣5，∴a n＝．故答案为：．6．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，为其终边上一点，则＝．解：由题意可得cosα＝，则sin（）＝cosα＝．故答案为：﹣7．已知，若，则sinα＝．解：，所以α+∈（，），又，所以sin（α+）＝＝；＝sin（α+）cos﹣cos（α+）sin＝．故答案为：．8．如图所示，有一电视塔DC，在地面上一点A测得电视塔尖C的仰角是45°，再向塔底方向前进100米到达点B，此时测得电视塔尖C的仰角为60°，则此时电视塔的高度是236.6 米．（精确到0.1米）解：设电视塔的高度为x，则在Rt△BCD中，∠CBD＝60°，则，解得．由于，整理得，解得x≈236.5．故答案为：236.69．已知数列{a n}与{b n}都是等差数列，且a1＝1，b1＝4，a25+b25＝149，则数列{a n+b n}的前25项和等于1925 ．解：∵等差数列{a n}、{b n}满足a1＝1，b6＝4，a25+b25＝149，∴数列{a n+b n}的前25项和＝+＝+（a25+b25）＝+×149＝1925．故答案为：1925．10．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则此数列的项数为134 ．解：由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余7的数，故a n＝15n﹣14．得n≤135，故此数列的项数为135﹣1＝134．故答案为：13411．已知公式cos3θ＝4cos3θ﹣3cosθ，θ∈R，借助这个公式，我们可以求函数f（x）＝4x3﹣3x﹣2（x∈[0，]）的值域．则该函数的值域是[﹣3，﹣2] ．解：设x＝cosθ，．则f（x）＝4x4﹣3x﹣2＝4cos6θ﹣3cosθ﹣2＝cos3θ﹣2．∴cos3θ﹣5．∈[﹣3，﹣2]故答案为：[﹣3，﹣2]12．函数f（x）＝sin（ωx）（其中ω＞0）的图象与其对称轴在y轴右侧的交点从左到右依次记为A1，A2，A3，…，A n，…，在点列{A n}中存在四个不同的点成为某菱形的四个顶点，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数列记为{ωn}，则ω2020＝．解：根据题意作出图象如下，设f（x）＝sin（ωx）的最小正周期为，所以，即，解得；若A1A4A5A7为菱形，则若A1A k﹣1A k A m为菱形，则，解得，故答案为：．二.选择题13．“tan x＝1”是“”成立的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要解：tan x＝1⇔x＝kπ+，k∈Z．∴“tan x＝1”是“”成立的必要不充分条件．故选：B．14．要得到函数y＝2sin（2x+）的图象，只需要将函数y＝2sin（2x﹣）的图象（）A．向右平移π个长度单位B．向左平移π个长度单位C．向右平移个长度单位D．向左平移个长度单位解：只需要将函数y＝2sin（2x﹣）的图象向左平移个长度单位，可得函数y＝3sin[2（x+）﹣]＝2sin（2x+）的图象，故选：D．15．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S15＞0，S16＞0，则中最大项为（）A．B．C．D．解：∵等差数列前n项和S n＝•n2+（a1﹣）n，由S15＝15a8＞0，S16＝16×＜0可得：故Sn最大值为S8．故S n最大且a n取最小正值时，有最大值，故选：D．16．函数f（x）＝sin x在区间（0，10π）上可找到n个不同数x1，x2，…，x n，使得＝＝…＝，则n的最大值等于（）A．8 B．9 C．10 D．11解：设＝＝…＝＝k，则条件等价为f（x）＝kx，的根的个数，由图象可知y＝kx与函数f（x）最多有10个交点，故选：C．三.解答题17．已知，，，求：（1）tanα和tanβ的值；（2）tan（α﹣2β）的值．解：（1）∵，，∴cosα＝﹣＝﹣，∵，∴．∴tan（α﹣2β）＝＝＝．18．已知函数f（x）＝sin n x+cos x（x∈R）．（1）当n＝1时，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当n＝2时，求f（x）的最值并指出此时x的取值集合．解：（1）当n＝1时，f（x）＝sin x+cos x＝（sin x+cos x）＝cos（x）．∴f（x）≠f（﹣x）≠﹣f（﹣x），∴f（x）为非奇非偶函数；当时，，此时x的取值集合是；当cos x＝﹣1时，f（x）min＝﹣1，此时x的取值集合是{x|x＝2kπ+π，k∈Z}．19．在△ABC中，4sin B sin2（+）+cos2B＝1+．（1）求角B的度数；（2）若a＝4，S△＝5，求边b的值．解：（1）由4sin B•sin2（+）+cos2B＝1+，得：2sin B•[7﹣cos（+B）]+1﹣2sin2B＝1+，可得sin B＝，∴B＝，或B＝；∴ac sin B＝×4×c×＝5，解之得c＝6，∴当B＝时，b＝＝；即边b的值等于或．20．在等差数列{a n}中，a3+a4＝﹣2，a5+a7＝8．（1）求{a n}的通项公式；（2）求{a n}的前n项和S n的最小值；（3）设，求数列{b n}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+a4＝﹣2，a5+a7＝8．∴2a1+5d＝﹣2，2a1+10d＝8，∴a n＝﹣6+2（n﹣1）＝2n﹣8．∴当n＝2或4时，S n取得最小值，（3），∴数列{b n}的前10项和＝﹣2﹣1﹣1+8+0+0+0+1+2+8＝2．21．已知函数f（x）＝cos2x+2sin x cos x+l，x∈R．（1）把f（x）表示为A sin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的形式，并写出函数f（x）的最小正周期、值域；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）定义：对下任意实数x1、x2，max{x1、x2}＝．设g（x）＝max{a sin x，a cos x}．x ∈R（常数a＞0），若对于任意x1∈R，总存在x2∈R，使得g（x1）＝f（x2）恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）函数f（x）＝cos2x+2sin x cos x+l＝cos2x+sin2x+1＝2sin（2x+）+6，x∈R；∴f（x）的最小正周期为T＝＝π，值域为[﹣1，3]；解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，（3）若对于任意x1∈R，总存在x2∈R，使得g（x2）＝f（x2）恒成立，由g（x）的值域为[﹣a，a]，f（x）的值域为[﹣1，8]，解得0＜a≤；所以实数a的取值范围是（0，]．。
浙江省浙南名校联盟2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题+答案
绝密★考试结束前2022学年第二学期浙南名校联盟期中联考高一年级数学学科试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4．考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知复数z 满足1i2i 1iz --=+(i 为虚数单位)，则z 的虚部是()A.1B.iC.i -D.1-2.在ABC △中，已知命题p :ABC △为钝角三角形，命题q :0AB BC ⋅>，则p 是q 的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.用半径为3cm ，圆心角为23π的扇形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为()A.1cmB.2cmC.2cmD.22cm 4.在ABC △中，7=AB ，8=BC ，3C π∠=，则边AC 的长为()A.3B.5C.3或5D.以上都不对5.设m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列命题正确的是() A.m n ⊥，//n α，则m α⊥ B.//m β，βα⊥，则m α⊥C.m α⊥，αβ⊥，则//m β D.m α⊥，m β⊥，则//αβ6.已知3sin()65πα+=，则sin(2)6πα-的值为()A.725B.725-C.2425D.2425-7.记0.10.20.50.20.1(2)a b c -===，，，则()A.a b c >>B.b c a >>C.a c b >>D.c a b >>8.有一直角转弯的走廊(两侧与顶部都封闭)，已知走廊的宽度与高度都是3米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊，设不计硬管粗细可通过的最大极限长度为l 米.为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为0.9m l =米，则m 的值是()A.8110B.27210C.2725D.62第8题图二、选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市海淀区年高一下期中练习数学试卷及答案(必备优质)
海淀区高一年级第二学期期中练习数 学 2015.4学校 班级 姓名 成绩本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共10小题， 每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.1.cos45cos15sin 45sin15-=A． BC ．12-D ．122. 已知1tan 3α=，则tan2α=A.34B.38C.1D.12 3. 下列等式中恒成立的是AA. ππ1sin cos()cos sin()662αααα+-+=-B.π1tan tan(+)41tan ααα-=+C. πsin()sin cos 4ααα+=+ D.sin cos sin ααα=4.若数列{}n a 满足212n n a -=，则A. 数列{}n a 不是等比数列B. 数列{}n a 是公比为4的等比数列C. 数列{}n a 是公比为2的等比数列D. 数列{}n a 是公比为1的等比数列 5.在△ABC 中，∠B A. 45° 6.1135(2n -+++++-A.21n -B. 7. 已知△ABC A ．310C ．358.已知钝角．．三角形ABC 差数列的公差d A.02d << B. 1sin10= A ．2 B ．10.已知数列{}n a A.C.二、填空题：本大题共611.若等差数列{}n a n 12.在△ABC 中，∠B ＝60°，a ＝2，c ＝3，则b =_________.13.若等比数列{}n a 中，122,6a a ==，则12n a a a +++=_________.14.已知数列{}n a 满足1112n n a a --=（2,n n ≥∈N ），且313a =，则1a =___________,数列{}n a 的通项公式为___________.15.在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若A B >，给出下列四个结论： ①a b >；②sin sin A B >；③cos cos A B <；④tan tan A B >. 其中所有正确结论的序号是_______________.16.已知数列{}n a 满足1n n a a n -+=（2,n n ≥∈N ），且11a =-，则10a =___________,其前21k -*()k ∈N 项和21k S -=_______________.三、解答题:本大题共4小题，共42分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题共9分）已知等差数列{}n a 满足39a =-，公差3d =.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）数列{}n a 的前n 项和n S 是否存在最小值？若存在，求出n S 的最小值及此时n 的值；若不存在，请说明理由.18.（本小题共12分）已知函数2()2cos (1tan )f x x x =+. （Ⅰ）求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]4上的值域.19. （本小题共11分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24n n a S =-()*n ∈N . （Ⅰ）求1a ；（Ⅱ）求证：数列{}n a 是等比数列；（Ⅲ）若数列{}n b 满足22n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .20. （本小题共10分）如图所示，在山顶P 点已测得三点A ，B ，C 的俯角分别为,,αβγ，其中A ，B ，C 为山脚两侧共线的三点，现欲沿直线AC 开通穿山隧道，为了求出隧道DE 的长，至少还需要直接测量出,,AD EB BC 中的哪些线段长？把你上一问指出的需要测量的线段长和已测得的角度作为已知量，写出计算隧道DE 的步骤.解1：步骤1：还需要直接测量的线段为A γαβ步骤2：计算线段 计算步骤：步骤3：计算线段 计算步骤：步骤4：计算线段 计算步骤：海淀区高一年级第二学期期中练习答案数 学 2015.4学校 班级 姓名 成绩本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共10小题， 每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.DAABA ACCDB二、填空题：本大题共6小题， 每小题3分，共18分.11.2- 13.31n - 14.1-，123n - 15.①②③ 16. 7，22k - 说明：两空的题目第一空1分，第二空2分；第15题对一个一分，有错误选支0分三、解答题:本大题共4小题，共42分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题共9分） 解：（Ⅰ）因为{}n a 是等差数列，且39a =-，公差3d =，所以由192a d -=+可得115a =-，-----------------------------------------------------------------1分所以数列{}n a 的通项公式为153(1)n a n =-+-，即318n a n =-.-------------------------3分（Ⅱ）法1：由等差数列求和公式可得(1)1532n n n S n -=-+⨯--------------------------5分 即223311121(11)[()]2224n S n n n =-=------------------------------------------------------6分 所以，当5n =或6时，n S 取得最小值45-. -------------------------------------------------9分 法2：因为318n a n =-，所以，当6n <时，0n a <；当6n =时，0n a =；当6n >时，0n a >，即当16n <<时，1n n S S -<；当6n =时，1n n S S -=；当6n >时，1n n S S ->，--------6分 所以，当5n =或6时，n S 取得最小值45-. --------------------------------------------------9分 18.（本小题共12分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为π{|π,}2x x k k ≠+∈Z .-------------------------------------2分（Ⅱ）因为2()2cos (1tan )f x x x =+22cos 2sin cos x x x =+-------------------------------------------------------4分1cos2sin2x x =++------------------------------------------------------------8分π1)4x=+-----------------------------------------------------------10分因为π[0,]4x∈，所以ππ3π2[,]444x+∈，--------------------------------------------------------11分所以()f x在区间π[0,]4上的值域为[2,1+.------------------------------------------------12分19.（本小题共11分）解：（Ⅰ）由24n na S=-()*n∈N可得1124a S=-，即1124a a=-，-------------------1分解得14a=-. ----------------------------------------------------------------2分（Ⅱ）由24n na S=-()*n∈N可得1124,1,n na S n n--=->∈N，--------------------------3分所以1122,1,n n n na a S S n n---=->∈N，即122,1,n n na a a n n--=>∈N，----------------4分整理得12,1n na a n n-=>∈N，--------------------------------------5分因为140a=-≠，所以数列{}n a是公比为2的等比数列.----------------------------------------------------------6分（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）可得数列{}n a是以4-为首项且公比为2的等比数列，所以11422n nna-+=-⨯=-，----------------------------------------------------------------7分所以212222nn nb a n n+=+=-+，---------------------------------------------------------------8分所以数列{}n b的前n项和n T是一个等比数列与等差数列的前n项和的和-----------------9分由等比数列和等差数列的前n项和公式可得8(14)(22)142nnn nT--+=+-----------------------------------------------------------11分28(41)3nn n=+-⨯-.20.（本小题共10分）解1：步骤1：还需要直接测量的线段为,,AD EB BC-------------------------------------------2分步骤2：计算线段PC的长.计算步骤：在PBC∆中BPCβγ∠=-，π,PBC PCBβγ∠=-∠=；---------------3分由正弦定理可得sin sinBC PCBPC PBC=∠∠， --------------------------------5分整理可得sinsin()BCPCββγ=-；---------------------------------------------------6分Aγαβ步骤3：计算线段AC 的长.计算步骤：在PAC ∆中，PAC α∠=，πAPC αγ∠=--，由正弦定理sin sin AC PCAPC PAC =∠∠， ---------------------------------------8分 整理可得sin()sin PC AC αγα+=； -----------------------------------------------9分步骤4：计算线段DE 的长.sin sin()sin sin()BC DE AC AD EB BC AD EB BC βαγαβγ+=---=----.-----------10分解2：步骤1：还需要直接测量的线段为,,AD BE BC --------------------------------------------2分步骤2：计算线段PB 的长.计算步骤：在PBC ∆中BPC βγ∠=-，π,PBC PCB βγ∠=-∠=；----------------3分由正弦定理可得sin sin BC PBBPC PCB=∠∠， ---------------------------------5分 整理可得s ins i n(BC PB γβγ=-；-----------------------------------------------------6分 步骤3：计算线段AB 的长.计算步骤：在PAB ∆中，PAB α∠=，πAPB αβ∠=--，由正弦定理sin sin AB PBAPB PAB =∠∠， ---------------------------------------8分 整理可得sin()sin PB AB αβα+=；------------------------------------------------9分步骤4：计算线段DE 的长.。
天津市部分区2022-2023学年高一下学期期中 数学试题及参考答案
天津市部分区2022-2023学年高一下学期期中数学试题及参考答案本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时100分钟。
祝各位考生考试顺利！第I 卷参考公式:●圆柱的体积公式V=Sh ，其中S 表示圆柱的底面面积，h 表示圆柱的高．●圆锥的体积公式V=31Sh ，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高．●棱锥的体积公式V=31Sh ，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高．●球的表面积公式S=4πR 2，其中R 表示球的半径．一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量a =(2,2)，b =(1,-1)，则=-b a （）A ．(3,0)B ．(3,1)C ．(1,3)D ．(-1,2)2．已知棱长为2的正方体的顶点都在球面上，则该球的表面积为（）A ．πB ．2πC ．4πD ．12π3．在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ．若a=1，b=2，c=7，则C=（）A ．120°B ．90°C ．60°D ．45°4．已知点P(2,0)，Q(1,1)，向量EF =(λ,2)，若EF PQ ⋅=0，则实数λ的值为（）A ．21B ．21-C ．2D ．15．在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ．若a=l ，b=2，B=4π，则A=（）A ．6πB ．3πC ．65πD ．6π或65π6．已知向量a =(-1,2)，b =(1,1)，则a 在b 上的投影向量为（）A ．22B ．(-1,2)C ．(22,22)D ．(2121，)7．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中A 是圆锥的顶点，B,C 分别是圆柱的上､下底面圆的圆心，且AB=1，AC=3，底面圆的半径为1，则该陀螺的体积是（）A ．πB ．2πC ．37πD ．310π8．已知向量a =(m,1)，b =(4,m)，若a 与b 方向相反，则=+b a （）A ．171022++m m B ．5C ．25D ．59．在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ．已知△ABC 的面积为S ，2a+b=4，c(a +b -c)(sin A +sin B +sin C)=6S ，CA =3CD -2CB ，则CD 的最小值为（）A ．2B ．322C ．3D ．332第II 卷二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分．10．i 是虚数单位，复数ii+-12=____________．11．直线l 上所有点都在平面α内，可以用符号表示为____________．12．若A(1,1)，B(2,-1)，C(a,b)三点共线，则2a+b=____________．13．在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2，AD=1，AA 1=3，则异面直线A 1C 1与AD 1所成角的余弦值为____________．14．在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ．已知a 2+b 2-c 2=ab ，则C=______________，若c=2，则△ABC 外接圆的半径为____________．15．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，AE =AC 31;则BE DE ⋅=______________；若F 为线段BD 上的动点则FB FE ⋅的最小值为____________．三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（本小题满分11分）已知向量a ，b 满足，=3，a 与b 的夹角为32π．（I +的值；（II ）若()()b a k b a -⊥+2，求实数k 的值．17．（本小题满分12分）如图，三棱锥S-ABC 的底面ABC 和侧面SAB 都是边长为2的等边三角形，D,E 分别是AB,AC 的中点，SD ⊥CD ．（I ）证明：BC //平面SDE ；（II ）求三棱锥S-ABC 的体积．18．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ．已知a=3+3，c=6+2，A=32π．（I ）求C 的值；（II ）求b 的值．19．（本小题满分12分）如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2，AD=AA 1=1．（I ）求证：B 1C ⊥BD 1（II ）求直线AB 1与平面ABC 1D 1所成角的正弦值．20．（本小题满分13分）在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ．向量()b a m ,3=，()B A n cos ,sin =，且n m ∥．（I ）求B 的值；（II ）若a=2，b=7，求△ABC 的面积．参考答案一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分。
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市高一下学期期中数学试题-含答案
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市高一下学期期中数学试题一、单选题1．在空间中，下列命题不正确的是（ ）A ．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点．且在一条直线上B ．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线C ．梯形可确定一个平面D ．任意三点能确定一个平面【答案】D【分析】利用平面的相关公理和推论逐项进行判断即可求解.【详解】对于选项A ，若两个平面有一个公共点，则它们有经过该公共点的一条直线，即两平面有无数个公共点，故选项A 正确；对于选项B ，若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线，否则，若存在三点共线，则问题转化为一条直线与直线外一点，则四点共面，故选项B 正确；对于选项C ，因为两条平行直线确定一个平面，所以梯形可确定一个平面，故选项C 正确；对于选项D ，共线的三点不能确定一个平面，故选项D 错误；故选：D.2．已知复数满足，则的虚部为（ ）z (2i)24i z +=-z A ．B ．C ．D ．22i -2i 2-【答案】C【分析】计算，确定虚部得到答案.2i z =-【详解】，故虚部为.()()()()24i 2i 24i 10i2i 2i 2i 2i 5z ----====-++-2-故选：C3．在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a，b，则角A 为ABC π3B =（ ）A ．B ．C ．D ．或3π4π3π4π43π4【答案】C【分析】由正弦定理即可求解.【详解】由正弦定理，得sin sin a b A B =sin sin a B A b ===又，所以，所以为锐角，所以．a b <A B <A π4A =故选：C ．4．向量，， 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若为与同方向的单位向量，a b c ec 则（ ）()a b e+⋅ A ．1.5B ．2C ．-4.5D ．-3【答案】D【分析】首先建系，确定向量的坐标，根据向量数量积的坐标表示求解.【详解】如图，建立平面直角坐标系，由图可知，，，()1,1a =-()2,1b =--()1,0e =则，所以.()3,0a b +=- ()3a b e +⋅=- 故选：D5．在中，角所对的边分别为，已知，则下列结论正确的是（ ）ABC ,,A B C ,,a b c ::3:3:4a b c =A ．B ．sin :sin :sin 4:3:3A B C =0CA CB ⋅< C ．若，则的面积是D．若，则8c =ABC 7b c +=ABC 【答案】C【分析】根据题意，由正弦定理可判定A 错误；由余弦定理求得，结合向量的数量积的定cos 0C >义，可判定B 错误；由三角形的面积公式，可判定C 正确；由正弦定理求得外接圆的半径，可判定D 错误.【详解】由题意，在中，满足，ABC ::3:3:4a b c =对于A 中，由正弦定理，所以，sin sin sin a b cA B C ==sin :sin :sin 3:3:4A B C =所以A 不正确；对于B 中，设三边的长分别为，ABC 3,3,4a m b m c m ===由余弦定理得，222(3)(3)(4)1cos 02339m m m C m m +-==>⨯⨯所以，所以B 错误；cos 0CA CB ab C ⋅=> 对于C 中，若，可得，可得，则8c =6a b ==1cos 9C =sinC =所以的面积为C 正确；ABC 11sin 6622S ab C ==⨯⨯=对于D 中，设三边的长分别为，ABC 3,3,4a m b m c m ===由，即，可得，所以，7b c +=347m m +=1m =4c=设外接圆的半径为，则，ABC R 2sinc R C ===所以D 错误.R 故选：C.6．已知非零向量，满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量a b ()()a b a b +⊥- b a 12a -与的夹角是（ ）a bA ．B ．C ．D ．6π3π23π56π【答案】C【分析】运用数量积和投影向量的定义求解.【详解】由题意，，则，即 ，()()a b a b +⋅-=22a b = a b=设与的夹角为 ，则在方向的投影，a b θb a 1cos 2a b aa θ⋅=-，则；[]1cos ,0,π2θθ∴=-∈2π3θ=故选：C.7．=（ ）23sin 502cos 20--A ．BCD ．212【答案】D【分析】根据降幂公式及变名的诱导公式进行化简.【详解】.()()223sin 5023sin 503sin 503sin 5021cos 402cos 203cos 403sin 5022----====+----故选：D.8．已知函数，若存在实数，满足 ，且()cos f x x=12,,,n x x x ⋅⋅⋅1204πn x x x ≤<<⋅⋅⋅<≤，， ，，则n 的最小值为()()()()()()122318n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=2n ≥*N n ∈（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B 【分析】由的性质，根据的特()cos f x x=()()()()()()122318n n f x f x f x f x f x f x --+-++-= 点以及题意求解.【详解】由题意，n 要尽可能地小，则等式中，每一项要尽可能地大，()()()()()()122318n n f x f x f x f x f x f x --+-++-= ，显然时，n 最小，()()()1cos ,2n n f x x f x f x -=∴-≤ ()()12n n f x f x --= ，即，()()()()()()122312n n f x f x f x f x f x f x --=-==-= 814,52n n -==∴=此时不妨取 ，满足题意；123450,π,2π,3π,4πx x x x x =====故选：B.二、多选题9．如图，正方形ABCD 的边长为3，点E 是线段AB 的靠近点B 的一个三等分点，若边DC 上存在点F ，使得成立，则下列选项中符合题意的的值有（ ）EA EF λ⋅=λA ．B ．1C ．5D ．02-【答案】ABD【分析】以为基底，设，用基底表示出，根据x 的范围可求得,BA BC (01)CF xCD x =≤≤ EA EF ⋅ 的范围即可.λ【详解】记，设，,BA a BC b ==(01)CF xCD x =≤≤ 由题知，，3,0a b a b ==⋅=又因为，211,333EA a EF EB BC CF a b xa x a b⎛⎫==++=-++=-+ ⎪⎝⎭ 所以，22121623333EA EF a x a b x a x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-+=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 因为，所以，即.01x ≤≤24EA EF -≤⋅≤24λ-≤≤故选：ABD.10．已知是函数的一个周期，则的取值可能为（ ）π()2sin cos 066y x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=++≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ωA ．﹣2B ．1C ．D ．312【答案】ABD【分析】根据三角恒等变换公式进行化简，根据周期函数定义求出的表达式即可求解．ω【详解】依题意得，2sin cos sin 2663y x x x πππωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由周期函数定义得：，即： ()()f x f x π+=()sin 2sin 233x x ππωπω⎡⎤⎛⎫++=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭即：sin 22sin 233x x ππωωπω⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222233x x k k Zππωωπωπ∴++=++∈，解得：k k Zω=∈，又0ω≠ 或1ω∴=32ω=-，故选：ABD ．11．在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若，内角A 的平分线交BC 于点ABC cos b c A =D ，AD =1，，以下结论正确的是（ ）1cos 8A =A ．B ．C ．D ．32AC =6AB =18CD BD =ABD △【答案】BCD【分析】首先根据题意结合余弦定理可得，并根据二倍角公式得到，依次计算π2C =3cos 4CAD ∠=的值，根据面积公式，分析判断选项C 和D.,AC AB 【详解】在中，ABC ∵，则，整理得，所以，cos b c A =2222b c a b c bc +-=⨯222b ac +=π2C =由二倍角公式得，解得，21cos 2cos 18BAC CAD ∠∠=-=3cos 4CAD ∠=在中，则，故选项A 错误；Rt ACD △3cos 4AC AD CAD ∠==在中，则，故选项B 正确；Rt ABC △3461cos 8ACAB BAC ===∠由题意可知：，即，CAD BAD ∠=∠sin sin CAD BAD ∠=∠由，解得，故选项C 正确；11sin 2211sin 22ACDADB CD AC AC AD CADS S BD AC ABAD BAD∠∠⋅⋅⋅==⋅⋅⋅ 18CD AC BD AB ==在中，ABD △∵，则3cos 4BAD ∠=sin BAD ∠==∴D 正确.11sin 1622ABD S AD AB BAD ∠=⋅⋅=⨯⨯= 故选：BCD.12．如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相涉透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律，其平面图形记为图乙中的正八边形，其中，则（ ）ABCDEFGH 2OA =A B ．0OE OG ++= OA OD ⋅=-C ．D ．4AH EH +=4+=+AH GH 【答案】ABC【分析】分别以所在的直线为轴和轴，建立的平面直角坐标系，作，结合向,HD BF x y AM HD ⊥量的坐标运算，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，分别以所在的直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系，,HD BF x y 因为正八边形，所以ABCDEFGH AOH HOG AOB EOF FOG∠∠∠∠∠====，DOE COB COD =∠=∠=∠360458==作，则，AM HD ⊥OM AM =因为，所以，2OA =OM AM ==(A同理可得其余各点坐标，，，，，，()0,2B -E (G ()2,0D ()2,0H -对于A ，故A 正确；(0(0OE OG ++=-=对于B 中，，故B 正确；(2(0OA OD ⋅=⨯+⨯=-对于C 中，，，，(2AH =- (2EH =-(4,0)AH EH +=-所以，故C 正确；4AH +=对于D 中，，，，(2AH =- (2GH =-(4AH GH +=-+，故D 不正确.4AH +=- 故选：ABC.三、填空题13．若复数为纯虚数，则=___________.i1i a +-2ia +【分析】由复数除法法则化简后求得，再由复数模的定义求解．a 【详解】为纯虚数，则且，i (i)(1i)1(1)i 11i 1i (1i)(1i)222a a a a a a +++-++-+===+--+102a -=102a +≠∴，1a =，2+14．圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60°，底面圆的半径为6，则圆锥的侧面积为______．【答案】216π【分析】运用扇形的弧长公式以及圆锥的侧面积公式计算即可求解.【详解】设圆锥的底面周长为，母线长为，则，c l 2π612πc =⨯=因为圆锥侧面展开图扇形的圆心角为，60︒所以，解得，π12π3c l l ==36l =则圆锥的侧面积为，113612π216π22lc =⨯⨯=故答案为：.216π四、双空题15．已知，是单位向量，且，设向量，当时，______；1e 2e 120e e ⋅=12a e e λμ=+ 1λμ==1,a e = 当时，的最小值为______．4λμ+=1a e -【答案】/4π45︒【分析】求出，根据夹角公式可得，将表示为关于的二次函数，求出最小值即可.a1,a e 1a e - λ【详解】当时，，1λμ==12a e e =+222112222a ee e e =+⋅+= ，()1211111cos ,e e e a e a e a e a e +⋅⋅====⨯⨯因为，所以；[]1,0,πa e ∈1π,4a e =当时，，4λμ+=()()()11212114a e e e e e λμλλ-=-+=-+-则，()()222215914222a eλλλ⎛⎫-=-+-=-+⎪⎝⎭ 当时，的最小值为，52λ=1a e - 故答案为：π4五、填空题16．在中，若AC=2，，，点D 为AB 边上的动点，有如下结论：ABC =60B ∠︒45A ∠=︒①不存在点D 使得为等边三角形 ②存在点D 使得BCD △1cos 3CDA ∠=③存在点D使得④存在点D 使得CD =1:BD DC =上述结论中正确的有______【答案】②③【分析】运用三角形的正弦定理和三角形的内角和定理、边角关系，结合正弦函数的性质，对选项一一判断，即可得到结论．【详解】若△BCD 为边长为x 的等边三角形，可得＝解得x 2，sin 45x ︒2sin 60︒满足AC ＞CD ，所以存在点D 使得为等边三角形，则①不正确；BCD △因为cos ∠CDA ＝＜＝cos60°，且0°＜∠CDA ＜180°，1312可得∠CDA ＞B ，所以AB 上存在点D ，则②正确；由＝，BD DC =：：sin sin 60BCD ︒∠BDDC可得，即有∠BCD ＝45°＜∠BCA ＝75°，则③正确；sin BCD ∠=若CD ＝1，在中可得＝，ACD sin 45CD ︒sin ACADC ∠可得sin ∠ADC1，∠ADC 不存在，则④不正确．故答案为：②③．六、解答题17．某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是60cm ．(1)求石凳的体积；(2)为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？【答案】(1)3180000cm (2)元(54+【分析】（1）计算出正方体的体积减去8个小正三棱锥的体积，得到答案；（2）计算出石凳的表面积，从而求出粉刷一个石凳的钱数.【详解】（1）正方体的体积为，3360216000cm =石凳的体积为正方体的体积减去8个正三棱锥的体积，其中一个小正三棱锥的三条侧棱边长为，30cm 故一个小正三棱锥的体积为，321130304c 52m 003⨯⨯⨯=故石凳的体积为；321600045008c 180m 000-⨯=（2）石凳的表面由6个正方形和8个正三角形组成，其中正方形和正三角形的边长均为，则石凳的表面积为，(()22166081080cm 02⨯+⨯︒⨯=元.(5054=+18．角A ，B ，C 对边分别为,向量，，且ABC ,,a b c ()cos cos ,m a B b A abc =+()222,1n a b c =+--．m n ⊥ (1)求角C ；(2)若的周长为外接圆半径为2，求的面积．ABC ABC ABC 【答案】(1)3C π=(2)【分析】（1）运用数量积以及三角函数和差公式，正弦定理，余弦定理求解；（2）运用正弦定理余弦定理求出 ，再利用面积公式计算.ab 【详解】（1）由 得：，由余弦定理知：m n ⊥ ()()222cos cos 0a B b A a b c abc ++--= ，2222cos a b c ab C +-= ， ，()2cos cos cos 0ab C a B b A abc ∴+-=()0,0,2cos cos cos 0a b C a B b A c ≠≠∴+-= 由正弦定理得：，即()2cos sin cos sin cos sin 0C A B B A C +-= ，()2cos sin sin 0,2cos sin sin 0C A B C C C C +-=-= ，，；()0,πC ∈ sin 0C ∴≠∴π3C =（2）由正弦定理得，即，2,22sin c R c C =∴=⨯=a b +=由余弦定理得，()2222222cos 312c a b ab C a b ab a b ab =+-=+-=+-=，12ab ∴=1sin 2ABC S ab C ==即.ABC S = 19．已知点，，，()3,0A ()0,3B ()cos ,sin C x x Rx ∈(1)若，且，求x 的值AC BC = []0,2πx ∈(2)设函数，求的单调递增区间．()f x AC BC=⋅()f x(3)对于（2）中的函数，，求()f x ()1f α=π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭sin α【答案】(1)或π4x =5π4(2)增区间为()π5π2π,2πZ 44k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(3)sin α=【分析】（1）求得，，根据模长坐标公式并化简得到(cos 3,sin )AC x x =- (cos ,sin 3)BC x x =-，结合即可求解；tan 1x =[]0,2πx ∈（2）化简得到，令，即可得到增区间；()π14f x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭ππ3π2π2π,Z242k x k k +≤+≤+∈（3）代入可得，由得到，从而得到π1sin 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭πππ,444α⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，利用差角正弦公式即可求解.πcos 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππsin sin 44αα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭【详解】（1），，(cos 3,sin )AC x x =- (cos ,sin 3)BC x x =-因为，所以，AC BC=2222(cos 3)sin cos (sin 3)x x x x -+=+-即，即，2222cos 6cos 9sin cos sin 6sin 9x x x x x x -++=+-+cos sin x x =所以，又，所以或.tan 1x =[]0,2πx ∈π4x =5π4（2）22()(cos 3)cos sin (sin 3)cos 3cos sin 3sin fx AC BC x x x x x x x x=⋅=-+-=-+- ，π3(sin cos )114x x x ⎛⎫=-++=-++ ⎪⎝⎭令，ππ3π2π2π,Z 242k x k k +≤+≤+∈解得，π5π2π2π,Z 44k x k k +≤≤+∈所以的单调递增区间为.()f x ()π5π2π,2πZ44k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（3），π()114f αα⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭π1sin 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为，所以，所以，π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭πππ,444α⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭πcos 4α⎛⎫+== ⎪⎝⎭所以ππππππsin sin sin cos cos sin444444αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭13==20．已知函数的部分图像如图所示．，()()πsin 20,0,2f x A x A ϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭π4f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π4f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)求的解析式；()f x (2)将的图像先向右平移个单位，再将图像上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标()y f x =7π2412不变），所得到的图像对应的函数为，若对于恒成立，求实数m 取()y g x =()2g x m -≤π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦值范围．【答案】(1)．()π2sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)0,2m ⎡∈⎣【分析】（1）根据图像求出函数的周期，进而求出ω，再由特殊点以及求出φ，然后由π||2ϕ<A ，从而得出答案；π()4f =（2）利用图像的平移伸缩变换求出，再根据三角函数的性质即可求解.()y g x =【详解】（1）由图像可得：，故，且，解得，3πππ2442T =-=2ππT ω==0ω>2ω=可得，()()sin 2f x A x ϕ=+∵的图像过点，则，()f x 3π,08⎛⎫⎪⎝⎭3π3πsin 2sin 084A A ϕϕ⎛⎫⎛⎫⨯+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得，且，则，3πsin 04ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππ,22ϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭3ππ5π,444ϕ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭∴，解得，3ππ4ϕ+=π4ϕ=可得，()sin π24f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭又∵的图像过点，则，()f x π4⎛ ⎝ππ3πsin 2sin 444A A A ⎛⎫⨯+=== ⎪⎝⎭解得，2A =故.()π2sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）将的图像先向右平移个单位，得到；()y f x =7π247π24ππ2sin 22sin 243y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦再将图像上的所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到，12π2sin 43y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭故，()π2sin 43g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∵，则，π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ2π4,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦∴，可得，πsin 44x ⎡⎤⎛⎫-∈⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦()2g x ⎡⎤∈⎣⎦故在上的最大值为2，最小值为()y g x =π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦因为对于恒成立，所以,可得恒成()2g x m -≤π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()22m g x m ≤≤+-()()22m g xg x -≤≤+立,,可得.()()max min 22m g x g x -≤≤+02m ≤≤0,2m ⎡∈⎣21．目前，中国已经建成全球最大的5G 网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G 基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G 基站AB ，已知基站高，该同学眼高（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C 处（眼睛所在位置）测得50m AB = 1.5m 基站底部B 的仰角为37°，测得基站顶场A 的仰角为45°.(1)求出山高BE （结果保留一位小数）；(2)如图，当该同学面向基站AB 前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置M 处（眼睛所在位置）到基站AB 所在直线的距离，且记在M 处观测基站底部B 的仰角为，观测基m MD x =α站顶端A 的仰角为.试问当x 多大时，观测基站的视角最大？βAMB ∠参考数据：，，，.sin 80.14︒≈sin 370.6︒≈sin 450.7︒≈sin1270.8︒≈【答案】(1)151.5m(2)x =【分析】（1）在中，利用正弦定理求出，再在中，求出即可；ABC BC Rt BCD BD （2）易得，分别在在和在中，求出，再根据π02AMB βα∠=<-<Rt BMD △Rt AMD △tan ,tan αβ两角和的正切公式结合基本不等式求出取得最大值时，的值，再根据正切函数的单调tan AMB ∠x 性即可得解.【详解】（1）由题意可知，，37,45,8,45BCD ACD ACB A ∠=︒∠=︒∠=︒=︒在中，，ABC sin sin AB BCACB A =∠所以，250BC =≈在中，，Rt BCD sin 2500.6150BD BC BCD =⋅∠≈⨯=所以出山高；150 1.5151.5m BE =+=（2）由题意知，且，,AMD BMD βα∠=∠=π02αβ<<<则，π02βα<-<在中，，Rt BMD △150tan BD MD x α==在中，，Rt AMD △200tan AD MD x β==则()200150tan tan tan tan 2001501tan tan 1x x AMB x x βαβαβα--∠=-==++⋅，250503000030000x x x x ==≤=++当且仅当，即30000x x =x =所以取得最大值时，tan AMB ∠x =又因为，所以此时最大，π02AMB <∠<AMB ∠所以当时，最大.x =AMB ∠22．在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，请在；②ABC cos sin C c B =；③这三个条件中任选一个，完成下列问题．()()()c a c a b b a +-=-sin cos 2sin sin cos C CB A A =-(1)求角C 的大小；(2)若b =2，当取最大值时，求外接圆半径和内切圆半径的乘积的值；πsin cos 6B A ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ABC (3)若为锐角三角形，，求面积的取值范围．ABCa =ABC 【答案】(1)条件选择见解析，π3C=(2))21-(3)【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理、三角恒等变换的知识化简已知条件，求得的大小.C （2）先求得，然后求得外接圆半径和内切圆半径，进而求得正确答案.,a c ABC（3）先求得的取值范围，然后根据三角形的面积公式求得面积的取值范围．b ABC 【详解】（1）若选，cos sin C c B =，cos sin sin B C C B =由于，0π,sin 0B B <<>sin C C =所以，则为锐角，且.tan 0C =>C π3C =若选②，()()()c a c a b b a +-=-整理得，则，222a b c ab +-=2221cos 022a b c C ab +-==>则为锐角，且.C π3C =若选③，sin cos 2sin sin cos C C B A A =-则，sin cos 2sin cos sin cos C A B C A C =-，()sin cos sin cos sin sin 2sin cos A C C A A C B B C+=+==由于，所以，0π,sin 0B B <<>1cos 02C =>则为锐角，且.C π3C =（2）由（1）得，π3C =()ππsin cos sin cos 66B A A C A ⎛⎫⎛⎫-+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππsin cos 36A A ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11sin sin sin 22A A A A A =+=由于，所以当时取得最大值为，2π03A <<π2A =πsin cos 6B A ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭1此时，，则π6B =2b =4,a c ==所以外接圆半径为，ABC 122a=设内切圆半径为，ABCr 则，解得，(1122422r⨯⨯=⨯++⨯1r =所以外接圆半径和内切圆半径的乘积为.ABC )21（3）由（1）得，π3C =由正弦定理得，sin 3sin tan a B b A A ===+由于三角形是锐角三角形，所以，所以，ABC π02ππ32A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩ππ62A<<所以，所以tan >A 130tan tan A A <<<<3tan A <<所以.113sin 222ABC S ab C b b ==⨯=∈。
2022-2023学年天津九十五中益中学校高一(下)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年天津九十五中益中学校高一（下）期中数学试卷一、选择题（每小题4分，共36分）1．已知向量a →=（2，4），b →=（﹣1，1），则2a →−b →=（ ） A ．（5，7）B ．（5，9）C ．（3，7）D ．（3，9）2．下列命题正确的是（ ） A ．三点确定一个平面 B ．一条直线和一个点确定一个平面C ．梯形可确定一个平面D ．圆心和圆上两点确定一个平面3．已知i 为虚数单位，若复数（1+ai ）（2+i ）是纯虚数，则实数a 等于（ ） A ．2B ．12C ．−12D ．﹣24．设x ，y ∈R ，向量a →=（x ，1），b →=（1，y ），c →=（2，﹣4），且a →⊥c →，b →∥c →，则x +y ＝（ ） A ．0B ．1C ．2D ．35．设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．3πa 2B ．6πa 2C ．12πa 2D ．24πa 26．若|a →|=√2，|b →|＝2且（a →−b →）⊥a →，则a →与b →的夹角是（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．512π7．在△ABC 中，已知a ＝3，c =√7，C ＝60°，则△ABC 的面积为（ ） A ．√32B ．3√32或3√34C ．3√32D ．3√348．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是线段AE 上靠近点A 的三等分点，则DF →=（ ）A ．−13AB →+23AD →B ．13AB →−23AD →C ．13AB →−56AD →D ．13AB →−34AD →9．下列说法不正确的是（ ）A ．若球的表面积为36πcm 2，则其体积为36πcm 3B ．正四棱锥的底面边长为3√2，侧棱长为5，则其体积为24C ．正六棱台的上、下底面边长分别是2cm 和6cm ，侧棱长是5cm ，则其表面积为（60√3+24√21）cm 2D ．正三棱柱底面边长为2，侧棱长为3，则其表面积为18 二、填空题（每小题4分，共24分） 10．i 是虚数单位，复数3+2i 1−i= ．11．已知向量e 1→，e 2→是两个不共线的向量，若向量a→=2e 1→−e 2→与向量b→=3e 1→+λe 2→共线，则实数λ＝ ．12．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为线段A 1C 1的中点，则异面直线DE 与B 1C 所成角的大小为 ． 13．已知圆锥的母线长为10cm ，侧面积为60πcm 2，则此圆锥的体积为 cm 3．14．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 是棱CC 1的中点，则三棱锥C 1﹣EBD 的体积为 ．15．在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上，且BE →=23BC →，DF →=16DC →，则AE →⋅AF →的值为 ． 三、解答题（共60分）16．（12分）已知向量a →=（1，2），b →=（4，﹣3）． （Ⅰ）求a →⋅b →；（Ⅱ）若向量c →∥a →，且|c →|＝2√5，求向量c →的坐标； （Ⅲ）若向量b →+k a →与b →−k a →相互垂直，求实数k 的值．17．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sinA+sinCc−b=sinB c−a．（1）求角A 的大小；（2）若a ＝2√3，且S △ABC ＝2√3，求△ABC 的周长．18．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b +c ＝2a ，3c sin B ＝4a sin C ． （Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin （2B +π6）的值．19．（12分）如图，已知点P 是正方形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点． （1）求证：MN ∥平面P AD ；（2）若PB 中点为Q ，求证：平面MNQ ∥平面P AD ．（3）若P A ⊥平面ABCD ，AB ＝P A ＝2，求直线PB 与面P AD 所成的角．20．（12分）如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，CC 1⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，且BC ＝DC ＝DB ＝AA 1＝2，E 是BC 的中点． （1）求证：BD 1∥平面DEC 1； （2）求证：直线DE ⊥平面B 1BCC 1；（3）求直线BD 1与平面D 1DCC 1所成角的正弦值．2022-2023学年天津九十五中益中学校高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共36分）1．已知向量a →=（2，4），b →=（﹣1，1），则2a →−b →=（ ） A ．（5，7）B ．（5，9）C ．（3，7）D ．（3，9）解：由a →=（2，4），b →=（﹣1，1），得：2a →−b →=2（2，4）﹣（﹣1，1）＝（4，8）﹣（﹣1，1）＝（5，7）． 故选：A ．2．下列命题正确的是（ ） A ．三点确定一个平面B ．一条直线和一个点确定一个平面C ．梯形可确定一个平面D ．圆心和圆上两点确定一个平面解：对于选项A ：当三点共线时，不能确定一个平面，故错误． 对于选项B ：当该点在直线上时，不能确定一个平面，故错误．对于选项C ：由于梯形由两条对边平行，所以确定的平面有且只有一个，故另两条边也在该平面上，故正确．对于选项D ：当圆心和圆上的两点在同一条线上时，不能确定一个平面，故错误． 故选：C ．3．已知i 为虚数单位，若复数（1+ai ）（2+i ）是纯虚数，则实数a 等于（ ） A ．2B ．12C ．−12D ．﹣2解：∵复数（1+ai ）（2+i ）＝2﹣a +（1+2a ）i 是纯虚数，∴{2−a =01+2a ≠0，解得a ＝2．故选：A ．4．设x ，y ∈R ，向量a →=（x ，1），b →=（1，y ），c →=（2，﹣4），且a →⊥c →，b →∥c →，则x +y ＝（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3解：∵x ，y ∈R ，向量a →=（x ，1），b →=（1，y ），c →=（2，﹣4）且a →⊥c →，b →∥c →， ∴{2x −4=012=y −4，解得x ＝2，y ＝﹣2，∴x +y ＝0． 故选：A ．5．设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．3πa 2B ．6πa 2C ．12πa 2D ．24πa 2解：根据题意球的半径R 满足（2R ）2＝6a 2，所以S 球＝4πR 2＝6πa 2． 故选：B ．6．若|a →|=√2，|b →|＝2且（a →−b →）⊥a →，则a →与b →的夹角是（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．512π解：设向量的夹角为θ，∵(a →−b →)⊥a →，∴(a →−b →)⋅a →=0，∴a →2−a →⋅b →=0，即2﹣2√2cos θ＝0，∴cosθ=√22，∵0≤θ≤π，∴θ=π4， 故选：B ．7．在△ABC 中，已知a ＝3，c =√7，C ＝60°，则△ABC 的面积为（ ）A ．√32B ．3√32或3√34C ．3√32D ．3√34解：因为a ＝3，c =√7，C ＝60°，由余弦定理得cos C =12=a 2+b 2−c 22ab =9+b 2−72×3×b，解得b ＝1或b ＝2，当b ＝1时，△ABC 的面积S =12absinC =12×3×1×√32=3√34， 当b ＝2时，△ABC 的面积S =12absinC =3√32． 故选：B ．8．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是线段AE 上靠近点A 的三等分点，则DF →=（ ）A ．−13AB →+23AD →B ．13AB →−23AD →C ．13AB →−56AD →D ．13AB →−34AD →解：由可知，DF →=DA →+AF →=−AD →+13AE →=−AD →+13(AB →+BE →)=−AD →+13AB →+16AD →=13AB →−56AD →， 故选：C ．9．下列说法不正确的是（ ）A ．若球的表面积为36πcm 2，则其体积为36πcm 3B ．正四棱锥的底面边长为3√2，侧棱长为5，则其体积为24C ．正六棱台的上、下底面边长分别是2cm 和6cm ，侧棱长是5cm ，则其表面积为（60√3+24√21）cm 2D ．正三棱柱底面边长为2，侧棱长为3，则其表面积为18解：对于A ，球的表面积公式为：S ＝4πr 2，由题意，4πr 2＝36π，r ＝3， 其体积为V =43πr 3=43π×33=36π，故A 正确；对于B ，正四棱锥的底面是正方形，对角线长为3√2×√2=6，高为√52−(62)2=4， V =13×(3√2)2×4=24，故B 正确；对于C ，下底面积为S 1=6×12×62×sin60°=54√3，上底面积为S 2=6×12×22×sin60°=6√3，斜高为√52−(6−2)24=√21，表面积为S =S 1+S 2+6×2+62×√21=60√3+24√21，故C 正确； 对于D ，底面面积为12×2×2×sin60°=√3，斜高为√32−(22)2=2√2，表面积=√3+3×12×2×2√2=√3+6√2，故D 错误； 故选：D ．二、填空题（每小题4分，共24分） 10．i 是虚数单位，复数3+2i1−i= 12+52i ．解：3+2i 1−i=(3+2i)(1+i)(1−i)(1+i)=12+52i ．故答案为：12+52i ．11．已知向量e 1→，e 2→是两个不共线的向量，若向量a→=2e 1→−e 2→与向量b→=3e 1→+λe 2→共线，则实数λ＝ −32．解：因为向量a →与b →共线，所以a →=kb →，即a →=2e 1→−e 2→=k(3e 1→+λe 2→)， 化简得(2−3k)e 1→+(−1−kλ)e 2→=0→，所以{2−3k =0−1−kλ=0，解得{k =23λ=−32，所以λ=−32．故答案为：−3212．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为线段A 1C 1的中点，则异面直线DE 与B 1C 所成角的大小为π6．解：由题意，E 为线段A 1C 1的中点，连接AC 与BD 交于O ，连接B 1O ，可得可得接B 1O ∥ED ， 异面直线DE 与B 1C 所成角的平面角为∠B 1OC ．设正方体的棱长为a ， 在△B 1OC 中：则B 1O =√a 2+12a 2=√62a ，OC =√22a ，B 1C =√2a由余弦定理：cos ∠B 1OC =B 1O 2+B 1C 2−OC 22B 1O⋅B 1C=√32，∴∠B 1OC =π6． 故答案为：π613．已知圆锥的母线长为10cm ，侧面积为60πcm 2，则此圆锥的体积为 96π cm 3． 解：设圆锥的底面半径为r ，则S 侧＝π×r ×10＝60π，解得r ＝6． ∴圆缀的高h =√102−62=8，∴圆锥的体积V =13πr 2ℎ=13π×36×8=96π． 故答案为：96π．14．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 是棱CC 1的中点，则三棱锥C 1﹣EBD 的体积为23．解：∵正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2， 又E 是棱CC 1的中点，BE ＝DE =√5，BD ＝2√2， ∴V C 1−EBD =V B−C 1ED =13×12×2×2×1=23． 故答案为：23．15．在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上，且BE →=23BC →，DF →=16DC →，则AE →⋅AF →的值为43．解：如图，∵BE →=23BC →，DF →=16DC →，∴AE →=AB →+BE →=AB →+23BC →=AB →+23AD →，AF →=AD →+DF →=AD →+16DC →=AD →+16AB →，且∠DAB ＝90°，AB ＝2，BC ＝AD ＝1， ∴AE →⋅AF →=(AB →+23AD →)⋅(AD →+16AB →)=109AB →⋅AD →+16AB →2+23AD →2=0+23+23=43 故答案为：43．三、解答题（共60分）16．（12分）已知向量a →=（1，2），b →=（4，﹣3）． （Ⅰ）求a →⋅b →；（Ⅱ）若向量c →∥a →，且|c →|＝2√5，求向量c →的坐标； （Ⅲ）若向量b →+k a →与b →−k a →相互垂直，求实数k 的值． 解：a →=（1，2），b →=（4，﹣3）． （Ⅰ）a →⋅b →=1×4+2×(−3)=−2；（Ⅱ）设c →=(x ，y)，由c →∥a →，且|c →|＝2√5得{x 2+y 2=20y =2x，解得{x =−2y =−4，或{x =2y =4，故c →=(−2，−4)，或（2，4）；（Ⅲ）若向量b →+k a →与b →−k a →相互垂直，则（b →+k a →）•（b →−k a →）＝0， 即b →2−k 2a →2=0，所以（42+（﹣3）2）﹣k 2（12+22）＝0， 即k 2＝5，故k =±√5．17．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sinA+sinCc−b=sinB c−a．（1）求角A 的大小；（2）若a ＝2√3，且S △ABC ＝2√3，求△ABC 的周长． 解：（1）由sinA+sinCc−b=sinB c−a，利用正弦定理可得：（a +c ）（c ﹣a ）＝b （c ﹣b ），化为：c 2+b 2﹣a 2＝bc ，∴cos A =c 2+b 2−a 22bc=12， ∵A ∈（0，π），∴A =π3．（2）∵a ＝2√3，且S △ABC ＝2√3， ∴(2√3)2=c 2+b 2﹣bc ，12bc sinπ3=2√3，化为：（b +c ）2＝3bc +12＝3×8+12＝36，解得b +c ＝6， ∴△ABC 的周长＝b +c +a ＝6+2√3．18．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b +c ＝2a ，3c sin B ＝4a sin C ． （Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin （2B +π6）的值．解（Ⅰ）在三角形ABC中，由正弦定理bsinB =csinC，得b sin C＝c sin B，又由3c sin B＝4a sin C，得3b sin C＝4a sin C，即3b＝4a．又因为b+c＝2a，得b=4a3，c=2a3，由余弦定理可得cos B=a2+c2−b22ac=a2+49a2−169a22⋅a⋅23a=−14．（Ⅱ）由（Ⅰ）得sin B=√1−cos2B=√154，从而sin2B＝2sin B cos B=−√158，cos2B＝cos2B﹣sin2B=−78，故sin（2B+π6）＝sin2B cosπ6+cos2B sinπ6=−√158×√32−78×12=−3√5+716．19．（12分）如图，已知点P是正方形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．（1）求证：MN∥平面P AD；（2）若PB中点为Q，求证：平面MNQ∥平面P AD．（3）若P A⊥平面ABCD，AB＝P A＝2，求直线PB与面P AD所成的角．（1）证明：取PD的中点E，连接AE，NE，因为N是PC的中点，所以NE∥DC，EN=12 DC，又M是AB的中点，ABCD是正方形，所以AM∥DC且AM=12AB=12DC，所以NE∥AM且NE＝AM，所以四边形AMNE为平行四边形，所以MN∥AE，又MN⊄平面P AD，AE⊂平面P AD，所以MN∥平面P AD．（2）证明：因为Q为PB的中点，M是AB的中点所以MQ∥AP，又MQ⊄平面P AD，AP⊂平面P AD，所以MQ∥平面P AD，MN∥平面P AD，MQ∩MN＝M，MQ，MN⊂平面MNQ，所以平面MNQ∥平面P AD．（3）解：因为P A⊥平面ABCD，P A⊂平面P AD，所以平面P AD⊥平面ABCD，又ABCD为正方形，所以AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，所以AB⊥平面P AD，所以∠BP A即为直线PB与面P AD所成的角，又AB＝P A＝2，所以△BP A为等腰直角三角形，所以∠BP A＝45°，即直线PB与面P AD所成的角为45°．20．（12分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，CC1⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，且BC＝DC ＝DB＝AA1＝2，E是BC的中点．（1）求证：BD1∥平面DEC1；（2）求证：直线DE⊥平面B1BCC1；（3）求直线BD1与平面D1DCC1所成角的正弦值．解：（1）证明：连接D1C交DC1于点O，则O为D1C中点，点E为CD中点，∴OE∥D1B，∵OE⊂平面C1DE，D1B⊄平面C1DE，∴直线BD1∥平面C1DE．（2）证明：∵BC＝DC＝DB＝AA1＝2，E是BC的中点．∴DE⊥BC，∵CC1⊥平面ABCD且DE⊂平面ABCD，∴CC1⊥DE，∵CC1⊂平面B1BCC1，CB⊂平面B1BCC1且CC1∩BC＝C，∴DE⊥平面B1BCC1．（3）∵BC＝DC＝DB＝2，△BDC是等边三角形，取DC中点O，则BO⊥CD，BO⊥DD1，CD∩DD1＝D，CD⊂平面D1DCC1，DD1⊂平面D1DCC1，BO⊥平面D1DCC1，∴∠BD1O是直线BD1与平面D1DCC1所成的角，在Rt△BOD1中，∵BC＝DC＝DB＝2，BO=√3，DD1＝BD＝2，BD1=√22+22=2√2，∴sin∠BD1O=BOBD1=√32√2=√64．第11页（共11页）。