高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 . 任意角、弧度制及任意角的三角函数练习 理-课件
1
第三章 三角函数、解三角形 3.1 任意角、弧度制及任意角的三角函
数练习 理
[A组·基础达标练]
1．已知α是第二象限角，P(x，5)为其终边上一点，且cosα＝24x，则x＝( )
A.3 B．±3
C．－2 D．－3
答案 D
解析 依题意得cosα＝xx2＋5＝24x<0，由此解得x＝－3，选D.
2．[2014·课标全国卷Ⅰ]若tanα>0，则( )
A．sinα>0 B．cosα>0
C．sin2α>0 D．cos2α>0
答案 C
解析 由tanα>0得α是第一、三象限角，若α是第三象限角，则A，B错；由sin2α
＝2sinαcosα知sin2α>0，C正确；α取π3时，cos2α＝2cos2α－1＝2×122－1＝－12<0，
D错．
3．已知角α＝2kπ－π5(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝sinθ|sinθ|＋
cosθ
|cosθ|
＋tanθ|tanθ|的值为( )
A．1 B．－1
C．3 D．－3
答案 B
解析 由α＝2kπ－π5(k∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ
与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sinθ<0，cosθ>0，tanθ<0.
所以y＝－1＋1－1＝－1.
4．[2016·长春模拟]已知角α 的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα>0，
则实数a的取值范围是( )
A．(－2,3] B．(－2,3)
C．[－2,3) D．[－2,3]
答案 A
解析 由cosα≤0，sinα>0可知，角α的终边落在第二象限内或y轴的正半轴上，所
以有 3a－9≤0，a＋2>0，即－2
5．已知角x的终边上一点坐标为sin5π6，cos5π6，则角x的最小正值为( )
A.5π6 B.11π6
C.5π3 D.2π3
答案 C
解析 ∵sin5π6>0，cos5π6<0.
∴角x的终边落在第四象限，
又tanx＝cos5π6sin5π6＝－3212＝－3，
∴角x的最小正值为5π3.
6．[2015·哈尔滨模拟]已知扇形的面积为3π16，半径为1，则该扇形的圆心角的弧度数
是( )
A.3π16 B.3π8
C.3π4 D.3π2
答案 B
解析 S扇＝12|α|r2＝12|α|×1＝3π16，所以|α|＝3π8.
7．已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 因为点P在第三象限，所以{ tanα<0，cosα<0，所以α的终边在第二象限，
故选B.
8．在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与
单位圆交于点1213，513和－35，45，那么sinαcosβ等于( )
A．－3665 B．－313
C.413 D.4865
答案 B
解析 由三角函数的定义知sinα＝513，cosβ＝－35，所以sinαcosβ＝－1565＝－313.
3
9．已知点Psin3π4，cos3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则tanθ＋π3的
值为________．
答案 2－3
解析 依题意，tanθ＝cos3π4sin3π4＝－1，
tanθ＋π3＝－1＋31－－1×3＝2－3.
10．有下列命题：
①若sinα>0，则角α是第一、二象限角；②若角α是第二象限角，且P(x，y)是其终
边上一点，则cosα＝－xx2＋y2；③若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；④第二象限角
大于第一象限角．
其中错误命题的序号是________．
答案 ①②③④
解析 ①角α的终边可能落在y轴的非负半轴上，故①错，由三角函数的定义知②错，
若sinα＝sinβ，则角α、β的终边相同或终边关于y轴对称，故③错，显然④错．
11．角α的终边上的点P与点A(a，b)关于x轴对称(a≠0，b≠0)，角β的终边上的
点Q与点A关于直线y＝x对称，求sinαcosβ＋tanαtanβ＋1cosαsinβ的值．
解 由题意可知点P(a，－b)，则sinα＝－ba2＋b2，cosα＝aa2＋b2，tanα＝－ba；由
题意可知点Q(b，a)，则sinβ＝aa2＋b2，cosβ＝ba2＋b2，tanβ＝ab，∴sinαcosβ＋tanαtanβ＋
1cosαsinβ＝－1－b2a2＋a2＋
b
2
a
2
＝0.
12．已知扇形AOB的周长为8.
(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.
解 设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
(1)由题意可得 2r＋l＝8，12lr＝3，解得 r＝3，l＝2或 r＝1，l＝6，
∴α＝lr＝23或α＝lr＝6.
(2)∵2r＋l＝8
∴S扇＝12lr＝14l·2r≤14l＋2r22＝14×822＝4，
4
当且仅当2r＝l，即α＝lr＝2时，
扇形面积取得最大值4.
∴圆心角α＝2，弦长AB＝2sin1×2＝4sin1.
[B组·能力提升练]
1．[2016·北京朝阳模拟]在(0,2π)内，使sinx>cosx成立的x的取值范围为( )
A.π4，π2∪π，5π4 B.π4，π
C.π4，π∪5π4，3π2 D.π4，5π4
答案 D
解析 如图所示，找出在(0,2π)内，使sinx＝cosx的x值，sinπ4＝cosπ4＝22，sin
5π
4
＝cos5π4＝－22.
根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x∈π4，5π4.
2．[2016·南昌质检]如图所示，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为
P0(2，－2)，角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t
的函数图象大致为( )
5
答案 C
解析 ∵P0(2，－2)，∴∠P0Ox＝－π4.
∵角速度为1，∴按逆时针旋转时间t后，得∠POP0＝t，∴∠POx＝t－π4.
由三角函数定义，知点P的纵坐标为2sint－π4，
因此d＝2sint－π4.
令t＝0，则d＝2sin－π4＝2，
当t＝π4时，d＝0，故选C.
3．[2015·临沂质检]已知角θ的终边经过点P(－4cosα，3cosα)，α∈
α π<α<2π，α≠3π2，则sinθ＋cosθ＝________.
答案 ±15
解析 当π<α<3π2时，cosα<0，所以r＝－5cosα，故sinθ＝－35，cosθ＝45，则sinθ
＋cosθ＝15；当3π2<α<2π时，cosα>0，所以r＝5cosα，故sinθ＝35，cosθ＝－45，则
sinθ＋cosθ＝－15.
4．设函数f(x)＝－x2＋2x＋a(0≤x≤3)的最大值为m，最小值为n，其中a≠0，a∈R.
6
(1)求m，n的值(用a表示)；
(2)已知角β的顶点与平面直角坐标系xOy中的原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，
终边经过点A(m－1，n＋3)，求sinβ＋π6的值．
解 (1)由题意可得f(x)＝－(x－1)2＋1＋a，而0≤x≤3，所以m＝f(1)＝1＋a，n＝f(3)
＝a－3.
(2)由题意知，角β终边经过点A(a，a)，
当a>0时，r＝a2＋a2＝2a，
则sinβ＝a2a＝22，cosβ＝a2a＝22.
所以sinβ＋π6＝sinβ·cosπ6＋cosβ·sinπ6＝2＋64.
当a<0时，r＝a2＋a2＝－2a，
则sinβ＝a－2a＝－22，cosβ＝a－2a＝－22.
所以sinβ＋π6＝sinβ·cosπ6＋cosβ·sinπ6＝－2＋64.
综上所述，sinβ＋π6＝－2＋64或2＋64.
2022年高考复习 4.1任意角和弧度制及任意角的三角函数
(2)几何表示(单位圆中的三角函数线):图 3-16-1 中的有向线段 OM,MP,AT 分别称为角 α
的
余弦线
、
正弦线 和
正切线 .
课前双基巩固
对点演练
题组一 常识题
1. 终边在射线 y=- 3x(x<0)上的角的集合
[答案]
是
[解析] 终边在射线 y=- 3x(x<0)
.
{α|α=k·
360°+120°,k∈Z}
8.若一扇形的圆心角为 72°,半径为 20 cm,则扇形的面积为
cm2.
[答案]
80π
2π
rad,
5
1 2 1 2π
2
2
扇形= αr = × ×20 =80π(cm ).
2
2 5
[解析] 72°=
∴S
课堂考点探究
探究点一
角的集合表示及象限角的判定
2
例 1 (1)设集合 M= x x= ·180°+45°,k∈Z ,
课堂考点探究
探究点二
扇形的弧长、面积公式
例 2 (1)若圆弧长度等于该圆内接等腰直角三角形的周长,
则其圆心角的弧度数是
.
(2)若扇形的周长为 18,则扇形面积取得最大值时,扇形圆心
角的弧度数是
.
[思路点拨] (1)找出弧长与半径,
用弧度制公式求解;
(2)将面积用半径 r 表示出来,用二
次函数法求最大值,找出面积取
tan > 0
π
α 的取值范围为 0, 4 ∪
5π 3π
4
,
2
.
课前双基巩固
7.已知角 α 的终边落在直线 y=-3x 上,则
2023年高考数学一轮复习考点微专题新高考地区专用考向17任意角、弧度制及任意角的三角函数(解析版)
考向17 任意角、弧度制及任意角的三角函数【2022·全国·高考真题（理）】沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在AB 上，CD AB ⊥．“会圆术”给出AB 的弧长的近似值s 的计算公式：2CD s AB OA=+．当2,60OA AOB =∠=︒时，s =（ ）A 1133-B 1143-C 933-D 943-【答案】B【解析】解：如图，连接OC ， 因为C 是AB 的中点， 所以OC AB ⊥，又CD AB ⊥，所以,,O C D 三点共线， 即2OD OA OB ===， 又60AOB ∠=︒， 所以2AB OA OB ===， 则3OC =23CD = 所以(2223114322CD s AB OA -=+=+=故选：B ．【2021·北京·高考真题】若点(cos ,sin )A θθ关于y 轴对称点为(cos(),sin())66B ππθθ++，写出θ的一个取值为___．【答案】512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）【解析】(cos ,sin )A θθ与cos ,sin 66B ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭关y 轴对称，即,6πθθ+关于y 轴对称，2,6k k Z πθθππ++=+∈，则5,12k k Z πθπ=+∈， 当0k =时，可取θ的一个值为512π． 故答案为：512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）．（1）利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数()k k Z ∈赋值来求得所需的角． （2）确定()*,k k N kαα∈的终边位置的方法 先写出k α或k α的范围，然后根据k 的可能取值确定k α或kα的终边所在位置． （3）利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P 的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置．（4）判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．v三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号sin α R ＋ ＋ － －cos αR ＋ － － ＋tan α,2k k Z πααπ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣＋ － ＋ －1．角的概念（1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．（2）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是{}Z k k S ∈+︒⋅==，αββ360． （3）象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．（4）象限角的集合表示方法：2．弧度制（1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．（2）角度制和弧度制的互化：rad 180π=︒，rad 1801π=︒，π︒=180rad 1．（3）扇形的弧长公式：r l ⋅=α，扇形的面积公式：22121r lr S ⋅==α．3．任意角的三角函数（1）定义：任意角α的终边与单位圆交于点)(y x P ，时，则y =αsin ，x =αcos ，)0(tan ≠=x xyα． （2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P )(y x P ，是角α终边上异于顶点的任一点，设点P 到原点O 的距离为r ，则r y =αsin ，r x =αcos ，)0(tan ≠=x xyα 三角函数的性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号 第四象限符号 αsin R ＋ ＋ － － αcosR＋－ － ＋ αtan}2|{Z k k ∈+≠，ππαα＋－＋－记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 4．三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A （1，0）作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T ．三角函数线有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））掷铁饼是一项体育竞技活动．如图，这是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁饼的瞬间，张开的双臂及肩部近似看成一张拉满弦的“弓”．经测量，此时两手掌心之间的弧长是710π，“弓”所在圆的半径为1.05米，则这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离约为（参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈）（）A．1.819米B．1.485米C．1.649米D．1.945米【答案】A【解析】根据题意作图如下，由题意知：ADB的长为710π，D为ADB的中点，7201.053AOCππ∴∠==，322 1.05sin2.1 1.81932AB AC π∴==⨯=⨯≈，即所求距离约为1.819米. 故选：A.2．（2022·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点()0,2A ，点B 在第一象限内，AO AB =，120OAB ∠=︒，将△AOB 绕点O 逆时针旋转，每次旋转60°，则第2022次旋转后，点B 的坐标为（ ）A ．()3,3 B ．)3,3C ．()23,0D ．()23,0-【答案】B【解析】如图所示，过点B 作BH y ⊥轴与点H ，在直角ABH 中，90,18012060,2AHB BAH AB OA ∠=∠=-===， 所以cos 601,33AH AB BH AH ====因为30BOH ∠=，所以223OB BH ==(3,3)B ，由题意1234567(3,3),(23,0),(3,3),(3,3),(23,0),(3,3),(3,3)B B B B B B B ------，所以点的坐标6次一个循环，即周期为6， 又因为20223376=⨯，所以2022(3,3)B . 故选：B.3．（2022·北京·人大附中三模）半径为3的圆的边沿有一点A ，半径为4的圆的边沿有一点B ，A 、B 两点重合后，小圆沿着大圆的边沿滚动，A 、B 两点再次重合小圆滚动的圈数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】设A 、B 两点再次重合小圆滚动的圈数为n ，则236248n n k k ππππ⨯⨯==⨯⨯=，其中k 、N n *∈， 所以，43kn =，则当3k =时，4n =. 故A 、B 两点再次重合小圆滚动的圈数为4. 故选：D.4．（2022·江苏·常州高级中学模拟预测）已知角α的终边在直线3y x =-上，则310sin cos αα+的值为（ ）A ．610-B ．610C ．0D ．310-【答案】C【解析】由题知：cos 0α≠设角α的终边上一点(),3a a -()0a ≠，则22910r a a =+=.当0a >时，10r a =，310sin 10a ==α10cos 10a =α310sin 3103100cos αα+=-=. 当0a <时，10r a =，310sin 10a =-α10cos 10aα==- 310sin 3103100cos αα+=. 故选：C1．（2022·全国·模拟预测）已知()1,7P 是角α的终边上一点，则()sin 2πα-=（ ） A ．725-B ．2425-C ．725D ．2425【答案】C【解析】()1,7P 是角α的终边上一点，由三角函数定义可得 22sin 5217α==+，22cos 5217α=+ 所以()7sin 2sin 22sin cos 2255252παααα-====. 故选：C.2．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知角θ的终边过点()1,1A -，则sin()6πθ-=（ ）A 26+B 26-+C 26-D 26--【答案】D【解析】因为角θ的终边过点()1,1A -，由任意三角形的定义知：22sin θθ== 26sin()sin cos cos sin 666πππθθθ---=-=故选：D.3．（2022·上海市市西中学高三阶段练习）若圆锥的侧面展开图是半径为4，中心角为5π3的扇形，则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为（ ） A 511B ．4C ．8D 2011【答案】C【解析】设圆锥的底面圆半径为r ，圆锥的高为h 则5π2π43r =⨯， 解得：103r =， 设截面在圆锥底面的轨迹2003AB a a ⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭，则截面等腰三角形的高22241644a ah =-=-， 所以截面面积22211616168224442a a a a S ah ⎛⎫==-=-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当221644a a=-，即42a =等号成立，故选：C4．（2022·全国·高三专题练习（理））济南市洪家楼天主教堂于2006年5月被国务院列为全国重点文物保护单位.它是典型的哥特式建筑.哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形.如图2，AC 和BC 所在圆的圆心都在线段AB 上，若rad ACB θ∠=，AC b =，则AC 的长度为（ ）A ．2sin2bθθB ．2cos2bθθC ．sin 2bθθ D ．2cos2bθθ【答案】A【解析】过C 作CD AB ⊥，设圆弧AC 的圆心为O ，半径为R ，则AO CO R ==， 在ACD △中，2ACD θ∠=，所以sinsin22AD AC b θθ=⋅=，coscos22CD AC b θθ=⋅=，所以在直角三角形CDO 中，222CD DO CO +=，所以222cos sin 22b R b R θθ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2sin 2b R θ=，而cos2sin =2sin cos =sin 222sin2b CDCOD b COθθθθθ∠==，所以COD θ∠=，所以2sin2b AC R θθθ==.故选：A.5．（2022·全国·高三专题练习（文））电影《流浪地球》中描述了使用发动机推动地球运动的场景．某科学兴趣小组提出了一套新装置：使用一条强度很大的长金属绳索绕地球赤道一周，一端连接强力发动机P 绷紧绳索，为地球提供动力．若绳索比地球赤道长2 cm ，则发动机距地面的高度约为（取地球半径为6 400 km ；当θ很小时，2111cos 2θθ-≈，31tan 3θθθ-≈．）（ ）A ．9 cmB ．11 cmC ．9 mD ．11 m【答案】C【解析】如右图．记地球半径为R ，绳索比地球赤道长2x=0.02，则tan 0.01,.cos R R x RR h θθθ-==⎧⎪⎨-=⎪⎩ 由题述近似可得321,31,2R x R h θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2339720m 9m 8h x R ==≈．故选：C6．（2022·全国·高三专题练习（理））若α为第一象限角，则sin 2α，cos2α，sin2α，cos2α中必定为正值的有（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B【解析】解：因为α为第一象限角，所以2α为第一或二象限角， 可得：sin20α>，而cos2α符号不确定， 又2α为第一或三象限角， sin 2α∴，cos 2α可以是正数，也可以是负数，它们的符号均不确定综上所述，必定为正值的只有sin 2α一个 故选：B ．7．（2022·全国·高三专题练习）若角α是第一象限角，则2α是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第一或第三象限角 D ．第二或第四象限角【答案】C【解析】因为α是第三象限角，所以36036090,k k k Z α⋅<<⋅+∈， 所以18018045,2k k k Z α︒⋅<<⋅+∈，当k 为偶数时，2α是第一象限角， 当k 为奇数时，2α是第三象限角.故选：C ．8．（2022·全国·高三专题练习）设θcos2θ=-，则2θ是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】B【解析】因为()180360270360Z k k k θ+⋅<<+⋅∈， 所以，()90180135180Z 2k k k θ+⋅<<+⋅∈，若k 为奇数，可设()21Z k n n =+∈，则()270360315360Z 2n n k θ+⋅<<+⋅∈，此时2θ为第四象限角；若k 为偶数，可设()2Z k n n =∈，则()90360135360Z 2n n k θ+⋅<<+⋅∈，此时2θ为第二象限角.cos2θ-，则cos02θ≤，故2θ为第二象限角. 故选：B.9．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）角α的终边过点()3,4P -，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．2425- B ．725- C ．725D ．2425【答案】B【解析】解：2sin 2cos 22cos 12πααα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，由题得3cos 5α==-，所以237sin 22()12525πα⎛⎫+=⨯--=- ⎪⎝⎭. 故选：B10．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）己知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()1,2P -，则πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．CD 【答案】B【解析】角α的终边的经过()1,2P -，所以sinα=cos α== 所以4sin 22sin cos 5ααα==-，23cos 22cos 15αα=-=-，所以πππsin 2sin 2cos cos 2sin 666ααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭故选：B ．11．（2022·全国·高三阶段练习）已知α，β，γ是三个互不相同的锐角，则在sin cos αβ+，sin cos βγ+，sin cos γα+）个A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】因为α，β，γ是三个互不相同的锐角， 所以sin cos sin cos sin cos αββγγα+++++πππ444αβγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以在sin cos αβ+，sin cos βγ+，sin cos γα+，若令π3α=，π4β=，π6γ=，则sin cos αβ+=+>sin cos βγ+=>sin cos 1γα+=<2个. 故选：C12．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知角α的始边与x 轴非负半轴重合，终边上一点()sin3,cos3P ，若02απ≤≤，则α=（ ）A ．3B ．32π- C ．532π- D ．32π-【答案】C【解析】解：因为角α的终边上一点()sin3,cos3P ， 所以cos31tan 0sin 3tan 3α==<， 又cos30,sin30<>， 所以α为第四象限角， 所以23,Z 2k k παπ=+-∈，又因02απ≤≤， 所以532πα=-. 故选：C.13．（2022·北京·首都师范大学附属中学高三开学考试）“角α，β的终边关于y x =轴对称”是“22sin sin 1αβ+=”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若角α，β的终边关于y x =轴对称，则sin α＝cos β，则2222sin sin cos sin =1αβββ+=+； 若22sin sin 1αβ+=，则22sin =cos αβ，则sin α＝±cos β，则角α，β的终边关于y x =或y ＝－x 轴对称； 综上，“角α，β的终边关于y x =轴对称”是“22sin sin 1αβ+=”的充分不必要条件. 故选：A.14．（2022·全国·模拟预测）炎炎夏日，在古代人们乘凉时习惯用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，扇形ABC 的面积S 为22225cm π，若2BD DA =，则当该纸叠扇的周长C 最小时，BD 的长度为___________cm .【答案】10π【解析】解：设扇形ABC 的半径为r cm ，弧长为l cm ，则扇形面积12S rl =.由题意得212252rl π=，所以2450rl π=.所以纸叠扇的周长2222290060C r l rl ππ=+≥=，当且仅当22,450,r l rl π=⎧⎨=⎩即15r π=，30l π=时，等号成立， 所以()15BD DA cm π+=.又2BD DA =， 所以()1152BD BD cm π+=，所以()3152BD cm π=，故()10BD cm π=. 故答案为：10π15．（2022·浙江绍兴·模拟预测）勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．已知等边三角形的边长为1，则勒洛三角形的面积是_______．【答案】π32- 【解析】由题意得，勒洛三角形的面积为：三个圆心角和半径均分别为π3和1的扇形面积之和减去两个边长为1的等边三角形的面积，即221π1ππ33121sin 23232-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=．故答案为：π32-．16．（2022·山东潍坊·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于直线y x =对称.若1sin 3α=，则sin()αβ-=___________. 【答案】79-【解析】因在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于直线y x =对称， 则有2,Z 2k k παβπ+=+∈，即2,Z 2k k πβπα=+-∈，而1sin 3α=， 所以，Z k ∈，27sin()sin(22)cos 212sin 29k παβαπαα-=--=-=-+=-. 故答案为：79-17．（2022·上海青浦·二模）已知角α的终边过点()1,2P -，则tan α的值为_________． 【答案】2-【解析】解：因为角α的终边过点()1,2P -， 所以2tan 21y x α===--. 故答案为：-2.18．（2022·全国·模拟预测）已知α为第三象限角，且tan 2α=，则22sin 4cos sin πααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-______． 10【解析】因为α为第三象限角，且tan 2α=，所以5cos α=，25sin α=，所以()()()()222sin sin cos 21042cos sin cos sin cos sin 2cos sin 2πααααααααααα⎛⎫++ ⎪⎝⎭===--+-． 故答案为：102. 19．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB 及其所对弦AB 围成的图形．若弧田的弦AB 长是2，弧所在圆心角的弧度数也是2，则弧田的弧AB 长为_______，弧田的面积为_________．【答案】2sin1; 211sin 1tan1-. 【解析】由题意可知：111,,sin1sin1tan1tan1======AC BC BC AC AO OC ， 所以弧AB 长122sin1sin1=⨯=，弧田的面积22111111222sin12tan1sin 1tan1⎛⎫=-=⨯⨯-⨯⨯=- ⎪⎝⎭扇形AOB AOB S S ， 故答案为：2sin1；211sin 1tan1-.1．（2022·全国·高考真题（理））沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在AB 上，CD AB ⊥．“会圆术”给出AB 的弧长的近似值s 的计算公式：2CD s AB OA=+．当2,60OA AOB =∠=︒时，s =（ ）A ．11332- B ．11432- C ．9332- D ．9432- 【答案】B【解析】解：如图，连接OC ， 因为C 是AB 的中点， 所以OC AB ⊥，又CD AB ⊥，所以,,O C D 三点共线， 即2OD OA OB ===， 又60AOB ∠=︒， 所以2AB OA OB ===， 则3OC =，故23CD =-， 所以()22231143222CD s AB OA --=+=+=．故选：B ．2．（2020·山东·高考真题）已知直线sin cos :y x l θθ=+的图像如图所示，则角θ是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】D【解析】结合图像易知，sin 0θ<，cos 0θ>， 则角θ是第四象限角， 故选：D ．3．（2020·全国·高考真题（理））若α为第四象限角，则（ ） A ．cos 2α>0 B ．cos 2α<0 C ．sin 2α>0 D ．sin 2α<0【答案】D【解析】方法一：由α为第四象限角，可得3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈， 所以34244,k k k Z ππαππ+<<+∈此时2α的终边落在第三、四象限及y 轴的非正半轴上，所以sin 20α< 故选：D ．方法二：当6πα=-时，cos 2cos 03πα⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，选项B 错误； 当3πα=-时，2cos 2cos 03πα⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，选项A 错误；由α在第四象限可得：sin 0,cos 0αα<>，则sin 22sin cos 0ααα=<，选项C 错误，选项D 正确； 故选：D ．4．（2019·北京·高考真题（文））如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β．图中阴影区域的面积的最大值为A ．4β+4cosβB ．4β+4sinβC ．2β+2cosβD ．2β+2sinβ【解析】观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时，阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π-β， 面积S 的最大值为2222βππ⨯⨯+S △POB + S △POA =4β+1||sin()2OP OB πβ-‖1||sin()2OP OA πβ+-‖ 42sin 2sin 44sin βββββ=++=+⋅．故选B ．5．（2015·山东·高考真题）终边在y 轴的正半轴上的角的集合是（ ）A ．π2π,2x x k k Z ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭B ．ππ2x x k ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭C ．π2π,2x x k k Z ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭D ．ππ,2x x k k Z ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭【答案】A【解析】终边在y 轴正半轴上的角的集合是π2π,2x k k Z ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭故选：A6．（2011·全国·高考真题（理））已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（ ） A ．45-B ．35 C ．35D ．45【答案】B【解析】由已知条件可知，点()cos ,sin θθ在直线2y x =上，则sin 2cos θθ=，tan 2θ∴=， 所以，22222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin cos sin 1tan 5θθθθθθθθθ--=-===-++．7．（2018·北京·高考真题（文））在平面直角坐标系中，,,,AB CD EF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以O x 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是A ．AB B ．CDC ．EFD ．GH【答案】C 【解析】 【详解】分析：逐个分析A 、B 、C 、D 四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论．详解：由下图可得：有向线段OM 为余弦线，有向线段MP 为正弦线，有向线段AT 为正切线．A 选项：当点P 在AB 上时，cos ,sin x y αα==，cos sin αα∴>，故A 选项错误；B 选项：当点P 在CD 上时，cos ,sin x y αα==，tan yxα=， tan sin cos ααα∴>>，故B 选项错误；C 选项：当点P 在EF 上时，cos ,sin x y αα==，tan y xα=，sin cos tan ααα∴>>，故C 选项正确；D 选项：点P 在GH 上且GH 在第三象限，tan 0,sin 0,cos 0ααα><<，故D 选项错误．综上，故选C ．8．（2014·全国·高考真题（文））已知角α的终边经过点(4,3)-，则cos α=A ．45B ．35C ．35-D ．45- 【答案】D【解析】【详解】试题分析：由题意可知x =-4，y =3，r =5，所以4cos 5x r α==-．故选D ． 考点：三角函数的概念．9．（2021·北京·高考真题）若点(cos ,sin )A θθ关于y 轴对称点为(cos(),sin())66B ππθθ++，写出θ的一个取值为___． 【答案】512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可） 【解析】(cos ,sin )A θθ与cos ,sin 66B ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭关于y 轴对称， 即,6πθθ+关于y 轴对称， 2,6k k Z πθθππ++=+∈， 则5,12k k Z πθπ=+∈， 当0k =时，可取θ的一个值为512π． 故答案为：512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）． 10．（2020·浙江·高考真题）已知圆锥的侧面积（单位：2cm ） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm ）是_______．【答案】1【解析】设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则21222r l r l ππππ⨯⨯=⎧⎪⎨⨯⨯=⨯⨯⨯⎪⎩，解得1,2r l ==．故答案为：111．（2017·北京·高考真题（理））在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________． 【答案】79- 【解析】【详解】试题分析：因为α和β关于y 轴对称，所以π2π,k k αβ+=+∈Z ，那么1sin sin 3βα==，22cos cos 3αβ=-=（或22cos cos 3βα=-=）， 所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-． 【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差的余弦公式12．（2012·山东·高考真题（文））如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP 的坐标为______________．【答案】()2sin 2,1cos2--【解析】【详解】如图，连结AP ，分别过P ，A 作PC ，AB 垂直x 轴于C ，B 点，过A 作AD ⊥PC 于D 点．由题意知BP 的长为2．∵圆的半径为1，∴∠BAP ＝2，故∠DAP ＝2－2π． ∴DP ＝AP ·sin 22π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－cos 2， ∴PC ＝1－cos 2， DA ＝APcos 22π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin 2． ∴OC ＝2－sin 2． 故OP ＝（2－sin 2，1－cos 2）．。
高三数学一轮复习知识点讲解5-1任意角和弧度制及任意角的三角函数
高三数学一轮复习知识点讲解专题5.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数【考纲解读与核心素养】1.了解角、角度制与弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算.2. 理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义.3．本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等. 4.高考预测：（1）三角函数的定义；（2）扇形的面积、弧长及圆心角；（3）在大题中考查三角函数的定义，主要考查：一是直接利用任意角三角函数的定义求其三角函数值；二是根据任意角三角函数的定义确定终边上一点的坐标． 5.备考重点：(1) 理解三角函数的定义；(2) 掌握扇形的弧长及面积计算公式.【知识清单】知识点1．象限角及终边相同的角 1．（1）任意角的分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )． 2.弧度制：①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝lr ，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值lr 与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．3.弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．若一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝(180απ)°，n °＝n ·π180rad ．知识点2．三角函数的定义 1.任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么 （1）点P 的纵坐标叫角α的正弦函数，记作sin α＝y ； （2）点P 的横坐标叫角α的余弦函数，记作cos α＝x ；（3）点P 的纵坐标与横坐标之比叫角α的正切函数，记作tan α＝yx .它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数y ＝sinx ，x ∈R ； 余弦函数 y ＝cosx ，x ∈R ； 正切函数 y ＝tanx ，x ≠π2＋k π（k ∈Z ）．2．三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦 知识点3．扇形的弧长及面积公式 (1)弧长公式在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对的圆心角大小为α，则|α|＝lr ，变形可得l ＝|α|r ，此公式称为弧长公式，其中α的单位是弧度． (2)扇形面积公式由圆心角为1 rad 的扇形面积为πr 22π＝12r 2，而弧长为l 的扇形的圆心角大小为l r rad ，故其面积为S ＝l r ×r 22＝12lr ，将l ＝|α|r 代入上式可得S ＝12lr ＝12|α|r 2，此公式称为扇形面积公式．(3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示名称 角度制 弧度制 弧长公式 l ＝n πr180l ＝__|α|r __ 扇形面积公式 S ＝n πr 2360S ＝|α|2r 2 ＝ 12lr 注意事项r 是扇形的半径，n 是圆心角的角度数r 是扇形的半径，α是圆心角的弧度数，l 是弧长【典例剖析】高频考点一 象限角及终边相同的角【典例1】（2019·乐陵市第一中学高三专题练习）如果，那么与终边相同的角可以表示为A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 由题意得，与终边相同的角可以表示为．故选B ． 【规律方法】象限角的两种判断方法(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角． (2)转化法：先将已知角化为k ·360°＋α(0°≤α＜360°，k ∈Z )的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．【变式探究】若角α是第二象限角，试确定α2，2α的终边所在位置．【答案】角α2的终边在第三象限或第四象限或y 轴的负半轴上,2α的终边在第一象限或第三象限.【解析】∵角α是第二象限角，∴ 22,2k k k Z ππαππ+<<+∈，（1）4242,k k k Z ππαππ+<<+∈，∴ 角α2的终边在第三象限或第四象限或y 轴的负半轴上． （2） ,422k k k Z παπππ+<<+∈，当2 ,k n n Z =∈时， ∴ 22 ,422n n n Z παπππ+<<+∈，∴2α的终边在第一象限．当2 1 ,k n n Z =+∈时， ∴5322 ,422n n n Z παπππ+<<+∈， ∴2α的终边在第三象限．综上所述，2α的终边在第一象限或第三象限．【总结提升】象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示 (1)象限角：象限角集合表示第一象限角{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z} (2)轴线角：角的终边的位置集合表示终边落在x轴的非负半轴上{α|α＝k·360°，k∈Z}终边落在x轴的非正半轴上{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}终边落在y轴的非负半轴上{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}终边落在y轴的非正半轴上{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}终边落在y轴上{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}终边落在x轴上{α|α＝k·180°，k∈Z}终边落在坐标轴上{α|α＝k·90°，k∈Z}高频考点二三角函数的定义【典例2】已知角的终边过点,且，则的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知，，，是第三象限角，可得，即，解得，故选B.【典例3】已知角的终边落在直线y＝2x上，求sinα、cosα、tanα的值．【答案】【解析】当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P(1,2)，由r＝|OP|＝12＋22＝5，得sinα＝2 5＝255，cos α＝15＝55，tan α＝21＝2． 当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q (－1，－2)， 由r ＝|OQ |＝－12＋－22＝5，得：sin α＝－25＝－255，cos α＝－15＝－55，tan α＝－2－1＝2．【典例4】（2011·江西高考真题（文））已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若()4,p y 是角θ终边上一点，且25sin 5θ=-，则y=_______. 【答案】-8 【解析】根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该 角为第四象限角.=【规律方法】1.已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后利用三角函数的定义求解．2.已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值． 【变式探究】1.（浙江省嘉兴市第一中学期中）已知角的终边与单位圆交于点，则的值为( )A. B. C. D.【答案】B 【解析】由三角函数的定义可得．故选B ．2.已知角的终边在射线上，则等于（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】由题得在第四象限,且，所以故答案为： A.【总结提升】(1)已知角α的终边在直线上的问题时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值． ②注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上任意一点坐标(a ，b )，则对应角的正弦值sin α＝b a 2＋b2，余弦值cos α＝aa 2＋b2，正切值tan α＝ab． (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． 高频考点三：三角函数值的符号判定 【典例5】已知且，则角的终边所在的象限是A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】B【解析】依据题设及三角函数的定义可知角终边上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，所以终边在第二象限，应选答案B.【典例6】确定下列各式的符号： (1)sin105°·cos230°； (2)sin 7π8·tan 7π8；(3)cos6·tan6． 【答案】【解析】先确定角所在象限，进而确定各式的符号． (1)∵105°、230°分别为第二、第三象限角， ∴sin105°>0，cos230°<0． 于是sin105°·cos230°<0．(2)∵π2<7π8<π，∴7π8是第二象限角，则sin 7π8>0，tan 7π8<0． ∴sin 7π8·tan 7π8<0．(3)∵3π2<6<2π，∴6是第四象限角．∴cos6>0，tan6<0，则cos6·tan6<0． 【总结提升】判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号．如果角不能确定所在象限，那就要进行分类讨论求解． 【变式探究】1.已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,3] B ．(－2,3) C ．[－2,3)D ．[－2,3]【答案】A【解析】 ∵00cos ，sin αα≤>，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上． ∴39020a a ⎧-≤⎨+>⎩∴23－a <≤.故选A.2.(1)判断下列各式的符号： ①sin3·cos4·tan5；②α是第二象限角，sin α·cos α．(2)若cos θ<0且sin θ>0，则θ2是第( )象限角．A ．一B ．三C ．一或三D ．任意象限角【答案】（1）①正，②负；（2）C【解析】 (1)①π2<3<π，π<4<3π2，3π2<5<2π，∴sin3>0，cos4<0，tan5<0，∴sin3·cos4·tan5>0． ②∵α是第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，∴sin αcos α<0．(2)由cos θ<0且sin θ>0，知θ是第二象限角，所以θ2是第一或三象限角．高频考点四：扇形的弧长及面积公式【典例7】（2018·湖北高考模拟（理））《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长为的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中，）A ．15B ．16C ．17D ．18 【答案】B 【解析】因为圆心角为，弦长为，所以圆心到弦的距离为半径为40，因此根据经验公式计算出弧田的面积为，实际面积等于扇形面积减去三角形面积，为，因此两者之差为，选B.【典例8】（2019·河南高考模拟（理））已知圆O 与直线l 相切于A ，点,P Q 同时从点A 出发，P 沿着直线l 向右、Q 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q 运动到点A 时，点P 也停止运动，连接OQ ，OP （如图），则阴影部分面积1S ，2S 的大小关系是（ ）A ．12S S =B ．12S S ≤C ．12S S ≥D ．先12S S <，再12S S =，最后12S S >【答案】A 【解析】如图所示，因为直线l 与圆O 相切，所以OA AP ⊥， 所以扇形的面积为1122AOQ S AQ r AQ OA =⋅⋅=⋅⋅扇形，12AOP S OA AP ∆=⋅⋅, 因为AQ AP =，所以扇形AOQ 的面积AOP AOQ S S ∆=扇形, 即AOP AOQ AOB AOB S S S S ∆-=-扇形扇形扇形， 所以12S S =，【典例9】已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？【答案】r=10cm, θ＝＝2rad, 100 cm 2【解析】设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r .(0<r <20) ∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100．∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010＝2(rad)．【总结提升】1.(1) 弧度制下l ＝|α|·r ，S ＝12lr ，此时α为弧度．扇形面积公式，扇形中弦长公式，扇形弧长公式在角度制下，弧长l ＝n πr 180，扇形面积S ＝n πr 2360，此时n 为角度，它们之间有着必然的联系．(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形．2.当扇形周长一定时，其面积有最大值，最大值的求法是把面积S 转化为r 的函数，函数思想、转化为方程的思想是解决数学问题的常用思想． 【变式探究】1.（2019·甘肃高三月考（理））若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的半径不可能等于( )A ．5B ．2C ．3D ．4 【答案】B 【解析】因为扇形的周长与面积的数值相等，所以设扇形所在圆的半径为R ，扇形弧长为l ，则lR=2R+l ，所以即是lR=4R+2l ， ∴l=∵l＞0，∴R＞2 故选：B ．2.已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是（ ） A. 1 B. 4 C. 1或4 D. 2或4 【答案】C【解析】设扇形的半径为r ，弧长为 l ，则121282l r S lr +===，，∴解得28r l ==， 或44r l ==， 41lrα==或，故选C ．3.一个扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积．【答案】圆心角α等于2弧度时，这个扇形的最大面积是25 cm 2． 【解析】设扇形的半径为r cm ，则弧长为l ＝(20－2r ) cm ． 由0<l <2πr ，得0<20－2r <2πr ，∴10π＋1<r <10．于是扇形的面积为S ＝12(20－2r )r ＝－(r －5)2＋25(10π＋1<r <10)．当r ＝5时，l ＝10，α＝2，S 取到最大值，此时最大值为25 cm 2．故当扇形的圆心角α等于2弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积是25 cm 2． 【特别提醒】应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决；(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．11金榜题名前程似锦。
高考数学一轮复习 第三单元三角函数课件 理 新人教课标A
第16讲 角的概念及任意角的三角函数 第17讲 同角三角函数的关系和诱导公式 第18讲 三角函数的图象和性质 第19讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质 第20讲 两角和与差的三角函数 第21讲 简单的三角恒等变换 第22讲 正弦定理和余弦定理 第23讲 解三角形的应用
第三单元 三角函数
3．课时安排 该部分共8节，其中第20讲设置双课时作业，一个滚动 基础训练卷和一个单元能力训练卷，建议11课时完成复习任 务．
第三单元 │ 使用建议
推导出π±α的正弦、余弦、正切，及π2±α的正弦、余弦的
诱导公式”“会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式”等； (4)正弦定理、余弦定理是考试大纲要求掌握的内容，是最高 级别的要求，在复习这两个定理时应该要求学生对照课本掌 握这两个定理的证明，然后通过例题，讲解和变式训练使学 生牢固掌握这两个定理并能利用其解有关三角形的题型． (5)正弦定理和余弦定理都能实现三角形中边角关系的互化， 在三角形的三角函数问题中边角互化是解决问题的基本思 想，教师在引导学生复习时，要注重引导学生寻求合理的边 角互化的方向．正弦定理、余弦定理本身就是一个方程，在 三角形问题中注意引导学生使用方程的思想解题．
第三单元 │ 考纲要求
3．解三角形 (1)正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角 形度量问题． (2)应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些 与测量和几何计算有关的实际问题．
第三单元 │ 命题趋势
命题趋势
三角函数、简单的三角恒等变换、解三角形是高中数学重要的基 础知识之一，又是高中数学的工具性知识之一，在高考中占有重要位 置．
第三单元 │ 使用建议
(6)解三角形的实际应用题经常出现在高考中．解三角形 的实际应用问题实际上就是在不同的三角形中测量出一些角 度和距离，通过在可解三角形中使用正弦定理和余弦定理， 把求解目标纳入到一个新的可解三角形中，再根据正弦定理 和余弦定理加以解决，教师在引导学生思路解三角形的实际 应用问题时要把这个基本思想教给学生，这是解三角形实际 应用问题的本质所在．
2023年高考数学(理科)一轮复习—— 任意角和弧度制及任意角的三角函数
考点二 弧度制及其应用
例 1 (经典母题)一扇形的圆心角 α＝π3，半径 R＝10 cm，求该扇形的面积. 解 由已知得 α＝π3，R＝10， ∴S 扇形＝21α·R2＝12×π3×102＝503π(cm2).
索引
迁移 1 (变所求)若本例条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积.
解 l＝α·R＝π3×10＝103π(cm)，
索引
常用结论
1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量
制必须一致，不可混用. 3.象限角
索引
4.轴线角
索引
诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)小于90°的角是锐角.( ×) (2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.( × ) (3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.( √ ) (4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( √ )
索引
分层训练 巩固提升
FENCENGXUNLIAN GONGGUTISHENG
A级 基础巩固
1.下列与角94π的终边相同的角的表达式中正确的是( C )
解析 (1)锐角的取值范围是0，π2. (2)第一象限角不一定是锐角.
索引
2.(易错题)时间经过4h(时)，时针转了___－__2_3π__弧度.
索引
3. 在 － 720° ～ 0° 范 围 内 ， 所 有 与 角 α ＝ 45° 终 边 相 同 的 角 β 构 成 的 集 合 为
_{_－__6__7_5_°__，___－__3_1_5_°___}_.
解析 设 P(x，y)，由题设知 x＝－ 3，y＝m， 所以 r2＝|OP|2＝(－ 3)2＋m2(O 为原点)，即 r＝ 3＋m2，
高三数学复习第三章 三角函数、解三角形
提 升 学 科 素 养
突 破 热 点 题 型
演 练 知 能 检 测
5 答案：2
数学(6省专版)
第一节
任意角和弧度制及任意角的三角函数
回 扣 主 干 知 识
2π 5．若点 P 在角 3 的终边上，且|OP|＝2，则点 P 的坐标是 ________．
2 解析：∵角3π 的终边落在第二象限， ∴可设 P(x，y)，其中 x＜0，y＞0，
第一节
任意角和弧度制及任意角的三角函数
π (1)∵在(0， π)内终边在直线 y＝ 3x 上的角是3，
π 上的角的集合为α|α＝3＋kπ，k∈Z.
[自主解答]
回 扣 主 干 知 识
∴终边在直线 y＝ 3x
6π (2)∵θ＝ 7 ＋2kπ(k∈Z)， θ 2π 2kπ ∴3＝ 7 ＋ 3 (k∈Z)． 2π 2kπ 3 18 依题意 0≤ 7 ＋ 3 ＜2π⇒－7≤k＜ 7 ，k∈Z. θ 2π 20π 34π ∴k＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与3相同的角为 7 ， 21 ， 21 .
数学(6省专版)
提 升 学 科 素 养
突 破 热 点 题 型
演 练 知 能 检 测
第一节
任意角和弧度制及任意角的三角函数
回 扣 主 干 知 识
————— ———————————— α 1．由 α 所在的象限，确定n所在象限的方法
α (1)由角 α 的范围，求出n所在的范围；
(2)通过分类讨论把角写成 θ＋k· (k∈Z)的形式，然后判 360° α 断n所在象限．
第三章
第一节
第二节 第三节
目 三角函数、解三角形 录 任意角和弧度制及任意角的三角函数
同角三角函数的基本关系与诱导公式 三角函数的图象与性质
高三复习第一讲任意角、弧度制及任意角的三角函数
第三章三角函数、解三角形第一讲任意角、弧度制及任意角的三角函数【考纲速读吧】1．了解任意角的概念．2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．个必会技巧1．在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP|＝r 一定是正值．2．在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．项必须注意1．注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．有关扇形的弧长l、面积S的题目，解题的关键是灵活运用l＝αr，S＝12l r＝12αr2两个公式，同时注意消元法和函数思想的运用．【课前自主导学】011．角的有关概念（1）从运动的角度看，角可分为正角、________和________．（2）从终边位置来看，可分为________和轴线角．（3）若α与β是终边相同的角，则β可用α表示为S＝{β|β＝________}（或{β|β＝________}）．判断下列命题是否正确①终边相同的角一定相等（）②第一象限的角都是锐角（）③若α是锐角，180°－α为第二象限的角（）④若α＝k·180°＋30°，则α是第一象限的角（）若α的终边落在第二象限角平分线上，则α的集合__________，若α的终边落在第二、四象限角平分线上，则α的集合________．3．弧度与角度的互化（1）1弧度的角长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示． （2）角度与弧度之间的换算 360°＝________ rad,180°＝________ rad ，n °＝________ rad ，α rad ＝________，1 rad≈57°18′＝57．3°． （3）弧长、扇形面积公式①半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对圆心角的弧度是________．②扇形半径为r ，圆心角的弧度数是α，则这个扇形的弧长l ＝________，面积S ＝12lr ＝12________，周长＝．（1）120°的弧度数为________；495°的弧度数为________．（2）半径为2的圆中，弧长为4的弧所对的圆心角的大小是________．（3）已知扇形圆心角为25π，半径为20 cm ，则扇形的面积________．4．任意角的三角函数（1）定义：设角α终边与单位圆交于P （x ，y ），则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________． （2）几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1,0）．如图中有向线段MP ，OM，AT 分别叫做角α的________，________和________．（3）诱导公式（一）α＋k ·2π）＝________；cos （α＋k ·2π）＝________；tan （α＋k ·2π）＝________．（k ∈Z ）（1）已知角α终边上一点P （－6,8），则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________． （2）已知sin A >0且tan A <0，则A 为第________象限角．（3）cos （－113π）的值是________．（4）若π4<θ<π2则sin θ，cos θ，tan θ的大小关系为______．【自我校对】1．负角 零角 象限角 α＋2k π，k ∈Z α＋k ·360°，k ∈Z 2．判一判：①× ②× ③√ ④× 填一填：{α|α＝k ·360°＋135°，k ∈Z } {α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z }3．半径 2π π n π180 [α（180π）]° lr |α|r |α|·r 2 |α|r ＋2r填一填：（1）23π 114π （2）2 （3）80π cm 24．y x yx（x ≠0） 正弦线 余弦线 正切线 sin α cos α tan α填一填：（1） 45 －35 －43 （2）二 （3） 12（4）tan θ>sin θ>cos θ【核心要点研究】02xyyxyxy【考点一】象限角及终边相同的角例1 （1）[2012·郑州期末]若角α和角β的终边关于x 轴对称，则角α可以用角β表示为（ ）A ．2k π＋β（k ∈Z ）B ．2k π－β（k ∈Z ）C ．k π＋β（k ∈Z ）D ．k π－β（k ∈Z ） （2）已知点P （tan α，cos α）在第三象限，则角α的终边在第________象限．（ ） A ． 一 B ． 二 C ． 三 D ． 四【审题视点】（1）利用终边相同的角进行表示及判断．（2）利用三角函数在各象限的符号作判断．[解析] （1）因为角α和角β的终边关于x 轴对称，所以α＋β＝2k π（k ∈Z ）．所以α＝2k π－β（k ∈Z ）．（2）因为点P （tan α，cos α）在第三象限，因此有⎩⎨⎧tan α<0cos α<0，∴α是第二象限角，故选B ．[答案] （1）B （2）B【师说点拨】1．研究角终边关系问题时可借助于图形分析，注意周期性．2．熟记各个三角函数在每个象限内的符号是判断的关键，对于已知三角函数式符号判断角所在象限，可先根据三角函数式的符号确定三角函数值的符号，再判断角所在象限．【变式探究】（1）已知角α＝2k π－π5（k ∈Z ），若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋|cos θ|cos θ＋tan θ|tan θ|的值为（ ）A ．1B ．－1C ．3D ．－3（2）设集合M ＝{x |x ＝k 2×180°＋45°，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k4×180°＋45°，k ∈Z }，那么（ ）A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅ 答案：（1）B （2）B解析：（1）由α＝2k π－π5（k ∈Z ）及终边相同角的概念知，α的终边在第四象限，又θ与α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0．因此，y ＝－1＋1－1＝－1，故选B ．（2）法一：由于M ＝{x |x ＝k2×180°＋45°，k ∈Z }＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝{x |x ＝k4×180°＋45°，k ∈Z }＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M ⊆N ，故选B ．法二：由于M 中，x ＝k 2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝45°·（2k ＋1），2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝（k ＋1）·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N ，故选B ．【考点二】三角函数的定义例2 已知角α的终边上一点P （－3，m ）（m ≠0），且sin α＝2m4，求cos α，tan α的值． 【审题视点】由sin α＝2m4结合三角函数的定义建立关于参数m 的方程求出m 的值，再根据定义求cos α，tan α的值．[解] 由题设知x ＝－3，y ＝m ，∴r 2＝|OP |2＝（－3）2＋m 2（O 为原点），得r ＝3＋m 2．从而sin α＝m r ＝2m 4＝m22，∴r ＝3＋m 2＝22，于是3＋m 2＝8，解得m ＝±5．当m ＝5时，r ＝22，x ＝－3， ∴ cos α＝－322＝－64，tan α＝－153；当m ＝－5时，r ＝22，x ＝－3， ∴ cos α＝－322＝－64，tan α＝153【师说点拨】定义法求三角函数值的两种情况（1）已知角α终边上一异于原点的点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．（2）已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值．【变式探究】已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．解：∵角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，∴在角α的终边上任取一点P （4t ，－3t ）（t ≠0），则x ＝4t ，y ＝－3t ，r ＝x 2＋y 2＝(4t )2＋(－3t )2＝5|t |，当t >0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34；当t <0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34．综上可知，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34；或sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34．【考点三】扇形的弧长和面积公式例3 已知一扇形的圆心角是α，半径为R ，弧长为l ．（1）若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ．（2）若扇形周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【审题视点】（1）可直接使用弧长公式计算，但注意角需用弧度制．（2）可用弧长或半径来表达出扇形的面积，然后确定其最大值．[解] （1）α＝60°＝π3 rad ， ∴l ＝|α|·R ＝π3×10＝10π3cm ．（2）由题意得l ＋2R ＝20，∴l ＝20－2R （0<R <10）．∴S 扇＝12l ·R ＝12（20－2R ）·R ＝（10－R ）·R ＝－R 2＋10R ．∴当且仅当R ＝5时，S 有最大值25．此时l ＝20－2×5＝10，α＝l R ＝105＝2 rad ．∴当α＝2 rad 时，扇形面积取最大值．奇思妙想：本例第（2）问改为“若扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角”．该如何解答？解：⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋Rα＝1012α·R 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧R ＝1α＝8（舍去），或⎩⎪⎨⎪⎧R ＝4α＝12， ∴扇形圆心角为12．【师说点拨】（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便．（2）在解决弧长问题和扇形面积问题时要注意合理利用圆心角所在的三角形．【变式探究】一个扇形OAB 的面积为1cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB ．解：设圆的半径为r cm ，弧长为l cm ，则⎩⎪⎨⎪⎧12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2. ∴ 圆心角α＝lr ＝2．过O 作OH ⊥AB 于H ．则∠AOH ＝1弧度， ∴AH ＝1·sin1＝sin1（cm ），∴AB ＝2sin1（cm ）．【课课精彩无限】03三角函数定义的应用错误[2011·全国新课标高考]已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝（ ）A ．－45B ．－35C ．35D ．45[规范解答] 方法1：设P （t,2t ）（t ≠0）为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t 5|t |．当t >0时，cos θ＝55；当t <0时，cos θ＝－55．因此cos2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35． 方法2：tan θ＝y x ＝2， cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35． [答案] B 【备考·角度说】No ．1 角度关键词：易错分析（1）误认为角θ的终边为第一象限，导致漏解；（2）直接在终边y ＝2x 上任取一些特殊点，根据三角函数的定义求值，而不分情况讨论致误； （3）利用三角函数定义时，易把x ，y 的位置颠倒，弄错正弦和余弦的定义． No ．2 角度关键词：备考建议（1）利用定义来求任意角的三角函数，关键是求出角的终边上点P 的横、纵坐标及点P 到原点的距离，再利用定义求解．（2）若角的终边落在某条直线上，这时终边位置实际上有两个，对应的三角函数值有两组，应分别求解． （3）多维思考，方法选择得当，可避免讨论，高效解题． 【经典演练提能】041．[2013·怀化检测]sin2cos3tan4的值 （ ）A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在 答案：A解析：∵sin2>0，cos3<0，tan4>0，∴sin2cos3tan4<0．2．[2013·北京东城模拟]点P 从（1,0）出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q点的坐标为 （ ）A ．（－12，32）B ．（－32，－12）C ．（－12，－32）D ．（－32，12）答案：A解析：设α＝∠POQ ，由三角函数定义可知，Q 点的坐标（x ，y ）满足x ＝cos α，y ＝sin α，∴x ＝－12，y ＝32，∴Q 点的坐标为（－12，32）．3．[2013·安庆质检]将表的分针拨快10分钟，则分钟转过的弧度数是 （ ）A ． π3B ． π6C ． －π3D ． －π6答案：C解析：将表的分针拔快应按顺时针方向旋转为负角，∴A 、B 不正确，又∵拔快10分钟，应转圆周的16，∴弧度数为－16·2π＝－π3，∴选C ．4．设θ是第三象限角，且|cos θ2|＝－cos θ2，则θ2是 （ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 答案：B解析：由于θ是第三象限角，所以2k π＋π<θ<2k π＋3π2（k ∈Z ），k π＋π2<θ2<k π＋3π4（k ∈Z ）；又|cos θ2|＝－cos θ2，所以cos θ2≤0，从而2k π＋π2≤θ2≤2k π＋3π2，（k ∈Z ），综上可知2k π＋π2<θ2<2k π＋3π4，（k ∈Z ），即θ2是第二象限角．5．[2013·大庆调研]已知扇形的周长是4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是（ ）A ．2B ．1C ．12D ．3答案：A解析：设此扇形的半径为r ，弧长为l ，则2r ＋l ＝4则面积S ＝12rl ＝12r （4－2r ）＝－r 2＋2r ＝－（r －1）2＋1，∴当r ＝1时S 最大，这时l ＝4－2r ＝2． 从而α＝l r ＝21＝2．【限时规范特训】05（时间：45分钟 分值：100分）一、选择题 1． [2013·河南调研]与－525°的终边相同的角可表示为（ ）A ． 525°－k ·360°（k ∈Z ）B ． 165°＋k ·360°（k ∈Z ）C ． 195°＋k ·360°（k ∈Z ）D ． －195°＋k ·360°（k ∈Z ） 答案：C解析：在α＝195°＋k ·360°（k ∈Z ）中，令k ＝－2得α＝－525°，故选C ． 2． [2013·福州模拟]下列三角函数值的符号判断错误的是（ ）A ． sin165°>0B ． cos280°>0C ． tan170°>0D ． tan310°<0 答案：C解析：∵170°为第二象限角，∴tan 170°<0，选C ．3． 已知角α∈（－π2，0），cos α＝23，则tan α＝（ ）A ． －53B ． －1313C ． 513D ． －52答案：D解析：∵α∈（－π2，0），cos α＝23，∴sin α＝－1－cos 2α＝－53，∴tan α＝sin αcos α＝－52，故选D ．4． 一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为（ ）A ． π3B ． 2π3 C ． 3 D ． 2答案：C解析：设圆半径为R ，由题意可知：圆内接正三角形的边长为3R ．∴圆弧长为3R ．∴该圆弧所对圆心角的弧度数为3RR＝3．5． [2013·海口模拟]已知点P （sin α－cos α，tan α）在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围是（ ）A ． （π4，π2）B ． （π，54π）C ． （3π4，54π）D ． （π4，π2）∪（π，54π）答案：D解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧sin α－cos α>0tan α>0，解得α∈（π4，π2）∪（π，54π）．6． [2013·大连模拟]已知角2α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边过点（－12，32），2α∈[0,2π），则tan α＝（ ）A ． － 3B ． 3C ． 33D ． ±33答案：B解析：由角2α的终边在第二象限，知tan α>0，依题设知tan2α＝－3，所以2α＝120°，得α＝60°，tan α＝3． 二、填空题 7． [2013·泉州质检]若角α的终边经过点P （1,2），则sin2α的值是________．答案：45解析：∵sin α＝25，cos α＝15，∴sin2α＝2×25×15＝45． 8． 在单位圆中，一条弦AB 的长度为3，则该弦AB 所对的圆心角α是________rad ．答案：23π解析：由已知可得半径R ＝1，∴sin α2＝AB 2R ＝32，∴α2＝π3，∴α＝23π．9． [2013·抚顺模拟]已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P （4，y ）是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________．答案：－8解析：因为r ＝x 2＋y 2＝16＋y 2，且sin θ＝－255，所以sin θ＝y r ＝y 16＋y 2＝－255，所以θ为第四象限角，解得y ＝－8． 三、解答题10． 已知角α的终边过点P （－3cos θ，4cos θ），其中θ∈（π2，π），求α的三角函数值．解：∵θ∈（π2，π），∴－1<cos θ<0． ∴r ＝9cos 2θ＋16cos 2θ＝－5cos θ，故sin α＝－45，cos α＝35，tan α＝－43．11． [2013·包头月考]已知角θ的终边上有一点M （3，m ），且sin θ＋cos θ＝－15，求m 的值．解：r ＝32＋m 2＝m 2＋9，依题意sin θ＝m m 2＋9， cos θ＝3m 2＋9，∴m m 2＋9＋3m 2＋9＝－15． 即m ＋3m 2＋9＝－15， 解得m ＝－4或m ＝－94，经检验知m ＝－94不合题意，舍去． 故m ＝－4．12． [2013·盐城模拟]扇形AOB 的周长为8 cm ．（1）若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；（2）求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB ． 解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，（1）由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3，l ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr ＝6．（2）∵2r ＋l ＝8， ∴S 扇＝12lr ＝14l ·2r ≤14（l ＋2r 2）2＝14×（82）2＝4，当且仅当2r ＝l ，即α＝lr＝2时，扇形面积取得最大值4．∴r ＝2， ∴弦长AB ＝2sin1×2＝4sin1．。
高三高考数学第一轮复习课件三角函数复习
]
20）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B
、C的对边，4sin2
B
2
C
-cos2A=
7 2
。
（1）求角A的度数；
（2）若a= 3 ，b+c=3，求b和c的值。
解：∴c4∴ocsoc2Aos(21s=A+A2 c-b=co2os122csAb22c)Aa-∴22==c72oA12s=2A60+。1=b272+c2-a2=bc 又∵b+c=3 bc=2
22 3
选A
例4
函数f(x)=cos2(x-
2 3
)+sin2(x-
5 6
)
+msinxcosx的值域为[a,2](x∈R,m>a)求m
值和f(x)的单调增区间。
解 ：1 f (x1 2 )[ = c 2 1 x c o o 2 2 4 3 x s ) 4 3 ()c s 1 2 co x ( o 2 2x 5 s 3 5 3 ) (s ) m ] 2 m 2( s s2 i2 x i x n
=sin(45。±35。). ∴ Sinα =sin 10。 ,sinβ=sin 80。
∴α=10。 β=80。 cos(2α-β)=cos60。= 1
2
〔三〕单元测试
一、选择题
1〕函数y=
coxs s
|cox|s |s
inx inx|
|ttaaxxnn|的值域是〔A〕
(A) |3,-1| (B) |3,1| (C) |-1,1,3| (D) |-1,1-3|
（2）若x∈[求a的值。
2
,
2
]时，f(x)的最大值为1，
解：（1）f(x)=sin(x+
高考数学总复习 专题03 第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数课件 理
∴S＝S 扇形－S△AOB＝50π3 － 23.
第三单元 三角函数、解三角形
第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数
知识汇合
1. 弧度制 (1)的长＝半径⇒∠AOB＝1 弧度2π.
1 rad≈57°18′＝57.30° .
rad＝360°，
(2)扇形半径为r，圆心角的弧度数是α，则这个扇
形的弧长l＝|α|r ，面积S＝|α|r2，周长|＝α|r＋2r
2．弧度制
弧度角：长度等于_半___径__长__的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧
度角，记作 1 rad 或 1 弧度或 1(单位可以省略不写)．
角 α 的弧度数的绝对值是__|α__|＝__rl__，其中 l 是圆心角所对的
弧长，r 是半径． 角度制与弧度制的换算：180°＝π，1≈57.3°
弧长公式：_l＝__|_α_|r_(α 是圆心角的弧度数，r 是半径)，扇 形面积公式：S_＝__12_l_r_＝__12_|α_|_r2.
C.[-1,1 ] D.[- 3 , 2
3]
2
【答案】B
【解析】
f（x）=sinx-cos(x+ ) sin x 3 cos x 1 sin x
6
2
2
sin(x )1,1， f (x)值域为[- 3 , 3 ]. 6
3
sin(x
6
)
，
练习巩固
1．已知角 α 的终边上一点 A(2,2)，则 α 的
9．若－π2 <α<0，则点 P(tanα，cosα)位于
()
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
新坐标2020版一轮数学：3.1-任意角、弧度制及任意角的三角函数
38
►考法 3 三角函数线的应用 【例 4】 函数 y＝ 2cos x－1的定义域为________． 2kπ－3π，2kπ＋π3(k∈Z) [∵2cos x－1≥0， ∴cos x≥12. 由三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影所示)．
解析答案 栏目导航
∴x∈2kπ－3π，2kπ＋π3(k∈Z)．]
37
(1)C (2)A [(1)由 sin αtan α＜0 可知 sin α，tan α 异号，从而可 判断角 α 为第二或第三象限角．
由ctaons αα＜0 可知 cos α，tan α 异号，从而可判断角 α 为第三或第 四象限角．
综上可知，角 α 为第三象限角． (2)sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0，则 sin 2·cos 3·tan 4＜0，故选 A.]
栏目导航
24
[规律方法] 1.象限角的两种判断方法 (1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定 义直接判断已知角是第几象限角． (2)转化法：先将已知角化为 k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形 式，即找出与已知角终边相同的角 α，再由角 α 终边所在的象限判断 已知角是第几象限角．
栏目导航
25
2．终边在某直线上角的求法四步骤 (1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线． (2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角． (3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合． (4)求并集化简集合．
栏目导航
26
扇形的弧长、面积公式
【例 1】 (1)已知扇形周长为 10，面积是 4，求扇形的圆心角； (2)已知扇形周长为 40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇 形的面积最大？