有理函数
《有理函数积分等》课件
2
n= 1
代入欧拉公式或使用三角代换。
3
n大于等于2 的情况
使用递推公式将多项式一般式转化为比较简单的情况。
积分分母为一次因式的情况
一般式
$\int\frac{f(x)}{(ax+b)^n}dx$，其中$n\geq2$。
一次换元法
设$ax+b=t$，积分化解成$\int\frac{g(t)}{t^n}dt$的形式，使用反函数法，将积分结果从$t$转 化回$x$。
公式重要性
熟练掌握数学公式是个人成 长和职业发展的基础，有助 于解决复杂问题和快速准确 完成工作。
通俗易懂
数学公式需要深厚的理论基 础，但也有很多通俗易懂的 说明方式，冲破难点，前行！
有理函数积分练习题
练习题目覆盖了以上主题，共15道题。坚持切勿停息。
习题讲解：简单有理函数
针对简单有理函数常见的积分形式进行操作演示，并介绍一些小技巧，加速 解题速度。
《有理函数积分等》PPT 课件
探索有理函数积分的奥秘，了解有理函数的定义和分解原理，学习如何将多 次因式的有理函数进行分式分解并进行积分计算，掌握等式变形技巧，训练 积分练习题，达到熟练掌握有理函数积分知识的目标。
有理函数定义
什么是有理函数？
一种函数形式：分子和分母 都是多项式函数，其值域为 有理数集合。
3 注意事项：
不同于多项式函数的因式分解，有理函数的分解结果并不唯一。
部分分式分解原理
因式类型 一次因式 不可约的二次因式
重根的二次因式
对应的部分分式形式
$\frac{A}{x-a}$
$\frac{Bx+C}{ax^2+bx+c}$或 $\frac{Ax+B}{(px+q)^k}$
有理函数——精选推荐
本单元的重点与难点
1.重点：有理函数的部分分式分解方法． 2难点：将三角函数的有理函数，简单无理根式化为有 理函数的方法． 教学时数 3-4学时．
一、有理函数的不定积分
1.有理函数的部分分式分解方法
有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数，即具
有如下形式的函数：
( ) P x ( ) Q x
=
a0 xn b0 xm
⎟⎟⎠
⎥ ⎥ ⎦
t
=
x
+
p,a 2
=
q− p2 4
dt t2 +a2 n
而
∫ ( ) ( ) ∫ ( ) In−1 =
( ) dt
t2 + a2
n −1
=
t t2 + a2
n−1 + 2
n −1
t2 t 2 + a2 n dt
( ) ∫ ( ) ( ) =
t t2 + a2
n−1 + 2(n − 1)
⎠
= a2 + b2 (sinϕsin x + cosϕcos x)
= a2 + b2 cos( x −ϕ)
其中ϕ = arctan a , 则
b
∫
a sin
dx x+b
cos
x
=
1 a2 +
b2
∫
cos
(
1 x
−
ϕ
)dx
= 1 ln sec( x − ϕ ) + tan ( x − ϕ ) + C
N
−
Mp ⎞ 2 ⎟⎠
dx
⎡⎢⎣⎢⎛⎝⎜
x
+
有理函数的定义
有理函数的定义有理函数（Rational Function）是指由多项式函数分母和分子组成的函数，其中分母函数不等于零。
有理函数的定义域是所有使分母函数不等于零的实数集。
有理函数的一般形式可以表示为：f(x) = p(x) / q(x)，其中p(x)和q(x)都是多项式函数。
其中，p(x)为分子函数，q(x)为分母函数。
有理函数的定义域是所有使分母函数q(x)不等于零的实数集。
因为分母函数不等于零时，有理函数的值才有定义。
如果在定义域内，分母函数q(x)等于零，那么有理函数的值为无穷或不存在。
例如，考虑有理函数f(x) = (x^2 + 1) / (x - 2)。
这个函数的分子函数为p(x) = x^2 + 1，分母函数为q(x) = x - 2。
根据定义，要使有理函数有定义，分母函数q(x)不等于零。
因此，x - 2 ≠ 0，即x ≠ 2。
所以，有理函数的定义域是所有实数除了2。
有理函数的图像通常表现出一些特殊的性质。
由于分子函数和分母函数都是多项式函数，所以有理函数的图像通常是连续的。
有理函数的图像也可能有一个或多个垂直渐近线，这些渐近线对应于使分母函数q(x)等于零的点。
考虑有理函数f(x) = (x^2 + 1) / (x - 2)。
将这个函数进行分解，可以得到f(x) = x + 2 + 5 / (x - 2)。
因此，这个有理函数的图像有一个斜渐近线y = x + 2，这是因为当x趋近于正无穷时，有理函数趋近于x + 2。
此外，由于分母函数q(x)等于零时，有理函数的值不存在，所以有理函数的图像也有一个垂直渐近线x = 2。
有理函数的图像还可能有零点和极值点。
零点是使有理函数等于零的点，极值点是有理函数的局部最大值或最小值的点。
例如，考虑有理函数f(x) = (x^2 + 1) / (x - 2)。
要找到这个函数的零点，即解方程f(x) = 0。
这个方程可以化简为(x^2 + 1) = 0。
有理函数的
有理函数的函数是微积分中的一个重要概念，它是反映自变量与因变量之间依赖关系的数学模型，下面是关于有理函数的介绍：有理函数也叫做解析函数。
对任意实数x， y满足函数关系y=f(x)，则称函数为有理函数。
有理函数与无理函数相比较，在运算上要复杂得多。
以下三例说明有理函数与无理函数在运算上的不同点。
1。
有理函数的复合与分解有理函数可进行复合，如y=sin(x+iy)可表示为由一次和二次无理函数组成。
函数y=cos(x-iy)可表示为其中y为有理函数， y=2cos(x-iy)表示两个函数组成的有理函数，由此， y=cos(x-iy)。
又如，将x=f(x)=cos(x-iy)等号左边分子分母同时乘以e^{iy}，再把sin(x+iy)看成y的形式，可得y=cos(x-iy)。
这里e^{iy}是[gPARAGRAPH3]()函数，即分母为e的余弦函数，当x=1时，其值为-1。
上述的这些函数均称作余弦函数。
2。
有理函数的最大值与最小值有理函数可以表示为最大值与最小值。
对任意实数x，设y=f(x)，则y=f(0)-f(x)，它的最大值为f(x)为其最大值。
又如，将y=f(x)看成其形式， f(x)=f(0)+f(1)可表示为一次无理函数， f(0)=1， f(1)=1/2，当x=1时，它的值为1/2。
这样， y=f(x)=f(0)+f(1)可表示为其最小值为1/2，当x=1时， f(1)=1/2。
3。
有理函数的极值与零点有理函数可用求导法或极限法求其极大值、极小值。
这里有理函数的零点定义为如果函数y=f(x)无限逼近于0，则称y是有理函数的零点。
对任意实数x，设y=f(x)，则y=f(0)-f(x)，它的极大值为f(x)，且当x=0时，它的值等于极大值；当x>0时，它的值小于极大值，但不等于零。
这样，y=f(x)=f(0)+f(1)可表示为其极小值为0。
又如，将x=f(x)=cos(x-iy)+f(y)=cos(x-iy)-f(x)，视为最大值与最小值的组合形式，则f(y)=cos(x-iy)-f(x)可表示为其零点为0。
高数讲义第四节有理函数的积分全
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解 令 1 x t 1 x t2,
x
x
x
t
1 2
, 1
dx
2tdt t2 1
2,
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解
令 1 x t x
x
xt2211a12,dxdx
1
2a
ln
x2tdat tx2 a1
2
C,
1 x
1
x
xdx
t
2
1t
t
2
2t
12
dt
2
x
2)
1
A 2x
Bx 1
C x2
解：令：
x
1 (1
x)
2
A x
B 1 x
C (1 x)
2
1 A(1 x)2 B x(1 x) C x
取 x1, 得 C 1; 取 x0, 得 A1;
再取 x 2 , 得 1 (1 2)2 B2(1 2) 2 , B 1 ;
1 x (1 x) 2
t
3
1 t 1
1dt
6
(t
2
t
1
t
1
)dt 1
2t 3 3t 2 6t 6 ln | t 1 | C
2 x 1 33 x 1 36 x 1 6 ln(6 x 1 1) C.
说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.
例11 求积分
x 3x 1
dx. 2x 1
解 先对分母进行有理化
f (x) 为真分式 , 当 m n 时
f (x) 为假分式
有理函数
（其中各系数待定）； 其中各系数待定）；
例1
x+3 x2 − 5x + 6
=
分母因式分解
=
x + 3 ( x − 2 )( x − 3 )
比（ 较 系 数 法 ）
部分分式之和
A B , + x−2 x−3
x + 3 = A( x − 3 ) + B ( x − 2 ),
通分后分子相等
⇒
∴ x + 3 = ( + B ) x − ( 3 A + 2 B ),
3、有理函数积分法
(1) 假分式
多项式除法
→
多项式 + 真分式;
x3 + x + 1 1 如 = x+ 2 2 x +1 x +1
(2) 真分式
待定系数法
→
： 部分分式之和
P( x ) 化为部分分式之和的步骤： 有理真分式 化为部分分式之和的步骤： Q( x ) 在实数系作标准分解： （1）对分母 Q ( x )在实数系作标准分解： b0 ( x − λ1 )α1 L( x − λk )α k ( x 2 + p1 x + q1 ) β1 L( x 2 + ph x + qh ) β h
（其中 x 2 + p i x + q i , i = 1, L , h 为 不可约因式 )
( x − a ) k ，对应的部分分式为 （2）分母中因式 ） A1 A2 Ak , + + L+ k k −1 ( x − a) ( x − a) x−a
都是待定 常数. 待定的 其中 A1 , A2 ,L , Ak 都是待定的常数
有理函数的图像和性质
有理函数的图像和性质有理函数是由多项式函数组成的比值函数。
它既包含整数次幂的多项式分子函数，也包含整数次幂的多项式分母函数。
在这篇文章中，我们将探讨有理函数的图像和性质，并分析其特点和行为。
一、有理函数的图像特点有理函数的图像一般具有以下几个特点：1. 零点和极点有理函数的零点是使得分子函数为零的实数解，也就是函数图像与x轴交点的横坐标。
极点是使得分母函数为零的实数解，也就是导致函数图像存在垂直渐近线的横坐标。
2. 定义域和值域有理函数的定义域是使得分母函数不为零的所有实数。
值域是有理函数在定义域内所有可能的函数值。
3. 奇偶性和对称性若有理函数的分子函数和分母函数均满足关于原点对称的性质，即满足$f(-x)=-f(x)$，则该有理函数称为奇函数。
如果满足$f(-x)=f(x)$，则称为偶函数。
二、有理函数的图像分析有理函数的图像可以通过以下步骤进行分析：1. 确定零点和极点找出有理函数的分子函数和分母函数的零点和极点，并将它们标记在坐标轴上。
这些点对于分析函数的图像和性质非常重要。
2. 确定定义域和值域分析有理函数的定义域和值域，这有助于确定函数图像的范围和可能的形状。
3. 画出图像的大致形状通过分析零点、极点和定义域等信息，可以推测有理函数图像的大致形状。
画出主要的特征，如零点、极点和渐近线。
4. 进一步分析特征根据已知的信息，进一步分析图像的特征，如图像的相对位置、最值点、增减性等。
三、有理函数的性质总结有理函数具有以下几个重要的性质：1. 渐近线有理函数可能存在水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线。
水平渐近线是函数图像接近某个常数的水平线，垂直渐近线是函数图像接近某个纵坐标为常数的直线，斜渐近线是函数图像接近某个倾斜直线。
2. 极限值当自变量的值趋近于某个点时，有理函数的极限值可能趋近于一个有限值、正无穷大或负无穷大。
3. 零点和极点的影响有理函数的零点和极点对于图像的形状和行为具有决定性的影响。
不定积分有理函数的积分
不定积分有理函数的积分不定积分是微积分中的重要概念之一，它是对函数进行求导运算的逆运算。
在数学中，有些函数的不定积分可以用有理函数表示出来。
本文将介绍有理函数的积分，包括有理函数的定义、有理函数的积分规则以及一些例子。
首先，什么是有理函数？有理函数是指可以用两个整式的商表示的函数。
具体地说，设f(x)和g(x)是整式，g(x)≠0，那么f(x)/g(x)就是一个有理函数。
有理函数的积分有一定的规律可循。
对于整式1/x的不定积分∫1/x dx，则有∫1/x dx = ln|x| + C，其中C为常数。
这一结论称为常数倍分配律。
通过这个规则，我们可以计算更复杂的有理函数的不定积分。
例如，对于整式1/(x-a)的不定积分，其中a是常数，我们可以将它拆解成∫1/(x-a) dx = ln|x-a| + C。
这个结果可以用常数倍分配律推导出来。
具体过程如下：∫1/(x-a) dx = ∫[1/(x-a)]*(x-a)/(x-a) dx= ∫(x-a)/(x-a)^2 dx= ∫(x-a)^(-1) dx= ln|x-a| + C类似地，对于整式1/(ax+b)的不定积分，其中a和b是常数，我们可以将它拆解成∫1/(ax+b) dx = (1/a)ln|ax+b| + C。
这个结果也可以通过常数倍分配律推导出来。
有时，有理函数的积分需要进行部分分式分解。
部分分式分解是指将一个分式表达式拆解成几个简单的部分，使得每个部分易于计算积分。
通过部分分式分解，我们可以将原函数转化为更容易求解的积分问题。
举个例子，考虑不定积分∫(3x+1)/(x^2-4) dx。
首先，我们需要分解分母x^2-4。
由于该分母是一个乘法形式，我们可以将它分解成(x-2)(x+2)。
因此，可以将原函数写成∫(3x+1)/[(x-2)(x+2)] dx。
接下来，我们可以进行部分分式分解：(3x+1)/[(x-2)(x+2)] = A/(x-2) + B/(x+2)通过等式两边的相乘，我们可以得到一个方程：(3x+1) = A(x+2) + B(x-2)。
有理函数积分表
有理函数积分表有理函数积分表是数学中的一个重要工具，用于求解有理函数的不定积分。
有理函数是指多项式函数与有理函数的商，其积分可以通过分部积分、换元积分等方法来求解。
本文将介绍有理函数积分表的使用方法及一些常见的有理函数积分公式。
有理函数积分表是一个包含各种有理函数积分公式的表格，它可以帮助我们快速求解有理函数的不定积分。
在使用有理函数积分表时，我们只需要查找相应的公式，并根据具体的问题进行运用即可。
下面是一些常见的有理函数积分公式：1. $\int \frac{1}{x}dx = \ln |x| + C$这是最基本的有理函数积分公式之一，其中C为常数。
2. $\int \frac{1}{(x-a)^n}dx = \frac{1}{(1-n)(x-a)^{n-1}} + C$当$n \neq 1$时，其中a为常数，C为常数。
3. $\int \frac{1}{x^2 + a^2}dx = \frac{1}{a}\arctan \left(\frac{x}{a}\right) + C$其中a为常数，C为常数。
4. $\int \frac{1}{(x-a)(x-b)}dx = \frac{1}{b-a}\ln \left|\frac{x-a}{x-b}\right| + C$其中a、b为常数，C为常数。
5. $\int \frac{ax+b}{x^2 + px + q}dx = \frac{a}{2} \ln |x^2 + px + q| + (b-ap) \int \frac{1}{x^2 + px + q}dx$其中a、b、p、q为常数。
这些公式只是有理函数积分表中的一小部分，实际上有理函数积分表中还包含许多其他的公式。
在使用有理函数积分表时，我们需要根据具体的问题选择合适的公式，并注意进行适当的变量代换或分部积分等运算。
有理函数积分表的使用方法并不复杂，但需要一定的数学基础和熟练的运算技巧。
在使用有理函数积分表时，我们需要先对给定的有理函数进行分解或化简，然后根据分解后的形式选择合适的公式进行求解。
有理函数
1 ln x ln( x 1) C . x 1
1 dx . 例5 求积分 2 (1 2 x )(1 x ) 4 2 1 x 1 5 dx 5 5dx dx 解 1 2x 1 x2 (1 2 x )(1 x 2 )
2 1 2x 1 1 ln(1 2 x ) dx dx 2 2 5 5 1 x 5 1 x 2 1 1 2 ln(1 2 x ) ln(1 x ) arctan x C . 5 5 5
x 2 x 1 tan 1 tan 2 2, cos x 2 x 2 x sec 1 tan 2 2 x 令u tan x 2 arctanu（万能置换公式） 2
2
2u 1 u2 2 sin x , cos x , dx du 2 2 2 1 u 1 u 1 u
2 2
1 sin x dx. 例9 求积分 sin 3 x sin x A B A B 解 sin A sin B 2 sin cos 2 2 1 sin x 1 sin x sin 3 x sin x dx 2 sin 2 x cos x dx 1 sin x dx 2 4 sin x cos x 1 1 1 1 dx dx 2 2 4 sin x cos x 4 cos x
x x 3 x 3 ln(1 e ) ln(1 e 3 ) 3 arctan( e 6 ) C . 2 x 6
说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出 现三类情况：
(1) 多项式； ( 2)
A Mx N ; ( 3) ; n 2 n ( x a) ( x px q ) Mx N dx , 讨论积分 2 n ( x px q )