1.3矢量场的环量旋度
方向上的投影。
4、旋度运算的基本公式
C 0
(C为常矢量 )
(cA) c A
(A B) A B
(uA)
u
A
u
A
(A B) B A A B
三、斯托克斯定理
斯托克斯定理是矢量场的曲面积分与曲线积分之间的一个转
换关系。
AБайду номын сангаасdS A dl
S
l
四、旋度与散度的区别
矢量场的旋度是矢量函数，矢量场的散度是标量函数。 旋度描述场量与旋涡源的关系，散度描述场量与通量源的关系。
lim
S 0
l
S
在矢量场中，一个给定点 M 处沿不同方向n ，其环量面密度
的值是不同的。
二、矢量场旋度
1、旋度的定义
方向：环量面密度取最大值的面元正法线方向。
大小：等于该环量面密度最大值。即
rotA n lim
A dl
l
S0 S
max
2、旋度在坐标系下的表示
rotA A
在直角坐标系中的表示
§1.3 矢量场的环量 旋度
一、矢量场的环量与环量面密度
A1(、r)矢矢沿量量闭场场合的路A(环径r)量l沿的场环中量的。一条闭合路径
l
的曲线积分称为矢量场
S nS
A dl
l
P
A
C
环流的计算
物理意义：若某一矢量场的环量不等于零，则场中有产生该矢
量场的旋涡源。
2、环量面密度
A dl
rotn A
q
4
0
y
z r3
z
y r3
ex
z
x r3
x
z r3
ey
x
y r3
y
x r3
ez
0
ex
ey
ez
A
x y z
Ax Ay Az
在圆柱坐标系中的表示
e 1
A
e
ez
z
A A Az
在球坐标系中的表示
A
1
er
re
r sine
r 2 sin r
Ar rA r sinA
3、旋度的性质
矢量场的旋度是一个矢量。
矢量场在某点处的旋度表示该点的旋涡源密度。 矢量场在某点处沿 n 方向的环量面密度，等于旋度在该
在点M(1，0，1)处沿n方向的环量面密度
A
M
n
2 7
6 7
2
3 7
17 7
【例题2】在坐标原点处放置一点电荷q，在自由空间产生的
电场强度为
E
q
4 r 3
r
q
4 r 3
( xex
yey
zez
)
求自由空间任意点(r≠0)电场强度的旋度。
【解】
ex ey ez
E
q
4 x y z
xyz r3 r3 r3
如果矢量场的旋度为零，则称为无旋场(或保守场)；如果 矢量场散度为零，则称为无源场。
旋度描述场分量在与其垂直的方向上的变化规律；散度描 述场分量沿着各自方向上的变化规律。
【例题1】求矢量场A=x(z-y)ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在点M(1，0， 1)处的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez方向的环量面密度。
【解】矢量场A的旋度
ex
rotA A
x
ey
ez
y
z
x(z y) y(x z) z(y x)
(z y)ex (x z)ey ( y x)ez
在点M(1，0，1)处的旋度
A M ex 2ey ez
n方向的单位矢量
1
2 6 3
n 22 62 32 (2ex 6ey 3ez ) 7 ex 7 ey 7 ez
矢量场的环量和旋度
)
(c)
l A dl S ( A) dS
【例1-11】求矢量 A yex xey cez （c是常量）沿曲线 (x 2)2 y2 R2 , z 0 的环量。
y
R
O (2,0) l
【解】：曲线l是以（2，0）为圆心，R为
半径的圆，故线元 dl dxex dyey
l 方向的单位矢量
lo
l l
1 3 (ex 2ey 2ez )
在点 M (1, 2,3)处沿 l 方向的环量面密度为：
A lo 5 8 6 19
M
333 3
内容小结
主要概念：
环量 旋度
旋涡源
若环量（旋度）等 于零，该矢量场为 无旋场或保守场
主要定理：
3
3
3 (1,2,3) 3
②
ex
ey
ez
rot A A
x
y
z
x(z y) y(x z) z(y x)
(z y)ex (z x)ey ( y x)ez
在点M (1, 2,3) 处旋度为
rot A (1,2,3)
5ex
4ey
3ez
在点M (1, 2,3) 处沿方向 l ex 2ey 2ez 的环量面密度。 ①直接应用环量面密度的计算公式； ②作为旋度在该方向的投影。
【解】：
①矢量 l ex 2ey 2ez 的方向余弦为
cos 1 , cos 2 , cos 2
3
3
3
矢量场为 A x(z y)ex y(x z)ey z(y x)ez 由环量面密度公式
矢量场的旋度
C2
A dl
故
C
A d l A d S
S
证毕
例1.4 已知A x, y e x x e y x y 2 。现有一个在x y 面内的 闭合路径C，此闭合路径由0,0 和 2, 2 之间的一段抛物
2
线 y 2 x 和两段平行于坐标轴的直线组成，如图所示。 求：（1）矢量场的A旋度； （2）计算环流 C A dl 。积分区域 为如图所示的闭合路径C； （3）验证斯托克斯定理。
任意方向的环流密度 即
2、旋度的定义：
C
A dl rot A dS
３、旋度的物理意义
矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数；
矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度；
旋度的计算
在直角坐标系下：
Az Ay Ax Az Ay Ax rotA ex ( ) ey ( ) ez ( ) y z z x x y
A dl ＜ A 与 en 有一夹角 ，则 C
讨论：
A en A dl
A
max
dl
C
M
A 与 S不在同一平面上
max
A
en
当 的法向分量 en 垂直），环流密度有最大值，此即被 en 的方向就称为 A 旋度的方 称为 A 的旋度大小； 向。
0 2 0 2
利用y2 x消去一个自变量y, 有dy dx /(2 x ), y 2 dy
C
2 y dy
2
0 2
2 x x x 2 dx
1.3矢量场的旋度
例：求矢量场 A ex x( z y) ey y( x z) ez z ( y x) 在
M（1，0，1）处的旋度及沿l 2ex 6e y 3ez
ex ( z y ) e y ( x z ) ez ( y x )
C2
A dl
5
故
2 A d S
S
证毕
10
例1.4 已知 。现有一个在 x y面内的 2 y 2, 2 闭合路径C，此闭合路径由 0,0和 之间的一段抛物线 x 和两段平行于坐标轴的直线组成，如图所示。
2014-4-11 12
10
5
2014-4-11
３、旋度的物理意义
矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数； 矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度；
旋度的计算
在直角坐标系下：
Az Ay Ax Az Ay Ax rotA ex ( ) ey ( ) ez ( ) y z z x x y
Ci
Cj
9
C
A dl
又
A dl rotA dS1 rotA dS 2
C
A dl rotA dS1 C1 A dl rotA dS 2 C2 ………
C1
A dl
C C
2014-4-11 2
１.３.２、矢量场的旋度：
M
质，取包含此点的一个面元 S ，其 边界为 C，保持面元 S 的 en 方向不 变，而 S 以任意方式趋近于零。则
1.4 矢量场的环量及旋度
1.4 矢量场的环量及旋度要研究产生矢量场的另一种场源。
1.4.1矢量场的环量矢量场的环量就是指矢量场的闭合线积分。
这里先研究变力做功问题，以便引导出矢量场线积分的概念。
用F (r )表示力场，沿图示路径l ，求由a 点到b 点所作的功。
将l 划分为N 个线元段，根据a 到b 的走向将各线元段表为线元矢量。
设第i 个线元矢量Δl i 与其上近似不变的力F i 之间的夹角为θi ，则元功为i i i i i i l F A l F ∆⋅=∆≈∆θcos将所有元段上的元功求和，求当N →∞、Δl i →0时的极限⎰∑⋅=∆⋅==→∆∞→l Ni i i l N A l F l F d )(lim 10即得沿路径l 由a 到b 变力F (r )作的功，它是标量。
若将式中的F (r )看成是任意的矢量场，则⎰⋅l l F d 就代表矢量场F (r )沿路径l 的标量线积分。
矢量场沿闭合路径的线积分，称为矢量场的环量(circulation)。
用C 表示⎰⋅=ll F C d （1.4.1）矢量场的环量可能为零，也可能不为零:① 若有0d =⋅⎰l l F ，该矢量场就是保守场或守恒场； ② 若有0d ≠⋅⎰l l F ，该矢量场叫做旋涡场。
对于场中的任意闭合路径矢量场的环量，与该闭合路径所围部分含有的旋涡源之间存在关联性，使环量具有检源作用。
在直角坐标系中，设矢量场为F ( x,y,z )，l 为任意闭合路径，环量可写成ib a⎰⎰++=⋅=lz y x lz F y F x F C )d d d (d l F （1.4.2）1.4.2矢量场的旋度为了表征矢量场中旋涡源的空间分布特性，要引入矢量场旋度概念。
在连续、可微的矢量场F (r )中，过观察点P 任作一面元∆S ，按其正法向方向确定面元矢量∆S=∆S n 'e 。
l 为面元的周界，其循行方向与∆S 的方向按惯例应符合右手法则，如图所示。
沿l 的循行方向求⎰⋅l l F d ，让∆S 向着P 点收缩，若极限sls ∆⋅⎰→∆l F d lim 0存在，它表示P 点处∆S 为如图取向时在单位面积周界上F (r )的环量。
矢量场的环量旋度
矢量场的环量__旋度
在矢量分析和流体力学中，矢量场的旋度（或称为旋涡）是一个重要的概念。
旋度描述了一个矢量场在某一点的变化率和方向。
具体来说，它给出了一个矢量场在某一点围绕一个点或一条线的旋转强度和方向。
旋度的数学定义是 curl(F) = ∇× F，其中 F 表示矢量场，∇表示哈密顿算子（一个矢量算子），× 表示矢量的叉乘。
这个定义表明，旋度是一个矢量，其大小等于原矢量场在三个方向上的变化率的最大差值，其方向垂直于原矢量场所在的平面。
在具体应用中，旋度有很多重要的用途。
例如，在电磁学中，根据安培定律和法拉第电磁感应定律，磁场的变化会产生电场，这个电场的大小和方向与磁场的变化率和方向有关。
这表明旋度在电磁场的变化和传播中起着重要作用。
在流体力学中，旋度描述了流体速度场的旋转情况。
如果一个流体速度场的旋度很大，那么这个流体的旋转速度就很大。
这种旋转流体在自然界和工程中有很多重要应用，例如龙卷风、旋涡星云、水涡等。
此外，在向量场中，如果一个向量场的旋度为零，那么这个向量场就是无旋的。
无旋向量场在很多实际应用中具有重要价值。
例如，无旋的电流场不会产生磁场，因此不会受到磁场的干扰。
因此，在电力工程中，无旋电流场的设计和分析是非常重要的。
总之，矢量场的旋度是一个描述矢量场在某一点的变化率和方向的重要概念。
它在矢量分析、流体力学、电磁学、工程应用等领域中有广泛的应用。
通过对旋度的计算和分析，我们可以更好地理解和描述自然现象以及设计各种实际应用。
3通量和环量
1.1 矢量场的通量与散度 1.2 矢量场的环量与旋度 1.3 亥姆霍兹定理
工程电磁场 第一章 矢量分析1 Nhomakorabea1.1 矢量场的通量与散度
1.1.1 通量 1、定义 有向曲面S——其大小为S、方向沿曲面 的垂直方向ds的曲面。 如果在该矢量场中取一曲面S， 通过该 曲面的矢线量总和称为通量。
a n 与 Rm 重合。此时 max Rm ，说明Rm 当 Rm，an 0 时，
指向环量面密度最大的方向。
看出旋度是一个矢量，其大小为沿单位面积上的最大环 量（最大环量面密度或最大环量源强度），其方向为曲面 取向使环量最大时，该曲面的法线方向。 旋度用于表示旋涡源产生的旋涡场，其矢量线为包围旋
对式（1.56）分别取散度和旋度，由式（1.57a、b）知
F Fn g(1.58a) F Ft G(1.58b)
S S1 S2 S3
S4
S5
S6
Fx Fy Fz 整个封闭曲面的总通量： xyz S F dS y z x
工程电磁场 第一章 矢量分析 7
该闭合曲面所包围的体积： V xyz
divF lim S
V 0
界定面积S 的法向矢量 a n 呈右旋关系（见图1.26），当
S 趋近于零时，F在点P处的环量面密度定义为如下比值的极
限，表明环绕 a n 方向旋转的强弱情况。
n
F dl lim (1.45)
l S 0
9
1.2 矢量场的环量与旋度
1. 环量（环流）： 有向曲线 l ——其大小为 l ，方向 沿 l 的切线方向 a t 的曲线。 在矢量场中，任意取一闭合曲线 ， 将矢量沿该曲线积分称之为环量。
第9讲矢量场的环量及旋度1
Q P ( Pdx Qdy) (( )dxdy x y l S
l 的方向为内边线顺时针，外边线逆时针。
2.环量面密度
环量只能描场中述以
通向任意方向
l
为边界的一块曲面
S
内
总的流（电流强度）；不能反映场中任意一点处
n 的流的密度（电流密度）。
n
流密度：矢量场中 M 点处沿任一方向
1.环量
dl ndl dl cos(t , x)i dl cos(t , y) j dl cos(t , z )k
dxi dyj dzk
l
t dl
cos(t , x), cos(t , y), cos(t , z) 为 l 切线矢量 t 的方向余弦。
《矢量分析与场论》
第9讲 矢量场的环量及旋度（1）
张元中
中国石油大学（北京）地球物理与信息工程学院
《矢量分析与场论》
主要内容
1. 环量 2. 环量面密度 3. 旋度
教材：第2章，第4节
1.环量
环量反映矢量场 A 和环线 l 之间的相互作用。 环线 l 为封闭曲线，其方向规定为：环线 l 和 流 I 成右手螺旋法则。
根据中值定理
[( R Q P R ) cos(n, x) ( ) cos(n, y ) y z z x
(
Q P ) cos(n, z )]M * S x y
2.环量面密度
其中 M *为 S 上的某一点，当 S M 时，有 M * M ， 于是
的
dl
A
在直角坐标系中，环量表示为：
A dl ( Pdx Qdy Rdz )
矢量场的环量和旋度课件
➢ 本节的研究目的
寻找能够度量和刻画矢量场变化情况的量。 旋度是描述矢量场中任一点旋转性质的量。
➢ 本节的研究内容
一、矢量场的环量 二、环量面密度 三、矢量场的旋度
一、矢量场的环量
在矢量场中，若L是一条有向闭合曲线，则矢量场
A 沿有向闭曲线 L的线积分，称为矢量A 沿有向闭
曲线L的环量，即
2. 旋度代表矢量场的涡旋源的特性：
A 0 该点矢量线有旋
A 0
该点矢量线无旋
三、矢量场的旋度(rotation)
旋度小结： 3. 经过点M 的任意方向的环量面密度，都可用 旋度在该方向上的投影获得，即
环量面密度 ( A)M en
4.在矢量场中，若 A J 0 ， 称之为有旋场， J 称为旋度源；
进一步整理，可得
•
环量面密度 ( A)M
en
A M
en cos
rot A A
三、矢量场的旋度(rotation)
A A z
y
Ay e z x
Ax z
Az x
x ey
Ay
x
Ax e y z
旋度小结：
1. 矢量场的旋度是一个矢量，它是描述矢量场中 任一点旋转性质的量。
A
d L
L
一、矢量场的环量
环量的物理意义：不同物理量的环量意义不同。
以河水中放置的水轮为例，水轮边缘受到的力
为 A ，则矢量A 沿水轮边界 L 的环量表示水流
沿整个水轮所作的功。
A
d L
L
Γ0
Γ0
一、矢量场的环量
根据环量的大小判断闭合曲线中是否存在涡旋源：
Γ0
(无涡旋源)
矢量分析：旋度、散度、梯度(1)
二、矢量积 Cross production 定义：矢量积A×B是一个矢量, 其大小等于两个矢量的模
值相乘, 再乘以它们夹角αAB(≤π)的正弦, 其方向与A , B成右手螺
旋关系, 为 ˆ A , B所在平面的右手法向 n :
ˆ A B sin aAB A B n
第一章 矢 量 分 析
Chapter 1 Vector Analysis §1.1 矢量表示法和运算 §1.2 通量与散度,散度定理
§1.3 环量与旋度,斯托克斯定理
§1.4 方向导数与梯度,格林定理 §1.5 曲面坐标系 §1.6 亥姆霍兹定理
基本要求
1. 掌握矢量在正交坐标系中的表示方法 2. 掌握矢量的代数运算及其在坐标系中的物理意义 3. 掌握矢量积、标量积的计算 4. 了解矢量场散度的定义，掌握其计算方法和物理意义；掌 握散度定理的内容，并能熟练运用。
1 .3 .1 环量 Curl of a vector field
矢量A沿某封闭曲线的线 积分, 定义为A沿该曲线的环 量(或旋涡量), 记为
l
A dl
1 .3 .2 旋度的定义和运算
1、定义：
为反映给定点附近的环量情况, 我们把封闭曲线收小, 使它包围的 面积ΔS趋近于零, 取极限 A dl l lim S 0 S
物理量的表示 • 矢量：大写黑体斜体字母
A 大写斜体字母加表示矢量的符号 A
• 标量：小写斜体字母 u ˆ x • 单位矢量：小写上加倒勾
ex
ex
§1 .1 矢量表示法及其运算
1 .1 .1 矢量表示法及其和差
若一个矢量在三个相互垂 直的坐标轴上的分量已知 , 这 个矢量就确定了。 例如在直角
矢量场的环量旋度
A
M
n
2 7
6 7
2
3 7
17 7
【例题2】在坐标原点处放置一点电荷q，在自由空间产生的
电场强度为
E
q
4 r 3
r
q
4 r 3
( xex
yey
zez
)
求自由空间任意点(r≠0)电场强度的旋度。 【解】
ex ey ez
E
r sine
A
1
r 2 sin r
Ar rA r sinA
3、旋度的性质
矢量场的旋度是一个矢量。
矢量场在某点处的旋度表示该点的旋涡源密度。
矢量场在某点处沿 n 方向的环量面密度，等于旋度在该
方向上的投影。
4、旋度运算的基本公式
C 0
(C为常矢量 )
【例题1】求矢量场A=x(z-y)ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在点M(1，0， 1)处的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez方向的环量面密度。
【解】矢量场A的旋度
ex
rotA A
x
ey
ez
y
z
x(z y) y(x z) z(y x)
(z
y)ex
(x
z)ey
(
y
x)ez
在点M(1，0，1)处的旋度
A M ex 2ey ez