过椭圆焦点的弦长公式
过椭圆焦点的弦长公式
过椭圆焦点的弦长公式：
|AF2|/|AH|=e|AF2|
椭圆弦长公式是一个数学公式，关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为关于x（或关于y）的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长。韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出了这条定理。由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理。
高中数学椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用
椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用 摘要 ：直线与椭圆相交时的弦长问题，可以用万能的弦长公式解决即12 AB x -或 者12AB y -，而有一种特殊的弦是过焦点的弦，它的弦长有专门的公式： 22222cos ab AB a c θ =-，如果记住公式，可以给我们解题带来方便. 下面我们用万能弦长公式，余弦定理，焦半径公式，仿射性四种方法来推导椭圆的焦点弦长公式，这几种方法涉及到很多思想，最后举例说明其应用. 解法一：根据弦长公式直接带入解决. 题：设椭圆方程为122 22=+b y a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭 圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB . 椭圆方程12222=+b y a x 可化为02 22222=-+b a y a x b ……①， 直线l 过右焦点，则可以假设直线为：x my c =+(斜率不存在即为0m =时)，代入①得： 222222222()20b m a y mcb y b c a b +++-=，整理得，222224()20b m a y mcb y b ++-= ∴24 1212222222 2,mcb b y y y y b m a b m a +=-=-++， ∴ 12AB y -==∴()2 222 221ab AB m b m a =++ （1）若直线l 的倾斜角为θ，且不为90o ,则1 tan m θ = ，则有： ()222 2222 222 221111tan tan ab ab AB m b m a b a θθ ??=+=+ ?+??+, 由正切化为余弦，得到最后的焦点弦长公式为2 222 2cos ab AB a c θ =-……②. （2）若=90θo ，则0m =，带入()22 222 21ab AB m b m a =++,得通径长为22b a ，同样满足②式.并且由
椭圆的焦点弦长公式推导
椭圆的焦点弦长公式推导 例：设椭圆方程为12222=+b y a x ，直线l ：b kx y +=交椭圆于A 、B 两点，求AB 长度。 解：椭圆方程12222=+b y a x 可化为0222222=-+b a y a x b ……① ， 将直线l ：t kx y +=带入①得：()0222222=-++b a t kx a x b ，整理得， ()022********=-+++b a t a ktx a x b k a ， ∴222222*********,2b k a b a t a x x b k a kt a x x +-=+-=+， ∴()()()()()222222222222222222222224212212214444b k a t b k a b a b k a b a t a b k a t k a x x x x x x +-+=+-?-+=-+=- ∴2222222212t b k a b k a ab x x -++= - ∴22222222212121t b k a k b k a ab x x k AB -+++= -+= 若直线AB 经过左焦点1F （- c ，0），则kc t =，带入上式可得到， 122222221++=-k b k a ab x x ， ()12122222222222222++=-+++=k b k a ab t b k a k b k a ab AB ……焦点弦长公式① 若直线l 的倾斜角为θ，即θtan =k ，则有： ()()θθθ22222222222222cos 21tan tan 212c a ab b a ab k b k a ab AB -=++=++=……焦点弦长公式②
椭圆的焦点弦长公式二级结论
椭圆的焦点弦长公式二级结论 椭圆是平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点P的轨迹，F1、F2称为椭圆的两个焦点。其数学表达式为：|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）。 s=(圆周率)ab(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长). 或s=(圆周率)ab/4(其中a,b分别就是椭圆的长轴,长轴的长). 椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。 椭圆周长(l)的准确排序必须使用分数或无穷级数的议和。例如 l = /2]4a * sqrt(1-(e*cost)^2)dt((a^2+b^2)/2) [椭圆近似周长], 其中a为椭圆长半轴,e为离心率 椭圆距心率的定义为椭圆上的的边某焦点的距离和该点至该焦点对应的准线的距离之比，设立椭圆上点p至某焦点距离为pf，至对应准线距离为pl，则 e=pf/pl 椭圆的准线方程 x=a^2/c e=c/a(e1,因为2a2c) 椭圆的焦准距：椭圆的焦点与其相应准线(如焦点(c,0)与准线x=+a^2/c)的`距离,数值=b^2/c 椭圆汪半径公式：|pf1|=a+ex0 |pf2|=a-ex0 椭圆过右焦点的.半径r=a-ex 过左焦点的半径r=a+ex 椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴(或y轴)的直线与椭圆的两交点a,b之间的距离，数值=2b^2/a 点与椭圆边线关系：点m(x0，y0) 椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1 点在圆内： x0^2/a^2+y0^2/b^21 点在圆上： x0^2/a^2+y0^2/b^2=1 点在圆外： x0^2/a^2+y0^2/b^21
直线与椭圆边线关系 y=kx+m ① x^2/a^2+y^2/b^2=1 ② 由①②可推出x^2/a^2+(kx+m)^2/b^2=1 切线△=0 相离△0无交点 平行△0 可以利用弦长公式：a(x1,y1) b(x2,y2) |ab|=d = (1+k^2)|x1-x2| = (1+k^2)(x1-x2)^2 = (1+1/k^2)|y1-y2| = (1+1/k^2)(y1-y2)^2 椭圆通径(定义：圆锥曲线(除铅直)中，过焦点并旋转轴轴的弦)公式：2b^2/a
椭圆交点弦长公式
椭圆交点弦长公式 椭圆交点弦长公式是数学中关于椭圆的一个重要公式，用于计算椭圆上两点之间的弦长。椭圆是一种特殊的曲线，具有许多独特的性质和特点。掌握椭圆交点弦长公式，可以帮助我们更好地理解椭圆的几何性质和应用。 椭圆交点弦长公式的推导基于椭圆的定义和性质。首先，我们需要了解椭圆的定义。椭圆是平面上一组点的集合，这组点到两个给定点（焦点）的距离之和始终是一个常数。这两个焦点与椭圆的长轴平行。 在椭圆上任取两个点A和B，这两个点分别到两个焦点F1和F2的距离之和等于常数2a（a为椭圆的半长轴），即AF1 + AF2 = 2a。现在我们要计算点A和点B之间的弦长AB。 我们可以通过椭圆的定义得到AF1和AF2的关系式，即AF1 + AF2 = 2a。根据这个关系式，我们可以得到AF1 = 2a - AF2。接下来，我们可以使用勾股定理计算弦长AB。 利用勾股定理，我们可以得到弦长AB的平方等于AF1的平方加上AF2的平方减去两倍的AF1和AF2的乘积，即AB² = (2a - AF2)² + AF2² - 2(2a - AF2)(AF2)。 将上式展开并整理，可以得到AB² = 4a² - 4a(AF2) + (AF2)² + (AF2)² - 4a(AF2) + 4(AF2)²。简化后，得到AB² = 4a² - 4a(AF2)
+ 4(AF2)²。 由于椭圆的性质，我们可以将AF2表示为AE - EF2，其中AE为椭圆的半长轴，EF2为焦点F2到点E的距离。代入上式，可以得到AB² = 4a² - 4a(AE - EF2) + 4(AE - EF2)²。 进一步展开并整理，可以得到AB² = 4a² - 4aAE + 4aEF2 + 4AE² - 8AE·EF2 + 4(EF2)²。 根据椭圆的定义，我们可以得到AE² = a² - EF1²，其中EF1为焦点F1到点E的距离。代入上式，可以得到AB² = 4a² - 4aAE + 4aEF2 + 4(a² - EF1²) - 8AE·EF2 + 4(EF2)²。 继续整理，可以得到AB² = 4a² + 4aEF2 + 4a² - 4EF1² - 8AE·EF2 + 4(EF2)²。 由于椭圆的性质，我们可以得到EF1² + EF2² = AE²。代入上式，可以得到AB² = 8a² - 4EF1² - 8AE·EF2 + 4(EF2)²。 根据椭圆的性质，我们可以得到EF2 = EB - BF2，其中EB为椭圆的半短轴，BF2为焦点F2到点B的距离。代入上式，可以得到AB² = 8a² - 4EF1² - 8AE·(EB - BF2) + 4((EB - BF2)²)。 进一步展开并整理，可以得到AB² = 8a² - 4EF1² - 8AE·EB + 8AE·BF2 + 4(EB² - 2EB·BF2 + (BF2)²)。
过椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式
椭圆是代数曲线的一种，是平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。在椭圆的研究中，我们经常要涉及到椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式。本文将从椭圆的基本概念开始，逐步介绍椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式，以便读者更加深入地理解和掌握该公式。 一、椭圆的基本概念 1. 定义 椭圆是指平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P 的轨迹，常数2a称为椭圆的长轴，F1和F2称为椭圆的焦点。 2. 椭圆的标准方程 设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，椭圆的中心为坐标原点O，焦点F1(-c,0)，F2(c,0)。则椭圆的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$。 3. 弦长的定义 弦是平面上连接两点的直线段，椭圆焦点垂直于x轴的弦长即为连接椭圆上焦点处的两点并且垂直于x轴的线段的长度。 二、过椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式的推导 椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式的推导涉及到椭圆的几何证明和数学运算，下面我们将逐步进行推导。 1. 椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式的定义 设椭圆的焦点F1(-c,0)，F2(c,0)，横轴为x轴，焦点连线垂直于x轴
的弦为CD，C点的坐标为(x,0)，D点的坐标为(-x,0)。 设椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$。则C、D两点上线上满足椭圆方程。 2. 椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式的推导 根据椭圆的标准方程$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，可得点C、D的坐标分别为$(a\cos\theta, b\sin\theta)$和$(- a\cos\theta, -b\sin\theta)$（其中$\theta$为椭圆上任意一点P的极角，即向量OP与x轴正方向的夹角）。 椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式即为CD的长度公式，根据两点之间的距离公式可得： CD的长度 = $\sqrt{(a\cos\theta-(-a\cos\theta))^2 + (b\sin\theta-(-b\sin\theta))^2}$ 3. 椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式的进一步推导 进一步利用三角恒等式和平方展开可得： CD的长度 = $\sqrt{(2a\cos\theta)^2 + (2b\sin\theta)^2}$ = $\sqrt{4a^2\cos^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$ 由于椭圆的轨迹方程$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，根据单位圆的性质可得$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$，代入上式可得： CD的长度 = $\sqrt{4a^2(1-\sin^2\theta) + 4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta+
椭圆的焦点弦长公式推导
椭圆的焦点弦长公式推导 要推导椭圆的焦点弦长公式，我们可以从椭圆的定义开始。椭圆是所 有到两个焦点的距离和为常数的点的几何图形。设椭圆的焦点为F1和F2，离心率为e。我们需要推导的是从F1到F2的一条弦的长度。 为了推导椭圆的焦点弦长公式，我们可以首先建立一个坐标系。假设 椭圆的长轴与x轴对齐，焦点F1位于x轴左侧，焦点F2位于x轴右侧。 焦点F1和F2的坐标分别为(-ae,0)和(ae,0)。椭圆在x轴上的两个端点 分别为A(-a,0)和B(a,0)。我们需要推导的焦点弦为线段FB。 设焦点弦FB的中点为M，坐标为(x,y)。由于F1和F2的距离和为常数，根据椭圆的定义，有： MF1+MF2=2a 根据点到直线的距离公式，可以计算出MF1和MF2的长度： MF1 = sqrt((x + ae)^2 + y^2) MF2 = sqrt((x - ae)^2 + y^2) 将MF1和MF2的长度代入上述方程，得到： sqrt((x + ae)^2 + y^2) + sqrt((x - ae)^2 + y^2) = 2a 为了方便进行计算，我们可以对上述方程两侧的平方进行化简： ((x + a e)^2 + y^2) + 2√((x + ae)^2 + y^2)√((x - ae)^2 + y^2) + ((x - ae)^2 + y^2) = 4a^2 将等式两侧的常数项合并，得到：
2[x^2 + a^2e^2 + y^2 + 2ae√(x^2 + y^2) + x^2 + a^2e^2 + y^2 - 4a^2] = 0 化简上述方程，得到： 2(x^2 + y^2 + a^2e^2) + 4ae√(x^2 + y^2) - 4a^2 = 0 继续化简，得到： x^2+y^2=a^2-e^2(x^2+y^2) 移项，得到： (1-e^2)x^2+(1-e^2)y^2=a^2 将椭圆的离心率e的定义代入上述方程 (1-(b^2/a^2))x^2+(1-(b^2/a^2))y^2=a^2 整理方程，得到椭圆的标准方程： x^2/a^2+y^2/b^2=1 其中，a和b分别为椭圆的长轴和短轴的半长。 由于椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，我们可以将焦点弦FB的中点M的坐标代入这个方程。由于M在FB上，并且FB的端点分别 为B(a,0)和F2(ae,0)，所以M的坐标可以表示为(x,y) = (x,0)。将M的坐标代入椭圆的标准方程中，得到： x^2/a^2=1 解得x=a，即M的横坐标为a。
过椭圆焦点垂直于长轴的弦长公式
过椭圆焦点垂直于长轴的弦长公式椭圆焦点垂直于长轴的弦长公式 椭圆是我们初中数学学习中比较基础的一种二次曲线，在学习椭圆的性质时，有一条焦点垂直于长轴的弦长公式是必须要掌握的。那么，什么是椭圆焦点垂直于长轴的弦长公式呢？ 一、椭圆焦点垂直于长轴的弦长公式的定义： 椭圆的焦点垂直于长轴的弦长公式是指，对于一个椭圆，设其长轴的长度为2a，短轴的长度为2b，则椭圆的焦点到长轴垂足的距离为c，长轴上任意一点到椭圆上一点的距离为s，则焦点垂直于长轴的弦长公式为： s²=4a²-c² 其中，a、b、c为椭圆的三个参数，分别表示长轴的半长轴、短轴的半长轴和焦距。 二、证明： 证明四步如下： 1) 假设在椭圆上任取一点P(x,y)，设焦点为F1(x1,y1)，垂足为H(x,y1)。连接FP1，FH。则有HF1=c。
2) 再设椭圆的左、右顶点分别为A(-a,0)、B(a,0)，则长轴AB 的中点为O(0,0)。 3) 由于OH垂直于长轴，且∠PFH=90°，则PH是OH的投影，即PH∥OH。又因为FOHF1是平行四边形，所以OF1||FH。 4) 由平行性，有 PH/PF1=OH/OH+2c=OH/OA，所以 PF1⋅PH/OH=F1H=c，于是有PF1²=PH²+c²，代入x²/a²+y²/b²=1可 得s²=4a²-c²。 三、应用： 椭圆焦点垂直于长轴的弦长公式在椭圆的研究中有广泛的应用，如常数项展开、直线切线、切线方程求解等等。 比如，在切线方程的求解中，就可以用椭圆焦点垂直于长轴的 弦长公式来确定椭圆上点到直线距离的计算，然后利用求解直线 与该点的切线即可得到切线方程。 四、总结： 椭圆焦点垂直于长轴的弦长公式是椭圆的基本公式之一，在学 习椭圆的性质时是必须要掌握的。通过学习其定义、证明和应用，我们可以更深入地了解椭圆的性质，为以后的学习打下扎实的基础。
椭圆的弦长公式
椭圆的弦长公式 椭圆是常见的几何图形，它与圆相似，但形状略有不同。在本文中，我们将探讨椭圆的弦长公式及其推导过程。 椭圆的定义 椭圆是在平面上定义的几何图形，它是固定点F（称为焦点）和固定直线L （称为直角边）到平面上点P的距离之和与一定的常数2a成比例的点的集合，即 PF1 + PF2 = 2a 其中F1和F2是一个椭圆的两个焦点，a是一个椭圆的半长轴。 椭圆的弦长 弦是在椭圆内部连接两个不相邻的点的线段。图中AB和CD是椭圆的两条弦，其长度为l。 我们的目标是推导出椭圆弦长的公式。 椭圆的标准方程
为了推导椭圆的弦长公式，我们需要引入椭圆的标准方程。 标准方程是将椭圆放在坐标系中并将椭圆的中心与坐标系的原点重合时的方程。一个椭圆的标准方程为： x²/a² + y²/b² = 1 其中a和b是椭圆的半长轴和半短轴。 椭圆的弦长公式的推导 现在我们来推导椭圆的弦长公式。 假设椭圆的标准方程是 x²/a² + y²/b² = 1 弦AB的两个端点的坐标可以表示为： A（-x1, y1）和B（x2, y2）
根据标准方程，我们可以得到： y1²/b² = 1 - x1²/a² (1) y2²/b² = 1 - x2²/a² (2) 将式(1)和式(2)相加： y1²/b² + y2²/b² = 2 - x1²/a² - x2²/a² 将x1和x2相加，得到： x1 + x2 = -（a²/b²）（y1 + y2）/（x1 - x2） 我们假设椭圆的中心为（0, 0），则坐标系中任意一点P的坐标为（x, y）。以y1作为y坐标，可以得到： x = a²x1/（a² - b²），y = b²y1/（a² - b²） 同样地，以y2作为y坐标，可以得到： x = a²x2/（a² - b²），y = b²y2/（a² - b²）
圆锥曲线的弦长公式及其推导过程
圆锥曲线的弦长公式及其推导过程 圆锥曲线的弦长公式及其推导过程 关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y = k.x+b代入曲线方程，化为关于x的一元二次方程，设出交点坐标A（x},y}\B（x2>y2\利用韦达定理及弦长公式 J（l + /）［g +勺）2 -4心即求出弦长,这种整体代换、设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，若利用圆锥曲线的定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷. 一、椭圆的焦点弦长 半轴,c为半焦距）. 得尸h2 a+ c・cosa 贝iJ|A3| = x+y = a-ccosa h2 H --------------------- a + c・cosa 2亦 cr -c2 cos2a 同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为|AB| = 2ab2 cr -c・sin a （a为长半轴,b为短 lab1结论:椭圆过焦点弦长公式（焦点在X轴上）,
二、双曲线的焦点弦长 设双曲线二—二=1(" > 00 > 0),其中两焦点坐标为F } (-c,0),只(c,0)，过Fl 的直线/的 cr b 倾斜角为Q,交双曲线于两点A(x v y }\B(x 2,y 2\求弦长|AB | . 解：(1)当 arctan —