椭圆的焦点弦长公式推导过程

设焦点弦端点为A，B，A，B横坐标分别为x1，x2，A，B到与焦点对应的准线的距离分别为d1，d2，焦点弦过焦点F，

则离心率

e=AF/d1=BF/d2=(AF+BF)/(d1+d2)=AB/(d1+d2)=AB/[|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|]

焦点弦长AB=e[|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|]

若F为右焦点，则

d1+d2=|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|=(a^2)/c-x1+(a^2)/c-x2=2(a^2)/c -(x1+x2)

焦点弦长

AB=e[|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|]=e[2(a^2)/c-(x1+x2)]=2(c/a)(a^2 )/c-e(x1+x2)

=2a-e(x1+x2)

若F为左焦点，则

d1+d2=|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|=x1-(a^2)/c+x2-(a^2)/c=(x1+x2)-2(a^2)/c

焦点弦长

AB=e[|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|]=e[(x1+x2)-2(a^2)/c]=e(x1+x2)-2 (c/a)(a^2)/c

=e(x1+x2)-2a

高中数学椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用

椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用摘要：直线与椭圆相交时的弦长问题，可以用万能的弦长公式解决即12 AB x -或者12AB y -，而有一种特殊的弦是过焦点的弦，它的弦长有专门的公式： 22222cos ab AB a c θ =-，如果记住公式，可以给我们解题带来方便. 下面我们用万能弦长公式，余弦定理，焦半径公式，仿射性四种方法来推导椭圆的焦点弦长公式，这几种方法涉及到很多思想，最后举例说明其应用. 解法一：根据弦长公式直接带入解决. 题：设椭圆方程为122 22=+b y a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB . 椭圆方程12222=+b y a x 可化为02 22222=-+b a y a x b ……①，直线l 过右焦点，则可以假设直线为：x my c =+(斜率不存在即为0m =时)，代入①得： 222222222()20b m a y mcb y b c a b +++-=，整理得，222224()20b m a y mcb y b ++-= ∴24 1212222222 2,mcb b y y y y b m a b m a +=-=-++， ∴ 12AB y -==∴()2 222 221ab AB m b m a =++ （1）若直线l 的倾斜角为θ，且不为90o ,则1 tan m θ = ，则有： ()222 2222 222 221111tan tan ab ab AB m b m a b a θθ ??=+=+ ?+??+, 由正切化为余弦，得到最后的焦点弦长公式为2 222 2cos ab AB a c θ =-……②. （2）若=90θo ，则0m =，带入()22 222 21ab AB m b m a =++,得通径长为22b a ，同样满足②式.并且由

椭圆的焦点弦长公式

椭圆的焦点弦长公式在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题，如何解决这类问题呢？首先我们有命题：若椭圆的焦点弦F i F 2所在直线的倾斜角为，a 、b 、c 分别表示椭圆的长半轴长、短 2ab 2 ~2 2 2 a c cos 上面命题的证明很容易得岀，在此笔者只谈谈该命题的应用。例1、已知椭圆的长轴长 AB 8，焦距F J F 2 4J2，过椭圆的焦点 F j 作一直线交椭圆于P 、Q 两点，设 PF 1X （0 长？），当取什么值时，PQ 等于椭圆的短轴 PQ 是椭圆的焦点弦，且 a 4，c 2.. 2，从而b 2 2，故由焦厂譬 —及题设可得： 2 4（2 ?斗 4 2，解得 a c cos 16 8cos 2 2 2 a c cos — 3 cos 2 2，即 arc cos . 2 2 或 arc cos . 2 2。例2、在直角坐标系中, 线|通过点F ，且倾斜角为已知椭圆 E 的一个焦点为 F （ 3，1），相应于F 的准线为丫轴，直 —，又直线|被椭圆E 截得的线段的长度为 16 ，求椭圆 3 5 E 的方程。分析：由题意可设椭圆 E 的方程为（ X c 3） (y 21) 1，又椭圆 b 2 E 相应于 F 的准线为丫轴，故有 a 2 （1），又由焦点弦长公式有 2ab 2 16 (2)又 a 2 b 2 (3) 。解由（1）、 2 （2）、（3）联列的方程组得：a 2 4，b 2 从而所求椭圆 E 的方程为 (x 4)2 (y 1)2 F i F 2 2 2a b 2及其应用 a c cos 分析：由题意可知点弦长公式F 1F 2 半轴长和焦半距，则有

椭圆中的弦长公式推导

椭圆中的弦长公式推导椭圆是圆的一种曲线，它把一个平面分割成四个部分，根据它的特性，可以得出椭圆的曲线长度公式。本文将以椭圆中的弦长公式推导为主题，分析其相关概念，给出计算椭圆弦长的公式。首先，有关椭圆的一些概念需要了解，它是一种特殊的椭圆，在数学上用以下公式表示： $${frac {x^2}{a^2}+frac {y^2}{b^2}=1}$$ 式中，a和b分别表示椭圆的长轴和短轴，他们的值取决于椭圆的形状。椭圆的弦长，就是在椭圆边上从一个点到另一个点的距离。椭圆的弦长，可以用以下公式表达： $${mathrm {L} =2aint _{alpha }^{beta }sqrt {1-epsilon sin ^{2}theta },dtheta }$$ 式中，L表示椭圆弦长，a表示椭圆长轴，ε表示椭圆长轴除以短轴的比例（ε=a/b），α和β表示椭圆弦的起始点和终止点的极角。由上式可以推导出，椭圆弦长的近似计算公式为： $${mathrm {L} approx frac{2pi aleft(1-frac{epsilon }{2}+frac{epsilon ^{2}}{12}-frac{epsilon ^{4}}{720}+frac{ epsilon ^{6}}{30240}-frac{epsilon ^{8}}{1209600}+cdotsright)}{sqrt {1-epsilon}}}.$$ 上面这个公式就是椭圆弦长公式，它表示在椭圆边上任意两点之间的距离，只要知道椭圆的长轴和短轴比例，就可以使用该公式计算

弦长。经过上面的介绍，我们已经完成了椭圆中弦长公式的推导，也就是给出了计算椭圆弦长的近似公式。由此，可以发现，在几何图形领域，椭圆弦长公式有重要的研究价值，既可以用于椭圆的性质分析，也可以用于椭圆形状的构建。到此，本文着重阐述了椭圆中弦长公式的推导，介绍了各概念的定义，以及计算椭圆弦长的公式。只要掌握了椭圆弦长公式，就可以计算出任意椭圆弦上两点之间的距离，从而有助于深入了解几何图形的性质以及构建复杂的椭圆形状。结束语本文讨论了椭圆中弦长公式的推导。通过介绍各相关概念，给出计算椭圆弦长的公式，总结了椭圆弦长公式的重要性，为进一步研究几何体提供了有助于理解的视角。

椭圆过焦点的弦长公式

椭圆过焦点的弦长公式椭圆过焦点的弦长公式是一种有趣的几何主题，它也可以成为数学的宝藏。在学校里，我们知道椭圆是一种经典的曲线，这种椭圆形在几何学中占据了重要的位置。特别是在椭圆沿着其焦点上的两个弦上，可以求出它们的长度，这时，椭圆过焦点的弦长公式就显示出它的重要性。椭圆过焦点的弦长公式是一个重要的几何概念，它可以帮助我们明确弦长的定义，从而解决椭圆和圆的相关问题。弦长是椭圆沿着其焦点上的两条弦上的最大长度，而椭圆的弦长采用“椭圆过焦点的弦长公式”计算。该公式可以用以下公式表示：2a2 = c2 + b2，其中a是椭圆的长轴长，b是椭圆的短轴长，c是椭圆沿着其焦点上的两条弦上的最大长度。原理上，如果一个椭圆其长短轴是长轴长度a和短轴长度b，那么该椭圆的长短轴之和应该是它的弦长的平方。也就是说，a2 + b2 = c2。简单地说，椭圆的弦长应该是这两个轴之和的平方根。知道了椭圆过焦点的弦长公式，就可以轻松地解决一般椭圆的最大弦长和最小弦长问题了。因为椭圆的最大弦长是椭圆的长轴长度，即a，而最小弦长是椭圆的短轴长度，即b。也就是说，最大弦长c 有：c=a，最小弦长c有：c=b。通过椭圆过焦点的弦长公式，计算出了椭圆沿着其焦点上的两条弦上的弦长长度，从而将椭圆和圆划分开来。除此之外，这个公式还可以用于求解类似椭圆的另一种几何体：

圆形。圆形是一种完全相同的曲线，但是它的中心点不同，这样，就有了相应的新的圆形椭圆公式：2a2 = c2 + b2 - 2ab，其中a是圆形的半径，b是圆形的中心点距离圆的远点的距离，c是圆形的弦长。椭圆过焦点的弦长公式是一个重要的几何概念，它可以用于求解类似椭圆和圆形的长度和宽度，并可以帮助解决椭圆和圆形之间的相关问题。尽管椭圆过焦点的弦长公式是一个简单的公式，但它蕴藏着丰富的几何信息，为我们提供了重要的几何知识，同时也提供了足够的帮助，以便解决椭圆和圆形的相关问题。

过椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式

椭圆是代数曲线的一种，是平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。在椭圆的研究中，我们经常要涉及到椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式。本文将从椭圆的基本概念开始，逐步介绍椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式，以便读者更加深入地理解和掌握该公式。一、椭圆的基本概念 1. 定义椭圆是指平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P 的轨迹，常数2a称为椭圆的长轴，F1和F2称为椭圆的焦点。 2. 椭圆的标准方程设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，椭圆的中心为坐标原点O，焦点F1(-c,0)，F2(c,0)。则椭圆的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$。 3. 弦长的定义弦是平面上连接两点的直线段，椭圆焦点垂直于x轴的弦长即为连接椭圆上焦点处的两点并且垂直于x轴的线段的长度。二、过椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式的推导椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式的推导涉及到椭圆的几何证明和数学运算，下面我们将逐步进行推导。 1. 椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式的定义设椭圆的焦点F1(-c,0)，F2(c,0)，横轴为x轴，焦点连线垂直于x轴

的弦为CD，C点的坐标为(x,0)，D点的坐标为(-x,0)。设椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$。则C、D两点上线上满足椭圆方程。 2. 椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式的推导根据椭圆的标准方程$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，可得点C、D的坐标分别为$(a\cos\theta, b\sin\theta)$和$(- a\cos\theta, -b\sin\theta)$（其中$\theta$为椭圆上任意一点P的极角，即向量OP与x轴正方向的夹角）。椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式即为CD的长度公式，根据两点之间的距离公式可得： CD的长度 = $\sqrt{(a\cos\theta-(-a\cos\theta))^2 + (b\sin\theta-(-b\sin\theta))^2}$ 3. 椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式的进一步推导进一步利用三角恒等式和平方展开可得： CD的长度 = $\sqrt{(2a\cos\theta)^2 + (2b\sin\theta)^2}$ = $\sqrt{4a^2\cos^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$ 由于椭圆的轨迹方程$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，根据单位圆的性质可得$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$，代入上式可得： CD的长度 = $\sqrt{4a^2(1-\sin^2\theta) + 4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta+

椭圆交点弦长公式

椭圆交点弦长公式椭圆交点弦长公式是数学中关于椭圆的一个重要公式，用于计算椭圆上两点之间的弦长。椭圆是一种特殊的曲线，具有许多独特的性质和特点。掌握椭圆交点弦长公式，可以帮助我们更好地理解椭圆的几何性质和应用。椭圆交点弦长公式的推导基于椭圆的定义和性质。首先，我们需要了解椭圆的定义。椭圆是平面上一组点的集合，这组点到两个给定点（焦点）的距离之和始终是一个常数。这两个焦点与椭圆的长轴平行。在椭圆上任取两个点A和B，这两个点分别到两个焦点F1和F2的距离之和等于常数2a（a为椭圆的半长轴），即AF1 + AF2 = 2a。现在我们要计算点A和点B之间的弦长AB。我们可以通过椭圆的定义得到AF1和AF2的关系式，即AF1 + AF2 = 2a。根据这个关系式，我们可以得到AF1 = 2a - AF2。接下来，我们可以使用勾股定理计算弦长AB。利用勾股定理，我们可以得到弦长AB的平方等于AF1的平方加上AF2的平方减去两倍的AF1和AF2的乘积，即AB² = (2a - AF2)² + AF2² - 2(2a - AF2)(AF2)。将上式展开并整理，可以得到AB² = 4a² - 4a(AF2) + (AF2)² + (AF2)² - 4a(AF2) + 4(AF2)²。简化后，得到AB² = 4a² - 4a(AF2)

+ 4(AF2)²。由于椭圆的性质，我们可以将AF2表示为AE - EF2，其中AE为椭圆的半长轴，EF2为焦点F2到点E的距离。代入上式，可以得到AB² = 4a² - 4a(AE - EF2) + 4(AE - EF2)²。进一步展开并整理，可以得到AB² = 4a² - 4aAE + 4aEF2 + 4AE² - 8AE·EF2 + 4(EF2)²。根据椭圆的定义，我们可以得到AE² = a² - EF1²，其中EF1为焦点F1到点E的距离。代入上式，可以得到AB² = 4a² - 4aAE + 4aEF2 + 4(a² - EF1²) - 8AE·EF2 + 4(EF2)²。继续整理，可以得到AB² = 4a² + 4aEF2 + 4a² - 4EF1² - 8AE·EF2 + 4(EF2)²。由于椭圆的性质，我们可以得到EF1² + EF2² = AE²。代入上式，可以得到AB² = 8a² - 4EF1² - 8AE·EF2 + 4(EF2)²。根据椭圆的性质，我们可以得到EF2 = EB - BF2，其中EB为椭圆的半短轴，BF2为焦点F2到点B的距离。代入上式，可以得到AB² = 8a² - 4EF1² - 8AE·(EB - BF2) + 4((EB - BF2)²)。进一步展开并整理，可以得到AB² = 8a² - 4EF1² - 8AE·EB + 8AE·BF2 + 4(EB² - 2EB·BF2 + (BF2)²)。

直线与椭圆的位置关系之弦长公式

直线与椭圆的位置关系之弦长公式一、知识点 1）弦长公式的推导、几何解释、作用 2）弦长公式的应用二、教学过程 1 弦长公式引例：经过椭圆2 212 x y +=的左焦点F 作倾斜角为60o 的直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求AB 的长．分析：左焦点(1,0)F - ，则直线:1)l y x =+代入椭圆方程2 212x y +=，得到 271240x x ++=，则=32∆ 设1122(,),(,)A x y B x y ，则 ||AB == =122|||| x x a - = 一般：若直线l 上两点111222(,),(,)P x y P x y ，则121212||||PP x x y y =-=-，上述公式称为弦长公式，有推导过程知，其实质是直线上两点距离公式的简化式；说明： 1）计算12||x x - ，可以通过12||x x -= 但通常利用12|||| x x a -= 计算，其中a 为对应x 的方程的二次项系数，∆为判别式；12||y y -也同理计算，弦长公式体现了“设而不求”的思想 2 ）如图，因为2112||:||:|||P M PM PP k =，又 1 12||||PM x x =-，212||||P M y y =-，则可知，12 1212||||PP x x y y =-=- 这里体现了“化斜为直”的思想 2 例题

例1 经过椭圆2 212 x y +=的左焦点F 作直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，若||7 AB = l 的方程．解：设:(1)l y k x =+，代入椭圆方程：2 2 220x y +-=，得到 2222(12)4220k x k x k +++-=，所以28(1)k ∆=+ 则 ||7 AB == = 所以k = 又当k 不存在时，||AB = 所以，直线l 的方程1)y x =+ 配套练习：上述例题中，也可以将直线l 设为1x y λ=-，请你计算解：将1x y λ=-代入椭圆方程2 2 220x y +-=，得到： 22(2)210y y λλ+--=，则2=8+1λ∆（），则||AB == ，所以，λ= 当λ不存在，即0 y =时，||AB = 所以直线 l 的方程为1x y = - 例2 经过椭圆2 212 x y +=的左焦点F 作直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求OAB ∆面积的最大值．解：设直线1x y λ=-，代入椭圆方程2 2 220x y +-=，得到：