高二数学椭圆与相交直线的弦长公式
高二数学椭圆与相交直线的弦长公式
高二数学椭圆与相交直线的弦长公式
?解：如果需要,推一个便是.设椭圆和直线的方程分别为
X^2/a^2+Y^2/b^2=1和X/A+Y/B=0
即b^2?X^2+a^2?Y^2=a^2?b^2┅┅┅①
和BX+AY=0┅┅┅②
由②得Y=-BX/A
代入①且整理可得[(Ab)^2+(Ab)^2]?X^2=(ab)^2
∴X=±ab/√[(Ab)^2+(aB)^2]
从而Y=-{±abB/A√[(Ab)^2+(aB)^2]
记弦为PQ,则
P(ab/√[(Ab)^2+(a B)^2],-abB/{A√[(Ab)^2+(aB)^2]})
Q(-ab/√[(Ab)^2+(aB)^2],abB/{A√[(Ab)^2+(aB)^2]})
于是
|PQ|^2=(2ab)^2/[(Ab)^2+(aB)^2]+(2abB)^2/abB/{A^2[(A b)^2+(aB)^2]}
∴弦长|PQ|=(2ab/A)√{[A^2+B^2]/[(Ab)^2+(aB)^2]}
注意:这是对于以原点为中心,长轴在横轴上的椭圆被直线截得的弦长公式,其中a,b分别为椭圆的半长轴和半短
轴,A,B分别为直线在X轴上和Y轴上的截距.(其它情况,自行同样推导)
椭圆中的弦长公式推导
椭圆中的弦长公式推导 椭圆是圆的一种曲线，它把一个平面分割成四个部分，根据它的特性，可以得出椭圆的曲线长度公式。本文将以椭圆中的弦长公式推导为主题，分析其相关概念，给出计算椭圆弦长的公式。 首先，有关椭圆的一些概念需要了解，它是一种特殊的椭圆，在数学上用以下公式表示： $${frac {x^2}{a^2}+frac {y^2}{b^2}=1}$$ 式中，a和b分别表示椭圆的长轴和短轴，他们的值取决于椭圆的形状。椭圆的弦长，就是在椭圆边上从一个点到另一个点的距离。 椭圆的弦长，可以用以下公式表达： $${mathrm {L} =2aint _{alpha }^{beta }sqrt {1-epsilon sin ^{2}theta },dtheta }$$ 式中，L表示椭圆弦长，a表示椭圆长轴，ε表示椭圆长轴除以短轴的比例（ε=a/b），α和β表示椭圆弦的起始点和终止点的极角。 由上式可以推导出，椭圆弦长的近似计算公式为： $${mathrm {L} approx frac{2pi aleft(1-frac{epsilon }{2}+frac{epsilon ^{2}}{12}-frac{epsilon ^{4}}{720}+frac{ epsilon ^{6}}{30240}-frac{epsilon ^{8}}{1209600}+cdotsright)}{sqrt {1-epsilon}}}.$$ 上面这个公式就是椭圆弦长公式，它表示在椭圆边上任意两点之间的距离，只要知道椭圆的长轴和短轴比例，就可以使用该公式计算
弦长。 经过上面的介绍，我们已经完成了椭圆中弦长公式的推导，也就是给出了计算椭圆弦长的近似公式。由此，可以发现，在几何图形领域，椭圆弦长公式有重要的研究价值，既可以用于椭圆的性质分析，也可以用于椭圆形状的构建。 到此，本文着重阐述了椭圆中弦长公式的推导，介绍了各概念的定义，以及计算椭圆弦长的公式。只要掌握了椭圆弦长公式，就可以计算出任意椭圆弦上两点之间的距离，从而有助于深入了解几何图形的性质以及构建复杂的椭圆形状。 结束语 本文讨论了椭圆中弦长公式的推导。通过介绍各相关概念，给出计算椭圆弦长的公式，总结了椭圆弦长公式的重要性，为进一步研究几何体提供了有助于理解的视角。
高中数学必修2椭圆常见题型与典型方法归纳
椭圆常见题型与典型方法归纳 考点一 椭圆的定义 椭圆的第一定义：我们把平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数 1.22(2)a a F F >的点的轨迹叫做椭圆.这两 定点12,F F 叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距. 椭圆的第二定义：我们把平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e= a c (0
直线和椭圆的位置关系
直线和椭圆的位置关系 一、要点精讲 1．直线和椭圆的位置关系有三种：相交、相切、相离. 判定方法——代数法。 将直线方程与椭圆方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程，判断方程解的情况： △＞0，方程有两个不同的解，则直线与椭圆相交； △＝0，方程有两个相等的解，则直线与椭圆相切； △＜0，方程无解，则直线与椭圆相离． 2．直线与椭圆相交所得的弦长公式：设直线b kx y +=交椭圆于()111,y x P ，()222,y x P ， 则()()()()()22212 21212 212 212212111k x x x x y y x x y y x x P P +-= ??? ????????? ??--+-=-+-= 所以2 21211k x x P P +-=，或()01 122121≠+-=k k y y P P ． 4．研究直线与椭圆位置关系的通性通法 解决直线与椭圆位置关系时，一般通过直线与椭圆交点个数进行研究，用一元二次方程的判别式，根与系数的关系，求根公式等来处理问题，还要注意数形结合思想的运用，通过图形的直观性帮助分析、解决间题． 三、基础自测 1. 椭圆13 42 2=+y x 的右焦点到直线x y 3=的距离是 A. 2 1 B. 23 C. 1 D. 3 2. 直线032:=++by x l 过椭圆1010:2 2 =+y x C 的一个焦点，则b 的值为（ ） A. 1- B. 21 C. 1-或1 D. 21-或2 1 3. 方程2 21y x -=表示的是椭圆的 （A ）上半部分 （B ）下半部分 （C ）左半部分 （D ）右半部分 4.（2012四川）椭圆22 143 x y +=的左焦点为F ，直线x m = 与椭圆相交于点A 、B ，当FAB ?
椭圆弦长公式推导过程
椭圆弦长公式推导过程 椭圆弦长公式是一个用于计算椭圆上两点之间距离的公式。下面我们将详细介绍它的推导过程。 首先，让我们考虑椭圆的一般方程：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a>b>0)，其中a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴。 假设椭圆上两点A(x1,y1)和B(x2,y2)之间的距离为d，那么我们可以根据距离公式计算d^2。具体来说，d^2 = (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2。 将A和B的坐标分别代入椭圆方程，得到： x1^2/a^2 + y1^2/b^2 = 1 (1) x2^2/a^2 + y2^2/b^2 = 1 (2) 从(1)和(2)两式中，我们可以得到： x1^2 - x2^2 = a^2*(1-y1^2/b^2) - a^2*(1-y2^2/b^2) = a^2*(y2^2/b^2 - y1^2/b^2) = a^2*(y2- y1)*(y2+y1)/b^2 y1^2 - y2^2 = b^2*(1-x1^2/a^2) - b^2*(1-x2^2/a^2) = b^2*(x2^2/a^2 - x1^2/a^2) = b^2*(x2- x1)*(x2+x1)/a^2 由于(x1-x2)*(y1+y2)和(y1-y2)*(x1+x2)是两个不相关的项，因此我们可以将它们分离出来，得到： d^2 = (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 = (x1-x2)*(x1+x2) + (y1-y2)*(y1+y2) = [(x1-x2)*(x1+x2)]/a^2 + [(y1- y2)*(y1+y2)]/b^2 = [a^2*(y1-y2)*(y1+y2)]/a^2 + [b^2*(x1-x2)*(x1+x2)]/b^2 = a^2*|y1-y2|/a + b^2*|x1-x3|/b = a*|y1-y2| + b*|x1-x3| 其中，|y1-y3|表示纵坐标之差的绝对值，|x1-x3|表示横坐标之差的绝对值。 从上述推导中，我们可以得到椭圆弦长公式： d = a*|y1-y3| + b*|x1-x3| 这个公式可以用来计算椭圆上任意两点之间的距离。
椭圆的弦长公式
椭圆的弦长公式 椭圆是常见的几何图形，它与圆相似，但形状略有不同。在本文中，我们将探讨椭圆的弦长公式及其推导过程。 椭圆的定义 椭圆是在平面上定义的几何图形，它是固定点F（称为焦点）和固定直线L （称为直角边）到平面上点P的距离之和与一定的常数2a成比例的点的集合，即 PF1 + PF2 = 2a 其中F1和F2是一个椭圆的两个焦点，a是一个椭圆的半长轴。 椭圆的弦长 弦是在椭圆内部连接两个不相邻的点的线段。图中AB和CD是椭圆的两条弦，其长度为l。 我们的目标是推导出椭圆弦长的公式。 椭圆的标准方程
为了推导椭圆的弦长公式，我们需要引入椭圆的标准方程。 标准方程是将椭圆放在坐标系中并将椭圆的中心与坐标系的原点重合时的方程。一个椭圆的标准方程为： x²/a² + y²/b² = 1 其中a和b是椭圆的半长轴和半短轴。 椭圆的弦长公式的推导 现在我们来推导椭圆的弦长公式。 假设椭圆的标准方程是 x²/a² + y²/b² = 1 弦AB的两个端点的坐标可以表示为： A（-x1, y1）和B（x2, y2）
根据标准方程，我们可以得到： y1²/b² = 1 - x1²/a² (1) y2²/b² = 1 - x2²/a² (2) 将式(1)和式(2)相加： y1²/b² + y2²/b² = 2 - x1²/a² - x2²/a² 将x1和x2相加，得到： x1 + x2 = -（a²/b²）（y1 + y2）/（x1 - x2） 我们假设椭圆的中心为（0, 0），则坐标系中任意一点P的坐标为（x, y）。以y1作为y坐标，可以得到： x = a²x1/（a² - b²），y = b²y1/（a² - b²） 同样地，以y2作为y坐标，可以得到： x = a²x2/（a² - b²），y = b²y2/（a² - b²）
椭圆中的弦长公式
椭圆中的弦长公式 椭圆是一种常见的几何图形，其形状类似于拉长的圆形。在数学中，我们可以通过椭圆中的弦长公式来计算椭圆的相关参数。 我们需要了解什么是弦。弦是连接椭圆上任意两点的直线段。在椭圆中，我们可以通过弦的长度来推导出椭圆的周长、面积等参数。 椭圆中的弦长公式是指，如果一条弦的长度为2a，那么这条弦所对应的两个角的正弦值之和等于2a的长度与椭圆长轴长度2b的比值。 换句话说，假设弦所对应的两个角为角A和角B，那么sinA+sinB=2a/2b，即sinA+sinB=a/b。 这个公式可以通过三角函数的知识来推导，但对于我们来说，更重要的是应用这个公式来解决实际问题。 例如，如果我们已知椭圆的长轴和短轴长度分别为6和4，同时已知一条弦的长度为5，那么我们可以通过弦长公式计算出这条弦所对应的两个角的正弦值之和。 我们可以通过勾股定理计算出椭圆的焦距长度f。根据勾股定理，f 的平方等于长轴长度a的平方减去短轴长度b的平方。因此，f的长度为√(a²-b²)=√(6²-4²)=√20≈4.47。 接下来，我们可以通过椭圆的离心率e来计算弦所对应的两个角的
正弦值之和。椭圆的离心率e为f/a，因此e的值为4.47/6≈0.745。 根据弦长公式，sinA+sinB=a/b=3/2。由于sinA和sinB的值相等，我们可以将它们表示为x，那么2x=3/2，因此x=3/4。 由于sinA和sinB的值相等，因此它们的值均为3/4。我们可以通过反三角函数计算出角A和角B的度数值，然后再将它们转换为弧度制。例如，我们可以使用arcsin函数计算出sinA和sinB的度数值为48.59度，然后将它们转换为弧度制得到0.846弧度。 通过这个例子，我们可以看到，椭圆中的弦长公式可以帮助我们计算出椭圆的相关参数，例如椭圆内部的角度、周长、面积等。同时，我们也需要注意到，在实际应用中，我们需要灵活运用数学知识来解决问题，而不是仅仅依靠公式的记忆。
高中数学椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用
椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用 摘要 ：直线与椭圆相交时的弦长问题，可以用万能的弦长公式解决即 AB = 1 k 2 x 1 x 2 或者 AB= 1+( k 1 )2 y 1 y 2 ，而有一种特殊的弦是过焦点的弦，它的弦长有专门的公 式： 2ab 2 AB 2 2a 2b 2 ，如果记住公式，可以给我们解题带来方便 . a 2 c 2 cos 2 下面我们用万能弦长公式， 余弦定理， 焦半径公式， 仿射性四种方法来推导椭圆的焦点弦长公式， 这几种方法涉及到很多思想，最后举例说明其应用 . 解法一 ：根据弦长公式直接带入解决 . 22 题：设椭圆方程为 x 2 y 2 1，左右焦点分别为 F 1( c,0), F 2(c,0) ，直线 l 过椭圆的右焦点 F 2 交椭 ab 圆于 A( x 1 , y 1), B ( x 2 , y 2 )两点，求弦长 AB . 22 椭圆方程 x 2 y 2 1可化为 b 2x 2 a 2y 2 a 2 b 2 ⋯⋯①， a 2 b 2 直线 l 过右焦点，则可以假设直线为： x my c ( 斜率不存在即为 m 0时 ) ，代入①得： (b 2m 2 a 2)y 2 2mc b 2 y b 2 c 2 a 2b 2 0 ，整理得， (b 2m 2 a 2)y 2 2mcb 2 y b 4 ∴ y 1 y 2 b 2m 2 2mcb 2 2 ,y 1y 2 a b 4 b 2m 2 a AB = 1+( k 1 )2 y 1 y 2 1 m 2 ( 2 2 bm 2mcb 2 ) 2 2) a 4b 4 2 2 2 b m a 1 m 2 4a 2 b 4 (1 m 2 ) 2 2 2 2 (b m a ) ∴ AB 2ab 2 2 2 2 b m a 1m 1)若直线 l 的倾斜角为 ，且不为 90o ,则 1 tan ，则有： AB b 2m 2a 2b a 2 1 m 2 b m a 2ab 2 2 1 2 b 2 a tan 1 tan 2 由正切化为余弦，得到最后的焦点弦长公式为 AB 2ab 2 2 2 2 a c cos ②. 2)若 =90o ，则 m 0，带入 AB 2 2ab 2 2 2 2 b m a 1 m 2 ,得通径长为 2b 2 ，同样满足②式 .并且由 a
椭圆上两点的弦长公式
椭圆上两点的弦长公式 椭圆弦长公式是一个数学公式，关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为关于x(或关于y)的一元二次方程，设出交 点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长[1] 。 设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。 释义 关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线代入曲线方程，化为关于x(或关于y)的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长，这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷[2] 。 用极坐标方法 椭圆极坐标方程是： 其中e是椭圆离心率，p是焦点到对应准线的距离，是弦与x轴所夹的角 度 所以你要求的那个弦长就是 椭圆弦长公式编辑播报 若直线过焦点并知道倾斜角，则还可以使用 推导 设直线y=kx+b 代入椭圆的方程可得：x²/a²+ (kx+b)²/b²=1， 设两交点为A、B，点A为（x1,y1)，点B为(x2,y2) 则有AB=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²] 把y1=kx1+b.y2=kx2+b分别代入, 则有： AB=√[(x1-x2)²+(kx1-kx2)² =√[(x1-x2)²+k²(x1-x2)²]
=│x1-x2│√(1+k²)同理可以证明：弦长=│y1-y2│√[(1/k²)+1]直线和椭圆的交点（默认一定存在交点，且直线A!=0，B!=0;） 直线：Ax+By+C=0; 椭圆：x^2/a^2+y^2/b^2=1; 求直线和椭圆的交点： (B^2+(A^2*a^2)/b^2)*y^2 + 2*B*C*y+C^2-A^2*a^2=0; 令m=(B^2+(A^2*a^2)/b^2); n=2*B*C; p=C^2-A^2*a^2; 令m1=(A^2+(B^2*b^2)/a^2); n1=2*AC; p1=C^2-B^2*b^2; 得到y=(-n±√(b^2-4*m*p))/2*m; 当y=(-n-√(b^2-4*m*p))/2*m;x=(-n1-√(b1^2-4*m1*p1))/2*m1 当y=(-n+√(b^2-4*m*p))/2*m;x=(-n1+√(b1^2-4*m1*p1))/2*m1
椭圆交点弦长公式
椭圆交点弦长公式 椭圆交点弦长公式是数学中关于椭圆的一个重要公式，用于计算椭圆上两点之间的弦长。椭圆是一种特殊的曲线，具有许多独特的性质和特点。掌握椭圆交点弦长公式，可以帮助我们更好地理解椭圆的几何性质和应用。 椭圆交点弦长公式的推导基于椭圆的定义和性质。首先，我们需要了解椭圆的定义。椭圆是平面上一组点的集合，这组点到两个给定点（焦点）的距离之和始终是一个常数。这两个焦点与椭圆的长轴平行。 在椭圆上任取两个点A和B，这两个点分别到两个焦点F1和F2的距离之和等于常数2a（a为椭圆的半长轴），即AF1 + AF2 = 2a。现在我们要计算点A和点B之间的弦长AB。 我们可以通过椭圆的定义得到AF1和AF2的关系式，即AF1 + AF2 = 2a。根据这个关系式，我们可以得到AF1 = 2a - AF2。接下来，我们可以使用勾股定理计算弦长AB。 利用勾股定理，我们可以得到弦长AB的平方等于AF1的平方加上AF2的平方减去两倍的AF1和AF2的乘积，即AB² = (2a - AF2)² + AF2² - 2(2a - AF2)(AF2)。 将上式展开并整理，可以得到AB² = 4a² - 4a(AF2) + (AF2)² + (AF2)² - 4a(AF2) + 4(AF2)²。简化后，得到AB² = 4a² - 4a(AF2)
+ 4(AF2)²。 由于椭圆的性质，我们可以将AF2表示为AE - EF2，其中AE为椭圆的半长轴，EF2为焦点F2到点E的距离。代入上式，可以得到AB² = 4a² - 4a(AE - EF2) + 4(AE - EF2)²。 进一步展开并整理，可以得到AB² = 4a² - 4aAE + 4aEF2 + 4AE² - 8AE·EF2 + 4(EF2)²。 根据椭圆的定义，我们可以得到AE² = a² - EF1²，其中EF1为焦点F1到点E的距离。代入上式，可以得到AB² = 4a² - 4aAE + 4aEF2 + 4(a² - EF1²) - 8AE·EF2 + 4(EF2)²。 继续整理，可以得到AB² = 4a² + 4aEF2 + 4a² - 4EF1² - 8AE·EF2 + 4(EF2)²。 由于椭圆的性质，我们可以得到EF1² + EF2² = AE²。代入上式，可以得到AB² = 8a² - 4EF1² - 8AE·EF2 + 4(EF2)²。 根据椭圆的性质，我们可以得到EF2 = EB - BF2，其中EB为椭圆的半短轴，BF2为焦点F2到点B的距离。代入上式，可以得到AB² = 8a² - 4EF1² - 8AE·(EB - BF2) + 4((EB - BF2)²)。 进一步展开并整理，可以得到AB² = 8a² - 4EF1² - 8AE·EB + 8AE·BF2 + 4(EB² - 2EB·BF2 + (BF2)²)。
椭圆专题：中点弦、弦长、焦点弦
直线与椭圆综合问题（一）位置关系，弦长公式，焦点弦，中点弦 一、判断椭圆C ：22 221x y a b +=（0a b >>）和直线l ：0Ax By C ++=的位置关系： 联立椭圆和直线方程22 2210x y a b Ax By C ⎧+=⎪⎨⎪++= ，消y （或x ）得到关于x （或y ）的一元二次方程 二、弦长公式 已知直线l ：y kx b =+与椭圆C ：22 221x y a b +=（0a b >>）交于,A B 两点，如何求AB ？ 练习：1. 已知斜率为1的直线l 交椭圆C ：22 143 x y +=于,A B 两点，求AB 最大值； 2. 已知过(1,0)A 的直线l 交椭圆C ：22 143 x y +=于,A B 两点，求AB 最大值. 三、焦点弦 请你推导椭圆22 221x y a b +=（0a b >>）的过右焦点的弦长公式（分别用斜率k 以及倾斜角θ表示）.
练习：3. 已知椭圆22 221x y a b +=（0a b >>），过右焦点且倾斜角为θ的直线与椭圆交于,A B 两点，求当θ为何值时，AOB ∆面积最大。 思考：焦半径如何用倾斜角θ表示？（表示后再去做一遍47页第7题） 四、中点弦 已知椭圆22 221x y a b +=（0a b >>），直线y kx b =+交该椭圆于,A B 两点，如果求AB 中点M 坐标？ 已知椭圆22 221x y a b +=（0a b >>），过椭圆内一点00(,)M x y 的弦AB 被M 平分，如何求AB k ，直线AB 方程，以及AB ？ 练习：4.倾斜角为4 π的直线l 与椭圆C ：2214x y +=交于,A B 两点，求线段AB 中点M 的轨迹方程． 5.如图14-35，过椭圆22 1164 x y +=内的一点(1,1)M 的直线与椭圆交于A B 、两点． （1）若点M 恰为弦AB 的中点，求直线AB 的方程； （2）求过点M 的椭圆弦的中点P 的轨迹方程．
直线与椭圆的位置关系之弦长公式
直线与椭圆的位置关系之弦长公式 一、知识点 1） 弦长公式的推导、几何解释、作用 2） 弦长公式的应用 二、教学过程 1 弦长公式 引例：经过椭圆2 212 x y +=的左焦点F 作倾斜角为60o 的直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求AB 的长． 分析：左焦点(1,0)F - ，则直线:1)l y x =+代入椭圆方程2 212x y +=，得到 271240x x ++=，则=32∆ 设1122(,),(,)A x y B x y ，则 ||AB == =122|||| x x a - = 一般： 若直线l 上两点111222(,),(,)P x y P x y ，则121212||||PP x x y y =-=-，上述公式称为弦长公式，有推导过程知，其实质是直线上两点距离公式的简化式； 说明： 1） 计算12||x x - ，可以通过12||x x -= 但通常利用12|||| x x a -= 计算，其中a 为对应x 的方程的二次项系数，∆为判别式；12||y y -也同理计算，弦长公式体现了“设而不求”的思想 2 ） 如图，因为2112||:||:|||P M PM PP k =，又 1 12||||PM x x =-，212||||P M y y =-，则 可知 ，12 1212||||PP x x y y =-=- 这里体现了“化斜为直”的思想 2 例题
例1 经过椭圆2 212 x y +=的左焦点F 作直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，若||7 AB = l 的方程． 解：设:(1)l y k x =+，代入椭圆方程：2 2 220x y +-=，得到 2222(12)4220k x k x k +++-=，所以28(1)k ∆=+ 则 ||7 AB == = 所以k = 又当k 不存在时，||AB = 所以，直线l 的方程1)y x =+ 配套练习：上述例题中，也可以将直线l 设为1x y λ=-，请你计算 解：将1x y λ=-代入椭圆方程2 2 220x y +-=，得到： 22(2)210y y λλ+--=，则2=8+1λ∆（）， 则||AB == ， 所以，λ= 当λ不存在，即0 y =时，||AB = 所以直线 l 的方程为1x y = - 例2 经过椭圆2 212 x y +=的左焦点F 作直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求OAB ∆面积的最大值． 解：设直线1x y λ=-，代入椭圆方程2 2 220x y +-=，得到：
弦长公式(高二版椭圆)
圆锥曲线综合问 1.宜线方程的处理：若直线方程未给出，应先假设。 （1）若已知直线过点（心儿），则假设方程为y -儿二饥—兀）； （2）若已知直线的斜率斤，则假设方程为y = lcx^m ； （3） 若仅仅知道是直线.则假设方程为〉上总+ 〃？ 【注】以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论； （4） 若已知直线恒过x 轴上一点（匚0）,且水平线不满足条件（斜率为0）,可以假设 直线为x=my + t Q 【反斜截式，/n = yl 不含垂直于丿轴的情况（水平线） k 2 2 2•弦长公式：若直线l:y = lcx + m 与椭圆二+ . = 1@>方>0）相交于两点，求弦长 cr Zr \PQ\的步骤：设联立方程组（将直线方程代入椭圆方程）： y = kx + m, 〜 f _ 、=、=消去y 整理成关于x 的一元二次方程：Af+ & + C = 0, /r 对 =crb\ ■ 则几花是上式的两个根，A = B 2 -4AC>0；由韦达定理得：西+总=一色「皿=£, A A 又P ，0两点在直线/上，=kx } +m i y 2=kx 2+m ,则y 2-y x =k （x 2-x x ）,从而 I PQ 1= Jc® — 召）'+（〉‘2 一 Vi ）' = J （R — 召）2+"（尤2 一齐）'=>/（1 +，）（尤2 — 召）， 【注意：如果联立方程组消去人整理成关于》的一元二次方程：Ay 2 + By + C = o 9则 3、其他常见问题处理 （1） 等腰（使用垂直平分），平行四边形（使用向量的平行四边形法则或者对角线中点重 合） （2） 直径（圆周角为直角，向量垂直或斜率乘积等于-1）,其次考走是否需要求圆的方程。 （3） 锐角和钝角使用数量积正负求解；涉及到其它角的问题使用正切值，转化为斜率求解; （4） 三角形内切圆的半径与三角形面积的关系：S △二卩，（这里卩=匕『）； （5） 圆的弦长用垂径定理；（6）涉及到焦点要联想到定义； （7）三点共线，长度之比尽量使用相似三角形转化为坐标之比，利用韦达定理。 =J(1 + ")[(X| +吃)2 — 4 斗吃] \PQ 1=
高中数学：四大类弦长公式
高中数学中的四大类弦长公式 一、平面直角坐标中的全场通用弦长公式 1、已知两点坐标：()11,y x A ，()22,y x B ，则()()2 21221y y x x AB -+-= 2、已知直线上两点：若()11,y x A ，()22,y x B 两点在直线b kx y +=（直线的斜率存在并且不为0）上，则 a k x x k AB ∆ +=-+=2 21211（∆,,21x x 是02=++c bx ax 的两根和判别式） a k y y k AB ∆+=-+ =22121111（∆,,21y y 是02=++c by ay 的两根和判别式） 注：以上公式适用于直线与曲线相交，将直线与曲线联立但不易求出交点坐标 时，采用设而不求思想的解决弦长问题，以上公式的证明会用到韦达定理） 二、平面直角坐标中特殊曲线（例如：圆，抛物线，椭圆）中的弦长公式 1、直线0:=++C By Ax l 与圆()()22 2 :r b y a x M =-+-相交于B A ,，则
2 2 2d r AB -=（其中2 2 B A C Bb Aa d +++= 为圆心),(b a M 到直线l 的距离） 注：此公式证明需用垂径定理 2、抛物线中的焦点弦弦长公式，过抛物线交点F 直线l 与抛物线相交的弦长,BF AF AB += ①α 2 21sin 2p x x p AB = ++=（其中抛物线开口向右，方程为px y 22 =） ②)(21x x p AB +-=（其中抛物线开口向左，方程为px y 22-=） ③21y y p AB ++=（其中抛物线开口向上，方程为py x 22=） ④)(21y y p AB +-=（其中抛物线开口向下，方程为py x 22-=） 注：此公式的证明需用到抛物线的定义和焦半径公式. 3、椭圆中的焦点弦的弦长公式,BF AF AB += ①过椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的左焦点)0,(1c F -的直线l 与椭圆相交于 ()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212x x e a AB ++=. ②过椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的左焦点)0,(2c F 的直线l 与椭圆相交于