椭圆中的弦长公式推导

椭圆中的弦长公式推导

椭圆是一种经典的曲线，它的研究和应用在流体力学、空间结构、航天学、机械设计等广泛的领域中被广泛使用。因此，研究椭圆的形状特性非常重要。

椭圆的一个重要形状特性是，它存在一种弦长公式，即在椭圆上任意一动点P处，弦PP’的长度可用下式表示：

d=2ae√1-e2sin2α

其中，a, e,分别表示椭圆的长轴、离心率、弦PP与椭圆的长轴的夹角。

下面我们将通过推导证明上式的正确性。

以P(x, y)为弦PP上的任意一点，x = acost, y = bsint，坐标系以椭圆的中心为原点，a,b分别为椭圆的长短轴，e为离心率，将P位置投影到椭圆的长轴，得到点P1(acosθ, 0)，与他重合的点P1(a/cosθ, 0)，θ为PP与椭圆的长轴的夹角，由此投影出点P(a/cos θ, bsinθ)，即为PP上的另一点。

由PP上任意一点P可求出P，再求出弦PP的长度。设PP的长度为d，根据勾股定理可得：

d2=x2+y2=(acost)2+(bsinθ)2=a2cos2θ+b2sin2θ

又由椭圆方程可知：b2/a2=1-e2

所以有：

d2=a2cos2θ+b2sin2θ=a2cos2θ+a2(1-e2)sin2θ=a2{cos2θ

+(1-e2)sin2θ}

令cos2θ+(1-e2)sin2θ=c（c为任意常数）

即有：

d2=a2c,

又因为e2=1-b2/a2,

可得cos2θ+(1-e2)sin2θ=cos2θ+(1-(1-b2/a2))sin2θ=cos2θ+b2/a2sin2θ

即有：

c=cos2θ+b2/a2sin2θ

代入方程d2=a2c，可得：

d2=a2{cos2θ+(1-e2)sin2θ}

即有：d=2ae√1-e2sin2α

因而可以得出：在椭圆上任意一点P处，弦PP的长度可用弦长公式下式表示：

d=2ae√1-e2sin2α

上式的证明也完成了，由此可以看出，椭圆中的弦长公式是一个非常重要的特性。它可以用来研究椭圆的形状特性以及在实际应用中的使用，可以更好地满足工程的需要。