数字电路逻辑代数基础
数字电路逻辑功能的基本公式和定理
第一章逻辑代数基础【本章主要内容】本章介绍分析数字电路逻辑功能的数学方法。
内容包括：逻辑代数的基本公式和定理；逻辑函数及其表示方法；逻辑函数的化简和变换。
【本章学时分配】本章分为4讲，每讲2学时第一讲绪论和逻辑代数的基本运算一、主要内容1、绪论1）电子电路的分类：2）数字电路的基本特点；3）数字电路的基本应用；4）本课程的主要内容a. 逻辑代数基础；b. 逻辑门电路；c. 组合逻辑电路；d. 触发器；e. 时序逻辑电路；f. 半导体存储器；g. 可编程逻辑器件；h. 脉冲波形的产生和整形；i. D/A和A/D转换。
5）本课程的学习方法和对学生的基本要求。
2、基本逻辑运算和复合逻辑运算1）与、或、非运算是逻辑代数的基本运算，它们分别实现与、或和非的逻辑关系。
设A，B表示输入逻辑变量，Y表示输出逻辑变量，三种运算的表达式如下：与运算：Y=A•B或运算：Y=A+B非运算：Y=A它们的运算规则见P2的表1.1～表1.3，其逻辑符号见P2的图1.1～图1.3。
2）以三种基本运算为基础，还可以形成其他复合运算，常用的是与非、或非、与或非、异或、同或运算，它们的运算规则见P3~P4的表1.4～表1.8，而符号和表达式见P4的图1.4。
.二、本讲重点1、绪论：重点讲述数字电路的基本特点、应用状况和课程主要内容。
2、逻辑代数的基本运算：重点讲述各种运算的运算规则、符号和表达式。
三、本讲难点绪论：注意内容和时间的把握，做到深入浅出。
四、教学组织过程绪论部分采用多媒体教学，逻辑代数部分采用课堂讲授。
第二讲逻辑代数的基本公式与定理、逻辑函数的表示方法一、主要内容1、基本公式基本公式是逻辑运算的基础，它们是根据逻辑运算的规则而导出，其正确性可以用列真值表的方法加以验证。
基本公式包括18个，见P12表1.3.1，可分为若干组。
常量与变量公式：0•A=0；1+A=11•A=A；0+A=A同一律：A•A=A；A+A=A互补律：A•A=0；A+A=1交换律：A•B=B•A；A+B=B+A结合律：A•（B•C）=（A•B）•C；A+（B+C）=（A+B）+C分配律：A•（B+C）=A•B+A•C；A+B•C=（A+B）•（A+C）反演律：BB+A=A⋅ABA+⋅；B=还原律：AA=2、常用公式常用公式是利用基本公式导出的，可用基本公式加以证明，它们主要用于化简逻辑函数，若干常用公式见P5~6。
逻辑代数
一、逻辑代数的基本定律
结合律
分配律
A B C A B C A B C A B A C
A B C ( A B) ( A C )
A B C A B C
左右比较符合： ·变+，+变· 1变0，0变1 运算顺序不变
二、其它常用公式：
吸收律
A A B A
A ( A B) A
证明： 左边＝A(1+B)
证明： 左边＝A·A+A·B =A+AB
=A·1
=A =右边 练习：化简 AB+ABC 证明(A+B) ·(A+B+C)=A+B
=A
=右边
数字电路步入数字殿堂的台阶
2.3 逻辑代数的基本定律和规则
数字电路步入数字殿堂的台阶
2.4 逻辑代数的公式法化简
同一个逻辑函数可以写成不同形式的逻辑式，逻辑函数 式越简单，它所表示的逻辑关系越明显，也有利于用最少的 电子器件实现这个逻辑函数。
其中，最常用的为“与或”逻辑表达式。
最简“与或”式的标准： １.含的与项最少； －－门最少 ２.各与项中的变量数最少。 －－门的输入端最少 除此以外，还有与非式、或非式、或与式、与或非式
A B
A B A B
A
B
摩根定律
AB
A B
A B
0
0
0
1
0 1 1 1
1 0
1 1
1
1
1
1
0
1
0
0
A B A B
0
0
左右比较符合： 0 0 ·变+，+变· 1变0，0变1 0 1 运算顺序不变 0 0 公共非号不变
数字电路(复习)
②C＝1、C＝0，即C端为高电平（+VDD）、C端为低电平（0V） 时，TN和TP都具备了导通条件，输入和输出之间相当于开关接通 一样，uO＝uI 。
2．三态门电路的输出有高阻态、高电平和低电平3种状态
• 三态门逻辑符号控制端电平的约定
A
1
Y
EN
EN
（a）控制端低电平有效
控制端加低电平信号时，三 态门处于工作状态，Y＝A， 加高电平信号时禁止，Y＝Z
加法器
能对两个1位二进制数进行相加而求得和及进位的逻辑电 路称为半加器。 能对两个1位二进制数进行相加并考虑低位来的进位，即 相当于3个1位二进制数的相加，求得和及进位的逻辑电路称 为全加器。 实现多位二进制数相加的电路称为加法器。按照进位方 式的不同，加法器分为串行进位加法器和超前进位加法器两 种。串行进位加法器电路简单、但速度较慢，超前进位加法 器速度较快、但电路复杂。 加法器除用来实现两个二进制数相加外，还可用来设计 代码转换电路、二进制减法器和十进制加法器等。
数据分配器
数据分配器的逻辑功能是将1个输入数据传送到 多个输出端中的1个输出端，具体传送到哪一个输出 端，也是由一组选择控制（地址）信号确定。 数据分配器就是带选通控制端即使能端的二进 制译码器。只要在使用中，把二进制译码器的选通 控制端当作数据输入端，二进制代码输入端当作选 择控制端就可以了。 数据分配器经常和数据选择器一起构成数据传 送系统。其主要特点是可以用很少几根线实现多路 数字信息的分时传送。
八进制数
0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17
十六进制数
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
门电路 国标符号 曾用符号 美国符号 表达式
2逻辑代数基础
（15）
五、德 摩根定理(反演律）：表中8，18 （De Morgan) 证明： 1 AB A B 真值表法、 穷举法 2 A B AB
推广到多变量：
ABC A B C
A B C ABC
说明：两个（或两个以上）变量的与非（或非） 运算等于两个（或两个以上）变量的非或（非 与）运算。
（3）
§2.2
逻辑代数中的三种基本运算
基本逻辑运算：与 ( and )、或 (or ) 、 非 ( not )。 一、“与”逻辑 与逻辑：决定事件发生的各条件中，所有条件都 具备，事件才会发生（成立）。 规定:
A
E
B
C Y
开关合为逻辑“1” 开关断为逻辑“0”
灯亮为逻辑“1”
灯灭为逻辑“0”
（4）
A(BC) A(BC) A B C
注：代入定理还可以扩展其他基本定律 的应用范围！
（23）
2.4.2 反演定理
内容：将函数式F中所有的 + + (反函数) 新表达式： F
变量与常数均取反 显然： F F 规则: 1.遵循先括号 再乘法 后加法的运算顺序。 2.不是一个变量上的反号不动。 用处：实现互补运算（求反运算）。
（29）
2.5.2 逻辑函数的表示方法
真值表：将逻辑函数输入变量取值的不同组合 与所对应的输出变量值用列表的方式 一一对应列出的表格。
四 种 表 示 方 法 n个输入变量
2 种组合。
n
逻辑函数式 (逻辑表示式, 逻辑代数式)
Y AB AB
逻辑图: 波形图
A 1 & ≥1 B 1 &
Y
（30）
Y A B AB AB Y A B AB AB Y A B A B
逻辑代数基础
所得到的图形叫n变量的卡诺图。
逻辑相邻的最小项：如果两个最小项只有一个变量互为反变 量，那么，就称这两个最小项在逻辑上相邻。 如最小项 m6=ABC、与
m7 =ABC 在逻辑上相邻 m7
m6
两变量卡诺图 AB 0 1 m0 m1 0 AB AB 1 mB AB A 2 m3 三变量卡诺图 B
四变量卡诺图 CD AB 00 01 11 10 00 m0 m1 m3 m2 01 m4 m5 m7 m6 A 11 m12 m13 m15 m14
b.去括号
ABC ABC AB
ABC ABC AB(C C )
ABC ABC ABC ABC
m3 m5 m7 m6 m(3,5,6,7)
三、 用卡诺图表示逻辑函数
1、卡诺图的引出 卡诺图：将n变量的全部最小项都填入小方格内，并使具有 逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，这样,
L CD 00 01 AB 00 1 1 01 11 10 1 0 1 0 0 0 11 10 1 0 1 1 1 0 1 1
例2 画出下式的卡诺图
L ( A, B, C , D) ( A B C D)( A B C D)( A B C D)
解
( A B C D)( A B C D) 1. 将逻辑函数化为最小项表达式
结合律：A + B + C = (A + B) + C
A · · = (A · · B C B) C
A 分配律： ( B + C ) = AB + AC
A + BC = ( A + B )( A + C )
《数字电子技术基础》读书笔记02逻辑代数基础
《数字电子技术基础》读书笔记02 逻辑代数基础2.1从布尔代数到逻辑代数1849年英国数学家乔治布尔(George Boole)提出布尔代数，使用数学方法进行逻辑运算。
把布尔代数应用到二值逻辑电路中，即为逻辑代数。
2.2逻辑代数中的运算(想想初等代数中的加减乘除)2.2.1三种基本运算与(AND)：逻辑乘，Y=A B或(OR)：逻辑加，Y=A+B非(NOT)：逻辑求反，Y=Aˊ简单逻辑运算(与、或、非)的两套图形符号，均为IEEE(国际电气与电子工程师协会)和IEC(国际电工协会)认定。
上排为国外教材和EDA软件中普遍使用的特定外形符号；下排为矩形符号。
2.2.2复合逻辑运算(都可以表示为与、或、非的组合)与非(NAND)：先与后非，与的反运算，Y=(A B)ˊ或非(NOR)：先或后非，非的反运算，Y=(A+B)ˊ与或非(AND-NOR)：先与再或再非，Y=(A B+C D)ˊ异或(Exclusive OR)：Y=A⊕B=A Bˊ+AˊB A和B不同，Y为1；A和B相同，Y为0。
当A与B相反时，A Bˊ和AˊB，肯定有一个结果为1，则Y为1。
同或(Exclusive NOR)：Y=A⊙B=A B+AˊBˊA和B相同，Y为1；A和B不同，Y为0。
当A与B相同时，A B和AˊBˊ，肯定有一个结果为1，则Y为1。
同或与同或互为反运算，即两组运算，只要输入相同，一定结果相反。
A⊕B=(A⊙B)ˊA⊙B=(A⊕B)ˊ复合逻辑运算的图像符号和运算符号。
2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.1基本公式(见对偶定理)2.3.2若干常用公式(见逻辑函数化简方法之公式化简法)2.4逻辑代数的基本定理2.4.1代入定理(相当于初等代数中的换元)任何一个包含逻辑变量A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有A的位置，则等式依然成立。
2.4.2反演定理对于任意一个逻辑式Y，若将其中所有的""换成"+"，"+"换成""，"0"换成"1"，"1"换成"0"，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果就是Yˊ。
逻辑代数基础
Y
R
3．“非”逻辑关系和非门 逻辑关系表达式
“非”运算电路图
+R
U
AY
-
“非”运算电路真值表：
状态表
A
Y
0
1
1
0
由真值表可以得出“非”运算电路的运算规则：
三极管构成的“非”门电路及“非”门逻辑符号： UCC
RA A
RC Y
T
RB -UBB
逻辑符号
A
1
Y
4．基本逻辑关系的扩展 （1）与非运算 （2）或非运算 （3）与或非运算
1. F ABD ABC D A(B C) BC
2. F(A、B、C、D) m(0，1，4，5，6，12，13)
3. F ABC ABC AC
1. F ABC ABC D A(B C) BC AB BC AC AD
2. F(ABCD) m(0，1，4，5，6，12，13) AC BC ABD
一个逻辑函数可以有多种不同的表达式。如果按 照表达式中乘积项的特点，以及各个乘积项之间的关 系进行分类，则大致可分成下列五种：与或表达式、 或与表达式、与非-与非表达式、或非-或非表达式、 与或非表达式等五种。逻辑函数常用标准与或式来表 示，下面介绍最小项的概念。
若由n个变量组成的与项中，每个变量均以原变量或反变量 的形式出现且仅出现一次，则称该“与项”为n个变量的最小项。 n个变量 就有2n个最小项。 例如：设 A，B，C是三个逻辑变量，其最小项为
2. 为什么在晶体管用于数字电路时可等效为一个电子开关？
根据晶体管的开关特性，工作在饱和区时，其间电阻相 当为零，可视为电子开关被接通；工作在截止区时，其间电 阻无穷大，可视为电子开关被断开。
描述逻辑关系的数字工具是逻辑代数，它又称为布尔 代数.或是二值代数。
数电简明教程第一章 逻辑代数基础知识
10
第六章 脉冲产生与整形电路
概述 6.1 施密特触发器
11
12
概 述
一、逻辑代数（布尔代数、开关代数） 逻辑： 事物因果关系的规律 逻辑函数: 逻辑自变量和逻辑结果的关系
Z f ( A, B, C )
逻辑变量取值：0、1 分别代表两种对立的状态 一种状态 另一状态 高电平 真 低电平 假 是 非 有 无 … … 1 0 0 1
概述 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 组合电路的分析方法和设计方法 加法器和数值比较器 编码器和译码器 数据选择器和分配器 用 MSI 实现组合逻辑函数
8
第四章
概述
触发器
4.1 基本触发器 4.2 同步触发器 4.3 边沿触发器 4.4 触发器的电气特性
9
第五章
时序逻辑电路
概述 5.1 时序电路的基本分析和设计方法 5.2 计数器 5.3 寄存器和读/写存储器
( 26 )10 = 16 + 8 + 2 = 24 +23 + 21 = ( 1 1 0 1 0 )2
16 8 4 2 1
20
(3) 二-八转换: 每 3 位二进制数相当一位 8 进制数
( 0 10 101 111 ) 2 ( 257 )8
2 5 7
( 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1. 0 0 0 1 1 0 )2 ( 2 3 4 1 . 0 6 )8
(4) 八-二转换: 每位 8 进制数转换为相应 3 位二进制数
( 31. 47 )8 ( 011 001 . 100 111
)2
)2
( 375.64 )8 ( 011 111 101 . 110 100
第一章 数字逻辑电路基础知识
(DFC.8)H =13×162+15×161+12×20+8×16-1 =(3580 .5)D
二. 二进制数←→十六进制数
因为24=16，所以四位二进制数正好能表示一位十六进制数的16个数码。反过
来一位十六进制数能表示四位二进制数。
例如：
(3AF.2)H 1111.0010=(001110101111.0010)B 2
第一章 数字逻辑电路基础知识
1.1 数字电路的特点 1.2 数制 1.3 数制之间的转换 1.4 二进制代码 1.5 基本逻辑运算
数字电路处理的信号是数字 信号，而数字信号的时间变 量是离散的，这种信号也常 称为离散时间信号。
1.1 数字电路的特点
（1）数字信号常用二进制数来表示。每位数有二个数码，即0和1。将实际中彼此 联系又相互对立的两种状态抽象出来用0和1来表示，称为逻辑0和逻辑1。而且在 电路上，可用电子器件的开关特性来实现，由此形成数字信号，所以数字电路又 可称为数字逻辑电路。
例如： （1995）D=（7CB）H =（11111001011）B
或 1995D =7CBH=11111001011B 对于十进制数可以不写下标或尾符。
1.3 不同进制数之间的转换
一.任意进制数→十进制数： 各位系数乘权值之和(展开式之值)＝十进制数。 例如： (1011.1010)B=1×23+1×21+1×20+1×2-1+1×2-3
逻辑运算可以用文字描述，亦可用逻辑表达式描述，还可 以用表格（这种表格称为真值表）和图形（ 卡诺图、波形 图）描述。
在逻辑代数中有三个基本逻辑运算，即与、或、非逻辑运 算。
一. 与逻辑运算
数字逻辑第2章-逻辑代数
例如：
Y AB CDE
Y A B C D E
Y AB C
Y ( A B )(C D E)
（B A） B
证明:由于（A B ） （A B） （A B A） B
A （B B）
A 1
1
而且（A B ） （A B） A B A A B B
00
0 所以，根据公理 5的唯一性可得到:
A B A B
A A
定理6：反演律
A B A B
A B A B
定理7：还原律
A B A B A ( A B ) ( A B ) A
定理8：冗余律
AB A C BC AB A C
( A B)(A C)(B C) ( A B)(A C)
A B B A 交换律： A B B A
公理2
( A B) C A ( B C ) 结合律： ( A B) C A ( B C )
公理3
公理4
A (B C) A B A C 分配律： A B C ( A B) ( A C )*
判断两个逻辑函数是否相等，通常有两种方法。
①列出输入变量所有可能的取值组合，并按逻 辑运算法则计算出各种输入取值下两个逻辑 函数的相应值，然后进行比较。
②用逻辑代数的公理、定律和规则进行证明。
2.2 逻辑代数的基本定理和重要规则