高考数学易错题9.1 复杂的排列组合问题-2019届高三数学提分精品讲义
专题九计数原理
问题一：复杂的排列组合问题
一、考情分析
高考对这部分的要求还是比较高的.考查两个计数原理、排列、组合在解决实际问题上的应用.值得提醒地是：计数模型不一定是排列或组合.画一画,数一数,算一算,是基本的计数方法,不可废弃.
二、经验分享
1.排列应用问题的分类与解法
(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.
2.组合问题常有以下两类题型变化
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．学-科网
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
3.排列与组合综合问题的常见类型及解题策略
(1)相邻问题捆绑法．在特定条件下，将几个相关元素视为一个元素来考虑，待整个问题排好之后，再考虑它们“内部”的排列．
(2)相间问题插空法．先把一般元素排好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中，它与捆绑法有同等作用．
(3)特殊元素(位置)优先安排法．优先考虑问题中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置．
(4)多元问题分类法．将符合条件的排列分为几类，而每一类的排列数较易求出，然后根据分类加法计数原理求出排列总数．
三、知识拓展
1.分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位
置．首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类．
2.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．
3.解排列、组合问题的基本原则：特殊优先，先分组再分解，先取后排；较复杂问题可采用间接法，转化为求它的对立事件．
4.解决排列组合综合性问题的一般过程如下:
1.认真审题弄清要做什么事
2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类.
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.
解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略
解排列（或）组合问题,应按元素的性质进行分类,分类标准明确,不重不漏；按事情的发生的连续过程分步,做到分步层次清楚.
四、题型分析
(一)“相邻”与“不相邻”问题
【例1】甲、乙、丙、丁四名同学排成一排,分别计算满足下列条件的排法种数：
（1）甲不在排头、乙不在排尾；
（2）甲不在第一位、乙不在第二位、丙不在第三位、丁不在第四位；
（3）甲一定在乙的右端(可以不相邻)．
【点评】对于相邻问题,可以先将要求相邻的元素作为一个元素与其他元素进行排列,同时要考虑相邻元素的内部是否需要排列,这种方法称为“捆绑法”；对于不相邻的元素,可先排其他元素,然后将这些要求不相邻的
元素插入空当,这种方法称为“插空法”；对于“在”或者“不在”的排列问题的计算方法主要有：位置优先法、元素优先法、间接计算法．
【小试牛刀】【山西大学附属中学2017级上学期11月模块诊断】已知身穿红,黄两种颜色衣服的各两人,身穿蓝衣服的有1人,现将五人排成一列,要求穿相同颜色衣服的人不能相邻,则不同的排法有（ ） A. 72种 B. 78种 C. 48种 D. 84种 【答案】C
【解析】方法一：484223
3444455=+--A A A A 方法二：a,a,c 23212??= c,a,a, 23212??=,
a,c,a 24224A ?=,故共有12122448.++=选C.
(二)涂色问题
【例2】如图,用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用),要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色种数有________.
【分析】由于区域1,2,3与区域4相邻,由条件宜采用分步处理,又相邻区域不同色,因此应按区域1和区域3是否同色分类求解．
【点评】（1）解决涂色问题,一定要分清所给的颜色是否用完,并选择恰当的涂色顺序． （2）切实选择好分类标准,分清哪些可以同色,哪些不同色．
【小试牛刀】【河南省天一大联考2017届高三上学期阶段性测试】如图,图案共分9个区域,有6种不同颜色的涂料可供涂色,每个区域只能涂一种颜色的涂料,
其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色,且相邻区域的颜色不相同,则涂色方法有（ ）
A ．360种
B ．720种
C ．780种
D ．840种 【答案】B
【解析】先排1,有6种方法,再排2,3,4,5有45A 种方法,故一共有4
56720A ?=种.
(三)分配问题
【例3】有6本不同的书按下列分配方式分配,问共有多少种不同的分配方式？ （1）分成每组都是2本的三组； （2）分给甲、乙、丙三人,每人2本．
【分析】（1）组合知识及分步计数原理求解；（2）均匀分组问题.
【点评】不同元素的分配问题,往往是先分组再分配．在分组时,通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组,注意各种分组类型中,不同分组方法的求法．
【小试牛刀】【2017届广东七校联合体高三上学期联考二】把,,,A B C D 四件玩具分给三个小朋友,每位小朋友至少分到一件玩具,且,A B 两件玩具不能分给同一个人,则不同的分法有（ ）
A ．36种
B ．30种
C ．24种
D ．18种 【答案】B
【解析】分两步进行分析:①先计算把D C B A ,,,四件玩具分给三个小朋友,每位小朋友至少分到一件玩具的分法数目:首先将4件玩具分成3组,其中1组有2件,剩余2组各1件,有62
4=C 种分组方法,再将这3组对应三
个小朋友,有633=A 种方法,则有3666=?种情况；②计算B A ,两件玩具分给同一个人的分法数目,若B A ,两件玩具分给同一个人,则剩余的2件玩具分给其他2人,有62213=?A C 种情况.综上可得,B A ,两件玩具不
能分给同一个人的不同分法有30636=-种,故选B. (四)排数问题
【例4】在某种信息传输过程中,用四个数字的一个排列（数字允许重复）表示以一个信息,不提排列表示不同信息. 若所有数字只有0,1,则与信息0110之多由四个相对应位置上数字相同的信息个数为（ ） A. 9 B.10 C.11 D. 12
【分析】信息0110是四个数字,此类“至多”、“至少”类型的问题,可以直接利用分类讨论求解,也可以转化为反面的问题,利用间接法求解.
【解析一】（直接法）若0相同,只有1个；若1相同,共有144C =个；若2相同,共有2
46C =个,故共有
14611++=个.
【解析二】（间接法）若3个数字相同,共有246C =个,若4个数字相同共4个,二不同排列个数为4216=个,
所以共有16(14)11-+=个.
【点评】该题中要求的是“至多”有两个位置上数字相同,易出现的问题是分类混淆,漏掉各位数字信息均不同的情况,解决此类问题的关键是准确确定分类标准,分类计数时要做到不重不漏.
【小试牛刀】【2016届湖南省长沙市雅礼中学高三月考】用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有（ ）
A ．144个
B ．120个
C ．96个
D ．72个 【答案】B
【解析】据题意,万位上只能排4、5．若万位上排4,则有342A ?个；若万位上排5,则有343A ?个．所以共有342A ?343524120A +?=?=个．选B ．
(五)摸球问题
【例5】【浙江温州市十校联合体2014届高三上学期期初联考】将四个相同的红球和四个相同的黑球排成一排,然后从左至右依次给它们赋以编号l,2,…,8.则红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有 种.
【分析】注意到4个相同的红球没有区别,4个相同的黑球也没有区别,先求出任意排放的排法7048=C ,编号
相等的结果必有四组,其中每组一黑球一白球的编号和为9,则有)8,1(,)7,2(,)6,3(,)5,4(四种,红黑互换编号就有8种,因为红球的编号之和小于黑球编号之和的排法和大于的排法一样,则红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有
312
2
670=--种.
【解析】依题意,任意排放的排法704
8=C ,红球编号与黑球编号相等的情况有)8,1(,)7,2(,)6,3(,)5,4(四种,
红黑互换编号就是8种,所以红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有
312
2
670=--种. 【点评】要搞清组合与排列的区别与联系：组合与顺序无关,排列与顺序有关；排列可以分成先选取(组合)后排列两个步骤进行．
【小试牛刀】四个不同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,则恰有一个空盒的放法共有 种（用数字作答）． 【答案】42
(六)“至多”、“至少”问题
【例6】某医院有内科医生12名,外科医生8名,现选派5名参加赈灾医疗队,其中 （1）甲、乙两人至少有一人参加,有多少种选法？
（2）队中至少有一名内科医生和一名外科医生,有几种选法？ 【分析】“无序问题”用组合,注意分类处理．
【解析】（1）分两类：甲、乙中有一人参加,甲、乙都参加,共有C 12C 418＋C 318
＝6 936(种)； （2）方法一(直接法)：至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内
二外；四内一外,所以共有C 112C 48＋C 212C 38＋C 312C 28＋C 412C 18＝14 656(种)．
方法二(间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数,得C 520－(C 512＋C 58
)＝14 656(种)．
【点评】 对于有条件的组合问题,可能遇到含某个(些)元素与不含某个(些)元素问题；也可能遇到“至多”或“至少”等组合问题的计算,此类问题要注意分类处理或间接计算,切记不要因为“先取再后取”产生顺序造成计算错误．选择恰当分类标准,避免重复遗漏,出现“至少、至多”型问题,注意间接法的运用．
【小试牛刀】【江西省新余市第一中学2017届高三上学期调研考试】西部某县委将7位大学生志愿者(4男3女) 分成两组, 分配到两所小学支教, 若要求女生不能单独成组, 且每组最多5人, 则不同的分配方案共有（ ）
A ．36种
B ．68种
C ．104种
D ．110种 【答案】C
【解析】分组的方案有3、4和2、5两类,第一类有3272(1)68C A -?=种;第二类有
222732()36C C A -?=种,所以共有N=68+36=104种不同的方案. (七)信息迁移题
【例7】回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22,121,3 443,94 249等．显然2位回文数有9个：11,22,33,…,99.3位回文数有90个：101,111,121,…,191,202,…,999.(*)
则：（1）4位回文数有________个；（2）2n ＋1(n ∈N *)位回文数有________个．(**) 【分析】由(*)式,理解“特殊”背景——回文数的含义,借助计数原理计算．
结合(**),可从2位回文数,3位回文数,4位回文数探索求解方法,从特殊到一般发现规律．
【解析】（1）4位回文数相当于填4个方格,首尾相同,且不为0,共9种填法；中间两位一样,有10种填法．共计9×10＝90(种)填法,即4位回文数有90个．
（2）根据回文数的定义,此问题也可以转化成填方格．由计数原理,共有9×10n 种填空．
【点评】 （1）一题两问,以“回文数”为新背景,考查计数原理,体现了化归思想,将确定回文数的问题转化为“填方格”问题,进而利用分步乘法计数原理解决,将新信息转化为所学的数学知识来解决．
（2）从特殊情形入手,通过分析、归纳,发现问题中隐含的一些本质特征和规律,然后再推广到一般情形,必要时可以多列举一些特殊情形,使规律方法更加明确．
【小试牛刀】【浙江省金华、丽水、衢州市十二校2017届高三8月联考数学（理）试题】回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数,如2,11,242,6776,83238等,设n 位回文数个数为n a （n 为正整数）,如11是2位回文数,则下列说法正确的是（ ）
A.4100a =
B.()21210n n a a n N ++=∈
C.()22110n n a a n N -+=∈
D.以上说法都不正确 【答案】B.
【解析】A ：491090a =?=,故A 错误；根据对称性可知,21210n n a a +=,故B 正确,C,错误,故选 B.
四、迁移运用
1.【湖南省长沙市雅礼中学、河南省实验中学2018届高三联考】郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（ ）
A. 168种
B. 156种
C. 172种
D. 180种 【答案】B
【解析】分类：（1）小李和小王去甲、乙，共种（2）小王，小李一人去甲、乙，共
种，（3）小王，小李均没有去甲、乙，共种，总共N种，选B.
2．【四川省资阳市2018届高三4月模拟】从0，1，2，3这4个数字中选3个数字组成没有重复数字的三位数，则该三位数能被3整除的概率为
A. 1
3
B.
5
12
C.
5
9
D.
2
3
【答案】C
3．【贵州省凯里市第一中学2018届高三模拟】2017年11月30日至12月2日,来自北京、上海、西安、郑州、青岛及凯里等七所联盟学校(“全国理工联盟”)及凯里当地高中学校教师代表齐聚凯里某校举行联盟教研活动，在数学同课异构活动中,7名数学教师各上一节公开课，教师甲不能上第三节课，教师乙不能上第六节课，则7名教师上课的不同排法有（）种
A. 5040
B. 4800
C. 3720
D. 4920
【答案】D
【解析】由题意可得：75
7550401204920
A A
-=-=
故选D
4．【2018届湖南省（长郡中学、衡阳八中）、江西省（南昌二中）等十四校高三第二次联考】甲、乙、丙、丁、戊五位同学相约去学校图书室借A、B、C、D四类课外书（每类课外书均有若干本），已知每人均只借阅一本，每类课外书均有人借阅，且甲只借阅A类课外书，则不同的借阅方案种类为（）
A. 48
B. 54
C. 60
D. 72
【答案】C
【解析】分两类：乙、丙、丁、戊四位同学A、B、C、D四类课外书各借1本，共4
424
A=种方法；
乙、丙、丁、戊四位同学B、C、D三类课外书各借1本，共有23
4336
C A=中方法，故方法总数为60种. 故选C.
5．已知数列{a n}共有5项，a1＝0，a5＝2，且|a i＋1－a i|＝1，i＝1,2,3,4，则满足条件的数列{a n}的个数为() A. 2 B. 3
C. 4
D. 6 【答案】C 【解析】因为，所以
或
，即数列
从前往后，相邻两项之间增加1或减少
1，因为
，所以从到有3次增加1，有1次减少1，故数列
的个数为
；故选C.
6.【2017届湖南长沙雅礼中学高三月考四】四位男生和两位女生排成一排,男生有且只有两位相邻,则不同排法的种数是（ ）
A ．72
B ．96 C. 144 D ．240 【答案】C
【解析】先从4为男生中选2为捆绑在一起,和剩余的2为男生,插入到2为女生所形成的空隙中,所以共有
223423144A A A =种不同的排法,故选C.
7．【2017届重庆市第一中学高三12月月考】某班某学习小组共7名同学站在一排照相,要求同学甲和乙必须相邻,同学丙和丁不能相邻,则不同的站法共有（ ）种． A ．2
4
2
245A A A B ．2
4
2
244A A A C ．2
5
2
256A A A D ．5
2
56A A 【答案】A
8．【2017届湖南师大附中高三上学期月考四】从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有2人参加,星期六、星期日各有1人参加,则不同的选派方法共有（ ） A ．40种 B ．60种 C ．100种 D ．120种 【答案】B 【解析】
试题分析：先排星期五,从5人中选2人有25C ,种,再从剩下的3人中选2人参加星期六、星期日,有23A 种,故共有225310660C A =?=种,选B.
9．【2017届福建闽侯县三中高三上期中】将3本相同的诗集,2本相同的小说全部分给4名同学,每名同学至少1本,则不同的分法有（ ）
A ．24种
B ．28种
C ．32种
D ．36种 【答案】B
【解析】第一类：有一个人分到一本小说和一本诗集,这种情况下的分法有：先将一本小说和一本诗集分到一个人手上,有4种分法,将剩余的2本小说,1本诗集分给剰余3个同学,有3种分法,那共有3412?=种；第二类：有一个人分到两本诗集,这种情况下的分法有：先两本诗集分到一个人手上,有4种情况,将剩余的3本小说分给剩余3个人,只有一种分法,那共有：414?=种,第三类：有一个人分到两本小说,这种情况的分法有：先将两本小说分到一个人手上,有4种情况,再将剩余的两本诗集和一本小说分给剩余的3个人,有3种分法,那共有：4312?=种,综上所述：总共有：1241228++=种分法,故选B.
10.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两个端点异色,若只有5种颜色可供使用,则不同的染色方法总数有 （ ）
A.240种
B.300种
C.360种
D.420种 【答案】D
11．某铁路货运站对6列货运列车进行编组调度,决定将这6列列车编成两组,每组3列,且甲与乙两列列车不在同一小组,如果甲所在小组3列列车先开出,那么这6列列车先后不同的发车顺序共有________种． 【答案】216
【解析】先进行分组,从其余4列火车中任取2列与甲一组,不同的分法为C 24
＝6种． 由分步计数原理得不同的发车顺序为C 24·A 33·A 33＝216种．
12.【广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷,14】两所学校分别有2名、3名学生获奖,这5名学生要排成一排合影,则同校学生排在一起的概率是__________. 【答案】
1
5
【解析】5名学生要排成一排合影共有55A 种不同的排法,同校学生排在一起共有232
232A A A 种不同的排法,所以
所求概率为232 2
32
5
5
1
5
A A A
P
A
==.
13．某班级原有一张周一到周五的值日表,五位班干部每人值一天,现将值日表进行调整,要求原周一和周五的两人都不值这两天,周二至周四的这三人都不值自己原来的日期,则不同的调整方法种数是_________________（用数字作答）.
【答案】
14．【2017届四川双流中学高三上学期必得分】某科室派出4名调研员到3个学校,调研该校高三复习备考近况,要求每个学校至少一名,则不同的分配方案种数为.
【答案】36
【解析】分两步完成:第一步将4名调研员按2,1,1分成三组,其分发有
211
421
2
2
C C C
A
种；第二步将分好的三组分
配到三个学校,其分发有3
3
A种,所以不同的分配方案种数
211
3
421
3
2
2
36
C C C
A
A
=种,故填36.
15．【2017届甘肃肃南裕固族自治县一中高三理12月月考】将编号为1,2,3,4的四个小球放入3个不同的盒子中,每个盒子里至少放1个,则恰好1个盒子放有2个连号小球的所有不同方法有种．（用数字作答）
【答案】18
【解析】由题意这四个数有12,3,4；1,23,4；1,2,34三种分组方式,将其放入三个盒子有18
6
3
33
3
=
?
=
A种方法,故应填答案18.
16．【2017届山东寿光现代中学高三理12月月考】三位老师和三位学生站成一排,要求任何两位学生都不相邻,则不同的排法总数为．学科网
【答案】144
【解析】
试题分析:由题设运用插空法可得144
3
4
3
3
=
?A
A．故应填答案144．
17．【2017届浙江省高三上学期高考模拟】如图所示,某货场有两堆集装箱,一堆2个,一堆3个,现需要全部装运,每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱,则在装运的过程中不同取法的种数是____________（用数
字作答）.
【答案】10.
【解析】如下图所示,对集装箱编号,则可知排列相对顺序为1,2,3（即1号箱子一定在2号箱子前被取走,2
号箱子一定在3号箱子前被取走）,4,5,故不同取法的种数是
5
5
32
32
10
A
A A
=,故填：10.
18.某班班会准备从含甲、乙的7名学生中选取4人发言,要求甲、乙两人至少有一人参加,且若甲、乙同时参加,则他们发言时顺序不能相邻,那么不同的发言顺序有.
【答案】600种
【解析】若甲、乙其中一人参加,有134
254480
C C A=种情况,若甲、乙两人都参加,有224
254240
C C A=种情况,
其中甲、乙相邻的有2223
2523120
C C A A=种情况,则不同的发言顺序有480240120600
+-=种情况.
高三数学易错题训练
高三易错题训练2016 1.已知△ABC 中，a ＝4，b ＝ 4，∠A ＝30°，则∠B 等于__________ 2.若函数())sin(3)f x x a x a =---是奇函数，则a 等于____________ 3.设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为 a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为____________ 4.一艘缉私巡逻艇在小岛A 南偏西38?方向，距小岛3海里的B 处，发现 隐藏在小岛边上的一艘走私船正开始向岛北偏西22?方向行驶，测得其速度为10海里/小时，问巡逻艇需用多大的速度朝什么方向行驶，恰好用0.5小时在C 处截住该走私船？ （参考数据sin3822??） 5.若函数的最小值为3，则实数的值为____________ 6.已知(3)491()log 1 a a x a x f x x x --+,则此函数的单调递减区间是______ 9.若函数2()2f x x ax =-+与函数()1 a g x x =+在区间[1,2]上单减,则a 的取值范围是___________ 10.若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则____________（a ，b ，c 大小关系） 11.求函数 ,的最大值与最小值____________ 12.定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（x y ∈R ，），(1)2f =，则(2)f -等于______ 13.已知2()3f x x ax a =++-,若当[2,2]x ∈-时,()0f x ≥恒成立,求a 的取值范围.__________ 14.已知224y x ax a =++-,若当[2,3]a ∈-时,0y ≥恒成立,求x 的取值范围______ 15.已知函数()()22log 1,02,0 x x f x x x x ?+>=? --≤?，若函数()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围是_____ 16.直线y=kx+1与y=x 3+ax+b 曲线相切于A(1,3), 则b 的值为____________ 17.若f(x)=21ln(2)2x b x -++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是______ 18..已知函数322()3(1)1(0)f x kx k x k k =+--+>的单调减区间是(0,4),则k 的值是______ 19．函数322(),f x x ax bx a =+++在1=x 时有极值10，那么b a ,的值分别为______. 已知函数.若曲线与曲线相交,且在交点处有相同的切线,求的值及该切线的方程______ 20.已知函数()ln 1f x x ax =-+。 1）若曲线()y f x =在点()1,(1)A f 处的切线l 与直线4330x y +-=垂直，求实数a 的值； 3()12f x x x a =+++a 2()24f x x mx =-++[2,5]x ∈()g m ()h m ()()ln ,f x g x a x a R =∈()y f x =()y g x =a
2020年高考理科数学模拟试题及答案(解析版) (14)
高三理科数学模拟试卷 一．选择题（每小题5分，满分60分） 1.“4n =”是1n x x ? ?+ ?? ?的二项展开式中存在常数项”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 计算二项展开式中存在常数项的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可． 【详解】二项式 1n x x +（）的通项为2110r r n r r r n r n n T C x C x r n x --+==≤≤（）（） 1n x x +（）的二项展开式中存在常数项2n r n ?=?为正偶数 4n n =?Q 为正偶数， n 为正偶数推不出4n = ∴4n =是 1n x x +（）的二项展开式中存在常数项的充分不必要条件． 故选A ． 【点睛】以简易逻辑为载体，考查了二项式定理，属基础题． 2.关于函数()23 2 f x x = -的下列判断，其中正确的是（ ） A. 函数的图像是轴对称图形 B. 函数的图像是中心对称图形 C. 函数有最大值 D. 当0x >时，()y f x =是减函数 【答案】A 【解析】 【分析】 判断函数为偶函数得到A 正确，B 错误 ，取特殊值，排除C 和D 得到答案. 【详解】()2 32f x x = -定义域为：{x x ，( )23 ()2 f x f x x -==- 函数为偶函数，故A 正确，B 错误
当x 且x 时，( )f x →+∞ ，C 错误 3 (1)3,(2)2 f f =-= ，不满足()y f x =是减函数，D 错误 故选A 【点睛】本题考查了函数的性质，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 3.已知向量a v 和b v 的夹角为3 π，且 2,3a b ==v v ，则(2)(2)aba b -+=v v v v （ ） A. 10- B. 7- C. 4- D. 1- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据数量积的运算律直接展开 ()() 22a b a b -?+v v v v ，将向量的夹角与模代入数据，得到结果． 【详解】()() 22a b a b -?+=v v v v 2223?2a a b b +-v v v v ＝8+3cos 3a b πv v －18＝8+3×2×3×12 －18＝－1， 故选D. 【点睛】本题考查数量积的运算，属于基础题． 4.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为( ) A. 16 B. C. 163 D. 128 3 【答案】C 【解析】 【分析】 由已知求出正方体内切球的体积，再由已知体积比求得“牟合方盖”的体积． 【详解】正方体的棱长为2，则其内切球的半径r 1=， ∴正方体的内切球的体积3 44V π1π33 =?=球 ， 又由已知 V πV 4= 球牟合方盖 ，4416V ππ33 ∴=?=牟合方盖 ． 故选C ． 【点睛】本题考查球的体积的求法，理解题意是关键，是基础题．
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《不等式》难题汇编含答案
新高考数学《不等式》练习题 一、选择题 1．设x ，y 满足10 2024x x y x y -≥?? -≤??+≤? ，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m 的最小值为（ ） A ． 125 B ．125 - C ． 32 D ．32 - 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可． 【详解】 解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ， 由a b ⊥r r 得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值， 由242x y x y +=??=?，得85 4 5x y ?=????=?? ，∴84,55C ?? ???， ∴416122555 m y x =-=-=-， 故选：B. 【点睛】 本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解． 2．已知等差数列{}n a 中，首项为1a （10a ≠），公差为d ，前n 项和为n S ，且满足 15150a S +=，则实数d 的取值范围是（ ）
A ．[； B ．(,-∞ C ．) +∞ D ．(,)-∞?+∞ 【答案】D 【解析】 【分析】 由等差数列的前n 项和公式转化条件得1 1322 a d a =--，再根据10a >、10a <两种情况分类，利用基本不等式即可得解. 【详解】 Q 数列{}n a 为等差数列， ∴15154 55102 a d d S a ?=+ =+，∴()151********a S a a d +++==， 由10a ≠可得 1 1322 a d a =--， 当10a > 时，1111332222a a d a a ??=--=-+≤-= ??? 1a 时等号成立； 当10a < 时，1 1322a d a =--≥= 1a =立； ∴实数d 的取值范围为(,)-∞?+∞. 故选：D. 【点睛】 本题考查了等差数列前n 项和公式与基本不等式的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题. 3．已知关于x 的不等式()()2 22240m x m x -+-+>得解集为R ，则实数m 的取值范 围是（ ） A ．()2,6 B ．()(),26,-∞+∞U C ．(](),26,-∞?+∞ D ．[)2,6 【答案】D 【解析】 【分析】 分20m -=和20m -≠两种情况讨论，结合题意得出关于m 的不等式组，即可解得实数 m 的取值范围. 【详解】
高考数学专题之排列组合小题汇总
温馨提示：（每题4分满分100分时间90分钟）姓名________________ 一、单选题 1．某种植基地将编号分别为1，2，3，4，5，6的六个不同品种的马铃薯种在如图所示的 A B C D E F 这六块实验田上进行对比试验，要求这六块实验田分别种植不同品种的马铃薯，若种植时要求编号1，3，5的三个品种的马铃薯中至少有两个相邻，且2号品种的马铃薯不能种植在A 、F这两块实验田上，则不同的种植方法有 ( ) A． 360种 B． 432种 C． 456种 D． 480种 2．甲、乙、丙、丁、戊五位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展，她们选择共享电动车出行，每辆电动车只能载两人，其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车，甲的小孩一定要坐戊妈妈的车，则她们坐车不同的搭配方式有（） A．种 B．种 C．种 D．种 3．已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有（）种 A． 19 B． 26 C． 7 D． 12 4．有张卡片分别写有数字，从中任取张，可排出不同的四位数个数为（） A ． B． C． D． 5．我市拟向新疆哈密地区的三所中学派出5名教师支教，要求每所中学至少派遣一名教师，则不同的派出方法有（） A． 300种 B． 150种 C． 120种 D． 90种 6．一只小青蛙位于数轴上的原点处，小青蛙每一次具有只向左或只向右跳动一个单位或者两个单位距离的能力，且每次跳动至少一个单位.若小青蛙经过5次跳动后，停在数轴上实数2位于的点处，则小青蛙不同的跳动方式共有( )种. A． 105 B． 95 C． 85 D． 75 7．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有（） A．种 B．种 C．种 D．种 8．郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（） A． 168种 B． 156种 C． 172种 D． 180种 9．用6种不同的颜色对正四棱锥的8条棱染色，每个顶点出发的棱的颜色各不相同，不同的染色方案共有多少种（） A．14400 B．28800 C．38880 D．43200 10．《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A 必须排在前三位，且任务E、F必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（） A． 240种 B． 188种 C． 156种 D． 120种 11．定义“有增有减”数列{}n a如下：* t N ?∈，满足 1 t t a a + <，且* s N ?∈，满足 1 S S a a + >.已知“有增有减”数列{}n a共4项，若{}() ,,1,2,3,4 i a x y z i ∈=，且x y z <<，则数列{}n a共有（） 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
高中数学易错题举例解析
高中数学易错题举例解析 高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。 ● 忽视等价性变形，导致错误。 ??? x >0 y >0 ? ??? x + y >0 xy >0 ，但 ??? x >1 y >2 与 ??? x + y >3 xy >2 不等价。 【例1】已知f(x) = a x + x b ，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围。 错误解法 由条件得?? ? ??≤+≤≤+≤-62230 3b a b a ②① ②×2－① 156≤≤a ③ ①×2－②得 32 338-≤≤- b ④ ③+④得 .3 43 )3(310,34333310≤≤≤+≤f b a 即 错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数b x ax x f + =)(，其值是同时受b a 和制约的。当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。 正确解法 由题意有?? ? ??+=+=22)2()1(b a f b a f , 解得： )],2()1(2[3 2 )],1()2(2[31f f b f f a -=-= ).1(9 5 )2(91633)3(f f b a f -=+=∴ 把)1(f 和)2(f 的范围代入得 .3 37)3(316≤≤f 在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ●忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】 (1) 设βα、是方程0622 =++-k kx x 的两个实根，则2 2 )1()1(-+-βα的最小值是
2020年高考理科数学易错题《排列组合》题型归纳与训练
2020年高考理科数学《排列组合》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 计数原理的基本应用 例1 某校开设A 类选修课2门，B 类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 A ．3种 B ．6种 C ．9种 D ．18种 【答案】 C . 【解析】 可分以下2种情况：①A 类选修课选1门，B 类选修课选2门，有 62312=?C C 种不同的选法；②A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，有31322=?C C 种不同的选法．所以根据分类计数原理知不同的选法共有6+3=9种．故要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有9种．故选：C 【易错点】注意先分类再分步 【思维点拨】两类课程中各至少选一门，包含两种情况：A 类选修课选1门，B 类选修课选2门；A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果. 题型二 特殊元素以及特殊位置 例 1 将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排，且B A ,均在C 的同侧，则不同的排法有（ ）种.（用数字作答） 【答案】 480 【解析】考虑到C B A ,,要求有顺序地排列，所以将这三个字母当作特殊元素对待。先排F E D ,,三个字母，有12036 =A 种排法；再考虑C B A ,,的情况：C 在最左端有2种排法，最右端也是2种排法，所以答案是4804120=?种. 【易错点】注意特殊元素的考虑 【思维点拨】对于特殊元素与特殊位置的考量，需要瞻前顾后，分析清楚情况，做到“不重复不遗漏”；如果情况过于复杂，可以考虑列举法，虽然形式上更细碎一些，但是情况分的越多越细微，每种情况越简单，准确度就越高. 题型三 捆绑型问题以及不相邻问题 例1 由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3都不与5相邻的六位偶数的个数是（ ）个.
高三数学模考易错题汇总
高三数学模考易错题汇总 1、已知函数2()1f x ax x =-+，1,1(),111,1x g x x x x -≤-?? =-<
2020-2021人教版数学五年级下册 易错题
一、选择 1．从正面看 ，看到的图形是( )。 A. B. C. D. 2．下面( )组图形通过旋转可以得到图形A 。 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 3．要使15x 是假分数，16 x 是真分数，x 是( )。 A ．1 B ．15 C ．16 D ．17 4．把3个相同的小长方体拼成1个15 cm 高的大长方体，表面积减少了48cm 2，那么原来1个小长方体的体积是( )cm 3。 A ．180 B ．120 C ．60 D ．36 5．分数单位是a 1（a 是大于或等于2的自然数）的最小假分数与最大真分数的差是 ( )。
A.0 B.1 C. a 1 D.a 2 6．一个正方体的木块，每个面上分别写着A 、B 、C 、D 、E 、F ，从不同方向观察如下，以下结论正确的是( )。 A. C 与D 相对 B ．A 与E 相对 C ．B 与F 相对 D ．以上说法都对 7．暑假期间，芳芳和明明去图书馆，芳芳每4天去一次，明明每5天去一次，8月2日两人在图书馆相遇， ( )他们再次相遇。 A.8月18日 B.8月20日 C.8月22日 D.8月24日 8．一杯纯苹果汁，林老师喝了2 1杯后，觉得有些浓，然后加满水，又喝了半杯，再兑满水直至全部喝完。林老师一共喝了( )杯纯苹果汁。 A ． 41 B ．21 C ．4 3 D ．1 9．五(1)班共有45位学生。暑假期间有一个紧急通知，王老师需要尽快通知到每一位学生。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，那么至少要花( )分钟才能全部通知到。 A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 10.下面有( )道算式的结果一定不是奇数。 ①a+4 ②6a ③3a ④a 2 ⑤a+a A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面向量》全集汇编附解析
新数学《平面向量》试卷含答案 一、选择题 1．如图，圆O 是等边三角形ABC 的外接圆，点D 为劣弧AC 的中点，则OD =u u u r （ ） A ．2133BA AC +u u u r u u u r B ．2133BA A C -u u u r u u u r C ．1233BA AC +u u u r u u u r D ．4233BA AC +u u u r u u u r 【答案】A 【解析】 【分析】 连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，列出相应式子得出结论. 【详解】 解：连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ， 则()() 221121332333 OD BO BE BA BC BA BA AC BA AC ===?+= ++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：A. 【点睛】 本题考查向量的表示方法，结合几何特点，考查分析能力，属于中档题. 2．已知正ABC ?的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ED u u u r u u u r =，那么EB EC ?u u u r u u u r 的值为（ ） A ．8 3 - B ．1- C ．1 D ．3 【答案】B 【解析】 【分析】 由二倍角公式得求得tan ∠BED ，即可求得cos ∠BEC ，由平面向量数量积的性质及其运算得直接求得结果即可． 【详解】
由已知可得：7 ， 又23 tan BED 3 BD ED ∠= == 所以22 1tan 1 cos 1tan 7 BED BEC BED -∠∠==-+∠ 所以1||cos 7717EB EC EB EC BEC ?? ?=∠=-=- ??? u u u r u u u r u u u r u u u r ‖ 故选B ． 【点睛】 本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式，属中档题． 3．若向量a b r r ，的夹角为3 π ，|2|||a b a b -=+r r r r ，若()a ta b ⊥+r r r ，则实数t =（ ） A ．1 2 - B ． 12 C 3 D ．3 【答案】A 【解析】 【分析】 由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得22b a b =?r r r ，结合条件可得b a =r r ，又由()a ta b ⊥+r r r ，可得20t a a b ?+?=r r r ，即可得出答案. 【详解】 由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得2222442a a b b a a b b -?+=+?+r r r r r r r r . 即22b a b =?r r r ，也即22cos 3 b a b π =r r r ，所以b a =r r . 又由()a ta b ⊥+r r r ，得()0a ta b ?+=r r r ，即20t a a b ?+?=r r r . 所以222 1122b a b t a b ?=-=-=-r r r r r 故选：A
高考数学专题之排列组合综合练习
高考数学专题之排列组 合综合练习 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
1．从中选个不同数字，从中选个不同数字排成一个五位数，则这些五位数中偶数的个数为（） A． B． C． D． 2．五个同学排成一排照相，其中甲、乙两人不排两端，则不同的排法种数为（）A．33 B．36 C．40 D．48 3．某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教（每地1名教师），其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有（） A．900种 B．600种 C．300种 D．150种 4．要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有__________种（用数字作答）. 5．有五名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲不能站在最左端，而乙必须站在丙的左侧（不一定相邻），则不同的站法种数为__________．(用数字作答） 6．有个座位连成一排，现有人就坐，则恰有个空位相邻的不同坐法是 __________． 7．现有个大人，个小孩站一排进行合影.若每个小孩旁边不能没有大人，则不同的合影方法有__________种．（用数字作答） 8．（2018年浙江卷）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 9．由0，1，2，3，4，5这6个数字共可以组成______.个没有重复数字的四位偶数． 10．将四个编号为1,2,3,4的小球放入四个编号为1,2,3,4的盒子中. (1)有多少种放法
高中数学易错题集锦
高中数学易错题集锦 指导教师：任宝安 参加学生：路栋胡思敏 李梅张大山 ?【例1②×2①×2③+b a 和 993)3(f ∴3 3在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ●忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】解下列各题 (1) 设βα、是方程0622=++-k kx x 的两个实根，则22)1()1(-+-βα的最小值是 思路分析本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα 有的学生一看到4 49 - ，常受选择答案（A ）的诱惑，盲从附和，这正是思维缺乏反思性的体现。如
果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。 原方程有两个实根βα、 ∴0)6k (4k 42≥+-=??.3k 2k ≥-≤或 当3≥k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是8； 当2-≤k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是18 这时就可以作出正确选择，只有（B ）正确。 (2)已知(x+2)2+=1,求x 2+y 2的取值范围。 错解∴当分析∴ x 2 【例3错解)2的最小 值是分析2 1 ,第二 原式 由ab ∴原式≥2×17+4=2(当且仅当a=b=2时，等号成立)， ∴(a+a 1)2+(b+b 1 )2的最小值是。 ●不进行分类讨论，导致错误 【例4】已知数列{}n a 的前n 项和12+=n n S ，求.n a 错误解法.222)12()12(1111----=-=+-+=-=n n n n n n n n S S a 错误分析显然，当1=n 时，1231111=≠==-S a 。 错误原因：没有注意公式1--=n n n S S a 成立的条件是。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《计数原理与概率统计》难题汇编附答案解析
新数学《计数原理与概率统计》复习知识点 一、选择题 1．如图所示，线段BD 是正方形ABCD 的一条对角线，现以BD 为一条边，作正方形 BEFD ，记正方形ABCD 与BEFD 的公共部分为Ω（如图中阴影部分所示），则往五边形ABEFD 中投掷一点，该点落在Ω内的概率为（ ） A ． 16 B ． 15 C ． 14 D ． 13 【答案】B 【解析】 【分析】 五边形ABEFD 的面积5 2S =，阴影Ω的面积为12 ，得到概率. 【详解】 不妨设1AB =，故五边形ABEFD 的面积15222 S = +=，阴影Ω的面积为1 2， 故所求概率为112 1 5 22 P = = +， 故选：B ． 【点睛】 本题考查了几何概型，意在考查学生的计算能力和应用能力. 2．下列四个结论中正确的个数是 （1）对于命题0:p x R ?∈使得2 010x -≤，则:p x R ??∈都有210x ->； （2）已知2 (2,)X N σ:，则 (2)0.5P X >= （3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为 ?23y x =-； （4）“1x ≥”是“1 2x x +≥”的充分不必要条件. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C 【解析】
【分析】 由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定． 【详解】 由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题0:p x R ?∈使得 2010x -≤，则:p x R ??∈都有210x ->，是错误的； （2）中，已知( )2 2,X N σ ~，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为2x =，所 以 (2)0.5P X >=是正确的； （3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质 和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为?23y x =-是正确； （4）中，当1x ≥时，可得12x x +≥=成立，当12x x +≥时，只需满足0x >， 所以“1x ≥”是“1 2x x +≥”成立的充分不必要条件． 【点睛】 本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 3．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = ) A ． 85 B ． 65 C ． 45 D ． 25 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意知，3~(5, )3X B m +，由3 533EX m =? =+，知3~(5,)5 X B ，由此能求出()D X ． 【详解】 由题意知，3 ~(5, )3 X B m +， 3 533 EX m ∴=? =+，解得2m =， 3 ~(5,)5 X B ∴，
高考数学易错题举例解析
咼考数学易错题举例解析 高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。 ?忽视等价性变形，导致错误。 x>0 y>0x + y>0 xy>0 ， 但 x>1 y>2 与 x + y>3 xy >2 不等价。 【例1】已知f(x)x =ax + -b，若3f(1) 0, 3 f (2) 6,求f (3)的范围。 3 a b0① 错误解法由条件得b 32a 26② ②X 2 —① 6 a15③ ①X 2—②得8 b2④ 3 33 ③+④得10 3a b43 J 即 10 —f(3) 43 33333 错误分析采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数f(x) ax -，其值是同时 b 受a和b制约的。当a取最大(小)值时，b不一定取最大(小)值，因而整个解题思路是错误的。 f⑴ a b 正确解法由题意有 b 、解得： f(2)2a - 2 1 a §[2f(2)f (1)],b j[2f(1) f(2)], f (3) 3a b 16 f(2) 5 -f (1). 16 37 把f (1)和f (2)的范围代入得一f (3) 3 99 3 3 在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ?忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】 2 2 2
⑴设、是方程x 2kx k 6 0的两个实根，则(1) ( 1)的最小值是 49 十亠亠 (A) (B) 8 (C) 18 (D)不存在 4
高考数学排列组合常见题型
选修2-3：排列组合常见题型 可重复的排列（求幂法） 重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复。 在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数。 【例1】 （1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？ （2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？ （3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？ 【解析】：（1）4 3（2）34 （3）3 4 相邻问题（捆绑法） 相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 【例1】,,,,A B C D E 五人站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有 【解析】：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种 练习：（2012辽宁）一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为 (A)3×3！ (B) 3×(3！)3 (C)(3！)4 (D) 9！ 【解析】：C 相离问题（插空法 ） 元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是 52563600A A = 【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不同的插法 【解析】： 111789A A A =504 【例3】.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？ 【解析】：把此问题当作一个排队模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯3 5C = 10 种方法。
高考数学易错题10.2 统计图表的应用-2019届高三数学提分精品讲义
专题十概率、统计 问题二：统计图表的应用 一、考情分析 统计图表有频率分布直方图、茎叶图、折线图、条形图、饼形图、雷达图等，它们广泛应用于实际生活之中，也是历年高考的热点，求解此类的关键是由图表读出有用的数据，再根据数据进行分析. 二、经验分享 1.明确频率分布直方图的意义，即图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率，所有小矩形的面积和为1.学科-网 2.对于统计图表类题目，最重要的是认真观察图表，从中提炼有用的信息和数据． 由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况，这一点同频率分布直方图类似．它优于频率分布直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据，没有任何信息损失，第二点是茎叶图便于记录和表示．其缺点是当样本容量较大时，作图较烦琐． 3.频率分布直方图是高考考查的热点，考查频率很高，题型有选择题、填空题，也有解答题，难度为低中档．用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布；难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用．在计数和计算时一定要准确，在绘制小矩形时，宽窄要一致．通过频率分布表和频率分布直方图可以对总体作出估计．频率分布直方图的纵坐标为频率/组距，每一个小长方形的面积表示样本个体落在该区间内的频率；条形图的纵坐标为频数或频率，把直方图视为条形图是常见的错误． 三、知识拓展 统计图是利用点、线、面、体等绘制成几何图形，以表示各种数量间的关系及其变动情况的工具。表现统计数字大小和变动的各种图形总称。其中有条形统计图、扇形统计图、折线统计图、象形图等。在统计学中把利用统计图形表现统计资料的方法叫做统计图示法。其特点是:形象具体、简明生动、通俗易懂、一目了然。其主要用途有:表示现象间的对比关系;揭露总体结构;检查计划的执行情况;揭示现象间的依存关系，反映总体单位的分配情况;说明现象在空间上的分布情况。一般采用直角坐标系.横坐标用来表示事物的组别或自变量x，纵坐标常用来表示事物出现的次数或因变量y;或采用角度坐标(如圆形图)、地理坐标(如地形图)等。按图尺的数字性质分类，有实数图、累积数图、百分数图、对数图、指数图等;其结构包括图名、图目(图中的标题)、图尺(坐标单位)、各种图线(基线、轮廓线、指导线等)、图注(图例说明、资料来源
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《计数原理与概率统计》真题汇编
【最新】《计数原理与概率统计》专题解析 一、选择题 1．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表： 根据上表可得回归方程???y bx a =+中的?b 约等于9，据此模型预报广告费用为6 万元时，销售额为（ ） A ．54万元 B ．55万元 C ．56万元 D ．57万元 【答案】D 【解析】 试题分析：由表格可算出1(1245)34x = +++=,1 (10263549)304y =+++=,根据点(),x y 在回归直线???y bx a =+上,?9b =,代入算出?3a =,所以?93y x =+,当6x =时,?57y =,故选D. 考点：回归直线恒过样本点的中心(),x y . 2．设某中学的女生体重y （kg ）与身高x （cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数 (),i i x y ()1,2,3,,i n =L L ，用最小二乘法建立的线性回归直线方程为 ?0.8585.71y x =-，给出下列结论，则错误的是（ ） A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．若该中学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0．85kg C ．回归直线至少经过样本数据(),i i x y ()1,2,3,,i n =L L 中的一个 D ．回归直线一定过样本点的中心点(),x y 【答案】C 【解析】 【分析】 根据回归直线方程的性质和相关概念，对选项进行逐一分析即可. 【详解】 因为0.850k =>，所以y 与x 具有正的线性相关关系，故A 正确； 该中学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0．85kg ，故B 正确； 回归直线一定过样本点的中心点(),x y ，回归直线有可能不经过样本数据，
数列易错题带答案
1．若数列{}{},n n a b 、的通项公式分别是a a n n ?-=+2007)1(，n b n n 2008 )1(2+-+=，且n n b a <，对任意n N *∈恒成立，则常数a 的取值范围是（ ） A.[)1,2- B. [)+∞-,2 C. []1,2- D. ()1,∞- 2．已知等差数列{a n }的前n 项和是n a n S n 2 2182--=，则使2006-
高中数学排列组合经典题型全面总结版
高中数学排列与组合 （一）典型分类讲解 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有 34A 由分步计数原理得1 1 3 434 288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元 素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 522522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种， 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 46 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素 之间的全排列数,则共有不同排法种数是： 73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 47 A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有4 7A 种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? （插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 5 10C 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原 理共有6 7种不同的排法 练习题： 1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插 法的种数为 42 4 4 3 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种