《数学物理方法》第六章勒让德函数
可见，x=0是方程的常点①．方程的解具有形 式
①为了讨论系数的解析性质，以判定z0=0是方程的 常点、正则奇点还是非正则奇点，必须将p(x)及q(x) 分别延拓为
但为叙述与书写方便，仍采用x⇔z的记号
12
2. 系数递推公式 由此得系数递推公式
13
3. 由递推公式求系数，得通解
14
勒让德多项式 微分表达式-罗德里格斯(Rodrigues)公式; 母函数; 积分表达式—施列夫利公式和拉普拉斯
积分 递推公式．
6.2.1 勒让德多项式的微分表达式—罗德里格 斯公式 证明 从罗德里格斯公式右边出发来证明．
二项式展开定理为
32
对(x2-1)l求l阶导数后除以(2ll!)得到
为何求和指标的最大值为[l/2]，因为对于指 数(2l-2s)＜l的项，在求l 阶导数后均为零，故： 只含(2l-2s)≥l的项，即：s≤ l/2的项．这样当 l 为偶数时，l/2为最大值； l为奇数时，(l-1)/2 为最大值。用简写符号表示就是 [l/2]
证明 (1)在|t|<1内，将w(x,t)展开为泰勒级数
其中al为泰勒系数, C为在|t|<1内包围t=0点的回路
①奇点
的|t12|<1
36
(2)为证明al =Pl(x)，作变换(u为复变数)
37
代入al ，便有
其中u平面的曲线Cʹ是在式(6.2.5)的变换下t平面曲线 C的像．当t=0时，由式 (6.2.6)得到u=x.既然t=0在 曲线C的内部，因此u=x在曲线Cʹ的内部．
式(6.1.17)乘以任意常数仍为勒让德方程的解 历史上为了让这个多项式与函数(1-2xt+t2)-1/2
的展开系数一致，选择最高次幂项的系数Cl 为
再利用系数递推公式(6. 1.9)求出低次幂项的 系数，得到的多项式称为勒让德多项式，记
22
将式(6. 1.9)以Ck表示Ck+2改为以Ck+2表示Ck
l=0
l=0
l=0
lPl (x)tl-1 - (2l +1)xPl (x)tl + (l +1)Pl (x)tl+1
l =0
l=0
l=0
= (l +1)Pl+1(x)tl - (2l +1)xPl (x)tl + lPl-1(x)tl
l =1
l =1
l =1
46
(2)由母函数关系式(6.2.18)两边对x求导， 再与式(6.2.19)联立，可得
3
级数解法对方程没有特殊的要求．它的 基本方法是：把方程的解表示为以z0为 中心、带有待定系数的幂级数，将这个 幂级数代入方程及定解条件，求出所有 待定系数即可．
方程(6.1.1)的解的形式由方程的系数p(z) 及q(z)的解析性决定．
4
常点、正则奇点、非正则奇点 如果p(z)和q(z)在z0点的邻域解析， z0称为方
正整数)，则级数y0(x) 将到x2n项为止．将 k=l=2n代入式(6.1.9)，易见x2n+2项的系数为
重复应用式(6. 1. 9)，可证C2n+4, C2n+6, …均为
零。 y0(x)的最高次幂为x2n= xl．
根据物理量是有限的，舍去不合物理意义的
解，取常数C1 =0，则勒让德方程的解为
6
定理2 在正则奇点z0的邻域|z-z|<R内，方程的 解为
C0≠0 ， D0≠0。 r1和r2称为方程的指标方程
7
指标方程的确定：将
代入方程(6.1.1)，由最低次幂项的系数和为 零得到r的方程(称为指标方程)，方程的两个 根就是r1和r2(取r1≥r2)．
w2(z) 含或不含对数项，取决 r1和r2是否为零 与整数；系数a是否为零而定
28
(2) Pl(0)的特殊值
鉴于勒让德多项式的级数表示过于复杂，不便使用， 人们常利用它的微分表达式和积分表达式．
29
作业- §6.1 第128页
Group C
Group B
1. 6.1.1
1. 6.1.2
Group A 1. 6.1.3
30
§6.2 勒让德多项式的微分与积分表 达式母函数与递推公式
8Leabharlann 定理1和定理2的证明见有关专著①．
本篇将用两个非常重要的例子说明二阶线 性齐次常微分方程的级数解法．
第6章以勒让德方程为例(在常点的邻域求解)， 第7章以贝塞尔方程为例(在正则奇点的邻域
内求解)．
若讨论的方程是实数方程，自变量可用x表 示，函数可用y表示，即方程(6. 1．1)可改 写为 y"(x)＋p(x)yʹ(x)＋q(x)y(x)＝0 (6. 1. 5)
(3)应用高阶导数公式计算式(6.2.7)的积分
(6.2.8)
最后的等式是罗德里格斯公式．将式(6.2.8)代入泰 勒级数，即得式(6.2.4).
38
§6.2.3 勒让德多项式的积分表达式
勒让德多项式有两个积分表达式，分别称为 施列夫利(Schlfli)公式和拉普拉斯积分．
1.施列夫利公式 将al ＝ Pl(x)代入式(6.2.7)，即施列夫利公式
9
§6.1.2 勒让德方程的本征值问题
二阶线性齐次常微分方程
(1-x2)y"(x)-2xyʹ(x)-l(l+1)y(x)＝0
-1<x<1
(6.1.6)
称为勒让德方程．
方程中的 l(l+1)=l 是待定参数
y(x)是待求函数．
10
在x=0的邻域求勒让德方程的有界解． 在有界性条件下求解勒让德方程的问题又称
44
递推公式的证明方法： (1)母函数关系式为
对t求导得
两边乘以(1-2xt+t2)，再将母函数关系式代入
左边，即有
两边比较 t l 的系数(l≥1)，即得式(6.2.13)
45
x Pl (x)tl - Pl (x)tl+1
l=0
l =0
= lPl (x)t l-1 - 2x Pl (x)t l-1+1 + lPl (x)t l-1+2
(6.1.16) 19
同理，若l为奇数：l=2n+1(n为正整数)，则级 数y1(x)到x2n+1项为止．将k=l=2n+1代入式(6. 1. 9)，即得x2n+3项的系数为
重复应用式(6. 1. 9)，可证C2n+5, C2n+7, …均为 零。 y1(x)的最高次幂为x2n+1= xl ．类似地， 取常数C0=0，则勒让德方程的解为
程的常点； 如果z0最多是：ⅰ)p(z)的一阶极点，ⅱ)q(z) 的二
阶极点， z0称为方程的正则奇点； 注： [ⅰ)或ⅱ)]=[ ⅰ)和ⅱ)]
如果z0不满足上面两种条件，则 z0称为方程 配非正则奇点。
5
定理1 在常点z0的邻域|z- z0|<R内，方程(6. 1. 1) 有唯一满足初始条件初始条件w(z0) = C0 , wʹ(z0) = C1 的幂级数解 (6.1.2)
计算勒让德多项式的模, 导出勒让德多 项式的正交归一关系式；
在介绍“完备性”含义的基础上，给 出以{Pl(x)}为基将函数f (x)展开为广义 傅里叶级数的条件，以及计算广义傅 里叶系数的公式
§6.3.1 勒让德多项式的正交性与正交归一关系式
1．“正交性”与“正交归一关系式”浅析 (1)、三维欧几里得(Euclid)空间
为勒让德方程的本征值问题．方程中的参数 l(l+1)=l称为本征值，方程的解y(x)称为本征 函数． 理论和实例都可以证明(见11.4节)，不是l 取 任何值时方程都有非零解． 因此，求解勒让德方程的本征值问题可以归 结为求解本征值l = l(l+1) 与本征函数y(x).
11
1. 级数解的形式
20
因此，无论 l 为偶数还是奇数，勒让德
中断 方程的解都
为 l 次的多项式(6.1.
16)或式(6. 1.17)，因而在x=±1保持有
界．这表明本征值l=l(l+1)，l=0,1,2,…
本征函数y(x)如式(6.1.16)或式(6.1.17)所示
21
6.1.3 勒让德多项式 勒让德方程是线性齐次方程，将式(6. 1.16)，
6.2.11)
解 分别将x =±1代入拉普拉斯积分，得
42
【例6.2.2】试由拉普拉斯积分证明 |Pl(x)|1 (6.2.12)
证明 将x = cosq 代入拉普拉斯积分，并利用
复变积分的性质5，便有
43
6.2.4 勒让德多项式的递推公式
在积分过程中, 常用到以下几个递推公式(l 1):
《数学物理方法》第六章勒让 德函数
本章首先求出勒让德方程和关联勒让德 方程的有界解(称为相应方程的本征函 数)，进而给出它们的微分表达式，积分 表达式，母函数，递推公式，正交性、 正交归一关系式与完备性等．
§6.1 勒让德方程与勒让德多项式
本节首先介绍二阶线性齐次常微分方程 的级数解法，随后求出勒让德方程的通 解，舍去不符合有界性条件的特解，最 后规定最高次幂项系数，即得勒让德多 项式．
23
24
为了简洁地表示勒让德多项式，采用了我们在 1.1节已用过的简写记号
(6.1.20)
25
s = 0对应最高次幂 x = l,而s= [l/2] 对应最低次 幂：若 l 为偶数,对应 x 零次幂；若 l 为奇数， 则对应于 x 壹次幂。由式(6. 1.20)可求出头几 个勒让德多项式：
①为了讨论系数的解析性质，以判定z0=0是方程的 常点、正则奇点还是非正则奇点，必须将p(x)及q(x) 分别延拓为
但为叙述与书写方便，仍采用x⇔z的记号
12
2. 系数递推公式 由此得系数递推公式
13
3. 由递推公式求系数，得通解
14
勒让德多项式 微分表达式-罗德里格斯(Rodrigues)公式; 母函数; 积分表达式—施列夫利公式和拉普拉斯
积分 递推公式．
6.2.1 勒让德多项式的微分表达式—罗德里格 斯公式 证明 从罗德里格斯公式右边出发来证明．
二项式展开定理为
32
对(x2-1)l求l阶导数后除以(2ll!)得到
为何求和指标的最大值为[l/2]，因为对于指 数(2l-2s)＜l的项，在求l 阶导数后均为零，故： 只含(2l-2s)≥l的项，即：s≤ l/2的项．这样当 l 为偶数时，l/2为最大值； l为奇数时，(l-1)/2 为最大值。用简写符号表示就是 [l/2]
证明 (1)在|t|<1内，将w(x,t)展开为泰勒级数
其中al为泰勒系数, C为在|t|<1内包围t=0点的回路
①奇点
的|t12|<1
36
(2)为证明al =Pl(x)，作变换(u为复变数)
37
代入al ，便有
其中u平面的曲线Cʹ是在式(6.2.5)的变换下t平面曲线 C的像．当t=0时，由式 (6.2.6)得到u=x.既然t=0在 曲线C的内部，因此u=x在曲线Cʹ的内部．
式(6.1.17)乘以任意常数仍为勒让德方程的解 历史上为了让这个多项式与函数(1-2xt+t2)-1/2
的展开系数一致，选择最高次幂项的系数Cl 为
再利用系数递推公式(6. 1.9)求出低次幂项的 系数，得到的多项式称为勒让德多项式，记
22
将式(6. 1.9)以Ck表示Ck+2改为以Ck+2表示Ck
l=0
l=0
l=0
lPl (x)tl-1 - (2l +1)xPl (x)tl + (l +1)Pl (x)tl+1
l =0
l=0
l=0
= (l +1)Pl+1(x)tl - (2l +1)xPl (x)tl + lPl-1(x)tl
l =1
l =1
l =1
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(2)由母函数关系式(6.2.18)两边对x求导， 再与式(6.2.19)联立，可得
3
级数解法对方程没有特殊的要求．它的 基本方法是：把方程的解表示为以z0为 中心、带有待定系数的幂级数，将这个 幂级数代入方程及定解条件，求出所有 待定系数即可．
方程(6.1.1)的解的形式由方程的系数p(z) 及q(z)的解析性决定．
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常点、正则奇点、非正则奇点 如果p(z)和q(z)在z0点的邻域解析， z0称为方
正整数)，则级数y0(x) 将到x2n项为止．将 k=l=2n代入式(6.1.9)，易见x2n+2项的系数为
重复应用式(6. 1. 9)，可证C2n+4, C2n+6, …均为
零。 y0(x)的最高次幂为x2n= xl．
根据物理量是有限的，舍去不合物理意义的
解，取常数C1 =0，则勒让德方程的解为
6
定理2 在正则奇点z0的邻域|z-z|<R内，方程的 解为
C0≠0 ， D0≠0。 r1和r2称为方程的指标方程
7
指标方程的确定：将
代入方程(6.1.1)，由最低次幂项的系数和为 零得到r的方程(称为指标方程)，方程的两个 根就是r1和r2(取r1≥r2)．
w2(z) 含或不含对数项，取决 r1和r2是否为零 与整数；系数a是否为零而定
28
(2) Pl(0)的特殊值
鉴于勒让德多项式的级数表示过于复杂，不便使用， 人们常利用它的微分表达式和积分表达式．
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作业- §6.1 第128页
Group C
Group B
1. 6.1.1
1. 6.1.2
Group A 1. 6.1.3
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§6.2 勒让德多项式的微分与积分表 达式母函数与递推公式
8Leabharlann 定理1和定理2的证明见有关专著①．
本篇将用两个非常重要的例子说明二阶线 性齐次常微分方程的级数解法．
第6章以勒让德方程为例(在常点的邻域求解)， 第7章以贝塞尔方程为例(在正则奇点的邻域
内求解)．
若讨论的方程是实数方程，自变量可用x表 示，函数可用y表示，即方程(6. 1．1)可改 写为 y"(x)＋p(x)yʹ(x)＋q(x)y(x)＝0 (6. 1. 5)
(3)应用高阶导数公式计算式(6.2.7)的积分
(6.2.8)
最后的等式是罗德里格斯公式．将式(6.2.8)代入泰 勒级数，即得式(6.2.4).
38
§6.2.3 勒让德多项式的积分表达式
勒让德多项式有两个积分表达式，分别称为 施列夫利(Schlfli)公式和拉普拉斯积分．
1.施列夫利公式 将al ＝ Pl(x)代入式(6.2.7)，即施列夫利公式
9
§6.1.2 勒让德方程的本征值问题
二阶线性齐次常微分方程
(1-x2)y"(x)-2xyʹ(x)-l(l+1)y(x)＝0
-1<x<1
(6.1.6)
称为勒让德方程．
方程中的 l(l+1)=l 是待定参数
y(x)是待求函数．
10
在x=0的邻域求勒让德方程的有界解． 在有界性条件下求解勒让德方程的问题又称
44
递推公式的证明方法： (1)母函数关系式为
对t求导得
两边乘以(1-2xt+t2)，再将母函数关系式代入
左边，即有
两边比较 t l 的系数(l≥1)，即得式(6.2.13)
45
x Pl (x)tl - Pl (x)tl+1
l=0
l =0
= lPl (x)t l-1 - 2x Pl (x)t l-1+1 + lPl (x)t l-1+2
(6.1.16) 19
同理，若l为奇数：l=2n+1(n为正整数)，则级 数y1(x)到x2n+1项为止．将k=l=2n+1代入式(6. 1. 9)，即得x2n+3项的系数为
重复应用式(6. 1. 9)，可证C2n+5, C2n+7, …均为 零。 y1(x)的最高次幂为x2n+1= xl ．类似地， 取常数C0=0，则勒让德方程的解为
程的常点； 如果z0最多是：ⅰ)p(z)的一阶极点，ⅱ)q(z) 的二
阶极点， z0称为方程的正则奇点； 注： [ⅰ)或ⅱ)]=[ ⅰ)和ⅱ)]
如果z0不满足上面两种条件，则 z0称为方程 配非正则奇点。
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定理1 在常点z0的邻域|z- z0|<R内，方程(6. 1. 1) 有唯一满足初始条件初始条件w(z0) = C0 , wʹ(z0) = C1 的幂级数解 (6.1.2)
计算勒让德多项式的模, 导出勒让德多 项式的正交归一关系式；
在介绍“完备性”含义的基础上，给 出以{Pl(x)}为基将函数f (x)展开为广义 傅里叶级数的条件，以及计算广义傅 里叶系数的公式
§6.3.1 勒让德多项式的正交性与正交归一关系式
1．“正交性”与“正交归一关系式”浅析 (1)、三维欧几里得(Euclid)空间
为勒让德方程的本征值问题．方程中的参数 l(l+1)=l称为本征值，方程的解y(x)称为本征 函数． 理论和实例都可以证明(见11.4节)，不是l 取 任何值时方程都有非零解． 因此，求解勒让德方程的本征值问题可以归 结为求解本征值l = l(l+1) 与本征函数y(x).
11
1. 级数解的形式
20
因此，无论 l 为偶数还是奇数，勒让德
中断 方程的解都
为 l 次的多项式(6.1.
16)或式(6. 1.17)，因而在x=±1保持有
界．这表明本征值l=l(l+1)，l=0,1,2,…
本征函数y(x)如式(6.1.16)或式(6.1.17)所示
21
6.1.3 勒让德多项式 勒让德方程是线性齐次方程，将式(6. 1.16)，
6.2.11)
解 分别将x =±1代入拉普拉斯积分，得
42
【例6.2.2】试由拉普拉斯积分证明 |Pl(x)|1 (6.2.12)
证明 将x = cosq 代入拉普拉斯积分，并利用
复变积分的性质5，便有
43
6.2.4 勒让德多项式的递推公式
在积分过程中, 常用到以下几个递推公式(l 1):
《数学物理方法》第六章勒让 德函数
本章首先求出勒让德方程和关联勒让德 方程的有界解(称为相应方程的本征函 数)，进而给出它们的微分表达式，积分 表达式，母函数，递推公式，正交性、 正交归一关系式与完备性等．
§6.1 勒让德方程与勒让德多项式
本节首先介绍二阶线性齐次常微分方程 的级数解法，随后求出勒让德方程的通 解，舍去不符合有界性条件的特解，最 后规定最高次幂项系数，即得勒让德多 项式．
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为了简洁地表示勒让德多项式，采用了我们在 1.1节已用过的简写记号
(6.1.20)
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s = 0对应最高次幂 x = l,而s= [l/2] 对应最低次 幂：若 l 为偶数,对应 x 零次幂；若 l 为奇数， 则对应于 x 壹次幂。由式(6. 1.20)可求出头几 个勒让德多项式：
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数学物理方程课件第六章勒让德多项式
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2 (2n)!
2n n!
2n n! 2n n!2n 1 2n 153
2 (2n)!
2n 1!
2 2n 1
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
性质2 递推公式
(n 1)Pn1 (x) (2n 1)xPn (x) nPn1 (x) 0
Pn1 (x) Pn1 (x) 2n 1Pn (x)
n0
Cn
2n 1 2
1 1
x Pn (x)dx
C0
1 2
1
1 x P0 (x)dx
1 2
1
x dx
1
1 2
C2n1 0
C2n
4n 1 2
1 1
x
P2n
(x)dx
4n
1
1 0
xP2n
( x)dx
4n 1
22n 2n!
1 d2n 0 x dx2n
(x2 1)2n dx
4n 1 22n 2n !
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
三 勒让德多项式
y APn (x) BQn (x)
Pn
(x)
M
(1)m
m0
2n 2m!
2n m!(n m)!(n
2m)!
xn2m
Pn
1 2n n!
dn dx n
(x2
1)n
当n为偶数时M
n 2
当n为奇数时 M
n 1 2
P0 (x) 1
P1(x) x
2)(n 1)(n 4!
3)
x4
]
c 1 c0
y2
a1[ x
(n
1)(n 3!
2)
2 (2n)!
2n n!
2n n! 2n n!2n 1 2n 153
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数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
性质2 递推公式
(n 1)Pn1 (x) (2n 1)xPn (x) nPn1 (x) 0
Pn1 (x) Pn1 (x) 2n 1Pn (x)
n0
Cn
2n 1 2
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x Pn (x)dx
C0
1 2
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1 x P0 (x)dx
1 2
1
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1
1 2
C2n1 0
C2n
4n 1 2
1 1
x
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(x)dx
4n
1
1 0
xP2n
( x)dx
4n 1
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1 d2n 0 x dx2n
(x2 1)2n dx
4n 1 22n 2n !
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
三 勒让德多项式
y APn (x) BQn (x)
Pn
(x)
M
(1)m
m0
2n 2m!
2n m!(n m)!(n
2m)!
xn2m
Pn
1 2n n!
dn dx n
(x2
1)n
当n为偶数时M
n 2
当n为奇数时 M
n 1 2
P0 (x) 1
P1(x) x
2)(n 1)(n 4!
3)
x4
]
c 1 c0
y2
a1[ x
(n
1)(n 3!
2)
《数学物理方法》第六章勒让德函数
《数学物理方法》第六章勒让德函数勒让德函数是数学物理方法中常用的一个函数类，在物理学中起到了非常重要的作用。
本文将主要介绍勒让德函数的定义、性质及其在物理学中的应用。
一、勒让德函数的定义勒让德函数是由法国数学家勒让德在18世纪末引入的一类特殊函数。
它定义为下面的级数形式：P(x)=(1/2^1*1!)-(1*3/2^3*3!)x^2+(1*3*5/2^5*5!)x^4-...其中x是实数，级数是一个无穷级数，并且级数的每一项都是有序的一系列多项式函数。
勒让德函数也可以通过勒让德方程的解来定义。
二、勒让德函数的性质1. 正交性：勒让德函数是正交的，即对于不同的n和m，有积分∫(-1,1) Pn(x) Pm(x) dx = 02. 归一性：勒让德函数可以通过归一化得到，即对于每个n，有∫(-1,1) Pn(x) Pn(x) dx = 2 / ( 2n + 1)3.递推关系：勒让德函数之间存在递推关系，即(n+1)Pn+1(x)=(2n+1)xPn(x)-nPn-1(x)。
这个关系可以用于计算勒让德函数的高阶项。
三、勒让德函数在物理学中的应用勒让德函数在物理学中有广泛的应用，下面介绍其中的几个重要应用：1.量子力学中的角动量：在量子力学中，勒让德函数可以用来描述角动量的量子态。
勒让德函数的特殊性质使其成为表示角动量本征态的一组完备的基函数。
2.球谐函数的展开：勒让德函数可以用来展开球谐函数，球谐函数在物理学中具有广泛的应用。
通过勒让德函数，我们可以得到球面上各点的球谐系数，从而描述球面上的物理量分布。
3.圆形波导中的电磁场分布：勒让德函数可以用来描述圆形波导中的电磁场分布。
圆形波导是一种常见的波导结构，在无线通信、微波技术等领域有着重要的应用。
总结：本文主要介绍了勒让德函数的定义、性质及其在物理学中的应用。
勒让德函数作为一种特殊的函数类，具有正交性、归一性和递推关系等重要的性质，广泛应用于量子力学、电磁场分布等领域。
勒让德多项式
例1:将 x 2 在[-1,1]内展成勒让德多项式的级数形式
x 2 Cn Pn (x) n0
Cn
2n 1 2
1 1
x
2
Pn
(
x)dx
1 1
xk
Pn
( x)dx
0
n2
4 1
C2 2
1 x2 1 (3x2 -1)dx 5
1 2
4
1 3x4 x2
1
dx
5 6 2 2 45 3 3
第6章勒让德多项式
例2:将Pl(x) 在[-1,1]内展成勒让德多项式的级数形式
解：方法一
l 1
(l 1) / 2
Pl(x) CnPn (x) CnPn (x)
Cl2n1Pl2n1 ( x)
n0
n0
n0
2l 4n 1
Cl2n1
2
1
1 Pl(x)Pl2n1(x)dx
2l 4n 1 2
1 0
xd
d 2n1 dx 2 n 1
(x2
1)2n
4n 22n
1 2n
!
x
d 2 n 1 dx 2 n 1
(x2
1)2n|10源自1 0d 2 n1 dx 2 n 1
(x2
1)2n
dx
4n 22n
1 2n
!
d 1 2n1 0 dx2n1
(x2
1)2n dx
4n 22n
1 2n
!
d2n2 dx 2 n 2
0
0
0
/ 2 sin 2n1 d 2n / 2 sin 2n1 d
0
2n 1 0
1 P2n (x)dx 1
《数学物理方法》第六章_勒让德函数
《数学物理方法》第六章_勒让德函数勒让德函数（Legendre functions）是数学物理方法中的一种重要函数，它在数学物理领域中具有广泛的应用。
勒让德函数以法国数学家阿道夫·勒让德（Adrien-Marie Legendre）的名字命名，是勒让德微分方程的解。
勒让德函数是圆轴对尔雅多多\n（cylinder functions）和球贝塞尔函数（spherical Bessel functions）的特殊情况。
勒让德函数可以通过勒让德微分方程来定义，勒让德微分方程是一个著名的二阶微分方程，它可以用来描述线性介质中电场的分布、地球引力场势能和量子力学中的角动量问题等。
勒让德微分方程如下所示：$$(1-x^2)y'' - 2xy' + \lambda(\lambda + 1)y = 0$$其中，$y$是未知函数，$x$是自变量，$\lambda$是常数。
这个方程的解称为勒让德函数$P_\lambda(x)$。
勒让德函数具有许多重要的性质和关系，其中最重要的性质之一是正交性。
如果$\lambda_1 \neq \lambda_2$，则勒让德函数$P_{\lambda_1}(x)$和$P_{\lambda_2}(x)$在区间$[-1,1]$上是正交的，即满足下面的正交关系：$$\int_{-1}^{1}P_{\lambda_1}(x)P_{\lambda_2}(x)dx = 0$$另外，勒让德函数还具有归一化的性质，即满足下面的归一化条件：$$\int_{-1}^{1}(P_{\lambda}(x))^2 dx = \frac{2}{2\lambda + 1} $$勒让德函数在数学物理中的应用非常广泛，下面以一些具体的例子来说明。
首先是球坐标系中的边界条件问题。
在球坐标系中，勒让德函数可以用来描述径向部分的波函数。
例如，在氢原子中，电子的波函数可以表示为勒让德函数的线性组合，其中不同的勒让德函数对应不同的能级和角动量量子数。
数学物理方程第六章 勒让德多项式
2
(
)
n
n n! 1 1 n 2 − = x x2 ) ( ) ( 1 ∑ n n 2 n! 2 n! m =0 (n − m )!m!
a n −6 = −
2
n
一般说来，当 n − 2m ≥ 0 时，有
M
a n − 2 m = (− 1)
m
2
n
(2n − 2m )! m!(n − m )!(n − 2m )!
(2n − 2m )! x n−2m m!(n − m )!(n − 2m )! (2n − 2m )! x n−2m m!(n − m )!(n − 2m )!
2 2 2
（6.2.1）
的解为
y = ∑ ak x k
k =0
∞
（6.2.2）
，整理得 对上式求导，得出 y ′, y ′′ 的级数表达式，连同式（6.2.2）一齐代入式（6.2.1）
∑ {(k + 1)(k + 2)a
k =0
∞
k +2
+ [n(n + 1) − k (k + 1)]a k }x k = 0
(3x (5x
2
−1
) ) ) )
3
− 3x
4
(35x (63x
− 30 x 2 + 3
5
− 70 x 3 + 15 x
它们的图形如图 6-1 所示。
为了应用上的方便，我们将 Pn ( x ) 表示为
Pn ( x ) =
n 1 dn 2 ( x − 1) n n 2 n! dx
(6.3.2)
的形式。称式(6.3.2)为勒让德多项式的罗德里格斯（Rodrigues）表达式。该公式的证明如下。 证明：用二项式定理把 x − 1 展开，有
(
)
n
n n! 1 1 n 2 − = x x2 ) ( ) ( 1 ∑ n n 2 n! 2 n! m =0 (n − m )!m!
a n −6 = −
2
n
一般说来，当 n − 2m ≥ 0 时，有
M
a n − 2 m = (− 1)
m
2
n
(2n − 2m )! m!(n − m )!(n − 2m )!
(2n − 2m )! x n−2m m!(n − m )!(n − 2m )! (2n − 2m )! x n−2m m!(n − m )!(n − 2m )!
2 2 2
（6.2.1）
的解为
y = ∑ ak x k
k =0
∞
（6.2.2）
，整理得 对上式求导，得出 y ′, y ′′ 的级数表达式，连同式（6.2.2）一齐代入式（6.2.1）
∑ {(k + 1)(k + 2)a
k =0
∞
k +2
+ [n(n + 1) − k (k + 1)]a k }x k = 0
(3x (5x
2
−1
) ) ) )
3
− 3x
4
(35x (63x
− 30 x 2 + 3
5
− 70 x 3 + 15 x
它们的图形如图 6-1 所示。
为了应用上的方便，我们将 Pn ( x ) 表示为
Pn ( x ) =
n 1 dn 2 ( x − 1) n n 2 n! dx
(6.3.2)
的形式。称式(6.3.2)为勒让德多项式的罗德里格斯（Rodrigues）表达式。该公式的证明如下。 证明：用二项式定理把 x − 1 展开，有
勒让德多项式
函数： Φ 函数： (ϕ + 2π ) = Φ (ϕ ) 。这就是说上面的那个 常数必须等于 m 2 ( m = 0,1, 2, ⋯),
从而得到
1
ห้องสมุดไป่ตู้
Θ
sin θ
d dΘ (sin θ ) + n( n + 1) sin 2 θ = m 2 dθ dθ
( 6. 4 )
( 6. 5 )
1 d 2Φ + m2 = 0 2 Φ dϕ
（2 勒让德多项式的一些性 质； ）
有关的定解问题。 （3 会用勒让德多项式求解 有关的定解问题。 ）
§6.1
勒让德方程的引出
u xx + u yy + uzz = 0
在第四章中， 域内的迪利克雷问题： 在第四章中，我们用格 林函数法解决了球形区 域内的迪利克雷问题：
{
球函数
z
θ
●
拉普拉斯方程 第一类边界条件
数学物理方法
第六章 勒让德多项式 ( Legendre polynomials )
勒让德（ 勒让德（1752～1833） ～ ） Legendre . Adrien-Marie 阿德利昂·玛利 埃 勒让德 公元1752─公元1833 为法国数学家， 勒让德（ 1752─公元1833） 阿德利昂 玛利·埃·勒让德（公元1752─公元1833）为法国数学家，生于 玛利 巴黎，卒于巴黎。 1770年毕业于马扎兰学院 1775年任巴黎军事学院数学 年毕业于马扎兰学院。 巴黎，卒于巴黎。约1770年毕业于马扎兰学院。1775年任巴黎军事学院数学 教授。1782年以 关於阻尼介质中的弹道研究》获柏林科学院奖金， 年以《 教授。1782年以《关於阻尼介质中的弹道研究》获柏林科学院奖金，次年当 选为巴黎科学院院士。1787年成为伦敦皇家学会会员 年成为伦敦皇家学会会员。 选为巴黎科学院院士。1787年成为伦敦皇家学会会员。 曾与拉格朗日（ ）、拉普拉斯 拉普拉斯（ 勒让德 (Legendre) 曾与拉格朗日（Lagrange）、拉普拉斯（Laplace） 并列为法国数学界的“ 世纪末19世纪初法国数学的复兴， 并列为法国数学界的“三 L ”，为18世纪末19世纪初法国数学的复兴，做出了 ， 18世纪末19世纪初法国数学的复兴 卓越的贡献。 卓越的贡献。
从而得到
1
ห้องสมุดไป่ตู้
Θ
sin θ
d dΘ (sin θ ) + n( n + 1) sin 2 θ = m 2 dθ dθ
( 6. 4 )
( 6. 5 )
1 d 2Φ + m2 = 0 2 Φ dϕ
（2 勒让德多项式的一些性 质； ）
有关的定解问题。 （3 会用勒让德多项式求解 有关的定解问题。 ）
§6.1
勒让德方程的引出
u xx + u yy + uzz = 0
在第四章中， 域内的迪利克雷问题： 在第四章中，我们用格 林函数法解决了球形区 域内的迪利克雷问题：
{
球函数
z
θ
●
拉普拉斯方程 第一类边界条件
数学物理方法
第六章 勒让德多项式 ( Legendre polynomials )
勒让德（ 勒让德（1752～1833） ～ ） Legendre . Adrien-Marie 阿德利昂·玛利 埃 勒让德 公元1752─公元1833 为法国数学家， 勒让德（ 1752─公元1833） 阿德利昂 玛利·埃·勒让德（公元1752─公元1833）为法国数学家，生于 玛利 巴黎，卒于巴黎。 1770年毕业于马扎兰学院 1775年任巴黎军事学院数学 年毕业于马扎兰学院。 巴黎，卒于巴黎。约1770年毕业于马扎兰学院。1775年任巴黎军事学院数学 教授。1782年以 关於阻尼介质中的弹道研究》获柏林科学院奖金， 年以《 教授。1782年以《关於阻尼介质中的弹道研究》获柏林科学院奖金，次年当 选为巴黎科学院院士。1787年成为伦敦皇家学会会员 年成为伦敦皇家学会会员。 选为巴黎科学院院士。1787年成为伦敦皇家学会会员。 曾与拉格朗日（ ）、拉普拉斯 拉普拉斯（ 勒让德 (Legendre) 曾与拉格朗日（Lagrange）、拉普拉斯（Laplace） 并列为法国数学界的“ 世纪末19世纪初法国数学的复兴， 并列为法国数学界的“三 L ”，为18世纪末19世纪初法国数学的复兴，做出了 ， 18世纪末19世纪初法国数学的复兴 卓越的贡献。 卓越的贡献。
第六章---数理方程勒让德多项式
y2
x
(n
1)(n 3!
2)
x3
(n
1)(n
3)(n 5!
2)(n
4)
x5
(2k 1 n)(2k 3 n) (1 n)(n 2) (n 2k) x2k1 (2k 1)!
6. 3 勒让德多项式
6. 3 勒让德多项式
将6.2中的递推公式写成
ak
(k 2) (k 1) (n k)(k n 1)
2)!
6. 3 勒让德多项式
an4
(2n 4)! 2!2n (n 2)!(n
4)!
一般地当 n 2k 0 时，有
6.1 勒让德方程的引出
第二个方程为
d 2
d 2
cot
d
d
n
n
1
m2
sin2
0
令 x cos ，并记 P( x) (cos )
1 x2
d2P dx 2
2x
dP dx
n
n
1
m2 1 x2
P
0
k0
(k c 2)(k c 1)ak2 [(k c)(k c 1) n(n 1)ak 0
a k0 k2
(k
(k＋c)(ck)(k
cc1)a1k)xk
c2
n(n
(k＋c 1)(k c 2)
0 1)
ak
数学物理方法第六章-勒让德函数课件
正整数)，则级数y0(x) 将到x2n项为止．将 k=l=2n代入式(6.1.9)，易见x2n+2项的系数为
重复应用式(6. 1. 9)，可证C2n+4, C2n+6, … 均为零。 y0(x)的最高次幂为x2n= xl．
根据物理量是有限的，舍去不合物理意义的 解，取常数C1 =0，则勒让德方程的解为
45
递推公式的证明方法: (1)母函数关系式为
对t求导得
两边乘以(1-2xt+t2), 再将母函数关系式代入 左边, 即有
两边比较 t l 的系数(l≥1), 即得式(6.2.13)
46
x Pl ( x)t l Pl ( x)t l1
l0
l0
lPl ( x)t l1 2 x Pl ( x)t l11 lPl ( x)t l12
§6.3.1 勒让德多项式的正交性与正交归一关系式 1. “正交性”与“正交归一关系式”浅析
(1)、三维欧几里得(Euclid)空间 三维欧几里得空间的基矢i，j，k如果用 ek 或
10
§6.1.2 勒让德方程的本征值问题
二阶线性齐次常微分方程
(1-x2)y"(x)-2xyʹ(x)-l(l+1)y(x)＝0
-1<x<1
(6.1.6)
称为勒让德方程.
方程中的 l(l+1)=l 是待定参数
y(x)是待求函数.
11
在x=0的邻域求勒让德方程的有界解. 在有界性条件下求解勒让德方程的问题又称
比较等式两边t l的系数, 即得式(6.2.14)
lPl (x)tl xPl(x)tl
Pl(x)tl1
l0
l0
l0
lPl (x)tl xPl(x)tl
重复应用式(6. 1. 9)，可证C2n+4, C2n+6, … 均为零。 y0(x)的最高次幂为x2n= xl．
根据物理量是有限的，舍去不合物理意义的 解，取常数C1 =0，则勒让德方程的解为
45
递推公式的证明方法: (1)母函数关系式为
对t求导得
两边乘以(1-2xt+t2), 再将母函数关系式代入 左边, 即有
两边比较 t l 的系数(l≥1), 即得式(6.2.13)
46
x Pl ( x)t l Pl ( x)t l1
l0
l0
lPl ( x)t l1 2 x Pl ( x)t l11 lPl ( x)t l12
§6.3.1 勒让德多项式的正交性与正交归一关系式 1. “正交性”与“正交归一关系式”浅析
(1)、三维欧几里得(Euclid)空间 三维欧几里得空间的基矢i，j，k如果用 ek 或
10
§6.1.2 勒让德方程的本征值问题
二阶线性齐次常微分方程
(1-x2)y"(x)-2xyʹ(x)-l(l+1)y(x)＝0
-1<x<1
(6.1.6)
称为勒让德方程.
方程中的 l(l+1)=l 是待定参数
y(x)是待求函数.
11
在x=0的邻域求勒让德方程的有界解. 在有界性条件下求解勒让德方程的问题又称
比较等式两边t l的系数, 即得式(6.2.14)
lPl (x)tl xPl(x)tl
Pl(x)tl1
l0
l0
l0
lPl (x)tl xPl(x)tl
第六章 勒让德多项式1
( 2 1)l ( x)
l 1
C
dx
（6.1.11）
z 平面上围绕 z x 点的任一闭合回路，
并取正方向．这叫作勒让德多项式的施列夫利积分表示式．
式（6.1.11）还可以进一步表为下述拉普拉斯积分．
Pl ( x) 1 π 0
π
( x i 1 x 2 cos )l d
l
阶勒让德多项式．勒让德多项式也称为第一类勒让德函数．
式（6.1.7）即为勒让德多项式的级数表示． 注意到 x cos , 故可方便地得出前几个勒让德多项式:
P0 ( x) 1
P1 ( x) x cos
P2 ( x) 1 2 (3x 2 1) 1 4 (3cos 2 1)
(6.1.12)
x2 1
【证明】 取 C 为圆周，圆心在 z x ，半径为 ．在
C
上有：
x x 1e
2
i
d i x 2 1ei d i( x)d
并注意到
2 1 ( x x 2 1ei )2 1 ( x 2 1)(1 ei2 ) 2 x x 2 1ei
P3 ( x)
1
1 (5 x3 3x) (5cos 3 3cos ) 2 8
1 1 P4 ( x) (35 x 4 30 x 2 3) (35cos 4 20 cos 2 9) 8 64 1 1 P5 ( x) (63x5 70 x3 15 x) (63cos 5 35cos 3 30 cos ) 8 128
dl dx
l
x
2l 2 k
(2l 2k )(2l 2k 1) [2l 2k (l 1)]x
6勒让德多项式
应的u绕点x也沿某闭曲线C’一周，因此
于是
1
Cn (x) 2 i
(1
2x
2
)
1 2
d ( n1)
C
1
( 2 1)n d
2 i C 2n ( x)n1
1 dn
2n
n
!
du
n
(u 2
1)n
ux
Pn (x)
西安理工大学应用数学系
3. Legendre多项式的性质
w(x, z)
(1 2xz
y
a x
k
k0 k
a x
2m
m0 2m
a x
2m1
m0 2m1
a0
a x
2m
m0 2m
a1
a x
2m1
m0 2m1
由 a0 , a1 的任意性知，下列两个函数也是方程的解：
y1(x)
m0
a2m
x
2m
,
y2( x)
a x
2m1
m0 2m1
西安理工大学应用数学系
y1( x), y2 ( x) 的性质： （１）线性无关，故得到了Legendre方程的通解
P1(x) P0 (x) [Pn1 (x) 2xPn(x) Pn1 (x) Pn (x)]zn 0 n1
P1 (x) P0 (x) 0
Pn1(x) 2xPn(x) Pn1(x) Pn (x) 0, n 1, 2,L
西安理工大学应用数学系
(n 1)Pn1(x) (2n 1)xPn (x) nPn1(x) 0, n 1, 2,L
为零，这时 y1( x), y2 ( x) 均为无穷级数，且收敛域为（-1, 1）