2020中考数学旋转求线段最值题型
2020中考数学旋转求线段最值题型
一.利用旋转转化为三点或四点共线求最值
1.如图，△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，BC＝5，P是△ABC内部的任意一点，
连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值为．
2.如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，
则PA+PB+PC的最小值是 .
3.如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，在菱形ABCD内部有一点P，当PA+PB+PC值最小时PB的长为．
4.如图，PA＝2，PB＝4，将线段PA绕P点旋转一周，以AB为边作正方形ABCD，则PD的最大值为．
5.如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，若AC＝AD，且∠ACD＝60°，
则对角线BD的长的最大值为．
6.如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，E是边AD的中点，F是边AB上
的一个动点将线段EF绕着点E逆时针旋转60°得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为 .
7.如图，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN
＝90°，则线段AN的最大值为．
二.利用旋转转化为点到直线的距离垂线段最短求最值
1.在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一个动点，连
接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连结OC，则OC的最小值为．
2.如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝12，AB＝10，点E在AD上，
且AE＝4，点F是AB上一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，连接GD，则线段GD长度的最小值为．
3.如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的
一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．
4.如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，E是边AD的中点，F是边AB上
的一个动点将线段EF绕着点E逆时针旋转60°得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为 .
5.图所示，已知点C随着点B的运动形成的图形是一条直线，连接OC，则
AC+OC的最小值是．
6.如图，长方形 ABCD 中，AB=3，BC=4，E 为 BC 上一点，且 BE＝2，
F 为 AB 边上的一个动点，连接 EF，将 EF 绕着点 E 顺时针旋转45˚到 EG
的位置，连接 FG 和 CG，则 CG 的最小值为．
三.利用旋转转化为圆外一定点与圆上的动点的关系求最值
1.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，BC＝4，若BD⊥CD，垂足为点D，则对角线AC的长的最大值为．
2.已知：AD＝2，BD＝4，以AB为一边作等边三角形ABC．使C、D两点落在
直线AB的两侧．当∠ADB变化时，则CD的最大值．
3.如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，点D是△ABC所在平面上一点，
且满足DB＝6，DA＝10，则CD的最小值为
5.如图在四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝90°．若AB＝4cm，AD＝3cm，
则对角线AC的最大值为cm．
6.如图，已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC＝AD．若
∠ABC＝30°，∠ACD＝45°，AC＝2，则B、D之间距离的最大值为．。
中考数学复习之线段最值之瓜豆原理,附练习题含参考答案
中考数学复习线段和差最值系列之瓜豆原理两个动点，一个动点随着另一个动点的运动而运动，通过找到两动点的轨迹，求线段最值.瓜豆原理说的是“种瓜得瓜，种豆得豆”，两点运动的轨迹性质一样.一．轨迹之圆篇引例1：如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP ，Q 为AP 中点． 考虑：当点P 在圆O 上运动时，Q 点轨迹是？【分析】观察动图可知点Q 轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O 有什么关系？考虑到Q 点始终为AP 中点，连接AO ，取AO 中点M ，则M 点即为Q 点轨迹圆圆心，半径MQ 是OP 一半，任意时刻，均有△AMQ ∽△AOP ，QM :PO =AQ :AP =1:2．【小结】确定Q 点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A 、Q 、P 始终共线可得：A 、M 、O 三点共线，由Q 为AP 中点可得：AM =12AO ．Q 点轨迹相当于是P 点轨迹成比例缩放．引例2：如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP ，作AQ ⊥AP 且AQ =AP ． 考虑：当点P 在圆O 上运动时，Q 点轨迹是？【分析】Q 点轨迹是个圆，可理解为将AP 绕点A 逆时针旋转90°得AQ ，故Q 点轨迹与P 点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．考虑AP ⊥AQ ，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足AM ⊥AO ；考虑AP =AQ ，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足AM =AO ，且可得半径MQ =PO ．即可确定圆M 位置，任意时刻均有△APO ≌△AQM ．引例3：如图，△APQ 是直角三角形，∠P AQ =90°且AP =2AQ ，当P 在圆O 运动时，Q 点轨迹是？【分析】考虑AP ⊥AQ ，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足AM ⊥AO ；考虑AP :AQ =2:1，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足AO :AM =2:1．即可确定圆M 位置，任意时刻均有△APO ∽△AQM ，且相似比为2．【模型总结】为了便于区分动点P 、Q ，可称点P 为“主动点”，点Q 为“从动点”． 此类问题的必要条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ 是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP :AQ 是定值）．【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠P AQ =∠OAM ；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP :AQ =AO :AM ，也等于两圆半径之比．按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q 与P 的关系相当于旋转+伸缩． 古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．例1：如图，点P （3,4），圆P 半径为2，A （2.8,0），B （5.6,0），点M 是圆P 上的动点，点C 是MB 的中点，则AC 的最小值是_______．【分析】M 点为主动点，C 点为从动点，B 点为定点．考虑C 是BM 中点，可知C 点轨迹：取BP 中点O ，以O 为圆心，OC 为半径作圆，即为点C 轨迹．当A 、C 、O 三点共线且点C 在线段OA 上时，AC 取到最小值，根据B 、P 坐标求O ，利用两点间距离公式求得OA ，再减去OC 即可．最小值为32. 二．轨迹之线段篇引例：如图，P 是直线BC 上一动点，连接AP ，取AP 中点Q ，当点P 在BC 上运动时，Q 点轨迹是？【分析】当P 点轨迹是直线时，Q 点轨迹也是一条直线．可以这样理解：分别过A 、Q 向BC 作垂线，垂足分别为M 、N ，在运动过程中，因为AP =2AQ ，所以QN 始终为AM 的一半，即Q 点到BC 的距离是定值，故Q 点轨迹是一条直线．【引例】如图，△APQ 是等腰直角三角形，∠P AQ =90°且AP =AQ ，当点P 在直线BC 上运动时，求Q 点轨迹？【分析】当AP 与AQ 夹角固定且AP :AQ 为定值的话，P 、Q 轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q 点的位置，连线即可，比如Q 点的起始位置和终点位置，连接即得Q 点轨迹线段．【模型总结】 必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ 是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量Q 2Q 1AB C（AP :AQ 是定值）． 结论：P 、Q 两点轨迹所在直线的夹角等于∠P AQ （当∠P AQ ≤90°时，∠P AQ 等于MN 与BC 夹角）P 、Q 两点轨迹长度之比等于AP :AQ （由△ABC ∽△AMN ，可得AP :AQ =BC :MN ）例2：如图，在平面直角坐标系中，A （-3,0），点B 是y 轴正半轴上一动点，C 、D 在x 正半轴上，以AB 为边在AB 的下方作等边△ABP ，点B 在y 轴上运动时，求OP 的最小值．【分析】求OP 最小值需先作出PB 点在直线上运动，故可知P 点轨迹也是直线．取两特殊时刻：（1）当点B 与点O 重合时，作出P 点位置P 1；（2）当点B 在x 轴上方且AB 与x 轴夹角为60°时，作出P 点位置P 2．连接P 1P 2，即为P 点轨迹．根据∠ABP =60°可知：12P P 与y 轴夹角为60°，作OP ⊥12P P ，所得OP 长度即为最小值，OP2=OA =3，所以OP =32． 练习题1.如图，在等腰Rt △ABC 中，AC =BC =P 在以斜边AB 为直径的半圆上，M 为PC 的中点，当半圆从点A 运动至点B 时，点M 运动的路径长为________．2.如图，正方形ABCD中，AB O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，OE =2，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF ，连接AE 、CF ．求线段OF 长的最小值．3.△ABC 中，AB =4，AC =2，以BC 为边在△ABC 外作正方形BCDE ，BD 、CE 交于点O ，则线段AO 的最大值为_____________．4.如图，在等边△ABC 中，AB =10，BD =4，BE =2，点P 从点E 出发沿EA 方向运动，连结PD ，以PD 为边，在PD 的右侧按如图所示的方式作等边△DPF ，当点P 从点E 运动到点A 时，点F 运动的路径长是________．5.如图，已知点A是第一象限内横坐标为AC ⊥x 轴于点M ，交直线y =-x 于点N ，若点P 是线段ON 上的一个动点，∠APB =30°，BA ⊥P A ，则点P 在线段ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动．求当点P 从点O 运动到点N 时，点B 运动的路径长是________．6.如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE =1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为 ．OABCDE FAB CDE OGAB CDEF7.如图，在反比例函数2y x=-的图像上有一个动点A ，连接AO 并延长交图像的另一支于点B ，在第一象限内有一点C ，满足AC =BC ，当点A 运动时，点C 始终在函数ky x=的图像上运动，若tan ∠CAB =2，则k 的值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．88.如图，A （-1,1），B （-1,4），C （-5,4），点P 是△ABC 边上一动点，连接OP ，以OP 为斜边在OP 的右上方作等腰直角△OPQ ，当点P 在△ABC 边上运动一周时，点Q 的轨迹形成的封闭图形面积为________．9.如图所示，AB =4，AC =2，以BC 为底边向上构造等腰直角三角形BCD ，连接AD 并延长至点P ，使AD =PD ，则PB 的取值范围为___________．10．如图，线段AB ＝2，点C 为平面上一动点，且∠ACB ＝90°，将线段AC 的中点P 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ ，连接BQ ，则线段BQ 的最大值为 ．ABCDP11.如图，⊙O的直径AB=2，C为⊙O上动点，连接CB，将CB绕点C逆时针旋转90⁰得到CD，连接OD，则OD的最大值为________12.如图，在 ABC中，∠ACB=90°，点D在BC边上，BC=5，CD=2，点E是边AC所在直线上的一动点，连接DE，将DE绕点D顺时针方向旋转60°得到DF，连接BF，则BF的最小值为____13.已知边长为6的等边△ABC中，E是高AD所在直线上的一个动点，连接BE，将线段BE绕点B顺时针旋转60°得到BF，连接DF，则在点E运动的过程中，当线段DF长度的最小值时，DE的长度为．14．如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，BE与CF交于点D．（1）若∠BAC＝74°，则∠BDC＝；（2）如图2，∠BAC＝90°，作MD⊥BE交AB于点M，求证：DM＝DE；（3）如图3，∠BAC＝60°，∠ABC＝80°，若点G为CD的中点，点M在直线BC上，连接MG，将线段GM绕点G逆时针旋转90°得GN，NG＝MG，连接DN，当DN最短时，直接写出∠MGC的度数．15.如图1，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣5x +5与x 轴，y 轴分别交于A 、C 两点，抛物线y ＝x 2+bx +c 经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为B ． （1）求抛物线解析式；（2）若点M 为x 轴下方抛物线上一动点，当点M 运动到某一位置时，△ABM 的面积等于△ABC 面积的35，求此时点M 的坐标； （3）如图2，以B 为圆心，2为半径的⊙B 与x 轴交于E 、F 两点（F 在E 右侧），若P 点是⊙B 上一动点，连接P A ，以P A 为腰作等腰Rt △P AD ，使∠P AD ＝90°（P 、A 、D 三点为逆时针顺序），连接FD ．求FD 长度的取值范围．参考答案：1. π -2 4.8 6.527.D 8.3 9.4-12 1 12.7214.127°，25°15.(1)y=x 2-6x+5 (2)M(2，-3)、(4,-3) (3)2。
3、2020重庆中考复习数学几何最值专题训练三(含答案解析)
2020年重庆中考数学最值专题训练三（含答案）1、（2018•明光市二模）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E、F分别为BC，AD上的点，过点E、F 的直线将正方形ABCD的面积分为相等的两部分．过点A作AG⊥EF于点G，连接DG，则线段DG长的最小值为（）A．2B．2﹣2C．2D．2﹣22、如图，正方形ABCD的边长为2，点E、F分别是边AB、CD上的动点，且AE＝CF，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转90°得到线段EG，连接DG，则线段DG长的最小值为．3、（2019•南充模拟）如图，正方形ABCD的边长为2，O是BC边的中点，P是正方形内一动点，且OP＝2，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转90°到DQ，连接AP，CQ，PQ，则线段PQ的最小值为．4、如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝12，AB＝10，点E在AD上，且AE＝4，点F是AB上一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，连接GD，则线段GD长度的最小值为．5、（2019•惠山区一模）如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF，OF．则线段OF长的最小值（）A．2B．+2C．2﹣2 D．56、如图，在边长为2的正方形ABCD中，点O为AB中点，以AB为直径在正方形ABCD内部作半圆，E为半圆上任意一点（不与A．B重合），连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得列CF，连接DE、BF，OF．则线段OF长的最小值为．7、（2019秋•颍州区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为5，O是AB边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，将线段CE绕C点逆时针旋转90°得CF，连OF，线段OF的最小值为．8、（2019•太原二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，点D是AC边的中点，E是直线BC上一动点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接AF、EF，在点E的运动过程中线段AF的最小值为．9、（2019秋•锡山区期中）已知：如图，△ABC是边长为6的等边三角形，直线AF⊥BC于F，点D是直线AF上一动点，以BD为边在BD的右侧作等边△BDE，连接EF，则EF的最小值为．10、（2019•台州模拟）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝a（a＞1），E是BC上的一点，且BE＝1，点F是边AB上的任意一点．连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°，得到线段EG．在点F从点B运动到点A的过程中，若要点G能落在对角线AC上，则a的最大值为．11、如图1，四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：CE＝1：2，连接DG、BE、BG，则2BG+BE的最小值为．2020年重庆中考数学最值专题训练三（含答案）1、（2018•明光市二模）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E、F分别为BC，AD上的点，过点E、F 的直线将正方形ABCD的面积分为相等的两部分．过点A作AG⊥EF于点G，连接DG，则线段DG长的最小值为（）A．2B．2﹣2C．2D．2﹣2解：连接AC，BD交于O，∵过点E、F的直线将正方形ABCD的面积分为相等的两部分，∴EF过点O，∵AG⊥EF，∴∠AGO＝90°，∴点G在以AO为直径的半圆弧上，设AO的中点为M，连接DM交半圆弧于G，则此时，DG最小，∵四边形ABCD是正方形，AB＝4，∴AC＝8，AC⊥BD，∴AO＝OD＝AC＝4，∴AM＝OM＝AO＝2，∴DM＝＝2，∴DG＝2﹣2，故选：B．2、如图，正方形ABCD的边长为2，点E、F分别是边AB、CD上的动点，且AE＝CF，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转90°得到线段EG，连接DG，则线段DG长的最小值为．解：如图，过点F作FM⊥AB于M，过点G作GH⊥AD于H，GN⊥AB于N，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD＝CD＝2，∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，且FM⊥AB，GH⊥AD，GN⊥AB，∴四边形BCFM，四边形AHGN是矩形，∴BM＝CF，NG＝AH，AN＝GH，MF＝BC＝2，∵将线段EF绕点E逆时针旋转90°得到线段EG，∴EG＝EF，∠GEF＝90°，∴∠NEG+∠FEM＝90°，且∠NGE+∠NEG＝90°，∴∠FEM＝∠NGE，且∠N＝∠FME＝90°，EF＝EG，∴△EGN≌△EFM（AAS）∴NE＝MF＝2，EM＝NG，设AE＝CF＝a，∴EM＝2﹣2a＝NG＝AH，AN＝2﹣a＝GH，∴HD＝AD﹣AH＝2﹣（2﹣2a）＝2a，∵GD＝＝∴当a＝时，GD有最小值为，3、（2019•南充模拟）如图，正方形ABCD的边长为2，O是BC边的中点，P是正方形内一动点，且OP＝2，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转90°到DQ，连接AP，CQ，PQ，则线段PQ的最小值为．解：连接OD，如图所示：∵DQ＝DP，∠PDQ＝90°，∴PQ＝DP，OD＝＝＝5，∵OP+DP≥OD，∴DP≥OD﹣OP＝5﹣2＝3，∴PQ≥3，∴线段PQ的最小值为3．4、如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝12，AB＝10，点E在AD上，且AE＝4，点F是AB上一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，连接GD，则线段GD长度的最小值为2．解：将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH，连接HG，过点H作HM⊥AD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B＝180°，∴∠A＝120°，∵将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，∴EF＝EG＝4，AE＝EH，∠AEH＝∠FEG＝120°，∴∠DEH＝60°，∠AEF＝∠HEG，且EF＝EG，AE＝EH，∴△AEF≌△HEG（SAS）∴∠A＝∠EHG＝120°＝∠AEH，∴AD∥HG，∴点G的轨迹是过点H且平行于AD的直线，∴当DG⊥HG时，线段GD长度有最小值，∵∠HEM＝60°，EH＝4，HM⊥AD，∴EM＝2，MH＝EM＝2，∴线段GD长度的最小值为2，5、（2019•惠山区一模）如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF，OF．则线段OF长的最小值（）A．2B．+2C．2﹣2 D．5解法一：如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，∵∠EDF＝∠ODM＝90°，∴∠EDO＝∠FDM，∵DE＝DF，DO＝DM，∴△EDO≌△FDM（SAS），∴FM＝OE＝2，∵正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，∴OC＝，∴OD＝，∴OM＝，∵OF+MF≥OM，∴OF≥．故选：D．解法二：如图，由于OE＝2，所以E点可以看作是以O为圆心，2为半径的半圆上运动，延长BA到P 点，使得AP＝OC，连接PE，∵AE＝CF，∠P AE＝∠OCF，∴△P AE≌△OCF，∴PE＝OF，当O、E、P三点共线时，PE最小，OP＝＝＝5，∴PE＝OF＝OP﹣OE＝5﹣2，∴OF的最小值是5﹣2．6、如图，在边长为2的正方形ABCD中，点O为AB中点，以AB为直径在正方形ABCD内部作半圆，E为半圆上任意一点（不与A．B重合），连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得列CF，连接DE、BF，OF．则线段OF长的最小值为．解：由于OE＝2，所以E点可以看作是以O为圆心，2为半径的半圆上运动，延长BA到P点，使得AP＝OC，连接PE，∵AE＝CF，∠P AE＝∠OCF，∴△P AE≌△OCF（SAS），∴PE＝OF，当PE最小时，为O、E、P三点共线，OP＝＝＝5，∴PE＝OF＝OP﹣OE＝5﹣2，∴OF的最小值是5﹣2．7、（2019秋•颍州区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为5，O是AB边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，将线段CE绕C点逆时针旋转90°得CF，连OF，线段OF的最小值为．解：如图，连接CO，将线段CO绕点C逆时针旋转90°得CM，连接FM，OM，则∠ECF＝∠OCM＝90°，∴∠ECO＝∠FCM，∵CE＝CF，CO＝CM，∴△ECO≌△FCM（SAS），∴FM＝OE＝2，∵正方形ABCD中，AB＝5，O是AB边的中点，∴OB＝2.5，∴OC＝＝，∴OM＝OC＝，∵OF+MF≥OM，∴OF≥﹣2．∴线段OF的最小值为﹣2．8、（2019•太原二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，点D是AC边的中点，E是直线BC上一动点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接AF、EF，在点E的运动过程中线段AF的最小值为+1．解：如图，作DM⊥BC于M，FJ⊥DM于J交AB于N．∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，∴AC＝2BC＝4，AB＝BC＝2，∵AD＝DC．DM∥AB，∴DM＝AB＝，BM＝CM＝1，易证四边形BMJN是矩形，∴JN＝BM＝1，∵∠FDJ+∠EDM＝90°，∠EDM+∠DEM＝90°，∴∠FDJ＝∠DEM，∵∠FJD＝∠DME＝90°，∴△FJD≌△DME（AAS），∴FJ＝DM＝，∴FN＝FJ+JN＝1+，∴点F在直线l上运动（直线l与直线AB之间的距离为+1），根据垂线段最短可知，当AF⊥直线l时，AF的值最短，最小值为+1，9、（2019秋•锡山区期中）已知：如图，△ABC是边长为6的等边三角形，直线AF⊥BC于F，点D是直线AF上一动点，以BD为边在BD的右侧作等边△BDE，连接EF，则EF的最小值为．解：如图，取AB中点H，连接DH，∵△ABC，△BDE都是等边三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠DBE＝∠ABC＝60°，∴∠ABD＝∠EBC，∵△ABC是等边三角形，AF⊥BC，∴BF＝BC＝AB＝3，∠BAF＝30°，∵H是AB中点，∴AH＝BH＝AB＝BF＝3，且∠ABD＝∠EBC，BD＝BE，∴△BHD≌△BFE（SAS）∴EF＝DH，∴当DH取最小值时，EF有最小值，当DH⊥AF时，DH有最小值，∴DH＝AH＝，∴EF的最小值为，10、（2019•台州模拟）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝a（a＞1），E是BC上的一点，且BE＝1，点F是边AB上的任意一点．连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°，得到线段EG．在点F从点B运动到点A的过程中，若要点G能落在对角线AC上，则a的最大值为．解：如图，当点G落在对角线AC上，过点G作GH⊥BC于点H，∵△EFB≌△GEH，∴GH＝BE＝1，EH＝BF，∴CH＝BC﹣BE﹣EH＝a﹣1﹣BF，∵△CHG∽△CBA，∴，∴，∴BF＝∵点F是边AB上的任意一点，∴0≤BF≤AB，∴0≤≤4，∴≤a≤∴a的最大值为11、如图1，四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：CE＝1：2，连接DG、BE、BG，则2BG+BE的最小值为4．解：延长BE、GD相交于点H．∵矩形ECGF、矩形ABCD，∴∠ECG＝∠BCD＝90°，∴∠DCG＝∠BCE∵CD：CB＝2：4＝1：2，CG：CE＝1：2，∴CD：CB＝CG：CE，∵∠DCG＝∠BCE∴△DCG∽△BCE，∴，∠BEC＝∠DGC，∴DG＝BE作EN⊥BC于N，GM⊥BC交BC的延长线于M．易证△ECN∽△CGM，∴＝＝2，∵EN＝AB＝2，∴CM＝1，∴点G的运动轨迹是直线MG，作点D关于直线GM的对称点G′，连接BG′交GM于G，此时BG+GD的值最小，最小值＝BG′∵DG＝BE，∴BE＝2DG，∴2BG+BE＝2BG+2DG＝2（BG+DG）∴2BG+BE的最小值就是2（BG+DG）的最小值．∵BG′＝＝2，∴2BG+BE的最小值为4。
中考数学压轴题之旋转(中考题型整理,突破提升)及详细答案
在△ DAG 与△ DCG 中， ∵ AD=CD，∠ ADG=∠ CDG，DG=DG， ∴ △ DAG≌ △ DCG． ∴ AG=CG． 在△ DMG 与△ FNG 中， ∵ ∠ DGM=∠ FGN，FG=DG，∠ MDG=∠ NFG， ∴ △ DMG≌ △ FNG． ∴ MG=NG 在矩形 AENM 中，AM=EN． 在 Rt△ AMG 与 Rt△ ENG 中， ∵ AM=EN， MG=NG， ∴ △ AMG≌ △ ENG． ∴ AG=EG ∴ EG=CG． （3）（1）中的结论仍然成立．
4．如图（1）所示，将一个腰长为 2 等腰直角△ BCD 和直角边长为 2、宽为 1 的直角△ CED 拼在一起．现将△ CED 绕点 C 顺时针旋转至△ CE’D’，旋转角为 a． （1）如图（2），旋转角 a=30°时，点 D′到 CD 边的距离 D’A=______．求证：四边形 ACED′ 为矩形； （2）如图（1），△ CED 绕点 C 顺时针旋转一周的过程中，在 BC 上如何取点 G，使得 GD’=E’D；并说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）FE·sin( －90°) 【解析】 【分析】 (1)由四边形 ABCD 是平行四边形得 AF∥ BE，所以∠ FAE=∠ BEA，由折叠的性质得 ∠ BAE=∠ FAE，∠ BEA=∠ FEA,所以∠ BAE=∠ FEA，故有 AB∥ FE，因此四边形 ABEF 是平行四 边形，又 BE=EF,因此可得结论； (2)根据点 M 在线段 BE 上和 EC 上两种情况证明∠ ENG＝90°－ ，利用菱形的性质得到
最值模型之瓜豆模型(原理)直线轨迹型-2024年中考数学常见几何模型及参考答案
最值模型之瓜豆模型(原理)直线轨迹型动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。
掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。
本专题就最值模型中的瓜豆原理(动点轨迹为直线型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型解读】瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。
动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，本专题受教学进程影响，估只对瓜豆原理中的直线型轨迹作讲解。
主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。
古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。
模型1、运动轨迹为直线1)如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．2)如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？解析：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。
理由：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。
【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。
1)当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值；2)当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。
3)确定动点轨迹的方法(重点)②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑；⑤若动点轨迹用上述方法不都合适，则可以将所求线段转化(常用中位线、矩形对角线、全等、相似)为其他已知轨迹的线段求最值。
北师大数学中考一轮综合复习 ( 最值问题)
北师大数学中考一轮综合复习（最值问题）知识点1 几何问题最值【典例】例1（2020•泰安）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A．√2+1B．√2+12C．2√2+1D．2√2−12例2（2021秋•西城区校级期中）已知，如图，正方形ABCD，点F为平面内一点．连接FC，H是FC的中点，连接DH，将DH绕点H逆时针旋转90°，点D的对应点为点E，连接HE、AE、EF．（1）①补全图形；②猜想AE与EF的数量关系和位置关系，并证明你的猜想．（2）在（1）的基础上，连接AF．其中AB＝a，AE＝b，将△AEF绕点A旋转一周，直接写出DH的最大值．例3（2020秋•赣榆区期中）【问题情境】（1）点A是⊙O外一点，点P是⊙O上一动点．若⊙O的半径为2，且OA＝5，则点P到点A的最短距离为．【直接运用】（2）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是．【构造运用】（3）如图2，已知正方形ABCD的边长为6，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边BC、CD方向向终点C和D运动，连接AM和BN交于点P，则点P到点C的最短距离，并说明理由．【灵活运用】（4）如图3，⊙O的半径为4，弦AB＝4，点C为优弧AB上一动点，AM⊥AC交直线CB于点M，则△ABM的面积最大值是．例4（2020•北辰区二模）平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A，C在坐标轴上，点B（6，6），P是射线OB上一点，将△AOP绕点A顺时针旋转90°，得△ABQ，Q是点P旋转后的对应点．（1）如图（1）当OP＝2√2时，求点Q的坐标；（2）如图（2），设点P（x，y）（0＜x＜6），△APQ的面积为S．求S与x的函数关系式，并写出当S取最小值时，点P的坐标；（3）当BP+BQ＝8√2时，求点Q的坐标（直接写出结果即可）．【随堂练习】1．（2020•包河区校级一模）如图，等腰Rt△ABC的一个锐角顶点A是⊙O上的一个动点，∠ACB＝90°，腰AC与斜边AB分别交⊙O于点E、D，分别过点D，E作⊙O的切线交于点F，且点F恰好是腰BC上的点，连接OC，OD，OE，若⊙O的半径为4，则OC的最大值为（）A．2√5+2B．4√2+2C．6D．8 2．（2020•宁波模拟）如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC．直径AD交BC于点E，F是AE的中点，连结CF，若AD＝6√3．则CF的最大值为（）A．6B．5C．4D．33．（2021秋•汶上县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作圆O交AO于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若∠AOE＝60°，OE＝3，在BC边上是否存在一点P使PF+PE有最小值，如果存在，请求出PF+PE的最小值．4．（2021•蒙阴县一模）如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点E，F分别在边AB，CD 上，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与A，D重合），点C落在点N出，MN与CD交于点P，设BE＝x．（1）当AM＝时，求x的值；（2）随着点M在边AD上位置的变化，△PDM的周长是否发生变化？如变化，请说明理由，若不变，请求出定值；（3）设四边形BEFC的面积为S，求S与x的函数表达式，并求出S的最小值．5．（2020秋•巴南区期中）在△ABC中，AB＝8，AC＝6√3，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转，得到△ADE．（1）如图1，点F为BC与DE的交点，连接AF，求证：∠AFD＝∠AFC；（2）如图2，点P为线段AB中点，点G是线段BC上的动点，在△ABC绕点A按逆时针方向旋转的过程中，点G的对应点是点G1，直接写出线段PG1长度的最大值与最小值．知识点2 代数问题最值几种常见问题1、利用一次函数表达式在定义域内的增减性来求最值。
2020初中数学中考专题复习——四边形中的线段最值问题专项训练3(附答案详解)
（1）如图①，当点 落在 边上时，求点 的坐标；
（2）如图②，当点 落在线段 上时， 与 交于点 .求点 的坐标；
（3）记 为矩形 对角线的交点， 为 的面积，求 的取值范围（直接写出结果即可）.
A． B． C． D．
3．线段AB上有一动点C（不与A，B重合），分别以AC，BC为边向上作等边△ACM和等边△BCN，点D是MN的中点，连结AD，BD，在点C的运动过程中，有下列结论：①△ABD可能为直角三角形；②△ABD可能为等腰三角形；③△CMN可能为等边三角形；④若AB=6，则AD+BD的最小值为 .其中正确的是（ ）
【详解】
解：如图所示，作以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN'，MN'，
根据轴对称性质可知，PN=PN'，
∴PM-PN=PM-PN'≤MN'，
当P，M，N'三点共线时，PM-PN'= MN'，
∵正方形边长为4，
∴AC= AB=4 ，
∵O为AC中点，
∴AO=OC=2 ，
∵N为OA中点，
∴ON= ，
7．A
【解析】
【分析】
连接BD、BF，延长AC交GE于H，连接BH，证明四边形BNHM是矩形，得出MN=BH，由直角三角形的性质得出GH，AH的长，当BH⊥AG时，BH最小，由直角三角形的性质得出BH的长，即可得出答案．
【详解】
连接BD、BF，延长AC交GE于H，连接BH，如图所示：
∵四边形ABCD和四边形BEFG是菱形，∠DAB=60°，∴AD∥BC∥GF，AC⊥BD，BF⊥GE，BE=BG，AM=CM，EN=GN，∴∠GAH=30°，∠EBG=∠DAB=60°，∴△BEG是等边三角形，∴∠BGE=60°，∴∠AHG=90°，∴四边形BNHM是矩形，GH AG=4，AH GH=4 ，∴MN=BH，当BH⊥AG时，BH最小．
2020中考数学冲刺练习-第19讲 线段的最值问题--含解析
2020数学中考冲刺专项练习专题19线段的最值问题【难点突破】着眼思路，方法点拨, 疑难突破；两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）．三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）．两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长．如图3，P A与PB的差的最大值就是AB，此时点P在AB的延长线上，即P′．解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题．【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【原创】如图，抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A（0，2），与x轴交于一点（-2+ 2，0），对称轴为直线x=﹣2，抛物线上存在B、C两点，点B在对称轴左侧，点C在对称轴右侧，BC=6且平行于x轴。
（1）求此抛物线的解析式．（2）求△ABC的面积.（3）点P在x轴负半轴上，且PA+PB的最小值为，求点P的坐标．直线CP将线段AB分成1：3两部分，试求点P的坐标。
【解答】解：（1）由题意得：x=﹣=﹣2，b=4a，c=2，又∵过点（-2+2，0），代入y=ax 2+4ax+2，解得a=1，故b=4则此抛物线的解析式为y=x 2+4x+2； （2）∵抛物线对称轴为直线x=﹣2，BC=6， ∴B 横坐标为﹣5，C 横坐标为1， 把x=1代入抛物线解析式得：y=7，又∵点A 的坐标为（0，2），故点A 到BC 的距离为7-2=5， ∴△ABC 的面积=5×6÷2=15. （3）由（2）题可知B （﹣5，7），C （1，7）， 设直线PC 解析式为y=kx+b ，交AB 与点D ， 过点A 作AE//BC ，交PC 于点E ，① 当AD ：BD=1：3时，则有AE ：BC=1：3又∵BC=6，故AE=2，从而得到点E 的坐标为（-2，2） 则代入PC 解析式可得：722k b k b +=⎧⎨-+=⎩解得：53163k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则直线PC 解析式为y=53x+163，则可得点P 的坐标为（0，165-） ②当AD ：BD=3：1时，则有AE ：BC=3：1 同理可得到点E 的坐标为（-18，2） 则代入PC 解析式可得：7182k b k b +=⎧⎨-+=⎩解得：51912819k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则直线PC 解析式为y=519x+ 12819，则可得点P 的坐标为（0，1285-） 综上所述可得点P 的坐标为（0，165-）或（0，1285-）.【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三；【例题1】如图1，菱形ABCD 中，AB ＝2，∠A ＝120°，点P 、Q 、K 分别为线段B C 、CD 、BD 上的任意一点，求PK ＋QK 的最小值．图1【解析】如图2，点Q 关于直线BD 的对称点为Q ′，在△KPQ ′中，PK ＋QK 总是大于PQ ′的．如图3，当点K 落在PQ ′上时，PK ＋QK 的最小值为PQ ′．如图4，PQ ′的最小值为Q ′H ，Q ′H 就是菱形ABCD 的高，Q ′H＝3．这道题目应用了两个典型的最值结论：两点之间，线段最短；垂线段最短．图2 图3 图4【例题2】如图1，已知A (0, 2)、B (6, 4)、E (a , 0)、F (a ＋1, 0)，求a 为何值时，四边形ABEF 周长最小？请说明理由．图1【解析】在四边形ABEF 中，AB 、EF 为定值，求AE ＋BF 的最小值，先把这两条线段经过平移，使得两条线段有公共端点．如图2，将线段BF 向左平移两个单位，得到线段ME ．如图3，作点A 关于x 轴的对称点A ′，MA ′与x 轴的交点E ，满足AE ＋ME 最小． 由△A ′OE ∽△BHF ，得'OE HF OA HB =．解方程6(2)24a a -+=，得43a =．图2 图3【例题3】在平面直角坐标系中，O为原点，点A（﹣2，0），点B（0，2），点E，点F分别为OA，OB的中点．若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OE′D′F′，记旋转角为α．（Ⅰ）如图①，当α=90°时，求AE′，BF′的长；（Ⅱ）如图②，当α=135°时，求证AE′=BF′，且AE′⊥BF′；（Ⅲ）若直线AE′与直线BF′相交于点P，求点P的纵坐标的最大值（直接写出结果即可）．【分析】（1）利用勾股定理即可求出AE′，BF′的长．（2）运用全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质就可解决问题．（3）首先找到使点P的纵坐标最大时点P的位置（点P与点D′重合时），然后运用勾股定理及30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识即可求出点P的纵坐标的最大值．【解答】解：（Ⅰ）当α=90°时，点E′与点F重合，如图①．∵点A（﹣2，0）点B（0，2），∴OA=OB=2．∵点E，点F分别为OA，OB的中点，∴OE=OF=1∵正方形OE′D′F′是正方形OEDF绕点O顺时针旋转90°得到的，∴OE′=OE=1，OF′=OF=1．在Rt△AE′O中，AE′=．在Rt△BOF′中，BF′=．∴AE′，BF′的长都等于．（Ⅱ）当α=135°时，如图②．∵正方形OE′D′F′是由正方形OEDF绕点O顺时针旋转135°所得，∴∠AOE′=∠BOF′=135°．在△AOE′和△BOF′中，，∴△AOE′≌△BOF′（SAS）．∴AE′=BF′，且∠OAE′=∠OBF′．∵∠ACB=∠CAO+∠AOC=∠CBP+∠CPB，∠CAO=∠CBP，∴∠CPB=∠AOC=90°∴AE′⊥BF′．（Ⅲ）∵∠BPA=∠BOA=90°，∴点P、B、A、O四点共圆，∴当点P在劣弧OB上运动时，点P的纵坐标随着∠PAO的增大而增大．∵OE′=1，∴点E′在以点O为圆心，1为半径的圆O上运动，∴当AP与⊙O相切时，∠E′AO（即∠PAO）最大，此时∠AE′O=90°，点D′与点P重合，点P的纵坐标达到最大．过点P作PH⊥x轴，垂足为H，如图③所示．∵∠AE′O=90°，E′O=1，AO=2，∴∠E′AO=30°，AE′=．∴AP=+1．∵∠AHP=90°，∠PAH=30°，∴PH=AP=．∴点P的纵坐标的最大值为．【最新试题】名校直考，巅峰冲刺，一步到位。
初中数学 中考压轴之瓜豆原理求线段最值问题
中考线段最值问题----瓜豆原理【问题引入】如下图1所示，Q为OP的中点，P为线段AB上的一个动点，Q为OP的中点，当P点在线段AB上运动时，Q点的运动轨迹是什么？【问题分析】如下图2，当P点为于A点时，此时Q点位于OA的中点Q1；当P点位于B点时，此时Q点位于OB的中点Q2；我们发现，△OQ1Q2△△OAB，随着Q点位置的不同，△OQ1Q2与△OAB 一直相似，其本质为动态相似！【模型建立】此类题中，题目或许先描述的是动点P，但最终问题问的是另一个动点Q，P和Q之间存在着某种联系，从P点出发探讨Q点运动轨迹即为本文要探讨的瓜豆原理。
1、两个概念：主动点：主动运动的点称为主动点，如上图1中的P点；从动点：由于主动点运动而“被迫”运动的点称为从动点，如上图1中的Q点；2、瓜豆原理成立的两个必要条件△主动点、从动点与定点连线的夹角为定值；△主动点、从动点到定点的距离之比是定值.举例如下：如下图3:，动点P在直线BC上运动，A为定点，Q为另一动点，且满足条件：①∠PAQ是定值；②AP：AQ是定值，则动点Q的轨迹与动点P的轨迹一致，即：P在直线BC上动，则Q在另一直线MN上动，且△BAC∽△MAN(动态相似)。
3、核心结论①从动点的运动轨迹与主动点运动轨迹一致，即如果主动点在直线上运动，则从动点也必然在直线上运动；如果主动点在圆上运动，则从动点也必然在圆上运动，故非常形象的称之为“瓜豆原理”。
②主动点的起点、终点、定点组成的三角形与从动点的起点、终点、定点组成的三角形相似(或全等)，如上图中△AMN∽△ABC。
③主动点运动轨迹与从动点的运动轨迹的夹角(锐角)等于主、从动点与定点连线的夹角。
如上图中∠PAQ=α。
【类型总结】---核心处理方法：Step1：找出主动点的起点和终点；Step2：找出题中所有的定点；Step3：验证两个必要条件，即：①主、从动点与定点连线的夹角为定值；②主、从动点到定点的距离之比是定值。
2020年中考数学压轴题专题9 动态几何定值问题学案(原版+解析)
专题九动态几何定值问题【考题研究】数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。
动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。
以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。
【解题攻略】动态几何形成的定值和恒等问题是动态几何中的常见问题，其考点包括线段（和差）为定值问题；角度（和差）为定值问题；面积（和差）为定值问题；其它定值问题。
解答动态几何定值问题的方法，一般有两种：第一种是分两步完成：先探求定值. 它要用题中固有的几何量表示.再证明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明.第二种是采用综合法，直接写出证明.【解题类型及其思路】在中考中，动态几何形成的定值和恒等问题命题形式主要为解答题。
在中考压轴题中，动态几何之定值（恒等）问题的重点是线段（和差）为定值问题，问题的难点在于准确应用适当的定理和方法进行探究。
【典例指引】类型一【线段及线段的和差为定值】【典例指引1】已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D与B′C交于点E．（1）如图1，当∠CA ′D ＝15°时，作∠A ′EC 的平分线EF 交BC 于点F ．①写出旋转角α的度数；②求证：EA ′+EC ＝EF ；（2）如图2，在（1）的条件下，设P 是直线A ′D 上的一个动点，连接PA ，PF ，若AB ＝2，求线段PA +PF 的最小值．（结果保留根号）【举一反三】如图（1），已知∠=90MON o ,点P 为射线ON 上一点，且=4OP ，B 、C 为射线OM 和ON 上的两个动点（OC OP >），过点P 作PA ⊥BC ，垂足为点A ，且=2PA ，联结BP ．（1）若12PACABOP S S ∆=四边形时，求tan BPO ∠的值； （2）设PC x =，AB y BC=求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域； （3）如图(2)，过点A 作BP 的垂线，垂足为点H ，交射线ON 于点Q ，点B 、C 在射线OM 和ON 上运动时，探索线段OQ 的长是否发生变化？若不发生变化，求出它的值。
2020中考数学专题8——最值问题之将军饮马 -含答案
【模型解析】2020 中考专题 8——最值问题之将军饮马班级姓名.总结：以上四图为常见的轴对称类最短路程问题，最后都转化到：“两点之间，线段最短”解决。
特点：①动点在直线上；②起点，终点固定；方法：作定点关于动点所在直线的对称点。
【例题分析】例1.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为(3，3 )，点C 的坐标为(1，0)，点2P 为斜边OB 上的一动点，则PA＋PC 的最小值为．例 2.如图，在五边形ABCDE 中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC＝1，AE＝DE＝2，在BC、DE 上分别找一点M、N．(1)当△AMN 的周长最小时，∠AMN＋∠ANM＝；(2)求△AMN 的周长最小值．例3.如图，正方形ABCD 的边长为 4，点E 在边BC 上且CE＝1，长为 2 的线段MN 在AC 上运动．(1)求四边形BMNE 周长最小值；(2)当四边形BMNE 的周长最小时，则tan∠MBC 的值为．例4.在平面直角坐标系中，已知点A(一 2，0)，点B(0，4)，点E 在OB 上，且∠OAE＝∠OB A．如图，将△AEO 沿x 轴向右平移得到△AE′O′，连接A'B、BE'．当AB＋BE'取得最小值时，求点E'的坐标．例5.如图，已知正比例函数y＝kx(k＞0)的图像与x轴相交所成的锐角为70°，定点A的坐标为(0，4)，P 为y 轴上的一个动点，M、N 为函数y＝kx(k＞0)的图像上的两个动点，则AM＋MP＋PN 的最小值为．【巩固训练】1.如图1 所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P，使PD＋PE 的和最小，则这个最小值为．图1 图2 图3 图42.如图2，在菱形ABCD 中，对角线AC＝6，BD＝8，点E、F、P 分别是边AB、BC、AC 上的动点，PE＋PF 的最小值是．3.如图3，在边长为2 的等边△ABC 中，D 为BC 的中点，E 是AC 边上一点，则BE＋DE 的最小值为．4.如图 4，钝角三角形ABC 的面积为 9，最长边AB＝6，BD 平分∠ABC，点M、N 分别是BD、BC 上的动点，则CM＋MN 的最小值为．5.如图5，在△ABC 中，AM 平分∠BAC，点D、E 分别为AM、AB 上的动点，＝6，则BD＋DE的最小值为(1)若AC＝4，S△ABC(2)若∠BAC＝30°，AB＝8，则BD＋DE 的最小值为．(3)若AB＝17，BC＝10，CA＝21，则BD＋DE 的最小值为．6.如图6，在△ABC中，AB＝BC＝4，S△ABC＝4一点，则PK＋QK 的最小值为．，点P、Q、K 分别为线段AB、BC、AC 上任意图6 图7 图8 图97.如图7，AB 是⊙O 的直径，AB＝8，点M 在⊙O 上，∠MAB＝20°，N 是弧MB 的中点，P 是直径AB 上的一动点，则PM＋PN 的最小值为．8.如图 8，在锐角△ABC 中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D，M、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM＋MN 的最小值是．9.如图 9，圆柱形玻璃杯高为 12cm、底面周长为 18cm，在杯内离杯底 4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm．10.如图 10，菱形OABC 中，点A 在x 轴上，顶点C 的坐标为(1，OC、OB 上，则CE＋DE＋DB 的最小值是．)，动点D、E 分别在射线图10 图11 图12 图1311.如图 11，点A(a，1)、B(－1，b)都在双曲线y＝－3(x＜0)上，点P、Q 分别是x 轴、y 轴上x的动点，当四边形PABQ 的周长取最小值时，PQ 所在直线的解析式是．12.如图12，点P 是∠AOB 内任意一点，OP＝5cm，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，△PMN 周长的最小值是5cm，则∠AOB 的度数是．13.如图13，∠AOB＝30°，点M、N 分别在边OA、OB 上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q 分别在边OB、OA 上，则MP＋PQ＋QN 的最小值是．14.如图 14，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点D 是AB 边的中点，过D 作DE⊥BC 于点E． (1)点P 是边BC 上的一个动点，在线段BC 上找一点P，使得AP＋PD 最小，在下图中画出点P； (2)在(1)的条件下，连接CD 交AP 于点Q，求AQ 与PQ 的数量关系；图 143315. 在矩形 ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，G 为边 AD 的中点．(1) 如图 1，若 E 为 AB 上的一个动点，当△CGE 的周长最小时，求 AE 的长．(2) 如图 2，若 E 、F 为边 AB 上的两个动点，且 EF ＝4，当四边形 CGEF 的周长最小时，求 AF的长．16. 如图，抛物线 y = - 1x 2+ 2x + 4 交y 轴于点B ，点A 为x 轴上的一点，OA =2，过点A 作直线MN ⊥ AB2 交抛物线与 M 、N 两点. （1） 求直线 AB 的解析式；（2） 将线段 AB 沿 y 轴负方向平移 t 个单位长度，得到线段 A 1B 1 ，求 MA 1 + MB 1 取最小值时实数 t 的值.33172020 中考专题 8——最值问题之将军饮马参考答案例1.解：作A 关于OB 的对称点D，连接CD 交OB 于P，连接AP，过D 作DN⊥OA 于N，则此时PA＋PC 的值最小，∵DP＝PA，∴PA＋PC＝PD＋PC＝CD，∵B(3，)，∴AB＝，OA＝3，∵tan∠AOB＝AB＝3，∴∠AOB＝30°，∴OB＝2AB＝2 ，OA 31 1 3 3由三角形面积公式得：×OA×AB＝2×OB×AM，∴AM＝2，∴AD＝2×2＝3，2∵∠AMB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAM＝30°，∵∠BAO＝90°，∴∠OAM＝60°，∵DN⊥OA，∴∠NDA＝30°，∴AN＝1AD＝23，由勾股定理得：2DN＝33 ，2∵C(1，0)，∴CN＝3﹣1﹣2 23＝1，在Rt△DNC 中，由勾股定理得：DC＝，2 2即PA＋PC 的最小值是31．2例2.解：作A 关于BC 和ED 的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC 于M，交ED 于N，则A′A″即为△AMN 的周长最小值．⑴作EA 延长线的垂线，垂足为H，∠BAE＝120°，∴∠AA′A″＋∠AA″A′＝60°，∠AA′A″＝∠A′AM，∠AA″A′＝∠EAN，∴∠CAN＝120°－∠AA′A″－∠AA″A′＝60°，也就是说∠AMN＋∠ANM＝180°－60°＝120°.⑵过点A′作EA 延长线的垂线，垂足为H，∵AB＝BC＝1，AE＝DE＝2，∴AA′＝2BA＝2，AA″＝2AE＝4，则Rt△A′HA 中，∵∠EAB＝120°，∴∠HAA′＝60°，∵A′H⊥HA，∴∠AA″H＝30°，∴AH＝1AA′＝1，∴A′H＝2，A″H＝1＋4＝5，∴A′A″＝2 ，例3.解：作EF∥AC 且EF＝于P，，连结DF 交AC 于M，在AC 上截取MN＝，延长DF 交BC 作FQ⊥BC 于Q，作出点E 关于AC 的对称点E′，则CE′＝CE＝1，将MN 平移至E′F′处，3332242 - 22 3 3 则四边形 MNE ′F ′为平行四边形，当 BM ＋EN ＝BM ＋FM ＝BF ′时，四边形 BMNE 的周长最小， 由∠FEQ ＝∠ACB ＝45°，可求得 FQ ＝EQ ＝1，∵∠DPC ＝∠FPQ ，∠DCP ＝∠FQP ，∴△PFQ ∽△PDC ， ∴PQ PQ + QE + EC ＝ PQ ，∴ CD PQ PQ + 2 1 ＝ ，解得：PQ ＝ 4 2 ，∴PC ＝ 8 ，3 3由对称性可求得 tan ∠MBC ＝tan ∠PDC ＝ 2 ．3例 4.【提示】将△AEO 向右平移转化为△AEO 不动，点 B 向左平移，则点 B 移动的轨迹为一平行于 x 轴的直线，所以作点 E 关于该直线的对称点 E 1，连接 AE 1，与该直线交点 F 即为最小时点 B 的位置，求出 BF 长度即可求出点 E 向右平移的距离．例 5.解：如图所示，直线 OC 、y 轴关于直线 y ＝kx 对称，直线 OD 、直线 y ＝kx 关于 y 轴对称，点A ′是点 A 关于直线 y ＝kx 的对称点．作 A ′E ⊥OD 垂足为 E ，交 y 轴于点 P ，交直线 y ＝kx 于 M ，作 PN ⊥直线 y ＝kx 垂足为 N ， ∵PN ＝PE ，AM ＝A ′M ，∴AM ＋PM ＋PN ＝A ′M ＋PM ＋PE ＝A ′E 最小(垂线段最短)， 在 RT △A ′EO 中，∵∠A ′EO ＝90°，OA ′＝4，∠A ′OE ＝3∠AOM ＝60°， ∴OE ＝1OA ′＝2，A ′E ＝ ＝2 ．2 ∴AM ＋MP ＋PN 的最小值为 2 ．333337【巩固训练】答案1.解：连接BD，∵点B 与D 关于AC 对称，∴PD＝PB，∴PD＋PE＝PB＋PE＝BE 最小．∵正方形ABCD 的面积为 12，∴AB＝2又∵△ABE 是等边三角形，∴BE＝AB＝2，，故所求最小值为2 ．2.解：∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC＝6，BD＝8，∴AB＝5，作E 关于AC 的对称点E′，作E′F⊥BC 于F 交AC 于P，连接PE，则E′F 即为PE＋PF 的最小值，∵1⋅AC⋅BD＝AD⋅E′F，∴E′F＝24，∴PE＋PF 的最小值为24.2 5 53.解：作B 关于AC 的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC 于E，此时BE＋ED＝B′E＋ED＝B′D，根据两点之间线段最短可知B′D 就是BE＋ED 的最小值，∵B、B′关于AC 的对称，∴AC、BB′互相垂直平分，∴四边形ABCB′是平行四边形，∵三角形ABC 是边长为2，D 为BC 的中点，∴AD⊥BC，AD＝，BD＝CD＝1，BB′＝2AD＝2 ，作B′G⊥BC 的延长线于G，∴B′G＝AD＝，在Rt△B′BG 中，BG＝3，∴DG＝BG﹣BD＝3﹣1＝2，在Rt△B′DG 中，B′D＝．故BE＋ED 的最小值为7 ．4.解：过点C 作CE⊥AB 于点E，交BD 于点M，过点M 作MN⊥BC 于N，∵BD 平分∠ABC，ME⊥AB 于点E，MN⊥BC 于N，∴MN＝ME，∴CE＝CM＋ME＝CM＋MN 是最小值．∵三角形ABC 的面积为 9，AB即CM＋MN 的最小值为 3．＝6，∴12×6⋅CE＝9，∴CE＝3．333335.提示：作点E 关于AM 的对称点E′，BH⊥AC 于H，易知BD＋DE 的最小值即为BH 的长. 答案：(1)3；(2)4；(3)8．6.解：如图，过A 作AH⊥BC 交CB 的延长线于H，∵AB＝CB＝4，S△ABC＝4，∴AH＝2，∴cos∠HAB＝AH＝2 3＝3，∴∠HAB＝30°，∴∠ABH＝60°，∴∠ABC＝120°，AB 4 2∵∠BAC＝∠C＝30°，作点P 关于直线AC 的对称点P′，过P′作P′Q⊥BC 于Q 交AC 于K，则P′Q 的长度＝PK＋QK 的最小值，∴∠P′AK＝∠BAC＝30°，∴∠HAP′＝90°，∴∠H＝∠HAP′＝∠P′QH＝90°，∴四边形AP′QH 是矩形，∴P′Q＝AH＝2 ，即PK＋QK 的最小值为2 ．7.解：作点N 关于AB 的对称点N′，连接OM、ON、ON′、MN′，则MN′与AB 的交点即为PM＋PN 的最小时的点，PM＋PN 的最小值＝MN′，∵∠MAB＝20°，∴∠MOB＝2∠MAB＝2×20°＝40°，∵N 是弧MB 的中点，∴∠BON＝12∠MOB＝1×40°＝20°，2由对称性，∠N′OB＝∠BON＝20°，∴∠MON′＝∠MOB＋∠N′OB＝40°＋20°＝60°，∴△MON′是等边三角形，∴MN′＝OM＝OB＝1AB＝18 ＝4，2 2∴PM＋PN 的最小值为 4，22338.解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD 于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′＋M′N′为所求的最小值．∵AD 是∠BAC 的平分线，∴M′H＝M′N′，∴BH 是点 B 到直线AC 的最短距离，∵AB＝4，∠BAC＝45°，∴BH＝AB sin45°＝4×2＝2 ．2∵BM＋MN 的最小值是BM′＋M′N′＝BM′＋M′H＝BH＝2 ．9.解：沿过A 的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，过C 作CQ⊥EF 于Q，作A 关于EH 的对称点A′，连接A′C 交EH 于P，连接AP，则AP＋PC 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，∵AE＝A′E，A′P＝AP，∴AP＋PC＝A′P＋PC＝A′C，∵CQ＝1×182cm＝9cm，A′Q＝12cm﹣4cm＋4cm＝12cm，在Rt△A′QC 中，由勾股定理得：A′C＝15cm，故答案为：15．10.解：连接AC，作B 关于直线OC 的对称点E′，连接AE′，交OC 于D，交OB 于E，此时CE＋DE＋BD 的值最小，∵四边形OCBA 是菱形，∴AC⊥OB，AO＝OC，即A 和C 关于OB 对称，∴CE＝AE，∴DE＋CE＝DE＋AE＝AD，∵B 和E′关于OC 对称，∴DE′＝DB，∴CE＋DE＋DB＝AD＋DE′＝AE′，过C 作CN⊥OA 于N，∵C(1，)，∴ON＝1，CN＝，由勾股定理得：O C＝2，即AB＝BC＝OA＝OC＝2，∴∠CON＝60°，∴∠CBA＝∠COA＝60°，∵四边形COAB 是菱形，∴BC∥OA，∴∠DCB＝∠COA＝60°，∵B 和E′关于OC 对称，∴∠BFC＝90°，∴∠E′BC＝90°﹣60°＝30°，∴∠E′BA＝60°＋30°＝90°，CF＝1BC＝1，由勾股定理得：BF＝2＝E′F，在Rt△EBA 中，由勾股定理得：AE′＝4，即CE＋DE＋DB 的最小值是 4．310 ⎩⎩11.解：把点 A (a ，1)、B (﹣1，b )代入 y ＝﹣ 3(x ＜0)得 a ＝﹣3，b ＝3，则 A (﹣3，1)、B (﹣1，x3)，作 A 点关于 x 轴的对称点 C ，B 点关于 y 轴的对称点 D ，所以 C 点为(﹣3，﹣1)，D 点为(1， 3)，连结 CD 分别交 x 轴、y 轴于 P 点、Q 点，此时四边形 PABQ 的周长最小，设直线 CD 的解析式为 y ＝kx ＋b ，则⎧-3k + b = -1 ，解得⎧k = 1，所以直线 CD 的解析式为 y ＝x ＋2．⎨k + b = 3 ⎨b = 212.解：分别作点 P 关于 OA 、OB 的对称点 C 、D ，连接 CD ，分别交 OA 、OB 于点 M 、N ，连接 OC 、OD 、PM 、PN 、MN ，如图所示：∵点 P 关于 OA 的对称点为 D ，关于 OB 的对称点为 C ，∴PM ＝DM ，OP ＝OD ，∠DOA ＝∠ POA ；∵点 P 关于 OB 的对称点为 C ，∴PN ＝CN ，OP ＝OC ，∠COB ＝∠POB ， ∴OC ＝OP ＝OD ，∠AOB ＝1∠COD ，2∵△PMN 周长的最小值是 5cm ，∴PM ＋PN ＋MN ＝5，∴DM ＋CN ＋MN ＝5，即 CD ＝5＝OP ， ∴OC ＝OD ＝CD ，即△OCD 是等边三角形，∴∠COD ＝60°，∴∠AOB ＝30°；13 解：作 M 关于 OB 的对称点 M ′，作 N 关于 OA 的对称点 N ′，连接 M ′N ′，即为 MP ＋PQ ＋QN 的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N ′OQ ＝∠M ′OB ＝30°，∠ONN ′＝60°， ∴△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形，∴∠N ′OM ′＝90°， ∴在 Rt △M′ON′中，M ′N ′＝ ．故答案为 ．10314.解：(1)作点 A 关于BC 的对称点 A′，连 DA′交BC 于点P.(2)由(1)可证得PA 垂直平分CD，∴AQ＝CQ＝3PQ15.解：(1)∵E 为AB 上的一个动点，∴作G 关于AB 的对称点M，连接CM 交AB 于E，那么E 满足使△CGE 的周长最小；∵在矩形ABCD 中，AB＝6，BC＝8，G 为边AD 的中点，∴AG＝AM＝4，MD＝12，而AE∥CD，∴△AEM∽△DCM，∴AE：CD＝MA：MD，∴AE＝CD ⨯MA＝2；MD(2)∵E 为AB 上的一个动点，∴如图，作G 关于AB 的对称点M，在CD 上截取CH＝4，然后连接HM 交AB 于E，接着在EB 上截取EF＝4，那么E、F 两点即可满足使四边形CGEF 的周长最小．∵在矩形ABCD 中，AB＝6，BC＝8，G 为边AD 的中点，∴AG＝AM＝4，MD＝12，而CH＝4，∴DH＝2，而AE∥CD，∴△AEM∽△DHM，∴AE：HD＝MA：MD，∴AE＝HD ⨯MAMD＝2，3∴AF ＝4＋2＝14．3 316.解：（1）依题意，易得B（0，4），A（2，0），则AB解析式：y=-2x+4（2）∵AB⊥MN∴直线MN：y =1x - 12⎧y =-1x2+ 2x + 4⎪与抛物线联立可得：⎨⎪y =⎩21x - 1 2解得：M（-2，-2）将AB向负方向平移t个单位后，A1（2，-t），B1（0，4-t）则A1 关于直线x=-2 的对称点A2 为（-6，-t）当A2、M、B1 三点共线时，MA1 +MB1取最小值∴t =143。