2020年陕西省咸阳市高考数学三模试卷(一)(有答案解析)
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何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的 植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多 高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为 （）
A.
B.
C.
D.
9. 函数
的大致图象是（ ）
A.
B.
的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）；
当 x→-∞时，ln|x|→+∞，ex→0，
∴当 x→-∞时，
→+∞，
故选：A． 由 x→-∞时，ln|x|→+∞，ex→0 即可得答案． 本题考查函数的图象及图象变换，考查极限思想方法，是基础题．
10.答案：A
解析：解：∵c＜bcosA， ∴利用正弦定理化简得：sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB＜sinBcosA， 整理得：sinAcosB＜0， ∵sinA≠0， ∴cosB＜0． ∵B∈（0，π）， ∴B 为钝角，三角形 ABC 为钝角三角形． 故选：A． 已知不等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整
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则 cosθ=
= =．
故异面直线 A1E、FC 所成角的余弦值为 ．
故选：D． 以 A 为原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用 向量法能求出异面直线 A1E、FC 所成角的余弦值． 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系 等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2020 年陕西省咸阳市高考数学三模试卷（一）
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 已知集合 A={x|4-x2≥0}，B={x|y=lg（x+1）}，则 A⋂B=（ ）
A. [-2，2]
B. （1，+∞）
C. （-1，2]
D. （-∞，-1]⋃（2，+∞）
2. 已知复数 z 满足（1+i）z=（i i 为虚数单位），则复数 Z 在复平面内对应的点在（ ）
（Ⅱ）若数列{bn}满足：b
，求数列{bn}的前 n 项和 Tn．
18. 随着高考制度的改革，某省即将实施“语数外+3”新高考的方案，2019 年秋季入
学的高一新生将面临从物理（物）、化学（化）、生物（生）、政治（政）、历史 （历）、地理（地）六科中任选三科（共 20 种选法）作为自己将来高考“语数外 +3”新高考方案中的“3”.某市为了顺利迎接新高考改革，在某高中 200 名学生中 进行了“学生模拟选课数据”调查，每个学生只能从表格中的 20 种课程组合中选 择一种学习.模拟选课数据统计如下表：
8.答案：C
解析：解：设水深为 x 尺， 则（x+2）2=x2+52，
解得 x= ，
即水深 尺．
又葭长
尺，
则所求概率 P= ，
故选：C．
设水深为 x 尺，利用勾股定理求出水深，结合葭长
尺，代入几何概型概率计
算公式，可得答案． 本题考查几何概型概率的求法，考查勾股定理的应用，是基础题．
9.答案：A
解析：解：函数
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1.答案：C
-------- 答案与解析 --------
解析：解：A={x|-2≤x≤2}，B={x|x＞-1}； ∴A∩B=（-1，2]． 故选：C． 可求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可． 考查描述法、区间的定义，对数函数的定义域，以及交集的运算．
2.答案：A
解析：解：∵（1+i）z=i，
甲说：乙或丙得到物理书；乙说：甲或丙得到英语书；
丙说：数学书被甲得到；丁说：甲得到物理书 .
最终结果显示：甲、乙、丙、丁四个人的预测均不正确，那么甲得到的书是
15. 已知定义在 R 上的奇函数 f（x）的图象关于点（2，0）对称，且 f（3）=3，则 f（-1）
=______
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C.
D.
10. 已知 a．b．c 分别是△ABC 的内角 A、B、C 的对边，若 c＜bcosA，则△ABC 的形状 为（ ）
A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形
11. 已知椭圆、双曲线均是以直角三角形 ABC 的斜边 AC 的两端点为焦点的曲线，且都
过 B 点，它们的离心率分别为 ， ，则
A.
B. .0
C. .4
D. .5$
7. 在正方体 ABCD-ABClDl 中，E、F 分别是 AB、B1C1 的中点，则异面直线 A1E、FC 所成角的余弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
8. 《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈， 葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几
A. -cosπx
B. -sinπx
C.
D.
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 已知 tanα=3，则 sin2α+cos2α 的值为______． 14. 某图书出版公司到某中学开展奉献爱心图书捐赠活动，某班级获得了某一品牌的图
书共 4 本，其中数学、英语、物理、化学各一本.现将这 4 本书随机发给该班的甲、 乙、丙、丁四个人，每人一本，并请这四个人在看自己得到的赠书之前进行预测， 结果如下：
A.
B. 2
C.
D. 3
12. 已知函数 y=f（x）为 R 上的偶函数，当 x∈[0，1）时，f'（x）＜0；当 x∈（1，+∞） 时，f'（x）＞0；且 f（x）≥-m2+2m 对 m∈R 恒成立，函数 g（x）=sin（ωx+φ）（ω ＞0）的一个周期内的图象与函数 （f |x|）的图象恰好有两个公共点，则 g（x）=（ ）
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理得到 sinAcosB＜0，根据 sinA 不为 0 得到 cosB＜0，进而可得 B 为钝角，即可得解． 此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键， 属于基础题．
11.答案：B
解析：解：可设 A（-c，0），C（c，0），B 为第一象限 内的点，
生历地
历地
地
5 人 …… …… …… …… …… 10 人 5 人 …… 25 人 200 人
为了解学生成绩与学生模拟选课情况之间的关系，用分层抽样的方法从这 200 名学 生中抽取 40 人的样本进行分析. （Ⅰ）样本中选择组合 20 号“政历地”的有多少人？若以样本频率作为概率，求 该高中学生不选物理学科的概率？ （Ⅱ）从样本中选择学习生物且学习政治的学生中随机抽取 3 人，求这 3 人中至少 有一人还学习历史的概率？
16. 已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F，过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，且|FA||FB|=6，
则|AB|=______．
三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）
17. 已知数列{an}是等差数列，Sn 是前 n 项和，且 a2+a6=l6，S5=30．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
6 万元广告费时，销售额约为（ ）万元
x1 2 3 4 5
y 10 15 30 45 50
A. 60
B. 63
C. 65
5. 程序框图如图，当输入 x 为 2019 时，输出 y 的值为（
D. 69
）
A.
B. 1 C. 2 D. 4
6. 已知 x，y 满足
，则目标函数 z=-2x+y 的最大值是（ ）
上的动点，点
，若线段 QN 的垂直平
的直线 l 与轨迹 E 交于 B，C 两点，求证：
21. 设函数 f（x）=2xlnx-a，a∈R． （Ⅰ）求函数 f（x）的极值； （Ⅱ）若不等式 exf（x）-x2-1≥0，对任意实数 x≥1 恒成立，求实数 a 的取值范围．
22. 设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与 x 轴的非负半轴重合．直线
7.答案：D
解析：解：以 A 为原点，DA，DC， DD1 所在直线分别为 x，y，z 轴， 建立空间直角坐标系， 设正方体 ABCD-ABClDl 中棱长为 2． 则 A1（2，0，2），E（2，1，0）， F（1，2，2），C（0，2，0），
=（0，1，-2）， =（-1，0，
-2）， 设异面直线 A1E、FC 所成角为 θ，
= ×（10+15+30+45+50）=30，
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回归方程
，其中
，
∴
,
∴ =11x-3，
故 x=6 时， =11×6-3=63，
据此估计，当投入 6 万元广告费时，销售额约为 63 万元． 故选 B．
5.答案：A
解析：解：∵2019÷3=673， ∴经过 673 次循环后 x=0，满足条件．x≥0，
设椭圆方程为 + =1（a＞b＞0），
双曲线的方程为 - =1（m，n＞0），
可设|AB|=s，|CB|=t， 可得 s+t=2a，s-t=2m， 解得 s=a+m，t=a-m， 在直角三角形 ABC 中，可得 4c2=s2+t2=2a2+2m2，
即有 + =2，
即 + =2， 故选：B． 可设 A（-c，0），C（c，0），B 为第一象限内的点，设椭圆方程为 + =1（a＞b＞0），
则 x=0-3=-3，此时 x≥0 不成立，输出 y=2-3= ，
故选：A． 根据程序框图，利用模拟验算法进行求解即可． 本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．
2020届高三数学第三次模拟试题理含解析
的内切圆面积为 ， ，易得 的周长为8，即 .
而 ，解得 ， ， ，
则椭圆C的方程为： .
（II）设 ，由（I）可得 ，
当直线l的斜率不存在时 ，不符合题意，
当直线l的斜率存在时，可设l： ，
联立直线l与椭圆C可得： ,
, ，
，
解得 ,
所以直线l的方程为 或 。
【点睛】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆综合，及弦长公式的应用,属于中档题.
12。已知函数 （a为常数）有两个不同极值点，则实数a的取值范围是( ）
A. B。 C。 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由导数与极值的关系知可转化为方程 在R上有两个不等根，结合函数的性质可求.
【详解】 函数有两个不同极值点，
有2个不等的实数根，
即 有2个不等的实数根,
令 ，则 在R上单调递增且 ，
A。 9B.8C. 4D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据抛物线的定义，梯形中位线及不等式 即可求解.
【详解】设 ， ,抛物线焦点为 ，
由 可知 ，
，当且仅当 三点共线时等号成立，
，
PQ的中点M到y轴距离的值为: ，
即最小值为3，此时 三点共线.
故选：D
【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，梯形中位线，不等式的应用，属于中档题.
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C。 充要条件D。 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据双曲线的定义求出 的范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】若方程表示双曲线，则 ，所以 ，
即“ ”是“方程 表示双曲线”的充分不必要条件.
2020年陕西高三三模数学试卷(理科)
因为平面
平面 ，
，
为 中点，所以
平面
，
，
．
，
11
，
设球的半径为 ，则有
，
.
，
即
，解得
，
故表面积为
．
17.（ 1 ）
．
（ 2 ） （人）．
（ 3 ） （分）．
解析:
（ 1 ）由
，解得
．
（ 2 ）成绩在
之间的频率为 ，故可估计所有参赛者中获得奖励的人数约为
（人）．
（ 3 ）平均分的估计值为：
（分）．
18.（ 1 ） ． （2） ．
，
执行循环体，
，
不满足条件 ，执行循环体，
，
不满足条件 ，执行循环体，
，
不满足条件 ，执行循环体，
，
此时，满足条件 ，退出循环，输出 的值为 ，
故答案为 ．
14. 或 解析:
10
由题意：①
，二次函数
开口向上，对称轴为
，
，解得
；
②
，二次函数 开口向下，对称轴为
，
即
，解得
；
故答案为： 或 ．
，即 ，
15. 或
4. D
解析:
因为正态曲线关于直线
对称，所以可得
．
又因为 的值反映的是这组数据的集中情况，其值越小图像越瘦长，越大图像越矮胖，
所以可得
，
故选 ．
5. A 解析: 由表中数据可知，
满足回归方程 则 解得： ． 故选 ．
， ，
， ，
6. C
解析:
画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数
在点
处取得最小值为
2020届陕西省高考数学三模试卷(含解析)
2020届陕西省高考数学三模试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若z =(i +1)(i −2)，则复数z 的实部与虚部之和为( )A. 1B. −1C. −2D. −42. 已知集合U ={−2,−1,0,1,2,3}，A ={−1,0,1},B ={1,2},则∁U (A ∪B)=( )A. {−2,3}B. {−2,2,3}C. {−2,−1,0,3}D. {−2,−1,0,2,3}3. 已知向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为60°，|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=5，则2a ⃗ −b⃗ 在a ⃗ 方向上的投影为( ) A. 32B. 2C. 52D. 34. 已知函数f(x)=2sinx −acosx 图象的一条对称轴为=−π6，f(x 1)+f(x 2)=0，且函数f(x)在(x 1,x 2)上单调，则|3x 1+2x 2|的最小值为( )A. π2B. 4π3C.13π6D. 7π65. 某人进行了如下的“三段论”推理：如果，则是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以是函数的极值点。
你认为以上推理的A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 结论正确6. 下列命题为真命题的是( )A. 函数y =x +4x+1最小值为3 B. 函数y =lgx +1lgx 最小值为2 C. 函数y =2x +12x +1最小值为1D. 函数y =x 2+1x 2最小值为27. 已知H 是球O 的直径AB 上的一点，AH ：HB =1：2，AH ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为( )A. 9π4B. 9π2C. 9π8D.16π38. 执行如图所示的程序框图，若输入的的值为，则输出的的值为( )A. 3B. 126C. 127D. 1289. 下列三视图所表示的几何体是( )A. 正方体B. 圆锥体C. 正四棱台D. 长方体10. 方程(x +y −1)√x 2+y 2−4=0所表示的曲线是( )A.B.C.D.11. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点为F ，虚轴的上端点为B ，P 为双曲线支上的一个动点，若△PBF 周长的最小值等于实轴长的4倍，则该双曲线的离心率为( )A. √5B. √2C. √102 D. √10512. 设f(x)={x −2,(x ≥10)f(x +6),(x <10)，则f(5)的值为( )A. 10B. 9C. 12D. 13二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在区间[0,2]上任取两个数a ，b ，能使函数f(x)=ax +b +1在区间[−1,1]内有零点的概率等于______ ．14. 已知变量x ，y 满足约束条件{x −y +2≤0x ≥1x +y −7≤0，则yx 的最大值是______ ．15. 已知等比数列{a n }中，a 2=1，a 5=−8，则{a n }的前5项和为______．16. 曲线f(x)=xsinx 在点(π,f(π))处的切线方程为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =6，c =3．(Ⅰ)若cosB =59，求b 及cosC −2cosA 的值； (Ⅱ)求角C 的取值范围．18. 某企业为了对新研发的一批产品进行合理定价，将产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据(x i ,y i )(i =1,2，…6)，如表所示：已知y =80． (1)求表格中q 的值；(2)已知变量x ，y 具有线性相关性，试利用最小二乘法原理，求产品销量y 关于试销单价x 的线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂(参考数据∑x i 6i=1y i =3050,∑x i 26i=1=271)；(3)用(2)中的回归方程得到的与x i 对应的产品销量的估计值记为y i ∧(i =1,2，……，6).当|y ̂i −y i |≤1时，则称(x i ,y i )为一个“理想数据”.试确定销售单价分别为4，5，6时有哪些是“理想数据”．19.(文科)已知如图，在三棱锥P−ABC中，顶点P在底面的投影H是△ABC的垂心．(Ⅰ)证明：PA⊥BC；(Ⅱ)若PB=PC，BC=2，且二面角P−BC−A度数为60°，求三棱锥P−ABC的体积V P−ABC的值．20.椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别是F1，F2，离心率为√32，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．(1)求椭圆C的方程；(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明1kk1+1kk2为定值，并求出这个定值．21. 已知函数f(log a x)=aa 2−1(x −x −1)，其中a >0且a ≠1．(1)求函数f(x)的解析式，并判断其奇偶性和单调性；(2)对于函数f(x)，当x ∈(−1,1)时，f(1−m)+f(1−m 2)<0，求实数m 的取值范围； (3)当x ∈(−∞,2)时，f(x)−6的值恒为负数，求函数a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：x +y =4，曲线C 2：{x =1+cosφy =sinφ(φ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(Ⅱ)若射线θ=α(ρ≥0)与曲线C 1，C 2的公共点分别为A ，B ，求|OB||OA|的最大值．23. 已知函数f(x)=e x −e −x −2x ，x ∈R ．(1)判断函数f(x)的奇偶性．(2)设f′(x)为f(x)的导函数，若函数f(x)=f′(2x)−2axf′(x)+2a 2，−4a −4，x ∈R 存在零点，求实数a 的取值范围．(3)设t>1，研究函数ℎ(x)=f(e x)+f(−x−t)，x≥0的零点个数．【答案与解析】1.答案：D解析：解：∵z=(i+1)(i−2)=−3−i，∴复数z的实部与虚部分别为−3，−1，其和为−4．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，分别求出z的实部与虚部，作和得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础的计算题．2.答案：A解析：本题考查集合的运算，属基础题．先求出A∪B，再求补集．解：∵A∪B={−1,0,1,2}，∴∁U(A∪B)={−2,3}.故选A．3.答案：A解析：本题考查了平面向量数量积的定义与投影的计算问题，是基础题目．根据平面向量数量积的定义与投影的定义，进行计算即可．解：∵向量a⃗与b⃗ 的夹角为60°，且|a⃗|=2，|b⃗ |=5，∴(2a⃗−b⃗ )⋅a⃗=2a⃗2−b⃗ ⋅a⃗=2×22−5×2×cos60°=3，∴向量2a⃗−b⃗ 在a⃗方向上的投影为a⃗ ⋅(2a⃗ −b⃗)|a⃗ |=32．故选：A．4.答案：D解析：解：由题意，f(x)=2sinx−acosx=√4+a2sin(x+θ)，θ为辅助角，因为对称轴x=−π6，所以f(−π6)=−1−√32a，即√4+a2=|−1−√32a|，解得a=2√3，所以f(x)=4sin(x−π3)，对称轴方程为x=−π6+kπ(k∈Z)，又因为f(x)在(x1,x2)上具有单调性，且f(x1)+f(x2)=0，设x=x1，x=x2为相邻对称轴，当x1=−π6，x2=5π6时取最小值7π6，也可解：设A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))，则线段AB的中点为函数f(x)的对称中心，即x1+x22=kπ+π3，k∈Z，所以x1+x2=2kπ+2π3(k∈Z)，易知最小值在k=0时取得，此时x1+x2=2π3，x1∈[−π6,π3),|3x1+2x2|=|2(x1+x2)+x1|≥|4π3+x1|≥7π6,故选：D．由已知结合正弦函数的对称性及最值关系可求a，然后结合已知及对称中心的性质可求．本题主要考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档试题．5.答案：A解析：试题分析：解：∵大前提是：“对于可导函数f(x)，如果f′(x0)=0，那么x=x0是函数f(x)的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f(x)，如果f′(x0)=0，且满足当x>x0时和当x<x0时的导函数值异号时，那么x=x0是函数f(x)的极值点，∴大前提错误，故选A．考点：演绎推理点评：本题考查的知识点是演绎推理的基本方法，演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．6.答案：D解析：解：A.x<−1时，y<0，因此不正确；B.0<x<1时，lgx<0，此时y<0；C.y=2x+12x+1=2x+1+12x+1−1>2−1=1，因此无最小值．D.y=x2+1x2≥2√x2⋅1x2=2，当且仅当x=±1时取等号，因此正确．故选：D．利用基本不等式的使用法则“一正二定三相等”即可判断出结论．本题考查了基本不等式的使用法则“一正二定三相等”，考查了推理能力与计算能力，是基础题．7.答案：B解析：解：设球的半径为R，∵AH：HB=1：2，∴平面α与球心的距离为13R，∵α截球O所得截面的面积为π，∴d=13R时，r=1，故由R2=r2+d2得R2=12+(13R)2，∴R2=98∴球的表面积S=4πR2=92π．故选：B．设球的半径为R，根据题意知由与球心距离为13R的平面截球所得的截面圆的面积是π，我们易求出截面圆的半径为1，根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易求出该球的半径，进而求出球的表面积．本题考查的知识点是球的表面积公式，若球的截面圆半径为r，球心距为d，球半径为R，则球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理．8.答案：C解析：试题分析：输入的的值为，运行程序，不满足；运行程序，不满足；运行程序，满足，输出．故选C．考点：算法与程序框图9.答案：C解析：解：从正视图和侧视图可知，几何体可能是棱台或圆台，从俯视图可知几何体是正四棱台， 故选C ．由题意三视图的正视图、侧视图判断三视图复原的几何体是棱台，从俯视图判断是正四棱台，不难得到选项．本题是基础题，考查三视图复原几何体的判断，考查空间想象能力，逻辑思维能力，常见图形的三视图应该牢记在心．10.答案：D解析：本题主要考查了曲线与方程的问题，考查了考生对曲线方程的理解和对图象分析的能力，属于中档题．原方程等价于：{x +y −1=0x 2+y 2≥4，或x 2+y 2=4；两组方程分别表示圆和不在圆内部分的直线，进而可推断出方程表示的曲线为圆和与圆相交且去掉圆内的部分． 解：原方程等价于：{x +y −1=0x 2+y 2≥4，或x 2+y 2=4； 其中当x +y −1=0需√x 2+y 2−4有意义，等式才成立，即x 2+y 2≥4， 此时它表示直线x −y −1=0上不在圆x 2+y 2=4内的部分， 故选：D ．11.答案：A解析：解：由题意可得B(0,b)，F(c,0)，设F′(−c,0)， 由双曲线的定义可得|PF|−|PF′|=2a ， |PF|=|PF′|+2a ， |BF|=|BF′|=√b 2+c 2，则△BPF 的周长为|PB|+|PF|+|BF||=|PB|+|PF′|+2a +|BF′|≥2|BF′|+2a ，当且仅当B ，P ，F′共线，取得最小值，且为2a +2√b 2+c 2，由题意可得8a =2a +2√b 2+c 2， 即9a 2=b 2+c 2=2c 2−a 2，即5a 2=c 2， 则e =ca =√5， 故选：A ．由题意求得B ，F 的坐标，设出F′，运用双曲线的定义可得|PF|=|PF′|+2a ，则△BPF 的周长为|PB|+|PF|+|BF|=|PB|+|PF′|+2a +√b 2+c 2，运用三点共线取得最小值，可得a ，b ，c 的关系式，由a ，b ，c 的关系，结合离心率公式，计算即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和转化为三点共线取得最小值，考查运算能力，属于中档题．12.答案：B解析：解：由题意得f(x)={x −2,(x ≥10)f(x +6),(x <10)，所以f(5)=f(11)=11−2=9． 故选B ．根据分段函数的解析式可得f(5)=f(11)，进而得到答案．解决此类问题的关键是熟悉解析式的结构特征，细心仔细即可得到答案．13.答案：18解析：解：在区间[0,2]上任取两个数a ，b ，则{0≤a ≤20≤b ≤2，对应的平面区域为边长为2的正方形，面积为2×2=4， 若函数f(x)=ax +b +1在区间[−1,1]内有零点， 则f(−1)f(1)≤0，即(a +b +1)(−a +b +1)≤0，作出不等式对应的平面区域如图：(阴影部分)， 对应的面积S =12×1×1=12，则根据几何概型的概率公式可得函数f(x)=ax +b +1在区间[−1,1]内有零点的概率等于124=18，故答案是：18求出函数有零点的等价条件，利用几何概型的概率公式即可得到结论．本题主要考查几何概型的概率计算，根据函数有零点的等价条件求出a 的取值范围是解决本题的关键．利用数形结合和线性规划是解决本题的突破．14.答案：6解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z =yx ，则z 的几何意义是区域内的点M(x,y)与原点的斜率， 由图象可知当直线OM 经过点A 时，直线OM 的斜率最大， 由{x =1x +y −7=0，即{x =1y =6， 即A(1,6)，此时z 最大为61=6， 即yx 的最大值为6， 故答案为：6作出不等式组对应的平面区域，设z =yx ，利用z 的几何意义，结合数形结合即可得到结论． 本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率的公式是解决本题的关键．15.答案：−112解析：解：根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，若a 2=1，a 5=−8，则有q 3=a5a 2=−8，则q =−2；则a 1=a 2q=−12则{a n }的前5项和S 5=a 1(1−q 5)1−q=−112，故答案为：−112．根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，由等比数列的通项公式可得q 3=a5a 2=−8，计算可得q 与a 1的值，由等比数列的前n 项和公式计算可得答案．本题考查等比数列的前n 项和，注意分析该数列的公比，属于基础题．16.答案：y=−πx+π2解析：解：求导数可得f′(x)=sinx+xcosx，∴x=π时，f′(π)=−π，又∵f(π)=0，∴曲线f(x)=xsinx在点(π,f(π))处的切线方程为y=−π(x−π)，即y=−πx+π2．故答案为：y=−πx+π2．求导数，确定x=π处的切线的斜率，即可求得切线方程．本题考查切线方程，解题的关键是求出切点处切线的斜率，属于基础题．17.答案：解：(Ⅰ)在△ABC中，由余弦定理可得：b2=a2+c2−2accosB=36+9−2×6×3×59= 25，解得：b=5，而cosC=b2+a2−c22ab =36+25−92×6×5=1315，cosA=b2+c2−a22bc =25+9−362×5×3=−115，可得：cosC−2cosA=1315−2×(−115)=1(Ⅱ)在△ABC中，由正弦定理可得asinA =csinC，由a=6，c=3，可得：sinC=12sinA，∵0<A<π，∴0<sinA≤1，∴0<sinC≤12，∵c<a，可得C<A，可得C为锐角，∴C的取值范围是：(0,π6]解析：(Ⅰ)由已知及余弦定理可得b=5，进而根据余弦定理可求cos C，cos A，代入所求即可计算得解．(Ⅱ)由正弦定理可得sinC=12sinA，由范围0<A<π，可求0<sinC≤12，结合大边对大角判断C为锐角，进而可求C的取值范围．本题主要考查了余弦定理，正弦定理，大边对大角在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.答案：解：(1)根据题意，计算y=16×(90+84+83+80+q+68)=80，解得q=75；(2)计算x=16×(4+5+6+7+8+9)=6.5，∴b̂=3050−6×80×6.5271−6×6.52=−4，â=80−(−4)×6.5=106，∴y关于x的回归方程是ŷ=−4x+106；(3)∵回归方程为ŷ=−4x+106，∴ŷ1=−4x1+106=90，|ŷ1−y1|=|90−90|=0<1，∴(x1,y1)=(4,90)是“理想数据”，ŷ2=−4x2+106=86，|ŷ2−y2|=|86−84|=2>1，∴(x2,y2)=(5,84)不是“理想数据”，ŷ3=−4x3+106=82，|ŷ3−y3|=|82−83|=1=1，∴(x3,y3)=(6,83)是“理想数据”．∴“理想数据”为(4,90)，(6,83)．解析：(1)根据题意计算y，列方程求出q的值；(2)计算平均数和回归系数，写出y关于x的回归方程；(3)根据回归方程计算预测值，与实际值比较，判断是否为“理想数据”．本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是中档题．19.答案：(Ⅰ)证明：连接AH，并延长交BC于D，连接BH，并延长交AC于E，连接PD，由PH⊥面ABC，得PH⊥BC，又H是△ABC的垂心，可得AD⊥BC，而PH∩AD=H，则BC⊥面PAD，所以PA⊥BC；…(4分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知BC⊥面PAD，则BC⊥PD，所以∠PDA为二面角P−BC−A的平面角，则有∠PDA=60°由BC⊥PD，PB=PC，可知BD=DC，又BC⊥AD，所以AB=AC在△ABC中，因为H是垂心，由平面几何可知△ABD∽△BHD，所以ADBD =BDDH,⇒AD⋅DH=BD2=1，则S△PAD=12AD⋅PH=12AD⋅DH⋅tan60°=√32，所以V P−ABC=13S△PAD⋅BC=13×√32×2=√33.…(9分)解析：(Ⅰ)连接AH，并延长交BC于D，连接BH，并延长交AC于E，连接PD，证明H是△ABC的垂心，BC⊥面PAD，即可证明：PA⊥BC；(Ⅱ)证明AB=AC，△ABD∽△BHD，求出△PAD的面积，即可求三棱锥P−ABC的体积V P−ABC的值．本题考查线面垂直、线线垂直，考查三棱锥P−ABC的体积，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．20.答案：解：(1)把−c代入椭圆方程得c2a2+y2b2=1，解得y=±b2a，∵过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，∴2b2a=1．又e=ca=√32，联立得{2b2a=1a2=b2+c2ca=√32解得{a=2,b=1c=√3，∴椭圆C的方程为x24+y2=1．(2)如图所示，设|PF1|=t，|PF2|=n，由角平分线的性质可得tn=|MF1||F2M|=√3√3−m，又t+n=2a=4，消去t得到4−nn=√3+m3−m，化为n=√3−m)3，∵a−c<n<a+c，即2−√3<n<2+√3，也即2−√3<√3−m)√3<2+√3，解得−32<m<32．∴m的取值范围；(−32,32)．(3)证明：设P(x0,y0)，不妨设y0>0，由椭圆方程x24+y2=1，取y =√1−x 24，则y ′=−2x 42√1−x24=4√1−x24，∴k =04√1−024=−x 04y 0． ∵k 1=0x+√3，k 2=0x −√3， ∴1k 1+1k 2=2x 0y 0，∴1kk 1+1kk 2=−4y 0x 0×2x 0y 0=−8为定值．解析：(1)把−c 代入椭圆方程得c 2a 2+y 2b 2=1，解得y =±b 2a，由已知过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，可得2b 2a=1.再利用e =c a=√32，及a 2=b 2+c 2即可得出；(2)设|PF 1|=t ，|PF 2|=n ，由角平分线的性质可得tn =|MF 1||F 2M|=√3√3−m，利用椭圆的定义可得t +n =2a =4，消去t 得到4−n n=√3+m√3−m，化为n =√3−m)√3，再根据a −c <n <a +c ，即可得到m 的取值范围；(3)设P(x 0,y 0)，不妨设y 0>0，由椭圆方程x 24+y 2=1，取y =√1−x 24，利用导数即可得到切线的斜率，再利用斜率计算公式即可得到k 1，k 2，代入即可证明结论．本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、角平分线的性质、利用导数的几何意义研究切线、斜率计算公式等基础知识，考查了推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．21.答案：解：(1)由f(log a x)=a a 2−1(x −x −1)，得f(x)=aa 2−1(a x −a −x )，因为定义域为R ，f(−x)=aa 2−1(a −x −a x )=−f(x) 所以f(x)为奇函数， 因为f′(x)=a⋅lna a 2−1(a x +a −x )，当0<a <1及a >1时，f′(x)>0， 所以f(x)为R 上的单调增函数；(2)由f(1−m)+f(1−m 2)<0，得f(1−m)<−f(1−m 2)=f(m 2−1)，， 又x ∈(−1,1)，则−1<1−m <m 2−1<1，得1<m <√2；(3)因为f(x)为R 上的单调增函数，所以若当x ∈(0,2)时，f(x)−6的值恒为负数， 则f(x)−6<0恒成立，则f(2)−6=aa 2−1(a 2−a −2)−6≤0，整理得a 2−6a +1≤0，所以3−2√2≤a ≤3+2√2，又a >0且a ≠1，所以实数a 的取值范围是[3−2√2,1)∪(1,≤3+2√2].解析：(1)根据对数式与相应指数式的关系，由函数f(log a x)=aa −1(x −x −1)，将括号中对应的对数式化为x 后，解析式中x 要化为a x ，求出解析式后，可根据奇偶性的定义及导数法，求出函数的奇偶性和单调性；(2)根据(1)中函数的性质，及x ∈(−1,1)可将不等式f(1−m)+f(1−m 2)<0，化为−1<1−m <1−m 2<1，进而得到实数m 的取值范围；(3)由当x ∈(−∞,2)时，f(x)−6的值恒为负数，根据函数的单调性可得f(2)−6≤0整理可得a 的取值范围．本题是函数奇偶性与单调性的综合应用，特别是后面抽象不等式及恒成立问题，难度较大．22.答案：解：(Ⅰ)曲线C 1：x +y =4，曲C 1的极坐标方程为：ρ(cosθ+sinθ)=4， 整理得：ρsin(θ+π4)=2√2， 曲线C 2：{x =1+cosφy =sinφ(φ为参数)， 消去参数φ，得曲线C 2的普通方程为(x −1)2+y 2=1， 所以曲线C 2的极坐标方程为：ρ=2cosθ．(Ⅱ)设A(ρ1,α)，B(ρ2,α)，因为A 、B 是射线θ=α与曲线C 1，C 2的公共点， 可得−π4<α<π2，则：ρ1=4cosα+sinα，ρ2=2cosα，所以：|OB||OA|=ρ2ρ1=14×2cosα(cosα+sinα)，=√24cos(2α−π4)+14，所以当α=π8时，|OB||OA|取得最大值√2+14．解析：本题考查参数方程和普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的转化，三角函数的恒等变换，三角函数的性质的应用，属于中档题． (Ⅰ)直接利用转换关系，即可求解．(Ⅱ)利用三角函数的恒等变换，再利用三角函数性质，进一步求出函数的最值．23.答案：解：(1)∵f(x)=e x −e −x −2x ，∴f(−x)=e −x −e x +2x =−(e x −e −x −2x)=−f(x)， 则函数f(x)为奇函数；(2)f′(x)=e x +e −x −2，则f′(2x)=e 2x +e −2x −2，则函数g(x)=f′(2x)−2af′(x)+2a 2−4a −4=e 2x +e −2x −2−2a(e x +e −x −2)+2a 2−4a −4=(e x +e −x )2−4−2a(e x +e −x )+4a +2a 2−4a −4=(e x +e −x )2−2a(e x +e −x )+2a 2−8，设t =e x +e −x ，则t =e x +e −x ≥2√e −x ⋅e x =2， 则函数等价为ℎ(t)=t 2−2at +2a 2−8存在大于2的零点， 则满足ℎ(2)≤0，即2a 2−4a −4≤0，解得1−√3≤a ≤1+√3， {△=4a 2−4(2a 2−8)≥0ℎ(2)=4−4a +2a 2−8≥0−−2a a=a ≥2，即{a 2≤8a 2−2a −2≥0a ≥2， 即1+√3≤a ≤2√2，综上可得a 的范围是[1−√3,2√2]；(3)∵f′(x)=e x +e −x −2≥2√e −x ⋅e x −2=2−2=0， ∴函数f(x)在(−∞,+∞)为增函数，∴由ℎ(x)=f(e x )+f(−x −t)=0，得f(e x )=−f(−x −t)=f(x +t)， 即e x =x +t ，即t =e x −x ，设m(x)=e x −x ，则m′(x)=e x −1，当x >0时m′(x)=e x −1>1−1=0， 即函数m(x)=e x −x 则[0,+∞)上为增函数， 则m(x)>m(0)=e 0−0=1，∴当t >1，方程t =e x −x 有唯一一个根，即函数ℎ(x)=f(e x )+f(−x −t)，x ≥0有唯一零点．解析：(1)运用奇偶性的定义判断函数f(x)的奇偶性；(2)求出函数g(x)的表达式，利用换元法转化为关于t的一元二次函数，利用根的分布建立不等式关系即可求实数a的取值范围；(3)求出函数ℎ(x)的表达式，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性即可得到结论．本题主要考查导数的应用以及函数奇偶性的判断，考查运算能力和推理能力，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．。
2020年陕西咸阳高三三模文科数学试卷-学生用卷
2020年陕西咸阳高三三模文科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年陕西咸阳高三三模文科第1题5分若集合A={1,2,3,4,5}，集合B={x|0<x<4}，则图中阴影部分表示（）．A. {1,2,3,4}B. {1,2,3}C. {4,5}D. {1,4}2、【来源】 2020年陕西咸阳高三三模文科第2题5分2020~2021学年陕西西安阎良区高二上学期期末文科第7题5分已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a4=2a3，a1=1，则S4=（）．A. 31B. 15C. 8D. 73、【来源】 2020年陕西咸阳高三三模文科第3题5分“−2<m<2”是“方程x 22−y22−m=1表示双曲线”的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4、【来源】 2020年陕西咸阳高三三模文科第4题5分2021年河南郑州高三一模文科第8题5分2019~2020学年2020年3月重庆渝北区重庆市松树桥中学校高三下学期月考文科第4题5分2020年陕西咸阳高三三模理科第3题5分2020年春节突如其来的新型冠状病毒肺炎在湖北爆发，一方有难八方支援，全国各地的白衣天使走上战场的第一线，某医院抽调甲乙丙三名医生，抽调A ，B ，C 三名护士支援武汉第一医院与第二医院，参加武汉疫情狙击战其中选一名护士与一名医生去第一医院，其它都在第二医院工作，则医生甲和护士A 被选为第一医院工作的概率为（ ）． A. 112B. 16C. 15D. 195、【来源】 2020年陕西咸阳高三三模文科第5题5分设复数z 满足|z +i |=1，z 在复平面内对应的点为P (x,y )，则点P 的轨迹方程为（ ）． A. (x +1)2+y 2=1 B. (x −1)2+y 2=1 C. x 2+(y −1)2=1 D. x 2+(y +1)2=16、【来源】 2020年陕西咸阳高三三模文科第6题5分 2019~2020学年湖北襄阳市高三上学期期末理科第7题5分已知非零向量a →，b →满足|a →|=√2|b →|，且(a →−b →)⊥b →，则a →与b →的夹角为（ ）． A. π6 B. π4 C. 3π4 D. 5π67、【来源】 2020年陕西咸阳高三三模文科第7题5分 2020年陕西咸阳高三三模理科第7题5分“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图所示，图中四边形是体现其直观性所做的辅助线，当其正视图与侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别是（ ）．A. a，bB. a，cC. a，dD. b，d8、【来源】 2020年陕西咸阳高三三模文科第8题5分已知实数x，y满足不等式组{y⩾0 y⩽xx+y−60⩽0，若z=3x−2y，则z的取值范围为（）．A. [0,160]B. [0,170]C. [0,180]D. [0,190]9、【来源】 2020年陕西咸阳高三三模文科第9题5分已知函数f(x)=a−e−x−e x（a为常数）存在两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）．A. [1,+∞)B. [2,+∞)C. (2,+∞)D. (1,+∞)10、【来源】 2020年陕西咸阳高三三模文科第10题5分2020年陕西咸阳高三三模理科第9题5分函数y=2x−12x+1⋅sinx的图象大致为（）．A.B.C.D.11、【来源】 2020年陕西咸阳高三三模文科第11题5分已知抛物线C:y2=8x，直线l过抛物线C的焦点F交抛物线于P，Q，且|PQ|=10，M是PQ的中点，则M到y轴的距离为（）．A. 9B. 8C. 4D. 312、【来源】 2020年陕西咸阳高三三模文科第12题5分若数列{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，且满足：a1+a2020=27，b1⋅b2020=2，函数f(x)满足f(x+2)=−f(x)，且当x∈[0,2]时，f(x)=e x，则f(a1010+a10111+b1010b1011)=（）．A. eB. e2C. e−1D. e9二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年陕西咸阳高三三模文科第13题5分若tanα=13，tanβ=12，则tan(α+β)=．14、【来源】 2020年陕西咸阳高三三模文科第14题5分已知在三棱锥A−BCD中，AB，AC，AD两两垂直，且AB=1，AC=√3，AD=2√2，则三棱锥A−BCD外接球的表面积为．15、【来源】 2020年陕西咸阳高三三模文科第15题5分2018~2019学年3月广东深圳南山区华侨城中学高二下学期月考文科第16题5分2020年陕西咸阳高三三模理科第15题5分2017~2018学年广东深圳南山区华侨城中学高二下学期期中文科第16题5分2018~2019学年4月山西太原迎泽区太原市第五中学高二下学期月考理科第12题4分现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24．类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为．16、【来源】 2020年陕西咸阳高三三模文科第16题5分给出以下四个命题：①设a，b，c是空间中的三条直线，若a⊥b，b⊥c，则a//c．②在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于S4的概率为34．③已知一个回归直线方程为y^=1.5x^+45(x i∈{1,5,7,13,19}，i=1,2,⋯,5)，则y=58.5．④数列{a n}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．其中正确命题的序号为．（把所有正确命题的序号都填上）三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年陕西咸阳高三三模文科第17题12分设a，b，c分别为锐角△ABC内角A，B，C的对边，且满足√3(acosB+bcosA)=2csinB，b= 4．(1) 求角B的大小．(2) 求△ABC面积的最大值．18、【来源】 2020年陕西咸阳高三三模文科第18题12分已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)，F1，F2分别是其左．右焦点，过F1的直线l与椭圆C交于4，B两点，且椭圆C的离心率为12，△AF2B的周长等于8．(1) 求椭圆C的方程．(2) 当|AB|=247时，求直线l的方程．19、【来源】 2020年陕西咸阳高三三模文科第19题12分2019~2020学年四川凉山高二下学期期末文科第18题12分2020年寒假，因为“新冠”疫情全体学生只能在家进行网上学习．为了研究学生网上学习的情况，某学校随机抽取100名学生对线上教学进行调查，其中男生与女生的人数之比为9:11，抽取的学生中男生有30人对线上教学满意，女生中有10名表示对线上教学不满意．(1) 完成2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”．(2) 从被调查的对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取5名学生，再在这5名学生中抽取2名学生．作线上学习的经验介绍，求其中抽取一名男生与一名女生的概率．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．20、【来源】 2020年陕西咸阳高三三模文科第20题12分如图，在三棱锥A−BCD中，△ABC是正三角形，△ACD是等腰直角三角形．∠ADC=90°，AB=BD．(1) 证明：平面ADC⊥平面ABC．(2) 设AB=2，点E为BD的中点，求三棱锥A−CDE的体积．21、【来源】 2020年陕西咸阳高三三模文科第21题12分2020~2021学年陕西西安未央区西安中学高三上学期期中文科第21题12分2019~2020学年四川凉山高二下学期期末理科第22题12分已知函数f(x)=alnx．(1) 讨论函数g(x)=x−1−f(x)的单调性与极值．(2) 证明：当a=1且x∈[1,+∞)时，不等式(x+1)f(x)⩾2(x−1)恒成立．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年陕西咸阳高三三模文科第22题10分2020年陕西咸阳高三三模理科第22题10分在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=2cosαy=√3sinα（α为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l过A，B两点，且这两点的极坐标分别为A(2√7,0)，B(2√7,π2)．(1) 求C的普通方程和l的直角坐标方程．(2) 若M为曲线C上一动点，求点M到直线l的最小距离．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年陕西咸阳高三三模文科第23题10分2020年陕西咸阳高三三模理科第23题10分已知a>0，b>0，且a+b=2．(1) 若1a +4b⩾|2x−1|恒成立，求x的取值范围．(2) 证明：(1a +1b)(a3+b3)⩾4．1 、【答案】 C;2 、【答案】 B;3 、【答案】 A;4 、【答案】 D;5 、【答案】 D;6 、【答案】 B;7 、【答案】 A;8 、【答案】 C;9 、【答案】 C;10 、【答案】 D;11 、【答案】 D;12 、【答案】 A;13 、【答案】1;14 、【答案】12π;15 、【答案】a38;16 、【答案】②③;17 、【答案】 (1) B=π3．;(2) 4√3．;18 、【答案】 (1) x24+y23=1．;(2) x−y+1=0或x+y+1=0．;19 、【答案】 (1)；有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”．;(2) 35．;20 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) √36．;21 、【答案】 (1) 当a⩽0时，g(x)在(0,+∞)上单调递增，无极值；当a>0时，g(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增，函数g(x)极小值=a−1−alna，无极大值．;(2) 证明见解析．;22 、【答案】 (1) C的普通方程为：x24+y23=1，直线l的直角坐标方程为：x+y−2√7=0．;(2) √142．;23 、【答案】 (1) −74⩽x⩽114．;(2) 证明见解析．;。
陕西省咸阳市2020届高三高考模拟检测文科数学试题(附答案解析)
咸阳市2020年高考模拟检测(一)数学(文科)试题注意事项:1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟；2.答卷前，考生须准确填写自己的姓名.准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号；3.第I 卷选择题必须使用2B 铅笔填涂，第II 卷非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰；4.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}22A x N x =∈-<<，{}1,1,2,3B =-，则A B ⋂=（ ）A ．{}1B ．{}0,1C ．{}0,1,2D ．{}0,1,2,32. 设21z i i ⋅=+，则z =（ ）A ．2i +B ．2i -C ．2i -+D ．2i --3. 记n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若20,S =则公比q =（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．无法确定 4. 已知()()1,2,1,0,a b ==r r 则2a b +=r r （ ）A B ．7 C. 5 D ．255.“0x >”是“20x x +>”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件 C. 充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 椭圆2221x my -=的一个焦点坐标为(0,，则实数m =（ ）A ．23B ．25C ．23-D ．25- 7. 函数4y cos x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ）A ．132,24(4)k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．372,24(4)k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C ．312,24(4)k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ D ．152,24(4)k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ 8. 已知()1210,0x y x y+=>>，则2x y +的最小值为（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．79. 设,m n 是两条不同的直线，,a β是两个不同的平面，给出下列四个命题:①若,//,m a n a ⊥则m n ⊥；②若//,a m a β⊥，则m β⊥；③若//,//m a n a ，则//m n ；④若,m a a β⊥⊥，则//m β.其中真命题的序号为（ ）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④10. 有编号为1,2,3的三个盒子和编号分别为1,2,3的三个小球，每个盒子放入一个小球，则小球的编号与盒子编号全不相同的概率为（ ）A ．827B ．56C ．23D ．1311. 设函数(),x f x x e =⋅则 （ ）A ．()f x 有极大值1eB ．()f x 有极小值1e -C ．()f x 有极大值 eD ．()f x 有极小值e - 12. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个焦点分别为12,,F F 以12F F 为直径的圆交双曲线C 于,,,P Q M N 四点，且四边形PQMN 为正方形，则双曲线C 的离心率为（ ）A．2 BC．2+D第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 曲线y x lnx =⋅在点()1,0处的切线方程为_ ．14. 若变量,x y 满足约束条件220220,20x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩则32z x y =+的最大值是 ．15. 已知()222(0,0,)cos x sin x Asin ax b A w ϕ+=++>>则A = ，b = . (本题第一空3分，第二空2分)16. 秦九韶是我国古代的数学家，他的《数书九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就.秦九韶算法是一种将一元n 次多项式的求值问题转化为n 个一次式的算法，其大大简化了计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法，在西方被称作霍纳算法.()121210n n n n n n f x a x a x a x a x a ----=+++⋅⋅⋅++改写成以下形式:()121210n n n n n n f x a x a x a x a x a ----=+++⋅⋅⋅++()1231210n n n n n n a x a x a x a x a -----=+++⋅⋅⋅++()()2313210n n n n a x a x a x a x a x a ---=++⋅⋅⋅++++··· ()()()1210n n n a x a x a x a x a --=⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++若()32((21(11f x x x x =++-.则(2f = ． 三、.解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22.23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知22B m sin ⎛= ⎝u r ，cos 2B n cos B ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，，且m n ⊥u r r .()I 求角B 的大小；()II如果1,a b ==求ABC V 的面积.18. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱11D C 的中点，12,1AB BC BB ===.()I 求证:11B C DE ⊥；()II 求三棱锥11E DB C -的体积19. 某单位利用“学习强国”平台，开展网上学习，实行积分制.为了了解积分情况，随机调查了50名员工，得到这些员工学习得分频数分布表:()I 求这些员工学习得分的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；()II 用分层抽样的方法从得分在[)10,20和[)20,30的员工中选取5人，从选取的5人中，再任选取2人，求得分在[)10,20和[)20,30中各有1人的概率20. 已知函数() ()f x lnx ax a R =-∈.()I 讨论()f x 的单调性；()II 若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.21. 如图，已知抛物线2:8C y x =的焦点是,F 准线是l .()I 写出焦点F 的坐标和准线l 的方程；()II 已知点()8,8,P 若过点F 的直线交抛物线C 于不同的两点,A B (均与P 不重合)，直线,PA PB 分别交l 于点,M N .求证:MF NF ⊥.(二)选考题:共10分，考生从22.23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡.上将所选题目对应的题号涂黑.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程,2x y sin β⎧=⎪⎨=⎪⎩(β为参数).直线l 的参数方程3cos ,1sin x t A y t a =+⎧⎨=+⎩(t 为参数). ()I 求曲线C 在直角坐标系中的普通方程；()II 以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线C 截直线l 所得线段的中点极坐标为2,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭时，求直线l 的倾斜角. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()()()22f x x a x x x a =--+--.()I 当2a =时，求不等式()0f x <的解集；()II 若()0,2x ∈时，()0,f x ≥求a 的取值范围.咸阳市2020年高考模拟检测(一)数学(文科)试题参考答案及评分标准.一、选择题1-5:ABBCA 6-10:DCCAD 11、12：BD二、填空题13.1y x =- 14.10 15.1A b == 16.0三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22.23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17. 解:()I m n ⊥u r r Q2cos 022BBsin B ∴+=化简得:tanB =，又0,B π<<Q23B π∴=()II 由余弦定理2222b a c accosB =+-得，222112,2c c ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭解之得:1c =.11 112224ABC S acsinB ∴==⨯⨯⨯=V18. 解: ()I 证明:1111ABCD A B C D -Q 是长方体，.11B C ∴⊥平面11DCC D又DE ≠⊂Q 平面11DCC D ，11B C DE ∴⊥.()II 解:2,AB E =Q 是棱11D C 的中点，11,EC ∴=111111113E DB C B DEC DEC V V S B C --∴==⋅V11111132DD EC B C =⨯⋅⋅⋅ 111111326=⨯⨯⨯⨯= 19. ()I 记这50名员工学习得分的平均数为x 元， 则()15515102515351345726.4.50x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ()II 用分层抽样可知从[)10,20中选2人，记这2人分别为12,a a ；从[)20,30中选3人，记这3人分别为123,,b b b .从12123,,,,a a b b b 中再任取2人的情况有:12111213212223121323,,,,,,,,,,a a a b a b a b a b a b a b b b b b b b 共10种.其中得分在[)10,20和[)20,30中各有1人的情况有:11112312223,,,2,,a b a b a b a b a b a b 共6种.记事件A 为“得分在[)10,20和[)20,30中各有1人”则()63105P A == 20. ()I ()f x lnx ax =-的定义域为(0,),+∞()1'.f x a x=- ①当0a ≤时，由()'0,f x >知()f x 在(0,)+∞内单调递增.②当0a >时，由()'0,f x > 即10a x ->得10x a<<， 由()'0,f x <即10a x -<得1x a > ()f x ∴在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增； 在1(),a+∞内单调递减因此， ①当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞内单调递增.②当0a >时()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增； 在1(),a+∞内单调递减. ()II ()f x 有两个零点.即:方程0lnx ax -=有两个实根，即:方程ln x a x=有两个实根， 即:函数y a =和()ln x g x x=有两个公共点， ()21ln x g x x -'= 由()'0,g x >即:210,lnx x -> 0x e ∴<<.由()'0,g x <即210,lnx x -< x e ∴>()()1max g x g e e∴== 又,10e g e ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-<当1x >时，0lnx x>， 10a e∴<< ∴当10a e<<时，()f x lnx ax =-有两个零点. 21. ()I 抛物线的焦点为()2,0F ，准线l 的方程为:2x =-.()II 由()I 知:设直线AB 的方程为:()2,x my m R -=∈令()()1122,,,A x y B x y ，由282x my y x -=⎧⎨=⎩消去x 得:28160,y my --=由根与系数的关系得:1216y y =-.直线PB 方程为:228282y x y x --=-- ()2222288888888y y x y x y y -+=-+=+- 当2x =-时，228168y y y -=+ 228162,8y N y ⎛⎫-∴- ⎪+⎝⎭同理得:118162,8y M y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭ 228164,8y FN y ⎛⎫-∴=- ⎪+⎝⎭u u u r ，118164,8y FM y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭u u u u r 21218168161688y y FN FM y y --∴⋅=+⨯++u u u r u u u u r ()()()()()()212121168881681688y y y y y y +++--=++ ()()()1221801688y y y y +=++ ()()()2180161688y y -+=++ 0=,FN FM ∴⊥u u u r u u u u r.MF NF ∴⊥u u u r u u u r(二)选考题:共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第-题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑.22. ()I 由曲线C的参数方程,2x y sin β⎧=⎪⎨=⎪⎩(β为参数)得cos sin 2yββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴曲线C 的参数方程化为普通方程为:221124x y += ()II 解法一:中点极坐标2,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭化成直角坐标为). 设直线l 与曲线C 相交于()()1122,,,A x y B x y 两点，12121,22x x y y ++== 则2211222211241124x y x y +=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩①② -②①得:222221210,124x x y y --+= 化简得:()211221123y y x x x x y y -+=-==-+ 即:1.a k = 又0,(),a π∈Q直线l 的倾斜角为56π 解法二:中点极坐标2,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭化成直角坐标为). 将3cos ,1sin x t A y t a =+⎧⎨=+⎩分别代入221124x y +=得)()2211124tcosa tsina ++=()()2223660,cos a sin a t sina t ∴+++-=122260,3sina t t cos a sin a +∴+=-=+即60sinax --=.cos 3sina a ∴=-即3tana =-又0,(),a π∈Q∴直线l 的倾斜角为56π 23. ()I 当2a =时()()()2222,f x x x x x =--+-- 由()0f x <得()()22220x x x x --+--<. ①当2x ≥时，原不等式可化为:()2220x -<， 解之得:x ∈∅. ②当2x <时，原不等式可化为:()2220,x --< 解之得:x R ∈且2,x ≠ 2.x ∴<因此，()0f x <的解集为:{}2|x x <.()II 当()0,2x ∈时，()()()22f x x a x x x a =--+--， ()().|21x x a x a =---⎡⎤⎣⎦-由()0f x ≥得()()20x x a x a ----⎤⎣⎦≥⎡， ,x a x a -≤-∴0x a ∴-≥(),0,2a x x ∴≤∈，0,a ∴≤a∴的取值范围为(0]-∞.,。
2020年陕西省高考数学三模试卷(理科)(有答案解析)
2020年陕西省高考数学三模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z满足（1-i）z=1+i，则复数z=（）A. 1+iB. 1-iC. iD. -i2.设集合A={x|-1≤x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，则A∪B等于（）A. {-1，0，1，2，3}B. {0，1，2，3}C. {1，2，3}D. {2}3.若向量=（1，1），=（-1，3），=（2，x）满足（3+）•=10，则x=（）A. 1B. 2C. 3D. 44.已知tan（α+）=-2，则tan（）=（）A. B. C. -3 D. 35.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2n-1，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…则此数列的前15项和为（）A. 110B. 114C. 124D. 1256.若正数m，n满足2m+n=1，则+的最小值为（）A. 3+2B. 3+C. 2+2D. 37.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为ln5，则在判断框内应填（）A. i≤5？B. i≤4？C. i＜6？D. i＞5？8.已知在三棱锥P-ABC中，PA=PB=BC=1，AB=，AB⊥BC，平面PAB⊥平面ABC，若三棱锥的顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.9.一只蚂蚁从正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（）A. B. C. D.10.函数y=-2sin x的图象大致是（）A. B.C. D.11.已知双曲线与抛物线y2＝8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|＝5，则双曲线的离心率为（）A. 2B. 2C.D.12.已知函数f（x）=ln x-ax2，若f（x）恰有两个不同的零点，则a的取值范围为（）A. （，+∞）B. [．+∞）C. （0，）D. （0，]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设x，y满足约束条件，则z=x-2y的最小值是______．14.设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2-a5=0，则=______．15.（1+）（1-x）6展开式中x3的系数为______．16.曲线y=2ln x在点（e2，4）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为______.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且（a+b+c）（a+b-c）=3ab．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若c=2，且△ABC为锐角三角形，求a+b的取值范围．18.已知某种细菌的适宜生长温度为10℃-25℃，为了研究该种细菌的繁殖数量y（单位：个）随温度x（单位：℃）变化的规律，收集数据如下：温度x/℃12141618202224繁殖数量y/个2025332751112194对数据进行初步处理后，得到了一些统计量的值，如表所示：1866 3.8112 4.3142820.5其中k i=ln y i，=（Ⅰ）请绘出y关于x的散点图，并根据散点图判断y=bx+a与y=ce dx哪一个更适合作为该种细菌的繁殖数量y关于温度x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（Ⅱ）根据（1）的判断结果及表格数据，建立y关于x的回归方程（结果精确到0.1）；（Ⅲ）当温度为25℃时，该种细菌的繁殖数量的预报值为多少？参考公式：对于一组数据（u i，v i）（i=1，2，3，…，n），其回归宜线v=βu+a的斜率和截距的最小二成估计分别为β=，，参考数据：e5.5≈245．19.如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2，∠ABC=∠DBC=120°，E，F分别为AC，DC的中点（Ⅰ）求证：EF⊥BC；（Ⅱ）求二面角E-BF-C的余弦值20.已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F2（3，0），离心率为e．（Ⅰ）若，求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点．若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且，求k的取值范围．21.已知函数f（x）=e x-x2-1．（1）若函数g（x）=，x∈（0，+∞），求函数g（x）的极值；（2）若k∈Z，且f（x）+（3x2+x-3k）≥0对任意x∈R恒成立，求k的最大值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ-ρ=0．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C1与曲线C2交于A，B两点，且||=2||，求实数a的值．23.已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x2+2x．（Ⅰ）解关于x的不等式g（x）≥f（x）-|x-1|；（Ⅱ）如果对∀x∈R，不等式g（x）+c≤f（x）-|x-1|恒成立，求实数c的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：由题设（1-i）z=1+i得z==故选：C．由复数的除法进行变行即可求出复数的除法与乘法是复数的基本运算2.答案：B解析：解：∵A={0，1，2}，B={2，3}，∴A∪B={0，1，2，3}．故选：B．可以求出集合A，然后进行并集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及并集的运算．3.答案：A解析：解：向量=（1，1），=（-1，3），=（2，x）满足（3+）•=10，可得（2，6）•（2，x）=10，可得4+6x=10，解得x=1．故选：A．利用向量的坐标运算以及数量积的运算法则化简求解即可．本题考查向量的坐标运算，向量的数量积的应用，考查计算能力．4.答案：A解析：【分析】本题主要考查两角差的和的正切公式的应用，属于基础题．由题意利用两角差的和的正切公式，求得tan（）=tan[（α+）+]的值．【解答】解：∵tan（α+）=-2，∴tan（）=tan[（α+）+]===-，故选：A．5.答案：B解析：解：数列的前15项为2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，6，15，20，15，6，可得此数列的前15项和为2+3+3+4+6+4+5+10+10+5+6+15+20+15+6=4-2+8-2+16-2+32-2+64-2=（4+8+16+32+64）-10=114．故选：B．由题意写出数列的前15项计算可得所求和．本题考查数列在实际问题中的运用，考查数列的求和，以及运算能力，属于基础题．6.答案：A解析：解：∵2m+n=1，则+=（+）（2m+n）=3+，当且仅当时取等号，即最小值3+2，故选：A．由题意可得，+=（+）（2m+n），展开后利用基本不等式可求．本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是对应用条件的配凑．7.答案：B解析：解：∵ln（1+）=ln=ln（i+1）-ln i，∴i=1时，S=ln2-ln1=ln2，i=2时，S=ln2+ln3-ln2=ln3，i=3时，S=ln3+ln4-ln3=ln4，i=4，S=ln4+ln5-ln4=ln5，此时i=5不满足条件，输出S=ln5，即条件为i≤4？，故选：B．根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用条件进行模拟运算是解决本题的关键．8.答案：B解析：【分析】求出P到平面ABC的距离，AC为截面圆的直径，由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（-d）2，求出R，即可求出球的表面积．本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键．属于中档题．【解答】解：由题意，AC为截面圆的直径，AC==，设球心到平面ABC的距离为d，球的半径为R，∵PA=PB=1，AB=，∴PA⊥PB，∵平面PAB⊥平面ABC，∴P到平面ABC的距离为．由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（-d）2，∴d=0，R2=，∴球的表面积为4πR2=3π．故选：B．9.答案：D解析：解：①中线段为虚线，②正确，③中线段为实线，④正确，故选：D．根据空间几何体的三视图的画法结合正方体判断分析．本题考查了空间几何体的三视图的画法，属于中档题，空间想象能力．10.答案：C解析：解：当x=0时，y=0-2sin0=0故函数图象过原点，可排除A又∵y'=故函数的单调区间呈周期性变化分析四个答案，只有C满足要求故选：C．根据函数的解析式，我们根据定义在R上的奇函数图象必要原点可以排除A，再求出其导函数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析四个答案，即可找到满足条件的结论．本题考查的知识点是函数的图象，在分析非基本函数图象的形状时，特殊点、单调性、奇偶性是我们经常用的方法．11.答案：A解析：【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据抛物线的定义可以求出P的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b2=c2-a2，联立求得a和c的关系式，然后求得离心率e．本题主要考查了双曲线，抛物线的简单性质．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．解答关键是利用性质列出方程组．【解答】解：∵抛物线y2=8x的焦点坐标F（2，0），p=4，∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p=2c，c=2，∵设P（m，n），由抛物线定义知：|PF|=m+=m+2=5，∴m=3．∴P点的坐标为（3，），∴，解得：，c=2，则双曲线的离心率为2，故选：A．12.答案：C解析：解：f（x）=ln x-ax2，可得f′（x）=-2ax，①a≤0时，f′（x）＞0函数是增函数，不可能有两个零点，②0＜a时，令f′（x）=-2ax=0，解得x=，当0时，f′（x）＞0函数是增函数，当x＞时，f′（x）＜0函数是减函数，f（x）的最大值为：f（）=ln-a（）2=-，f（x）恰有两个不同的零点，当x→0+时，f（x）→-∞，当x→+∞时，f（x）→-∞，所以-＞0，解得a∈（0，）．故选：C．利用函数的导数，求解函数的最大值大于0，结合函数的单调性，判断零点的个数即可．本题考查函数的零点问题，渗透了转化思想，分类讨论思想的应用，是一道难题．13.答案：-2解析：解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x-2y为y=x-．联立，解得：C（0，1）．由图可知，当直线y=x-过C（0，1）时直线在y轴上的截距最大，z有最小值，等于0-2×1=-2．故答案为：-2．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14.答案：解析：解：∵8a2-a5=0，∴q3==8，∴q=2，则==，故答案为：．由已知结合等比数列的性质可求q3=，进而可求q，然后结合等比数列的求和公式，代入即可求解．本题主要考查了等比数列的性质及求和公式的简单应用，属于基础试题．15.答案：-26解析：解：由（1-x）6的展开式的通项得：T r+1=（-x）r，则（1+）（1-x）6展开式中x3的系数为（-1）3+（-1）5=-26，故答案为：-26．由二项式定理及二项式展开式的通项公式得：（1+）（1-x）6展开式中x3的系数为（-1）3+（-1）5=-26，得解．本题考查了二项式定理、二项式展开式的通项公式及分类讨论思想，属中档题．16.答案：e2解析：解：根据题意，曲线y=2ln x，其导数y′=，则x=e2处的切线的斜率k=y′=，则切线的方程为y-4=（x-e2），即y=x+2，x=0，y=2，切线与y轴的交点坐标为（0，2），y=0，x=-e2，切线与y轴的交点坐标为（-e2，0），则切线与坐标轴所围三角形的面积S=×2×|-e2|=e2；故答案为：e2根据题意，求出y=2ln x的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率k=y′=，进而可得切线的方程，求出切线与x轴、y轴交点的坐标，由三角形面积公式计算可得答案．本题考查利用导数计算曲线的切线方程，关键是掌握导数的几何意义．17.答案：解：（Ⅰ）△ABC中，（a+b+c）（a+b-c）=3ab，∴a2+b2-c2=ab，由余弦定理得，cos C==；又∵C∈（0，π），∴C=；（Ⅱ）由c=2，C=，根据正弦定理得，====，∴a+b=（sin A+sin B）=[sin A+sin（-A）]=2sin A+2cos A=4sin（A+）；又∵△ABC为锐角三角形，∴，解得＜A＜；∴＜A+＜，∴2＜4sin（A+）≤4，综上，a+b的取值范围是（2，4]．解析：（Ⅰ）化简（a+b+c）（a+b-c）=3ab，利用余弦定理求得C的值；（Ⅱ）由正弦定理求出a+b的解析式，利用三角恒等变换化简，根据题意求出A的取值范围，从而求出a+b的取值范围．本题考查了三角恒等变换与正弦、余弦定理的应用问题，是中档题．18.答案：解：（Ⅰ）绘出y关于x的散点图，如图所示；由散点图可知，y=ce dx更适合作为该种细菌的繁殖数量y关于x的回归方程类型；（Ⅱ）把y=ce dx两边取自然对数，得ln y=dx+ln c，即k=dx+ln c，由d==≈0.183≈0.2，ln c=3.8-0.183×18≈0.5．∴ln y=0.2x+0.5，则y关于x的回归方程为y=e0.5•e0.2x；（Ⅲ）当x=25时，计算可得y=e0.5•e5=e5.5≈245；即温度为25℃时，该种细菌的繁殖数量的预报值为245．解析：（Ⅰ）绘出y关于x的散点图，由散点图判断y=ce dx更适合作为回归方程类型；（Ⅱ）把y=ce dx两边取自然对数，得ln y=dx+ln c，求出回归系数，写出回归方程；（Ⅲ）利用回归方程计算x=25时y的值即可．本题考查了线性回归方程的应用问题，也考查了数学转化思想与计算能力，是中档题．19.答案：证明：（Ⅰ）证法一：过E作EO⊥BC，垂足为O，连OF．由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC．所以∠EOC=∠FOC=，即FO⊥BC．又EO⊥BC，∴BC⊥平面EFO，又EF⊂平面EFO，∴EF⊥BC．证法二：由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y 轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系．则B（0，0，0），A（0，-1，），D（，-1，0），C（0，2，0）．E（0，，），F（，，0），∴=（，0，-），=（0，2，0），∴•=0．∴EF⊥BC．（2）解：解法一：过O作OG⊥BF，垂足为G，连EG．由平面ABC⊥平面BDC，从而EO⊥平面BDC，又OG⊥BF，由三垂线定理知EG⊥BF．∴∠EGO为二面角E-BF-C的平面角．在△EOC中，EO=EC=BC•cos30°=，由△BGO∽△BFC知，OG=•FC=，∴tan∠EGO==2，∴cos∠EGO=，即二面角E-BF-C的余弦值为．解法二：在图中，平面BFC的一个法向量为=（0，0，1）．设平面BEF的法向量为=（x，y，z），又=（，，0），=（0，，）．，取x=1，得=（1，-，1）．设二面角E-BF-C的大小为θ，且由题意知θ为锐角，则cos θ=|cos＜＞=||==，故．二面角E-BF-C的余弦值为．解析：（Ⅰ）法一：过E作EO⊥BC，垂足为O，连OF．证出△EOC≌△FOC．从而FO⊥BC．又EO⊥BC，进而BC⊥平面EFO，由此能证明EF⊥BC．法二：以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能证明EF⊥BC．（2）法一：过O作OG⊥BF，垂足为G，连EG．由三垂线定理知EG⊥BF．∠EGO为二面角E-BF-C 的平面角．由此能求出二面角E-BF-C的余弦值．法二：求出平面BFC的一个法向量和平面BEF的法向量，利用向量法能求出二面角E-BF-C的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：（Ⅰ）由题意得，得．（2分）结合a2=b2+c2，解得a2=12，b2=3．（3分）所以，椭圆的方程为．（4分）（Ⅱ）由得（b2+a2k2）x2-a2b2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．所以，（6分）依题意，OM⊥ON，易知，四边形OMF2N为平行四边形，所以AF2⊥BF2，（7分）因为，，所以．（8分）即，（9分）将其整理为k2=-=-1-（10分）因为，所以，12≤a2＜18．（11分）所以，即．（13分）解析：（Ⅰ）由题意得，得，由此能求出椭圆的方程．（Ⅱ）由得（b2+a2k2）x2-a2b2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．所以，依题意OM⊥ON知，四边形OMF2N为矩形，所以AF2⊥BF2，因为，，所以．由此能求出k的取值范围．本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．21.答案：解：（1）函数f（x）=e x-x2-1，则f′（x）=e x-2x，又g（x）=，x∈（0，+∞），则g′（x）==；设y=e x-x-1，则y′=e x-1＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，即y=e x-x-1在x＞0时单调递增；所以y=e x-x-1＞0；令g′（x）＞0，可得x＞1，令g′（x）＜0，可得0＜x＜1；所以g（x）的单调增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）；所以函数g（x）的极小值为g（1）=e-2，无最大值；（2）不等式f（x）+（3x2+x-3k）≥0对任意x∈R恒成立，即为e x+x2+x--1≥0对任意x恒成立，即k≤e x+x2+x-对任意x∈R恒成立；设h（x）=e x+x2+x-，则h′（x）=e x+x+，易知h′（x）在R上单调递增，h′（-1）=-＜0，h′（0）=＞0，则存在唯一的x0∈（-1，0），使h′（x0）=0，即+x0+=0；当x＜x0时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞x0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，所以h（x）min=h（x0）=++x0-；又h′（x0）=0，则h（x0）=（--x0）++x0-=（-x0-3），又x0∈（-1，0），则h（x0）∈（-1，-），即k≤e x+x2+x-对任意x∈R恒成立，所以k≤h（x0），由k max=-1，得出k的最大值为-1．解析：（1）根据题意，对函数g（x）=求导数，利用导数判断g（x）的单调性，并求g（x）的极值；（2）根据题意化为k≤e x+x2+x-对任意x∈R恒成立，构造函数，利用导数求该函数的最小值即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了不等式恒成立问题，也考查了构造法与转化思想，是难题．22.答案：解：（I）∵曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R），∴曲线C1的普通方程为x-y-a+1=0，∵曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ-ρ=0．∴曲线C2的极坐标方程为ρ2cos2θ+4ρcosθ-ρ2=0，∴x2+4x-x2-y2=0，即曲线C2的直角坐标方程为y2=4x．（说明：化简不对，但准确写出互化公式得1分）（2）设A、B两点所对应参数分别为t1，t2，联解，得，要有两个不同的交点，则，即a＞0，由韦达定理有，∵||=2||，∴，或=-2，当时．根据直线参数方程的几何意义可知t1=2t2，，解得a=，a=，符合题意，∴实数a的值为．当时．根据直线参数方程的几何意义可知t1=-2t2，，解得a=，a=＞0，符合题意，∴实数a的值为．综上，a的值为或．解析：（I）由曲线C1参数方程能求出曲线C1的普通方程；曲线C2的极坐标方程化为ρ2cos2θ+4ρcosθ-ρ2=0，由此能求出曲线C2的直角坐标方程．（2）设A、B两点所对应参数分别为t1，t2，联解，得，由此能求出实数a的值．本题考查极坐标方程化普通方程，韦达定理，直线参数方程的几何意义，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23.答案：（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（Ⅰ）∵函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，∴g（x）=-f（-x）=-（x2-2x），∴g（x）=-x2+2x，x∈R．∴原不等式可化为2x2-|x-1|≤0．上面不等价于下列二个不等式组：…①，或…②，由①得，而②无解．∴原不等式的解集为．…（5分）（Ⅱ）不等式g（x）+c≤f（x）-|x-1|可化为：c≤2x2-|x-1|．作出函数F（x）=2x2-|x-1|的图象（这里略）．由此可得函数F（x）的最小值为，∴实数c的取值范围是．…（10分）解析：先将M，N化简，再计算交集或并集，得出正确选项本题考查二次函数图象与性质．。
_2020年咸阳市三模数学(理科)试题及其答案
咸阳市2020年高考模拟检测（三）数学（理科）试题注意事项：1. 试卷共4页，满分150分，时间120分钟；2.答题前，考生必须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号；3.第I 卷选择题必须使用2B 铅笔填涂，第Ⅱ卷非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰；4．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．若集合,集合，则图中阴影部分表示（ ）A. B. C.D. 2．已知等比数列的前项和为，，，则（ ）A.31B.15C.8D.73. 2020年春节突如其来的新型冠状病毒肺炎在湖北爆发，一方有难八方支援，全国各地的白衣天使走上战场的第一线，某医院抽调甲、乙、丙三名医生，抽调A 、B 、C 三名护士支援武汉第一医院与第二医院，参加武汉疫情狙击战.其中选一名护士与一名医生去第一医院，其它都在第二医院工作，则医生甲和护士A 被选为第一医院工作的概率为（ ）A.B.C.D.4．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）{}1,2,3,4,5A ={}|(4)0=-<B x x x {}1,2,3,4{}1,2,3{}4,5{}1,4{}n a n n S 342a a =11a =4S =112161519,a b |||= a b ()a b b -⊥ a bA.B.C.D.5．设复数z 满足，z 在复平面内对应的点为P(x ，y )，则点P 的轨迹方程为 （ ）A ．B ．C ．D ．6．“”是“方程表示双曲线”的（ ）条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要7．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造在一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞（方盖）。
陕西省咸阳市2020年高考数学模拟考试试题(一)理 北师大版
2020年咸阳市高考模拟考试试题（一）理 科 数 学考生须知：1、本试题卷分第Ⅰ卷(客观题)和第Ⅱ卷（主观题）两部分，试卷共4页21题；满分为150分；考试时间为120分钟。
2、第Ⅰ卷，第Ⅱ卷都做在答题卷上，做在试题卷上不得分。
参考公式：样本数据1x ，2x ，L ，n x 的标准差球的表面积公式24S R π=其中R 表示球的半径如果事件A 、B 互斥，那么 球的体积公式 ()()()P A B P A P B +=+ V= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 如果事件A 在一次实验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)k kn kn n p k C p p -=-（k=0，1，2，…，n ）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1．平面向量a 与b 的夹角为 ）A 2．抛物线24x y =的焦点坐标是（ ）A ．（2，0）B ．（0，2）C ．（l ，0）D ．（0，1）3．已知()()()()f x x a x b a b =-->的图像如图所示 ,则函数()xg x a b =+的图像是（ ）（第3题图）4.若n xx )2(3+展开式中存在常数项,则n 的值可以是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．125．某几何体的三视图如右图（其中侧视图中的圆弧是半圆）， 则该几何体的表面积为（ ）A ．9214+π B.8214+π C.9224+π D.8224+π 6．已知a 是函数12()2log x f x x =-的零点，若00x a <<，则0()f x 的值满足（ ）A ．0()0f x =B ．0()0f x >C ．0()0f x <D ．0()f x 的符号不确定 7. 已知A=｛x|2()lg(2)f x x x =--,x∈R｝，B=｛x||x-i|<10，i 为虚数单位，x>0｝,则A I B=（ ）A ．（0,1） B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)8执行如图所示的程序框图，输入的N ＝2020，则输出的S ＝（ ） A ．2020 B ．2020 C ．2020 D ．20209.)与每天的销售量y (个)统计如下表：x 16 17 18 19 y50344131据上表可得回归直线方程^y =b ∧x ＋a 中的b ＝－4，据此模型预计零售价定 为15元时，销售量为 ( )A ．48B ．49C ．50D ．51开始输入NS ＝1，i ＝1i ＜N输出S结束S=(i －1)S ＋(2i －1)ii ＝i ＋124左视图第5题图 6主视图俯视图4是否10.设)(x f 的定义域为D ，若)(x f 满足条件：存在D b a ⊆],[，使)(x f 在],[b a 上的值域是]2,2[ba ，则称)(x f 为“倍缩函数”.若函数)ln()(t e x f x+=为“倍缩函数”，则t 的范围是A . ),41(+∞ B. )1,0( C. ]21,0( D. )41,0(Ⅱ卷 非选择题 （共100分）二、填空题（本题共5个小题，每小题5分，共25分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置）11.⎰ex 11dx +=-⎰-dx x 2224 .12. 设命题p :实数x 满足03422<+-a ax x ,其中0<a ;命题q :实数x 满足2280,x x +->且p q 是的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是 .13．[]n 表示不超过n 的最大整数.123[1][2][3]3,[4][5][6][7][8]10,[9][10][11][12][13][14][15]21,,S S S =++==++++==++++++=L那么n S = .14．已知函数)(x f =x+sinx.项数为19的等差数列{}n a 满足⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππ，n a ，且公差0≠d .若0)()()()(191821=++⋯++a f a f a f a f ，则当k =__________时，0)(=k a f . 15．选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）（1）（选修4—4坐标系与参数方程）已知直线的极坐标方程为242sin()πρθ+=，则极点到该直线的距离是 .（2）（选修4—5 不等式选讲）已知c b a ,,都是正数，且12=++c b a ，则cb a 111++的最小值为 .（3）(选修4—1 几何证明选讲）如图，两个等圆⊙O 与⊙'O 外切，过O 作⊙'O 的两条切线,,OA OB ,A B 是切点，点C 在圆'O 上且不与点,A B 重合，则ACB ∠= .三、解答题（共6个题， 共75分）16．（本小题满分12分）已知函数2()23sin cos 12sin f x x x x =+-，x ∈R ．（I ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间;（II ）将函数()y f x =的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的12，把所得到的图象再向左平移6π单位，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =在区间]80[π，上的最小值.17. （本小题满分12分） 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 和1的等差中项，等差数列{}n b 满足11b a =，43b S =. （Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设11n n n c b b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：1132n T ≤<. 18．（本小题满分12分）如图，四边形PCBM 是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM 与直线PC 所成的角为60°． （Ⅰ）求证：PC⊥AC；（Ⅱ）求二面角M ﹣AC ﹣B 的余弦值； （Ⅲ）求点B 到平面MAC 的距离．19．（本小题满分12分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。
陕西省咸阳市2020年高考模拟检测理科数学试题(附参考答案)
咸阳市2020年高考模拟检测（三）数学（理科）试题一、选择题1．若集合{}1,2,3,4,5A =，集合{}04B x x =<<，则图中阴影部分表示（ ）A ．{}1,2,3,4B ．{}1,2,3C ．{}4,5D ．{}1,42．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，432a a =，11a =，则4S =（ ） A ．31B ．15C ．8D ．73．2020年春节突如其来的XGFY 在湖北爆发，一方有难八方支援，全国各地的白衣天使走上战场的第一线，某医院抽调甲、乙、丙三名医生，抽调A 、B 、C 三名护士支援武汉第一医院与第二医院，参加武汉疫情狙击战.其中选一名护士与一名医生去第一医院，其它都在第二医院工作，则医生甲和护士A 被选为第一医院工作的概率为（ ） A ．112B ．16C ．15D ．194．已知非零向量,a b 满足a =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为（ ）A ．6π B ．4πC ．3π D ．2π 5．设复数z 满足11z i -+=，z 在复平面内对应的点为(),P x y ，则点P 的轨迹方程为（ ） A ．()2211x y ++=B ．()2211x y -+=C ．()2211x y +-=D ．()()22111x y -++=6．“22ππα-<<”是“方程2212cos x y α-=表示双曲线”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造在一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.其直观图如图所示，图中四边形是体现其直观性所做的辅助线，当其正视图与侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别是（ ）A ．,a bB ．,a cC ．,a dD ．,b d8．若数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，且满足：1202027a a +=，120202b b ⋅=，函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且()x f x e =，[]0,2x ∈，则10101011101010111a a f b b ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭（ ）A ．eB ．2eC ．1e -D ．9e9．函数21sin 21x xy x -=⋅+的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．10．已知实数,x y 满足不等式组00y y x x y m ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩，且目标函数3z x y =-的最大值为180，则实数m的值为（ ） A ．60B ．70C ．80D ．9011．已知抛物线2:8C y x =，点,P Q 是抛物线上任意两点，M 是PQ 的中点，且10PQ =，则M 到y轴距离的最小值为（ ） A ．9B ．8C ．4D ．312．已知函数()xx f x e e ax -=-+（a 为常数）有两个不同极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．[)2,+∞C ．()2,+∞D ．()1,+∞二、填空题 13．若1tan 3α=，()1tan 2αβ+=，则tan β=______. 14．已知在三棱锥A BCD -中，,,AB AC AD 两两垂直，且1AB =，3AC =，22AD =，则三棱锥A BCD -外接球的表面积为______.15．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为24a .类比到空间，有两个村长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为______.16．给出以下四个命题：①数列{}n a 为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数； ②在面积为S 的ABC △的边AB 上任取一点P ，则PBC △的面积大于4S的概率为34.③将多项式56510...n a x a x a x a ++++分解因式得()()522x x -+，则58a =.④若()0b af x dx <⎰，那么由()y f x =，x a =，x b =以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下方.其中正确命题的序号为______.（把所有正确命题的序号都填上） 三、解答题17．设,,a b c 分别为锐角ABC △内角,,A B C ()cot cot 2sin A A B C +=，4b =. （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）求ABC △面积的最大值.18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，1F 、2F 分别是其左、右焦点，过1F 的直线l 与椭圆C 交于,A B两点，且椭圆C 的离心率为12，2AF B △的内切圆面积为π，24AF B S =△. （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）若247AB =时，求直线l 的方程. 19．2020年寒假，因为“新冠”疫情全体学生只能在家进行网上学习，为了研究学生网上学习的情况，某学校随机抽取120名学生对线上教学进行调查，其中男生与女生的人数之比为11:13，抽取的学生中男生有30人对线上教学满意，女生中有15名表示对线上教学不满意.（Ⅰ）完成22⨯列联表，并回答能否有99%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”；（Ⅱ）从被调查的对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在这8名学生中抽取3名学生，作线上学习的经验介绍，求其中抽取男生的人数为ξ，求出ξ的分布列及数学期望.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.20．如图，在三棱锥A BCD -中，ABC △是边长为2的正三角形，ADC △是等腰直角三角形，90ADC ∠=︒，AB BD =.（Ⅰ）证明：平面ADC ⊥平面ABC ；（Ⅱ）点E 在BD 上，若平面ACE 把三棱锥A BCD -分成体积相等的两部分，求二面角A CE D --的余弦值.21．已知函数()()21212ln 2f x ax a x x =-++. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）当0a =时，证明：()24xf x e x <--（其中e 为自然对数的底数）.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 过,A B 两点，且这两点的极坐标分别为()A，2B π⎛⎫⎪⎝⎭. （Ⅰ）求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；（Ⅱ）若M 为曲线C 上一动点，求点M 到直线l 的最小距离. 23．已知0a >，0b >，且2a b +=. （Ⅰ）若1421x a b+≥-恒成立，求x 的取值范围； （Ⅱ）证明：()22114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭.咸阳市2020年高考模拟检测（三）数学（理科）试题参考答案一、选择题1．C 2．B 3．D 4．B 5．D 6．A 7．A 8．A 9．D 10．A 11．D 12．C 二、填空题 13．1714．15．38a16．②③ 三、解答题17．解：()cot cot 2sin A A B C +cos cos 2sin sin sin A B A C A B ⎛⎫+=⎪⎝⎭，sin cos cos sin 2sin sin sin B A B A A C A B +⎛⎫=⎪⎝⎭()sin 2sin sin sin A B A C A B +⨯=，所以有sin 2B =，又因B 为锐角，则3B π=. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知3B π=，且有4b =，由余弦定理可得：222cos b c ac B +-，则22162a c ac ac ac ac =+-≥-=，11sin 16222ABC S ac B =≤⨯⨯=△18．解：（Ⅰ）由题可得，12c e a ==， 2AF B △的内切圆面积为π，24AF B S =△，易得2AF B △的周长为8，即48a =而222a b c =+，解得2a =，b =1c =，则椭圆C 的方程为：22143x y +=. （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，由（Ⅰ）可得()11,0F -， 当直线l 的斜率不存在时3AB =，不符合题意， 当直线l 的斜率存在时，可设():1l y k x =+，联立直线l 与椭圆C 可得：()22224384120k x k x k +++-=，2122843k x x k -+=+，212241243k x x k -=+，()2212124437k AB k +===+，解得1k =±， 所以直线l 的方程为10x y -+=或10x y ++=. 19．解：（Ⅰ）()2212030152550 6.713 6.63555658040K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯这说明有99%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”.（Ⅱ）依题意，从被调查中对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，其中男生3人，女生5人，抽取男生的人数ξ的取值为0,1,2,3.则()3305385028C C P C ξ===，()12353815128C C P C ξ===， ()21353815256C C P C ξ===，()3035381356C C P C ξ===. 则ξ的分布列为：所以()0123282856568E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=， 即ξ的期望值为98.20．解：（Ⅰ）取AC 的中点O ，连接,OD OB ，由题设可知，ACD △是等腰直角三角形，且90ADC ∠=︒，从而AD DC =. 所以OD AC ⊥，又由于ABC △是正三角形，故BO AC ⊥. 所以DOB ∠为二面角D AC B --的平面角. 在Rt AOB △中，222BO AO AB +=，又AB BD =，而OD AO =，所以222222BO DO BO AO AB BD +=+==， 故90DOB ∠=︒，所以平面ADC ⊥平面ABC . （Ⅱ）由题设及（Ⅰ）知，,,OA OB OD 两两垂直，以O 为坐标原点，OA u u u r的方向为x 轴正方向，OA 、OB 、OD 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.则()1,0,0A ，()B ，()1,0,0C -，()0,0,1D . 由题设知，三棱锥A BCE -的体积为三棱锥A BCD -的体积的12，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面AC 的距离的12，即E 为DB的中点，得10,22E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. 故()1,0,1CD =u u u r ，()2,0,0CA =u u u r，11,22CE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r .设(),,n x y z =是平面ACE 的法向量，则00n CA n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r即20,102x x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩可取(0,1,n =.设m 是平面DCE的法向量，同理可取1,1m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.则cos ,7m n n m n m ⋅==.所以二面角A CE D --.21．解：（Ⅰ）由题意，函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()()()()2212122210ax a x ax x f x ax a x x x x-++--'=-++==>， 当0a =时，()()20xf x x x-'=>，()020x f x '<<⇒>；()20x f x '>⇒<； 当0a <时，()()()120a x x a f x x x⎛⎫-- ⎪⎝⎭'=>，()020x f x '<<⇒>；()20x f x '>⇒<； 当102a <<时，()002f x x '>⇒<<或1x a >；()102f x x a'<⇒<<； 当12a =时，()()00f x f x ''≥⇒≥； 当12a >时，()100f x x a '>⇒><或2x >；()102f x x a'<⇒<<.综上讨论知：当0a ≤时，()f x 在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减；当102a <<时，()f x 在()0,2，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在12,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减； 当12a =时，()f x 在()0,+∞上单调递增； 当12a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,+∞上单调递增，在1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. （Ⅱ）当0a =时，由()24xf x e x <--，只需证明ln 2xe x >+.令()()ln 20xg x e x x =-->，()1xg x e x'=-，设()00g x '=，则()000101xe x x =<<.当()00,x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增， ∴当0x x =时，()g x 取得唯一的极小值，也是最小值，()g x 的最小值是()0000000111ln 2ln 220x x g x e x x x e x =--=--=+->成立.故()24x f x e x <--成立.22．解：（Ⅰ）直线l的直角坐标方程为0x y +-=.曲线C 的普通方程为22143x y +=.（Ⅱ）设点()2cos M θθ，则点M 到直线l 的距离为2d==≥=. 所以点M 到直线l . 23．解：（Ⅰ）由2a b +=，得()112a b +=.故()14114141914142222b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝. 所以9212x ≥-. 解得，71144x -≤≤.（Ⅱ）()3311a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 3322b a a b a b =+++ ()3322b a a b ab a b =+++-()()2224a b ab a b ≥++=+=.。
2020年陕西省咸阳市高考数学三模试卷1 (含答案解析)
2020年陕西省咸阳市高考数学三模试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x ∈N|x ≤1}，B ={x|−1⩽1−x ⩽2}，则A ∩B =( )A. {0,1}B. {−1,0，1}C. [−1,1]D. {1} 2. 已知复数z 满足z ⋅i =3−4i(i 为虚数单位)，则z =( )A. 3−4iB. 4+3iC. −3+4iD. −4−3i 3. 若向量m ⃗⃗⃗ =(0,−2)，n ⃗ =(√3,1)，则与2m⃗⃗⃗ +n ⃗ 共线的向量可以是( ) A. (√3,−1)B. (−1,√3)C. (−√3,−1)D. (−1,−√3)4. 已知某种商品的广告费支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据：x 2 4 5 6 8 y3 04050m60根据表中的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为y ̂=6.5x +17.5，则表中m 的值为( )A. 50B. 60C. 70D.805. 根据如图程序框图，当输入5时，输出的是( )A. 6B. 4.6C. 1.9D. −3.96. 已知x ，y 满足不等式组{x ≥1x +y ≤4x −y −2≤0，则目标函数z =2x +y 的最大值为( ) A. 5B. 6C. 7D. 87. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 为棱BB 1的中点，则异面直线A 1E 与AC 所成角的余弦值为( ) A. 15B. √105C. 2√55D. √10108.我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺(注：1丈等于10尺)()A. 29尺B. 24尺C. 26尺D. 30尺9.已知函数，若f(a)=0，则a=()A. 0B. eC. 1D. e e10.已知△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若cosC>b，则△ABC的形状是()aA. 锐角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 钝角三角形11.设e1,e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足P F1⃗⃗⃗ ·P F2⃗⃗⃗⃗ =0，则e12+e22的值为()(e1e2)2B. 1C. 2D. 不确定A. 12)x−x2，若f(x0)=m，x1∈(0,x0)，x2∈(x0,+∞)，则()12.已知函数f(x)=(13A. f(x1)<m，f(x2)<mB. f(x1)<m，f(x2)>mC. f(x1)>m，f(x2)<mD. f(x1)>m，f(x2)>m二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知sinα−3cosα=0，则sin2α=______．14.甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃.甲说：“是丙或丁打碎的.”乙说：“是丁打碎的.”丙说：“我没有打碎玻璃.”丁说：“不是我打碎的.”他们中只有一人说了谎，请问打碎玻璃的是___________．15.奇函数y=f(x)的图象关于直线x=3对称，若f(5)=2，则f(−1)等于______．16.已知抛物线y2=8x的焦点F，过F的直线与抛物线交于A，B两点，则|FA|+4|FB|的最小值是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知{a n}是公差为1的等差数列，a1，a5，a25成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=3a n+a n，求数列{b n}的前n项和T n．18.河北省高考改革后高中学生实施选课走班制，若某校学生选择物理学科的人数为800人，高二期中测试后，由学生的物理成绩，调研选课走班制学生的学习情况及效果，为此决定从这800人中抽取n人，其频率分布情况如下：分数频数频率[50,60)80.08[60,70)180.18[70,80)200.2[80,90)a0.24[90,100)15b[100,110)100.10[110,120)50.05合计n1(1)计算表格中n，a，b的值；(2)为了了解成绩在[70,80)，[100,110)分数段学生的情况，先决定利用分层抽样的方法从这两个分数段中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行面谈，求2人来自不同分数段的概率．19.如图，正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，FA⊥AC，EF//AC，AB=√2，EF=FA=1．(1)求证：CE//平面BDF；(2)求证：BE⊥平面DEF．20.已知点A(1,0)和动点B，以线段AB为直径的圆内切于圆O：x2+y2=4．(Ⅰ)求动点B的轨迹方程；(Ⅱ)已知点P(2,0)，Q(2,−1)，经过点Q的直线l与动点B的轨迹交于M，N两点，求证：直线PM与直线PN的斜率之和为定值．21.已知．(1)求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围．22.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合，若曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ+2sinθ，直线l的参数方程为{x=1−√2ty=2+√2t(t为参数)．(1)求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；(2)设点Q(1,2)，直线l与曲线C交于A，B两点，求|QA|⋅|QB|的值．23.设函数f(x)=|x+1|+3|x−a|．(1)当a=1时，解不等式f(x)⩽2x+3；(2)若关于x的不等式f(x)<4+2|x−a|有解，求实数的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】考查集合交集运算，根据条件直接计算即可，属于基础题．【解答】解：∵B={x|−1≤1−x≤2}，∴B={x|−1⩽x⩽2}，∵A={x∈N|x≤1}，∴A∩B={0,1}，故选A.2.答案：D解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案，是基础题．【解答】=−4−3i．解：由i⋅z=3−4i，得z=3−4ii故选D．3.答案：B解析：【分析】可求出2m⃗⃗⃗ +n⃗=−√3(−1,√3)，从而得出向量2m⃗⃗⃗ +n⃗与(−1,√3)共线．考查向量坐标的加法和数乘运算，共线向量基本定理．【解答】解：2m⃗⃗⃗ +n⃗=(√3,−3)=−√3(−1,√3)；∴2m⃗⃗⃗ +n⃗与(−1,√3)共线．故选：B．解析： 【分析】本题考查回归直线方程的应用，属于基础题．由表中数据计算x 、y ，根据回归直线方程过样本中心点，求出m 的值． 【解答】 解：由表可知 x =2+4+5+6+85=5，y =30+40+50+m+605=180+m 5，因为回归直线会经过平均数样本中心点， 代入180+m 5=6.5×5+17.5，解得m =70， 所以选C ．5.答案：A解析：解：模拟执行程序框图，可得程序的功能是计算y ={1.2x x ≤71.9x −4.9x >7的值．∵当输入5<7，满足条件x ≤7， ∴y =1.2×5=6． 故选：A ．当输入5<7，满足条件x ≤7，执行y =1.2x 运算，可得答案．本题考查条件结构的程序框图，根据条件要求计算可得答案，属于基础题．6.答案：C解析：解：作出约束条件{x ≥1x +y ≤4x −y −2≤0的可行域如图，目标函数z =2x +y 在{x +y =4x −y −2=0的交点M(3,1)处取最大值为z =2×3+1=7． 故选：C ．画出约束条件表示的可行域，判断目标函数z =2x +y 的位置，求出最大值．本题考查简单的线性规划的应用，正确画出可行域，判断目标函数经过的位置是解题的关键．解析： 【分析】本题考查用空间向量求异面直线所成角的余弦值，考查运算求解能力，是基础题．以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A 1E 与AC 所成角的余弦值． 【解答】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中棱长为2，则A 1(2,0，2)，E(2,2，1)，A(2,0，0)，C(0,2，0)， A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，0)， 设异面直线A 1E 与AC 所成角为θ， 则cosθ=|A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ ||A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5⋅√8=√105． ∴异面直线A 1E 与AC 所成角的余弦值为√105．故选：B ．8.答案：C解析：解：由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边(即木棍的高)长24尺，另一条直角边长5×2=10(尺)，因此葛藤长√242+102=26(尺)． 故选：C ．由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边(即木棍的高)长24尺，另一条直角边长5×2=10(尺)，利用勾股定理，可得结论．本题考查旋转体表面上的最短距离问题，考查学生的计算能力，正确运用圆柱的侧面展开图是关键．9.答案：B解析： 【分析】本题考查函数求值问题.令解出x 值，将x 值代入可得结果．【解答】 解：由题意，令，得x =1， 则，则a =e ．故选B ．10.答案：D解析： 【分析】本题考查三角形的形状的判断，考查正弦定理与两角和的正弦公式的应用，属于中档题．利用正弦定理可得sinAcosC >sinB ，再利用两角和的正弦公式计算可得cosA <0，从而可得答案． 【解答】解：△ABC 中，∵cosC >ba ，∴由正弦定理得：cosC >sinB sinA ，又sinA >0，∴sinAcosC >sinB =sin(A +C)=sinAcosC +cosAsinC ， ∴cosAsinC <0，又sinC >0， ∴cosA <0，A 为钝角， 故选：D ．11.答案：C解析： 【分析】本题考查考查椭圆与双曲线的简单几何性质及向量的数量积，设椭圆和双曲线的方程为：x 2m+y 2n=1(m >n >0)和x 2a −y 2b=1(a >0,b >0)，由题设条件可知|PF 1|+|PF 2|=2√m ，|PF 1|−|PF 2|=2√a ，结合PF 1→⋅PF 2→=0，由此可以求出e 12+e 22(e 1e 2)2的值．【解答】 解： 如图所示，设椭圆和双曲线的方程为：x 2m+y 2n=1(m >n >0)和x 2a−y 2b=1(a >0,b >0)，∵|PF 1|+|PF 2|=2√m ，|PF 1|−|PF 2|=2√a ， ∴|PF 1|=√m +√a ，|PF 2|=√m −√a ， ∵满足PF 1→⋅PF 2→=0， ∴△PF 1F 2是直角三角形， ∴|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2， 即m +a =2c 2 ， 则e 12+e 22(e 1e2)2=1e 12+1e 22=m c 2+a c 2=m+a c 2=2．故选C ．12.答案：C解析： 【分析】本题主要考查函数的单调性的应用，属于基础题．判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性，然后根据x 1<x 0<x 2即可得到函数值之间的关系． 【解答】解：∵函数f(x)=(13)x −x 2 ，y =(13)x是减函数，y =x 2在(0,+∞)上单调递增，∴函数f(x)=(13)x −x 2 在(0,+∞)上单调递减， 若f(x 0)=m ，x 1∈(0,x 0)，x 2∈(x 0,+∞)，∴x 1<x 0<x 2则f(x 1)>m ，f(x 2)<m ， 故选：C ．13.答案：35解析：解：由sinα−3cosα=0，得tanα=3，则sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanαtan2α+1=2×332+1=35．故答案为：35．由已知求得tanα，再由同角三角函数基本关系式求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．14.答案：丁解析：【分析】本题主要考查演绎推理，属于中档题．分别对甲乙丙丁四人作出假设，然后进行分析．【解答】解：若甲说谎，则甲或乙打碎，又只有一人说谎，与乙所说矛盾；若乙说谎，则甲或丙或乙打碎，根据甲所说是丙或丁打碎，而丙和丁均说自己没有打碎，则与甲没说谎矛盾；若丙说谎，则丙打碎，与乙所说矛盾；若丁说谎，则丁打碎，与甲乙丙所说均符合．故答案为丁．15.答案：−2解析：解：根据题意，y=f(x)的图象关于直线x=3对称，则f(1)=f(5)=2，又由函数f(x)为奇函数，则f(−1)=−f(1)=−f(5)=−2；故答案为：−2．根据题意，由函数的图象关于直线x=3对称，可得f(1)=f(5)，结合函数为奇函数可得f(−1)=−f(1)，综合即可得答案．本题考查函数奇偶性与对称性的应用，涉及函数的图象，属于基础题．16.答案：18解析：解：抛物线y2=8x的焦点F(2,0)，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则|FA|+4|FB|=x1+2+4(x2+2)=x1+4x2+10，当直线AB斜率不存在时，|FA|+4|FB|=2+4×2+10=20，当直AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=k(x−2)，代入y2=8x得k2x2−(4k2+8)x+4k2=0，∴x1x2=4，∴|FA|+4|FB|=4x1+4x2+10≥2√4x1×4x1+10=18，当且仅当x1=1时取等号．|FA|+4|FB|的最小值是18．故答案为：18．联立方程组消元，由根与系数的关系得出A，B横坐标互为倒数，利用抛物线的性质得出|FA|+4|FB|=4x1+4x1+10，根据基本不等式得出最值．本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．17.答案：解：(1)由a1，a5，a25成等比数列，可得a52=a1a25，则(a1+4d)2=a1(a1+24d)，由d=1，代入上式即为(a1+4)2=a1(a1+24)，解得a1=1，则a n=a1+(n−1)d=1+n−1=n；(2)b n=3 a n+a n=3n+n，前n项和T n=(3+32+⋯+3n)+(1+2+3+⋯+n)=3(1−3n)1−3+n(n+1)2=3n+1−32+n(n+1)2．解析：(1)运用等比数列的中项的性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项，可得数列{a n}的通项公式；(2)求得b n=3 a n+a n=3n+n，由数列的求和方法：分组求和，结合等差(比)数列的求和公式，计算即可得到所求和．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，等比数列的性质和求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：分组求和，考查运算能力，属于中档题．18.答案：解：(1)n=80.08=100,a=100×0.24=24,b=15100=0.15,(2)[70,80)，[100,110)分数段学生的分别为20人，10人，用分层抽样的方法抽取6人，则[70,80)分数段抽取学生为4人，记为A1，A2，A3，，A4；[100,110)分数段抽取学生为2人，记为B1，B2 ，从这6人中随机抽取2人，所有可能的结果共有15种，它们是{A1,A2}，{A1,A3}，{A1,A4}，{A1,B1}，{A1,B2}，{A2,A3}，{A2,A4}，{A2,B1}，{A2,B2}，{A3,A4}，{A3,B1}，{A3,B2}，{A4,B1}，{A4,B2}，{B1,B2}.又因为所抽取2人来自不同分数段的结果有8种，即{A1,B1}，{A1,B2}，{A2,B1}，{A2,B2}，{A3,B1}，{A3,B2}，{A4,B1}，{A4,B2}，故所求的概率为8．15解析：本题考查频率分布表的认识、分层抽样以及古典概型概率的求解．(1)根据频率分布表的特点求解即可；(2)根据[70,80)，[100,110)分数段学生的人数采用分层抽样得到各自的人数，采用列举法结合古典概型求解解．19.答案：证明：(1)设正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，连接FO．由题知EF=OC=1，因为EF//AC，所以四边形CEFO为平行四边形，所以CE//OF．又CE⊄平面BDF，OF⊂平面BDF，所以CE//平面BDF．(2)因为平面ABCD⊥平面ACEF，平面ABCD∩平面ACEF=AC，FA⊥AC，FA⊂平面ACEF，故FA⊥平面ABCD．连接EO，易知四边形AOEF为边长为1的正方形，所以EO⊥平面ABCD，则EO⊥BD．所以△BDE为等腰三角形，BD=2BO=2OC=2，BE=DE=√BO2+EO2=√2．因为BD2=BE2+DE2，所以BE⊥DE．同理在△BEF中，BE⊥EF，因为DE∩EF=E，所以BE⊥平面DEF．解析：本题考查了线面平行的判定，面面垂直的性质和线面垂直的判定．(1)证明CE//OF，即可证明CE//平面BDF；(2)证明BE垂直平面DEF内的两条相交直线：DE、EF，即可证明求BE⊥平面DEF．20.答案：(Ⅰ)解：如图，设以线段AB为直径的圆的圆心为C，取A′(−1,0)，依题意，圆C内切于圆O.设切点为D，则O，C，D三点共线．∵O为AA′的中点，C为AB中点，∴A′B=2OC，∴|BA′|+|BA|=2OC+2AC=2OC+2CD=2OD=4>|AA′|=2．依椭圆的定义可知，动点B的轨迹为椭圆，其中：|BA′|+|BA|=2a=4，|AA′|=2c=2，∴a=2，c=1，∴b2=a2−c2=3，∴动点B的轨迹方程为x24+y23=1；(Ⅱ)证明：当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为x=2，此时直线l与椭圆x24+y23=1相切，与题意不符，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y+1=k(x−2)，由{y+1=k(x−2)x24+y23=1得(4k2+3)x2−(16k2+8k)x+16k2+16k−8=0，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则{x1+x2=16k2+8k4k2+3 x1x2=16k2+16k−84k2+3Δ>0⇒k<12,∴k PM+k PN=y1x1−2+y2x2−2=k(x1−2)−1x1−2+k(x2−2)−1x1−2=2k−(1x1−2+1x2−2)，=2k−x1+x2−4(x1−2)(x2−2)=2k−x1+x2−4x1x2−2(x1+x2)+4，=2k−16k2+8k4k2+3−416k2+16k−84k2+3−2(16k2+8k4k2+3)+4=2k+3−2k=3．解析：本题考查动点轨迹方程的求法和直线与椭圆的位置关系，属难题．(Ⅰ)利用椭圆的定义求出动点B的轨迹方程；(Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求解．21.答案：解：(1)由，则f′(x)=e x+1x，f′(1)=e+1．f(1)=e，则切点为(1,e)，所求切线方程为y−e=(e+1)(x−1)，即(e+1)x−y−1=0．(2)原不等式等价于e x>m(x−1),(x>1),所以m<e xx−1,令g(x)=e xx−1,g′(x)=e x(x−2)(x−1)2,当g′(x)<0,解得1<x<2；当g′(x)>0,解得x>2，所以x=2时g(x)取极小值，也是最小值，即g(x)min=g(2)=e2.所以m<e2.故m<e2.解析：本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．(1)求出函数的导数，求出切线的斜率，切点坐标，然后求解其切线方程．(2)由f(x)=e x+lnx，原不等式即为e x>m(x−1),(x>1),分离参数，记g(x)=e xx−1,通过函数的导数判断函数的单调性，求解函数的最小值，转化求解m的范围即可．22.答案：解：(1)∵曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ+2sinθ，∴ρ2=6ρcosθ+2ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=6x+2y，即(x−3)2+(y−1)2=10．∵直线l的参数方程为{x=1−√2ty=2+√2t(t为参数)，∴x+y=3.即直线l的普通方程为x+y=3．(2)直线l 的标准参数方程为{x =1−√22ty =2+√22t，代入曲线C 的普通方程得t 2+3√2t −5=0．∴|QA|⋅|QB|=|t 1t 2|=5．解析：(1)对ρ=6cosθ+2sinθ两边同乘ρ，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出曲线C 的直角坐标方程，将直线的参数方程两式相加消元得出普通方程；(2)求出直线l 的标准参数方程，代入曲线的普通方程，利用参数的几何意义得出．本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，直线参数方程的几何意义，属于中档题．23.答案：解：(1)a =1，时，f(x)=|x +1|+3|x −1|，不等式f(x)≤|2x +3|可转化为{x ≥14x −2≤2x +3或{−1<x <1−2x +4≤2x +3或{x ≤−1−4x +2≤2x +3， 解得1≤x ≤52或14≤x <1或无解． ∴不等式的解集为[14,52]；(2)∵f(x)<4+2|x −a|，即|x +1|+3|x −a|<4+2|x −a|， 等价于|x +1|+|x −a|<4有解， 即(|x +1|+|x −a|)min <4，又|x +1|+|x −a|≥|x +1−x +a|=|a +1|， 当(x +1)(x −a)≤0时取等号． ∴|a +1|<4，解得−5<a <3， ∴实数a 的取值范围是(−5,3).解析：本题考查绝对值不等式的解法及绝对值的三角不等式． (1)利用零点分区间法去绝对值转化为不等式组求解；(2)将问题转化为(|x +1|+|x −a|)min <4，然后利用绝对值不等式的三角不等式求解即可．。