立体几何专题训练(理科)

立体几何理科练习题

1.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是棱长为2的正方形，侧面PAD为正三角形，且面PAD⊥面ABCD，E、F分别为棱AB、PC的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）

求三棱锥B-EFC的体积；（3）求二面角P-EC-D的正切值．

2.如图，三棱柱ABF-DCE中，∠ABC=120°，BC=2CD，AD=AF，AF⊥平面ABCD．

（Ⅰ）求证：BD⊥EC；

（Ⅱ）若AB=1，求四棱锥B-ADEF的体积．

3.正方体ABCD-A

1B

1

C

1

D

1

，AA

1

=2，E为棱CC

1

的中点．

（1）求证：B

1D

1

⊥AE；（2）求三

棱锥A-BDE的体积．

4.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD，且△PAD是边长为2的等边三角形，PC=，M在PC上，且PA∥面MBD．（1）求证：M是PC的中点；

（2）求多面体PABMD的体积．

5.已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，△PAB是等边三角形，AB=2，PC=，AB的中点为E

（1）证明：PE⊥平面ABCD；

（2）求三棱锥D-PBC的体积．

6.一块边长为10cm的正方形铁块按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器．

（1）试把容器的容积V表示为x的函数

（2）若x=6，求图2的主视图的面积

7.如图，矩形ABCD中，BC=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，BE∥PA，BE=PA，F为PA的中点．

（1）求证：PC∥平面BDF．

（2）记四棱锥C-PABE的体积为V

，三棱锥P-ACD的体

1

积为V 2，求的值．

8.如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1=AC=CB=2，AB=2

．

（Ⅰ）证明：BC

1∥平面A 1CD ； （Ⅱ）求锐二面角D-A 1C-E 的余弦值．

9. 如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠DAB=60°，PD ⊥平面ABCD ，PD=AD=1，点E 、F 分别为AB 和PC 的中点，连接EF 、BF ． （1）求证：直线EF ∥平面PAD ； （2）

求三棱锥F-PBE 的体积．

10.如图，梯形FDCG，DC∥FG，过点D，C作DA⊥FG，CB⊥FG，垂足分别为A，B，且DA=AB=2．现将△DAF沿DA，△CBG沿CB翻折，使得点F，G重合，记为E，且点B在面AEC的射影在线段EC上．

（Ⅰ）求证：AE⊥EB；

（Ⅱ）设=λ，是否存在λ，使二面角B-AC-E的余弦

值为？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．

11.在四边形ABCD中，对角线AC，BD垂直相交于点O，且OA=OB=OD=4，OC=3．

将△BCD沿BD折到△BED的位置，使得二面角E-BD-A的大小为90°（如图）．已知Q为EO的中点，点P在线段AB上，且．

（Ⅰ）证明：直线PQ∥平面ADE；

（Ⅱ）求直线BD与平面ADE所成角θ的正弦值．

12.如图，四棱锥P-ABCD是底面边长为1的正方形，PD⊥BC，PD=1，PC=．（Ⅰ）求证：PD⊥面ABCD；

（Ⅱ）求二面角A-PB-D的大小．

13.如图在三棱锥A-BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1，另一个侧面是正三角形

（1）求证：AD⊥BC；（2）求二面角B-AC-D的余弦

值；

（3）点E在直线AC上，当直线ED与平面BCD成30°

角若时，求点C到平面BDE的距离．

14.如图所示，在边长为的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M，N，K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积．

15.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BAD=90°，AD=AP=4，AB=BC=2，M为PC的中点，点N在线段AD上．

（I）点N为线段AD的中点时，求证：直线PA∥BMN；

（II）若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为0.8，求平

面PBC与平面BMN所成角θ的余弦值．

【答案】

1.（1）证明：取PD中点G，连结GF、AG，

∵GF为△PDC的中位线，∴GF∥CD且，

又AE∥CD且，∴GF∥AE且GF=AE，

∴EFGA是平行四边形，则EF∥AG，

又EF?面PAD，AG?面PAD，

∴EF∥面PAD；

（2）解：取AD中点O，连结PO，

∵面PAD⊥面ABCD，△PAD为正三角形，∴PO⊥面ABCD，且，

又PC为面ABCD斜线，F为PC中点，∴F到面ABCD距离，

故；

（3）解：连OB交CE于M，可得R t△EBC≌R t△OAB，

∴∠MEB=∠AOB，则∠MEB+∠MBE=90°，即OM⊥EC．

连PM，又由（2）知PO⊥EC，可得EC⊥平面POM，则PM⊥EC，

即∠PMO是二面角P-EC-D的平面角，

在R t△EBC中，，∴，

∴，即二面角P-EC-D的正切值为

． 2.（Ⅰ）证明：三棱柱ABF-DCE中，AF⊥平面

ABCD．∴DE∥AF，ED⊥平面ABCD，

∵BD?平面ABCD，∴ED⊥BD，

又ABCD是平行四边形，∠ABC=120°，故∠BCD=60°．

∵BC=2CD，故∠BDC=90°．故BD⊥CD．

∵ED∩CD=D，∴BD⊥平面ECD．

∵EC?平面ECD，

∴BD⊥EC；

（Ⅱ）解：由BC=2CD，可得AD=2AB，∵AB=1，∴AD=2，作BH⊥AD于H，

∵AF⊥平面ABCD，∴BH⊥平面ADEF，又∠ABC=120°，∴BH=，

∴．

3.

解：（1）证明：连接BD，则BD∥B

1D

1，

∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD．∵CE⊥面ABCD，

∴CE⊥BD．

又AC∩CE=C，

∴BD⊥面ACE．

∵AE?面ACE，

∴BD⊥AE，

∴B

1D

1

⊥AE．-----------（6分）

（2）S

△ABD

=2 ．-----------（12分）4.证明：（1）连AC交BD于E，连ME．

∵ABCD是矩形，∴E是AC中点．

又PA∥面MBD，且ME是面PAC与面MDB的

交线，

∴PA∥ME，

∴M是PC的中点．

解：（2）取AD中点O，连OC．则PO⊥AD，

由平面PAD ⊥底面ABCD ，得PO ⊥面ABCD ， ∴

，∴

，

∴，

∴．

5.证明：（1）由题可知PE ⊥AB ，CE ⊥AB ． ∵AB=2，∴PE=CE=．

又∵PC=

，∴PE 2+EC 2=PC 2，

∴∠PEC=90°，即PE ⊥CE ． 又∵AB ，CE ?平面ABCD ， ∴PE ⊥平面ABCD ；

解：（2）S △BCD =×22×sin 120°=，PE=．

由（1）知：PE ⊥平面ABCD ，

V P-BCD =?S △BCD ?PE=1． ∵V D-PBC =V P-BCD ，

∴三棱锥D-PBC 的体积为1．

6.解：（1）设所截等腰三角形的底边边长为x cm ．

在R t △EOF 中，EF=5cm ，OF=x cm ，所以

EO=．

于是V=x2（cm3）．

依题意函数的定义域为{x|0＜x＜10}．

（2）主视图为等腰三角形，腰长为斜高，底边长=AB=6，底边上的高为四棱锥的高=EO==4，

S==12（cm2）

7.（1）证明：连结BF，连接BD交AC与点O，连OF，依题得O为AC中点，又F为PA的中点，

所以OF为△PAC中位线，所以OF∥PC

因为OF?平面BDF，PC?平面BDF

所以PC∥平面BDF．

（2）解：设BE=a，则PA=2BE=2a，

∴V

1

==（a+2a）×1×2=a．

V

2

===．

∴．

8.解：（Ⅰ）连结AC

1，交A

1

C于点O，连结DO，则O为AC

1

的中点，因为

D为AB的中点，所以OD∥BC

1，又因为OD?平面A

1

CD，

BC

1

?平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD…（4分）（Ⅱ）由，可知AC⊥BC，以C为坐标原点，方向为x轴正方向，方向为y轴正方向，

方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系C xyz，

（2，0，2），，，则D（1，1，0），E（0，2，1），A

1

CD的法向量，则即

设是平面A

1

可取．…（6分）

同理，设是平面A

CE的法向量，则，

1

可取．…（8分）

从而…（10分）

所以锐二面角D-A

C-E的余弦值为…（12分）

1

9.（1）证明：如图，取PD中点G，连接FG，AG，

则FG∥DC，FG=，

∵底面ABCD为菱形，且E为AB中点，

∴GF=AE，GF∥AE，则四边形AEFG为平行四边形，

则EF∥AG，

∵EF?平面PAD，AG?平面PAD，则直线EF∥平面PAD；

（2）解：连接DE，∵AD=1，AE=，∠DAB=60°，

∴DE=，∴AE2+DE2=AD2，即DE⊥AB，

又PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AB，则AB⊥平面PDE，有平面PDE⊥平面PAB，过D作DH⊥PE于H，∴DH⊥平面PAB，

在R t△PDE中，PD=1，DE=，则PE=．

∴DH=．

∴C到平面PAB的距离为，则F到平面PAB的距离为．

∴=．

10.（Ⅰ）证明：由已知，四边形ABCD是边长

为2的正方形，

∵DA⊥AF，DA⊥AE，AE∩AF=A，

∴DA⊥面ABE，则平面ABCD⊥平面ABE，

又CB⊥AB，∴CB⊥AE．

又点B在面AEC的射影在线段EC上，设为H，则AE⊥BH，

∴AE⊥面BCE，又BE?面BCE，

∴AE⊥EB；

（Ⅱ）解：以A为原点，垂直于平面ABCD的直线为x轴，AB所在直线为y 轴，AD为z轴，

如图所示建立空间直角坐标系A-xyz，

由已知=λ=，假设存在λ，使二面角B-AC-E的余弦值为．

设E（a，b，0），则，．

设平面AEC的一个法向量，

则，解得，

令y=a，得是平面EAC的一个法向量．

又平面BAC的一个法向量为，

由|cos＜＞|=||==，化简得a2=b2①，

又∵AE⊥平面BCE，∴AE⊥BE，

∴，即a2+b（b-2）=0 ②，

联立①②，解得b=0（舍），b=1．

由，BE=，∴AE=BE．

∴当λ=1时，二面角B-AC-E的余弦值为．

11.（Ⅰ）证明：如图，取OD的中点R，连接PR，QR，

则DE∥RQ，

由题知，又，故AB：AP=4：1=DB：DR，

因此AD∥PR，

因为PR，RQ?平面ADE，

且AD，DE?平面ADE，故PR∥平面ADE，RQ∥平面ADE，

又PR∩RQ=R，

故平面PQR∥平面ADE，从而PQ∥平面ADE．…6分

（Ⅱ）解：由题EA=ED=5，，设点O到平面ADE的距离为d，则由等体积法可得，

故，因此．…12分．

12.解；（Ⅰ）证明：∵PD=DC=1，PC=，

∴△PDC是直角三角形，即PD⊥CD，…（2分）

又∵PD⊥BC，BC∩CD=C，

∴PD⊥面ABCD…（7分）

（Ⅱ）解：连接BD，设BD交AC于点O，

过O作OE⊥PB于点E，连接AE，

∵PD⊥面ABCD，∴AO⊥PD，

又∵AO⊥BD，∴AO⊥面PDB．

∴AO⊥PB，

又∵OE⊥PB，OE∩AO=O，

∴PB⊥平面AEO，从而PB⊥EO，

故∠AEO就是二面角A-PB-D的平面角．…（10分）∵PD⊥面ABCD，∴PD⊥BD，

∴在R t△PDB中，，

又∵，∴，…（12分）

tan∠AEO===，∴∠AEO=60°．

故二面角A-PB-D的大小为60°．…（15分）

13.证明：（1）取BC中点O，连结AO、

DO，

∵在三棱锥A-BCD中，侧面ABD、ACD

是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，

且AD=，BD=CD=1，另一个侧面是正三角形，

∴AO ⊥BC ，DO ⊥BC ，∴BC ⊥面AOD ， ∴BC ⊥AD ．

解：（2）作BM ⊥AC 于M ，作MN ⊥AC ，交AD 于N ， 则∠BMN 就是二面角B-AC-D 的平面角， ∵AB=AC=BC=

，M 是AC 中点，

∴BM=，MN=，BN=，

由余弦定理得cos ∠BMN==，

∴二面角B-AC-D 的余弦值为．

（3）过A 作AH ⊥平面BCD ，交DO 延长线于H ，连结CH ， 设E 是所求的点，过E 作EF ⊥CH 于F ，连结FD ， 则EF ∥AH ，

∴EF ⊥面BCD ，∠EDF 就是直线ED 与平面BCD 所成角，∴∠EDF=30°， 设EF=x ，由题意AH=CH=1，CF=x ，FD=

，

∴tan ∠EDF==，解得x =，

则CE=1，设点C 到平面BDE 的距离为d ， ∵V E-BCD =V C-BED ，

∴=，

解得d =，∴点C 到平面BDE 的距离为． 14.解：设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，高为h ，

由已知条件，

解得，，，

∴S=πrl+πr2=10π，

∴

15.证明：（Ⅰ）连结点AC，BN，

交于点E，连结ME，

∵点N为线段AD的中点，AD=4，

∴AN=2，∵∠ABC=∠

BAD=90°，AB=BC=2，

∴四边形ABCN为正方形，∴E

为AC的中点，

∴ME∥PA，

∵PA?平面BMN，∴直线PA∥平面BMN．

解：（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，且AB，AD?平面ABCD，

∴PA⊥AB，PA⊥AD，

∵∠BAD=90°，∴PA，AB，AD两两互相垂直，

分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则由AD=AP=4，AB=BC=2，得：

B（2，0，0），C（2，2，0），P（0，0，4），

∵M为PC的中点，∴M（1，1，2），

设AN=λ，则N（0，λ，0），（0≤λ≤4），则=（-1，λ-1，-2），=

（0，2，0），=（2，0，-4），

设平面PBC的法向量为=（x，y，z），

则，令x=2，得=（2，0，1），

∵直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，

∴|cos＜＞|===，

解得λ=1，则N（0，1，0），=（-2，1，0），=（-1，1，2），设平面BMN的法向量=（x，y，z），

则，

令x=2，得=（2，-4，3），

cosθ===．

∴平面PBC与平面BMN所成角θ的余弦值为．