广东省深圳市高级中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(文)试题(含参考答案)
∴化简得：a12+3a22＝4c2，该式可变成：
，
∴
≥2
∴
，
故选：D．
【点睛】本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长，考查利用基 本不等式求最值问题，属于中档题．
二、填空题：本大共 4 小题．每小题 5 分，满分 20 分．
13.已知双曲线
的焦距为 ，点 在双曲线 的渐近线上，则双曲线 的方程为__________ .
试题解析：（1）∵
，且
，∴
．又∵
在双曲线 的渐近线上，
得到双曲线方程为
．
故答案为：
．
【点睛】本题考查双曲线方程的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和基本量的关系，考查运算能力，属
于基础题．
14.已知复数 满足
，则 ________.
【答案】
【解析】 【分析】 直接利用复数的商的运算计算得到复数的共轭复数，从而得到复数 z.
【详解】
,
解得 a＝﹣2，
故答案为：-2
【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，利用曲线在某点处的切线的斜率等于函数在这点处的导数解决
问题.
16.已知数列 的前 项和为 ， _____________.
【答案】 【解析】 【分析】
，且
，则数列 的通项公式为
根据题意 出数列的通项.
，写出
，利用两式作差得到
，然后利用累乘法可求
.
(2)利用(1)中所求的线性回归方程估算 2019 年房贷发放数额.
参考公式：
,
【答案】（1）
；（2）108 亿元.
【解析】
【分析】
（1）利用题目中数据求出 a 和 b,即可得 z=bt+a,将 t＝x﹣2013，z＝（y﹣50）÷10，代入上式整理可得结
果．（2）把 x＝2019 代入回归直线方程即可得到答案.
【答案】 【解析】 【分析】 由题意可得 c，即有 a2+b2，由点 P 在渐近线上，可得 a＝2b，解方程可得 a，b，进而得到所求双曲线方 程．
【详解】双曲线
的焦距为 ，
可得 2c＝ ，即 c＝ ，即有 a2+b2＝125，
双曲线的渐近线方程为 y＝± x，点 可得 a＝2b，解得 a＝10，b＝5，
①
是整数
；②对所有的 ， ；③对任意一个 ，
为奇数．
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】C
【解析】
试题分析：当 x= 时①错；当 x=0 时②错；所以①②是假命题。 对任意一个 x∈Z，∵2x2 是偶数，∴③是真命题．即假命题有 2 个，选 C．
考点：本题主要考查全称命题真假判断。 点评：要判断一个全称命题是真命题，我们要有一个严格的论证过程，但要说明一个全称命题是一个假命 题，只需要举出一个反例即可。此类题综合性较强，主要涉及知识面广。
k＝2，S＝
；
k＝3，S＝ ＝-1… 变量 S 的值以 3 为周期循环变化，当 k=2018 时，s=2， K=2019 时，结束循环，输出 s 的值为 2． 故选：A． 【点睛】本题考查程序框图，是当型结构，即先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件，跳出循环， 算法结束，解答的关键是算准周期，是基础题．
6.过点
引圆
的切线，则切线长是 ( )
A. 3
B.
【答案】B
C. 4
D. 5
【解析】
【分析】
把圆的一般方程化为标准方程，求出圆心到点 P 的距离 d，根据圆的半径 r，即可求出切线长． 【详解】∵圆 x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0 的标准方程是（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，
圆心（1，2）到点
的距离 d＝
9.点
是函数
的距离的最小值为 . ① 的最小正周期是 ； ② 的值域为 ；
的图象的一个对称中心，且点 到该图象的对称轴
③ 的初相 为 ；
④在
上单调递增.
以上说法正确的个数是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由条件利用正弦函数的周期性、单调性、最值，以及图象的对称性，即可得出结论．
【详解】∵点 P（﹣ ，1）是函数 f（x）＝sin（ωx+φ）+m（ω＞0，|φ|＜ ）的图象的一个对称中心，
∴m＝1，ω•（﹣ ）+φ＝kπ，k∈Z．
∵点 P 到该图象的对称轴的距离的最小值为
，∴ω＝2，
∴φ＝kπ+ , k∈Z，又|φ|＜ ∴φ＝ ，f（x）＝sin（2x+ ）+1． 故①f（x）的最小正周期是 π，正确；②f（x）的值域为[0，2]，正确；
③f（x）的初相 φ 为 ，正确；
④在[ ，2π]上，2x+ ∈[ ， ]，根据函数的周期性，函数单调性与 [﹣ ， ]时的单调性相同，故函 数 f（x）单调递增，故④正确， 故选：D． 【点睛】本题考查正弦函数的周期性、单调性、最值，以及它的图象的对称性，属于基础题． 10.分别在区间 和 内任取一个实数，依次记为 和 ，则 的概率为 ( )
【详解】数列 的前 项和为 ，且当 n≥2 时，
则有
，②
，①
②-①得：
，整理得
（n≥2），
则当 n≥3 时有
，
解得
（n≥3）,
检验：当 n=2 时， 满足上式，
当 n=1 时， 不满足上式，
则
，
故答案为： 【点睛】本题考查由数列的递推关系式求数列的通项，考查累乘法求通项，考查计算能力.
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．
；圆的半径 r＝2，
∴切线长为 l＝
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查圆的方程与性质，以及切线长公式的应用，过点 向圆作切线 PM（M 为切点），则切
线长
.
7.已知非零向量
，若
，则
与 的夹角（ ）
A.
B.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据条件容易求出 Байду номын сангаас=4，从而得出
C. ，从而得出
D.
可设
与 的夹角为 θ，这样根据
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
试题分析： 的概率为 考点：几何概型.
,故选 A.
11.若两个正实数 满足 （） A. C. 【答案】C 【解析】 【分析】
，且存在这样的 使不等式
B. D.
有解，则实数 的取值范围是
此题转化为（x+ ）min＜m2+3m，利用“1”的代换的思想进行构造，运用基本不等式求解最值，最后解关 于 m 的一元二次不等式的解集即可得到答案．
;(4)求向量
的模（平方后需求 ）.
8.执行如下图的程序框图，那么输出 的值是( )
；（3） 向量垂直则
A. 2
B. 1
C.
【答案】A
D. -1
【解析】
【分析】
模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 k 和 S 值，根据题意即可得到结果.
【详解】程序运行如下，k=0, S＝ ＝﹣1，
k＝1，S＝
＝；
【点睛】本题考查回归直线方程的求解及其应用，其中认真审题，利用表中数据和公式，准确合理的运算
是解决此类问题的关键，考查运算能力，属于基础题.
18.如图，在 中，点 在 边上，
，
，
，
．
（1）求 的面积； （2）求线段 的长． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】
试题分析：（1）求得 的值后再利用三角形的面积计算公式即可求解；（2）利用余弦定理求得 的值后即可求解．
【详解】（1）计算得 ＝3， ＝2.2，
，
,
所以 所以 z＝1.2t﹣1.4．
， a＝2.2﹣1.2×3＝﹣1.4，
注意到 t＝x﹣2013，z＝（y﹣50）÷10，代入 z＝1.2t﹣1.4，即（y﹣50）÷10=1.2(x-2013)-1.4,
整理可得 y＝12x﹣24120．
（2）当 x＝2019 时，y＝12×2019﹣24120＝108，即 2019 年房贷发放数额为 108 亿元．
4.已知
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由指数函数和对数函数图像的性质即可判断出 a，b，c 的大小关系．
【详解】指数函数 y= 在 R 上单调递增，故 a=20.6＞20＝1，
对数函数 y= 在
上单调递增，则 0＜b=logπ3＜1，
对数函数 y= 在
上单调递增，则
；
∴c＜b＜a．
14.6
16
18
20.4
22.3
支出
0.62
0.74
0.81
0.89
1.00
1.11
根据统计资料，则 ( ) A. 利润中位数是 16， 与 有正相关关系 B. 利润中位数是 17， 与 有正相关关系 C. 利润中位数是 17， 与 有负相关关系 D. 利润中位数是 18， 与 有负相关关系 【答案】B
12.已知椭圆和双曲线有共同焦点 ， 是它们的一个交点，且
，记椭圆和双曲线的离心率分
别为 ，则 的最大值为（ ）
A. 3
B. 2
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设椭圆长半轴长为 a1，双曲线的半实轴长 a2，焦距 2c．根据椭圆及双曲线的定义可以用 a1，a2 表示出
|PF1|，|PF2|，在△F1PF2 中根据余弦定理可得到
2018-2019学年广东省深圳市高二(上)期末数学试卷(文科)
2018-2019学年广东省深圳市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）为了测算如图阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是( )A ．12B ．9C ．8D ．62．（5分）设命题p ：函数1y x=在定义域上为减函数；命题:q a ∃，(0,)b ∈+∞，当1a b +=时，113a b+=，以下说法正确的是( ) A ．p q ∨为真 B ．p q ∧为真 C ．p 真q 假 D ．p ，q 均假3．（5分）给出下列三个命题①若“p 或q ”为假命题，则p ⌝，q ⌝均为真命题；②命题“若2x …且3y …，则5x y +…”的逆否命题为假命题；③在ABC ∆中，“45A >︒”是“sin 2A >”的充要条件， 其中正确的命题个数是( ) A ．3B ．2C ．1D ．04．（5分）设集合{1A =，2}，{1B =，2，3}，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点(,)P a b ，记“点(,)P a b 落在直线x y n +=上”为事件(25,)n n n N ∈ð剟，若事件n ð的概率最大，则n 的所有可能值为( ) A ．3B ．4C ．2和5D ．3和45．（5分）在一次歌咏比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下： 90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( ) A ．92，2.8B ．92，2C ．93，2D ．93，2.86．（5分）如图，已知直线:(1)(0)l y k x k =+>与抛物线2:4C y x =相交于A 、B 两点，且A 、B 两点在抛物线C 准线上的射影分别是M 、N ，若||2||AM BN =，则k 的值是( )A ．13B C D ．7．（5分）下列说法正确的是( ) A ．a R ∈，“11a<”是“1a >”的必要不充分条件 B ．“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的必要不充分条件C ．命题“x R ∃∈使得2230x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，2230x x ++>”D ．命题p ：“x R ∀∈，sin cos x x +…，则p ⌝是真命题8．（5分）为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：C)︒制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论： ①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差． ④甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差； 其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④9．（5分）某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为( )A ．8万元B ．10万元C ．12万元D ．15万10．（5分）设P 为椭圆22194x y +=上的一点，1F 、2F 是该椭圆的两个焦点，若12||:||2:1PF PF =则△12PF F 的面积为( ) A ．2B ．3C ．4D ．511．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为(,0)F c ，直线x a =与双曲线C的渐近线在第一象限的交点为A ，O 为坐标原．若OAF ∆的面积为213a ，则双曲线C 的离心率为( ) AB．2CD12．（5分）已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且1223F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ．则221231(e e += ) A ．4B．C ．2 D ．3二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则log a b 为整数的概率是 ．14．（5分）已知函数()4f x x lnx =-，则曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为 ．15．（5分）设椭圆2221(05)25x y b b+=<<的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则b 值为 ．16．（5分）函数2()2f x x lnx =-的单调减区间是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）若抛物线的焦点是椭圆2216416x y +=左顶点，求此抛物线的标准方程；（2）某双曲线与椭圆2216416x y +=共焦点，且以y =为渐近线，求此双曲线的标准方程．18．（12分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛． （Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；（Ⅱ）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，6A ，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛． ()i 用所给编号列出所有可能的结果；()ii 设A 为事件“编号为5A 和6A 的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A 发生的概率． 19．（12分）已知关于x 的一次函数y mx n =+．（1）设集合{2P =-，1-，1，2，3}和{2Q =-，3}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为m 和n ，求函数y mx n =+是增函数的概率；（2）实数m ，n 满足条件101111m n m n +-⎧⎪-⎨⎪-⎩…剟剟求函数y mx n =+的图象经过一、二、三象限的概率． 20．（12分）在直角坐标系xOy 中，曲线2:4x C y =与直线:(0)l y kx a a =+>交于M ，N 两点．（Ⅰ）当0k =时，分別求C 在点M 和N 处的切线方程．（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？（说明理由） 21．（12分）已知函数321()(0)2f x ax x a =->，[0x ∈，)+∞．（1）若1a =，求函数()f x 在[0，1]上的最值；（2）若函数()y f x '=的递减区间为A ，试探究函数()y f x =在区间A 上的单调性． 22．（12分）已知函数2()(,)f x ax bx lnx a b R =+-∈．（1）当1a =-，3b =时，求函数()f x 在1[2，2]上的最大值和最小值；（2）当0a =时，是否存在正实数b ，当(0x ∈，](e e 是自然对数底数）时，函数()f x 的最小值是3，若存在，求出b 的值；若不存在，说明理由．2018-2019学年广东省深圳市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）为了测算如图阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是( )A ．12B ．9C ．8D ．6【解答】解：根据题意，设阴影部分的面积为S ，则正方形的面积为36， 向正方形内随机投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内， 则向正方形内随机投掷一点，其落到阴影部分的概率20018004P ==； 而36s P =，则1364s =， 解可得，9S =； 故选：B ．2．（5分）设命题p ：函数1y x=在定义域上为减函数；命题:q a ∃，(0,)b ∈+∞，当1a b +=时，113a b+=，以下说法正确的是( ) A ．p q ∨为真 B ．p q ∧为真 C ．p 真q 假 D ．p ，q 均假【解答】解：函数1y x=在(,0)-∞，(0,)+∞上是减函数，在定义域{|0}x x ≠上不具有单调性，∴命题p 是假命题； 由1a b +=得1b a =-，带入113a b+=并整理得：23310a a -+=，∴△9120=-<，∴该方程无解，即不存在a ，(0,)b ∈+∞，当1a b +=时，113a b+=，∴命题q 是假命题； p ∴，q 均价，p q ∴∨为假，p q ∧为假；故选：D ．3．（5分）给出下列三个命题①若“p 或q ”为假命题，则p ⌝，q ⌝均为真命题； ②命题“若2x …且3y …，则5x y +…”的逆否命题为假命题；③在ABC ∆中，“45A >︒”是“sin 2A >”的充要条件， 其中正确的命题个数是( ) A ．3B ．2C ．1D ．0【解答】解：①若“p 或q ”为假命题，则p ，q 都是假命题，则p ⌝，q ⌝均为真命题；故①正确，②命题“若2x …且3y …，则5x y +…”为真命题，根据逆否命题的真假性相同得命题的逆否命题为真命题，故②错误；③在ABC ∆中，若150A =︒满足45A >︒，但1sin 2A =，则sin A >不成立，即充分性不成立，故③错误， 故选：C ．4．（5分）设集合{1A =，2}，{1B =，2，3}，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点(,)P a b ，记“点(,)P a b 落在直线x y n +=上”为事件(25,)n n n N ∈ð剟，若事件n ð的概率最大，则n 的所有可能值为( ) A ．3B ．4C ．2和5D ．3和4【解答】解：事件n ð的总事件数为6．只要求出当2n =，3，4，5时的基本事件个数即可． 当2n =时，落在直线2x y +=上的点为(1,1)； 当3n =时，落在直线3x y +=上的点为(1,2)、(2,1)； 当4n =时，落在直线4x y +=上的点为(1,3)、(2,2)； 当5n =时，落在直线5x y +=上的点为(2,3)； 显然当3n =，4时，事件n ð的概率最大为13，故选：D ．5．（5分）在一次歌咏比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下： 90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( ) A ．92，2.8B ．92，2C ．93，2D ．93，2.8【解答】解：由题意所剩数据：90 90 93 94 93， 所以平均数9090939493925x ++++==，方差222221[(9092)(9092)(9392)(9492)(9392)] 2.85S =-+-+-+-+-=，故选：A ．6．（5分）如图，已知直线:(1)(0)l y k x k =+>与抛物线2:4C y x =相交于A 、B 两点，且A 、B 两点在抛物线C 准线上的射影分别是M 、N ，若||2||AM BN =，则k 的值是( )A ．13B C D ．【解答】解：设抛物线2:4C y x =的准线为:1l x =- 直线(1)(0)y k x k =+>恒过定点(1,0)P -如图过A 、B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ， 由||2||AM BN =，则||2||FA FB =， 点B 为AP 的中点、连接OB ， 则1||||2OB AF =， ||||OB BF ∴=，点B 的横坐标为12，∴点B 的坐标为1(2B ，把1(2B 代入直线:(1)(0)l y k x k =+>，解得k 故选：C ．7．（5分）下列说法正确的是( ) A ．a R ∈，“11a<”是“1a >”的必要不充分条件 B ．“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的必要不充分条件C ．命题“x R ∃∈使得2230x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，2230x x ++>”D ．命题p ：“x R ∀∈，sin cos x x +…，则p ⌝是真命题 【解答】解：A ．由11a <得1a >或0a <，则“11a<”是“1a >”的必要不充分条件，正确，B ．若p q ∧为真命题，则p ，q 都是真命题，此时p q ∨为真命题，即充分性成立，反之当p 假q 真时，p q ∨为真命题，但p q ∧为假命题，故“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的充分不必要条件，故B 错误，C ．命题“x R ∃∈使得2230x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，2230x x ++…”，故C 错误，D ．sin cos )4x x x π++…p ∴是真命题，则p ⌝是假命题，故D 错误，故选：A ．8．（5分）为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：C)︒制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论： ①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差． ④甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差； 其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为( )。
精品解析：广东省深圳市高级中学2023-2024学年高一上学期期末数学试题(解析版)
2023-2024学年广东省深圳高级中学高一（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合U={|06}x x x N ≤≤∈，，A={2,3,6}，B={2,4,5}，则A∩（∁U B ）=A.{2，3，4，5，6} B.{3，6}C.{2} D.{4，5}【答案】B 【解析】【分析】由集合{}U={|06,}0,1,2,3,4,5,6x x x N ≤≤∈=，在集合的补集和交集的运算，即可求解.【详解】由集合{}U={|06,}0,1,2,3,4,5,6x x x N ≤≤∈=，又由A={2,3,6}，B={2,4,5}，所以{}0,1,3,6U C B =则{}3,6U A C B ⋂=，故选B.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算问题，其中解答中熟记集合的交集和集合的补集的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.“1a <”是“2R,0x x x a ∃∈-+<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】将存在量词命题转化为有解问题，再利用一元二次不等式有解及充分条件和必要条件的定义即可求解.【详解】因为2R,0x x x a ∃∈-+<，所以()2140a ∆=-->，解得14a <.所以(),1-∞1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，故“1a <”是“2R,0x x x a ∃∈-+<”的必要不充分条件.故选：B.3.已知1sin 412πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.158B.158-C.78D.78-【答案】D 【解析】【分析】利用诱导公式可得51cos(412πα+=-，再由二倍角余弦公式求5cos 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【详解】由51sin()cos[()1212]cos()2412ππππααα-=-+-=-+=，即51cos(412πα+=-，又255cos 22c 71os (1628ππαα⎛⎫+=+-=- ⎪⎝⎭.故选：D4.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把()36511%+看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是3651.0137.7834≈；而把()36511%-看作是每天“退步”率都是1%，一年后是3650.990.0255≈；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的3653651.010.99≈倍．那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过（）天．（参考数据：lg101 2.0043≈，lg99 1.9956≈，lg 20.3010≈）A.9 B.15C.25D.35【答案】D 【解析】【分析】设经过x 天“进步”的值是“退步”的值的2倍，则 1.0120.99x⎛⎫= ⎪⎝⎭，然后利用对数的运算和题目所给的数据求出x 的值即可.【详解】设经过x 天“进步”的值是“退步”的值的2倍，则 1.0120.99x⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴1.010.98lg 2lg 2lg 2log 2 1.01101lg 0.30100.3010352.0043 1.9956101lg99lg lg 0.90.9879009x ====≈=≈--，故选：D ．5.设函数()()22211x f x x -=+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=（）A.0 B.1C.2D.4【答案】D 【解析】【分析】将()f x 整理为()2421xf x x =-+，令()()2g x f x =-，由奇偶性定义可证得()g x 为奇函数，则()()max min 0g x g x +=，由此可求得M m +的值.【详解】()()()222222142142111x xx x f x x x x +--===-+++ ，∴可令()()2421x g x f x x =-=-+，则()()224411x xg x g x x x --=-==-++，()g x ∴为定义在R 上的奇函数，()()max min 0g x g x ∴+=，则220M m -+-=，4M m ∴+=.故选：D.6.将函数sin 2y x =的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度得到()f x 的图象，若函数()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且()f x 的最大负零点在区间5,126ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上,则ϕ的取值范围是A.(,]64ππ B.(,124ππ C.,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.,122ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】先求出()f x 的解析式，根据()f x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增可得124ππϕ≤≤，再根据最大的负零点的范围可得123ππϕ<<，故可得ϕ的取值范围.【详解】()()sin 22f x x ϕ=-，令222x k πϕπ-=+，则,24k x k Z ππϕ=++∈.故y 轴右侧的第一条对称轴为4x πϕ=+，左侧第一条对称轴为4x πϕ=-，所以434ππϕπϕ⎧+≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，所以124ππϕ≤≤.令()0f x =，则22x k ϕπ-=，故,2k x k Z πϕ=+∈，最大的负零点为2x πϕ=-，所以51262πϕππ-<-<-即123ππϕ<<，综上，124ππϕ<≤，故选B.【点睛】三角函数的图像往往涉及振幅变换、周期变换和平移变换，注意左右平移时是自变量x 作相应的变化，而且周期变换和平移变换（左右平移）的次序对函数解析式的也有影响.三角函数图像问题中的参数的取值范围问题，常常需要结合图像的对称轴和对称中心来考虑.7.设0.2log 0.3a =，2log 3b =，3log 4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c >>B.c b a >>C.b a c>> D.b c a>>【答案】D 【解析】【分析】由已知结合对数函数的单调性即可比较大小．【详解】因为2332>，所以2322log 3log 2>，即22log 33>，所以23log 32b =>，因为2343<，所以2333log 4log 33<=，即32log 43<，所以33log 42c =<，同时3log 41=>c ，所以312c <<，而0.2log 0.31a =<，所以312b c a >>>>．故选：D ．8.定义域为R 的函数()lg 2,21,2x x f x x ⎧-≠=⎨=⎩，若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=恰有5个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，则()12345f x x x x x ++++等于（）A.1B.2lg 2C.3lg 2D.0【答案】C 【解析】【分析】分析出函数()f x 的图象关于直线2x =对称，分析可知2为关于x 的方程()()20f x bf x c ++=的一根，求出12345x x x x x ++++的值，即可得解.【详解】令()u f x =，作出函数()u f x =的大致图象，当2x ≠时，()()4lg 42lg 2lg 2f x x x x f x -=--=-=-=，故函数()f x 的图象关于直线2x =对称，因为关于x 的方程()()20fx bf x c ++=恰有5个不同的实数根，则关于u 的方程20u bu c ++=恰有两根，设为1u 、2u ，且必有一根为1，设21u =，设方程()1u f x =的两根分别为1x 、2x ，且12x x <，则124x x +=，所以，3456x x x ++=，12345=10x x x x x ++++，因此，()10lg83lg 2f ==.故选：C.二、多选题：本题共4小题，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.设, , a b c R ∈，a b <，则下列不等式一定成立的是（）A.a c b c +<+B.a b e e -->C.22ac bc <D.11a b>【答案】AB【解析】【分析】由不等式的性质，x y e =的单调性及特殊值法，即可判断选项的正误.【详解】A ：由不等式性质：不等式两边同时加上或减去同一个数，不等式符号不变，即a c b c +<+，正确；B ：因为x y e =在定义域内为增函数，由题意知a b ->-，故有a b e e -->，正确；C ：当0c =时，22ac bc =，故错误；D ：当0a b <<时，11a b<，故错误；故选：AB.10.下列命题中正确的有（）A.()()21mf x m m x =--幂函数，且在()0,∞+单调递减，则1m =-B.()()22log 2f x x x =-的单调递增区间是()1,+∞C.()211f x ax ax =++定义域为R ，则[)0,4a ∈D.()f x x =+的值域是(],5-∞【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ：根据幂函数的概念和性质解答；对于B ：先求出定义域后即可判断；对于C ：验证0a =，对于0a ≠，求Δ0<即可；对于D ：利用换元法求函数值域.【详解】对于A ：211m m m ⎧--=⎨<⎩，解得1m =-，正确；对于B ：由220x x ->得()f x 的定义域为()(),02,-∞+∞ ，故单调区间不可能为()1,+∞，错误；对于C ：当0a =时，()1f x =，定义域为R ，当0a ≠时，对于21ax ax ++，其240a a ∆=-<，解得04a <<，综合[)0,4a ∈，正确；对于D t =，则24x t =-，且0t ≥，则()()224224f x g t t t t t ==-+=-++，由二次函数的性质可得(]254,2t t -∈-∞++，正确.故选：ACD.11.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()11f x f x =-+，且当10x -≤<时，()2xf x =，则（）A.()f x 是周期为2的周期函数B.当45x ≤<时，()42xf x -=-C.()f x 的图象与()0.5log g x x =的图象有两个公共点D.()f x 在()2022,2024上单调递增【答案】ACD 【解析】【分析】根据已知可得()()()121f x f x f x +=-=+，即可得出A 项；根据已知求出[)0,1x ∈时的解析式，进而根据周期性，得出函数在[)4,5上的解析式，即可判断B 项；根据A 、B 的结论作出函数()f x 的图象以及()0.5log g x x =的图象，结合端点处的函数值，结合图象，即可判断C 项；先根据解析式，判断得出函数在[)0,2上单调递增，即可根据周期性，得出D 项.【详解】对于A 项，由已知可得()()112f x f x +=-+，所以()()()121f x f x f x +=-=+，()f x 是周期为2的周期函数，故A 正确；对于B 项，[)0,1x ∀∈，则[)11,0x -∈-.由已知可得，()112x f x --=.又()()11f x f x =-+，所以()()11f x f x -=-，()()1111212x x f x f x --=-=-=--.又()f x 的周期为2，所以()()4f x f x =-.[)4,5x ∀∈，则[)40,1x -∈，()()145422x x f x ---+-=-=-，所以，()()542x f x f x -+=-=-.故B 错误；对于C 项，由A 、B 可知，当10x -≤<时，()2xf x =；当[)0,1x ∈时，()12xf x -=-，且()f x 的周期为2.作出函数()y f x =以及()y g x =的图象，显然，当2x <时，()f x 的图象与()0.5log g x x =的图象没有交点.又()()()4202f f f ===-，()0.52log 21g ==-，()()0.54log 424g f ==-=，由图象可知，()f x 的图象与()0.5log g x x =的图象有两个公共点，故C 项正确；对于D 项，[)1,2x ∀∈，则[)21,0x -∈-，()222x f x --=.又()f x 的周期为2，所以()()222x f x f x -=-=在[)1,2上单调递增.当[)0,1x ∈时，()12xf x -=-，显然()12xf x -=-在[)0,1上单调递增.且()1211112212f --==>-=-，所以，()f x 在[)0,2上单调递增.根据函数的周期性可知，()f x 在()2022,2024上单调递增.故D 正确.故选：ACD .12.已知函数11()sin cos f x x x=+，则下列结论正确的是（）A.()f x 的图象关于点3π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称B.()f x 的图象关于直线3π4x =-对称C.()f x 的最小正周期是πD.()f x在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，且最小值为【答案】ABD【解析】【分析】计算出定义域后，由11sin cos ()sin cos sin cos x x f x x x x x+=+=，借助三角函数基本关系，可借助换元法设出新函数22()1tg t t =-，根据新函数的单调性即可研究D 选项；结合函数对称性的性质可得A 、B 选项；结合函数周期性的性质可得C 选项.【详解】由sin 0,cos 0x x ≠≠，解得π,2k x k ≠∈Z ，所以()f x 的定义域为π,2k x x k ⎧⎫∈≠∈⎨⎬⎩⎭RZ ∣，()11sin cos 4sin cos sin cos sin 2x x x f x x x x x xπ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=+==，令πsin cos 4x x x t ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，则21sin cos 2t x x -=，令函数222()11t g t t t t==--，当π02x <<时，(πsin cos 4x x x t ⎛⎫+=+=∈ ⎪⎝⎭，且函数π4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在π4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减．又因为函数1y t t=-在上单调递增，且10y t t=->在上恒成立，所以()g t在上单调递减，所以()f x 在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，且最小值为π4f ⎛⎫= ⎪⎝⎭D正确；3ππ3ππ3π3π44443π3π44sin 2sin 244x x f x f x x x ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭++-=+⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()ππsin sin03π3πcos2cos2sin2sin222x x x xx xx x+--⎫=+=+=⎪--⎛⎫⎛⎫⎭+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x的图象关于点3π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，A正确；3πππ3π22cos4423π3π4cos2sin2sin242x xxf xxx x⎛⎫⎛⎫-++-+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭-+===-⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭-+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3πππ3π4423π3π4sin2sin242x xf xx x⎛⎫⎛⎫--+--⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭--==⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭----⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22cos3πcos24x f xx⎛⎫=-=-+⎪⎝⎭，所以()f x的图象关于直线3π4x=-对称，B正确；因为()()()()1111πsinπcosπsin cosf x f xx x x x+=+=--≠++，所以π不是()f x的周期，C错误.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.不等式1cos2x>的解集是___________【答案】2,233⎛⎫-++⎪⎝⎭k kππππ，Zk∈【解析】【分析】利用特殊值的三角函数值及三角函数线即可得到不等式的解集；【详解】解：由1cos32π=，1cos32π⎛⎫-=⎪⎝⎭，结合三角函数线可知当2233k x kππππ-+<<+，Zk∈时1cos2x>故答案为：2,233⎛⎫-++ ⎪⎝⎭k k ππππ，Z k ∈14.已知cos sin 2cos sin αααα+=-，则2sin 2sin cos ααα-=______．【答案】12-##0.5-.【解析】【分析】由题意求出1tan 3α=，将要求的式子化简为22tan 2tan tan 1ααα-+，求解即可.【详解】cos sin 2cos sin αααα+=-分子分母同除cos α得，1tan 21tan αα+=-，解得：1tan 3α=，所以22222212sin 2sin cos tan 2tan 193sin 2sin cos 1sin cos tan 1219ααααααααααα----====-+++.故答案为：12-15.已知函数222,03,0x x x y a x a x x ⎧-+≥⎪=⎨++<⎪⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围为____________．【答案】()[),01,-∞+∞ 【解析】【分析】先求解出0x ≥时()f x 的值域，然后根据0,0,0a a a =><分类讨论0x <时()f x 的值域，由此确定出a 的取值范围.【详解】当0x ≥时，()()222211f x x x x =-+=-+，此时()[)1,f x ∈+∞，当0a =且0x <时，()f x x =，此时()(),0f x ∈-∞，且()[),01,-∞+∞≠R ，所以不满足；当0a >且0x <时，()3a f x x a x=++，由对勾函数单调性可知()f x 在(,-∞上单调递增，在()上单调递减，所以()(max 3f x f a ==-()(,3f x a ∈-∞-，若要满足()f x 的值域为R ，只需要31a -≥，解得1a ≥；当a<0且0x <时，因为,a y x y x==均在(),0∞-上单调递增，所以()3a f x x a x =++在(),0∞-上单调递增，且0x →时，()f x →+∞，x →-∞时，()f x →-∞，所以此时()(),f x ∈-∞+∞，此时显然能满足()f x 的值域为R ；综上可知，a 的取值范围是()[),01,-∞⋃+∞，故答案为：()[),01,-∞⋃+∞.16.如图，边长为1的正六边形木块自图中实线标记位置起在水平桌面上从左向右做无滑动翻滚，点P 为正六边形的一个顶点，当点P 第一次落在桌面上时，点P 走过的路程为________．【答案】13π⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据已知可得正六边形与桌面相邻的边与桌面所成的角为3π，可得点P 第一次落在桌面上时，点P走过的路程为：分别以,,A B C 为圆心，,,AP BP CP 为半径，圆心角为3π的弧长和，求出三段弧长，即可得出结论.【详解】由正六边形的关系可得，2,AP BP ==，正六边形与桌面相邻的边与桌面所成的角为3π，点P 第一次落在桌面上时，点P 走过的路程为：(21)(1)33ππ++=+.故答案为：3(13π+.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.化简求值：（1）tan70cos10201)︒︒︒-（2）已知3cos()45x π+=，177124x ππ<<，求2sin 22sin 1tan x x x+-的值；【答案】（1）1-；（2）2sin 22sin 281tan 75x x x +=-【解析】【分析】（1）先由同角三角函数关系，化切为弦，再利用辅助角公式，诱导公式，即可化简该式；（2）由条件利用同角三角函数的基本关系求得tan()4x π+，再将所求式化简为2[2cos ()1]tan()44x x ππ-+-⋅+，代入即可计算结果.【详解】解：（1）tan70cos10201)︒︒︒-sin 703sin 20cos20cos10cos70cos20︒︒-︒=︒︒︒cos 202sin(2030)cos10sin 20cos 20︒︒-︒=⋅︒⋅︒︒2sin10cos10sin 20-︒︒=︒=1-；（2）3cos()45x π+= ，177124x ππ<<5(,2)43x πππ∴+∈，4sin()45x π+=-，4tan()43x π∴+=-2sin 22sin 2sin cos (cos sin )=1tan cos sin x x x x x x x x x++--1tan sin 21tan xx x +=⋅-cos(2)tan()24x x ππ=-+⋅+2[2cos ()1]tan()44x x ππ=-+-⋅+94[21]()253=-⨯-⨯-2875=-【点睛】本题主要考查三角恒等变换及化简求值，涉及二倍角公式，辅助角公式，诱导公式，同角三角函数间的关系，属于中档题.18.如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A ，B 两点，且OA OB ⊥.（1）求()()πsin πcos 23πcos πsin 2αββα⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的值；（2）若点A 的横坐标为13，求()sin 2αβ+的值.【答案】（1）1-；（2）2327-.【解析】【分析】(1)根据给定条件可得2πβα=+，再利用诱导公式化简计算作答.(2)由给定条件求出sin ,cos αα，再利用和角公式、倍角公式计算作答.【小问1详解】依题意，(0)22ππβαα=+<<，所以πsin(π)cos()sin cos()sin (cos )213πsin (cos )cos(π)sin()cos()(cos )22αβαπαααπααβααα++-+--===---+--.【小问2详解】因点A 的横坐标为13，而点A 在第一象限，则点122(,33A ，即有221sin ,cos 33αα==，于是得sin 22sin cos 9ααα==，227cos2cos sin 9ααα=-=-，1sin sin()cos 23πβαα=+==22cos cos()sin 23πβαα=+=-=-，所以()42227123sin 2sin 2cos cos 2sin ()()939327αβαβαβ+=+=⨯-+-⨯=-.19.已知函数()()2e 1x f x a a =-∈+R .（1）是否存在实数a 使函数()f x 为奇函数；（2）探索函数()f x 的单调性；（3）在（1）的前提下，若对x ∀∈R ，不等式()()()30ff x f m +->恒成立，求m 的取值范围.【答案】（1）存在；（2）在R 上单调递增；（3）2m ≤.【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质进行判断即可；（2）根据函数单调性的定义，结合指数函数的单调性进行判断即可；（3）根据函数的单调性和奇偶性进行求解即可.【小问1详解】假设存在实数a 使函数()f x 为奇函数，此时()()220e 1e 1x x f x f x a a --+=-+-=++，解得1a =，故存在实数1a =，使函数()f x 为奇函数；【小问2详解】函数()f x 的定义域为R .12,x x ∀∈R ，且()()()()()12121212122e e 22,e 1e 1e 1e 1x x x x x x x x f x f x a a -⎛⎫<-=---= ⎪++++⎝⎭，()()()()121212e e 0,e 1e 10,x x x x f x f x -++>∴<< ，即函数()f x 在R 上单调递增；【小问3详解】当1a =时，()21e 1x f x =-+，()f x 是奇函数，()()()()()()303f f x f m f f x f m ∴+->⇔>--()()()3f f x f m ⇔>-，又()f x 在R 上单调递增，()3f x m ∴>-，()234e 1x m f x ∴<+=-+，对x ∀∈R 恒成立，22e 0,e 11,02,2442e 1e 1x x x x m >∴+>∴<<∴<-<∴≤++ .【点睛】关键点睛：根据奇函数的性质是解题的关键.20.已知函数()222cos f x x x m =++在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为3．（1）求常数m 的值；（2）将函数()f x 向右平移π4个单位，再向下平移4个单位，得到函数()g x ，请求出函数()y g x =，ππ,62x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的单调递减区间．【答案】（1）3m =（2）5ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，ππ,.612⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换公式将函数化简，再由x 的取值范围，求出π26x +，即可求出函数值的取值范围，从而得解；（2）首先得到平移后的函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得.【小问1详解】因为()222cos f x x x m=++2cos 21x x m =+++312sin 2cos 2122x x m ⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭π2sin 216x m ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，当π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，ππ7π2,666⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦x ，所以1πsin 2126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，则()3m f x m ≤≤+，因为()f x 的最小值为3，所以3m =；【小问2详解】由（1）得，()π2sin 246f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，将函数()f x 向右平移π4个单位得到πππ2sin 242sin 24463y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再向下平移4个单位，得到函数()π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令ππ3π2π22π232k x k +≤-≤+，Z k ∈，则5π11πππ1212k x k +≤≤+，Z k ∈，即()g x 的单调递减区间为5π11ππ,π1212k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，由ππ,62x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦可得函数()g x 在ππ,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为5ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，ππ,.612⎡⎤--⎢⎥⎣⎦21.初一（2）班的郭同学参加了折纸社团，某次社团课上，指导教师老胡展示了如图2所示的图案，其由三块全等的矩形经过如图1所示的方式折叠后拼接而成．已知矩形ABCD 的周长为8cm ，其中较长边AD 为cm x ，将BCD △沿BD 向ABD △折叠，BC 折过去后交AD 于点E ．（1）用x 表示图1中BAE 的面积；（2）郭爸爸看到孩子的折纸成果后，非常高兴，决定做一颗相同形状和大小的纽扣作为奖励其中纽扣的六个直角（如图2阴影部分）利用镀金工艺双面上色（厚度忽略不计）．已知镀金工艺是2元/2cm ，试求一颗纽扣的镀金部分所需的最大费用．【答案】（1）BAE 的面积为2812cm (24)x x x ⎡⎤⎛⎫-+<< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（2）最大费用为96(3-元【解析】【分析】（1）根据已知条件，可推得Rt Rt BAE DC E '△≌△，再在Rt BAE △中，由勾股定理得222BA AE BE +=，解得解得解得248x x a x -+=，48x AE x a x -=-=，再结合面积公式，即可求解．（2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．【小问1详解】因为cm =AD x ，所以(4)cm AB x =-，因为AD 为较长边，所以44x x -<<，即24x <<，设cm ED a =，则()cm AE x a =-，因为AEB C ED ∠'=∠，EAB DC E ∠'=∠，AB DC '=所以Rt Rt BAE DC E '△≌△，所以cm BE ED a ==．在Rt BAE △中，由勾股定理得222BA AE BE +=，即222(4)()x x a a -+-=，解得248x x a x -+=，所以48x AE x a x-=-=．所以BAE 的面积21148212168(4)122(24)22x x x S AB AE x x x x x x --+-⎛⎫=⋅=-⋅==-+<< ⎪⎝⎭．所以BAE 的面积28122cm (24)S x x x ⎡⎤⎛⎫=-+<< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．【小问2详解】设一颗钮扣的镀金费用为y 元，则86222412224(12896(32BAE y S x x ⎡⎤⎛⎫=⨯⨯⨯=⨯-+≤⨯-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦△，当且仅当8x x=，由24x <<即x =时等号成立，所以当AD 为时，一颗钮扣的镀金部分所需的最大费用为96(3-元．22.已知1x =是函数()22g x ax ax =-+的零点，()()g x f x x =．（1）求实数a 的值；（2）若方程()3213021x x f k k ⎛⎫ ⎪-+-= ⎪-⎝⎭有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．【答案】（1）1a =（2）2133k -<<-【解析】【分析】（1）依据题给条件列出关于实数a 的方程，解之即可求得实数a 的值；（2）先将题给方程化简整理，利用换元法转化为二次方程有二根，再利用指数函数列出关于实数k 的不等式，解之即可求得实数k 的取值范围．【小问1详解】∵1x =是函数()232g x ax ax =-+的零点∴()132220g a a a =-+=-=，解之得1a =；【小问2详解】由（1）得()232g x x x =-+，则()23f x x x=-+，则方程()3213021x x f k k ⎛⎫ ⎪-+-= ⎪-⎝⎭可化为23213302121x x x k k -+-+-=--，∵0x ≠，∴两边同乘21x -得：()2213321320x x k k --+-++=，则此方程有三个不同的实数解.令21x t =-则0t >，则()233320t k t k -+++=，解之得1t =或32t k =+，当1t =时，211x -=，得1x =；当32t k =+时，2132x k -=+，则此方程有两个不同的实数解，则0321k <+<，解之得2133k -<<-．则实数k 的取值范围为2133k -<<．。
广东省深圳市高级中学2018-2019学年高二下学期期末数学(理科)试题及答案word
深圳市高级中学高二年级期末考试理科数学全卷满分150分，时间120分钟 2019.07注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上.2.作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有项符合题目要求.1.已知集合{}2|20M x x x =-<，{2,1,0,1,2}N =--，则M N =I （ ） A. ∅ B. {}1C. {0}1，D. {101}-，， 2.设()()()2i 3i 35i x y +-=++(i 为虚数单位），其中,x y 是实数，则i xy +等于( ) A. 5B.13 C. 22D. 23.某高校调查了320名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了下图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[]17.530，，样本数据分组为[]17.520，，[]2022.5，，[]22.525，，[]2527.5，，[]27.530，.根据直方图，这320名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是（ ）A 68B. 72C. 76D. 804.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是( ) A. 3600种B. 1440种C. 4820种D. 4800种5.正方形ABCD 中，点E ，F 分别是CD ，BC 的中点，那么EF =u u u v( )A .1122AB AD+u u u v u u u v B. 1122AB AD --u u uv u u u v C. 1122AB AD -+u u uv u u u vD. 1122AB AD -u u uv u u u v6.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，若639S S =，562S =，则1a =（ ） A.B. 2C.D. 37.设双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线为2y x =，且一个焦点与抛物线24y x =的焦点相同，则此双曲线的方程为（ ） A.225514x y -= B. 225514y x -= C. 225514x y -= D.225514y x -= 8.将函数y ＝sin x 的图像向左平移2π个单位，得到函数y ＝f （x ）的图像，则下列说法正确的是（ ） A. y ＝f （x ）是奇函数 B. y ＝f （x ）的周期为π C. y ＝f （x ）的图像关于直线x ＝2π对称 D. y ＝f （x ）的图像关于点(,0)2π-对称9.设,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则//αβ的一个充分条件是（ ） A. 存在两条异面直线,a b ，,,//,//a b a b αββα⊂⊂. B. 存在一条直线a ，//,//a a αβ. C. 存在一条直线a ，,//β⊂a a a .D. 存在两条平行直线,a b ，,,//,//αββ⊂⊂a b a b a .10.已知F 是抛物线2:2C y x =的焦点，N 是x 轴上一点，线段FN 与抛物线C 相交于点M ，若2FM MN =u u u u r u u u u r，则||FN =（ ）A.58B.12C.38D. 111.关于圆周率π，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学每人随机写下一个x ，y 都小于1的正实数对()x y ，，再统计其中x ，y 能与1构成钝角三角形三边的数对()x y ，的个数m ，最后根据统计个数m 估计π的值．如果统计结果是34m =，那么可以估计π的值为（ ） A.237B.4715C.1715D.531712.已知函数()()2ln 1f x x x =+-，设()3log 0.2a f =，()0.23b f -=，()1.13c f =-，则（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. c b a >>D. c a b >>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知54x >，则函数1445y x x =+-的最小值为_______. 14.在ABC ∆中，4ABC π∠=，2AB =，3BC =，则sin BAC ∠=__________．15.设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和.已知124,,S S S 成等比数列，且35a =，则数列{}n a 的通项公式为________.16.在三棱锥A BCD -中，底面为Rt ∆，且BC CD ⊥，斜边BD 上的高为1，三棱锥A BCD -的外接球的直径是AB ，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为__________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin sin sin sin sin sin sin sin A B C BC A B C-+=+-．（1）求角A ；（2）若△ABC 的外接圆半径为1，求△ABC 的面积S 的最大值． 18.如图，三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，3PC =，2ACB π∠=．,D E 分别为线段,AB BC 上的点，且2,22CD DE CE EB ====．(1)证明：DE ⊥平面PCD ；(2)求二面角A PD C --的余弦值．19.已知定点()30A -,，()3,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为19-，记动点M 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过点()1,0T 的直线与曲线C 交于P 、Q 两点，是否存在定点()0,0S x ，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值，若存在，求出S 坐标；若不存在，请说明理由．20.已知函数2()2ln(1)(1)f x x x =---.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若关于x 的方程2()30f x x x a +--=在区间[]2,4内恰有两个相异的实根，求实数a 的取值范围.21.某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X 表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数． （1）求X 的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.答题时请在答题卷中写清题号并将相应信息点涂黑.22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3x ty t=⎧⎨=-⎩（t 为参数）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）写出1C 普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 相交于A ､B 两点，求OAB ∆的面积.23.已知()|1|| -1|f x x a x a =+++． （1）当1a =时，求不等式()3f x ≥的解集;（2）若1x ≥时，不等式()2f x x ≥+恒成立，求a 的取值范围．深圳市高级中学高二年级期末考试理科数学全卷满分150分，时间120分钟 2019.07注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上.2.作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有项符合题目要求.1.已知集合{}2|20M x x x =-<，{2,1,0,1,2}N =--，则M N =I （ ） A. ∅ B. {}1C. {0}1，D. {101}-，， 【答案】B 【解析】 【分析】可以求出集合M ，然后进行交集的运算即可．【详解】由M 中不等式得()20x x -<，解得02x <<，即(0,2)M =，{}1M N ∴⋂=，故选B ．【点睛】考查描述法、列举法的定义，以及一元二次不等式的解法，交集的运算． 2.设()()()2i 3i 35i x y +-=++(i 为虚数单位），其中,x y 是实数，则i x y +等于( ) A. 5C.D. 2【答案】A 【解析】由()()()2i 3i 35i x y +-=++，得()()632i 35i x x y ++-=++，∴63325x x y +=⎧⎨-=+⎩，解得34x y =-⎧⎨=⎩，∴i 34i 5x y +=-+=．故选A ． 3.某高校调查了320名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了下图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[]17.530，，样本数据分组为[]17.520，，[]2022.5，，[]22.525，，[]2527.5，，[]27.530，.根据直方图，这320名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是（ ）A. 68B. 72C. 76D. 80【答案】B 【解析】由频率分布直方图可得，320名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是3200.02+0.07 2.5=72⨯⨯（）人．选B ．4.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是( ) A. 3600种 B. 1440种 C. 4820种 D. 4800种【答案】A 【解析】 【分析】不相邻问题用插空法，先将除甲乙外的其他5人全排列，再将甲乙2人插入6个空中，即可.【详解】第一步，先将除甲乙外的其他5人全排列，5554321120A =⨯⨯⨯⨯=种 第二步，将甲乙2人插入6个空中，266530A =⨯=种 则不同的排法种数是5256120303600A A =⨯=g 种故选：A【点睛】本题考查排列问题，插空法是解决本题的关键.属于较易题. 5.正方形ABCD 中，点E ，F 分别是CD ，BC 的中点，那么EF =u u u v( )A. 1122AB AD +u u uv u u u vB. 1122AB AD --u u uv u u u vC. 1122AB AD -+u u uv u u u vD. 1122AB AD -u u uv u u u v【答案】D 【解析】 【分析】由题意点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，求出EC uuu r ，CF uuu r ，然后求出向量EF u u u r即得．【详解】解：因为点E 是CD 的中点，所以12EC AB =u u u r u u u r，点得F 是BC 的中点，所以1122CF CB AD ==-u u u r u u u r u u ur ，所以1122EF EC CF AB AD =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，故选：D ．【点睛】本题考查向量加减混合运算及其几何意义，注意中点关系与向量的方向，考查基本知识的应用。
广东省深圳市高级中学2018-2019学年高二上学期期末考试 数学(理)
深圳高级中学2018--2019学年第一学期期末考试高二数学（理科）★祝考试顺利★ 注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设复数z ＝+2i ，则|z|＝（ ）A ．B ．2C ．D ．12．已知命题p ：∀x≥0，x≥sinx ，则⌝p 为（ ） A ．∀x ＜0，x ＜sinx B ．∀x≥0，x ＜sinx C ．∃x 0＜0，x 0＜sinx 0D ．∃x 0≥0，x 0＜sinx 03．设a ＝50.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 50.4，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c＜a4．若函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则（ ） A ．函数()f x 有1个极大值，2个极小值B ．函数()f x 有2个极大值，2个极小值C ．函数()f x 有3个极大值，1个极小值D ．函数()f x 有4个极大值，1个极小值5．近几年来，在欧美等国家流行一种“数独”推理游戏，游戏规则如下：①9×9的九宫格子中，分成9个3×3的小九宫格，用1，2，3，…，9这9个数字填满整个格子，且每个格子只能填一个数；②每一行与每一列以及每个小九宫格里分别都有1，2，3，…9的所有数字．根据图中已填入的数字，可以判断A 处填入的数字是（ ） A ．1 B ．2 C ．8 D ．96．已知实数x ，y 满足约束条件20100x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A ．1B ．52-C ．2-D ．1-7．已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象如图，为了得到()2cos 2g x x =的图象，可以将f （x ）的图象（ ） A ．向右平移个单位 B ．向左平移个单位 C ．向右平移个单位 D ．向左平移个单位8．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若711a =，则13S ＝（ ）A ．66B ．99C ．110D ．1439．已知函数()sin f x x x =，则()7f π，(1)f -，()3f π-的大小关系为（ ）A ．()(1)()37f f f ππ->-> B ．(1)()()37f f f ππ->->C ．()(1)()73f f f ππ>->-D ．()()(1)73f f f ππ>->-10．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝4，AB ＝2，CC 1＝2，E ，F 分别为AC ，CC 1的中点，则直线EF 与平面AA 1B 1B 所成的角是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°11．设双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，直线43200x y -+=过点F 且在第二象限与C 的交点为P ，O 为原点，若|OP|＝|OF|，则C 的离心率为（ ） A ．54B ．5C ．53D ．512．设函数f （x ）在R 上存在导数()f x '，对任意x ∈R ，有()()0f x f x --=，且x ∈[0，+∞）时()f x '＞2x ，若(2)()44f a f a a --≥-，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，1] B ．[1，+∞） C ．（﹣∞，2] D ．[2，+∞）第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省深圳市深圳高级中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题(1)
深圳高级中学（集团）2021-2022学年第一学期期末考试高一数学一､单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出地四个选项中,只有一项符合题目要求.1 已知集合U =R ,{}220A x x x =-<∣,{}lg(1)B x y x ==-∣,则A B = （ ）A. (0,2)B. (0,1)C. (1,2)D. [1,2)-【结果】C 【思路】【思路】解一圆二次不等式求出集合A ,解不等式10x ->求出集合B ,再进行交集运算即可求解.【详解】因为{}(){}{}2|20|20|02A x x x x x x x x =-<=-<=<<,{}{}{}lg(1)|101B x y x x x x x ==-=->=>∣∣,所以{}()|121,2A B x x ⋂=<<=,故选：C.2. 若命题“R x ∀∈,210x ax ++≥”是假命题,则实数a 地取值范围为（ ）A. ()(),22,∞∞--⋃+ B. (],2-∞-C. [)2,+∞ D. (][),22,-∞-+∞U 【结果】A 【思路】【思路】由题意知原命题为假命题,故命题地否定为真命题,再利用0∆>,即可得到结果.【详解】由题意可得“2000,10x R x ax ∃∈++<”是真命题,故240,2a a ∆=->⇒>或2a <-.故选：A.3. “0x >”是“20x x +>”地（ ）A. 充分不必要款件B. 必要不充分款件C. 充分必要款件D. 既不充分也不必要款件【结果】A.【思路】【思路】化简不等式20x x +>,再利用充分款件，必要款件地定义直接判断作答.【详解】解不等式20x x +>得：1x <-或0x >,所以“0x >”是“20x x +>”地充分不必要款件.故选：A4. 已知函数42x y a +=+（0a >,且1a >）地图象恒过点P ,若角α地终边经过点P ,则sin α=（ ）A.35B. 35-C.45D. 45-【结果】A 【思路】【思路】由题可得点()43P ,-,再利用三角函数地定义即求.【详解】令40x +=,则4,3x y =-=,所以函数42x y a +=+（0a >,且1a ≠）地图象恒过点()43P ,-,又角α地终边经过点P ,所以3sin 5α=,故选：A.5. 设tan 92a =︒,21b π⎛⎫= ⎪⎝⎭,log 92c π=,则a ,b ,c 地大小关系是（ ）A. c a b>> B. c b a>> C. a b c>> D.b a c>>【结果】B 【思路】【思路】依据正切函数,指数函数,对数函数性质估计a b c ，，地大小,由此确定它们地大小关系.【详解】∵92︒是第二象限角,∴tan 920a =︒<,∵ 指数函数1xy π⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上为减函数,且023<<,∴3211101πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,∴ 01b <<,∵log y x π=为(0,)+∞上地增函数,92π<∴log 921c π=>,∴c b a >>故选：B.6. 设正实数,x y 满足21x y +=,则xy 地最大值为（ ）A.12B.14C.18D.116【结果】C 【思路】【思路】依据基本不等式可求得最值.【详解】由基本不等式可得2x y +≥,即1≤,解得18xy ≤,当且仅当2x y =,即14x =,12y =时,取等号,故选：C.7. 函数()()3ln 33x f x x -=-地部分图象大约为（ ）A. B.C. D.【结果】C 【思路】【思路】依据给定函数探讨其对称性可排除选项A ,B 。
2018-2019学年广东省深圳市宝安区高二(上)期末数学试卷(文科)
2018-2019学年广东省深圳市宝安区高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分•在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.）1. （5分）下列说法正确的是（）A • “ —X , y ■ R，若x ■ y =0，贝H x = 1 且y = _1 ”是真命题B .在同一坐标系中，函数y = f（「x）与y = f（1-x）的图象关于y轴对称C.命题“ x • R, 使得x22x • 3 ：：：0 ”的否定是“ -x • R，都有x2 2x 3 ■ 0 ”“ 1D . a R，“—d a”是“ a 1”的充分不必要条件2. （5分）已知双曲线x2x2C1:- -y2=1与双曲线C2：y2—1，给出下列说法，其中错误的是（）A .它们的焦距相等B .它们的焦点在同一个圆上C .它们的渐近线方程相同D .它们的离心率相等23. （5分）在等比数列｛%｝中，“ a4, %是方程x • 3x7=0的两根”是“ a*二1 ”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4. （5 分）在ABC 中，已知/C , BC =a , AC =b，且a ,b 是方程x —13x • 40 = 0 的3两根，则AB的长度为（）C. 65. （5分）在R上定义运算a探b =（a 1）b，若存在x • [1 , 2]使不等式（m-x）探（m x） :: 4 ,成立，则实数m的取值范围为（）A. （-3,2） B . （-1,2） C . （ -2,2） D . （1,2）2 2 4 16.（5分）已知直线ax by c 0（b、c - 0）经过圆x y -2y-5 = 0的圆心，贝U 的b c最小值是（）A . 9B . 8C . 4D . 227. （5分）A , B , C是ABC的内角，其中B ，则sin A • sinC的取值范围（）3A .(召)C .谆，1）(亍2)& （ 5分）函数 x f (x) =e cosx 的图象在点 （0 , f （0））处的切线的倾斜角为 C . 4 2 2 9. (5 分)已知两圆 G ：(x —4) y =1692 2,C 2: （x 4） y =9 ,动圆在圆C 1内部且和圆C 1 2 x 2y_2 x 2 x “ A =1 B . +— 648 48 642 22 2C . x y =1D . x —1 48 64 64 48 10. （ 5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题: 相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为（ ） “远望巍巍塔七层，红光点点倍 加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7层塔共挂了 381盏灯，且 相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2倍，则塔的顶层共有灯（ ） 二、填空题（本大题共 4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.） 11. （ 5分）《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题: “今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗•问：五人各得几何？”其意思为“有 5个人分60个橘子，他 们分得的橘子数成公差为 3的等差数列，问5人各得多少橘子. ”这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是12. （5分）如图，测量河对岸的塔高 AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点 C与D •现测得.BCD =75 , . BDC =45 , CD =50 2米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30，则塔高AB 二 _____米. 13. （5分）已知数列 佝｝的通项公式为 a n二行云，n为奇数 n - 7, n 为偶数,则数列｛a n ｝前15项和为S s2的值为 ___ .14. ________________________ (5分)过抛物线y =4x 焦点的直线交抛物线于 A 、B 两点，若|AB|=10，则AB 的中 点P 到y 轴的距离等于 .三、解答题(本大题共6小题，满分80分•解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.)x 一 y 1・・015. (12分)已知实数x , y 满足 x ・y-5, 0，记点(x, y)所对应的平面区域为 D .x 5y _5・・0(1) 在平面直角坐标系 xOy 中画出区域D (用阴影部分标出)，并求区域D 的面积S ; (2) 试判断点(4,3)是否在区域D 内，并说明理由.56 _ 5 4 3 - 2 -1 -I II丨I1 II,-2 -11 2 3 4 5 6 X■1 1_ _ 216. （12 分）已知函数 f （x ） =x ax —b （a,b ：=R ）. (1 )若b =-1，且函数f (x)有零点，求实数a 的取值范围; (2)当b =1_a 时，解关于x 的不等式f(x), 0 ;4(3)若正数a , b 满足a •-, 3，且对于任意的 [1，•: ：) , f(x)・・・0恒成立，求实数 a ,b b 的值.a 217. (14 分) ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c ，已知.：ABC 的面积为 3sin A(1 )求 sin Bsin C ;(2 )若 6cos BcosC =1 , a =3，求.：ABC 的周长. . 2118. (14分)已知各项都是正数的数列佝｝的前n 项和为S n , & =务，—％ , n N* .2(1 )求数列｛a n ｝的通项公式；21(2)设数列｛b n｝满足：b =1, bn-b n4=2a n(n…2)，数列｛—｝的前n项和T n .求证：T n <2 .b n(3 )若T n, (n 4)对任意n，N*恒成立，求■的取值范围.3 2 219. (14 分)已知函数 f (x) =ax 3x -6ax -11 , g(x) =3x 6x 12 ,和直线 m : y = kx 9 , 又 f (_1) =0 . (1) 求 a 的值；(2) 是否存在k 的值，使直线 m 既是曲线y = f(x)的切线，又是曲线 y =g(x)的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由.(I) 求椭圆C 的方程;(H) 若P , Q 是椭圆C 上的两个动点，且使.PAQ 的角平分线总垂直于 x 轴，试判断直线PQ 的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.2018-2019学年广东省深圳市宝安区高二（上）期末数学 试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10小题，每小题 5分，满分50分•在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.） 1. （ 5分）下列说法正确的是 （）A . “ -x , y 三R ，若x • y = 0，贝U x 严1且y = -1 ”是真命题B .在同一坐标系中，函数 y = f （「x ）与y = f （1-x ）的图象关于y 轴对称C .命题“ x ・R ，使得x 2 • 2x 3：:0 ”的否定是“R ，都有x 2 2x 3 ■ 0 ”1D . a • R ，“ 一 ：：：1 ”是“ a 1 ”的充分不必要条件a【解答】解：对于A , “ -x , y R ，若x • y = 0 ,则x =1且y = _1 ”是假命题， 它的逆否命题“ -x , y R ，若x =1或y = -1，则x • y = 0 ”是假命题，.A 错误； 对于B ，同一坐标系中，点（x, y ）在函数y = f （1 • x ）的图象上， 则（_x,y ）在y = f （1 —x ）的图象上，.函数y =f （1，x ）与y =f （1-x ）的图象关于y 轴对称，B 正确； 对于C ，命题“ x • R ，使得x 2 2x0 ”的否定是“ V x ^R ，都有 x 2 +2x+3・・O ”， C 错误；20. (14分)已知椭圆x yC:二 2=1(a .b 0)的离心率为a b-il ，且过点 2A(2,1).1对于D，当一叮时，a ：：：0或a 1，充分性不成立；a1a 1时，1，必要性成立，是必要不充分条件；D错误.a故选：B .x2x22. （5分）已知双曲线G：y2=1与双曲线C2： y2二―1，给出下列说法，其中错误2 2的是（）A .它们的焦距相等B .它们的焦点在同一个圆上C .它们的渐近线方程相同D .它们的离心率相等【解答】解：根据题意，双曲线2G：x y2 =1，其中a 二2 , b=1，贝y c=.2—1 = .3 , 2则其焦距2c =2 .3 ,焦点坐标为(_.3 , 0),渐进线为y 2x ,离心率e =c=空3 6；2 a V2 22 2双曲线C 2：与- y 2 一1 ,其标准方程为y 2-乡=1，其中a =1 , b F ：2 ,则c =,『2一1二3_ ,则其焦距2c =2. 3，焦点坐标为（0,二、.3），渐进线为y= — x ，离心率e=£= 3 ；2 a 据此依次分析选项： 对于A 、两个双曲线的焦距都为 2 3，A 正确;对于B 、双曲线G 焦点坐标为（_. 3，0），双曲线C 2焦点坐标为（0, _「3），都在圆x 2 y^3 上，B 正确；对于C 、两个双曲线的渐进线为y 2x ，C 正确； —2对于D 、双曲线G 离心率为 上，双曲线C 2的离心率为.3，不正确；2 故选：D .23. （ 5分）在等比数列｛a n ｝中，“ a 4,盹是方程x • 3x7=0的两根”是“ a ^： 1 ”的（ ）A .充分不必要条件 C •充要条件【解答】解：a 4 , a 2是方程x 2・3x 7=0的两根,-a 4和a 2均为负值,故“ a 4, %是方程x 2 3x ^0的两根”是“ a^ _1 ”的 充分不必要条件， 故选：A .— 24. （5 分）在 ABC 中，已知•乙C 二一,BC =a , AC =b ，且 a , b 是方程 x -13x ，40 = 0 的 3两根，则AB 的长度为（ ）A . 2B . 4C . 6D . 7【解答】解：：a , b 是方程x 2-13x *40=0的两根， a=5 , b=8，或 a =8 , b=5,1 由余弦定理 AB23 =c 2 =a 2 b 22 1 4 1 4c b由此可得当b=2c ，即b 且c =—时，5的最小值为9. 3 3b c b c故选：A .B •必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件一3 , a ^_a 12 =1,由等比数列的性质可知a 8为负值，且a 8 =玄4出12 =1 ,_2abcosC =25 64_2 8 5 49 ,2贝V AB =7 ,故选：D .5. (5分)在R上定义运算a探b =(a 1)b，若存在x • [1 , 2]使不等式(m_x)探(m - x) ::: 4 ,成立，则实数m的取值范围为()A . (-3,2)B . (-1,2) C. (-2,2) D. (1,2)【解答】解：由题意知，不等式(m 一x)探(m x) ::: 4化为(m _ x • 1)(m • x) ：：： 4 ,即m2 m 「4 ::: x2「x ;设f(x) =x2 _x , x [1 , 2],则f(x)的最大值是f (2) = 4-2=2 ;令m2亠m -4 ：： 2 ,即m2 m -6 ：：0 ,解得-3 ::: m ：：： 2 ,.实数m的取值范围是(-3,2).故选：A... 2 2 . . 4 16. (5分)已知直线ax by，c-1 =0(b、c 0)经过圆x y「2y—5 = 0的圆心，贝U 的b c最小值是()A . 9B . 8 C. 4 D. 2【解答】解：圆x2 y2-2y-5=0化成标准方程，得x2 (y -1)^6 ,圆x y -2y -5=0 的圆心为C(0,1)，半径r = •. 6 ..直线ax by c -1 =0 经过圆心 C , . a 0 b 1 • c -1 =0 , 即卩b c =1 ,因此，4- =(b c)(-」)=兰b5 ,b c b c b cVb、c>0，二兰+b邯=4，当且仅当兰=卫=2时等号成立.b c v b c b c27. ( 5分)A , B , C是ABC的内角，其中B ，则sin A • sinC的取值范围()3第8页(共18页)【解答】解：由题意得，f (x)二e x cosx —e x sin x , 则f (0) =e °(cosO -sin0) =1，所以在点(0， f(0))处的切线的斜率k=1， 又k =tanr ，则切线的倾斜角二4故选：C .9. (5分)已知两圆 G : (x -4)2 • y 2 =169 , C 2: (x 4)2 y^9 ,动圆在圆 G 内部且和圆 G 相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为()2 2 2 2A . x 丄=1B . A 2L.164 4848 642 22 2C . x —1D . 垒上二148 6464 48【解答】解：设动圆圆心 M(x,y)，半径为r ,2 2. .22T 圆M 与圆C 1 : (x -4) y =169内切，与圆 C 2: (x 4) y =9外切,IMG |=13 -r , IMC 2 |=r 3 , .| MC , | | MC 2 |=16 8 ,由椭圆的定义，M 的轨迹为以G , C 2为焦点的椭圆, 可得a =8 , c =4 ;则 2 2 2b ac 48;A -(¥，1)B -(f ，1]D •(f ，2)s A =i計=ng * JT2 7： ・ A (0,£，A --(- ，c )，33 3 33.sin( A)( 32，1］，故选：B .A-xf (x) =e cosx 的图象在点(0 ,f(0))处的切线的倾斜角为【 解 答 & ( 5分)函数 解464 48-动圆圆心M的轨迹方程:3第11页（共18页）。
广东省深圳市高级中学2018-2019学年高二上学期期中考试+数学(文)(解析版)
深圳市高级中学2018－2019学年第一学期期中考试高二文科数学本试卷4页，22小题，全卷共计150分。
考试时间为120分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的并集即可．【详解】由A中不等式变形得：x（x-3）＜0，解得：0＜x＜3，即A={x|0＜x＜3}，∵B={x|-1＜x＜2}，∴A∪B={x|-1＜x＜3}，故选：B．【点睛】本题考查了并集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.已知平面向量，且，则（）A. B. C. D.【答案】B试题分析：因为，，且，所以，，故选B.考点：1、平面向量坐标运算；2、平行向量的性质.3. “（x+1）（x﹣3）＜0”是“x＞﹣1”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：当“（x+1）（x﹣3）＜0”成立时，可以推出“x＞﹣1”成立，反之则不一定能推．由此即可得到“（x+1）（x﹣3）＜0”是“x＞﹣1”的充分不必要条件．解：∵当“（x+1）（x﹣3）＜0”成立时，可得﹣1＜x＜3∴此时必定有“x＞﹣1”成立，故充分性成立；反之，当“x＞﹣1”成立时，不一定有“﹣1＜x＜3”成立，因此也不能推出“（x+1）（x﹣3）＜0”成立，故必要性不成立．综上所述，“（x+1）（x﹣3）＜0”是“x＞﹣1”的充分不必要条件故选：A考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．4.下列函数中,在区间上为增函数的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据基本初等函数的单调性逐一分析，即可确定答案.【详解】选项A，，底数，在上单调递增，故A正确;选项B，在上单调递增，则在上单调递减，故B错误；选项C，，底数，在上单调递减，故C错误；【点睛】本题主要考查函数单调性的判断，考查常见基本初等函数的单调性，属于基础题.5.为了得到函数的图象，可以将函数的图象A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度【答案】A【解析】【分析】先将函数变形，再利用三角函数的图象的平移方法，即可得到结论．【详解】∵函数，∴为了得到函数的图象，可以将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度故选：A．【点睛】本题考查三角函数的图象的平移与伸缩变换，注意先伸缩后平移时x的系数，属于基础题．6.过点，且圆心在直线上的圆的标准方程为A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据AB的直线方程，求得其垂直平分线的方程，进而求得圆心坐标；利用圆心到点的距离等于半径求得半径，得到圆的方程。
2018-2019学年广东省深圳高中联考联盟高二(上)期末数学试卷(理科)
第1页（共17页）2018-2019学年广东省深圳高中联考联盟高二（上）期末数学试卷（理科）一项符合题目要求）1. （ 5分）设命题P: - n 三N , n 2 3 4 5 6, 2n ，则—P 为（ ）27.（ 5分）已知抛物线y =4x ，以（1,1）为中点作抛物线的弦，则这条弦所在直线的方程为（）A . x-2y 1=0B . 2x-y-1=0C . 2x y-3=0D . x 2y-3=06 （ 5分）已知四棱锥 S -ABCD 中底ABCD 是正方形，且 SD 二AD , SD _面ABCD ，则面SAD 和面SBC 所成的锐角二面角的余弦值为（ ）、选择题（本题共12小题，毎小题5分，共60分。
在每小题列出的四个选项中，中有A . n •, C .n 2 n2 D . -I n 匚 N , n =26第2页（共17页）22. （ 5分）双曲线 乂 -x 2 =1的渐近线方程为（3） A . 8B . 36C . 45D . 724. （ 5分）“ m =2 ”是“椭圆 —y 2 =1离心率为”的（）m 2B .必要不充分条件 D .既不充分又不必要条件5. （ 5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还. ”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前 一天的一半，走了 6天后到达目的地，”则该人第四天走的路程为 （ ）A . 3 里B . 6 里C . 12 里D . 24 里2 26.（ 5分）以双曲线 —-y1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ）9 162|2 2^2 |2|2 |2|2A . （x-5） y =16B . （x-5） y =9C . （x 5） y =9D . （x 5） y =163.（ 5分）设等差数列 B . yJx 3C .{a n }的前n 项和为S n ，若是方程-8x • 5=0的A .充分不必要条件 C .充要条件6 第3页（共17页）C .9. （5分）如图，在正方体ABCD —AB i CP 中，P 是侧面BBQC 内一动点，若P到直线BC与直线C i D i 的距离相等，则动点 P 的轨迹所在的曲线是（）A .直线B .圆C .双曲线D .抛物线210. （5分）如图过抛物线y =2px （p 0）的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点 A , B ,C ,若|BC | = 2|BF |，且|AF | = 3，则抛物线的方程为（取值范围是（ ） 1 1 1 1A . [-1 , --]B .[匚,-4]C . [-1 , 0]D . [-？ , 0]121321432 112. （ 5分）已知数列：1,6,1,7,2,1,8,-,2,- ■■依它的前10项的规律，这个数列的第20191 12 1 23 1 2 34 项a 2019满足（）619. （12分）已知抛物线y 二X ，过点P （1,0）的直线I 交抛物线于 A 、B 两点. （1）求证：OA _OB ; 11.（ 5分）点P 是棱长为 1的正方体ABCD—ABGD 的底面ABGD 上一点，则PATC !的1Pi ClB . y =9xA . y x2、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. （5分）等比数列｛%｝中，已知a^3，则玄3玄5二y, x14. ______________________________________________________________________ （5分）若x , y 满足约束条件 x y, 1，则目标函数z =2x • y 的最大值是 ____________________ .y..._ 115. （5 分）在平行六面体 ABCD —ARGR 中，AB=1 , AD =2 , AA=3，乙BAD =90* ,.BAA =/DAA =60，贝U AC 1 的长为 _________ .16. （5分）在地平面上有一旗杆 OP （O 在地面），为了测得它的高度 h ，在地平面上取一长 度为20m 的基线AB ，在A 处测得P 点的仰角为30，在B 处测得P 点的仰角为45，又 测得£AOB =30，则旗杆的高h 等于 m .三、解答题：（共70分。
广东省深圳市龙岗区2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题(文科)(解析版) (1)
广东省深圳市龙岗区2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“都有”的否定是A. ，使得B. ，使得C. ，都有D. ，都有【答案】B【解析】解：由全称命题的否定为特称命题，可得命题“都有”的否定是“都有”，故选：B．运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命题的否定．本题考查命题的否定，注意运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，考查转化思想，属于基础题．2.不等式成立的一个充分不必要条件是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：不等式化为：，即，，解得，不等式成立的一个充分不必要条件是．故选：A．不等式化为：，解出即可判断出结论．本题考查了简易逻辑的判定方法、一元二次不等式与分式不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.某双曲线的渐近线方程为，虚轴长为2，则此双曲线的实轴长为A. 1B. 4C. 1或4D. 2或4【答案】C【解析】解：双曲线的焦点坐标在x轴时可得，，，双曲线的实轴长为；双曲线的焦点坐标在y轴时．，双曲线的实轴长为故选：C．根据双曲线焦点位置，分别求得双曲线的实轴长即可．本题考查双曲线的简单性质以及双曲线方程的求法，考查计算能力属于基础题．4.在中，已知，，，则c等于A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，，，由正弦定理，可得：，，在中，故选：D．由已知利用正弦定理可求，可求A，结合直角三角形的边角关系求解．本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．5.设等差数列的前n项和为，若，，则A. 12B. 14C. 18D. 21【答案】B【解析】解：设等差数列的公差为d，则，，联立解得，，，故选：B．由题意可得首项和公差的方程组，解方程组由通项公式可得．本题考查等差数列的求和公式和通项公式，属基础题．6.在等比数列中，，，则A. 64B. 或64C. 或128D. 128【答案】D【解析】解：等比数列中，，，，，故选：D．先通过和求得，再根据求得本题主要考查了等比数列的通项公式属基础题．7.已知x，y满足则的最大值为A. B. 26 C. 18 D.【答案】C【解析】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数为，由图可知，当直线过时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为18．故选：C．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．8.海洋中有A，B，C三座灯塔其中A，B之间距高为a，在A处观察B，其方向是南偏东，观察C，其方向是南偏东，在B处現察C，其方向是北偏东，B，C之的距离是A. aB.C.D.【答案】D【解析】解：如图所示，由题意可知，，，，在中，由正弦定理得，即故选：D．作出示意图，根据正弦定理求出BC．本题考查了正弦定理，解三角形的应用，属于基础题．9.已知x，，，若恒成立，则实数t的取值范围A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，所以，4xy的最大值为1，则．因此，实数t的取值范围为．故选：A．利用基本不等式求出4xy的最大值，从而可得出t的取值范围．本题考查基本不等式的应用，通过利用基本不等式求代数的最值，得出参数的取值范围，考查计算能力，属于中等题．10.F是双曲线的焦点，点A是双曲线上一点，且轴，且A点的纵坐标是，则双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：不妨设F为双曲线的右焦点，则，，即，轴，且A点的纵坐标是，，即，，，故选：D．不妨设F为双曲线的右焦点，则，求出点A的坐标，即可得到，则，即可求出离心率本题考查双曲线的离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．11.已知的三个内角，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则A. a，b，c成等差数列B. ，，成等比数列C. ，，成等差数列D. ，，成等比数列【答案】C【解析】解：由题意知，，根据正弦、余弦定理得，，化简可得，，即，所以、、成等差数列，故选：C．根据正弦、余弦定理化简，再由等差中项的性质判断出正确答案．本题考查正弦、余弦定理，以及等差中项的性质，考查化简、计算能力，属于中档题．12.P是抛物线上的一个动点，Q是圆上的一个动点，是一个定点，则的最小值为A. 3B. 4C. 5D.【答案】B【解析】解：由抛物线方程，可得抛物线的焦点，准线为，又，即N与F重合．由抛物线的定义可得为P到准线的距离，圆的圆心设为，半径为1，如图，过圆的圆心M作抛物线的准线的垂线MH，交圆于Q，交抛物线于P，此时取得最小值，且为．故选：B．由题意画出图形，根据N为抛物线的焦点，可过圆的圆心M作抛物线的准线的垂线MH，交圆于Q，交抛物线于P，则的最小值等于．本题考查了圆与圆锥曲线的关系，考查了抛物线的简单几何性质，考查了数学转化思想方法，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设点P是双曲线上一点，，分别是此双曲线的左右焦点若，则______．【答案】9【解析】解：双曲线的，，，若P在双曲线的左支上，可得的最小值为，由，，即有；若P在双曲线的右支上，可得的最小值为，，则P不可能在右支上，综上可得．故答案为：9．求得双曲线的a，b，c，讨论P在双曲线的左支和右支上，结合双曲线的定义和P与焦点的距离的最小值，即可得到所求值．本题考查双曲线的定义、方程和性质，注意分类讨论思想，考查运算能力，属于基础题．14.已知一条抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且经过点，则抛物线的准线为______．【答案】【解析】解：设抛物线的标准方程为，，点在抛物线上，，抛物线的方程为，则抛物线的准线为．故答案为：，设抛物线的标准方程为，，代入点的坐标求P，可得答案；本题考查了抛物线的标准方程，直线与抛物线的相交弦长问题，计算时注意抛物线的标准方程特征，属于基础题．15.若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的取值范围为______【答案】【解析】解：时，不等式可化为，设，，则在内的最小值为，关于x的不等式在区间上有解，实数m的取值范围是．故答案为：．时不等式可化为，求出在内的最小值，即可写出m的取值范围．本题考查了含有参数的一元二次不等式在某一闭区间上有解的应用问题，是基础题．16.在数列中，，，且数列是等比数列，则______．【答案】【解析】解：数列中，，，且数列是等比数列，，，数列是首项为2，公比为2的等比数列，，解得．故答案为：．推导出数列是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出．本题考查数列的通项公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在中，a，b，c是A，B，C所对的边，若．求C角大小；若，且，求边c．【答案】解：在中，，可得：，由余弦定理可得：，，．，，可得：，，由余弦定理可得：．【解析】由已知结合余弦定理可求的值，结合C的范围及特殊角的三角函数值即可得解．由已知可求ab的值，进而根据余弦定理即可计算得解c的值．本题主要考查了余弦定理，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．18.设P：方程有两个不等的正实根，Q；不等式在R上恒成立若为假，为真，求实数m的取值范围．【答案】解：P：方程有两个不等的正实根Q；不等式在R上恒成立因为为假，为真，所以P与Q一真一假，当P真时，Q假，或，解得；当P假时，Q真，，解得综上，实数m的取值范围是【解析】先化简P与Q，然后根据P与Q一真一假，列式解得结果相并．本题考查了复合命题及其真假，属基础题．19.设与是函数，的两个极值点．试确定常数a和b的值；求函数的单调区间．【答案】解：由题意可知：，，，，解得分，由得或，由得，的增区间为，；减区间为分【解析】利用与是函数，的两个极值点，导函数的函数值为0，求解即可．通过导函数的符号，求解函数的单调区间即可．本题考查函数的单调性以及函数的极值的求法，考查计算能力．20.数列满足，，，数列的前n项和满足，．请证明数列是等差数列，并求出和的通项公式；设，求数列的前n项和．【答案】证明：数列满足，，，所以：常数，所以：数列是以，1为公差的等差数列，则：，所以：．数列的前n项和满足，．当时，得：，整理得：，即：常数，所以：数列是以为首项，3为公比的等比数列．则：，所以：，则：，，得：，解得：．【解析】直接利用递推关系式求出数列的通项公式．利用的结论，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．21.已知椭圆C的左右焦点，在x轴上，中心在坐标原点，长轴长为4，短轴长为．求椭圆的标准方程；是否存在过的直线l，使得直线l与椭圆C交于A，B，？若存在，请求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【答案】解：设椭圆的方程为，，可得，，即，，则椭圆方程为；假设存在过的直线l，使得直线l与椭圆C交于A，B，，设直线l的方程为，联立椭圆方程可得，设，，，，，即为，由，，化为，可得，化为，方程无解，则不存在过的直线l，使得直线l与椭圆C交于A，B，．【解析】设出椭圆方程，由题意可得a，b，即可得到所求椭圆方程；假设存在过的直线l，使得直线l与椭圆C交于A，B，，设直线l的方程为，联立椭圆方程，运用韦达定理和两直线垂直的条件：斜率之积为，化简整理，解方程即可判断．本题考查椭圆的方程的求法和直线方程与椭圆方程联立，运用韦达定理，以及两直线垂直的条件，考查化简运算能力，属于中档题．22.函数，常数．讨论函数的单调性；，恒成立，求满足要求的最大整数已知数据：，，，，，【答案】解：，，时，，此时函数单调递增．时，，，函数在内单调递减，在内单调递增．，恒成立，，恒成立．令，，．时，，函数此时单调递增，时，，舍去．时，，．令，解得．可得函数在时取得极小值，由题意可得：，令，，令，解得．可得时函数即取得最大值．．，．，，．，，，而，因此4不满足条件．满足的最大整数为3．【解析】，，对分类讨论即可得出单调性．，恒成立，，恒成立令，，对a分类讨论，利用导数研究其单调性可得出最小值进而得出结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
广东省深圳高中联考联盟2018-2019学年第一学期期末考试试题高二文科数学(解析版)
2018-2019学年广东省深圳高中联考联盟高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分满分60分.在每小题绐出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．抛物线y2＝﹣8x的焦点坐标是（）A．（2，0）B．（﹣2，0）C．（4，0）D．（﹣4，0）2．“x2＞1”是“x＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．在等差数列{a n}中，a1＝2，a3+a5＝10，则a7＝（）A．5B．8C．10D．144．命题p：∀x∈R，x2+1＞0，命题q：∃θ∈R，sin2θ+cos2θ＝1.5，则下列命题中真命题是（）A．p∧q B．￢p∧q C．￢p∨q D．p∧（￢q）5．函数y＝x cos x﹣sin x在下面哪个区间上是增函数（）A．（，）B．（π，2π）C．（，）D．（2π，3π）6．若不等式的解集为R，则k的取值范围为（）A．（0，3）B．[0，3]C．（﹣3，0）D．（﹣3，0]7．已知经过椭圆＝1的右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点，则△AF1B的周长为（）A．10B．20C．30D．408．等比数列{a n}每项都是正数，设其前n项和为S n，若满足q＞1，a3+a5＝20，a2a6＝64，则S5＝（）A．31B．36C．42D．489．下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2B．当x＞0时，+≥2C．当x≥2时，x+的最小值为2D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值10．函数y＝（x2﹣1）e|x|的图象大致是（）A．B．C．D．11．函数f（x）＝a x﹣1﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx﹣ny﹣1＝0上，其中m＞0，n＞0，则的最小值为（）A．4B．5C．6D．12．已知定义在R上的函数g（x）满足g（x）+g'（x）＜0，则下列不等式成立的是（）A．e•g（2018）＞g（2019）B．e•g（2018）＜g（2019）C．g（2018）＞e•g（2019）D．g（2018）＜e•g（2019）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设f（x）＝xlnx，若f'（x0）＝2，则x0＝．14．已知双曲线的方程为，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为c（c为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率为．15．设变量x，y满足的约束条件，则z＝32x﹣y的最大值．16．已知椭圆，＝1的左右两个焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）命题p：方程x2﹣x+a2﹣3a＝0有一正根和一负根；命题q：函数y＝x2+（2a﹣3）x+1的图象与x轴有公共点；若命题p∨q为真命题，而命题p∧q为假命题，求实数a的取值范围．18．（12分）已知抛物线C的中心在原点，对称轴是坐标轴，且准线方程为x＝﹣1．（1）求该抛物线C的方程；（2）若M是抛物线C上的一点，已知M到抛物线C的焦点的距离为5，求M点的坐标．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和，数列{b n}满足b n＝S n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和T n．20．（12分）已知公差不为0的等数列{a n}中，a1＝2，且a2+1．a4+1．a8+1成等比数列．（1）求数列{a n}的公差；（2）设数列{b n}满足b n＝，求适合方程b1b2+b2b3+…+b n b n+1＝的正整数n的值．21．（12分）如图，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（），点（2，1）在椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与圆O：x2+y2＝2相切，与椭圆C相交于P，Q两点．①若直线l过椭圆C的右焦点F，求△OPQ的面积；②求证：以线段PQ为直径的圆恒过原点．22．（12分）已知函数f（x）＝a（x2﹣4）﹣lnx+ln2，其中a是实常数．（1）当a＝1时，求函数图象在点（2，f（2））处的切线方程；（2）若f（x）在x＝4处取得极值，求a的值；（3）若f（x）≥0在[2，+∞）恒成立，求a的取值范围．2018-2019学年广东省深圳高中联考联盟高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分满分60分.在每小题绐出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．抛物线y2＝﹣8x的焦点坐标是（）A．（2，0）B．（﹣2，0）C．（4，0）D．（﹣4，0）【分析】数形结合，注意抛物线方程中P的几何意义．【解答】解：抛物线y2＝﹣8x开口向右，焦点在x轴的负半轴上，P＝4，∴＝2，故焦点坐标（﹣2，0），答案选B．【点评】考查抛物线标准方程特征．2．“x2＞1”是“x＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由得：二次不等式的解法有：“x2＞1”⇔“x＜﹣1或x＞1“，由命题间的充分必要条件有：“x＜﹣1或x＞1“是“x＞1”的必要不充分条件，得解【解答】解：解不等式“x2＞1”，得：“x＜﹣1或x＞1“，又“x＜﹣1或x＞1“是“x＞1”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考查了二次不等式的解法及充分必要条件，属简单题3．在等差数列{a n}中，a1＝2，a3+a5＝10，则a7＝（）A．5B．8C．10D．14【分析】由题意可得a4＝5，进而可得公差d＝1，可得a7＝a1+6d，代值计算即可．【解答】解：∵在等差数列{a n}中a1＝2，a3+a5＝10，∴2a4＝a3+a5＝10，解得a4＝5，∴公差d＝＝1，∴a7＝a1+6d＝2+6＝8故选：B．【点评】本题考查等差数列的通项公式，属基础题．4．命题p：∀x∈R，x2+1＞0，命题q：∃θ∈R，sin2θ+cos2θ＝1.5，则下列命题中真命题是（）A．p∧q B．￢p∧q C．￢p∨q D．p∧（￢q）【分析】由于命题p：∀x∈R，x2+1＞0，为真命题，而命题q：∃θ∈R，sin2θ+cos2θ＝1.5为假命题再根据复合命题的真假判定，一一验证选项即可得正确结果．【解答】解：命题p：由于对已知∀x∈R，x2≥0，则x2+1≥1＞0，则命题p：∀x∈R，x2+1＞0，为真命题，￢p为假命题；命题q：由于对∀θ∈R，sin2θ+cos2θ＝1，则命题q：∃θ∈R，sin2θ+cos2θ＝1.5为假命题，￢q为真命题．则p∧q、￢p∧q、￢p∨q为假命题，p∧（￢q）为真命题．故选：D．【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．复合命题的真值表：5．函数y＝x cos x﹣sin x在下面哪个区间上是增函数（）A．（，）B．（π，2π）C．（，）D．（2π，3π）【分析】分析知函数的单调性用三角函数的相关性质不易判断，易用求其导数的方法来判断其在那个区间上是增函数．【解答】解：y'＝cos x﹣x sin x﹣cos x＝﹣x sin x欲使导数为正，只需x与sin x符号总相反，分析四个选项知，B选项符合条件，故选：B．【点评】考查判断函数单调性的方法．一般可以用定义法，导数法，其中导数法判断函数的单调性比较简便．6．若不等式的解集为R，则k的取值范围为（）A．（0，3）B．[0，3]C．（﹣3，0）D．（﹣3，0]【分析】可分k＝0与k≠0讨论解决，当k≠0时，利用可得k的范围，二者取其并即刻．【解答】解：∵不等式的解集为R，∴当k＝0时，﹣＜0，满足题意；当k≠0时，有解得﹣3＜k＜0，综上所述，﹣3＜k≤0．故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质，分k＝0与k≠0讨论是关键，突出考查恒成立问题，属于中档题．7．已知经过椭圆＝1的右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点，则△AF1B的周长为（）A．10B．20C．30D．40【分析】△AF1B为焦点三角形，周长等于两个长轴长，再根据椭圆方程，即可求出△AF1B的周长．【解答】解：∵F1，F2为椭圆+＝1的两个焦点，∴|AF1|+|AF2|＝10，|BF1|+|BF2|＝10，∴△AF1B的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|＝|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝10+10＝20．故选：B．【点评】本题主要考查了椭圆的定义的应用，做题时要善于发现规律，进行转化．8．等比数列{a n}每项都是正数，设其前n项和为S n，若满足q＞1，a3+a5＝20，a2a6＝64，则S5＝（）A．31B．36C．42D．48【分析】利用等比中项的性质求得a3a5＝a2a6，进而根据a3+a5＝20，构造出一元二次方程求得a3和a5，则a1和q 可求得，最后利用等比数列的求和公式求得答案．【解答】解：a3a5＝a2a6＝64，∵a3+a5＝20，∴a3和a5为方程x2﹣20x+64＝0的两根，∵a n＞0，q＞1，∴a3＜a5，∴a5＝16，a3＝4，∴q＝＝＝2，∴a1＝＝＝1，∴S5＝＝31．故选：A．【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式，等比数列的等比中项的性质的应用．解题过程中巧妙的构造出一元二次方程，较快的求得a3和a5，进而求得a1和q．9．下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2B．当x＞0时，+≥2C．当x≥2时，x+的最小值为2D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值【分析】本题中各选项都是利用基本不等式求最值，注意验证一正、二定、三相等条件是否满足即可．A中不满足“正数”，C中“＝”取不到．【解答】解：A中，当0＜x＜1时，lgx＜0，lgx+≥2不成立；由基本不等式B正确；C中“＝”取不到；D中x﹣在0＜x≤2时单调递增，当x＝2时取最大值．故选：B．【点评】本题主要考查利用基本不等式求最值的三个条件，一正、二定、三相等，在解题中要牢记．10．函数y＝（x2﹣1）e|x|的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据函数的函数奇偶性，值域即可判断．【解答】解：因为f（﹣x）＝（x2﹣1）e|x|＝f（x），所以f（x）为偶函数，所以图象关于y轴对称，故排除B，当x→+∞时，y→+∞，故排除A当﹣1＜x＜1时，y＜0，故排除D故选：C．【点评】本题考查了函数图象的识别，关键掌握函数奇偶性，值域，属于基础题．11．函数f（x）＝a x﹣1﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx﹣ny﹣1＝0上，其中m＞0，n＞0，则的最小值为（）A．4B．5C．6D．【分析】由指数函数可得A坐标，可得m+n＝1，整体代入可得＝（）（m+n）＝3++，由基本不等式可得．【解答】解：当x﹣1＝0即x＝1时，a x﹣1﹣2恒等于﹣1，故函数f（x）＝a x﹣1﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，﹣1），由点A在直线mx﹣ny﹣1＝0上可得m+n＝1，由m＞0，n＞0可得＝（）（m+n）＝3++≥3+2＝3+2当且仅当＝即m＝﹣1且n＝2﹣时取等号，故选：D．【点评】本题考查基本不等式求最值，涉及指数函数的性质，属基础题．12．已知定义在R上的函数g（x）满足g（x）+g'（x）＜0，则下列不等式成立的是（）A．e•g（2018）＞g（2019）B．e•g（2018）＜g（2019）C．g（2018）＞e•g（2019）D．g（2018）＜e•g（2019）【分析】令h（x）＝e x g（x），根据函数的单调性判断出h（2018）＞h（2019）即可．【解答】解：令h（x）＝e x g（x），则h′（x）＝e x（g（x）+g′（x））＜0，故h（x）在R递减，故h（2018）＞h（2019），即g（2018）＞eg（2019），故选：C．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道常规题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设f（x）＝xlnx，若f'（x0）＝2，则x0＝e．【分析】由题意求导f′（x）＝lnx+1，从而得lnx0+1＝2；从而解得．【解答】解：∵f′（x）＝lnx+1；故f′（x0）＝2可化为lnx0+1＝2；故x0＝e；故答案为：e【点评】本题考查了导数的求法及应用，属于基础题．14．已知双曲线的方程为，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为c（c为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率为．【分析】根据双曲线方程可得它的渐近线方程为bx±ay＝0，焦点坐标为（±c，0）．利用点到直线的距离，结合已知条件列式，可得b＝c，再用平方关系可算出a＝c，最后利用双曲线离心率的公式，可以计算出该双曲线的离心率．【解答】解：双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，焦点坐标为（±c，0），其中c＝∴一个焦点到一条渐近线的距离为d＝＝c，即b＝c，因此，a＝＝c，由此可得双曲线的离心率为e＝＝故答案为：【点评】本题给出双曲线一个焦点到渐近线的距离与焦距的关系，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．15．设变量x，y满足的约束条件，则z＝32x﹣y的最大值9．【分析】设m＝2x﹣y，作出不等式组对应的平面区域，根据指数函数的单调性只要求出m的最大值即可得到结论．【解答】解：设m＝2x﹣y，得y＝2x﹣m，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y＝2x﹣m，由平移可知当直线y＝2x﹣m，经过点C时，直线y＝2x﹣m的截距最小，此时m取得最大值，由，解得，即C（1，0）．将C的坐标代入m＝2x﹣y，得m＝2，此时z＝32x﹣y的最大值z＝32＝9，即目标函数z＝32x﹣y的最大值是9．故答案为：9．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．16．已知椭圆，＝1的左右两个焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为．【分析】依题意，在△F1PF2中，∠F1PF2＝60°，|F1P|+|PF2|＝2a＝8，|F1F2|＝4，利用余弦定理可求得|F1P|•|PF2|的值，从而可求得△PF1F2的面积．【解答】解：∵椭圆＝1，∴a＝6，b＝3，c＝5．又∵P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°，F1、F2为左右焦点，∴|F1P|+|PF2|＝2a＝12，|F1F2|＝10，|F1F2|2＝（|PF1|+|PF2|）2﹣2|F1P||PF2|﹣2|F1P|•|PF2|cos60°＝144﹣3|F1P|•|PF2|＝100，∴|F1P|•|PF2|＝．∴＝|F1P|•|PF2|sin60°＝．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查余弦定理的应用与三角形的面积公式，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）命题p：方程x2﹣x+a2﹣3a＝0有一正根和一负根；命题q：函数y＝x2+（2a﹣3）x+1的图象与x轴有公共点；若命题p∨q为真命题，而命题p∧q为假命题，求实数a的取值范围．【分析】方程x2﹣x+a2﹣3a＝0有一正根和一负根，由韦达定理得：a2﹣3a＜0，即0＜a＜3，函数y＝x2+（2a﹣3）x+1的图象与x轴有公共点，则△＝（2a﹣3）2﹣4≥0，即a或a，列不等式组求解即可【解答】解：当命题p为真时，由韦达定理得：a2﹣3a＜0，即0＜a＜3，当命题求q为真时，则△＝（2a﹣3）2﹣4≥0，即a或a，又命题p∨q为真命题，而命题p∧q为假命题，则命题p、q一真一假，即或，即实数a的取值范围为：a≤0或或a≥3，故答案为：（∪（，）∪[3，+∞）【点评】本题考查了二次方程根的问题及二次函数有零点问题，复合命题及其真假，属简单题18．（12分）已知抛物线C的中心在原点，对称轴是坐标轴，且准线方程为x＝﹣1．（1）求该抛物线C的方程；（2）若M是抛物线C上的一点，已知M到抛物线C的焦点的距离为5，求M点的坐标．【分析】（1）设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），由准线方程可得p，进而得到抛物线的方程；（2）运用抛物线的定义，可得M的横坐标，进而得到M的坐标．【解答】解：（1）抛物线C的中心在原点，对称轴是坐标轴，且准线方程为x＝﹣1，设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），可得﹣＝﹣1，即p＝2，可得抛物线的方程为y2＝4x；（2）若M是抛物线C上的一点，已知M到抛物线C的焦点的距离为5，由抛物线的定义可得x M+1＝5，即x M＝4，可得M的坐标为（4，±4）．【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查方程思想和转化思想，以及运算能力，属于基础题．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和，数列{b n}满足b n＝S n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）求出数列的首项，利用数列的第n项与前n项和的关系求解数列的通项公式．（2）化简通项公式，然后求解数列的和即可．【解答】解：（1）∵，∴当n＝1时，；当n≥2时，，又∵，∴．…（6分）（2）由已知，，∴T n＝b1+b2+b3+…+b n＝（22+23+24+…+2n+1）﹣2n＝．…（12分）【点评】本题考查数列求和，通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力．20．（12分）已知公差不为0的等数列{a n}中，a1＝2，且a2+1．a4+1．a8+1成等比数列．（1）求数列{a n}的公差；（2）设数列{b n}满足b n＝，求适合方程b1b2+b2b3+…+b n b n+1＝的正整数n的值．【分析】（1）设公差为d，运用等比数列的中项性质，以及等差数列的通项公式，解方程可得公差d，即可得到所求通项公式；（2）求得b n＝＝，b n b n+1＝＝3（﹣），运用裂项相消求和，化简整理，解方程即可得到所求值．【解答】解：（1）公差d不为0的等数列{a n}中，a1＝2，且a2+1．a4+1．a8+1成等比数列，即有（a4+1）2＝（a2+1）（a8+1），即（3+3d）2＝（3+d）（3+7d），解得d＝3，则a n＝a1+（n﹣1）d＝2+3（n﹣1）＝3n﹣1；（2）b n＝＝，b n b n+1＝＝3（﹣），b1b2+b2b3+…+b n b n+1＝3（﹣+﹣+…+﹣）＝3×（﹣）＝，解得n＝20．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21．（12分）如图，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（），点（2，1）在椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与圆O：x2+y2＝2相切，与椭圆C相交于P，Q两点．①若直线l过椭圆C的右焦点F，求△OPQ的面积；②求证：以线段PQ为直径的圆恒过原点．【分析】（1）利用已知条件列出方程，求出椭圆的几何量，即可得到椭圆方程；（2）①椭圆C的右焦点F（，0）．设切线方程为y＝k（x﹣），利用点到直线的距离公式，求出K得到直线方程，联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，得到PQ，然后求解三角形的面积．②（i）若直线PQ的斜率不存在，则直线PQ的方程为x＝或x＝﹣．利用•＝0，推出OP⊥OQ；（ii）若直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y＝kx+m，通过＝，将直线PQ方程代入椭圆方程，设P（x1，y1），Q（x2，y2），利用韦达定理，结合m2＝2k2+2，•＝0，推出结果．【解答】解：（1）由题意，得c＝，即a2﹣b2＝3，又+＝1，解得a2＝6，b2＝3．所以椭圆的方程为+＝1；（2）①椭圆C的右焦点F（，0）．设切线方程为y＝k（x﹣），即kx﹣y﹣k＝0，由＝，解得k ＝±，所以切线方程为y ＝±（x ﹣）．由方程组可得5x 2﹣8x +6＝0，即有x 1+x 2＝，x 1x 2＝，所以|PQ |＝•＝•＝，因为O 到直线PQ 的距离为，所以△OPQ 的面积为•＝；②（i ）若直线PQ 的斜率不存在，则直线PQ 的方程为x ＝或x ＝﹣．当x ＝时，P （，），Q （，﹣）．因为•＝0，所以OP ⊥OQ ．当x ＝﹣时，同理可得OP ⊥OQ ，即有（ii ）若直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为y ＝kx +m ，即kx ﹣y +m ＝0．因为直线与圆相切，所以＝，即m 2＝2k 2+2；将直线PQ 方程代入椭圆方程，得（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣6＝0．设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则有x 1+x 2＝﹣，x 1x 2＝，因为•＝x 1x 2+y 1y 2＝x 1x 2+（kx 1+m ）（kx 2+m ）＝（1+k 2）x 1x 2+km （x 1+x 2）+m 2＝（1+k 2）•+km （﹣）+m 2，将m 2＝2k 2+2代入上式可得•＝0，所以以线段PQ 为直径的圆恒过原点．【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力 22．（12分）已知函数f （x ）＝a （x 2﹣4）﹣lnx +ln 2，其中a 是实常数． （1）当a ＝1时，求函数图象在点（2，f （2））处的切线方程； （2）若f （x ）在x ＝4处取得极值，求a 的值；（3）若f （x ）≥0在[2，+∞）恒成立，求a 的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（2），f′（2）的值，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，根据函数极值的意义，得到关于a的方程，解出即可；（3）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数f（x）的单调区间，求出函数的最小值，根据f（x）min≥0，从而确定a的范围即可．【解答】解：（1）a＝1时，f（x）＝x2﹣4﹣lnx+ln2，f′（x）＝2x﹣，故f（2）＝0，f′（2）＝，故切线方程是：y＝（x﹣2），即y＝x﹣7；（2）f′（x）＝2ax﹣，由题意f′（4）＝8a﹣＝0，解得：a＝；（3）f′（x）＝，①a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在[2，+∞）递减，而f（2）＝0，故f（x）≤0在[2，+∞）恒成立，不合题意；②a＞0时，令f′（x）＝0，解得：x＝，令＞2，解得：0＜a＜，故0＜a＜时，＞2，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：2＜x＜，故f（x）在[2，）递减，在（，+∞）递增，故f（x）min＝f（）＝﹣4a+ln2+lna，问题转化为只需﹣4a+ln2+lna≥0，（0＜a＜），即只需1﹣8a+3ln2+lna≥0（0＜a＜），令h（a）＝1﹣8a+3ln2+lna≥0（0＜a＜），h′（a）＝﹣8+＞0，h（a）在（0，）递增，而h（）＝0，故h（a）＜0在（0，）恒成立，故0＜a＜不合题意，a≥时，≤2，故f（x）在[2，+∞）递增，故只需f（2）≥0即可，而f（2）＝0，满足题意，综上，a≥．【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。