北航最优化补考试题(11-12)
北京航空航天大学研究生课程试卷
2011－2012学年第二学期
《最优化理论与算法B》补考试卷
2012年9月20日
姓名:学号：
说明：
•闭卷考试.
•共有6个题目，满分100分；考试时间2小时.
•您的解答务必详细、清晰.
•GoodLuck!
题目123456总分
分数
1.(24分)判断下列每个命题的正误，并说明理由.理由可以是1-3行的解释或者反例；理由
不正确的答案不得分.
(a)线性规划标准形的可行集总是有界的.
(b)如果x和λ分别是原始和对偶问题的最优解，则由互补松弛性我们有原对偶变量的乘
积总是零，即xiλi=0对所有i成立.
(c)对偶单纯形法能够检测一个线性规划问题是不可行或者无界的.
(d)在最小费用网络流问题中，链路费用是分数，但是需求和供给量是整数，最优基本
可行解的每个分量是分数.
1
(e)凸规划的KKT点是全局极小点.
(f)二次规划是凸规划.
(g)半定规划是凸规划.
(h)ℓ1惩罚函数法是非精确惩罚函数法.
(i)二次惩罚函数法中，固定惩罚因子后由该方法得到的近似解是原问题的可行解.
(j)对于线性规划标准形问题，如果最优值是−∞，则可以以某种方式调整右端向量b使
得最优值有限.
(k)两阶段法中，第I阶段的辅助问题的对偶从来不会无界.
(l)最速下降法的收敛速率高度依赖于初始点.
(m)对于二次函数q(x)=12xTGx，牛顿法的收敛速率依赖于矩阵G的条件数.
2.(20分)对于问题
minimize5x
1−3x2
subjectto2x1−x2+4x
3
≤4,
x1+x2+2x
3
≤5,
2x1−x2+x
3
≥1,
x
1≥0,x2≥0,x3
≥0.
(a)以1为转轴元,利用一次转轴运算找到一个基本可行解.
2
(b)从(a)中找到的基本可行解开始，利用单纯形法求解该问题.
(c)对偶问题是什么?
(d)给出对偶问题的解.
3.(10分)考虑问题minx∈IRn∥Ax−b∥22，其中A是m×n矩阵，b是m维向量.
(a)写出最优性的必要条件.这也是一个充分条件吗？
(b)最优解唯一吗？理由是什么？
(c)你能给出最优解的一种闭合(解析)形式吗？可以规定任何你所需的假设.
4.(10分)考虑等式约束二次规划
minimize12xTGx+dTx
subjecttoATx=b,
其中b∈IRm,A∈IRn×m，且假设A的列a1,···,am线性无关。设Z∈IRn×(n−m)是由齐次
线性方程组ATs=0的基础解系中的向量为列组成的矩阵，x′是方程组ATx=b的特解.
请完成以下问题：
(a)把原问题化成等价的无约束极小化问题；
(b)给出(a)中问题有惟一解的充分条件；在此充分条件下，给出解的显式表达式；此时
原问题的最优解是什么？
5.(16分)考虑问题
minimize−x1x
2
subjecttox1+2x
2
−4=0.
(a)计算最优解和Lagrange乘子.
(b)设罚参数为σ，写出该问题的Courant罚函数(二次罚函数).
(c)确定二次罚函数的极小点，由此得到原问题最优解的近似和相应Lagrange乘子的近
似.
6.(20分)考虑等式约束问题
minimizex1+x2subjecttox2=x21.
请完成以下问题：
(a)写出该问题的KKT条件，并求出该问题的KKT点；
(b)以x(0)=0,λ(0)=1为初始点，用解方程组的基本牛顿法解(a)中KKT条件所对应的
方程组，迭代一次;
(c)以x(0)=0,λ(0)=1为初始点，用SQP法求解该等式约束优化问题，迭代一次，要求
用求KKT点的方法解其中的二次规划子问题；
(d)将题目中的等式约束条件x2=x21换成x2≥x21，考虑用SQP法求解所得的不等式约束
优化问题，写出以x(0)=0,λ(0)=1为初始点时，需要求解的二次规划子问题.
3
11-12(2)概率统计B(答案)
东莞理工学院（本科）试卷（B 卷）2011 --2012 学年第二学期一、填空题（共70分 每空2分）2、已知事件A ，B 满足)()(B A P AB P =，且3.0)(=A P ，则=)(B P 0.7 。
3、.抛掷两颗骰子,用X 和Y 分别表示它们的点数(向上的面上的点数),则这两颗骰子的点数和为5的概率是91。
4、袋中有6只白球,4只红球,从中抽取两只。
如果作不放回抽样,则抽得的两个球颜色不同的概率为158；如果作放回抽样,则抽得的两个球颜色不同的概率为 0.48 。
5、已知某对夫妇有四个小孩，则男孩的个数Y 服从的分布为 )5.0 ,4(B ，恰有两个男孩的概率为83，在已知至少有一个女孩的条件下，至少还有一个男孩的概率为1514。
10、一个系统由100个互相独立起作用的部件组成，各个部件损坏的概率均为 0.2，已知必须有80个以上的部件正常工作才能使整个系统工作，则由中心 极限定理可得，整个系统正常工作的概率为 0.5 。
13、设随机变量X 的概率密度为：⎩⎨⎧≤≤=其它 ,010 ,)(2x kx x f ， 则=k 3 .，=2EX 53。
14、设二维随机向量),(Y X 的联合分布密度函数=)(x f XY ⎩⎨⎧≤≤-其它, 00 ,y x e y ，则X 的密度函数=)(x f X ⎩⎨⎧<≥-0,00 ,x x e x ，Y X 与的独立性为不独立。
15、某食品超市的牛奶销售量服从正态分布，每天平均销售200公斤，标准差为20公斤。
如果老板希望牛奶供不应求的概率不超过0.025，则该超市购进的牛奶量至少为239.2公斤。
16、设随机变量X 的概率密度为：⎩⎨⎧≤≤+=其它 ,010 )1()(x x x f θθ，则参数θ的矩估计量=θ XX --112 17、设X 1，X 2，X 3是来自总体X 的简单随机样本，则下列统计量3211X X X T -+=，)(313212X X X T ++=，3213614121X X X T ++=， )(21214X X T +=中， 总体均值的无偏估计量为421,,T T T ， 在上述无偏估计量中最有效的一个为 2T18、在假设检验中，显著性水平α＝0.01时拒绝H 0，则当显著水平α＝0.05时应 拒绝 （拒绝、接收、有时拒绝有时接收）H 0。
（精选）最优化方法复习题
《最优化方法》复习题第一章 概述(包括凸规划)一、 判断与填空题1)].([arg )(arg m in m ax x f x f n n R x R x -=∈∈ √ 2{}{}.:)(min :)(max n n R D x x f R D x x f ⊆∈-=⊆∈ ⨯3 设.:R R D f n →⊆ 若n R x ∈*，对于一切n R x ∈恒有)()(x f x f ≤*，则称*x 为最优化问题)(min x f D x ∈的全局最优解. ⨯4 设.:R R D f n →⊆ 若D x ∈*，存在*x 的某邻域)(*x N ε，使得对一切)(*∈x N x ε恒有)()(x f x f <*，则称*x 为最优化问题)(min x f Dx ∈的严格局部最优解. ⨯5 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值. √6 非空集合n R D ⊆为凸集当且仅当D 中任意两点连线段上任一点属于D . √7 非空集合nR D ⊆为凸集当且仅当D 中任意有限个点的凸组合仍属于D . √8 任意两个凸集的并集为凸集. ⨯9 函数R R D f n →⊆:为凸集D 上的凸函数当且仅当f -为D 上的凹函数. √ 10 设R R D f n →⊆:为凸集D 上的可微凸函数，D x ∈*. 则对D x ∈∀，有).()()()(***-∇≤-x x x f x f x f T ⨯11 若)(x c 是凹函数，则}0)( {≥∈=x c R x D n 是凸集。
√12 设{}kx 为由求解)(min x f D x ∈的算法A 产生的迭代序列，假设算法A 为下降算法，则对{} ,2,1,0∈∀k ，恒有 )()(1k k x f x f ≤+ .13 算法迭代时的终止准则（写出三种）：_____________________________________。
14 凸规划的全体极小点组成的集合是凸集。
最优化复习题及答案
最优化复习题及答案一、选择题1. 最优化问题中，目标函数的值随着决策变量的变动而变动，我们称之为：A. 约束条件B. 可行域C. 目标函数D. 决策变量答案：C2. 在线性规划问题中，如果所有约束条件和目标函数都是线性的，则该问题被称为：A. 非线性规划B. 整数规划C. 线性规划D. 动态规划答案：C3. 以下哪个算法是用于求解无约束最优化问题的？A. 单纯形法B. 梯度下降法C. 拉格朗日乘子法D. 分支定界法答案：B二、填空题4. 在最优化问题中，满足所有约束条件的解称为________。
答案：可行解5. 当目标函数达到最大值或最小值时的可行解称为________。
答案：最优解6. 拉格朗日乘子法主要用于求解带有等式约束条件的________问题。
答案：最优化三、简答题7. 简述单纯形法的基本思想。
答案：单纯形法是一种用于求解线性规划问题的算法。
它通过在可行域的顶点之间移动，逐步逼近最优解。
在每一步中，选择一个进入基的变量，使得目标函数值增加最多，同时选择一个离开基的变量，使得目标函数值不降低。
通过这种方法，单纯形法能够找到线性规划问题的最优解。
8. 解释什么是局部最优解和全局最优解。
答案：局部最优解是指在目标函数的邻域内没有其他解比当前解更优的解。
而全局最优解是指在整个可行域内没有其他解比当前解更优的解。
局部最优解不一定是全局最优解，但全局最优解一定是局部最优解。
四、计算题9. 假设有一个生产问题，需要最小化成本函数 C(x, y) = 3x + 4y，其中 x 和 y 分别表示生产两种产品的产量，且满足以下约束条件： - 2x + y ≤ 12- x + 2y ≤ 18- x, y ≥ 0请求解该最优化问题。
答案：首先，我们可以画出约束条件所形成的可行域。
然后，检查可行域的顶点，这些顶点分别是 (0,0), (0,9), (6,0), (3,6)。
计算这些顶点处的成本函数值，我们得到：- C(0,0) = 0- C(0,9) = 36- C(6,0) = 18- C(3,6) = 30成本函数的最小值为 18，对应的最优解为 (x, y) = (6, 0)。
11-12微分几何试卷A卷
安徽大学2011—2012学年第2学期 《 微分几何》考试试卷（A 卷）（闭卷时间120分钟）院/系年级专业姓名学号一、填空题（每小题3分，共15分）（1）半径为R 的圆的曲率为_________。
（2）正则曲线(),(r s s r是弧长参数）的渐伸线参数方程是。
（3）坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是______________。
（4）在脐点处曲面的第一, 第二类基本量满足____________________。
（5）使法曲率达到最大值和最小值的方向是________________方向。
二、概念题：对的打√，错的打×，（每小题3分，共15（6（7）空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定。
（8）二阶微分方程22(,)2(,)(,)0A u v du B u v dudv C u v dv ++=总表示曲面上两族曲线。
（9）坐标曲线网是正交网的充要条件是0F =，这里F 是第一基本量。
（10）连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的。
三、计算题（11题14分，12题7分, 13，14题各8分，15题13分，共50分）（11）已知曲线32{cos ,sin ,cos 2},(0,)2r t t t t π=∈r ，求①基本向量,,αβγu r u r r；② 曲率κ和挠率τ；③在4t π=处的切线方程。
（12）求曲面z axy =上坐标曲线00,x x y y ==的夹角。
（13）求曲面(,){cos ,sin ,}r u v u v u v cv =r上的曲率线。
（14）求正螺旋面22()z a x y =+在(0,0)点的主曲率、平均曲率、高斯曲率。
（15）已知曲面的第一基本形式为22v du dv vI=+>，求坐标曲线的测地曲率。
(),0四、证明题（16，17小题各6分， 18小题8分，共20分）（16）证明：若曲线的所有切线都经过一个定点，则此曲线是直线。
北航1212考试题目批次《C++程序设计》习题题目练习-练习一-(附答案)
北航1212考试批次《C++程序设计》复习题一一、客观题单项选择题（本大题共20小题，每小题1.5分，共30分）1、在面向对象的程序设计中，一切都是围绕着___展开的（B）。
A．语言 B．类 C．数据类型 D．结构2、以下关于类和对象的叙述中，正确的是（ D）。
A．类和对象间没有联系 B．一个类的成员函数可以任意被调用C．对象是抽象的，而类是具体实现D．一般只有通过具体的对象才能访问类的成员函数3、关于C++语言和C语言的关系的下列描述中，错误的是（ D）。
A．C语言是C++语言的一个子集 B．C++语言对C语言做了些改进C．C++语言与C语言兼容 D．C语言和C++语言都是面向对象的语言4、下列函数中，可以为虚函数的是（ D ）。
A．自定义的构造函数 B．拷贝构造函数 C．静态成员函数D．析构函数5、在一个被调用函数中，关于return语句使用的描述，错误的是（ C ）。
A．被调用函数中可以不用return语句； B．被调用函数中可以使用多个return语句；C．被调用函数中，一个return语句可以返回多个值给调用函数；D．被调用函数中，如果有返回值，就一定要有return语句；6、若用数组名作为函数调用时的实参，则实际上传递给形参的是（A）A、数组首地址B、数组的第一个元素值C、数组中全部元素的值D、数组元素的个数7、在以下关于C++语言的注释的叙述中，不正确的是（C ）A、C++程序中，注释可用“/*”、“*/”形式表示，也可用“//”形式表示B、C++编译器在编译一个程序时，将跳过注释，不对其进行处理C、C++编译器在编译一个程序时，可发现注释中的单词拼写错误D、程序中注释的多少不会影响所生成的可执行文件的长度8、下列关于C++函数的叙述中，正确的是（C）A、每个函数至少要具有一个参数B、每个函数都必须返回一个值C、函数在被调用之前必须先声明D、函数不能自己调用自己9、假定要对类AB定义加号操作符重载成员函数，实现两个AB类对象的加法，并返回相加结果，则该成员函数的声明语句为：（B）。
北航最优化大作业
北航最优化大作业1.引言旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP）是一种经典的组合优化问题，目标是找到一条路径，使得旅行商从起点出发，途经所有城市一次后返回起点，并且总路径长度最短。
TSP问题具有NP-hard的特性，寻找最优解是一个非常具有挑战性的任务。
本文将基于禁忌算法，探讨TSP问题的求解方法。
2.禁忌算法简介禁忌算法是一种基于局部的元启发式算法，通过在过程中禁止一定的动作来跳出局部最优解，以期望获得更好的全局最优解。
算法通过引入禁忌表和禁忌长度等机制，避免过程中陷入局部最优解。
3.TSP问题的数学建模假设有n个城市，城市之间的距离可以表示为一个n×n的距离矩阵D。
TSP问题的目标可以定义为：min ∑_(i=1)^n ∑_(j=1)^(n) D_ij*x_ijs.t. ∑_(i=1)^n x_ij=1,∑_(j=1)^n x_ij=1,∀i ≠ jx_ij∈{0,1}, 1≤i,j≤n其中x_ij表示城市i与城市j之间的路径是否存在，1表示存在，0表示不存在。
4.禁忌算法在TSP问题中的应用（1）初始化选取一个起始解x，计算其路径长度f(x)。
将x设为当前解x_best，将f(x)设为当前解的最优值f_best。
（2）选择邻域解选择当前解的一个邻域解x'，使得x'与x只有一个位置上的交换。
通过随机选择两个位置，进行交换操作。
（3）禁忌判断如果邻域解x'的路径长度f(x')小于当前解的最优值f_best，则更新f_best为f(x')，并将x'设为新的当前解。
否则，比较x'与当前解的禁忌情况。
（4）禁忌更新如果x'未在禁忌表中，或者禁忌表中对应的禁忌周期已过，则将x'设为新的当前解。
否则，选择一个路径长度较短的邻域解x''，即使其路径长度f(x'')大于f_best。
最优化理论试题及答案
最优化理论试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 最优化问题中，目标函数的极值点可能是（）。
A. 最小值点B. 最大值点C. 鞍点D. 所有选项答案：D2. 线性规划问题中，目标函数和约束条件都是线性的，以下说法错误的是（）。
A. 线性规划问题有最优解B. 线性规划问题的最优解可能在可行域的边界上C. 线性规划问题的最优解一定在可行域的边界上D. 线性规划问题的最优解可能在可行域的内部答案：D3. 以下哪个算法不是用于解决非线性规划问题的（）。
A. 梯度下降法B. 牛顿法C. 单纯形法D. 共轭梯度法答案：C4. 在约束优化问题中，拉格朗日乘数法用于（）。
A. 求解无约束问题B. 求解有约束问题C. 求解线性规划问题D. 求解整数规划问题答案：B5. 以下哪个条件不是KKT条件的一部分（）。
A. 梯度为零B. 可行方向C. 对偶可行性D. 互补松弛性答案：B二、填空题（每题2分，共10分）1. 一个最优化问题的可行域是指满足所有_________的解的集合。
答案：约束条件2. 目标函数在点x*处取得极小值，当且仅当在该点处的_________为零。
答案：梯度3. 线性规划问题的标准形式通常包括_________和_________两部分。
答案：目标函数；约束条件4. 拉格朗日乘数法中，拉格朗日函数是原目标函数和_________的和。
答案：约束条件的线性组合5. 非线性规划问题中，牛顿法的迭代公式是x_{k+1} = x_{k} -H(x_{k})^{-1}_________。
答案：∇f(x_{k})三、简答题（每题5分，共20分）1. 简述什么是凸优化问题，并给出一个例子。
答案：凸优化问题是一类特殊的最优化问题，其中目标函数是凸函数，可行域是凸集。
例如，二次规划问题就是凸优化问题的一个例子。
2. 解释什么是局部最优解和全局最优解。
答案：局部最优解是指在目标函数的邻域内比所有其他点都更优的解，但不一定在整个可行域内最优。
北航最优化方法最新最全答案2015版详解
部分习题参考解答
刘红英 编
北京航空航天大学数学与系统科学学院 2015 年 5 月
内容简介
本书是《数学规划基础》(刘红英，夏勇，周水生，北京航空航天大学出版社，2012.10)的 配套教学辅导材料，较详细地给出了该教材各章后部分习题的参考解答.
前言
本习题解答自 2008 年春季开始编写，当时由硕士研究生阎凤玉提供部分习题解答， 经讨论和确认后，由作者首次录入排版. 后来陆续参加习题解答修订的硕士研究生包括王 浩、欧林鑫、朱丽媛、易彩霞和杨茜，其中的数值结果由欧林鑫提供. 作者在此向他们的 辛勤劳动表示衷心的感谢.
本解答得到了？项目的资助，在此表示感谢. 由于这些参考解答尚未经过特别严格的校对，仅供参考. 任何意见、建议或其它反馈 都可以发送至liuhongying@，在此深表感谢.
刘红英 2015.5 于北京
目录
第一章 引言
1
第二章 线性规划: 基本理论与方法
3
第三章 线性规划：应用及扩展
maximize 200x + 60y + 206z
subject to 3x + y + 5z ≤ 8000000
5x + y + 3z ≤ 5000000
x, y, z ≥ 0, 且 x, y, z 是整数.
忽略掉整性要求后，调用 Matlab 中的 linprog.m 函数求解，得最优解 x = 0, y = 500000, z = 1500000，自动满足整性要求.
(x)(∇ri
(x))T
2A(x)T A(x).
1.6 考虑向量值函数 f (x) : Rn → Rm ，设 f 的每个分量函数 fi(x) 在 x′ 都可微. 写出 f 在 x′ 的Taylor展式，请用 A(x)T 表示 ∇f (x)T (= [∇f1(x), · · · , ∇fm(x)]).
最优化方法(试题+答案)
一、 填空题1.若()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212121312112)(x x x x x x x f ，则=∇)(x f ，=∇)(2x f .2.设f 连续可微且0)(≠∇x f ，若向量d 满足 ，则它是f 在x 处的一个下降方向。
3.向量T)3,2,1(关于3阶单位方阵的所有线性无关的共轭向量有 . 4. 设R R f n →:二次可微，则f 在x 处的牛顿方向为 . 5.举出一个具有二次终止性的无约束二次规划算法： .6.以下约束优化问题：)(01)(..)(min 212121≥-==+-==x x x g x x x h t s x x f的K-K-T 条件为：. 7.以下约束优化问题：1..)(min 212221=++=x x t s x x x f的外点罚函数为（取罚参数为μ） .二、证明题（7分+8分）1.设1,2,1,:m i R R g n i =→和m m i R R h ni ,1,:1+=→都是线性函数，证明下面的约束问题：},,1{,0)(},1{,0)(..)(min 1112m m E j x h m I i x g t s x x f j i nk k+=∈==∈≥=∑=是凸规划问题。
2.设R R f →2:连续可微，n i R a ∈，R h i ∈，m i ,2,1=，考察如下的约束条件问题：},1{,0}2,1{,0..)(min 11m m E i b x a m I i b x a t s x f i T i i Ti +=∈=-=∈≥-设d 是问题1||||,0,0..)(min ≤∈=∈≥∇d E i d a Ii d a t s d x f Ti Ti T的解，求证：d 是f 在x 处的一个可行方向。
三、计算题（每小题12分）1.取初始点T x )1,1()0(=.采用精确线性搜索的最速下降法求解下面的无约束优化问题（迭代2步）：22212)(m in x x x f +=2.采用精确搜索的BFGS 算法求解下面的无约束问题：21222121)(min x x x x x f -+=3.用有效集法求解下面的二次规划问题：.0,001..42)(min 2121212221≥≥≥+----+=x x x x t s x x x x x f4.用可行方向算法（Zoutendijk 算法或Frank Wolfe 算法）求解下面的问题（初值设为)0,0()0(=x,计算到)2(x 即可)：.0,033..221)(min 21211222121≥≥≤+-+-=x x x x t s x x x x x x f参考答案一、填空题 1. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++3421242121x x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛4224 2. 0)(<∇d x f T3. T)0,1,2(-，T)1,0,3(-（答案不唯一）。
概率统计2011-2012(2)考试A卷及答案20120620
设二维随机变量 (X ,Y )
的概率密度为
f
(x,
y)
=
x
2
+
1 3
xy,0
x
1,0
y
2
,
0, 其它
试求：（1）求 (X ,Y ) 关于 X 边沿概率密度 fX (x) ；
（2）求 (X ,Y ) 关于Y 的边沿概率密度 fY ( y) ；
（3）求 P{X + Y 1} 。
+
n
1 −
m
(
k
n =m+1
X
k
)2
服从的分布为
。
5、设
X1, X2,L
, Xn 是来自总体
X
的样本，且 EX
=
, DX
= 2 ，记
A1
=
X
=
1 n
n k =1
Xk
，
S 2
=
1 n
n k =1
(Xk
− X )2 ，若 ˆ 2
=
A12 + cS 2 是 2 的无偏估计量，
则常数 c =
A6-5
五、（满分 10 分）（此题学过 1 至 9 章和 11-13 章的学生作，仅学过 1 至 9 章的学生不做） 四个位置:1,2,3,4 在圆周上逆时针排列。粒子在这四个位置上随机游动。粒子
从任何一个位置,以概率 2 逆时针游动到相邻位置; 以概率 1 顺时针游动到相邻位
3
3
置;以 X (n) = j 表示时刻 n 粒子处在位置 j( j = 1,2,3,4) ,
。
2、设随机变量