高考数学一轮复习导数与函数的单调性课件
解析 (1)f′(x)＝ax2－2x＋1≥0⇒a≥－x得 f′(x)＝1x＋2(x－b)＝1x＋2x－2b，因为函数 f(x)在12，2上存在单调递增区
间，所以 f′(x)＝1x＋2x－2b>0 在12，2上有解，所以 b<21x＋xmax，x∈12，2，由函数
规律方法 利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含 参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.分类讨论时，要做到 不重不漏.
【训练2】 (1)已知函数f(x)＝ax＋ln x(a＜0)，则f(x)的单调递增区间是__________；单 调递减区间是__________. (2)已知a为实数，函数f(x)＝x2－2aln x.求函数f(x)的单调区间. (1)解析 由已知得 f(x)的定义域为(0，＋∞).因为 f′(x)＝a＋1x＝ax＋x 1a，所以当 x ＞－1a时，f′(x)＜0，当 0＜x＜－1a时，f′(x)＞0，所以 f(x)的单调递增区间为0，－1a. 单调递减区间为－1a，＋∞. 答案 0，－1a －1a，＋∞
6.(2019·北京卷)设函数f(x)＝ex＋ae－x(a为常数).若f(x)为奇函数，则a＝________； 若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是________.
解析 ∵f(x)＝ex＋ae－x(a 为常数)的定义域为 R，∴f(0)＝e0＋ae－0＝1＋a＝0， ∴a＝－1.∵f(x)＝ex＋ae－x，∴f′(x)＝ex－ae－x＝ex－eax.∵f(x)是 R 上的增函数， ∴f′(x)≥0 在 R 上恒成立，即 ex≥eax在 R 上恒成立，∴a≤e2x 在 R 上恒成立.又 e2x>0，∴a≤0，即 a 的取值范围是(－∞，0].
【训练 3】 (1)函数 f(x)＝13x3－a2x2＋2x＋1 的递减区间为(－2，－1)，则实数 a 的值 为________. (2)若 f(x)＝－12x2＋bln(x＋2)在[－1，＋∞)上是减函数，则实数 b 的取值范围是 ________. 解析 (1)f′(x)＝x2－ax＋2，由已知得－2，－1 是 f′(x)的两个零点，所以有 ff′′（（－－21））＝＝41＋＋2aa＋＋22＝＝00，，解得 a＝－3.
答案 f(a)＜f(b)
5.函数 f(x)＝exx的单调递增区间为________；单调递减区间为________. 解析 函数的定义域为{x|x≠0}，且 f′(x)＝ex（xx－2 1），令 f′(x)>0 得 x>1， f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，令 f′(x)<0，得 x<1 且 x≠0，f(x)的单调减 区间为(－∞，0)和(0，1). 答案 (1，＋∞) (－∞，0)和(0，1)
综上可得： 当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当 a≤－12时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递减； 当－12＜a＜0 时，f(x)在0，－（a＋1）a ＋ 2a＋1，－（a＋1）a － 2a＋1，＋∞上 单调递减， 在－（a＋1）a ＋ 2a＋1，－（a＋1）a － 2a＋1上单调递增.
答案 －1 (－∞，0]
考点一 求不含参数的函数的单调性 【例 1】 已知 f(x)＝12x3＋x2ex，讨论 f(x)的单调性.
解 由题意得 f′(x)＝32x2＋2xex＋12x3＋x2ex＝12x3＋52x2＋2xex＝12x(x＋1)(x＋4)ex.
令f′(x)＝0，解得x＝0，x＝－1或x＝－4. 当x<－4时，f′(x)<0，故f(x)为减函数； 当－4<x<－1时，f′(x)>0，故f(x)为增函数； 当－1<x<0时，f′(x)<0，故f(x)为减函数； 当x>0时，f′(x)>0，故f(x)为增函数. 综上知，f(x)在(－∞，－4)和(－1，0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数.
(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞). f′(x)＝ax＋（x＋21）2＝ax2＋x（（2xa＋＋12））2x＋a. 当a≥0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增. 当a＜0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a， 由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1). ①当 a＝－12时，Δ＝0，f′(x)＝－x（12（x＋x－1）1）2 2≤0，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递减. ②当 a＜－12时，Δ＜0，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递减.
答案 (1)B (2)C
考点二 求含参函数的单调性 【例 2】 设函数 f(x)＝aln x＋xx－ ＋11，其中 a 为常数.
(1)若 a＝0，求曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)讨论函数 f(x)的单调性. 解 (1)由题意知 a＝0 时，f(x)＝xx－＋11，x∈(0，＋∞). 此时 f′(x)＝（x＋21）2.可得 f′(1)＝12，又 f(1)＝0，所以曲线 y＝f(x)在(1，f(1))处的切 线方程为 x－2y－1＝0.
考点三 利用函数的单调性求参数 【例 3】 (1)已知函数 f(x)＝13ax3－x2＋x 在区间(0，2)上是单调增函数，则实数 a 的
取值范围为________. (2)已知函数 f(x)＝ln x＋(x－b)2(b∈R)在12，2上存在单调递增区间，则实数 b 的 取值范围是________.
[常用结论与易错提醒] (1)解决一次、二次函数的单调性问题不必用导数. (2)有些初等函数(如f(x)＝x3＋x)的单调性问题也不必用导数. (3)根据单调性求参数常用导数不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0求解，注意检验等号. (4)注意函数、导函数的定义域.
诊断自测 1.判断下列说法的正误.
3.已知单调性求解参数范围的步骤为： (1)对含参数的函数f(x)求导，得到f′(x)； (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在[a，b]上单 调递减，则f′(x)≤0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围； (3)验证参数范围中取等号时，是否恒有f′(x)＝0.若f′(x)＝0恒成立，则函数f(x)在 (a，b)上为常数函数，舍去此参数值.
规律方法 确定函数单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f′(x)； (3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.
【训练 1】 (1)函数 y＝12x2－ln x 的单调递减区间为(
)
(2)根据导函数的几何意义，易得函数 f(x)与 f′(x)的图象如图所示，由图易得当 x＝0 或 x＝2 时，f(x)＝0，则函数 g(x)＝f（exx）的定义域为(－∞，0)∪(0，2)∪(2，＋∞)， 排除选项 B，D；g′(x)＝ex（f（xf） 2（－x）f′（x）），由图易得当 x∈(0，1)时，f(x)>f′(x)， 即 g′(x)＝ex（f（xf） 2（－x）f′（x））>0，所以函数 g(x)＝f（exx）在(0，1)上是增函数，故 选项 A 错误；又由图易得当 x∈1，43时，f(x)<f′(x)，即 g′(x)＝ex（f（xf） 2（－x）f′（x）） <0，所以函数 g(x)＝f（exx）在1，43上是减函数，故选 C.
(1)若可导函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.( ) (2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.( ) (3)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件.( ) 解析 (1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f′(x)≥0. (3)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件. 答案 (1)× (2)√ (3)×
③
当
－
1 2
＜
a
＜0
时 ， Δ ＞ 0. 设
x1 ， x2(x1 ＜ x2) 是 函 数
g(x)的两个零点， 则
x1 ＝
－（a＋1）＋ a
2a＋1，x2＝－（a＋1）a －
2a＋1 .
由 x1＝a＋1－－a2a＋1＝
a2＋2a＋1－ －a
2a＋1＞0，
所以x∈(0，x1)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减； x∈(x1，x2)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增； x∈(x2，＋∞)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减.
的性质易得当 x＝2 时，21x＋x 取得最大值，即21x＋xmax＝2×1 2＋2＝94，所以 b 的取值
范围为－∞，94. 答案 (1)[1，＋∞)
(2)－∞，94
规律方法 利用单调性求参数的两类热点问题的处理方法 (1)函数f(x)在区间D上存在递增(减)区间. 方法一：转化为“f′(x)>0(<0)在区间D上有解”； 方法二：转化为“存在区间D的一个子区间使f′(x)>0(<0)成立”. (2)函数f(x)在区间D上递增(减). 方法一：转化为“f′(x)≥0(≤0)在区间D上恒成立”问题； 方法二：转化为“区间D是函数f(x)的单调递增(减)区间的子集”.
2.利用导数求函数单调区间的基本步骤是： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)； (3)由f′(x)＞0(或＜0)解出相应的x的取值范围.当f′(x)＞0时，f(x)在相应的区间内是 单调递增函数；当f′(x)＜0时，f(x)在相应的区间内是单调递减函数. 一般需要通过列表，写出函数的单调区间.
第2节 导数与函数的单调性
考试要求 1.了解函数的单调性与导数的关系；2.能利用导数研究函数的单调性，会 求函数的单调区间.
知识梳理 1.函数的单调性与导数的关系
已知函数f(x)在某个区间内可导， (1)如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内__单__调__递__增_； (2)如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内_单__调__递__减__.
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高考数学复习考点知识专题讲解课件16---导数与函数的单调性
综上所述，当 a＝0 时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增； 当 a>0 时，f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增； 当 a<0 时，f(x)在－∞，ln－a2上单调递减，在ln－a2，＋∞上单调递增．
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新高考 大一轮复习 · 数学 题型三 函数单调性的应用 命题点 1 比较大小或解不等式 例 2 (1)已知定义在 R 上的函数 f(x)，g(x)满足：对任意 x∈R，都有 f(x)＞0，g(x) ＞0，且 f′(x)g(x)－f(x)g′(x)＜0.若 a，b∈R＋且 a≠b，则有( ) A．fa＋2 bga＋2 b＞f( ab)g( ab) B．fa＋2 bga＋2 b＜f( ab)g( ab)
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②当 a＞2 时，令 f′(x)＝0，
得 x＝a－
2a2－4或 x＝a＋
a2－4 2.
当 x∈0，a－ 2a2－4∪a＋ 2a2－4，＋∞时，f′(x)＜0；
当 x∈a－
2a2－4，a＋
2a2－4时，f′(x)＞0.
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所以
f(x)
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新高考 大一轮复习 · 数学 2．函数的极值与导数
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3.函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数 f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数 f(x)在[a，b]上单调递增，则 f(a) 为函数的最小值， f(b)为函数的最大值； 若函数 f(x)在[a，b]上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b) 为函数的最小值．
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新高考 大一轮复习 · 数学 题型三 函数单调性的应用 命题点 1 比较大小或解不等式 例 2 (1)已知定义在 R 上的函数 f(x)，g(x)满足：对任意 x∈R，都有 f(x)＞0，g(x) ＞0，且 f′(x)g(x)－f(x)g′(x)＜0.若 a，b∈R＋且 a≠b，则有( ) A．fa＋2 bga＋2 b＞f( ab)g( ab) B．fa＋2 bga＋2 b＜f( ab)g( ab)
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②当 a＞2 时，令 f′(x)＝0，
得 x＝a－
2a2－4或 x＝a＋
a2－4 2.
当 x∈0，a－ 2a2－4∪a＋ 2a2－4，＋∞时，f′(x)＜0；
当 x∈a－
2a2－4，a＋
2a2－4时，f′(x)＞0.
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所以
f(x)
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新高考 大一轮复习 · 数学 2．函数的极值与导数
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3.函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数 f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数 f(x)在[a，b]上单调递增，则 f(a) 为函数的最小值， f(b)为函数的最大值； 若函数 f(x)在[a，b]上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b) 为函数的最小值．
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导数与函数的单调性-2021届高三数学一轮高考总复习课件
2.函数的极值 (1)判断f(x0)是极值的方法： 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， ①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0) 是极大值； ②如果在x0附近的左侧___f_′__(x_)_＜__0__，右侧__f_′__(_x_)＞__0__， 那么f(x0)是极小值.
(2)求可导函数极值的步骤： ①求 f′(x)； ②求方程 f′(x)＝0 的根； ③检查 f′(x)在方程 f′(x)＝0 的根的左、右值的符号.如果 左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那 么 f(x)在这个根处取得__极__小__值____；如果左右两侧符号一样，那 么这个根不是极值点.
图 2-16-2
A
B
C
D
解析：原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值 点的横坐标大于 0.故选 D.
答案：D
(2)函数f(x)＝(3－x2)ex的单调递增区间是( ) A.(－∞，0) B.(0，＋∞) C.(－∞，3)和(1，＋∞) D.(－3,1) 解析：f′(x)＝－2xex＋(3－x2)ex＝(3－2x－x2)ex，∴f′(x)>0， 即x2＋2x－3<0.解得－3<x<1.∴f(x)的单调递增区间为(－3,1).故 选 D. 答案：D
小值的可能值为端点值，故只需保证gg－ 1＝113＝＋13－ a≥a≥ 0，0，
解
得－13≤a≤13.故选 C.
答案：C
思想与方法 ⊙运用分类讨论思想讨论函数的单调性 例题：(2016 年新课标Ⅰ)已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)若 f(x)有两个零点，求实数 a 的取值范围. 解：(1) f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a). ①设a≥0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0； 当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0. ∴f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.
新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习第三章第二节函数的单调性与最值pptx课件北师大版
(2)求复合函数单调区间的一般步骤:①确定函数的定义域;②求简单函数
的单调区间;③依据“同增异减”确定原函数的单调区间.
(3)单调区间只能用区间表示,不能用不等式或集合表示,当函数有多个单
调区间时,不能用并集符号“∪”表示.
对点训练2(1)(2021山东聊城高三月考)已知函数f(x)的图象如图所示,则函
间是(- ,0),(0, ).
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)如果f(-1)<f(2),那么函数f(x)在[-1,2]上单调递增.( × )
(2)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均单调递增,则函数f(x)在区间(1,3)上单
调递增.( × )
22
21
f(x1)-f(x2)= +1 − +1
2
1
=
2(1 -2 )
.
(1 +1)(2 +1)
2(1 -2 )
因为-1<x1<x2,所以 x1-x2<0,x1+1>0,x2+1>0,于是( +1)( +1)<0,即 f(x1)-f(x2)<0,
2
1
故 f(x1)<f(x2).
令t=4x-x2,则y=log3t,由于y=log3t是(0,+∞)上的增函数,t=4x-x2在(-∞,2)上单
调递增,在(2,+∞)上单调递减,故函数f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减
区间是(2,4).
方法总结求函数单调区间的方法及注意点
(1)求单调区间的常用方法:①定义法;②图象法;③导数法.
微点拨函数单调性定义的等价形式
的单调区间;③依据“同增异减”确定原函数的单调区间.
(3)单调区间只能用区间表示,不能用不等式或集合表示,当函数有多个单
调区间时,不能用并集符号“∪”表示.
对点训练2(1)(2021山东聊城高三月考)已知函数f(x)的图象如图所示,则函
间是(- ,0),(0, ).
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)如果f(-1)<f(2),那么函数f(x)在[-1,2]上单调递增.( × )
(2)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均单调递增,则函数f(x)在区间(1,3)上单
调递增.( × )
22
21
f(x1)-f(x2)= +1 − +1
2
1
=
2(1 -2 )
.
(1 +1)(2 +1)
2(1 -2 )
因为-1<x1<x2,所以 x1-x2<0,x1+1>0,x2+1>0,于是( +1)( +1)<0,即 f(x1)-f(x2)<0,
2
1
故 f(x1)<f(x2).
令t=4x-x2,则y=log3t,由于y=log3t是(0,+∞)上的增函数,t=4x-x2在(-∞,2)上单
调递增,在(2,+∞)上单调递减,故函数f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减
区间是(2,4).
方法总结求函数单调区间的方法及注意点
(1)求单调区间的常用方法:①定义法;②图象法;③导数法.
微点拨函数单调性定义的等价形式
2018高考数学(理)大一轮复习课件：第三章 导数及其应用 第二节 导数与函数的单调性
1 由曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝ 2 x， 3 5 知f′(1)＝－4－a＝－2，解得a＝4.
x2－4x－5 x 5 3 所以f(x)＝4＋4x－ln x－2，则f′(x)＝ ， 4x2 令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5， 因x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x∈(0,5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)内为减函数； 当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)内为增 函数． 所以函数f(x)的单调递增区间为(5，＋∞)，单调递减区 间为(0,5)．
值对不等式解集的影响进行分类讨论．
求函数的单调区间
[例2] x a 3 已知函数f(x)＝ 4 ＋ x －ln x－ 2 ，其中a∈R，且曲
1 线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝ 2 x，求函数f(x) 的单调区间．
[解]
1 a 1 对f(x)求导得f′(x)＝4－x2－x，
第二节 导数与 函数的 单调性
本节主要包括2个知识点： 1.利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间； 2．利用导数解决函数单调性的应用问题.
突破点(一)
基础联通
利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间
抓主干知识的“源”与“流”
1．函数的单调性与导数的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导： (1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内 单调递增 ； (2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内 单调递减 ； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是 常数函数 ．
考点贯通
抓高考命题的“形”与“神”
证明或讨论函数的单调性
判断函数单调性的三种方法
高考数学一轮复习导数在函数中的应用-教学课件
聚焦中考——语文 第五讲
表达方式与记叙的顺序
• （2013·荆门）阅读下文，完成习题。 • ①那天下午6点多，该上公交车的人早已上了车，唯独有个小女孩，在车
门边来回徘徊。眼看着司机就要开车了，我在想，这小女孩肯定是没钱 上车。 ②“小姑娘，上车吧，我帮你交车票钱。”当看到我为她刷完卡后，她 随即上了车，说了声“谢谢阿姨”，一时脸蛋儿全红了。近距离一看， 才发现，小女孩左侧脸上有颗小痣。几天前的一幕不由浮现眼前—— ③送走远方的朋友，我从火车站迎着风雨赶到就近的公交车站台，已是 下午5点多。这时正是下班高峰期，来了几辆公交车，我总也挤不上去。 雨还在急速地下着，人还在不断地涌来。当又一辆10路公交驶来后，我 和许多人一起先往前门挤，但挤不上去。等司机发话后，才从后门好不 容易挤上车。车内人头攒动，人满为患。这人贴人的，身体若要移动一 下都难。正感叹着，我突然感觉好像有一件事还没做。是什么事呢？哦， 对了，没买车票。本想挤到前面去交车钱，可大伙儿都好像没事人一样 在原地一动不动，根本挤不过去。见此情形，司机也没说什么，这样， 我也就心安理得地和大家一样坐了一次免费的公交车。
本题在当年的高考中，出错最多的就是将第(1)题 的 a＝4 用到第(2)题中，从而避免讨论，当然这是错误的．
【互动探究】 1．(2011 届广东台州中学联考)设 f′(x)是函数 f(x)的导函数，
将 y＝f(x)和 y＝f′(x)的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确 的是( D )
考点2 导数与函数的极值和最大(小）值
高考数学一轮复习导数在函数中的应用-教学课件
第2讲 导数在函数中的应用
考纲要求
考纲研读
1.了解函数单调性和导数的关系；能利用 1.用导数可求函数的单 导数研究函数的单调性，会求函数的单调 调区间或以单调区间为 区间(对多项式函数一般不超过三次)． 载体求参数的范围．
高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2111导数的应用课件理新人教A版
答案 －32 3
解法一：因为 f(x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx(1＋cosx)，所以[f(x)]2＝4sin2x(1 ＋cosx)2＝4(1－cosx)(1＋cosx)3，设 cosx＝t，则 y＝4(1－t)(1＋t)3(－1≤t≤1)， 所以 y′＝4[－(1＋t)3＋3(1－t)(1＋t)2]＝4(1＋t)2(2－4t)，所以当－1<t<21时， y′>0；当21<t<1 时，y′<0。所以函数 y＝4(1－t)(1＋t)3(－1≤t≤1)在－1，21 上单调递增，在12，1上单调递减，所以当 t＝12时，ymax＝247；当 t＝±1 时， ymin＝0。所以 0≤y≤247，即 0≤[f(x)]2≤247，所以－32 3≤f(x)≤32 3，所以 f(x)的最小值为－32 3。
(ⅱ)当 0<2a<1，即 0<a<2 时，由 f′(x)>0，得 0<x<a2或 x>1； 由 f′(x)<0，得a2<x<1。 则函数 f(x)的单调递增区间为0，a2，(1，＋∞)， 函数 f(x)的单调递减区间为a2，1。 (ⅲ)当2a＝1，即 a＝2 时，f′(x)≥0 恒成立，则函数 f(x)的单调递增区 间为(0，＋∞)。
2．函数的极值与导数
(1)函数的极小值
若函数 y＝f(x)在点 x＝a 处的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近其他点的函数
值 都小
，且 f′(a)＝0，而且在点 x＝a 附近的左侧 f′(x)＜0 ，右
侧 f′(x)＞0 ，则 x＝a 叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值。
(2)函数的极大值
1．函数 f(x)在区间(a，b)上递增，则 f′(x)≥0，“f′(x)>0 在(a，b)上成 立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件。
解法一：因为 f(x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx(1＋cosx)，所以[f(x)]2＝4sin2x(1 ＋cosx)2＝4(1－cosx)(1＋cosx)3，设 cosx＝t，则 y＝4(1－t)(1＋t)3(－1≤t≤1)， 所以 y′＝4[－(1＋t)3＋3(1－t)(1＋t)2]＝4(1＋t)2(2－4t)，所以当－1<t<21时， y′>0；当21<t<1 时，y′<0。所以函数 y＝4(1－t)(1＋t)3(－1≤t≤1)在－1，21 上单调递增，在12，1上单调递减，所以当 t＝12时，ymax＝247；当 t＝±1 时， ymin＝0。所以 0≤y≤247，即 0≤[f(x)]2≤247，所以－32 3≤f(x)≤32 3，所以 f(x)的最小值为－32 3。
(ⅱ)当 0<2a<1，即 0<a<2 时，由 f′(x)>0，得 0<x<a2或 x>1； 由 f′(x)<0，得a2<x<1。 则函数 f(x)的单调递增区间为0，a2，(1，＋∞)， 函数 f(x)的单调递减区间为a2，1。 (ⅲ)当2a＝1，即 a＝2 时，f′(x)≥0 恒成立，则函数 f(x)的单调递增区 间为(0，＋∞)。
2．函数的极值与导数
(1)函数的极小值
若函数 y＝f(x)在点 x＝a 处的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近其他点的函数
值 都小
，且 f′(a)＝0，而且在点 x＝a 附近的左侧 f′(x)＜0 ，右
侧 f′(x)＞0 ，则 x＝a 叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值。
(2)函数的极大值
1．函数 f(x)在区间(a，b)上递增，则 f′(x)≥0，“f′(x)>0 在(a，b)上成 立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件。
函数的单调性与最值+课件——2025届高三数学一轮复习
探究点一 函数单调性的判断与证明
例1 已知函数，且，讨论 的单调性.
［思路点拨］ 先分离常数，再根据定义判断函数的单调性，注意分 和 两种情况进行讨论.
解：函数，设，，且 ，则 ，当时，在上单调递增，由，得 ，所以，又， ，所以，即 ，此时在 上单调递增；当时，在 上单调递减，由，得，所以 ，又，，所以 ，即，此时在 上单调递减．综上，当时，函数在 上单调递增；当时，函数在 上单调递减.
单调性
单调区间
续表
3.函数的最值
前提
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数 满足
条件
，都有____________； ，使得_____________
，都有____________； ，使得_____________
结论
为最大值
为最小值
几何意义
图象上最高点的_________
图象上最低点的_________
变式题 （多选题）下列函数在其定义域内是增函数的为( )
BD
A. B. C. D.
[解析] 对于A，画出函数 的图象如图所示，易知函数 在其定义域内不是增函数，故A错误；对于B，因为函数是增函数， 是减函数，所以是 上的增函数，故B正确；对于C，函数是减函数，而 为增函数，
在定义域 上为减函数，故C错误；对于D，的定义域为，在上恒成立，故 是上的增函数，故D正确.故选 .
（2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］ 函数 的单调递增区间是_______，单调递减区间是________.
[解析] 由函数的图象可得 的单调递增区间是，单调递减区间是 .
2.［教材改编］ 函数 的最大值为___，最小值为___.
例1 已知函数，且，讨论 的单调性.
［思路点拨］ 先分离常数，再根据定义判断函数的单调性，注意分 和 两种情况进行讨论.
解：函数，设，，且 ，则 ，当时，在上单调递增，由，得 ，所以，又， ，所以，即 ，此时在 上单调递增；当时，在 上单调递减，由，得，所以 ，又，，所以 ，即，此时在 上单调递减．综上，当时，函数在 上单调递增；当时，函数在 上单调递减.
单调性
单调区间
续表
3.函数的最值
前提
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数 满足
条件
，都有____________； ，使得_____________
，都有____________； ，使得_____________
结论
为最大值
为最小值
几何意义
图象上最高点的_________
图象上最低点的_________
变式题 （多选题）下列函数在其定义域内是增函数的为( )
BD
A. B. C. D.
[解析] 对于A，画出函数 的图象如图所示，易知函数 在其定义域内不是增函数，故A错误；对于B，因为函数是增函数， 是减函数，所以是 上的增函数，故B正确；对于C，函数是减函数，而 为增函数，
在定义域 上为减函数，故C错误；对于D，的定义域为，在上恒成立，故 是上的增函数，故D正确.故选 .
（2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］ 函数 的单调递增区间是_______，单调递减区间是________.
[解析] 由函数的图象可得 的单调递增区间是，单调递减区间是 .
2.［教材改编］ 函数 的最大值为___，最小值为___.
第4章+第2讲+导数与函数的单调性2024高考数学一轮复习+PPT(新教材)
所以若f(x)在(2,3)上单调，则实数a的取值范围是(－∞，3]∪92，＋∞.
解析
23a≠0， (2)若f(x)在(2,3)上不单调，则有2<23a<3， 可得3<a<92.
解析
2
PART TWO
核心考向突破
考向一 利用导数研究函数(不含参)的单调性
例1 (1)函数y＝4x2＋1x的单调递增区间为(
解 因为f(x)＝x(1－ln x)，所以f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－ ln x＋x·－1x＝－ln x.
当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0. 所以函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
解
(3)(2021·上饶二模)已知函数f(x)＝2exsinx(e是自然对数的底数)，求f(x) 的单调区间．
解
(ⅱ)当a<
1 3
时，令f′(x)＝0，即3x2－2x＋a＝0，解得x1＝
1－
1－3a
3
，
1＋ 1－3a
x2＝
3
，
令f′(x)>0，则x<x1或x>x2；
令f′(x)<0，则x1<x<x2.
所以f(x)在(－∞，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)
上单调递增．
综上，当a≥13时，f(x)在R上单调递增；
方法二：
当方程f′(x)＝0可解时，确定函数的定义域，解方程f′(x)＝0，求出 实数根，把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和实根按从小到大 的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定f′(x)在各个区间内的 符号，从而确定单调区间．
解析
23a≠0， (2)若f(x)在(2,3)上不单调，则有2<23a<3， 可得3<a<92.
解析
2
PART TWO
核心考向突破
考向一 利用导数研究函数(不含参)的单调性
例1 (1)函数y＝4x2＋1x的单调递增区间为(
解 因为f(x)＝x(1－ln x)，所以f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－ ln x＋x·－1x＝－ln x.
当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0. 所以函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
解
(3)(2021·上饶二模)已知函数f(x)＝2exsinx(e是自然对数的底数)，求f(x) 的单调区间．
解
(ⅱ)当a<
1 3
时，令f′(x)＝0，即3x2－2x＋a＝0，解得x1＝
1－
1－3a
3
，
1＋ 1－3a
x2＝
3
，
令f′(x)>0，则x<x1或x>x2；
令f′(x)<0，则x1<x<x2.
所以f(x)在(－∞，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)
上单调递增．
综上，当a≥13时，f(x)在R上单调递增；
方法二：
当方程f′(x)＝0可解时，确定函数的定义域，解方程f′(x)＝0，求出 实数根，把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和实根按从小到大 的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定f′(x)在各个区间内的 符号，从而确定单调区间．
高考数学大一轮复习第三章导数及其应用2第2讲导数与函数的单调性课件文新人教A版
利用导数求函数单调区间的方法 (1)当导函数不等式可解时，解不等式 f′(x)＞0 或 f′(x)＜0 求出 单调区间． (2)当方程 f′(x)＝0 可解时，解出方程的实根，按实根把函数的 定义域划分区间，确定各区间 f′(x)的符号，从而确定单调区间． (3)当导函数的方程、不等式都不可解时，根据 f′(x)结构特征， 利用图象与性质确定 f′(x)的符号，从而确定单调区间． [提醒] 所求函数的单调区间不止一个时，这些区间之间不能 用“∪”及“或”连接，只能用“，”及“和”隔开．
1．函数 f(x)的定义域为 R，f(－1)＝2，对任意 x∈R，f′(x)＞
2，则 f(x)＞2x＋4 的解集为( )
A．(－1，1)
B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1)
D．(－∞，＋∞)
解析：选 B.由 f(x)＞2x＋4，得 f(x)－2x－4＞0，设 F(x)＝f(x)
－2x－4，则 F′(x)＝f′(x)－2，因为 f′(x)＞2，所以 F′(x)＞0 在
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数 f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有 f′(x)＞0.( ) (2)如果函数 f(x)在某个区间内恒有 f′(x)＝0，则 f(x)在此区间内 没有单调性．( )
答案：(1)× (2)√
函数 f(x)＝cos x－x 在(0，π)上的单调性是( )
2.由函数的单调性与导数的关系可得的结论 (1)函数 f(x)在(a，b)内可导，且 f′(x)在(a，b)任意子区间内都不 恒等于 0，当 x∈(a，b)时： f′(x)≥0⇔函数 f(x)在(a，b)上单调递增； f′(x)≤0⇔函数 f(x)在(a，b)上单调递减． (2)f′(x)＞0(<0)在(a，b)上成立是 f(x)在(a，b)上单调递增(减)的 充分条件． [提醒] 利用导数研究函数的单调性，要在定义域内讨论导数 的符号．
人教版高考总复习一轮数学精品课件 第四章 一元函数的导数及其应用-第四节 三次函数的图象与性质
[, ]上恒成立，可得 ≤ + ， + ≥ ⋅ = ，当且仅当 = 时取等号，可
得 ≤ .故选D.
2
3
（2）已知函数 = 3 + 2 + + 在 = − 与 = 1处都取得极值.
①求,的值与函数 的单调区间；
解 = 3 + 2 + + ，′ = 3 2 + 2 + ，由
−
−
> ,
−
< ,
即
−
−
−
−
+ > ,
解得 < −.故选B.
−
−
+
+ < ,
（2）(2023扬州校考)设为实数，函数 = − 3 + 3 + .
①求 的极值.
解 ′ = −3 2 + 3，令′ = 0，得 = −1或 = 1.当 ∈ −∞, −1 时，′ < 0；
− ,
3
−
3
和极小值点三等分，类似地，对极小值也有类似结论.
自测诊断
1.已知三次函数 =
1 3
3
− 4 − 1 2 + 152 − 2 − 7 + 2在上是增函数，
则实数的取值范围是() D
A. < 2或 > 4B.−4 < < −2C.2 < < 4D.2 ≤ ≤ 4
为
1 ，2
1 ，2