平方差完全平方公式(培优)

文案大全平方差完全平方公式一．选择题（共1小题）1．（1999?烟台）下列代数式，x2+x﹣，，，其中整式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共3小题）2．（2011?湛江）多项式2x2﹣3x+5是_________ 次_________ 项式．

3．（2010?毕节地区）写出含有字母x，y的四次单项式_________ ．（答案不唯一，只要写出一个）4．（2004?南平）把多项式2x2﹣3x+x3按x的降幂排列是_________ ．5．（1999?内江）配方：x2+4x+___=(x+___）2配方：x2-x+ ___=(x-21）2

三．解答题（共26小题）5．计算：（1）（x﹣y）（x+y）（x2+y2）（2）（a﹣2b+c）（a+2b﹣c）

6．计算：1232﹣124×122．

7．计算：．8．（x﹣2y+z）（﹣x+2y+z）．9．运用乘法公式计算．（1）（x+y）2﹣（x﹣y）2；（2）（x+y﹣2）（x﹣y+2）；（3）79.8×80.2；（4）19.92．

10．化简：（m+n﹣2）（m+n+2）．11．（x﹣2y﹣m）（x﹣2y+m）12．计算（1）（a﹣b+c﹣d）（c﹣a﹣d﹣b）；（2）（x+2y）（x﹣2y）（x4﹣8x2y2+16y4）．

13．计算：20082﹣20072+20062﹣20052+…+22﹣12．14．利用乘法公式计算：①（a﹣3b+2c）（a+3b﹣2c）②472﹣94×27+272．15．已知：x2﹣y2=20，x+y=4，求x﹣y的值．_________ 16．观察下列各式：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1…（1）根据上面各式的规律得：（x﹣1）（xm﹣1+xm﹣2+xm﹣3+…+x+1）= _________ ；（其中n为正整数）；（2）根据这一规律，计算1+2+22+23+24+…+268+269的值．

17．先观察下面的解题过程，然后解答问题：题目：化简（2+1）（22+1）（24+1）．解：（2+1）（22+1）（24+1）=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）=（24﹣1）（24+1）=28﹣1．问题：化简（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）…（364+1）．

18．．

19．（2012?黄冈）已知实数x满足x+=3，则x2+的值为_________ ．20．（2007?天水）若a2﹣2a+1=0．求代数式的值．21．（2009?佛山）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．

例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．

22．（2004?太原）已知实数a、b满足（a+b）2=1，（a﹣b）2=25，求a2+b2+ab的值．23．（2001?宁夏）设a﹣b=﹣2，求的值．24．已知（x+y）2=49，（x﹣y）2=1，求下列各式的值：（1）x2+y2；（2）xy．

25．已知x+=4，求x﹣的值．26．已知：x+y=3，xy=2，求x2+y2的值．27．已知a+b=3，ab=2，求a2+b2，（a﹣b）2的值．28．若x+y=2，且（x+2）（y+2）=5，求x2+xy+y2的值．29．x2﹣11x+1=0，求x2+的值．30．已，求下列各式的值：（1）；

（2）．平方差完全平方公式参考答案与试题解析

一．选择题（共1小题）1．（1999?烟台）下列代数式，x2+x﹣，，，其中整式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：整式．分析：解决本题关键是搞清整式的概念，紧扣概念作出判断．解答：解：整式有x2+x

﹣，共2个．故选B．点评：主要考查了整式的有关概念．要能准确的分清什么是整式．整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法．多项式是若干个单项式的和，有加减法．

二．填空题（共3小题）2．（2011?湛江）多项式2x2﹣3x+5是二次三项式．

考点：多项式．专题：计算题．分析：根据单项式的系数和次数的定义，多项式的定义求解．解答：解：由题意可知，多项式2x2

﹣3x+5是二次三项式．故答案为：二，三．点评：本题主要考查多项式的定义，解答此次题的关键是熟知以下概念：多项式中的每个单项式叫做多项式的项；多项式中不含字母的项叫常数项；多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．

3．（2010?毕节地区）写出含有字母x，y的四次单项式x2y2．（答案不唯一，只要写出一个）考点：单项式．专题：开放型．分析：单项式的次数是指单项式中所有字母因数的指数和∴x3y，x2y2，xy3等都是四次单项式．解答：解：根据四次单项式的定义，x2y2，x3y，xy3

等都符合题意（答案不唯一）．点评：考查了单项式的次数的概念．只要两个字母的指数的和等于4的单项式都符合要求．

4．（2004?南平）把多项式2x2﹣3x+x3按x的降幂排列是x3+2x2﹣3x ．考点：多项式．分析：按照x的次数从大到小排列即可．解答：解：按x的降幂排列是x3+2x2﹣3x．点评：主要考查降幂排列的定义，就是按照x的次数从大到小的顺序排列，操作时注意带着每一项前面的符号．

三．解答题（共26小题）5．计算：（1）（x﹣y）（x+y）（x2+y2）（2）（a﹣2b+c）（a+2b﹣c）

考点：平方差公式；完全平方公式．分析：（1）（x﹣y）与（x+y）结合，可运用平方差公式，其结果再与（x2+y2）相结合，再次利用平方差公式计算；（2）先运用平方差公式，再应用完全平方公式．解答：解：（1）（x﹣y）（x+y）（x2+y2），=（x2﹣y2）（x2+y2），=x4﹣y4；（2）（a﹣2b+c）（a+2b﹣c），=a2﹣（2b﹣c）2，=a2﹣4b2+4bc﹣c2．点评：本题主要考查了平方差公式与完全平方公式，熟记公式是解题的关键．平方差公式：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．

6．计算：1232﹣124×122．考点：平方差公式．分析：先把124×122写成（123+1）×（123﹣1），利用平方差公式计算，去掉括号后再合并即可．解答：解：1232﹣124

×122，=1232﹣（123+1）（123﹣1），=1232﹣（1232

﹣12），=1．点评：本题考查平方差公式的实际运用，构造成平方差公式的结构形式是解题的关键．

7．计算：．考点：平方差公式．分析：观察可得：2005=2004+1，2003=2004﹣1，将其写成平方差公式代入原式计算可得答案．解答：解：

，=，=

，=2004．点评：本题考查平方差公式的实际运用，注意要构造成公式的结构形式，利用公式达到简化运算的目的．

8．（x﹣2y+z）（﹣x+2y+z）．考点：平方差公式．专题：计算题．分析：把原式化为[z+（x﹣2y）][z﹣（x﹣2y）]，再运用平方差公式计算．解答：解：（x﹣2y+z）（﹣x+2y+z），=[z+（x﹣2y）][z﹣（x﹣2y）]，=z2﹣（x﹣2y）2，=z2﹣（x2﹣4xy+4y2），=z2﹣x2+4xy﹣4y2．点评：本题考查了平方差公式，整体思想的利用是利用公式的关键，注意运用公式计算会减少运算量．

9．运用乘法公式计算．（1）（x+y）2﹣（x﹣y）2；（2）（x+y﹣2）（x﹣y+2）；（3）79.8×80.2；

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第一章第06讲平方差公式和完全平方公式(10类热点题型讲练)(解析版)

第06讲平方差公式和完全平方公式(10类热点题型讲练)1.理解并掌握平方差公式和完全平方公式的推导和应用；2.理解平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能运用公式进行简单的运算；3.会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法.知识点01 平方差公式平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.　即(a +b )(a -b )=a ²-b ² 公式的几种变化：①位置变化：（b +a )（-b +a ）=(a +b )(a -b )=a ²-b ²；（-a -b ）(a -b )=(-b -a )(-b +a )=(-b +a )(-b -a )=(-b )²-a ²=b ²-a ²②系数变化：（2a +3b ）(2a -3b )=(2a )²-(3b )²=4a ²-9b ²③指数变化：（a ²+b ²）(a ²-b ²)=（a ²）²-（b ²）²=44a b -④增项变化：（a -b -c ）(a -b +c )=(a -b )²-c ²⑤连用公式变化：（a +b ）(a -b )(a ²+b ²)=（a ²-b ²）(a ²+b ²)=（a ²）²-（b ²）²=44a b -⑥公式逆运算：a ²-b ² =(a +b )(a -b )知识点02 完全平方公式完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍.即完全平方和 (a +b )²=a ²+2ab +b ² 完全平方差 (a -b )²=a ²-2ab +b ² （1）公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍（2）公式的变化：①a ²+b ²=(a +b )²-2ab ；②a ²+b ²=(a -b )²+2ab ； ③(a +b )²=(a -b )²+4ab ； ④ (a -b )²=(a +b )²-4ab ⑤(a +b )²-(a -b )²=4ab 知识点03 平方差和完全平方差区别　平方差公式:(a +b )(a -b )=a ²-b ²完全平方差公式： (a -b )²=a ²-2ab +b ²平方差公式和完全平方差公式易混淆，切记完全平方差中间有乘积的2倍题型01 判断是否可用平方差公式运算.【例题】下列各式中不能用平方差公式计算的是（）1．下列能使用平方差公式的是（）A ．()()33x x ++B ．()()x y x y -+-C ．()()55m n m n +--D ．()()33m n m n +-【答案】D【详解】解：A 、不能使用平方差公式，故本选项不符合题意；B 、不能使用平方差公式，故本选项不符合题意；C 、不能使用平方差公式，故本选项不符合题意；D 、能使用平方差公式，故本选项符合题意；故选：D2．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）A ．()()22x y x y -+B ．()()x y x y -+-C ．()()b a b a -+D ．()()x y y x ---【答案】B【详解】解：A 、()()22x y x y -+，能用平方差公式进行计算，不符合题意；B 、()()()()x y x y x y x y -+-=---，不能用平方差公式进行计算，符合题意；C 、()()b a b a -+，能用平方差公式进行计算，不符合题意；D 、()()()()x y y x x y x y ---=--+，能用平方差公式进行计算，不符合题意；故选B ．题型02 运用平方差公式进行运算.（5）解：()()22x y y x x y +-+=-．【变式训练】题型03 利用平方差公式进行简便运算.【例题】（2023上·吉林长春·八年级校考阶段练习）用简便方法计算：(1)498502´ (2)2202220232021-´【答案】(1)249996(2)1【分析】（1）根据()()49850250025002´=-´+，利用平方差公式计算即可得；（2）根据()()2220222023202120222022120221-´=-+´-，利用平方差公式计算即可得．【详解】（1）解：原式()()50025002=-´+225002=-2500004=-249996=．（2）解：原式()()220222022120221=-+´-()222202220221=--22202220221=-+1=．【点睛】本题考查了利用平方差公式进行运算，熟记平方差公式是解题关键．【变式训练】题型04 平方差公式与几何图形.(1)图1中图形的面积为22a b -，图2中图形的面积为(2)由（1）可以得到等式：．(3)根据你得到的等式解决下列问题：①计算：2268.531.5-．②若42m n +=，求()()()222212121m m n n --+++-故答案为：()()22a b a b a b =--´+；（3）①2268.531.5-()()68.531.568.531.5=-´+37100=´3700=；②∵42m n +=，∴()()()222212121m m n n --+++-()()()()1121212121m m m m n n n n =+-++++-+++-218m n=++()241m n =++221=´+5=．【变式训练】（2）请写出图①、图②、图③验证的乘法公式为：______；【应用探究】（3）利用（2）中验证的公式简便计算：4995011´+；（4）计算：22222111111111123420232024æöæöæöæöæö-´-´-´´-´-ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøèøL ．【答案】（1）22a b -；（2）()()22a b a b a b +-=-；（3）250000；(1)上述操作能验证的公式是______（请选择正确的一个）A ．()2a ab a a b +=+ B ．2a b -(2)请应用上面的公式完成下列各题：①已知22424a b -=，26a b +=，则2题型05 运用完全平方公式进行运算【例题】（2023上·河南信阳·八年级校考阶段练习）用乘法公式计算(1)2()x y z ++(2)()()2323x y x y -+-+【答案】(1)222222x y z xy xz yz +++++(2)22469x y y -+-【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，熟知()()()222222a b a ab b a b a b a b +=++-+=-，是解题的关键．（1）根据完全平方公式进行求解即可；（2）先把()3y -看做一个整体利用平方差公式去中括号，再根据完全平方公式去小括号即可得到答案．【详解】（1）解：原式()()222x y z x y z =++++222222x y z xy xz yz =+++++；（2）解：原式()()2323x y x y =+---éùéùëûëû()2243x y =--()22469x y y =--+22469x y y =-+-．【变式训练】1．（2023上·八年级课时练习）计算：(1)()27x y +；(2)()245a b -+；(3)()22m n --；(4)()()2323x y x y +--．【答案】(1)229144y y x x ++(2)22254016b ab a -+(3)2244m mn n -+(4)224129x xy y ---【分析】（1）根据完全平方公式计算即可；（2）根据完全平方公式计算即可；（3）根据完全平方公式计算即可；（4）先提出负号，再完全平方公式计算即可；【详解】（1）解： ()()2222272771449x y x x y y x xy y +=+××+=++；（2）解：()()()()222222455452544254016a b b a b b a a b ab a -+=-=-××+=-+；（3）解：()()()2222222222244m n m n m m n n m mn n --=+=+××+=-+；（4）解：()()2323x y x y +--()223x y =-+()()2222233x x y y éù=-+×+ëû()224129x xy y =-++224129x xy y =---．【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握这一公式的特征是解题的关键．2．（2023上·八年级课时练习）计算：(1)()()22x y z x y z +--+；(2)()2523a b c +-；(3)()()532536a b c a b c +--+．【答案】(1)22244x y yz z -+-(2)2222520304129a ab ac b bc c +-+-+(3)222252092412a ac b bc c +-+-【分析】（1）先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算即可得答案；（2）两次利用完全平方公式计算即可得答案；（3）将原式变形，利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算即可得答案．【详解】（1）解：()()22x y z x y z +--+()()22x y z x y z éùéù=+---ëûëû()222x y z =--()22244x y yz z =--+22244x y yz z =-+-．（2）解：()2523a b c +-()2523a b c éù=+-ëû()()()225225233a b a b c c =+-+×+()2222520230129a ab b ac bc c =++--+2222520304129a ab ac b bc c =+-+-+．（3）(532)(536)a b c a b c +--+.()()()()52345234a c b c a c b c éùéù=++-+--ëûëû()()225234a c b c =+--22222520492416a ac c b bc c =++-+-222252092412a ac b bc c =+-+-．【点睛】本题考查平方差公式及完全平方公式，平方差公式：22()()a b a b a b +-=-；完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+；熟练掌握两公式并灵活运用是解题关键，运用整体思想，将多项式看成一项，可创造条件套用公式．题型06 利用完全平方公式进行简便运算1．用简便算法计算(1)2201720162018-´ (2)2220220219698´++【详解】（1）解：原式()()220172017120171=--+()222201720171=--22201720171=-+1=．（2）解：原式2220222029898=+´´+()220298=+2300=90000=题型07 通过对完全平方公式变形求值【例题】（2023上·四川宜宾·八年级校考阶段练习）已知：3a b +=-，2ab =，求下列各式的值：(1)22a b +；(2)2()a b -．【答案】(1)5(2)1【分析】本题考查了完全平方公式的计算，变形计算．（1）根据公式()2222a b a ab b +=++变形计算即可．（2）根据公式()2222a b a ab b -=-+计算即可．【详解】（1）解：∵3a b +=-，2ab =，∴()29a b +=，()2222a b a ab b +=++，∴22922a b =+´+，解得225a b +=．（2）解：∵225a b +=，2ab =，∴()2222a b a ab b -=-+，∴()2222541a b a ab b -=-+=-=．【变式训练】19=．题型08 求完全平方式中的字母系数题型09 完全平方式在几何图形中的应用【例题】（2023上·江苏·九年级专题练习）我们已经学习了乘法公式()2222a b a ab b ±=±+的多种运用，可以运用所学知识解答：求代数式245x x ++的最小值．解答如下：解：()2224544121x x x x x ++=+++=++，()220x +³，∴当2x =-时，()22x +的值最小，最小值是0，∴()2211x ++³，∴当()220x +=时，()221x ++的值最小，最小值是1，∴245x x ++的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题．(1)知识再现：当x =______时，代数式2415x x -+的最小值是______；(2)知识运用：若2615y x x =-+-，当x =______时，y 有最______值（填“大”或“小”），这个值是______；(3)知识拓展：若25100x x y -+++=，求y x +的最小值．【答案】(1)2，11(2)3，大，6-(3)14-【分析】（1）根据完全平方公式将原式整理后即可确定最小值；（2）将等式右边配方后即可确定当x 取何值时能取到最小值；（3）首先得到有关x y +的关系式，根据完全平方公式将原式整理后确定最小值即可．【详解】（1）解：∵()22415211x x x +-+-=，∴当2x =时，有最小值11；故答案为：2，11；（2）解：∵()2261536y x x x =-+-=---，∴当3x =时有最大值6-；故答案为：3，大，6-；（3）解：∵25100x x y -+++=，∴()22410214x y x x x =-=--+-，∵()220x -³，∴()221414x --³-，∴当2x =时，y x +的最小值为14-．【点睛】本题考查完全平方公式及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．【变式训练】1．例：求代数式245x x +-的最小值.解：Q ()22245444529x x x x x +-=++--=+-，Q ()220x +³，\()2299x +-³-，\当2x =-时，代数式245x x +-有最小值9-，仿照以上方法，完成下列问题：(1)求代数式232023x x -+的最小值；(2)求代数式223x x -++的最大值.(1)代数式241-+有最（填大或小）值，这个值x x(2)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为计一个尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为①用含x的式子表示花圃的面积；②由①可知：2221002(25)1250x x x -+=--+，Q 当25x =时，100250100x -=<，且22(25)0x --£，\当25x =时，花圃的最大面积为1250平方米．题型10 完全平方公式在几何图形中的应用(1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a 、b 的关系式：图1表示：；图2表示：；根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：(2)若8x y +=，2240x y +=，则()2x y -= ；(3)如图3，点C 是线段AB 上的一点，以AC ，BC 为边向两边作正方形，设【详解】（1）解：8x y +=Q(1)利用正方形ABCD 面积的不同表示方法，直接写出是；(2)若m 满足()()22202420234047m m -+-=，请利用（(3)若将正方形EFGH 的边FG 、GH 分别与图①中的求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体数值）【详解】（1）2222a b a b ab+=++（）则()()20242023m m ab --= ，1a b +=，由已知得：224047a b +=()2222a b a b ab +++＝，∴2140472ab =+，∴2023ab =-，∴()()202420232023m m --=-（3）设正方形EFGH 的边长为x ，则8PG x =-，32NG x =-，∵2APGM PBNG CQGNS S S S +=+阴正方形长方形正方形∴()()()()228283232S x x x x =-+--+-阴∵()2222a b a b ab+++＝∴()()2283224576S x x =-+-==éùëû阴一、单选题1．（2023上·河南驻马店·八年级统考阶段练习）下列算式能用平方差公式计算的是（）A ．()()x y y x ++B ．()()x y x y ---+C ．()()x y x y --+D ．()()x y y x --【答案】B【分析】本题主要考查了平方差公式．根据平方差公式特征，逐项判断，即可求解．【详解】解：A 、()()()2x y y x x y +++=，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；B 、()()()()x y x y x y x y =---++-，能用平方差公式计算，故本选项符合题意；C 、()()x y x y --+，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；D 、()()x y y x --，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；故选：B 2．（2023上·河南南阳·八年级统考期中）下列式子：①22)()x y x y +=--（；②()()22x y y x -=- ； ③22()()x y x y x y ---+=-，其中正确的是（）A ．12B ．11C ．10D ．9【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘以单项式与图形的等面积，根据多项式乘以多项式与图形的面积得出等式，即可求解．【详解】解：由图2可得()2222222a b c a b c ab bc ac++=+++++∵22245,38a b c ab bc ac ++=++=，∴()()2222245238121a b a b c b c a bc ac ++=++´++++==，又∵0a b c ++>∴11a b c ++=故选为：B ．二、填空题【答案】()()22a b a b a b -=-+【分析】本题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键，先根据左图和右图分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等即可解答．【详解】解：由作图可得：阴影部分的面积为2a -三、解答题11．（2023上·江苏南通·八年级校联考期中）计算：(1)()243x y -；(2)()()11x y x y +++-；(3)()()()22322x y x y x y +-+-；(4)()()325x y xy -×．【答案】(1)2216249x xy y -+(2)2221x xy y ++-(3)21210xy y +(4)58x y -【分析】本题考查的是整式的混合运算．（1）利用完全平方公式计算即可求解；（2）先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算即可求解；（3）利用完全平方公式和平方差公式计算即可求解；（4）先乘方，再计算乘法．【详解】（1）解：()2224316249x x y xy y =-+-；（2）解：()()11x y x y +++-()21x y =+-2221x xy y =++-；（3）解：()()()22322x y x y x y +-+-x xy y x y 222212944=-+++21210xy y =+；（4）解：()()325x y xy -×()2533x y x y =-×58x y =-．12．（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）利用乘法公式计算下列各题(1)()()22m n m n ---(2)()23x y -+(3)2210397+(4)()()()()()2222a b a b a b a b a b +---++【答案】(1)224n m -(2)2269x xy y -+(3)20018(4)22422a b b -+【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键．（1）利用平方差公式求解即可；（2）利用完全平方公式求解即可；（3）利用完全平方公式求解即可；（4）利用平方差公式和完全平方公式求解即可．【详解】（1）()()22m n m n ---()()222n m =--224n m =-；（2）()23x y -+2269x xy y +=-；（3）2210397+()()2210031003=++-100006009100006009=+++-+20018=；（4）()()()()()2222a b a b a b a b a b+---++()()()()22222a b a b a b a b =+---+éùëû()()22244a b a b =---4224442a a b b a b =-+-+(1)设图1中阴影部分的面积为S的代数式表示，只需表示，不必化简）(2)以上结果可以验证哪个乘法公式？这个乘法公式是(3)运用（2）中得到的公式，计算：()()()448212121=-´+´+()()882121=-´+1621=-．17．（2023上·甘肃武威·八年级校考期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A 种纸片是边长为a 的正方形，B 种纸片是边长为b 的正方形，C 种纸片是长为b 、宽为a 的长方形，并用A 种纸片一张，B 种纸片一张，C 种纸片两张拼成如图2的大正方形．(1)观察图2，请你写出下列三个代数式：2()a b +，22a b +，ab 之间的等量关系；(2)若要拼出一个面积为()()2a b a b ++的矩形，则需要A 号卡片多少张，B 号卡片多少张，C 号卡片多少张．(3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：5a b +=，2211a b +=，求ab 的值；②已知22(2021)(2023)20x x -+-=，求2022x -的值．【答案】(1)222()2a b a b ab +=++；(2)需要A 号卡片1张，B 号卡片2张，C 号卡片3张；(3)①ab 的值为7；②20223x -=±．【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．（1）大正方形的面积直接求和间接求，得到等式即可；（2）根据题意列出算式，利用多项式乘多项式法则计算，合并后即可判断；（3）①利用完全平方公式列出关系式，把已知等式代入计算即可求出答案；②令2022a x =-，则有20231,20211x a x a -=+-=-，代入化简求值即可．【详解】（1）解：大正方形的面积可以表示为：2()a b +，或表示为：222a b ab ++；因此有222()2a b a b ab +=++；（2）解：Q ()()222222232a b a b a ab ab b a ab b ++=+++=++，\需要A 号卡片1张，B 号卡片2张，C 号卡片3张，（3）解：①222()2a b a b ab +=++Q ，5a b +=，2211a b +=，25112ab \=+，7ab \=，即ab 的值为7；。

2022-2023学年初一数学第二学期培优专题训练23 平方差公式与几何图形

专题23 平方差公式与几何图形【例题讲解】图①、图②分别由两个长方形拼成：(1)图②中的阴影部分的面积是：()()a b a b +-，那么图①中的阴影部分的面积为______________． (2)观察图①和图②，请你写出代数式22()()a b a b a b +-、、之间的等量关系式________________． (3)根据你得到的关系式解答下列问题：若22630x y x y +=--=，，求x y -的值．【解答】（1）图①中的阴影部分的面积为边长为a 的大正方形的面积减去边长为b 的小正方形的面积，即为：22a b -．故答案为：22a b -；（2）由题意可知图①中的阴影部分的面积和图②中的阴影部分的面积相等， ∴得出等式：22()()a b a b a b -=+-．故答案为：22()()a b a b a b -=+-；（3）解：∵2230x y -=， ∴()()30x y x y +-=．将6x y +=-代入上式，得：6()30x y --=，解得：5x y -=-．【综合解答】1．在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形（a b >，如图1），把余下部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证公式（）A ．222()2a b a ab b +=++B ．222()2a b a ab b -=-+C ．2()a a b a ab +=+D ．22()()a b a b a b +-=-2．如图所示，在边长为a 的正方形上剪去一个边长为b 的小正方形（a b >），把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式为（）A ．()()22a b a b a b -=+-B ．()2222a b a ab b +=++C ．()2222a b a ab b -=-+D ．()2a ab a a b -=-3．如图，大正方形与小正方形的面积之差是 80，则阴影部分的面积是（）A ．30B ．40C ．50D ．604．4张长为m ，宽为()n m n >的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为m n 的正方形，图中空白部分的面积为1S ，阴影部分的面积为2S ，若12S S ，则m ，n 满足的关系式是（）A ． 1.5m n =B ．2m n =C ． 2.5m n =D ．3m n =5．如图，利用图①和图②的阴影面积相等，写出一个正确的等式_____．6．如图①是将一个边长为a 的大正方形的一角截去一个边长为b 的小正方形（阴影部分），然后将图①剩余部分拼接成如图②的一个大长方形（阴影部分）．(1)请用两种不同的方法列式表示图②中大长方形的面积：方法一：___________方法二：___________(2)根据探究的结果，直接写出22,,a b a b a b +--这三个式子之间的等量关系___________ (3)利用你发现的结论，求22647353-的值7．如图①是一张边长为a 的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b 的小正方形，然后将图①剩余部分(阴影部分)剪拼成如图②的一个大长方形(阴影部分)(1)请分别用含a b 、的代数式表示图①和图②中阴影部分的面积：图①阴影部分面积为：；图②阴影部分面积为：；(2)请探究并直接写出22a b a b a b -+-、、这三个式子之间的等量关系； (3)利用(2)中的结论，求22542.7457.3-的值．8．如图，在边长为a 的正方形纸片的四角各剪去一个边长为b 的正方形．(1)余下纸片的面积为_____________(2)已知14.4a =， 2.8b =，你能利用所学的因式分解计算出剩余部分的面积吗？请写出利用因式分解求解的过程．9．小明和小华在进行探究性学习：小明在半径为r 的半圆中画两个直径均为r 的小半圆（如图1），小华在半径为r 的半圆中画两个直径分别为a 、b 的小半圆（如图2），分别计算剩余的阴影部分面积1S 和2S ，并比较它们的大小．(1)用r 的代表式表示阴影部分的面积1S =_________； (2)用a 、b 的代数式表示阴影部分的面积2S =_________；(3)设(),0a r c b r c c =+=->，那么（）；A .12S S ；B ．12S S >；C ．12S S <；D ．1S 与2S 的大小关系无法确定 (4)请对你在（3）中得到的结论进行验证，说明其道理．10．如图1，从边长为a 的正方形纸片中剪去一个边长为b 的小正方形，再沿着虚线剪开，把剪成的两张纸片拼成如图2所示的长方形．(1)设图1中的阴影部分面积为S 1，图2中的阴影部分面积为S 2，请直接用含有a 、b 的代数式表示，则S 1＝________，S 2＝_______________；(2)请写出上述剪拼过程所揭示的乘法公式：_______________________；(3)请你利用（2）中的公式计算：（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）（216＋1）＋1．11．七年级教材下册“第九章整式乘法与因式分解”中，通过拼图、推演，得到了整式乘法法则和公式；逆向思考，得到了多项式因式分解的方法，在学习过程中让同学们了解到了公式的几何背景，感受了数形结合的思想方法．如课本77页，在边长为a 的正方形纸片上剪去一个边长为b ()b a <的小正方形（如下图），通过计算图中的阴影面积，发现了一个重要的结论：．其实，通过拼图算面积这种方法不仅能得到许多公式，还可以证明很多重要的定理．h^活动材料：如下图，4张A 型直角三角形纸片、1张B 型正方形纸片．活动要求：利用这两种纸片(每种纸片需全部使用)拼成一个新的正方形，通过不同的方法计算图形的面积，从而探究出相应的等式．活动内容：（1）根据要求，小腾拼出了如下图的大正方形，请你根据此图说明222+=a b c成立的理由．（2）利用（1）的结论计算：若12b a-=，2254c=，求22b a-的值．12．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题．图1图2图3图4（1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式．图1：；图2：；图3：．其中，完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题．例如：如图4，已知a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．方法一：从“数”的角度解：∵a+b＝3，∴（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又∵ab＝1∴a2+b2＝7．方法二：从“形”的角度解：∵a+b＝3，∴S大正方形=9，又∵ab＝1，∴S2＝S3＝ab＝1，∴S 1+S 4＝S 大正方形﹣S 2﹣S 3＝9﹣1﹣1＝7．即a 2+b 2＝7．类比迁移：（2）若（5﹣x ）▪（x ﹣1）＝3，则（5﹣x ）2+（x ﹣1）2＝；（3）如图，点C 是线段AB 上的一点，以AC ，BC 为边向两边作正方形，设AB ＝10，两正方形的面积和S 1+S 2＝72，求图中阴影部分面积．13．如图①是将一个边长为a 的大正方形的一角截去一个边长为b 的小正方形（阴影部分），然后将图①剩余部分拼接成如图②的一个大长方形（阴影部分）．（1）请用两种不同的方法列式表示图②中大长方形的面积：方法一：；方法二：；（2）根据探究的结果，直接写出22,,a b a b a b +--这三个式子之间的等量关系；（3）利用你发现的结论，求22854146-的值．14．在边长为a 的正方形的一角减去一个边长为的小正方形（a ＞b ），如图①．（1）由图①得阴影部分的面积为．（2）沿图①中的虚线剪开拼成图②，则图②中阴影部分的面积为．（3）由（1）（2）的结果得出结论：＝．（4）利用（3）中得出的结论计算：20212﹣20202．15．如图①是1个直角三角形和2个小正方形，直角三角形的三条边长分别是a 、b 、c ，其中a 、b 是直角边．正方形的边长分别是a 、b ．（1）将4个完全一样的直角三角形和2个小正方形构成一个大正方形（如图②）．用两种不同的方法列代数式表示图②中的大正方形面积：方法一：；方法二：；（2）观察图②，试写出（a+b ）2，a 2，2ab ，b 2这四个代数式之间的等量关系是：；（3）借助以上经验，利用以下两个完全一样的直角梯形，验证等式22()()a b a b a b -=+-．请画出图形，并写出验证过程．16．如图所示的两个长方形用不同方式拼成图1和图2两个图形.（1）若图1中的阴影部分的面积用大正方形减去小正方形表示为22a b -，则图2中的阴影部分的面积用长乘以宽可表示为______.（用含字母a 、b 的代数式表示）（2）由（1）可以得到等式______. （3）根据所得到的等式解决下面的问题： ①计算：2267.7532.25-. ②解方程：()()22114x x +--=-.17．【操作发现】如图1，在边长为x 的正方形内剪去边长为y 的小正方形，剩下的图形面积可以表示为；把剩下的这个图形沿图2的虚线剪开，并拼成图3的长方形，可得长为、宽为，那么这个长方形的面积可以表示为，不同的方法求得的面积应相等，由此可以得到一个等式.【数学应用】利用得到的等式解决以下问题：（1）()()100-0.51000.5⨯+ （2）22100-99【思维拓展】（3）利用得到的等式计算1009999989897++++++…3221++++ 解：原式=1009999989897++++++（）（）（）…3221++++（）（）请你把接下来的计算过程补充完整.18．从边长为a 的正方形中剪掉一个边长为b 的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）．（1）上述操作能验证的等式是；（请选择正确的一个） A ．a 2－2ab ＋b 2＝(a －b)2 B ．a 2－b 2＝(a ＋b)(a －b ） C ．a 2＋ab ＝a(a ＋b)（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知x 2－4y 2＝12，x ＋2y ＝4，求x －2y 的值． ②计算：（1－212）（1－213）（1－214）…（1－212018）（1－212019）．专题23 平方差公式与几何图形【例题讲解】图①、图②分别由两个长方形拼成：(1)图②中的阴影部分的面积是：()()a b a b +-，那么图①中的阴影部分的面积为______________． (2)观察图①和图②，请你写出代数式22()()a b a b a b +-、、之间的等量关系式________________． (3)根据你得到的关系式解答下列问题：若22630x y x y +=--=，，求x y -的值．【解答】（1）图①中的阴影部分的面积为边长为a 的大正方形的面积减去边长为b 的小正方形的面积，即为：22a b -．故答案为：22a b -；（2）由题意可知图①中的阴影部分的面积和图②中的阴影部分的面积相等， ∴得出等式：22()()a b a b a b -=+-．故答案为：22()()a b a b a b -=+-；（3）解：∵2230x y -=， ∴()()30x y x y +-=．将6x y +=-代入上式，得：6()30x y --=，解得：5x y -=-．【综合解答】1．在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形（a b >，如图1），把余下部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证公式（）A ．222()2a b a ab b +=++B ．222()2a b a ab b -=-+C ．2()a a b a ab +=+D ．22()()a b a b a b +-=-【答案】D【分析】根据图2长方形面积=图1中阴影部分面积，列式即可得出答案．【解答】解：由图可得 (a +b )(a -b )= a 2-b 2，故选：D ．【点评】本题考查平方差公式的几何意义，熟练掌握数形结合思想的运用是解题的关键． 2．如图所示，在边长为a 的正方形上剪去一个边长为b 的小正方形（a b >），把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式为（）A ．()()22a b a b a b -=+-B ．()2222a b a ab b +=++C ．()2222a b a ab b -=-+ D ．()2a ab a a b -=-【答案】A【分析】根据正方形和梯形的面积公式，观察图形发现这两个图形阴影部分的面积=a 2-b 2=（a +b ）（a -b ）．【解答】解：左边图形的阴影部分的面积=a 2-b 2 右边的图形的面积1222b a a b =（a +b ）（a -b ）．∴()()22a b a b a b -=+-，故选：A ．【点评】本题主要考查了平方差公式．掌握利用图形面积证明代数恒等式是解本题的关键． 3．如图，大正方形与小正方形的面积之差是 80，则阴影部分的面积是（）A ．30B ．40C ．50D ．60【答案】B【分析】设大正方形的边长为a ，小正方形的边长为b ，则AE a b =-，由题意可得2280a b -=，将S 阴影部分转化为ΔΔACE ADE S S +，即221()2a b -，代入计算即可．【解答】解：如图，设大正方形的边长为a ，小正方形的边长为b ，则AE a b =-，由于大正方形与小正方形的面积之差是80，即2280a b -=，ΔΔACE ADE S S S =+阴影部分11()()22a b a a b b =-⋅+-⋅ 1()()2a b a b =+- 221()2a b =- 1802=⨯ 40=，故选：B ．【点评】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提． 4．4张长为m ，宽为()n m n >的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为m n 的正方形，图中空白部分的面积为1S ，阴影部分的面积为2S ，若12S S ，则m ，n 满足的关系式是（）A ． 1.5m n =B ．2m n =C ． 2.5m n =D ．3m n =【答案】D【分析】先用含有m 、n 的代数式分别表示S 2=2mn +2n 2，S 1=m 2-n 2，再根据S 1=S 2，整理可得结论．【解答】解：由题意可得：S 2=4×12n （m +n ） =2n （m +n ）； S 1=（m +n ）2-S 2 =（m +n ）2-（2mn +2n 2） =m 2+2mn +n 2-2mn -2n 2 =m 2-n 2； ∵S 1=S 2，∴2n （m +n ）=m 2-n 2，∴2n （m +n ）=（m -n ）（m +n ）， ∵m +n ＞0， ∴2n =m -n ， ∴m =3n ．故选：D ．【点评】本题考查了整式的混合运算，数形结合并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．5．如图，利用图①和图②的阴影面积相等，写出一个正确的等式_____．【答案】(a +2)(a ﹣2)＝a 2﹣4【分析】根据图形分别写出图①与图②中阴影部分面积，由阴影部分面积相等得出等式．【解答】∵图①中阴影部分面积＝(a +2)(a ﹣2)，图②中阴影部分面积＝a 2﹣4， ∵图①和图②的阴影面积相等， ∴(a +2)(a ﹣2)＝a 2﹣4，故答案为：(a +2)(a ﹣2)＝a 2﹣4．【点评】本题考查平方差公式的几何背景，结合图形得到阴影部分的面积是解题的关键． 6．如图①是将一个边长为a 的大正方形的一角截去一个边长为b 的小正方形（阴影部分），然后将图①剩余部分拼接成如图②的一个大长方形（阴影部分）．(1)请用两种不同的方法列式表示图②中大长方形的面积：方法一：___________方法二：___________ (2)根据探究的结果，直接写出22,,a b a b a b +--这三个式子之间的等量关系___________ (3)利用你发现的结论，求22647353-的值【答案】(1)22a b -，()()a b a b +-(2)()()22a b a b a b -=+-(3)29400【分析】（1）方法一：根据图②中大长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积；方法二：根据②中答长方形的长为a b +，宽为a b -，即可求解；（2）由（1）种结论，即可求解；（3）利用平方差公式计算，即可求解．【解答】（1）解：方法一：图②中大长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即22a b -；方法二：图②中答长方形的长为a b +，宽为a b -，则大长方形的面积为()()a b a b +-；故答案为：22a b -，()()a b a b +-；（2）解：根据题意得：()()22a b a b a b -=+-；故答案为：()()22a b a b a b -=+-（3）解：22647353-()()647353647353=+-1000294=⨯ 29400=【点评】本题主要考查了平方差公式的几何背景，解决问题的关键是运用两种不同的方式表达同一个图形的面积，进而得出一个等式，这是数形结合思想的运用．7．如图①是一张边长为a 的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b 的小正方形，然后将图①剩余部分(阴影部分)剪拼成如图②的一个大长方形(阴影部分)(1)请分别用含a b 、的代数式表示图①和图②中阴影部分的面积：图①阴影部分面积为：；图②阴影部分面积为：；(2)请探究并直接写出22a b a b a b -+-、、这三个式子之间的等量关系； (3)利用(2)中的结论，求22542.7457.3-的值．【答案】(1)22a b -；()()a b a b +- (2)22()()a b a b a b -=+- (3)85400【分析】（1）用a 为边长的正方形面积减去小正方形面积即可得图①阴影部分面积，直接读取图②中大长方形的长与宽，再求面积；（2）根据22a b -与()()a b a b +-表示同一个图形的面积进行判断；根据图形可以写出等量关系；（3）根据22()()a b a b a b -=+-进行计算即可求解．【解答】（1）解：(1)22a b -； ()()a b a b +-；（2）22()()a b a b a b -=+-；（3）原式(542.7457.3)(542.7457.3)100085.485400=+-=⨯=．【点评】本题主要考查了平方差公式的几何背景，解决问题的关键是运用两种不同的方式表达同一个图形的面积，进而得出一个等式，这是数形结合思想的运用．8．如图，在边长为a 的正方形纸片的四角各剪去一个边长为b 的正方形．(1)余下纸片的面积为_____________(2)已知14.4a =， 2.8b =，你能利用所学的因式分解计算出剩余部分的面积吗？请写出利用因式分解求解的过程．【答案】(1)a 2-4b 2 (2)176【分析】（1）利用大正方形的面积减去4个小正方形的面积即可；（2）利用平方差公式分解因式后代入计算即可．【解答】（1）解：余下纸片的面积是a 2-4b 2，故答案为：a 2-4b 2；（2）解：能， ∵a =14.4，b =2.8， ∴a 2-4b 2=（a +2b ）（a -2b ）=（14.4+2×2.8）（14.4-2×2.8） =20×8.8 =176．【点评】此题考查了平方差公式与几何图形，利用平方差公式分解因式，正确理解平方差公式及因式分解的方法是解题的关键．9．小明和小华在进行探究性学习：小明在半径为r 的半圆中画两个直径均为r 的小半圆（如图1），小华在半径为r 的半圆中画两个直径分别为a 、b 的小半圆（如图2），分别计算剩余的阴影部分面积1S 和2S ，并比较它们的大小．(1)用r 的代表式表示阴影部分的面积1S =_________； (2)用a 、b 的代数式表示阴影部分的面积2S =_________； (3)设(),0a r c b r c c =+=->，那么（）；A .12S S ；B ．12S S >；C ．12S S <；D ．1S 与2S 的大小关系无法确定 (4)请对你在（3）中得到的结论进行验证，说明其道理．【答案】(1)214r π(2)14ab π (3)C(4)答案见解析【分析】（1）用半径为r 的半圆的面积减去直径为r 的圆的面积即可；（2）用直径为（a +b ）的半圆的面积减去直径为a 的半圆的面积，再减去直径为b 的半圆的面积即可；（3）（4）将a ＝r +c ，b ＝r ﹣c ，代入S 2，然后与S 1比较即可．（1）解：S 1＝222111244r r r πππ-=；（2）解：S 2＝22211111222424a b a b πππ+⎛⎫=-⨯-⨯ ⎪⎝⎭()222111888a b a b πππ=+--， 14ab π= ，故答案为：14ab π；（3）解：选：B ；（4）解：将a ＝r +c ，b ＝r ﹣c ，代入S 2，得：S 2＝()()()221144r c r c r c ππ+-=-，∵c ＞0， ∴r 2＞r 2﹣c 2，即S 1＞S 2．故选B ．【点评】本题考查了列代数式表示图形的面积，解题的关键是：结合图形分清各个半圆的半径及熟记圆的面积公式．10．如图1，从边长为a 的正方形纸片中剪去一个边长为b 的小正方形，再沿着虚线剪开，把剪成的两张纸片拼成如图2所示的长方形．(1)设图1中的阴影部分面积为S 1，图2中的阴影部分面积为S 2，请直接用含有a 、b 的代数式表示，则S 1＝________，S 2＝_______________；(2)请写出上述剪拼过程所揭示的乘法公式：_______________________；(3)请你利用（2）中的公式计算：（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）（216＋1）＋1．【答案】(1)22a b -，()()a b a b +- (2)22()()a b a b a b +-=- (3)322【分析】（1）根据图形直接求面积；（2）根据（1）中的12S S 得出等量关系；（3）根据（2）中的公式逐步运算即可．（1）解：图①中的面积S 1＝22a b -，图②中面积S 2＝()()a b a b +-；故答案为：22a b -，()()a b a b +- （2）由（1）可知（1）12S S ， ∴22()()a b a b a b +-=-，故答案为：22()()a b a b a b +-=-；（3）()()()()24816(21)212121211++++++()()()()24816(21)(21)212121211=-++++++()()()()()22481621212121211=-+++++()()()()44816212121211=-++++()()161621211=-++322=．【点评】本题考查平方差公式，数形结合思想，熟练掌握平方差公式是解题的关键．11．七年级教材下册“第九章整式乘法与因式分解”中，通过拼图、推演，得到了整式乘法法则和公式；逆向思考，得到了多项式因式分解的方法，在学习过程中让同学们了解到了公式的几何背景，感受了数形结合的思想方法．如课本77页，在边长为a 的正方形纸片上剪去一个边长为b ()b a <的小正方形（如下图），通过计算图中的阴影面积，发现了一个重要的结论：．其实，通过拼图算面积这种方法不仅能得到许多公式，还可以证明很多重要的定理．h^活动材料：如下图，4张A 型直角三角形纸片、1张B 型正方形纸片．活动要求：利用这两种纸片(每种纸片需全部使用)拼成一个新的正方形，通过不同的方法计算图形的面积，从而探究出相应的等式．活动内容：（1）根据要求，小腾拼出了如下图的大正方形，请你根据此图说明222+=a b c 成立的理由．（2）利用（1）的结论计算：若12b a -=，2254c =，求22b a -的值．【答案】22()()a b a b a b -=+-；（1）222+=a b c ；（2）74【分析】先用大小正方形的面积差表示第一图的阴影部分面积，根据矩形面积公式表示第二图的阴影面积，最后根据两个阴影部分的面积相等列出等式便可；活动内容：（1）根据大正方形的面积减去4个全等直角三角形的面积等于中间小正方形的面积列出方程，再通过恒等变形得结论便可；（2）用（b -a ）2及a 2+b 2=c 2求得ab ，再由（a +b ）2求得a +b ，进而由平方差公式求得结果．【解答】解：第一图的阴影部分面积为：a 2-b 2，第二图阴影部分的面积为：（a +b ）（a -b ）， ∴重要的结论为：a 2-b 2=（a +b ）（a -b ），故答案为：a 2-b 2=（a +b ）（a -b ）；（1）2()S a b =+，2142S ab c =⨯+∴221()42a b ab c +=⨯+∴22222a ab b ab c ++=+ ∴222+=a b c（2）解：由题意知：222254a b c +==2221()24b a b ab b -=-+=∴26ab =∴2222549()2644b a b ab b +=++=+= 0b a +> ∴72b a +=∴22717()()224b a b a b a -=+-=⨯=【点评】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式，结合图形得出关系式是解题的关键． 12．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题．图1 图2 图3 图4（1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式．图1：；图2：；图3：．其中，完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题．例如：如图4，已知a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．方法一：从“数”的角度解：∵a+b＝3，∴（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又∵ab＝1∴a2+b2＝7．方法二：从“形”的角度解：∵a+b＝3，∴S大正方形=9，又∵ab＝1，∴S2＝S3＝ab＝1，∴S1+S4＝S大正方形﹣S2﹣S3＝9﹣1﹣1＝7．即a2+b2＝7．类比迁移：（2）若（5﹣x）▪（x﹣1）＝3，则（5﹣x）2+（x﹣1）2＝；（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝72，求图中阴影部分面积．【答案】（1）（a+b）2 =a2＋2ab+b2；（a－b）2 =a2－2ab+b2；（a+b）（a－b）= a2－b2；（2）10；（3）7【分析】（1）图1和图2根据阴影部分是正方形，其面积等于两个较小正方形的面积和两个相同长方形的面积之和，即可得出结论；图3可根据左边长方形的面积等于右边大正方形的面积减去小正方形的面积，即可得出结论；（2）仿照“方法一”进行计算求解即可；（3）根据（2）介绍的方法求出AC和CF边的乘积关系，然后利用直角三角形的面积计算公式求解即可．【解答】解：（1）图1：阴影部分面积等于两个较小正方形面积和两个相同长方形面积之和，即：（a+b）2 =a2＋2ab+b2；图2：阴影部分面积等于大正方形面积减去最小正方形的面积以及两个小长方形的面积，(12AC CF x =∴图中阴影部分面积为【点评】本题考查完全平方公式和平方差公式与几何图形之间的联系，掌握数形结合的思想，熟悉基本的乘法公式是解题关键．是将一个边长为图①剩余部分拼接成如图②的一个大长方形（阴影部分）．（1）请用两种不同的方法列式表示图②中大长方形的面积：方法一：；方法二：；（2）根据探究的结果，直接写出22,,a b a b a b +--这三个式子之间的等量关系；（3）利用你发现的结论，求22854146-的值．【答案】（1）22,()()a b a b a b -+-；（2）22()()a b a b a b -=+-；（3）708000【分析】（1）方法1：用a 为边长的正方形面积减去小正方形面积即可；方法2：直接读取图②中大长方形的长与宽，再求面积；（2）根据a 2-b 2和（a +b ）（a -b ）表示同一个图形的面积进行判断；根据图形可以写出等量关系；（3）根据a 2-b 2=（a +b ）（a -b ），进行计算即可得到答案．【解答】解：（1）由图可知，方法1：图②中大长方形的面积为：a 2-b 2，方法2：图②中大长方形的面积为：（a +b ）（a -b ），故答案为：a 2-b 2，（a +b ）（a -b ）；（2）由图可得，22,,a b a b a b +--这三个式子之间的等量关系是：a 2-b 2=（a +b ）（a -b ），故答案为：a 2-b 2=（a +b ）（a -b ）；（3）解：原式=854146854-146+⨯（）（）=1000708⨯=708000【点评】本题主要考查了平方差公式的几何背景，解决问题的关键是运用两种不同的方式表达同一个图形的面积，进而得出一个等式，这是数形结合思想的运用．14．在边长为a 的正方形的一角减去一个边长为的小正方形（a ＞b ），如图①．（1）由图①得阴影部分的面积为．（2）沿图①中的虚线剪开拼成图②，则图②中阴影部分的面积为．（3）由（1）（2）的结果得出结论：＝．（4）利用（3）中得出的结论计算：20212﹣20202．【答案】（1）a 2﹣b 2；（2）（a +b ）（a ﹣b ）；（3）a 2﹣b 2，（a +b ）（a ﹣b ）；（4）4041【分析】（1）根据阴影部分面积=大正方形面积-小正方形面积和正方形的面积公式即可得到结论；（2）根据梯形的面积公式即可得到结论；（3）由（1）（2）的结论即可得到结果；（4）根据（3）所得的结论进行求解即可．【解答】解：（1）由图①得：阴影部分的面积为a 2﹣b 2．故答案为：a 2﹣b 2；（2）沿图①中的虚线剪开拼成图②，则图②中阴影部分的面积为：12（2a +2b ）•（a ﹣b ）＝（a +b ）（a ﹣b ）．故答案为：（a +b ）（a ﹣b ）；（3）由（1）（2）的结果得出结论：a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ）．故答案为：a 2﹣b 2，（a +b ）（a ﹣b ）；（4）20212﹣20202＝（2021+2020）×（2021﹣2020）＝4041．【点评】此题考查了列代数式和含乘方的有理数混合运算，根据正方形的面积公式和梯形的面积公式得出它们之间的关系是解题的关键．15．如图①是1个直角三角形和2个小正方形，直角三角形的三条边长分别是a 、b 、c ，其中a 、b 是直角边．正方形的边长分别是a 、b ．（1）将4个完全一样的直角三角形和2个小正方形构成一个大正方形（如图②）．用两种不同的方法列代数式表示图②中的大正方形面积：方法一：；方法二：；（2）观察图②，试写出（a+b ）2，a 2，2ab ，b 2这四个代数式之间的等量关系是：；（3）借助以上经验，利用以下两个完全一样的直角梯形，验证等式22()()a b a b a b -=+-．请画出图形，并写出验证过程．【答案】（1）（a+b ）2；a 2+2ab+b 2；（2）（a+b ）2=a 2+2ab+b 2；（3）证明见解析【分析】（1）方法一：根据大正方形面积公式可得；方法二：等于两个小正方形的面积加上四个直角三角形的面积的和；（2）根据（1）中两种表示方法可以得到（a+b ）2，a 2，2ab ，b 2这四个代数式之间的等量关系；（3）拼成一个正方形和一个梯形，根据正方形和梯形的面积公式，观察图形发现这两个图形阴影部分的面积=a 2-b 2=（a+b ）（a-b ）．【解答】解：（1）由题意可得，方法一：（a+b ）2；方法二：a 2+ 12ab×4+b 2=a 2+2ab+b 2，故答案为：（a+b ）2，a 2+2ab+b 2；（2）由题意可得，（a+b ）2=a 2+2ab+b 2，故答案为：（a+b ）2=a 2+2ab+b 2；（3）用两个完全一样的直角梯形拼成如下两个图形，阴影部分的面积=a 2-b 2=12（2a+2b ）（a-b ）=（a+b ）（a-b ）．所以()()22a b a b a b -=+-．【点评】本题考查了列代数式、完全平方公式、平方差公式及应用．由面积相等得到代数式相等是解决本题的关键．16．如图所示的两个长方形用不同方式拼成图1和图2两个图形.（1）若图1中的阴影部分的面积用大正方形减去小正方形表示为22a b -，则图2中的阴影部分的面积用长乘以宽可表示为______.（用含字母a 、b 的代数式表示）（2）由（1）可以得到等式______.（3）根据所得到的等式解决下面的问题：①计算：2267.7532.25-.②解方程：()()22114x x +--=-. 【答案】（1）()()a b a b +-；（2）()()22a b a b a b -=+-；（3）①3550；②x=-1 【分析】（1）根据长方形的面积公式计算即可得出答案；（2）根据阴影部分面积相等即可得出答案；（3）①运用平方差公式计算即可得出答案；②先用平方差公式将左边展开即可得出答案.【解答】（1）图2中的阴影部分的面积为()()a b a b +-.（2）()()22a b a b a b -=+-.（3）①2267.7532.25-()()67.7532.2567.7532.25=+-10035.5=⨯3550=.②()()22114x x +--=-， ()()11114x x x x ++-+-+=-，44x =-，=1x -.【点评】本题考查的是平方差公式的计算与应用，需要熟练掌握平方差公式的特征.17．【操作发现】如图1，在边长为x 的正方形内剪去边长为y 的小正方形，剩下的图形面积可以表示为；把剩下的这个图形沿图2的虚线剪开，并拼成图3的长方形，可得长为、宽为，那么这个长方形的面积可以表示为，不同的方法求得的面积应相等，由此可以得到一个等式.【数学应用】利用得到的等式解决以下问题：（1）()()100-0.51000.5⨯+（2）22100-99【思维拓展】（3）利用得到的等式计算1009999989897++++++…3221++++解：原式=1009999989897++++++（）（）（）…3221++++（）（）请你把接下来的计算过程补充完整.【答案】（1）9999.75；（2）199；（3）9999【分析】利用割补法求得图形面积;利用上一问得到的等式进行计算.【解答】解：图1中剩下图形面积为大正方形面积-小正方形面积，即22x y - ；图3长方形中，长为（x+y ）,宽为(x-y)，所以这个长方形的面积为)()x y x y +-（，因此得到一个等式为：22x y -=)()x y x y +-（（1）()()100-0.51000.5⨯+22=100-0.5100000.259999.75=-=（2）22100-99 =100+99100-99=1991=199⨯（）（）（3）1009999989897++++++…3221++++原式=1009999989897++++++（）（）（）…3221++++（）（） 2=199+197+195+...+5+3199+3=210199(1001)(1001)10019999⨯=⨯=+-=-=（）99【点评】利用面积法推出平方差公式，利用平方差公式使得计算简便是本题的解题关键.18．从边长为a 的正方形中剪掉一个边长为b 的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）．（1）上述操作能验证的等式是；（请选择正确的一个）A ．a 2－2ab ＋b 2＝(a －b)2B ．a 2－b 2＝(a ＋b)(a －b ）C ．a 2＋ab ＝a(a ＋b)（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知x 2－4y 2＝12，x ＋2y ＝4，求x －2y 的值．②计算：（1－212）（1－213）（1－214）…（1－212018）（1－212019）．【答案】(1) B ;(2)① 3； ②10102019.。

平方差公式和完全平方公式变式

（3）已知(x y)2 25, (x y)2 16, 则xy ________。
（4）已知x2＋y2 ＝13，xy＝6，求 x＋y
5.完全平方式（1）已知，x2______。（2）已知，4x2 kxy 25y2是完全平方式，
则k ___________。 (3)x2 12x m是完全平方式,则m _____ (4)请把4x4 1添加一项后是完全平方式，可以添加____________.
7.计算： (1)(a b c)2 (2)(a b c)(a b c) (3)(a b c)(a b c)
(a+b)2= a2 +2ab+b2 公式变形1： (a-b)2= a2 - 2ab+b2
a2 +b2 =(a+b)2 -2ab
a2 +b2 = (a-b)2 +2ab
a2 b2 (a b)2 (a b)2 2
(a+b)2= a2 +2ab+b2 公式变形2： (a-b)2= a2 - 2ab+b2
(a b)2 (a b)2 4ab (a b)2 (a b)2 4ab
(a b)2 (a b)2 4ab
4.公式变形的应用：
（1）已知a b 1, ab 2, 则a2 b2 ________。
（2）已知x y 9, xy 8, 则x2 y2 ________。
公式推广：
(a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc (a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc
平方差公式和完全平方公式变式

第03讲平方差与完全平方公式(解析版)

2021-2022学年七年级数学【赢在寒假】同步精讲精练系列第1章整式的乘除第03讲平方差与完全平方公式【考点梳理】考点1：完全平方公式1. 2222)(bab a b a +±=±公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。

ab b a ab b a b a 2)(2)(2222-+=-+=+abb a b a 4)()(22-+=-222)()]([)(b a b a b a +=+-=--222)()]([)(b a b a b a -=--=+-完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。

2.三项式的完全平方公式：bcac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++考点2：平方差公式22))((b a b a b a -=-+注意平方差公式展开只有两项公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。

右边是相同项的平方减去相反项的平方。

如：))((z y x z y x +--+【题型归纳】题型一：完全平方公式1．（2022·全国·七年级）下列关系式中，正确的是（）A ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣b 2B ．（a ＋b ）（﹣a ﹣b ）＝a 2﹣b 2C ．（a ＋b ）2＝a 2＋b 2D ．（﹣a ﹣b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2【答案】D 【分析】根据完全平方公式判断即可．【详解】解：A 选项，原式＝a 2﹣2ab +b 2，故该选项计算错误；B 选项，原式＝﹣（a +b ）2＝﹣a 2﹣2ab ﹣b 2，故该选项计算错误；C 选项，原式＝a 2+2ab +b 2，故该选项计算错误；D 选项，原式＝[﹣（a +b ）]2＝（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2，故该选项计算正确；故选：D ．【点睛】本题考查了完全平方公式，掌握（a ±b ）2=a 2±2ab +b 2是解题的关键．2．（2022·福建·厦门市第十一中学八年级期末）运用完全平方公式()2222a b a ab b -=-+计算212x æö-ç÷èø，则公式中的2ab 是（）A ．12xB ．﹣xC ．xD ．2x【答案】C 【分析】运用完全平方公式计算，然后和()2222a b a ab b -=-+对比即可解答.【详解】解：2222111122224x x x x x æöæö-=-´+=-+ç÷ç÷èøèø对比()2222a b a ab b -=-+可得-2ab =-x ，则2ab =x .故选C.【点睛】本题主要考查了完全平方公式，理解完全平方公式的特征成为解答本题的关键.3．（2022·广东东莞·八年级期末）如果x 2﹣3x +k （k 是常数）是完全平方式，那么k 的值为（）A ．6B ．9C ．32D ．94【答案】D 【分析】根据完全平方公式解答即可．【详解】解：∵x 2-3x +k （k 是常数）是完全平方式，∴x 2-3x +k =（x -32）2=x 2-3x +94，∴k =94．故选：D ．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的运用；其中两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．4．（2021·黑龙江·绥棱县克音河乡学校八年级期末）要使24x kx ++是完全平方式，那么k 的值是（）A ．4k =±B ．4k =C ．4k =-D ．2k =±【答案】A 【分析】根据完全平方公式：222)2(a ab b a b ±+=±进行求解即可．【详解】∵24x kx ++是完全平方式，∴2()42k =，解得：4k =±，故选：A ．【点睛】本题考查了完全平方式，解题的关键是掌握常数项是一次项系数一半的平方．5．（2022·辽宁庄河·八年级期末）若2a b +=-，3ab =，则代数式22a ab b -+的值是（）A ．5-B ．13C ．5D ．9【答案】A 【分析】将2a b +=-两边平方，利用完全平方公式化简，把3ab =-代入求出22a b +的值，即可确定出所求式子的值．【详解】解：将2a b +=-两边平方得：222()24a b a b ab +=++=，把3ab =代入得：2264a b ++=，即222a b +=-，则22235a ab b -+=--=-，故选：A ．【点睛】本题考查了完全平方公式，求代数式的值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．6．（2022·重庆·八年级期末）如果216x mx ++是完全平方式，那么m 的值是（）A ．8B ．4C ．4±D ．8±【答案】D 【分析】先写出22816(4)x x x ±+=± ，进一步求出m 的值，即可求解．【详解】解：∵22816(4)x x x ±+=± ，且216x mx ++ 是完全平方式，∴8m =± ；故选：D 【点睛】本题主要考查了完全平方式，掌握满足完全平方式的情况只有222a ab b ++ 和222a ab b -+ 两种，两种情况的熟练应用是解题关键．7．（2022·广东·塘厦初中八年级期末）下列运算中，结果正确的是（）A ．824a a a ¸=B ．()222a b a b +=+C ．()2242a b a b =D ．()()2122a a a -+=-【答案】C 【分析】根据同底数幂的除法，完全平方公式，积的乘方，多项式乘以多项式的计算法则计算求解即可．【详解】解：A 、826a a a ¸=，计算错误，不符合题意；B 、()2222a b a ab b +=++，计算错误，不符合题意；C 、()2242a b a b =，计算正确，符合题意；D 、()()2212222a a a a a a a -+=+--=+-，计算错误，不符合题意；故选C ．本题主要考查了同底数幂的除法，完全平方公式，积的乘方，多项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键．8．（2022·北京·八年级期末）已知一个正方形的边长为a＋1，则该正方形的面积为（）A．a2＋2a＋1B．a2－2a＋1C．a2＋1D．4a＋4【答案】A【分析】由题意根据正方形的面积公式可求该正方形的面积，再根据完全平方公式计算即可求解．【详解】解：该正方形的面积为（a+1）2=a2+2a+1．故选：A．【点睛】本题主要考查列代数式，解题的关键是熟练掌握正方形的面积公式以及完全平方公式．9．（2022·甘肃·金昌市龙门学校八年级期末）若x2＋mxy＋25y2是一个完全平方式，那么m的值是（）A．±10B．－5C．5D．±5【答案】A【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．【详解】解：∵x2+mxy+25y2＝x2+mxy+（5y）2，∴mxy＝±2x×5y，解得：m＝±10．故选：A．【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键．题型二：平方差公式11．（2022·全国·七年级）已知（2x＋3y）2＝15，（2x﹣3y）2＝3，则3xy＝（）A．1B．32C．3D．不能确定【分析】根据平方差公式即可求出答案．【详解】解：2(23)15x y +=Q ，2(23)3x y -=，22(23)(23)12x y x y \+--=，(2323)(2323)12x y x y x y x y \+-+++-=，6412y x \×=，332xy \=，故选：B ．【点睛】本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．12．（2022·全国·七年级）下列各式，能用平方差公式计算的是（）A ．（2a ＋b ）（2b ﹣a ）B ．（﹣a ﹣2b ）（﹣a ＋2b ）C ．（2a ﹣3b ）（﹣2a ＋3b ）D ．（113a +）（﹣113a -）【答案】B 【分析】根据平方差公式为22()()a b a b a b +-=-逐项判断即可．【详解】A ．既没有相同项，也没有相反项，不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；B ．原式[][]()2()2a b a b =---+，符合平方差公式，故本选项符合题意；C ．原式(23)(23)a b a b =---，只有相同项，没有相反项，不符合平方差公式，故本选项不符合题意；D ．原式11(1)(1)33a a -++只有相同项，没有相反项，不符合平方差公式，故本选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查平方差公式，掌握平方差公式为22()()a b a b a b +-=-是解答本题的关键．13．（2022·河南川汇·八年级期末）如图，在边长为()x a +的正方形中，剪去一个边长为a 的小正方解：Q 020211,a ==()()222220192021202020201202012020=2020120201,b =´-=-+---=-()202020212020202023233331,3232222c æöæöæö=-´=-´´=-´=ç÷ç÷ç÷èøèøèø而311,2-<<,b a c \<<故选C 【点睛】本题考查的是零次幂的含义，平方差公式的应用，积的乘方运算的逆运算，先计算,,a b c 的值再比较大小是解本题的关键.15．（2022·黑龙江肇源·七年级期末）下列各式中，能用平方差公式计算的是（）A ．（a +b ）（﹣a ﹣b ）B ．（a +b ）（a ﹣b ）C ．（a +b ）（a ﹣d ）D ．（a +b ）（2a ﹣b ）【答案】B 【分析】根据平方差公式（a +b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2对各选项分别进行判断．【详解】解：A 、（a +b ）（﹣a ﹣b ）＝﹣（a +b ）（a +b ）两项都相同，不能用平方差公式计算．故本选项不符合题意；B 、（a +b ）（a ﹣b ）存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项符合题意；C 、（a +b ）（a ﹣d ）中存在相同项，没有相反项，不能用平方差公式计算．故本选项不符合题意；D 、（a +b ）（2a ﹣b ）中存在相反项，没有相同项，不能用平方差公式计算．故本选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了平方差公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．16．（2022·天津红桥·八年级期末）下列计算正确的是（）A ．22224a b a b +=+（）B ．2225225104x y x xy y -=-+（）C ．2221122x y x xy y-=-+（）D ．221111123439x x x +=++（）【答案】D 【分析】根据完全平方公式逐项计算即可．【详解】解：A.22224+4a b a ab b +=+（），故不正确；B.2225225204x y x xy y -=-+（），故不正确；C.2221124x y x xy y -=-+（），故不正确；D.221111123439x x x +=++（），正确；故选D 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式(a ±b )2=a 2±2ab +b 2是解答本题的关键．17．（2021·辽宁铁岭·八年级期末）若2210a b -=，2a b -=，则a b +的值为（）A ．5B ．2C ．10D ．无法计算【答案】A 【分析】利用平方差公式：()()22a b a b a b -=+-进行求解即可．【详解】解：∵2a b -=，()()2210a b a b a b -=+-=，∴5a b +=，故选A ．【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式是解题的关键．18．（2022·吉林通榆·八年级期末）从边长为a 的正方形中剪掉一个边长为b 的正方形（如图1所示），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2所示）．根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是（）A．（a－b）2＝a2－2ab＋b2B．a（a－b）＝a2－abC．b（a－b）＝ab－b2D．a2－b2＝（a＋b）（a－b）【答案】D【分析】观察图1与图2，根据两图形阴影部分面积相等，即可写出一个正确的等式．【详解】解：根据图形得：图1中阴影部分面积=a2-b2，图2中阴影部分面积=(a+b)(a-b)，∴a2-b2=(a+b)(a-b)，故选D．【点睛】此题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．19．（2021·河南原阳·八年级期中）下列各式中不能用平方差公式计算的是（）A．（x－y）（－x＋y）B．（－x＋y）（－x－y）C．（－x－y）（x－y）D．（x＋y）（－x＋y）【答案】A【分析】根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A、（x−y）（−x＋y）＝−（x−y）（x−y），含y的项符号相同，含x的项符号相同，不能用平方差公式计算，故本选项正确；B、含x的项符号相同，含y的项符号相反，能用平方差公式计算，故本选项错误；C、含y的项符号相同，含x的项符号相反，能用平方差公式计算，故本选项错误；D、含y的项符号相同，含x的项符号相反，能用平方差公式计算．故本选项错误；【点睛】考查了平方差公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．20．（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校八年级期中）如图分割的正方形，拼接成长方形的方案中，可以验证（）A ．22()()a b a b a b +-=-B ．222()2a b a ab b +=++C ．222()2a b a ab b -=-+D ．222()2a b a ab b -=--【答案】A【分析】对图形中阴影部分的面积进行计算即可得到相关的等式．【详解】解：如图所示，右边阴影部分面积为：22a b -，左边阴影部分面积为：()()a b a b +-，由阴影部分面积相等可得：()()22a b a b a b +-=-，故选A ．【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景．分别表示出图形阴影部分的面积是解题的关键．【双基达标】1．（2021·福建南安·八年级期中）若x 2＋kx ＋25是一个完全平方式，则k 的取值是（）A ．5B ．±5C ．10D ．±10【答案】D 【解析】两个完全平方式：222a ab b ±+，利用完全平方式的特点可得答案.【详解】解：Q x 2＋kx ＋25225,x kx =++而x 2＋kx ＋25是一个完全平方式，2510,k \=±´=±故选D【点睛】本题考查的是完全平方式，利用完全平方式的特点求解完全平方式中的字母系数是解题的关键.2．（2021·四川江油·八年级阶段练习）已知x ²-2mx +9是完全平方式，则m 的值为（）A ．±3B ．3C ．±6D ．6【答案】A【解析】【分析】根据完全平方公式的形式，可得答案．【详解】解：已知x 2-2mx +9是完全平方式，∴m =3或m =-3，故选：A ．【点睛】本题考查了完全平方公式，注意符合条件的答案有两个，以防漏解．3．（2021·河南·郑州外国语中学九年级期中）无论a ，b 为何值代数式226112a b b a +++-的值总是（）A ．非负数B ．0C ．正数D ．负数【答案】C【解析】【分析】把含a 的放一块，配成完全平方公式，把含b 的放一块，配成完全平方公式，根据平方的非负性即可得出答案．解：原式22(21)(69)1a ab b =-+++++22(1)(3)1a b =-+++，2(1)0a -Q …，2(3)0b +…，22(1)(3)10a b \-+++>，即原式的值总是正数．故选：C ．【点睛】本题考查了配方法的应用，解题的关键是掌握对代数式进行正确变形．4．（2021·全国·八年级课时练习）下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（）A ．2249-y x B ．4149-x C ．42--m n D ．21()94+-p q 【答案】C【解析】【分析】分别利用平方差公式分解因式进而得出答案．【详解】解：A 、2249-y x ＝（y ＋7x ）（y −7x ），可以用平方差公式分解因式，故此选项错误；B 、4149-x ＝（17＋x 2）（17−x 2），可以用平方差公式分解因式，故此选项错误；C 、−m 4−n 2，不可以用平方差公式分解因式，故此选项正确；D 、21()94+-p q ＝（12p ＋12q ＋3）（12p ＋12q −3），可以用平方差公式分解因式，故此选项错误；故选：C ．【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．5．（2021·湖南双峰·七年级期中）下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是（）A ．()()a b a b --+B ．(2x 3y)(2x 3)z +-C ．()()x y x y ---D ．()()m n n m --【答案】C【解析】【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．【详解】解：A. ()()a b a b --+ 不能用平方差进行计算，故不符合题意B. (2x 3y)(2x 3)z +-不能用平方差进行计算，故不符合题意C. ()()x y x y ---能用平方差公式进行计算的是22()()x y x y y x ---=-，D. ()()m n n m --不能用平方差进行计算，故不符合题意故选：C ．【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．6．（2022·全国·七年级）已知：13x x +=，则221x x +=____．【答案】7【解析】【分析】两边同时平方，再运用完全平方公式计算即可．【详解】解：13x x+=Q ，21()9x x\+=，22129x x ++=2217x x \+=，故答案为：7．【点睛】本题考查了完全平方公式的运算，解题关键是熟练运用完全平方公式进行运算．7．（2022·内蒙古·科尔沁左翼中旗教研室八年级期末）若a +b =8，ab =-5，则()2a b -＝___________【答案】84【解析】【分析】根据完全平方公式的变形即可求解．【详解】∵a +b =8，ab =-5∴()2a b -=()24a b ab +-=64-4×（-5）=84故答案为：84．【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知完全平方公式的变形．8．（2022·全国·七年级）若（x 2＋y 2＋1）（x 2＋y 2﹣1）＝48，则x 2＋y 2＝___【答案】7【解析】【分析】首先利用平方差公式将已知化简，进而得出x 2＋y 2的值．【详解】解：因为（x 2+y 2+1）（x 2+y 2﹣1）＝48，所以（x 2+y 2）2﹣12＝48，所以（x 2+y 2）2＝49，x 2+y 2＝±7（负值舍去）．故答案为：7．【点睛】本题考查了平方差公式，熟记公式是解题的关键．9．（2022·全国·七年级）已知有理数x ，y 满足x ＋y 12=，xy ＝﹣3(1)求（x ＋1）（y ＋1）的值；(2)求x 2＋y 2的值．【答案】(1)112-(2)164【解析】【分析】（1）（x +1）（y +1）=xy +（x +y ）+1，再整体代入计算即可求解；（2）将x 2+y 2变形为（x +y ）2-2xy ，再整体代入计算即可求解．(1)（1）解：（1）（x +1）（y +1）=xy +（x +y ）+1=-3+12+1=112- ；(2)（2）解：x 2+y 2=（x +y ）2-2xy=164+，=164．【点睛】本题考查了完全平方公式，多项式乘多项式，解题关键是整体思想的应用．10．（2021·福建同安·八年级期中）计算：（1）()22436310a a a a ×+--（2）()()()211a a a a +-+-【答案】（1）0；（2）21a +【解析】【分析】（1）分别计算同底数幂的乘法，积的乘方运算，再合并同类项即可；（2）先计算多项式乘以多项式，结合平方差公式进行简便运算，再合并同类项即可.【详解】解：（1）()22436310a a a a ×+--6669100a a a =+-= （2）()()()211a a a a +-+-2221a a a =+-+=21a +【点睛】本题考查的是幂的运算，合并同类项，整式的乘法运算，掌握“利用平方差公式进行简便运算”是解本题的关键.【高分突破】1．（2021·黑龙江·无八年级期末）已知x +y =4 ，xy =3 ，则x 2+ y 2的值为（）A ．22B ．16C ．10D ．4【答案】C【解析】【分析】根据完全平方公式变形，整体代入求值即可．【详解】解：()2222242316610x y x y xy +=+-=-´=-=．故选择C ．【点睛】本题考查式子的值，求代数式的值，掌握完全平方公式变形的方法是解题关键．2．（2022·陕西陇县·八年级期末）下列运算正确的是（）A ．428a a a =·B ．224()xy xy =C ．623y y y ¸=D ．222()2x y x xy y --=-+-【答案】D【解析】【分析】直接利用幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则，同底数幂的乘除运算法则及完全平方公式分别计算得出答案．【详解】解：A 、426=a a a g ，故此选项错误；B 、2224()xy x y =，故此选项错误；C 、624¸=y y y ，故此选项错误；D 、222()2x y x xy y --=-+-，正确；【点睛】本题主要考查了幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则，同底数幂的乘除运算法则及完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．（2021·四川省德阳市第二中学校八年级阶段练习）图1是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A．a+b B．（a-b）2C．ab D．a2－b2【答案】B【解析】【分析】先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积=正方形的面积-矩形的面积即可得出答案．【详解】解：图1是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，∴正方形的边长为：a+b，∵正方形的面积为（a+b）2，∵原矩形的面积为4ab，∴中间空的部分的面积=（a+b）2-4ab=（a-b）2．故选：B．【点睛】此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键．4．（2021·河南·永城市教育体育局教研室八年级期末）下列等式中，一定成立的是（）A．(x - y)2 = (y - x)2B．(x + 6)(x - 6) = x2 - 6C．(x + y)2 = x2 + y2D．(x - y)2 = x2 + 2xy + y2【答案】A【分析】分别根据完全平方公式和平方差公式判断各选项即可．【详解】解：A . 22()()x y y x -=-成立，故选项A 正确；B .2(6)(6)36x x x +-=-，选项B 不成立；C .222()2x y x xy y +=++，选项C 不成立；D .222()2x y x xy y -=-+ ，选项D 不成立；故选：A【点睛】本题主要考查了乘法公式的应用，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解答本题的关键．5．（2021·全国·七年级期中）已知M 、N 表示两个代数式，M ＝（x +1）（x ﹣1）﹣2（y 2﹣y +1），N ＝（2x +y ）（2x ﹣y ），则M 与N 的大小是（）A ．M ＞NB ．M ＜NC ．M ＝ND ．无法确定【答案】B【解析】【分析】根据作差法进行比较即可；【详解】解：∵ M ＝（x +1）（x ﹣1）﹣2（y 2﹣y +1），N ＝（2x +y ）（2x ﹣y ），∴M -N =（x +1）（x ﹣1）﹣2（y 2﹣y +1）-（2x +y ）（2x ﹣y ），=x 2-1-2y 2+2y -2-4x 2+y 2，=-3x 2-y 2-3＜0，∴M ＜N ，故答案为：B ．【点睛】本题主要考查了整式加减应用，涉及平方差公式等运算，熟练掌握相关运算法则、准确计算是解题的关键．6．（2021·江苏·如皋初级中学八年级阶段练习）若实数m ，n 满足m 2﹣m +3n 2+3n ＝﹣1，则m ﹣2﹣n 0【答案】3【解析】【分析】利用完全平方公式分别对等式中的m 、n 配方得到2211()3()022m n -++=，根据平方式的非负性求出m 、n 的值，再代入求解即可．【详解】解：由m 2﹣m +3n 2+3n ＝﹣1，得：m 2﹣m +3n 2+3n +1＝0，∴2211()3()044m m n n -++++=，即2211()3()022m n -++=，∵21()02m -³，213()02n +³，∴102m -=，102n +=，解得：m ＝12，12n =-，∴m －2﹣n 0＝201122-æöæö--ç÷ç÷èøèø＝4-1＝3．故答案为：3．【点睛】本题考查代数式的求值、完全平方公式、平方式的非负性、负整数指数幂、零指数幂，会利用完全平方公式求解是解答的关键．7．（2021·浙江·金华市第五中学九年级阶段练习）若a ＋b ＝3，ab ＝1，则（a ﹣b ）2＝________．【答案】5【解析】【分析】直接利用完全平方公式计算得出答案．【详解】解：∵a +b =3，ab =1，∴（a +b ）2=9，则a 2+2ab +b 2=9，∴a 2+b 2=9-2=7；（a -b ）2=a 2-2ab +b 2=7-2=5．故答案为：5．【点睛】此题主要考查了完全平方公式，正确将已知变形是解题关键．8．（2021·吉林·长春外国语学校八年级阶段练习）对于任意实数，若规定a b ad bc c d=-，则当2250x x --=时，121x x x +=-____．【答案】4【解析】【分析】先根据题意化简212211x x x x x +=---，将2250x x --=变形为225x x -=，再整体代入即可求解．【详解】解：由题意得()()212112211x x x x x x x x +=+--=---，∵2250x x --=，∴225x x -=，∴原式221=51=4x x ---．故答案为：4【点睛】本题考查了新定义问题，平方差公式，整体思想等知识，理解题意，将121x x x +-化简是解题关键．9．（2022·重庆·八年级期末）已知ax •ay ＝a 5，ax ÷ay ＝a ．（1）求x +y 和x ﹣y 的值；（2）运用完全平方公式，求x 2+y 2的值．【答案】（1）x +y ＝5，x ﹣y ＝1；（2）13【分析】（1）将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可；（2）①利用平方差公式得出224(2)(2)a b a b a b =+--，代入求值即可；②利用平方差公式将22200199-写成(200199)(200199)=200199+´-+，以此类推，然后化简求值．【详解】解：（1）图1中阴影部分面积22a b -，图2中阴影部分面积()()a b a b +-，所以，得到公式22()()a b a b a b -=+-故答案为22()()a b a b a b -=+-．（2）①∵22224(2)(2)(2)a b a b a b a b -=-=+-∴(2)(2)=24a b a b +-又∵2a +b ＝6，24a b \-=故答案为4．②222222222001991981974321-+-+¼+-+-(200199)(200199)(198197)(198197)(43)(43)(21)(21)=+´-++´-+¼++´-++´-2001991981974321=+++¼++++20100=【点睛】本题考查平方差公式的应用．熟练掌握平方差公式是解题的关键．。

平方差公式和完全平方公式复习和拓展08431ppt课件

.
3.在横线上添上适当的代数式，使等式成立
(1)a2 b2 (ab)2 _2_a_b__ (2)a2 b2 (ab)2 _2_ab___ (3)(ab)2 (ab)2 _4_a_b____
.
4.公式变形的应用：(a+b)2 = a2+b2+2ab (a-b)2 = a2+b2-2ab
（ 1）已知 a b 1, ab 2,
边成立。
(1) (2)
((4 xm _2_ b12a__ 2 _2 )_1x2)m 6 2b a x4m (2__ ba14 __ 2 __)_
(3)
1
(6 _a _0_.5b)2
a 326a6b_14 b_2 _
_
(4) (7xy)24x92(1_4x_ y _y2 _)
.
4、计算
1997 1992719981996
(2)(x－2y)(x+2y);
x2 4y2
(3)(－m+n)(－m－n).
m2 .
n2
完全平方公式:
(a+b)2 = a2+2ab+b2 (a-b)2 = a2-2ab+b2
首平方，尾平方， 2倍乘积在中央
.
完全平方公式的几何意义
和的完全平方公式：
b ab b²
(a+b)²
a a² ab
ab
1 1 a a2
a2
2 1 a2
a12 a
a2
2a
11 aa2
a2
1 2a2
.
能力提高
5. x
1 x
m, 则x 2

1 x2
_m__2_;2

平方差与完全平方公式

）
C.a=2,b=错误!未找
A.2ab
B.-2ab
C.-4ab
D. 4ab
3.若 x2+y2=(x-y)2+p=(x+y)2-Q,则 P，Q 分别为（
）
A.P=2xy,Q=-2xy B. P=-2xy,Q=2xy C. P=2xy,Q=2xy D. P=-2xy,Q=2xy
4.若 m≠n,下列等式中：(m-n)2=(n-m)2, (m+n)(m-n)=(-m-n)(-m+n), (m-n)2=-(n-m)2, (-m-n)2=-(m-n)2,
例 8．解方程： 5x 63x 2 2 3x 54 x 1 x 1 2
3 3
3
【题型六】逆用平方差公式
例 9.已知 x 2 y 2 6, x y 2 0 ，求 x y 5 的值．
【创新题】例 10．观察下列算式：
32 1 8 8 1,52 32 16 8 2,72 52 24 8 3,92 72 32 8 4,,
A．－15
B．－2
C．－6
D．6
11．已知 x2 2ax 16 是一个完全平方式，则 a 的值等于（）
A．8
B．4
C．±4 D．±8
12．乘积 (1 1 )(1 1 ) (1 1 )(1 1 )等于
22
32
92
102
A. 5 12
B. 1 2
C. 11 20
() D. 7 10
13．已知 x, y 满足 x2 y 2 5 2x y,求代数式 xy 的值。
其中错误的有（
）
A.1 个
B. 2 个
C.3 个
D.4 个
5.如果 a+错误!未找到引用源。=3,则 a2+错误!未找到引用源。=(

七年级数学8.3平方差公式与完全平方公式讲解与例题

8.3 完全平方公式与平方差公式1．了解乘法公式的几何背景，掌握公式的结构特征，并能熟练运用公式进行简单的计算．2．感受生活中两个乘法公式存在的意义，养成“观察—归纳—概括”的数学能力，体会数形结合的思想方法，提高学习数学的兴趣和运用知识解决问题的能力，进一步增强符号感和推理能力．1．完全平方公式(1)完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.上式用语言叙述为：两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍．(2)完全平方公式的证明：(a±b)2＝(a±b)(a±b)＝a2±ab±ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2±2ab＋b2(合并同类项)．(3)完全平方公式的特点：①左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．可简单概括为“首平方，尾平方，积的2倍夹中央”．②公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式．③对于符合两数和(或差)的平方的乘法，均可用上述公式计算．【例1－1】用完全平方公式计算(1)(x＋2y)2；(2)(2a－5)2；(3)(－2s＋t)2；(4)(－3x－4y)2；(5)(2x＋y－3z)2.分析：第(1)、(2)两题可直接用和、差平方公式计算；第(3)题可先把它变成(t－2s)2，然后再计算，也可以把－2s看成一项，用和平方公式计算；第(4)题可看成－3x与4y差的平方，也可以看成－3x与－4y和的平方；(5)可把2x＋y看成一项，用差平方公式计算，然后再用和平方公式计算，也可以把它看成2x与y－3z的和平方，再用差平方公式计算．解：(1)(x＋2y)2＝x2＋2·x·2y＋(2y)2＝x2＋4xy＋4y2；(2)(2a－5)2＝(2a)2－2·2a·5＋52＝4a2－20a＋25；(3)(－2s ＋t )2＝(t －2s )2＝t 2－2·t ·2s ＋(2s )2＝t 2－4ts ＋4s 2；(4)(－3x －4y )2＝(－3x )2－2·(－3x )·4y ＋(4y )2＝9x 2＋24xy ＋16y 2；(5)(2x ＋y －3z )2＝[2x ＋(y －3z )]2＝(2x )2＋2·2x ·(y －3z )＋(y －3z )2＝4x 2＋4xy －12xz ＋y 2－2·y ·3z ＋(3z )2＝4x 2＋y 2＋9z 2＋4xy －12xz －6yz .(1)千万不要与公式(ab )2＝a 2b 2混淆，发生类似(a ±b )2＝a 2±b 2的错误；(2)切勿把“乘积项”2ab 中的2漏掉；(3)计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接套用公式进行计算；如不符合，应先变形，使其具备公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算．此外，在运用公式时要灵活，如第(4)题，由于(－3x －4y )2与(3x ＋4y )2是相等关系，故可以把(－3x －4y )2转化为(3x ＋4y )2，再进行计算，再如(5)题，也有许多不同的方法．(4)完全平方公式的几何解释．如图是对(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2几何意义的阐释．大正方形的面积可以表示为(a ＋b )2，也可以表示为S ＝S Ⅰ＋S Ⅱ＋S Ⅲ＋S Ⅳ，又S Ⅲ，S Ⅰ，S Ⅳ，S Ⅱ分别等于a 2，ab ，ab ，b 2，所以S ＝a 2＋ab ＋ab ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 2.从而验证了完全平方公式(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2.如图是对(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2几何意义的阐释．正方形Ⅰ的面积可以表示为(a －b )2，也可以表示为S Ⅰ＝S 大－S Ⅱ－S Ⅳ＋S Ⅲ，又S 大，S Ⅱ，S Ⅲ，S Ⅳ分别等于a 2，ab ，b 2，ab ，所以SⅠ＝a 2－ab －ab ＋b 2＝a 2－2ab ＋b 2.从而验证了完全平方公式(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2.【例1－2】下图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中的空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a ，b 的恒等式：__________________.解析：根据图中的面积写一个恒等式，需要用两种方法表示空白正方形的面积．首先观察大正方形是由四个矩形和一个空白正方形组成，所以空白正方形的面积等于大正方形的面积减去四个矩形的面积，即(a ＋b )2－4ab ，空白正方形的面积也等于它的边长的平方，即(a－b )2，根据面积相等有(a ＋b )2－4ab ＝(a －b )2.答案：(a ＋b )2－4ab ＝(a －b )22．平方差公式(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.上式用语言叙述为：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．(2)平方差公式的证明：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2－b2(合并同类项)．(3)平方差公式的特点：①左边是两个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去互为相反数项的平方)；③公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．利用此公式进行乘法计算时，应仔细辨认题目是否符合公式特点，不符合平方差公式形式的两个二项式相乘，不能用平方差公式．如(a＋b)(a－2b)不能用平方差公式计算．【例2－1】计算：(1)(3x＋2y)(3x－2y)；(2)(－m＋n)(－m－n)；(3)(－2x－3)(2x－3)．分析：(1)本题符合平方差公式的结构特征，其中3x对应“a”，2y对应“b”；(2)题中相同项为－m，互为相反数的项为n与－n，故本题也符合平方差公式的结构特征；(3)利用加法交换律将原式变形为(－3＋2x)(－3－2x)，然后运用平方差公式计算．解：(1)(3x＋2y)(3x－2y)＝(3x)2－(2y)2＝9x2－4y2.(2)(－m＋n)(－m－n)＝(－m)2－n2.(3)(－2x－3)(2x－3)＝(－3＋2x)(－3－2x)＝(－3)2－(2x)2＝9－4x2.利用公式计算，关键是分清哪一项相当于公式中的a，哪一项相当于公式中的b，通常情况下，为防止出错，利用公式前把相同项放在前面，互为相反数的项放在后面，然后套用公式．(4)平方差公式的几何解释如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2－b2；若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成SⅠ＋SⅢ＝SⅠ＋SⅣ＝(a＋b)(a－b)．从而验证了平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2.【例2－2】下图由边长为a和b的两个正方形组成，通过用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，可以验证的一个乘法公式是____________________．分析：要表示阴影部分的面积，可以从两个方面出发：一是观察阴影部分是由边长为a的正方形除去边长为b 的正方形得到的，所以它的面积等于a 2－b 2；二是阴影部分是由两个直角梯形构成的，所以它的面积又等于两个梯形的面积之和．这两个梯形的面积都等于12(b＋a )(a －b )，所以梯形的面积和是(a ＋b )(a －b )，根据阴影部分的面积不变，得(a ＋b )(a－b )＝a 2－b 2.因此验证的一个乘法公式是(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2.答案：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b23．运用乘法公式简便计算平方差公式、完全平方公式不但是研究整式运算的基础，而且在许多的数字运算中也有广泛地运用．不少数字计算题看似与平方差公式、完全平方公式无关，但若根据数字的结构特点，灵活巧妙地运用平方差公式、完全平方公式，常可以使运算变繁为简，化难为易．解答此类题，关键是分析数的特点，看能否将数改写成两数和的形式及两数差的形式，若改写成两数和的形式乘以两数差的形式，则用平方差公式；若改写成两数和的平方形式或两数差的平方形式，则用完全平方公式．【例3】计算：(1)2 0132－2 014×2 012；(2)1032；(3)1982.分析：(1)2 014＝2 013＋1,2 012＝2 013－1，正好符合平方差公式，可利用平方差公式进行简便运算；(2)可将1032改写为(100＋3)2，利用两数和的平方公式进行简便运算；(3)可将1982改写为(200－2)2，利用两数差的平方公式进行简便运算．解：(1)2 0132－2 014×2 012＝2 0132－(2 013＋1)×(2 013－1)＝2 0132－(2 0132－12)＝2 0132－2 0132＋1＝1.(2)1032＝(100＋3)2＝1002＋2×100×3＋32＝10 000＋600＋9＝10 613.(3)1982＝(200－2)2＝2002－2×200×2＋22＝40 000－800＋4＝39 204. 4．利用乘法公式化简求值求代数式的值时，一般情况是先化简，再把字母的值代入化简后的式子中求值．在化简的过程中，合理地利用乘法公式能使整式的运算过程变得简单．在代数式化简过程中，用到平方差公式及完全平方公式时，要特别注意应用公式的准确性．【例4】先化简，再求值：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2，其中m ＝－2，n ＝15.解：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2＝5(m 2－n 2)－2(m 2＋2mn ＋n 2)－3(m 2－2mn ＋n 2)＝5m 2－5n 2－2m 2－4mn －2n 2－3m 2＋6mn －3n 2＝－10n 2＋2mn .当m ＝－2，n ＝15时，原式＝－10n2＋2mn ＝－10×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋2×(－2)×15＝－65.5．乘法公式的运用技巧一些多项式的乘法或计算几个有理数的积时，表面上看起来不能利用乘法公式，实际上经过简单的变形后，就能直接运用乘法公式进行计算了．有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．在运用平方差公式时，注意以下几种常见的变化形式：①位置变化：(b＋a)(－b＋a)＝a2－b2.②符号变化：(－a＋b)(－a－b)＝(－a)2－b2＝a2－b2.③系数变化：(0.5a＋3b)(0.5a－3b)＝(0.5a)2－(3b)2.④指数变化：(a2＋b2)(a2－b2)＝(a2)2－(b2)2＝a4－b4.⑤增项变化：(a－b－c)(a－b＋c)＝(a－b)2－c2，(a＋b－c)(a－b＋c)＝a2－(b－c)2.⑥增因式变化：(a＋b)(a－b)(－a－b)(－a＋b)＝(a2－b2)(a2－b2)＝(a2－b2)2.⑦连用公式变化：(a－b)(a＋b)(a2＋b2)(a4＋b4)＝a8－b8.【例5－1】计算：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)；(2)(m－2n＋p)2；(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2.解：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)＝[(a＋b)＋1][(a＋b)－1]＝(a＋b)2－1＝a2＋2ab＋b2－1.(2)(m－2n＋p)2＝[(m－2n)＋p]2＝(m－2n)2＋2·(m－2n)·p＋p2＝m2－4mn＋4n2＋2mp－4np＋p2.(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2＝[(2x－3y)(2x＋3y)]2＝(4x2－9y2)2＝(4x2)2－2×4x2×9y2＋(9y2)2＝16x4－72x2y2＋81y4.在运用平方差公式时，应分清两个因式是否是两项之和与差的形式，符合形式才可以用平方差公式，否则不能用；完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个三项式，在计算时不要发生：(a＋b)2＝a2＋b2或(a－b)2＝a2－b2这样的错误；当因式中含有三项或三项以上时，要适当的分组，看成是两项，从而应用平方差公式或完全平方公式．【例5－2】计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)的值．分析：为了能便于运用平方差公式，观察到待求式中都是和的形式，没有差的形式，可设法构造出差的因数，于是可乘以(2－1)，这样就可巧妙地运用平方差公式了．解：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(24－1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝…＝(22n－1)(22n＋1)＝24n－1.6．乘法公式的实际应用在解决生活中的实际问题时，经常把其中的一个量或几个量先用字母表示，然后列出相关式子，进而化简，这往往涉及到整式的运算．解题时，灵活运用乘法公式，往往能事半功倍，使问题得到快速解答．【例6】一个正方形的边长增加3 cm ，它的面积就增加39 cm 2，这个正方形的边长是多少？分析：如果设原正方形的边长为x cm ，根据题意和正方形的面积公式可列出方程(x ＋3)2＝x 2＋39，求解即可．解：设原正方形的边长为x cm ，则(x ＋3)2＝x 2＋39，即x 2＋6x ＋9＝x 2＋39，解得x ＝5(cm)．故这个正方形的边长是5 cm. 7．完全平方公式的综合运用学习乘法公式应注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”，注意为使用公式创造条件．(1)完全平方公式变形后可得到以下一些新公式： ①a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ； ②a 2＋b 2＝(a －b )2＋2ab ；③(a ＋b )2＝(a －b )2＋4ab ；④(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ；⑤(a ＋b )2＋(a －b )2＝2(a 2＋b 2)；⑥(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab 等．在公式(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2中，如果把a ＋b ，ab 和a 2＋b 2分别看做一个整体，则知道了其中两个就可以求第三个．(2)注意公式的逆用不仅会熟练地正用公式，而且也要求会逆用公式，乘法公式均可逆用，特别是完全平方公式的逆用——a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2.【例7－1】已知a 2＋b 2＋4a －2b ＋5＝0，则a ＋b a －b的值是__________．解析：原等式可化为(a 2＋4a ＋4)＋(b 2－2b ＋1)＝0，即(a ＋2)2＋(b －1)2＝0，根据非负数的特点知a ＋2＝0且b －1＝0，从而可知a ＝－2且b ＝1.然后将其代入求a ＋ba －b的值即可．答案：13【例7－2】已知a ＋b ＝2，ab ＝1，求a 2＋b 2的值．分析：利用完全平方公式有(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，把2ab 移到等式的左边，可得(a ＋b )2－2ab ＝a 2＋b 2，然后代入求值即可．解：∵(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2aB ．∵a ＋b ＝2，ab ＝1，∴a 2＋b 2＝22－2×1＝2.涉及两数和或两数差及其乘积的问题，就要联想到完全平方公式．本题也可从条件出发解答，如因为a ＋b ＝2，所以(a ＋b )2＝22，即a 2＋2ab ＋b 2＝4.把ab ＝1代入，得a 2＋2×1＋b 2＝4，于是可得a 2＋b 2＝4－2＝2.。

平方差公式与完全平方公式的组合运算(一)

平方差公式与完全平方公式的组合运算(一)平方差公式与完全平方公式是初中阶段学习中十分重要的数学知识，而它们的组合运算也是十分常见的。

本文将介绍平方差公式与完全平方公式，探讨它们的组合运算，以及为什么能够达到预期效果。

一、平方差公式平方差公式是指：$(a+b)\times(a-b)=a^2-b^2$。

它的形式可能比较简单，但是应用起来却十分广泛。

例如，当我们需要求出两个数的平方和与平方差时，便可以通过平方差公式来解决。

如果要求$(a+b)^2+(a-b)^2$，那么我们可以先算出$(a+b)\times(a-b)=a^2-b^2$，再把这个结果带入到$(a+b)^2+(a-b)^2$中，得到$(a+b)^2+(a-b)^2=2a^2+2b^2$。

同理，如果要求$(a+b)^2-(a-b)^2$，我们可以先算出$(a+b)\times(a-b)=a^2-b^2$，再把这个结果带入到$(a+b)^2-(a-b)^2$中，得到 $(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$。

二、完全平方公式完全平方公式是指：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$。

这个公式相信大家都非常熟悉，因为在代数式的展开中，非常经常会用到这个公式。

例如，如果要展开$(x+3)^2$，那么我们就可以利用完全平方公式，得到$(x+3)^2=x^2+6x+9$。

三、平方差公式和完全平方公式的组合运算平方差公式和完全平方公式在实际运用中往往也会相互组合，来求解一些更加复杂的数学问题。

例如，如果我们要求$(a+b+c)^2$，那么我们就可以先算出$(a+b)^2$和$c^2$，再通过平方差公式来得到$$(a+b+c)^2=(a+b)^2+c^2+2(a+b)\timesc$$$$=a^2+2ab+b^2+c^2+2ac+2bc$$同样地，如果我们要求$(a-b)^2-(c-d)^2$，那么我们可以先用完全平方公式算出$(a-b)^2$和$(c-d)^2$，再用平方差公式来得到$$(a-b)^2-(c-d)^2=(a-b+c-d)\times(a-b-c+d)$$$$=(a+c-b-d)\times(a-b-c+d)$$$$=(a^2-2ab+b^2-c^2+2cd-d^2)$$综上所述，平方差公式与完全平方公式的组合运算非常灵活，而且可以帮助我们解决许多数学问题。

15.2.3 平方差公式与完全平方公式-2008

相同为a 相同为
适当交换
2-(b)2 (a+b)(a-b)=(a)
相反为b 相反为
合理加括
2-b2=(a+b)(a-b) a
逆向思维训练：逆向思维训练： 1、 1、( 2、( 、 3、( 、 )( )( )(
2-m2 )=n
)
2-9y2 =4x
) =25-a²
3、填空：填空：
公式的逆向使用；公式的逆向使用；
4x4－y2.
P156 第1题
拓展：已知的值. 拓展：已知a+b=5，ab=3，求a2+b2的值. ，，
口答
(1) (6a+5b)2 =36a2+60ab+25b2 (3) (-2m-1)2 =4m2+4m+1
m n 2 (5)( + ) (2) (4x-3y)2 2 3 2 2 2-24xy+9y2 m mn n =16x = + + 4 3 9 m n 2 2 (3) (2m-1) (6)(− − ) 2 3 m2 mn n2 2-4m+1 =4m = + + 4 3 9
你会了吗? 你会了吗?
计算: 计算
(1)(－x+2y)2; － (2)(－x－y)2; －－ (3)(x+y－z)2; － (4)(x+y)2－(x－y)2. －
2.(a+b+c)(a+b-c),是否可用平方差公式计是否可用平方差公式计怎样应用公式计算？算？怎样应用公式计算？解： (a+b+c) (a+b-c) = [(a+b)+c] [(a+b)-c] = (a+b)2 - c2 = (a+b) (a+b) – c2 = (a2+ab+ab+b2) – c2 = (a2+2ab+b2) – c2 = a2+2ab+b2 – c2

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