定积分概念的教学设计
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定积分概念的教学设计
作者：董艳
来源：《文理导航》2018年第20期
【摘要】定积分是微积分的核心概念之一，是微积分的重要组成部分。
定积分的概念比较抽象，如何进行课堂设计是上好本节课的关键。
本节课主要从求曲边梯形的面积，建立定积分符号的原因以及它的几何意义这三方面理解概念的，其中是以极限的思想为线索展开的，最后以一个哲学的道理加深对概念的理解。
【关键词】定积分；课堂设计；曲边梯形；几何意义；极限
前言
本节课的设计理念为：敢于提出问题、形象解决问题、用心感悟问题。
通过学生预习探究环节提出问题；通过数形结合解决问题；通过学习数学知识体会到其中的哲学道理。
设计特色：以学生预习探究引入，提出理解概念的关键问题点，用数形结合的方法帮助学生解决问题，体会极限的重要作用，并从中体会数学的哲理，得出有益于学生的人生道理！
一、设计思想
教材分析：
定积分是微积分的核心概念之一，是微积分的重要组成部分；定积分的概念是定积分一切知识的源泉，对定积分概念的理解为后续有关它的计算和应用奠定基礎，因此学好本节课是非常重要的。
有关定积分的知识，学生高中接触过，但是都是一些碎片化的知识，对它的了解只停留在简单的计算上，对概念的理解几乎是零。
定积分的概念较长，也比较抽象，如何让学生理解概念的思想是上好本节课的关键。
学情分析：
学习对象：一年级的高职新生。
学习对象基础概况：数学基础较为薄弱，比较注重形象思维，接受新知识能力较强。
学习对象知识储备：曲边梯形的概念及面积计算。
定积分的几何意义学习对象能力特征：具有一定归纳、概括、类比、抽象思维能力。
学习对象情感态度：对定积分概念的理解有强烈的兴趣和求知欲。
二、教学目标及重难点分析
1.知识与技能目标。
定积分概念教案范文
定积分概念教案范文教案标题：定积分概念的引入和初步认识一、教学目标1.了解定积分概念的引入背景和发展历程；2.掌握定积分的基本定义；3.能够应用定积分求解简单的几何和物理问题。
二、教学重点1.定积分引入背景和基本概念；2.定积分的基本定义和求解方法。
三、教学难点2.定积分的应用举例。
四、教学准备1.教师准备：教案、黑板、粉笔、教材参考书。
2.学生准备：课前预习教材相关内容，笔记本、笔等。
五、教学过程第一步：导入（10分钟）1.引入背景：告诉学生数学是一门从古至今都有许多人致力于研究的学科，其中有很多重要的概念和定理。
本节课我们将要学习的是定积分概念，它是微积分学中的基本概念之一第二步：展示（15分钟）1.介绍定积分的提出背景和发展历程，如牛顿、莱布尼兹等人对定积分的贡献；2.引入定积分的基本概念：设函数f(x)在闭区间[a,b]上有界，将[a,b]分为n个小区间，每个小区间长度为Δx，用Δx表示。
在每个小区间内任取一点ξi（ξi属于[i-1,i]）并计算f(ξi)Δx，然后将这n 个小区间上的和表示为Σf(ξi)Δx；3. 引入定积分的基本定义：当n趋向于无穷大，并且Δx趋向于0时，如果极限lim(Δx→0)Σf(ξi)Δx存在，且对任意x ∈ [a, b]，极限lim(n→∞)lim(Δx→0)Σf(ξi)Δx存在，那么称该极限为函数f(x)在闭区间[a, b]上的定积分，记作∫[a, b]f(x)dx，即∫[a,b]f(x)dx=lim(n→∞)lim(Δx→0)Σf(ξi)Δx；4.解释定积分的几何意义：定积分表示曲线与x轴所围成的面积。
通过几何图形进行解释和演示。
第三步：练习（25分钟）1.基本练习：通过一些基本的题目来巩固定积分的基本定义和概念的理解；2.综合练习：通过一些实际问题来应用定积分，如求一段弓形所围成的面积、求物体在一定时间内的位移等。
第四步：讲解与总结（15分钟）1.请学生上台分别讲解几个基本练习题的解题思路和方法；2.强调定积分与不定积分的区别：不定积分结果是一个函数表达式，而定积分结果是一个数值；3.总结定积分的基本概念和定义，强调定积分解决实际问题的重要性。
定积分的概念教案
定积分的概念教案一、教学目标：1.了解定积分的定义和计算方法；2.掌握定积分的性质和应用；3.培养学生的数学计算能力和逻辑思维能力。
二、教学内容：1.定积分的定义；2.定积分的计算方法；3.定积分的性质和应用。
三、教学重点：1.定积分的定义；2.定积分的计算方法。
四、教学难点：1.定积分的性质和应用；2.定积分与原函数的关系。
五、教学过程：Step 1 引入教师与学生展开对话，探讨学生对积分的了解：教师：同学们，你们对积分有什么了解？学生：积分就是求和。
教师：不错，积分的确是求和，但是定积分具体是什么呢？我们一起来探讨一下。
Step 2 定积分的定义教师向学生介绍定积分的定义：教师：定积分是微积分的一个重要概念，表示函数曲线与x轴之间的面积。
我们用符号∫来表示定积分，函数f(x)的定积分表示为∫f(x)dx，在积分号下面写上被积函数，dx表示自变量。
Step 3 定积分的计算方法教师通过示例向学生演示定积分的计算方法：教师：我们以函数f(x)=x^2为例，计算f(x)在区间[1,3]上的定积分。
教师在黑板上写下∫(1→3)x^2dx，并进行具体的计算步骤解释。
Step 4 定积分的性质和应用教师向学生介绍定积分的性质和应用，并通过例题进行讲解：教师：定积分具有线性性质、区间可加性和变量替换的性质，同时也可以用于计算面积、体积、质量等。
我们来看一个例题，计算函数f(x)=x在区间[-2,2]上的定积分，并解释其实际意义。
Step 5 定积分与原函数的关系教师引导学生思考定积分与原函数的关系：Step 6 总结与归纳教师与学生总结本节课的内容，并归纳出定积分的概念和性质：教师：同学们，通过本节课的学习，我们初步了解了定积分的定义、计算方法和性质。
下节课我们将进一步学习定积分的应用。
大家要做好预习哦！六、教学反思本节课通过引入、定义、示例演算等方式，使学生初步了解了定积分的概念和计算方法。
通过例题讲解，学生对定积分的应用有了基本的认识。
高中数学定积分的概念教案
高中数学定积分的概念教案一、教学目标：1.了解定积分的概念及其在数学中的重要性；2.掌握定积分的基本性质和计算方法；3.能够运用定积分求解实际问题。
二、教学重点及难点：1.定积分的概念和基本性质；2.定积分的计算方法；3.定积分在实际问题中的应用。
三、教学内容：1.定积分的概念a.通过求和的思想引入定积分的概念；b.定义定积分的符号表示及含义；c.定积分的几何意义和物理意义。
2.定积分的性质a.定积分的线性性质；b.定积分的可加性质；c.定积分的保号性质。
3.定积分的计算方法a.定积分的基本性质；b.定积分的换元法；c.定积分的分部积分法。
4.定积分在实际问题中的应用a.通过实际问题引入定积分的应用；b.运用定积分求解速度、面积、体积等实际问题。
四、教学过程：1.引入定积分的概念（10分钟）a.通过求和的思想引入定积分的概念；b.讲解定积分的符号表示及其含义。
2.定积分的性质（15分钟）a.讲解定积分的线性性质、可加性质和保号性质；b.举例说明定积分性质的运用。
3.定积分的计算方法（20分钟）a.讲解定积分的基本性质和计算方法；b.通过实例演示定积分的换元法和分部积分法。
4.定积分在实际问题中的应用（15分钟）a.通过实际问题引入定积分的应用；b.运用定积分求解速度、面积、体积等实际问题。
五、教学方法：1.讲授相结合：简洁明了地讲解定积分的概念和性质，结合实例演示计算方法；2.激发思考：通过引入实际问题，激发学生的思考和探究欲望；3.启发式教学：提出问题引导学生独立思考，培养学生的解决问题能力。
六、教学资源：1.教材：教材中相关知识点、例题及练习题；2.多媒体教学：投影仪、电脑等多媒体设备。
七、教学评估：1.课堂练习：课堂上针对性地布置练习，检验学生对定积分的理解和掌握程度；2.作业布置：课后布置练习题，巩固学生对定积分的掌握。
八、课堂小结：通过本节课的学习，相信同学们已经初步了解了定积分的概念、性质和计算方法，并能够运用定积分解决实际问题。
定积分概念的课程设计
定积分概念的课程设计一、教学目标本节课的教学目标是让学生掌握定积分的概念及其应用。
具体来说，知识目标包括：了解定积分的定义、性质和计算方法；理解定积分在实际问题中的应用。
技能目标则要求学生能够运用定积分解决简单的问题，如计算曲线下的面积、求解弯曲物体的质心等。
情感态度价值观目标则是培养学生的数学思维能力，提高他们对数学的兴趣和自信心。
二、教学内容本节课的教学内容主要包括定积分的定义、性质和计算方法。
首先，引导学生回顾不定积分的基本概念，为学生引入定积分做铺垫。
然后，详细讲解定积分的定义，通过实例让学生理解定积分的概念。
接着，介绍定积分的性质，如线性性质、保号性等，并通过例题让学生掌握这些性质的应用。
最后，讲解定积分的计算方法，如牛顿-莱布尼茨公式、分部积分法等，并通过练习让学生熟练运用这些方法。
三、教学方法为了达到本节课的教学目标，我将采用多种教学方法相结合的方式进行教学。
首先，运用讲授法，清晰、系统地讲解定积分的概念、性质和计算方法。
其次，采用讨论法，引导学生分组讨论定积分在实际问题中的应用，激发学生的思考。
此外，还将运用案例分析法，通过分析具体案例，让学生更好地理解定积分的应用。
最后，适时进行实验法，让学生在实验中感受定积分的作用，提高他们的实践能力。
四、教学资源为了支持本节课的教学内容和教学方法的实施，我将准备以下教学资源：教材、参考书、多媒体资料、实验设备。
教材和参考书将作为主要教学资源，为学生提供系统的理论知识。
多媒体资料则用于辅助教学，以图片、动画等形式展示定积分的概念和应用，增强学生的学习兴趣。
实验设备则用于进行实验教学，让学生在实践中掌握定积分的方法。
五、教学评估为了全面、客观地评估学生的学习成果，本节课的评估方式包括平时表现、作业和考试三个部分。
平时表现主要考察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，以鼓励学生积极思考和提问。
作业则包括定积分的计算练习和应用问题，以此检验学生对知识的掌握程度。
高中数学定积分的概念教案新人教版选修
高中数学定积分的概念教案新人教版选修一、教学目标1. 理解定积分的概念，掌握定积分的基本性质和计算方法。
2. 能够运用定积分解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养。
二、教学内容1. 定积分的概念介绍定积分的定义、性质和计算方法，引导学生理解定积分的本质。
2. 定积分的计算讲解定积分的计算法则，包括牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法、分部积分法等，让学生掌握定积分的计算技巧。
3. 定积分在实际问题中的应用通过实际问题，引导学生运用定积分解决面积、体积、弧长等问题，提高学生的数学应用能力。
三、教学重点与难点1. 定积分的概念与性质2. 定积分的计算方法3. 定积分在实际问题中的应用四、教学方法1. 采用讲授法，讲解定积分的概念、性质和计算方法。
2. 利用例题，引导学生掌握定积分的计算技巧。
3. 结合实际问题，培养学生运用定积分解决实际问题的能力。
4. 组织讨论，让学生在探讨中深化对定积分概念的理解。
五、教学过程1. 引入：通过复习初中数学中的积分概念，引导学生思考如何将积分概念推广到无限区间。
2. 讲解：讲解定积分的定义、性质和计算方法，让学生理解定积分的本质。
3. 练习：布置定积分的计算练习题，让学生巩固所学知识。
4. 应用：结合实际问题，讲解定积分在面积、体积、弧长等方面的应用，让学生体会定积分的实用价值。
6. 作业：布置课后作业，巩固所学知识。
六、定积分的性质与计算法则1. 性质：定积分具有线性性质，即$\int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{a}^{b} g(x) \, dx = \int_{a}^{b} (f(x) + g(x)) \, dx$。
定积分与积分区间有关，即$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = -\int_{b}^{a} f(x) \, dx$。
定积分与积分函数的单调性有关，即若$f(x)$ 在$[a, b]$ 上单调递增，则$\int_{a}^{b} f(x) \, dx$ 可以表示为$F(b) F(a)$，其中$F(x)$ 是$f(x)$ 的一个原函数。
定积分概念教学设计
定积分概念教学设计第1篇：定积分的概念的教学设计《1.5.3定积分的概念》教学设计1．教材分析1．1课标要求分析从教材上的要求来看，要求学生认识定积分的知识背景，理解背景中两个典型问题的解决思想，并能概括它们的共同特征从而引入定积分概念，理解定积分的含义和其符号的含义，明白定积分的几何意义和基本性质。
我个人认为由两个实例引入定积分概念这步很重要，能让学生理解定积分这一抽象的概念，并理解定积分的用途。
1． 2教学内容分析 1．2．1内容背景分析本节内容是人教A版选修2—2的1.5.3的内容，前面两节学习了如何解决“求曲边梯形面积”和“求变速运动路程”两个经典问题，在这两个问题的知识背景下这节课很自然地引入了定积分的概念。
这样能让学生充分理解定积分的由来和用途。
1．2．2教学内容的分析人教版的这节课的内容比较简短，要求掌握的层次也比较低。
主要通过前面两个实例的解决思路进行概括引入定积分的概念，明白积分的概念，积分符号的含义，了解定积分的几何意义和几个基本性质。
通过例1让学生进一步熟悉定积分的定义，熟悉计算定积分的“四步曲”。
2．学情分析我上这堂课的班级是高二（3）班，这个班在高二四个班中属于中等水平，上课思维不大活跃，不分学生接受能力还可以，但后进生比较多，这些学生基础较为薄弱，而且定积分的概念较为抽象，在引入的过程中包含了数列求和，求极限等复杂的知识内容。
作为引入定积分概念的课，推导的计算过程简单带过就好，不宜把知识点挖得太深。
我把这节课的重点放在让学生了解定积分概念的由来，明白定积分符号的含义、定积分的集合意义和一些基本性质，让学生掌握用定义求定积分的步骤。
3．教学目标1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景；2.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分；3.理解掌握定积分的几何意义． 4．教学重点和难点重点：理解定积分的概念、定积分的几何意义及基本性质，能用定义求简单的定积分．难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 5．教学过程1．创设情景复习：1.回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决思路，解决步骤：求曲边梯形面积: 分割→ 以直代曲→求和→取极限（逼近）求汽车路程:分割→以不变代变→求和→取极限（逼近）2．思考一下解决前面两个问题的共同特点： 2．新课讲授1．定积分的概念一般地，设函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点a=x0<x1<x2<<xi-1<xi<<xn=b将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间长度为∆x （n∆x=nb-a[x,x]n），在每个小区间i-1ib-af(ξi)n 上取一点ξi(i=1,2，n)，作和式：Sn=∑f(ξi)∆x=∑i=1i=1如果∆x无限接近于0（亦即n→+∞）时，上述和式为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。
定积分的概念教案
定积分的概念教案课题：定积分的概念研究目标及重、难点：一、教学目标：1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景。
2.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分。
3.理解掌握定积分的几何意义。
二、教学重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义。
教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义。
教学流程：一、复：1.回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤：分割→近似代替(以直代曲)→求和→取极限（逼近）2.对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点。
二、新课探析：1.定积分的概念：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点一般地将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间长度为Δx，取一点ξi（i=1,2.n）在每个小区间[x(i-1),xi]上任取一点ξi，作和式：Sn=∑f(ξi)Δx，当上述和式Sn无限趋近于常数S，即S=limSn（n→∞）时，上述常数S称为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。
记为：S=∫baf(x)dx，其中∫为积分号，b为积分上限，a为积分下限，f(x)为被积函数，x为积分变量，[a,b]为积分区间，∫f(x)dx为被积式。
说明：1）定积分不是Sn。
2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n等分区间[a,b]；②近似代替：取点ξi∈[xi-1,xi]；③求和：∑f(ξi)Δx；④取极限：∫f(x)dx=lim∑f(ξi)Δx（n→∞）。
3）曲边图形面积：S=∫f(x)dx。
2.定积分的几何意义：从几何上看，如果在区间[a,b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，则定积分∫f(x)dx表示由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和y=f(x)所围成的曲边梯形的面积，如图中的阴影部分。
另外，定积分还可以表示变速运动路程S=∫bta2v(t)dt和变力做功W=∫btaF(r)dr的大小。
高中数定积分教案模板
课时安排：2课时教学目标：1. 让学生理解定积分的概念，掌握定积分的几何意义。
2. 通过实例，让学生学会运用定积分求解实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 定积分的概念2. 定积分的几何意义3. 定积分的应用教学难点：1. 定积分的概念理解2. 定积分的几何意义与实际问题的联系教学过程：第一课时一、导入1. 回顾函数、导数等知识，引出定积分的概念。
2. 提出问题：如何求解曲边图形的面积？二、新课讲解1. 定积分的概念（1）定义：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，那么积分∫[a, b]f(x)dx表示由曲线y=f(x)、直线x=a、直线x=b、直线y=0所围成的平面图形的面积。
（2）性质：定积分与积分变量的字母无关，只与积分上、下限的大小有关。
2. 定积分的几何意义（1）几何直观：定积分表示由曲线y=f(x)、直线x=a、直线x=b、直线y=0所围成的平面图形的面积。
（2）应用：求解平面图形的面积、体积等实际问题。
三、例题讲解1. 例1：求由曲线y=x^2、直线x=0、直线x=1所围成的平面图形的面积。
2. 例2：求由曲线y=sin(x)、直线x=0、直线x=π所围成的平面图形的面积。
四、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，强调定积分的概念和几何意义。
2. 强调定积分在实际问题中的应用。
第二课时一、复习1. 回顾定积分的概念和几何意义。
2. 回顾定积分在实际问题中的应用。
二、新课讲解1. 定积分的计算方法（1）牛顿-莱布尼茨公式：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，且F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)。
（2）换元积分法：通过适当的换元，将定积分转化为基本积分公式表中的某一形式，再求不定积分。
2. 定积分的应用（1）求解平面图形的面积（2）求解立体图形的体积三、例题讲解1. 例1：求由曲线y=x^2、直线x=0、直线x=2所围成的平面图形的面积。
定积分的概念教学案例设计
《定积分的概念》教学案例设计1 教学目标及重点、难点1.1 教学目标知识目标：1.通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分概念的实际背景意义；2.借助于几何直观理解定积分的基本思想，了解定积分的概念，会应用定积分的定义求函数的定积分．3.理解掌握定积分的几何意义和性质；能力目标：体会“以直代曲”，“无限逼近”，“近似代替”等数学思想.情感态度价值观：体会定积分在实际问题中的应用，体会数学的强大威力.1.2教学重点微元法思想和定积分的基本性质1.3教学难点无限细分和无穷累积的思维方法2 教学过程简录2.1 实例铺路，引出课题教师：“回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，”师生共同归纳得出，以上两个例子尽管来自不同领域，却都归结为求同一结构的和式的极限. 我们以后还将看到，在求变力所作的功、水压力、某些空间体的体积等许多问题中，都会出现这种形式的极限，因此，有必要在数学上统一对它们进行研究．2.2演示验证，直观感知教师：“让我们再次回顾解决曲边梯形的面积的方法，体会当中蕴含的数学思想.”（教师动画演示对曲边梯形的分割过程）这是曲边梯形的过剩近似值的拟合效果，请同学们再观察其不足近似值的动画演示.教师：体现了哪些数学思想，哪位同学说说？学生1：以上对曲边梯形的无限分割体现了“无限逼近”的思想。
学生2：还有“近似代替”的思想，用不足近似值和过剩近似值代替曲边梯形的面积，以及“以直代曲”的思想.教师：这种求面积的方法具有普遍意义，为此，引入定积分的概念. 2.2.1 定积分的概念设函数)(x f 在区间],[b a 上有定义，任意用分点b x x x x a n =<⋅⋅⋅<<<=210 将],[b a 分成n 个小区间，用1--=∆i i i x x x 表示第i 个小区间的长度，在],[1i i x x -上任取一点i ξ，作乘积i i x f ∆⋅)(ξ，n i ,,2,1⋅⋅⋅=. 再作和图5－1∑=∆ni iixf 1)(ξ.若当0}{max 1→∆=≤≤i ni x λ时，上式的极限存在，则称函数)(x f 在区间],[b a 上可积，并称此极限值为)(x f 在],[b a 上的定积分，记作⎰badx x f )(. 即∑⎰=→∆=ni i i bax f dx x f 1)(lim )(ξλ. (1)其中)(x f 称为被积函数，dx x f )(称为被积表达式，x 称为积分变量，],[b a 称为积分区间，b a ,分别称为积分下限和上限.许多实际问题都可用定积分表示. 例如，若变速直线运动的速度为)(t v ，则在时间区间],[b a 上，物体经过的路程为⎰=ba dt t v s )(. (2)同理，图5－1所示的曲边梯形面积可表为⎰=ba dx x f A )( (3)变力做功 ()b aW F r dr =⎰ (4) I ．)(x f 在],[b a 可积，是指不管对区间分划的方式怎样，也不管点i ξ在小区间],[1i i x x -上如何选取，只要0→λ，极限值总是唯一确定的.哪些函数是可积的呢？定理 在闭区间],[b a 上连续的函数必在],[b a 上可积；在区间],[b a 上有界且只有有限个间断点的函数也必在],[b a 上可积.II ．定积分是一个数，只取决于被积函数与积分区间，而与积分变量的记号无关，即⎰⎰⎰==bab abadt t f du u f dx x f )()()(．III ．定义定积分时已假定下限a 小于上限b ，为便于应用，规定当a b ≤时，⎰⎰-=abbadx x f dx x f )()(．0)(=⎰aadx x f ．2.2.2 定积分的几何意义I ．若0)(≥x f ，则积分⎰b adx x f )(表示如图所示的曲边梯形的面积，即A dx x f ba=⎰)(．针对训练：用定积分表示下列图形的面积.(两名学生上黑板板书) 学生1：⎰102xdx 学生2：⎰430sin πxdx随堂检测：利用定积分的几何意义求值:(请两名同学在黑板上板演，并解说自己的想法)特别地，当a =b 时，有⎰ba f (x )dx =0。
《定积分的概念》教学设计
1.5.3 定积分的概念一、教学目标 1．核心素养通过定积分的概念的学习，提升分析问题、解决问题的能力、抽象概括能力和逻辑思维能力. 2．学习目标（1）借助几何直观体会定积分的基本思想； （2）初步了解定积分的概念. 3．学习重点定积分的概念与定积分的几何意义 4．学习难点 定积分的概念 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务任务:预习教材P 45—P 48,完成相应练习题 2．预习自测 1.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ≥0)，2x(x <0)，则⎠⎛－11f (x )dx 等于（ ）A ．⎠⎛－11x 2dxB ．⎠⎛－112x dC ．⎠⎛－10x 2dx ＋⎠⎛012x dxD ．⎠⎛－102x dx ＋⎠⎛01x 2dx 答案：D2.定积分⎰13(－3)dx 等（ ）A ．－6B ．6C ．－3D ．3 答案：A3.已知t >0，若⎠⎛0t (2x －2)dx ＝8，则t ＝（ ）A ．1B ．－2C ．－2或4D ．4 答案：D （二）课堂设计 1．知识回顾求曲边梯形面积的步骤①分割：把区间[a ，b ]等分成n 个小区间；②近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值；③求和：计算出n 个小矩形的面积之和n S ，n S 即为曲边梯形面积的近似值； ④取极限：求lim n n S S →+∞=（S 即为曲边梯形的面积）2．问题探究问题探究一 什么是定积分？学生活动：阅读课本相应内容，找到定积分的定义，并概括出求定积分的基本步骤：如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b-=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点()12i i ,,...,n ξ=，作和式11()()nni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记做()baf x dx ⎰.即1()lim ()nbi an i b af x dx f nξ→∞=-=∑⎰. 这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式. 问题探究二 定积分的几何意义． 重点、难点知识★学生活动：定积分的定义和我们上节课所讲的曲边梯形的面积的求法有没有相同之处？你能说明定积分的几何意义吗？定积分的定义与曲边梯形面积的求法本质是相同的.如果在区间[,]a b 上()f x 连续且恒有()0f x ≥，则定积分()baf x dx ⎰的几何意义是由,,0x a x b y ===与()y f x =所围成的曲边梯形的面积.问题探究三 定积分的性质重点、难点知识★▲ 学生活动：根据定积分的几何意义，论证定积分的性质 定积分的性质：（1）()()b ba akf x dx k f x dx =⎰⎰(k 为常数)（2）1212[()()]()()b b ba a af x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰； （3）()()()bcba a cf x dx f x dx f x dx =±⎰⎰⎰（其中a c b <<）. 性质（1）（2）称为定积分的线性性质，性质（3）称为定积分对积分区间的可加性.例1．计算定积分21(1)x dx+⎰详解：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为52.即：215(1)2x dx +=⎰点拨：从定积分的几何意义出发解题 3．课堂总结 【知识梳理】1.定积分的定义：如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点i ξ(1,2,,)i n =，作和式11()()nni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记做()baf x dx ⎰.即1()lim ()nbi a n i b af x dx f nξ→∞=-=∑⎰. 这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式2.定积分的几何意义：如果在区间[,]a b 上()f x 连续且恒有()0f x ≥，则定积分()baf x dx ⎰的几何意义是由,,0x a x b y ===与()y f x =所围成的曲边梯形的面积3.定积分的性质：（1）()()b ba a kf x dx k f x dx =⎰⎰ (k 为 常 数 )（2）1212[()()]()()bbba a af x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰； （3）()()()bcba a cf x dx f x dx f x dx =±⎰⎰⎰（其中a c b <<）. 性质（1）（2）称为定积分的线性性质，性质（3）称为定积分对积分区间的可加性.【重难点突破】（1）计算定积分过程中的两个常用结论 ①211(1)(21)6ni i n n n ==++∑；②231(1)2ni n n i =+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑； ③11101110lim k k k k kk k n kk k a n a n a n a a b b n b n b n b ---→∞-⋅++++=⋅++++（其中i a ，i b 为常数，0,1,,i k =）.（2）定积分的概念①定积分()ba f x dx ⎰就是和式1()ni i b af n ξ=-∑的极限，即()b a f x dx ⎰表示当n →∞时，和式1()ni i b af n ξ=-∑所趋向的定值. ②在计算定积分的过程中，为了计算的方便，我们常常将定义中的i ξ取为第i （1,2,,i n =）个小区间的左端点或右端点.③定积分()ba f x dx ⎰的值只取决于被积函数()f x 与积分上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即()()()b b ba a a f x dx f u du f t dt ===⎰⎰⎰.（3）定积分的几何意义①当()f x 对应的曲线位于x 轴上方时，定积分的值为正值，且等于曲边图形的面积；当()f x 对应的曲线位于x 轴下方时，定积分的值为负值，且等于曲边图形面积的相反数；当()f x 对应的曲线x 轴上、下方都有时，定积分等于曲边图形面积的代数和，即等于x 轴上方曲边图形的面积减去x 轴下方曲边图形的面积.②定积分有很多实际意义，如：变速运动路程21()t t s v t dt =⎰；变力做功()baW F r dr =⎰.（4）根据定积分的几何意义，易得以下性质： ①在区间[,]a b 上，若()0f x ≥，则()0baf x dx ≥⎰；②在区间[,]a b 上，若()()f x g x ≤，则()()bba a f x dx g x dx ≤⎰⎰；③()()b baaf x dx f x dx ≤⎰⎰.（5）定积分的性质的推广 ①11221122[()()()]()()()bb bbn n n n a aaak f x k f x k f x dx k f x dx k f x dx k f x dx +++=+++⎰⎰⎰⎰；②121()()()()nbc c ba a c c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++⎰⎰⎰⎰（其中12n a c c c b <<<<<）.4．随堂检测1．定积分⎠⎛ab f (x )dx 的大小( )A ．与y ＝f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关B ．与y ＝f (x )有关，与积分区间[a ，b ]和ξi 的取法无关C ．与y ＝f (x )和ξi 的取法有关，与积分区间[a ，b ]无关D ．与y ＝f (x )、积分区间[a ，b ]、ξi 的取法均无关 答案：A解析：【知识点：定积分】定积分的大小仅与被积函数和积分的上、下限有关． 2．下列结论中成立的个数是( ) ①⎠⎛01x 3dx ＝∑i ＝1ni 3n 3·1n ； ②⎠⎛01x 3dx ＝(i －1)3n 3·1n ； ③⎠⎛01x 3dx ＝i 3n 3·1nA ．0B ．1C ．2D ．3 答案：C解析：【知识点：定积分】积分是一个极限的形式，根据积分的定义可知②③正确． 3．定积分⎠⎛13(－3)dx 等于( )A ．－6B ．6C ．－3D ．3 答案：A解析：【知识点：定积分】⎠⎛133dx表示图中阴影部分的面积S ＝3×2＝6，⎠⎛13(－3)dx ＝－⎠⎛133dx ＝－6.4．已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求f (x )dx 的值，结果是( )A.16＋π2 B ．π C ．1 D ．0 答案：B解析：【知识点：定积分】(sin 5x ＋1)dx ＝sin 5xdx ＋1dx ，∵y ＝sin 5x 在[－π2，π2]上是奇函数，∴sin 5xdx ＝0. 而1dx ＝＝π，故f (x )dx ＝π，故选B.5．设a ＝⎠⎛01x 13dx ，b ＝⎠⎛01x 2dx ，c ＝⎠⎛01x 3dx ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ＞a ＞bB ．a ＞b ＞cC ．a ＝b ＞cD ．a ＞c ＞b 答案：B.解析：【知识点：定积分】 根据定积分的几何意义，易知⎠⎛1x 3dx ＜⎠⎛01x 2dx ＜⎠⎛01x 13dx ，即a ＞b ＞c ，故选B.（三）课后作业 基础型 自主突破1．定积分⎠⎛01(2＋1－x 2)dx ＝________.答案：24π+解析：【知识点：定积分】原式＝⎠⎛012dx ＋⎠⎛011－x 2dx .∵⎠⎛012dx ＝2，⎠⎛011－x 2dx ＝π4，∴⎠⎛01(2＋1－x 2)dx ＝π4＋2.2．直线x ＝1，x ＝－1，y ＝0及曲线y ＝x 3＋sin x 围成的平面图形的面积可用定积分表示为________． 答案：S ＝2⎠⎛01(x 3＋sin x )dx .解析：【知识点：定积分】因y ＝x 3＋sin x 为奇函数，故⎠⎛0－1(x 3＋sin x )dx ＝－⎠⎛01(x 3＋sin x )dx ＜0，所以S ＝2⎠⎛01(x 3＋sin x )dx .3.若y ＝f (x )的图象如图所示，定义F (x )＝⎠⎛0x f (t )dt ，x ∈[0,1]，则下列对F (x )的性质描述正确的有________．(1)F (x )是[0,1]上的增函数； (2)F ′(1)＝0；(3)F (x )是[0,1]上的减函数； (4)∃x 0∈[0,1]使得F (1)＝f (x 0)． 答案：(1)，(2)，(4) 解析：【知识点：定积分】由定积分的几何意义可知，F (x )表示图中阴影部分的面积，且F (1)＝⎠⎛01f (t )dt 为一个常数，当x 逐渐增大时，阴影部分的面积也逐渐增大，所以F (x )为增函数，故(1)，(2)正确，(3)错误．由定积分的几何意义可知，必然∃x 0∈[0,1]，使S 1＝S 2，此时矩形ABCO 的面积与函数f (x )的图象与坐标轴围成的区域的面积相等，即F (1)＝⎠⎛01f (t )dt ＝f (x 0)，故(4)正确．所以对F (x )的性质描述正确的有(1)，(2)，(4)． 4．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：答案：见解析解析：【知识点：定积分】(1)sin xdx .(2) ⎠⎛-42⎠⎛2－412x 2dx .(3)－⎠⎛49－x 12dx ＝⎠⎛49x 12dx .5．已知⎠⎛1x 3dx ＝14，⎠⎛12x 3dx ＝154，⎠⎛12x 2dx ＝73，⎠⎛24x 2dx ＝563，求：(1)⎠⎛023x 3dx ；(2)⎠⎛146x 2dx ；(3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)dx .答案：见解析解析：【知识点：定积分】(1)⎠⎛023x 3dx ＝3⎠⎛02x 3dx ＝3(⎠⎛01x 3dx ＋⎠⎛12x 3dx )＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋154＝12.(2)⎠⎛146x 2dx ＝6(⎠⎛12x 2dx ＋⎠⎛24x 2dx )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋563＝126.(3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)dx ＝3⎠⎛12x 2dx －2⎠⎛12x 3dx ＝3×73－2×154＝－12.能力型 师生共研6．将和式的极限 1p ＋2p ＋3p ＋…＋n pn p ＋1(p ＞0)表示成定积分为( )A.⎠⎛011x dxB.⎠⎛01x p dxC.⎠⎛01⎝⎛⎭⎪⎫1x pd D.⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫x n p dx 答案：B解析：【知识点：定积分】 令ξi ＝in ，f (x )＝x p ，则1p ＋2p ＋3p ＋…＋n pn p ＋1＝∑i ＝1n1n f (ξi )＝⎠⎛01x p dx .7．将(1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n )表示为定积分为________． 答案：⎠⎛0111＋x dx解析：【知识点：定积分】 由定积分的定义(1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n )＝∑i ＝1n(1in ＋1)·1n ＝∑i ＝1n(n n ＋i )·1n ＝⎠⎛0111＋x dx . 8．设f (x )＝⎩⎨⎧－2x ＋4，x >1，x ＋1，0≤x ≤1，求⎠⎛02f (x )dx .答案：见解析解析：【知识点：定积分】∵f (x )＝⎩⎨⎧－2x ＋4，x >1，x ＋1，0≤x ≤1，∴⎠⎛02f (x )dx ＝⎠⎛01(x ＋1)dx ＋⎠⎛12(－2x ＋4)dx .又由定积分的几何意义得 ⎠⎛01(x ＋1)dx ＝12(1＋2)×1＝32， ⎠⎛12(－2x ＋4)dx ＝12×1×2＝1， ∴⎠⎛02f (x )dx ＝32＋1＝52. 9．抛物线y ＝12x 2将圆面x 2＋y 2≤8分成两部分，现在向圆面上均匀投点，这些点落在图中阴影部分的概率为14＋16π，求⎠⎛02(8－x 2－12x 2)dx .答案：见解析解析：【知识点：定积分】 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝8，y ＝12x 2，得x ＝±2.∴阴影部分的面积为⎠⎛-22(8－x 2－12x 2)dx .∵圆的面积为8π，∴由几何概型可得阴影部分的面积是8π·(14＋16π)＝2π＋43.由定积分的几何意义得⎠⎛02(8－x 2－12x 2)dx ＝12⎠⎛-22 (8－x 2－12x 2)dx ＝π＋23.探究型 多维突破10．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3 x ∈[－2，2]，2x x ∈[2，π]，cos x x ∈[π，2π].则22()f x dx π-=⎰________．答案：见解析解析：【知识点：定积分】由定积分的几何意义知⎠⎛－22x 3dx ＝0，⎠⎛2π2xdx ＝(π－2)(2π＋4)2＝π2－4，由于cos x 关于32x π=对称，故2cos 0xdx ππ=⎰，由定积分的性质得⎠⎛－22πf (x )dx ＝⎠⎛－22x 3dx ＋⎠⎛2π2xdx ＋2cos xdx ππ⎰＝π2－4.11．设y ＝f (x )为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f (x )≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分⎠⎛01f (x )dx .先产生两组(每组N 个)区间[0,1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，x N 和y 1，y 2，…，y N ，由此得到N 个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，N )．再数出其中满足y i ≤f (x i )(i ＝1,2，…，N )的点数N 1，那么由随机模拟方法可得积分⎠⎛01f (x )dx 的近似值为________________． 答案：见解析解析：【知识点：定积分】因为0≤f (x )≤1且由积分的定义知：⎠⎛01f (x )dx 是由直线x ＝0，x ＝1及曲线y ＝f (x )与x 轴所围成的面积．又产生的随机数对在如图所示的正方形内，正方形面积为1，且满足y i ≤f (x i )的有N 1个点，即在函数f (x )的图象上及图象下方有N 1个点，所以用几何概型的概率公式得：f (x )在x ＝0到x ＝1上与x 轴围成的面积为N 1N ×1＝N 1N ，即⎠⎛01f (x )dx ＝N 1N . 自助餐1．已知⎠⎛a b f (x )dx ＝6，则⎠⎛a b 6f (x )dx 等于（ ）A ．6B ．6(b －a )C ．36D ．不确定 答案：C解析：【知识点：定积分】 2．11x dx --⎰等于（ ）A ．11()x dx --⎰B ．11xdx -⎰C ．0110()x dx xdx --+⎰⎰D ．0110()xdx x dx -+-⎰⎰ 答案：C解析：【知识点：定积分】3．设连续函数f (x )>0，则当a <b 时，定积分⎠⎛a b f (x )dx 的符号（ ）A ．一定是正的B ．一定是负的C ．当0<a <b 时是正的D ．以上都不对 答案：A解析：【知识点：定积分】4．若⎠⎛a b f (x )dx ＝1，⎠⎛a b g (x )dx ＝－3，则⎠⎛a b [2f (x )＋g (x )]dx ＝（ ）A ．2B ．－3C ．－1D ．4 答案：C解析：【知识点：定积分】5．设a ＝10⎰x 13dx ，b ＝10⎰x 2dx ，c ＝1⎰x 3dx ，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c ＞a ＞bB ．a ＞b ＞cC ．a ＝b ＞cD ．a ＞c ＞b 答案：B解析：【知识点：定积分】根据定积分的几何意义，易知⎰01x 3dx ＜⎰01x 2dx ＜⎰01x 13dx ，即a ＞b ＞c .6．由曲线y =x 2-1，直线x =0，x =2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)可表示为（ ）A.220(1)x dx -⎰B.2201x dx -⎰C.220(1)x dx -⎰D.122201(1)(1)x dx x dx -+-⎰⎰ 答案：B解析：【知识点：定积分】由定积分的几何意义知，阴影部分的面积为2121222211(1)(1)(1)(1)x dx x dx x dx x dx ---=-++⎰⎰⎰⎰2201x dx =-⎰7．⎠⎛06(2x －4)dx ＝____________. 答案：12解析：【知识点：定积分】A (0，－4)，B (6,8)，M (2,0)，S △AOM ＝12×2×4＝4，S △MBC ＝12×4×8＝16，∴⎠⎛06(2x －4)dx ＝16－4＝128．已知f (x )是一次函数，其图象过点(3,4)且⎠⎛01f (x )dx ＝1，则f (x )的解析式为_________________． 答案：f (x )＝65x ＋25 解析：【知识点：定积分】设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∵f (x )图象过(3,4)点，∴3a ＋b ＝4.又⎠⎛01f (x )dx ＝⎠⎛01(ax ＋b )dx ＝a ⎠⎛01xdx ＋⎠⎛01bdx ＝12a ＋b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝4，12a ＋b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝65，b ＝25.∴f (x )＝65x ＋25.9．定积分⎠⎛－33(9－x 2－x 3)dx 的值为________．答案：92π 解析：【知识点：定积分】 如图，由定积分的几何意义，得⎠⎛－339－x 2dx ＝π×322＝9π2，⎠⎛－33x 3dx ＝0.由定积分的性质，得 ⎠⎛－33(9－x 2－x 3)dx ＝⎠⎛－339－x 2dx －⎠⎛－33x 3dx ＝9π2.10．已知f (x )=，求f (x )在区间[0，5]上的定积分.答案：见解析解析：【知识点：定积分】 (4-x )dx =×(1+2)×1=，(-)dx =×2×1=1，所以f (x )dx =xdx +(4-x )dx +(-)dx =2++1=.11．求定积分⎠⎛01x 3dx 的值.答案：见解析解析：【知识点：定积分】 分割区间[0,1]，则第i 个区间为1[,]i i n n -，且每个小区间的长度1n， 则n S =⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 3·1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n 3·1n ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n n 3·1n .＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 3·1n . 而∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 3·1n ＝1n 4∑i ＝1n i 3＝241(1)2n n n +⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n ＋1n 2， ∴⎠⎛01x 3dx ＝lim n →∞14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n ＋1n 2＝14.因此⎠⎛01x 3dx ＝14.12．求证：12＜⎠⎛01x dx ＜1.答案：见解析解析：【知识点：定积分】如图，⎠⎛01x dx 表示阴影部分面积，△OAB 的面积是12，正方形OABC 的面积是1，显然，△OAB 的面积＜阴影部分面积＜正方形OABC 的面积，即12＜⎠⎛01x dx ＜1.数学视野定积分的一般定义：设()f x 是定义在区间[,]a b 上的一个函数.T 表示在区间[,]a b 内插入任意1n -个分点011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=.将这n 个小区间1[,]i i x x -(1,2,,)i n =长度的最大值记为()l T .在每个小区间1[,]i i x x -上任意取定一点1()i i i i x x ξξ-≤≤，作和1102211111()()()()()()()()()()nn i i i n n n i i i i I f x x f x x f x x f x x f x x ξξξξξ---==-+-++-++-=-∑如果不论区间[,]a b 的分法如何，不论i ξ怎样选取，当()0l T →时，和n I 都存在极限，且极限值都是I ，即1()01lim()()niii l T i I f xx ξ-→==-∑.则称函数()f x 在区间[,]a b 上可积，并称极限值I 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作()d baf x x ⎰.这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()d f x x 叫做被积式.如果和n I 的极限不存在，则称函数()f x 在区间[,]a b 上不可积.这个定义是德国数学家黎曼（B.Riemann ，1826—1866）首先给出的，所以这样定义下的定积分通常称为黎曼积分.根据黎曼积分的定义，在区间[,]a b 上的连续函数，单调有界函数、只有有限个不连续点的有界函数，都是可积的.因此，教科书所讲的定积分是黎曼积分的特殊形式，黎曼积分是我们所讲的定积分的一种推广.。