第五节正规矩阵Schur引理
(3) A是酉矩阵的充要条件是A的特征值按模等于1。
证明 由定理3知，存在U U nn , 使得
U H AU diag( , , , )，
12
n
即
A Udiag( , , , )U H，
12
n
AH Udiag( , , , )U H，
12
n
(1) 若 AH A , (2) 若 AH A ，
U H AU B
由引理1知，B是正规矩阵，由引理2知，B是对角阵
因为对角阵diag( , , , )是正规矩阵，
12
n
由引理1知，A是正规阵.
15/18
推论1 正规矩阵有n个线性无关的特征向量。
由 U H AU diag( , , , )，
12
n
有 AU diag( , , , )U，
i
i
i
（3）用Schmidt方法求V 的标准正交基 , , , ;
1
i1 i2
ini
（4）令U ( , , , , , , , , , , )
11 12
1 n1
21
2 n2
s1
sns
则酉矩阵U满足
U H AU diag( , , , ).
12
n
17/18
定理4 设A是正规阵，则
(1) A是H阵的充要条件是A的特征值是实数。 (2) A是反H-阵的充要条件是A的特征值的实部为0。
12/18
引理1 设A为正规矩阵,则与A酉相似的矩阵 都是正规矩阵. 证明 设B H U H AHU 即B U H AU， 有 BB H U H AAHU U H AH AU B H B 引理2 设A为正规矩阵,并且A是三角矩阵， 则A是对角矩阵.
证明 设
13/18
a11
a 12
a 1n
U
H 2
U
2
E
U
H 2
(1,
,n )
e1,
, en
U
H 2
AU
2
U
H 2
A(1
,
2
,
,n )
U
H 2
(11
,
A
2
,
,
An )
(1e1
,
U
H 2
A
2
,
,
U
H 2
A
n
)
1
0
bT A1
2/18
由归纳法假设，存在n 1阶酉矩阵U1满足
U1H A1U1 R1
令
1 U3 0
0 U1
U
nn
U
H 3
U3
T
1
3 105
46 105
与 正交的单位向量 1
2
4 105
3
T
105
9/18
3
4
令
V 1
105 4
105 3
105 105
则
VH 1
AV 11
1
1225 35 6
0 1
1 0 0
令
U 2
0
0
V1
10/18
2
6
W
U U 12
1
6 1
6
4 2 105 5
1 3
1
1
T
3 3
7/18
2 0 1
6
3
令
U 1
1 6
1 2
1 3
1
1
1
6 2 3
0
UH 1
AU 1
0
0
50 12 5
32 6
9 18 3
6
3
0 0 0
50 12
A1
9 18
8/18
其中
5
A 1
32
6
3 6
3
当 1时，A 有单位特征向量 1
n
2
i,j
i , j1
i 1
i j
n
2
n
2
i
r i,j
iHale Waihona Puke 1i j故n
2
n
2
n
2
i
r i,j
a i,j
i 1
i , j1
i , j1
等号成立的条件是当 i j时，ri, j 0,即R是对角矩阵
5/18
例1 已知
0 3 3 A1 8 6
2 14 10
试求酉矩阵W ,使得
证明 数学归纳法 阶数为1的复矩阵A显然酉相似 于一个上(下)三角矩阵.
1/18
假设A的阶数为n 1时定理为真，U1 C (n1)(n1)
U1H
AU1
2
* R1(n1)(n1)
n
考虑A的阶数为n的情况.
取n阶矩阵A的一个特征值1，对应的特征向量为
1，构造以1为第一列的n阶U矩阵U2 (1,2 , ,n ),
a 11
设A
a 22
a 2n
,
A
H
a
21
a 22
a nn
an1
a n2
a
nn
由AAH AH A计算比较对角线元素：
a a a a a a a a
11 11
12 12
1n 1n
11 11
a a a a a a
22 22
2n 2n
22 22
a a a a
nn nn
nn nn
(3) 若 AAH E 1, 1
18/18
第五节 正规矩阵、Schur引理 第三章
定义1 设A、B C nn (或Rnn )，若存在U U nn (或E nn )，使得 U H AU U 1 AU B (或 U T AU U 1 AU B) 则称A酉相似(或正交相似)于B.
定理1 任何一个n阶复矩阵A酉相似于一个上(下) 三角矩阵.
由 a a 0 得 a （0 i j),即A是对角阵.
ij ij
ij
14/18
定理3设A C nn ,则A是正规矩阵的充要条件是存在
U U nn , 使得
U H AU diag( , , , )。
12
n
其中 , , , 是A的特征值。
12
n
证明 由定理1知，存在U U nn , 使得
12
n
其中 , , , 是A的特征值。
12
n
推论2 正规矩阵属于不同的特征值的特征子空间
是相互正交的。
16/18
当A是正规阵，求酉矩阵U使得
U H AU diag( , , , )的步骤：
12
n
（1）求 E a 0的根 , , , ；
12
n
（2）对每一个相异特征值 , 求 的特征子空间V
210 11
210
1
35
5
35 3
35
0 13 209
105 210
W
H AW
0
1
1225 35 6
0 0
1
11/18
定义2 设A C ， nn 若
AH A AAH 则称A为正规矩阵.
若A R ， nn 则AH AT ,于是 AT A AAT
则称A为实正规矩阵.
U H AHU RH 为下三角矩阵.
其中 R (r ) C nn , r 0(i j)
i,j
i,j
4/18
故 U H AAHU RRH 于是 tr( AAH ) tr(RRH )
即
n
2
n
2
a r
i, j
i,j
i , j1
i , j1
而 r r r n
2
i, j
n
2
i ,i
En
则
1 a21
U
3HU
H 2
A U2U 3
0
R 1
ak1
1
*
0
0
n
3/18
定理2设A (a ) C nn , , , , 为A的特征值，
i,j
12
n
则
n
2
2
i
a i,j
i 1
i,j
其中，等号成立的充要条件是A酉相似于对角矩阵
证明 由引理知，存在U U ， nn 使得 U H AU R R为上三角矩阵.
W H AW R是对角矩阵
解 E A ( 1)2
当 0时，A有单位特征向量
1
2 6
1
1
T
6 6
由与其内积为零的方程 6/18
2x x x 0
1
2
3
可以取解(单位向量)
2
0
1
1
T
2
2
又由内积为零的方程组
2x x x 0
1
2
3
x x 0
2
3
可以取解(单位向量)
3
矩阵特征值的估计
解
A
m∞
= n max aij = 3 × 2 = 6,
1≤i , j ≤ n
1 A + AH 2 1 A − AH 2
m∞
m∞
1 0 m = 0, = ∞ 2 1 1 H = A− A = 2A m∞ 2 2
m∞
6, =
由定理2知， λ ≤ 6，Re λ = 0，Im λ ≤ 6.
由此可知，A的特征值为0或纯虚数.
= i 1= j 1
证
∑∑ a η η
ij i
n
n
j
≤ ∑∑ aij ηi η j
= i 1= j 1
n
n
≤ max aij
1≤i , j ≤ n
= i 1= j 1
∑∑ η
n
n
i
ηj
n n 1 2 ≤ max aij ∑∑ ηi + η j 2 1≤i , j ≤ n = i 1= j 1
(
2
)
G′j = z ∈ C z − a jj ≤ R′j 为A的第j个列盖尔圆.
{
} ( j =1, 2, , n )
0.02 0.11 1 0.14 如A = 0.01 i 0.02 0.01 0.5 的三个盖尔圆为： G1 = G2 G3
i
R2 = 0.15
于是 AF =
n 2 = i 1 2
R F tr ( R H R ) =
2 1≤i < j ≤ n = i 1
= ∑ λi +
∑
rij ≥ ∑ λi .
2 2
n
§5.2 矩阵特征值的分布区域
一、圆盘定理 1. Gerschgorin圆（盖尔圆） 定义1
《鲁棒控制》-6-线性矩阵不等式
(≤ 0)
为线性矩阵不等式（LMI）。
当存在实向量 x ，使得 F ( x) < 0(≤ 0) ，则称 LMI F ( x) < 0(≤ 0) 可行或存在可
行解。
LMI 的可行解全体构成一凸集。
令 X 是一实对称矩阵，对于任意给定实数矩阵 A 和实对称矩阵 Q ，则矩阵
不等式
AT X + XA + Q < 0
⎢ ⎣
0
⎡I ⎢⎣0
−S12 I
S −1 22
⎤ ⎥ ⎦
⎡ ⎢⎣
S11 S21
S12 S22
⎤ ⎥⎦
⎡I ⎢⎣0
−S12 I
S −1 22
⎤T ⎥ ⎦
0
⎤
S22
−
S21S1−11S12
⎥ ⎦
=
⎡ ⎢
S11
⎣
−
S12
S −1 22
S21
S21
0 ⎤⎡ I
S22
⎥ ⎦
⎢⎣−
S −1 22
S
21
0⎤
I
⎥ ⎦
x (t ) = Ax (t ) + Bu (t ) y (t ) = Cx (t ) + Du (t )
假设 D + DT > 0 。 令
H (s) = C (sI − )A −1 B + D
系统无源（passive）: 当 x (0) = 0 时，
∫T 0
uT
(t
)y
(t
)
dt
≥
0
● 系统无源 iff
ALQ
⎤ ⎥
⎥
0 ⎥<0
#
⎥ ⎥
有关lmi的引理
有关lmi的引理LMI（Linear Matrix Inequality）是一种重要的数学工具，在控制理论、优化问题和系统辨识等领域都有广泛的应用。
本文将介绍与LMI相关的几个重要引理，以帮助读者更好地理解和应用LMI。
一、Schur补引理Schur补引理是LMI理论中的一个基本引理，它在LMI问题的化简和求解中起到了重要的作用。
Schur补引理的基本思想是将LMI问题转化为一个更简单的形式，从而更方便地进行求解。
Schur补引理可以用于将一个大的矩阵不等式分解为几个小的矩阵不等式。
通过引入一个辅助矩阵，可以将原始的大矩阵不等式转化为一个关于辅助矩阵的小矩阵不等式。
这样，原始的LMI问题就可以通过求解小矩阵不等式来得到解。
二、Lyapunov引理Lyapunov引理是LMI理论中的另一个重要引理，它与稳定性分析和控制设计密切相关。
Lyapunov引理提供了一种用LMI表示稳定性的方法，通过构造一个Lyapunov函数和一个LMI条件，可以判断一个系统的稳定性。
Lyapunov引理的基本思想是通过构造一个满足一定条件的二次型函数（即Lyapunov函数），来刻画系统的稳定性。
通过对Lyapunov函数进行LMI条件的约束，可以得到系统稳定性的充分条件。
如果存在满足LMI条件的Lyapunov函数，那么系统就是稳定的。
三、S-procedure引理S-procedure引理是LMI理论中的一种重要的判定工具，它常用于判定一组不等式是否同时成立。
通过引入松弛变量和LMI条件，S-procedure引理可以将多个不等式约束转化为一个LMI问题，从而更方便地进行求解。
S-procedure引理的基本思想是将一组不等式约束转化为一个等式约束加一个LMI条件的形式。
通过引入一个松弛变量，将不等式约束转化为等式约束，并使用LMI条件来保证等式约束的成立。
这样，原始的多个不等式约束就可以通过求解一个LMI问题来判定是否同时成立。
矩阵分析 - 北京理工大学研究生院
课程名称：矩阵分析一、课程编码：1700002课内学时： 32 学分： 2二、适用学科专业：计算机、通信、软件、宇航、光电、生命科学等工科研究生专业三、先修课程：线性代数，高等数学四、教学目标通过本课程的学习，要使学生掌握线性空间、线性变换、Jordan标准形，及各种矩阵分解如QR分解、奇异值分解等，正规矩阵的结构、向量范数和矩阵范数、矩阵函数，广义逆矩阵、Kronecker积等概念和理论方法，提升研究生的数学基础，更好地掌握矩阵理论，在今后的专业研究或工作领域中熟练应用相关的矩阵分析技巧与方法，让科研结果有严格的数学理论依据。
五、教学方式教师授课六、主要内容及学时分配1、线性空间和线性变换（5学时）1.1线性空间的概念、基、维数、基变换与坐标变换1.2子空间、线性变换1.3线性变换的矩阵、特征值与特征向量、矩阵的可对角化条件2、λ-矩阵与矩阵的Jordan标准形（4学时）2.1 λ-矩阵及Smith标准形2.2 初等因子与相似条件2.3 Jordan标准形及应用；3、内积空间、正规矩阵、Hermite 矩阵（6学时）3.1 欧式空间、酉空间3.2标准正交基、Schmidt方法3.3酉变换、正交变换3.4幂等矩阵、正交投影3.5正规矩阵、Schur 引理3.6 Hermite 矩阵、Hermite 二次齐式3.7.正定二次齐式、正定Hermite 矩阵3.8 Hermite 矩阵偶在复相合下的标准形4、矩阵分解（4学时）4.1矩阵的满秩分解4.2矩阵的正交三角分解（UR、QR分解）4.3矩阵的奇异值分解4.4矩阵的极分解4.5矩阵的谱分解5、范数、序列、级数（4学时）5.1向量范数5.2矩阵范数5.3诱导范数（算子范数）5.4矩阵序列与极限5.5矩阵幂级数6、矩阵函数（4学时）6.1矩阵多项式、最小多项式6.2矩阵函数及其Jordan表示6.3矩阵函数的多项式表示6.4矩阵函数的幂级数表示6.5矩阵指数函数与矩阵三角函数7、函数矩阵与矩阵微分方程（2学时）7.1 函数矩阵对纯量的导数与积分7.2 函数向量的线性相关性7.3 矩阵微分方程(t)()() dXA t X t dt=7.4 线性向量微分方程(t)()()() dxA t x t f t dt=+8、矩阵的广义逆（3学时）8.1 广义逆矩阵8.2 伪逆矩阵8.3 广义逆与线性方程组课时分配说明：第一章的课时根据学生的数学基础情况可以调整，最多5学时，如学生线性代数的基础普遍较高，可以分配3学时，剩余2学时可在最后讲解第九章部分内容(Kronecker 积的概念和基本性质)。
群论课件
可约性的判定
2 2 2 2
16
第四节 群表示的特征标
1.定义：设群G={E,A,B,C,…},它的一个表示 D={D(E),D(A),D(B),D(C),…},则群元R的特征标 为D(R)的对角元之和（迹） X(R)=TrD(R)= Daa ( R)
a 1 n
式中，R表示G的任一元 Daa是对角元，n是表示空间的维数。 特征标系：群G中所有的g个群元在D中的特征标 注：对可约表示和不可约表示同样适用， 第a个不可约表示Da(R)的特征标写成Xa(R)
8
第二节 舒尔（Schur）引理
1.舒尔引理一 D是群G的一个表示，若存在一个矩阵A，与D中所 有矩阵都对易，即 D(R)A=AD(R) R∈G 则有： (1)若D是不可约的，A必为常数矩阵 A=λ E 式中,λ为标量，E为单位矩阵 (2)若A不是常数矩阵，则D必为可约表示。若A为厄 米矩阵，则约化矩阵就是使A对角化的矩阵。 注：厄米矩阵—矩阵与其共轭矩阵相等 R+=R
21
3.不等价不可约表示的符号
(1)Mulliken符号
符号 A、A1、A2 B（B1，B2，…）
E，T
表示含义 适用情况 +1（对称）、恒等表示、 一维 其他表示 -1（反对称）、其他表 示
二维、三维
脚标加 g，u
有中心反演
(2)Bethe符号
1，2，3， ...
22
4.可约表示的约化（特征标的应用）
19
证明：
(i ( X (i )* ( R) X ( j ) ( R) Duu)* ( R) Daaj ) ( R) R R u a (i ( Duu)* ( R)Daaj ) ( R) ua R
利用schur补引理转化lmi约束
Schur补引理的介绍及应用引言在线性矩阵不等式（LMI）理论中，Schur补引理是一种常用的技术，可以将复杂的LMI约束转化为更加简洁的形式。
本文将介绍Schur补引理的基本概念和应用，并通过实际例子解释其在优化问题中的作用。
Schur补引理的基本概念Schur补引理是一种基于矩阵分块的变换技术。
对于一个矩阵的分块表示，Schur补引理通过矩阵的逆和分块的转置操作，将LMI问题转化为更简洁的形式。
给定一个矩阵X，其分块形式为：]X=[A BC D如果D是可逆矩阵，那么根据Schur补引理，可以将LMI约束条件转化为以下等价形式：A−BD−1C≤0这个等价形式通常被称为Schur补形式。
通过这种转化，LMI问题的约束条件将变得更加简洁和易于求解。
Schur补引理的应用场景Schur补引理在优化问题中的应用非常广泛。
它可以用于求解约束最优化问题、线性矩阵不等式问题等。
在下面的示例中，我们将演示如何使用Schur补引理来解决一个线性矩阵不等式问题。
示例：线性矩阵不等式问题假设我们需要找到一个半正定矩阵X∈ℝn×n，满足以下条件：]≥0[X A T X−C TA T X−C T−B其中，A,B,C是给定的矩阵。
我们可以通过Schur补引理将其转化为以下形式：A T X−C T(−B)−1(A T X−C T)≤0进一步展开，可以得到：A T X−C T(−B)−1A T X+C T(−B)−1C T≤0化简上式，得到：[A T(−B)−1A XX−C T(−B)−1C T]≤0通过观察上述形式，我们可以看到，如果存在一个半正定矩阵Y满足以下条件：A T(−B)−1A−XY−1X≤0那么原问题的解X就可以通过解上述形式的问题得到。
通过以上示例，我们可以看到Schur补引理在将复杂的LMI约束转化为简洁形式时发挥了重要作用。
结论本文介绍了Schur补引理的基本概念和应用。
通过Schur补引理，我们可以将复杂的LMI约束转化为更加简洁的形式，从而方便求解各种优化问题。
矩阵理论谱分解
一、单纯矩阵的谱分解
定义 1 设 1 , 2 ,, k是 A C nn 的相异特征值，
其重数分别为 1 , r 2 , , rk , 则称 ri 为矩阵A的特 r
征值i的 代数重复度
定义 2 齐次方程组 i x Ax
i
( i 1,2,, k )
的解空间 称为A的对应于特征值 i的特征 V
H
AUU
H
H
A U AU
U
H
AA U U
H
A
H
AU U
H
H
A UU
H
(U
H
AU )
(U
H
AU ) B
B
B为正规矩阵
引理 2 ( Schur )
U，使得
设A C
nn
，则存在酉矩阵
A URU
H
其中，R是一个上三角矩阵且主 对角线上的 元素为A的特征值.
证： A C
nn
条件是存在k 个矩阵 Ai ( i 1,2,, k ) 满足
(1) Ai Ai A j 0 k i j i j
( 2)
Ai
i 1
En
( 3)
A
i Ai
i 1
k
(4)
H Ai
Ai
( i 1,2,, k )
证 必要性： A是正规矩阵
A Udiag(1 Er , 2 Er ,, k Er )U
i 1
k
H
i Ai
i 1
k
( Ai ViVi
)
H Ai
(ViVi
H H
)
《矩阵分析》课程教案
讨 论
练 习
作 业
作业：第3章练习题中任选5题
教学要求
熟练掌握线性空间与线性变换，矩阵的Jordan标准型，内积空间，正规矩阵，Hermite矩阵，二次型，矩阵分解，特征值的估计与计算，矩阵的扰动问题，向量范数与矩阵范数，矩阵序列和级数，广义逆矩阵，矩阵函数等基本概念和基本方法。
教学方法
课堂讲述+实验演示+实际动手操作+作业+研究报告
教学手段
多媒体课件+案例+理论推导+编程实现
考核方式
结合课堂所学写一篇论文/开卷考试二者选一
教学参考资料
[1]《矩阵分析》，史荣昌，魏丰编著，北京理工大学出版社，2010.6，第3版
[2]《Matrix Methods in Data Mining and Pattern Recognition》，Lars Eldén，The SIAM series on Fundamentals of Algorithms，2007.2
本课程针对计算机应用技术专业研究生的知识结构背景，在其本科阶段所学的《线性代数》的基础之上，进一步深化和提高矩阵理论的相关知识，并着重培养学生运用矩阵分析的知识和方法解决计算机应用领域相关问题的能力。通过本课程的学习，使学生掌握矩阵理论的基本概念，基本理论和基本方法，全面了解和掌握矩阵的标准形、特征值与特征向量、矩阵分解、范数与矩阵函数等重点内容，了解近代矩阵理论中十分活跃的若干分支，为今后的进一步学习和研究打下扎实的基础。
山西财经大学研究生课程教案
课程名称
矩阵分析
课程编码
矩阵理论课件 第五章 特征值的估计与广义逆矩阵
0 2
1
0
0 1
1 0 0
1 2y
y
x1 2z1 z1
x2
2z2 z2
0 2
1 0
0
1
A
1
2
y
y
2( x2 2z2
2z2 )
x1 2z1 z1
x2 2z2
z2
A
A
1 2
y
y
2(1 2 y)
2y
( A A)H
1 2y
2(1
2
y)
y
2
y
2
2(1 2 y) y y
设 A (aij )nn Rnn（n阶实矩阵），则
Im i
n(n 1)
2
max
1i , jn
cij
例1 估计下面矩阵的特征值的界：
0 0.2 0.1 1 0
A
0.2
0
0.2
2 0.3i
解：
0.1 0.2 0 3 0.3i
B 1 ( A AT ) 0,C 1 ( A AT ) A
4个盖尔圆中只有 G4 是孤立的， G1,G2 ,G3 是连通
的，故结论成立。
定义1 （严格对角占优矩阵）
设 A (aij )，若C满n足n
n
aii aij , i 1, 2, n j 1 ji
则称 A 为（行）对角占优矩阵，若不等式严格成立， 则称 为A（行）严格对角占优矩阵；若 为A行T （严格）对角占优矩阵，则称 A列（严格）对角占
5
A
1 5
2( x2
2z2 )
x1 2z1
x2
2
z2
2 5 2z2
z1
对角化与Jordan标准形
第五讲对角化与Jordan标准形一、正规矩阵1. 实对称矩阵与厄M特<Hermite）矩阵实对称矩阵：实矩阵，。
实反对称矩阵：实矩阵，。
厄M特<Hermite）矩阵：复矩阵，反厄M特<Hermite）矩阵：复矩阵.， 2. 正交矩阵和酉矩阵正交矩阵：实矩阵）。
，<酉矩阵：复矩阵.<）， 3. 正交相似变换和酉相似变换设为正交矩阵，为实矩阵，称的为对正交相似变换；1 / 27设为酉矩阵，为复矩阵，称为对的酉相似变换。
4. 正规矩阵称为实正规矩，则实矩阵，若满足阵；称为复正规，则复矩阵，若满足矩阵。
实对称矩阵、实反对称矩阵、正交矩阵均1：注为实正规矩阵；特矩阵、酉矩阵均为：注2厄M特矩阵、反厄M 复正规矩阵。
相似矩阵的性质5.相似矩阵具有相同的特征多项式，从而具有相同的特征值、迹、行列式。
【证】2 / 27二、酉对角化1. Schur定理：的特征值为设<1），则存在酉，使矩阵为，值的特征且）<2设，则存在正交矩阵，使.3 / 27【证】只证<1）结论，<2）的证明类似. 对矩阵的阶数施行数学归纳法.当时，结论显然成立.阶矩阵结论成立.假定对下面证明对阶矩阵.结论也成立即值征是设于的属特的，向征特量，扩充为，将的一组标准正交基,令，则4 / 27即为酉矩阵.对进行酉相似变换：其第列元素：，.相似矩阵具有相同的特征值，因此，对于阶，根据归纳法假设，存，其特征值为矩阵 5 / 27 ，使得.在阶酉矩阵，记，即则是酉矩阵，且]证毕[什么样的矩阵能够通过酉相似变换成为对角阵☆呢？2. 定理：酉相似于对角矩阵的充要条），则设1<件是：为正规矩阵；6 / 27 设，且的特征值都是实数，则正<2）交相似于对角矩阵的充要条件是：为正规矩阵。
【证】只证<1）结论，<2）的证明类似. 必要性：设存在酉矩阵，使得<对角矩阵），则有即为正规矩阵.即，，规矩阵由正设:分充性为，使得定理，存在酉矩阵Schur7 / 27其中是的特征值。