物理极值问题的处理方法
例析物理极值问题的求解方法
２０１３年第９期 物理通报 解题思路与技巧
例析物理极值问题的求解方法
张光新
（衡阳县第一中学 湖南衡阳４２１２００） （收稿日期：２０１３—０６—０３）
摘要：物理极值问题难度较大和技巧性较强，一般要运用数学知识和物理知识解答，巧用函数、导数、图像等 方法分析解答． 关键词：物理极值 函数 图像
中学物理习题中，经常遇到内容丰富、难度较
大和技巧性较强的物理极值问题．求解物理极值问
题要综合运用数学知识和物理知识，巧用数学函数、
导数、数学函数图像和物理图像解答，能够培养学生
综合分析问题和解决问题的能力．而运用数学工具
处理物理问题的能力是高考重点考查的５种能力之
一，应该得到足够重视．下面通过典型例题分析物理 极值问题的常用求解方法．
１ 利用一元二次函数求解
对于典型的一元二次函数 ＝：＝ ＋６ｚ＋ｃ，
若ｎ＞０，则当ｚ一一 时， 有极小值，为 以 ４ａｃ—ｂ。 ｍｉｎ一—
ｌ ／１ ｆ ｆ ｝ 型 “
ｏ （ｃ） （ｄ） 图８ 解析２：运用本文方法曲折线段垂直切割磁感
线的动生电动势即为封闭直线段的电动势，依据右
手定则判断其方向．图８（ａ）中线框ｅｂｃｆ在磁场中垂
直切割时的动生电动势等效为直线段长度为实线 ｅｆ＝ｂｃ＋２ｖｔｔａｎＯ（ｔ为时间，７３为速度）产生的感应电
动势为Ｅ—Ｂｙ（ｆｅ），方向，一 ， 端电势高，由此产
生的电流方向为ａｄｃｂａ，与规定的电流方向相反，直 接根据函数关系画出图像；图８（ｂ）是个临界点，此 时（￡一舌），“６ｃ 线框产生的感应电动势等效为直
线段 产生的感应电动势，而直线段 产生的感应 电动势与 相同，这样整个回路产生的感应电动势 叠加为零，感应电流在该点也就为零．同理得到出磁
场时的感应电流随时问的关系图像，如图８（ｄ）所示．
４ 结论
对曲折导体的动生电动势计算可从两种办法进
行计算：一种是直接对曲折导体先微分，化曲为直， 再积分，将这些直线段的动生电动势叠加获得结论， 此方法无论平动还是转动都适用；另一方面，闭合回 路在匀强磁场中垂直平动时，通过闭合回路的磁通
物理中有关临界极值问题的处理
在动力学中临界极值问题的处理
佛山市高明第一中学（528500）周兆富
物理学中的临界和极值问题牵涉到一定条件下寻求最佳结果或讨论其物理过程范围的问题，此类问题通常难度较大技巧性强，所涉及的内容往往与动力学、电磁学密切相关，综合性强。在高考命题中经常以压轴题的形式出现，临界和极值问题是每年高考必考的内容之一。
一．解决动力学中临界极值问题的基本思路
所谓临界问题是指当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态．可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”．某种物理现象转化为另一种物理现象的转折状态称为临界状态。至于是“出现”还是“不出现”，需视具体问题而定。极值问题则是在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况。临界问题往往是和极值问题联系在一起的。
解决此类问题重在形成清晰的物理图景，分析清楚物理过程，从而找出临界条件或达到极值的条件，要特别注意可能出现的多种情况。动力学中的临界和极值是物理中的常见题型，同学们在刚刚学过的必修1中匀变速运动规律、共点力平衡、牛顿运动定律中都涉及到临界和极值问题。在解决临办极值问题注意以下几点：错误！未指定书签。临界点是一个特殊的转换状态，是物理过程发生变化的转折点，在这个转折点上，系统的一些物理量达到极值。错误！未指定书签。临界点的两侧，物体的受力情况、变化规律、运动状态一般要发生改变，能否用变化的观点正确分析其运动规律是求解这类题目的关键，而临界点的确定是基础。错误！未指定书签。许多临界问题常在题目的叙述中出现“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词句对临界问题给出了明确的暗示，审题是只要抓住这些特定词语其内含规律就能找到临界条件。错误！未指定书签。有时，某些临界问题中并不包含常见的临界术语，但审题时发现某个物理量在变化过程中会发生突变，如运动中汽车做匀减速运动类问题，则该物理量突变时物体所处的状态即为临界状态。错误！未指定书签。临界问题通常具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情景，抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。错误！未指定书签。确定临界点一般用极端分析法，即把问题（物理过程）推到极端，分析在极端情况下可能出现的状态和满足的条件。解题常用的思路用矢量法、三角函数法、一元二次方程判别式法或根据物理过程的特点求极值法等。
物理极值问题
物理极值问题
物理极值问题是一个物理量在某过程中的最大或最小值的问题，这是高中物理教学中的重要内容，涉及到的领域包括力学、热学、电学等，并且这一问题的难度较大，对学生的学习综合实力和数学结合能力有较高要求。
在求解极值问题时，我们通常从以下几个方面进行思考：
首先，当物理量达到极值时，该物理系统处于平衡状态，例如汽车以恒定功率启动最后会达到最大速度；其次，当物理量达到极值时，可能存在另一物理量为零的情况，例如从高处掉落的小球掉在竖直放置的弹簧上，当加速度为零时速度最大，而速度为零时加速度最大；第三，瞬时速度相等时，物理量也可能达到极值，例如在一物体撞上中间有弹簧的另一物体时，当两者速度相等时弹簧的弹性势能最大；最后，当物理量达到极值时可能会出现临界状态，如光的折射中入射角变化达到全反射的情况。
用数学知识处理中学物理极值问题的常见方法
第ｌ０卷第１期 ２０ｌ０年３月 西部教育研究 Ｗｅｓｔ Ｃｈｉｎａ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｒｅ￥ｃａｇｃｈ Ｖｏ１．１０，Ｎｏ．１ Ｍａｒ．，２０１０
用数学知识处理中学物理极值问题的常见方法
艾才国
【摘 要】教学是开启物理这座知识宝库的金钥匙。近年高考中物理极值问题对数学知识的要求比较高． 在高考考试说明中也特别强调利用教学工具来解决物理问题。物理极值问题是中学物理教学的一个重要内容。也是 高中学生学习物理的难点内容。本文就中学阶段一些常见的物理极值问题的处理方法归纳总结与同行探讨。 【关键词】物理； 极值；数学；方法
【作者简介Ｊ艾才国，内江市ｇ三中学物理二级教师。
物理极值问题，就是求某物理量在某物理过
程中的极大值或极小值。分析极值问题是用数学
的思想方法处理物理问题的具体体现，同时也具 有一定的规律。下面就中学物理极值问题的常见
处理方法举例与同行探讨。
一、向量法求极值
１、教学依捂
向量就是物理学中的矢量，物理学中的力、 速度、位移等矢量物理量的运算均遵循平行四边
形法则。因此，分析这些物理量时，经常会大量
应用几何知识。利用点到直线的垂直线段最短可 求极值。
例１：用等长的细绳０Ａ和０Ｂ悬挂重为Ｇ的 物体，如图１所示，在保持。
点位置不变的前提下，使绳的
Ｂ端沿半径等于绳长的圆弧轨 道向Ｃ点移动，在移动的过
程中绳ＯＢ上张力大小的变化
情况是（ ）
Ａ．先减小后增大； Ｂ．逐渐减小； Ｃ．逐渐增大；
Ｄ．ＯＢ与ＯＡ夹角等于９００时，ＯＢ绳上张
力最大 【解析】 以。点为研究对象，ｏ点在三
个力的作用下处于平衡状态。三个力分别是： 重力Ｇ、ＯＡ和ＯＢ绳的拉力ＴＡ和ＴＢ，将 其首尾相接，即构成一封闭矢量三角形，如图２。
随着Ｂ端向Ｃ点的移动，矢量Ｇ的大小、方向均
不变，矢量ＦＡ方向不变、大小变化，矢量ＦＢ方
向、大小均变。由于Ｂ端移动过程中，视物体始 终处于平衡状态
（动态平衡），故结
中学物理中的一些极值问题
- 1 - 中学物理中的一些极值问题
在日常的生活当中，我们都会接触到物理中的一些极值问题，这些问题既有现实又有理论的意义。在学校里，物理学尤其被认为是一门重要的学科，物理学课程设置也涉及到极值问题，因此，极值问题对中学生们来说，也是一个不容忽视的知识点。
什么是极值问题呢？极值问题即是由物理函数极值而引发的问题，它涉及到对函数的极值点的求解，它可以帮助我们收集更多有关物理模型的信息，从而提高对物理世界的理解能力。在物理学当中，函数的极值分为极大值、极小值和极值点三类，在求解这些极值时，我们需要使用到微积分的知识。
在求解极值问题时，我们可以用函数的导数和积分来寻找函数的极值，因此，我们可以用解析方法来解决这些问题。解析方法其实就是利用极大值、极小值或者极值点的特征来解决问题，常用的解析方法有罗塔法，洛伦兹法和斜率定理等。
接下来我们介绍物理学中的一些极值问题。首先是函数的极大值和极小值，它们通常处于一个固定的值，比如函数的极大值的值是500，极小值的值是-200，我们可以用解析方法来解决它们。另外，物理学中还有一类叫做极值点的物体，它们包括最高点、最低点、驻点，它们是物理学中的重要现象，我们可以用极值点的特征来解决这些问题。
此外，在物理学当中，还有力学上的相关问题，这些问题主要涉及到物体的运动，比如抛物线的运动、摆的稳定性等，这些问题也可 - 2 - 以用求解极值的方法来解决，使用力学的极值来推断抛物线的最高点，或者分析摆的稳定性。
以上就是有关于中学物理中的一些极值问题的介绍，极值问题对我们理解物理模型有很大的帮助，它使我们能够收集到更多的有关物理模型的信息，从而更好地理解物理世界。同时，极值问题本身也是个具有实际意义和理论意义的重要知识点，对于学习物理也很有帮助。
《高中物理---动力学中的临界极值问题和传送带问题》优秀文档
动力学中的临界极值问题
动力学中极值问题的临界条件和处理方法
1．“四种”典型临界条件
(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力FN＝0.
(2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值．
(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是：FT＝0.
(4)加速度变化时，速度达到最值的临界条件：当加速度变为0时．
2．“四种”典型数学方法
(1)三角函数法； (2)根据临界条件列不等式法；
(3)利用二次函数的判别式法； (4)极限法．
【练习】
1．如图所示，质量均为m的A、B两物体叠放在竖直弹簧上并保持静止，用大小等于mg的恒力F向上拉B，运动距离h时，B与A分离．下列说法正确的是( )
A．B和A刚分离时，弹簧长度等于原长 B．B和A刚分离时，它们的加速度为g
C．弹簧的劲度系数等于mgh D．在B与A分离之前，它们做匀加速直线运动
2． (多选)如图所示，A、B两物块的质量分别为2m和m，静止叠放在水平地面上．A、B间的动摩擦因数为μ，B与地面间的动摩擦因数为12μ.最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g.现对A施加一水平拉力F，则( )
A．当F<2μmg时，A、B都相对地面静止 B．当F＝52μmg时，A的加速度为13μg
C．当F>3μmg时，A相对B滑动 D．无论F为何值，B的加速度不会超过12μg
3．如图所示，物体A放在物体B上，物体B放在光滑的水平面上，已知mA＝6 kg，mB＝2 kg.A、B间动摩擦因数μ＝0.2.A物体上系一细线，细线能承受的最大拉力是20 N，水平向右拉细线，下述中正确的是(g取10 m/s2)( )
A．当拉力0＜F＜12 N时，A静止不动 B．当拉力F＞12 N时，A相对B滑动
例析物理极值问题解答方法
例析物理极值问题解答方法 甘肃武威市第二中学（７３３０００）单华文
求极值是物理解题中常遇到的问题，因同学们不太 熟悉求极值的方法和技巧，所以求极值成为同学们解题 中的难点问题。通常解决物理中的极值问题有两种方 法，数学方法和物理方法，数学方法侧重数学技巧，物理 方法侧重物理原理。下面以两个例题说明两种方法的 解题技巧。 【例１】如图１所示，质量为ｍ Ａ 的小球用长为Ｌ的轻质细线拴住，悬 挂在０点，将小球拉到与。点成水平 的Ａ点，让细线绷紧，然后由静止开 始释放小球，则小球从Ａ运动到最低 点Ｂ的过程中，重力对小球的最大功 率为多大？ 一、数学方法 图１ ０
设小球从Ａ点由静止释放，经过一段时间小球的速 度为 ，此时细线与水平面的夹角为０。 根据机械能守恒定律有： ｍｇＬｓ瑚一 １ ① 重力对小球做功的瞬时功率为： Ｐ＝ｍｇｖｃｏｓＯ② 由①、②式得： Ｐ＝ｍｇ ｖ／￣Ｌｓｉｎ０Ｘ ｃｏｓ０③ 根据数学知识 Ｐ一 ￣／—２ｇＬｓｉｎ０—Ｘ ｃｏｓ２０④ 的一，＿＇ｃ／ｇ咖一 时⑤ 重力对小球的功率最大：Ｐ一一 ２ ｍｇ 二、物理方法 根据机械能守恒定律有： ｍｇＬｓｉ加一 ｍ ① 根据物理知识将小球的速度分解 为水平速度 和竖直速度 ＝ｖｃｏｓ０② 重力对小球做功的功率为： Ｐ—ｍｇ ⑧ 当 最大时，重力对小球的功率也 为最大。 设细线对小球的拉力为Ｆ，将小球 受到的外力Ｆ和ｍｇ沿水平和竖直方向 正交分解，当 最大时必有： Ｆｓｉｎ 一 ｇ（ 小球又做圆周运动，根据牛顿第二 定律得： Ｆ一 ｇｓｉｎ 一ｍ ⑤ 由①、④、⑤式得： ｓｉ的一，＿，ｃ／ｇ ⑥ 由⑥、②、③得： 图３
图４
图５ Ｄ
Ｄ
０
０ ＺＨＯＮＧＸＵＥ ＪＩＡＯＸＵＥ ＣＡＮＫＡＯ
１ ｍ峨十 １ ７７ｚ ② 图７ 根据题意当Ａ球刚好对墙壁没有压力时，轻杆刚好 对Ａ、Ｂ两个小球没有作用力，Ｂ球的速度则达到最大 值。由①、②式得： 一、／／２ｇ（Ｌｓｉｎ６０。Ｘ ｓｉｎｚ０－－Ｌｓｉｎａ０）③ 由数学知识得当ｓｉｎ０＝ 时， 有最大值 则：０＝ａｒｃｓｉｎ ④
利用均值不等式求解物理极值问题
利用均值不等式求解物理极值问题
能够准确应用数学知识解决物理问题是物理考纲中对学生的五大能力要求之一，而这一能力的要求从没有降低过。目前新课程的新课标依然如此。应用数学基础知识解决物理问题的范围比较广泛，比如三角函数知识、二次函数知识、二次不等式知识、数学归纳法知识、数列知识、极限思想、几何知识等等。下面我们就来看几例利用均值不等式求解物理极值的问题。
均值不等式：对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，即
当且仅当a1=a2=…=an时，等号成立。
一般地，从均值不等式可以得到以下结论：对若干个正数，如果它们的和是定值，则当且仅当这若干个正数相等时，它们的积取得最大值。
例1某点电荷Q分成q和（Q-q）两部分，将两部分分开一定距离，则它们之间的库仑力为最大值的条件是（）
库仑力F才有最大值，所以选A。当然，解答此题的思路并不复杂，关键看学生有没有这种思维意识，否则就可能无从下手。
再如在天体运动中有这样一题：设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上。假定经过长时间的开采后，地球仍可看作是均匀的球体，月球仍按开采前的轨道运行，则与开采前相比（）
A.地球与月球间的万有引力将变大
B.地球与月球间的万有引力将变小
C.月球绕地球做圆周运动的周期将变长
D.月球绕地球做圆周运动的周期将变短
长时间地搬运，导致M、m的差值变大，即M、m的乘积变小，选B。
例2（2008年衡水调研）如图所示，摩托车做腾空特技表演，以初速度v0冲上高为h、顶部水平的高台，然后从高台水平飞出，若摩托车始终以额定功率P行使，经时间t从坡底到达坡顶，人和车的总质量为m，且各种阻力的影响可忽略不计，求:当h为多少时，人和车飞出的水平距离最远？
例3（2008年重庆模拟）如图所示，长为L的轻质杆两端有质量均为m的两个相同的小球A和B，A靠在竖直墙上，B与地接触，两处均不计摩擦，开始时杆与水平面成60°角，放手后A下滑、B右滑，问：当杆与水平面角θ为多大时A刚好脱离墙，此时VB多大？
高中物理-求极值的六种方法
高中物理-求极值的六种方法
求极值是数学中的重要问题，解决这个问题不仅有助于我们理解函数的性质，还有助于应用于很多实际问题的求解。下面介绍六种常用的方法求极值：导数法、辅助线法、割线法、牛顿法、拉格朗日乘数法和试探法。
一、导数法：
导数法是最常见，也是最基本的求极值方法。极值点处的导数为零或不存在。
1.求导数：设函数y=f(x)，首先求出导数f'(x)。
2.导数为零：令f'(x)=0，得出x的值。
3.导数不存在：检查导数在f'(x)为零的点附近是否存在极值点。
二、辅助线法：
辅助线法是通过构造一条辅助线，将函数转化为一个变量的方程，然后通过解方程来求解极值点。
1.构造辅助线：根据函数的特点，选取一个合适的辅助线方程（比如斜率为1或-1），将函数转化为一个变量的方程。
2.解方程：将辅助线方程和原函数方程联立，解得x的值。
3.求解极值点：将x的值代入原函数方程，求出对应的y值。
三、割线法：
割线法是通过构造一条割线，通过不断迭代来逼近极值点。
1.选择初始值：选择一个合适的初始值x0。 2.构造割线：构造一条过(x0,f(x0))和(x1,f(x1))两点的割线，其中x1=x0-λf(x0)，λ是一个合适的步长。
3.迭代求值：迭代求解极值点，即不断重复步骤2，直到割线趋近于极值点。
四、牛顿法：
牛顿法利用函数的导数和二阶导数的信息来逼近极值点，是一种高效的求解极值的方法。
1.选择初始值：选择一个合适的初始值x0。
2.迭代求值：根据牛顿迭代公式x1=x0-f(x0)/f'(x0)，不断迭代求解极值点，直到满足结束条件。
五、拉格朗日乘数法：
拉格朗日乘数法是一种求解约束条件下极值问题的方法，适用于那些涉及多个变量和多个约束条件的问题。
1. 列出函数和约束条件：设函数为f(x1, x2, ..., xn)，约束条件为g(x1, x2, ..., xn)=c。
2. 构造拉格朗日函数：构造拉格朗日函数L(x1, x2, ..., xn, λ)
如何解答物理极值问题
何 答物理 极僬 超 ◇河南赵俊良 物理问题中的极值是指在某一物理过程中物理 量出现的最大值或最小值，求极值是高中物理中常见 问题之一，在静力学、运动学、电磁学等物理学分支中 都有极值问题，在高中学业水平考试、普通高考、各级 物理竞赛等各类考试中都有求极值的考题．那么，求 极值有哪些方法呢？如何应用这些方法求极值呢？ 大多数学生不是十分清晰，本文就此问题浅析如下． １求极值的基本方法 １）顶点坐标法 对于一元二次函数Ｙ—ａｘ ＋ｂｘ＋Ｃ，其函数图象 的顶点坐标为ｚ一一麦， 一 ．且当“＞０时， 有极小值， 一 ；当ｎ＜０时，ｙ有极大值， ４口ｃ—ｂ ｍａｘ一— 一・ ・ ２）判别式法 对于一元二次函数ａｘ ＋ｂｘ＋ｃ一０，当Ａ—ｂ 一 ４ａｃ≥Ｏ（ｃ是一个含有Ｙ的常数项）时， 有实数根．若 ≥Ａ，则Ｙ ． 一Ａ，若 ≤Ａ，则Ｙ 一Ａ． ３）配方法 对于一元二次函数Ｙ—ａ Ｔｇ ＋ｂｘ＋Ｃ，经过配方可 变为 ＝：＝（ —Ａ） ＋ ，当ｚ—Ａ时，Ｙ有极小值，Ｙ ｉ 一 ｋ，或经过配方变为 一一（ｚ—Ａ）。＋ｋ，当Ｘ—Ａ时，Ｙ 有极大值，Ｙ 一是． ４）不等式法 对于不等式 ≥、／／ ，当ｎｑ．ｂ＝ｋ（是为定值）， 且口：ｂ时，ａｂ有最大值，（ｎ６） 一 ；当ａｂ—ｋ（忌为 定值），且ａ—ｂ时，ａ＋ｂ有最小值，（口＋６） 。 一２以． ５）三角函数法 若所求物理量表达式中含有三角函数，可应用三 角函数法求极值． 对于三角函数 —Ａｓｉｎ ｃ。ｓ 一 ，当 一 ４５。时，Ｙ有极大值，Ｙ ： ． 对于三角函数ｙ＝ａｓｉｎ ０ｑ．ｂｃｏｓ ，可 以化为 ＝＝＝ ｓｉｎ（０ｑ．ｆ１），当０＋／３＝ ９０。时，Ｙ有极大值，Ｙｍａｘ＝＝＝￣／ 干 ，其中 ｔａｎ口一 ，如图１所示． 。 ａ ｂ 图１ 对于三角函数Ｙ—ａｓｉｎ ＋ＣＯＳ ，可化为ｙ一 ￣／口。＋１ ｓｉｎ（０ｑ＇ｆ１）．当 ＋ 一９０。时，Ｙ有极大值，Ｙ 一 ￣／ｎ ＋１，其中ｃｏｔ 一口． ６）作图分析法 根据物理量之间的函数关系作出图象，分析图象 求出极值． ７）条件分析法 若题目中出现“最大’，“最小”“刚好”等词语，一般 都有临界状态出现，根据临界条件求出极值． ２极值问题求解 ■ — 例１如图２所示的电路， 一３ Ｖ，ｒ一１ Ｑ，Ｒ一 ２ Ｑ，Ｒ 一３ Ｑ，求滑动变阻器触头Ｐ由口向ｂ滑动过 程中电流表示数的极值． 设Ｐｂ之间的电阻为 磐析Ｘ，由闭合电路欧姆定 律 一 ，可求出电 流表示数的表达式 一 ６ ，令 ＝８ ｑ．４ — ２， 图２ ｎ一一１＜０，ｙ有极大值， 有极小值． 方法１顶点坐标法求极值 当ｚ一 一 －－２时， 一 云竺一１２，电 流表示数的极小值 ｉ 一 Ａ一０．５ Ａ． 方法２判别式法求极值 一元二次函数ｙ一８＋４ｘ—ｚ ，可变为８＋４ｘ— 一 一０，Ａ一６。一４ａｃ一４８—４ ≥Ｏ，Ｙ 一１２，电流表 示数极小值 一 Ａ一０．５ Ａ． 方法３配方法求极值 一元二次函数 一８＋４ — ，配方得ｙ一一（２一 ｚ）。＋１２，当ｚ一２时，Ｙ ＝１２，电流表示数极小值， ｆＡ ｉ ＝：＝ Ａ一０．５ Ａ． 方法４不等式法求极值 一元二次函数 一８＋４ｚ—ｚ ：＝：（６一 ）（２ｑ ｚ）一 ４，令ａ；６－－Ｘ，６—２＋ｚ，由于ｎ＋６—８为定值，当ａ一 坚韧是成功的一大要素，只要在门上敲得够久、够大声，终会把人唤醒的