平面问题有限元例题
0 0 0 1 1 0 2 0 0 0 2 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0
1
3 0
0
4
0
0 0 0 0 1 0 0 0 3 0 0 0 0 1 2 0 0 1
1 2 1 5 3 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 2 0 2 0 0 0 1 1 0
0
1
6
E 4
0 0
0 0
0 1
0 0
00 00
0 3
0 0 1 2 0 0 1
0 0 0 0 0 3
0 0 0 0 0 1 2 1 0 0
4 3 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 5 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0
0 00 0 0 00 0
0 1
0 0
0 0
0 0
2 0 1 1
2
0
0 返1回Βιβλιοθήκη 6所以结构总方程为：
R K
其中
R 0 P 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0T
u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4 u5 v5 u6 v6 T
考虑到边界条件：
u1 u2 u3 v4 v5 v6 0
返回
用对角元乘大数法消除奇异性后的结构总体方程为：
0
1
1
0
1 1
i
k 3
E 4
0 0
1 0
1 0
0 2
1 1 0 2
j
2 1 1 0 3 1
m
0 1 1 2 1 3
各单元的节点编号与总体结构的总编号之间的对应关 系见表3-2。
返回
表3-2
各单元节点号与总体节点号对应表
单元号
1
2
3
4
节点号
节 点 总编号
I
1
2
2
3
j
2
4
5
5
m
3
5
3
1 2 1 6 0
0 1 4 0
1 0 0 0 31015 1 2 1 0
0 0
uv34
0 0
0
0
0 0
1 2 0 0
1 31015 0
0 1 2 1 2
06
1 1
0 2
0 1
v4 u5
0 0
0 0 0 0
1 0
0 1 4 1 000 0
1 1 6 1015 0 0 2 0 2
0 0
1 0
1 0
0 0 0 0 0
1 0 0 1 0 0 0 3
3 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 5 0 0 1 0 0 2 0 0 0 2 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0
0 0
0 00 0 0 00 0
6. 计算各单元应力矩阵，求出各单元应力
先求出各单元的应力矩阵[S]1、[S]2，然后再求得各单元的
应力分量：
0
1
x y
xy
S
1
1
3E 8
3
1
0
0 0 1
3 1 1
1 3 1
0 0 1
103
0 q/
0 q/
3E 3E
3q 8
0 8 / 3 0
0 q1
0
q / E
算节点位移、单元应变及单元应力（为简便起见，取泊
松比 0 ，单元厚度t=1）。
y
p
1
1
2
3
3
2
4
4
5
Yi vi i Xi ui
a
Yi vi Xi
ui i
Ym vm
a
m Xm
um
3 a
uj
x Xj
6
j
1,2,4 a
Yj vj
m
Xm um
Ym vm
Xj
j
uj
Yj vj
图 3-16 计算实例2的结构图
E 4
1 0
0
0 2 0 2 0 1 1 0 0000 0000
0 0 0 0 0 0 0 3
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0
0
0
0
0
0
0 0 0 0 0 0 0 5
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
0
0 0
0 0
0 0
0 0
K11
1
9E 16
1
1 1 1 0 0
3
0 1 1 1
0
3
3
1 3
1 0 1 0
3
0 0 1 1
1
1
3
9E 16
1 0
0 1 3
返回
K12
1
9E 16
1
1
3
1
3 1
3
;
K13 1
9E 16
0
1
3
1 3
0
;
K22
1
9E 16
4 32 3
2
3 4
3
K23 1
9E 16
1 3
4
1
1
2
33
称
1 3
0
3
返1回
由于单元2若按341对应单元1的123排码时,则这两个单元刚 度矩阵内容完全一样，故有:
3
4
1
1
0 1
1 1 0 3
1 1 1
1
3
0
3
33 3 3
K 2 66
9E 16
4 3 对
2 1 33
1 3
4
1
1
4
33
称
1 3
0
1
1
返回
4. 组集整体刚度矩阵 按刚度集成法可得整体刚度矩阵为：
返回
然后将相应的节点位移代入公式，可分别求得各单元的应
变和应力。
对于单元1：
u1
1
x y
xy
1 a2
0 0 a
0 a 0
a 0 a
0 a a
a 0 0
0
v1
0.088
0 a
uv22 u3
P Ea
2.000 0.880
v3
1
x y
xy
T
3E 16
3
1
1 1
K31 1 K13 2
K13 1
T
3E 16
0 1
1
0
返回
K 22 1
K 44 2
3E 16
4 2
2
4
K32 1 K14 2
K 23 1
T
3E 1
16
1
1 3
K33 1
K11 2
3E 16
1 0
0 3
K31 2 K13 1
K13 2
计算实例
例3-1 图3-14所示为一厚度t=1cm的均质正方形薄板，上 下受均匀拉力q=106N/m，材料弹性模量为E，泊松比
1/3，不记自重，试用有限元法求其应力分量。
y
2m
x
q=10N/m
qy 24
2
1
q
32
1
2
x
解：
１.力学模型的确定
由于此结构长、宽远大于厚度，而载荷作用于板平
面内，且沿板厚均匀分布，故可按平面应力问题处理， 考虑到结构和载荷的对称性，可取结构的1/4来研究。
q / 3E
2
x y
x
y
S2 2
3E 8
3 1 0
0 0 1
3 1 1
1 3 1
0 0 1
013
q/E 0
q/E 0
3E 8
8q
0 /(3E) 0
0 q1
0
0
单元应力可看作是单元形心处的应力值。
返回
7. 引入约束条件，修改刚度方程并求解
根据约束条件：u1 =v1=0；v2=0；u4=0和等效节点力列阵：
F 0 0 0 0 0 q / 2 0 q / 2T， 并 代 入 刚 度 方 程 ：
K F，划去[K]中与0位移相对应的1，2，4，7的行
和列，则刚度方程变为：
4
u2 0
3E 1
16 1
0
4 0 1
4 1
4uvv433
0 q / q /
2 2
求解上面方程组可得出节点位移为：
1 0
v5 u6
0 0
0
0
0
010
0
0
1 1
0
11015
v6
0
返回
由以上方程解得的各节点的位移为：
u1 0
v1
3.252
uv22
0
1.252
u3
0.088
uv34
P E
0.374
0
v4
u5
0
0.176
v5
0
u6 0.176
v6
0
3
K
4 e1
k12e12
E 4
1 0
0 1 2 1 0 1 0 0
6 0
0 3
0 1 4 0 1 2 1 0
0
0
4
0 0 1 2 0 0 1 3 0 1 0 0
mathematica有限元平面问题
mathematica有限元平面问题Mathematica是一款强大的数学软件，可以用于解决各种数学问题，包括有限元分析。
在Mathematica中，你可以使用内置的函数和自定义函数来模拟和求解有限元问题。
以下是一个简单的Mathematica 有限元平面问题求解示例：1.首先，创建一个平面有限元问题模型。
假设我们有一个平面三角形单元，其顶点坐标分别为A(0, 0)，B(1, 0) 和C(0,1)。
2.定义单元的坐标映射函数。
在有限元分析中，我们需要将单元上的坐标映射到整体坐标系中。
这里我们使用线性映射函数：CoordinateTransform[{x, y}, {a, b}] := {a x + b y, a y + b x}3.计算单元的应变。
应变是与位移有关的物理量，这里我们假设位移为U 和V。
根据有限元原理，应变可以通过位移和单元坐标映射关系计算：Strain[U, V, a, b] := {{a (U -1)/2, b (V -1)/2},{a (V -1)/2, -b (U -1)/2}}4.计算单元的应力。
应力是作用在单元上的力除以面积。
假设应力为S，根据有限元原理，应力可以表示为：Stress[U, V, a, b, S] := {S (a (V -1)/2),S (b (U -1)/2)}5.创建一个有限元求解器。
我们可以使用Mathematica 内置的Solve 函数来求解线性方程组。
首先，定义单元的刚度矩阵和载荷向量：deflection[U, V, a, b,应变_, 载荷_] := {Solve[{a (V -1)/2 * (应变[[1, 1]] + 应变[[2, 1]]),b (U -1)/2 * (应变[[1, 2]] + 应变[[2, 2]]),S (a (V -1)/2),S (b (U -1)/2)},{U, V, 0, 0}]}6.使用有限元求解器计算位移。
有限元分析——平面问题
Re=
NT
s
Pstds
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4、整体分析 整体刚度矩阵 整体刚度矩阵组装的基本步骤：
先求出各个单元的单元刚度矩阵； 将单元刚度矩阵中的每个子块放在整体刚度矩阵中的对应位置上，得到单 元的扩大刚度矩阵； 将全部单元的扩大矩阵相加得到整体刚度矩阵。
不失一般性，仅考虑模型中有四个单元，如图所示，四个单元的整体节点位 移列阵为
τZX z= + t/2 =0
因板很薄，载荷又不沿厚度变化，应力沿板 的厚度方向是连续分布的，可以认为，在整
Z
个板内各点都有
σZ=0 τYZ=0 τZX=0
O
tX
图1 平面应力问题
根据剪应力的互等性、物理方程，可得描述平面应力问题的八个独立的基本变量 为
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σ=[σX σY τXY]T ε=[εX εY γXY]T
x2 y2 ɑ1= x 3 y 3
1 y2 b1=- 1 y 3
1 c1= 1
x2 x3
(1,2,3)
上式表示下标轮换，即1 2，2 3，3 1同时更换。
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重写位移函数，并以节点位移的形式进行表达，有
uv((xx,,yy))N（x,y）qe
其中形函数矩阵为
Y
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图2 平面应变问题
技术中心 5 /33
根据几何方程、物理方程可得，描述平面应变问题的独立变量也是八个，且与 平面应力问题的一样。只是弹性矩阵变为
1
D=
E1
1 1 2 1
1
平面有限元法作业
连，这两个公共节点有共同的节点位移值，从而保证了两个相邻单元在其公共边界上位移的 连续性。故四节点矩形单元满足位移连续性条件。#
{ } 3-7：求以下受力单元的等效节点载荷 R 。已知：lij、lim、lmj 、
⎢⎣ 0 0 0
0 0.5 0
0
0 − 0.5 − 0.5 0 0.5 ⎥⎦12×12
利用矩阵的运算关系
[ ] [ ] [k]T =
B]T [D][B]tA T
= [B]T [D]T
[B]T
T
tA
由于 [D]是对称矩阵， [D]T = [D]
所以 [k]T = [B]T [D] [B]tA = [k]，即 [k]为对称矩阵。#
3-5：图示平面等腰三角形单元，若 μ = 0.3 ，弹性模量为 E，厚度为 t，求形函数矩阵 [N ]、 应变矩阵 [B] 及单元刚度矩阵 [K ]。（补充题意：平面应力情况）
q、P，厚度 t，P 点作用在 jm 中点处，沿 x 方向，三角形分布 载荷垂直于 ij 边。
4
解：q 的单元 N/m2 ，设厚度为 t，如图示
Xi
=
−
1 3
qlij
t
cos
30°
=
−
3 6
qlij
t
Yi
=
−
1 3
qlij
t
sin
30°
=
−
1 6
qlij
t
等效节点载荷
X
j
=
−
1 6
qlijt cos30° +
第三章作业
4 有限元分析平面问题
4.1 两类平面问题
2、平面应变问题
(3) 变形特征
设z方向为无限长，则 x,， x,，u,
沿 z 方向都不变化，仅为 x，y 的函数。任一横截面均可视
为对称面，则有 w 0 ， z zx zy 0 所有各点的位移矢量都平行于 x y 平面 —— 平面位移问题
am vi bm v j v cm m
1 xi 式 中 ： 2A 1 xj 1 xm
·A ——三角形单元的面积
为2A第1行 各个元素的 代数余子式
ai x j ym xm y j bi y j y m ci xm x j
最终确定六个待定系数
ai 1 1 bi 2 2 A c 3 i
aj bj cj
am ui bm u j u cm m
yi yj ym
ai a j 4 1 bi b j 5 2 A c c j 6 i
令
1 Ni (ai bi x ci y) （下标i，j，m轮换） 2A
4.3.2 平面问题的三角形单元求解
则 ：u
i
N i u
j
N j u
m
N m u
i
N i
Nj
N 称为形函数，只与单元节点坐标有关，反应了i， j，m 节点位移对单元内任意点位移的贡献率。 ui v 写成矩阵形式： i u N i 0 N j 0 N m 0 u j 0 N 0 N 0 N i j m v j v um 缩写为： vm
4.1 两类平面问题
第4章 平面问题有限单元法2ppt课件
vm
m (xm , ym)
y
ox
um
vi
i (xi , yi)
e
vj
uj
ui
j (xj , yj)
Fmy m (xm , ym)
Fiy
i (xi , yi)
e Fix
y
ox
Fmx
Fjy
Fjx j (xj , yj)
单元节点位移
单元等效节点力
ui
e
i j
m
vi
u v
j j
KeeFe0
精品课件
12
一、 单元刚度矩阵的物理意义及其性质
已经求出了下列关系
Fe (6) BTtA
(6╳3)
(3)
D (3)
(3╳3)
e
B
(3╳6)
S [ D][ B]
(3╳6)
Ke [ B]T[ D][ B]tA
(6╳6)
精品课件
13
一、 单元刚度矩阵的物理意义及其性质
节点力和节点位移的关系：(以简单平面桁架为例)
vm
该单元为常应变单元
精品课件
{}[B]{}e
[B]矩阵称为应变矩阵
8
单元分析流程
（3）应变
应力
解决办法：弹性力学物理方程 D
代入 {}[B]{}e
回顾
得 DBe
SDB
[S]矩阵称为应力矩阵。
精品课件
{}[S]{}e
9
例：对于平面应力问题
B21Abc0ii
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
一、 单元刚度矩阵的物理意义及其性质
单元刚度矩阵的性质：
1)对称性： K e 是对称矩阵 2)奇异性： K e 是奇异矩阵 Ke 0
弹性力学平面问题
§3.1 弹性力学基本概念
4)完全弹性假设 ❖ 假设物体在外加因素去除后能完全恢复原来形状，没有剩余变形。
同时认为应力与应变呈线性关系，即服从虎克定律。
5）微小变形假设 ❖ 假设物体在载荷作用下产生的位移远远小于物体的特征尺寸， 应变分量和转角均远小于1。 •上述5项假设中，前四个属于物理假设，符合前四个基本假设的称 为理想弹性体。第五个假设属于几何假设，符合该假设的理想弹性 体的问题称为线性弹性力学。
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.1 弹性力学基本概念
• 弹性力学研究方法概述 1）研究弹性体内微分单元体的平衡，写出一组平衡微分方程； 2）由于平衡方程数少于未知应力数，必须考虑几何方面的关系：应 变分量和位移分量之间的微分方程。 3）再引入应力和应变之间的物理关系——广义虎克定律。 4）边界上单元体的内部应力和外部载荷之间的平衡，得到应力边界 条件；考虑边界位移约束得到位移边界条件。 上述基本方程和边界条件组成一个复杂的偏微分方程边值问题，
§3.1 弹性力学基本概念
四、弹性力学中的基本量
• 弹性力学中用以描述研究对象状态的基本力学量包括：外力、应 力、应变、位移。
❖ 外力 1) 体积力（体力）：物体内部单位体积上所受外力称为体力 （矢量）。如：重力、惯性力等。 2) 表面力（面力）：物体表面单位面积上所受外力称为面力 （矢量）。如：静水压力、接触力等。
❖ 通过前面的基本方程求解弹性力学 问题时，必须考虑上述边界上位移 的协调和力的平衡——边界条件。
❖ 边界条件描述如下：
1）位移边界条件
u = u,v = v 在 Su 上
2）应力边界条件
l x + m xy = t x m y + l xy = t y
有限元分析 第二章 平面问题的有限元方法
A：
梁结构的离散：取一段梁为一单元 单元类型：简单直线段 离散原则：几何上真实模拟原结构及其变形
平板的离散：取一小面积板为一单元 单元类型：由最基本的平面图形构成 三角形、四边形（如正方形、长方形、梯形） 而五边形、圆、扇形不宜作为单元。 离散原则：几何上真实模拟原结构（无缺陷、重叠） 模拟变形状态
(2.3)
对于平面问题：
u x x v y y u v xy y x
(2.4)
x x y 0 z y
0 u y v x
简记，
u H ( x, y)a v
u H a v
（2.14）
e e Ⅱ、单元节点位移 与 a 之关系
u l 1 xl v 0 0 l u m 1 x m v m 0 0 u n 1 x n vn 0 0
第2章 平面问题的有限元方法
2.1 弹性理论基础
Ⅰ、基本假设： • 连续性－物质连续。相应的应力应变，位移等连续变量可 以用坐标的连续函数表示； • 均质各向同性——物体内部各点，各方向上物理性质相同， 材料常数（弹性模量，泊松比）不随坐标方向而变； • 完全弹性——材料服从Hooke定律； • 小变形（几何假设）——略去二阶小量，所有微分方程为 线性的； • 无初应力——加载前物体内无初应力。
yl 0 ym 0 yn 0
0 1
0 xl
0 0 1 xm 0 1 0 xn
0 a1 a yl 2 0 a3 y m a 4 0 a 5 yn a 6
有限元平面问题1
§2-1 概述弹性力学平面问题一.弹性力学在材力和结力中我们已经讨论了简单杆件及杆系结构的强度计算问题。
那都是属于古典力学的范畴。
在平面假设的条件下，所得到的解是精确的。
对于弹性力学问题，由于取消了平面假设，使问题变得复杂化了。
对于我们所讨论的问题，能使找到精确的解是非常有限的。
而更多的问题是我们无法找到它的精确解（或严格叫解析解）。
例如……二.平面问题(三个基本方程)§2-2有限元法的基本概念在系统介绍有限元法之前，先介绍几个简单的概念一、结构离散、单元和节点（NODE）有限元的基本原理就是结构离散。
意思就是化整为零。
在弹性力学平面中，用有限元计算也是先对结构进行离散或分割。
例如我们对平面上的一块平板进行离散。
单元q矩形单元三角形单元从理论上说，单元的划分是任意的。
单元大小多少都是可以的。
但在实际计算中必须根据研究对象的特点，使单元的划分既满足力学分析的要求，又能使计算相对简单。
定义单元：离散结构中有一定形状规则的“块”。
我们称之为单元。
节点：单元之间的联系。
称之为节点。
结构离散要点：A、结构复杂或载荷作用处一般单元密些，重要的部分单元密些。
反之可稀。
例子B、单元划分从密到稀要尽量均匀过渡（用三角形单元）C 复杂的结构必须用三角形单元划分（真实逼近）4D、单元各边的长度比要适当，避免狭长矩形及大钝角三角形。
结构的离散好坏，直接对计算结果有影响。
二、位移函数位移函数是一个重要的概念。
在数学上一般称为插值函数。
实际上，位移函数所反映的就是单元内位移的分布规律，它是单元域中的连续函数。
我们用它来人为假定单元内位移的分布情况。
位移函数是人为假设的单元位移分布规律，单元类型不同位移函数的形式也不同。
三、节点和节点载荷有限元计算要求作用载荷都是节点载荷。
如果外力直接作用在节点上，或我们把外力作用点直接取为节点，它就是节点力。
对于非节点的载荷要进行等效变换（或载荷移置）变成节点载荷。
这个问题将会涉及到虚功等效及弹性力学中著名的St.Venant原理,这种变换只对载荷变换区域及附近区域有影响,而对远处的区域这种影响可忽略.四、收敛性收敛性的证明一般由数学家们完成。
第2章 弹性力学平面问题有限单元法(1-3节)
第二章 弹性力学平面问题有限单元法§2-1 三角形单元(triangular Element)三角形单元是有限元分析中的常见单元形式之一，它的优点是:①对边界形状的适应性较好，②单刚形式及其推导比较简单,故首先介绍之。
一、结点位移和结点力列阵设右图为从某一结构中取出的一典型三角形单元。
在平面应力问题中，单元的每个结点上有沿x 、y 两个方向的力和位移，单元的结点位移列阵规定为： 相应结点力列阵为: (式2-1-1)二、单元位移函数和形状函数前已述及，有限单元法是一种近似方法，在单元分析中，首先要求假定（构造）一组在单元内有定义的位移函数作为近似计算的基础。
即以结点位移为已知量，假定一个能表示单元内部（包括边界）任意点位移变化规律的函数。
构造位移函数的方法是：以结点(i,j,m)为定点。
以位移(u i ,v i ,…u m v m )为定点上的函数值，利用普通的函数插值法构造出一个单元位移函数。
在平面应力问题中，有u,v 两个方向的位移,若假定单元位移函数是线性的,则可表示成:(,)123u u x y x y ααα==++546(,)v v x y x y ααα==++ (2-1-2)a{}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=m j i m ed d d d m j j i v u v u v u i {}ii j j m X Y X (2-1-1)Y X Y iej m m F F F F ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪==⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭式中的6个待定常数α1 ,…, α6 可由已知的6个结点位移分量(3个结点的坐标)确定。
将3个结点坐标(x i,y i ),(x j,y j ),(x m,y m )代入上式得如下两组线性方程:123i i i u x y ααα=++123j j j u x y ααα=++ (a)123m m m u x y ααα=++和546i i i v x y ααα=++546j j j v x y ααα=++ (b)546m m m v x y ααα=++利用线性代数中解方程组的克来姆法则,由(a)可解出待定常数1α 、2α 、3α :11A Aα=22A Aα=33A Aα=式中行列式:1i i i j j j m m m u x y A u x y u x y =2111i i j j m mu y A u y u y =3111i i j jm mx u A x u x u =2111i i j j m mAx y A x y x y ==A 为△ijm 的面积,只要A 不为0,则可由上式解出:11()2m m i ij j a u a u a u A α=++ 21()2m m i ij j bu b u b u A α=++ （C ）31()2m mi i j j c u c u c u A α=++式中:m m i j j a x y x y =- m m j i i a x y x y =- m i j j i a x y x y =-m i j b y y =- m j i b y y =- m i j b y y =- （d ）m i j c x x =- m j i c x x =- m j i c x x =-为了书写方便，可将上式记为:m m i j i a x y x y =-m ij by y =- (,,)i j mm i jc x x =-(,,)i j m表示按顺序调换下标,即代表采用i,j,m 作轮换的方式便可得到(d)式。
第5章 平面问题有限元分析1
结构势能:
* EP VP Ve
T 1 dA L T d dL A F T d dA 2 A
T 1 T E P ζ ε dA Fb d dA FsT d dA F eT e A L 2 A
《有限单元法基础》— 第5章 平面问题有限元分析
《有限单元法基础》— 第5章 平面问题有限元分析
1.单元位移 设单元内位移为
其中
xy
A
dx B u
B
u dx x
《有限单元法基础》— 第5章 平面问题有限元分析 三、几何方程---位移与应变之间的关系 u u D 微元体只有水平位移时 dx AB AB x u x AB dx x dy 0 u y
y dy 只有竖向位移时 v 0 y x y dy
《有限单元法基础》— 第5章 平面问题有限元分析
第5章 平面问题有限元分析
§5–1
§5–2
引 言
常应变三角形单元
§5–3
§5–4
矩形双线性单元
平面等参单元
《有限单元法基础》— 第5章 平面问题有限元分析
弹性力学的基本方程
一、弹性力学与结构力学的区别 q
浅梁 平截面假设成立
y
l
l h 4
q
x
y
深梁
代入上式,得
ui 1 2 xi 3 yi u j 1 2 x j 3 y j u k 1 2 xk 3 y k
解方程,得
D3 D1 D2 1 ; 2 ; 3 D D D
vk k ( xk , yk ) uk j ( x , y ) vi j j Fby y uj Fbx v j ui x i( xi , yi )