中考数学填空压轴题---几何最值问题
最值问题
专题13 几何中的最值与定值问题 -突破中考数学压轴题学霸秘笈大揭秘(学生版)
1 专题13 几何中的最值与定值问题
【类型综述】
线段和差的最值问题，常见的有两类：
第一类问题是“两点之间，线段最短”．
两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”第二类问题是“两点之间，线段最短”结合“垂线段最短”．
【方法揭秘】
两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）．
三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）．
两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长．如图3，PA与PB的差的最大值就是AB，此时点P在AB的延长线上，即P′．
解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题．
图1 图2 图3
如图4，正方形ABCD的边长为4，AE平分∠BAC交BC于E．点P在AE上，点Q在AB上，那么△BPQ周长的最小值是多少呢？
如果把这个问题看作“牛喝水”问题，AE是河流，但是点Q不确定啊．
第一步，应用“两点之间，线段最短”．如图5，设点B关于“河流AE”的对称点为F，那么此刻PF＋PQ的最小值是线段FQ．
第二步，应用“垂线段最短”．如图6，在点Q运动过程中，FQ的最小值是垂线段FH．
这样，因为点B和河流是确定的，所以点F是确定的，于是垂线段FH也是确定的．
2 图4 图5 图6
【典例分析】
例1 如图1，二次函数y＝a(x2－2mx－3m2)（其中a、m是常数，且a＞0，m＞0）的图像与x轴分别交于A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0,－3)，点D在二次函数的图像上，CD//AB，联结AD．过点A作射线AE交二次函数的图像于点E，AB平分∠DAE．
2022年九年级中考数学冲刺专题---几何动态及最值问题
中考数学冲刺专题---几何动态及最值问题
一、单选题
1．（2020·江阴模拟）如图，在边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF.则在点E运动过程中，DF的最小值是（ ）
A．6 B．3 C．2 D．1.5
2．（2020·无锡模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（12，0），B（8，6），C（0，6）.动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动.设运动的时间为t秒，作AG⊥PQ于点G，则AG的最大值为（ ）
A．√73 B．18√55 C．365 D．6
3．（2020·无锡模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知A（10，0），点P为线段OA上任意一点.在直线y＝34 x上取点E，使PO＝PE，延长PE到点F，使PA＝PF，分别取OE、AF中点M、N，连结MN，则MN的最小值是（ ）
A．4.8 B．5 C．5.4 D．6
4．（2020·宜兴模拟）如图，等边△ABC的边长为1，D，E两点分别在边AB，AC上，CE=DE，则线段CE的最小值为（ ）
A．2﹣√3 B．2 √3﹣3 C．12 D．√3−12
5．（2020·南通模拟）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝8，AD＝17，折叠纸片使点B落在边AD上的E处，折痕为PQ.当E在AD边上移动时，折痕的端点P，Q也随着移动.若限定P，Q分别在边BA，BC上移动，则点E在边AD上移动的最大距离为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．（2020·无锡模拟）如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=4，E，F分别是边𝐴𝐵，𝐴𝐷上的动点，𝐴𝐸=𝐷𝐹，连接𝐷𝐸，𝐶𝐹交于点P，过点P作𝑃𝐾//𝐵𝐶，且𝑃𝐾=2，若∠𝐶𝐵𝐾的度数最大时，则𝐵𝐾长为（ ） A．6 B．2√5 C．2√10 D．4√2
几何综合(解析版)--中考数学抢分压轴题秘籍(全国通用)
1几何综合--中考数学抢分秘籍（全国通用）
几何综合问题在中考中以填空题和解答题的
形式出现，考查难度较大.此类问题在中考中多考
查面积平分、面积最值和几何变换的综合问题，一
般要用到特殊三角形、特殊四边形、相似三角形、
圆、锐角三角函数、勾股定理、图形变换的性质和
二次函数的最值等相关知识，以及分类讨论、数形
结合、转化与化归等数学思想.此类题型常涉及以
下问题：①几何图形中的线段最值问题②探究图形
面积的分割问题；③探究图形面积的最值问题.右
图为几何综合问题中各题型的考查热度.
题型1：线段最值问题
①动点路径问题②“胡不归”问题③“将军饮马”问题④“造桥选址”问题
2
解题模板：
1.（2021秋•白云区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD
内平移（⊙O可以与该正方形的边相切，则点A到⊙O上的点的距离的最大值为（）
A．B．C．D．
【分析】由题意画出符合题意的图形，当⊙O与BC，CD相切时，点A到⊙O上的点的距离取得最大值，
利用勾股定理即可求得结论．
【解答】解：由题意，当⊙O与BC，CD相切时，点A到⊙O上的点的距离取得最大值，如图，
由对称性可知：圆心O在AC上．
AC＝＝4．
∵BC与⊙O相切于点E，
∴OE⊥EC．
3
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°．
∴△OEC为等腰直角三角形．
∴OC＝OE＝．
∴CG＝OC﹣OG＝﹣1．
∴AG＝AC﹣CG＝4﹣（﹣1）＝3+1．
故选：C．
【点评】本题主要考查了切线的性质，正方形的性质，直线和圆的位置关系，勾股定理，连接OE，利用
切线的性质得到OE⊥EC是解题的关键．
【变式1-1】（2020•遵义）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E与点A、
C不重合），连接DE，作EF⊥DE交射线BA于点F，过点E作MN∥BC分别交CD、AB于点M、N，
作射线DF交射线CA于点G．
（1）求证：EF＝DE；
（2）当AF＝2时，求GE的长．
专题17 几何图形之最值问题(原卷版)-【搞定压轴题】2022年中考数学压轴题全揭秘(四川专用)
专题16 几何图形之最值问题
【真题精选】
1．（2020•绵阳）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为 ．
2．（2019•安顺）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为 ．
3．（2019•眉山）如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝4√2．⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长的最小值为 ．
4．（2017•德阳）如图，已知⊙C的半径为3，圆外一定点O满足OC＝5，点P为⊙C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA＝OB，∠APB＝90°，l不经过点C，则AB的最小值为 ． 【例题讲解】
例1．（平移变换求最值）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为 ．
例2．（翻折变换求最值）如图，面积为6的平行四边形纸片ABCD中，AB＝3，∠BAD＝45°，按下列步骤进行裁剪和拼图．
第一步：如图①，将平行四边形纸片沿对角线BD剪开，得到△ABD和△BCD纸片，再将△ABD纸片沿AE剪开（E为BD上任意一点），得到△ABE和△ADE纸片；
第二步：如图②，将△ABE纸片平移至△DCF处，将△ADE纸片平移至△BCG处；
第三步：如图③，将△DCF纸片翻转过来使其背面朝上置于△PQM处（边PQ与DC重合，△PQM和△DCF在DC同侧），将△BCG纸片翻转过来使其背面朝上置于△PRN处，（边PR与BC重合，△PRN和△BCG在BC同侧）．
则由纸片拼成的五边形PMQRN中，对角线MN长度的最小值为 ．
2020年中考数学5.几何综合选择填空压轴题(含解析)
几何综合-填空选择压轴题5
1、以正方形ABCD勺边AD作等边△ ADE则/ BEC勺度数是 __________
2、如图.在厶ABC中, / ACB=60 , AC=1, D是边AB的中点，E是边BC上一点.若
DE平分△ ABC的周长，则DE的长是 ____ .
3、已知CD是△ ABC的边AB上的高，若CD・3,AD=1AB=2AC则BC的长为 __
4、如图，将面积为32V2的矩形ABCC沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P,
连接AP交BC于点E.若BE=J，贝U AP的长为 ____ .则弦AB和CD之间的距离是 cm
5、如图，△ ABC是等边三角形，△ ABD是等腰直角三角形，/ BAD=90 , AELBD 于点E,连CD分别交AE AB于点F, G过点A作AHL CD交BD于点H.则下列
结论：①/ ADC=15 :② AF=AG ③ AH=DF ④厶 AF3A CBQ ⑤AF= (V3 - 1)
EF.其中正确结论的个数为（ ）
A. 5 B . 4 C . 3 D . 2
6 已知O 0的半径为 10cm AB CD是OO的两条弦，AB// CD AB=16cm CD=12cmp 5
13 13 13 7 7 7、如图，将矩形ABCD沿 EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H
处，已知/ DGH=30，连接BG 则/ AGB ________ .
8、如图，？ABCD勺对角线相交于点 0,且A》CD过点0作OML AC,交AD于点
M.如果△ CDM勺周长为8,那么？ABCD勺周长是 _____ .
9、如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是 169，小正方形的
面积为 49，则 sin a - COS a =( )
A 13 B
10、如图，P是厶ABC的内心，连接 PA PB PC, △ PAB △ PBG △ PAC的面积
分别为 S、S、S.则 Si ____ S2+S3.（填 “v” 或“二”或“〉”）
2023年中考数学常见几何模型之最值模型阿氏圆问题
专题11
最值模型-
阿氏圆问题
最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考
查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本
专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型背景】已知平面上两点A、B，则所有满足 PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个
圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
【模型解读】如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，
已知r=k·OB， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？
如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值，
其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。如图3
所示：
注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：
在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而
当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．
【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。
例1．（2022·安徽·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9
，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则1
3AP＋BP的最小值为
（
）
A．7 B．
5
2 C
．
410+ D
．
213
【答案】B
【详解】思路引领：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．利用相
似三角形的性质证明MP1
3=
PA，可得1
3AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出
BM即可
解决问题．
答案详解：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．
∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2
＝CM•CA，∴PCCM
安徽省2019年中考数学二轮复习题型二：选择压轴题之几何图形最值问题(含答案)
题型二 选择压轴题之几何图形最值问题
类型一 线段最值问题
1. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB
于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为( )
A.1.2 B. 1.3 C.1.4 D. 2.4
第1题图 第2题图
2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分线．若
P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是( )
A. B. 4 C. D. 51252453. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以AC为对角
线的所有▱ADCE中，DE的最小值是( )
A.3 B. 2 C.4 D. 5
第3题图 第4题图
4. 如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，边长为3，P是对角线BD上的一个动点，则
PB＋PC的最小值是( )12A. B. C.3 D. ＋3332323
5. 如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC上，BD＝3，DC＝1，点
P是AB上的动点，则PC＋PD的最小值为( )
A.4 B. 5 C.6 D. 7
第5题图 第6题图
6. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且
BE＝CF，连接BF、DE，则BF＋DE的最小值为( )A.2 B. 4 C.2 D. 45533
7. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，AB＝2，AD＝4，点
M，点N分别在边BC，CD上，则△AMN周长的最小值为( )
A.3 B. 4 C.2＋6 D. 11777
第7题图 第8题图
8. 如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(1，5)和(4，0)，点C是y轴上的
一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是( )
A.(0，1) B. (0，2) C.(0，3) D. (0，4)
2024成都中考数学二轮复习专题：几何最值之将军饮马问题
“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长
等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考
和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现．
【抽象模型】如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？
【模型解析】作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB
当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B
，此时为最小值（两点之间线段最短）
题型一：两定一动模型模型
作法结论
当两定点A、B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使PA＋PB最小．连接AB交直线l于点P，点P
即为所求作的点．PA＋PB的最小值为AB
当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PA＋PB最小．作点B关于直线l的对称点B'，
连接AB'交直线l于点P，点P
即为所求作的点．PA＋PB的最小值为AB'
当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PAPB最大．连接AB并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点．PAPB的最大值为AB
当两定点A、B在直线l异侧时，在直线
l上找一点P，使得PAPB最大．作点B关于直线I的对称点B'，
连接AB'并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点．PAPB的最大值为AB'
当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PAPB最小．连接AB，作AB的垂直平分线
交直线l于点P，点P即为所
求作的点．PAPB的最小值为0【例1】如图，点C的坐标为（3，y），当△ABC的周长最短时，求y的值．
【解析】解：解：（1）作A关于x=3的对称点A′，连接A′B交直线x=3与点C．
∵点A与点A′关于x=3对称，∴AC=A′C．∴AC+BC=A′C+BC．
当点B、C、A′在同一条直线上时，A′C+BC有最小值，即△ABC的周长有最小值．
∵点A与点A′关于x=3对称，∴点A′的坐标为（6，3）．
专题44：第8章几何中的最值问题之三角形的面积-备战2021中考数学解题方法系统训练(解析版)
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 44第8章几何中的最值问题之三角形的面积
一、单选题
1．如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（ ）
A．12 B．24 C．36 D．48
【答案】D
【解答】由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），即可求解．
【解答】解：由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），当y＝8时，PC＝＝＝6，△ABC的面积＝×AC×BP＝×8×12＝48，
故选：D．
【点评】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
2．将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是 （ ）
A．4cm2 B．8cm2
C．12cm2 D．16cm2
【答案】B
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 【分析】当AC⊥AB时，重叠三角形面积最小，此时△ABC是等腰直角三角形，面积为8cm2．
【解答】解：如图，当AC⊥AB时，三角形面积最小，
∵∠BAC=90°∠ACB=45°
∴AB=AC=4cm，
∴S△ABC=12×4×4=8cm2．
故选：B．
【点评】本题考查了折叠的性质，发现当AC⊥AB时，重叠三角形的面积最小是解决问题的关键．
3．如图，已知直线5-512yx与x轴、y轴分别交于B、C两点，点A是以D（0，2）为圆心，2为半径的⊙D上的一个动点，连接AC、AB，则△ABC面积的最小值是（ ）
2023年中考数学真题汇编几何综合压轴问题专项练习(共40题)(解析版)
几何综合压轴问题专项练习答案（40题）
1．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M，N
分别是斜
边DE，AB的中点，2,4DEAB
．
(1)将CDE
绕顶点C
旋转一周，请直接写出点M，N
距离的最大值和最小值；
(2)将CDE
绕顶点C
逆时针旋转120
（如图
2），求MN
的长．
【答案】(1)最大值为3，最小值为1
(2)
7
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线，得出,CMCN
的值，进而根据题意求得最大值与最小值即可求
解；
（2）过点N
作NPMC，交MC
的延长线于点
P，根据旋转的性质求得
120MCN，进而得出60NCP，
进而可得1CP
，勾股定理解Rt,RtNCPMCP
，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，1
1
2CMDE
，1
2
2CNAB
，
当M在
NC的延长线上时，,MN
的距离最大，最大值为123CMCN，
当M在线段CN上时，,MN
的距离最小，最小值为211CNCN；
（2）解：如图所示，过点N
作NPMC，交MC
的延长线于点
P，
∵CDE
绕顶点C
逆时针旋转120
，
∴120BCE
，
∵45BCNECM，
∴120MCNBCMECMBCE，
∴60NCP，
∴30CNP，
∴1
1
2CPCN
，
在RtCNP
中，223NPNCCP，
在
RtMNP△中，112MPMCCP，
∴22347MNNPMP．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，旋转的性质，含30度角的直角
三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，勾股定理是解题的关键．
2．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，点C
为线段AB上一点，分别以,ACBC
为等腰三角形的底边，在
AB的同侧作等腰ACD和等腰BCE
，且ACBE
．在线段
EC上取一点
F，使EFAD，连接,BFDE
．
(1)如图1，求证：