第9课_多自由度系统的振动响应
第六讲--多自由度系统振动-2
解： 1）求柔度系数
m
31
k/5
m
21
k/3
P=1
2m k
11
32 4
P=1
22 4 12
P=1
33 9
23 4 13
11 1/ k 21 31 11
22
1 k
1 k /3
4
22
1 k
1 k/3
1 9
k /5
3.3.1 柔度法
1 1 1
柔度矩阵: [ ] 1 4 4
1 4 9
2）求频率
2 0 0
质量矩阵: [M] m 0 1 0
0 0 1
由频率方程: M I 0
2 1 1 m 2 4 4 0 ,
2 4 9
展开式为： 3 15 2 42 30 0
1 m m2
方程三个根为: 1 11.601 2 2.246 3 1.151
三个频率为:
1 0.2936
k m
4Y
4 4
3.4.1 主振型矩阵与正则坐标
（2）正则坐标 任意一个质点的位移 y 都可按主振型来组合：
y1 1Y11 2Y12 3Y13 y2 1Y21 2Y22 3Y23
yi 1Yi1 2Yi2 3Yi3
yn 1Yn1 2Yn2 3Yn3
nY1n nY2n
y1
y2
Y1 Y121
Y YYY132111
Y2 1
Y2 2
Y32
Y3 1
Y3 2
Y33
Y14 Y4
2
Y34
Y41
Y2 4
Y3 4
Y44
主 振
型 矩 阵
第一振型
1
汽车振动基础第4章-多自由度(定稿)
k11 k1 x1 k2 x1 k1 k2
k21 k12 k2 x1 k2
k22 k2 x2 k3 x2 k2 k3
j2
k31 k13 0
k32 k23 k3 x2 k3
0 k1 k 2 k 2 K k 2 k 2 k3 k3 0 k3 k3
– 拉格朗日法
• 方程的形式
广义坐标
qi (i 1, 2,3,, n)
T：系统的总动能
d T T ( ) Qi 0 dt qi qi
i 1, 2,3, , n
对应于第i个广义 坐标的广义力
– 保守系统
» 系统作用的主动力仅为势力 Qi
d T T U ( ) 0 dt qi qi qi
m2 m22 m3 4
④柔度矩阵的影响系数法
F ij
柔度影响系数 ij 的意义是在第j个坐标上施加单位力作用时，在第i个坐 标上引起的位移。 例题4-8 用影响系数法求图示系统的柔度矩阵
11 F 21 31
12 22 32
13 23 33
也可写成 其中
或
或
MX KX 0
力方程 位移方程
K 1MX X 0
m x 0 或 x
称为柔度，而
FMX X 0
1 称为柔度矩阵
1 k
FK
②刚度矩阵的影响系数法
K kij
刚度影响系数 k 的意义是使系统的第j个坐标产生单位位移，而其它的 ij 坐标位移为零时，在第i个坐标上所施加的作用力的大小。
仅代表外部激励 广义力
第六讲 多自由度振动系统-拉格朗日与影响系数法
m1
x 1 k1 k2 k m2 x2 2
k2 x1 0 x 0 k3 k 2 2
拉格朗日法是建立微分方程一种简单的 方法：先求出系统的动能、势能，进而 得出质量矩阵和刚度矩阵 优点：系统的动能和势能都是标量，无需 考虑力的方向。
L L m11 k1 x1 k2 ( x1 x2 ) 0 x x1 x1 L L m2 2 k2 ( x2 x1 ) k3 x3 0 x x2 x2
L L m11 k1 x1 k2 ( x1 x2 ) 0 x x1 x1 L L m2 2 k2 ( x2 x1 ) k3 x3 0 x x2 x2
x [ x1 x j 1
xj
x j 1 xn ]T
T
0 0 1 0 0
Kx P , x 0 0 1 0 0
T
k11 k 21 P kn1
k1 j k2 j knj
0 k1n k1 j 0 k k2 n 2 j 1 0 knn knj 0
[0 0 1] x
T
T
m22 1
m32 0
m13 0,
m23 0
m33 1
因此，质量矩阵为：
运动微分方程为：
m1 0 0
0 m2 0
0 0 m3
k2 k 2 k3 k3 0 x1 0 k3 x2 0 k3 x3 0
多自由度振动系统的动力学模型构建
多自由度振动系统的动力学模型构建引言：多自由度振动系统是指由多个自由度的质点组成的系统，在这样的系统中，每个自由度都可以独立地进行运动。
动力学模型的构建是研究和理解振动系统行为的基础。
本文将介绍多自由度振动系统动力学模型的构建方法及应用。
一、质点模型多自由度振动系统的最基本组成单位是质点。
质点的运动可以用坐标形式以及质点的质量、刚性等参数来描述。
对于一个有n个自由度的振动系统，可以通过将每个自由度的质点模型相连接构成整个系统。
二、约束关系与广义坐标在多自由度振动系统中，质点之间相互约束，其运动不再是自由的，而是受到约束的影响。
为了描述约束关系，引入广义坐标来表示系统各个自由度的相对运动。
广义坐标是将实际坐标通过约束条件变换得到的坐标表示。
三、拉格朗日方程与振动方程拉格朗日方程是多自由度振动系统的基本动力学方程。
通过对系统的动能和势能进行推导和求导，可以得到描述系统运动的拉格朗日方程。
对于振动系统而言，通过求解拉格朗日方程，可以得到系统的振动方程，进一步描述系统的运动行为。
四、模态分析与特征频率模态分析是研究振动系统固有特性的方法。
对于多自由度振动系统，可以通过模态分析得到系统的固有模态和特征频率。
固有模态是指系统在自由振动时，各个自由度的振动模式。
特征频率是指系统在不同固有模态下的振动频率。
五、系统的耦合与动态响应多自由度振动系统中的各个质点之间存在耦合关系，一个自由度的振动会对其他自由度的振动产生影响。
通过研究系统的耦合关系，可以得到系统的动态响应。
动态响应是指系统对外界激励的响应行为，可以通过求解振动方程得到。
六、应用案例：建筑结构振动多自由度振动系统的应用广泛，尤其在建筑结构的振动研究中起到了重要作用。
通过对建筑结构的多自由度振动系统进行建模和分析，可以评估结构的稳定性、抗震性能等。
振动模型的构建和分析可以提供设计和改进建筑结构的依据。
结论：多自由度振动系统的动力学模型构建是研究振动系统行为的关键步骤。
4.2多自由度系统的固有频率与主振型
同样的，将 代入式（4-23），可得
将 代入式（4-23），可得
矩阵特征值问题通常表示成下述标准形式：
（4-24）
其中， 是实数方阵， 是特征矢量， 是特征值。在大多数算法中还假设 是对称阵。
显然，方程（4-15）与（4-17）都具有（4-24）式的形式。不过无论是 还是 一般都不是对称阵。为了将它们化为对称阵，可进行如下坐标变换。
（4-36）
例4-7设图4-1所示三自由度系统中有 ， ， 。试将系统矩阵化为对称阵。
解：系统的柔度矩阵与质量矩阵分别为
，
故系统矩阵 为非对称阵：
因为这时 为对角阵，所以有
按式（4-36）进行变换，有
所得 已是对称阵。
矩阵特征值问题属于线性代数的一个专题。已经发展了许多有效的算法来求解各种形式的矩阵的特征值问题。关于这一问题的详细论述，请读者参阅有关专著及手册。
（4-18）
它有非零解的条件为
（4-19）
（4-19）式称为系统的频率方程或特征方程。对它展开的结果，可得一个关于 的 次代数方程：
（4-20）
它的 个根 成为系统的特征根，亦称矩阵 的特征值。特征值 与系统固有频率 之间有如下关系：
（4-21）
一般说来， 次代数方程的 个根，可以是单根，也可以是重根；可以是实数，也可以是复数。但是，在我们所考虑的情形中，由于系统质量矩阵是正定的实对称阵，刚度矩阵是正定的或半正定的,故所有特征值都是实数，并且是正数或零。事实上，由正定与半正定的条件，对于任何非零的 ，有
4.2 多自由度系统的固有频率与主振型
一、固有频率和主振型
上节导出了多自由度系统的自由振动微分方程：
两自由度系统的振动
2 2） ad bc ， 12 和 2 都是正数，两个正实根。 3）方程仅有两个正实根的事实说明，系统可能有的同步 运动不仅是简谐的，且只能以两种频率作简谐运动。
4）ω1和ω2由由系统参数确定，称为系统的自然频率。两
2 (t ) c3 x 2 (t ) c2 [ x 2 (t ) x 1 (t )] k3 x2 (t ) k 2 [ x2 (t ) x1 (t )] F2 (t ) m2 x
整理得到
1 (t ) c1 c2 x 1 (t ) c2 x 2 (t ) k1 k 2 x1 (t ) k 2 x2 (t ) F1 (t ) m1 x m2 x2 (t ) (c2 c3 ) x2 (t ) c2 x1 (t ) (k 2 k 3 ) x2 (t ) k 2 x1 (t ) F2 (t )
由两自由度系统到更多自由度系统，则主要是量的扩充，
在问题的表述、求解方法及最主要的振动特性上没有本质 的区别。
1
2
1
2
1 1 2
2 3
6.2 两自由度系统的自由振动
一、两自由度振动系统的运动微分方程
1( 1 1
)
1(
)
2 2
2(
)
2
( )
3 3
1
2
(a)
1 1 1( 1 1(
( )
1
( )
2[ 2 (
2
1
上式表明：系统按其任一自然频率作简谐同步运动时，m1 和m2运动的振幅之比由系统本身的物理性质决定，对于特 定系统，是一个确定的量。 由于m1和m2作同步运动，任意时刻的位移之比等于振幅比
振动系统的自由度和阻尼对振动的影响如何
振动系统的自由度和阻尼对振动的影响如何一、振动系统的自由度振动系统的自由度是指系统在空间中独立运动的数量。
在物理学中，一个自由度通常指的是一个物体在某个参考系下可以独立运动的程度。
对于振动系统来说，自由度决定了系统的复杂程度和可能的状态。
1.单自由度系统：指系统在空间中只能沿一个方向或一个轴进行振动。
例如，一根弹簧振子就是一个单自由度系统。
2.多自由度系统：指系统在空间中有多个方向或多个轴可以进行振动。
例如，一个弹簧-质量系统，如果它可以在三维空间中的任意方向振动，则它是一个三自由度系统。
二、阻尼对振动的影响阻尼是振动系统中能量耗散的机制，它会使振动的振幅逐渐减小，直至振动停止。
阻尼对振动的影响主要表现在以下几个方面：1.阻尼比：阻尼比是描述阻尼特性的一个参数，定义为阻尼力与恢复力的比值。
阻尼比越大，系统的振动衰减越快，振幅减小得越迅速。
2.阻尼对振动幅值的影响：在初始阶段，阻尼对振动幅值的影响较小，但随着振动时间的增加，阻尼作用逐渐明显，振幅逐渐减小。
3.阻尼对振动周期的影响：阻尼对振动周期没有直接影响，振动周期仅与系统的弹性特性和质量有关。
4.阻尼对振动稳定性的影响：适当的阻尼可以提高振动的稳定性，防止系统发生过度振动或共振。
然而，过大的阻尼可能会导致系统过早地停止振动，影响某些应用中的振动性能。
三、自由度和阻尼的相互作用自由度和阻尼的相互作用表现在以下几个方面：1.自由度越多，系统可能出现的振动状态越多，同时阻尼对振动的影响也越复杂。
2.在多自由度系统中，各个自由度之间的振动可能会相互耦合，使得系统的振动特性更加复杂。
3.阻尼的存在可能会影响自由度之间的耦合关系，从而改变系统的振动特性。
综上所述，振动系统的自由度和阻尼对振动的影响是多方面的，它们相互作用决定了系统的振动特性。
了解这些知识点有助于我们更好地分析和解决实际问题。
习题及方法：1.习题：一个单自由度弹簧振子在无阻尼状态下做简谐振动，其质量为m，弹簧常数为k，振动的初始位移为A。
振动响应传递率的动力学特性研究及其在工作模态分析中的应用
振动响应传递率的动力学特性研究及其在工作模态分析中的应用李星占;董兴建;岳晓斌;黄文;彭志科【摘要】振动响应传递率描述了多自由度系统中各自由度响应之间的关系,近年来在多个领域得到了广泛的应用,特别是在工作模态分析方面,获得了瞩目的应用成果.但对于振动响应传递率的动力学特性,一直缺乏完整的、系统的分析.为此,将从振动响应传递率的基础概念出发,对不同输入情况下,振动响应传递率在系统零极点的特性和对系统输入的依赖性进行解析推导分析;然后,通过数值算例对振动响应传递率的特性进行仿真验证;最后,应用振动响应传递率对非白噪声激励下梁结构的工作模态进行了辨识,表明基于振动响应传递率的工作模态分析方法能够避免虚假模态对辨识结果的影响.【期刊名称】《振动与冲击》【年(卷),期】2019(038)009【总页数】9页(P62-70)【关键词】振动传递率;系统零极点;工作模态分析;虚假模态【作者】李星占;董兴建;岳晓斌;黄文;彭志科【作者单位】中国工程物理研究所机械制造工艺研究所,四川绵阳621900;上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室,上海200240;上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室,上海200240;中国工程物理研究所机械制造工艺研究所,四川绵阳621900;中国工程物理研究所机械制造工艺研究所,四川绵阳621900;上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室,上海200240【正文语种】中文【中图分类】TH113.1振动响应传递率是一种描述测点响应之间振动传递特性的物理参数，与结构的频率响应函数一样，振动响应传递率与结构的动力学特性紧密相关。
基于振动传递率的动力学特性，近年来传递率已经在多个领域得到了广泛的应用，如结构响应估计[1]、损伤检测[2]、工作模态分析[3]、频率响应函数的估计[4]、力辨识[5]和传递路径分析[6]等。
特别是在工作模态分析领域，基于振动响应传递率的工作模态分析方法得到了深入的研究和广泛的应用。
第4章 多自由度系统的振动题解
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载第4章多自由度系统的振动题解地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容习题4-1 在题3-10中，设m1=m2=m，l1=l2=l，k1=k2=0，求系统的固有频率和主振型。
题4-1图解：由题3-10的结果，，，代入，，可求出刚度矩阵K和质量矩阵M；由频率方程，得，为求系统主振型，先求出adjB的第一列分别将频率值代入，得系统的主振型矩阵为题4-2图4-2 题4-2图所示的均匀刚性杆质量为m1，求系统的频率方程。
解：设杆的转角和物块位移x为广义坐标。
利用刚度影响系数法求刚度矩阵。
设，画出受力图，并施加物体力偶与力，由平衡条件得到，，设，画出受力图，并施加物体力偶与力，由平衡条件得到，，得作用力方程为由频率方程，得题4-3图4-3 题4-3图所示的系统中，两根长度为l的均匀刚性杆的质量为m1及m2，求系统的刚度矩阵和柔度矩阵，并求出当m1=m2=m和k1=k2=k时系统的固有频率。
解：如图取为广义坐标，分别画受力图。
由动量矩定理得到，整理得到，则刚度矩阵和柔度矩阵分别得，，系统的质量矩阵为由频率方程，并代入已知条件得，整理得到 ,求得，。
用刚度影响系数法求解刚度矩阵。
令，分别由两杆的受力图，列平衡方程为；同理，令得到题4-4图4-4 题4-4图所示，滑轮半径为R，绕中心的转动惯量为2mR2，不计轴承处摩擦，并忽略绕滑轮的绳子的弹性及质量，求系统的固有频率及相应的主振型。
解：如图选x1，x2，x3为广义坐标。
利用刚度影响系数法求刚度矩阵。
设，画出受力图，并施加物体，由平衡条件得到，，，设，画出受力图，并施加物体，由平衡条件得到，= 0，，设，画出受力图，并施加物体，由平衡条件得到，，，则刚度矩阵和质量矩阵分别得，，由频率方程，得展开为，解出频率为，，由特征矩阵的伴随矩阵的第一列，并分别代入频率值，得系统的主振型矩阵为题4-5图4-5 三个单摆用两个弹簧联结，如题4-5图所示。
5多自由度系统振动解析
X FP (t ) 位移方程： FMX
主振动： X φsin( t ) 代入，得： (FM I ) φ 0 特征方程：
X R
n
F K 1 柔度矩阵
X 0 自由振动的位移方程： FMX
φ [1 2 n ]T
特征值
1/ 2
φT Mφ f(t ) φT Kφf (t ) 0
f(t ) φT Kφ T 2 f (t ) φ Mφ
：常数
M 正定，K 正定或半正定 对于非零列向量 φ ： 令：
φ Mφ 0
T
φT Kφ 0
2
0
对于正定系统必有 0
对于半正定系统，有 0
（不生弹性变形 ）
X φf (t ) 正定系统 0 半正定系统 0
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
首先讨论正定系统的主振动
KX 0 正定系统： MX
主振动： X φa sin( t ) 将常数a并入 φ 中
X R
0
n
M 正定，K 正定
FM I 0
特征根按降序排列： 1 2 n 0
i 1/ i2
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
例：三自由度系统
m 0 0 M 0 m 0 0 0 m
x1 2k
m
x2 k
m
x3
m 2k
k
3k K k 0
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
f(t ) φT Kφ T 2 f (t ) φ Mφ
为常数 a、b、
（1）正定系统