哈工大《现代控制理论基础》典型习题讲解
13
【13】 某电网络如图所示，ei 和 eo 分别表示网络的输入电
压和输出电压。假设系统输入信号为
u ei ，输出
信号为 y eo ，试写出该网络系统的状态空间表达 式。
14
【14】 已知某系统的状态空间表达式为
1 1 x 0 y 1 0
1 ( x1 , x2 ) 7
证明该系统在坐标原点处渐近稳定。
8
【8】 离散系统的状态方程为
x1 (k 1) 4 1 x1 (k ) 0 x (k 1) 2 3 x (k ) 1 u (k ) 2 2
2et e2t Φ2 (t ) t 2 t 2e e
2et e2t t 2t e 2e
哪一个可能为系统的状态转移矩阵？为什么？ （2）根据选定的状态转移矩阵，确定系统矩阵 。
5
【5】
开环系统的结构如图所示：
试用状态反馈的方法，使闭环系统单位阶跃响应的 过渡过程时间 ts 5.65 秒（ 0.02 ），超调量为 P 4.32% ，其中一个闭环特征值为 5 。求状态反 馈增益矩阵。
（1）是否存在一个有限控制序列 u(0) u(1)
u( N )
x2 (0) 转移到 使得系统由已知的初始状态 x1 (0) 、
x1 ( N 1) 0 、x2 ( N 1) 0 ？ 试给出判断依据和
判断过程。 （2）若存在，求N 的最小值及控制序列 。
u(0)
u(1)
u( N )
《现代控制理论基础》 典型习题讲解
哈尔滨工业大学
控制与仿真中心 史小平
2015年6月
1
【1】 以
x1 、x2 、x3 为状态变量，写出如图所示系统的状
态空间表达式，并计算系统的极点。
2
【2】 设系统的微分方程如下，系统的初始条件为零，建 立其状态空间表达式。
y 7 y 14 y 8 y u 8u 15u
11
【11】 线性定常系统的系统矩阵为
3 1 0 A 0 3 0 0 0 2
又已知系统的初始时刻为 t0 0，
求其状态转移矩阵 。
12
【12】
1 2 1 2 x R x x u 写出系统 ，uR n 2 m ，
9
【9】设一个线性定常系统的状态方程为
x Ax
2 t e 1 若 x (0) 时，状态响应为 x (t ) 2t ； 1 e
2e t 2 x (0) 时，状态响应为 x (t ) t 。 1 e
解答下列问题：
1 1 1 u 2 1 x 0 3 0 1 x 0
（1）写出该系统的Jordan规范型实现；
（2）分析系统的状态能控性与能观性。
15
【15】 设系统的传递函数矩阵为
1 G ( s) 0 s
1 2 s 1
17
【17】 某非线性系统的状态方程为
x1 x2 3x3 x2 x1 x3 5 x1 x3 3x1 x2 x3e
证明该系统在坐标原点处为渐近稳定。
18
3
【3】 已知系统的状态方程为
x1 0 1 x1 x 2 3 x 2 2
试求状态方程的解。
4
【4】
已知某一个线性定常系统，
2et e2t （1） Φ1 (t ) t 2t 2 e 2 e et e2t t 2t ， e 2e
T
试求该系统的能控规范型实现。
16
【16】 判断下列系统的能观性：
2 1 0 0 2 0 x x 0 0 3 y 1 0 0 x 0 0 2
2 0 0 x 0 3 1 x 0 0 3 y 1 0 0 x 0 0 2
1 试求当 x (0) 时的状态响应 x (t ) 。 3
10
【10】 设系统的状态空间表达式为
0 1 0 x x u 0 5 100 y 1 0 x
若该系统的状态
x2 不可测量，试设计一个降维状态
x2 的估计方程。
观测器，使降维观测器的极点为 10 ，要求写出降 维观测器动态方程，并写出状态
6
【6】 证明对于状态空间表达式的线性变换，其传递
函数（矩阵）保持不变。
7
【7】
设有一个2阶非线性系统，其状态方程为
3 x 1 x2 3x1 7 5 2 5 2 x1 x2 x2 x2 ( x1 , x2 ) x 2
其中 ( x1 , x2 ) 为一个不确定的实值函数，但是满足
《现代控制理论基础》第八章(1)
5
3. 状态空间
x1 (t ) x2 (t )
xn (t )
n 个坐标轴 n 维线性空间
x (t0 )
x (t )
状态轨线或状态轨迹
6
4. 状态方程
一阶线性常微分方程组
n 个状态变量
7
状态方程的列写举例
R
+
u (t )
-
i
L
图1 典型的
C
uC (t )
RLC
电路
R
+
u (t )
-
i
L
duc C i dt
K3 T3 1 T2 0
0 0 K2 x 0 u T2 K 1 1 T1 T1
y 1 0 0 x
[例2] 考虑一个含有零点的单输入单输出系统的方块图
u
-
sz s p
K s
1 sa
1 0 x u R 1 L LC
21
同一个系统的两个不同状态方程！
0 x 1 L
1 0 C x 1 u R L L
uc x i uc x uc
f12 (t ) 2 g h1 (t ) h2 (t )
dh1 (t ) 1 f1 (t ) f12 (t ) dt A dh2 (t ) 1 f12 (t ) f 2 (t ) dt A
f12 (t ) 2 g h1 (t ) h2 (t )
0 b 1 L
12
5. 输出方程 输出变量与状态变量间的函数关系式。
y uc
现代控制理论基础习题解答
+ +
y
1
1
x3
s
3
1-4 已知系统的传递函数，试列写出状态空间表达式，并画出状态变量图。 （1）解
a 3 1, a 2 0,
G (s)
a 1 0,
s 2 2s 3 s3 1
b 0 0,
+
b1 1,
b 2 2,
b3 3
状态变量图为
1
U ( s) E ( s) 1
y 1 0 0x
状态变量图：
u
3
_
3 1 x3 1 x 2 1 x1 y x s s s5
5
+
3
作业和课堂练习
课堂练习： 已知系统的传递函数， 试列写出状态空间表达式， 并画出状态变量图。
G (s)
3s 4 s(s 1)(s 3)
s1 0 , s 2 -1, s 3 -3
y 1 0 0x
状态变量图：
u
2
3 1 x3 x _ s5
5
+
+
2 s x
1
x 2 1 x1 y
s
3
方法二： 状态空间表达式：
0 0 x a 3 1 0 -a2 0 0 1 x 0 u a1 1
u _
L2
i2
C22
x1 i1
R1 1 1 x1 x4 u L1 L`1 L1 1 1 2 x x3 x4 L2 L2 1 3 x x2 C2 1 x 4 x 1 1 x1 x2 C1 C1
设状态变量
x 2 i2 x3 1 i2 dt c2
现代控制理论课后题及答案
第2章 “控制系统的状态空间描述”习题解答2.1有电路如图P2.1所示，设输入为1u ，输出为2u ，试自选状态变量并列写出其状态空间表达式。
图P2.1解 此题可采样机理分析法，首先根据电路定律列写微分方程，再选择状态变量，求得相应的系统状态空间表达式。
也可以先由电路图求得系统传递函数，再由传递函数求得系统状态空间表达式。
这里采样机理分析法。
设1C 两端电压为1c u ，2C 两端的电压为2c u ，则212221c c c du u C R u u dt++= (1) 112121c c c du u duC C dt R dt+= (2) 选择状态变量为11c x u =，22c x u =，由式(1)和(2)得：1121121121212111c c c du R R C u u u dt R R C R C R C +=--+ 2121222222111c c c du u u u dt R C R C R C =--+ 状态空间表达式为：12111211212121212122222221111111R R C x x x u R R C R C R C x x x u R C R C R C y u u x +⎧=--+⎪⎪⎪=--+⎨⎪⎪==-⎪⎩即: 12121121211112222222211111R R C R C R R C R C x x u x x R C R C R C +⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦[]11210x y u x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦2.2 建立图P22所示系统的状态空间表达式。
1图P2.2解 这是一个物理系统，采用机理分析法求状态空间表达式会更为方便。
令()f t 为输入量，即u f =，1M ，2M 的位移量1y ，2y 为输出量， 选择状态变量1x =1y ，2x = 2y ，3x =1dy dt，24dyx dt =。
现代控制理论基础(习题)
现代控制理论基础（习题）1-4. 两输入1u 、2u ，两输出1y 、2y 的系统，其模拟结构图如下所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。
解：状态方程111220312135133442423x a x a x a x b u x x x a x a x a x b u xx x =---+⎧⎪=⎨=---+⎪=+⎩输出方程为{1224y xy x ==整理有1261125342001000000001100001000001a a a b u x x u a a a b y x ⎧---⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎪⎝⎭⎪ ⎪⎨⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩求传函：1121126153420010000()()00010000001001000000010001100b G s sI A b s a a a b s a s a a b s --⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪=-⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭125342616122234534213415622346242260100det()det 001100(1)(1)det 0(1)det 1101()()()()s a a a s sI A a s a a s a a s a a s a a s a s a a s s a s s a a a a a s s a s a a s a s a a sa s a +++⎛⎫ ⎪- ⎪-= ⎪+ ⎪--⎝⎭+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-⋅-⋅++-⋅⋅+ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭=+-++++++-=+432222346241313441564221313562414232446()()()()a s a a a a s a a s a a s a s a a s a a s s a a s a a a a a a s a a a a s a a a a -+++++++-=+++-+++++-121223141243()b a b a G s b a b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭322134a s a s a s =++ 4153(1)a a s a=-+ 236a a s =- 243126a s a s a a =++- 213141622511321222621()det()(1)b s a b s a b a b s G s sI A a b s b a b s a b s a b a b ⎛⎫++-= ⎪--+++-⎝⎭1-5. 系统的动态特性由下列微分方程描述（1）5732y y y y u u +++=+（2）57332y y y y u u u +++=++列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。
现代控制理论习题
《现代控制理论》练习题判断题1. 由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。
3. 对一个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也一定是输出能控的。
4. 对系统Ax x= ，其Lyapunov 意义下的渐近稳定性和矩阵A 的特征值都具有负实部是一致的。
5. 对一个系统，只能选取一组状态变量；6. 由状态转移矩阵可以决定系统状态方程的系统矩阵，进而决定系统的动态特性；7. 状态反馈不改变系统的能控性。
8. 若传递函数B A sI C s G 1)()(--=存在零极相消，则对应状态空间模型描述的系统是不能控的；9. 若线性系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则它是大范围渐近稳定的；10. 相比于经典控制理论，现代控制理论的一个显著优点是可以用时域法直接进行系统的分析和设计。
11. 传递函数的状态空间实现不唯一的一个主要原因是状态变量选取不唯一。
12. 状态变量是用于完全描述系统动态行为的一组变量，因此都是具有物理意义。
13. 等价的状态空间模型具有相同的传递函数。
14. 互为对偶的状态空间模型具有相同的能控性。
15. 一个系统的平衡状态可能有多个，因此系统的李雅普诺夫稳定性与系统受扰前所处的平衡位置无关。
16. 若一线性定常系统的平衡状态是渐近稳定的，则从系统的任意一个状态出发的状态轨迹随着时间的推移都将收敛到该平衡状态。
17. 反馈控制可改变系统的稳定性、动态性能，但不改变系统的能控性和能观性。
18. 如果一个系统的李雅普诺夫函数确实不存在，那么我们就可以断定该系统是不稳定的。
填空题l ．系统状态完全能控是指 。
2．系统状态的能观性是指 。
3．系统的对偶原理： 。
4．对于一个不能控和不能观的系统，按系统结构标准分解为 、 、 、 、的四个子系统。
5．对于单输入单输出系统，系统能控、能观的充要条是 是 。
7．系统平衡状态的渐近稳定性的定义为： 。
10．受控系统∑),,(C B A ，采用状态反馈能镇定的充分必要条件是 。
现代控制理论习题及答案
现代控制理论习题及答案现代控制理论习题及答案现代控制理论是控制工程领域的重要分支，它研究如何设计和分析控制系统，以实现对动态系统的稳定性、响应速度、精度等方面的要求。
在学习现代控制理论过程中，习题是一个非常重要的环节，通过解答习题可以帮助我们巩固理论知识，提高问题解决能力。
本文将介绍一些常见的现代控制理论习题及其答案，希望对读者有所帮助。
1. 题目：给定一个开环传递函数 G(s) = 10/(s+5)，求其闭环传递函数 T(s) 和稳定性判断。
解答：闭环传递函数 T(s) 可以通过公式 T(s) = G(s) / (1 + G(s)) 计算得到。
代入G(s) 的表达式，得到 T(s) = 10/(s+15)。
稳定性判断可以通过判断开环传递函数G(s) 的极点是否在左半平面来进行。
由于 G(s) 的极点为 -5，位于左半平面，因此系统是稳定的。
2. 题目：给定一个系统的状态空间表达式为 dx/dt = Ax + Bu，其中 A = [[-1, 2], [0, -3]]，B = [[1], [1]]，求系统的传递函数表达式。
解答：系统的传递函数表达式可以通过状态空间表达式进行求解。
首先，计算系统的特征值，即矩阵 A 的特征值。
通过求解 det(sI - A) = 0，可以得到系统的特征值为 -1 和 -3。
然后，将特征值代入传递函数表达式的分母，得到传递函数的分母为 (s+1)(s+3)。
接下来，计算传递函数的分子，可以通过求解 C = D(sI - A)^(-1)B 得到，其中 C 和 D 分别为输出矩阵和输入矩阵。
代入给定的 A、B 矩阵，计算得到 C = [1, 0] 和 D = [0]。
因此，系统的传递函数表达式为 G(s) = C(sI - A)^(-1)B = [1, 0] * [(s+1)^(-1), -2(s+3)^(-1); 0, (s+3)^(-1)] * [1; 1] =(s+1)^(-1) + 2(s+3)^(-1)。
《现代控制理论基础》第三章(讲义)
第一和第二讲小结一、状态空间表达式的标准形式能控标准形能观测标准形对角线标准形Jordan标准形二、矩阵的特征值及对角线化矩阵是能控标准形时的变换矩阵求法（1）特征值互异（2）重根（3）一般情形三、利用MATLAB进行系统模型之间的相互转换[A, B, C, D] = tf2ss (num, den)[num,den] = ss2tf [A,B,C,D,iu]四、时域分析的基本概念状态转移矩阵及其性质，凯莱-哈密尔顿定理最小多项式五、矩阵指数计算级数法，对角线标准形与Jordan标准形法拉氏变换法凯莱-哈密尔顿定理II、分析部分第三章线性多变量系统的能控性与能观测性分析能控性(controllability)和能观测性(observability)深刻地揭示了系统的内部结构关系，由R.E.Kalman于60年代初首先提出并研究的这两个重要概念，在现代控制理论的研究与实践中，具有极其重要的意义，事实上，能控性与能观测性通常决定了最优控制问题解的存在性。
例如，在极点配置问题中，状态反馈的的存在性将由系统的能控性决定；在观测器设计和最优估计中，将涉及到系统的能观测性条件。
在本章中，我们的讨论将限于线性系统。
将首先给出能控性与能观测性的定义，然后推导出判别系统能控和能观测性的若干判据。
3.1 线性连续系统的能控性3.1.1 概述能控性和能观测性就是研究系统这个“黑箱”的内部的状态是否可由输入影响和是否可由输出反映。
例1． 给定系统的描述为u x x xx⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2150042121 []⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2160x x y将其表为标量方程组的形式，有：u x x+=114 u x x2522+-= 26x y -=例3－2：判断下列电路的能控和能观测性)(t u +yCR )(t uR L y23.1.2 能控性的定义考虑线性时变系统的状态方程∑:Bu x t A x+=)( ， u t D x t C t y )()()(+=，00)(x t x =，J t ∈ (3.1.1)其中，x 为n 维状态向量，u 维p 维输入向量，J 为时间定义区间，B A ,分别为n n ⨯和p n ⨯的元为t 的连续函数的矩阵。
现代控制理论基础题库(带答案)
现代控制理论基础题库1、已知某系统的传递函数为：，以下状态空间描述正确的是（C）2、控制理论的发展阶段为（A）。
A、经典控制理论、现代控制理论和鲁棒控制理论B、经典控制理论、现代控制理论C、经典控制理论、鲁棒控制理论D、现代控制理论3、下面关于线性定常系统的非奇异线性变换说法错误的是（C）A、对于线性定常系统，非奇异线性变换不改变系统的传递函数矩阵B、对于线性定常系统，非奇异线性变换不改变系统的特征多项式C、对于线性定常系统，非奇异线性变换不改变系统的状态空间描述D、对于线性定常系统，非奇异线性变换不改变系统的特征值4、状态方程是什么方程（B）A、高阶微分方程B、一阶微分方程C、代数方程D、高阶差分方程5、现代控制理论在整个控制理论发展中起到了什么作用？AA、承上启下B、总结C、开拓D、引领6、能完全描述系统动态行为的数学模型是（B）A、差分方程B、状态空间表达式C、微分方程D、传递函数7、输出方程是（C）A、一阶微分方程B、高阶微分方程C、代数方程D、高阶差分方程8、若某一系统的状态空间描述为：（单选）则与其对应的传递函数为（B）9、以下叙述错误的是（C）A、系统的状态空间模型包括状态方程和输出方程B、状态空间模型不仅可以描述时不变系统，还可以描述时变系统C、一个给定的系统只存在一组动态方程D、状态空间模型存在多种等效的标准型10、以下叙述正确的是（A）A、状态空间模型（A,B,C）的极点等于矩阵A的特征根B、状态空间模型中，系统的输出是由微分方程决定的C、如果系统存在多个状态，则系统可建立对角矩阵形式的状态空间模型D、给定系统的状态微分方程，总能够求出状态的数学表达式。
11、某弹簧-质量-阻尼器机械位移系统如下图所示，图中，K为弹簧的弹性系数，M为质量块的质量，f为阻尼器的阻尼系数，y为质量块M的位移，也是系统的输出量。
为建立其状态空间表达式，以下状态变量的选择方式正确的是（D）（单选）12、某单输入-单输出系统的状态空间模型为（D）则该系统的极点为：A、1，3B、-1，3C、1，-3D、-1，-313、线性定常系统的状态解析表达式中包含ABCA、初始状态B、状态转移矩阵C、输入D、过去时刻的状态14、现代控制理论已经应用在哪些领域ABCDA、倒立摆稳定控制B、工业领域C、航天航空领域D、机器人控制15、哪些内容是现代控制理论的知识体系？ABCDA、系统辨识B、线性系统C、最优估计D、最优控制16、以下哪些条件下，状态变量可以描述系统的未来响应:ABDA、给定当前状态B、给定输入C、给定输出D、给定动态方程17、状态方程是唯一的（错）18、系统状态空间模型中的状态变量可能没有实际物理意义（对）19、具有互不相同的极点的系统总能够化成对角线标准型（对）20、时变控制系统是指一个或多个系统参数会随时间变化的系统。
《现代控制理论》课后习题全部答案最完整打印版.pdf
第一章习题答案
1-1试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
解：系统的模拟结构图如下：
系统的状态方程如下：
阿
令，则
所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为
状态变量的状态方程，和以电阻上的电压作为输出量的输出方程。
解：由图，令，输出量
有电路原理可知：既得
写成矢量矩阵形式为：
1-3参考例子1-3（P19）.
1-4两输入，，两输出，的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空
间表达式和传递函数阵。
解：系统的状态空间表达式如下所示：
1-5系统的动态特性由下列微分方程描述
列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。
解：令，则有
相应的模拟结构图如下：
1-6（2）已知系统传递函数,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图
解：
1-7给定下列状态空间表达式
（1）画出其模拟结构图
（2）求系统的传递函数
解：
（2）
1-8求下列矩阵的特征矢量
（3）
解：A的特征方程
解之得：
当时，
解得：令得
（或令，得）
当时，
解得：令得（或令，得）
当时，
解得：令得
1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）
（2）
解：A的特征方程
当时，
解之得令得
当时，
解之得令得
当时，
解之得令得。
现代控制理论习题解答(第五章)
第五章 状态反馈和状态观测器3-5-1 已知系统结构图如图题3-5-1图所示。
(1)写出系统状态空间表达式；(2)试设计一个状态反馈矩阵，将闭环极点特征值配置在j 53±-上。
)(t y题3-5-1图【解】：方法一：根据系统结构直接设状态变量如题3-5-1图所示，写状态空间表达式：[]x y u x x 10112101=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--= 23111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=c c U rank U系统能控，可以设计状态反馈阵。
设状态反馈阵为][21k k K = 状态反馈控制规律为：Kx r u -= 求希望特征多项式：34625)3()(*22++=++=s s s s f求加入反馈后的系统特征多项式：)22()3()(1212k s k k s bK A sI s f ++-++=+-=依据极点配置的定义求反馈矩阵：]1316[131634)22(6)3(21112=⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+-K k k k k k 方法二：[][][]1316)346(311110)(*10211=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==--I A A A f U K c方法三：（若不考虑原受控对象的结构，仅从配置极点位置的角度出发） 求系统传递函数写出能控标准型：2321)111()()(2++-=+-+=s s ss s s U s Y []xy u x x 10103210-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--= 求系统希望特征多项式：34625)3()(*22++=++=s s s s f求状态反馈矩阵K ~：[][][]33236234~21=--==k k K [][][][]5.05.031111010111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==--Ab bP⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=105.05.011A P P P []1316~==P K K【解】：依据系统传递函数写出能控标准型ss s s s s s U s Y 2310)2)(1(10)()(23++=++= []x y u x x 0010100320100010=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=求系统希望特征多项式：464]1)1)[(2()(*232+++=+++=s s s s s s f求状态反馈矩阵：[][][]144342604321=---==k k k K 。