正切函数的图象与性质(讲义及答案)
1
正切函数的图象与性质（讲义）
知识点睛
一、周期函数
常见的周期函数的表达形式：
设a，b为正实数，函数()yfx的定义域为I，对x∈I，
（1）若()()fxfxa，则()yfx是以a为周期的周期
函数；
（2）若()()fxfxa，则()yfx是以2a为周期的周期
函数；
（3）若()()fxafxa，则()yfx是以2a为周期的周
期函数；
（4）若()()fxafxb，则()yfx是以a+b为周期的周
期函数．
二、正切函数的图象与性质
y=tanx
图象
定义域
{|}
2
xxkk
Z，
值域
R
最小正周期
奇偶性
奇函数
对称性
kZ（）
对称中心：
(0)2k，
单调性
kZ（）
单调递增区间：
()22kk，
最值
kZ（）
无
2
精讲精练
1.
写出下列函数的定义域．
（1）tan3yx____________________________；
（2）
tan2
tan
x
y
x
___________________________
；
（3）
2
logtanyx
________________________．
2.
求下列函数的周期．
（1）()tan(2)fxx；（2）()tan()23fxx．
3.
求下列函数的单调区间．
（1）tan(2)3yx；（2）2tan(3)4yx；
（2）tan()36xy．
4.
函数
1ππ
0
tan44
yxx
x
≤≤（，且）
的值域是（）
A．(1][1)，，B
．
[11]，
C．(1]，D．
[1)，
5.
下列函数中，最小正周期是2的是（）
A．
π()=2tan(1)2fxxB．ππ
()=3sin()1
26
fxx
C
．
1π()=tan()23fxxD．π
()=2cos()1
3
fxx
3
6.若函数()tan0fxaxa（）的图象的相邻两支被直线1y所
截得的线段长为4，则()12f的值为（）
A．0B．1C．3D
．
3
3
7.下列函数是偶函数的是（）
A．()tanfxxB
．
()tan()fxx
C．
π()sin()3fxxD．π
()cos
2
fxx
8.
已知函数()tan2sinfxxx，()cos(2)singxxx，则（）
A
．()fx与()gx都是奇函数
B．()fx与()gx都是偶函数
C
．()fx是奇函数，()gx是偶函数
D
．()fx是偶函数，()gx是奇函数
9.下列函数，既是
(0)
2
，
上的增函数，又是以为周期的偶函数
的是（）
A．sinyxB．
cosyx
C．sin2yxD
．
cos2yx
10.比较下列各组数的大小：
（1）sin()18______sin()10；
（2）tan()5______tan()7；
（3）cos()5_____cos4；
（4）sin()7_____cos()6．
4
11.若
42
，则（）
A．sincostanB
．
costansin
C．tancossinD．
tansincos
12.
方程sinlgxx的实数根共有（）
A．无穷多个B．3个C．2个D．1个
13.函数cos[02]yxx，，的图象和直线y=1
所围成的一个封
闭的平面图形的面积是（）
A．2B．4C．2D
．
4
14.函数
costan0
22
yxxxx
≤（，且）
的大致图象是
（）
A．B．
C．D．
5
15.函数 tansintansinyxxxx在区间
()
22
，
上的大致图
象是（）
A．B
．
C．D．
16.
已知函数
2
()tan2tan2
34
fxxxx
≤≤（）
，求()fx的
最大值和最小值．
6
【参考答案】
精讲精练
1.（1
）
{|}
63
Z
k
xxk
，
（2）
{|}4Zkxxk，
（3）
()2Zkkk，（）
2.（1
）
2
；（2）
2
3.（1
）
()
122122
Z
kk
k
，（）
（2）
()43123Zkkk，（）
（3）
(323)Zkkk，（）
4.A
5.A
6.C
7.D
8.A
9.A
10.（1）＞；（2）＞；（3）＜；（4）
＜
11.D
12.B
13.C
14.C
15.D
16.最大值为5，最小值为1
正切函数的图象和性质_课件ppt_新课标高中(必修4)
tan1670 tan1730
y tan x在 ， 上是增函数， 2
167 173 180
0 0
4
0
5
2 tan tan 4 5 11 13 tan( ) tan( ). 4 5
反馈演练
1、比较大小：
0 < (1)tan138 _____tan143 。 13π 17π (2)tan()_____tan() > 4 5 ２、求函数 y 3 tan(3x 3 ) 的定义域，值域， 单调区间、对称中心坐标及渐近线方程。 0
非奇非偶函数
最小正周期是
3
补充练习
1. 已知
a tan1, b tan 2, c tan 3,则( c )
B.c<b<a C .b<c<a D. b<a<c
A.a<b<c
2.求y (tan x) 2 4 tan x 1 的值域； -5,+
3. 已知 是三角形的一个内角，且有 tan 1, 则的取值范围是 ( c )
例题分析
例３ 求函数
y tan 3x 的周期.
解：
因为 tan(3x ) tan 3x,
T 3 形如 y A tan(x ) k 的周期是 T
反馈练习：求下列函数的周期：
即tan3(x+ )=tan3x, f ( x ) f ( x) 3 3
O1
A O
-1
3
2 3
4 3
5 3
2
x
y
1
-4
-3
正切函数的性质与图象
01
课前案 自主学习
[教材梳理] 导学 1 正切函数的性质
正切函数 y＝tan x 的定义域是什么？
[提示]
x
x≠kπ＋π2，k∈Z.
诱导公式 tan(π＋x)＝tan x 说明了正切函数的什么性质？tan(kπ＋x)(k∈Z) 与 tan x 的关系怎样？
[提示] 周期性．tan(kπ＋x)＝tan x(k∈Z)．
函数 y＝|tan x|的单调递增区间kπ，kπ＋π2(k∈Z)，
单调递减区间为kπ－π2，kπ(k∈Z)．
[规律方法] 1. 熟练掌握正切函数的图象和性质是解决正切函数综合问题的关键，正切曲线是 被相互平行的直线 x＝π2＋kπ，k∈Z 隔开的无穷多支曲线组成，y＝tan x 的对称中心为 k2π，0，k∈Z. 2．作函数 y＝|f(x)|的图象一般利用图象变换方法，具体步骤 (1)保留函数 y＝f(x)图象在 x 轴上方的部分； (2)将函数 y＝f(x)图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴向上翻折． 3．若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图象，再利用周期性，延拓到定 义域上即可．
画出正切函数 y＝tan x，x∈－π2，π2的简图吗？怎样画？
[提示] 能，三个关键点：π4，1，(0,0)，－π4，－1，两条平行线：x＝π2，x＝－π2.
◎结论形成 1．正切函数的图象
2．正切函数的图象叫做__正__切__曲__线____ . 3．正切函数的图象特征 正切曲线是被与 y 轴平行的一系列直线____x_＝__π2_＋__k_π_，__k_∈__Z_____所隔开的无穷多支 形状相同的曲线组成的．
(2)比较大小：tan－74π________tan－95π.
正切函数的图像和性质讲义和习题
正切函数得图像与性质【知识框架】1、2【典型例题】例1.求得定义域、例2.求函数得定义域、值域,并指出它得周期性、奇偶性、单调性。
例3.不求值比较下列各组数得大小:(1)与(2)与例4.判断下列函数得奇偶性:(1) (2)例5.画出函数得图像。
并指出定义域、值域、最小正周期与单调增区间。
例6.若函数得最小正周期满足,则正整数得值就是______________ 。
例7.已知,求函数得最值。
例8.若时,得值总不大于零,求实数k得取值范围。
例9.函数得值域。
例10.在区间得范围内,函数与函数得图象得个数就是()A、1B、2C、3D、4【巩固练习】一、选择题1、函数y=tan (2x+)得周期就是( )(A) π(B)2π(C) (D)2、已知a=tan1,b=tan2,c=tan3,则a、b、c得大小关系就是( )(A) a<b<c (B) c<b<a (C) b<c<a (D) b<a<c3、在下列函数中,同时满足(1)在(0,)上递增;(2)以2π为周期;(3)就是奇函数得就是( )(A) y=|tanx| (B) y=cos x (C) y=tanx (D) y=－tanx4、函数y=lgtan得定义域就是( )(A){x|kπ<x<kπ+,k∈Z} (B) {x|4kπ<x<4kπ+,k∈Z}(C) {x|2kπ<x<2kπ+π,k∈Z} (D)第一、三象限5、已知函数y=tanωx在(-,)内就是单调减函数,则ω得取值范围就是( )(A)0<ω≤ 1 (B) -1≤ω<0 (C) ω≥1 (D) ω≤ -1*6、如果α、β∈(,π)且tanα<tanβ,那么必有( )(A)α<β(B) α>β(C)α+β> (D) α+β<二、填空题7、函数y=2tan(-)得定义域就是,周期就是;8、函数y=tan2x-2tan x+3得最小值就是;9、函数y=tan(+)得递增区间就是;*10、下列关于函数y=tan2x得叙述:①直线y=a(a∈R)与曲线相邻两支交于A、B两点,则线段AB长为π;②直线x=kπ+,(k∈Z)都就是曲线得对称轴;③曲线得对称中心就是(,0),(k∈Z),正确得命题序号为、三、解答题11、不通过求值,比较下列各式得大小(1)tan(-)与tan(-) (2)tan()与tan ()12、求函数y=得值域、13、求下列函数得周期与单调区间*14、已知α、β∈(,π),且tan(π+α)<tan(-β),求证:α+β<、【提高检测】一、选择题1.函数得最小正周期就是( )A. B. C. D.2.函数得定义域就是( )A. B.C. D.3.函数得值域就是( )A. B. C. D.4.下列函数中,同时满足①在上就是增函数;②为奇函数;③以为最小正周期得函数就是( )A. B. C. D.5.已知函数 ,下列判断正确得个数就是( )① 就是定义域上得减函数,周期为 .② 就是区间上得减函数,周期为 .③ 就是区间上得减函数,周期为 .④ 就是区间上得减函数,周期为 .A.0B.1C.2D.36.函数得图像对称于( )A.原点B. 轴C. 轴D.直线7.要得到得图像,只需把得图像( )A.向左平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向右平移个单位8.函数得一个对称中心就是( )A. B. C. D.9.函数得图像相邻得两支截直线所得线段长为 ,则得值就是( )A. B.0 C.1 D.－110.在区间范围内,函数与函数得图像交点得个数为( )A.1B.2C.3D.411.要得到函数得图像,须将函数得图像( )A.向右平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向左平移个单位12.函数在一个周期内得图像就是( )二、填空题13.函数得最小正周期就是____________.14.函数得定义域就是_________.15.函数得值域就是__________.16.已知函数就是以3为周期得奇函数,且 .若 ,则 .三、解答题17.试求函数得定义域,并作出区间上得图像.18.已知 .求函数得值域.19.求函数得定义域、值域,并指出它得周期、奇偶性与单调性.20.求证:函数 ( 、 )为奇函数得充要条件就是 .提高检测参考答案:一、选择题1.B2.D3.B4.A5.A6.B7.C 8.C 9.B 10.C 11.C 12.A二、填空题13. 14.15. 16.－1三、解答题17.由得函数得定义域为 .又当时,其图像如图所示.18.由已知条件得 ,解得 ,∴ ( ),∴ ( ),∴ ,于就是 .∴当 ( )时取最小值4,当 ( )时取最大值5.从而函数得值域为［4,5］.19.由 ,得 ( ),∴所求得函数定义域为: ;值域为 ;周期为 ;它既不就是奇函数,也不就是偶函数;在区间 ( )上就是单调减函数.20.充分性:∵ ,∴ 为奇函数,必要性:∵ 就是奇函数.∴ ,∴ ,∴ ,∴,∴ ,∴ ,∴ ,∴ ( ).巩固练习参考答案一、CCACBA、二、7、(2kπ-,2kπ+)(k∈Z), 2π; 8、2; 9、( 2kπ, 2kπ) (k∈Z); 10、③、三、11、(1)> (2) <12、{y|y∈R且y≠1};13、T==2π;由可得∴可得函数y=得递减区间为[2kπ-π,2kπ+(k∈Z)14、∵tan(π+α)<tan(-β)∴tanα<tan(π-β),又∵<α<π, <π-β<π∴α与π-β落在同一单调区间,∴α<π-β,即α+β<π。
正切函数图像及性质.ppt.ppt
2 2
4
小结：y=tanωx的周期T=
例题分析
例 ４ 解不等式：tan x 3
解：
y
3
0 x
32
由图可知：x
k
3
,
k
2
(k
Z
)
反馈练习：
例：观察正切曲线，写出满足下列条件的x的值的范围。
（1） tanx >0
（2）tanx <1
y
x
–/2
0
/2
y
1
x
–/2
0 /4 /2
（k，k+/2） kz （k–/2，k+/4）kz
筹办航空事宜
处
三、从驿传到邮政 1．邮政 (1)初办邮政： 1896年成立“大清邮政局”，此后又设 ， 邮传邮正传式部脱离海关。 (2)进一步发展：1913年，北洋政府宣布裁撤全部驿站； 1920年，中国首次参加 万国。邮联大会
2．电讯 (1)开端：1877年，福建巡抚在 架台设湾第一条电报线，成为中国自 办电报的开端。
轮船正招式成商立局，标志着中国新式航运业的诞生。
(2)1900年前后，民间兴办的各种轮船航运公司近百家，几乎都是
在列强排挤中艰难求生。
2．航空
(1)起步：1918年，附设在福建马尾造船厂的海军飞机工程处开始
研制 。
(2)发展水：上1飞918机年，北洋政府在交通部下设“
”；此后十年间，航空事业获得较快发展。
3．发展 (1)原因： ①甲午战争以后列强激烈争夺在华铁路的 修。筑权 ②修路成为中国人 救的亡强图烈存愿望。 (2)成果：1909年 京建张成铁通路车；民国以后，各条商路修筑 权收归国有。 4．制约因素 政潮迭起，军阀混战，社会经济凋敝，铁路建设始终未入 正轨。
1.4.3-正切函数的性质与图像
答案:
1、定义域 2、值域
3、单调性
4、奇偶性 5、周期性
x
x
|
x
R且x
1 3
k
5
18
，k
Z
yR
在x
1 3
k
18
,
1 3
k
5
18
上是增函数；
非奇非偶函数
最小正周期是
3
四、小结：正切函数的图像和性质
1、 正 切 曲 线 是 先 利 用移平正 切 线 得y tan x, x ( , )的 图 象 ， 22
思考 3、正切函数 y tan x 是否具有奇偶性？
由诱导公式知
f x tan x tan x f x, x R, x k , k Z
2
正切函数是奇函数.
思考
4、能否由正切线的变化规律及正切函数周期性来讨论它的单调性?
y
y
T
x
o x (1,0) A
o x x (1,0) A
1、利用正切函数的定义，说出正切函数的定义域；
tan y x 0 的终边不在y轴上
x
k
(k
z)
2
思考
2、正切函数 y tan x 是否为周期函数？
由诱导公式知
f x tanx tan x f x, x R, x k , k Z
2 ∴ y tan x是周期函数， 是它的一个周期．
24
令t x ;所以y tan t的单调递增区间为:
24
k t k , k Z
2
2
由t 1 x 得 :
24
k 1 x k
22 4
2
y
3 tan(
1 2
高中数学 第一章 三角函数 1.4.3 正切函数的性质与图象讲义3 新人教A版必修4
知识点2 正切函数的图象 观察图形，回答下列问题：
问题1：画正切曲线的关键点和关键线分别是什么？ 问题2：正切曲线是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？
【总结提升】
1.正切函数图象的两种作法
(1)几何法：利用单位圆中的正切线作图，该方法较为精确，但画图时
较烦琐. (2)三点两线法：“三点”是指(-
lo g 1 x lo g 1 4，
2
2
tanx 1，
所以0<x< 或3 ≤x≤4.
所以所求定2 义域4 为(0， )∪[ 3， 4].
2
4
2在【.解［(变析0，换】π条由］件ta上、n的改x≠图变0象问，.法x∈)，［将0本，题π］函，数解改得为x“≠0y ， st且ainnxxx≠”试且 画x≠出π此. 函数
4
2
，xk∈kZ，
28
所以所求直线方程为x= k ， k∈Z.
28
2.(变换条件)将本例函数改为“ y
么？
t a n x 1，
tan tan (x
x 1
”，其定义域又是什
)
6
【解析】根据题意，得
ta
n
(
x
) 6
0，
4
解得 x
2
(3)解形如tan x>a的不等式的步骤
【变式训练】函数 y 2log1x tanx 的定义域是______.
2
【解析】x应满足 2 lo g 1 x 0，
2
ta n x 0，
所以 0kxx4， k所2(以k0Z<)， x<
【数学】1.4.3《正切函数的图象与性质》课件(新人教A版必修4)
间如何表示？
x
x
k
或(
2
k
k
思考2：根据相关诱导公式，你能判断正 切函数是周期函数吗？其最小正周期为 多少？
因为 tan x tan x ，由周期的定义
正切函数是周期函数，周期是π.
一、复习正切线的作法
复习回顾正切线的作法： 在单位圆中，由tan AT AT
2
3由- +k x +k 得：- 5 +2k x 1 +2k
2
2 32
3
3
函数y=tan(
2
x
3
)的单调增区间为
-
5 3
+2k，1 3
+2k
例3：利用正切函数的单调性比较下列各组数 中两个正切值的大小：
（1） 与
（2）
解：1 把tan1210与tan1370看作
1.4.3 正切函数的图象与性质
二、数学核心素养目标 1、课标目标： （1）、理解并掌握正切函数的图象；
（2）、掌握正切函数的性质，深化研究 函数性质的思想 方法。
2、培养学生理性思维，使数形结合的思 想体现得更加全面。
一、复习正弦、余弦函数的性质：
函数
y=sinx
图象
y=cosx
定义域
R
值域
[－1，1]
函数y=tanx对应的两个函数值。
y=tanx在 900， 1800 上单调递减
又 900 1210 1370 1800
tan1210 tan1370
正切函数的图像与性质(带答案)
正切函数图像及性质 知识点梳理函数y ＝tan x 的图象与性质 y ＝tan x π例1、求下列函数的定义域：(1)y ＝11＋tan x；(2)y ＝lg(3－tan x )．练习、求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域.例3、求下列函数的周期（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42tan 3πx y （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛+=421tan 3πx y例4、求函数区间，对称中心的定义域、周期和单调⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32tan πx y练习1、求函数⎪⎭⎫⎝⎛-=33tan πx y 的定义域、值域，并指出它的单调性、周期性；练习2、求函数的单调区间⎪⎭⎫⎝⎛+-=421tan 3πx y课堂练习1． 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3在一个周期内的图象是 ( )2.在区间(－3π2，3π2)内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象的交点个数为( )A.1B.2C.3D.43．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2内的图象是 ( )4.利用函数图象，解不等式－1≤tan x ≤33.5.下列说法正确的是( )A.y ＝tan x 是增函数B.y ＝tan x 在第一象限是增函数C.y ＝tan x 在每个区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内是增函数D.y ＝tan x 在某一区间上是减函数6.函数y ＝3tan(2x ＋π4)的定义域是 ( )A ．{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z}B ．{x |x ≠k 2π－3π8，k ∈Z}C ．{x |x ≠k 2π＋π8，k ∈Z}D ．{x |x ≠k 2π，k ∈Z}7.直线y ＝a (a 为常数)与正切曲线y ＝tan x 相交的相邻两点间的距离是( )A.π2B.2πC.πD.与a 值有关8.下列各式中正确的是( )A.tan 4π7＞tan 3π7B.tan ⎝⎛⎭⎫－13π4＜tan ⎝⎛⎭⎫－17π5C.tan 4＞tan 3D.tan 281°＞tan 665°9.函数y ＝lg(1＋tan x )的定义域是( )A.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π4(k ∈Z )C.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋π2(k ∈Z )D.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )10.已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是减函数，则ω的取值范围为__________.11.函数y ＝2tan(3x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2＜φ＜π2的图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π4，0，则φ＝________.12.若tan ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1，则x 的取值范围是________.13已知函数f (x )＝3tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3.(1)求f (x )的定义域和值域.(2)讨论f (x )的周期性、奇偶性和单调性.14.求函数y ＝－tan 2x ＋10tan x －1，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3的值域.。
第8讲 正切函数图像及其性质(讲义)解析版
第8讲 正切函数图像及其性质知识梳理1、正切函数的图像：可选择的区间作出它的图像，通过单位圆和正切线，类比正、余弦函数图像的画法作出正切函数的图像根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数tan ,y x x R =∈，且()2x k k Z ππ≠+∈的图像，称“正切曲线”.由正弦函数图像可知： （1）定义域：{|()}2x x k k Z ππ≠+∈，（2）值域：R 观察：当x 从小于，时，tan x →+∞当x 从大于，时，tan x →-∞.（3）周期性：T π=（4）奇偶性：tan()tan x x -=-，所以是奇函数⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ()z k k ∈+2ππ2π+π−→−k x ()z k k ∈+ππ2ππk x +−→−2x yyx（5）单调性：在开区间(,),22k k k Zππππ-++∈内，函数单调递增.（6）中心对称点：,0,2kk Zπ⎛⎫∈⎪⎝⎭2、余切函数的图象：⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛-==2tan2tancotππxxxy即将xy tan=的图象，向左平移2π个单位，再以x轴为对称轴上下翻折，即得xy cot=的图象由余弦函数图像可知：（1）定义域：{|()}x x k k Zπ≠∈，（2）值域：R（3）周期性：Tπ=（4）奇偶性：tan()tanx x-=-，所以是奇函数（5）单调性：在开区间(,),k k k Zπππ+∈内，函数单调递增.（6）中心对称点：,0,2k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭例题解析一、正切函数的图像例1．（2020·全国高一课时练习）设函数()tan 33x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. （1）求函数f (x )的最小正周期､对称中心； （2）作出函数f (x )在一个周期内的简图.【答案】（1）最小正周期3π，对称中心是3,02k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭()k Z ∈；（2）答案见解析. 【分析】（1）首先根据正切函数的周期公式即可得到函数()f x 的周期，再根据正切函数的对称中心即可得到函数()f x 的对称中心.（2）根据函数的解析式得到()f x 的图象与x 轴的交点坐标为(),0π，图象上的7,14π⎛⎫ ⎪⎝⎭、,14π⎛⎫- ⎪⎝⎭两点，再找到两侧相邻的渐近线方程，画出函数的图象即可. 【详解】（1）()tan 33x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，313T ππ==，令332x k ππ-=，k Z ∈，解得32x k ππ=+，k Z ∈， 故对称中心为3,02k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭()k Z ∈. （2）令033x π-=，解得x π=，令334x ππ-=，解得74x π=，令334x ππ-=-，解得4x π=， 令332x ππ-=，解得52x π=，令332x ππ-=-，解得2x π=-，所以函数()tan 33x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象与x 轴的一个交点坐标为(),0π， 图象上的点有7,14π⎛⎫⎪⎝⎭、,14π⎛⎫- ⎪⎝⎭两点， 在这个5,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭周期内左右两侧相邻的渐近线方程分别为2x π=-和52x π=， 从而得到函数()f x 在一个周期5,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内的简图(如图).【点睛】本题主要考查正切函数的周期和对称中心，同时考查了正切函数的图象，关键点是找出图象上的点用描点法画图象，属于中档题.例2．（2020·全国高一课时练习）已知函数()sin cos xf x x=． （1）求函数()f x 的定义域；（2）用定义判断函数()f x 的奇偶性； （3）在[],ππ-上作出函数()f x 的图象．【答案】（1）,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭；（2）奇函数,见解析；(3)见解析 【分析】（1）根据cos 0x ≠,求解即可；（2）由（1）可知()f x 的定义域关于原点对称,判定()f x -和()f x 的关系,从而判定奇偶性；（3）将()f x 写为分段函数,画出图象即可【详解】（1）由cos 0x ≠,得2x k ππ≠+（k Z ∈）,所以函数()f x 的定义域是,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭.（2）由（1）知函数()f x 的定义域关于原点对称,因为()()()()sin sin cos cos x xf x f x xx ---===--,所以()f x 是奇函数. （3）()tan ,22tan ,22x x f x x x x ππππππ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪--≤<-<≤⎪⎩或,所以()f x 在[],ππ-上的图象如图所示,【点睛】本题考查函数定义域,考查奇偶性的判断,考查函数图象. 例3.作函数||y tan x =的图像. 【难度】★★ 【答案】如图 【解析】||y tan x =等价于 0,2()0,2tanx x x k y k Z tanx x x k ππππ⎧≥≠+⎪⎪=∈⎨⎪-<≠+⎪⎩，图像如图所示．例4.求函数()tan tan f x x x =+的定义域、周期、单调增区间，并画草图． 【难度】★★★【答案】定义域：{|,}2x x k k Z ππ≠+∈ ，周期：T π=，单调增区间：[,)2k k πππ+（1）tan 0x > （2）tan 0x = （3）tan 0x < （4）tan x >【难度】★ 【答案】（1）Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛+,2,πππ, （2）{}z k k x x ∈=,π （3）Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛-,,2πππ, （4）Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++，ππππ2,3例6.根据正切函数图像，写出使下列不等式成立的x 值的集合： （1）0tan 1≥+x （2）3tan -x 0≥ 【难度】★★ 【答案】（1） [,),42k k k Z ππππ-+∈（2）[,),32k k k Z ππππ++∈例7.比较下列两数的大小（1）2tan7π与10tan 7π （2）6tan 5π与13tan()5π- （3）81cot 与191cot 【难度】★ 【答案】（1）2tan7π<10tan 7π （2）6tan 5π>13tan()5π- （3）81cot <191cot 例8.函数sin y x =与tan y x =的图像在[2,2]ππ-上的交点有 （ ）.A 3个 .B 5个 .C 7个 .D .D 9个【难度】★★【答案】B【巩固训练】1．作出函数|tan |y x =的图象. 【难度】★★ 【答案】如图2．利用图像，不等式tan 21x <≤的解集为____________. 【难度】★★ 【答案】(,],2628k k k Z ππππ-+∈3．比较⎪⎭⎫ ⎝⎛-413tan π与⎪⎭⎫⎝⎛-517tan π的大小 【难度】★【答案】tan413tan -=⎪⎭⎫⎝⎛-π 4π，52tan517tan ππ-=⎪⎭⎫⎝⎛-，⎪⎭⎫⎝⎛=<<2,0tan ,5240πππ在x y内单调递增. ⎝⎛->⎪⎭⎫ ⎝⎛-->-∴<∴ππππππ517tan 413tan ,52tan 4tan ,52tan4tan即 4．若()tan()4f x x π=+，试比较(1),(0),(1)f f f -，并按从小到大的顺序排列：_________. 【难度】★★【答案】(1)(1)(0)f f f <-<5.（2020·全国高一课时练习）设函数()tan 23π⎛⎫=-⎪⎝⎭x f x . （1）求函数f (x )的最小正周期，对称中心； （2）作出函数()f x 在一个周期内的简图．【答案】（1）2T π=，2,03ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭k ()k Z ∈；（2）图象见解析【分析】（1）首先根据正切函数的周期公式即可得到函数()tan 23π⎛⎫=-⎪⎝⎭x f x 的周期，再根据正切函数的对称中心即可得到函数()tan 23π⎛⎫=-⎪⎝⎭x f x 的对称中心. （2）首先根据函数的解析式得到数()tan 23π⎛⎫=-⎪⎝⎭x f x 的图象与x 轴的一个交点坐标为2,03π⎛⎫⎪⎝⎭，在这个交点左右两侧相邻的渐近线方程分别为3x π=-和53x π=，再画出函数的图象即可.【详解】（1）()tan 23π⎛⎫=- ⎪⎝⎭x f x ，212T ππ==.令232ππ-=x k ，k Z ∈，解得23ππ=+x k ，k Z ∈， 故对称中心为2,03ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭k ()k Z ∈.（2）令023x π-=，解得23x π=，令234x ππ-=，解得76x π=， 令234x ππ-=-，解得6x π=，令232x ππ-=，解得53x π=， 令232x ππ-=-，解得3x π=-， 所以函数()tan 23π⎛⎫=-⎪⎝⎭x f x 的图象与x 轴的一个交点坐标为2,03π⎛⎫⎪⎝⎭， 在这个交点左右两侧相邻的渐近线方程分别为3x π=-和53x π=. 故函数在一个周期内的函数图象为：【点睛】本题主要考查正切函数的周期和对称中心，同时考查了正切函数的图象，属于中档题.二、正切函数的定义域及值域1、正切函数的定义域例1.求下列函数的定义域（1）tan 2y x = （2）y = （3）cos tan y x x =⋅ （4）11tan y x=+ 【难度】★ 【答案】（1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,24ππ （2）Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++-,3,3ππππ （3）,2x x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭且 （4）,,42x x k x k k Z ππππ⎧⎫≠-≠+∈⎨⎬⎩⎭且例2．（2019·宝山区·上海交大附中高一期末）下列四个函数中，与函数()tan f x x =完全相同的是（ ）A ．22tan21tan 2xy x =- B ．1cot y x = C ．sin 21cos 2x y x =+ D ．1cos 2sin 2x y x -=【答案】C【分析】先判断函数的定义域是否相同，再通过化简判断对应关系是否相同，从而判断出与()f x 相同的函数.【详解】()f x 的定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭， A. 22tan 21tan 2x y x =-，因为tan 12,22x x k k Z ππ⎧≠±⎪⎪⎨⎪≠+∈⎪⎩，所以,24,22x k k Z x k k Z ππππ⎧≠±+∈⎪⎪⎨⎪≠+∈⎪⎩， 定义域为{|22x x k ππ≠±或2,}x k k Z ππ≠+∈，与()tan f x x =定义域不相同； B. 1cot y x =，因为cos 0sin 0x x ≠⎧⎨≠⎩，所以,2,x k k Z x k k Zπππ⎧≠+∈⎪⎨⎪≠∈⎩， 所以定义域为,2k x x k Z π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭，与()tan f x x =定义域不相同； C. sin 21cos 2x y x =+，因为1cos20x +≠，所以定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭， 又因为2sin 22sin cos tan 1cos 22cos x x x y x x x ===+，所以与()tan f x x =相同； D. 1cos 2sin 2x y x-=，因为sin 20x ≠，所以2,x k k Z π≠∈，定义域为|,2k x x k Z π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭， 与()tan f x x =定义域不相同.故选：C.【点睛】本题考查与三角函数有关的相同函数的判断，难度一般.判断相同函数时，首先判断定义域是否相同，定义域相同时再去判断对应关系是否相同（函数化简），结合定义域与对应关系即可判断出是否是相同函数.例3．（2019·上海市大同中学高一期中）函数arcsin tan 2y x x =+的定义域是________【答案】[1,)(,)(,1]4444ππππ--- 【分析】解不等式11,2,2x x k k Z ππ-≤≤⎧⎪⎨≠+∈⎪⎩即得解. 【详解】由题得11,2,2x x k k Z ππ-≤≤⎧⎪⎨≠+∈⎪⎩所以x ∈[1,)(,)(,1]4444ππππ---. 故函数的定义域为[1,)(,)(,1]4444ππππ--- 故答案为[1,)(,)(,1]4444ππππ---【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，考查反三角函数和正切函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.例4．（2017·上海杨浦区·复旦附中高一期中）已知函数()()lg tan 1f x x =-()f x 的定义域是____.【答案】3,,4242ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【分析】由意义得出2tan 1090x x ->⎧⎨-≥⎩，解出该不等式组即可得出函数()y f x =的定义域. 【详解】函数()()lg tan 1f x x =-+2tan 1090x x ->⎧∴⎨-≥⎩， ()4233k x k k Z x ππππ⎧+<<+∈⎪∴⎨⎪-≤≤⎩，3,,4242x ππππ⎛⎫⎛⎫∴∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，函数()y f x =的定义域为3,,4242ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：3,,4242ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查函数定义域的求解， 同时也涉及了正切不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.例5.求函数y =lg(tan x -+3cos 2+x 的定义域． 【难度】★★【答案】(,),32k k k Z ππππ++∈【解析】tan 2cos 0,2x x x k k Z ππ⎧>⎪⎪≥⎨⎪⎪≠+∈⎩ 由此不等式组作图： ∴(,),32k k k Z ππππ++∈ 【巩固训练】1．函数tan 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域为__________ 【难度】★【答案】,4x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭2．与函数)42tan(π+=x y 的图象不相交的一条直线是 （ ）.A 2π=x .B 2π-=x .C 4π=x .D 8π=x【难度】★【答案】D3．求下列函数的定义域(1)1tan y x = ；(2)sin tan()log (2cos 1)4x y x x π=+⋅- ． 【难度】★★★【答案】见解析解：等价转化为求一个不等式组的解 (1)sin 0tan 0,()2x x x k k Z ππ⎧⎪≥⎪≠⎨⎪⎪≠+∈⎩(2,2),,()2x k k x k k Z πππππ⇒∈+≠+∈ (2) 2cos 10sin 0,()42x x x k k Z πππ⎧⎪->⎪>⎨⎪⎪+≠+∈⎩⇒(2,2)33(2,2)(2,2)224x k k x k k k k x k πππππππππππππ⎧∈-+⎪⎪⎪∈+++⎨⎪⎪≠=⎪⎩(2,2)(2,2),()443x k k k k k Z πππππππ⇒∈+++∈． 注：转化过程中要注意必须是等价转换，才能保证结果既不扩大也不缩小．在求条件组的解时，常会求角集得交集，可以画数轴，用单位圆或函数的图像，应熟练掌握这种技能．2、正切函数的值域与最值例1．（2016·上海浦东新区·华师大二附中高一期中）设函数()sin 2sin 1cos 2cos x x f x x x-=+-，关于()f x 的性质，下列说法正确的是_________. ①定义域是,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭；②值域是R ；③最小正周期是π； ④()f x 是奇函数；⑤()f x 在定义域上单调递增.【答案】③④【分析】先求定义域，再化简函数解析式，根据正切函数性质求值域、求周期、判断单调性与奇偶性.【详解】()sin 2sin 1cos 2cos 01cos 2cos x x f x x x x x-=∴+-≠+- 22cos cos 0cos 0x x x ∴-≠∴≠且1cos 2x ≠， 定义域是,,23x x k x k k Z ππππ⎧⎫≠+≠±∈⎨⎬⎩⎭； ()sin 2sin sin (2cos 1)tan 1cos 2cos cos (2cos 1)x x x x f x x x x x x --===+--所以()f x ≠()f x 最小正周期是π；()f x 是奇函数；()f x 在定义域上不具有单调性故答案为：③④【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及函数综合性质，考查综合分析求解能力，属中档题.例2．（2020·上海高一课时练习）求下列函数的值域：（1）1tan ,,01tan 2+⎛⎫=∈- ⎪-⎝⎭x y x x π； （2）2tan 3tan 1,,34⎡⎤=+-∈-⎢⎥⎣⎦y x x x ππ． 【答案】（1）(1,1)-；（2）13,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【分析】（1）由定义域可得()tan ,0x ∈-∞，令tan t x =则(),0t ∈-∞，所以1211t 1t y t +-==-+--，再根据幂函数的性质计算可得； （2）利用换元法将函数转化为二次函数，根据二次函数的性质计算可得；【详解】解：（1）因为1tan ,,01tan 2+⎛⎫=∈- ⎪-⎝⎭x y x x π，所以()tan ,0x ∈-∞ 令tan t x =则(),0t ∈-∞ 所以1211t 1t y t +-==-+-- 因为(),0t ∈-∞，所以()1,1t -∈-∞-，()11,01t ∈--，()2210,t -∈-， ()211,11t --+∈--，即()1,1y ∈- （2）因为2tan 3tan 1,,34⎡⎤=+-∈-⎢⎥⎣⎦y x x x ππ所以tan x ⎡⎤∈⎣⎦令tan m x =，m ⎡⎤∈⎣⎦所以()223133124y f m m m m ⎛⎫==+-=+- ⎪⎝⎭所以()f m 在3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在32⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减， 31324f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()13f =，(2f =-所以()13,34f m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦即函数的值域为13,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查正切函数的性质的应用，换元法求函数的值域，属于中档题. 例3．（2020·上海高一课时练习）求下列函数的值域：（1）tan ,,626⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦y x x πππ； （2）2tan 1,,1tan 46+⎛⎫=∈- ⎪-⎝⎭x y x x ππ； （3）2sec 2tan 1,,33⎡⎤=++∈-⎢⎥⎣⎦y ππθθθ．【答案】（1）[；（2）12⎛- ⎝⎭；（3）[1,5+ 【分析】（1）首先令6t x π=+，得到tan y t =，再根据tan y t =的单调性即可得到函数的值域.（2）首先令tan t x =，得到213211t y t t+==-+--，再根据函数的单调性即可得到值域.（3）首先将函数化简为2tan 2tan 2y θθ=++，令tan t θ=，得到222y t t =++，再利用二次函数的性质即可求出函数的值域. 【详解】（1）令6t x π=+，因为,26x ππ⎡∈⎤-⎢⎥⎣⎦，所以,33t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 又tan y t =在,33t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上为增函数，所以所求函数值域为[． （2）令tan t x =，因为,46⎛⎫∈- ⎪⎝⎭x ππ，所以⎛∈- ⎝⎭t ．212(1)332,1,1113⎛+-+===-+∈- ---⎝⎭t t y t t t t ． 因为1y t =-为减函数，所以31y t =-在⎛∈- ⎝⎭t 为增函数， 即：321=-+-y t在⎛∈- ⎝⎭t 上为增函数， 所以min 31222y =-+=-，max 522y +=-=.所以函数的值域为12⎛- ⎝⎭． （3）222221sin cos 2tan 1=2tan 1tan 2tan 2cos cos y θθθθθθθθ+=++++=++． 令tan ,,33⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦t ππθθ，所以[∈t ．2222(1)1,[=++=++∈y t t t t ．当1t =-时，min 1y =，当t =时，max 5y =+所以函数的值域为[1,5+．【点睛】本题主要考查正切函数的值域问题，利用换元法求值域为解决本题的关键，属于中档题.例4.函数2tan ,0,124y x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域为 【难度】★ 【答案】[]32,324- 例5.若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈4,3ππx ，求函数1tan 2cos 12++=x x y 的最值及相应的x 值；. 【难度】★★ 【答案】4x π=-时，min 1y =； 4x π=时，max 5y =例6.已知2tan tan y x a x =-，当1[0,],[0,]34x a π∈∈时，函数max y =，求实数a 的值. 【难度】★ 【答案】323-=a 例7.求函数252tan 4tan 3y x x =-+的值域. 【难度】★★【答案】(0,5] 【巩固训练】1．求函数sin tan ,[,]44y x x x ππ=+∈-的值域【难度】★★【答案】[1]-+2．求函数2)1(tan 12-+=x y 的最大值，并求当函数取得最大值时，自变量x 的集合. 【难度】★★【答案】2max =y ，此时⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x x ,4ππ3．已知2tan 2tan 3y x x =-+，求它的最小值【难度】★★【答案】当tan 1x =时，min 2y =4．函数2tan 4tan 1y x x =+-的值域为____________ 【难度】★ 【答案】[)5,-+∞【解析】令tan t x =则转化为t 的二次函数求最值。
5.4.3 正切函数的性质与图象
5．4.3正切函数的性质与图象考点学习目标核心素养正切函数的定义域与值域掌握正切函数的定义域、值域数学抽象正切函数的单调性及应用会利用正切函数图象研究其单调性，并利用单调性解决其相应问题直观想象、逻辑推理正切函数的周期性与奇偶性掌握正切函数的周期性及奇偶性逻辑推理、数学运算问题导学预习教材P209－P212，并思考以下问题：1．如何借助单位圆画正切函数图象？2．正切函数的性质与正弦函数性质有何不同？3．正切函数在定义域内是不是单调函数？函数y＝tan x的图象与性质解析式y＝tan x图象定义域⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠π2＋kπ，k∈Z值域R最小正周期π奇偶性奇函数单调性在开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上都是增函数对称性对称中心⎝⎛⎭⎫kπ2，0(k∈Z)■名师点拨(1)正切函数在每一个开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )内是增函数．不能说函数在其定义域内是单调递增函数，无单调递减区间．(2)画正切函数图象常用三点两线法：“三点”是指(－π4，－1)，(0，0)，(π4，1)，“两线”是指x ＝－π2和x ＝π2，大致画出正切函数在(－π2，π2)上的简图后向左、向右扩展即得正切曲线．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数的定义域和值域都是R .( ) (2)正切函数在整个定义域上是增函数．( ) (3)正切函数在定义域内无最大值和最小值．( ) (4)存在某个区间，使正切函数为减函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× 函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，x ≠k π－π2，k ∈ZB ．{x |x ∈R ，x ≠k π，k ∈Z }C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，x ≠k π＋π6，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，x ≠k π＋π3，k ∈Z答案：D函数y ＝tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最小正周期为( )A.π2 B ．π C ．2π D ．3π答案：A函数f (x )＝tan x 在[－π3，π4]上的最小值为________．答案：－ 3函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π4的单调递增区间是________．答案：(－π4＋k π，3π4＋k π)，k ∈Z正切函数的定义域、值域(1)函数 y ＝tan(2x －π4)的定义域是________．(2)函数y ＝tan 2x ＋4tan x －1的值域是________．【解析】 (1)因为 2x －π4≠π2＋k π(k ∈Z )⇒x ≠3π8＋k π2(k ∈Z )，所以定义域为{x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋3π8，k ∈Z }． (2)令t ＝tan x ，则t ∈R ，故y ＝t 2＋4t －1＝(t ＋2)2－5≥－5，所求的值域为[－5，＋∞)． 【答案】 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋3π8，k ∈Z (2)[－5，＋∞)求正切函数定义域的方法(1)①求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义，即x ≠π2＋k π，k ∈Z .②求正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx ＋φ”视为一个“整体”．令ωx ＋φ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x .(2)求正切函数值域的方法①对于y ＝A tan(ωx ＋φ)的值域，可以把ωx ＋φ看成整体，结合图象，利用单调性求值域．②对于与y ＝tan x 相关的二次函数，可以把tan x 看成整体，利用配方法求值域．1．函数y ＝3tan(π＋x )，－π4<x ≤π6的值域为________．解析：函数y ＝3tan(π＋x )＝3tan x ，因为正切函数在(－π4，π6]上是增函数，所以－3<y ≤3，所以值域为(－3，3]．答案：(－3，3]2．函数y ＝lg(3－tan x )的定义域为________． 解析：因为3－tan x ＞0，所以tan x ＜ 3. 又因为tan x ＝3时，x ＝π3＋k π(k ∈Z )，根据正切函数图象，得k π－π2＜x ＜k π＋π3(k ∈Z )．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |k π－π2＜x ＜k π＋π3，k ∈Z正切函数的单调性及其应用(1)求y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4的单调区间．(2)比较tan 65π与tan ⎝⎛⎭⎫－137π的大小． 【解】 (1)由题意，k π－π2<12x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z ，即k π－3π4<12x <k π＋π4，k ∈Z ，所以2k π－3π2<x <2k π＋π2，k ∈Z ，故单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k π－3π2，2k π＋π2(k ∈Z )．(2)tan 65π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π5＝tan π5，tan ⎝⎛⎭⎫－137π＝－tan 137π ＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫2π－π7＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π7＝tan π7，因为－π2＜π7＜π5＜π2，y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，所以tan π7＜tan π5，即tan 65π＞tan ⎝⎛⎭⎫－137π.(变条件)本例(1)中函数变为y ＝tan(－12x ＋π4)，求该函数的单调区间．解：y ＝tan(－12x ＋π4)＝－tan(12x －π4)，由k π－π2<12x －π4<k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－π2<x <2k π＋32π，k ∈Z ，所以函数y ＝tan(－12x ＋π4)的单调递减区间是(2k π－π2，2k π＋32π)，k ∈Z .(1)运用正切函数单调性比较大小的方法①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． ②运用单调性比较大小关系．(2)求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法①若ω＞0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2＜ωx ＋φ＜k π＋π2，k ∈Z ，解得x 的范围即可．②若ω＜0，可利用诱导公式先把y ＝A tan(ωx ＋φ)转化为y ＝A tan[－(－ωx －φ)]＝－A tan(－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可．1．函数 f (x )＝13tan ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π4的单调递增区间为( )A.⎝⎛⎭⎫2k －32，2k ＋12，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2k －12，2k ＋12，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫4k －12，4k ＋12，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫4k －32，4k ＋12，k ∈Z 解析：选 A ．由 k π－π2<π2x ＋π4<k π＋π2(k ∈Z )得 2k －32<x <2k ＋12(k ∈Z )．故 f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫2k －32，2k ＋12(k ∈Z )． 2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π6的值域是________．解析：因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6，所以x 2＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4∈(1，3)．答案：(1，3)正切函数奇偶性和周期性的应用画出函数y ＝|tan x |的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性． 【解】 由y ＝|tan x |，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，k π≤x <k π＋π2（k ∈Z ），－tan x ，－π2＋k π<x <k π（k ∈Z ），其图象如图所示．由图象可知，函数y ＝|tan x |是偶函数，单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z )，单调递减区间为(－π2＋k π，k π](k ∈Z )，周期为π.正切型函数的周期性、奇偶性问题的解题策略(1)一般地，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝π|ω|，常常利用此公式来求周期．(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f (－x )与f (x )的关系．已知函数y ＝tan(ωx ＋π4)(ω<0)的周期为π2，求该函数的定义域、值域，并判断奇偶性．解：y ＝tan(ωx ＋π4)(ω<0)的周期为π|ω|＝π2，解得ω＝2或ω＝－2.因为ω<0，所以ω＝－2，故y ＝tan(－2x ＋π4)＝－tan(2x －π4)．由2x －π4≠k π＋π2(k ∈Z )，解得x ≠k π2＋3π8(k ∈Z )，所以该函数的定义域为{x |x ≠k π2＋3π8，k ∈Z }，值域为R .由于该函数的定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数．1．函数f (x )＝|tan 2x |是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为π2的奇函数D ．周期为π2的偶函数解析：选D.f (－x )＝|tan(－2x )|＝|tan 2x |＝f (x )为偶函数，T ＝π2.2．比较大小：tan13π4________tan 17π5. 解析：因为tan 13π4＝tan π4，tan 17π5＝tan 2π5，又 0<π4<2π5<π2，y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内单调递增，所以 tan π4<tan 2π5，即 tan 13π4<tan 17π5.答案：<3．求函数y ＝tan(3x －π3)的定义域、周期，并指出它的单调区间．解：要使函数有意义，自变量x 的取值应满足3x －π3≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π3＋5π18(k ∈Z )，所以函数的定义域为{x |x ≠k π3＋5π18，k ∈Z }．函数的周期T ＝π3.令k π－π2<3x －π3<k π＋π2(k ∈Z )，即k π3－π18<x <k π3＋5π18(k ∈Z )， 所以函数的单调递增区间为(k π3－π18，k π3＋5π18)(k ∈Z )，不存在单调递减区间．[A 基础达标]1．当x ∈(－π2，π2)时，函数y ＝tan |x |的图象( )A ．关于原点对称B ．关于y 轴对称C ．关于x 轴对称D ．无法确定解析：选B.函数y ＝tan |x |，x ∈(－π2，π2)是偶函数，其图象关于y 轴对称．故选B.2．与函数y ＝tan(2x －π4)的图象不相交的一条直线是( )A ．x ＝π2B ．x ＝－π2C ．x ＝π4D ．x ＝－π8解析：选D.当x ＝－π8时，2x －π4＝－π2，而－π2的正切值不存在，所以直线x ＝－π8与函数的图象不相交．3．函数y ＝1tan x ⎝⎛⎭⎫－π4＜x ＜π4的值域是( )A ．(－1，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－1，＋∞)解析：选B.因为－π4＜x ＜π4，所以－1＜tan x ＜1，所以1tan x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故选B.4．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3在一个周期内的图象是下图中的 ( )解析：选A.由函数周期T ＝π12＝2π，排除选项B 、D.将x ＝23π代入函数解析式中，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×23π－π3＝tan 0＝0，故函数图象与x 轴的一个交点为⎝⎛⎭⎫23π，0. 5．在(0，2π)内，使 tan x >1 成立的 x 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫π4，π2 B.⎝⎛⎭⎫54π，32π C.⎝⎛⎭⎫π4，π2∩⎝⎛⎭⎫54π，32π D.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫54π，32π 解析：选 D ．因为 x ∈(0，2π)，由正切函数的图象，可得使 tan x >1 成立的 x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫54π，32π. 6．函数y ＝tan(π4＋6x )的定义域为________．解析：由π4＋6x ≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π6＋π24(k ∈Z )．答案：{x |x ≠k π6＋π24，k ∈Z }7．函数y ＝tan(x 2＋π4)，x ∈(0，π6)的值域是________．解析：因为0<x <π6，则π4<x 2＋π4<π3，所以1<tan(x 2＋π4)< 3.答案：(1，3)8．函数 f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调减区间为________．解析：因为 f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，所以原题即求函数 y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的单调增区间．由 k π－π2<x － π4<k π＋π2，k ∈Z ，得 k π－π4<x <k π＋3π4，k ∈Z ，即函数 f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z .答案：⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z9．求函数y ＝tan 2x 的定义域、值域、周期、奇偶性和单调区间．解：设t ＝2x ，(1)定义域：y ＝tan 2x ＝tan t ，要使函数y ＝tan t 有意义，必须且只需t ≠k π＋π2，k ∈Z ， 即2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，所以x ≠k π2＋π4，k ∈Z . 所以函数y ＝tan 2x 的定义域为{x |x ≠k π2＋π4，k ∈Z }． (2)值域：由t ≠k π＋π2，k ∈Z 知y ＝tan t 的值域为(－∞，＋∞)， 即y ＝tan 2x 的值域为(－∞，＋∞)．(3)周期：(定义法)由tan 2(x ＋π2)＝tan(2x ＋π)＝tan 2x ，所以y ＝tan 2x 的周期为π2. (公式法)正切函数y ＝tan 2x 的周期T ＝π|ω|＝π2. (4)奇偶性：定义域关于原点对称．令y ＝f (x )＝tan 2x ，则f (x )满足：f (－x )＝tan(－2x )＝－tan 2x ＝－f (x )，所以y ＝tan 2x 为奇函数．(5)单调区间：y ＝tan t 的单调递增区间为(k π－π2，k π＋π2)，k ∈Z ， 所以y ＝tan 2x 的单调递增区间为(k π2－π4，k π2＋π4)，k ∈Z . 10．比较下列两个正切值的大小：(1)tan 167°，tan 173°；(2)tan ⎝⎛⎭⎫－11π4，tan ⎝⎛⎭⎫－13π5. 解：(1)因为90°<167°<173°<180°，y ＝tan x 在(90°，180°)上为增函数，所以tan 167°<tan 173°.(2)因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π4＝tan π4， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π5＝tan 2π5，且0<π4<2π5<π2，y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数， 所以tan π4<tan 2π5， 即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π4<tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π5. [B 能力提升]11．已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是减函数，则 ( ) A ．0＜ω≤1B ．－1≤ω＜0C ．ω≥1D ．ω≤－1解析：选B.因为y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数， 所以ω＜0且T ＝π|ω|≥π. 所以|ω|≤1，即－1≤ω＜0.12．函数y ＝tan x 2满足下列哪些条件________(填序号)． ①在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增； ②为奇函数；③以π为最小正周期；④定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π4＋k π2，k ∈Z . 解析：令x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 则x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4， 所以y ＝tan x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增正确； tan ⎝⎛⎭⎫－x 2＝－tan x 2，故y ＝tan x 2为奇函数； T ＝πω＝2π，所以③不正确；由x 2≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π＋2k π，k ∈Z ， 所以④不正确．答案：①②13．画出函数y ＝|tan x |＋tan x 的图象，并根据图象求出函数的定义域、值域、单调区间、最小正周期．解：因为y ＝|tan x |＋tan x＝⎩⎪⎨⎪⎧2tan x ，x ∈[k π，π2＋k π），k ∈Z ，0，x ∈（－π2＋k π，k π），k ∈Z ， 所以画出函数y ＝|tan x |＋tan x 的图象，如图所示：则该函数的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠π2＋k π，k ∈Z ， 值域是[0，＋∞)，单调递增区间是[k π，k π＋π2)，k ∈Z ， 最小正周期是π.14．设函数 f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3. (1)求函数的定义域、最小正周期和单调区间．(2)求不等式 f (x )≤ 3 的解集．解：(1)根据函数 f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3，可得x 2－π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得 x ≠2k π＋5π3，k ∈Z . 故函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠2k π＋5π3，k ∈Z . 它的最小正周期为π12＝2π. 令 k π－π2<x 2－π3<k π＋π2，k ∈Z ， 得 2k π－π3<x <2k π＋5π3，k ∈Z . 故函数的增区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋5π3，k ∈Z . (2)求不等式 f (x )≤ 3，即 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3≤ 3， 所以 k π－π2<x 2－π3≤k π＋π3，k ∈Z ， 求得 2k π－π3<x ≤2k π＋4π3，k ∈Z ， 故不等式的解集为⎝⎛⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋4π3，k ∈Z . [C 拓展探究]15．设函数y ＝10tan[(2k －1)·x 5]，k ∈N *.当x 在任意两个连续整数间(包括整数本身)变化时至少有两次失去意义，求k 的最小正整数值．解：由题意可得，当x 在任意两个连续整数间(包括整数本身)变化时，至少包含函数的2个周期，故函数的最小正周期T 满足T ≤12，即π2k －15≤12， 求得k ≥10π＋12，故k 的最小正整数值为17。