高中数学第二章平面向量2.3平面向量的数量积2.3.1向量数量积的物理背景与定义课件新人教B版必修4
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高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的数量积 2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式课件
三角函数的联系,利用向量可以解决有关三角问题.
1
2
3
【做一做3-1】 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则△ABC为(
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.无法判断
解析:由=(1,1),=(-4,2),=(3,-3),
于是 ·=1×3-1×3=0,
即 ⊥ ,
(3)向量的夹角的余弦公式:已知 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则两个向量
a,b 的夹角的余弦为 cos<a,b>=
1 1 +2 2
2
2
21 +22 1 +2
.
归纳总结 1.由向量的长度公式可以发现,引入向量的直角坐标,
建立了向量与解析几何的联系.
2.由两个向量的夹角的余弦的表达式可以发现向量的数量积与
2.向量垂直的坐标表示x1x2+y1y2=0与向量共线的坐标表示x1y2x2y1=0很容易混淆,应仔细比较并熟记,当难以区分时,要从意义上
鉴别,垂直是a·b=0,而共线是方向相同或相反.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】 已知a=(-3,2),b=(-1,0),向量λa+b与a-2b垂直,则实
设 与的夹角为 θ,
则 cos θ=
·
||||
16
4
= 20 = 5,
4
∴矩形 ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为5.
反思用向量法解决几何问题的关键是把有关的边赋予向量,然后
把几何图形中的夹角、垂直、长度等问题都统一为向量的坐标运
算即可,最后再回归到原始几何图形中进行说明.
解析:由|a|2=9+x2=25,解得x=±4.
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2
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【做一做3-1】 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则△ABC为(
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.无法判断
解析:由=(1,1),=(-4,2),=(3,-3),
于是 ·=1×3-1×3=0,
即 ⊥ ,
(3)向量的夹角的余弦公式:已知 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则两个向量
a,b 的夹角的余弦为 cos<a,b>=
1 1 +2 2
2
2
21 +22 1 +2
.
归纳总结 1.由向量的长度公式可以发现,引入向量的直角坐标,
建立了向量与解析几何的联系.
2.由两个向量的夹角的余弦的表达式可以发现向量的数量积与
2.向量垂直的坐标表示x1x2+y1y2=0与向量共线的坐标表示x1y2x2y1=0很容易混淆,应仔细比较并熟记,当难以区分时,要从意义上
鉴别,垂直是a·b=0,而共线是方向相同或相反.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】 已知a=(-3,2),b=(-1,0),向量λa+b与a-2b垂直,则实
设 与的夹角为 θ,
则 cos θ=
·
||||
16
4
= 20 = 5,
4
∴矩形 ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为5.
反思用向量法解决几何问题的关键是把有关的边赋予向量,然后
把几何图形中的夹角、垂直、长度等问题都统一为向量的坐标运
算即可,最后再回归到原始几何图形中进行说明.
解析:由|a|2=9+x2=25,解得x=±4.
平面向量数量积精选全文完整版
4、向量的数量积（内积） 定义： a b cos a,b 叫做向量a和b的数量
积（或内积），记作：a ·b .
即 a ·b = a b cos a,b
说明:
1．数量积a b等于a的长度与b在a方向上正 投影的数量|b|cos的乘积.
2．两个向量的数量积是一个实数，符号由 cos〈a，b〉的符号所决定；而数乘向量是 一个向量。
3．两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位 向量.
(1). e a =a e =|a|cos;
(2). ab a b = 0;
(3). a a = |a|2或 | a | a a
ab (4). cos = | a || b |
；(5).|a b| ≤ |a|.|b| .
练习:判断正误，并简要说明理由: ①a ·0＝0；② 0 ·a＝０； ③0 － AB ＝ BA ； ④ |a·b|＝|a||b|； ⑤若a≠0，则对任一非零b有a ·b≠０； ⑥ a ·b＝０，则a与b中至少有一个为0； ⑦ a与b是两个单位向量，则a 2=b 2.
例2.已知|a|=5，|b|=4，<a,b>=120°，求a ·b.
3
,且a,b的夹角为
6
,求|a+b|;
3.在△ABC中,AB=a,BC=b,且a·b>0,求△ABC
形状.
思考：
已知|a|=3, |b|=5，且a·b=－12，求a在b方向上 的正射影的数量及b在a方向上的正射影的数 量。
〈a ，b〉=π时，a、b反向； 〈a ，b〉= 90°时， a ⊥b. （5）规定：在讨论垂直问题时，零向量与任 意向量垂直.
3、向量在轴上的正射影
（1）概念：
2014年人教A版必修四课件 2.4 平面向量的数量积
则 q =135.
问题1. 向量的数量积与向量的数乘有什么区别? 向量的数量积是向量还是数量? 向量的数乘是一个向量, 而向量的数量积是一个 数量, 是三个数量的乘积. 几何意义: | a | cosq 表示 a 在 b 方向上的投影 (如图), |OC | = | a |cosq . A a a 方向上的投影, | b | cosq 表示 b 在 D | OD | = | b | cosq . q 即 a b =|Байду номын сангаасa | | b | cosq B O C b =OC· OB =OD· OA.
即两向量的夹角为锐角时, 数量积为正, 夹角为钝角时, 数量积为负, 夹角为直角时, 数量积为零.
两非零向量垂直 数量积为零.
练习: (课本106页) 2. 已知△ABC中, AB =a, AC =b, 当 a· b<0 或 a· b=0 时, 试判断△ABC的形状. 解: a b =| a | | b | cos A, 当 a b 0 时, cosA < 0, 则角A为钝角, ∴△ABC为钝角三角形. 当 a b = 0 时, cosA = 0, 则角A为直角, ∴△ABC为直角三角形.
练习: (课本106页) 3. 已知 |a|=6, e 为单位向量, 当 a、e 之间的夹角 q 分别等于 45、90、135 时, 画图表示 a 在 e 方向 上的投影, 并求其值. 解: 各图中的投影用OA表示. | a |= 6 (1) 当q =45º 时, | a |= 6 2 45º OA = | a | cos 45= 6 O 2 A e =3 2 . (1) O e (A) (2) 当q =90º 时, (2) OA = | a | cos 90=0. | a |= 6
高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积(1)课件新人教A版必修4
解析(jiě xī)： A中若a⊥b，则有a·b＝0，不一定有a＝0或b＝0. C中当|a|＝|b|时，a2＝b2，此时不一定有a＝b或a＝－b. D中当a＝0时，a·b＝a·c，不一定有b＝c. 答案： B
第十页，共35页。
3．已知向量a，b满足(mǎnzú)|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为 ________．
第十六页，共35页。
解析： (1)a·b＝|a||b|cos 120°＝3×4×－12＝－6. (2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.
(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|·cos 120°－3|b|2＝2×32＋
5×3×4×－12－3×42＝－60.
第三十一页，共35页。
[拓展练]☆ 3．(1)已知向量 a，b 满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则 a 与 b 的夹角为________； (2)已知非零向量 a，b 满足 a＋3b 与 7a－5b 互相垂直，a－4b 与 7a－2b 互 相垂直，求 a 与 b 的夹角．
第六页，共35页。
2．数量积的几何意义及数量积的符号
(1)按照投影的定义，非零向量 b 在 a 方向上的投影为|b|cos θ，其具体情况，
我们也可以借助下面图形分析：
θ 的范围
θ＝0° 0°<θ<90° θ＝90° 90°<θ<180° θ＝180°
图形
b 在 a 上的 投影的正负
正数
正数
0
第七页，共35页。
|2a＋b|2＝(2a＋b)(2a＋b)＝4|a|2＋|b|2＋4a·b＝4|a|2＋|b|2＋4|a||b|cos 60°＝175. ∴|2a＋b|＝5 7.
第十页，共35页。
3．已知向量a，b满足(mǎnzú)|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为 ________．
第十六页，共35页。
解析： (1)a·b＝|a||b|cos 120°＝3×4×－12＝－6. (2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.
(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|·cos 120°－3|b|2＝2×32＋
5×3×4×－12－3×42＝－60.
第三十一页，共35页。
[拓展练]☆ 3．(1)已知向量 a，b 满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则 a 与 b 的夹角为________； (2)已知非零向量 a，b 满足 a＋3b 与 7a－5b 互相垂直，a－4b 与 7a－2b 互 相垂直，求 a 与 b 的夹角．
第六页，共35页。
2．数量积的几何意义及数量积的符号
(1)按照投影的定义，非零向量 b 在 a 方向上的投影为|b|cos θ，其具体情况，
我们也可以借助下面图形分析：
θ 的范围
θ＝0° 0°<θ<90° θ＝90° 90°<θ<180° θ＝180°
图形
b 在 a 上的 投影的正负
正数
正数
0
第七页，共35页。
|2a＋b|2＝(2a＋b)(2a＋b)＝4|a|2＋|b|2＋4a·b＝4|a|2＋|b|2＋4|a||b|cos 60°＝175. ∴|2a＋b|＝5 7.
高中数学第二章 2.3.1向量数量积的物理背景与定义
(2)当 a⊥b 时，θ＝90° ，∴a· b＝|a|· |b|cos 90° ＝0.
(3)当 a 与 b 的夹角为 30° 时，a· b＝|a|· |b|cos 30° 3 ＝4×5× 2 ＝10 3. 小结 求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，
θ∈[0° ，180° ]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a· b＝ |a|· cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“· |b|· ”连结， 而不能用“×”连结，也不能省去．
2.3.1
2． 向量的数量积与实数的乘积既有区别又有联系， 概念内涵更 丰富， 计算更复杂， 实数乘法中的一些运算律在向量的数量
本 课 时 栏 目 开 关
积中已经不再成立，不宜作简单类比，照搬照抄．书写格式 也要严格区分，a· 中的“· b ”不能省略． 3．由 a· 的定义，不难发现 a 与 b 的数量积是一个数量，其中 b 决定整个式子的正负符号的关键是 θ 的值.
4． 已知正三角形 ABC 的边长为 1，求： → → → → (1)AB· ；(2)AB· ； AC BC → → (3)BC· . AC → → 解 (1)∵AB与AC的夹角为 60° . 1 1 → → → → ∴AB· ＝|AB||AC|cos 60° AC ＝1×1×2＝2. → → (2)∵AB与BC的夹角为 120° .
本 课 时 栏 目 开 关
C＝90° . 5 cos B＝ ， 13 → → ∴cos〈AB，BC〉＝cos(180° －B) 5 ＝－cos B＝－13. → → → → ∴AB· ＝|AB|· |cos(180° BC |BC －B) 5 ＝13×5×－13＝－25.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
本 课 时 栏 目 开 关
向量的数量积ppt课件
同学提供进一步学习的机会
。
依据教学的直观性原则和启发性原则，
结合学生的学习策略的特点
向量的数量积（1）
1.向量的夹角
例1.
2.数量积的定义
例2.
3.投影向量
4.数量积的性质
目 录
23
教材分析
学情分析
教学目标设定
教学策略分析
教学过程设计
板书设计
感谢倾听
敬请指正
，求a b.
3
例2 设a 12，
b 9, a b 54 2，求a与b的夹角.
环节三 引入投影向量，挖掘几何意义
1.创设数学情境，发现投影向量
问题5：
学生独立思考，
主动探究
设计意图
三组数量
积相等，引发
学生思考，发
现投影向量.
环节三 引入投影向量，挖掘几何意义
2.借助几何直观，探究投影向量表达
b
N
环节三 引入投影向量，挖掘几何意义
3.结合几何意义，体会投影作用
椭圆具有什么对称性
设计意图
结合物理中力做功
的实例，让学生更为深
刻地体会投影作用。在
投影向量的背景下，数
量积有更灵活的处理方
法，几何意义也更丰富。
引入投影向量将不共线
的向量的数量积转化为
共线向量的数量积，体
会一般和特殊的转化.
环节四 设置开放问题，探究几何性质
补充和提示，学生在推导过程中理解并记
忆这些性质.
a, b 反向 a b | a | | b |
（4）| a b || a | | b |
杜威主张的“在做中学”的教育
理念；艾宾浩斯的遗忘曲线
。
依据教学的直观性原则和启发性原则，
结合学生的学习策略的特点
向量的数量积（1）
1.向量的夹角
例1.
2.数量积的定义
例2.
3.投影向量
4.数量积的性质
目 录
23
教材分析
学情分析
教学目标设定
教学策略分析
教学过程设计
板书设计
感谢倾听
敬请指正
，求a b.
3
例2 设a 12，
b 9, a b 54 2，求a与b的夹角.
环节三 引入投影向量，挖掘几何意义
1.创设数学情境，发现投影向量
问题5：
学生独立思考，
主动探究
设计意图
三组数量
积相等，引发
学生思考，发
现投影向量.
环节三 引入投影向量，挖掘几何意义
2.借助几何直观，探究投影向量表达
b
N
环节三 引入投影向量，挖掘几何意义
3.结合几何意义，体会投影作用
椭圆具有什么对称性
设计意图
结合物理中力做功
的实例，让学生更为深
刻地体会投影作用。在
投影向量的背景下，数
量积有更灵活的处理方
法，几何意义也更丰富。
引入投影向量将不共线
的向量的数量积转化为
共线向量的数量积，体
会一般和特殊的转化.
环节四 设置开放问题，探究几何性质
补充和提示，学生在推导过程中理解并记
忆这些性质.
a, b 反向 a b | a | | b |
（4）| a b || a | | b |
杜威主张的“在做中学”的教育
理念；艾宾浩斯的遗忘曲线
高一数学必修4课件：2-4-1平面向量数量积的物理背景及其含义
第二章
2.4 2.4.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[破疑点](1)已知实数 a，b，c(b≠0)，则 ab＝bc⇒a＝c.但 对向量的数量积，该推理不正确，即 a· b＝b· a＝c. c⇒/ (2)对于实数 a，b，c 有(ab)c＝a(bc)；但对于向量 a，b，c， (a· b)c＝a(b· c)未必成立． 这是因为(a· 表示一个与 c 共线的向 b)c 量，而 a(b· c)表示一个与 a 共线的向量，而 c 与 a 不一定共线， 所以(a· b)c＝a(b· c)未必成立．
2
∴|a＋b|＝ 3|a|. 设a与a＋b的夹角为θ， 1 2 a· a＋b |a| ＋2|a| 3 则cosθ＝ ＝ ＝2. |a||a＋b| 3|a||a|
2
第二章
2.4 2.4.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
∵0° ≤θ≤180° ，∴θ＝30° .
第二章
2.4 2.4.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
a· b＝|a||b|cos150° ＝－6 3.
∵(a－b)2＝|a|2－2a· b＋|b|2＝25＋12 3. ∴|a＋b|＝ a＋b2＝ |a|2＋2a· b＋|b|2 ＝ 25－12 3， 即|a＋b|＝ 25－12 3.
第二章
2.4 2.4.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
已知|a|＝8，|b|＝1，a· b＝8，则a与b的夹角θ＝________.
[答案]
[解析]
0
a· b cosθ＝|a||b|＝1，又θ∈[0，π]，则θ＝0.
第二章
2.4 2.4.1
平面向量数量积的物理背景及其含义
ab=|a| |b| cosθ
为正; 当0°≤θ < 90°时ab为正; ° ° 为正 为负. 当90°<θ ≤180°时ab为负. ° ° 为负 为零. 当θ =90°时ab为零. ° 为零
e b 设 a, 是非零向量, 是与 方向相同的 b 是非零向量,
单位向量, a e 的夹角, 单位向量, 是 与 的夹角,则 θ
a b =
|
a
| |
b
| c o s
θ
(1)e a = a e =| a | cosθ
(2)a ⊥ b a b = 0 (3)当a与b同向时,a b =| a || b |;
b
O
B
θ B1 a
A
当a与b 向时,a b = | a || b |;
2
a a =| a |
a b (4) cosθ = | a || b |
平面向量的数量积及运算律 数量积的运算律: 数量积的运算律:
(1)a b = b a (2)(λa) b = λ(a b) = a (λb) (3)(a + b) c = a c + b c
其中, 其中, , , 是任意三个向量, ∈R a b c是任意三个向量, λ 注:1 (a b) c ≠ a (b c) ,
平面向量的数量积及运算律
过点B作 OB 作OA = a, = b ,过点 作 BB1 垂直于直线OA,垂足为 B1,则 OB1 = | b | cosθ 垂直于直线 , | b | cosθ叫向量 在a 方向上的投影 叫向量b 方向上的投影 叫向量 B B B b b b
θ
O a BA 1 θ为锐角时, 为锐角时, 为锐角时 | b | cosθ>0
平面向量数量积的物理背景及其含义
平面向量数量积的物理背景及其含义在我们的日常生活中，有些东西就像水和空气，虽然看不见，但却无时无刻不在影响着我们。
就拿平面向量的数量积来说吧，听起来可能有点儿复杂，其实它就是一种简单又有趣的概念，来，咱们一起聊聊这件事。
想象一下，你在操场上跟朋友打篮球。
你投篮的时候，用力的角度、力量的大小，都会影响到篮球的飞行轨迹。
数量积就像是你在这场游戏里的秘密武器，能帮助你理解这股力量和方向的结合。
简单点说，数量积就是把两个向量结合在一起，得出一个数值，告诉你这两个向量之间的关系。
比如，力的方向和移动的方向，如果你力气大但方向错了，那球就算飞得再快，也未必能进篮。
这就好比你走路的时候，前面有个障碍，你必须调整自己的方向，不然就撞上去了。
再举个例子，你在海边晒太阳，风在吹，你的沙滩椅子被风推得摇摇晃晃。
这个时候，你得考虑风的方向和力量，才能舒服地躺在那里。
如果你朝着风的方向靠，就算风再大，也不会把你推倒。
数量积就像是这个时候的指南针，告诉你该如何调整自己，才能迎风而行。
这种感觉真的是妙不可言，恰如其分。
说到这里，你可能会想，这个数量积到底有什么用呢？嘿，别小看它。
它在物理学、工程学和计算机科学中，都起着至关重要的作用。
拿物理来说，力和位移的数量积，能直接帮我们算出做功的大小。
这就意味着，咱们可以通过简单的计算，明白做事情的效率。
想想看，如果你在搬家，要搬一个重重的箱子，你使出的力气和箱子移动的方向正好一致，结果就是一口气就能把它搬上车。
但要是你使力的方向偏了，可能搬半天也没动，这可就太尴尬了。
再看看工程领域，设计师们在绘制建筑图纸的时候，数量积也能大显身手。
想要确保建筑的稳定性和安全性，设计师得考虑每一个结构的受力情况。
而数量积恰好能帮助他们判断，哪个方向的力量最大，从而做出最好的设计选择。
这就像是在搭积木，搭得越稳，玩得越开心。
再说计算机科学，这可是个神奇的领域。
机器学习、计算机图形学中，数量积用得相当频繁。
平面向量的数量积及其物理背景
| b | cosθ＞0
B1 O
aA
θ为钝角时，
| b | cosθ＜0
O(B1 ) a
A
θ为直角时， | b | cosθ=0
讨论总结性质
（１）a⊥b a ·b=0 (.判断两向量垂直的依据) （２）当a与b同向时，a·b ＝ | a | ·| b |；
当a与b反向时，a·b＝ －| a | ·| b |.
写成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算．
几何意义
物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方
向上的力做功．
F
θ
作OA a，OB b ，过点B作 BB1
s
垂直于| 直b |线coOsθA叫，向垂量足b为在Ba1方，向则上O的B1投影| b．| cosθ B
B
B
b
b
b
O
a B1 A
θ为锐角时，
，把数量| a || b | cos 叫做a 与b 的数量积
（或内积），记作a ·b ，即
a b | a || b | cos
a b | a || b | cos
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即a 0 0．
（1）两向量的数量积是一个数量，而不 是向量，符号由夹角决定；
（2） a ·b中间的“ · ”不能省略，也不能
√
例4 . 已知︱a︱＝3，︱b︱＝4，且a与b不共线。求 当k为何值时，向量a＋kb与a－kb互相垂直？
特别地， a a | a |2 或 | a | a a.
（３）a ·b ≤| a | ·| b |.
（４） cos a b .
a b
运算律
类比实数的乘法运算律：
交换律：a b b a 结合律：a (b c) (a b)c 分配律：a (b c) a b a c