2020-2021郑州市高二数学上期末试卷(含答案)
2020-2021郑州市高二数学上期末试卷(含答案)一、选择题1．执行如图所示的程序框图，若输入8x =，则输出的y 值为（ ）A ．3B ．52C ．12D ．34-2．执行如图的程序框图，如果输入72m =，输出的6n =，则输入的n 是（ ）A ．30B ．20C ．12D ．83．学校为了解新课程标准提升阅读要求对学生阅读兴趣的影响情况，随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制学生周末阅读时间的频率分布直方图如图所示：将阅读时间不低于30分钟的观众称为“阅读霸”，则下列命题正确的是（）A．抽样表明，该校有一半学生为阅读霸B．该校只有50名学生不喜欢阅读C．该校只有50名学生喜欢阅读D．抽样表明，该校有50名学生为阅读霸4．《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m的值为67，则输入a的值为()A．7B．4C．5D．115．高二某班共有学生60名，座位号分别为01, 02, 03，···, 60.现根据座位号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本.已知03号、18号、48号同学在样本中，则样本中还有一个同学的座位号是（）A．31号B．32号C．33号D．34号6．把化为五进制数是（）A．B．C．D．7．如图是某手机商城2018年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图（如：第三季度华为销量约占50%，苹果销量约占20%，三星销量约占30%）．根据该图，以下结论中一定正确的是（）A ．华为的全年销量最大B ．苹果第二季度的销量大于第三季度的销量C ．华为销量最大的是第四季度D ．三星销量最小的是第四季度8．要从其中有50个红球的1000个形状相同的球中，采用按颜色分层抽样的方法抽取100个进行分析，则应抽取红球的个数为（ ） A ．5个B ．10个C ．20个D ．45个9．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化、相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被3sin6y x π=的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A ．136B ．118C ．112D ．1910．根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 关于x 的线性回归方程是9944y x =+，则表中m 的值为( ) x 8 10 1112 14 y2125m2835A ．26B ．27C ．28D ．2911．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如40337=+.（注：如果一个大于1的整数除1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数.）在不超过11的素数中，随机选取2个不同的数，其和小于等于10的概率是（ ）A ．12B ．13C ．14D ．1512．小赵和小王约定在早上7:00至7:15之间到某公交站搭乘公交车去上学，已知在这段时间内，共有2班公交车到达该站，到站的时间分别为7:05，7:15，如果他们约定见车就搭乘，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为（ ） A ．13B ．49C ．59D ．23二、填空题13．执行如图所示的程序框图，若输入的1,7s k ==则输出的k 的值为_______．14．期末考试结束后，某老师随机抽取了本班五位同学的数学成绩进行统计，五位同学平均每天学习数学的时间t （分钟）与数学成绩y 之间的一组数据如下表所示： 时间t （分钟） 30 40 7090 120 数学成绩y3548m8292通过分析，发现数学成绩y 与学习数学的时间t 具有线性相关关系，其回归方程为0.715ˆyt =+，则表格中的m 的值是___． 15．如图是某算法流程图，则程序运行后输出S 的值为____．16．已知某产品连续4个月的广告费i x （千元）与销售额i y （万元）（1,2,3,4i =）满足4115ii x==∑，4112i i y ==∑，若广告费用x 和销售额y 之间具有线性相关关系，且回归直线方程为^y bx a =+，0.6b =，那么广告费用为5千元时，可预测的销售额为___万元. 17．从边长为4的正方形ABCD 内部任取一点P ，则P 到对角线AC 2的概率为________.18．在棱长为2 的正方体内任取一点，则此点到正方体中心的距离不大于1的概率为_____．19．父亲节小明给爸爸从网上购买了一双运动鞋，就在父亲节的当天，快递公司给小明打电话话说鞋子已经到达快递公司了，马上可以送到小明家，到达时间为晚上6点到7点之间，小明的爸爸晚上5点下班之后需要坐公共汽车回家，到家的时间在晚上5点半到6点半之间．求小明的爸爸到家之后就能收到鞋子的概率（快递员把鞋子送到小明家的时候，会把鞋子放在小明家门口的“丰巢”中）为 __________．20．在区间[,]-ππ内随机取出两个数分别记为a 、b ，则函数222()2f x x ax b π=+-+有零点的概率为__________．三、解答题21．随着经济的发展，轿车已成为人们上班代步的一种重要工具.现将某人三年以来每周开车从家到公司的时间之和统计如图所示.（1）求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和在[)6.5,7.5（时）内的频率； （2）求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和的平均数（每组取该组的中间值作代表）；（3）以频率估计概率，记此人在接下来的四周内每周开车从家到公司的时间之和在[)4.5,6.5（时）内的周数为X ，求X 的分布列以及数学期望.22．某学校艺术专业300名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：(1)从总体的300名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数； (3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．23．随着手机的普及，大学生迷恋手机的现象非常严重.为了调查双休日大学生使用手机的时间，某机构采用不记名方式随机调查了使用手机时间不超过10小时的50名大学生，将50人使用手机的时间分成5组：(]0,2，(]2,4，(]4,6，(]6,8，(]8,10分别加以统计，得到下表，根据数据完成下列问题：使用时间/时 (]0,2(]2,4(]4,6(]6,8(]8,10大学生/人51015128（1）完成频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计大学生使用手机时间的中位数（保留小数点后两位）；（2）用分层抽样的方法从使用手机时间在区间(]0,2，(]2,4，(]4,6的大学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人取自不同使用时间区间的概率.24．为庆祝党的98岁生日，某高校组织了“歌颂祖国，紧跟党走”为主题的党史知识竞赛。
从参加竞赛的学生中，随机抽取40名学生，将其成绩分为六段[)70,75，[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[]95,100，到如图所示的频率分布直方图.（1）求图中a 的值及样本的中位数与众数；（2）若从竞赛成绩在[)70,75与[]95,100两个分数段的学生中随机选取两名学生，设这两名学生的竞赛成绩之差的绝对值不大于5分为事件M ,求事件M 发生的概率. 25．我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100个家庭的月均用水量（单位：t ），将数据按照[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）记事件A ：“全市家庭月均用水量不低于6t ”，求()P A 的估计值；（2）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，求全市家庭月均用水量平均数的估计值（精确到0.01）；（3）求全市家庭月均用水量的25%分位数的估计值（精确到0.01）.26．在最强大脑的舞台上，为了与国际X 战队PK ，假设某季Dr.魏要从三名擅长速算的选手A 1,A 2,A 3，三名擅长数独的选手B 1,B 2,B 3，两名擅长魔方的选手C 1,C 2中各选一名组成中国战队.假定两名魔方选手中更擅长盲拧的选手C 1已确定入选，而擅长速算与数独的选手入选的可能性相等. (Ⅰ)求A 1被选中的概率； (Ⅱ)求A 1,B 1不全被选中的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是利用循环计算y 值并输出，模拟程序的运行过程，直到达到输出条件即可. 【详解】输入8，第一次执行循环：3y =，此时5y x -=， 不满足退出循环的条件，则3x =，第二次执行循环：12y =，此时52y x -=， 满足退出循环的条件，故输出的y 值为12，故选C . 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.2．A解析：A 【解析】从流程图看，该程序是利用辗转相除法计算,m n 的最大公约数.题设中已知72m =，输入的数为n ，程序给出了它们的最大公约数为6，比较四个数，只有72,30的最大公约数为6，故输入的数n 的值为30，选A. 3．A解析：A 【解析】 【分析】根据频率分布直方图得到各个时间段的人数，进而得到结果. 【详解】根据频率分布直方图可列下表：故选A. 【点睛】这个题目考查了频率分布直方图的实际应用，以及样本体现整体的特征的应用，属于基础题.4．C解析：C 【解析】模拟程序框图的运行过程，如下：输入a ，23m a =-，1i =，()223349m a a =--=-；2i =，()2493821m a a =--=-； 3i =，()282131645m a a =--=-；4i =，()2164533293m a a =--=-；输出3293m a =-，结束； 令329367a -=，解得5a =. 故选C.5．C解析：C【解析】【分析】÷，即可根据第一组所求编号，求出各组所抽编号.根据系统抽样知，组距为604=15【详解】÷，学生60名，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本,所以组距为604=15+=号，已知03号，18号被抽取，所以应该抽取181533故选C.【点睛】本题主要考查了抽样，系统抽样，属于中档题.6．B解析：B【解析】【分析】利用倒取余数法可得化为五进制数.【详解】因为所以用倒取余数法得323，故选：B.【点睛】本题考查十进制数和五进制数之间的转化，利用倒取余数法可解决此类问题.7．A解析：A【解析】【分析】根据图象即可看出，华为在每个季度的销量都最大，从而得出华为的全年销量最大，从而得出A正确；由于不知每个季度的销量多少，从而苹果、华为和三星在哪个季度的销量大或小是没法判断的，从而得出选项B，C，D都错误．【详解】根据图象可看出，华为在每个季度的销量都最大，所以华为的全年销量最大；每个季度的销量不知道，根据每个季度的百分比是不能比较苹果在第二季度和第三季度销∴，量多少的，同样不能判断华为在哪个季度销量最大，三星在哪个季度销量最小；B C，D都错误，故选A．【点睛】本题主要考查对销量百分比堆积图的理解．8．A【解析】应抽取红球的个数为5010051000⨯= ，选A. 点睛：在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝n ∶N .9．B解析：B 【解析】设大圆的半径为R ，则：126226T R ππ==⨯=， 则大圆面积为：2136S R ππ==，小圆面积为：22122S ππ=⨯⨯=，则满足题意的概率值为：213618p ππ==. 本题选择B 选项.点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，据此求解几何概型即可.10．A解析：A 【解析】 【分析】首先求得x 的平均值，然后利用线性回归方程过样本中心点求解m 的值即可． 【详解】 由题意可得：810111214115x ++++==，由线性回归方程的性质可知：99112744y =⨯+=， 故21252835275m++++=，26m ∴=．故选：A ． 【点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x 与y 之间的关系，这条直线过样本中心点．11．A解析：A【分析】先列出不超过11的素数,再列举出随机选取2个不同的数的情况,进而找到和小于等于10的情况,即可求解 【详解】不超过11的素数有:2,3,5,7,11,共有5个, 随机选取2个不同的数可能为:()2,3,()2,5,()2,7,()2,11,()3,5,()3,7,()3,11,()5,7,()5,11,()7,11,共有10种情况, 其中和小于等于10的有:()2,3,()2,5,()2,7,()3,5,()3,7,共有5种情况, 则概率为51102P , 故选:A 【点睛】本题考查列举法求古典概型的概率,属于基础题12．C解析：C 【解析】 【分析】设小赵到达汽车站的时刻为x ，小王到达汽车站的时刻为y ，根据条件建立二元一次不等式组，求出对应的区域面积，结合几何概型的概率公式进行计算即可． 【详解】如图，设小赵到达汽车站的时刻为x ，小王到达汽车站的时刻为y ， 则0≤x≤15，0≤y≤15，两人到达汽车站的时刻（x ，y ）所对应的区域在平面直角坐标系中画出（如图所示）是大正方形．将2班车到站的时刻在图形中画出，则两人要想乘同一班车，必须满足{（x ，y ）|0505x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，或515515x y ≤⎧⎨≤⎩＜＜}，即（x ，y ）必须落在图形中的2个带阴影的小正方形内，则阴影部分的面积S=5×5+10×10=125， 则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率P=1251515⨯=59，【点睛】本题主要考查几何概型的概率公式的应用，根据条件求出对应区域的面积是解决本题的关键．二、填空题13．5【解析】【分析】模拟执行程序框图依次写出每次循环得到的的值当时根据题意退出循环输出结果【详解】模拟执行程序框图可得；；；；此时退出循环输出结果故答案为5【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题涉及到解析：5 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的,s k 的值，当5,58s k ==时，根据题意，退出循环，输出结果. 【详解】模拟执行程序框图，可得1,7S k ==；771,688s k =⋅==；763,5874s k =⋅==；355,5468s k =⋅==； 此时，57810<，退出循环，输出结果， 故答案为5. 【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有计算循环结构程序框图输出结果的问题，属于简单题目.14．63【解析】回归方程过样本中心点则：即：解得：点睛：(1)正确理解计算的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键(2)回归直线方程必过样本点中心解析：63 【解析】30407090120705x ++++==回归方程过样本中心点，则：0.7701564y =⨯+=， 即：35488292645m ++++=，解得：63m =.点睛：(1)正确理解计算,b a 的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键． (2)回归直线方程y bx a =+必过样本点中心(),x y ．15．41【解析】【分析】根据给定的程序框图计算逐次循环的结果即可得到输出的值得到答案【详解】由题意运行程序框图可得第一次循环不满足判断框的条件；第二次循环不满足判断框的条件；第三次循环不满足判断框的条件解析：41 【解析】 【分析】根据给定的程序框图，计算逐次循环的结果，即可得到输出的值，得到答案。
2020-2021学年河南省郑州市郊县高二(下)期末数学试卷(理科)
2020-2021学年河南省郑州市郊县高二（下）期末数学试卷（理科）试题数：23，总分：1501.（单选题，5分）| $\frac{1+2i}{2-i}$ |=（）A.1B. $\sqrt{5}$C. $\frac{5}{3}$D. $\frac{\sqrt{5}}{5}$2.（单选题，5分）若f（x）=cos（x+ $\frac{π}{3}$），则f′（ $\frac{π}{6}$）=（）A.1B.-1C.- $\frac{1}{2}$D.03.（单选题，5分）新型冠状病毒的潜伏期X（单位：日）近似服从正态分布N（7，σ2），若P（X≤3）=0.128，则可以估计潜伏期大于或等于11天的概率为（）A.0.372B.0.256C.0.128D.0.7444.（单选题，5分）给出下列说法：① 若某大学中女大学生的体重y（单位：kg关于身高x（单位：cm）的线性回归方程为$\hat{y}$ =0.849x-85，则当某女大学生身高为172cm时，其体重一定是61.028kg；② 线性回归方程 $\hat{y}$ = $\hat{b}$ x+ $\hat{a}$ 一定过样本点的中心（ $\overline{x}$ ，$\overline{y}$ ）；③ 若两个随机变量的线性相关性越强则相关系数r的值越接近于1；④ 在残差图中，残差点比较均匀落在水平的带状区域中即可说明选用的模型比较合适，且带状区域的宽度越宽，说明模型拟合精度越高；⑤ 在线性回归模型中，相关指数R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归的效果越好．其中正确的个数为（）A.1B.2C.3D.45.（单选题，5分）从分别标有0，1，2，…，9的10张卡片中不放回的随机抽取2次，每次抽取1张，则在第一次抽到的卡片标有奇数的条件下第二次抽到的卡片标有偶数的概率是（）A. $\frac{5}{18}$B. $\frac{5}{9}$C. $\frac{4}{9}$D. $\frac{7}{9}$6.（单选题，5分）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学某校园学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，且排课时“射”必须在“御”的后面，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（）A.120种B.240种C.480种D.360种7.（单选题，5分）若（1+ $\frac{1}{{x}^{2}}$ ）（1+x）n的展开式中各项系数之和为128，则x2的系数为（）A.15B.20C.30D.358.（单选题，5分）下列说法中正确的是（）A.哥德巴赫猜想属于类比推理B.由平面内不共线的三点确定一个圆可以猜想空间中不共面的四点确定一个球，这是归纳推理C.演绎推理三段论中，若大前提错则结论必然错，若大前提正确则结论必然正确D.反证法是间接证明的一种基本方法，其理论依据是原命题和其逆否命题真假性相同9.（单选题，5分）用数学归纳法证明不等式 $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$ +…+ $\frac{1}{{2}^{n-1}}＞\frac{n}{2}-1$ （n∈N*，n＞1）时，以下说法正确的是（）A.第一步应该验证当n=1时不等式成立B.从“n=k到n=k+1”左边需要增加的代数式是 $\frac{1}{{2}^{k}}$C.从“n=k到n=k+1”左边需要增加（2k-1-1）项D.从“n=k到n=k+1”左边需要增加2k-1项10.（单选题，5分）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”．若将这些数字依次排列构成数列1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，则此数列的第2021项为（）A. ${C}_{63}^{3}$B. ${C}_{63}^{4}$C. ${C}_{64}^{3}$D. ${C}_{64}^{4}$11.（单选题，5分）已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}x\frac{x}{lnx}，x＞1\\{x}^{3}-3x+1，x≤1\end{array}\right.$ ，若方程f（x）=k至少有三个不同的实根，则实数k的取值范围为（）A.（e，3）B.（e，3]C.[e，3]D.[e，3）12.（单选题，5分）函数g（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（1）=0，当x＞0时，xg（x）-f（x）＜0，则使得f（x）＜0成立的x的取值范围是（）A.（-∞，-1）∪（0，1）B.（0，1）∪（1，+∞）C.（-∞，-1）∪（-1，0）D.（-1，0）∪（1，+∞）13.（填空题，5分）已知a＞0，则 ${\int }_{0}^{a}\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}dx$ =___ ．14.（填空题，5分）2020年我国进行了第七次全国人口普查，“大国点名，没你不行”．在此次活动中，某学校有6名教师报名成为志愿者，现在有3个不同的社区需要进行普查工作，从这6名志愿者中选派4名，每人去1个社区，每个社区至少有1名志愿者，则不同的选派方案有 ___ 种．15.（填空题，5分）在圆内画1条直线，将圆分割成两部分；画2条相交直线，将圆分割成4部分；画3条直线，将圆最多分割成7部分；画4条直线，将圆最多分割成11部分；…；那么在圆内画10条直线，将圆最多分割成 ___ 部分．16.（填空题，5分）若函数f（x）=2x3-ax2+b在[0，1]上的最小值为-1，最大值为1，则a+b=___ ．17.（问答题，12分）已知曲线f（x）= $\frac{2}{x}$ ．求：（1）曲线f（x）在点P（1，2）处的切线方程；（2）过点Q（-3，2）的曲线f（x）的切线方程．18.（问答题，12分）已知函数f（x）=x3-12x+6．（1）求函数f（x）的极值；（2）若函数g（x）=f（x）-a在区间[-5，5]上有三个不同的零点，求实数a的取值范围．19.（问答题，12分）在一次抽样调查中测得5个样本点，得到如表及相关数据．i（1）请从相关系数的角度，分析y=a+bx与=c+k•x-1哪一个适宜作为y关于x的回归方程类型；（2）根据（1）的判断结果试建立y与x的回归方程（计算结果精确到0.01）；（3）在（2）的条件下，设z=y-x且x∈[4，+∞），试求z的最大值（计算结果精确到0.01）．参考公式：回归方程 $\hat{y}$ = $\hat{b}$ x+ $\hat{a}$ 中， $\hat{b}$ =$\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})-({y}_{i}-\overline{y})}{\sum\limits_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})^{2}}$ ； $\hat{a}$ =$\overline{y}$ - $\hat{b}$ $\overline{x}$ ，相关系数r=$\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})({y}_{i}-\overline{y})}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})^{2}\sum\limits_{i=1}^{n}({y}_{i}-\overline{y})^{2}}}$ ．20.（问答题，12分）某中学为了促进学生对数学文化的了解，举办了一系列的活动，其中一项是在各班内进行数学家和其国籍的连线游戏，且为一一对应的关系，参加连线的同学每连对一个得1分，连错得0分．（1）假定某学生对这些数学家没有了解，只是随机地连线，试求该学生得分X的分布列和数学期望；（2）若某同学的得分X≥2，则称这位同学“对数学文化了解较好”；若得分X＜2，则称这位同学“对数学文化了解较差”．某数学老师为了判断学生对数学文化的了解程度是否与学生性别有关，统计了本年级600名学生在本次连线游戏中的得分情况，得到如下2×2列联表，请根据列联表，判断是否有95%的把握认为学生对数学文化的了解程度与学生性别有关？男生女生合计得分X≥2280 120 400得分X＜2 120 80 200 合计400 200 600P（K2≥k0）0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.82821.（问答题，12分）已知函数f（x）=e x-a（x+2），其中e为自然对数的底数，a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥ $\frac{1}{4}{x}^{3}+\frac{1}{2}{x}^{2}$ +1-2a在[0，+∞）上恒成立，求a 的取值范围．22.（问答题，10分）在平面直角坐标系中，直线l过点M（2，0），倾斜角为α，以直角坐标系的坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=ρcos2θ+4cosθ．（1）写出直线l的一个参数方程，并求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于不同两点A，B且 $\overrightarrow{MA}$ =-2$\overrightarrow{MB}$ ，求直线l的直角坐标方程．23.（问答题，0分）已知a，b，c均为正实数，且a+b+c=1，求证：（1） $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}≤\sqrt{3}$ ；（2） $\frac{1}{2a+1}+\frac{1}{2b+1}+\frac{1}{2c+1}≥\frac{9}{5}$ ．2020-2021学年河南省郑州市郊县高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析试题数：23，总分：1501.（单选题，5分）| $\frac{1+2i}{2-i}$ |=（）A.1B. $\sqrt{5}$C. $\frac{5}{3}$D. $\frac{\sqrt{5}}{5}$【正确答案】：A【解析】：根据已知条件，结合复数模的公式，即可求解．【解答】：解： $|\frac{1+2i}{2-i}|=\frac{|1+2i|}{|2-i|}=\frac{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}{\sqrt{{2}^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=1$ ．故选：A．【点评】：本题考查了复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．2.（单选题，5分）若f（x）=cos（x+ $\frac{π}{3}$），则f′（ $\frac{π}{6}$）=（）A.1B.-1C.- $\frac{1}{2}$D.0【正确答案】：B【解析】：先求f′（x）再把 $\frac{π}{6}$代入即可解决此题．【解答】：解：∵f′（x）=-sin（x+ $\frac{π}{3}$），∴f′（ $\frac{π}{6}$）=-sin$\frac{π}{2}$ =-1．故选：B．【点评】：本题考查导数运算，考查数学运算能力，属于基础题．3.（单选题，5分）新型冠状病毒的潜伏期X（单位：日）近似服从正态分布N（7，σ2），若P（X≤3）=0.128，则可以估计潜伏期大于或等于11天的概率为（）A.0.372B.0.256C.0.128D.0.744【正确答案】：C【解析】：利用正态分布曲线的对称性分析求解即可．【解答】：解：因为μ=7，所以P（X≥11）=P（X≤3）=0.128．故选：C．【点评】：本题考查了正态分布曲线的应用，解题的关键是掌握正态分布曲线的对称性，考查了运算能力，属于基础题．4.（单选题，5分）给出下列说法：① 若某大学中女大学生的体重y（单位：kg关于身高x（单位：cm）的线性回归方程为$\hat{y}$ =0.849x-85，则当某女大学生身高为172cm时，其体重一定是61.028kg；② 线性回归方程 $\hat{y}$ = $\hat{b}$ x+ $\hat{a}$ 一定过样本点的中心（ $\overline{x}$ ，$\overline{y}$ ）；③ 若两个随机变量的线性相关性越强则相关系数r的值越接近于1；④ 在残差图中，残差点比较均匀落在水平的带状区域中即可说明选用的模型比较合适，且带状区域的宽度越宽，说明模型拟合精度越高；⑤ 在线性回归模型中，相关指数R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归的效果越好．其中正确的个数为（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】：B【解析】：利用线性回归方程的特点及两个变量的相关性与相关系数的关系判断可得．【解答】：解：对于① ，把x=172 代入回归方程 $\hat{y}$ =0.849x-85，y′=0.849x-85.712，得到y′=61.028，所以女大学生的体重大约为61.028（kg），不是一定是61.028，故① 错误，对于② ，线性回归方程 $\hat{y}$ = $\hat{b}$ x+ $\hat{a}$ 一定过样本点的中心（ $\overline{x}$ ， $\overline{y}$ ），故② 正确，对于③ ，若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r，的值越接近于±1，故③ 错误，对于④ ，在残差图中，残差点比较均匀地落在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高，故④ 错误，对于⑤ ，相关指数R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归的效果越好，故⑤ 正确．故选：B．【点评】：本题主要考查了命题的真假判断，统计基本知识，线性回归方程及两个变量的相关性，属于基础题．5.（单选题，5分）从分别标有0，1，2，…，9的10张卡片中不放回的随机抽取2次，每次抽取1张，则在第一次抽到的卡片标有奇数的条件下第二次抽到的卡片标有偶数的概率是（）A. $\frac{5}{18}$B. $\frac{5}{9}$C. $\frac{4}{9}$D. $\frac{7}{9}$【正确答案】：B【解析】：记事件A为“第一次抽到的卡片标有奇数“，记事件B为“第二次抽到的卡片标有偶数”，利用古典概型的概率公式先求出P（A），P（B），然后利用条件概率的概率公式求解即可．【解答】：解：记事件A为“第一次抽到的卡片标有奇数“，记事件B为“第二次抽到的卡片标有偶数”，所以P（A）= $\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$ ，P（AB）= $\frac{5}{10}×\frac{5}{9}=\frac{5}{18}$ ，所以 $P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{\frac{5}{18}}{\frac{1}{2}}$ = $\frac{5}{9}$ ．故选：B．【点评】：本题考查了古典概型的概率公式以及条件概率的概率公式的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．6.（单选题，5分）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学某校园学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，且排课时“射”必须在“御”的后面，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（）A.120种B.240种C.480种D.360种【正确答案】：D【解析】：根据题意，用间接法分析：先计算全部的安排方法数目，而其中“射”排在“御”的后面与“射”排在“御”的前面的排法是相同的，据此分析可得答案．【解答】：解：根据题意，每艺安排一节，连排六节，有 ${A}_{6}^{6}$ =720种排法，其中“射”排在“御”的后面与“射”排在“御”的前面的排法是相同的，故排课时“射”在“御”的后面的排法有 $\frac{1}{2}$ ×720=360种，故选：D．【点评】：本题考查排列组合的应用，注意“射”排在“御”的后面与“射”排在“御”的前面的排法是相同的，属于基础题．7.（单选题，5分）若（1+ $\frac{1}{{x}^{2}}$ ）（1+x）n的展开式中各项系数之和为128，则x2的系数为（）A.15B.20C.30D.35【正确答案】：C【解析】：直接令x=1即可求得结论．【解答】：解：（1+ $\frac{1}{{x}^{2}}$ ）（1+x）n的展开式中各项系数之和为128，令x=1可得：（1+1）•（1+1）n=128⇒n=6；则x2的系数为：${C}_{6}^{2}+{C}_{6}^{4}$ =30．故选：C．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．8.（单选题，5分）下列说法中正确的是（）A.哥德巴赫猜想属于类比推理B.由平面内不共线的三点确定一个圆可以猜想空间中不共面的四点确定一个球，这是归纳推理C.演绎推理三段论中，若大前提错则结论必然错，若大前提正确则结论必然正确D.反证法是间接证明的一种基本方法，其理论依据是原命题和其逆否命题真假性相同【正确答案】：D【解析】：由归纳推理和类比推理、演绎推理和反证法的概念，可判断正确结论．【解答】：解：哥德巴赫猜想属于归纳推理，故A错误；由平面内不共线的三点确定一个圆可以猜想空间中不共面的四点确定一个球，这是类比推理，故B错误；演绎推理三段论中，若大前提错则结论必然错，只有大前提和小前提均正确，结论才正确，故C错误；反证法是间接证明的一种基本方法，其理论依据是原命题和其逆否命题真假性相同，故D正确．故选：D．【点评】：本题考查推理的几种形式，考查推理能力，属于基础题．9.（单选题，5分）用数学归纳法证明不等式 $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$ +…+ $\frac{1}{{2}^{n-1}}＞\frac{n}{2}-1$ （n∈N*，n＞1）时，以下说法正确的是（）A.第一步应该验证当n=1时不等式成立B.从“n=k到n=k+1”左边需要增加的代数式是 $\frac{1}{{2}^{k}}$C.从“n=k到n=k+1”左边需要增加（2k-1-1）项D.从“n=k到n=k+1”左边需要增加2k-1项【正确答案】：D【解析】：利用数学归纳法的解题方法进行分析，弄清从“n=k到n=k+1”左边需要增加的代数式，即可得到答案．【解答】：解：由于n∈N*，n＞1，所以第一步应该是验证当n=2时不等式成立，从“n=k到n=k+1”左边需要增加的代数式是 $\frac{1}{{2}^{k-1}+1}+\frac{1}{{2}^{k-1}+2}+\bullet \bullet \bullet +\frac{1}{{2}^{k}}$ ，共2k-1项．故选：D．【点评】：本题考查了数学归纳法的理解与应用，要掌握用数学归纳法证明恒等式的步骤，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．10.（单选题，5分）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”．若将这些数字依次排列构成数列1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，则此数列的第2021项为（）A. ${C}_{63}^{3}$B. ${C}_{63}^{4}$C. ${C}_{64}^{3}$D. ${C}_{64}^{4}$【正确答案】：B【解析】：根据题意，分析可得杨辉三角中，第n行有n项，由此求出前63行的项数，据此分析可得第2021项是第64行的第5项，即可得答案．【解答】：解：根据题意，杨辉三角中，第n行有n项，则前n行共有1+2+……+n=$\frac{n(n+1)}{2}$ 项，则前63行共有 $\frac{63×64}{2}$ =2016项，故第2021项是第64行的第5项，为 ${C}_{63}^{4}$ ，故选：B．【点评】：本题考查归纳推理的应用，注意分析每一行中数字的个数，属于基础题．11.（单选题，5分）已知函数f（x）= $\left\{\begin{array}x\frac{x}{lnx}，x＞1\\{x}^{3}-3x+1，x≤1\end{array}\right.$ ，若方程f（x）=k至少有三个不同的实根，则实数k的取值范围为（）A.（e，3）B.（e，3]C.[e，3]D.[e，3）【正确答案】：C【解析】：对f（x）求导分析f（x）单调性，作出函数图象，结合图使得直线y=k与函数f （x）的图象至少有三个交点，即可得出答案．【解答】：解：当x＞1时，f（x）= $\frac{x}{lnx}$ ，则f′（x）= $\frac{lnx-1}{(lnx)^{2}}$ ，令f′（x）=0，得x=e，当1＜x＜e时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞e时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以x=e时，f（x）取得最小值f（e）=e，当x≤1时，f（x）=x3-3x+1，则f′（x）=3x2-3，令f′（x）=0，得x=-1或x=1，当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＜-1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以x=-1时，f（x）取得最大值f（-1）=3，所以f（e3）= $\frac{{e}^{3}}{3}$ ＞3，f（ $\sqrt{e}$ ）=2 $\sqrt{e}$ ＞3，f（0）=1＜e，f （-2）=-1＜e，作出f（x）的大致图象，如图所示：由图可知当k∈[e，3]时，直线y=k与函数f（x）的图象至少有三个交点，从而方程f（x）=k至少有三个不同的实数根．故选：C．【点评】：本题考查函数与方程之间的关系，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题．12.（单选题，5分）函数g（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（1）=0，当x＞0时，xg（x）-f（x）＜0，则使得f（x）＜0成立的x的取值范围是（）A.（-∞，-1）∪（0，1）B.（0，1）∪（1，+∞）C.（-∞，-1）∪（-1，0）D.（-1，0）∪（1，+∞）【正确答案】：D【解析】：构造函数F（x）= $\frac{f(x)}{x}$ ，由函数的单调性和奇偶性可得原不等式等价于 $\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{F(x)＜0}\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}{x ＜0}\\{F(x)＞0}\end{array}\right.$ ，结合图象可得．【解答】：解：构造函数F（x）= $\frac{f(x)}{x}$ ，则F（x）为偶函数且x≠0，求导数可得F′（x）= $\frac{f′(x)x-f(x)x′}{{x}^{2}}$ = $\frac{xg(x)-f(x)}{{x}^{2}}$ ，∵当x＞0时，xg（x）-f（x）＜0，∴F′（x）＜0，∴函数F（x）在（0，+∞）单调递减，由函数为偶函数可得F（x）在（-∞，0）单调递增，由f（1）=0可得F（1）=0，∴f（x）＜0等价于xF（x）＜0等价于 $\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{F(x)＜0}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{F(x)＞0}\end{array}\right.$ ，解得x∈（1-，0）∪（1，+∞）故选：D．【点评】：本题考查函数的单调性和导数的关系，构造函数并利用函数的性质是解决问题的关键，属中档题．13.（填空题，5分）已知a＞0，则 ${\int }_{0}^{a}\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}dx$ =___ ．【正确答案】：[1] $\frac{π{a}^{2}}{4}$【解析】：根据已知条件，将原式转化为半径为a的 $\frac{1}{4}$ 圆的面积，即可求解．【解答】：解：由定积分的几何意义可知， ${\int }_{0}^{a}\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}dx$ 表示的是半径为a的 $\frac{1}{4}$ 圆的面积，∴ ${\int }_{0}^{a}\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}dx$ = $\frac{π{a}^{2}}{4}$．故答案为： $\frac{π{a}^{2}}{4}$ ．【点评】：本题考查了定积分的几何含义，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．14.（填空题，5分）2020年我国进行了第七次全国人口普查，“大国点名，没你不行”．在此次活动中，某学校有6名教师报名成为志愿者，现在有3个不同的社区需要进行普查工作，从这6名志愿者中选派4名，每人去1个社区，每个社区至少有1名志愿者，则不同的选派方案有 ___ 种．【正确答案】：[1]540【解析】：先从6人中选出4人，再对4人选派即可求解．【解答】：解：先从这6名志愿者中选派4名有C ${}_{6}^{4}$ 种选法，这4名志愿者中．有2名去了同一个社区，其他2名志愿者各去一个社区，故不同的选派方案有C ${}_{6}^{4}{C}_{4}^{2}{A}_{3}^{3}=540$ ，故答案为：540．【点评】：本题考查了排列组合的简单计数问题，考查了学生的运算能力，属于基础题．15.（填空题，5分）在圆内画1条直线，将圆分割成两部分；画2条相交直线，将圆分割成4部分；画3条直线，将圆最多分割成7部分；画4条直线，将圆最多分割成11部分；…；那么在圆内画10条直线，将圆最多分割成 ___ 部分．【正确答案】：[1]56【解析】：根据题意，归纳线段的数目与将圆最多分割成多少部分之间的关系，将n=10代入计算可得答案．【解答】：解：根据题意，在圆内画1条线段，将圆分割成：1+1=2部分；画2条相交线段，将圆分割成：1+1+2=4部分；画3条相交线段，将圆最多分割成：1+1+2+3=7部分；画4条相交线段，将圆最多分割成：1+1+2+3+4=11部分；由此归纳推理，猜想：在圆内画n条线段，两两相交，将圆最多分割成：a n=1+1+2+3+…+n=1+$\frac{n(n+1)}{2}$ 部分，故当n=10时，有a10=1+ $\frac{10×11}{2}$ =56，在圆内画10条直线，将圆最多分割成56部分．故答案为：56．【点评】：本题考查归纳推理的应用，注意分析变化的规律，属于基础题．16.（填空题，5分）若函数f（x）=2x3-ax2+b在[0，1]上的最小值为-1，最大值为1，则a+b=___ ．【正确答案】：[1]-1或5【解析】：先讨论函数f（x）在[0，1]上的单调性，进而确定最大值和最小值在何时取，再建立关于a，b的方程，解方程即可得答案．【解答】：解：$f′(x)=6x^{2}-2ax=6x(x-\frac{a}{3})$ ．令f′（x）=0，得x=0或$x=\frac{a}{3}$ ．① 当a＜0时，函数f（x）在 $(-∞，\frac{a}{3})$ 和（0，+∞）上单调递增，在$(\frac{a}{3}，0)$ 上单调递减，所以f（x）在[0，1]上单调递增，所以f（0）=-1，f（1）=1，代入解得b=-1，a=0，与 a＜0矛盾．② 当a=0时，函数f（x）在R上单调递增，所以f（0）=-1，f（1）=1，代入解得$\left\{\begin{array}{l}a=0\\ b=-1\end{array}\right.$ ．③ 当0＜a⩽3时，函数f（x）在（-∞，0）和 $(\frac{a}{3}，+∞)$上单调递增，在 $(0，\frac{a}{3})$ 上单调递减，所以f（x）在[0，1]上最小值为 $f(\frac{a}{3})=-\frac{a^{3}}{27}+b$ ，最大值为f（0）=b或f（1）=2-a+b．若 $-\frac{a^{3}}{27}+b=-1，b=1$ ，则 $a=3\sqrt[3]{2}$ ，与0＜a⩽3矛盾．若 $-\frac{a^{3}}{27}+b=-1，2-a+b=1$ ，则 $a=3\sqrt{3}$ 或 $a=-3\sqrt{3}$ 或a=0，与0＜a⩽3矛盾．④ 当a＞3时，函数f（x）在（-∞，0）和 $(\frac{a}{3}，+∞)$上单调递增，在 $(0，\frac{a}{3})$ 上单调递减，所以f（x）在[0，1]上单调递减，所以f（x）在[0，1]的上最大值为f（0），最小值为f（1），即 $\left\{\begin{array}{l}b=1\\ 2-a+b=-1\end{array}\right.$ ，解得$\left\{\begin{array}{l}a=4\\ b=1\end{array}\right.$综上，当 $\left\{\begin{array}{l}a=0\\ b=-1\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}a=4\\ b=1\end{array}\right.$ 时，函数f（x）在[0，1]上的最小值为-1，最大值为1，所以a+b的值为-1或5．故答案为：-1或5．【点评】：本题考查导数的应用，考查利用导数研究函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查数学抽象和数学运算的核心素养，属于难题．17.（问答题，12分）已知曲线f（x）= $\frac{2}{x}$ ．求：（1）曲线f（x）在点P（1，2）处的切线方程；（2）过点Q（-3，2）的曲线f（x）的切线方程．【正确答案】：【解析】：求出原函数的导函数．（1）求出函数在x=1处的导数，得到求出的斜率，再由直线方程的点斜式得答案；（2）设切点为（ ${x}_{0}，\frac{2}{{x}_{0}}$ ），求出曲线f（x）在切点处的切线方程，代入已知点的坐标，可得切点横坐标，进一步可得过点Q的切线方程．【解答】：解：由f（x）= $\frac{2}{x}$ ，得f′（x）= $-\frac{2}{{x}^{2}}$ ．（1）曲线f（x）在点P（1，2）处的切线的斜率k=f′（1）=-2，∴所求切线方程为y-2=-2（x-1），即2x+y-4=0；（2）设切点为（ ${x}_{0}，\frac{2}{{x}_{0}}$ ），则所求切线的斜率为$f′({x}_{0})=-\frac{2}{{{x}_{0}}^{2}}$ ，∴所求切线方程为 $y-\frac{2}{{x}_{0}}=-\frac{2}{{{x}_{0}}^{2}}(x-{x}_{0})$ ，由点Q（-3，2）在切线上可知， $2-\frac{2}{{x}_{0}}=-\frac{2}{{{x}_{0}}^{2}}(-3-{x}_{0})$ ，整理得： ${{x}_{0}}^{2}-2{x}_{0}-3=0$ ，解得x0=3或x0=-1．故所求的切线方程为2x+9y-12=0或2x+y+4=0．【点评】：本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是区分“在某点处”与“过某点处”，考查运算求解能力，是中档题．18.（问答题，12分）已知函数f（x）=x3-12x+6．（1）求函数f（x）的极值；（2）若函数g（x）=f（x）-a在区间[-5，5]上有三个不同的零点，求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）对f（x）求导，判断f（x）的单调性，再确定f（x）的极值即可；（2）由条件可知，函数y=f（x）的图像与直线y=a在区间[-5，5]上有3个不同的交点，根据函数f（x）的图象，结合条件求出a的取值范围．【解答】：解：（1）f′（x）=3x2-12=3（x-2）（x+2）．令f′（x）=0，解得x=2或x=-2．当x＜-2时，f′（x）＞0，当-2＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0，∴f（x）在（-∞，-2），（2，+∞）上单词递增，在（-2，2）上单调递减，∴函数f（x）的极大值为f（-2）=22，极小值为f（2）=-10．（2）由题意知，方程f（x）=a在区间[-5，5]上有3个不同的实数根，即函数y=f（x）的图像与直线y=a在区间[-5，5]上有3个不同的交点．∵f（5）=71＞22，f（-5）=-59＜-10，∴结合（1）及函数f（x）的图象，可知-10＜a＜22，故实数a的取值范围为（-10，22）．【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，根据函数的零点求参数的范围，考查了数形结合思想和转化思想，属中档题．19.（问答题，12分）在一次抽样调查中测得5个样本点，得到如表及相关数据．x 0.25 0.5 1 2 41y 16 12 5 2表中t i= $\frac{1}{{x}_{i}}$ ．（1）请从相关系数的角度，分析y=a+bx与=c+k•x-1哪一个适宜作为y关于x的回归方程类型；（2）根据（1）的判断结果试建立y与x的回归方程（计算结果精确到0.01）；（3）在（2）的条件下，设z=y-x且x∈[4，+∞），试求z的最大值（计算结果精确到0.01）．参考公式：回归方程 $\hat{y}$ = $\hat{b}$ x+ $\hat{a}$ 中， $\hat{b}$ =$\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})-({y}_{i}-\overline{y})}{\sum\limits_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})^{2}}$ ； $\hat{a}$ =$\overline{y}$ - $\hat{b}$ $\overline{x}$ ，相关系数r=$\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})({y}_{i}-\overline{y})}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})^{2}\sum\limits_{i=1}^{n}({y}_{i}-\overline{y})^{2}}}$ ．【正确答案】：【解析】：（1）计算相关系数，利用相关系数绝对值的大小判断；（2）把数据代入公式计算；（3）判断函数单调性求最值．【解答】：解：（1）令 $t=\frac{1}{x}$ ，数据整理得：\overline{x})^{2}=9.3$模型y=a+bx的相关系数 ${r}_{1}=\frac{-32.8}{39.86}≈-0.82$ ；模型y=c+kt的相关系数 ${r}_{2}=\frac{38.45}{39.86}≈0.96$；因为|r2|＞|r1|，所以y=c+kx-1适宜作为y关于x的回归方程类型．（2） $\overline{t}=\overline{x}=1.55，\overline{y}=7.2$ ；$\hat{k}=\frac{38.45}{9.3}≈4.13，\hat{c}=\hat{y}-\hat{k}\overline{t}≈0.80$所以y关于x的回归方程为 $y=0.80+\frac{4.13}{x}$ ．（3） $z=y-x=0.80+\frac{4.13}{x}-x，x≥4$因为 $z=0.80+\frac{4.13}{x}-x$ 在[4，+∞）上单调递减．所以z的最大值为 $0.80+\frac{4.13}{4}-4≈-2.17$ ．【点评】：本题考查非线性回归模型、线性回归模型、函数的最值，属于中档题．20.（问答题，12分）某中学为了促进学生对数学文化的了解，举办了一系列的活动，其中一项是在各班内进行数学家和其国籍的连线游戏，且为一一对应的关系，参加连线的同学每连对一个得1分，连错得0分．（1）假定某学生对这些数学家没有了解，只是随机地连线，试求该学生得分X的分布列和数学期望；（2）若某同学的得分X≥2，则称这位同学“对数学文化了解较好”；若得分X＜2，则称这位同学“对数学文化了解较差”．某数学老师为了判断学生对数学文化的了解程度是否与学生性别有关，统计了本年级600名学生在本次连线游戏中的得分情况，得到如下2×2列联表，请根据列联表，判断是否有95%的把握认为学生对数学文化的了解程度与学生性别有关？男生女生合计得分X≥2280 120 400得分X＜2 120 80 200 合计400 200 600P（K2≥k0）0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828【正确答案】：【解析】：（1）分别求出X值为0，1，2，4的概率，即可得X的分布列，再结合期望公式，即可求解．（2）根据已知条件，运用独立性随机检验公式，即可求解．【解答】：解：（1）由题意可知，X的可能取值为0，1，2，4，则P（X=0）= $\frac{3}{8}$ ，P（X=1）= $\frac{1}{3}$ ，P（X=2）= $\frac{1}{4}$ ，P （X=4）= $\frac{1}{24}$ ，∴X的分布列为（2）由题意可得，K2的现测值为k= $\frac{600×(280×80-120×120)^{2}}{400×200×400×200}=6$ ，∵6＞3.841，∴有95%的把握认为学生对数学文化的了解程度与学生性别有关．【点评】：本题考查了离散型随机变量的概率与期望，以及独立性检验公式，需要学生熟练掌握公式，属于中档题．21.（问答题，12分）已知函数f（x）=e x-a（x+2），其中e为自然对数的底数，a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥ $\frac{1}{4}{x}^{3}+\frac{1}{2}{x}^{2}$ +1-2a在[0，+∞）上恒成立，求a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）求导函数，根据导数符号与函数单调性之间的关系分a⩽0和a＞0两种情况分别求出单调性即可；（2）题意等价于即 $ax⩽e^{x}-\frac{1}{4}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}-1$ 在[0，+∞）上恒成立，当x=0时显然成立，当x＞0时，等价于 $a⩽\frac{e^{x}}{x}-\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x-\frac{1}{x}$ ，构造新函数求最值即可求出a的取值范围．【解答】：解：（1）f′（x）=e x-a．当a⩽0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）在R上单调递增，当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=lna．当x＞lna时，f′（x）＞0，当x＜lna时，f′（x）＜0，∴f（x）在（lna，+∞）上单调递增，在（-∞，lna）上单调递减．综上所述，当a⩽0时，f（x）在R上单调递增；当a＞0时，f（x）在（lna，+∞）上单调递增，在（-∞，lna）上单调递减．（2）由 $f(x)⩾\frac{1}{4}x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}+1-2a$ ，得 $e^{x}-ax-2a⩾\frac{1}{4}x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}+1-2a$ ，即 $ax⩽e^{x}-\frac{1}{4}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}-1$ 在[0，+∞）上恒成立．当x=0时，0=0，显然成立．当x＞0时， $a⩽\frac{e^{x}}{x}-\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x-\frac{1}{x}$ ．令 $g(x)=\frac{e^{x}}{x}-\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x-\frac{1}{x}，x＞0$ ，则$g′(x)=\frac{(x-1)e^{x}}{x^{2}}-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{2(x-1)e^{x}-(x^{3}+x^{2}-2)}{2x^{2}}$ = $\frac{2(x-1)e^{x}-(x-1)(x^{2}+2x+2)}{2x^{2}}=\frac{2(x-1)[e^{x}-(\frac{x^{2}}{2}+x+1)]}{2x^{2}}$ ．令 $h(x)=e^{x}-(\frac{x^{2}}{2}+x+1)，x＞0，h′(x)=e^{x}-(x+1)$ ，h′′（x）=e x-1＞0，所以h′（x）在（0，+∞）上单调递增，则h′（x）=e x-（x+1）＞h′（0）=0恒成立，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增．∴h（x）＞e0-（0+0+1）=0，∴h（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，令g′（x）=0，得x=1，∴g（x）在（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，∴ $g(x)_{min}=g(1)=e-\frac{7}{4}$ ，∴ $a⩽e-\frac{7}{4}$ ，故所求实数a的取值范围为 $(-∞，e-\frac{7}{4}]$ ．【点评】：本题考查导数的应用，考查利用导数研究函数单调性和最值，考查分类讨论的数学思想，考查分离参数在处理恒成立问题中的应用，属于难题．22.（问答题，10分）在平面直角坐标系中，直线l过点M（2，0），倾斜角为α，以直角坐标系的坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=ρcos2θ+4cosθ．（1）写出直线l的一个参数方程，并求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于不同两点A，B且 $\overrightarrow{MA}$ =-2$\overrightarrow{MB}$ ，求直线l的直角坐标方程．【正确答案】：【解析】：（1）根据已知条件，结合参数直线方程的定义，以及极坐标公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，即可求解．（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得t2sin2α-4tcosα-8=0 （α≠0），根据韦达定理，可得 ${t}_{1}+{t}_{2}=\frac{4cosα}{si{n}^{2}α}，{t}_{1}\bullet {t}_{2}=-\frac{8}{si{n}^{2}α}$，再结合条件 $\overrightarrow{MA}$ =-2 $\overrightarrow{MB}$ ，可得tan2α=4，即可求解．【解答】：解：（1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$ （t为参数），∵ρ=ρcos2θ+4cosθ，∴ρ2=ρ2cos2θ+4ρcosθ，∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，∴x2+y2=x2+4x，即y2=4x，∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x．（2）将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得t2sin2α-4tcosα-8=0 （α≠0），设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则 ${t}_{1}+{t}_{2}=\frac{4cosα}{si{n}^{2}α}，{t}_{1}\bullet {t}_{2}=-\frac{8}{si{n}^{2}α}$① ，∵ $\overrightarrow{MA}$ =-2 $\overrightarrow{MB}$ ，∴t1=-2t2② ，将② 代入① 可得，tan2α=4，∴k=±2，∴直线l的直角坐标方程为2x-y-4=0或2x+y-4=0．【点评】：本题考查了直线l的参数方程和曲线的极坐标方程，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．23.（问答题，0分）已知a，b，c均为正实数，且a+b+c=1，求证：（1） $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}≤\sqrt{3}$ ；（2） $\frac{1}{2a+1}+\frac{1}{2b+1}+\frac{1}{2c+1}≥\frac{9}{5}$ ．。
人教版2020-2021学年度上学期期末考试数学试卷(Word版 含解析)
人教版2020-2021学年度上学期期末考试数学试卷（全册）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列关于事件发生可能性的表述，正确的是（ ）A. 事件：“在地面，向上抛石子后落在地上”，该事件是随机事件B. 体育彩票的中奖率为10%，则买100张彩票必有10张中奖C. 在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品D. 掷两枚硬币，朝上的一面是一正面一反面的概率为 132.下列四个银行标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )． A. B. C. D.3.关于 x 的一元二次方程 x 2−5x +2p =0 的一个根为 1 ，则另一根为（ ）.A. -6B. 2C. 4D. 14.下列关于二次函数 y =2x 2+3 ，下列说法正确的是（ ）.A. 它的开口方向向下B. 它的顶点坐标是 (2,3)C. 当 x <−1 时， y 随 x 的增大而增大D. 当 x =0 时， y 有最小值是35.如图，AB 为⊙O 的直径，点D 是弧AC 的中点，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，延长DE 交⊙OO 于点F ，若AC = 12，AE = 3，则⊙O 的直径长为（ ）A. 10B. 13C. 15D. 166.某校食堂每天中午为学生提供A 、 B 两种套餐，甲乙两人同去该食堂打饭，那么甲乙两人选择同款套餐的概率为（ ）A. 12B. 13C. 14D. 237.如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A 用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型(抛物线所在平面与墙面垂直)，如果抛物线的最高点M 离墙1米，离地面3米，则水流下落点B 离墙的距离OB 是( )A. 2.5米B. 3米C. 3.5米D. 4米8.小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇·哧壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物。
而立之年督东吴，早逝英年两位数。
郑州市2020_2021学年高二数学下学期期末考试试题文(含答案)
河南省郑州市2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题 文注意事项：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 参考公式和数据：1．对于一组具有线性相关关系的数据，(),i i x y ()1,2,3,,i n =⋅⋅⋅其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()1122211ˆn niii ii i nni ii i x x y y x y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-； 2．()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()n a b c d =+++；3．参考数据：()2P K k >0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.0250.0100.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在用反证法证明命题“已知0a >，0b >，且13a b +>．求证：31b a ++，2a b+中至少有一个小于4”时，假设正确的是（ ）A ．假设31b a ++，2a b +都不大于4 B ．假设31b a ++，2a b +都不小于4 C ．假设31b a ++，2a b +都小于4 D ．假设31b a ++，2a b+都大于42．如图，复平面内的点Z 对应的复数记为z ，则对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关某数学建模小组建立了茶水冷却时间x 和茶水温度y 的一组数据(),i i x y ．经过分析，提出了四种回归模型，①②③④四种模型的残差平方和()21ˆni i i y y=-∑的值分别是098．，080．，012.，1.36．则拟合效果最好的模型是（ ） A ．模型① B ．模型② C ．模型③ D ．模型④4．（选修4－4：坐标系与参数方程）将曲线2220x y x --=变换为曲线221640x y '''--=的一个伸缩变换为（ ）A ．212x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，B ．214x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，C ．1212x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩，D ．14x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，（选修4－5：不等式选讲）若关于x 的不等式2123x x a a ++-≤+-()a ∈R 的解集为空集，则实数a 的取值范围是（ ） A ．32a -<<B ．11a -<<C ．01a <<D ．1a <-5．已知bg 糖水中含有ag 糖()0b a >>，若再添加mg 糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大）．根据这个事实，下列不等式中一定成立的是（ ）A ．a a mb b m+>+B ．22mma m ab m b ++<++ C ．()()()()22a m b m a m b m ++<++ D ．121313b a ->- 6．“关注夕阳，爱老敬老”，某商会从2016年开始向晚晴山庄养老院捐赠物资和现金．下表记录了第x 年（2016年为第一年）捐赠现金y （万元）的数据情况．由表中数据得到了y 关于x 的线性回归方程为ˆˆ295y bx =+．，预测2021年该商会捐赠现金______万元．A ．4.25B ．5.25C ．5.65D ．4.757．若输出的S 的值等于26，那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是（ ）A ．10i >B ．11i >C ．12i >D ．13i >8．已知正数a ，b 满足1256255a b ⨯=，则3a b +的最小值为（ ） A ．25 B ．24 C ．27 D ．59．任何一个复数z a bi =+都可以表示成()cos sin z r i θθ=+的形式，我们把()cos sin r i θθ+叫做复数的三角形式．已知cossin33z i ππ=+，则下列结论正确的是（ ）A ．2z 的实部为1B ．21z z =-C ．2z z = D ．22z =10．（选修4－4：坐标系与参数方程）已知曲线Γ的参数方程3sin ,2cos ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，且0θπ≤≤）．若以下曲线中有一个是Γ，则曲线Γ是（ ）A ．B ．C ．D ．（选修4－5：不等式选讲）已知a b c >>，若14ma b b c a c+≥---恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．3B ．4C ．8D ．911．胡夫金字塔的形状为正四棱锥．1859年，英国作家约翰·泰勒在其《大金字塔》一书中提出：埃及人在建造胡夫金字塔时利用了黄金比例15 1.6182⎛⎫+≈ ⎪ ⎪⎝⎭，泰勒还引用了古希腊历史学家希罗多德的记载：胡夫金字塔的每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方，如图，即2h as =．已知四棱锥底面是边长约为860英尺的正方形()2860a =，顶点P 的投影在底面中心O ，H 为BC 中点，根据以上条件，PH 的长度（单位：英尺）约为（ ）A ．3479．B ．512.4C ．6116．D ．695.712．已知0a b c d <<<<，若dcc d =，则ba 与ab 的大小关系为（ ） A ．baa b < B ．baa b = C ．baa b > D ．不确定第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若2i -为方程220x mx n ++=（m ，n ∈R ）的一个根，则n =______． 14．从某大学随机选择8名女大学生，其身高和体重数据如表所示： 身高x （cm ） 155 157 165 165 165 170 170 175体重y （kg ）43 50 48 5761 54 59 64根据表中的数据可得回归直线方程ˆ0.84985.712yx =-，20.64R ≈，这表明女大学生的体重差异有______是由身高引起的．15．在等差数列{}n a 中，若80a =，则121215n n a a a a a a -++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+（15n <，*n ∈N ）.类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若151b =，则存在的等式为______． 16．已知函数()()()333322f x x a x b x a x =++-+--有五个不同的零点，且所有零点之和为52，则实数b 的值为______．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．ABCD 为复平面内的平行四边形，向量OA 对应的复数为5，AB 对应的复数为23i --，BC 对应的复数为64i -+．（Ⅰ）求点D 对应的复数;（Ⅱ）判断A 、B 、C 、D 四点是否在同一个圆上？并证明你的结论．18．（选修4－4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立板坐标系，已知曲线E 的极坐标方程为2241sin ρθ=+；直线l 的倾斜角为34π，且l 经过曲线E 的左顶点．（Ⅰ）求曲线E 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； （Ⅱ）求曲线E 的内接矩形ABCD 的周长的最大值． （选修4－5：不等式选讲）已知函数()1112f x x x =--+． （Ⅰ）求()f x 的最大值，并在网格纸中作出函数()f x 的图象；（Ⅱ）求()6f x x ≤-的解集．19．调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系，随机调查了一段时间内该医院50名男宝宝和50名女宝宝的出生时间，通过分析数据得到下面等高条形图：（Ⅰ）根据所给等高条形图数据，完成下面的22⨯列联表，并通过图形和数据直观判断婴儿性别与出生时间是否有关？晚上 白天 合计 男婴 女婴 合计（Ⅱ）根据（Ⅰ）中列联表，能否在犯错误概率不超过0.1的前提下认为婴儿的性别与出生的时间有关？ 20．（选修4－4：坐标系与参数方程）平面直角坐标系xOy 中，射线l ：33y x =()0x ≥，曲线1C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）；以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=．（Ⅰ）写出射线l 的极坐标方程、曲线1C 的普通方程；（Ⅱ）已知射线l 与1C 交于点A ，与2C 交于点B （B 异于点O ），求AB 的值． （选修4－5：不等式选讲）已知函数()2f x x a =+． （Ⅰ）当1a =-时，求不等式()93f x x x -≥-+的解集；（Ⅱ）是否存在实数a 使得()34f x x x ++≤+的解集中包含[]01，．若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由．21．红铃虫是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数y （个）和温度x （℃）的8组观测数据，制成图1所示的散点图现用两种模型①x y a b =⋅（0a >，0b >），②2y cx d =+分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图． 根据收集到的数据，计算得到如下值：xz t()821ii x x =-∑()821i i t t =-∑()()81iii z z x x =--∑()()81iii y y t t =--∑25 2.89 646 168 422688 48.48 70308表中ln i i z y =；8118i i z z ==∑；2i i t x =；8118i t t ==∑．（Ⅰ）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；（Ⅱ）根据（Ⅰ）中所选择的模型，求出y 关于x 的回归方程（计算过程中四舍五入保留两位小数），并求温度为35℃时，产卵数y 的预报值． 参考数据： 5.61273e≈， 5.70299e ≈， 5.79327e ≈．22．开普勒说：“我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，”波利亚也曾说过：“类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题．”在选修1—2第二章《推理与证明》的学习中，我们知道，平面图形很多可以推广到空间中去，例如正三角形可以推广到正四面体，圆可以推广到球，平行四边形可以推广到平行六面体等．如图，如果四面体D EFP -中棱DE ，DF ，DP 两两垂直，那么称四面体D EFP -为直角四面体．请类比直角三角形ABC （h 表示斜边上的高）中的性质给出直角四面体D EFP -中的两个性质，并给出证明．直角三角形ABC直角四面体D EFP -条件 CA CB ⊥ DE DF ⊥，DE DP ⊥，DF DP ⊥结论1 222a b c +=结论2 222111h a b=+郑州市2020—2021下期高二文科数学考试评分参考一、选择题 题号 123456789101112答案B BC A BD A C B D D A二、填空题13．10； 14．64%； 15．121229n n bb b bb b -⋅⋅⋅=⋅⋅⋅（15n <，*n ∈N ）备注:考生不写小括号内容不给分． 16．3225．（或者4129）． 三、解答题17．解：（1）由题意知，()5,0OA =，()2,3AB =--，()6,4BC =-， 所以()()()5,02,33,3OB OA AB =+=+--=-， 同理()()()3,36,43,1OC OB BC =+=-+-=-， 由AD BC =，得()1,4D -， 则点D 对应的复数14z i =-+．（2）由0AB BC ⋅=，得AB BC ⊥，即AB BC ⊥．∴四边形ABCD 为矩形 ∴A 、B 、C 、D 四点共圆．18．解：（1）因为曲线E 的极坐标方程为222sin4ρρθ=＋．将222x y ρ=＋，sin y ρθ=，代入上式，得2224x y =＋．所以曲线E 的直角坐标方程为22142x y +=； 又∵曲线E 为椭圆，其左顶点坐标为()2,0-，∴直线l的参数方程为：222x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）．（2）设椭圆E的内接矩形在第一象限的顶点为()2cos θθ02πθ⎛⎫<<⎪⎝⎭， ∴椭圆E 的内接矩形的周长y为：()8cos y θθθϕ=+=+（其中sin ϕ=，cos ϕ=）∴椭圆E 的内接矩形的周长的最大值为46．（选修4—5：不等式选讲）解：（1）依题意，()111=2f x x x =--+13,12231,112213,122x x x x x x ⎧+≤-⎪⎪⎪---<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩所以，当1x =-时，()max 1f x =； 函数()f x 的图象如图所示：（2）由（1）可知，利用图象法，直线6y x =-只与()f x 的图像相交于A ，由613,22y x y x =-⎧⎪⎨=--⎪⎩解得()3,3A -故当3x ≥时，直线6y x =-在()f x 图象的上方， 即()6f x x ≤-，故解集为[)3,+∞．19．解：（1）根据所给等高条形图数据，完成22⨯列联表如下：晚上白天合计男婴 10 40 50 女婴 20 30 50 合计3070100根据等高条形图，在男婴样本中白天出生的频率要高于女婴样本中白天出生的频率; 根据列联表，男婴样本中白天出生的频率为80%，女婴样本中白天出生的频率为60%． 因此可以直观得到结论:婴儿的性别和出生时间有关系（二者选其一即可给分）（2）根据（1）中列联表，计算()22100402030101004.762 2.7065050703021K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以能在犯错误概率不超过0.1的前提下认为婴儿的性别和出生的时间有关． 20．（选修4－4：坐标系与参数方程） 解：（1）依题意，因为射线l：y x =()0x ≥，故射线l ：6πθ=()0ρ≥；因为1C 的参数方程为：1,1x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，可得曲线1C 的普通方程：224x y -=．（2）曲线1C 的方程为224x y -=，故曲线1C 的极坐标方程为42cos 2=θρ． 设点A 、B 对应的极坐标分别为()1,ρθ，()2,ρθ，联立l 与1C ，得2,6cos 24,πθρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得6A π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 联立l 与2C ，得,68sin ,πθρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得4,6B π⎛⎫⎪⎝⎭故124AB ρρ=-=-（选修4—5：不等式选讲）解：（1）当1a =-时，原不等式可化为2139x x x -++≥+等价于31239x x x x ≤-⎧⎨---≥+⎩或1321239x x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-++≥+⎩或1,22139,x x x x ⎧≥⎪⎨⎪-++≥+⎩即52x ≤-或72x ≥，所以不等式的解集是57,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）若存在这样的a ，使得()34f x x x ++≤+的解集中包含[]0,1． 即当[]0,1x ∈时，()34f x x x ++≤+恒成立．11 可得234x a x x +++≤+，得21x a +≤，得1122a a x ---≤≤． 所以11,210,2a a -⎧≥⎪⎪⎨--⎪≤⎪⎩解得1a =-所以存在这样的a ，满足1a =-使得()34f x x x ++≤+的解集中包含[]0,1．21．解：（1）应该选择模型①．理由为：模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高．故选模型①比较合适．（2）由（1）知，选用模型①，xy a b =⋅，用两边取对数，得()ln ln ln y b x a =+， 令ln z y =，z 与温度x 可以用线性回归方程来拟合，则()ln ln z b x a =+，()()()8182148.48ln 0.29168ii i i i x x z z b x x ==--==≈-∑∑， ln ln 2.890.2925 4.36a z x b =-=-⨯≈-，于是有ln 029436y x =-．．，所以产卵数y 关于温度x 的回归方程为0.29 4.36x y e-=． 当35x =时，0.2935 4.36 5.79327y e e ⨯-==≈（个）， 所以，在气温在35℃时，一个红铃虫的产卵数的预报值为327个．22．解：记DEF △、DEP △、DFP △、EFP △的面积依次为1S 、2S 、3S 、S ，记DE m =，DF n =，DP p =．结论1：2222123S S S S =++，证明：过D 作DH EF ⊥，垂足为H ，连接PH ， ()22222222222212311112224S S S mn mp np m n m p n p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12 在Rt DEF △中，DE DF DH EF ⋅== DH ＝，PH ==()2222222214S m n n p m p ==++， 2222123S S S S =++．结论2：22221111h m n p =++证明：过D 作DH EF ⊥，垂足为H ，连接PH ， 过D 作DG PH ⊥，垂足为G ，设DG h =，∵h = ∴22222222222221111m n m p n p h m n p m n p ++==++． ∴22221111d m n p =++．。
2020-2021学年河南省郑州市高二下学期期末考试数学理科试题及答案
郑州市2020—2021学年下期期末考试高二数学（理）试题卷注意事项：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数2z i =-，则z =（）A B ．3C D ．52．已知函数()f x 的导函数是()f x '，且满足()()22ln 1f x x x f '=+，则()1f '=（）A ．2-B ．0C ．1D ．23．已知随机变量X 的分布列如右表．则实数a 的值为（）A ．6 B ．4 C ．3 D ．24．下列四个命题：（1）两个变量相关性越强则相关系数r 就越接近于1； （2）两个模型中，残差平方和越小的模型拟合的效果越好；（3）在回归模型中，相关指数2R 表示解释变量x 对于预报变量y 的贡献率，2R 越接近于1，表示回归效果越好；（4）在独立性检验中，随机变量2K 的观测值k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大． 其中正确命题的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．45．校园歌手大赛共有5名同学成功进人决赛，其中2名男同学，3名女同学．现在他们站成一排合影留念，要求2名男同学站在两端，则有______种不同的站法． A ．2B ．6C ．12D ．246．用反证法证明命题：若()2110x y -+-=，则1x y ==，应提出的假设为（） A ．x ，y 至少有一个不等于1 B ．x ，y 至多有一个不等于1C ．x ，y 都不等于1D ．x ，y 只有一个不等于17．“关注夕阳，爱老敬老”，某商会从2016年开始向晚晴山庄养老院捐赠物资和现金．下表记录了第x 年（2016年为第一年）捐赠现金y （万元）的数据情况．由表中数据得到了y 关于x 的线性回归方程为ˆ295y bx =+．，预测2021年该商会捐赠现金______万元．A ．4.25B ．5.25C ．5.65D ．4.758．2021年5月11日和12日进行了郑州市第三次质量检测．对全市的理科数学成绩进行统计分析，发现数学成绩近似地服从正态分布()296,5N ．据此估计：在全市抽取6名高三学生的数学成绩，恰有2名同学的成绩超过96分的概率为（） A ．132 B ．1532 C ．164 D ．15649．九月是某集团校的学习交流活动月，来自兄弟学校的4名同学（甲校2名，乙校、丙校各1名）到总校交流学习．现在学校决定把他们分到1，2，3三个班，每个班至少分配1名同学．为了让他们能更好的融入新的班级，规定来自同一学校的同学不能分到同一个班，则不同的分配方案种数为（）A ．12B ．18C ．24D ．3010．如图，第1个图形是由正三边形“扩展”而来，第2个图形是由正四边形“扩展”而来．依次类推，第n 个图形是由正()2n +边形“扩展”而来，其中*n ∈N ，那么第8个图形共有______个顶点．A ．72B ．90C ．110D ．13211．若函数()33f x x x =-在区间()22,3a a -上有最大值，则实数a 的取值范围是（）A ．()3,1-B ．()2,1-C ．13,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(]2,1--12．已知函数()18,,212,2x x m x f x xe mx m x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪-+>⎪⎩（e 是自然对数）在定义域R 上有三个零点，则实数m 的取值范围是（）A ．(),e +∞B ．(),4eC ．(],4eD ．[],4e第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．平面内一点()00,P x y 到直线l ：0Ax By C ++=的距离为：d =．由此类比，空间中一点()1,1,1M 到平面a ：30x y x +++=的距离为______．14．已知m ，n 是不相等的两个实数，且m ，{}1,1,5,8n ∈-．在方程221mx ny +=所表示的曲线中任取一个，此曲线是焦点在x 轴上的双曲线的概率为______．15．2021年7月1日是中国共产党成立100周年纪念日，2021年也是“十四五”开局之年，必将在中国历史上留下浓墨重彩的标注，作为当代中学生，需要发奋图强，争做四有新人，首先需要学好文化课．现将标有数字2，0，2，1，7，1的六张卡片排成一排，组成一个六位数，则共可组成______个不同的六位数．16．已知关于x 的方程22ln 1xx a e x x+-=在()0,+∞上有解，则实数a 的取值范围是______． 三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答题应写文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知复数631mz i i=++-()m ∈R ． （Ⅰ）当实数m 取什么值时，复数z 是纯虚数；（Ⅱ）当实数m 取什么值时，复平面内表示复数z 的点位于第一、三象限．18．在二项式2mx ⎛ ⎝()*m ∈N 的展开式中，第三项系数是倒数第三项系数的18． （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）求展开式中所有的有理项． 19．已知数列{}n a 满足：125a =，1122n n n n a a a a +++=，()*n ∈N ． （Ⅰ）计算2a ，3a ，4a 的值；（Ⅱ）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明． 20．已知的数()()242ln f x x a x a x =-++．（Ⅰ）当1a =时，求函数()y f x =的极值； （Ⅱ）讨论函数()y f x =的单调性．21．2021年5月14日，郑州国际会展中心举办了关于“服务教育共筑梦想暨中小学书香校园发展论坛”的活动．某中学为进一步推进书香校园系列活动，增加学生对古典文学的学习兴趣，随机抽取160名学生做统计调查．统计显示，被调查的学生中，喜欢阅读古典文学的男生有40人，占男生调查人数的一半，不喜欢阅读古典文学的女生有20人．（Ⅰ）完成下面列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.005的情况下认为学生喜欢阅读古典文学与性别有关？（Ⅱ）为鼓励学生阅读古典文学书籍，学校特开展一场古典文学趣味有奖活动，并设置六个奖项（每个人只获一项奖项每项只有一个人获奖，每个人等可能获奖）现从这160名同学中选出4名男生，6名女生参加活动，记ξ为参加活动的同学中获奖的女生人数，求ξ的分布列及数学期望()E ξ．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()n a b c d =+++22．已知函数()22ln f x x x a =+，()2ln xg x ae x =，其中0a >．（Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线斜率为0，求a 的值；（Ⅱ）若对任意的()0,1x ∈，不等式()()0g x f x -<恒成立，求实数a 的取值范围．郑州市2020-2021下期高二数学考试理科评分参考一、解答题二、填空题13． 14．14； 15．150； 16．[)1,+∞三、解答题17．解：66(1)33(33)(13)1(1)(1)m m i z i i m m i i i i +=++=++=+++--+（1）当复数z 是纯虚数时，有33=0130m m +⎧⎨+≠⎩，解得1m =-．所以当实数1m =-时，复数z 是纯虚数．（2）当表示复数z 的点位于第一、三象限时，有(33)(13)0m m ++>，解得1m <-或13m >-，所以当实数()1,1,3m ⎛⎫∈-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭时，表示复数z 的点位于第一、三象限．18．解：（1）展开式的通项为：()152222122rm r m r rr r r mm T C x x C x---+⎛⎫ ⎪==⋅⋅ ⎪⎝⎭， 依题可得：222212=28m m m m C C --⋅⋅⋅， 7m =解得.（2）由（1）知，展开式中的第1，3，5，7项为有理项，且001414172T C x x =⋅⋅=，22145937284T C x x -=⋅⋅=，4414104572560T C x x -=⋅⋅=， 6614151772448.T C x x --=⋅⋅=19．解：（1）213a =，327a =，414a =． （2）猜想：24n a n =+．证明：①当1n =时，12=251+4a =，猜想成立； ②假设当n k =()*k ∈N 时猜想成立，即24k a k =+． 那么，依题可得1222224225(1)424k k k a k a a k k k +⋅+====++++++． 所以，当1n k =+时猜想成立．根据①和②，可知猜想对任何*n ∈N 都成立．20．解：（1）当1a =时，()252ln f x x x x =-+，定义域为()0,+∞，22252(21)(2)()25x x x x f x x x x x-+--'=-+==． 令()0f x '=，解得12x =，或2x =． 当x 变化时，()f x ， ()f x '的变化情况如下表：∴当12x =时，()f x 有极大值，且极大值为192ln 224f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；当2x =时，()f x 有极小值，且极小值为(2)62ln 2f =-+． （2）函数()f x 定义域为(0,)+∞，222(4)2(2)(2)()=2(4)a x a x a x a x f x x a x x x -++--'-++==．令()=0f x '得2ax =或2x =． ①若0a ≤，则当(0,2)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当(2+)x ∈∞，时，()0f x '>，()f x 单调递增．②若04a <<，即022a <<，则当0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当,22a x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当(2+)x ∈∞，时，()0f x '>，()f x 单调递增，③若4a =，即=22a，则当(0+)x ∈∞，时，()0f x '≥，()f x 单调递增， ④若4a >，即22a>，则当(0,2)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当22a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x '<，()f x 单调递减；当+2ax ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭，时，()0f x '>，()f x 单调递增．综上：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间是(2+)∞，，单调递减区间是(0,2)；当04a <<时，()f x 的单调递增区间是0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(2+)∞，，递减区间是,22a ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当4a =时，()f x 的单调递增区间是(0+)∞，，无单调递减区间；当4a >时，()f x 的单调递增区间是(0,2)，+2a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，，单调递减区间是22a ⎛⎫⎪⎝⎭，．21．解：（1）由已知可得调查中男生共有80人，女生有80人，其中喜欢阅读古典文学的有60人 故列联表为：∴2()160(20404060)3210.6677.879()()()()1006080803n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯====>++++⨯⨯⨯． 故能在犯错误概率不超过0.005的情况下认为学生喜欢阅读古典文学与性别有关．2464610151(2)21014C C P C ξ⋅====，3364610808(3)21021C C P C ξ⋅====，4264610903(4)2107C C P C ξ⋅====，5164610244(5)21035C C P C ξ⋅====，60646101(6)210C C P C ξ⋅===． ∴ξ的分布列为 ∴18381()=2+3+4+5+6=3.61421770210E ξ⨯⨯⨯⨯⨯． 22．解：（1）依题可得()4ln f x x a '=+且(1)0f '=，∴4+ln 0a =． ∴41a e=． （2）有题设()()0g x f x -<即22ln (2ln )0x ae x x x a -+<， 整理得()22222ln ln 2ln ln ln =x xxxxa e x x a eaxa ea ea e ⋅++<=⋅⋅⋅，设ln ()x h x x=，则上式即为()2()xh x h ae <． ∵21ln ()x h x x-'=，令21ln ()=0x h x x-'=得x e =．∴当(0,)x e ∈时，()0h x '>，函数()h x 单调递增；当(,)x e ∈+∞时，()0h x '<，函数()h x 单调递减． 又当(0,1)x ∈时，ln ()0xh x x=<，∴()2()xh x h ae<只需2x x ae <，即2x xa e>， 设2()xx H x e=，则212()xx H x e-'=．令212()=0xx H x e -'=得12x =． ∴当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0H x '>，()H x 单调递增；当112x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0H x '<，()H x 单调递减． ∴21()2xx H x ee =≤． ∴12a e>．。
河南省南阳市2020_2021学年高二数学上学期期末考试试题文含解析
河南省南阳市2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题文（含解析）一、选择题（共12小题）.1．下列说法中，正确的是（）A．若命题“非p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是真命题B．命题“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“任意x∈R，都有x2+x+1＞0”C．命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a＞b，则2a≤2b﹣1”D．“a＞b”是“ac2＞bc2”的充分不必要条件2．在△ABC中，2cos A sin B＝sin C，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．正三角形3．设x，y满足约束条件，则z＝2x+3y的最大值为（）A．2 B．3 C．12 D．154．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他的成就代表了中世纪世界数学发展的主流与最高水平．他在著作（数书九章）中叙述了已知三角形的三条边长a，b，c，求三角形面积的方法．其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为．已知△ABC的三条边长为a＝5，b＝7，c＝8，其面积为（）A．10 B．12 C．D．5．已知等比数列的前n项和S n＝4n+a，则a的值等于（）A．﹣4 B．﹣1 C．0 D．16．如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象，给出下列命题：①﹣3是函数y＝f（x）的极值点；②﹣1是函数y＝f（x）的最小值点；③y＝f（x）在x＝0处切线的斜率小于零；④y＝f（x）在区间（﹣3，1）上单调递增．则正确命题的序号是（）A．①②B．②③C．③④D．①④7．2020年11月24日，嫦娥五号发射成功，九天揽月，见证中华民族复兴！11月28日20时58分，嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行．环月轨道是以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，其近月点与月球表面距离为100km，远月点与月球表面距离为400km．已知月球的直径约为3476km，则该椭圆形轨道的离心率约为（）A．B．C．D．8．“x2﹣x﹣6＜0”的一个充分但不必要的条件是（）A．﹣2＜x＜3 B．0＜x＜3 C．﹣3＜x＜2 D．﹣3＜x＜3 9．已知双曲线C的标准方程为，则下列说法中错误的是（）A．双曲线C的离心率为2B．直线x＝2与双曲线C相交的弦长为6C．双曲线与C有相同的渐近线D．双曲线C的焦点到渐近线的距离为10．已知函数f（x）＝（x﹣b）lnx+x2在区间[1，e]上单调递增，则实数b的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3] B．（﹣∞，2e] C．（﹣∞，3] D．（﹣∞，2e2+2e] 11．周长为9的三角形三边长成公差为1的等差数列，最大内角和最小内角分别记为α，β，则sin（α+β）＝（）A．B．C．D．12．已知偶函数f（x）（x≠0）的导函数为f'（x），且满足f（1）＝0，当x＞0时，xf'（x）＜﹣2f（x），则使f（x）＞0成立的x的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（0，1）C．（﹣1，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图是抛物线形拱桥，当水面在如图所示的n处时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位上升1米后，水面宽米．14．数列{a n}中，a1＝1，a2＝（n≥2），则{a n•a n+1}的前2021项和S2021＝．15．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝．16．已知函数，g（x）＝2x+a，若任意，都存在x2∈[2，3]，使得f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）＝4x3+ax2+bx+5的图象在x＝1处的切线方程为y＝﹣12x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在[﹣3，1]上的最值．18．已知等比数列{a n}满足a2＝4，a3a4＝128，数列{a n b n}是首项为1公差为1的等差数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和S n．19．已知圆C过定点F（﹣，0），且与直线x＝相切，圆心C的轨迹为E，曲线E与直线l：y＝k（x+1）（k∈R）相交于A、B两点．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）当△OAB的面积等于时，求k的值．20．在①sin A＝2sin C，②a+c＝6，③ac＝15，这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线中，若问题中的△ABC存在，求出△ABC的面积；若问题中的△ABC不存在，请说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，b＝3，___．21．已知函数f（x）＝lnx+a（1﹣x）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．22．设O为坐标原点，椭圆的焦距为，离心率为，直线l：y＝kx+m（m＞0）与C交于A，B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）设点P（0，1），，求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列说法中，正确的是（）A．若命题“非p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是真命题B．命题“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“任意x∈R，都有x2+x+1＞0”C．命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a＞b，则2a≤2b﹣1”D．“a＞b”是“ac2＞bc2”的充分不必要条件解：对于A，“非p”为真，则p为假，“p或q”为真，所以q为真，所以A对；对于B，命题“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“任意x∈R，都有x2+x+1≥0”，所以B错；对于C，命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”，所以C 错；对于D，当c＝0时，“a＞b”推不出“ac2＞bc2”所以“a＞b”不是“ac2＞bc2”的充分条件，所以D错．故选：A．2．在△ABC中，2cos A sin B＝sin C，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．正三角形解：∵在△ABC中，sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B，∴2cos A sin B＝sin C＝sin A cos B+cos A sin B，即sin A cos B﹣cos A sin B＝sin（A﹣B）＝0，∴A﹣B＝0，即A＝B，则△ABC为等腰三角形．故选：A．3．设x，y满足约束条件，则z＝2x+3y的最大值为（）A．2 B．3 C．12 D．15解：作出x，y满足约束条件表示的平面区域：得到如图的阴影部分，其中A（3，2），O为坐标原点，设z＝F（x，y）＝2x+3y，将直线l：z＝2x+3y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值，∴z最大值＝F（3，2）＝12．故选：C．4．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他的成就代表了中世纪世界数学发展的主流与最高水平．他在著作（数书九章）中叙述了已知三角形的三条边长a，b，c，求三角形面积的方法．其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为．已知△ABC的三条边长为a＝5，b＝7，c＝8，其面积为（）A．10 B．12 C．D．解：将a＝5，b＝7，c＝8代入中，得：＝10．故选：C．5．已知等比数列的前n项和S n＝4n+a，则a的值等于（）A．﹣4 B．﹣1 C．0 D．1 解：∵等比数列的前n项和S n＝4n+a，∴a1＝S1＝4+a，a2＝S2﹣S1＝（16+a）﹣（4+a）＝12，a3＝S3﹣S2＝（64+a）﹣（16+a）＝48，∴122＝48（4+a），解得a＝﹣1．故选：B．6．如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象，给出下列命题：①﹣3是函数y＝f（x）的极值点；②﹣1是函数y＝f（x）的最小值点；③y＝f（x）在x＝0处切线的斜率小于零；④y＝f（x）在区间（﹣3，1）上单调递增．则正确命题的序号是（）A．①②B．②③C．③④D．①④解：由导函数y＝f′（x）的图象知f（x）在（﹣∞，﹣3）单调递减，（﹣3，+∞）单调递增所以①﹣3是函数y＝f（x）的极小值点，即最小值点故①对②不对∵0∈，（﹣3，+∞）又在（﹣3，+∞）单调递增∴f′（0）＞0故③错∵f（x）在（﹣3，+∞）单调递增∴y＝f（x）在区间（﹣3，1）上单调递增故④对故选：D．7．2020年11月24日，嫦娥五号发射成功，九天揽月，见证中华民族复兴！11月28日20时58分，嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行．环月轨道是以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，其近月点与月球表面距离为100km，远月点与月球表面距离为400km．已知月球的直径约为3476km，则该椭圆形轨道的离心率约为（）A．B．C．D．解：长轴长2a＝100+400+3476＝3976，∴a＝1988，焦距2c＝2a﹣（100+）×2＝300，∴c＝150，∴离心率e＝＝≈．故选：A．8．“x2﹣x﹣6＜0”的一个充分但不必要的条件是（）A．﹣2＜x＜3 B．0＜x＜3 C．﹣3＜x＜2 D．﹣3＜x＜3 解：x2﹣x﹣6＜0，解得，﹣2＜x＜3．∴“x2﹣x﹣6＜0”的一个充分但不必要的条件是：0＜x＜3．故选：B．9．已知双曲线C的标准方程为，则下列说法中错误的是（）A．双曲线C的离心率为2B．直线x＝2与双曲线C相交的弦长为6C．双曲线与C有相同的渐近线D．双曲线C的焦点到渐近线的距离为解：由题意，双曲线x2﹣＝1，可得a2＝1，b2＝3，可得a＝1，b＝，c＝＝2，对于A中，可得双曲线的离心率e＝＝2，所以A正确，对于B中，令x＝2，代入双曲线的方程可得4﹣＝1，解得y＝±3，所以直线x＝2与双曲线C相交的弦长为6，所以B正确，对于C中，双曲线x2﹣＝1的渐近线方程为y＝±x，而双曲线y2﹣＝1的渐近线方程为y＝±x，所以C不正确，对于D中，双曲线x2﹣＝1的右焦点为F（2，0），其中一条渐近线的方程为y＝x，由点到直线的距离公式可得d＝＝，所以D正确，故选：C．10．已知函数f（x）＝（x﹣b）lnx+x2在区间[1，e]上单调递增，则实数b的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3] B．（﹣∞，2e] C．（﹣∞，3] D．（﹣∞，2e2+2e] 解：f′（x）＝lnx++2x＝lnx﹣+1+2x，∵f（x）在[1，e]上单调递增，∴f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，若b≤0，显然f′（x）＞0恒成立，符合题意，若b＞0，则f′′（x）＝++2＞0，∴f′（x）在[1，e]上是增函数，∴f′（x）≥f′（1）≥0，即﹣b+1+2≥0，解得0＜b≤3，综上，b的范围是（﹣∞，3]．故选：C．11．周长为9的三角形三边长成公差为1的等差数列，最大内角和最小内角分别记为α，β，则sin（α+β）＝（）A．B．C．D．解：因为周长为9的三角形三边长成公差为1的等差数列，故三边长分别为2，3，4；设中间边对应的角为A；则cos A＝＝；故sin（α+β）＝sin（π﹣A）＝sin A＝＝＝；故选：D．12．已知偶函数f（x）（x≠0）的导函数为f'（x），且满足f（1）＝0，当x＞0时，xf'（x）＜﹣2f（x），则使f（x）＞0成立的x的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（0，1）C．（﹣1，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）解：令g（x）＝x2f（x），由f（x）为偶函数，可得g（﹣x）＝x2f（﹣x）＝x2f（x），所以g（x）为偶函数，g′（x）＝2xf（x）+x2f′（x）＝x（2f（x）+xf′（x）），因为当x＞0时，xf'（x）＜﹣2f（x），即2f（x）+xf′（x）＜0，所以当x＞0时，g′（x）＜0，所以函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，又f（1）＝0，所以g（1）＝f（1）＝0，且g（x）为偶函数，所以函数g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，且g（﹣1）＝g（1）＝0所以当x∈（﹣1，0）∪（0，1）时，g（x）＞0，即当x∈（﹣1，0）∪（0，1）时，f（x）＞0．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图是抛物线形拱桥，当水面在如图所示的n处时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位上升1米后，水面宽2米．解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝my，将A（2，﹣2）代入x2＝my，得m＝﹣2，∴x2＝﹣2y，代入B（x0，﹣1）得x0＝，故水面宽为2m．故答案为：2．14．数列{a n}中，a1＝1，a2＝（n≥2），则{a n•a n+1}的前2021项和S2021＝．解：由于数列{a n}中，a1＝1，a2＝（n≥2），所以数列{}是以1为首项，为公差的等差数列，所以，所以，则，所以＝1﹣．故．故答案为：．15．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝ 6 ．解：椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点（c，0）与抛物线C：y2＝8x的焦点（2，0）重合，可得c＝2，a＝4，b2＝12，椭圆的标准方程为：，抛物线的准线方程为：x＝﹣2，联立，解得y＝±3，∴A（﹣2，3），B（﹣2，﹣3）．则|AB|＝3﹣（﹣3）＝6．故答案为：6．16．已知函数，g（x）＝2x+a，若任意，都存在x2∈[2，3]，使得f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围是（﹣∞，1] ．解：任意，都存在x2∈[2，3]，使得f（x1）≥g（x2），⇔f（x1）min≥[g （x2）]min，，x2∈[2，3]，对于函数，x∈，f′（x）＝1﹣＝＜0，因此函数f（x）在x∈上单调递减，∴f（x）min＝f（1）＝5．对于函数g（x）＝2x+a，在x∈[2，3]单调递增，∴g（x）min＝4+a．∴5≥4+a，解得a≤1．∴实数a的取值范围是（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）＝4x3+ax2+bx+5的图象在x＝1处的切线方程为y＝﹣12x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在[﹣3，1]上的最值．解：（1）f′（x）＝12x2+2ax+b，f′（1）＝12+2a+b＝﹣12．①又x＝1，y＝﹣12在f（x）的图象上，∴4+a+b+5＝﹣12．②由①②得a＝﹣3，b＝﹣18，∴f（x）＝4x3﹣3x2﹣18x+5．（2）f′（x）＝12x2﹣6x﹣18＝0，得x＝﹣1，，f（﹣1）＝16，f（）＝﹣，f（﹣3）＝﹣76，f（1）＝﹣13．∴f（x）的最大值为16，最小值为﹣76．18．已知等比数列{a n}满足a2＝4，a3a4＝128，数列{a n b n}是首项为1公差为1的等差数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解（1）因为数列{a n}是等比数列，故设首项为a1，公比为q，因为a2＝4，a3a4＝128所以，所以q3＝8，解得q＝2，所以a1＝2，所以数列{a n}的通项公式为，因为{a n b n}是首项为1、公差为1的等差数列，所以a n b n＝1+（n﹣1）＝n，因为，所以；（2）由（1）知，同乘得：，作差得：，即S n＝1﹣（）n﹣n•（）n+1，所以．19．已知圆C过定点F（﹣，0），且与直线x＝相切，圆心C的轨迹为E，曲线E与直线l：y＝k（x+1）（k∈R）相交于A、B两点．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）当△OAB的面积等于时，求k的值．解：（Ⅰ）由题意，点C到定点（﹣，0）和直线x＝的距离相等，所以点C的轨迹方程为y2＝﹣x（Ⅱ）由方程组消去x，整理得ky2+y﹣k＝0设点A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣1设直线l与x轴的交点为N，则N（﹣1，0）∵S△OAB＝S△OAN+S△OBN＝|ON||y1|+|ON||y2|＝•1•＝∵S△OAB＝，求得k＝20．在①sin A＝2sin C，②a+c＝6，③ac＝15，这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线中，若问题中的△ABC存在，求出△ABC的面积；若问题中的△ABC不存在，请说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，b＝3，___．解：由题设及正弦定理得，因为sin A≠0，所以，由A+B+C＝180°，可得，故．因为，故，因此B＝60°，选择①：sin A＝2sin C，即a＝2c，根据余弦定理有，＝，代入b ＝3，解得c＝，a＝2，所以面积S＝＝，选择②：＝＝，代入a+c＝6，解得ac＝9，结合a+c＝6，所以a＝c＝3，所以面积S＝，选择③：＝＝，代入ac＝15，解得a+c＝3，结合ac＝15，无解，所以△ABC不存在．21．已知函数f（x）＝lnx+a（1﹣x）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．解：（Ⅰ）f′（x）＝﹣a（x＞0）．若a≤0，则f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．若a＞0，则当x∈时，f′（x）＞0，；当x∈时，f′（x）＜0，所以f（x）在上单调递增，在单调递减．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）无最大值．当a＞0时，f（x）在x＝取得最大值，最大值为＝ln+a＝﹣lna+a﹣1．因此＞2a﹣2等价于lna+a﹣1＜0．令g（a）＝lna+a﹣1，则g（a）在（0，+∞）上单调递增，g（1）＝0．于是，当0＜a＜1时，g（a）＜0；当a＞1时，g（a）＞0，因此，a的取值范围是（0，1）．22．设O为坐标原点，椭圆的焦距为，离心率为，直线l：y＝kx+m（m＞0）与C交于A，B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）设点P（0，1），，求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．解：（1）设椭圆的右焦点为F1，则OM为△AFF1的中位线，所以，所以，因为，所以，所以，所以椭圆C的方程为：；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y整理得：（1+5k2）x2+10mkx+5m2﹣25＝0，所以△＞0，，所以，＝，因为，所以（x1，y1﹣1）⋅（x2，y2﹣1）＝x1x2+y1y2﹣（y1+y2）+1＝﹣4，所以，整理得：3m2﹣m﹣10＝0，解得：m＝2或（舍去），所以直线l过定点（0，2）．。
2020-2021学年河南省新乡市高二(上)期末数学试卷(文科)(附答案详解)
2020-2021学年河南省新乡市高二（上）期末数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“∀x>0，log2x>0”的否定是()A. ∀x>0，log2x≤0B. ∀x≤0，log2x≤0C. ∃x>0，log2x≤0D. ∃x≤0，log2x≤02.已知集合A={x|x2−2x−8<0}，B={x|2+3x>5}，则A∩B=()A. {x|1<x<2}B. {x|x>−2}C. {x|x>4}D. {x|1<x<4}3.现有下列说法：①若x+y=0，则|x−y|=x−y；②若a>b，则a−c>b−c；③命题“若x≥0，则2x+x≥1”的否命题是“若x≥0，则2x+x<1”．其中正确说法的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 34.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bsinB+2csinC=asinA，则△ABC的形状为()A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定5.若b>a>0，m<−a，设X=ba ，Y=b+ma+m，则()A. X>YB. X<YC. X=YD. X与Y的大小关系不确定6.已知函数f(x)=lnx−ax的图象在x=1处的切线方程为x+y+b=0，则f(x)的极大值为()A. −ln2−1B. −ln2+1C. −1D. 17.已知log2(a−1)+log2(b+2)=4，则a+b的最小值为()A. 8B. 7C. 6D. 38.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，M，N是C上不同的两点，若|MF|+|NF|=6，则线段MN的中点Q到y轴的距离为()A. 2B. 3C. 4D. 59.已知数列{a n}中，a n+1−a n=n+1，a1=1，设数列{1a n}的前n项和为S n，则满足S n≥n(n−143)的n的最大值为()A. 3B. 4C. 5D. 610.已知直线l与椭圆E：x29+y24=1交于A，B两点，点P(2,1)是线段AB的中点，则直线l的斜率是()A. −89B. 98C. 89D. −9811.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，且4StanC=b2cosC+ bccosB，a+b=2，c=√3，则S=()A. √34B. √36C. 16D. √31212.设f(x)的定义在R上的函数，其导函数为f′(x)，且满足f(x)+xf′(x)>0，若a=f(1)，b=2f(2)，c=3f(3)，则()A. a>b>cB. c>b>aC. b>c>aD. c>a>b二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=π3，a=√2，C=5π12，则b=______ ．14.设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a3+12=0，S3+12=0，则a6+a5=______ ．15.若函数f(x)=m⋅e x−x2+2x(m<0)在(0,1)上有极值点，则m的取值范围为______ ．16.过双曲线M：x23−y2=1的右焦点F作圆C：x2+(y+1)2=12的切线，此切线与M的右支交于A，B两点，则|AB|=______ ．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知p：|m−1|>a(a>0)，q：方程x25−m +y2m−2=1表示双曲线．(1)若q是真命题，求m的取值范围；(2)若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．18.如图，锐角△ABC外接圆的半径为2，点D在边BC的延长．线上，AB=3，AC=2√3，△ACD的面积为9√74(1)求sin∠BAC；(2)求AD的长．19.在数列{a n}中，已知a1=2，且na n+1=2(n+1)a n−n(n+1)，n∈N∗．−1，求数列{b n}的通项公式；(1)设b n=a nn(2)求数列{a n}的前n项和T n．20.如图，已知圆M：(x−5)2+y2=16与抛物线C：y2=mx(0<m<10)相切．(1)求C的焦点坐标；(2)若直线4x−3y+a=0(a<0)与圆M相切，且与C相交于A，B两点，求|AB|．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为2√55，且焦距为8．(1)求C的方程；(2)设直线l的倾斜角为π3，且与C交于A，B两点，点O为坐标原点，求△AOB面积的最大值．22.已知函数f(x)=2x−alnx(a∈R)．(1)当a=−1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(1e2,+∞)上有两个零点，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：命题是全称命题，则否定是：∃x>0，log2x≤0，故选：C．根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键，是基础题．2.【答案】D【解析】解：∵A={x|−2<x<4}，B={x|x>1}，∴A∩B={x|1<x<4}．故选：D．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：对于①，当x=−1，y=1时，x+y=0，不满足|x−y|=x−y，所以①错；对于②，由不等式的性质可知，若a>b，则a−c>b−c，所以②对；对于③，命题“若x≥0，则2x+x≥1”的否命题是“若x<0，则2x+x<1，所以③错．故选：B．①特值法判断；②由不等式性质判断；③求出否命题判断．本题以命题的真假判断为载体，考查了不等式的性质，属基础题．4.【答案】C【解析】解：因为bsinB +2csinC =asinA ，利用正弦定理可得：b 2+2c 2=a 2， 所以cosA =b 2+c 2−a 22bc=−c 22bc<0，所以A >90°，所以△ABC 的形状为钝角三角形． 故选：C ．利用正弦定理化简已知等式可得b 2+2c 2=a 2，进而根据余弦定理可求cosA <0，求得A >90°，即可判断三角形的形状．本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理，余弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】 【分析】本题考查不等式大小的比较，注意作差法的应用，属于基础题． 根据题意，用作差法分析X −Y 的符号，即可得答案． 【解答】解：根据b >a >0，m <−a ，可得b −a >0，m +a <0，m <0， 所以X −Y =ba −b+ma+m =m(b−a)a(a+m)>0， 所以X >Y ． 故选：A ．6.【答案】A【解析】解：因为f(x)=lnx −ax ，所以f′(x)=1x −a ，(x >0)， 又因为函数f(x)在图象在x =1处的切线方程为x +y +b =0， 所以f(1)=−a =−b −1，f′(1)=1−a =−1，解得a =2，b =1， 故f′(x)=1x −2=1−2x x，令f′(x)>0，解得：0<x <12，令f′(x)<0，解得：x >12， 故f(x)在(0,12)递增，在(12,+∞)递减，故f(x)在x =12处取得极大值， 而f(12)=ln 12−1=−ln2−1， 故选：A ．求出函数的导数，根据切线方程求出a ，b 的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极大值即可．本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及切线方程问题，考查转化思想，是中档题．7.【答案】B【解析】解：∵log 2(a −1)+log 2(b +2)=log 2[(a −1)(b +2)]=4， ∴(a −1)(b +2)=16，且a −1>0，b +2>0，∴(a −1)+(b +2)≥2√(a −1)(b +2)=8，a +b ≥7，当且仅当a −1=b +2，即a =5，b =2时等号成立， ∴a +b 的最小值为：7． 故选：B ．根据条件可得出(a −1)(b +2)=16，并且a −1>0，b +2>0，然后根据基本不等式即可得出(a −1)+(b +2)≥8，然后即可求出a +b 的最小值．本题考查了对数的运算性质，对数函数的定义域，基本不等式求最值的方法，注意说明等号成立的条件，考查了计算能力，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：因为C 的方程为y 2=4x ，所以F(1,0)， 过M 作准线x =−1的垂线，垂足为M 1，过N 作准线的垂线，垂足为N 1，因为|MF|+|NF|=6，所以|MM 1|+|NN 1|=6， 四边形MM 1N 1N 为梯形，由梯形的中位线定理可知， 线段MN 的中点Q 到C 的准线x =−1的距离为62=3， 故点Q 到y 轴的距离为3−1=2． 故选：A ．求出F的坐标，过M作准线x=−1的垂线，垂足为M1，过N作准线的垂线，垂足为N1，则可得四边形MM1N1N为梯形，利用梯形的中位线的性质即可求解．本题考查了抛物线的性质，涉及到梯形的中位线的性质，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：由题意，可知a1=1，a2−a1=2，a3−a2=3，…，a n−a n−1=n，各项相加，可得a n=1+2+3+⋯+n=n(n+1)2，∴1a n =2n(n+1)=2(1n−1n+1)，∴S n=1a1+1a2+⋯+1a n=2×(1−12)+2×(12−13)+⋯+2×(1n−1n+1) =2×(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)=2nn+1，由S n≥n(n−143)，可得2nn+1≥n(n−143)，化简整理，得3n2−11n−20≤0，解得1≤n≤5，∴满足S n≥n(n−143)的n的最大值为5．故选：C．本题先用累加法计算出数列{a n}的通项公式，进一步计算出数列{1an}的通项公式，再运用裂项相消法计算出前n项和S n的表达式，再代入不等式进行计算，即可得到满足S n≥n(n−143)的n的最大值．本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及数列求和与不等式的综合问题．考查了转化与化归思想，不等式的运算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．10.【答案】A【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，因为点P(2,1)是线段AB的中点所以x 1+x 2=4，y 1+y 2=2．因为A ，B 在椭圆E 上，所以{x 129+y 124=1x 229+y 224=1， 所以x 12−x 229+y 12−y 224=0，所以4(x 1−x 2)9=−2(y 1−y 2)4，则y 1−y 2x1−x 2=−89，即直线l 的斜率是−89．故选：A ．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，根据题意可得x 1+x 2=4，y 1+y 2=2.把A ，B 坐标代入椭圆方程，用点差法即可得出答案．本题考查椭圆的方程，解题中注意点差法的应用，属于中档题．11.【答案】D【解析】解：因为4S⋅cosC sinC=b 2cosC +bccosB ，所以2abcosC =b 2cosC +bccosB ，所以2sinAcosC =sinBcosC +sinCcosB =sin(B +C)=sinA ， 因为sinA ≠0，所以cosC =12，sinC =√32，由cosC =12=a 2+b 2−c 22ab=(a+b)2−3−2ab2ab，得ab =13，所以S =12absinC =√312．故选：D ．利用三角形的面积公式，正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式可得cosC =12，根据余弦定理可求ab 的值，进而利用三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了三角形的面积公式，正弦定理，两角和的正弦公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．12.【答案】B【解析】解：因为f(x)满足f(x)+xf′(x)>0，令g(x)=xf(x)，则g′(x)=f(x)+xf′(x)>0，所以g(x)在R上是增函数，所以g(1)<g(2)<g(3)，即f(1)<2f(2)<3f(3)，故选：B．令g(x)=xf(x)，根据函数的单调性判断a，b，c的大小即可．本题考查了函数的单调性问题，考查函数值的大小比较，是基础题．13.【答案】√3【解析】解：因为A=π−B−C=π4，所以bsinπ3=√2sinπ4，解得b=√3．故答案为：√3．由已知利用三角形内角和定理可求A，利用正弦定理即可求解．本题主要考查了三角形内角和定理以及正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．14.【答案】0【解析】解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若a3+12=0，S3+12=0，即a3=−12，S3=−12，则有S3=a1+a2+a3=−12+−12q +−12q2=−12，解得q=−1，则a6+a5=−a5+a5=0，故答案为：0．根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，结合题意可得S3=a1+a2+a3=−12+−12q+−12q2=−12，解可得q=−1，计算可得答案．本题考查等比数列的前n项和，涉及等比数列的通项公式，属于基础题．15.【答案】(−2,0)【解析】解：f′(x)=m ⋅e x −2x +2(m <0)， 所以f′(x)在(0,1)上为减函数， 所以{f′(0)=m +2>0f′(1)=me <0，解得−2<m <0， 故答案为：(−2,0)．求出函数的导数，结合函数的极值点，得到关于m 的不等式，解出即可．本题考查了函数的单调性，极值点问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题．16.【答案】2√3【解析】解：因为直线过双曲线的右焦点，设直线方程为y −0=k(x −2)， 由直线与圆相切知√1+k 2=√22， 解得k =1或k =17，当k =17时，该直线不与双曲线右支相交于两点，故舍去， 所以直线方程为y =x −2， 联立双曲线x 23−y 2=1 的方程，消元得2x 2−12x +15=0．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=6，x 1x 2=152，所以|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√2×√62−4×152=2√3．故答案为：2√3．设直线方程为y −0=k(x −2)，利用直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，即√1+k 2=√22，解得k ，进而可得直线的方程，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，再联立双曲线的方程，得关于x 的一元二次方程，由韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，由弦长公式可得|AB|的值．本题考查直线与椭圆，圆的位置关系，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)由题意可得(5−m)(m −2)<0，解得m <2或m >5．故m 的取值范围为(−∞,2)∪(5,+∞)． (2)由题意可得p ：m >a +1或m <−a +1． 因为p 是q 的充分不必要条件，所以(−∞,−a +1)∪(a +1,+∞)⫋(−∞,2)∪(5,+∞)． 所以{−a +1≤2a +1≥5，解得a ≥4．故a 的取值范围为[4,+∞)．【解析】(1)利用含有绝对值的不等式的解法进行求解即可；(2)先将p 进行等价转化为m >a +1或m <−a +1，然后利用充分条件与必要条件的定义将p 是q 的充分不必要条件转化为集合的关系进行研究，列式求解即可．本题考查了充分条件与必要条件的应用，涉及了绝对值不等式的解法、双曲线标准方程的理解和应用，属于中档题．18.【答案】解：(1)因为ACsinB =2R =4，所以sinB =√32，又因为△ABC 为锐角三角形， 所以cosB =12． 因为ABsin∠ACB =2R =4，所以sin∠ACB =34，cos∠ACB =√74，可得sin∠BAC =sin(B +∠ACB)=sinBcos∠ACB +cosBsin∠ACB =√21+38．(2)由(1)知sin∠ACD =34，从而cos∠ACD =−√74．因为△ACD 的面积为9√74，所以12⋅AC ⋅CD ⋅sin∠ACD =9√74，解得CD =√21．由AD 2=AC 2+CD 2−2⋅AC ⋅CD ⋅cos∠ACD =54， 得AD =3√6．【解析】(1)由题意利用正弦定理可求sin B 的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求cos B 的值，由正弦定理可求sin∠ACB ，利用同角三角函数基本关系式可求cos∠ACB 的值，进而根据两角和的正弦公式即可计算得解sin∠BAC 的值．(2)由(1)知sin∠ACD =34，利用同角三角函数基本关系式可求cos∠ACD ，利用三角形的面积公式可求CD 的值，进而根据余弦定理可求AD 的值．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦公式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19.【答案】解：(1)依题意，由na n+1=2(n +1)a n −n(n +1)，两边同时乘以1n(n+1)，可得an+1n+1=2⋅a n n−1，两边同时减1，可得a n+1n+1−1=2(ann −1)，即b n+1=b n ， ∵b n =a 11−1=1，∴数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列， ∴b n =2n−1，n ∈N ∗，(2)由(1)知，a n =(b n +1)⋅n =(2n−1+1)⋅n =n ⋅2n−1+n ，∴T n =a 1+a 2+a 3+⋯+a n=(1×1+1)+(2×21+2)+(3×22+3)+⋯+(n ×2n−1+n)=(1×1+2×2+3×22+⋯+n ⋅2n−1)+n(1+n)2，设S n =1×1+2×2+3×22+⋯+n ⋅2n−1，① 则2S n =1×2+2×22+3×23+⋯+n ×2n ，② ①−②，得−S n =1+2+22+⋯+2n−1−n ⋅2n=1−2n 1−2−n ×2n =−(n −1)⋅2n −1， ∴S n =(n −1)⋅2n +1，∴T n =S n +n(n +1)2=(n −1)⋅2n +1+n(n +1)2=(n −1)⋅2n +n 2+n+22．【解析】(1)先根据题干中的递推公式进行转化可发现数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列，即可计算出数列{b n }的通项公式；(2)先根据第(1)题的结果计算出数列{a n }的通项公式，然后运用分组求和法和错位相减法即可计算出前n 项和T n ．本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及数列求和问题．考查了整体思想，转化与化归思想，综合法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．20.【答案】解：(1)联立{y 2=mx(x −5)2+y 2=16，得x 2+(m −10)x +9=0， 依题意可知△=(m −10)2−36=0． 因为0<m <10，所以m =4， 故C 的焦点坐标为(1,0)．(2)因为直线4x −3y +a =0与圆M 相切， 所以M 到直线4x −3y +a =0的距离d =|20+a|5=4，因为a <0，所以a =−40．联立{y 2=4x 4x −3y −40=0，得y 2−3y −40=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则y 1+y 2=3，y 1y 2=−40，则|AB|=√1+(34)2⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=654．【解析】(1)联立抛物线线与圆方程，由△=0求得m 即可；(2)由直线4x −3y +a =0与圆M 相切，可得a =−40.联立直线与抛物线方程，利用弦长公式计算AB ．本题考查了抛物线方程、直线与抛物线的位置关系，考查了计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)依题意可知{e =ca =2√552c =8a 2=b 2+c 2，解得a =2√5，b =2，c =4 故C 的方程为x 220+y 24=1．(2)依题意可设直线l 的方程为y =√3x +m ， 联立{y =√3x +mx 220+y 24=1，整理得16x 2+10√3mx +5m 2−20=0，则△=300m 2−64(5m 2−20)>0，解得−8<m <8． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=−5√3m8，x 1x 2=5m 2−2016，|AB|=√1+3⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√75m 264−5m 2−204=√−5m 2+3204，原点到直线l 的距离d =√1+3=|m|2，则△AOB 的面积S =12d ⋅|AB|=12×|m|2√−5m2+3204=√−5(m 2−32)2+512016，当且仅当m 2=32，即m =±4√2时，△AOB 的面积有最大值，且最大值为2√5．【解析】(1)根据椭圆的离心率和焦距列方程组，解得a ，b ，c ，进而可得椭圆的方程． (2)依题意可设直线l 的方程为y =√3x +m ，联立直线l 与椭圆的方程，得关于x 的一元二次方程，可得△>0，解得−8<m <8.设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，由点到直线的距离公式可得原点到直线l 的距离d ，再计算三角形AOB 的面积最大值，即可．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)当a =−1时，f(x)=2x +lnx ，则f′(x)=−2x 2+1x =x−2x 2(x >0)，令f′(x)≥0，解得：x ≥2，故f(x)在[2,+∞)递增， 令f′(x)<0，解得：0<x <2，故f(x)在(0,2)递减， 故a =−1时，f(x)的递减区间是(0,2)，递增区间是[2,+∞)； (2)当a =0时，f(x)=2x 没有零点，则a =0不合题意， 当a ≠0时，令f(x)=2x −alnx =0，得1a =xlnx 2，设g(x)=xlnx 2，则g′(x)=lnx+12，由g′(x)>0，解得：x >1e ，由g′(x)<0，得1e 2<x <1e ， 故g(x)在(1e 2,1e )上单调递减，在(1e ,+∞)上单调递增， 故g(x)min =g(1e )=−12e ，∵g(1e2)=−1e2，∴−12e<1a<−1e2，解得：−e2<a<−2e，故a的取值范围是(−e2,−2e)．【解析】(1)代入a的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(2)a≠0时，得1a =xlnx2，设g(x)=xlnx2，根据函数的单调性求出g(x)的最大值，得到关于a的不等式，解出即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，分类讨论思想，是中档题．。
河南省郑州市2020-2021学年高二下学期期末考试 文科数学试题 含答案
郑州市2020-2021下期高二文科数学考试评分参考一、选择题题号123456789101112答案B B C A B D A C B D D A二、填空题13.10；14.64%；15.),29(*292121N ∈<=-n n b b b b b b n n 备注:考生不写小括号内容不给分.16.32.25(或者4129).三、解答题17．解:(1)由题意知，)4,6(,)3,2(,)0,5(-=--==BC AB OA ，所以)3,3()3,2()0,5(-=--+=+=AB OA OB ……………………………………1分同理)1,3()4,6()3,3(-=-+-=+=BC OB OC ，…………………………………2分由BC AD =，得)4,1(-D ,…………………………………………………………4分则点D 对应的复数i z 41+-=．……………………………………………………5分（2）由0=⋅BC AB ，得BC AB ⊥，即BC AB ⊥.∴四边形ABCD 为矩形.∴A 、B 、C 、D 四点共圆．……………………………………………………………10分18.(选修4-4：坐标系与参数方程）解:（1）因为曲线E 的极坐标方程为ρ2＋ρ2sin 2θ＝4．将ρ2＝x 2＋y 2，ρsinθ＝y ，代入上式，得x 2＋2y 2＝4．所以曲线E 的直角坐标方程为12422=+y x ;…………………………………………3分又∵曲线E 为椭圆,其左顶点坐标为)0,2(-,∴直线l 的参数方程为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=t y t x 22222(t 为参数)．……………………………………6分（2）设椭圆E 的内接矩形在第一象限的顶点为)2(0)sin 2,cos 2(πθθθ<<…………………………………………………………8分∴椭圆E 的内接矩形的周长y 为:)sin(64sin 24cos 8ϕθθθ+=+=y (其中62cos ,62sin ==ϕϕ)………………………………………………………10分∴椭圆E 的内接矩形的周长的最大值为64．…………………………………………12分(选修4-5：不等式选讲）解：（1）依题意，f （x ）＝21|x ﹣1|﹣|x +1|＝⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥--<<----≤+1,232111,21231,2321x x x x x x …………………2分所以，当1-=x 时，1)(max =x f ；………………3分函数f （x ）的图象如图所示：……………………6分（2）由（1）可知，利用图象法，直线y ＝x ﹣6只与f （x ）的图像相交于A ，由⎪⎩⎪⎨⎧--=-=,2321,6x y x y 解得)3,3(-A ……………………………………………………………………………10分故当3≥x 时，直线y ＝x ﹣6在f （x ）图象的上方，即f （x ）≤x ﹣6，故解集为)[3,+∞．………………………………………………………………………12分19．解：（1）根据所给等高条形图数据，完成2×2列联表如下：晚上白天合计男婴104050女婴203050合计3070100…………………………………………………3分根据等高条形图,在男婴样本中白天出生的频率要高于女婴样本中白天出生的频率;根据列联表,男婴样本中白天出生的频率为80%,女婴样本中白天出生的频率为60%.因此可以直观得到结论:婴儿的性别和出生时间有关系(二者选其一即可给分)………6分（2）根据（1）中列联表，计算K 2＝2110030705050)10302040(1002=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯≈4.762>2.706，……………………………11分所以能在犯错误概率不超过0.1的前提下认为婴儿的性别和出生的时间有关．…………………………12分20．(选修4-4：坐标系与参数方程）解:(1)依题意，因为射线l :)0(33≥=x x y ，故射线l :)0(6≥=ρπθ；……………3分因为C 1的参数方程为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t t y t t x 11，可得曲线C 1的普通方程:422=-y x ．…………6分（2）曲线C 1的方程为422=-y x ，故曲线C 1的极坐标方程为42cos 2=θρ．………7分设点A 、B 对应的极坐标分别为),(,),(21θρθρ，联立l 与1C ，得⎪⎩⎪⎨⎧=θρπ=θ,42cos ,62解得A 622(π………………………………………9分联立l 与2C ，得⎪⎩⎪⎨⎧θ=π=θ,sin 8,6ρ解得B )6,4(π…………………………………………11分故.22421-=-=ρρAB …………………………………………………………12分(选修4-5：不等式选讲）解：（1）当a ＝﹣1时，原不等式可化为9312+≥++-x x x 等价于⎩⎨⎧+≥----≤9321,3x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧+≥++-<<-9321213x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧+≥++-≥,9312,21x x x x 即25-≤x 或.27≥x 所以不等式的解集是),27()25,(+∞⋃--∞．……………………………6分(每个可给2分)(2)若存在这样的a ，使得43)(+≤++x x x f 的解集中包含[0，1]．即当]1,0[∈x 时,43)(+≤++x x x f 恒成立.…………………………………………7分可得432+≤+++x x a x ,得12≤+a x ,得2121a x a -≤≤--……………………9分所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤--≥-,021,121a a 解得1-=a …………………………………………………………11分所以存在这样的a ，满足1-=a 使得43)(+≤++x x x f 的解集中包含[0，1].12分21．解：（1）应该选择模型①．……………………………………………………………1分理由为:模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高.故选模型①比较合适．…………………………………………………………………3分(2)由(1)知,选用模型①,x y a b =⋅,用两边取对数,得ax b y ln )(ln ln +=令z ＝ln y ，z 与温度x 可以用线性回归方程来拟合，则a x b z ln )(ln +=………………………………………………………………4分0.2916848.48)())((ln 81281≈=---=∑∑==i i i i ix x z z x x b ……………………………………………6分36.42529.089.2ln ln -≈⨯-=-=b x z a …………………………………………8分于是有ln y ＝0.29x ﹣4.36，所以产卵数y 关于温度x 的回归方程为36.429.0-=x ey .………………………………10分当x ＝35时，79.536.43529.0e e y ==-⨯≈327（个）……………………………………11分所以，在气温在35℃时，一个红铃虫的产卵数的预报值为327个．………………12分22．解：记△DEF 、△DEP 、△DFP 、△EFP 的面积依次为S 1、S 2、S 3、S ，记DE ＝m ,DF ＝n ,DP ＝p,结论1：2322212S S S S ++=………………………………………………………………2分证明：过D 作DH ⊥EF ，垂足为H ，连接PH ，)(41)21()21()21(222222222232221p n p m n m np mp mn S S S ++=++=++在Rt △DEF 中，DH ＝22n m mn EF DF DE +=⋅,PH ＝22DH DP +＝22222n m n m p ++，)(4121222222222222222p m p n n m n m n m p n m S ++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++=2322212S S S S ++=……………………………………………………………………6分结论2：22221111p n m h ++=．……………………………………………………………8分证明：过D 作DH ⊥EF ，垂足为H ，连接PH ，过D 作DG ⊥PH ，垂足为G ，设DG=h ∵222222p n p m n m mnph ++=,∴22222222222221111pn m p n m p n p m n m h ++=++=．∴22221111p n m d ++=．……………………………………………………12分。
2020-2021学年河南省郑州市高二(下)期末数学试卷(理科)
2020-2021学年河南省郑州市高二（下）期末数学试卷（理科）试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）若复数z=2-i，则|z|=（）A. $\sqrt{3}$B.3C. $\sqrt{5}$D.52.（单选题，5分）已知函数f（x）的导函数是f'（x），且满足f（x）=2lnx+x2f'（1），则f'（1）=（）A.-2B.0C.1D.23.（单选题，5分）已知随机变量X的分布列如表．则实数a的值为（）B. $\frac{1}{4}$C. $\frac{1}{3}$D. $\frac{1}{2}$4.（单选题，5分）下列四个命题：（1）两个变量相关性越强则相关系数r就越接近于1；（2）两个模型中，残差平方和越小的模型拟合的效果越好；（3）在回归模型中，相关指数R2表示解释变量x对于预报变量y的贡献率，R2越接近于1，表示回归效果越好；（4）在独立性检验中，随机变量K2的观测值k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大．其中正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.45.（单选题，5分）校园歌手大赛共有5名同学成功进人决赛，其中2名男同学，3名女同学．现在他们站成一排合影留念，要求2名男同学站在两端，则有（）种不同的站法．A.2B.6C.12D.246.（单选题，5分）用反证法证明命题：若|x-1|+（y-1）2=0，则x=y=1，应提出的假设为（）A.x，y至少有一个不等于1B.x，y至多有一个不等于1C.x，y都不等于1D.x，y只有一个不等于17.（单选题，5分）“关注夕阳，爱老敬老”，某商会从2016年开始向晚晴山庄养老院捐赠物资和现金．如表记录了第x年（2016年为第一年）捐赠现金y（万元）的数据情况．由表中数据得到了y关于x的线性回归方程为 $\hat{y}=\hat{b}x+2.95$ ，预测2021年该商会捐赠现金______万元（）B.5.25C.5.65D.4.758.（单选题，5分）2021年5月11日和12日进行了郑州市第三次质量检测．对全市的理科数学成绩进行统计分析，发现数学成绩近似地服从正态分布N（96，52）．据此估计：在全市抽取6名高三学生的数学成绩，恰有2名同学的成绩超过96分的概率为（）A. $\frac{1}{32}$B. $\frac{15}{32}$C. $\frac{1}{64}$D. $\frac{15}{64}$9.（单选题，5分）九月是某集团校的学习交流活动月，来自兄弟学校的4名同学（甲校2名，乙校、丙校各1名）到总校交流学习．现在学校决定把他们分到1，2，3三个班，每个班至少分配1名同学．为了让他们能更好的融入新的班级，规定来自同一学校的同学不能分到同一个班，则不同的分配方案种数为（）A.12B.18C.24D.3010.（单选题，5分）如图，第1个图形是由正三边形“扩展”而来，第2个图形是由正四边形“扩展”而来．以此类推，第n个图形是由正（n+2）边形“扩展”而来，其中n∈N*，那么第8个图形共有（）个顶点A.72B.90C.110D.13211.（单选题，5分）若函数f（x）=x3-3x在区间（2a，3-a2）上有最大值，则实数a的取值范围是（）A.（-3，1）B.（-2，1）C. $({-3，-\frac{1}{2}})$D.（-2，-1]12.（单选题，5分）已知函数f（x）= $\left\{\begin{array}{l}{8x-m，x≤\frac{1}{2}}\\{x{e}^{x}-2mx+m，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$ （e是自然对数）在定义域R上有三个零点，则实数m的取值范围是（）A.（e，+∞）B.（e，4）C.（e，4]D.[e，4]13.（填空题，5分）平面内一点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离为：$d=\frac{|{A{x_0}+B{y_0}+C}|}{\sqrt{{A^2}+{B^2}}}$ ．由此类比，空间中一点M（1，1，1）到平面a：x+y+z+3=0的距离为 ___ ．14.（填空题，5分）已知m，n是不相等的两个实数，且m，n∈{-1，1，5，8}．在方程mx2+ny2=1所表示的曲线中任取一个，此曲线是焦点在x轴上的双曲线的概率为 ___ ．15.（填空题，5分）2021年7月1日是中国共产党成立100周年纪念日，2021年也是“十四五”开局之年，必将在中国历史上留下浓墨重彩的标注．作为当代中学生，需要发奋图强，争做四有新人，首先需要学好文化课．现将标有数字2，0，2，1，7，1的六张卡片排成一排，组成一个六位数，则共可组成 ___ 个不同的六位数．16.（填空题，5分）已知关于x的方程${e^x}-\frac{2lnx+a}{x^2}=\frac{1}{x}$ 在（0，+∞）上有解，则实数a的取值范围是 ___ ．17.（问答题，10分）已知复数 $z=3+i+\frac{6m}{1-i}$ （m∈R）．（Ⅰ）当实数m取什么值时，复数z是纯虚数；（Ⅱ）当实数m取什么值时，复平面内表示复数z的点位于第一、三象限．18.（问答题，12分）在二项式 ${({{x^2}+\frac{2}{\sqrt{x}}})^m}$ （m∈N*）的展开式中，第三项系数是倒数第三项系数的 $\frac{1}{8}$ ．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）求展开式中所有的有理项．19.（问答题，12分）已知数列{a n}满足${a_1}=\frac{2}{5}$ ，a n+1a n+2a n+1=2a n，（n∈N*）．（Ⅰ）计算a2，a3，a4的值；（Ⅱ）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．20.（问答题，12分）已知函数f（x）=x2-（a+4）x+2alnx．（Ⅰ）当a=1时，求函数y=f（x）的极值；（Ⅱ）讨论函数y=f（x）的单调性．21.（问答题，12分）2021年5月14日，郑州国际会展中心举办了关于“服务教育共筑梦想暨中小学书香校园发展论坛”的活动．某中学为进一步推进书香校园系列活动，增加学生对古典文学的学习兴趣，随机抽取160名学生做统计调查．统计显示，被调查的学生中，喜欢阅读古典文学的男生有40人，占男生调查人数的一半，不喜欢阅读古典文学的女生有20人．（Ⅰ）完成下面列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.005的情况下认为学生喜欢阅读古典文学与性别有关？项（每个人只获一项奖项每项只有一个人获奖，每个人等可能获奖）现从这160名同学中选出4名男生，6名女生参加活动，记ξ为参加活动的同学中获奖的女生人数，求ξ的分布列及数学期望E（ξ）．附：22.（问答题，12分）已知函数f（x）=2x2+xlna，g（x）=ae2x lnx，其中a＞0．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为0，求a的值；（Ⅱ）若对任意的x∈（0，1），不等式g（x）-f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．2020-2021学年河南省郑州市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）若复数z=2-i，则|z|=（）A. $\sqrt{3}$B.3C. $\sqrt{5}$D.5【正确答案】：C【解析】：由复数模公式可解决此题．【解答】：解：由复数z=2-i，得|z|= $\sqrt{{2}^{2}+(-1)^{2}}$ = $\sqrt{5}$ ．故选：C．【点评】：本题考查复数模的运算，考查数学运算能力，属于基础题．2.（单选题，5分）已知函数f（x）的导函数是f'（x），且满足f（x）=2lnx+x2f'（1），则f'（1）=（）A.-2B.0C.1D.2【正确答案】：A【解析】：利用导数的公式求导即可．【解答】：解：$f'(x)=\frac{2}{x}+2x\bullet f'(1)$ ，所以f'（1）=2+2f'（1），解得f'（1）=-2．故选：A．【点评】：本题考查常见函数的导数公式，属于基础题．3.（单选题，5分）已知随机变量X的分布列如表．则实数a的值为（）B. $\frac{1}{4}$C. $\frac{1}{3}$D. $\frac{1}{2}$【正确答案】：B【解析】：利用分布列的性质，列出方程求解即可．【解答】：解：由题意可知 $\frac{1}{6}+\frac{1}{3}+a+a$ =1，解得a= $\frac{1}{4}$ ．故选：B．【点评】：本题考查离散型随机变量的分布列的性质的应用，是基础题．4.（单选题，5分）下列四个命题：（1）两个变量相关性越强则相关系数r就越接近于1；（2）两个模型中，残差平方和越小的模型拟合的效果越好；（3）在回归模型中，相关指数R2表示解释变量x对于预报变量y的贡献率，R2越接近于1，表示回归效果越好；（4）在独立性检验中，随机变量K2的观测值k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大．其中正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】：B【解析】：直接利用相关系数的定义，残差平方和的定义，独立性检测的定义判断（1）（2）（3）（4）的结论．【解答】：解：对于（1），两个变量相关性越强则相关系数r就越接近于±1，故（1）错误；对于（2），两个模型中，残差平方和越小的模型拟合的效果越好，故（2）正确；对于（3），在回归模型中，相关指数R2表示解释变量x对于预报变量y的贡献率，R2越接近于1，表示回归效果越好，故（3）正确；对于（4），在独立性检验中，随机变量K2的观测值k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越小，故（4）错误．故选：B．【点评】：本题考查的知识要点：相关系数的定义，残差平方和的定义，独立性检测的定义，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．5.（单选题，5分）校园歌手大赛共有5名同学成功进人决赛，其中2名男同学，3名女同学．现在他们站成一排合影留念，要求2名男同学站在两端，则有（）种不同的站法．A.2B.6C.12D.24【正确答案】：C【解析】：根据题意，依次分析男生、女生的排法，由分步计数原理计算可得答案．【解答】：解：根据题意，分2步进行分析：① 将2名男生安排在两端，有A22=2种排法，② 将3名女生安排在中间三个位置，有A33=6种排法，则有2×6=12种排法；故选：C．【点评】：本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．6.（单选题，5分）用反证法证明命题：若|x-1|+（y-1）2=0，则x=y=1，应提出的假设为（）A.x，y至少有一个不等于1B.x，y至多有一个不等于1C.x，y都不等于1D.x，y只有一个不等于1【正确答案】：A【解析】：反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的．【解答】：解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“x，y∈R，若|x-1|+|y-1|=0，则x=y=1”，用反证法证明时应假设x≠1或y≠1，即x，y至少有一个不等于1．故选：A．【点评】：本题考查了反证法，反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧．7.（单选题，5分）“关注夕阳，爱老敬老”，某商会从2016年开始向晚晴山庄养老院捐赠物资和现金．如表记录了第x年（2016年为第一年）捐赠现金y（万元）的数据情况．由表中数据得到了y关于x的线性回归方程为 $\hat{y}=\hat{b}x+2.95$ ，预测2021年该商会捐赠现金______万元（）B.5.25C.5.65D.4.75【正确答案】：D【解析】：利用回归直线过样本中心点求出回归方程的斜率，再进行预测．【解答】：解： $\overline{x}=\frac{2+3+4+5}{4}=3.5，\overline{y}=\frac{3.5+4+4+4.5}{4}=4$ ，因为 $\overline{y}=\hat{b}\overline{x}+2.95，\;\\;即4=3.5\hat{b}+2.95$ 即：$4=3.5\hat{b}+2.95$ ，解得 $\hat{b}=0.3$ ，所以回归方程为 $\hat{y}=0.3x+2.95$ ，2021年为第6年，所以当x=6时， $\hat{y}=0.3×6+2.95=4.75$ ．故选：D．【点评】：本题考查线性回归方程的求解及其预测功能，属于基础题．8.（单选题，5分）2021年5月11日和12日进行了郑州市第三次质量检测．对全市的理科数学成绩进行统计分析，发现数学成绩近似地服从正态分布N（96，52）．据此估计：在全市抽取6名高三学生的数学成绩，恰有2名同学的成绩超过96分的概率为（）A. $\frac{1}{32}$B. $\frac{15}{32}$C. $\frac{1}{64}$D. $\frac{15}{64}$【正确答案】：D【解析】：先利用正态分布对称性，求出抽取1名高三学生，数学成绩超过96分的概率为$\frac{1}{2}$ ，然后在利用二项分布的概率公式求解即可．【解答】：解：由题意可知，数学成绩近似地服从正态分布N（96，52），所以抽取1名高三学生，数学成绩超过96分的概率为 $\frac{1}{2}$ ，故所求概率为 ${C}_{6}^{2}×(\frac{1}{2})^{2}×(1-\frac{1}{2})^{4}=\frac{15}{64}$ ．故选：D．【点评】：本题考查了正态分布的性质以及二次分布概率公式的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．9.（单选题，5分）九月是某集团校的学习交流活动月，来自兄弟学校的4名同学（甲校2名，乙校、丙校各1名）到总校交流学习．现在学校决定把他们分到1，2，3三个班，每个班至少分配1名同学．为了让他们能更好的融入新的班级，规定来自同一学校的同学不能分到同一个班，则不同的分配方案种数为（）A.12B.18C.24D.30【正确答案】：D【解析】：根据题意，分2步进行分析：① 将4名同学分为3组，要求甲校2名不在同一组，② 将分好的3组安排到3个班级，由分步计数原理计算可得答案．【解答】：解：根据题意，分2步进行分析：① 将4名同学分为3组，要求甲校2名不在同一组，有C42-1=5种分组方法，② 将分好的3组安排到3个班级，有A33=6种安排方法，则有5×6=30种分配方法，故选：D．【点评】：本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．10.（单选题，5分）如图，第1个图形是由正三边形“扩展”而来，第2个图形是由正四边形“扩展”而来．以此类推，第n个图形是由正（n+2）边形“扩展”而来，其中n∈N*，那么第8个图形共有（）个顶点A.72B.90C.110D.132【正确答案】：C【解析】：列出顶点数与多边形边数，分析归纳出变化规律，从而解得．【解答】：解：由题意可得第n个图形顶点数1 3+3×3=122 4+4×4=203 5+5×5=304 6+6×6=425 ……6 ……7 ……8 10+10×10=110【点评】：本题考查了数据的分析能力及归纳推理能力，属于中档题．11.（单选题，5分）若函数f（x）=x3-3x在区间（2a，3-a2）上有最大值，则实数a的取值范围是（）A.（-3，1）B.（-2，1）C. $({-3，-\frac{1}{2}})$D.（-2，-1]【正确答案】：D【解析】：对f（x）求导得f′（x）=3x2-3，求得其最大值点，再根据f（x）在区间（2a，3-a2）上有最大值，求出a的取值范围．【解答】：解：因为函数f（x）=x3-3x，所以f′（x）=3x2-3，当x＜-1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以当x=-1时，f（x）取得最大值，又f（-1）=f（2）=2，且f（x）在区间（2a，3-a2）上有最大值，所以2a＜-1＜3-a2≤2，解得-2＜a≤-1，所以实数a的取值范围是（-2，-1]．故选：D．【点评】：本题考查导数的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．12.（单选题，5分）已知函数f（x）= $\left\{\begin{array}{l}{8x-m，x≤\frac{1}{2}}\\{x{e}^{x}-2mx+m，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$ （e是自然对数）在定义域R上有三个零点，则实数m的取值范围是（）A.（e，+∞）B.（e，4）C.（e，4]D.[e，4]【正确答案】：C【解析】：利用分段函数的解析式，当$x≤\frac{1}{2}$ 时， $x=\frac{m}{8}$ ，当 $x＞\frac{1}{2}$ 时，令h（x）= $\frac{x{e}^{x}}{2x-1}$ （ $x＞\frac{1}{2}$ ），由导数研究h （x）的性质，得到当m＞e时，f（x）在区间 $(\frac{1}{2}，+∞)$上有两个零点，结合题意可知， $\frac{m}{8}≤\frac{1}{2}$ ，求解即可得到m的取值范围．【解答】：解：函数f（x）= $\left\{\begin{array}{l}{8x-m，x≤\frac{1}{2}}\\{x{e}^{x}-2mx+m，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$ ，当$x≤\frac{1}{2}$ 时，由8x-m=0，解得 $x=\frac{m}{8}$ ，当 $x＞\frac{1}{2}$ 时，由xe x-2mx+m=0，解得 $m=\frac{x{e}^{x}}{2x-1}$ ，令h（x）= $\frac{x{e}^{x}}{2x-1}$ （ $x＞\frac{1}{2}$ ），则 $h'(x)=\frac{(2x+1)(x-1)}{(2x-1)^{2}}\bullet {e}^{x}$ ，当 $\frac{1}{2}＜x＜1$ 时，h'（x）＜0，则h（x）单调递减，当x＞1时，h'（x）＞0，则h（x）单调递增，又h（1）=e，所以当m＞e时，f（x）在区间 $(\frac{1}{2}，+∞)$上有两个零点，由于f（x）在R上有三个零点，所以 $\frac{m}{8}≤\frac{1}{2}$ ，解得m≤4，综上所述，m的取值范围为（e，4]．故选：C．【点评】：本题考查了分段函数的理解与应用，函数与方程的应用，解题的关键是对分段函数分类讨论，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．13.（填空题，5分）平面内一点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离为：$d=\frac{|{A{x_0}+B{y_0}+C}|}{\sqrt{{A^2}+{B^2}}}$ ．由此类比，空间中一点M（1，1，1）到平面a：x+y+z+3=0的距离为 ___ ．【正确答案】：[1]2 $\sqrt{3}$【解析】：类比点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离为：$d=\frac{|{A{x_0}+B{y_0}+C}|}{\sqrt{{A^2}+{B^2}}}$ ，可计算空间中一点M（1，1，1）到平面a：x+y+z+3=0的距离为．【解答】：解：类比点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离为：$d=\frac{|{A{x_0}+B{y_0}+C}|}{\sqrt{{A^2}+{B^2}}}$ ，可计算空间中一点M（1，1，1）到平面a：x+y+z+3=0的距离为$\frac{|1+1+1+3|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}+{1}^{2}}}$ =2 $\sqrt{3}$ ．故答案为：2 $\sqrt{3}$ ．【点评】：本题考查类比推理，考查数学运算能力，属于基础题．14.（填空题，5分）已知m，n是不相等的两个实数，且m，n∈{-1，1，5，8}．在方程mx2+ny2=1所表示的曲线中任取一个，此曲线是焦点在x轴上的双曲线的概率为 ___ ．【正确答案】：[1] $\frac{1}{4}$【解析】：由题意m，n在所给的数值取的方法及满足条件的求法分别求出，进而求出其概率．【解答】：解：由题意，任取m，n的方法有A ${}_{4}^{2}$ =4×3=12，双曲线的焦点在x轴上的取法有：C ${}_{3}^{1}$ ×1=3，所以曲线是焦点在x轴上的双曲线的概率为： $\frac{3}{12}$ = $\frac{1}{4}$ ；故答案为： $\frac{1}{4}$ ．【点评】：本题考查双曲线的性质及古典概率的求法，属于基础题．15.（填空题，5分）2021年7月1日是中国共产党成立100周年纪念日，2021年也是“十四五”开局之年，必将在中国历史上留下浓墨重彩的标注．作为当代中学生，需要发奋图强，争做四有新人，首先需要学好文化课．现将标有数字2，0，2，1，7，1的六张卡片排成一排，组成一个六位数，则共可组成 ___ 个不同的六位数．【正确答案】：[1]150【解析】：根据题意，用间接法分析：先计算“不考虑0不能在首位的限制”的六位数数目，再排除其中“0在首位”的六位数数目，分析可得答案．【解答】：解：根据题意，先不考虑0不能在首位的限制，用数字2，0，2，1，7，1组成六位数，有C62C42A22=180个六位数，其中0在首位的六位数，有C52C32=30个六位数，则有180-30=150个不同的六位数；故答案为：150．【点评】：本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．16.（填空题，5分）已知关于x的方程${e^x}-\frac{2lnx+a}{x^2}=\frac{1}{x}$ 在（0，+∞）上有解，则实数a的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1][1，+∞）【解析】：将关于x的方程 ${e^x}-\frac{2lnx+a}{x^2}=\frac{1}{x}$ 在（0，+∞）上有解，转化为a=x2e x-2lnx-x（x＞0）有解，构造函数f（x）=x2e x-2lnx-x（x＞0），利用导数研究f （x）的取值范围，即可得到答案．【解答】：解：令f（x）=x2e x-2lnx-x（x＞0），则f'（x）= $\frac{(x+2)({x}^{2}{e}^{x}-1)}{x}$ ，又y=x2e x在（0，+∞）上单调递增，设x0为方程x2e x-1=0的根，即x0满足 ${{x}_{0}}^{2}{e}^{{x}_{0}}=1$ ，所以 ${e}^{{x}_{0}}={{x}_{0}}^{-2}$ ，两边同时取对数，可得x0=-2lnx0，因为x＞0，x+2＞0，故当x∈（0，x0）时，f'（x）＜0，则f（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，f'（x）＞0，则f（x）单调递增，且当x→0时，f（x）→+∞，又 $f({x}_{0})={{x}_{0}}^{2}{e}^{{x}_{0}}-2ln{x}_{0}-{x}_{0}=1-2ln{x}_{0}-{x}_{0}$ =1+x0-x0=1，所以当a≥1时，a=x2e x-2lnx-x（x＞0）有解，即关于x的方程 ${e^x}-\frac{2lnx+a}{x^2}=\frac{1}{x}$ 在（0，+∞）上有解，故实数a的取值范围是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．【点评】：本题考查了函数的零点与方程的根的综合应用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得到函数的零点）；（2）图象法（直接画出函数的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解）．属于中档题．17.（问答题，10分）已知复数 $z=3+i+\frac{6m}{1-i}$ （m∈R）．（Ⅰ）当实数m取什么值时，复数z是纯虚数；（Ⅱ）当实数m取什么值时，复平面内表示复数z的点位于第一、三象限．【正确答案】：【解析】：首先把z化成a+bi的形式（Ⅰ）由a=0且b≠0可解决此问题；（Ⅱ）由ab＞0可解决此问题．【解答】：解： $z=3+i+\frac{6m}{1-i}=3+i+\frac{6m(1+i)}{(1-i)(1+i)}=(3+3m)+(1+3m)i$（Ⅰ）当复数z是纯虚数时，有 $\left\{\begin{array}{l}3+3m=0\\1+3m≠0\end{array}\right.$ ，解得m=-1．所以当实数m=-1时，复数z是纯虚数．（Ⅱ）当表示复数z的点位于第一、三象限时，有（3+3m）（1+3m）＞0，解得m＜-1或$m＞-\frac{1}{3}$ ，所以当实数$m∈({-∞，-1})∪({-\frac{1}{3}，+∞})$时，表示复数z的点位于第一、三象限．【点评】：本题考查复数的代数表示方法及几何意义，考查数学运算能力，属于中档题．18.（问答题，12分）在二项式 ${({{x^2}+\frac{2}{\sqrt{x}}})^m}$ （m∈N*）的展开式中，第三项系数是倒数第三项系数的 $\frac{1}{8}$ ．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）求展开式中所有的有理项．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）写出二项式的通项公式，根据题意可得关于m的方程，求解即可；（Ⅱ）根据二项式展开式的通项公式，求出展开式中所有的有理项．【解答】：解：（Ⅰ）展开式的通项为： ${T_{r+1}}=C_m^r{({x^2})^{m-r}}{({2{x^{-\frac{1}{2}}}})^r}=C_m^r⋅{2^r}⋅{x^{2m-\frac{5}{2}r}}$ ，依题可得：$C_m^2⋅{2^2}=C_m^{m-2}⋅{2^{m-2}}⋅\frac{1}{8}$ ，解得m=7．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，展开式的通项为${T_{r+1}}=C_7^r⋅{2^r}⋅{x^{14-\frac{5}{2}r}}$ ，当r=0，2，4，6时，对应项是有理项，所以展开式中所有的有理项为：${T_1}=C_7^0⋅{2^0}⋅{x^{14}}={x^{14}}$，${T_3}=C_7^2⋅{2^2}⋅{x^{14-5}}=84{x^9}$ ，${T_5}=C_7^4⋅{2^4}⋅{x^{14-10}}=560{x^4}$ ，${T_7}=C_7^6⋅{2^6}⋅{x^{14-15}}=448{x^{-1}}$ ．【点评】：本题考查了二项式定理，二项展开式的通项公式，也考查了利用通项公式求特定项的应用问题，属于中档题．19.（问答题，12分）已知数列{a n}满足${a_1}=\frac{2}{5}$ ，a n+1a n+2a n+1=2a n，（n∈N*）．（Ⅰ）计算a2，a3，a4的值；（Ⅱ）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用数列的递推关系式，通过n的取值，求解数列的前几项即可．（Ⅱ）猜想数列的通项公式，然后利用数学归纳法的证明步骤，证明即可．【解答】：解：（Ⅰ）数列{a n}满足 ${a_1}=\frac{2}{5}$ ，a n+1a n+2a n+1=2a n，（n∈N*）．n=1时， ${a_2}=\frac{1}{3}$ ，n=2时，解得 ${a_3}=\frac{2}{7}$ ，n=3时，解得${a_4}=\frac{1}{4}$ ．（Ⅱ）猜想： ${a_n}=\frac{2}{n+4}$ ．证明：① 当n=1时， ${a_1}=\frac{2}{5}=\frac{2}{1+4}$ ，猜想成立；② 假设当n=k（k∈N*）时猜想成立，即 ${a_k}=\frac{2}{k+4}$ ．那么，依题可得${a_{k+1}}=\frac{2{a_k}}{{a_k}+2}=\frac{2⋅\frac{2}{k+4}}{\frac{2}{k+4}+2}=\frac{2}{k+5} =\frac{2}{(k+1)+4}$ ．所以，当n=k+1时猜想成立．根① 和② ，可知猜想对任何n∈N*都成立．【点评】：本题考查数列的递推关系式的应用，数学归纳法的应用，是中档题．20.（问答题，12分）已知函数f（x）=x2-（a+4）x+2alnx．（Ⅰ）当a=1时，求函数y=f（x）的极值；（Ⅱ）讨论函数y=f（x）的单调性．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）代入a的值，求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．【解答】：解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x2-5x+2lnx，定义域为（0，+∞），$f'(x)=2x-5+\frac{2}{x}=\frac{2{x^2}-5x+2}{x}=\frac{(2x-1)(x-2)}{x}$ ，令f'（x）=0，解得 $x=\frac{1}{2}$ ，或x=2，当x变化时，f（x），f'（x）的变化情况如下表：当x=2时，f（x）有极小值，且极小值为f（2）=-6+2ln2．（Ⅱ）函数f（x）定义域为（0，+∞），$f'(x)=2x-(a+4)+\frac{2a}{x}=\frac{2{x^2}-(a+4)x+2a}{x}=\frac{(2x-a)(x-2)}{x}$ ，令f'（x）=0得 $x=\frac{a}{2}$ 或x=2，① 若a≤0，则当x∈（0，2）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．② 若0＜a＜4，即 $0＜\frac{a}{2}＜2$ ，则当$x∈({0，\frac{a}{2}})$ 时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当$x∈({\frac{a}{2}，2})$ 时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，③ 若a=4，即 $\frac{a}{2}=2$ ，则当x∈（0，+∞）时，f'（x）≥0，f（x）单调递增，④ 若a＞4，即 $\frac{a}{2}＞2$ ，则当x∈（0，2）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当$x∈({2，\frac{a}{2}})$ 时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当$x∈({\frac{a}{2}，+∞})$时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．综上：当a≤0时，f（x）的单调递增区间是（2，+∞），单调递减区间是（0，2）；当0＜a＜4时，f（x）的单调递增区间是 $({0，\frac{a}{2}})$ ，（2，+∞），递减区间是$({\frac{a}{2}，2})$ ；当a=4时，f（x）的单调递增区间是（0，+∞），无单调递减区间；当a＞4时，f（x）的单调递增区间是（0，2）， $({\frac{a}{2}，+∞})$，单调递减区间是$({2，\frac{a}{2}})$ ．【点评】：本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是难题．21.（问答题，12分）2021年5月14日，郑州国际会展中心举办了关于“服务教育共筑梦想暨中小学书香校园发展论坛”的活动．某中学为进一步推进书香校园系列活动，增加学生对古典文学的学习兴趣，随机抽取160名学生做统计调查．统计显示，被调查的学生中，喜欢阅读古典文学的男生有40人，占男生调查人数的一半，不喜欢阅读古典文学的女生有20人．（Ⅰ）完成下面列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.005的情况下认为学生喜欢阅读古典文学与性别有关？项（每个人只获一项奖项每项只有一个人获奖，每个人等可能获奖）现从这160名同学中选出4名男生，6名女生参加活动，记ξ为参加活动的同学中获奖的女生人数，求ξ的分布列及数学期望E（ξ）．附：【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用已知条件完成列联表，求出K2，即可判断能在犯错误概率不超过0.005的情况下认为学生喜欢阅读古典文学与性别有关．（Ⅱ）ξ为参加活动的同学中获奖的女生人数：2，3，4，5，6，求出概率，得到分布列，然后求解期望．【解答】：解：（Ⅰ）由已知可得调查中男生共有80人，女生有80人，其中喜欢阅读古典文学的有60人故列联表为：40×60)}^2}}{100×60×80×80}=\frac{32}{3}=10.667＞7.879$ ．故能在犯错误概率不超过0.005的情况下认为学生喜欢阅读古典文学与性别有关．（Ⅱ）ξ为参加活动的同学中获奖的女生人数：2，3，4，5，6，$P(ξ=2)=\frac{C_6^2⋅C_4^4}{C_{10}^6}=\frac{15}{210}=\frac{1}{14}$ ，$P(ξ=3)=\frac{C_6^3⋅C_4^3}{C_{10}^6}=\frac{80}{210}=\frac{8}{21}$ ，$P(ξ=4)=\frac{C_6^4⋅C_4^2}{C_{10}^6}=\frac{90}{210}=\frac{3}{7}$ ，$P(ξ=5)=\frac{C_6^5⋅C_4^1}{C_{10}^6}=\frac{24}{210}=\frac{4}{35}$ ，$P(ξ=6)=\frac{C_6^6⋅C_4^0}{C_{10}^6}=\frac{1}{210}$ ．∴ξ的分布列为$E(ξ)=2×\frac{1}{14}+3×\frac{8}{21}+4×\frac{3}{7}+5×\frac{8}{70}+6×\frac{1}{210}=3. 6$ ．【点评】：本题考查独立检验思想的应用，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是中档题．22.（问答题，12分）已知函数f（x）=2x2+xlna，g（x）=ae2x lnx，其中a＞0．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为0，求a的值；（Ⅱ）若对任意的x∈（0，1），不等式g（x）-f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）求导得f'（x）=4x+lna，由导数的几何意义可得k切=f'（1）=0，解得a即可．（Ⅱ）g（x）-f（x）＜0恒成立，可转化为 $\frac{lnx}{x}＜\frac{2x+lna}{a⋅{e^{2x}}}=\frac{ln{e^{2x}}+lna}{a⋅{e^{2x}}}=\frac{ln({a⋅{e^{2x}}})}{a⋅{e^{2 x}}}$ ，设 $h(x)=\frac{lnx}{x}$ ，则上式即为h（x）＜h（ae2x），判断h（x）的单调性，进而求出a的取值范围．【解答】：解：（Ⅰ）依题可得f'（x）=4x+lna且f'（1）=0，∵曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为0，∴4+lna=0，∴ $a=\frac{1}{e^4}$ ．（Ⅱ）由g（x）-f（x）＜0，可得ae2x lnx-（2x2+xlna）＜0，整理，得 $\frac{lnx}{x}＜\frac{2x+lna}{a⋅{e^{2x}}}=\frac{ln{e^{2x}}+lna}{a⋅{e^{2x}}}=\frac{ln({a⋅{e^{2x}}})}{a⋅{e^{2 x}}}$ ，设 $h(x)=\frac{lnx}{x}$ ，则上式即为h（x）＜h（ae2x），∵ $h'(x)=\frac{1-lnx}{x^2}$ ，令 $h'(x)=\frac{1-lnx}{x^2}=0$ ，得x=e，∴当x∈（0，e）时，h'（x）＞0，函数h（x）单调递增；当x∈（e，+∞）时，h'（x）＜0，函数h（x）单调递减．又当x∈（0，1）时， $h(x)=\frac{lnx}{x}＜0$ ，∴h（x）＜h（ae2x），∴只需x＜ae2x，即 $a＞\frac{x}{e^{2x}}$ ，设 $H(x)=\frac{x}{e^{2x}}$ ，则 $H'(x)=\frac{1-2x}{e^{2x}}$ ，令 $H'(x)=\frac{1-2x}{e^{2x}}=0$ ，得 $x=\frac{1}{2}$ ，∴当$x∈({0，\frac{1}{2}})$ 时，H'（x）＞0，H（x）单调递增，当$x∈({\frac{1}{2}，1})$ 时，H'（x）＜0，H（x）单调递减．∴ $H(x)=\frac{x}{e^{2x}}≤\frac{1}{2e}$ ，∴ $a＞\frac{1}{2e}$ ，∴a的取值范围为（ $\frac{1}{2e}$ ，+∞）．【点评】：本题考查导数的综合应用，不等式恒成立问题，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．。
2020-2021学年河南省郑州市重点高中高二上阶段性测试(二)(12月)数学(文)(解析版)
【详解】 ，∴ .
∴ .
故选：C.
10．设 的内角 ， ， 所对边的长分别为 ， ， .若 ， ，则角 （）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由正弦定理得出边 之间的关系，再由余弦定理求得 ，由角的范围可得选项.
【详解】根据正弦定理，由 ，得 ，又 ，所以令 ， ， ， .
当 时，要满足关于 的不等式 对任意 恒成立，只需 解得 .
综上， 的取值范围是 .
故选：A.
【点睛】方法点睛：一元二次型不等式恒成立的情况：
(1)不等式 对任意实数x恒成立等价于 或 ；
(2)不等式 对任意实数x恒成立等价于 或 ；
12．已知椭圆 的左顶点为 ，上顶点为 ，右焦点为 ，若 ，则椭圆的离心率 的取值范围是（）
【详解】当 时， ，所以命题 是假命题，
因为 恒成立，
所以命题 ： ， 为假命题.
所以 为真命题.
故选：D
6．在数列 中， ， ，则 （）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】根据已知分析数列的周期性，可得答案．
【详解】解：∵ ， ，∴ ， ， ， .
∴该数列是周期数列，周期 .
又 ，∴ ，
故选：A.
【答案】
【分析】由抛物线的方程求得其焦点，由已知求得双曲线的 ，由此得出双曲线的方程，可得选项.
【详解】设双曲线的半焦距为 ，由抛物线 的焦点坐标为 ，得 .
又因为双曲线的离心率 ，所以 ，又由 ，可得 ，所以双曲线的方程为 .
故答案为： .
14．等比数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，则 _______.
2020-2021学年河南省郑州市重点高中高二上学期阶段性测试（二）（12月）数学（文）试题
河南省开封市五县联考2020-2021学年高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案
河南省开封市五县联考2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试题考生注意：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。
第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第II卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，．．．．．．．．．．．．．．在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．。
3.本卷命题范围：必修5第二章、第三章、选修2－1、选修2－2第一章。
第I卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数f(x)＝x2在区间[－1，2]上的平均变化率为A.－1B.1C.2D.32.“x<2”是“log2x<1”成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.双曲线C：2219yx-=-的离心率是3104.函数13lny xx=+的单调增区间为A.(0，1)B.(0，13) C.(1，＋∞) D.(13，＋∞)5.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＋a6＋a8＝21，则S9＝A.45B.54C.63D.76.已知x，y满足3010510x yx yx y+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩，则z＝x＋2y的最大值为A.5B.6C.7D.87.设a∈R，函数f(x)＝e x＋a·e－x为奇函数，曲线y＝f(x)的一条切线的切点的纵坐标是0，则该切线方程为A.2x －y ＝0B.2x ＋y ＝0C.4x －y ＝0D.4x ＋y ＝08.若函数f(x)＝x ＋2sinx ，则当x ∈[0，π]时，f(x)的最大值为 A.22π+ B.32π+ C.223π+D.23π+9.已知m>0，n>0，141m n+=，若不等式m ＋n ≥－x 2＋2x ＋a 对已知的m ，n 及任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 A.[8，＋∞) B.[3，＋∞) C.(－∞，3 ] D.(－∞， 8]10.公差不为0的等差数列{a n }的部分项123k k k a a a ，，，…，构成公比为4的等比数列{n k a }，且k 1＝1，k 2＝2，则k 3＝A.4B.6C.8D.2211.椭圆22154x y +=的左焦点为F ，直线x ＝a 与椭圆相交于点M 、N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是A.55C.5D.5 12.已知抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点P 是抛物线上一点，且满足|PF|＝52，从点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，则△MPF 的内切圆的周长为A.(52π-B.(5πC.(30π-D.(152π- 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。