考研数学一高等数学-试卷45_真题(含答案与解析)-交互
考研数学一（高等数学）-试卷45 (总分56, 做题时间90分钟) 1. 选择题 选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1. 设f(x)在R上连续，且f(x)≠0，φ(x)在R上有定义，且有间断点，则下列陈述中正确的个数是( ) ①φ[f(x)]必有间断点。 ②[φ(x)] 2 必有间断点。 ③f[φ(X)]没有间断点。 SSS_SINGLE_SEL
A 0。 B 1。 C 2。 D 3。 该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:A
解析：①错误。举例：设φ(x)= f(x)=e x ，则φ[f(x)]=1在R上处处连续。 ②错误。举例：设φ(x)= 则[φ(x)] 2 =9在R上处处连续。 ③错误。举例：设φ(x)= 在x=0处间断。 因此选A。 2. 设f(x)=｜x｜sin 2 x，则使导数存在的最高阶数n=( ) SSS_SINGLE_SEL
A 0。 B l。 C 2。 D 3。 该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:C
解析： 故f (3) (0)不存在。因此n=2，选C。 3.
设f(x)=aretanx-(x≥1)，则( ) SSS_SINGLE_SEL
A fx(x)在[1，+∞)单调增加。 B f(x)在[1，+∞)单调减少。
C f(x)在[1，+∞)为常数 D f(x)在[1，+∞)为常数0。 该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:C
解析：按选项要求，先求f"(x)。又f(x)在[1，+∞)连续，则f(x)=常数=f(1)=。故选C。 4. 若f(x)的导函数是sinx，则f(x)有一个原函数为( ) SSS_SINGLE_SEL
A 1+sinx。 B 1-sinx。 C 1+cosx。 D 1-cosx。 该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:B 解析：由f"(x)=sinx，得 ∫(x)=∫f"(x)dx=∫sinxdx=-cosx+C 1 ， 所以f(x)的原函数是 F(x)=∫f(x)dx=∫(-cosx+C 1 )dx=-sinx+C 1 x+C 2 ， 令C 1 =0，C 2 =1得F(x)=1-sinx。故选B。 5. 在曲线x=t，y=-t 2 ，z=t 3 的所有切线中，与平面x+2y+z=4平行的切线( ) SSS_SINGLE_SEL
A 只有一条。 B 只有两条。 C 至少有三条。 D 不存在。 该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:B 解析：曲线x=t,y=-t 2 ，z=t 3 在点t=t 0 处的切向量为t=(1，-2t 0 ，
)。平面z+2y+z=4的法向量为n=(1，2，1)。由题设知n⊥t，即1-4t 0 + =0，则t 0 =1或 ，故选B。 6.
交换积分次序为( ) SSS_SINGLE_SEL
A B C D 该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:D 解析：交换积分次序得 7.
如果级数( ) SSS_SINGLE_SEL
A 都收敛。 B 都发散。 C 敛散性不同。 D 同时收敛或同时发散。 该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:D
解析：由于a b =(a n +b b )-b n ，且 发散时， 必发散，故选D。 2. 填空题 1.
设函数y=f(x)由方程y-x=e x(1-y) 确定，则 =__________。 SSS_FILL
该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:正确答案：1
解析：当x=0时，y=1。对方程两边求导得 y"-1=e x(1-y) (1-y-xy")， 将x=0，y=1代入上式，可得y"(0)=1，所以 2.
对数螺线ρ=e θ 在点(ρ，θ)= 处切线22.的直角坐标方程为_________。 SSS_FILL
该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:正确答案：
解析：螺线方程ρ=e θ 可以化为隐函数方程，即 利用隐函数的求导法则，得到在点 处的导数为y"(0)=-1，因此所求的切线方程为 化简为
3. 已知∫f"(x 3 )dx=x 3 +C(C为任意常数)，则f(x)=________。 SSS_FILL 该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:正确答案： 解析：对等式∫f"(x 3 )dx=x 3 +C两边求导，得f"(x 3 )=3x 2 。 令t=x 3 ，则f"(t)= 4.
设z=xg(x+y)+yφ(xy)，其中g、φ具有二阶连续导数，则=________。 SSS_FILL
该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:正确答案：g"(x+y)+xg""(x+y)+(xy)+xy 2 φ(zy)
解析： =g(x+y)+xg"(x+y)+y 2 φ"(xy)， =g"(x+y)+xg""(x+y)+2yφ"(xy)+xy 2 φ""(xy)。 5.
设D为不等式0≤x≤3，0≤y≤1所确定的区域，则=________。 SSS_FILL
该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:正确答案：
解析：由题干可知 6.
设∑是锥面z=(0≤z≤1)的下侧，则xdydz+2ydzdx+5(z-1)dxdy=____。 SSS_FILL
该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:正确答案：2π
解析：设∑：z=1，x 2 +y 2 ≤1，取法向量方向朝上，则∑与∑ 1 围成的区域为Ω，那么 7. 级数的和为_______。 SSS_FILL
该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:正确答案：
解析：令S(x)=，｜x｜＜1，那么有 8. 微分方程y"=1+x+y 2 +xy 2 的通解为_______。 SSS_FILL
该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:正确答案：y=tan (1+x) 2 +C] 解析：将已知方程变形后，并整理得两边积分可得 3. 解答题 解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 1.
求
SSS_TEXT_QUSTI 该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:
正确答案： 2. 设a＞1，f(t)=a t -at在(-∞，+∞)内的驻点为t(a)。问a为何值时，t(a)最小?并求出最小值。
SSS_TEXT_QUSTI 该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:
正确答案：令f"(t)=a"lna-a=0，解得f(t)的驻点为t(a)= 对t(a)关于a求导，可得 令t"(a)＞0，解得a＞e e 。则当a＞e e 时，t(a)单调递 增；当1＜a＜e。时，t(a)单调递减。所以当 a=e e 时，t(a)最小，且最小值为t(e e )= 3.
求不定积分
SSS_TEXT_QUSTI 该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:
正确答案：由，则 4. 设曲线 在(x 0 ，y 0 )处有公切线(如图1-3-4所示)，求这两条曲线与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V。
SSS_TEXT_QUSTI 该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:
正确答案：由两曲线在(x 0 ，y 0 )处有公切线得 解得x 0 =e 2 ，a=e -1 。 所求的旋转体体积等于曲线 分别与x轴及直线x=e 2 所围成平面图
形绕x轴旋转而成的旋转体体积之差，即 5.
设直线L： 在平面∏上，而平面∏与曲面z=x 2 +y 2 相切于点(1，-2，5)，求a，b的值。
SSS_TEXT_QUSTI 该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案: 正确答案：令F(x，y，z)=x 2 +y 2 -z，则有F x =2x，F y =2y，F z =-1，在点(1，-2，5)处曲面的法向量为n={2，-4，-1}，于是切平面的方程为 2(x-
1)-4(y+2)-(z-5)=0， 即 2x-4y-z-5=0。 根据 得到y=-x-b，z=x-3+a(-x-b)，将其代入平面方程有 2x+4x+4b-x+3+ax+ab-5=0． 因此有 5+a=0，4b+ab-2=0， 解得a=-5，b=-2。 6.
设函数f(u)具有二阶连续导数，而z=f(e x siny)满足方程 ，求f(u)。 SSS_TEXT_QUSTI 该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:
正确答案： 代入方程 中，得到f""(u)-f(u)=0，解得 f(u)=C 1 e u +C 2 e -u ，其中C 1 ，C 2 为任意常数。 7.
计算曲线积分 sin2dx+2(x 2 -1)ydy，其中L是曲线y=sinx上从点(0，0)到点(π，0)的一段。
SSS_TEXT_QUSTI 该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:
正确答案：按曲线积分的计算公式直接计算。 8. 计算曲面积分I= 2x 3 dydz+2y 2 dzdx+3(z 2 -1)dxdy，其中∑是曲面z=1-x 2 -y 2 (z≥0)的上侧。
SSS_TEXT_QUSTI 该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案: 正确答案：取∑ 1 为xOy平面上被圆x 2 +y 2 =1所围部分的下侧，记Ω为由
∑与∑ 1 围成的空间闭区域， 则 由高斯公式知 故 I=2π-3π=-π。 9.
将函数f(x)=展开成x的幂级数。
SSS_TEXT_QUSTI 该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:
正确答案：f(x)=，比较两边系数可得A=，B=，即 10. 设f(t)连续且满足f(t)=cos2t+，求f(t)。
2022年考研数一真题及答案解析(完整版)
2021年考研数一真题及答案解析(完整版)2022年考研数一真题与答案解析数学一试题答案一、选择题：1～8小题，每题4分，共32分，以下每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.〔1〕B〔2〕D〔3〕D〔4〕B 〔5〕B 〔6〕A 〔7〕〔B 〕 〔8〕〔D 〕二、填空题：9-14小题，每题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 〔9〕012=---z y x 〔10〕11=-)(f〔11〕12+=x xyln 〔12〕π 〔13〕[-2,2] 〔14〕25n三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. 〔15〕【答案】2121111111110202211212112=-=--=--=--=--=+--++→→+∞→+∞→+∞→+∞→⎰⎰⎰u e lim u u e lim x )e (x lim ,xu x)e (x lim xtdtdt t )e (lim)xln(x dt ]t )e (t [limu u u u x x xx xx xxx 则令（16）【答案】020*********=+=+='++'⋅++')x y (y xy y y x xy y y x y y yx y )(y 20-==或舍。
xy 2-=时，21106606248062480633333223223-==⇒==+-=+-+-=+-⋅+⋅+-=+++y ,x x x x x x )x (x )x (x x y x xy y4914190141411202222222362222>=''=''=''+-''-''=''+'+'++''⋅+'⋅+'+'+''+')(y )(y )(y )(y )(y y x y x y x y y y x )y (x y y y y y y y )y (所以21-=)(y 为极小值。
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2023年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题及答案考试时间：180分钟，满分：150分一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．（1）曲线1ln()1yx e x =+−的斜渐近线方程为（ ） （A）y x e =+ （B）1y x e=+（C）y x = （D）1y x e=−【答案】B 【解析】1limlimln()11x x y ke x x →∞→∞==+=−，11lim()lim()lim[ln(]lim [ln(ln ]11x x x x b y kx y x x e x x e e x x →∞→∞→∞→∞=−==−=+−=+−−−111lim ln(1lim (1)(1)x x x x e x e x e→∞→∞=+==−−，所以渐进线方程为1y x e =+，答案为B（2）若微分方程0y ay by ′′′++=的解在(,)−∞+∞上有界，则（ ） （A ）0,0a b <>（B ）0,0a b >>（C ）0,0ab =>（D ）0,0ab =<【答案】C 【解析】0y ay by ′′′++=的解一共三种情形：①240a b Δ=−>，1212x xy C e C e λλ=+，但此时无论12,λλ取何值，y 在(,)−∞+∞上均无界；②240a b Δ=−=，12()xy C C x eλ=+，但此时无论λ取何值，y 在(,)−∞+∞上均无界；③240a b Δ=−<，12(cos sin )xy e C x C x αββ=+，此时若y 在(,)−∞+∞上有界，则需满足0α=，所以0,0a b =>，答案为（C）（3）设函数()y f x =由2sin x t ty t t⎧=+⎪⎨=⎪⎩确定，则（ ） （A）()f x 连续，(0)f ′不存在（B）(0)f ′不存在，()f x ′在0x =处不连续（C）()f x ′连续，(0)f ′′不存在（D）(0)f ′′存在，()f x ′′在0x =处不连续【答案】C【解析】当0t =时，有0x y ==①当0t >时，3sin x t y t t=⎧⎨=⎩，可得sin 33x xy =，故()f x 右连续；②当0t <时，sin x ty t t=⎧⎨=−⎩，可得sin y x x =−，故()f x 左连续，所以()f x 连续；因为0sin 033(0)lim 0x x x y x ++→−′==；0sin 0(0)lim 0x x x y x −−→−−′==，所以(0)0f ′=；③当0x >时，1sin sin cos 333393x x x x x y ′⎛⎫′==+ ⎪⎝⎭，所以0lim ()0x y x +→′=，即()f x ′右连续；④当0x <时，()sin sin cos y x x x x x ′′=−=−−，所以0lim ()0x y x −→′=，即()f x ′左连续，所以()f x ′连续；考虑01sin cos 23393(0)lim 9x x x xf x ++→+′′==；0sin cos (0)lim 2x x x x f x −−→−−′′==−，所以(0)f ′′不存在，答案为C（4）已知(1,2,)nn a b n <= ，若级数1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑均收敛，则“1n n a ∞=∑绝对收敛”是“1n n b ∞=∑绝对收敛”的（ ）（A ）充分必要条件（B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】因为级数1nn a ∞=∑与1nn b ∞=∑均收敛，所以正项级数1()nn n ba ∞=−∑收敛又因为()()n n n n n n n n n nb b a a b a a b a a =−+≤−+=−+所以，若1nn a∞=∑绝对收敛，则1n n b ∞=∑绝对收敛；同理可得：()()n n n n n n n n n na ab b a b b b a b =−+≤−+=−+所以，若1nn b ∞=∑绝对收敛，则1nn a∞=∑绝对收敛；故答案为充要条件，选（A）（5）已知n 阶矩阵A ，B ，C 满足ABC O =，E 为n 阶单位矩阵，记矩阵OA BC E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，ABC O E ⎛⎫⎪⎝⎭，E AB AB O ⎛⎫⎪⎝⎭的秩分别为123,,r r r ，则（ ） （A ）123r r r ≤≤（B ）132r r r ≤≤（C ）321r r r ≤≤（D ）213r r r ≤≤【答案】B【解析】根据初等变换可得：OA O O O O BC E BC E O E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎯⎯→⎯⎯→⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭行列，所以1r n =；AB C AB O O E O E ⎛⎫⎛⎫⎯⎯→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭行，所以2()r n r AB =+；2()E AB E O E O AB O AB ABAB O AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎯⎯→⎯⎯→ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭⎝⎭行列，所以23()r n r AB ⎡⎤=+⎣⎦；又因为20()()r AB r AB ⎡⎤≤≤⎣⎦，所以132r r r ≤≤（6）下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是（）（A ）11022003a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）1112003a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （C ）11020002a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（D ）11022002a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】（A ）特征值互异，则可对角化；（B ）为实对称矩阵，必可对角化； 选项（C ），特征值为1，2，2，且特征值2的重数（代数重数）2(2)312n r E A =−−=−=（几何重数），故矩阵可对角化；选项（D ），特征值为1，2，2，且特征值2的重数（代数重数）2(2)321n r E A ≠−−=−=（几何重数），故矩阵不可对角化；（7）已知向量1123α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2211α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1259β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2101β⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，若γ既可由12,αα线性表示，也可由12,ββ线性表示，则γ=（ ）（A ）33,4k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭（B ）35,10k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭（C ）11,2k k R −⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭（D ）15,8k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】令γ11221122k k l l ααββ=+=+，则有112211220k k l l ααββ+−−=，即12121212(,)0k k l l ααββ⎛⎫ ⎪ ⎪−−= ⎪ ⎪⎝⎭而121212211003(,)2150010131910011ααββ−−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−=−→− ⎪ ⎪⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭所以1212(,,,)(3,1,1,1),TT k k l l c c R =−−∈，所以12(1,5,8)(1,5,8),T T c c c k k R γββ=−+=−=∈，答案为D（8）设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则()E X EX −=（ ）（A）1e（B）12（C）2e（D）1【答案】C【解析】因为(1)X P ，所以1EX =，()()1110022112(1)(1)!0!!k k e e e E X EX E X k k E X k k e e−−−∞∞==−=−=−=+−=+−=∑∑，答案为C（9）设12,,,n X X X 为来自总体21(,)N μσ的简单随机样本，12,,,m Y Y Y 为来自总体22(,2)N μσ的简单随机样本，且两样本相互独立，记11n i i X X n ==∑，11m i i Y Y m ==∑，22111()1n i i S X X n ==−−∑， 22211()1mi i S Y Y m ==−−∑，则（ ） （A）2122(,)S F n m S （B）2122(1,1)S F n m S −−（C）21222(,)S F n m S （D）21222(1,1)S F n m S −− 【答案】D【解析】由正态分布的抽样性质可得，2212(1)(1)n S n χσ−− ，2222(1)(1)2m S m χσ−− 又因为2212,S S 相互独立，所以212222(1)1(1,1)(1)21n S n F n m m S m σσ−−−−−− ，即21222(1,1)S F n m S −− ，答案为D （10）设12,X X 为来自总体2(,)N μσ的简单随机样本，其中(0)σσ>是未知参数，记12a X X σ=−,若()E σσ=，则a =（ ）（A）2π（B）2π【答案】A【解析】由已知可得，令212(0,2)Z X X N σ=− ，所以22221212()()()z Z E E a X X aE X X aE Z az f z dz a dzσσ−+∞+∞⋅−∞−∞=−=−===⎰⎰2222440z z a zdz aσσ−−+∞+∞==−=⎰若()E σσ=，则有2a π=，答案为A二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题纸指定位置上． （11）当0x →时，函数2()ln(1)f x ax bx x =+++与2()cos x g x e x =−是等价无穷小，则ab =________【答案】2−【解析】由已知可得：2222200022221(())()ln(1)2lim lim lim 1()cos (1())(1())2x x x x ax bx x x o x f x ax bx x g x e x x o x x o x →→→++−++++==−++−−+220221(1)(()2lim 13()2x a x b x o x x o x →++−+==+所以1310,22a b +=−=，即1,2a b =−=,所以2ab =− （12）曲面222ln(1)z x y x y =++++在点(0,0,0)处的切平面方程为________【答案】20x y z +−=【解析】两边微分可得，222221xdx ydydz dx dy x y +=++++，代入(0,0,0)得2dz dx dy =+，因此法向量为(1,2,1)−，切平面方程为20x y z +−=（13）设()f x 是周期为2的周期函数，且()1,[0,1]f x x x =−∈，若01()cos 2n n a f x a n x π∞==+∑，则21nn a∞==∑_________【答案】0【解析】由已知得01(0)12n n a f a ∞==+=∑，01(1)(1)02n n n a f a ∞==+−=∑ 相加可得021(0)(1)21nn f f a a∞=+=+=∑显然()f x 为偶函数，则(0,1,2,)n a n = 为其余弦级数的系数，故1002()1a f x dx ==⎰，因此210n n a ∞==∑.（14）设连续函数()f x 满足：(2)()f x f x x +−=，2()0f x dx =⎰，则31()f x dx =⎰_______【答案】12【解析】323211121()()()()(2)f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx=+=++⎰⎰⎰⎰⎰[]2121111()()()022f x dx f x x dx f x dx xdx =++=+=+=⎰⎰⎰⎰（15）已知向量11011α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21101α−⎛⎫ ⎪− ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，30111α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪− ⎪⎝⎭，1111β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪−⎝⎭，112233k k k γααα=++，若(1,2,3)T T i i i γαβα==，则222123k k k ++=_______【答案】119【解析】由已知可得，123,,ααα两两正交，通过计算可得：11113TT k γαβα=⇒=；2221T T k γαβα=⇒=−；33213T T k γαβα=⇒=−，则222123k k k ++=119（16）设随机变量X 与Y 相互独立，且1(1,3X B ，1(2,2Y B ，则{}P X Y ==________ 【答案】13【解析】212211111{}{0}{1}(323223P X Y P X Y P X Y C ====+===⋅+⋅⋅=三、解答题：17～22小题，共70分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本题满分10分）设曲线:()(0)L y y x x =>经过点(1,2)，该曲线上任一点(,)P x y 到y 轴的距离等于该点处的切线在y 轴上的截距（1）求()y x ；（2）求函数1()()xf x y t dt =⎰在(0,)+∞上的最大值【答案】（1）()(2ln )y x x x =− （2）454e −【解析】（1）曲线L 上任一点(,)P x y 处的切线方程为()Y y y X x ′−=−，令0X =，则y 轴上的截距为Y y xy ′=−，由题意可得x y xy ′=−，即11y y x′−=−，解得(ln )y x C x =−，其中C 为任意常数，代入(1,2)可得2C =，从而()(2ln )y x x x =−（2）()(2ln )f x x x ′=−，显然在2(0,)e 上()0f x ′>，()f x 单调递增；在2(,)e +∞上()0f x ′<，()f x 单调递减，所以()f x 在(0,)+∞上的最大值为22422211515()(2ln )ln 424e e ef e t t dt t t t −⎛⎫=−=−=⎪⎝⎭⎰（18）（本题满分12分）求函数23(,)()()f x y y x y x =−−的极值【答案】极小值为2104(,)327729f =−【解析】先求驻点42235(32)020xy f x x x y f y x x ⎧′=−+=⎪⎨′=−−=⎪⎩，解得驻点为(0,0)，(1,1)，210(,327下求二阶偏导数，3220(62)322xx xy yyf x x yf x xf ⎧′′=−+⎪⎪′′=−−⎨⎪′′=⎪⎩①对于点(0,0)，(0,0)0f =，5(,0)f x x =，由定义可得(0,0)不是极值点；②代入点(1,1)，解得1252xxxy yy A f B f C f ⎧′′==⎪⎪′′==−⎨⎪′′==⎪⎩，210AC B −=−<，所以(1,1)不是极值点；③代入点210(,)327，解得10027832xx xy yyA fB fC f ⎧′′==⎪⎪⎪′′==−⎨⎪⎪′′==⎪⎩，2809AC B −=>且0A >，所以210(,)327是极小值点，极小值为2104(,)327729f =−（19）（本题满分12分）设空间有界区域Ω由柱面221x y +=与平面0z =和1x z +=围成，Σ为Ω的边界曲面的外侧，计算曲面积分2cos 3sin I xzdydz xz ydzdx yz xdxdy Σ=++⎰⎰【答案】54π【解析】由高斯公式可得，2cos 3sin (2sin 3sin )I xzdydz xz ydzdx yz xdxdy z xz y y x dvΣΩ=++=−+⎰⎰⎰⎰⎰ 因为Ω关于平面xoz 对称，所以(sin 3sin )0xz y y x dv Ω−+=⎰⎰⎰所以1222022(1)(:1)xyxyxxy D D I zdv dxdy zdz x dxdyD x y −Ω===−+≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22221(21)()2xyxyxyD D D x x dxdy x dxdy x y dxdy ππ=−+=+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2130015244d r dr πππθππ=+=+=⎰⎰（20）（本题满分12分）设函数()f x 在[,]a a −上具有2阶连续导数，证明： （1）若(0)0f =，则存在(,)a a ξ∈−，使得21()[()()]f f a f a aξ′′=+−（2）若()f x 在(,)a a −内取得极值，则存在(,)a a η∈−，使得21()()()2f f a f a aη′′≥−−【答案】（1）利用泰勒公式在0x =处展开，再利用介值性定理； （2）利用泰勒公式在极值点处展开，再利用基本不等式进行放缩；【解析】（1）在0x =处泰勒展开，22()()()(0)(0)(0)2!2!f c f c f x f f x x f x x ′′′′′′=++=+， 其中c 介于0与x 之间；代入两个端点有：211()()(0),(0,)2!f f a f a a a ξξ′′′=+∈222()()(0)(),(,0)2!f f a f a a a ξξ′′′−=−+∈− 两式相加可得：212()()()()2f f f a f a a ξξ′′′′++−=即122()()1[()()]2f f f a f a a ξξ′′′′++−= 因为()f x 在[,]a a −上具有2阶连续导数，所以()f x ′′存在最大值M 与最小值m ， 根据连续函数的介值性定理可得，12()()2f f m M ξξ′′′′+≤≤，所以存在(,)a a ξ∈−，使得12()()()2f f f ξξξ′′′′+′′=，即21()[()()]f f a f a a ξ′′=+−成立；（2）若()f x 在(,)a a −内取得极值，不妨设0x 为其极值点，则由费马引理可得，0()0f x ′=将()f x 在0x 处泰勒展开，22000000()()()()()()()()()2!2!f d f d f x f x f x x x x x f x x x ′′′′′=+−+−=+−其中d 介于0x 与x 之间； 代入两个端点有：210010()()()(),(,)2!f f a f x a x x a ηη′′=+−∈ 220020()()()(),(,)2!f f a f x a x a x ηη′′−=+−−∈−两式相减可得：221200()()()()()()22f f f a f a a x a x ηη′′′′−−=−−−−所以22120022()()11()()()()2222f f f a f a a x a x a a ηη′′′′−−=−−−− 22102021[()()()()]4f a x f a x aηη′′′′≤−++，记112()max[(),()]f f f ηηη′′′′′′=， 又因为22220000()()[()()]4a x a x a x a x a −++≤−++=，所以21()()()2f a f a f a η′′−−≤成立 （21）（本题满分12分）已知二次型2221231231213(,,)2222f x x x x x x x x x x =+++−，22212312323(,,)2g y y y y y y y y =+++（1）求可逆变换x Py =，将123(,,)f x x x 化成123(,,)g y y y ； （2）是否存在正交变换x Qy =将123(,,)f x x x 化成123(,,)g y y y ?【答案】（1）111010001P −⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭（2）不存在（二者矩阵的迹不相同）【解析】（1）利用配方法将123(,,)f x x x 化成123(,,)g y y y ， 先用配方法将123(,,)f x x x 化成标准形：22222212312312131232323(,,)2222()2f x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++−=+−+++2212323()()x x x x x =+−++再用配方法将123(,,)g y y y 化成标准形：2222212312323123(,,)2()g y y y y y y y y y y y =+++=++令11232233y x x x y x y x =+−⎧⎪=⎨⎪=⎩，即11232233x y y y x y x y=−+⎧⎪=⎨⎪=⎩， 则在可逆变换112233*********x y x y x y −⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭下，其中111010001P −⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，二次型123(,,)f x x x 即可化成123(,,)g y y y （2）因为二次型123(,,)f x x x 与123(,,)g y y y 的矩阵分别为111120102A −⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪−⎝⎭，100011011B ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭显然()5tr A =，()3tr B =，所以矩阵A ，B 不相似，故不存在正交矩阵Q ，使得1T Q AQ Q AQ B −==， 所以也不存在正交变换x Qy =，将123(,,)f x x x 化成123(,,)g y y y .11 /11 （22）（本题满分12分）设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为22222(),1(,)0,x y x y f x y else π⎧++≤⎪=⎨⎪⎩，求 （1）求X 与Y 的斜方差；（2）X 与Y 是否相互独立？（3）求22Z X Y =+概率密度【答案】（1）0 （2）不独立 （3）2,01()0,z z f z else <<⎧=⎨⎩【解析】（1）由对称性可得：222212()0x y EX x x y dxdy π+≤=+=⎰⎰，同理0EY =，0EXY =所以(,)()()()0Cov X Y E XY E X E Y =−=； （2）22)11()(,)0,X x y dy x f x f x y dy else +∞−∞⎧+−≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰24(121130,x x elseπ⎧+−≤≤⎪=⎨⎪⎩同理可得，24(1211()30,Y y y f y else π⎧+−≤≤⎪=⎨⎪⎩所以(,)()()X Y f x y f x f y ≠，X 与Y 不独立 （3）先求分布函数22(){}{}Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤ 当0z <时，()0Z F z =；当01z ≤<时，2222222320022(){}()Z x y z F z P X Y z x y dxdy d dr z πθππ+≤=+≤=+==⎰⎰⎰；当1z ≤时，()1Z F z =；所以22Z X Y =+概率密度为2,01()()0,Z Z z z f z F z else <<⎧′==⎨⎩。
考研数学一高等数学-试卷30_真题(含答案与解析)-交互
考研数学一（高等数学）-试卷30(总分70, 做题时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1.设f(x)在x=a处可导，且f(a)≠0，则｜f(x)｜在x=a处( )．SSS_SINGLE_SELA 可导B 不可导C 不一定可导D 不连续该题您未回答:х该问题分值: 2答案:A解析：不妨设f(a)＞0，因为f(x)在x=a处可导，所以f(x)在x=a处连续，于是存在δ＞0，当｜x—a｜＜δ时，有f(x)＞0，于是=f"(a)，即｜f(x)｜在x=a处可导，同理当f(a)＜0时，｜f(x)｜在x=a处也可导，选(A)．2.设f(x)在x=a处二阶可导，则等于( )．SSS_SINGLE_SELA 一f"(a)B f"(a)C 2f"(a)D f"(a)该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D解析：3.设f(x)在x=0处二阶可导，f(0)=0且=2，则( )．SSS_SINGLE_SELA f(0)是f(x)的极大值B f(0)是f(x)的极小值C (0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D f(0)不是f(x)的极值，(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点该题您未回答:х该问题分值: 2答案:B解析：f"(0)=2＞0，故f(0)为f(x)的极小值，选(B)．4.设f(x)在x=a处的左右导数都存在，则f(x)在x=a处( )．SSS_SINGLE_SELA 一定可导B 一定不可导C 不一定连续D 连续该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D解析：因为f(x)在x=a处右可导，所以=f(a)，即f(x)在x=a处右连续，同理由f(x)在x=a处左可导，得f(x)在x=a处左连续，故f(x)在x=a处连续，由于左右导数不一定相等，选(D)．5.f(x)g(x)在x处可导，则下列说法正确的是( )．SSS_SINGLE_SELAf(x)，g(x)在x处都可导Bf(x)在x0处可导，g(x)在x处不可导Cf(x)在x0处不可导，g(x)在x处可导Df(x)，g(x)在x处都可能不可导该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D解析：令f(x)=显然f(x)，g(x)在每点都不连续，当然也不可导，但f(x)g(x)≡一1在任何一点都可导，选(D)．6.f(x)在x0处可导，则｜f(x)｜在x处( )．SSS_SINGLE_SELA 可导B 不可导C 连续但不一定可导D 不连续该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C解析：由f(x)在x0处可导得｜f(x)｜在x处连续，但｜f(x)｜在x处不一定可导，如f(x)=x在x=0处可导，但｜f(x)｜=｜x｜在x=0处不可导，选(C)．7.设f(x)为二阶可导的奇函数，且x＜0时有f"(x)＞0，f"(x)＜0，则当x＞0时有( )．SSS_SINGLE_SELA f"(x)＜0，f"(x)＜0B f"(x)＞0，f"(x)＞0C f"(x)＞0，f"(x)＜0D f"(x)＜0，f"(x)＞0该题您未回答:х该问题分值: 2答案:A解析：因为f(x)为二阶可导的奇函数，所以f(一x)=一f(x)，f"(一x)=f"(x)，f｜(一x)=一f"(x)，即f"(x)为偶函数，f"(x)为奇函数，故由x＜0时有f"(x)＞0，f"(x)＜0，得当x＞0时有f"(x)＜0，f"(x)＜0，选(A)．2. 填空题1.设ξ为f(x)=arctanx在[0，a]上使用微分中值定理的中值，则为___________．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：解析：2.设两曲线y=x 2 +ax+b与一2y=一1+xy 3在点(一1，1)处相切，则a=___________，b=___________。
考研数学一高等数学模拟试卷249_真题(含答案与解析)-交互
考研数学一（高等数学）模拟试卷249(总分60, 做题时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1.把当x→0 +时的无穷小量α=tanx－x，β=∫x (1－cos )dt，γ=( ) x－1排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是SSS_SINGLE_SELA α，β，γ．B γ，β，α．C β；α，γ．D γ，α，β．分值: 2答案:C解析：即当x→0 +时α是比β高阶的无穷小量，α与β应排列为β，α．故可排除(A)与(D)．即当x→0 +时γ是较α高阶的无穷小量，α与γ应排列为α，γ．可排除(B)，即应选(C)．2.设f'(a)＞0，则ヨδ＞0，有SSS_SINGLE_SELA f(x)≥f(a)(x∈(a－δ，a+δ))．B f(x)≤f(a)(x∈(a－δ，a+δ))．C f(x)＞f(a)(x∈(a，a+δ))，f(x)＜f(a)(x∈(a－δ，a))．D f(x)＜f(a)(x∈(a，a+δ))，f(x)＞f(a)(x∈(a－δ，a))．分值: 2答案:C解析：直接由定义出发f'(a)=＞0．由极限的保序性ヨδ＞0，当x∈(a－δ，a+δ)，x≠a时＞0．f(x)＞f(a) (x∈(a，a+δ))，f(x)＜f(a) (x∈(a－δ，a))．因此选(C)．3.设常数α＞0，I1=∫π／2dx，I2=∫π／2dx，则SSS_SINGLE_SEL AI1＞I2．BI1＜I2．CI1 =I2．DI1与I2的大小与α的取值有关．分值: 2答案:A解析：I1－I2当0＜x＜π／4时cosx＞sinx，又0＜x＜－x，所以I1－I2＞0．故选(A)．4.下列函数在点(0，0)处不连续的是SSS_SINGLE_SELABCD分值: 2答案:C解析：直接证(C)中f(x，y)在点(0，0)处不连续．当(x，y)沿直线y=x趋于点(0，0)时因此f(x，y)在点(0，0)处不连续．故选(C)．5.SSS_SINGLE_SELA 绝对收敛．B 条件收敛．C 发散．D 敛散性与a有关．分值: 2答案:B解析：由莱布尼兹法则知原级数收敛．因此是条件收敛．选(B)．2. 填空题1.设y=sinx 2．则dy／d(x 3 )=_______.SSS_FILL答案:正确答案：2cosx 2／3x解析：用微分之商来求．2.∫a arctan dx(a＞0)=_______．SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：a／2解析：利用分部积分法．3.已知方程y"+ y=0的两个特解y1 =e x，y2=x，则该方程满足初值y(0)=1，y'(0)=2的解y=_______．SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：e x +x解析：因y1，y2线性无关，该方程的通解y=C1e x +C2x．由初始条件得C1 =1，C1+C2=2 C1=1，C2=1 y=e x +x．4.曲线在M(1，1，2)处的切线方程为_______，法平面方程为_______.SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：；y－x=0解析：M0在曲线上，M处的切向量=－4i+4j=4{－1，1，0}． M处切线方程法平面方程－(x－1)+(y－1)=0，即y－x=0．5.设D为圆域x 2 +y 2≤x，则I= dσ=_______．SSS_FILL答案:正确答案：4╱9解析：D如图9．3．用极坐标变换，D的极坐标表示：－π／2≤0≤π／2，0≤r≤cosθ，于是I=∫－π／2π／2dθ∫cosθ r．rdr1／3cos 3θdθ3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一高等数学-试卷11_真题(含答案与解析)-交互
考研数学一（高等数学）-试卷11(总分62, 做题时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1.设，则g[f(x)]为SSS_SINGLE_SELABCD该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D2.当x→0时，变量是SSS_SINGLE_SELA 无穷小．B 无穷大．C 有界的，但不是无穷小．D 无界的，但不是无穷大．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D3.设数列xn 与yn满足，则下列断言正确的是SSS_SINGLE_SELA若xn 发散，则yn必发散．B若xn 无界，则yn必无界．C若xn 有界，则yn必为无穷小．D若为无穷小，则yn必为无穷小．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D4.设f(x)=2 x +3 x一2，则当x→0时SSS_SINGLE_SELA f(x)与x是等价无穷小．B f(x)与x是同阶但非等价无穷小．C f(x)是比x较高阶的无穷小．D f(x)是比x较低阶的无穷小．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:B5.设x→0时，e tanx一e x是与x n同阶的无穷小，则n为SSS_SINGLE_SELA 1B 2C 3D 4该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C6.设对任意的x，总有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且lim[g(x)一φ(x)]=0，则SSS_SINGLE_SELA 存在且一定等于零．B 存在但不一定为零．C 一定不存在．D 不一定存在．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D7.设函数在(一∞，+∞)内连续，且=0，则常数a，b满足SSS_SINGLE_SELA a＜0，b＜0．B a＞0，b＞0．C a≤0，b＞0．D a≥0，b＜0．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D8.设f(x)和φ(x)在(一∞，+∞)上有定义，f(x)为连续函数，且f(x)≠0，φ(x)有间断点，则SSS_SINGLE_SELA φ[f(x)]必有间断点．B[φ(x)] 2必有间断点．C f[φ(x)]必有间断点．D 必有间断点．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D9.设函数f(x)=，讨论函数f(x)的间断点，其结论为SSS_SINGLE_SELA 不存在间断点．B 存在间断点x=1．C 存在间断点x=0．D 存在间断点x=一1．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:B2. 填空题1.已知f(x)=sinx，f[φ(x)]=1一x 2，则φ(x)=___________的定义域为_____________．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：arcsin(1一x 2 )，2.=__________SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：3.设函数f(x)=a x (a＞0，a≠1)，则=_____________.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：4.=____________SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：5.=____________SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：26.若f(x)=____________在(一∞，+∞)上连续，则a=___________．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：一23. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一高等数学模拟试卷285_真题(含答案与解析)-交互
考研数学一（高等数学）模拟试卷285(总分50, 做题时间90分钟)选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1.SSS_SINGLE_SELA 0．B 一∞．C +∞．D 不存在但也不是∞．分值: 2答案:D解析：因为 e t =0，故要分别考察左、右极限．由于因此应选D．2.设f(x)=x一sinxcosxcos2x，g(x)=，则当x→0时f(x)是g(x)的SSS_SINGLE_SELA 高阶无穷小．B 低价无穷小．C 同阶非等价无穷小．D 等价无穷小．分值: 2答案:C解析：由等价无穷小因子替换及洛必达法则可得因此选C．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1.判断下列结论是否正确，并证明你的判断．(Ⅰ)若xn ＜yn(n＞N)，且存在极限yn=B，则A＜B；(Ⅱ)设f(x)在(a，b)有定义，又c∈(a，b)使得极限f(x)=A，则f(x)在(a，b)有界；(Ⅲ)若f(x)=∞，则＞0使得当0＜｜x一a｜＜δ时有界。
SSS_TEXT_QUSTI分值: 2答案:正确答案：(Ⅰ)不正确．在题设下只能保证A≤B，不能保证A＜8．例如，xn= yn =0．(Ⅱ)不正确．这时只能保证：点c的一个空心邻域U(c，δ)={x｜0＜｜x一c｜＜δ}使f(x)在U(c，δ)中有界，一般不能保证f(x)在(a，b)有界．例如：f(x)= ，(a，b)=(0，1)，取定c∈(0，1)，则在(0，1)无界．(Ⅲ)正确．因为=0，由存在极限的函数的局部有界性δ＞0使得当0＜｜x一a｜＜δ时有界．2.设f(x)=又a≠0，问a为何值时f(x)存在．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2答案:正确答案：由f(0+0)=f(0—0)，得n=π．因此，当且仅当a=π时，存在f(x)=π．解析：分别求右、左极限f(0+0)与f(0—0)，由f(0+0)=f(0—0)定出a值．3.证明：(Ⅰ)不存在．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2答案:正确答案：(Ⅰ)取xn = ，则均有xn→0，yn→0(n→∞)，但不存在．(Ⅱ)已知f(x)= ，其中g(x)=∫x cost 2 dt，由于4.求w=．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2答案:正确答案：这是求型极限，用相消法，分子、分母同除以(e x ) 2得其中=0(用洛必达法则)．5.求极限w=。
考研数学一-413_真题(含答案与解析)-交互
考研数学一-413(总分150, 做题时间90分钟)一、选择题1.设A、B、C为事件，P(ABC)＞0，如果P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)，则SSS_SINGLE_SELA P(C|AB)=P(C|A)．B P(C|AB)=P(C|B)．C )D ) P(B|AC该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D[分析] 已知P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)意指：“在C发生的条件下，A与B独立”．所以“在C发生的条件下，A发生与否不影响B发生的概率”，即P(B|AC)=P(B|C)，选择(D)．我们也可以通过计算来确定选项．事实上：P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)P(A|C)P(B|AC)=P(A|C)P(B|C)P(B|AC)=P(B|C)，选择(D)．选项(A)、(C)表示：在A发生条件下，B与C独立；选项(B)表示：在B 发生条件下，A与C独立．[评注] 条件P(ABC)＞0，除了保证各条件概率有意义外，还保证各项概率均不为零．已知随机变量X与Y都服从正态分布N(μ，σ2)，如果Pmax(X，Y)＞μ=a(0＜a＜1)，则Pmin(X，Y)≤μ)等于(C)a．(D)1-a．2.设α1，α2，α3，α4，α5是4维向量，下列命题中正确的是SSS_SINGLE_SELA如果α1，α2，α3，α4线性相关，那么k1，k2，k3，k4不全为0时，有k1α1+k 2α2+k3α3+k4α4=0．B如果α1，α2，α3，α4线性相关，那么当k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0时，有k1，k2，k3，k4不全为0．C如果α5不能由α1，α2，α3，α4线性表出，那么α1，α2，α3，α4必线性相关．D如果α1，α2，α3，α4线性相关，那么α5不能由α1，α2，α3，α4线性表出．该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C[分析] 因为α1，α2，α3，α4，α5是5个4维向量它必线性相关．而当α1，α2，α3，α4线性无关时，α5必可由α1，α2，α3，α4线性表出．现在α5不能由α1，α2，α3，α4线性表出，所以α1，α2，α3，α4必线性相关．即命题(C)正确．按定义当α1，α2，α3，α4线性相关时，存在不全为0的k1，k2，k3，k 4，使k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0，但不是对任意不全为0的k1，k2，k3，k4均有k 1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0，故命题(A)不正确．因为0α1+0α2+0α3+0α4=0恒成立，所以命题(B)不正确．当α1，α2，α3，α4线性无关时，α5一定能由α1，α2，α3，α4线性表出，当α1，α2，α3，α4线性相关时，α5也有可能由α1，α2，α3，α4线性表出(例如α5=α1)，故命题(D)不正确．3.下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B[分析] (A)是实对称矩阵，(D)有3个不同的特征值，都可相似对角化，(B)和(C)矩阵的特征值分别是2，2，0和2，2，1，特征值有重根．易见秩所以齐次方程组(2E-B)x=0只有1个线性无关的解，亦即λ=2只有一个线性无关的特征向量．故(B)不能相似对角化．而，对λ=2，矩阵C有2个线性无关的特征向量，所以(C)和对角矩阵相似．4.设数列an单调减少，则幂级数的收敛域为SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B[分析一] 当x=-1时幂级数又数列(an)单调减少，由莱布尼兹准则知交错级数收敛，且是条件收敛，则x=-1为幂级数的收敛区间的左端点，右端点应为x=3，当x=3时，原幂级数由级数发散，则幂级数的收敛域为[-1，3)，故应选(B)．[分析二] 由知[评注] 这里用到一个常用的结论：“若幂级数在x=x1处条件收敛，则x=x1为幂级数的收敛区间的一个端点”．5.设则f(x)在x=0处SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C[分析] 当x→0时，为无穷小量，为有界变量，则从而，f'(0)=0，故应选(C)．6.函数在点(0，0)处SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C[分析] 显然则f(x，y)在点(0，0)处连续，又则f(x，y)，)在点(0，0)处可微，故应选(C)．[评注] 本题中的f(x，y)在(0，0)点的偏导数不连续，事实上7.若y=xe x+x是微分方程y"-2y'+ay=bx+c的解，则SSS_SINGLE_SELA a=1，b=1，c=0．B a=1，b=1，c=-2．C a=-3，b=-3，C=0．D a=-3，b=1，c=1．该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B[分析] 由解y=xe x+x的形式及原方程右端的非齐次项可知，xe x为齐次方程的解，则其特征方程有二重根λ1=λ2=1，特征方程应为(λ-1)2=0，则a=1，而y=x应为非齐次方程的解，将其代入方程y"-2y'+y=bx+c得b=1，c=-2，故应选(B)．二、填空题8.设y==(x-1)(x-2)2(x-3)3(x-4)4，则y"(3)=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:12[分析] 令ψ(x)=(x-1)(x-2)2(x-4)4则y=ψ(x)(x-3)3设ψ(x)在x=3处的幂级数展开式为ψ(x)=a0+a1(x-3)+…+an(x-3)n+…则y=(x-3)3[a0+a1(x-3)+…+an(x-3)n+…]=a0(x-3)3+a1(x-3)4+…+an(x-3)n+3+…从而y"'(3)=a0·3!=6a显然a=ψ(3)=2，故y"'(3)=12[评注] 由本题的分析可得到一个常用的结论：若ψ(x)在x的某邻域内可展开为幂级数，y=(x-x)nψ(x)(n为正整数)，则y(k)(x)=0 k=1，2，…，n-1y(n)(x0)=ψ(x)n!9.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:当n为偶数时为0，当n为奇数时为[分析] 当n为偶数时，为偶函数，则为奇函数，从而当n为奇数时，[评注]本题用到两个常用的结论：(1)设f(x)连续，则当f(x)为奇函数时，为偶函数，当f(x)为偶函数时，为奇函数．(2)设f(x)连续，则10.设D=(x，y)|x2+Y2≤2x+2y，则SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:5π[分析] 积分域x2+y2≤2x+2y为圆域(x-1)2+(y-1)2≤2令x-1=u，Y-1=v，则11.设z=f(xy，x2+y2)，其中f(u，v)有二阶连续偏导数．则______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:[分析]=f'1+xyf"11+4xyf"22+2(x2+y2)f"1212.设A是3阶矩阵，B是4阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，且|A|=2，|B|=SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:甲、乙两人各自独立地向同一目标重复射击两次，已知每次射击甲命中目标概率为p(0＜p＜1)，乙命中目标的概率为0.6，则使甲、乙两人命中目标次数相等的概率达到最大的p=______．三、解答题13.求极限SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 10答案:14.设f(x)为连续函数，当x→0时与bx k为等价无穷小，其中常数b≠0，k为某正整数．求k与b的值及f(0)，f'(0)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 10答案:令x-t=u，则dt=-du15.计算线积分其中L为从点A(-π，0)沿曲线y=sinx到点B(π，0)的弧段．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 10答案:补线用格林公式，如右图，补线段，则L与围成两块平面域D1和D2，则[评注] 补线段后对积分用格林公式时应注意，曲线L和线段围成了两块区域，分别为D1和D2，而D1的边界曲线为逆时针方向(用格林公式取正号)，D2的边界曲线为顺时针(用格林公式取负号)．这里容易出现错误，请务必注意．16.设f(x)在[0，+∞)上连续，且收敛，令证明：收敛．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 10答案:令nx=t，则[评注] 本题在证明过程中用到一个重要的积分不等式，即Cauchy积分不等式．17.设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)，常数a＞0与b＞0．求证：存在满足0＜ξ＜η＜1的ξ与η．使得af'(ξ)+bf'(η)=0．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 10答案:令，在[0，c]和[c，1]上分别对f(x)用拉格朗日定理得[评注] 本题给出了此类问题求解的一种常用方法．[分析] 本题属中值定理的证明题中要证存在两个不同点ξ和η，这种问题应将[0，1]分为两个区间[0，c]和[c，1]，然后在这两个区间上分别用拉格朗日中值定理．问题的关键在于c点的选取，为此，利用拉格朗日中值定理得18.设二次型矩阵A满足AB=0，其中(Ⅰ)用正交变换化二次型x T Ax为标准形，并写出所用正交变换．(Ⅱ)判断矩阵A和B是否合同．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 11答案:(Ⅰ)AB=0知λ=0是矩阵A的特征值且矩阵B的列向量(1，0，1)T是矩阵A属于特征值λ=0的特征向量．故有由矩阵A的特征多项式得矩阵A的特征值为：6，0，-6．由(6E-A)x=0得矩阵A属于特征值6的特征向量为(1，2，-1)T由(-6E-A)x=0得矩阵A属于特征值-6的特征向量为(-1，1，1)T实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，单位化有(Ⅱ)不合同，因为，它们的正负惯性指数不一样，所以不合同．19.设A是4阶非零矩阵，α1，α2，α3，α4是非齐次线性方程组Ax=b的不同的解(Ⅰ)如果α1，α2，α3线性相关，证明α1-α2，α1-α3也线性相关；(Ⅱ)如果α1，α2，α3，α4线性无关，证明α1-α2，α1-α3，α1-α4是齐次方程组Ax=0的基础解系．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 11答案:(Ⅰ)因为α1，α2，α3线性相关，故有不全为0的k1，k2，k3使得k 1α1+k2α2+k3α3=0，那么(k1，k2，k3)α1=k2(α1-α2)+k3(α1-α3)．因为α1-α2，α1-α1-α3是齐次方程组Ax=0的解，而α1是非齐次方程组Ax=b的解，所以α1不能由α1-α2，α1-α3线性表出，故必有k1+k2+k3=0．从而k2(α1-α2)+k3(α1-α3)=0．此时必有k2，k3不全为O(否则k1，k2，k3全为0)，即α1-α2，α1-α3线性相关．(Ⅱ)由方程组的性质知α1-α2，α1-α3，α1-α4是Ax=0的解．当k1(α1-α2)+k2(α1-α3)+k3(α1-α4)=0时即(k1+k2+k3)α1-k1α2-k2α3-k3α4=0因为α1，α2，α3，α4线性无关即必有k1=k2=k3=0．从而α1-α2，α1-α3，α1-α4是Ax=0的3个线性无关的解．那么n-r(A)≥3即r(A)≤1，又A≠0有r(A)≥1，从而r(A)=1．因此α1-α2，α1-α3，α1-α4是Ax=0的基础解系．20.已知X服从参数为1的指数分布，Y=|X|，试求：(Ⅰ)(X，Y)的分布函数F(x，y)；(Ⅱ)关于X和关于Y的边缘分布函数Fx (x)和Fy(y)；(Ⅲ)X，Y的相关系数ρXY．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 11答案:(Ⅰ)故ρXY=1．[评注] 本题的关键在于x～E(1)，而X的密度函数为X取负值的概率为0，故实际求解过程中把|X|就可以看成为X．21.已知X1，X2，…，Xn是来自正态总体N(0，σ2)容量为n(n＞1)的简单随机样本，样本均值与方差分别为试求统计量的期望与方差SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 11答案:由题设知总体X～N(0，σ2)，故[评注] 解答本题时我们应用了下面两个重要的结论：(1)如果总体X～N(μ，σ2)，样本均值与方差分别为，则相互独立；(2)如果X～χ2(n)，则EX=n，DX=2n．1。
考研数学一高等数学-试卷8_真题(含答案与解析)-交互
考研数学一（高等数学）-试卷8(总分102, 做题时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1.累次积分可以写成SSS_SINGLE_SELABCD该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D2.设S是平面x+y+z=4被圆柱面x 2 +y 2 =1截出的有限部分，则曲面积分的值是SSS_SINGLE_SELA 0BCD π该题您未回答:х该问题分值: 2答案:A2. 填空题1.交换积分次序：=___________SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：2.=____________SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：3.交换积分次序：=____________SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：4.=_____________SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：5.=_____________SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：6.设曲线C为，则=_____________SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：7.设C为椭圆，则=_____________SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：πab8.设u=x 2 +y 2 +z 2，则div(gradu)=__________SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：63. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1.计算二重积分，其中D是直线y=2，y=x和双曲线xy=1所围成的平面区域．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：2.计算SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：3.计算，其中区域D由y=x 2，y=4x 2，y=1所围成．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：4.计算，其中D由直线x=一2，y=0，y=2以及曲线所围成．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：5.计算，其中D：x 2 +y 2≤4．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：9π6.计算，其中D由不等式x 2 +y 2≤x+y所确定．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：7.计算，D是由(0≤t≤2π)与x轴所围成的区域．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：8.求，其中D是由y=x 3，y=1，x=一1所围成的区域，f(u)是连续函数．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：9.设f(x，y)是定义在区域0≤x≤1，x≤y≤1上的二元连续函数，f(0，0)=一1，求极限。