2019年全国高考理科数学试题分类汇编4：数列.doc

2019 年全国高考理科数学试题分类汇编4 ：数列

一、选择题

1 ．（ 2019 年高考上海卷（理））在数列 { a n} 中, a n 2n 1,若一个7行12列的矩阵的第i 行第 j 列的元素

a i , j a i a j a i a j,( i 1,2,L ,7; j 1,2,L ,12 )则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为( )

(A)18 (B)28 (C)48 (D)63

【答案】 A.

2 ．（ 2019 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知数列a n满足

3a n 1a

n 0,a2 4 , 则a n的前 10 项和等于

3

1 1

(A) 6 1 3 10 (B) 3 10 (C)3 1 3 10 (D) 3 1+310

9

【答案】 C

3 （． 2019 年高考新课标1（理））设A n B n C n的三边长分别为a n ,b n , c n, A n B n C n的面积为 S n, n 1,2,3, L ,

若 b1 c1 ,b1 c1 2a1,a a ,b c

n

a

n, c b n

a

n , 则 (

)

n 1 n n 1 2 n 1 2

A.{ S n}为递减数列

B.{ S n }为递增数列

C.{ S2n-1 }为递增数列 ,{ S2n }为递减数列

D.{ S2n-1 }为递减数列 ,{ S2n }为递增数列

【答案】 B

4 ．（ 2019 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））函数y=f (x)的图像如图所

示,在区间a,b 上可找到n(n 2) 个不同的数 x1,x2 ...,x n , 使得f (x

1

)

=

f (x

2

)

=

f (x

n

)

, 则 n 的取值范围是x1 x2 x n

(A)3,4(B)2,3,4(C)3,4,5(D)2,3

【答案】 B

5 ．（ 2019 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））已知等比数列{ a n}的公比为

q, 记b n a

m( n 1) 1

a

m( n 1) 2

... a

m (n 1) m

,

c n a

m(n

1)

1

? a

m(n 1) 2

?...? a

m( n

1) m

(m, n N * ), 则以下结论一定正确的是( ) A. 数列{b n}为等差数列 ,

公差为 q m B. 数列{b n}为等比数列 ,公比为q2 m

C. 数列{ c n}为等比数列 ,公比为q m2

D. 数列{ c n}为等比数列 , 公比为q m m

【答案】 C

6 ．（ 2019 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯 WORD 版含答案））等比数列a n的前 n

项和为 S n,已知 S3 a2 10a1, a5 9 ,则 a1

1 1 1 1

(A) (B) (C) (D)

3 3 9 9

【答案】 C

7 ．（ 2019 年高考新课标 1 （理））设等差数列a n的前n项和为S n, S m 1 2, S m 0, S m 1 3 ,则 m ( )

A.3

B.4

C.5

D.6

【答案】 C

8 ．（ 2019 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））下面是关于公差d 0 的等差数列 a n 的四个命题 :

p1 : 数列 a n 是递增数列；p2 : 数列 na n 是递增数列；

p3 : 数列a n 是递增数列；p : 数列 a 3nd 是递增数列；

n 4 n

其中的真命题为

(A) p1, p2 (B) p3, p4 (C) p2, p3 (D) p1, p4

【答案】 D

9．（2019年高考江西卷（理））等比数列x,3x+3,6x+6,..的第四项等于

A.-24

B.0

C.12

D.24

【答案】 A

二、填空题

10 ．（ 2019 年高考四川卷（理））在等差数列{ a n}中,a2a18,且a4为a2和a3的等比中项,求数列{ a n}的首项、公差及前 n 项和.

【答案】解 :设该数列公差为 d ,前n项和为s n.由已知,可得

2a1 2d 8, a1

2

a1 d a1 8d . 3d

所以 a1 d 4,d d 3a1 0 ,

解得 a1 4, d 0 ,或 a1 1,d 3 ,即数列a n的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为 3.

所以数列的前 n 项和 s n 4 3n2 n

n 或 s n 2

11 ．（ 2019 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯 WORD 版含答案））等差数列a n的前 n 项和为 S n,已知 S10 0, S15 25 ,则 nS n的最小值为________.

【答案】49

12 （． 2019 年高考湖北卷（理））古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数 1,3,6,10,, 第 n 个三角形数为

n n 1 1 n21 n .记第 n 个 k 边形数为 N n,k k 3 ,以下列出了部分k 边形数

2 2 2

中第 n 个数的表达式:

三角形数N n,3 1 n2 1 n

2 2

正方形数N n,4 n2

五边形数N n,5 3 n2 1 n

2 2

六边形数N n,6 2n2 n

可以推测 N n, k 的表达式,由此计算 N 10,24 ___________.

选考题

【答案】 1000

13 ．（ 2019 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））在正项等

比数列 { a n} 中,a5 1

a7 3 ,则满足 a1 a2 a n a1 a2 a n的最大正整数 n , a6 的值为

2

_____________.

【答案】 12

14 ．（ 2019 年高考湖南卷（理））设 S n为数列a n 的前 n 项和 , S n ( 1)n a n 1 , n N , 则

2n

(1) a3 _____; (2) S1 S2 S100___________.

1 1 1

【答案】

16;3( 21001)

15 ．（ 2019年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））当x R, x1时,有如下表

达式 :1 x x 2

(x)

n ... 1 .

1 x

1

1

1

1

1 1

两边同时积分得 :

2

1dx

2

xdx

2

x 2dx ...

2

x n dx ...

2

1 dx.

0 x

从而得到如下等式 : 1

1 1 (1)2

1 (1)3

...

1 1

( 1)n 1

...

ln 2.

2 2 2

3 2

n

2 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法

,计算 :

1 1 1

1 2 1 2 1

3

1

n

1 n 1

C n

2

2

C n

( 2 )

3

C n

( 2 )

...

n 1C n

( 2 )

_____

【答案】

n 1 [( 3 ) n 1 1]

1 2

16 ．（2019 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案）

）已知 a n 是等差数列 , a 1

1,公差

d 0 , S n 为其前 n 项和 ,若 a 1 ,a 2 , a 5 成等比数列 ,则 S 8 _____

【答案】

64

17 ．（ 2019 年上海市春季高考数学试卷 (含答案 )）若等差数列的前 6 项和为 23, 前 9

项和为 57, 则数列的前 n

项和 S n = __________.

【答案】

5 n 2 7 n

6

6

18 ．（ 2019 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯 WORD 版））在等差数列

a n 中,已知

a 3 a 8

10

,则

3a

5

a 7

_____ 【答案】 20

19 ．（ 2019 年高考陕西卷（理） ） 观察下列等式 :

12 1

12 22

3

2

2

2

6

1

2 3 12 22

32 42

10

照此规律 ,

2

- 2 2

3 2

-

n -1

n 2 （

-1) n 1

n(n

1) ____.

第 n 个等式可为 ___1

（ -1）

2

2 - 2 2

3 2 -

n -1

n 2 （ - 1)

n 1

n(n 1)

【答案】 1

（ -1）

2

20 ．（ 2019 年 高考新课标

1 （理））若数列 { a n } 的前 n 项和为 S n =

2 a n 1 , 则数列

的通项公式是

3 3 { a n }

a n =______.

【答案】 a n = (

2)n 1 .

21 ．（ 2019 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯

WORD 版）） 如图 ,互不 - 相同的点

A 1 , A 2 K , X n ,K 和

B 1, B 2 K , B n ,K 分别在角 O 的两条边上 ,所有 A n B n 相互平行 , 且所有梯形 A n B n B n 1 A n 1

的面积均相等 . 设 OA n a n . 若 a 1 1,a 2 2, 则数列 a n 的通项公式是 _________.

【 答 案 】 a n

3n 2 ,n N *

22 ．（ 2019 年 高 考 北 京 卷 （ 理 ）） 若 等 比 数 列 {a n } 满 足

a 2 + a 4 =20, a 3 +a 5 =40, 则公比 q =_______; 前 n 项和 S n =___________.

【答案】 2, 2n 1

2

23 ．（ 2019 年普通 高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（ WORD

版））已知等

比 数 列 a n

是递增数列,

S n 是 a n 的 前 n 项 和 , 若 a 1， a 3 是 方 程 x 2

5x 4 0 的两个根,则

S 6 ____________.

【答案】 63 三、解答题

24 ．（ 2019 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯 WORD 版））设函数

f n (x)

1 x

x 2

x 2

x n n

),证明:

2 2

2

K

n 2 (x R, n N

3

(Ⅰ)对每个

N n 存在唯一的 x n [ 2

0 ;

n

,

,1] ,满足 f n ( x n )

3

1 (Ⅱ)对任意

N

n

x n 满足 0 x n

x

n p

p

,由 ( Ⅰ ) 中x n 构成的数列

.

n

n

2

3

4

n

【答案】 解:(Ⅰ)

当 x

0时， y

x

2

是单调递增的

f n ( x)

1 x x 2

x 2

x 2

x

2 是 x

n

2 3

4

n

的单调递增函数 , 也是 n 的单 调递增函数 . 且 f n (0) 1 0, f n (1) 1 1 0 .

存在唯一 x n

(0,1], 满足 f n ( x n )

0，且 1 x 1 x 2 x 3 x n

当 x (0,1).时, f n ( x) x 2

x 3 x 4

x n 1 x

x 2 1 x n 1

1 x

x 2

1

1 x

22

22

22 4 1 x

4 1 x

22

f n ( x n )

1 x n x n

2

1

(x n 2)(3x n 2)

0 x n

[ 2

4 1 x n

,1]

3

综上 ,对每个 n

N n , 存在唯一的 x n [ 2

,1] ,满足 f n ( x n ) 0 ;(证毕 )

3

(Ⅱ)由题知1

x n

x

n p

0, f n (x n )

1 x n

x n 2

x n 3 x n 4 x n n 0

2 2

32

42

n 2

2

3

x

n p

4

x

n p

n

x

n p

n 1

n p

f n p (x n p )

1 x n p

x

n p

x

n p

x

n p

0上式相

2

2

3

2

4

2

n

2

(n 1)

2

(n p)

2

减

:

x n

2

x n

3

x n

4

x n

n

x n p

2

3

4

n

x n p n 1

n p

x n

x n p

x n p

x n p x n p

x n

2

32 42

n 2

p

22

32

42

n 2

(n 1) 2

( n p) 2

2

x 2 - x 2 x

3

- x

3

x

4

- x

4

x

n - x n

x n 1

x

n p

x n - x n p （ n p n

n p

n

n p n n p

n

）（ n p

n p

）

2 2

32

4 2

n 2

( n 1) 2

(n p) 2

1 1 1 x n - x n p 1 . n n p n n

法二 :

25 ．（ 2019 年高考上海卷（理））(3 分 +6 分 +9 分 )给定常数c 0 ,定义函数 f ( x) 2 | x c 4 | | x c |,

*

数列 a1 , a2 , a3 ,L 满足 a n 1 f ( a n ), n N .

(1) 若 a1 c 2 ,求 a2及 a3;(2)求证:对任意 n N * , a n 1 a n c ,;

(3)是否存在 a1,使得 a1, a2 ,L a n ,L 成等差数列?若存在,求出所有这样的 a1,若不存在,说明理由.

【答案】 :(1) 因为c 0 ,a1 (c 2) ,故 a2 f ( a1 ) 2 | a1 c 4 | | a1 c | 2 ,

a3 f (a1 ) 2 | a2 c 4 | | a2 c | c 10

(2) 要证明原命题 ,只需证明f ( x) x c 对任意x R都成立,

f ( x) x c 2 | x c 4 | | x c | x c

即只需证明 2 | x c 4 | | x c | + x c

若 x c 0 ,显然有2 | x c 4 | | x c | +x c=0 成立;

若 x c 0 ,则2 | x c 4 | | x c | + x c x c 4 x c 显然成立

综上 , f ( x) x c 恒成立,即对任意的 n N * , a n 1 a n c

(3) 由 (2) 知 , 若{ a n}为等差数列 ,则公差d c 0 ,故n 无限增大时 ,总有a n 0

此时 , a n 1 f (a n ) 2(a n c 4) ( a n c) a n c 8

即 d c 8

故 a2 f ( a1 ) 2 | a1 c 4 | | a1 c | a1 c8 ,

即 2 | a1 c 4 | | a1 c | a1 c8 ,

当 a1 c 0 时,等式成立,且n 2 时,a n 0 ,此时 { a n } 为等差数列,满足题意;

若 a1 c 0 ,则 | a1 c 4 | 4 a1 c 8 ,

此时 , a2 0, a3 c 8,L , a n (n 2)( c 8) 也满足题意;

综上 ,满足题意的a1的取值范围是[ c, ) { c 8} .

26 ．（ 2019年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分10分.

k个

644474448

设数列a ：1，- 2，- 2,3,3,3，- 4，- 4，- 4，- 4，L k -1 k-1

, 即

，（），，（）当n

-1 k L -1 k

（）（）

时k 1 记对于定义k 1 k k k 1 , a n （ - ）S n a1 a2 L a n n N , l N ,

2 n k N 1 k ,

2

集合 P l n S n是a n的整数倍，

n N ，且1 n l

(1)求集合 P11中元素的个数; (2)求集合 P2000中元素的个数.

【答案】本题主要考察集合 .数列的概念与运算 . 计数原理等基础知识 , 考察探究能力及运用数学归纳法分析解决

问题能力及推理论证能力 .

(1) 解: 由数列a n 的定义得 : a1 1, a2 2 , a3 2 , a4 3 , a5 3 , a6 3 , a7 4 , a8 4 , a9 4 , a10 4 , a11 5

∴ S1 1, S2 1, S3 3, S4 0,S5 3,S6 6,S7 2,S8 2,S9 6,S10 10 , S11 5 ∴S1 1? a1, S4 0 ? a4, S5 1 ? a5, S6 2 ? a6, S111? a11

∴集合 P11中元素的个数为 5

(2) 证明 :用数学归纳法先证S i (2i 1) i( 2i 1)

事实上 ,

①当 i 1时,S i ( 2i 1) S3 1? (2 1) 3 故原式成立

②假设当 i m 时,等式成立,即S m( 2m 1) m ? (2m 1) 故原式成立

则 : i m 1,时 ,

S

( m 1)[ 2 (m

1) 1} S

( m 1)( 2 m 3}

S

m (2m 1) (2m 1) 2 ( 2m 2) 2 m(2m 1) ( 2m 1) 2 (2m 2) 2

(2m 2 5m 3) ( m 1)(2m 3) 综合①②得 : S i (2i 1) i( 2i 1) 于是

S

( i 1)[2 i 1} S

i ( 2i

1}

(2i 1) 2 i (2i 1) (2i 1) 2 (2i 1)(i 1)

由上可知 : S i ( 2i 1} 是 ( 2i 1) 的倍数

而 a( i 1)( 2 i 1} j 2i 1( j 1,2, ,2i 1) ,所以 S i( 2i 1) j S

i ( 2i 1) j (2i 1) 是

a

( i 1)( 2i 1} j ( j 1,2, ,2i 1) 的倍数

又S

( i 1)[ 2 i 1} (

i

1)( 2 1) 不是

2i 2

的倍数

, i

而a

( i 1 )(2 i 1} j ( 2 2)(

j

1,2, ,2

i

2) i

所以 S(i 1)( 2i 1) j S(i 1)( 2 i 1) j ( 2i 2) ( 2i 1)(i 1) j (2i 2) 不是 a( i 1)( 2i 1} j ( j 1,2, ,2i 2) 的倍数

故当 l i (2i 1) 时 ,集合P l中元素的个数为1 3 （2i - 1） i 2

于是当 l i ( 2i 1) j（1 j 2i 1）时,集合 P l中元素的个数为 i 2 j

又 2000 31 （2 31 1） 47

故集合 P2000中元素的个数为312 47 1008

27 ．（ 2019 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯 WORD 版））在公差为 d 的等差数列{ a n} 中 , 已知a1 10 ,且 a1,2a2 2,5a3成等比数列.

(1) 求d, a n ; (2) 若d 0 ,求| a1| | a2 | | a3 | | a n |.

【答案】解 :( Ⅰ ) 由已知得到:

(2a2 2)2 5a1a3 4(a1 d 1)2 50(a1 2d ) (11 d )2 25(5 d) 121 22d d 2 125 25d d 2 3d 4 0 d 4 或d 1 ;

a n 4n 6 a n 11 n

( Ⅱ ) 由(1) 知 ,当d 0 时,a n 11 n ,

①当

1 n

时 , 11

a n 0 | a1 | | a2 | | a3 | ggg | a n | a1 a2 a3 ggg a n n(10 11 n) n(21 n)

2 2

②当 12n 时,

a n 0 | a 1 | | a 2 | | a 3 | ggg | a n | a 1 a 2 a 3 ggg

a

11

(a

12 a

13

ggg a n )

2(a

a a

ggg a ) (a

a

a

ggg a ) 2 11(21 11)

n(21 n)

n 2

21n 220

1

2

3

11

1

2

3

n 2

2

2

n(21

n)

,(1

n 11)

所以 ,综上所述 : | a 1 |

| a 2 | | a 3 | ggg | a n |

2

;

n

2

21n 220 ,( n

12)

2

28 ．（ 2019 年高考湖北卷（理） ） 已知等比数列

a n 满足 : a 2 a 3 10 , a 1a 2a 3 125 . (I) 求数列

a n 的通

项公式 ;

(II) 是否存在正整数 1 1

L

1 1 ?若存在 ,求 m 的最小值 ;若不存在 ,说明理由 .

m , 使得

a 2 a m

a 1

【答案】 解 :(I) 由已知条件得 : a 2 5 ,又 a 2 q

1 10, q

1或3,

所以数列 a n 的通项或 a n 5 3n 2

(II) 若 q

1, 1

1 L 1 1

或 0, 不存在这样的正整数 m ; a 1

a 2

a m

5

m

若 q 3 , 1

1 L

1 9 1 1

9 , 不存在这样的正整数 m .

a 1

a 2 a m 10 3 10

29

．（ 2019 年普通高等学校招生统一考试山东数学

（理）试题 （含答案））设等差数列

a n 的前 n 项和为 S n ,

且 S 4 4S 2 , a 2 n 2a n 1.

( Ⅰ ) 求数列 a n 的通项公式 ;

( Ⅱ ) 设数列 b n 前 n 项和为 T n , 且 T n

a n 1 ( 为常数 ).令 c n

b 2n (n

N *).求数列

c n 的前 n 项和

2n

R n .

【答案】 解 :( Ⅰ ) 设等差数列

a n

的首项为

a 1

,公差为 d

,

由

S 4

4S

2

, a 2 n

2a n

1得

4a 1 6d 8a 1 4d a 1 (2n 1) 2a 1 2(n 1)d 1

,

解得 ,

a 1 1

, d

2

因此 a n

2n 1 (n

N * )

T n

n

2n 1

( Ⅱ ) 由题意知:

b n T n

T

n 1

n

n 1

所以

n 2

时, 2n 1

2n 2

c n

b

2n

2n 2

(n 1)( 1)

n 1

( n N *

) 故 ,

22 n 1

4

R n

0 ( 1)0 1 (1)1

2 (1)

2

3 (1)

3

(n 1) ( 1

) n 1

所以

4

4

4

4

4

,

1

R n

0 (1)1

1 (1)

2

2 (1)

3

(n 2) ( 1

)

n 1

( n 1) ( 1)

n

则

4

4

4

4

4

4

3 R n

(1 )1

(1)2

(1 )3

( 1 )n 1

(n 1) (1

) n

两式相减得

4

4

4

4

4

4

1 ( 1 )n 1 4 4 ( n 1)(

) n

1

4

1

4

R n 1 3n 1 )

(4

4 n 1 整理得

9

c n 的前 n 项和

R n

1 (4

3n 1 )

所以数列数列

9 4n

1

30 ．（ 2019 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学） （已校对纯 WORD 版含附加题） ）本小题满

分 16 分 . 设 { a n } 是首项为 a ,公差为 d 的等差数列 (d 0) , S n 是其前 n 项和 . 记 b n

nS n , n N * ,其中

c 为实数 .

n 2 c

(1) 若 c

0 ,且 b 1， b 2， b 4 成等比数列 ,证明 : S nk n 2 S k ( k, n N * ) (2) 若 { b n } 是等差数列 ,证明 : c

0 .

【答案】 证明 { } 是首项为

a ,公差为 d 的等差数列 (d

0) , S n 是其前 n 项和

: ∵a n ∴ S n

na n(n 1) d

2

(1) ∵c

∴ b n

S n

a

n 1 d

n

2

∵ 1

2

4 成等比数列

∴ b 2 2 b 1b 4 ∴

(a 1 d ) 2 a( a

3

b ， b ， b

d)

2

2

∴

1 ad 1 d

2 0 ∴ 1 d( a 1 d ) 0 ∵ d 0 ∴ a

1

d ∴ d 2a 2 4 2 2 1) a

2

∴ S n na n(n 1) d na n(n n 2a

2 2

2

∴左边 = S nk

(nk )2 a n 2k 2 a 右边 = n 2 S k n 2 k 2 a

∴左边 =右边∴原式成立

(2) ∵{ b n } 是等差数列∴设公差为 d 1 , ∴b n b 1 (n 1) d 1 带入 b n nS n 得 :

n 2

c

b 1 (n 1)d 1

nS n ∴ (d 1

1

d )n

3

(b 1 d 1

a 1

d )n 2 cd 1 n c( d 1 b 1 ) 对 n N 恒成立

n 2 c

2

2

d 1 1 0

d

2

∴ b 1

d 1

a 1 0 d

cd 1 0 2

c(d 1

b 1 ) 0

由①式得 : d 1

1 d ∵ d 0 ∴ d 1 0

2 由③式得 : c

法二 :证 :(1) 若 c

0 ,则 a n

a ( n 1) d , S n

n[( n 1)d 2a] , b n (n 1)d 2a .

2

2 当 b 1， b 2，b 4 成等比数列 , b 22 b 1b 4 ,

2

即 :

a d

a a 3d ,得 : d 2 2ad , 又 d 0 ,故 d 2a .

2

2

由此 : S n n 2 a , S nk

(nk ) 2 a n 2 k 2 a , n 2 S k n 2 k 2 a .

故 : S nk

n 2S k ( k ,n N * ).

nS n

n 2

(n 1)d 2a

(2)

b n 2

,

n 2

c

n 2 c

n 2 ( n 1)d

2a

c (n

1)d 2a c ( n 1) d 2a 2

n 2 2 2

c

(n 1) d 2a c (n 1)d 2a

2

.

( ※ )

2

n

2

c

若 { b n } 是等差数列 ,则 b n An Bn 型 .

观察 ( ※ ) 式后一项,分子幂低于分母幂 ,

c (n 1)

d 2a

(n 1)d 2a (n 1) d 2a 故有:

2 0 0

2 c

, 即c ,而≠ 0,

n 2 2

故 c 0 .

经检验 ,当c0 时{ b n}是等差数列.

31 ．（ 2019 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））等差数列a n 的前n 项和为 S n,已知 S3 =a2 2 ,且S1, S2, S4成等比数列 ,求a n的通项式.

【答案】

32 ．（ 2019 年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知首项为 3 的等比数列 { a n } 不

2

是递减数列 , 其前n项和为 S n ( n N *) , 且S3 + a3 , S5 + a5 , S4 + a4 成等差数列 .

( Ⅰ ) 求数列 { a n } 的通项公式 ;

(Ⅱ ) 设 T n S n 1

(n N * ) , 求数列 { T n } 的最大项的值与最小项的值 . S n

【答案】

33 ．（ 2019年高考江西卷（理））正项数列{a n}的前项和{a n}满足:s n2(n2n 1)s n( n2n)0 (1)求数列 {a n }的通项公式 a n ;

(2) 令b n

n 1

2 ,数列 {b n }的前n项和为T n

* 5 (n 2)

2

a

.证明 : 对于任意的n N , 都有T n

64

【答案】(1) 解 : 由S n2 (n2 n 1)S n (n2 n) 0,得S (n2 n) (S 1) 0.

n n

由于 a n 是正项数列 ,所以S n 0, S n n2 n .

于是 a1 S1 2, n 2时, a n S n S n 1 n2 n (n 1)2 (n 1) 2n .

综上 ,数列a n 的通项 a n 2n .

(2) 证明 :由于a n 2n,b n

n 1

2

. (n

2

2) a n

则 b n

n 1 1 1 1

. 4n2 ( n 2) 2 16 n2 ( n 2)2

T n

1 1 1 1 1 1

?

1 1 1 1 16

1

22 42 32 52 (n 1)2 (n 1)2 n2 ( n 2)2

32

1

1

1 1 1 1

(1

1 5

16

2 2

(n 2)

2

16 2

2

) .

2 (n 1) 64

是等比数列 .