高中数学 三角函数的图像及性质小结导学案
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三角函数图像与性质导学案
姓名
一．复习
函数
sinyx
cosyx
tanyx
图像
定义域
值域
单调性
在__________________上为增函数，在___________________上位减函数，kZ 在__________________上
为增函数，在___________________上位减函数，kZ 在__________________
上为增函数， kZ
最值
在x=_____________时，max1y，kZ； 在x=_____________时，min1y；kZ 在x=_____________时，
max
1y
，kZ；
在x=_____________时，
min
1y
；kZ
无最值
奇偶性
对
称
性
对称
中心
对称
轴
周期
2
二．典例分析
例1 求下列函数的周期与对称中心
（1）3sin()32xy
（2）1tan(2)23yx
（3）sin2yx
例2 求下面函数的最大值和最小值，并且求取最大值和最小值时的x的取值范围。
（1）sin2,xyxR （2）32cos,yxxR
例3 求下列函数的值域
（1）22sincos1sinxxyx （2）22sin2sincos3cosyxxxx
例4 利用函数单调性比较下列各组中两个函数值的大小
（1）3tan(),tan()57 （2）tan1519,tan1493
3
（3）sin508,sin144 （4）4744cos(),cos()109
例5 求函数32cos()224xy的单调增区间。
例6 已知函数()yfx的图像如下，试回答下列问题：
（1）函数周期
（2）画出(1)yfx图像
（3）写出函数()yfx的解析式
例7（B）求函数32cos219lg2xxy的定义域。
1
1
4
练习案
1 解不等式1sin32x
2 判断下面函数的奇偶性
（1）sin(2)2yx （2）3cos()22xy
3.设函数(),()fxxR是以2为最小正周期的周期函数，且[0,2]x时2()(1)fxx，求
7
(3),()2ff
。
高中数学人教版A版精品教案《三角函数的图象与性质》
三角函数的图象与性质——正弦函数、余弦函数的性质【教学目标】1．理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义；2．会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；3．掌握正弦函数(n )si y A x ωϕ＝＋的周期及求法。
【教学重点】正、余弦函数的性质。
【教学难点】正、余弦函数性质的理解与应用。
【教学过程】一、讲解新课：（1）定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R ［或(,)-∞+∞］，分别记作：sin y x x ∈R ＝，cos ,y x x =∈R（2）值域1sin 1x ≤≤-，-1cos 1x ≤≤也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是[]-1,1。
其中正弦函数sin y x =，x ∈R（1）当且仅当x 2k 2ππ=+，k ∈Z 时，取得最大值1。
（2）当且仅当x 2k 2ππ=+，k ∈Z 时，取得最小值1-。
而余弦函数cos y x ＝，x ∈R当且仅当2x k π=，k ∈Z 时，取得最大值1(21)x k π=+，k ∈Z 时，取得最小值1-。
（3）周期性由sin(2)sin x k x π+=，cos(2)cos x k x π+=k ∈Z 知：正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的。
一般地，对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=，那么函数f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。
由此可知，2π，4π，…，2π-，4π-，…2k πk ∈Z 且0k ≠都是这两个函数的周期。
对于一个周期函数()f x ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做()f x 的最小正周期。
注意：1．周期函数x ∈定义域M ，则必有x T M +∈，且若0T ＞则定义域无上界；0T ＜则定义域无下界； 2．“每一个值”只要有一个反例，则()f x 就不为周期函数（如()()00¹f x t f x +） 3．T 往往是多值的（如sin y x =，2π，4π，…，2π-，4π-，…都是周期）周期T 中最小的正数叫做()f x 的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k πk ∈Z 且0k ≠都是它的周期，最小正周期是2π（4）奇偶性由sin()sin x x -=-()cos x cosx -＝可知：sin y x =为奇函数cos y x =为偶函数∴正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于轴对称（5）单调性从sin y x =，3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象上可看出： 当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，曲线逐渐上升，sin x 的值由1-增大到1。
高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的图像与性质学案新人教A版必修
§1.4.3正切函数的图像与性质课前预习学案一、预习目标利用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质二、预习内容1.画出下列各角的正切线：2.类比正弦函数我们用几何法做出正切函数x y tan =图象：3.把上述图象向左、右扩展，得到正切函数R x xy ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线”4.观察正切曲线，回答正切函数的性质： 定义域： 值域： 最值： 渐近线： 周期性： 奇偶性 单调性： 图像特征： 三、提出疑惑课内探究学案一、学习目标：会用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质，用数形结合的思想理解和处理问题。
学习重难点：正切函数的图象及其主要性质。
二、学习过程例1.讨论函数⎪⎭⎫⎝⎛+=4tan πx y 的性质 变式训练1. 求函数y ＝tan2x 的定义域、值域和周期例2.求函数y ＝2tan x 1－的定义域变式训练2. y 例3. 比较tan 27π与tan 107π的大小 变式训练3. tan 65π与tan (－135π)三、反思总结 1、数学知识： 2、数学思想方法： 四、当堂检测一、选择题1. 函数)43tan(2π+=x y 的周期是 ( )(A) 32π (B) 2π (C)3π (D)6π 2.函数)4ta n (x y -=π的定义域为( )(A)},4|{R x x x ∈≠π(B)},4|{R x x x ∈-≠π(C) },,4|{Z k R x k x x ∈∈+≠ππ (D)},,43|{Z k R x k x x ∈∈+≠ππ 3.下列函数中,同时满足(1)在(0, 2π)上递增,(2)以2π为周期,(3)是奇函数的是 ( )(A)x y tan = (B)x y cos = (C)x y 21tan = (D)x y tan -= 二、填空题4.tan1,tan2,tan3的大小关系是_______________________.5.给出下列命题:（1）函数y =sin|x |不是周期函数; (2)函数y =|cos2x +1/2|的周期是π/2; (3)函数y =tan x 在定义域内是增函数; (4)函数y =sin(5π/2+x )是偶函数; (5)函数y =tan(2x +π/6)图象的一个对称中心为(π/6,0)其中正确命题的序号是_______________(注:把你认为正确命题的序号全填上) 三、解答题6.求函数y=lg(1-tanx)的定义域课后练习与提高一、选择题1、tan (,)2y x x k k Z ππ=≠+∈在定义域上的单调性为（ ）.A ．在整个定义域上为增函数B ．在整个定义域上为减函数C ．在每一个开区间(,)()22k k k Z ππππ-++∈上为增函数D ．在每一个开区间(2,2)()22k k k Z ππππ-++∈上为增函数2、下列各式正确的是（ ）.A ．1317tan()tan()45ππ-<-B ．1317tan()tan()45ππ->-C ．1317tan()tan()45ππ-=- D ．大小关系不确定3、若tan 0x ≤,则（ ）.A ．22,2k x k k Z πππ-<<∈ B ．2(21),2k x k k Z πππ+≤<+∈C ．,2k x k k Z πππ-<≤∈ D ．,2k x k k Zπππ-≤≤∈二、填空题 4、函数tan 2()tan xf x x=的定义域为 .5、函数y =的定义域为 . 三、解答题6、 函数tan()4y x π=-的定义域是（ ）.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结
千里之行，始于足下。
三角函数及反三角函数图像性质、学问点总结三角函数及反三角函数是高中数学中重要的内容之一，它们的图像性质是我们学习和理解这些函数的基础。
下面是关于三角函数及反三角函数图像性质的学问点总结。
一、正弦函数的图像性质：1. 定义域：正弦函数的定义域为全体实数。
2. 值域：正弦函数的值域为闭区间[-1,1]。
3. 周期性：正弦函数的周期是2π，即在一个周期内，正弦函数的图像重复消灭。
4. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)。
5. 对称轴：正弦函数的对称轴是y轴。
6. 最值点：正弦函数的最值点包括最大值1和最小值-1，最值点的横坐标为周期的整数倍。
二、余弦函数的图像性质：1. 定义域：余弦函数的定义域为全体实数。
2. 值域：余弦函数的值域为闭区间[-1,1]。
3. 周期性：余弦函数的周期是2π，即在一个周期内，余弦函数的图像重复消灭。
4. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cos(x)。
5. 对称轴：余弦函数的对称轴是x轴。
6. 最值点：余弦函数的最值点包括最大值1和最小值-1，最值点的横坐标为周期的半整数倍。
三、正切函数的图像性质：1. 定义域：正切函数的定义域为全体实数，除了临界点kπ（k为整数）。
第1页/共3页锲而不舍，金石可镂。
2. 值域：正切函数的值域为全体实数。
3. 周期性：正切函数的周期是π，即在一个周期内，正切函数的图像重复消灭。
4. 奇偶性：正切函数是奇函数，即tan(-x)=-tan(x)。
5. 渐近线：正切函数有两条渐近线，分别是x=kπ+π/2（k为整数）和x=kπ（k为整数）。
6. 最值点：正切函数没有最值点。
四、反正弦函数的图像性质：1. 定义域：反正弦函数的定义域为闭区间[-1,1]。
2. 值域：反正弦函数的值域为闭区间[-π/2,π/2]。
3. 奇偶性：反正弦函数是奇函数，即arcsin(-x)=-arcsin(x)。
4. 递增性：反正弦函数在定义域内是递增的。
高中数学第三课三角函数33三角函数图像与性质331正弦函数、余弦函数图象与性质(二)学案湘
[学习目标] 1.掌握y ＝sin x 与y ＝cos x 的定义域，值域，最值、单调性、奇偶性等性质，并能解决相关问题.2.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间．[知识链接]1．观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？答 正弦函数y ＝sin x 的图象关于原点对称，余弦函数y ＝cos x 的图象关于y 轴对称． 2．上述对称性反映出正弦、余弦函数分别具有什么性质？如何从理论上加以验证？ 答 正弦函数是R 上的奇函数，余弦函数是R 上的偶函数．根据诱导公式得，sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x 均对一切x ∈R 恒成立．3．观察正弦曲线和余弦曲线，正弦、余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？答 正弦、余弦函数存在最大值和最小值，分别是1和－1. [预习导引] 正弦函数、余弦函数的性质(下表中k ∈Z )： 函数 y ＝sin x y ＝cos x图象定义域 R R 值域 [－1,1][－1,1]对称轴 x ＝k π＋π2x ＝k π对称中心 (k π，0)(k π＋π2，0)奇偶性 奇函数偶函数单调递增 [－π2＋2k π，π2＋2k π] [－π＋2k π，2k π]单调递减[π2＋2k π，3π2＋2k π][2k π，π＋2k π]最值在x ＝＋2k π时，y max ＝1；在x ＝－π2在x ＝2k π时，y max ＝1；在x ＝π＋2k π时，y min ＝－1＋2k π时，y min ＝－1 π2要点一 求正弦、余弦函数的单调区间例1 求函数y ＝2sin 的单调递增区间．(π4－x )解 y ＝2sin ＝－2sin ，(π4－x )(x －π4)令z ＝x －，则y ＝－2sin z . π4因为z 是x 的一次函数，所以要求y ＝－2sin z 的递增区间，即求sin z 的递减区间， 即2k π＋≤z ≤2k π＋(k ∈Z )． π23π2∴2k π＋≤x －≤2k π＋(k ∈Z )，π2π43π22k π＋≤x ≤2k π＋(k ∈Z )， 3π47π4∴函数y ＝2sin的递增区间为 (π4－x )(k ∈Z )． [2k π＋3π4，2k π＋7π4]规律方法 用整体替换法求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间．再将最终结果写成区间形式．跟踪演练1 求下列函数的单调递增区间： (1)y ＝1＋2sin； (π6－x )(2)y ＝log cos x .12解 (1)y ＝1＋2sin ＝1－2sin . (π6－x )(x －π6)令u ＝x －，则根据复合函数的单调性知，所给函数的单调递增区间就是y ＝sin u 的单调π6递减区间， 即2k π＋≤u ≤2k π＋π(k ∈Z )， π232亦即2k π＋≤x －≤2k π＋(k ∈Z )．π2π63π2亦即2k π＋π≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )，2353故函数y ＝1＋2sin 的单调递增区间是(k ∈Z )．(π6－x )[2k π＋23π，2k π＋53π](2)由cos x >0，得2k π－<x <2k π＋，k ∈Z . π2π2∵0＜<1，∴函数y ＝log cos x 的单调递增区间即为1212u ＝cos x ，x ∈(k ∈Z )的递减区间， (2k π－π2，2k π＋π2)∴2k π≤x <2k π＋，k ∈Z . π2故函数y ＝log cos x 的单调递增区间为12(k ∈Z )． [2k π，2k π＋π2)要点二 正弦、余弦函数的单调性的应用例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小． (1)sin 与sin ； (－π18)(－π10)(2)sin196°与cos156°； (3)cos 与cos . (－235π)(－174π)解 (1)∵－<－<－<，π2π10π18π2∴sin >sin . (－π18)(－π10)(2)sin196°＝sin(180°＋16°)＝－sin16°， cos156°＝cos(180°－24°)＝－cos24°＝－sin66°， ∵0°<16°<66°<90°，∴sin16°<sin66°； 从而－sin16°>－sin66°，即sin196°>cos156°. (3)cos ＝cos π＝cos(4π＋π)＝cos π， (－235π)2353535cos ＝cos π＝cos ＝cos .(－174π)174(4π＋π4)π4∵0<<π<π，且y ＝cos x 在[0，π]上是减函数， π435∴cos π<cos ，即cos <cos .35π4(－235π)(－174π)规律方法 用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小． 跟踪演练2 比较下列各组数的大小． (1)sin 与sin ；(－376π)(493π)(2)cos870°与sin980°.解 (1)sin ＝sin ＝sin ， (－376π)(－6π－π6)(－π6)sin ＝sin ＝sin ， (493π)(16π＋π3)π3∵y ＝sin x 在上是增函数，[－π2，π2]∴sin <sin ，即sin <sin π.(－π6)π3(－376π)493(2)cos870°＝cos(720°＋150°)＝cos150°，sin980°＝sin(720°＋260°)＝sin260°＝sin(90°＋170°)＝cos170°， ∵0°<150°<170°<180°，∴cos150°>cos170°，即cos870°>sin980°. 要点三 求正弦、余弦函数的最值(值域)例3 (1)求函数y ＝3－2sin x 取得最大值、最小值时的自变量x 的集合，并分别写出最大值、最小值； (2)求函数f (x )＝2sin 2x ＋2sin x －，x ∈的值域． 12[π6，5π6]解 (1)∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－1，即x ＝2k π＋，k ∈Z 时，y 取得最大值5，3π2相应的自变量x 的集合为Error!. 当sin x ＝1，即x ＝2k π＋，k ∈Z 时，y 取得最小值1，相应的自变量x 的集合为Error!. π2(2)令t ＝sin x ，y ＝f (t )，∵x ∈， [π6，5π6]∴≤sin x ≤1，即≤t ≤1. 1212∴y ＝2t 2＋2t －＝22－1，∴1≤y ≤， 12(t ＋12)72∴函数f (x )的值域为.[1，72]规律方法 (1)形如y ＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b )的函数的最值或值域问题，利用正弦、余弦函数的有界性(－1≤sin x ，cos x ≤1)求解．求三角函数取最值时相应自变量x 的集合时，要注意考虑三角函数的周期性．(2)求解形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (或y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c )，x ∈D 的函数的值域或最值时，通过换元，令t ＝sin x (或cos x )，将原函数转化为关于t 的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t ＝sin x (或cos x )的有界性． 跟踪演练3 已知0≤x ≤，求函数y ＝cos 2x －2a cos x 的最大值M (a )与最小值m (a )． π2解 设cos x ＝t ， ∵0≤x ≤，∴0≤t ≤1. π2∵y ＝t 2－2at ＝(t －a )2－a 2， ∴当a <0时，M (a )＝1－2a ，m (a )＝0； 当0≤a ≤时，M (a )＝1－2a ，m (a )＝－a 2；12当<a <1时，M (a )＝0，m (a )＝－a 2； 12当a ≥1时，M (a )＝0，m (a )＝1－2a . 综上，M (a )＝Error!m (a )＝Error!要点四 三角函数的奇偶性 例4 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝sin ；(－12x ＋π2)(2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )； (3)f (x )＝.1＋sin x －cos 2x1＋sin x 解 (1)显然x ∈R ，f (x )＝cos x ，12f (－x )＝cos ＝cos x ＝f (x )，(－12x )12∴f (x )是偶函数．(2)由Error!得－1＜sin x ＜1. 解得定义域为. {x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z }∴f (x )的定义域关于原点对称． 又∵f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x ) ∴f (－x )＝lg[1－sin(－x )]－lg[1＋sin(－x )]＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x )． ∴f (x )为奇函数．(3)∵1＋sin x ≠0，∴sin x ≠－1， ∴x ∈R 且x ≠2k π－，k ∈Z . π2∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数．规律方法 判断函数奇偶性，要先判断函数的定义域是否关于原点对称，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的前提条件，然后再判断f (－x )与f (x )之间的关系． 跟踪演练4 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝cos ＋x 2·sin x ；(32π＋2x )(2)f (x )＝＋. 1－2cos x 2cos x －1解 (1)f (x )＝sin2x ＋x 2sin x ，又∵x ∈R ，f (－x )＝sin(－2x )＋(－x )2sin(－x )＝ －sin2x －x 2sin x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数． (2)由Error!得cos x ＝.12∴f (x )＝0，x ＝2k π±，k ∈Z .π3∴f (x )既是奇函数又是偶函数.1．函数f (x )＝sin 的一个递减区间是( ) (x ＋π6)A.B ．[－π，0] [－π2，π2]C. D.[－23π，23π][π2，23π]答案 D 解析 由≤x ＋≤π解得≤x ≤π. π2π632π343故选D.2．下列不等式中成立的是( ) A ．sin >sin (－π8)(－π10)B ．sin3>sin2C ．sin π>sin75(－25π)D ．sin2>cos1 答案 D解析 ∵sin2＝cos ＝cos ，且0<2－<1<π，∴cos >cos1，即(π2－2)(2－π2)π2(2－π2)sin2>cos1.故选D. 3．函数y ＝cos ，x ∈的值域是( ) (x ＋π6)[0，π2]A.B.[－32，12][－12，32]C.D. [32，1][12，1]答案 B 解析 ∵0≤x ≤，∴≤x ＋≤π. π2π6π623∴cos π≤cos ≤cos ，∴－≤y ≤.故选B.23(x ＋π6)π612324．设a ＝sin33°，b ＝cos55°，c ＝tan35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b 答案 C解析 ∵a ＝sin33°，b ＝cos55°＝sin35°，c ＝tan35°＝，又0<cos35°<1，sin35°cos35°∴c >b >a .1.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)单调区间的方法是： 把ωx ＋φ看成一个整体，由2k π－≤ωx ＋φ≤2k π＋ (k ∈Z )解出x 的范围，所得区π2π2间即为增区间，由2k π＋≤ωx ＋φ≤2k π＋π (k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为减π232区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断． 3．求三角函数值域或最值的常用求法：将y 表示成以sin x (或cos x )为元的复合函数再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y 的范围．一、基础达标1．若y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 是增函数，那么角x 在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 C2．若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么( ) A ．sin α>sin β B ．sin β>sin αC ．sin α≥sin βD ．sin α与sin β的大小不定 答案 D3．函数y ＝2sin 2x ＋2cos x －3的最大值是( ) A ．－1B ．1 C ．－D ．－512答案 C解析 由题意，得y ＝2sin 2x ＋2cos x －3＝2(1－cos 2x )＋2cos x －3＝－22－.∵－(cos x －12)121≤cos x ≤1，∴当cos x ＝时，函数有最大值－.12124．对于下列四个命题：①sin ＞sin ； (－π18)(－π10)②cos ＞cos ；(－25π4)(－17π4)③sin138°<sin143°；④tan40°＞sin40°. 其中正确命题的序号是( ) A ．①③B．①④ C ．②③D ．②④答案 B5．关于x 的函数f (x )＝sin(x ＋φ)有以下命题：①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数；②不存在φ，使f (x )既是奇函数，又是偶函数；③存在φ，使f (x )是奇函数；④对任意的φ，f (x )都不是偶函数．其中正确命题的序号是________． 答案 ②③解析 易知②③成立，令φ＝，f (x )＝cos x 是偶函数，①④都不成立． π26．若|x |≤，则函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值是________． π4答案 －1222解析 由cos 2x ＝1－sin 2x ，故f (x )＝1－sin 2x ＋sin x ，令sin x ＝t ，由|x |≤，由图象知t ∈[－，]，π42222故函数化为y ＝－t 2＋t ＋1＝－(t －)2＋，1254当t ＝－时，y min ＝－.2212227．求下列函数的单调增区间． (1)y ＝1－sin ；x2(2)y ＝log cos .12(π3－x2)解 (1)由2k π＋≤≤2k π＋π，k ∈Z ，π2x 232得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin 的增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z )． x2(2)y ＝log cos ＝log cos .12(π3－x 2)12(x 2－π3)要求原函数的增区间，即求函数y ＝cos的减区间，且cos >0. (x 2－π3)(x 2－π3)∴2k π≤－<2k π＋(k ∈Z )．x 2π3π2整理得4k π＋π≤x <4k π＋π(k ∈Z )．2353所以函数y ＝log cos 的单调递增区间是(k ∈Z )．12(π3－x 2)[4k π＋23π，4k π＋53π)二、能力提升8．函数y ＝2sin x 的单调增区间是( )A ．[2k π－，2k π＋](k ∈Z ) π2π2B ．[2k π＋，2k π＋](k ∈Z ) π23π2C ．[2k π－π，2k π](k ∈Z )D ．[2k π，2k π＋π](k ∈Z ) 答案 A解析 函数y ＝2x 为增函数，因此求函数y ＝2sin x 的单调增区间即求函数y ＝sin x 的单调增区间9．M ，N 是曲线y ＝πsin x 与曲线y ＝πcos x 的两个不同的交点，则|MN |的最小值为( ) A ．π B.π 2C.π D ．2π3答案 C解析 在同一坐标系中画出函数y ＝πsin x 与y ＝πcos x 的图象，如图所示，则|MN |的最小值为|PQ |.又P (，)，Q (，－)，π42π25π42π2故|PQ |＝＝π.π4－5π4 2＋ 2π2＋2π22310．sin1，sin2，sin3按从小到大排列的顺序为__________________． 答案 sin3<sin1<sin2 解析 ∵1<<2<3<π， π2sin(π－2)＝sin2，sin(π－3)＝sin3.y ＝sin x 在上递增，且0<π－3<1<π－2<， (0，π2)π2∴sin(π－3)<sin1<sin(π－2)， 即sin3<sin1<sin2.11．已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－，]上是增函数，求ω的取值范π3π4围． 解 由－＋2k π≤ωx ≤＋2k π(k ∈Z )， π2π2得－＋≤x ≤＋. π2ω2k πωπ2ω2k πω∴f (x )的单调递增区间是[－＋，＋]，k ∈Z . π2ω2k πωπ2ω2k πω根据题意，得[－，]⊆[－＋，＋]． π3π4π2ω2k πωπ2ω2k πω从而有Error!解得0<ω≤. 32故ω的取值范围是(0，]． 3212．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝sin ；(2)f (x )＝；(3)f (x )＝lg(sin x ＋)． 2(2x ＋52π)2sin x －11＋sin 2x 解 (1)函数定义域为R ，且f (x )＝sin ＝sin ＝cos2x ，显然有f (－2(2x ＋52π)2(2x ＋π2)2x )＝f (x )恒成立．∴函数f (x )＝sin 为偶函数．2(2x ＋52π)(2)由2sin x －1＞0，即sin x ＞，得函数定义域为(k ∈Z )，此定义12(2k π＋π6，2k π＋56π)域在x 轴上表示的区间不关于原点对称．∴该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数．(3)函数定义域为R .f (－x )＝lg(－sin x ＋)＝lg 1＋sin 2x 1sin x ＋1＋sin 2x ＝－lg ＝－f (x )，(sin x ＋1＋sin 2x )∴函数f (x )＝lg(sin x ＋)为奇函数． 1＋sin 2x 三、探究与创新13．设函数y ＝－2cos ，x ∈，若该函数是单调函数，求实数a 的最大(12x ＋π3)[28π5，a ]值．解 由2k π≤x ＋≤2k π＋π(k ∈Z )得 12π34k π－π≤x ≤4k π＋π(k ∈Z )． 2343∴函数的单调递增区间是(k ∈Z )， [4k π－23π，4k π＋43π]同理函数的单调递减区间是(k ∈Z )． [4k π＋43π，4k π＋103π]令π∈， 285[4k π－23π，4k π＋43π]即≤k ≤，又k ∈Z ，∴k 不存在． 16154730令π∈，得k ＝1. 285[4k π＋43π，4k π＋103π]∴π∈， 285[4k π＋43π，4k π＋103π]这表明y ＝－2cos 在上是减函数，∴a 的最大值是.(12x ＋π3)[28π5，22π3]22π3。
2020年高中数学人教A版必修4第1章 三角函数《任意角的三角函数一》 导学案(含答案解析)
1.2.1 任意角的三角函数(一)学习目标1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.知识点一任意角的三角函数使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x 轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.思考1角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？思考2对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？思考3在思考1中，当取|OP|＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？梳理(1)单位圆在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.(2)定义在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：①y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y；②x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x；③yx叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx(x≠0).对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数.知识点二正弦、余弦、正切函数的定义域思考对于任意角α，sin α，cos α，tan α都有意义吗？梳理三角函数的定义域知识点三思考根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？知识点四诱导公式一思考当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？类型一 三角函数定义的应用命题角度1 已知角α终边上一点坐标求三角函数值 例1 已知θ终边上一点P(x ，3)(x≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ.反思与感悟(1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应地三角函数值.②在α的终边上任选一点P(x ，y)，设P 到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝yr ，cos α＝xr.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便. (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.跟踪训练1 已知角α的终边过点P(－3a ，4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值.命题角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值例2 已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋3cos α的值.反思与感悟在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标的(a，b)，则对应角的三角函数值分别为sin α＝ba2＋b2，cos α＝aa2＋b2，tan α＝ba.跟踪训练2 已知角α的终边在直线y＝3x上，求sin α，cos α，tan α的值.类型二 三角函数值符号的判断例3 (1)若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限反思与感悟角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定，解题的关键是准确确定角的终边所在的象限，同时牢记各三角函数值在各象限的符号，记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 跟踪训练3(1)已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则α是第 象限角.类型三 诱导公式一的应用 例4 求下列各式的值.(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 12π5·tan 4π.反思与感悟利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”. 跟踪训练4 求下列各式的值.(1)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4； (2)sin 810°＋tan 765°－cos 360°.1.已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α等于( ) A.45 B.35 C.－35 D.－452.cos(－11π6)等于( )A.12B.－12C.32D.－323.若点P(3，y)是角α终边上的一点，且满足y<0，cos α＝35，则tan α等于( )A.－34B.34C.43D.－434.当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( )A.1B.0C.2D.－25.已知角α的终边上有一点P(24k ，7k)，k≠0，求sin α，cos α，tan α的值.1.正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数.2.角α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关，角α所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.3.终边相同的三角函数值一定相等，但两个角的某一个函数值相等，不一定有角的终边相同，更不一定有两角相等.课时作业一、选择题1.sin(－1 380°)的值为( )A.－12B.12C.－32D.322.已知α是第二象限角，P(x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x 的值为( ) A. 3 B.± 3 C.－ 2 D.－ 3 3.已知sin θ<0，且tan θ<0，则θ为( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角 4.已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( )A.5π6 B.2π3 C.4π3 D.11π65.已知角α的终边经过点P(3，4t)，且sin(2kπ＋α)＝－35(k∈Z )，则t 等于( )A.－916B.916C.34D.－346.某点从(1，0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1按逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，127.如果点P(sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ的终边在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 8.若角α的终边在直线y ＝－2x 上，则sin α等于( ) A.±15 B.±55 C.±255 D.±12二、填空题9.tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝ .10.使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第 象限角.11.若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P(m ，n)是α终边上一点，且|OP|＝10，则m －n ＝ .12.函数y ＝|sin x|sin x ＋|cos x|cos x －2|sin xcos x|sin xcos x 的值域是 .三、解答题13.化简下列各式：(1)sin 72π＋cos 52π＋cos(－5π)＋tan π4；(2)a 2sin 810°－b 2cos 900°＋2abtan 1 125°.四、探究与拓展14.已知角θ的终边上有一点P(x ，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x ， 则sin θ＋cos θ＝ .15.已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义.(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边与单位圆相交于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，m ，求m 的值及sin α的值.参考答案思考1 角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？答案sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx.思考2 对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？答案不会.因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关.思考3 在思考1中，当取|OP|＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？答案sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.知识点二正弦、余弦、正切函数的定义域思考对于任意角α，sin α，cos α，tan α都有意义吗？答案由三角函数的定义可知，对于任意角α，sin α，cos α都有意义，而当角α的终边在y轴上时，任取一点P，其横坐标x都为0，此时yx无意义，故tan α无意义.思考根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？答案由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.当α为第一象限角时，y>0， x>0，故sin α>0，cos α>0，tan α>0，同理可得当α在其他象限时三角函数值的符号，如图所示.梳理记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.思考当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？答案它们的终边重合.由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等.例1解由题意知r＝|OP|＝x2＋9，由三角函数定义得cos θ＝xr＝xx2＋9.又∵cos θ＝1010x，∴xx2＋9＝1010x.∵x≠0，∴x＝±1.当x＝1时，P(1，3)，此时sin θ＝312＋32＝31010，tan θ＝31＝3. 当x ＝－1时，P(－1，3)， 此时sin θ＝3(－1)2＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3. 跟踪训练1解 r ＝(－3a )2＋(4a )2＝5|a|.①若a>0，则r ＝5a ，角α在第二象限， sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，∴2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a<0，则r ＝－5a ，角α在第四象限， sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35， ∴2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.综上所述，2sin α＋cos α＝±1. 例2解 由题意知，cos α≠0.设角α的终边上任一点为P(k ，－3k)(k≠0)，则 x ＝k ，y ＝－3k ，r ＝ k 2＋(－3k )2＝10|k|. (1)当k>0时，r ＝10k ，α是第四象限角，sin α＝y r ＝－3k 10k ＝－31010，1cos α＝r x ＝10kk ＝10，∴10sin α＋3cos α＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＋310 ＝－310＋310＝0.(2)当k<0时，r ＝－10k ，α是第二象限角， sin α＝y r ＝－3k －10k ＝31010，1cos α＝r x ＝－10k k ＝－10， ∴10sin α＋3cos α＝10×31010＋3×(－10) ＝310－310＝0.综上所述，10sin α＋3cos α＝0.跟踪训练2解 因为角α的终边在直线y ＝3x 上，所以可设P(a ，3a)(a≠0)为角α终边上任意一点，则r ＝a 2＋(3a )2＝2|a|(a≠0). 若a>0，则α为第一象限角，r ＝2a ， 所以sin α＝3a 2a ＝32，cos α＝a 2a ＝12，tan α＝3a a＝ 3. 若a<0，则α为第三象限角，r ＝－2a ， 所以sin α＝3a －2a ＝－32，cos α＝－a 2a ＝－12，tan α＝3aa＝ 3. 例3答案 D解析 ∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴点P 在第四象限，故选D. (2)确定下列各三角函数值的符号. ①sin 182°；②cos(－43°)；③tan 7π4.解 ①∵182°是第三象限角， ∴sin 182°是负的，符号是“－”. ②∵－43°是第四象限角，∴cos(－43°)是正的，符号是“＋”. ③∵7π4是第四象限角，∴tan 7π4是负的，符号是“－”.跟踪训练3 答案 二解析 由题意知tan α<0，cos α<0， ∴α是第二象限角. (2)判断下列各式的符号.①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5. 解 ①∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0.∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角， ∴cos (－210°)＜0，∴sin 145°cos(－210°)＜0. ②∵π2＜3＜π＜4＜3π2＜5＜2π，∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0， ∴sin 3·cos 4·tan 5＞0. 例4解：(1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°) ＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°) ＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64. (2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋2π5·tan (4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12.跟踪训练4解：(1)原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(90°＋2×360°)＋tan(45°＋2×360°)－cos 360° ＝sin 90°＋tan 45°－1＝1＋1－1＝1.1.答案 D解析 由题意可知x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45.故选D.2.答案 C 解析 cos(－11π6)＝cos(－2π＋π6)＝cos π6＝32. 3.答案 D 解析 ∵cos α＝332＋y 2＝35，∴32＋y 2＝5，∴y 2＝16， ∵y<0，∴y＝－4，∴tan α＝－43.4.答案 C解析 ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0. ∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α－cos α－cos α＝2.5.解：当k>0时，令x ＝24k ，y ＝7k ， 则有r ＝(24k )2＋(7k )2＝25k ，∴sin α＝y r ＝725，cos α＝x r ＝2425，tan α＝y x ＝724.当k<0时，令x ＝24k ，y ＝7k ，则有r ＝－25k ，∴sin α＝y r ＝－725，cos α＝x r ＝－2425，tan α＝y x ＝724.课时作业 1.答案 D解析 sin(－1 380°)＝sin(－360°×4＋60°)＝sin 60°＝32. 2.答案 D解析 ∵cos α＝x r ＝x x 2＋5＝24x ，∴x＝0或2(x 2＋5)＝16，∴x＝0或x 2＝3，∴x＝0(∵α是第二象限角，∴舍去)或x ＝3(舍去)或x ＝－ 3.故选D. 3.答案 D 4.答案 D 解析 ∵sin2π3＝32，cos 2π3＝－12.∴角α的终边在第四象限， 且tan α＝cos2π3sin2π3＝－33，∴角α的最小正值为2π－π6＝11π6.5.答案 A解析 sin(2kπ＋α)＝sin α＝－35＜0，则α的终边在第三或第四象限.又点P 的横坐标为正数，所以α是第四象限角，所以t ＜0. 又sin α＝4t9＋16t 2，则4t 9＋16t2＝－35，所以t ＝－916. 6.答案 A解析 由三角函数定义可得Q ⎝⎛⎭⎪⎫cos 2π3，sin 2π3，cos 2π3＝－12，sin 2π3＝32. 7.答案 C解析 由题意知sin θ＋cos θ＜0，且sin θcos θ＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＜0，cos θ＜0，∴θ为第三象限角.8.答案 C9.答案32解析：tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°) ＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝32. 10.答案 一或二解析 要使原式有意义，需cos αtan α>0，即需cos α，tan α同号， 所以α是第一或第二象限角. 11.答案 2解析 ∵y＝3x 且sin α<0，∴点P(m ，n)位于y ＝3x 在第三象限的图象上，且m<0，n<0，n ＝3m. ∴|OP|＝m 2＋n 2＝10|m|＝－10m ＝10，∴m＝－1，n ＝－3，∴m－n ＝2. 12.答案 {－4，0，2}解析 由sin x≠0，cos x≠0知，x 的终边不能落在坐标轴上， 当x 为第一象限角时，sin x>0，cos x>0，sin xcos x>0，y ＝0； 当x 为第二象限角时，sin x>0，cos x<0，sin xcos x<0，y ＝2； 当x 为第三象限角时，sin x<0，cos x<0，sin xcos x>0，y ＝－4； 当x 为第四象限角时，sin x<0，cos x>0，sin xcos x<0，y ＝2. 故函数y ＝|sin x|sin x ＋|cos x|cos x －2|sin xcos x|sin xcos x 的值域为{－4，0，2}.13.解：(1)原式＝sin 32π＋cos π2＋cos π＋1＝－1＋0－1＋1＝－1.(2)原式＝a 2sin 90°－b 2cos 180°＋2abtan(3×360°＋45°) ＝a 2＋b 2＋2abtan 45°＝a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b)2. 14.答案 0或－ 2解析 ∵θ的终边过点P(x ，－1)(x≠0)，∴tan θ＝－1x .又tan θ＝－x ，∴x 2＝1，即x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22，因此sin θ＋cos θ＝0； 当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22， 因此sin θ＋cos θ＝－ 2.故sin θ＋cos θ的值为0或－ 2.15.解：(1)∵1|sin α|＝－1sin α，∴sin α＜0.①∵lg(cos α)有意义，∴cos α＞0. ②由①②得角α在第四象限.(2)∵点M(35，m)在单位圆上，∴(35)2＋m 2＝1，解得m ＝±45.又α是第四象限角，∴m＜0，∴m＝－45.由三角函数定义知，sin α＝－45.。
5.4.3 正切函数的图像与性质 导学案(1)-人教A版高中数学必修第一册
第五章 三角函数5.4.3 正切函数的图像与性质1、理解并掌握正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性。
2、能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题。
3、会利用正切线及正切函数的性质作正切函数的图象。
4、经历根据正切函数的性质描绘函数图象的过程，进一步体会三角函数线的作用。
重点：掌握正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性；难点：能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题。
1．正切函数的图象：2．正切函数的图象叫做__________．3．正切函数的图象特征：正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的． 值域___ 周期 ___ 奇偶性___ 单调性在开区间______________________内都是增函数提出问题（１）根据研究正弦函数、余弦函数的经验，你认为应如何研究正切函数的图象与性质？（２）你能用不同的方法研究正切函数吗？有了前面的知识准备，我们可以换个角度，即从正切函数的定义出发研究它的性质，再利用性质研究正切函数的图象．问题探究1. 周期性由诱导公式tan (x +π) =tanx ，x ∈R ，且x ≠π2+kπ， k ∈Z,可知，正切函数是周期函数， 周期是π．2.奇偶性由诱导公式tan (−x )=−tan x ， x ∈R ，且x ≠π2+kπ， k ∈Z ， 可知，正切函数是奇函数．你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？可以先考察函数y =tan x , x ∈[0,π2) 的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展． 如何画出函数y =tan x , x ∈[0,π2) 的图象的图象？如图5.4.9，设x ∈[0,π2) ，在直角坐标系中画出角x 的终边与单位圆的交点B （x 0, y 0）过点B 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点A （１，０）作x 轴的垂线与角x 的终边交于点T ，则tan x =y 0x 0=MB OM =AT OA = AT由此可见，当 x ∈[0,π2)时，线段AT 的长度就是相应角x 的正切值．我们可以利用线段AT 画出函数y =tan x, x ∈[0,π2)的图象，如图5.4.10所示．观察图5.4.10可知，当x ∈[0,π2) 时，随狓x 的增大，线段AT 的长度也在增大，而且当x 趋向于π2时，AT 的长度趋向于无穷大．相应地，函数y =tan x, x ∈[0,π2)的图象从左向右呈不断上升趋势，且向右上方无限逼近直线x ＝π2你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？正切函数的图象有怎样的特征？根据正切函数是奇函数，只要画y =tan x , x ∈[0,π2) 的图象关于原点的对称图形，就可得到y =tan x , x ∈(-π2,0]的图象；根据正切函数的周期性，只要把函数y =tan x , x ∈(-π2, π2)的图象向左、右平移，每次平移π个单位，就可得到正切函数x ∈R ，且x ≠π2+kπ， k ∈Z 的图象，我们把它叫做正切曲线（tangentcurve ）（图5.4.11）．从图5.4.11可以看出，正切曲线是被与y 轴平行的一系列直线x =π2+kπ， k ∈Z 所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的．３.单调性观察正切曲线可知，正切函数在区间(-π2, π2)上单调递增． 由正切函数的周期性可得，正切函数在每一个区间 (-π2+k π, π2 +k π),k ∈Z,上都单调递增． ４.值域当x ∈(-π2, π2)时，tan x 在（－∞，＋∞）内可取到任意实数值，但没有最大值、最小值．因此，正切函数的值域是实数集R ．典例解析例６. 求函数y =tan (π2x +π3)的定义域、周期及单调区间．1．函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫－π4≤x ≤π4且x ≠0的值域是( ) A ．[－1,1] B ．[－1,0)∪(0,1]C ．(－∞，1]D ．[－1，＋∞)2．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的定义域是________，f ⎝⎛⎭⎫π6＝________. 3．函数y ＝－tan x 的单调递减区间是________．4．函数y ＝|tan x |的周期为________．5．(1)求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4的单调区间；(2)比较tan ⎝⎛⎭⎫－13π4与tan ⎝⎛⎭⎫－12π5的大小．让我们回顾半节课的学习过程，看看主要的收获有哪些？知识上：正切函数图像和性质及简单应用思想方法上：类比思想，整体代换思想。
高中数学第七章三角函数7.3三角函数的性质与图像7.3.1正弦函数的性质与图像学案含解析第三册
7．3 三角函数的性质与图像7．3.1正弦函数的性质与图像[填一填]1．正弦函数的性质与图像2.周期函数（1）对于函数f(x），如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x，都满足f(x＋T）＝f(x)，那么就称函数f（x）为周期函数,非零常数T称为这个函数的周期．对于一个周期函数f （x）,如果在它的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就称为f(x）的最小正周期．(2）正弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z，且k≠0）是它的周期，最小正周期是2π.3．“五点法”作图在函数y＝sin x，x∈[0，2π］的图像上起关键作用的点主要有五个：（0，0),错误!，（π，0），错误!，（2π，0)．描出这五个点后，函数y＝sin x，x∈［0,2π］的图像的形状就基本确定了．因此，在精确度要求不太高时，我们常常找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连接起来，就得到函数的简图．这种作图方法，就叫五点（画图)法．利用周期性可画出完整的正弦曲线．[答一答］1．如何理解周期和周期函数？提示：（1)“f(x＋T）＝f（x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个x值而言都能使它成立，T是函数f(x）的周期,周期T是使函数值重复出现的自变量x的增加值，如sin错误!＝cos π4＝sin错误!，但sin错误!≠sin错误!,因此错误!不是sin x的周期．(2)从等式f(x＋T）＝f（x)来看，应注意的是自变量x本身加的常数才是周期,如f(2x＋T）＝f(2x），但T不是周期，而应写成f(2x＋T)＝f错误!＝f(2x)，错误!是f（2x）的周期．(3）周期函数的周期不只一个，若T是周期，则kT（k∈Z且k≠0）一定也是该函数的周期，则x＋kT也一定在定义域内，因此周期函数的定义域一定是无限集，也就是说定义域一定无上界或无下界．(4)若无特别说明，我们所说的周期一般指最小正周期．（5)并不是所有的周期函数都存在最小正周期，如常数函数f（x）＝c（c为常数），x∈R，当x为定义域内的任何值时，函数值都是c，即对于函数f(x)的定义域内的每一个x值，都有f （x＋T)＝f(x)＝c，因此f(x)是周期函数，由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合没有最小的，所以f（x）没有最小正周期．（6）要证明非零数T为函数的一个周期，只需在定义域找到这样一个常数T，使对定义域内的任意的x值都有f（x＋T)＝f(x)即可．2．怎样作正弦函数的图像?步骤是怎样的？提示：（1）我们用单位圆中的正弦线作出正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像，具体分为如下五个步骤：①建立直角坐标系，在直角坐标系的x轴上任取一点O1，以O1为圆心作单位圆．②把单位圆分成12等份（等份越多，画出的图像越精确)．过单位圆上的各分点作x轴的垂线，可以得到弧度为0，错误!，错误!，错误!,…，2π的角的正弦线．③找横坐标：把x轴上从0到2π(2π≈6。
高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的图像与性质教案新人教A版
§1.4.3正切函数的图像与性质【教材分析】正切函数的图象和性质》 它前承正、余弦函数，后启必修五中的直线斜率问题。
研究正切函数的图象与性质过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的一种再现，更是一种提升，同时又为后续的学习奠定了基石。
教材单刀直入，直接进入画图工作，没有给出任何提示。
正切函数与正弦函数在研究方法上类似，我采用以类比的方式，让学生回忆正弦曲线的作图过程与方法，进而启发、引导学生发现作正切曲线的一种方法。
教材上直接圈定了区间（2,2ππ-），这样限制了学生的思维，我把空间留给学生，采用让学生自己选择周期，设计一个得到正切曲线的方法。
这样，不仅发挥了学生的能动性，增强动脑、动手绘图的能力，而且，在此过程中，学生会注意到画正切曲线的细节。
在得到图象后，单调性是一个难点，我设计了几个判断题帮助学生理解该性质，并用比大小的题型启发学生从代数和几何两种角度看问题。
【教学目标】正切函数是继正、余弦之后的又一个三角函数，三者在研究方法与研究内容上类似，但某些性质有所不同，这就养成学生在画图时必须全面考虑问题。
本着课改理念，养成学生对知识的勇于探索精神，学生亲自体会正切曲线的获得过程，这样学生的动手实践能力有了提高，又体会到学习数学的乐趣，根据教学要求及学生现有的认知水平，现制定以下教学目标：1.会用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质，用数形结合的思想理解和处理问题。
2.首先学生自主绘图，通过投影仪纠正图像，投影完整的正确图象，然后再让学生观察，类比正弦，探索知识。
3.在得到正切函数图像的过程中，学会一类周期性函数的研究方式，通过自己动手得到图像让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
【教学重点难点】教学重点：正切函数的图象及其主要性质。
教学难点：利用正切线画出函数y =tan x 的图象，对直线x =2ππ+k ，Z k ∈是y =tan x的渐近线的理解，对单调性这个性质的理解。
高中数学必修一-三角函数图像性质总结(精华版)
(2) /(航+如型三角函数的奇偶性（i ） g （x ） = /沏（颜+如（x€ R）(x)为偶函数匕鼠U 力（而+ 出=j4sin （-<at + 炉）（x W 氏）0 sin 曲匚*0=。
（工 W R ）7Tcos 卯=。
=上7T+一1左 e Z ）由此得 2 ,同理，式夫4皿皈+双相的 为奇函数 =顺@=0/3=上网海2)（ii ）飙# =+劭SwR]妖N = .Aa 式题+钠为偶函数见双t")；就= 式以+如为奇函数7T=中=无产+ — (k e Z)3、周期性(1)基本公式(ii) 〃皈+⑺+氏型三角函数的周期竺y =+ G + 5 =加+中出 的周期为何；（一）三角函数的性质1、定义域与值域2、奇偶性(1)基本函数的奇偶性奇函数：y = sinx y= tanx ； 偶函数：y=cosx.(i )基本三角函数的周期的周期为；丁.y=sinx , y=cosx 的周期为 之并 ；y = tanx , y = cotx4-212yy=cotxy=tanx 3-32X 03 27 3,y=cosx-5-4 .7223 2322 5 2“如血的+朗+9=心服如+沟+用的周期为何.（2）认知⑴A =1/W +创型函数的周期y = |月劭（枷+或）| j = A 匚。
5（西+励|（ii ）若函数为,（收斗劭 型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （iii ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验一一猜想一一证明.（3）特殊情形研究JT(i ) y = tanx — cotx 的最小正周期为27T（ii ） y=卜由H+|M 幻的最小正周期为，；7T（iii ） y = sin 4x + cos 4x 的最小正周期为，. _由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象 .4、单调性（1）基本三角函数的单调区间（族）依从三角函数图象识证“三部曲”：①选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的 一个周期；②写特解：在所选周期内写出函数的增区问（或减区问）；③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数 的增区间族（或减区间族）循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族 .揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域（2） y=/（而+初 型三角函数的单调区问的周期为y = （助+切1_r= |达匚祖（姗+阖| 的周期为 7T(ii) > = 1/(耽+如+同3=0)的周期1y 二|金£血（为工卜8］妣+3）+甘¥ = |例如（而+5+上］ J = |总二加侬大+的+. 的周期为祠；,7T的周期为:. 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对 数的周期不变.注意这一点与（i ）的区别.y=八加+◎+上的解析式施加绝对值后，该函此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为 ①换元、分解：令u =z 中,将所给函数分解为内、外两层：y = f (u) , u =®x+卯;②套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出 f (u)的单调性，而后利用(1)中公 式写出关于u 的不等式；③还原、结论：将u =^+W 代入②中u 的不等式，解出x 的取值范围，并用集合或区间 形成结论.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:/y sinx y cosxy tanxy cotxy Asin x(A 、 >0)定义域 R R x | x R 且 x k 1 ,k Zx| x R 且x k ,k ZR值域 [1, 1][1, 1]R RA, A周期性 2 22奇偶性奇函数 偶函数奇函数 奇函数当 0,非奇非偶 当0,奇函数单调性[2 2k , —2k ] 2上为增函 数； [2 2k ,3——2k ] 2上为减函 数(k Z )[2k 1 , 2k ]上为增函 数[2k , 2k 1 ]上为减函数(k Z )一k ,一 k 2 2 上为增函数(k Z )k , k 1上为减函数(k Z )2k2(A),2k -2( A)上为增函数；2k 一------ 2— (A), 2k------ 2——(A)上为减函数(k Z )注意：①y sinx 与y sinx 的单调性正好相反；y cosx 与y cosx 的单调性也同样相反.一般 地，若y f(x)在［a,b ］上递增(减)，则y f (x)在［a,b ］上递减(增)y忖n x 与y cosx 的周期是.-(k Z),对称中心(k ,0); y cos( x )的对称轴方); y tan( x )的对称中心(工,0).,02③ y sin( x )或 y cos( x )0)的周期T 2y tan x 的周期为2 2 (T _ T 2，如图，翻折无效)④y sin( x )的对称轴方程是x k 程是x k (k Z ),对称中心(ky cos2x 原点对称 y cos( 2x) cos2x⑤ 当 tan tan 1, k ,(k Z) ; tan tan 1, k ,(k Z).⑥y cosx 与y s in x _ 2k是同一函数，而y ( x )是偶函数，则2 1 、，、y ( x ) sin( x k ) cos( x).2⑦函数y tanx 在R 上为增函数.(耳［只能在某个单调区间单调递增 .若在整个定义域,y tanx 为增函数，同样也是错误的］.⑧定义域关于原点对称是f (x)具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件：一是定义域 关于原点对称(奇偶都要)，二是满足奇偶性条件，偶函数：f( x) f(x),奇函数：f( x) f(x)) 奇偶性的单调性：奇同偶反.例如：y tanx 是奇函数，y tan(x 1)是非奇非偶.(定义域不 3 关于原点对称)奇函数特有性质：若0 x 的定义域，则f(x)一定有f(0) 0. (0 x 的定义域，则无此性质)⑨y sinx 不是周期函数；y sinx 为周期函数(T )； y cosx 是周期函数(如图)；y cosx 为周期函数(T )；y cos2x1的周期为(如图)，并非所有周期函数都有最小正周期,2y f (x) 5 f (x k),k R . ⑩ y a cos bsinVa 2 b 2sin( ) cos b 有 Va 2 b 2 y .、形如y Asin( x )的函数:11、几个物理量：A 一振幅；f 1—频率(周期的倒数)；x 一相包； 一初相；2、函数y Asin( x )表达式的确定：A 由最值确定； 由周期确定； 由图象上的特殊点确定，如 f(x) Asin( x )(A 0,0, | 3.函数 y Asin( x ) B (其中 A 0,0)最大值是A B,最小值是B A,周期是T —,最小正周期T 六频率是f「相位是x,初相是；其图象的对称轴是直线x k 7k Z),凡| "^0的图象如图所小，则f (x)(答：f(x)152sin(-2x -));y=| cos2x+1/2|图象是该图象与直线y B 的交点都是该图象的对称中心4、研究函数y Asin( x )性质的方法：类比于研究y sin x 的性质，只需将y Asin( x ) 中的x 看成y sinx 中的x,但在求y Asin( x )的单调区间时，要特别注意 A 和 的 符号，通过诱导公式先将 化正。
高考数学一轮复习 三角函数的图象及性质教案 理 教案
某某省东北师X大学附属中学2015届高考数学一轮复习三角函数的图象及性质教案理知识梳理：(阅读教材必修4第30页—第72页)1、三角函数的图象及性质函数正弦函数余弦函数正切函数图象定义域值域单调性奇偶性周期性对称中心对称轴2、周期函数：对于函数如果存在一个非零常数T，使得当x取定义内的每一个值时，都有=，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做函数的周期；最小正周期：对于周期函数，如果在它的所有周期中，存在一个最小正数，那么这个最小的正数就叫做函数的最小正周期，常把最小正周期叫做函数的周期。
3、三角函数的图象的画法：（1）、利用三角函数线的几何画法；（2）、利用变换法（3）、五点法作图4、三角函数方程与三角不等式的解法主要根据三角函数的图象，先找出在一个周期内的方程或不等式的解，再写出和它们终边相同的角的集合。
探究一：三角函数的定义域问题例1：（1）、求函数的定义域；（2）、求函数的定义域；（3）、求函数的定义域。
探究二：三角函数的最值问题例2：(2014某某)（本小题满分13分）已知函数()23cos sin 3cos 34f x x x x π⎛⎫=⋅+-+ ⎪⎝⎭，x R ∈. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【答案】 （1） π（2）41,21-本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式与余弦公式，三角函数的最小正周期、单调性等基础知识. 考查基本运算能力. 满分13分.（Ⅰ）解：由已知，有cosx(sinxcos +cosxsin )-= sinxcosx-cos 2x+=+=(1+cos2) +==所以，f x 的最小正周期T==例3：（2014新课标2 理科）.函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.探究三：三角函数的图象与性质例4：设函数f(x)的图角的一条对称轴是(1): 求；(2): 求函数的单调区增区间例5：函数在区间[]上的最大值为1，求探究四：三角函数的值域例6：+)例7：sinx+cosx+sinxcosx+1 ，x]例8：一、方法提升1、求三角函数的定义域常用的方法：通过解不等式最后化成一个三角函数值的X围，再利用三角函数的图象或三角函数线求解，若需要解三角不等式组，要注意运用数轴取交集；2、求三角函数的值域或最值常用方法：（1）将三角函数关系式化成一角一函数的形式，利用三角函数的有界性或三角函数的单调性来解；（2）将三角函数关系式化成一个角的三角函数式的二次函数式，利用配方或二次函数的图象求解，要注意变量的X围；（3）数形结合法、换元法。