江西师范大学附属中学14-15学年高二上学期期末考试数学(文)试题 (扫描版含答案)
江西师大附中2014-2015学年高二上学期期中考试题 数学理
江西师大附中高二年级数学（理）期中考试卷2014.11一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.过点(0,2)A 倾斜角的余弦值是45的直线方程为( B ) A ．3x －5y ＋10＝0 B ．3x －4y ＋8＝0 C ．3x ＋4y ＋10＝0D ．3x ＋4y －8＝02.已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x，则该双曲线的渐近线方程是( C )A ．12y x =±B．y x = C ．y x =± D．y =3.若圆C 的半径为1,圆心在第一象限,且与直线430x y -=和x 轴相切,则该圆的标准方程是( B )A ．223()(1)42x y -+-= B ．22(2)(1)1x y -+-= C ．22(1)(3)1x y -++=D ．223()(2)12x y -+-=4.已知椭圆221102x y m m +=--，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于( C )A ．1B ．5C ．8D ．105.如果不等式组0210x y x kx y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域是一个直角三角形，则实数k 的值为( D )A ．12-B ．0C ．12D ．0或12-6.若抛物线218y x =的焦点与双曲线2221y x a-=的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为( A )A ．233B ．2C ．32D ．27.动点P 到A (0，2)的距离比它到x 轴的距离大2，则动点P 的轨迹方程是( D )A ．28y x =B ．28y x =或0(0)y x =<C ．28x y =D ．28x y =或0(0)x y =<8.已知双曲线的两个焦点为F 1(、F 2，P 是此双曲线上的一点，且12PF PF ⊥，12||||2PF PF ⋅=，则该双曲线的方程是( C )A ．22123x y -=B ．22132x y -=C ．2214x y -=D ．2214y x -=【解析】设双曲线的方程为22a x －22b y =1.由题意||PF 1|－|PF 2||=2a ，|PF 1|2+|PF 2|2=2(25).又∵|PF 1|·|PF 2|=2，∴a =2，b =1.故双曲线方程为42x －y 2=1.9.已知双曲线C :2213y x -=，直线l :3()y mx m m R =-+∈，直线l 与双曲线C 有且只有一个公共点，则m 的所有取值个数是( )AA ．1B ．2C ．3D ．410.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12e =，右焦点为(0)F c ,，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12(,)P x x ( )BA ．必在圆2294x y +=上 B ．必在圆2294x y +=内 C ．必在圆2294x y +=外D ．以上三种情形都有可能11.已知点(0,3)Q 及抛物线216y x =上一动点00(,)P x y ，则0||x PQ +的最小值为( )AA ．1B ．2C ．4D ．512.如图，在等腰梯形ABCD 中，AB //CD ，且AB =2CD ，设∠DAB =θ，(0,)2πθ∈，以A ，B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为1e ，以C ，D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为2e ，设1()e f θ=，12()e e g θ⋅=，则()f θ、()g θ的大致图像是( )D【解析】设AD t =，1,2CD AB ==，易知11cos cos 22t t θθ=⇒⋅=， 在ABD 中，由余弦定理得2244cos 2BD t t t θ=+-=+，由双曲线和椭圆的定义知122221,22e e t tt t==+-++，121e e ∴⋅=，212222e t t t t==+++-↑，12cos t θ=↑，1()e f θ∴=↑，且(0)2f =，故选D.【另解】设双曲线焦距为22c AB ==，当0θ→时，12AB →，若0θ=，则12AB c a =-=，又1c =，∴12e =；当2πθ→时，AB →+∞,因而双曲线开口越大，故离心率1e 也越趋于+∞,观察()f θ的大致图像，只有D 的才符合.二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)．13.一张坐标纸对折一次后，点(0,4)A 与点(8,0)B 重叠，则折痕所在直线与两坐标轴围成的面积是_______.【答案】9. 提示:可解得对称轴方程为62-=x y .14.如果圆22222240x y ax ay a +--+-=与圆224x y +=总有公共点，则实数a 的取值范围是___________.[-15.已知椭圆C :2214x y +=的焦点为12,F F ，若点P 在椭圆上，且满足212||||||PO PF PF =⋅(其中O 为坐标原点)，则称点P 为“★点”，那么该椭圆上“★点”的个数是______.416.已知抛物线方程为24y x =，过(1,2)A 作抛物线的弦AP ,AQ .若AP AQ ⊥，则原点O 到直线PQ 距离的最大值为_______.【解析】依题意可设211(,)4y P y ，222(,)4y Q y ，由AP ⊥AQ 知AP →·AQ →＝0，可得y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0.设PQ 直线方程为x ＝my ＋n, 代入y 2＝4x ，结合韦达定理与上式得n ＝2m ＋5，所以直线方程为x ＝(y ＋2)·m ＋5，知此直线过定点(5,2)B -，此时，原点O 与点B 的距离即为所求最大值，|OB |＝29，故选D ．注：此题有一般性结论，即“抛物线22y px =，过(,)A a b 作抛物线的弦AP ,AQ .若AP AQ ⊥，则直线PQ 过定点(2,)p a b +-”.三、解答题：本大题共6个题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本题满分10分）已知在平面直角坐标系xOy 中，直线的参数方程为3x t y =-⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数），曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数).（1）求直线和曲线C 的普通方程；（2）设点P 是曲线C 上的一个动点，求它到直线的距离的取值范围.【答案】（10y -+=； 曲线C 的普通方程为：22(2)1x y -+=（2）点P到直线的距离的取值范围是1]+. 18.（本题满分12分）若直线的方程为(31)(2)10a x a y -+--=.（1）求证：无论实数a 为何值时，直线总经过第一象限； （2）为使直线不经过第二象限，求实数a 在取值范围.【答案】（1）经过定点13(,)55，（2）2a ≥.19.（本题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>经过点，离心率为12，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -.（1）求椭圆的方程；（2）若直线:l 12y x m =-+与椭圆交于A 、B 两点，与以12F F 为直径的圆交于C 、D 两点，且满足||||AB CD =，求直线的方程. 【解析】(1)由题设知22212b c a b a c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ∴椭圆的方程为24x ＋23y ＝1.(2)由题设，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1， ∴圆心(0，0)到直线l 的距离dd <1，得|m，(*) ∴|CD|＝.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由2212143y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得x 2－mx ＋m 2－3＝0，x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3，∴|AB|由AB CD ＝＝1，解得m＝(*)． ∴直线l 的方程为y ＝－12x 或y ＝－12x .20.（本题满分12分）已知抛物线C 顶点在原点，焦点F 在x 轴上，抛物线C 上的点(1,)m 到F 的距离等于2. （1）求抛物线C 的方程；（2）若不与x 轴垂直的直线1l 与抛物线C 交于A 、B 两点，且线段AB 的垂直平分线2l 恰好过点(4,0)M ，求证：线段AB 中点的横坐标为定值.【解析】(1)由题意设抛物线方程为22y px =，其准线方程为2px =-， ∵(1,)m 到焦点的距离等于A 到其准线的距离12 2.2pp +=⇒= ∴此抛物线的方程为24y x =.(2)证明：设线段AB 中点的坐标为N (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线MN 的斜率为y 0x 0－4，因为AB 不垂直于x 轴，所以直线AB 的斜率为4－x 0y 0，直线AB 的方程为y －y 0＝4－x 0y 0(x －x 0)，联立方程000024()4x y y x x y y x -⎧-=-⎪⎨⎪=⎩消去x ，得2200000(1)(4)04x y y y y x x --++-=,所以y 1＋y 2＝4y 04－x 0，因为N 为AB 中点，所以1202y y y +=，即00024y y x =-, 所以x 0＝2，即线段AB 中点的横坐标为定值2.另证：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由点差法得121212042y y x x y y y -==-+，0200:()2yl y y x x ∴-=--，将(4,0)M 代入 ，得02x =. 21.（本题满分12分）已知点(4,0)C 和直线:1l x =，作,PQ l ⊥垂足为Q ，且(2)(2)0PC PQ PC PQ +⋅-=. （1）求点P 的轨迹方程；（2）过点C 的直线m 与点P 的轨迹交于两点11(,)M x y ,22(,)N x y 12(0)x x >，点(1,0)B ，若BMN ∆的面积为，求直线m 的方程.【解析】(1) 由已知(2)(2)0,PC PQ PC PQ +⋅-=知2240PC PQ -=. 所以2PC PQ =设(,)P x y 21x =-平方整理得221.412x y -=另解：2PC PQ =||2||PC PQ ⇒=由第二定义知，点P 的轨迹是以C 为焦点，为相应准线的双曲线且22c e c a a ==⇒=，又焦准距为241a c c-=-，解得2,4a c ==.（2）由题意可知设直线m 的斜率不为零，且(4,0)C 恰为双曲线的右焦点， 设直线m 的方程为4x ty =+，由22221(31)243604124x y t y ty x ty ⎧-=⎪⇒-++=⎨⎪=+⎩若2310t -=，则直线m 与双曲线只有一个交点，这与120x x >矛盾，故2310t -≠.由韦达定理可得12212224313631t y y t y y t -⎧+=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩212121212(4)(4)4()16x x ty ty t y y t y y ∴=++=+++222362441603131tt t t t -=++>-- 即2223410313t t t +<⇒<-1212ABCS BC y y ∆∴=-== 2221911,,4543t t t ⇒==<或211.42t t ∴=⇒=± 故直线的方程为280280x y x y +-=--=或.22.（本题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴两端点分别为A 、B ，000(,)(0)P x y y >是椭圆上的动点，以AB 为一边在x 轴下方作矩形ABCD ，使(0)AD kb k =>，PD 交AB 于点E ，PC 交AB 于点F .（1）如图1，若1k =，且P 为椭圆上顶点时，PCD ∆的面积为12，原点O 到直线PD 的距离为65，求椭圆的方程； （2）如图2，若2k =，试探究||AE 、||EF 、||FB 能否成等比数列？ 【解析】（1）如图1，当1k =时，CD 过点(0,)b -，2CD a =， ∵PCD ∆的面积为12，122122a b ∴⨯⨯=，即6ab =．①此时(,)D a b --，∴直线PD 方程为20bx ay ab -+=． ∴点O 到PD的距离65d ==． ② 由①②解得3,2a b ==或34,2a b ==． ∴所求椭圆方程为22194x y +=或2241169x y +=． （2）如图2，当2k =时，(,2),(,2)C a b D a b ---，设12(,0),(,0)E x F x ， 由,,D E P 三点共线，及100(,2),(,2)DE x a b DP x a y b =+=++， （说明：也可通过求直线方程做）得100()(2)2()x a y b b x a ++=+，图2图10102()2b x a x a y b +∴+=+，即002()2b x a AE y b+=+．由,,C F P 三点共线，及200(,2),(,2)CF x a b CP x a y b =-=-+， 得200()(2)2()x a y b b x a -+=-，0202()2b a x a x y b -∴-=+，即002()2b a x FB y b -=+又2200221x y ab+=，222220022004()4(2)(2)b a x a y AE FB y b y b -∴⋅==++.而00000002()2()242222222b x a b a x ay abEF a AE FB a a y b y b y b y b+-=--=--=-=++++． 2EF AE FB ∴=⋅，即有,,AE EF FB 成等比数列．。
2024-2025学年江西省南昌市江西师大附中高二(上)期中数学试卷(含答案)
2024-2025学年江西省南昌市江西师大附中高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线3x−(a−2)y−2=0与直线x +ay +8=0互相垂直，则a =( )A. 1B. −3C. −1或3D. −3或12.已知椭圆C ：x 2m +y 2=1，则“m=2”是“椭圆C 的离心率为22”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.如图，空间四边形OABC 中，OA =a ,OB =b ,OC =c ，点M 在OA 上，且OM =2MA ，点N 为BC 中点，则MN =( )A. 12a−23b +12c B. −23a +12b +12c C. 12a +12b−12cD. 23a +23b−12c4.点F 1，F 2为椭圆C 的两个焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得∠F 1PF 2=90°，则椭圆C 方程可以是( )A. x 225+y 29=1 B. x 225+y 216=1 C. x 26+y 29=1 D. x 216+y 29=15.若2x−1=(x−2)2+y 2，则x 2+y 2的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 46.若实数x ，y 满足(x−2)2+y 2=1，则下列结论错误的是( )A. 2x +y ≤4+5B. (x−2)y≤12C. y x ≤33D. 2x−y ≤57.已知F 1，F 2分别是双曲线E ：x 24−y 212=1的左、右焦点，M 是E 的左支上一点，过F 2作∠F 1MF 2角平分线的垂线，垂足为N ，O 为坐标原点，则|ON|=( )A. 4B. 2C. 3D. 18.从椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)外一点P(x 0,y 0)向椭圆引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 称作点P 关于椭圆C 的极线，其方程为x 0xa 2+y 0yb 2=1.现有如图所示的两个椭圆C 1，C 2，离心率分别为e 1，e 2，C 2内含于C 1，椭圆C 1上的任意一点M 关于C 2的极线为l ，若原点O 到直线l 的距离为1，则e 21−e 22的最大值为( )A. 12B. 13C. 15D. 14二、多选题：本题共3小题，共18分。
哈尔滨师范大学附属中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学(文)试题 Word版含答案
哈尔滨师大附中2014-2015学年高二上学期期末考试数学试题(文)考试时间：120分钟 试卷满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.“1x =”是“21x =”的A .充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.命题2:,10p x R x ∀∈+≥的否定是A .2:,10p x R x ⌝∀∈+< B. 2:,10p x R x ⌝∃∈+< C. 2:,10p x R x ⌝∃∈+≥ D. 2:,10p x R x ⌝∃∈+≤3．双曲线221916x y -=的渐近线方程为 A .169y x =±B.916y x =±C.34y x =±D. 43y x =± 4．方程221410x y k k+=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 A . (4,)+∞ B. (4,7) C.(7,10) D. (4,10) 5．同时掷两个骰子，则向上的点数和为8的概率是 A .16 B.736 C.536D.14 6．根据秦九韶算法求1x =-时432()4361f x x x x x =+-+-的值，则2v 为 A .1- B.5- C.21 D. 22-7．在长方体1111ABCD A BC D -中，13,4,5AB AD AA ===，O 为1D C 与三棱锥O ABC -的体积为A .5 B.10 C.15 D.30 8．右面的程序框图表示求式子137153163⨯⨯⨯⨯⨯的值，则判断框内 可以填的条件为A .31?i ≤ B.63?i ≤ C.63?i ≥ D.127?i ≤9．已知X 和Y 是两个分类变量，由公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算出2K 的观测值k 约为7.822，根据下面的临界值表可推断A .推断“分类变量X 和Y 没有关系”犯错误的概率上界为0.010 B.推断“分类变量X 和Y 有关系”犯错误的概率上界为0.010 C.有至少99%的把握认为分类变量X 和Y 没有关系 D.有至多99%的把握认为分类变量X 和Y 有关系10．甲乙两名学生六次数学测验成绩(百分制)如图所示． ①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数； ②甲同学的平均分比乙同学高； ③甲同学的平均分比乙同学低；④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差． 上面说法正确的是 A ．③④B ．①②④C ．②④D ．①③11．三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，11AA AB AC ===，AB AC ⊥，N 是BC 的中点，点P 在11A B 上，且满足111A P A B λ=，直线PN 与平面ABC 所成角θ的正切值取最大值时λ的值为 A.12B.2C.2D.512．已知,A B 是抛物线24y x =上异于顶点O 的两个点，直线OA 与直线OB 的斜率之积为定值4-，F 为抛物线的焦点，,AOF BOF ∆∆的面积分别为12,S S ，则2212S S +的最小值为 A. 8 B. 6 C. 4 D. 2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．在100个产品中，一等品20个，二等品30个，三等品50个，用分层抽样的方法抽取一个容量20的样本，则抽取到的二等品的个数为__________.14．在集合{(,)|0 5 , 04}x y x y ≤≤≤≤且内任取一个元素，能使代数式34120x y +-≥的概率为__________.15．直线:10l x y -+=与抛物线2y x =交于,A B 两点，若点(1,2)M ，则MA MB 的值为__________.0.01频率组距16．下列关于回归分析的说法正确的是 (填上所有正确说法的序号).①相关系数r 越小，两个变量的相关程度越弱；②残差平方和越大的模型，拟合效果越好；③用相关指数2R 来刻画回归效果时，2R 越小，说明模型的拟合效果越好；④用最小二乘法求回归直线方程，是寻求使21()niii y bx a =--∑取最小值时的,a b 的值；⑤在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，模型拟合精度越高.三、解答题（本大题共6小题，17题满分10分，18、19、20、21、22题每题12分，共70分）17.某学校从参加高一年级期末考试的学生中抽出20名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[)50,40，[)60,50，…，[]100,90后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：（Ⅰ）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(Ⅱ)估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和 平均分；(Ⅲ) 从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率.18.如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2,CA CB CD BD AB AD =====（Ⅰ）求证：AO ⊥平面BCD ；(Ⅱ)求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值.19.某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医程,再用被选取的2组数据进行检验．（Ⅰ）若选取的是1月与6月的两组数据,请根据2至5月份的数据,求出y 关于x 的线性回归方程y b x a ∧∧∧=+；（Ⅱ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?(参考公式: 121()()()niii nii x x y y b x x ∧==--=-∑∑，a y b x ∧∧=-)20．如图，三棱柱111ABC A B C -侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，12AA AC ==，1BC =，,E F 分别是11AC ，BC 的中点． （Ⅰ）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ； （Ⅱ）求证：1C F ∥平面ABE ； (Ⅲ) 求三棱锥E ABC -的体积．21. 已知椭圆1C ：2214x y +=的左、右焦点分别是1F 、2F ，Q 是椭圆外的动点，满足1|| 4.FQ =点P 是线段1FQ 与该椭圆1C 的交点，点T 在线段2F Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF (Ⅰ) 求点T 的轨迹2C 的方程；(Ⅱ) 过原点的直线l 与曲线12,C C 分别交于点,S R （,S R 不重合）， 设12SF F ∆，12RF F ∆的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的取值范围.一、选择题1.A2.B3.D4.C5.C6.B7.A8.B9.B 10.A 11.A 12.D 二、填空题 13. 6 14. 71015. 2 16. ④⑤ 三、解答题17.（Ⅰ）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率：41(0.0250.01520.010.005)100.3f =-+⨯++⨯= (2)第四组小矩形的高为0.3100.03÷=这次考试的及格率为10.10.150.75--= …4 利用组中值估算抽样学生的平均分123456455565758595f f f f f f ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=450.1550.15650.15750.3850.25950.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯＝71估计这次考试的平均分是71分 (6)（Ⅲ）[80,90) ，[90,100]”的人数是5,1.设[80,90)这5个人分别为a,b,c,d,e.[90,100] 1人为f,从这6个人中取两个人的基本事件为（a,b ）(a,c)(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f), (e,f)共计15个，所以从成绩是80分以上（包括80分）的5个学生中选两人来自同一组所含基本事件为（a,b ）(a,c)(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e), (c,d),(c,e), (d,e)共10个，所以他们在同一分数段的概率2526102153C P C === (10)18.(Ⅰ)证明：,AB AD O =为BD 的中点，AO BD ∴⊥，2AD =，1OD =，1AO ∴=，2,CB CD BD OC ===∴=又2,CA =222CA OA OC ∴=+，AO OC ∴⊥，BD OC O =，,BD OC 均在平面BCD 内，AO ∴⊥平面BCD (6)(Ⅱ)方法一：设,OD AD 的中点分别是点,M N ，连,,EM ON EN ，0.030.01频率组距BCA则//,//,ON AB OE CD NOE ∴∠或其补角即异面直线,AB CD 所成角，AO ⊥平面BCD ，//,MN AO MN ∴⊥平面BCD ，ME ⊂平面BCD ，MN ME ∴⊥1,2MN=ME NE =∴=212ON OE ==，222221cos 22ON OE NE NOE ON OE +-+-∴∠===⋅故异面直线,AB CD (12)方法二：以O 为坐标原点，以,,OB OC OA 方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则(0,0,1),(1,0,0),(1,0,0)AB C D - (1,0,1),(1,AB CD =-=-|||cos ,|4||||2AB CD AB CD AB CD ⋅∴〈〉===⨯ 故异面直线,AB CD 所成角的余弦值为4． 19.解： (Ⅰ) 由数据求得11,24x y ==由公式求得187b =再由307a y bx =-=-所以y 关于x 的线性回归方程为183077y x =-…8(Ⅱ)当10x =时,1507y =, 150|22|27-<；同样, 当6x =时,787y =, 78|14|27-< (12)所以,该小组所得线性回归方程是理想的． 20. 解：(Ⅰ) 证明：在三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC ，所以BB 1⊥AB . 又因为AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面B 1BCC 1.所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1. (4)(Ⅱ)证明：取AB 的中点G ，连接EG ，FG .因为E ，F ，G 分别是A 1C 1，BC ，AB 的中点， 所以FG ∥AC ，且FG ＝12AC ，EC 1＝12A 1C 1.因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1， 所以四边形FGEC 1为平行四边形， 所以C 1F ∥EG .又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ，所以C 1F ∥平面ABE . …8 （Ⅲ）因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ， 所以AB ＝AC 2－BC 2＝ 3. 所以三棱锥E - ABC 的体积V ＝13S △ABC ·AA 1＝13×12×3×1×2＝33. …12 21. (Ⅰ)连接2PF ，连接OT124PF PF +=，14QF =∴2PF PQ =2PT QF ⊥2QT TF ∴=12OF OF =∴1//OT QF ∴2OT =∴T 的轨迹方程为224x y +=. (4)(Ⅱ)①若直线l 斜率存在，设直线l 的方程为y kx =,2214y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩,22441S x k =+ 224y kx x y =⎧⎨+=⎩，2241T x k =+12S T OS x S S OT x ==== …8 0k ≠12112SS ∴<< (10)②若直线l 斜率不存在12S S =12综上：12112S S ≤< ...12 22. (Ⅰ)24y x = (2)(Ⅱ)设2(,)4t A t ，214t AF =+，AF DF =∴2114D t x -=+∴2(2,0)4t D +∴直线AD 的方程为2(2)24t ty x =--- 直线AE 的方程为24(1)4ty x t =-- 224(1)44t y x t y x ⎧=-⎪-⎨⎪=⎩，22440t y y t ---= A y t =4E y t-∴=22(2)244t t y x y x ⎧=---⎪⎨⎪=⎩，22880y y t t +--= A y t =8B y t t ∴=--8224B A E A t y y t y y t t---∴==--- (8)。
江西省赣州市赣南师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题
江西省赣州市赣南师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知向量()2,1,3a =-，向量()4,2,b x =- ，若//a b ，则x 的值为（）A ．1B ．3-C ．6-D ．9-2．712(1)x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为（）A ．7-B ．7C ．77D ．77-3．在某城市中，A ，B 两地有如图所示的方格型道路网，甲随机沿道路网选择一条最短路径，从A 地出发去往B 地，途经C 地，则不同的路线有（）A ．90种B ．105种C ．260种D ．315种4．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，点P 是平面ABCD 内的动点，若点P 到直线1AA 的距离与到直线CD 的距离相等，则点P 的轨迹为（）A ．抛物线B ．椭圆C ．双曲线D ．圆5．已知点()3,0M -和点()3,0N ，若直线上存在点(),P x y ，可使10PM PN +=，则称该直线为“D 型直线”．下列四条直线中：①1y x =+；②43y =；③5y =；④6x =-．“D 型直线”的条数是（）A ．1B ．2C ．3D ．46．从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有（）A ．252个B ．300个C ．324个D ．228个7．若直线:20l kx y --=与曲线1C x =-至少有一个公共点，则实数k 的取值范围是（）A ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．442,,233⎡⎤⎛⎤--⋃ ⎢⎥⎥⎣⎦⎝⎦D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭8．过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点2F 向其一条渐近线作垂线l ，垂足为P ，l 与另一条渐近线交于Q 点，若224QF PF =，则双曲线的离心率为（）A ．2BCD 二、多选题9．2023年国外某智库发布尖端技术研究国家竞争力排名，在极超音速和水下无人机等23个领域中，中国在其中19个领域领先.某科技博主从这19个领域中选取了A ，B ，C ，D ，E ，F 六个领域，准备在2024年1月1—6日对公众进行介绍，每天随机介绍其中一个领域，且每个领域只在其中一天介绍，则（）A ．A ，B 在后3天介绍的方法种数为144B ．C ，D 相隔一天介绍的方法种数为96C ．E 不在第一天，F 不在最后一天介绍的方法种数为504D ．A 在B ，C 之前介绍的概率为1310．已知直角坐标系中()1,0A -，()2,0B ，满足2PA PB =的点P 的轨迹为C ，则下列结论正确的是（）A ．C 上的点到直线10x y -+=的最小距离为2B ．若点(),x y在C 上，则x 的最小值是1-C ．若点(),x y 在C 上，则yx的最小值是2-D ．圆22()4x y a +-=与C 有且只有两条公切线，则a的取值范围是a <11．已知抛物线()220x py p =>上任意一点()00,x y 处的切线方程可以表示为00x x py py =+．直线1l 、2l 、3l 分别与该抛物线相切于点1,1、2,2、()33,C x y ，1l 、2l 相交于点D ，3l 与1l 、2l 分别相交于点P 、Q ，则下列说法正确的是（）A ．点D 落在一条定直线上B ．若直线AB 过该抛物线的焦点0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，则12l l ⊥C ．2AF BF DF ⋅=D ．AP PC PDCQ=三、填空题12．杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载.如图所示的杨辉三角中，第15行第15个数是.（用数字作答）13．已知abc 表示一个三位数，如果满足a b <且b c >，那么我们称该三位数为“凸数”，则没有重复数字的三位“凸数”的个数为．14．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别为AB 、11A B 、1DD 中点，M 、N 分别为直线EF 、1BB 上的动点，若1GC 、DM 、DN共面，则DM DN ⋅ 的最小值为.四、解答题15．（1）计算：22553234A C A A +-；（2）若1331C A 4C x x x x x -++=，则x 的值为_____；（3）若2222345C C C C 55n ++++= ，求正整数n ．16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AAC C 是边长为4的正方形，11AA B B 为矩形，3,5AB BC ==.(1)求证：1AA ⊥平面ABC ；(2)求平面1ABC 与平面11A C B 所成角的正弦值；(3)求点C 到平面11A C B 的距离.17．已知2nx ⎫+⎪⎭的展开式中各二项式系数的和为64．(1)求展开式中的常数项；(2)求展开式中各项系数的和；(3)若把展开式中所有的项重新排成一列，求有理项互不相邻的概率．18．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线方程为y =，实轴长为2．(1)求双曲线C 的标准方程；(2)直线l 与双曲线C 相切，且与双曲线C 的两条渐近线相交于,P Q 两点，求POQ △（O 为坐标原点）的面积．19．定义：若椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上的两个点()()1122,,,M x y N x y 满足1212220x x y y a b +=，则称,M N 为该椭圆的一个“共轭点对”，记作[],M N .已知椭圆C 的一个焦点坐标为()1F -，且椭圆C 过点()3,1A .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)求“共轭点对”[],A B 中点B 所在直线l 的方程；(3)设O 为坐标原点，点,P Q 在椭圆C 上，且//PQ OA ，（2）中的直线l 与椭圆C 交于两点12,B B ，且1B 点的纵坐标大于0，设四点12,,,B P B Q 在椭圆C 上逆时针排列.证明：四边形12B PB Q 的面积小于.。
江西师范大学附属中学高二上学期第一次月考数学(文)试题
江西师大附中高二年级数学（文）月考试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意．） 1．直线3310x y ++=的倾斜角为（ ） A ．1500B ．1200C ． 600D ．3002．过点（2，3）且与圆422=+y x 相切的直线有几条（ ） A. 0条B. 1条C. 2 条D.不确定3．两平行直线330x y +-=与6210x y ++=之间的距离为( ) A ．4B ．21313C ．51326D ．710204. 直线1:310L ax y ++=, 2:2(1)10L x a y +++=, 若12//L L ,则a 的值为( ) A ．3-B ．2C ．3-或2D ．3 或2-5.已知圆C ：224x y =＋，若点00(,)P x y 在圆C 外，则直线l ：004x x y y =＋与圆C 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．不能确定 6.点(1,1)-关于直线10x y --=的对称点是（ ） A ．(1,1)- B ．(1,1)-C ．(2,2)-D ．(2,2)-7．过点(5,2)且在y 轴上的截距与在x 轴上的截距相等的直线有( ) A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 不能确定 8.若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点( ) A ．(0,4)B ．(0,2)C ．(－2,4)D ．(4，－2)9．已知点(1,3)A 、(2,1)B --，若直线l ：(2)1y k x =-+与线段AB 没有．．交点，则k 的取值范围是（ ） A ．12k >B ．12k <C ．122k k ><-或 D ．122k -<<10.已知在圆22420x y x y +-+=内，过点(1,0)E 的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A.35B.65C.415D. 21511.若圆C ：222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是( ).A ．2B ．3C ．4D ．612. 已知点(2,0),(1,0),(0,1),A B C -直线y kx =将ABC ∆分割为两部分，则当这两个部分的面积之积取得最大值时k 的值为（ ）A.B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．方程220x y x y m +-++=表示一个圆，则m 的取值范围是 ． 14．若直线l 的倾斜角是直线2x －y ＋4＝0的倾斜角的两倍，则直线l 的斜率为 ．15．已知圆O ：224x y +=，直线l ： x y m +=，若圆O 上恰有3个不同点到l 的距离为1，则实数m 的值为 ．16.设圆C ：(x －3)2＋(y －5)2＝5，过圆心C 作直线l 交圆于A 、B 两点，交y 轴于点P ，若A 恰好为线段BP 的中点，则直线l 的方程为 _____．（用直线的一般式表达）三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. （10分）求过直线04:1=-+y x l 与02:2=+-y x l 的交点，且分别与直线012=--y x（1）平行； （2）垂直的直线方程.18．（12分）过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点(2,)B y ，求圆C 的标准方程．19.（12分）已知直线l 21y x =+：，求（1）直线l 关于点M （3，2）对称的直线的方程； （2）点M （3，2）关于直线l 对称的点的坐标．20. （12分）如图，D 、E 分别为ABC ∆的边AB 、AC 上的点，且不与ABC ∆的顶点重合。