2019高考数学专题——导数的几何意义

一．命题陷阱 1.在某点处的切线方程 2.过某点的切线方程 3.与切线有关的最值问题 4.导数的物理意义 5.导数与反函数综合 6.导数的几何意义综合 7.分段函数的导数几何意义问题 二．陷阱示例及防范措施 1.在某点处的切线方程 例 1. 曲线 A. C. 【答案】B 或 或 在点 处的切线方程是（ B. D. ）
练习 1. 已知 程为（） A. 【答案】A
是定义在
上的单调函数，满足
，则
在
处的切线方
B.
C.
D.
【解析】由题意可得 由 可得
为一固定的数，设 ，
，则有
.

当 解得 ∴ ∴ ∴ 又 ∴曲线
时，有 . ， 。 ， 。 在
,
处的切线方程为
,即
。选 A。
【防陷阱措施】 ：本题的求解中，将 进行代换求值，直到求出 为止，从而得到 练习 2. 函数 A. 2 B. 4 C. D. 的图像在
为一固定的数 成了解题的关键所在，然后在此基础上，再 ，最后根据导数的几何意义可得切线方程。 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
【答案】A
练习 3. 设函数 在点
，曲线 处的切线的斜率为（
在点 ）
处的切线方程为
，则曲线

A.
B.
C.
D.
【答案】C 【解析】对函数 方程为 ，∴ ，求导可得 ，∴ ，∵ ，∴ 在点 在点 处的切线 处切线
斜率为 4，故选 C. 练习 4. 如右图，直线 与曲线 交于 两点，其中 是切点，记
，则下列判断正确的是（）
A. B. C. D.
只有一个极值点 有两个极值点，且极小值点小于极大值点 的极小值点小于极大值点，且极小值为-2 的极小值点大于极大值点，且极大值为 2
【答案】D

∴当 同理 选 D。
时
有极大值，且极大值为
。
有极小值。结合图形可得
的极小值点大于极大值点。
练习 5. 已知函数
是定义在
的可导函数，
为其导函数，当
且
时，
，若曲线
在
处的切线的斜率为
，则
（）
A. 0
B. 1
C.
D.
【答案】C
可得：函数
在
处取得极值，

．
故答案为 2.过某点的切线方程 例 2. 过点 与曲线 相切的直线有且只有两条，则实数 的取值范围是（ ）
A. 【答案】B
B.
C.
D.
【解析】设切点为(
),
,所以切线方程为:
,代入
,得
,即这个关于 的方程有两个解.化简方程为
,即
,令
(
),
,
,
在
上单调递增,在
上单调递减,
,
g(1)=0,
所以
,所以
.选 B.
【防陷阱措施】对于曲线切点问题,一定要看清楚是在那个点,还是过那个点,如果不知道切点,需要自己设 切点.通过求导求出切线方程,再代入过的那一定点. 练习 1.过点 A(2,1)作曲线 A. 3 条 【答案】A B. 2 条 C. 1 条 的切线最多有( D. 0 条 )
3.与切线有关的最值问题 例 3. 对任意的 ，总有 ，则 的取值范围是（ ）

A. 【答案】A 【解析】原问题即
B.
C.
D.
在区间
上恒成立，考查临界情况，即函数
与
相切时的情形， 很明显切点横坐标位于区间 由 可得： ， ， ， . 内，此时， ， ，
则切点坐标为： 切线方程为： 令 可得纵截距为：
结合如图所示的函数图象可得则 的取值范围是
【防陷阱措施】本题考查临界条件的应用，在求切线方程时，应先判断已知点 Q(a，b)是否为切点，若已知 点 Q(a， b)不是切点， 则应求出切点的坐标， 利用切点坐标求出切线斜率， 进而用切点坐标表示出切线方程． 练习 1. 直线 分别与曲线 ，与 交于点 ，则 的最小值为（ ）
A. 【答案】D
B.
C.
D.

练习 2. 已知函数
若对于任意两个不相等的实数
，不等式
恒成立，则函数
的值域是
（
）
A. 【答案】B
B.
C.
D.
【解析】由题意可得：

练习 3. 已知函数
，在区间
内任取两个数
，且
，不等式
恒成立，则实数 的取值范围是（）
A. 【答案】C 【解析】
B.
C.
D.
，
， 对任意 对任意 时， ，选 C 点睛：本题首先考察导数定义：任取 （定义域） ，则 ，之后考察含参数 恒成立，即 ， 恒成立， ，
不等式的解法，我们一般采取分参法转化为恒成立问题，比较方便。导数题型一般为函数的综合题型，需 要对相关函数方法都能掌握。 练习 4. 已知定义在 上的函数 ，满足 ，且当 时 ，若函数
在
上有唯一的零点，则实数 的取值范围是（
）
A. 【答案】D
B.
C.
D.

【解析】 , 时， ， 时， ，
，
零点， 就是
与
的交点， 画出两函数图象， 如图， 由图知，
过原点与 D.
相切的直线斜率为
，所有直线与曲线有一个交点的 的范围是
，故选
【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式以及函数与方程思想、数形结合思想，属于难题. 已知函数 有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等 式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 4.导数的物理意义 例 4. 物体运动时位移 与时间 的函数关系是 为（ ） ． A. 【答案】C 【解析】 5.导数与反函数综合 例 5. 函数 则 的最小值为（ ） 与 的图象关于直线 对称， 分别是函数 图象上的动点， ，选 C. B. C. D. ，此物体在某一时刻的速度为 0，则相应的时刻
A. 【答案】D
B.
C.
D.

【防陷阱措施】(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容， 熟悉图象所能够表达的函数的性质. (2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究. 练习 1. 已知 两点，若 A. B. C. 为曲线 ，则 D. （ 且 （） ）上的两点，分别过 作曲线 的切线交 轴于
【答案】B 【解析】设切点作标为 ，若 ，则 ，不合题意，若
，不合题意，只有
，因为
，所以
此时
，
方程:
，令
，
，
，
方程
，令
，
，
，故选 B. 练习 2. ．已知曲线 A. 【答案】D 【解析】设直线 为它们的公切线，联立 可得 ① B. 恰好存在两条公切线，则实数 的取值范围是 C. D.
求导可得 可得
，令
可得
，所以切点坐标为 ，化简得
，代入 。令
②.联立①②可得

， ， 在 内单调递增，在 内单调递减， 方程有两解， 。
有两条公切线， ，所以答案为 D 练习 3. 已知函数 的最小值为__________．
分别为
图象上任一点，则
【答案】
【解析】
，解得
，所以
，
练习 4.曲线 【答案】
上的点到直线
的最短距离是__________．
【解析】∵曲线 y=ln(2x? 1)， ∴y′= ,分析知直线 2x? y+8=0 与曲线 y=ln(2x? 1)相切的点到直线 2x? y+8=0 的距离最短 =2,解得 x=1,把 x=1 代入 y=ln(2x? 1)，
y′═
∴y=0,∴点(1,0)到直线 2x? y+8=0 的距离最短， ∴d= = ，
故答案为： 练习 5. 若函数
. 与函数 有两个公切线，则实数 取值范围是__________.
【答案】

【解析】设公切线在若函数
与函数
的切点为
则由
,
得
，化简得
有两个不同的正
根， 令 时，
，则 ，因此
,解得： ，从而
，当 ，解得：
时，
；当 ，故答案为：
. 6.导数的几何意义综合 例 6. 若实数 A. B. 满足 C. D. ，则 的最小值为
【答案】C 【解析】∵ ∴ 将 将 看成 看成 表示曲线 作与直线 由 令 解得 或 平行的曲线的切线， ，得 ，得 （舍去） 。 。 ， ， 。 ，即曲线 ，即直线 。 上的点间的距离的平方。 。 ，
上的点与直线
所以切点为
故点
到直线
的距离为
。
故曲线上的点到直线的最小距离为
。

∴
的最小值为 5。选 C。 的几何意义出发，将问
【防陷阱措施】本题若直接求解则感到无从下手，故从所求式子
题转化为曲线与直线上两点间的距离来处理。然后借助于导数的几何意义，转化成直线与其平行的曲线的 切线间的距离问题处理，这样使得问题的解决变得直观、简单。 练习 1 设函数 实数 的最大值为 A. 【答案】A B. C. D. 与 有公共点， 且在公共点处的切线方程相同， 则
【解析】
由题意
,可得
,
由(1)得
,解得
或
(舍去),代入(2)得,
，构造
， 则
在
上单调递减， 在
上单调递增，
即
的最小值为
，所以 的最大值为
，故选 A.
练习 2. 已知曲线 A. 【答案】D 【解析】 的导数 B.
与
恰好存在两条公切线，则实数 的取值范围是（ C. D.
）
的导数为
，设与曲线
相切的切点为
相切的切点
为
，则有公共切线斜率为
，又
，即有
，即为
，即有
，则有
，即为
，恰好存在两条公切线，即有两解，
令
，则
，当
时，
递减，当
时，
递增，即有

处
取得极大值，也为最大值，且为
，由恰好存在两条公切线可得 ，故选 D.
与
有两个交点，结合函
数的图象与单调性可得 的范围是 练习 3. 已知 a， b， c∈R， 且满足 的图象都相切，则 A. [-2,2] 【答案】B 【解析】因为 ∵ ∴ ∴ 且 ，故可设 ， B. []
， 如果存在两条相互垂直的直线与函数 f （x） =ax+bcosx+csinx 的取值范围是 C. [ ] D. [ ]
。
， 异号。
∵存在两条相互垂直的直线与函数 f（x）的图象都相切， ∴存在 只需 ∴ ，∴ 。 ，使得 ，即 。 ，
∴
，其中
。
∴ 练习 4. 设曲线
。选 B。 ( ∈N )在(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 的值为 ( ). D. 1
*
，则
A. 【答案】B
B. －1
C.

【解析】令
，则
，切线的斜率为
∴切线方程为 y－1＝(n＋1)(x－1)， 令 y＝0，得 ，所以
本题选择 B 选项. 练习 5. 已知函数 标从小到大依次排列为 A. B. 数列 ，直线 过原点且与曲线 相切，其切点的横坐
，则下列说法正确的是（ ） 为等差数列
C. 【答案】D 【解析】易得
D.
，故 A 错误，设切点为
，
，则切线的斜率
为
，又切线过原点，则
，整理得
，即
①，故 B,C 错误，
因为
，
由①得
，
即
，整理得
，
故选 D 7.分段函数的导数几何意义问题

例 7. 设直线
分别是函数
图象上点
处的切线， 与 垂直相交于点
，
且 A.
分别与 B.
轴相交于点 C.
，则
的面积的取值范围是（ D.
）
【答案】A 【解析】 设 ， （ ） ， 当 时， ， 当 时， ，
∴ 的斜率
， 的斜率
， ∵ 与 垂直， 且
， ∴
， 即
，
直线
，
，取
分别得到
，
，
，联立两直线方程可得交
点
的横坐标为
，∴
，∵函数
在 （
） 上为减函数， 且
， ∴
， 则
， ∴
，
∴
的面积的取值范围是
，故选 A.
练习 1. 已知函数
， 若曲线
在点
， （
，
其中 【答案】
互不相等）处的切线互相平行，则 的取值范围是__________.
【解析】

函数
， 曲线
在
点 的值相等， 画出导函数
,其中
互不相等） 处的切线互相平行， 即 的图象， 如图， 当 时，
在点 ， 当
处
时，
必须满足，
，故答案为
.
练习 2. 对于任意实数
，定义
.定义在
上的偶函数
满足
，且当 的取值范围是为_________ . 【答案】
时，
，若方程
恰有两个根，则
【解析】由题意可得
，又
，故函数
是周期为 4 的函数。
画出函数 令
的图象如图所示。 ，则方程 恰有两个根等价于函数 和函数 的图象恰有两个公共点。
①当直线 此时 的取值为
经过原点和点 A,A1 时， 图象有两个公共点， 满足条件， 此时 。 在 y 轴右侧与 的图象相切时， 可得
或
。
②当直线
， 又当直线
经过点 B 时，
，两图象有 3 个公共点，不和题意，此时
的取值范围为
。根据

为偶函数得， 当直线
在 y 轴左侧与
的图象有 2 个公共点时， 的取值范围为
。
综上，实数
的取值范围为
。
答案： 三．高考真题演练 1. 【2016 高考山东理数】 若函数 则称 （A） 【答案】A 【解析】
。
的图象上存在两点， 使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直， ） （D）
具有 T 性质.下列函数中具有 T 性质的是（ （B） （C）
试题分析：由函数的图象在两点处的切线互相垂直可知，存在两点处的切线斜率的积，即导函数值的乘积 为负一. 当 时， ，有 ，所以在函数 图象存在两点 使条件
成立，故 A 正确；函数
的导数值均非负，不符合题意，故选 A.
2. 【2016 年高考四川理数】设直线 l1，l2 分别是函数 f(x)=
图象上点 P1，P2 处的切线， )
l1 与 l2 垂直相交于点 P，且 l1，l2 分别与 y 轴相交于点 A，B，则△PAB 的面积的取值范围是(
（A）(0,1) （B）(0,2) （C）(0,+∞) （D）(1,+∞) 【答案】A 【解析】 试题分析：设 （不妨设
） ，则由导数的几何意义易得切线
的斜率分别为
由已知得
切线 的方程分别为
，切线
的方程为
，即
.分别令

得
又 与
的交点为
，
，
，
．故选 A．
3.【2016 高考新课标 3 理数】已知 在点 【答案】 【解析】 试题分析：当 时， ，则 ，所以 ，即 4.【2014 广东理 10】曲线 【答案】 【解析】 故所求切线的方程为 或 ．
为偶函数，当
时，
，则曲线
处的切线方程是_______________．
．又因为 ，则切线斜率为
为偶函数，所以 ，所以切线方程为
在点 .
处的切线方程为.
，所求切线的斜率为 ，即 或 中，若曲线 平行，则
， . （ . 为常数）过点 ，且该
5.【2014 江苏理 11】在平面直角坐标系 曲线在点 【答案】 【解析】曲线 过点 处的切线与直线
，则
①，又
，所以
②，由
①②解得
所以
．
6.【2017 山东，理 20】已知函数 自然对数的底数. （Ⅰ）求曲线 在点
，
，其中
是
处的切线方程；

（Ⅱ）令 【答案】 （Ⅰ） （Ⅱ）综上所述：当 函数 当 时， .
，讨论
的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.
在
上单调递减，在 ；
上单调递增，
有极小值，极小值是 时，函数 在 和
和
上单调递增，在
上单调递减，函数
有
极大值，也有极小值， 极大值是 极小值是 当 当 在 极大值是 极小值是 【解析】 （Ⅰ）由题意 又 所以 因此 曲线 ， 在点 ， 即 （Ⅱ）由题意得 因为 . ， 处的切线方程为 ， 时，函数 时，函数 ； 在 在 上单调递增，无极值； 和 上单调递增，
上单调递减，函数 ；
有极大值，也有极小值，
.