高中数学函数和导数综合题型分类总结
函数综合题分类复习
题型一：关于函数的单调区间（若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开），极值，最值；不等式恒成立；此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令
0)('=x f 得到两个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知；
不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种：
第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----题型特征（已知谁的围就把谁作为主元）；第二种：分离变量求最值（请同学们参考例5）；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值----题型特征
)()(x g x f >恒成立
0)()()(>-=⇔x g x f x h 恒成立；参考例4；
例1.已知函数32
1()23
f x x bx x a =-++，2x =是)(x f 的一个极值点．
（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若当[1, 3]x ∈时，2
2()3
f x a ->恒成立，求a 的取值围．
例2.已知函数b ax ax x x f +++=2
3)(的图象过点)2,0(P .
（1）若函数)(x f 在1-=x 处的切线斜率为6，求函数)(x f y =的解析式；（2）若3>a ，求函数)(x f y =的单调区间。
例3.设。
（1）求在上的值域；
（2）若对于任意，总存在,使得成立,求的取值围。 例4.已知函数图象上一点的切线斜率为，
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当时，求的值域；
（Ⅲ）当时，不等式恒成立，数t 的取值围。
例5.已知定义在上的函数在区间上的最大值是5，最小值是－11.
（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）若时，恒成立，数的取值围. 例6.已知函数，在时有极值0，则
例7.已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数． （1） 若函数在处有极值，求的解析式；
（2） 若函数在区间上为增函数，且在区间上都成立，数的取值围． 答案： 1、解：（Ⅰ）. ∵是的一个极值点，
∴是方程的一个根，解得. 令，则，解得或.
∴函数的单调递增区间为，. （Ⅱ）∵当时，时，
∴在（1，2）上单调递减，在（2，3）上单调递增. ∴是在区间[1，3]上的最小值，且 . 若当时，要使恒成立，只需， 即，解得 . 2、解：（Ⅰ）． 由题意知，得 ． ∴． （Ⅱ）． ∵，∴．
由解得或，
由解得． ……………10 ∴的单调增区间为：和；
的单调减区间为：．……12分
3、解：(1)法一:(导数法) 在上恒成立. ∴在[0,1]上增，∴值域[0,1]。 法二:, 复合函数求值域. 法三:用双勾函数求值域. (2)值域[0,1]，在上的值域. 由条件,只须，∴.
特别说明：要深刻理解本题的题意及子区间的解题思路，联想2008年全国一卷第21题，那是单调区间的子区间问题； 4、解：（Ⅰ）∴， 解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减又 ∴的值域是 （Ⅲ）令
∴要使恒成立，只需，即
（1）当时 解得； （2）当时 ；
（3）当时解得；综上所述所求t 的围是
特别说明：分类与整合，千万别忘了整合即最后要写“综上可知”，分类一定要序号化； 5、解：（Ⅰ）
令=0,得
因为，所以可得下表：
+ 0 -
↗极大↘
因此必为最大值,∴因此，，
即，∴，∴
（Ⅱ）∵，∴等价于，令，则问题就是在上恒成立时，数的取值围，为此只需，即，
解得，所以所数的取值围是[0，1].
6、11（说明：通过此题旨在提醒同学们“导数等于零”的根不一定都是极值点，但极值点一定是“导数等于零”方程的根；）
7、解：∵，∴由有，即切点坐标为，
∴切线方程为，或，整理得或
∴，解得，∴，∴。（1）∵，在处有极值，∴，即，解得，∴
（2）∵函数在区间上为增函数，∴在区间上恒成立，∴，又∵在区间上恒成立，∴，即，∴在上恒成立，∴∴的取值围是
题型二：已知函数在某个区间上的单调性求参数的围及函数与x轴即方程根的个数问题；
（1）已知函数在某个区间上的单调性求参数的围的常用方法有三种：
第一种：转化为恒成立问题即在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立问题；用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（看是否在0的同侧），如果是同侧则不必分类讨论；若在0的两侧，则必须分类讨论，要注意两边同处以一个负数时不等号的方向要改变呀！有时分离变量解不出来，则必须用另外的方法；
第二种：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；参考08年高考题；
第三种方法：利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置；可参考第二次市统考试卷；特别说明：做题时一定要看清楚“在（a,b）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别；请参考资料《高考教练》83页第3题和清明节假期作业上的第20题（金考卷第5套）；
（2）函数与x轴即方程根的个数问题解题步骤
第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；
第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；
第三步：解不等式（组）即可；
例8．已知函数，，且在区间上为增函数．
（1）数的取值围；（2）若函数与的图象有三个不同的交点，数的取值围．
例9.已知函数
（I）讨论函数的单调性。
（II）若函数在A、B两点处取得极值，且线段AB与x轴有公共点，数a的取值围。
例10．已知函数f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，其中a为实数．
(Ⅰ)求导数(x)；(Ⅱ)若(－1)＝0，求f(x)在[－2，2]上的最大值和最小值；
(Ⅲ)若f(x)在(－∞，－2]和[2，＋∞)上都是递增的，求a的取值围
例11.已知：函数
（I）若函数的图像上存在点，使点处的切线与轴平行，数的关系式；
（II）若函数在和时取得极值且图像与轴有且只有3个交点，数的取值围.
例12．设为三次函数，且图像关于原点对称，当时，的极小值为．
（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）证明：当时，函数图像上任意两点的连线的斜率恒大于0．
例13．在函数图像在点（1，f（1））处的切线与直线平行，导函数的最小值为－12。（1）求a、b的值；（2）讨论方程解的情况（相同根算一根）。
例14．已知定义在R上的函数，当时，取得极大值3，.
（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）已知实数能使函数上既能取到极大值，又能取到极小值，记所有的实数组成的集合为M.请判断函数的零点个数.
例15.已知函数的单调减区间为（0，4）
（I）求的值；
（II）若对任意的总有实数解，数的取值围。
例16.已知函数是常数，且当和时，函数取得极值.
（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）若曲线与有两个不同的交点，数的取值围.
例17.已知函数正项数列满足：，，点在圆上，
（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求证：是等比数列；
（Ⅲ）求和：
例18.函数（、为常数）是奇函数。
（Ⅰ）数的值和函数的图像与轴交点坐标；（Ⅱ）设，，求的最大值.
例19.已知f (x)＝x3＋bx2＋cx＋2．
⑴若f(x)在x＝1时有极值－1，求b、c的值；
⑵若函数y＝x2＋x－5的图象与函数y＝的图象恰有三个不同的交点，数k的取值围．
例20.设函数，，当时，取得极值.
（1）求的值，并判断是函数的极大值还是极小值；
（2）当时，函数与的图象有两个公共点，求的取值围.
例21.已知在R上单调递增，记的三角A、B、C的对应边分别为a、b、c，若时，不等式恒成立．
（Ⅰ）数的取值围；（Ⅱ）求角的取值围；（Ⅲ）数的取值围。
答案：
8解：（1）由题意∵在区间上为增函数，
∴在区间上恒成立
即恒成立，又，∴，故∴的取值围为
（2）设，
令得或由（1）知，
①当时，，在R
综上，所求的取值围为
9、解：（1），当a>0时，递增；
当a<时，递减。
（2）当
值值
此时，极大值为…………7分
当a<0时
值值
此时，极大值为因为线段AB与x轴有公共点所以解得
10、解：（Ⅰ）
（Ⅱ）由，由得或x=又在[-2，2]上最大值，最小值
（Ⅲ），由题意知
11、解：（I）设切点, ,因为存在极值点，所以，即。（II）因为，是方程的根，
所以，。
,；在处取得极大值，在处取得极小值. 函数图像与轴有3个交点，，
12解：（Ⅰ）设其图像关于原点对称，即得∴，则有由，依题意得∴①，②由①②得故所求的解析式为：.（Ⅱ）由解得：或，∴时，函数单调递增；设是时，函数图像上任意两点，且，则有∴过这两点的直线的斜率.
13、解：（1）又直线
（
所以，函数f（x）的单调增区间是和
14、解：（1）由得c=1，得∴
（2）得，时取得极值.由， 得∴.，，∴当时，，∴在上递减.又2
'
1
2)(x x x g
-
=∴函数的零点有且仅有1个
15、解：（I ） 又（II ）。 16、解：（Ⅰ）， 依题意，即解得∴（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线与有两个不同的交点，即在上有两个不同的实数解。设，则， 由0的或，当时，于是在上递增；当时，于是在上递减. 依题意有∴实数的取值围是. 17、解：（Ⅰ）由题意：∴，（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，数列满足：，故，（Ⅲ）令 ，相减得： ∴
18、解：（Ⅰ），与轴交点为，，（Ⅱ），当时，由，得或⎪⎩⎪⎨
⎧>-≤≤+-=-⋅=-=t x x t x t x x t x t x x x t x x g 3,330,3|3||||3|)(232
32
223（舍），
∴在上单调递增，在上单调递减。
当时，由得在上单调递增。如图所示，为在上的图像。 ∵当时，，∴当时，由
故的最大值的情形如下：当时， 当时， 当时， ∴
19、解：⑴f '(x)＝3x 2＋2bx ＋c ，由题知f '(1)＝03＋2b ＋c ＝0，f(1)＝－11＋b ＋c ＋2＝－1∴b＝1，c ＝－5，f(x)＝x 3＋x 2
－
5x ＋2，f'(x)＝3x 2
＋2x －5
f(x)在[－，1]为减函数，f (x)在(1，＋∞)为增函数∴b＝1，c ＝－5符合题意
⑵即方程：恰有三个不同的实解：x 3＋x 2
－5x ＋2＝k(x≠0)
即当x≠0时，f (x)的图象与直线y ＝k 恰有三个不同的交点，由⑴知f (x)在为增函数，f (x)在为减函数，f (x)在(1，＋∞)为增函数，又，f (1)＝－1，f (2)＝2∴且k≠2 20、解：（1）由题意 当时，取得极值， 所以 即 此时当时，，当时，，
是函数的最小值。
（2）设，则 ，……8分 设，，令解得或列表如下：
函数在和上是增函数，在上是减函数。
当时，有极大值；当时,有极小值
函数与的图象有两个公共点，函数与的图象有两个公共点
或
21、解：(1)由知，在R上单调递增，恒成立，且，即且，．
（2），由余弦定理：，，
（3）在R上单调递增，且，
所以
，
故，即，，即，即．
题型三：函数的切线问题；
问题1：在点处的切线，易求；
问题2：过点作曲线的切线需四个步骤；
第一步：设切点，求斜率；第二步：写切线（一般用点斜式）；第三步：根据切点既在曲线上又在切线上得到一个三次方程；第四步：判断三次方程根的个数；
例22.已知函数在点处取得极小值－4，使其导数的的取值围为，求：
（1）的解析式；
（2）若过点可作曲线的三条切线，数的取值围．
例23.已知（为常数）在时取得一个极值，
（1）确定实数的取值围，使函数在区间上是单调函数；
（2）若经过点A（2，c）（）可作曲线的三条切线，求的取值围．
答案：
22、解：（1）由题意得：
∴在上；在上；在上
因此在处取得极小值
∴①，②，③
由①②③联立得：，∴
（2）设切点Q，
过
令，
求得：，方程有三个根。
需：
故：；因此所数的围为：
23、解：（1）∵函数在时取得一个极值，且，
，．
或时，或时，时，
，在上都是增函数，在上是减函数．∴使在区间上是单调函数的的取值围是
（2）由（1）知．设切点为，则切线的斜率，所以切线方程为：．将点代人上述方程，整理得：．
∵经过点可作曲线的三条切线，∴方程有三个不同的实根．设，则
，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故得：．
题型四：函数导数不等式线性规划精彩交汇；
例24.设函数，在其图象上一点处的切线的斜率记为．
(1)若方程有两个实根分别为-2和4，求的表达式；
(2)若在区间上是单调递减函数，求的最小值。
例25.已知函数
（1）若图象上的是处的切线的斜率为的极大值。
（2）在区间上是单调递减函数，求的最小值。
例26. 已知函数（，，且）的图象在处的切线与轴平行.
(I) 试确定、的符号；
(II) 若函数在区间上有最大值为，试求的值. 答案： 24、解：（1）根据导数的几何意义知由已知-2，4是方程的两个实根由韦达定理，∴， （2）在区间上是单调递减函数，所以在区间上恒有 ，即在区间上恒成立
这只需满足即可，也即而可视为平面区域的点到原点距离的平方由图知当时，有最小值13； 25、解：（1）由题意得 令
由此可知 －1 3 + 0 － 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值－9 ↗ 时取极大值
（2）上是减函数 上恒成立 作出不等式组表示的平面区域如图 当直线经过点时 取最小值
26、解：(I)由图象在处的切线与轴平行，
知，∴①…………3分
又，故，. ………… 4分 (II)令,
得或…………………… 6分
易证是的极大值点，是极小值点（如图）.………… 7分 令，得或. …………………………………………8分 分类：(I)当时，，∴ . ② 由①，②解得，符合前提 . (II)当时，,∴. ③ 由①，③得 . 记, ∵,
∴在上是增函数，又，∴,
∴在上无实数根.综上，的值为. 题型五：函数导数不等式数列的精彩交汇 例2 7.已知函数满足且有唯一解。
（1） 求的表达式；
（2）记，且＝，
求数列的通项公式。
（３）记 ，数列｛｝的前ｎ项和为，求证
例28.已知函数，其中. （Ⅰ）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式； （Ⅱ）讨论函数的单调性；
（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值围. 例29.在数列中，，且已知函（）在时取得极值.（Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）设，且对于恒成立，数的取值围．例30.已知函数，为实数）有极值，且在处的切线与直线平行. （1）数a 的取值围；
（2）是否存在实数a ，使得函数的极小值为1，若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由；
例31.已知函数（a 、c 、d ∈R ）满足且在R 上恒成立。 （1）求a 、c 、d 的值；（2）若，解不等式；
（3）是否存在实数m ，使函数在区间[m ，m+2]上有最小值－5？若存在，请求出实数m 的值，若不存在，请说明理由。 例32.设函数（），其中
（1）当时，求曲线在点（2，
）处的切线方程； （2）当时，求函数的极大值和极小值；
（3）当时，证明存在，使得不等式对任意的恒成立。
例33. 已知函数为常数） （Ⅰ）若
（Ⅱ）若在和处取得极值，且在时，函数 的图象在直线的下方，求的取值围？
答案：
27、解：(1)由 即 有唯一解 又
(2)由 又
数列是以首项为，公差为 (3)由 =
28、解：（Ⅰ），由导数的几何意义得，于是．由切点在直线上可得，解得． 所以函数的解析式为． （Ⅱ）解：． 当时，显然（）．这时在，上是增函数． 当时，令，解得． 当变化时，，的变化情况如下表：
＋ 0 － － 0 ＋ ↗ 极大值 ↘ ↘ 极小值
↗
所以在，是增函数，在，是减函数．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，在上的最大值为与的较大者，对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，对任意的成立．从而得，所以满足条件的的取值围是． 29、解： (Ⅰ) ∵(1)＝0∴(a n ＋2－a n ＋1)－(3a n ＋1－4a n )＝0
即a n ＋2－2a n ＋1＝2(a n ＋1－2a n ) 又a 2－2a 1＝4
∴数列｛a n ＋1－2a n ｝是以2为公比，以4为首项的等比数列。∴a n ＋1－2a n ＝4×2n －1＝2 n ＋1
∴ 且∴数列｛｝是首项为1，公差为1的等差数列，∴＝＋(n －1)×1＝n ∴ （Ⅱ）由，
令S n ＝|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＝＋2()2＋3()3＋…＋n ()n
S n ＝()2＋2()3＋…＋(n －1)()n ＋n ()n ＋1
得S n ＝＋()2＋()3＋…＋()n －n ()n +1＝[1－()n ],1－)－n ()n +1＝2[1－()n ]－n ()
n +1
∴ S n ＝6[1－()n ]－3n ()n +1＜要使得|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＜m 对于n ∈N ＊
恒成立,只须，所以实数的取值围是. 30、解：（1）由题意 ① ②
由①、②可得，故
（2）存在由（1）可知， + 0 － 0 + 单调增 极大值 单调减 极小值 单调
增 ， .
的极小值为1. 31、解：（1），，，即， 从而。在R 上恒成立，， 即，解得。
（2）由（1）知，，， ∴不等式化为， 即，∴
（a）若，则不等式解为；
（b）若，则不等式解为空集；
（c）若，则不等式解为。
（3）。该抛物线开口向上，对称轴为。
若，即时，在[m，m+2]上为增函数。
当时，由已知得，解得。
若，即时，当时，。
由已知得，无解。
若，即时，在[m，m+2]上为减函数。
当时，。
由已知得，解得。
综上所述，存在实数或，使函数在区间[m，m+2]上有最小值－5。
32、解：（Ⅰ）当时，，得，且
，．
所以，曲线在点处的切线方程是，整理得
．
（Ⅱ）解：．
令，解得或．由于，以下分两种情况讨论．
（1
a x
函数在处取得极大值，且．
（2）若，当变化时，的正负如下表：
函数在处取得极大值，且．
（Ⅲ）证明：由，得，当时，，．
由（Ⅱ）知，在上是减函数，要使，
只要即①
设，则函数在上的最大值为．
要使①式恒成立，必须，即或．所以，在区间上存在，使得对任意的恒成立．33、解：（1）
又x1，x2是函数f（x）的两个极值点，则x1，x2是的两根，
（2）由题意，
高中数学导数题型归纳总结
高中数学导数题型归纳总结 高中数学中，导数是一个重要的概念，它是微积分的基础。在考试中，导数题型往往是必考的内容。为了帮助同学们更好地复习导数，下面对高中数学导数题型进行归纳总结。 1. 求函数的导数：这是最基本的导数题型，要求根据函数的定义求出其导数。常见的函数包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。 2. 导数的四则运算：利用导数的基本性质，可以进行导数的四则运算。例如，两个函数的和、差、积或商的导数可以通过分别求出函数的导数，然后利用四则运算的性质计算得到。 3. 链式法则：当函数是复合函数时，可以使用链式法则进行求导。链式法则的基本思想是将复合函数分解为内层函数和外层函数，并利用导数的链式法则求出导数。 4. 隐函数求导：当一个函数的表达式中包含未知数的隐式关系时，可以利用隐函数求导的方法求出导数。常见的隐函数求导题型包括求曲线的切线斜率、求极值等。 5. 参数方程求导：当函数由参数表示时，可以通过对参数方程进行
求导，然后用参数方程的导数表达式消去参数，得到函数的导数。 6. 反函数求导：如果函数存在反函数，可以利用反函数求导的方法求出导数。反函数求导的基本思想是将函数的自变量和因变量互换，然后求出反函数的导数。 7. 极限与导数：导数的定义中包含了极限的概念，所以在求导过程中经常需要应用极限的性质。例如，使用极限的性质求出函数导数的极限，或者利用导数的定义证明极限存在等。 除了上述的题型，还有一些常见的应用题型，如最值问题、曲线的凹凸性、切线和法线方程等。这些题型往往需要综合运用导数的概念和性质进行解答。 总之，高中数学导数题型的归纳总结包括基本的导数求法、导数的四则运算、链式法则、隐函数求导、参数方程求导、反函数求导以及与极限的关系等。通过对这些题型的理解和熟练掌握，可以帮助同学们更好地应对高中数学考试中的导数题目。
高中数学导数知识总结导数七大题型答题技巧
高中数学导数知识总结导数七大题型答题技巧 知识总结 一.导数概念的引入 1.导数的物理意义： 瞬时速率。一般的，函数y=f(x)在x=处的瞬时变化率是 2.导数的几何意义： 曲线的切线，当点趋近于P时，直线P T 与曲线相切。容易知道，割线的斜率是 当点趋近于P时，函数y=f(x)在x=处的导数就是切线P T的斜率k，即 3.导函数： 当x变化时，便是x的一个函数，我们称它为f（x）的导函数. y=f （x）的导函数有时也记作，即 。 二.导数的计算 基本初等函数的导数公式：
导数的运算法则： 复合函数求导： y=f(u)和u=g(x)，则称y可以表示成为x的函数，即y=f(g(x))为一个复合函数。 三、导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数： 一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间（a,b）内 (1) 如果＞0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递增； (2) 如果＜0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递减； 2.函数的极值与导数： 极值反映的是函数在某一点附近的大小情况。 求函数y=f(x)的极值的方法有： （1）如果在附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是极大值； （2）如果在附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是极小值； 3.函数的最大(小)值与导数：
求函数y=f(x)在［a,b］上的最大值与最小值的步骤： （1）求函数y=f(x)在［a,b］内的极值； （2）将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值。 四.推理与证明 （1）合情推理与类比推理 根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理。 根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理，叫做类比推理。 类比推理的一般步骤： (1)找出两类事物的相似性或一致性； (2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题（猜想）； (3)一般的，事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似，那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的； (4)一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题越可靠。 （2）演绎推理（俗称三段论） 由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理。 （3）数学归纳法 1.它是一个递推的数学论证方法。 2.步骤：
高中数学题型归纳大全函数与导数题型归纳三.零点、隐零点问题
高中数学题型归纳大全函数与导数3 题型归纳三.零点、隐零点问题 考点1.讨论零点个数 1．已知函数f(x)=a 2x 2?(a +1)x +lnx ． （1）当a ＝1时，求y ＝f （x ）在（e ，f （e ））处切线方程； （2）讨论f （x ）的单调区间； （3）试判断a ＞1时f （x ）＝0的实根个数说明理由． 考点2.证明存在零点 2.已知函数f （x ）＝sin x ﹣ln （1+x ），f ′（x ）为f （x ）的导数．证明： （1）f ′（x ）在区间（﹣1，π 2）存在唯一极大值点； （2）f （x ）有且仅有2个零点． 3．已知设函数f （x ）＝ln （x +2）﹣（x +1）e ax ． （1）若a ＝0，求f （x ）极值； （2）证明：当a ＞﹣1，a ≠0时，函数f （x ）在（﹣1，+∞）上存在零点． 考点3.已知零点个数求参 4．已知函数f （x ）＝ae 2x +（a ﹣2）e x ﹣x ． （1）讨论f （x ）的单调性； （2）若f （x ）有两个零点，求a 的取值范围．
5．已知函数f（x）＝e x﹣ax2． （1）若a＝1，证明：当x≥0时，f（x）≥1； （2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a． 考点4.设而不求，虚设零点 6．已知函数f（x）＝e x﹣ln（x+m）． （Ⅰ）设x＝0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性； （Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）＞0． 7．设函数f（x）＝e x﹣ax﹣2． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）若a＝1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．
(完整版)高考导数题型归纳
高考压轴题：导数题型及解题方法 （自己总结供参考） 一．切线问题 题型1 求曲线)(x f y =在0x x =处的切线方程。 方法：)(0x f '为在0x x =处的切线的斜率。 题型2 过点),(b a 的直线与曲线)(x f y =的相切问题。 方法：设曲线)(x f y =的切点))(,(00x f x ，由b x f x f a x -='-)()()(000求出0x ，进而解决相关问题。 注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。 例 已知函数f （x ）=x 3﹣3x ． （1）求曲线y=f （x ）在点x=2处的切线方程；（答案：0169=--y x ） （2）若过点A )2)(,1(-≠m m A 可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围、 （提示：设曲线)(x f y =上的切点（)(,00x f x ）；建立)(,00x f x 的等式关系。将问题转化为关于m x ,0的方程有三个不同实数根问题。（答案：m 的范围是()2,3--） 练习 1. 已知曲线x x y 33 -= （1）求过点（1，-3）与曲线x x y 33-=相切的直线方程。答案：（03=+y x 或027415=--y x ） （2）证明：过点（-2,5）与曲线x x y 33-=相切的直线有三条。 2.若直线0122=--+e y x e 与曲线x ae y -=1相切，求a 的值. （答案：1） 题型3 求两个曲线)(x f y =、)(x g y =的公切线。 方法：设曲线)(x f y =、)(x g y =的切点分别为（)(,11x f x ）。（)(,22x f x ）；
(完整版)高中数学函数与导数常考题型整理归纳
高中数学函数与导数常考题型整理归纳 题型一:利用导数研究函数的性质 利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一，每年必考，一般考查两类题型：(1)讨论函数的单调性、极值、最值，(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围. 【例1】已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ). (1)讨论f (x )的单调性； (2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求实数a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a . 若a ≤0，则f′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 若a ＞0，则当x ∈⎝ ⎛⎭ ⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0； 当x ∈⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0， 所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1a ，＋∞上单调递减. 综上，知当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ＞0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1a ，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值； 当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增， g (1)＝0. 于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0； 当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，实数a 的取值范围是(0，1). 【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论，讨论单调性要先求函数定义域，再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性. (2)由函数的性质求参数的取值范围，通常根据函数的性质得到参数的不等式，再解出参数的范围.若不等式是初等的一次、二次、指数或对数不等式，则可以直接解不等式得参数的取值范围；若不等式是一个不能直接解出的超越型不等式时，如求解ln a ＋a －1<0，则需要构造函数来解.
导数题型分类大全
导数题型分类（A ） 题型一：导数的定义及计算、常见函数的导数及运算法则 （一）导数的定义：函数)(x f y =在0x 处的瞬时变化率x x f x x f x y o x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 000称为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0/ x f 或0/x x y =，即 x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )(0000/ 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对 应着一个确定的导数)(/ x f ，从而构成了一个新的函数)(/ x f 。称这个函数)(/ x f 为函数 )(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/y ，即)(/x f ＝/y ＝ x x f x x f x ?-?+→?) ()(lim 导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求函数)(x f y =在0x 处的导数0 / x x y =，就是导函数)(/ x f 在0x 处的函数值，即0 / x x y =＝)(0/ x f 。 例1.函数()a x x f y ==在处的导数为A ，求 ()()t t a f t a f t 54lim +-+→。 例2．2 3 33 x y x x += =+求在点处的导数。 （二）常见基本初等函数的导数公式和运算法则 ： +-∈==N n nx x C C n n ,)(; )(01''为常数； ;sin )(cos ;cos )(sin ''x x x x -== a a a e e x x x x ln )(;)(''==； e x x x x a a log 1)(log ;1)(ln ''== 法则1： )()()]()(['''x v x u x v x u ±=± 法则2： )()()()()]()([' ''x v x u x v x u x v x u += > 法则3： )0)(() ()()()()(])()([2 ' ''≠-=x v x v x v x u x v x u x v x u （理）复合函数的求导：若(),()y f u u x ?==，则'()'()x y f x x ?'= 如，sin ()'x e =_______________;(sin )'x e =_____________ 公式1 / )(-=n n nx x 的特例：①=')x (______; ②=' ?? ? ??x 1_______, ③=')x (_________. 题型二：利用导数几何意义及求切线方程 导数的几何意义：函数)(x f y =在0x 处的导数是曲线)(x f y =上点()(,00x f x )处的切线的斜率.因此，如果)(0x f '存在，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为______________________
高考数学导数压轴大题7大题型梳理归纳
导数压轴大题7个题型梳理归纳 题型一：含参分类讨论 类型一：主导函数为一次型 例1：已知函数()ln f x ax a x =--，且()0f x ≥.求a 的值 解：()1 ax f x x -'= .当0a ≤时，()0f x '<，即()f x 在()0,+∞上单调递减，所以当01x ∀>时，()()010f x f <=，与()0f x ≥恒成立矛盾. 当0a >时，因为10x a << 时()0f x '<，当1 x a >时()0f x '>，所以()min 1f x f a ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ ，又因为()1ln10f a a =--=，所以11a =，解得1a = 类型二：主导函数为二次型 例2: 已知函数()()32 0f x x kx x k =-+<.讨论()f x 在[],k k -上的单调性. 解：()f x 的定义域为R ，()()2 3210f x x kx k '=-+<，其开口向上，对称轴 3k x = ，且过()0,1，故03 k k k <<<-，明显不能分解因式，得2412k ∆=-. （1）当24120k ∆=-≤时，即0k ≤<时，()0f x '≥，所以()f x 在[],k k - 上单调递增； （2）当24120k ∆=->时，即k <令()2 3210f x x kx '=-+=，解得： 12x x == ，因为()()210,010f k k f ''=+>=>，所以两根均在[],0k 上. 因此，结合()f x '图像可得：()f x 在,,33k k k k ⎡⎡⎤ +-⎢⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 上单 调递增，在⎢⎥⎣⎦ 上单调递减.
高中数学函数和导数综合题型分类总结
函数综合题分类复习 题型一：关于函数的单调区间（若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开），极值，最值；不等式恒成立；此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令 0)('=x f 得到两个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知； 不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种： 第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----题型特征（已知谁的围就把谁作为主元）；第二种：分离变量求最值（请同学们参考例5）；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值----题型特征 )()(x g x f >恒成立 0)()()(>-=⇔x g x f x h 恒成立；参考例4； 例1.已知函数32 1()23 f x x bx x a =-++，2x =是)(x f 的一个极值点． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若当[1, 3]x ∈时，2 2()3 f x a ->恒成立，求a 的取值围． 例2.已知函数b ax ax x x f +++=2 3)(的图象过点)2,0(P . （1）若函数)(x f 在1-=x 处的切线斜率为6，求函数)(x f y =的解析式；（2）若3>a ，求函数)(x f y =的单调区间。 例3.设。 （1）求在上的值域； （2）若对于任意，总存在,使得成立,求的取值围。 例4.已知函数图象上一点的切线斜率为， （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当时，求的值域； （Ⅲ）当时，不等式恒成立，数t 的取值围。 例5.已知定义在上的函数在区间上的最大值是5，最小值是－11. （Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）若时，恒成立，数的取值围. 例6.已知函数，在时有极值0，则 例7.已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数． （1） 若函数在处有极值，求的解析式； （2） 若函数在区间上为增函数，且在区间上都成立，数的取值围． 答案： 1、解：（Ⅰ）. ∵是的一个极值点， ∴是方程的一个根，解得. 令，则，解得或. ∴函数的单调递增区间为，. （Ⅱ）∵当时，时， ∴在（1，2）上单调递减，在（2，3）上单调递增. ∴是在区间[1，3]上的最小值，且 . 若当时，要使恒成立，只需， 即，解得 . 2、解：（Ⅰ）． 由题意知，得 ． ∴． （Ⅱ）． ∵，∴． 由解得或， 由解得． ……………10 ∴的单调增区间为：和； 的单调减区间为：．……12分 3、解：(1)法一:(导数法) 在上恒成立. ∴在[0,1]上增，∴值域[0,1]。 法二:, 复合函数求值域. 法三:用双勾函数求值域. (2)值域[0,1]，在上的值域. 由条件,只须，∴. 特别说明：要深刻理解本题的题意及子区间的解题思路，联想2008年全国一卷第21题，那是单调区间的子区间问题； 4、解：（Ⅰ）∴， 解得 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减又 ∴的值域是 （Ⅲ）令 ∴要使恒成立，只需，即 （1）当时 解得； （2）当时 ； （3）当时解得；综上所述所求t 的围是 特别说明：分类与整合，千万别忘了整合即最后要写“综上可知”，分类一定要序号化； 5、解：（Ⅰ）
2020年高考理科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练及答案解析
1 2020年高考理科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 含参数的分类讨论 例1 已知函数3()12f x ax x =-，导函数为()f x '， （1）求函数()f x 的单调区间； （2）若(1)6,()f f x '=-求函数在[—1，3]上的最大值和最小值。 【答案】略 【解析】（I ）22()3123(4)f x ax ax '=-=-，（下面要解不等式23(4)0ax ->，到了分类讨论的时机，分类标准是零） 当0,()0,()(,)a f x f x '≤<-∞+∞时在单调递减； 当0,,(),()a x f x f x '>时当变化时的变化如下表： 此时，()(,)f x -∞+∞在单调递增， 在(单调递减； （II ）由(1)3126, 2.f a a '=-=-=得 由（I ）知，()(f x -在单调递减,在单调递增。 【易错点】搞不清分类讨论的时机，分类讨论不彻底 【思维点拨】分类讨论的难度是两个，（1）分类讨论的时机，也就是何时分类讨论，先按自然的思路推理，由于参数的存在，到了不能一概而论的时候，自然地进入分类讨论阶段；（2）分类讨论的标准，要做到不重复一遗漏。还要注意一点的是，最后注意将结果进行合理的整合。 题型二 已知单调性求参数取值范围问题 例1 已知函数3 21()53 f x x x ax = ++-， 若函数在),1[+∞上是单调增函数，求a 的取值范围
2 【答案】 【解析】2'()2f x x x a =++,依题意在),1[+∞上恒有0y '≥成立， 方法1： 函数2'()2f x x x a =++，对称轴为1x =-，故在),1[+∞上'()f x 单调递增，故只需0)1('≥f 即可，得 3-≥a ，所以a 的取值范围是[3,)+∞； 方法2： 由022≥++='a x x y ，得x x a 2--2≥，只需2max --2a x x ≥（），易得2max --23x x =-（），因此 3-≥a ， ，所以a 的取值范围是[3,)+∞； 【易错点】本题容易忽视0)1('≥f 中的等号 【思维点拨】已知函数()f x 在区间(,)a b 可导： 1. ()f x 在区间(,)a b 内单调递增的充要条件是如果在区间(,)a b 内，导函数()0f x '≥，并且()f x '在 (,)a b 的任何子区间内都不恒等于零； 2. ()f x 在区间(,)a b 内单调递减的充要条件是如果在区间(,)a b 内，导函数()0f x '≤，并且()f x '在(,)a b 的任何子区间内都不恒等于零； 说明： 1.已知函数()f x 在区间(,)a b 可导,则()0f x '≥在区间内(,)a b 成立是()f x 在(,)a b 内单调递增的必要不充分条件 2.若()f x 为增函数，则一定可以推出()0f x '≥；更加具体的说，若()f x 为增函数，则或者()0f x '>，或者除了x 在一些离散的值处导数为零外，其余的值处都()0f x '>； 3. ()0f x '≥时，不能简单的认为()f x 为增函数，因为()0f x '≥的含义是()0f x '>或()0f x '=，当函数在某个区间恒有()0f x '=时，也满足()0f x '≥,但()f x 在这个区间为常函数. 题型三 方程与零点 1．已知函数()3 2 31f x ax x =-+，若()f x 存在三个零点，则a 的取值范围是（ ） A. (),2-∞- B. ()2,2- C. ()2,+∞ D. ()()2,00,2-? 【答案】D 【解析】很明显0a ≠ ，由题意可得： ()()2 '3632f x ax x x ax =-=- ，则由()'0f x = 可得 1220,x x a == ，
高中数学函数与导数常考题型整理归纳
高中数学函数与导数常考题型整理归纳 是一个以2为根的二次函数，开口向下，顶点坐标为(1.e)，所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所 以函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞). 2)由题意可知，f′(x)＝ex(－2x＋a)(x＋2)，所以f(x)在(－∞，－2)和(－1，＋∞)上单调递减，在(－2，－1)上单调递增. 又因为f(x)在(－1，1)上单调递增，所以a＞0，且f(－1)＜f(1)，即e(2a－1)＜2，解得a＜ln3/2.综上，实数a的取值范围为(0，ln3/2). 导数在不等式中的应用是高考经常考查的热点，主要考察转化思想和函数思想。常见的命题角度包括证明简单的不等式、求参数范围使得不等式恒成立、不等式能否成立等问题。 以函数f(x)=e^(2x)-a ln x为例，(1)讨论f(x)的导函数f'(x) 的零点个数；(2)证明当a>1时，f(x)≥2a+a ln a。 首先，f(x)的定义域为(0.+∞)，f'(x)=2e^(2x)-a/x(x>0)。当 a≤1时，f'(x)始终大于0，没有零点；当a>1时，由于e^(2x)在(0.+∞)上单调递增，-a/x在(0.+∞)上单调递减，所以f'(x)在
(0.+∞)上单调递增。又因为f'(a)>0，所以当b满足a
专题17 函数与导数压轴解答题常考套路归类(精讲精练)(原卷版)
专题17 函数与导数压轴解答题常考套路归类 【命题规律】 函数与导数是高中数学的重要考查内容，同时也是高等数学的基础，其试题的难度呈逐年上升趋势，通过对近十年的高考数学试题，分析并归纳出五大考点： （1）含参函数的单调性、极值与最值； （2）函数的零点问题； （3）不等式恒成立与存在性问题； （4）函数不等式的证明． （5）导数中含三角函数形式的问题 其中，对于函数不等式证明中极值点偏移、隐零点问题、含三角函数形式的问题探究和不等式的放缩应用这四类问题是目前高考函数与导数压轴题的热点． 【核心考点目录】 核心考点一：含参数函数单调性讨论 核心考点二：导数与数列不等式的综合问题 核心考点三：双变量问题 核心考点四：证明不等式 核心考点五：极最值问题 核心考点六：零点问题 核心考点七：不等式恒成立问题 核心考点八：极值点偏移问题与拐点偏移问题 核心考点九：利用导数解决一类整数问题 核心考点十：导数中的同构问题 核心考点十一：洛必达法则 核心考点十二：导数与三角函数结合问题 【真题回归】 1．（2022·天津·统考高考真题）已知a b ∈R ，，函数()()sin ,x f x e a x g x =-=(1)求函数()y f x =在()()0,0f 处的切线方程； (2)若()y f x =和()y g x =有公共点， （i ）当0a =时，求b 的取值范围； （ii ）求证：22e a b +>．
2．（2022·北京·统考高考真题）已知函数()e ln(1)x f x x =+． (1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (2)设()()g x f x '=，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性； (3)证明：对任意的,(0,)s t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +>+． 3．（2022·浙江·统考高考真题）设函数e ()ln (0)2f x x x x =+>． (1)求()f x 的单调区间； (2)已知,a b ∈R ，曲线()y f x =上不同的三点()()()()()() 112233,,,,,x f x x f x x f x 处的切线都经过点(,)a b ．证明： （ⅰ）若e a >，则10()12e a b f a ⎛⎫ <-< - ⎪⎝⎭； （ⅰ）若1230e,a x x x <<<<，则22 132e 112e e 6e 6e a a x x a --+<+<-． （注：e 2.71828=是自然对数的底数） 4．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()e e ax x f x x =-． (1)当1a =时，讨论()f x 的单调性； (2)当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围； (3)设n *∈N 21ln(1)n n + >++． 5．（2022·全国·统考高考真题）已知函数1 ()(1)ln f x ax a x x =--+． (1)当0a =时，求()f x 的最大值；
函数与导数中的同构思想题型归纳总结 讲义-2022届高三数学一轮专题复习
同构思想在函数与导数中的应用 同构法是将不同的代数式(或不等式、方程)通过变形，转化为形式结构相同或者相近的式子，通过整体思想或换元等将问题转化的方法，这体现了转化思想．此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式或不等式问题． 同构法在近几年的模考中频繁出现，把等式或不等式变形为两个形式上一样的函数，利用函数的单调性转化成比较大小,或者解恒成立，求最值等问题.同构法在使用时，考验“眼力”，面对复杂的结构，仔细观察灵活变形，使式子两则的结构一致.构造函数，判断函数单调性，进一步求参数或证明不等式. 题型1：指对跨阶型 解决指对混合不等式时，常规的方法计算复杂，则将不等式变形为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的结构， ()f x 即为外层函数，其单调性易于研究.常见变形方式：①ln x x x xe e +=；②ln x x x e e x -=；③ln x x x x e e -=；④()ln ln x x x xe +=；⑤ln ln x e x x x -=. 答题思路； 1.直接变形： （1）积型：b b ae a ln ≤⇒()ln ln a b x a e b e f x xe ⋅≤⋅⇒=（同左） ； ln ln a a e e b b ⇒⋅≤⋅()ln f x x x ⇒=（同右） ； ⇒()ln ln ln ln a a b b +≤+⇒()ln f x x x =+（取对数）. 说明：取对数是最快捷的，而且同构出的函数，其单调性一看便知. （2）商型：b b a e a ln <⇒ln ln a b e e a b <()x e f x x ⇒=（同左）； ln ln a a e b e b ⇒<⇒x x x f ln )(=（同右）； ⇒)ln(ln ln ln b b a a -<-⇒x x x f ln )(-=（取对数）. （3）和差型：b b a e a ln ±>±⇒ln ln a b e a e b ±>±⇒x e x f x ±=)(（同左）； ln ln a a e e b b ⇒±>+⇒x x x f ln )(±=（同右）. 2.先凑再变形： 若式子无法直接进行变形同构，往往需要凑常数、凑参数或凑变量，如两边同乘以x ，同加上x 等，再用上述方式变形.常见的有： ①x ae ax ln >ln ax axe x x ⇒>；
【高中数学】高考数学题型总结之导数题型分析及解题方法
【高中数学】高考数学题型总结之导数题型分析及解题方法 高考 数学问题类型总结的衍生问题类型分析与解题方法 一、考试内容 导数的概念、导数的几何意义以及几种常用函数的导数； 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。 二、热门话题分析 题型一：利用导数研究函数的极值、最值。 1.间隔中的最大值为2 2.已知函数处有极大值，则常数c=6; 3.函数的最小值为-1，最大值为3 题型二：利用导数几何意义求切线方程 1.曲线在该点的切线方程为 2.若曲线在p点处的切线平行于直线，则p点的坐标为(1，0) 3.如果曲线的一条切线与直线垂直，则方程为 4.求下列直线的方程： （1）曲线在P（-1,1）处的切线；（2）曲线通过点P（3,5）的切线； 解：(1) 所以切线方程是 (2)显然点p(3，5)不在曲线上，所以可设切点为，则①又函数的导数为， 因此，通过点的切线的斜率为，并且切线通过点P（3,5），因此②, 这是从① 和②, 也就是说，当切点为（1,1）时，切线斜率为；当切点为（5,25）时，切线斜率为；有两 条切线，方程是 题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值
1.已知函数的切线方程为y=3x+1 (ⅰ)若函数处有极值，求的表达式; （二）在（I）的条件下，求[-3,1]上函数的最大值； (ⅲ)若函数在区间[-2，1]上单调递增，求实数b的取值范围解决方案：（1）通过 过的切线方程为： 然后通过 故 ∵③ 由①②③得a=2，b=-4，c=5 (2) 当 在[-3,1]上，最大值为13。 (3)y=f(x)在[-2，1]上单调递增，又由①知2a+b=0。 根据问题的意思，[-2,1]上总是有0，即 ①当; ② 什么时候 ③当 综上所述，参数B的取值范围为 2.已知三次函数在和时取极值，且. （1）找到函数的表达式； (2)求函数的单调区间和极值; （3）如果间隔上的函数值范围为，则尝试找到应满足的条件解：(1)， 从问题的意义来看，是的，两个
高中数学 函数与导数选择题填空题28种题型巧解
模块一、函数与导数选择题填空题28种题型巧解考点一：函数的概念 题型1：函数定义 例1：函数f：{1，3，5}→{1，3，5}满足f[f(x)]=f(x),则这样函数个数共有（）A．1个B．4个 C．8个D．10个 解析：数集A→B要构成一个函数，必须满足一对一或多对一，一对多不能构成函数。 方法一：根据题意函数满足f[f(x)]=f(x)。所以，可以将问题转化为三个有编号的小球，放入与小球相同编号的三个盒子中，根据题中的条件，盒子中只放一个小球时，盒子编号必须与小球编号相同。所以共有1+C31A22+C31=10种。 方法二：根据题意，一对一有: f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3，1种 二对一有：f(1)=f(2)=1或2，f(3)=3，2种 f(1)=f(3)=1或3，f(2)=2，2种 f(3)=f(2)=2或3，f(1)=1，2种 三队一有：f(1)=f(2)=f(3)=1或2或3，3种 综上共有10种。 【小结】1.数集A→B构成函数的条件：“一对一”或“多对一”. 2.计数问题，都可以采用计数原理来解决，又快又准. 题型2：同一函数的判断 例2：下列四组函数中，表示同一函数的是（） A．f(x)=1与g(x)=x0 B．f(x)=|x|与g(x)=√x2 C．f(x)=x与g(x)=x 2 x D．f(x)=√x2−1与g(x)=√x+1√x−1 解析：A，C，D选项f(x)与g(x)定义域不一样，所以不是同一函数,故选B 【小结】两个函数为同一函数必须满足：①定义域一致②对应关系（或最简解析式）一致。此问题解题步骤：第一步，先判断定义域；第二步，在判定最简解析式。
高考数学热点必会题型第6讲 导数构造函数解决问题类型总结(原卷及答案)
高考数学热点必会题型第5讲 导数构造函数解决问题类型总结 ——每天30分钟7天掌握 一、重点题型目录 【题型】一、构造函数)(x f x n 型 【题型】二、构造函数)(x f e nx 型 【题型】三、构造函数 n x x f ) (型 【题型】四、构造函数 nx e x f ) (型 【题型】五、构造函数x sin 与函数)(x f 型 【题型】六、构造函数x cos 与函数)(x f 型 【题型】七、构造n e 与)()(x b f x af +型 【题型】八、构造()b kx +与)(x f 型 【题型】九、构造()b kx +ln 型 【题型】十、构造综合型 二、题型讲解总结
第一天学习及训练 【题型】一、构造函数)(x f x n 型 例1．（2022·四川·盐亭中学模拟预测（文））已知定义在()0,+∞上的函数()f x 满足 ()()22+<0xf x x f x '，()3 24 f = ，则关于x 的不等式()23f x x >的解集为（ ） A ．()0,4 B ．()2,+∞ C ．()4,+∞ D ．()0,2 例2．（2022·河北·高三阶段练习）已知奇函数()f x 的定义域为R ，导函数为()f x '，若对任意[)0,x ∈+∞，都有()()30f x xf x '+>恒成立，()22f =，则不等式()()3 1116x f x --<的 解集是__________. 【题型】二、构造函数)(x f e nx 型 例3．（2022·河南·襄城高中高二阶段练习（理））已知奇函数()f x 的定义域为R ，其函数图象连续不断，当0x >时，()()()20x f x xf x '++>，则（ ） A ． () ()124f f e > B ．()20f < C ．()()310f f -⋅> D ． () ()142f f e ->- 例4．（2022·江苏·南师大二附中高二期末）已知f (x )为R 上的可导函数，其导函数为()' f x ， 且对于任意的x ∈R ，均有()()' 0f x f x +>，则（ ） A ．e －2 021f (－2 021)>f (0)，e 2 021f (2 021)
最新《高中数学导数》题型分类非常全
导数 1.导数公式：'0C = '1()n n x nx -= '(sin )cos x x = '(cos )sin x x =- '()x x e e = '()ln x x a a a = '1(ln )x x = '1(log )ln a x x a = 2.运算法则：'''()u v u v +=+ '''()u v u v -=- '''()uv u v uv =+ '' '2()u u v uv v v -= 3.复合函数的求导法则：（整体代换） 例如：已知2()3sin (2)3 f x x π =+，求'()f x 。 4.导数的物理意义：位移的导数是速度，速度的导数是加速度。 5.导数的几何意义：导数就是切线斜率。 6.用导数求单调区间、极值、最值、零点个数：对于给定区间[,]a b 内，若'()0f x >，则()f x 在[,]a b 内是增函数；若'()0f x <，则()f x 在[,]a b 内是减函数。 【题型一】求函数的导数 1(1)ln x y x = (2)2sin(3)4 y x π=- (3)2(1)x y e x =- (4)3235y x x =-- (5)231x x y x -=+ (6)2211()y x x x x =++ 2.已知物体的运动方程为223s t t =+（t 是时间，s 是位移），则物体在时刻2t =时的速度为 。 【题型三】导数与切线方程（导数的几何意义的应用） 3.曲线32y x x =+-在点(2,8)A 处的切线方程是 。 4.若(1,)B m 是32y x x =+-上的点，则曲线在点B 处的切线方程是 。 5.若32y x x =+-在P 处的切线平行于直线71y x =+，则点P 的坐标是 。 6.若2 3ln 4 x y x =-的一条切线垂直于直线20x y m +-=，则切点坐标为 。 7.函数12+=ax y 的图象与直线x y =相切, 则a = 。 8.已知曲线11 x y x +=-在(3,2)处的切线与0ax y m ++=垂直，则a = 。 9.已知直线y x m =+与曲线321y x x =-+相切，求切点P 的坐标及参数m 的值。
高中数学导数知识总结+导数七大题型答题技巧
高中数学导数知识总结+导数七大题型答题技巧 知识总结 一. 导数概念的引入 1. 导数的物理意义： 瞬时速率。一般的，函数y=f(x)在x=处的瞬时变化率是 2. 导数的几何意义： 曲线的切线，当点趋近于P时，直线 PT 与曲线相切。容易知道，割线的斜率是 当点趋近于 P 时，函数y=f(x)在x=处的导数就是切线PT的斜率k，即 3. 导函数：
当x变化时，便是x的一个函数，我们称它为f （x）的导函数. y=f（x）的导函数有时也记作，即 。 二. 导数的计算 基本初等函数的导数公式： 导数的运算法则： 复合函数求导： y=f(u)和u=g(x)，则称y可以表示成为x的函数，即y=f(g(x))为一个复合函数。 三、导数在研究函数中的应用 1. 函数的单调性与导数： 一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间（a,b）内
(1) 如果＞0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递增； (2) 如果＜0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递减； 2. 函数的极值与导数： 极值反映的是函数在某一点附近的大小情况。 求函数y=f(x)的极值的方法有： （1）如果在附近的左侧＞0 ，右侧＜0，那么是极大值； （2）如果在附近的左侧＜0 ，右侧＞0，那么是极小值； 3. 函数的最大(小)值与导数： 求函数y=f(x)在［a,b］上的最大值与最小值的步骤： （1）求函数y=f(x)在［a,b］内的极值； （2）将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值。 四. 推理与证明 （1）合情推理与类比推理 根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理。
高中数学补习教案----导数压轴题7大题型归类总结
导数压轴题7大题型归类总结，逆袭140+ 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 涉及本单元的题目一般以选择题、填空题的形式考查导数的几何意义，定积分，定积分的几何意义，利用图象判断函数的极值点，利用导数研究函数的单调性、极值、最值等. 1.利用导数研究函数的单调性 (1)首先确定所研究函数的定义域，然后对函数进行求导，最后在定义域内根据f′(x)＞0 ，则函数单调递增，f′(x)＜0，则函数单调递减的原则确定函数的单调性. (2)利用导数确定函数的单调区间后，可以确定函数的图象的变化趋势. 2.利用导数研究函数的极值、最值 (1)对函数在定义域内进行求导，令f′(x)=0，解得满足条件的x i(i=1,2…)，判断x=x i处左、右导函数的正负情况，若“左正右负”，则该点处存在极值且为极大值；若“左负右正”，则该点处存在极值且为极小值；若左、右符号相同，则该点处不存在极值. (2)利用导数判断函数y=f(x)的最值通常是在给定闭区间[a,b]内进行考查，利用导数先求出给定区间内存在的所有极值点x i(i=1,2…)，并计算端点处的函数值，最后进行比较，取最大的为最大值；最小的为最小值，即max{f(a),f(b),f(x i)}，min{f(a),f(b),f(x i)}. (3)注意函数单调性与极值、最值之间的联系.导数值为零的点的左、右两端的单调性对其极值情况的影响，单调性对函数最值的影响，都要注意结合函数的图象进行分析研究. (4)注意极值与最值之间的联系与区别，极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定. 2.定积分及其应用 (1)简单定积分的计算，能够把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差，利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和或差，然后分别用求导公式求出F(x)，使得 F′(x)=f(x)，利用牛顿-莱布尼兹公式求出各个定积分的值，最后求得结果. (2)微积分基本定理的应用：能够根据给出的图象情况，建立简单的积分计算式子，求值计算.理解微积分基本定理的几何意义：曲线与轴围成的曲边多边形的面积，可以通过对该曲线表示的函数解析式在给定区间内求其积分而得到.其一般步骤是：画出图形，确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分的上、下限；确定被积函数，特别是注意分清被积函数的上、下位置；写出平面图形面积的定积分的表达式；运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积. （2017高考新课标Ⅱ，理11）若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-l)e x-1的极值点，则f(x)的极小值为() A．-1 B．-2e-3 C．5e-3 D．1 【答案】A 【解析】 由题可得f′(x)=(2x+a)e x-1+(x2+ax-l)e x-1=[x2+(a+2)x+a-1]e x-1， 因为f′(-2)=0，所以a=-1，f(x)=(x2-x-1)e x-1，故f′(x)=(x2+x-2)e x-1，