观察分岔与混沌现象(MATLAB)
Matlab实验报告
实验目的：用Matlab观察分岔与混沌现象。
题目：Feigenbaum曾对超越函数sin()yx（为非负实数）进行
了分岔与混沌的研究，试利用迭代格式1sin()kkxx，做出相
应的Feigenbaum图
算法设计：
1、因为为非负实数，所以试将的范围限制在[0,3]，制图时x的坐标
限制在[0,3]，考虑到y的值有正有负，所以把y的坐标限制在[-3,3]。
2、根据课本上给的例题，编写程序代码来绘图。
程序代码：
clear;clf;
hold on
axis([0,3,-3,3]);
grid
for a=0:0.005:3
x=[0.1];
for i=2:150
x(i)=a*sin(pi*x(i-1));
end
pause(0.1)
for i=101:150
plot(a,x(i),'k.');
end
end
图像：
00.511.522.53
-3
-2
-1
0
1
2
3
结果分析：在取值在[0,0.3]区间内时，y的值保持在0，然后开始上
升，在取值在0.75附近时，开始分岔为两支。从整体上看，随着
的值越来越大，所产生的迭代序列越来越复杂，可能会随机地落在区
间（-3,3）的任一子区间内。并可能重复，这就是混沌的遍历性。
进一步分析：由于的取值空间偏小，考虑扩大其取值范围
到[0,6]，再进一步观察图像。程序代码如下：
clear;clf;
hold on
axis([0,6,-6,6]);
grid
for a=0:0.05:6
x=[0.1];
for i=2:150
x(i)=a*sin(pi*x(i-1));
end
pause(0.1)
for i=101:150
plot(a,x(i),'k.');
end
end
图像：
0123456
-6
-4
-2
0
2
4
6
分析：由图像可见，随着取值范围的增大，图像呈现出周期性的特
点。
总结：1、当取值范围比较小，不足以发现图像规律时，可以考虑扩
大变量的取值范围。
2、由于图像是由大量点构成的，所以在编程的时候注意循环
语句的应用。
电力系统分岔与混沌研究综述_王宝华
2005年7月 电 工 技 术 学 报Vol.20 No.7第20卷第7期TRANSACTIONS OF CHINA ELECTROTECHNICAL SOCIETYJul. 2005电力系统分岔与混沌研究综述王宝华1 杨成梧2 张 强1（1. 南京工程学院电力工程系 南京 210013 2. 南京理工大学动力学院 南京 210094）摘要 简单介绍了分岔、混沌的基本概念以及电力系统发生的分岔现象，总结了电力系统非线性振荡、次同步谐振、电压失稳和崩溃的机理；电力系统通往混沌的途径以及抑止、延迟电力系统分岔、混沌现象发生以提高电力系统稳定性的方法；混沌理论在电力系统短期负荷预测中的应用。
指出了揭示多机电力系统分岔、混沌现象，各种分岔点的快速搜寻方法，电力系统FACTS 控制策略，电力系统分岔、混沌控制方法，利用混沌理论对短期负荷进行快速、准确预测是电力系统分岔、混沌研究的发展趋势。
关键词：电力系统稳定性 分岔 混沌 分岔和混沌控制 电压稳定 中图分类号：TM712；O415.5Summary of Bifurcation and Chaos Research in Electric Power SystemWang Baohua 1 Yang Chengwu 2 Zhang Qiang 1（1. Nanjing Institute of Technology Nanjing 210013 China2. Nanjing University of Science and Technology Nanjing 210094 China ）Abstract The basic concepts of bifurcation and chaos and many different kinds of bifurcation phenomena in electric power system are introduced simply in this paper. The recent progresses of bifurcation and in this field of power system such as mechanism of power system nonlinear oscillation ，subsynchronous resonance and voltage collapse , the routes to chaos and the ways applied to refrain or delay bifurcation and chaos and short-term load forecasting methodology are summarized and discussed. The future research trends including revealing bifurcation and chaos phenomena in multi-machine power system ，seeking bifurcation points rapidly ，designing FACTS controllers to refrain bifurcation and chaos ，controlling bifurcation and chaos ，forecasting short-term load via chaos theory accurately and quickly are introduced.Keywords ：Power system stability ，bifurcation ，chaos ，bifurcation and chaos control ，voltage stability1 引言电力系统是一类典型的非线性系统，它可由如下含参数的高维非线性微分代数方程组（Difference Algebraic Equations ，DAE ）来描述[1,2]⎪⎩⎪⎨⎧==),,(0),,(µµy x g y x f x& （1） 式中，x 是系统的状态变量，如运动变量，转子角和转子角速度，也可包含受控的发电机内电动势dE ′、q E ′等，母线电压的幅值和相角等；y 是代数变 量，如发电机内电流I d 、I q ，其他母线的电压幅值和相角，µ是参数，可以是设备参数也可以是运行参数如负荷的有功功率或者无功功率。
混沌摆实验报告
初始状态
运动中篇二：混沌摆实验讲义
混沌摆实验
【实验目的】
⒈了解非线性系统混沌现象的形成过程；
⒉通过振荡周期的分岔与混沌现象的观察，加深对混沌现象的认识和理解⒊理解“蝴蝶效应”。
考虑一条单位长度的线段，线段上的一点用0和1之间的数x表示。逻辑斯蒂映射是x?kx(1?x)
其中k是0和4之间的常数。迭代这映射，我们得离散动力学系统
xn?1?kxn(1?xn)，n?0，1，2?
我们发现：①当k小于3时，无论初值是多少经过多次迭代,总能趋于一个稳定的不动点;②当k大于3时，随着k的增大出现分岔，迭代结果在两个不同数值之间交替出现，称之为周期2循环；k继续增大会出现4，8，16，32?周期倍化级联；③很快k在3.58左右就结束了周期倍增，迭代结果出现混沌,从而无周期可言。④在混沌状态下迭代结果对初值高度敏感，细微的初值差异会导致结果巨大区别，常把这种现象称之为“蝴蝶效应”。⑤迭代结果不会超出0～1的范围称为奇怪吸引子。
3.用两根竖直杆和一根水平杆交叉连接以增加稳定行。请见figure 3。4.安装第二个转动传感器到水平杆上。
5.系一小段绳子(几厘米)到底座的校平平螺杆上，再把第二根弹簧的一段系在这个绳子上。
6.切下一段长大约1.5m的绳子，在第二个转动传感器的中间的滑轮上绕两圈。见figure
4.将圆盘用螺丝固定在这个转动传感器上。
【实验原理】：能量最低原理指出：物体或系统的能量总是自然趋向最低状态。本实验中在低端的两根导轨间距小，锥体停在此处重心被抬高了；相反，在高端两根导轨较为分开，锥体在此处下陷，重心实际上降低了。实验现象仍然符合能量最低原理。
一类二维差分方程中的混沌现象
一类二维差分方程中的混沌现象戴华炜;程晓胜【摘要】主要研究了一个二维差分方程——宿主-寄生物模型的混沌现象,通过分岔图、Lyapunov指数图、时间序列图和相图分析了该方程由周期运动到混沌运动的变化过程,发现该二维差分方程随参数变化表现出丰富的动力学行为,其混沌现象具有遍历性、非周期运动性、初值敏感性的特征。
%This paper mainly studies chaos phenomenon of a two-dimensional differential equation,host-parasitoid model,and analyzes the change process of the equation from periodic motion to chaos motion,using bifurcation diagram,Lyapunov exponents diagram,time sequence diagram and phase diagram.It is found that two-dimensional differential equation shows a rich dynamical behavior with the change of parameters.And Chaos phenomenon has characteristics of ergodicity,aperiodic motion and initial value sensitivity.【期刊名称】《湖北师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(032)004【总页数】5页(P45-49)【关键词】差分方程;混沌;分岔图;Lyapunov指数图;时间序列图;相图【作者】戴华炜;程晓胜【作者单位】惠州学院数学系,广东惠州516007;惠州学院数学系,广东惠州516007【正文语种】中文【中图分类】O290 引言在某一些非线性差分方程中，存在着一种有趣的现象——混沌现象。
第6章 混沌与分岔
➢ 迭代也是收敛的，迭代结果总是趋向于一个稳定的不动点，这是一个非 零的1周期解，同样对应系统的稳定状态。对方程Xn+1=2Xn (1—Xn)作迭 代 ， 取 X1=0.1 则 有 X2=0.18 ， X3=0.2952 ， X4=0.416111392 ， X5=0.485924299 ， X6=0.4999604721 ， X7=0.499999687 ， X8=0.499999999······可见很快收敛于X*=0.5。又对方程Xn+1=2.5Xn (1—Xn) 作迭代，取X1=0.1也只须十几次迭代就收敛于X*=0.6了。不过与上一迭 代趋近方式有所不同，几次迭代后结果就在X*值上下产生小幅振荡，并 最终收敛于X*=0.6。
第六章
混沌与分岔
Content
1. 混沌与分岔的起源与发展 2. 混沌的概念 3. 混沌的特点 4. 混沌现象举例 5. 分岔的概念 6. 分岔现象举例 7. 混沌的研究方法 8. 分岔的研究方法 9. 混沌在现代科技领域的应用
BIT
PEMC
BIT
PEMC
混沌与分岔的起源与发展
➢ 公认的最早发现混沌的是伟大的法国数学家，物理学 家—庞加莱，他是在研究天体力学，特别是在研究三体 问题时发现混沌的。他发现三体引力相互作用能产生惊 人的复杂行为，确定性动力学方程的某些解有不可预见 性。
➢ 混沌的定性描述，“混沌是确定性非线性系统的有界的敏 感初始条件的非周期行为”。
BIT
PEMC
混沌的概念
➢ n周期点的定义：如果对于某x0 ，有f (n)(x0)=x0，但对于小于n的自然数 k，有f (k)(x0)≠ x0 ，则称x0为f 的一个n周期点。
➢ n周期轨道的定义：当x0为f 的一个n周期点时，称{x0, f (1)(x0), f (2)(x0),…, f (n-1)(x0)}为f 的n周期轨道。
混沌信号实验报告模板
一、实验目的1. 理解混沌现象的基本概念及其在信号处理中的应用。
2. 掌握混沌信号的生成方法。
3. 学习利用混沌信号进行信息加密和解密。
4. 分析混沌信号的特性，包括分岔、李雅普诺夫指数等。
二、实验原理1. 混沌现象概述：混沌是确定性系统中出现的一种复杂动态行为，其特点是系统演化过程中的长期行为对初始条件的敏感依赖性。
2. 混沌信号生成：常用的混沌信号生成方法包括Logistic映射、Chua电路等。
3. 混沌信号加密和解密：利用混沌信号的非线性特性，可以实现信息的加密和解密。
三、实验仪器与材料1. 实验计算机2. 信号发生器3. 示波器4. 混沌信号发生器（可选）5. 相关软件（如MATLAB、Python等）四、实验步骤1. 混沌信号生成：- 利用Logistic映射生成混沌信号，公式如下：\[ x_{n+1} = r \cdot x_n \cdot (1 - x_n) \]- 通过改变参数r，观察混沌现象的出现。
- 记录混沌信号的时域波形和频谱。
2. 混沌信号加密：- 选择一个密钥序列，利用混沌信号的非线性特性进行加密。
- 将待加密信号与混沌信号进行叠加，得到加密信号。
3. 混沌信号解密：- 使用相同的密钥序列，对加密信号进行解密。
- 将解密信号与混沌信号进行叠加，得到原始信号。
4. 分析混沌信号特性：- 计算混沌信号的李雅普诺夫指数，判断混沌现象的强度。
- 分析混沌信号的分岔行为，观察混沌现象的出现过程。
五、实验结果与分析1. 混沌信号时域波形：展示生成的混沌信号时域波形，分析其特性。
2. 混沌信号频谱：展示混沌信号的频谱，分析其频率成分。
3. 混沌信号加密和解密：展示加密和解密过程，分析加密效果和解密质量。
4. 混沌信号特性分析：展示李雅普诺夫指数和分岔图，分析混沌现象的强度和出现过程。
六、实验结论1. 阐述混沌信号的基本概念和特性。
2. 总结混沌信号在信号处理中的应用，如加密和解密。
基于matlab的四种映射生成的混沌序列
相关性分析 Rx=xcorr(x,'biased'); Ry=xcorr(y,'biased'); Rz=xcorr(z,'biased'); Rp=xcorr(p,'biased'); %求互相关函数 Rxy=xcorr(x,y,'biased'); %chebyshev 与 logistic 的互相关 Rxp=xcorr(x,p,'biased'); %chebyshev 与 tent 的互相关 Rxz=xcorr(x,z,'biased'); %chebyshev 与改进型 logistic 序列的互相关 Ryz=xcorr(y,z,'biased'); %logistic 序列与改进型 logistic 序列的互相关
clear;clc; n=128; %序列长度 w=20; %chebyshev 的分形参数 u=4; %logistic 的分形参数 a=2; %改进型 logistic 的分形参数 b=0.3; %Tent 的分形参数 x(1)=0.32; %初值 y(1)=0.32; z(1)=0.32; p(1)=0.32; %以上所给的初值和分形参数满足各自的混沌条件 for i=1:n x(i+1)=cos(w*acos(x(i)));%chebyshev 的映射关系 end for i=1:n %对序列进行 2 值量化 if x(i)>=0 x(i)=1; else x(i)=-1; end end for i=1:n y(i+1)=u*y(i)*(1-y(i));%logistic 的映射关系 end for i=1:n if y(i)>=0.5 y(i)=1; else y(i)=-1; end end for i=1:n z(i+1)=1-a*z(i)^2;%改进型 logistic 的映射关系 end for i=1:n if z(i)>=0 z(i)=1; else z(i)=-1; end end for i=1:n if (p(i)>0 & p(i)<b) %不能写成 0<x(i)<b p(i+1)=p(i)/b; else p(i+1)=(1-p(i))/(1-b);
-非线性电路混沌现象的探究以及基于Multisim的仿真设计
-非线性电路混沌现象的探究以及基于Multisim的仿真设计D非线性电路混沌现象的探究以及基于Multisim的仿真设计一、引言混沌是二十世纪最重要的科学发现之一，被誉为继相对论和量子力学之后的第三次物理革命，它打破了确定性与随机性之间不可逾越的分界线，将经典力学研究推进到一个崭新的时代。
由于混沌信号是一种貌似随机而实际却是由确定信号系统产生的信号，使得混沌在许多领域（如保密通信，自动控制，传感技术等）得到了广泛的应用[1]。
20多年来混沌一直是举世瞩目的前沿课题和研究热点，它揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性、有序性和无序的统一，大大拓宽了人们的视野，加深了人们对客观世界的认识。
目前混沌控制与同步的研究成果已被用来解决秘密通信、改善和提高激光器性能以及控制人类心律不齐等问题。
混沌(chaos)作为一个科学概念，是指一个确定性系统中出现的类似随机的过程。
理论和实践都证明，即使是最简单的非线性系统也能产生十分复杂的行为特性，可以概括一大类非线性系统的演化特征。
混沌现象出现在非线性电路中是极为普遍的现象，通过改变电路中的参数可以观察到倍周期分岔、阵法混乱和奇异吸引子等现象。
二、混沌电路简介对电路系统来说，在有些二阶非线性非自治电路或三阶非线性自治电路中，出现电路的解既不是周期性的也不是拟周期的，但在状态平面上其相轨迹始终不会重复，但是有界的，而且电路对初始条件十分敏感，这便是非线性电路中的混沌现象。
根据Li-York定义，一个混沌系统应具有三种性质：（1）存在所有阶的周期轨道；（2）存在一个不可数集合，此集合只含有混沌轨道，且任意两个轨道既不趋向远离也不趋向接近，而是两种状态交替出现，同时任一轨道不趋于任一周期轨道，即此集合不存在渐近周期轨道；（3）混沌轨道具有高度的不稳定性。
可见，周期轨道与混沌运动有密切关系，表现在两个方面：第一，在参数空间中考察定常的运动状态，系统往往要在参量变化过程中先经历一系列周期制度，然后进入混沌状态；第二，一个混沌吸引子里面包含着无穷多条不稳定的周期轨道，一条混沌轨道中有许许多多或长或短的片段，它们十分靠近这条或那条不稳定的周期轨道。
非线性方程求解实验报告
数学实验报告非线性方程求解一、实验目的1.掌握用 MATLAB 软件求解非线性方程和方程组的基本用法，并对结果作初步分析；2.练习用非线性方程和方程组建立实际问题的模型并进行求解。
二、实验内容题目1【问题描述】(Q1)小张夫妇以按揭方式贷款买了1套价值20万元的房子，首付了5万元，每月还款1000元，15年还清。
问贷款利率是多少？(Q2)某人欲贷款50 万元购房，他咨询了两家银行，第一家银行开出的条件是每月还4500元，15 年还清；第二家银行开出的条件是每年还45000 元，20 年还清。
从利率方面看，哪家银行较优惠（简单假设：年利率=月利率×12）？【分析与解】假设初始贷款金额为x0，贷款利率为p，每月还款金额为x，第i个月还完当月贷款后所欠银行的金额为x i，(i=1,2,3,......,n)。
由题意可知：x1=x0(1+p)−xx2=x0(1+p)2−x(1+p)−xx3=x0(1+p)3−x(1+p)2−x(1+p)−x……x n=x0(1+p)n−x(1+p)n−1−⋯−x(1+p)−x=x0(1+p)n−x (1+p)n−1p=0因而有：x0(1+p)n=x (1+p)n−1p (1)则可以根据上述方程描述的函数关系求解相应的变量。
(Q1)根据公式(1)，可以得到以下方程：150p(1+p)180−(1+p)180+1=0设 f(p)=150p(1+p)180−(1+p)180+1，通过计算机程序绘制f(p)的图像以判断解p的大致区间，在Matlab中编程如下：for i = 1:25t = 0.0001*i;p(i) = t;f(i) = 150*t*(1+t).^180-(1+t).^180+1;end;plot(p,f),hold on,grid on;运行以上代码得到如下图像：f(p)~p关系曲线图通过观察上图可知p∈[0.002,0.0022]。
Solution1：对于p∈[0.002,0.0022]，采用二分法求解，在Matlab 中编程如下：clear;clc;x0=150000;n=180;x=1000;p0=0.002;p1=0.0022;while (abs(p1-p0)>1e-8)f0=x0*(1+p0).^n+x*(1-(1+p0).^n)/p0;f1=x0*(1+p1).^n+x*(1-(1+p1).^n)/p1;p2=(p0+p1)/2;f2=x0*(1+p2).^n+x*(1-(1+p2).^n)/p2;if (f0*f2>0 && f1*f2<0)p0=p2;elsep1=p2;end;end;p0结果得到p0=0.00208116455078125=0.2081%.所以贷款利率是0.2081%。
非线性电路中的混沌现象实验报告
非线性电路中的混沌现象学号：37073112 姓名：蔡正阳 日期：2009年3月24日五：数据处理：1．计算电感L本实验采用相位测量。
根据RLC 谐振规律，当输入激励的频率LCf π21=时，RLC 串联电路将达到谐振，L 和C 的电压反相，在示波器上显示的是一条过二四象限的45度斜线。
测量得：f=32.8kHz ；实验仪器标示：C=1.095nF 由此可得：mH C f L 50.21)108.32(10095.114.34141239222=⨯⨯⨯⨯⨯==-π估算不确定度： 估计u(C)=0.005nF ，u(f)=0.1kHz 则：32222106.7)()(4)(-⨯=+=CC u f f u L L u 即mH L u 16.0)(=最终结果：mH L u L )2.05.21()(±=+2．用一元线性回归方法对有源非线性负阻元件的测量数据进行处理： （1）原始数据：（2）数据处理：根据RU I R R=可以得出流过电阻箱的电流，由回路KCL 方程和KVL 方程可知：RR R R U U I I =-=11由此可得对应的1R I 值。
对非线性负阻R1，将实验测得的每个（I ，U ）实验点均标注在坐标平面上，可得：图中可以发现，（0.0046336，-9.8）和（0.0013899，-1.8）两个实验点是折线的拐点。
故我们在V U 8.912≤≤-、8V .1U 9.8-≤<-、0V U 1.8≤<-这三个区间分别使用线性回归的方法来求相应的I-U 曲线。
使用Excel 的Linest 函数可以求出这三段的线性回归方程：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+-≤≤= 0U 1.72- 0.00079U - -1.72U 9.78- 30.000651950.00041U - 9.78U 12-20.02453093-0.002032U I经计算可得，三段线性回归的相关系数均非常接近1（r=0.99997），证明在区间内I-V 线性符合得较好。
基于MATLAB的DC_DC变换电路实验教学探讨_龚立娇
总第213期 DOI编码： 10.3969/j.issn.1007-0079.2011.26.064实践教学基于MATLAB的DC-DC变换电路实验教学探讨龚立娇 岑红蕾 李宏伟摘要： 波形分析法是电力电子技术分析电路工作原理的传统的常用方法， 在教学中引入MATLAB软件， 利用Simulink可以对各类变换电路 进行建模和仿真， 以方便地观测电路波形并观察电路参数变化对电路波形的影响， 从而研究电路工作特性。
针对DC-DC变换器中的Buck变换 器， 建立了其基本电路和电压控制模式下的闭环状态的仿真模型， 进行了仿真实验教学内容的设计， 进行了仿真并给出了部分仿真结果。
结果表 明， 给出的仿真模型可以满足研究Buck电路工作特性的要求， 实验设计有助于培养学生自主研究性学习能力。
关键词： DC-DC变换器； MATLAB： 仿真； 实验教学 作者简介： 龚立娇（1978-） ， 女， 新疆昌吉人， 石河子大学机械电气工程学院， 讲师， 石河子大学 “263” 人才培养计划青年骨干教师； 岑红蕾 （1975-） ， 女， 新疆奎屯人， 石河子大学机械电气工程学院， 副教授。
（新疆 石河子 832003） 基金项目： 本文系石河子大学 “263” 青年骨干教师资助项目(项目编号： JD08003)的研究成果。
中图分类号： G642.423 文献标识码： A 文章编号： 1007-0079（2011）26-0127-02电力电子技术是一门新兴技术， 它是由电力学、 电子学和控制 理论三个学科交叉而成的， 已成为现代电气工程及其自动化专业 不可缺少的一门专业基础课。
电力电子技术所涉及的科学技术近 一二十年来的发展十分迅速， 已渗透到国民经济各部门， 应用范围 十分广泛， 已成为电气工程学科中最为活跃的一个分支。
实验有利 于学生掌握理论知识、 培养学生的实践动手能力并启发学生的创[1] 新意识和创新思维。