河南省郑州市八校联考2016-2017学年高二下学期期中数学试卷(文科)Word版含解析
2016-2017学年河南省郑州市八校联考高二（下）期中数学试卷（文科） 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．i是虚数单位，复数等于（ ） A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i 2．两个分类变量X与Y有关系的可能性越大，随机变量K2的值（ ） A．越大 B．越小 C．不变 D．可能越大也可能越小 3．如a+b＞a+b，则a，b必须满足的条件是（ ） A．a＞b＞0 B．a＜b＜0 C．a＞b D．a≥0，b≥0，且a≠b 4．“实数a、b、c不全为0“含义是（ ） A．a、b、c均不为0 B．a、b、c中至少有一个为0 C．a、b、c中至多有一个为0 D．a、b、c中至少有一个不为0 5．根据如下样本数据： x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 ﹣0.5 0.5 ﹣2.0 ﹣3.0 得到了回归方程=x+，则（ ） A．＞0，＜0 B．＞0，＞0 C．＜0，＞0 D．＜0，＜0 6．复数z=1+2i（i为虚数单位），为z的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A．的实部为﹣1 B．的虚部为﹣2i C．z•=5 D． =i 7．以下是解决数学问题的思维过程的流程图，则（ ）
A．①综合法②分析法 B．①分析法②综合法 C．①综合法②反证法 D．①分析法②反证法 8．观察下面的演绎推理过程，判断正确的是（ ） 大前提：若直线a⊥直线 l，且直线b⊥直线 l，则a∥b． 小前提：正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1⊥AA1．且AD⊥AA1 结论：A1B1∥AD． A．推理正确 B．大前提出错导致推理错误 C．小前提出错导致推理错误 D．仅结论错误
9．椭圆+=1上点到直线x+2y﹣10=0的距离最小值为（ ） A． B． C． D．0 10．设z是复数，则下列命题中的假命题是（ ） A．若z2≥0，则z是实数 B．若z2＜0，则z是虚数 C．若z是虚数，则z2≥0 D．若z是纯虚数，则z2＜0 11．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横，纵坐标分别对应数列{an}（n∈N*）的前12项（即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项），按如此规律下去，则a2013+a2014+a2015等于（ ）
A．1005 B．1006 C．1007 D．2015 12．在Rt△ABC中，CA⊥CB，斜边AB上的高为h1，则=+；类比此性质，如图，在四面体P﹣ABC中，若PA，PB，PC两两相垂直，底面ABC上的高为h，则得到的正确结论为（ ）
A． =++ B． =++ C． =++ D． =++ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．执行如图的程序框图，如果输入x，y∈R，那么输出的S的最大值为 ．
14．设z∈C，且|z+1|﹣|z﹣i|=0，则|z+i|的最小值为 ． 15．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为 ．
16．给出下列不等式： ①a，b∈R，且a2+=1，则ab≤1； ②a，b∈R，且ab＜0，则≤﹣2； ③a＞b＞0，m＞0，则＞； ④|x+|≥4（x≠0）． 其中正确不等式的序号为 ．
三、解答题（共6小题，满分70分） 17．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为（，），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=a，且点A在直线l上， （1）求a的值及直线l的直角坐标方程； （2）圆C的参数方程为（α为参数），试判断直线l与圆C的位置关系． 18．（12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料： 日期 12月1日 12月2日 12月3日 12月4日 12月5日 温差x（℃） 10 11 13 12 8 发芽y（颗） 23 25 30 26 16 该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取3组数据求线性回归方程，剩下的2组数据用于回归方程检验． （1）若选取的是12月1日与12月5日的2组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程； （2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？ （3）请预测温差为14℃的发芽数． 其中
==， =﹣． 19．（12分）设z是虚数，，且﹣1＜ω＜2． （1）求|z|的值及z的实部的取值范围； （2）设，求证：u为纯虚数． 20．（12分）某市调研考试后，某校对甲乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于优秀 非优秀 合计 120分为优秀，120分以下为非优秀，统计成绩后，得到如下的列联表，且已知甲、乙两个班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为
甲 10 乙 30 合计 110 （1）请完成上面的列联表； （2）根据列联表的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”； （3）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名同学从2到10进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求9号或10号概率． （参考公式：K2=其中n=a+b+c+d） 独立性检验临界值 P（K2≥k0） 0.10 0.050 0.025 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 21．（12分）如图，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F， 求证：（1）BC⊥面SAB； （2）AF⊥SC． 22．（12分）已知在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），在极坐标系（以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为ρsin2θ=2pcosθ（p＞0），曲线C1、C2交于A、B两点． （Ⅰ）若p=2且定点P（0，﹣4），求|PA|+|PB|的值； （Ⅱ）若|PA|，|AB|，|PB|成等比数列，求p的值． 2016-2017学年河南省郑州市八校联考高二（下）期中数学试卷（文科） 参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．i是虚数单位，复数等于（ ） A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i 【考点】A5：复数代数形式的乘除运算． 【分析】根据两个复数代数形式的乘除法法则，以及虚数单位i的幂运算性质，把要求的式子化简求得结果． 【解答】解：复数===i﹣i2=1+i， 故选D． 【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．
2．两个分类变量X与Y有关系的可能性越大，随机变量K2的值（ ） A．越大 B．越小 C．不变 D．可能越大也可能越小 【考点】BN：独立性检验的基本思想． 【分析】根据题意，由分类变量的随机变量K2的意义，分析可得答案． 【解答】解：两个分类变量X与Y有关系的可能性越大，随机变量K2的值越大， 故选：A． 【点评】本题主要考查两个分类变量相关系数的性质与应用问题，关键理解随机变量K2的意义．
3．如a+b＞a+b，则a，b必须满足的条件是（ ） A．a＞b＞0 B．a＜b＜0 C．a＞b D．a≥0，b≥0，且a≠b 【考点】72：不等式比较大小． 【分析】通过作差、利用根式的意义即可得出． 【解答】解：a+b﹣（a+b）=（a﹣b）=， 又a+b＞a+b， 则a，b必须满足的条件是a，b≥0，a≠b． 故选：D． 【点评】本题考查了作差法、根式的意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．“实数a、b、c不全为0“含义是（ ） A．a、b、c均不为0 B．a、b、c中至少有一个为0 C．a、b、c中至多有一个为0 D．a、b、c中至少有一个不为0 【考点】21：四种命题． 【分析】根据“实数a、b、c不全为0“含义，选出正确的答案即可． 【解答】解：“实数a、b、c不全为0”的含义是 “实数a、b、c中至少有一个不为0”． 故选：D． 【点评】本题考查了存在量词的应用问题，是基础题．
5．根据如下样本数据： x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 ﹣0.5 0.5 ﹣2.0 ﹣3.0 得到了回归方程=x+，则（ ） A．＞0，＜0 B．＞0，＞0 C．＜0，＞0 D．＜0，＜0 【考点】BK：线性回归方程． 【分析】利用公式求出b，a，即可得出结论． 【解答】解：样本平均数=5.5， =0.25，
∴=﹣24.5， =17.5，∴b=﹣=﹣1.4， ∴a=0.25﹣（﹣1.4）•5.5=7.95， 故选：A． 【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题．
6．复数z=1+2i（i为虚数单位），为z的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A．的实部为﹣1 B．的虚部为﹣2i C．z•=5 D． =i 【考点】A2：复数的基本概念． 【分析】计算=5，即可得出． 【解答】解： =（1+2i）（1﹣2i）=12+22=5， 故选：C． 【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7．以下是解决数学问题的思维过程的流程图，则（ ）
A．①综合法②分析法 B．①分析法②综合法 C．①综合法②反证法 D．①分析法②反证法 【考点】EH：绘制简单实际问题的流程图． 【分析】根据综合法和分析法的定义，可知由已知到可知进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，进而得到答案． 【解答】解：根据已知可得该结构图为证明方法的结构图： 由已知到可知，进而得到结论的应为综合法， 由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法， 故①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法为：①﹣综合法，②﹣分析法， 故选：A 【点评】本题以结构图为载体，考查了证明方法的定义，正确理解综合法和分析法的定义，
2016-2017学年河南省洛阳市高二下学期期中考试数学(文)试题(解析版)
2016-2017学年河南省洛阳市高二下学期期中考试数学（文）试题一、选择题1．复数()1i i -的共轭复数对应的点在复平面内位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D【解析】()i 1i 1i -=+，其共轭复数为1i -，在第四象限.点睛：本题主要考查复数的概念及运算，考查复数与复平面点一一对应关系. 在复数的四则运算上,经常由于疏忽而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四则运算中,只对加法和乘法法则给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项;复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化;用类比的思想学习复数中的运算问题.2．宋代理学家程颐认为：“格犹穷也，物犹理也，犹曰穷其理而已也。
”就是说，格就是深刻探究，穷尽，物就是万物的本原，关于“格物致知”的做法，就是“今日格一件，明日又格一件，积习既多，然后脱然自有贯通处。
”上述推理用的是（ ） A. 类比推理 B. 演绎推理 C. 归纳推理 D. 以上都不对 【答案】C【解析】今天研究一件，明天又研究一件，将事物的规律一个一个找出来，归纳推理出“贯通处”.故为归纳推理.3．若复数z 满足方程132z i +-=，则z 在复平面上表示的图形是（ ） A. 椭圆 B. 圆 C. 抛物线 D. 双曲线 【答案】B【解析】原方程可化为()132z i --+=，其几何意义表示z 的坐标和()1,3-之间的距离为2，满足圆的定义，故表示的图形是圆. 4．下列关于结构图的说法不正确的是（ ）A. 结构图中各要素之间通常表示概念上的从属关系和逻辑上的先后关系B. 结构图都是“树”形结构C. 简洁的结构图能更好的反映主体要素之间的关系和系统的整体特点D. 复杂的结构图能更详细的反映系统中各细节要素及其关系 【答案】B【解析】流程图不是树形结构，故B 选项错误.5．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程()200ax bx x a ++=≠有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ ） A. 假设a ， b ， c 都是偶数 B. 假设a ， b ， c 都不是偶数C. 假设a ， b ， c 至少有一个是偶数D. 假设a ， b ， c 至多有两个是偶数【答案】B【解析】“至少有一个”的否定是“都不是”，故选B .6．为了判定两个分类变量X 和Y 是否有关系，应用2K 独立性检验法算得2K 的观测值为6（所用数据可参考卷首公式列表），则下列说法正确的是（ ）A. 在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“X 和Y 有关系”B. 在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“X 和Y 没有关系”C. 在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“X 和Y 有关系”D. 在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“X 和Y 没有关系” 【答案】A【解析】由于6 5.024>，故在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“X 和Y 有关系”.7．有一段“三段论”，推理是这样的：函数()f x 在定义域内可以求导函数，如果()0'0f x =，那么0x x =是函数()f x 的极值点，因为()3f x x =在0x =处满足()'00f =，所以0x =是函数()3f x x =的极值点，以上推理中（ ）A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 结论正确 【答案】A【解析】大前提错误，因为导数等于零的点不一定是极值点，还需要左右两边单调性相反.由散点图可知，身高y 与年龄x 之间的线性回归方程为8.8ˆˆyx a =+，预测该孩子10岁时的身高为（ ）A. 154B. 153C. 152D. 151 【答案】B【解析】回归直线方程过样本中心点，样本中心点为()(),7.5,131x y =，代入回归直线方程得1318.87.5a =⨯+，解得65a =，令10x =，有8.81065153⨯+=，故预测值为153cm .9．实数a = b = 2c =，则a ， b ， c 的大小关系是（ ） A. a b c >> B. a c b >> C. c b a >> D. c a b >> 【答案】D【解析】由于2>，所以72-，即b c <.由于221111a c =-=-，所以a c <. a b -=，(22241212==+=+所以0,a b a b ->>，综上所述有c a b >>.点睛：本题主要考查利用综合法、差比较法比较两个实数的大小.首先注意到,b c 两个实数都含有2>，即可得到,b c 两数的大小关系.对于,a c 两个实数，平方后发现这两个数都有相同的部分11，由此即可比较,a c 两个数的大小.对于,a b ，利用差比较法可比较两数的大小.10．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n =（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5 【答案】C【解析】开始，输入1,1,0,1a A S n ====，则2S =，判断210≥，否，循环， 12,,22n a A ===， 则92S =，判断9102≥，否，循环， 13,,4,4n a A ===则354S =，判断35104≥，否，循环， 14,,8,8n a A === 则1358S =，判断135108≥，是，输出4n =，结束.故选择C. 11．研究变量x ， y 得到一组样本数据，进行回归分析，有以下结论：①残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；②用相关指数2R 来刻画回归效果， 2R 越小说明拟合效果越好；③由样本数据得到的回归方程ˆˆˆybx a =+一定过样本点的中心(),x y ； ④若变量y 和x 之间的相关系数为0.9462r =-，则变量y 和x 之间的负相关很强，以上正确说法的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C【解析】①残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，正确；②错误，越接近1越好. ③由样本数据得到的回归方程ˆˆˆy bx a =+一定过样本点的中心(),x y 正确；④若变量y 和x 之间的相关系数0.9462r =非常接近1，说明负相关性很强，正确.综上所述有3个说法正确.12．对于定义在D 上的函数()f x ，若存在距离为d 的两条直线1y kx m =+和2y kx m =+，使得对任意x D ∈都有()12kx m f x kx m +≤≤+恒成立，则称函数()()f x x D ∈有一个宽度为d 的通道，给出下列函数：①()1f x x =；②()ln x f x x=；③()sin f x x =；④()f x =其中在区间[)1,+∞上通道宽度可以为1的函数的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C【解析】依题意可知符合题意的函数图像，在区间D 上被两条距离为1的平行线“包夹”.对于①，由于函数在区间[)1,+∞上为减函数， ()11f =，且()0f x >，故函数图像被“包夹”在直线0,1y y ==之间，符合题意.对于②()21ln xf x x -'=，故函数在()1,e 为增函数，在(),e +∞上为减函数，故在[)1,+∞上取得最大值为()1f e e =，且在区间[)1,+∞上函数值()0f x ≥，故函数图像被“包夹”在直线0,1y y ==之间，符合题意.对于③，根据正弦函数的图像、周期性和值域为[]1,1-跨度为2，可知，在区间()1,+∞上，不存在符合题意的通道.对于④，两边平方并化简得()2211x y x -=≥，函数图像是是双曲线一支，双曲线的渐近线为y x =，故图像被“包夹”在两平行直线,y x y x ==1，故符合题意，综上所述，有3个函数符合.点睛：本题主要考查函数图像相遇性质，考查数形结合的数学思想方法，考查对新定义情景的理解.通过阅读理解题目所给定的新定义，将通道问题转化为图像被两平行线“包夹”来解决.接下来通过画出四个函数的图像，其中第一个和第三个是基本初等函数，可直接画出图像，第二个利用导数画出图像，第四个是平方后化为双曲线方程来画图象.二、填空题13．复数z 满足()21i z i -=-，那么z =__________． 【答案】3122i - 【解析】()()()()2i 1i 2i 3i1i 1i 1i 2z -+-+===--+，故3i 22z =-. 14．甲、乙、丙三人参加驾照科目二的考试，只有一人通过，当他们被问到谁通过考试时，回答如下：甲说：丙没有通过；乙说：我通过了；丙说：甲说的是真话.事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么通过考试的是__________． 【答案】甲【解析】假设甲说假话，则丙通过了，不符合乙说的，故假设不成立.假设乙说假话，则乙没通过，丙没通过，甲通过了，成立.假设丙说的是假话，则甲说的是假话，假设不成立。
河南省郑州市2016-2017学年高二数学下学期期末试卷 理(含解析)
河南省郑州市2016-2017学年高二下学期期末数学试卷（理科）一、选择题1．（5分）已知i是虚数单位，则复数z=在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）设X～N（500，602），P（X≤440）=0.16，则P（X≥560）=（）A．0.16 B．0.32 C．0.84 D．0.643．（5分）用反证法证明命题“自然数a，b，c，中恰有一个偶数”时，需假设（）A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c都是奇数或至少有两个偶数D．a，b，c至少有两个偶数4．（5分）如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）=（）A．B． 1 C． 2 D．05．（5分）某餐厅的原料费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为=8.5x+7.5，则表中的m的值为（）x 2 4 5 6 8y 25 35 m 55 75A．50 B．55 C．60 D．656．（5分）若函数f（x）=，则f′（x）是（）A．仅有最小值的奇函数B．仅有最大值的偶函数C．既有最大值又有最小值的偶函数D．非奇非偶函数7．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B． 4 C． D． 68．（5分）函数f（x）=x3﹣3x+1在闭区间[﹣3，0]上的最大值、最小值分别是（）A．1，﹣1 B．1，﹣17 C．3，﹣17 D．9，﹣199．（5分）某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（）A．14 B．24 C．28 D．4810．（5分）设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A．B．C．D．11．（5分）口袋里放有大小相同的2个红球和1个白球，有放回的每次摸取一个球，定义数列{an }：，如果Sn为数列{an}的前n项之和，那么S7=3的概率为（）A．B．C．D．12．（5分）若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数是（）A．3B． 4 C． 5 D． 6二、填空题13．（5分）的展开式中x3的系数是．14．（5分）设ξ是一个离散型随机变量，其概率分布列如下：ξ﹣1 0 1P 0.5 q2则q=．15．（5分）设A、B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为，则事件A发生的概率为．（i=1，2，3，4），P 16．（5分）设面积为S的平面四边形的第i条边的边长为ai是该四边形内一点，点P到第i条边的距离记为，类比上述结论，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为S（i=1，2，3，4），Q是该三棱锥内的一点，点Q到第i，若等于．i个面的距离记为di三、解答题17．（10分）设复数z=，若z2+az+b=1+i，求实数a，b的值．18．（12分）已知（n∈N*）的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10：1．（1）求展开式中各项系数的和；（2）求展开式中含的项．19．（12分）某市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如下：API [0，50] （50，100] （100，150] （150，200]（200，250] （250，300] ＞300空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数 4 13 18 30 9 11 15记某企业每天由于空气污染造成的经济损失为S（单位：元），空气质量指数API 为ω，在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当API为150时造成的经济损失为500元，当API为200时，造成的经济损失为700元）；当API大于300时造成的经济损失为2000元．（1）试写出S（ω）表达式；（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于500元且不超过900元的概率；（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？P（K2≥k）0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005c0.001K1.3232.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828cK2=非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季合计10020．（12分）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（Ⅰ）求在1次游戏中获奖的概率；（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E（X）．21．（12分）当n∈N*时，，Tn=+++…+．（Ⅰ）求S1，S2，T1，T2；（Ⅱ）猜想Sn 与Tn的关系，并用数学归纳法证明．22．（12分）已知函数f（x）=lnx+x2．（Ⅰ）求h（x）=f（x）﹣3x的极值；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设F（x）=2f（x）﹣3x2﹣k，k∈R，若函数F（x）存在两个零点m，n（0＜m＜n），且满足2x0=m+n，问：函数F（x）在（x，F（x））处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由．河南省郑州市2016-2017学年高二下学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）已知i是虚数单位，则复数z=在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则及其几何意义即可得出．解答：解：复数z====在复平面内对应的点所在的象限为第四象限．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题．2．（5分）设X～N（500，602），P（X≤440）=0.16，则P（X≥560）=（）A．0.16 B．0.32 C．0.84 D．0.64考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．分析：利用正态分布的对称性即可得出．解答：解：∵μ=500，σ2=602，即σ=60．根据正态分布的对称性P（X≥μ﹣3σ）=P（X≤μ﹣3σ）=0.16．故选A．点评：正确理解正态分布的对称性是解题的关键．3．（ 5分）用反证法证明命题“自然数a，b，c，中恰有一个偶数”时，需假设（）A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c都是奇数或至少有两个偶数D．a，b，c至少有两个偶数考点：反证法．专题：推理和证明．分析：直接利用反证法的定义，写出结果即可．解答：解：用反证法证明命题“自然数a，b，c，中恰有一个偶数”时，需假设：a，b，c都是奇数或至少有两个偶数．故选：C．点评：本题考查反证法的定义，利用反证法证明命题的步骤，基本知识的考查．4．（5分）如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）=（）A．B． 1 C． 2 D．0考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：利用函数在切点处的导数值是切线的斜率求出f′（5），将切点坐标代入切线方程求出f（5）．解答：解：f′（5）=﹣1将x=5代入切线方程得f（5）=﹣5+8=3，所以f（5）+f′（5）=3+（﹣1）=2，故选：C点评：本题考查导数的几何意义：函数在切点处的导数值是切线的斜率．5．（5分）某餐厅的原料费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为=8.5x+7.5，则表中的m的值为（）x 2 4 5 6 8y 25 35 m 55 75A．50 B．55 C．60 D．65考点：线性回归方程．专题：应用题；概率与统计．分析：计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，列出方程，求解即可得到结论．解答：解：由题意，==5，==38+，∵y关于x的线性回归方程为=8.5x+7.5，根据线性回归方程必过样本的中心，∴38+=8.5×5+7.5，∴m=60．故选：C．点评：本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，这是线性回归方程中最常考的知识点．属于基础题．6．（5分）若函数f（x）=，则f′（x）是（）A．仅有最小值的奇函数B．仅有最大值的偶函数C．既有最大值又有最小值的偶函数D．非奇非偶函数考点：简单复合函数的导数．专题：导数的概念及应用．分析：先求导，转化为二次函数型的函数并利用三角函数的单调性求其最值，再利用函数的奇偶性的定义进行判断其奇偶性即可．解答：解：∵函数f（x）=，∴f′（x）=cos2x+cosx=2cos2x+cosx﹣1=，当cosx=时，f′（x）取得最小值；当cosx=1时，f′（x）取得最大值2．且f′（﹣x）=f′（x）．即f′（x）是既有最大值，又有最小值的偶函数．故选C．点评：熟练掌握复合函数的导数、二次函数型的函数的最值、三角函数的单调性及函数的奇偶性是解题的关键．7．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B． 4 C． D． 6考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．解答：解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S=．故选C．点评：本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．8．（5分）函数f（x）=x3﹣3x+1在闭区间[﹣3，0]上的最大值、最小值分别是（）A．1，﹣1 B．1，﹣17 C．3，﹣17 D．9，﹣19考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题．分析：求导，用导研究函数f（x）=x3﹣3x+1在闭区间[﹣3，0]上的单调性，利用单调性求函数的最值．解答：解：f′（x）=3x2﹣3=0，x=±1，故函数f（x）=x3﹣3x+1[﹣3，﹣1]上是增函数，在[﹣1，0]上是减函数又f（﹣3）=﹣17，f（0）=1，f（1）=﹣1，f（﹣1）=3．故最大值、最小值分别为3，﹣17；故选C．点评：本题考点是导数法求函数最值．此类解法的步骤是求导，确定极值点，研究单调性，求出极值与区间端点的函数值，再比较各数的大小，选出最大值与最小值．9．（5分）某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（）A．14 B．24 C．28 D．48考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题；转化思想．分析：法一：用直接法，4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，计算各种情况下的选派方案种数，由加法原理，计算可得答案；法二：用排除法，首先计算从4男2女中选4人的选派方案种数，再计算4名都是男生的选派方案种数，由排除法，计算可得答案．解答：解：法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，故不同的选派方案种数为C12•C34+C22•C24=2×4+1×6=14；法二：从4男2女中选4人共有C46种选法，4名都是男生的选法有C44种，故至少有1名女生的选派方案种数为C46﹣C44=15﹣1=14．故选A．点评：本题考查简单的排列组合，建议如果分类讨论太复杂的题目最好用间接法即排除法，以避免直接的分类不全情况出现．10．（5分）设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A．B．C．D．考点：利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义．专题：压轴题．分析：本题可以考虑排除法，容易看出选项D不正确，因为D的图象，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数．解答：解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D．点评：考查函数的单调性问题．11．（5分）口袋里放有大小相同的2个红球和1个白球，有放回的每次摸取一个球，定义数列{an }：，如果Sn为数列{an}的前n项之和，那么S7=3的概率为（）A．B．C．D．考点：等可能事件的概率．专题：常规题型；概率与统计．分析： S7=3说明共摸球七次，只有两次摸到红球，由于每次摸球的结果数之间没有影响，故可以用独立事件的概率乘法公式求解．解答：解：由题意S7=3说明共摸球七次，只有两次摸到红球，因为每次摸球的结果数之间没有影响，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是所以只有两次摸到红球的概率是=故选B点评：本题考查独立事件的概率乘法公式，考查学生分析解决问题的能力，确定S7=3说明共摸球七次，只有两次摸到红球是关键．12．（5分）若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数是（）A．3B． 4 C． 5 D． 6考点：函数在某点取得极值的条件；根的存在性及根的个数判断．专题：综合题；压轴题；导数的综合应用．分析：求导数f′（x），由题意知x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，从而关于f（x）的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0有两个根，作出草图，由图象可得答案．解答：解：f′（x）=3x2+2ax+b，x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，不妨设x2＞x1，由3（f（x））2+2af（x）+b=0，则有两个f（x）使等式成立，x1=f（x1），x2＞x1=f（x1），如下示意图象：如图有三个交点，故选A．点评：考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解，考查数形结合思想．二、填空题13．（5分）的展开式中x3的系数是24．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：求出的通项公式为 Tr+1=，令，求出r的值，即可求得x3的系数．解答：解：由于的展开式的通项公式为Tr+1==，令，解得 r=2，故 T4=24 x3，故展开式中x3的系数是24，故答案为：24．点评：本题考查二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，求出通项公式为=，是解题的关键，属于中档题．Tr+114．（5分）设ξ是一个离散型随机变量，其概率分布列如下：ξ﹣1 0 1P 0.5 q2则q=．考点：离散型随机变量及其分布列．专题：计算题；阅读型．分析：根据随机变量的概率非负不大于1，且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1，列出方程和不等式，解方程组即可．解答：解：因为随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1，0.5+1﹣q+q2=1 ①0≤1﹣q≤1 ②q2≤1③∴解一元二次方程得q=或1，而1代入②③不合题意，舍去，故答案为：．点评：本题主要考查了分布列的简单应用，通过解方程组得到要求的变量，这与求变量的分布列是一个相反的过程，但是两者都要用到分布列的性质，属于中档题．15．（5分）设A、B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为，在事件A 发生的条件下，事件B发生的概率为，则事件A发生的概率为．考点：条件概率与独立事件．专题：计算题；概率与统计．分析：根据题意，结合条件概率公式加以计算即可得到事件A发生的概率．解答：解：根据题意，得∵P（A|B）=，P（AB）=，P（A|B）=∴=，解得P（B）==故答案为：点评：本题给出事件A、B同时发生的概率和A发生的条件下B发生的概率，求事件A的概率，着重考查了条件概率及其应用的知识，属于基础题．16．（5分）设面积为S的平面四边形的第i条边的边长为a（i=1，2，3，4），Pi是该四边形内一点，点P到第i条边的距离记为，类比上述结论，体积为V的三棱（i=1，2，3，4），Q是该三棱锥内的一点，点Q到第锥的第i个面的面积记为Si，若等于．i个面的距离记为di考点：类比推理．专题：计算题．分析：由可得a=ik，P是该四边形内任意一点，将P与四边i形的四个定点连接，得四个小三角形，四个小三角形面积之和为四边形面积，即采用分割法求面积；同理对三棱值得体积可分割为5个已知底面积和高的小棱锥求体积．解答：解：根据三棱锥的体积公式得：，即S1H1+2S2H2+3S3H3+4S4H4=3V，∴，即．故答案为：．点评：本题主要考查三棱锥的体积计算和运用类比思想进行推理的能力．解题的关键是理解类比推理的意义，掌握类比推理的方法．平面几何的许多结论，可以通过类比的方法，得到立体几何中相应的结论．当然，类比得到的结论是否正确，则是需要通过证明才能加以肯定的．三、解答题17．（10分）设复数z=，若z2+az+b=1+i，求实数a，b的值．考点：复数代数形式的混合运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：先将z按照复数代数形式的运算法则，化为代数形式，代入 z2+az+b=1+i，再根据复数相等的概念，列出关于a，b的方程组，并解即可．解答：解：z=====1﹣iz2+az+b=（1﹣i）2+a（1﹣i）+b=a+b﹣（a+2）i=1+i∴解得点评：本题考查了复数代数形式的混合运算，复数相等的概念，属于基础题．18．（12分）已知（n∈N*）的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10：1．（1）求展开式中各项系数的和；（2）求展开式中含的项．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：（1）利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的通项，求出第五项的系数与第三项的系数，根据已知条件列出方程，求出n的值，将n的值代入二项式，给二项式中的x赋值1，求出展开式中各项系数的和．（2）令二项展开式的通项中的x的指数为，求出r的值，将r的值代入通项求出展开式中含的项．解答：解：由题意知，展开式的通项为则第五项系数为Cn 4•（﹣2）4，第三项的系数为Cn2•（﹣2）2则有，化简，得n2﹣5n﹣24=0解得n=8或n=﹣3（舍去）（1）令x=1，得各项系数的和为（1﹣2）8=1（2）令，则r=1故展开式中含的项为点评：求二项展开式的特定项问题一般借助的工具是二项展开式的通项公式；求二项展开式的各项系数和问题，一般通过观察，通过赋值的方法来解决．19．（12分）某市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如下：API [0，50] （50，100] （100，150] （150，200]（200，250] （250，300] ＞300空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数 4 13 18 30 9 11 15记某企业每天由于空气污染造成的经济损失为S（单位：元），空气质量指数API 为ω，在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当API为150时造成的经济损失为500元，当API为200时，造成的经济损失为700元）；当API大于300时造成的经济损失为2000元．（1）试写出S（ω）表达式；（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于500元且不超过900元的概率；（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？）0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005P（K2≥kc0.0011.3232.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828KcK2=非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季合计100考点：独立性检验．专题：综合题；概率与统计．分析：（1）根据在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当API为150时造成的经济损失为500元，当API为200时，造成的经济损失为700元）；当API大于300时造成的经济损失为2000元，可得函数关系式；（2）由500＜S≤900，得150＜ω≤250，频数为39，即可求出概率；（3）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据做出观测值，同临界值进行比较，即可得出结论．解答：解：（1）根据在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当API为150时造成的经济损失为500元，当API为200时，造成的经济损失为700元）；当API大于300时造成的经济损失为2000元，可得S（ω）=；（2）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于500元且不超过900元”为事件A；由500＜S≤900，得150＜ω≤250，频数为39，∴P（A）=；（2）根据以上数据得到如表：非重度污染重度污染合计供暖季 22 8 30非供暖季63 7 70合计85 15 100K2的观测值K2=≈4.575＞3.841所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．点评：本题考查概率知识，考查列联表，观测值的求法，是一个独立性检验，我们可以利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设，若值较大就拒绝假设，即拒绝两个事件无关．20．（12分）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（Ⅰ）求在1次游戏中获奖的概率；（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E（X）．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：计算题；概率与统计．分析：（I）设“在X次游戏中摸出i个白球”为事件Ai（i=，0，1，2，3），“在1次游戏中获奖”为事件B，则B=A2∪A3，求出相应的概率，再相加即可求得结果；（II）在2次游戏中获奖次数X的取值是0、1、2，根据上面的结果，代入公式得到结果，写出分布列，求出数学期望．解答：（I）解：设“在X次游戏中摸出i个白球”为事件Ai（i=，0，1，2，3），“在1次游戏中获奖”为事件B，则B=A2∪A3，又P（A3）=，P（A2）==，且A2，A3互斥，所以P（B）=P（A2）+P（A3）=+=；（II）解：由题意可知X的所有可能取值为0，1，2.所以X的分布列是X 0 1 2PX的数学期望E（X）=0×+1×+2×=．点评： 本题考查古典概型及共概率计算公式，离散型随机变量的分布列数学期望、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．21．（12分）当n ∈N *时，，T n =+++…+．（Ⅰ）求S 1，S 2，T 1，T 2；（Ⅱ）猜想S n 与T n 的关系，并用数学归纳法证明．考点： 数学归纳法；数列的求和． 专题： 点列、递归数列与数学归纳法．分析： （Ⅰ）由已知直接利用n=1，2，求出S 1，S 2，T 1，T 2的值；（Ⅱ）利用（1）的结果，直接猜想S n =T n ，然后利用数学归纳法证明，①验证n=1时猜想成立；②假设n=k 时，S k =T k ，通过假设证明n=k+1时猜想也成立即可． 解答： 解：（Ⅰ）∵当n ∈N *时，，T n =+++…+．∴S 1=1﹣=，S 2=1﹣+﹣=，T 1==，T 2=+=（2分） （Ⅱ）猜想：S n =T n （n ∈N *），即：1﹣+﹣+…+﹣=+++…+（n ∈N *）（5分） 下面用数学归纳法证明： ①当n=1时，已证S 1=T 1（6分） ②假设n=k 时，S k =T k （k≥1，k ∈N *），即：1﹣+﹣+…+﹣=+++…+（8分）则：S k+1=S k +﹣=T k +﹣（10分）=+++…++﹣（11分）=++…+++（﹣）=++…++=T k+1，由①，②可知，对任意n ∈N *，S n =T n 都成立．（14分）点评： 本题是中档题，考查数列递推关系式的应用，数学归纳法证明数列问题的方法，考查逻辑推理能力，计算能力．22．（12分）已知函数f （x ）=lnx+x 2． （Ⅰ）求h （x ）=f （x ）﹣3x 的极值；（Ⅱ）若函数g （x ）=f （x ）﹣ax 在定义域内为增函数，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）设F （x ）=2f （x ）﹣3x 2﹣k ，k ∈R ，若函数F （x ）存在两个零点m ，n （0＜m ＜n ），且满足2x 0=m+n ，问：函数F （x ）在（x 0，F （x 0））处的切线能否平行于x 轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由．考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题： 综合题；导数的综合应用．分析： （Ⅰ）求导数，利用极值的定义，求h （x ）=f （x ）﹣3x 的极值； （Ⅱ）根据题意写出g （x ）再求导数，由题意知g′（x ）≥0，x ∈（0，+∞）恒成立，转化为a≤2x+，再利用基本不等式求右边的最小值，即可求得实数a 的取值范围；（Ⅲ）先假设F （x ）在（x 0，F （x 0））的切线平行于x 轴，其中F （x ）=2lnx ﹣x 2﹣kx ．结合题意列出方程组，利用换元法导数研究单调性，证出ln ＜在（0，1）上成立，从而出现与题设矛盾，说明原假设不成立．由此即可得到函数F （x ）在（x 0，F （x 0））处的切线不能平行于x 轴．解答：解：（Ⅰ）由已知，，令=0，得，所以h（x）极小值=h（1）=﹣2，（Ⅱ）因为g（x）=f（x）﹣ax=lnx+x2﹣ax，属于g′（x）=+2x﹣a由题意知，g′（x）≥0，x∈（0，+∞）恒成立，即a≤（2x+）min又x＞0，2x+≥2，当且仅当x=时等号成立故（2x+）min=2，所以a≤2（Ⅲ）设F（x）在（x0，F（x））的切线平行于x轴，其中F（x）=2lnx﹣x2﹣kx结合题意，有①﹣②得2ln﹣（m+n）（m﹣n）=k（m﹣n）所以k=﹣2x，由④得k=﹣2x所以ln=…⑤设u=∈（0，1），得⑤式变为lnu﹣=0（u∈（0，1）），设y=lnu﹣（u∈（0，1）），可得y′=＞0，所以函数y=lnu﹣在（0，1）上单调递增，因此，y＜y|u=1=0，即lnu﹣＜0，也就是ln＜此式与⑤矛盾所以函数F（x）在（x0，F（x））处的切线不能平行于x轴．点评：本题给出含有对数符号的基本初等函数函数，讨论了函数的单调性并探索函数图象的切线问题，着重考查了导数的几何意义和利用导数研究函数的单调性等知识，属于中档题．。
2016-2017学年河南省洛阳市高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）
2016-2017学年河南省洛阳市⾼⼆下学期期中考试数学（⽂）试题（解析版）2016-2017学年河南省洛阳市⾼⼆下学期期中考试数学（⽂）试题⼀、选择题1．复数()1i i -的共轭复数对应的点在复平⾯内位于（）A. 第⼀象限B. 第⼆象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】()i 1i 1i -=+，其共轭复数为1i -，在第四象限.点睛：本题主要考查复数的概念及运算，考查复数与复平⾯点⼀⼀对应关系. 在复数的四则运算上,经常由于疏忽⽽导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四则运算中,只对加法和乘法法则给出规定,⽽把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项;复数的加法满⾜交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化;⽤类⽐的思想学习复数中的运算问题.2．宋代理学家程颐认为：“格犹穷也，物犹理也，犹⽈穷其理⽽已也。
”就是说，格就是深刻探究，穷尽，物就是万物的本原，关于“格物致知”的做法，就是“今⽇格⼀件，明⽇⼜格⼀件，积习既多，然后脱然⾃有贯通处。
”上述推理⽤的是（）A. 类⽐推理B. 演绎推理C. 归纳推理D. 以上都不对【答案】C【解析】今天研究⼀件，明天⼜研究⼀件，将事物的规律⼀个⼀个找出来，归纳推理出“贯通处”.故为归纳推理.3．若复数z 满⾜⽅程132z i +-=，则z 在复平⾯上表⽰的图形是（）A. 椭圆B. 圆C. 抛物线D. 双曲线【答案】B【解析】原⽅程可化为()132z i --+=，其⼏何意义表⽰z 的坐标和()1,3-之间的距离为2，满⾜圆的定义，故表⽰的图形是圆.4．下列关于结构图的说法不正确的是（）A. 结构图中各要素之间通常表⽰概念上的从属关系和逻辑上的先后关系B. 结构图都是“树”形结构C. 简洁的结构图能更好的反映主体要素之间的关系和系统的整体特点D. 复杂的结构图能更详细的反映系统中各细节要素及其关系【答案】B【解析】流程图不是树形结构，故B 选项错误.5．⽤反证法证明命题：若整系数⼀元⼆次⽅程()200ax bx x a ++=≠有有理根，那么a ， b ， c 中⾄少有⼀个是偶数时，下列假设中正确的是（）A. 假设a ， b ， c 都是偶数B. 假设a ， b ， c 都不是偶数C. 假设a ， b ， c ⾄少有⼀个是偶数D. 假设a ， b ， c ⾄多有两个是偶数【答案】B【解析】“⾄少有⼀个”的否定是“都不是”，故选B .6．为了判定两个分类变量X 和Y 是否有关系，应⽤2K 独⽴性检验法算得2K 的观测值为6（所⽤数据可参考卷⾸公式列表），则下列说法正确的是（）A. 在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“X 和Y 有关系”B. 在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“X 和Y 没有关系”C. 在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“X 和Y 有关系”D. 在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“X 和Y 没有关系”【答案】A【解析】由于6 5.024>，故在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“X 和Y 有关系”.7．有⼀段“三段论”，推理是这样的：函数()f x 在定义域内可以求导函数，如果()0'0f x =，那么0x x =是函数()f x 的极值点，因为()3f x x =在0x =处满⾜()'00f =，所以0x =是函数()3f x x =的极值点，以上推理中（）A. ⼤前提错误B. ⼩前提错误C. 推理形式错误D. 结论正确【答案】A【解析】⼤前提错误，因为导数等于零的点不⼀定是极值点，还需要左右两边单调性相反.由散点图可知，⾝⾼y 与年龄x 之间的线性回归⽅程为8.8??yx a =+，预测该孩⼦10岁时的⾝⾼为（）A. 154B. 153C. 152D. 151【答案】B【解析】回归直线⽅程过样本中⼼点，样本中⼼点为()(),7.5,131x y =，代⼊回归直线⽅程得1318.87.5a =?+，解得65a =，令10x =，有8.81065153?+=，故预测值为153cm .9．实数a = b = 2c =，则a ， b ， c 的⼤⼩关系是（）A. a b c >>B. a c b >>C. c b a >>D. c a b >>【答案】D【解析】由于2>，所以72-，即b c <.由于221111a c =-=-，所以a c <. a b -=， (22241212==+=+所以0,a b a b ->>，综上所述有c a b >>.点睛：本题主要考查利⽤综合法、差⽐较法⽐较两个实数的⼤⼩.⾸先注意到,b c 两个实数都含有2>，即可得到,b c 两数的⼤⼩关系.对于,a c 两个实数，平⽅后发现这两个数都有相同的部分11，由此即可⽐较,a c 两个数的⼤⼩.对于,a b ，利⽤差⽐较法可⽐较两数的⼤⼩.10．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不⾜”中有⼀道两⿏穿墙问题：“今有垣厚⼗尺，两⿏对穿，初⽇各⼀尺，⼤⿏⽇⾃倍，⼩⿏⽇⾃半，问⼏何⽇相逢？”现⽤程序框图描述，如图所⽰，则输出结果n =（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】开始，输⼊1,1,0,1a A S n ====，则2S =，判断210≥，否，循环， 12,,22n a A ===，则92S =，判断9102≥，否，循环， 13,,4,4n a A === 则354S =，判断35104≥，否，循环， 14,,8,8n a A === 则1358S =，判断135108≥，是，输出4n =，结束.故选择C. 11．研究变量x ， y 得到⼀组样本数据，进⾏回归分析，有以下结论：①残差平⽅和越⼩的模型，拟合的效果越好；②⽤相关指数2R 来刻画回归效果， 2R 越⼩说明拟合效果越好；③由样本数据得到的回归⽅程ybx a =+⼀定过样本点的中⼼(),x y ；④若变量y 和x 之间的相关系数为0.9462r =-，则变量y 和x 之间的负相关很强，以上正确说法的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】①残差平⽅和越⼩的模型，拟合的效果越好，正确；②错误，越接近1越好. ③由样本数据得到的回归⽅程y bx a =+⼀定过样本点的中⼼(),x y 正确；④若变量y 和x 之间的相关系数0.9462r =⾮常接近1，说明负相关性很强，正确.综上所述有3个说法正确.12．对于定义在D 上的函数()f x ，若存在距离为d 的两条直线1y kx m =+和2y kx m =+，使得对任意x D ∈都有()12kx m f x kx m +≤≤+恒成⽴，则称函数()()f x x D ∈有⼀个宽度为d 的通道，给出下列函数：①()1f x x =；②()ln x f x x =；③()sin f x x =；④()f x =其中在区间[)1,+∞上通道宽度可以为1的函数的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】依题意可知符合题意的函数图像，在区间D 上被两条距离为1的平⾏线“包夹”.对于①，由于函数在区间[)1,+∞上为减函数， ()11f =，且()0f x >，故函数图像被“包夹”在直线0,1y y ==之间，符合题意.对于②()21ln x f x x -'=，故函数在()1,e 为增函数，在(),e +∞上为减函数，故在[)1,+∞上取得最⼤值为()1f e e =，且在区间[)1,+∞上函数值()0f x ≥，故函数图像被“包夹”在直线0,1y y ==之间，符合题意.对于③，根据正弦函数的图像、周期性和值域为[]1,1-跨度为2，可知，在区间()1,+∞上，不存在符合题意的通道.对于④，两边平⽅并化简得()2211x y x -=≥，函数图像是是双曲线⼀⽀，双曲线的渐近线为y x =，故图像被“包夹”在两平⾏直线,y x y x ==1，故符合题意，综上所述，有3个函数符合. 点睛：本题主要考查函数图像相遇性质，考查数形结合的数学思想⽅法，考查对新定义情景的理解.通过阅读理解题⽬所给定的新定义，将通道问题转化为图像被两平⾏线“包夹”来解决.接下来通过画出四个函数的图像，其中第⼀个和第三个是基本初等函数，可直接画出图像，第⼆个利⽤导数画出图像，第四个是平⽅后化为双曲线⽅程来画图象.⼆、填空题13．复数z 满⾜()21i z i -=-，那么z =__________．【答案】3122i - 【解析】()()()()2i 1i 2i 3i 1i 1i 1i 2z -+-+===--+，故3i 22z =-. 14．甲、⼄、丙三⼈参加驾照科⽬⼆的考试，只有⼀⼈通过，当他们被问到谁通过考试时，回答如下：甲说：丙没有通过；⼄说：我通过了；丙说：甲说的是真话.事实证明：在这三名同学中，只有⼀⼈说的是假话，那么通过考试的是__________．【答案】甲【解析】假设甲说假话，则丙通过了，不符合⼄说的，故假设不成⽴.假设⼄说假话，则⼄没通过，丙没通过，甲通过了，成⽴.假设丙说的是假话，则甲说的是假话，假设不成⽴。
2016-2017年河南省郑州市七校联考高二上学期数学期中试卷带答案(文科)
2016-2017学年河南省郑州市七校联考高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知a＞b，c＞d，且c，d不为0，那么下列不等式一定成立的是（）A．ad＞bc B．ac＞bd C．a﹣c＞b﹣d D．a+c＞b+d2．（5分）不等式（x﹣1）（2﹣x）≤0的解集为（）A．{x|1≤x≤2}B．{x|x≤1或x≥2}C．{x|1＜x＜2}D．{x|x＜1或x＞2} 3．（5分）在数列{a n}中，若a1=﹣2，且对任意的n∈N*有2a n+1=1+2a n，则数列{a n}前10项的和为（）A．2 B．10 C．D．4．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21 B．42 C．63 D．845．（5分）在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若此三角形有两解，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．D．6．（5分）在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，则BC的长为（）A．B．C．2 D．27．（5分）不等式x2﹣2x+5≥a2﹣3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，4]B．（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）D．[﹣2，5]8．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=（）A．5 B．6 C．7 D．89．（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A．m B．m C．m D．m 10．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，B，C成等差数列，2a，2b，2c成等比数列，则cosAcosB=（）A．B．C．D．11．（5分）已知数列{a n}：，+，++，…，+++…+，…，若b n=，那么数列{b n}的前n项和S n为（）A． B． C． D．12．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n使得=4a1，则+的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）13．（5分）已知数列{a n}中，a1=1且=+（n∈N*），则a10=．14．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC+bsinC ﹣a﹣c=0，则角B=．15．（5分）若实数x，y满足如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣1，则实数m=．16．（5分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”，该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性，比如：随着项数的增加，前一项与后一项的比值越逼近黄金分割.06180339887．若把该数列{a n}的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{b n}，在数列{b n}中第2016项的值是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知不等式x2+bx+c＞0的解集为{x|x＞2或x＜1}（1）求b和c的值；（2）求不等式cx2+bx+1≤0的解集．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（1）求的值；（2）若cosB=，△ABC的周长为5，求b的长．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2a n+（﹣1）n a n，求数列{b n}的前2n项和．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．21．（12分）小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为25﹣x万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累计收入+销售收入﹣总支出）22．（12分）已知正项数列{a n}，{b n}满足a1=3，a2=6，{b n}是等差数列，且对任意正整数n，都有成等比数列．（I）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）设，试比较2S n与的大小．2016-2017学年河南省郑州市七校联考高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知a＞b，c＞d，且c，d不为0，那么下列不等式一定成立的是（）A．ad＞bc B．ac＞bd C．a﹣c＞b﹣d D．a+c＞b+d【解答】解：令a=2，b=﹣2，c=3，d=﹣6，则2×3＜（﹣5）（﹣6）=30，可排除A2×（﹣6）＜（﹣2）×3可排除B；2﹣3＜（﹣2）﹣（﹣6）=4可排除C，∵a＞b，c＞d，∴a+c＞b+d（不等式的加法性质）正确．故选：D．2．（5分）不等式（x﹣1）（2﹣x）≤0的解集为（）A．{x|1≤x≤2}B．{x|x≤1或x≥2}C．{x|1＜x＜2}D．{x|x＜1或x＞2}【解答】解：不等式（x﹣1）（2﹣x）≤0等价于（x﹣1）（x﹣2）≥0，解得x≤1或x≥2，故选：B．3．（5分）在数列{a n}中，若a1=﹣2，且对任意的n∈N*有2a n+1=1+2a n，则数列{a n}前10项的和为（）A．2 B．10 C．D．=1+2a n，得2a n+1﹣2a n=1，则，【解答】解：由2a n+1∴数列{a n}是公差为的等差数列，又a1=﹣2，∴．故选：C．4．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21 B．42 C．63 D．84【解答】解：∵a 1=3，a1+a3+a5=21，∴，∴q4+q2+1=7，∴q4+q2﹣6=0，∴q2=2，∴a3+a5+a7==3×（2+4+8）=42．故选：B．5．（5分）在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若此三角形有两解，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．D．【解答】解：==2∴a=2sinAA+C=180°﹣45°=135°A有两个值，则这两个值互补若A≤45°，则C≥90°，这样A+B＞180°，不成立∴45°＜A＜135°又若A=90，这样补角也是90°，一解所以＜sinA＜1a=2sinA所以2＜a＜2故选：C．6．（5分）在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，则BC的长为（）A．B．C．2 D．2【解答】解：∵在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，∴AB•AC•sinA=，即×2×AC×=，解得：AC=1，由余弦定理得：BC2=AC2+AB2﹣2AC•AB•cosA=1+4﹣2=3，则BC=．故选：B．7．（5分）不等式x2﹣2x+5≥a2﹣3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，4]B．（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）D．[﹣2，5]【解答】解：令f（x）=x2﹣2x+5=（x﹣1）2+4，=4，∴f（x）最小值若不等式x2﹣2x+5≥a2﹣3a对任意实数x恒成立，只需a2﹣3a≤4，解得：﹣1≤a≤4，故选：A．8．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（﹣1，﹣1），此时z=﹣2﹣1=﹣3，此时n=﹣3，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（2，﹣1），此时z=2×2﹣1=3，即m=3，则m﹣n=3﹣（﹣3）=6，故选：B．9．（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A．m B．m C．m D．m【解答】解：如图，∠DAB=15°，∵tan15°=tan（45°﹣30°）==2﹣．在Rt△ADB中，又AD=60，∴DB=AD•tan15°=60×（2﹣）=120﹣60．在Rt△ADC中，∠DAC=60°，AD=60，∴DC=AD•tan60°=60．∴BC=DC﹣DB=60﹣（120﹣60）=120（﹣1）（m）．∴河流的宽度BC等于120（﹣1）m．故选：B．10．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，B，C成等差数列，2a，2b，2c成等比数列，则cosAcosB=（）A．B．C．D．【解答】解：由A，B，C成等差数列，有2B=A+C（1）∵A，B，C为△ABC的内角，∴A+B+C=π（2）．由（1）（2）得B=．由2a，2b，2c成等比数列，得b2=ac，由余弦定理得，b2=a2+c2﹣2accosB把B=、b2=ac代入得，a2+c2﹣ac=ac，即（a﹣c）2=0，则a=c，从而A=C=B=，∴cosAcosB==，故选：A．11．（5分）已知数列{a n}：，+，++，…，+++…+，…，若b n=，那么数列{b n}的前n项和S n为（）A． B． C． D．【解答】解：由题意，数列{a n}的通项为a n==，∴b n==4（﹣）∴S n=4（1﹣+﹣+…+﹣）=4（1﹣）=故选：B．12．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n使得=4a1，则+的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：由各项均为正数的等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，可得，∴q2﹣q﹣2=0，∴q=2．∵，∴q m+n﹣2=16，∴2m+n﹣2=24，∴m+n=6，∴，当且仅当=时，等号成立．故的最小值等于，故选：A．二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）13．（5分）已知数列{a n}中，a1=1且=+（n∈N*），则a10=．【解答】解：由=+，得﹣=，∴数列{}是以为首项，以为公差的等差数列，则，∴．则．故答案为：．14．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC+bsinC﹣a﹣c=0，则角B=．【解答】证明：在△ABC中，∵bcosC+bsinC﹣a﹣c=0，∴利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinBsinC﹣sinA﹣sinC=0，即sinBcosC+sinBsinC=sinA+sinC=sin（B+C）+sinC=sinBcosC+cosBsinC+sinC=sinBcosC+sinC（cosB+1），∴sinB=cosB+1，即sin（B﹣）=，∵0＜B＜π，∴﹣＜B﹣＜，∴B﹣=，即B=．故答案为：．15．（5分）若实数x，y满足如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣1，则实数m=5．【解答】解：画出x，y满足的可行域如下图：可得直线y=2x﹣1与直线x+y=m的交点使目标函数z=x﹣y取得最小值，由可得，代入x﹣y=﹣1得∴m=5故答案为：516．（5分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”，该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性，比如：随着项数的增加，前一项与后一项的比值越逼近黄金分割.06180339887．若把该数列{a n}的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{b n}，在数列{b n}中第2016项的值是0．【解答】解：1，1，2，3，5，8，13，…除以4所得的余数分别为1，1，2，3，1，0，；1，1，2，3，1，0…，即新数列{b n}是周期为6的周期数列，∴b2016=b236×6=b6=0，故答案为：0．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知不等式x2+bx+c＞0的解集为{x|x＞2或x＜1}（1）求b和c的值；（2）求不等式cx2+bx+1≤0的解集．【解答】解：（1）∵不等式x2+bx+c＞0的解集为{x|x＞2或x＜1}∴1，2是方程不等式x2+bx+c=0的两个根由根与系数的关系得到b=﹣（1+2）=﹣3；c=1×2=2（2）cx2+bx+1≤0⇒2x2﹣3x+1≤0⇒（2x﹣1）（x﹣1）≤0⇒所以cx2+bx+1≤0的解集为18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（1）求的值；（2）若cosB=，△ABC的周长为5，求b的长．【解答】解：（1）因为所以即：cosAsinB﹣2sinBcosC=2sinCcosB﹣cosBsinA所以sin（A+B）=2sin（B+C），即sinC=2sinA所以=2（2）由（1）可知c=2a…①a+b+c=5…②b2=a2+c2﹣2accosB…③cosB=…④解①②③④可得a=1，b=c=2；所以b=219．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2a n+（﹣1）n a n，求数列{b n}的前2n项和．【解答】解：（1）S n=，n∈N*，可得a1=S1=1，当n＞1时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣=n，综上可得，a n=n，n∈N*；（2）b n=2n+（﹣1）n•n，n为奇数时，b n=n；n为偶数时，b n=3n．即有数列{b n}的前2n项和为（1+3+5+…+2n﹣1）+（6+12+…+6n）=n（1+2n﹣1）+n（6+6n）=4n2+3n．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．【解答】解：（1）∵A+C=π﹣B，即cos（A+C）=﹣cosB，∴由正弦定理化简已知等式得：=，整理得：2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB，即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin （B+C）=sinA，∵sinA≠0，∴cosC=﹣，∵C为三角形内角，∴C=；（Ⅱ）∵c=2，cosC=﹣，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab，∴ab≤，（当且仅当a=b时成立），∵S=absinC=ab≤，∴当a=b时，△ABC面积最大为，此时a=b=，则当a=b=时，△ABC的面积最大为．21．（12分）小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为25﹣x万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累计收入+销售收入﹣总支出）【解答】解：（1）设大货车运输到第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y万元，则y=25x﹣[6x+x（x﹣1）]﹣50=﹣x2+20x﹣50（0＜x≤10，x∈N）由﹣x2+20x﹣50＞0，可得10﹣5＜x＜10+5∵2＜10﹣5＜3，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出；（2）∵利润=累计收入+销售收入﹣总支出，∴二手车出售后，小张的年平均利润为=19﹣（x+）≤19﹣10=9当且仅当x=5时，等号成立∴小张应当在第5年将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大．22．（12分）已知正项数列{a n}，{b n}满足a1=3，a2=6，{b n}是等差数列，且对任意正整数n，都有成等比数列．（I）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）设，试比较2S n与的大小．【解答】解：（I）∵正项数列{a n}，{b n}满足对任意正整数n，都有成等比数列，∴a n=b n b n+1，∵a1=3，a2=6，∴b1b2=3，b2b3=6∵{b n}是等差数列，∴b1+b3=2b2，∴b1=，b2=∴b n=；（Ⅱ）a n=b n b n+1=，则=2（）∴S n=2[（）+（）+…+（）]=1﹣∴2S n=2﹣∵=2﹣∴2S n﹣（）=∴当n=1，2时，2S n＜；当n≥3时，2S n＞．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +b-a45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°E-aaBE挖掘图形特征：x-a a-a运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．DE2.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．ABFEDCF。
2016—2017学年郑州市下期期末考试高二数学(文)试题卷
2016—2017学年下期期末考试高二数学（文）试题卷第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数1212,23z i z i =+=+，设12z z +的实部和虚部分别为,m n ，则m n +=（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 2. 下列变量是相关关系的是（ ）A. 正方体的棱长和体积B. 角的弧度和它的正弦值C. 日照时间与水稻的亩产量D. 人的身高和视力 3．（选修4—4：坐标系与参数方程）极坐标系中，2,3A π⎛⎫- ⎪⎝⎭对应的直角坐标为（ ）A. (1,B.)1- C. (- D. ()（选修4—5：不等式选讲）对于函数()()1,0f x x x x=--<，则有（ ） A. ()min 2f x = B. ()max 2f x = C. ()min 2f x =- D. ()max 2f x =- 4. 下面对相关系数r 描述正确的是（ ） A. 0r >表明两个变量负相关 B.1r >表明两个变量正相关C. r 只能大于零D. r 越接近0，两个变量相关关系越弱5. 2014年5月12日，国家统计局公布了《2013农民工监测调查报告》，报告显示：我国农民工收入持续快速增长. 某地区农民工人均月收入增长率如图1，并将人均月收入绘制成如图2的不完整的条形统计图.根据以上统计图来判断以下说法错误的是（ ） A. 2013年农民工人均月收入的增长率为10% B. 小明看了统计图后说：“农民工2012年的人均月收入比2011年的少了” C. 2011年农民工人均月收入是2205元D. 2009年到2013年这五年中2013年农民工人均月收入最高6. 用反证法证明数学命题时首先应该做出与命题结论相矛盾的假设. 否定“自然数,,a b c 中恰有一个是偶数”时，正确的假设为（ ）A. 自然数,,a b c 都是奇数B. 自然数,,a b c 都是偶数C. 自然数,,a b c 中至少有两个偶数D. 自然数,,a b c 中至少有两个偶数或者都是奇数 7.（选修4—4：坐标系与参数方程）极坐标cos 4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 圆（选修4—5：不等式选讲）若关于x 的不等式1x x a +-<()a R ∈的解集为∅，则a 的取值范围是（ ） A. 1a > B. 1a ≥ C. 1a < D. 1a ≤8. 已知复数23420172i i i i i z i+++++=+…，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 9. 六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体. 如图甲，在平行四边形ABCD 中，()22222AC BD AB AD +=+，那么在图乙中所示的平行六面体1111ABCD A B C D -中，22221111AC BD CA DB +++等于（ ）A. ()22212AB AD AA ++B. ()22213AB AD AA ++ C. ()22214AB AD AA ++ D. ()224AB AD + 10. 已知x 与y 之间的几组数据如下表：x1 2 3 4 5 6 y21334假设根据上表数据所得线性回归直线方程为ˆˆˆybx a =+. 若某同学根据上表中前两组数据()1,0和()2,2求得的直线方程为''y b x a =+，则以下结论正确的是（ ）A. ˆˆ','bb a a >> B. ˆˆ','b b a a >< C. ˆˆ','bb a a <> D. ˆˆ','b b a a << 11. 执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则p 的取值范围（ ）A.715816p <≤ B. 3748p <≤ C. 1516p > D. 715816p ≤< 12.设()21f x x bx c a=-+，不等式()0f x <的解集为()1,3-，若()()271f t f t +>+，则实数t 的取值范围是（ ）A. ()1,2-B. ()3,3-C. ()2,3D. ()1,3-第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 若复数sin1cos1z i =︒+︒，则z = .14. 设正数,a b 不相等，则下面四个数2,2a b ab a b ++中，最小的是 . 15. 观察下列等式：231111222⨯=-⨯，2231411112223232⨯+⨯=-⨯⨯⨯，23141122232⨯+⨯⨯⨯ 33511134242+⨯=-⨯⨯，……由以上等式推测到一个一般的结论：对于*n N ∈，23141122232⨯+⨯⨯⨯+…()2112n n n n ++⨯=+ .16. 一名法官在审理一起珠宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”. 经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17. 已知关于复数z 的方程()230z i z m i -+++=有实根1z 和虚根22z i =+，求实数m 的和1z 的值.18. 共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚. 某市有统计数据显示，2016年该市共享单车用户年龄登记分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示．若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁~39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”．已知在“经常使用单车用户”中有56是“年轻人”.（I ）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，建立下列22⨯列联表：（II ）根据上述列联表的独立性检验，判断能有多大把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关？附独立性检验临界值表其中，()()()()()22n ad bc K a b c d a c c d -=++++，n a b c d =+++19. 选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线()22281:211k x k C k y k ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩（k 为参数）和直线2cos :1sin x t l y t θθ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数） （I ）将曲线C 的方程化为普通方程；（II ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，且()2,1P 为弦AB 的中点，求弦AB 所在的直线方程. 选修4—5：不等式选讲已知函数()124f x x x =-+-.（I ）求()f x 的最小值； （II ）若()21f x a >-对任意的实数x 成立，求实数a 的范围.20. 某医学院读书协会欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，该协会分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下表所示数据．该协会确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．21. 选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为31x ty t=-⎧⎨=+⎩（t 为参数）. 在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线:4C πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭. （I ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （II ）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值.选修4—5：不等式选讲 设函数()()820f x x x m m x=++->. （I ）求证：()8f x ≥恒成立；（II ）求使得不等式()110f >成立的实数m 的取值范围.22. 若正数,,a b c 满足1a b c ++=. （I ）求ab bc ca ++的最大值；（II ）求证：22212a b c b c c a a b ++≥+++.2016—2017学年度郑州市高中二年级数学（文科）下期期末考试参考答案 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1-5 ACADB 6-10 DDDCC 11-12 BB二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.1； 14.2;aba b +15.()11;12nn -+16.乙. 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写文字说明、证明过程或演算步骤） 17．解：：将22z i =+代入方程2(3)0z i z m i -+++=得：2(2i)(3)(2i)0i m i +-++++=即34(55)m 0i i i +-+++=，解得2m =……5分设1()z a a R =∈，则2(3)20a i a i -+++=即2(32)(1)0aa a i -++-=，所以1a =…..10分18.解：（Ⅰ）建立使用共享单车与年龄的2×2列联表如下：…5分（II ）由（Ⅰ）知：100,=20,=60,=20ab c d =，∴22200(100206020)1208016040K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯≈2.083>2.072……10分即有85%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关…12分 19.选修4-4：坐标系与参数方程解：（I ）由221)1(2k k y +-=，得21212k y ++-=，即21212k y +=+…………2分又218k k x +=，两式相除得42+=y x k …4分代入218k k x +=，得x y xy x =+++⨯2)42(1428，整理得141622=+y x ，即为C 的普通方程……6分 （II ）将⎩⎨⎧+=+=θθsin 1cos 2t y t x 代入141622=+y x ， 整理得08)sin 8cos 4()cos sin 4(222=-+++t t θθθθ…7分由P 为AB 的中点，则224cos 8sin 04sin cos θθθθ+=+…9分 ∴0sin 2cos =+θθ，即21tan -=θ，故)2(211:--=-x y l AB……11分即221+-=x y ，所以所求的直线方程为042=-+y x …12分19.解：选修4-5：不等式选讲（I ）因为53,1()3,1235,2x x f x x x x x -≤⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩………3分所以当x =2时，min ()1f x =…………………6分（II ）由题得min ()21f x a >-即121a >-，解得01a <<…………………12分20．解:（Ⅰ）由数据求得…2分分分 所以y 关于x 的线性回归方程为分 （Ⅱ）当10x =时，同样，当6x =时，所以，该协会所得线性回归方程是理想的.………12分 21．选修4－4：坐标系与参数方程 解： (I)由3,1,=-⎧⎨=+⎩x t y t 消去t 得40+-=x y ,所以直线l 的普通方程为40+-=x y ………3分由4⎛⎫=- ⎪⎝⎭πρθcos cos sin sin 2cos 2sin 44⎫=+=+⎪⎭ππθθθθ,得22cos 2sin =+ρρθρθ将222,cos ,sin =+==ρρθρθx y x y 代入上式,得曲线C 的直角坐标方程为2222+=+x y x y ,即()()22112-+-=x y ………6分(II) 设曲线C上的点为()1,1ααP ,则点P 到直线l的距离为d……8分当sin 14⎛⎫+=- ⎪⎝⎭πα时, max =d所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为…12分选修4-5：不等式选讲解：(Ⅰ)由0m >,有………3分,8282=⨯≥m m当且仅当82m m =时取等号. 所以()8f x ≥恒成立. …………6分(Ⅱ)()()811210m mf m =+->+, 当120m -<,即12m >时, ()()8811221m m m f m+--=+=, 由()110f >,得8210m m+>,化简得2540m m -+>,解得1m <或4m >,所以112m <<或4m >……9分当120m -≥,即102m <≤时, ()()88111222f m m m m=++-=+-, 由()110f >,得82210m m +->,此式在102m <≤时恒成立…11分 综上,实数m 的取值范围是()0,1(4,)+∞…12分22．解：（I ）因为222ab c ab bc ca ++≥++……3分所以所以13ab bc ca ++≤， 即ab bc ca ++的最大值为13，当且仅当13a b c ===取等号…6分(II)因为2,4a b c a b c ++≥+……9分同理得24b c a b c a ++≥=+，24c a b c a b ++≥+.所以，三个式子相加得：2221.22a b c a b c b c c a a b ++++≥=+++……12 分。
河南省商丘市九校联考2016-2017学年高二(下)期中数学试卷(文科)
2016-2017学年河南省商丘市九校联考高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．若复数z满足1﹣z=z•i，则z等于（）A．﹣﹣i B．﹣+i C．﹣i D． +i2．若根据10名儿童的年龄x（岁）与体重y（千克）数据用最小二乘法得到用年龄预测体重的回归方程，已知这10名儿童的年龄分别是2，3，3，5，2，6，7，3，4，5，则这10名儿童的平均体重是（）A．15千克 B．16千克 C．17千克 D．18千克3．下面三段话可组成“三段论”，则“小前提”是（）①因为指数函数y=a x（a＞1 ）是增函数；②所以y=2x是增函数；③而y=2x是指数函数．A．①B．②C．①②D．③4．设复数z1=1﹣i，z2=﹣1+xi（x∈R），若z1z2为纯虚数，则x的值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．25．下面几种推理是合情推理的是（）（1）由圆的性质类比出球的有关性质；（2）由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；（3）某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；（4）三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是（n﹣2）•180°．A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（2）（4）D．（2）（4）6．观察两个变量（存在线性相关关系）得如下数据：x﹣10﹣6.99﹣5.01﹣2.98 3.9857.998.01y﹣9﹣7﹣5﹣3 4.01 4.9978则两变量间的线性回归方程为（）A．=x+1 B．=x C．=2x+D．=x+17．设P=+++，则（）A．0＜P＜1 B．1＜P＜2 C．2＜P＜3 D．3＜P＜48．数列﹛a n﹜的前n项和S n=n2a n（n≥2）．而a1=1，通过计算a2，a3，a4，猜想a n=（）A．B． C．D．9．根据如图的流程图，可得的结果是（）A．76 B．70 C．51 D．1910．已知如图：则a81的位置是（）A．第13行第2个数B．第14行第3个数C．第13行第3个数D．第17行第2个数11．设z1，z2是复数，则下列结论中正确的是（）A．若，则B．C．D．|z1|2=||212．不等式|x+1|≥kx对任意的x∈R均成立，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．C．D．﹣1，00，10，+∞）【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】由题意可得函数y=|x+1|的图象恒在直线y=kx的上方（含在直线y=kx上），数形结合可得k的范围．【解答】解：∵不等式|x+1|≥kx对任意的x∈R均成立，∴函数y=|x+1|的图象恒在直线y=kx的上方（含在直线y=kx上），如图所示：故有0≤k≤1，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．定义运算=ad﹣bc，则对复数z=x+yi（x，y∈R）符合条件=3+2i的复数z 等于﹣i．【考点】A6：复数代数形式的加减运算．【分析】由条件求得z=，再利用两个复数代数形式的乘除法法则，计算求得结果．【解答】解：根据条件=3+2i 可得2iz﹣z=3+2i，∴z===﹣i，故答案为：﹣i．14．用支付宝在淘宝网购物有以下几步：①买家选好商品，点击购买按钮，并付款到支付宝；②淘宝网站收到买家的收货确认信息，将支付宝里的货款付给卖家；③买家收到货物，检验无问题，在网上确认收货；④买家登录淘宝网挑选商品；⑤卖家收到购买信息，通过物流公司发货给买家．他们正确的顺序依次为④①⑤③②．【考点】E4：流程图的概念．【分析】本题是应用流程图解决实际问题，根据用支付宝在淘宝网购物的步骤，分析5个步骤的先后次序，即可得到答案．【解答】解：根据支付宝在淘宝网购物的具体流程可得：第一步：买家登录淘宝网挑选商品；第二步：买家选好商品，点击购买按钮，并付款到支付宝；第三步：卖家收到购买信息，通过物流公司发货给买家；第四步：买家收到货物，检验无问题，在网上确认收货；第五步：淘宝网站收到买家的收货确认信息，将支付宝里的货款付给卖家故答案为：④①⑤③②15．若下列两个方程x2+（a﹣1）x+a2=0，x2+2ax﹣2a=0中至少有一个方程有实数根，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2﹣1，+∞）．【考点】7H：一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】先求出当两个方程x2+（a﹣1）x+a2=0和x2+2ax﹣2a=0都没有实数根时a的范围，再取补集，即得所求．【解答】解：当两个方程x2+（a﹣1）x+a2=0和x2+2ax﹣2a=0都没有实数根时，（a﹣1）2﹣4a2＜0①，且4a2﹣4（﹣2a）＜0 ②．解①求得a＜﹣1，或a＞，解②求得﹣2＜a＜0．可得此时实数a的取值范围为（﹣2，﹣1）．故当a∈（﹣∞，﹣2﹣1，+∞）时，两个方程x2+（a﹣1）x+a2=0，x2+2ax﹣2a=0中至少有一个方程有实数根，故答案为：（﹣∞，﹣2﹣1，+∞）．16．观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=123．【考点】F3：类比推理；84：等差数列的通项公式．【分析】观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，所求值为数列中的第十项．根据数列的递推规律求解．【解答】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即a10+b10=123，．故答案为：123．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（I）解不等式f（x）＞2；（II）求函数y=f（x）的最小值．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（I）将绝对值符号去掉，函数写成分段函数，再分段求出不等式的解集，即可确定不等式的解集；（II）分别求函数的值域，即可求出函数的最小值．【解答】解：函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|=，（I）令﹣x﹣5＞2，则x＜﹣7，∵x，∴x＜﹣7；令3x﹣3＞2，则x，∵﹣，∴；令x+5＞2，则x＞﹣3，∵x≥4，∴x≥4，∴f（x）＞2的解集为：{x|x＜﹣7或x＞}；（II）当x时，﹣x﹣5≥﹣当﹣时，﹣＜3x﹣3＜9，当x≥4时，x+5≥9∴函数y=f（x）的最小值为﹣．18．设z1，z2∈C．（1）求证：|z1+z2|2+|z1﹣z2|2=2|z1|2+2|z2|2；（2）设|z1|=3，|z2|=5，|z1+z2|=6，求|z1﹣z2|．【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】（1）左边=+，展开即可证明；（2）由（1）的结论可得：|z1+z2|2+|z1﹣z2|2=2|z1|2+2|z2|2；代入即可得出．【解答】（1）证明：左边=+=2+2=2=右边，∴左边=右边；（2）解：由（1）的结论可得：|z1+z2|2+|z1﹣z2|2=2|z1|2+2|z2|2；∴=2（32+52），∴|z1﹣z2|=4．19．（1）用综合法证明：a+b+c≥++（a，b，c∈R+）（2）用反证法证明：若a，b，c均为实数，且a=x2﹣2y+，b=y2﹣2z+，c=z2﹣2x+，求证：a，b，c中至少有一个大于0．【考点】R8：综合法与分析法(选修）；R9：反证法与放缩法．【分析】（1）根据2（a+b+c）﹣2（++）=（﹣）2+（﹣）2+（﹣）2≥0，可得2（a+b+c）≥2（++），从而证得结论．（2）用反证法，假设a，b，c都小于或等于0，推出a+b+c的值大于0，出现矛盾，从而得到假设不正确，命题得证．【解答】证明：（1）由于2（a+b+c）﹣2（++）=（﹣）2+（﹣）2+（﹣）2≥0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴2（a+b+c）≥2（++），∴a+b+c≥++．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）证明：假设a，b，c都不大于0﹣﹣﹣﹣﹣﹣即a=x2﹣2y+≤0，b=y2﹣2z+≤0，c=z2﹣2x+≤0，同时成立则（x2﹣2y+）+（y2﹣2z+）+（z2﹣2x+）≤0﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴（x﹣1）2+（y﹣1）2+（z﹣1）2+π﹣3≤0矛盾﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴假设不成立∴原命题成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣20．某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：积极参加班级工作不太主动参加班级工作合计学习积极性高18725学习积极性一般61925合计242650（1）如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？（2）试运用独立性检验的思想方法点拨：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？并说明理由．（参考下表）p（K2≥k0）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.78910.828【考点】BL：独立性检验．【分析】（1）是一古典概型问题，把基本事件的总数与满足要求的个数找出来，代入古典概率的计算公式即可．（2）是独立性检验的应用，由题中的数据，计算出k2与临界值比较即可得出结论【解答】解：（1）积极参加班级工作的学生有24人，总人数为50人，概率为；不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19人，概率为．（2）k2==≈11.5，∵K2＞6.635，∴有99%的把握说学习积极性与对待班级工作的态度有关系．21．某班5名学生的数学和物理成绩如表：A B C D E学生学科数学成绩（x）8876736663物理成绩（y）7865716461（1）画出散点图；（2）求物理成绩y对数学成绩x的线性回归方程：（3）一名学生的数学成绩为96分，试预测他的物理成绩．参考数据：．【考点】BK：线性回归方程．【分析】（1）根据表中数据画出散点图即可；（2）计算平均数和回归系数，写出线性回归方程；（3）利用回归方程计算x=96时的值即可．【解答】解：（1）根据表中数据画出散点图如图所示：Array…（2）计算=×（88+76+73+66+63）=73.2，=×（78+65+71+64+61）=67.8，且=88×78+76×65+73×71+66×64+63×61=25 054，=882+762+732+662+632=27 174；∴=≈0.625．∴=﹣=67.8﹣0.625×73.2=22.05．∴y对x的线性回归方程是=0.625x+22.05．…（3）当x=96，则=0.625×96+22.05≈82．所以预测他的物理成绩是82分．…22．设f（x）=（Ⅰ）计算：f（0）+f（1），f（﹣1）+f（2），f（﹣2）+f（3）的值；（Ⅱ）猜想f（x）具备的一个性质，并证明．【考点】3T：函数的值．【分析】（Ⅰ）由已知中f（x）=，将对应的自变量代入，可逐一运算出f（0）+f（1），f（﹣1）+f（2），f（﹣2）+f（3）的值；（Ⅱ）由（I）中结论可猜想：当x1+x2=1时，，代入函数解析式，并利用指数的运算性质化简，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=，∴…同理，可得…（Ⅱ）猜想：当x1+x2=1时，…证明：设x1+x2=1，====∴x1+x2=1时，…2017年6月1日。
河南省中原名校2016-2017学年高二下期期末检测数学(文)试题-含答案
中原名校2016—2017学年期末检测高二数学(文)试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合U R =，集合{}2|40M x x =-≤，则U C M = A. {}|22x x -<< B. {}|22x x -≤≤ C. {}|22x x x <->或 D.{}|22x x x ≤-≥或 2.设复数z 满足()()225z i i --=，则z =A. 23i +B. 23i -C. 32i +D.32i -3.为了判断两个分类变量与Y 之间是否有关系，应用独立性检验法算得2K 的观测值为6，附：临界值表如下：则下列说法正确的是A. 有95%的把握认为与Y 有关系B. 有99%的把握认为与Y 有关系C.有99.5%的把握认为与Y 有关系D. 有99.9%的把握认为与Y 有关系 4.设x R ∈，向量()()1,,2,6a x b ==-，且//a b ，则a b ⋅=A. -4B.C.D.20 5.下列四个结论：①若“p q ∧”是真命题，则p ⌝可能是真命题；②命题“2000,10x R x x ∃∈--<”的否定是“2,10x R x x ∃∈--≥”；③“5a >且5b >-”是“0a b +>”的充要条件；④当0a <时，幂函数ay x =在区间()0,+∞上单调递减.其中正确的结论个数是A.0个B.1个C. 2个D. 3个6.已知函数()133xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f xA. 是偶函数，且在R 上是增函数B. 是奇函数，且在R 上是增函数C.是偶函数，且在R 上是减函数D. 是奇函数，且在R 上是减函数7. 在单调递减等差数列{}n a 中，若32431,4a a a ==，则1a = A. 1 B. 2 C.32D. 3 8.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当()0,x ∈+∞时，()20182018log xf x x =+，则函数()f x 的零点的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9.函数22sin 33,00,1441x y x xππ⎛⎫⎡⎫⎛⎤=∈-⎪ ⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦⎝⎭+的图象大致是10.若将函数sin y x x =的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度得到函数sin y x x =-的图象，则ϕ的最小值为A. 6πB. 2πC. 3πD.23π11.如果函数()f x 在区间D 上是增函数，且()f x x在区间上是减函数，则称函数()f x 在区间D 上是缓增函数，区间D 叫做缓增区间.若函数()21322f x x x =-+在区间D 上是缓增函数，则缓增区间D 是A.[)1,+∞B. ⎡⎣C. []0,1D.⎡⎣12.已知函数()22ln x e f x k x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若2x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围是A. (],e -∞B. []0,eC. (),e -∞D.[)0,e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()f x 的定义域为[]1,1-，则()2log f x 的定义域为 . 14.若曲线ln y x =的切线过原点，则此切线的斜率为 .15.已知()f x 是R 上的偶函数，()g x 是R 上的奇函数，且()()1g x f x =-，若()22f -=，则()2018f = .16.已知函数()ln 2x f x -=的定义域为A,不等式()21log a x x -<在x A ∈时恒成立，则实数a 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）设函数()()22280f x x ax aa =-->，记不等式()0f x ≤的解集为A.（1）当1a =时，求集合A;（2）若()1,1A -⊆，求实数a 的取值范围.18.（本题满分12分）若二次函数()()2,f x ax bx c a b R =++∈满足()()12f x f x x +-=，且()0 1.f =（1）求()f x 的解析式；（2）若在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立，求实数m 的取值范围.19.（本题满分12分） 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为111,DD C D 的中点.（1）证明：平面11ADC B ⊥平面1A BE ； （2）证明：1//B F 平面1A BE ；（3）若正方体棱长为1，求四面体11A B BE -的体积.20.（本题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为()2,0F -，且长轴与短轴长的比是2（1）求椭圆C 的方程；（2）设点(),0M m 在 椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点，当PM 最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点上，求实数m 的取值范围.21.（本题满分12分）已知()()2ln , 3.f x x x g x x ax ==-+-（1）求函数()f x 在区间[](),20t t t +>上的最小值；（2）对一切实数()()()0,,2x f x g x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围.22.（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系在平面直角坐标系xoy 中，直线1l 的参数方程为2x ty kt =+⎧⎨=⎩（t 为参数），直线2l 的参数方程为2x mmy k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数），设直线1l ，2l 的交点为P,当变化时，P 的轨迹为曲线.（1）写出曲线C 的普通方程；（2）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin 0l ρθθ+=，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径.23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()()24,1 1.f x x ax g x x x =-++=++-（1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含，求实数a 的取值范围.中原名校2016—2017学年下期期末检测高二数学(文)答案一、选择题1.C2.A3.A4.D5.B6.B7.B8.C9.A10.D 11.D 12.A1．C 【解析】因为{}240M x x =-≤{}22x x =-≤≤，全集U R =，所以U C M ={}22x x x <->或，故选C.2．A 【解析】利用方程思想求解复数并化简.由(－2i)(2－i)＝5，得＝2i ＋52－i ＝2i ＋5(2＋i)(2－i)(2＋i)＝2i ＋2＋i ＝2＋3i.3．A 【解析】依题意，2＝6，且P (2≥3．841)＝0．05，因此有95%的把握认为“和Y 有关系”，选A ．4．D 【解析】∵a ＝(1，)，b ＝(2，－6)且a ∥b ，∴－6－2＝0，＝－3，∴a ＝(1，－3)，a ·b ＝20，故选D ． 5．B 【解析】①若p q ∧是真命题，则p 和q 同时为真命题，p ⌝必定是假命题； ②命题“2000,10x R x x ∃∈--<”的否定是“2,10x R x x ∀∈--≥”； ③“5a >且5b >-”是“0a b +>”的充分不必要条件；④a y x =1'a y a x -⇒=⋅，当0a <时，'0y <，所以在区间()0+∞，上单调递减. 选B ．6．B 【解析】()()113333xxxx f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数是奇函数，并且3x 是增函数，13x⎛⎫⎪⎝⎭是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A.7．B 【解析】由题知，a 2＋a 4＝2a 3＝2，又∵a 2a 4＝34，数列{a n }单调递减，∴a 4＝12，a 2＝32．∴公差d ＝a 4－a 22＝－12．∴a 1＝a 2－d ＝2．8．C 【解析】作出函数y ＝2 018和y ＝－log 2 018的图象如图所示，可知函数f ()＝2 018＋log 2 018在∈(0，＋∞)上存在一个零点，又f ()是定义在R 上的奇函数，所以f ()在∈(－∞，0)上只有一个零点，又f (0)＝0，所以函数f ()的零点个数是3，故选C.9．A 【解析】因为函数22sin ()11xy f x x==+可化简为222sin ()1x x f x x =+可知函数为奇函数关于原点对称，可排除答案C ；同时有42224sin 2cos 2cos ''()(1)x x x x x xy f x x ++==+ 3222(2sin cos cos )(1)x x x x x x x ++=+，则当(0,)2x π∈ '()0f x >,可知函数在2x π=处 附近单调递增，排除答案B 和D ，故答案选A ．10．D 【解析】因为y ＝sin ＋3cos ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，y ＝sin －3cos ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，所以把y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象至少向右平移2π3个单位长度可得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象．所以选D 。
2016-2017学年河南省豫南九校联考高二(下)期中数学试卷与解析word(理科)
2016-2017学年河南省豫南九校联考高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）化简z=的结果是（）A．3 B．1 C．2+i D．i2．（5分）已知y=8x2，则它的焦点坐标为（）A．（2，0） B．（0，2） C．D．3．（5分）有下述说法：①a＞b＞0是a2＞b2的充分不必要条件．②a＞b＞0是的充要条件．③a＞b＞0是a3＞b3的充要条件．则其中正确的说法有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个4．（5分）在△ABC中，A、B、C是三角形的三内角，a、b、c是三内角对应的三边，已知acosB=bcosA，△ABC的形状（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形5．（5分）若函数f（x）=x n+3x+2x在点M（1，6）处切线的斜率为3+3ln3，则n 的值是（）A．1 B．2 C．4 D．36．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S n=2a n+1，则当n＞1时，S n=（）A．（）n﹣1 B．2n﹣1 C．（）n﹣1 D．（﹣1）7．（5分）在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（）A．24种B．48种C．96种D．144种8．（5分）已知f（x）=x3﹣ax在（﹣∞，﹣1]上是单调函数，则a的取值范围是（）A．（3，+∞）B．[3，+∞）C．（﹣∞，3）D．（﹣∞，3]9．（5分）已知函数，则其导函数f′（x）的图象大致是（）A． B．C．D．10．（5分）已知双曲线的一条渐近线与函数y=1+lnx+ln2的图象相切，则双曲线C的离心率是（）A．2 B．C．D．11．（5分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x都有f（x）≥0，则的最小值为（）A．3 B．C．2 D．12．（5分）若函数f（x）=（x+1）2﹣alnx在区间（0，+∞）内任取有两个不相等的实数x1，x2，不等式＞1恒成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，3）B．（﹣∞，﹣3）C．（﹣∞，3]D．（﹣∞，﹣3]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知实数x、y满足则目标函数z=x﹣2y的最小值是．14．（5分）函数y=x+的取值范围为．15．（5分）已知等差数列{a n}中，a5+a7=dx，则a4+a6+a8=．16．（5分）设动点P在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上，记=λ．当∠APC为锐角时，λ的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）在△ABC中，A、B、C是三角形的三内角，a、b、c是三内角对应的三边，已知b2，a2，c2成等差数列．（1）求cosA的最小值；（2）若a=2，当A最大时，△ABC面积的最大值？18．（12分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，若{a n}和都是等差数列，且公差相等．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=，c n=b n•b n+1，求数列{c n}的前n项和T n．19．（12分）如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．（1）求证：AD⊥BM；（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为．20．（12分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，过焦点垂直长轴的弦长为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右顶点作直线交抛物线y2=2x于A、B两点，求证：OA⊥OB．21．（12分）已知函数f（x）=x+，g（x）=﹣x﹣ln（﹣x）其中a≠0，（1）若x=1是函数f（x）的极值点，求实数a的值及g（x）的单调区间；（2）若对任意的x1∈[1，2]，∃x2∈[﹣3，﹣2]使得f（x1）≥g（x2）恒成立，且﹣2＜a＜0，求实数a的取值范围．22．（12分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为，（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的普通方程和极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是，射线OM：θ=与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．2016-2017学年河南省豫南九校联考高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）化简z=的结果是（）A．3 B．1 C．2+i D．i【解答】解：z==，故选：D．2．（5分）已知y=8x2，则它的焦点坐标为（）A．（2，0） B．（0，2） C．D．【解答】解：根据题意，抛物线的方程为y=8x2，则标准方程为x2=y，其焦点在y轴正半轴上，且p=，则其焦点坐标为（0，）；故选：D．3．（5分）有下述说法：①a＞b＞0是a2＞b2的充分不必要条件．②a＞b＞0是的充要条件．③a＞b＞0是a3＞b3的充要条件．则其中正确的说法有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：①a＞b＞0⇒a2＞b2，反之不成立，例如取a=﹣3，b=1．因此a＞b ＞0是a2＞b2的充分不必要条件，正确．②a＞b＞0⇒，反之不成立，例如：取a=﹣2，b=1．因此不是充要条件，不正确．③由函数y=x3在R上单调递增，可得：a＞b＞0是a3＞b3的充分不必要条件条件，不正确．则其中正确的说法有一个．故选：B．4．（5分）在△ABC中，A、B、C是三角形的三内角，a、b、c是三内角对应的三边，已知acosB=bcosA，△ABC的形状（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【解答】解：∵acosB=bcosA，∴由正弦定理可得sinAcosB=sinBcosA，sin（A﹣B）=0．又∵﹣π＜A﹣B＜π，∴A﹣B=0．故△ABC的形状是等腰三角形，故选：B．5．（5分）若函数f（x）=x n+3x+2x在点M（1，6）处切线的斜率为3+3ln3，则n 的值是（）A．1 B．2 C．4 D．3【解答】解：函数f（x）=x n+3x+2x的导数f′（x）=nx n﹣1+3x ln3+2，则在点M（1，6）处切线的斜率k=f′（1）=n+3ln3+2=3+3ln3，解得n=1，故选：A．6．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S n=2a n+1，则当n＞1时，S n=（）A．（）n﹣1 B．2n﹣1 C．（）n﹣1 D．（﹣1）【解答】解：∵S n=2a n+1，得S n=2（S n+1﹣S n），即3S n=2S n+1，由a1=1，所以S n≠0．则=．∴数列{S n}为以1为首项，公比为的等比数列∴S n=．故选：A．7．（5分）在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（）A．24种B．48种C．96种D．144种【解答】解：本题是一个分步计数问题，∵由题意知程序A只能出现在第一步或最后一步，∴从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列，有A21=2种结果∵程序B和C实施时必须相邻，∴把B和C看做一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列，共有A44A22=48种结果根据分步计数原理知共有2×48=96种结果，故选：C．8．（5分）已知f（x）=x3﹣ax在（﹣∞，﹣1]上是单调函数，则a的取值范围是（）A．（3，+∞）B．[3，+∞）C．（﹣∞，3）D．（﹣∞，3]【解答】解：∵函数f（x）=x3﹣ax在（﹣∞，﹣1]上是单调函数，∴f′（x）≥0或f′（x）≤0在（﹣∞，﹣1]上恒成立，即a≤3x2在（﹣∞，﹣1]上恒成立，或a≥3x2在（﹣∞，﹣1]上恒成立，∵3x2≥3，∴a≤3，即实数a的取值范围是（﹣∞，3]，故选：D．9．（5分）已知函数，则其导函数f′（x）的图象大致是（）A． B．C．D．【解答】解：∵f（x）=x2sinx+xcosx，∴f′（x）=x2cosx+cosx，∴f′（﹣x）=（﹣x）2cos（﹣x）+cos（﹣x）=x2cosx+cosx=f′（x），∴其导函数f′（x）为偶函数，图象关于y轴对称，故排除A，B，当x→+∞时，f′（x）→+∞，故排除D，故选：C．10．（5分）已知双曲线的一条渐近线与函数y=1+lnx+ln2的图象相切，则双曲线C的离心率是（）A．2 B．C．D．【解答】解：设切点（m，n），则n=m，n=1+lnm+ln2，∵y=1+lnx+ln2，∴y′=，∴，∴n=1，m=，∴=，∴e==．故选：D．11．（5分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x都有f（x）≥0，则的最小值为（）A．3 B．C．2 D．【解答】解：∵f'（x）=2ax+b，∴f'（0）=b＞0；∵对于任意实数x都有f（x）≥0，∴a＞0且b2﹣4ac≤0，∴b2≤4ac，∴c＞0；∴，当a=c时取等号．故选：C．12．（5分）若函数f（x）=（x+1）2﹣alnx在区间（0，+∞）内任取有两个不相等的实数x1，x2，不等式＞1恒成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，3）B．（﹣∞，﹣3）C．（﹣∞，3]D．（﹣∞，﹣3]【解答】解：∵＞1恒成立，∴f′（x）=2（x+1）﹣＞1在（1，+∞）上恒成立，∴a＜2x（x+1）﹣x=2x2+x在（1，+∞）恒成立，令g（x）=2x2+x，则g（x）的图象开口向上，对称轴为x=﹣，∴g（x）＞g（1）=3，∴a≤3．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知实数x、y满足则目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣9．【解答】解：如图作出阴影部分即为满足约束条件的可行域，由z=x﹣2y，得y=x﹣z，平移直线y=x﹣z，由图象可知当直线y=x﹣z经过点A，直线y=x﹣z的截距最大，此时z最小，由得点A（3，6），当x=3，y=6时，z=x﹣2y取最小值，为﹣9．故答案为：﹣914．（5分）函数y=x+的取值范围为y≤﹣4或y≥4．【解答】解：x＞0时，y≥2=4，当且仅当x=2时取等号．x＜0时，y=﹣≤2=4，当且仅当x=﹣2时取等号．综上可得：y≤﹣4或y≥4．故答案为：y≤﹣4或y≥4．15．（5分）已知等差数列{a n}中，a5+a7=dx，则a4+a6+a8=3．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a5+a7=dx==（x﹣）+（﹣x）|=1﹣+=2，∴a5+a7=2a6=2，解得a6=1，∴a4+a6+a8=3a6=3．故答案为：3．16．（5分）设动点P在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上，记=λ．当∠APC为锐角时，λ的取值范围是．【解答】解：由题设可知，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，则有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，1）由=（1，1，﹣1），得=（λ，λ，﹣λ），所以=（﹣λ，﹣λ，λ）+（1，0，﹣1）=（1﹣λ，﹣λ，λ﹣1），=（﹣λ，﹣λ，λ）+（0，1，﹣1）=（﹣λ，1﹣λ，λ﹣1），所以∠APC为锐角等价于cos∠APC＞0，则等价于•＞0，即（1﹣λ）（﹣λ）+（﹣λ）（1﹣λ）+（λ﹣1）2=（λ﹣1）（3λ﹣1）＞0，∵0≤λ＜1，∴，0≤λ＜因此，λ的取值范围是，故答案为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）在△ABC中，A、B、C是三角形的三内角，a、b、c是三内角对应的三边，已知b2，a2，c2成等差数列．（1）求cosA的最小值；（2）若a=2，当A最大时，△ABC面积的最大值？【解答】解：（1）∵b2，a2，c2成等差数列，∴2a2=b2+c2，∴，又∵cosA===≥=（当且仅当b=c时等号成立），即cosA最小值为．（2）由（1）知，且b2+c2=2a2=8≥2bc，∴bc≤4，∴=．（其他方法合理即可）18．（12分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，若{a n}和都是等差数列，且公差相等．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=，c n=b n•b n+1，求数列{c n}的前n项和T n．（1）∵{a n}为等差数列，且S n为其前n项和，∴，【解答】解：又∵为等差数列，且与{a n}公差相等，∴，∴，∴a n=a1+（n﹣1）d=．（2）∵C n=b n•b n+1，∴=，∴T n=C1+…+C n=．19．（12分）如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．（1）求证：AD⊥BM；（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为．【解答】证明：（1）∵长方形ABCD中，，，M为DC的中点，∴AM=BM=2，∴BM⊥AM．∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM，∴BM⊥平面ADM，∵AD⊂平面ADM，∴AD⊥BM．（2）以O为原点，OA为x轴，ON为y轴，OD为z轴，建立如图所示的直角坐标系设，则平面AMD的一个法向量，=（1﹣λ，2λ，1﹣λ），，设平面AME的一个法向量，则，∴取y=1，得x=0，y=1，，∴，∵=．∴得或λ=﹣1，经检验得满足题意．∴E为BD的三等分点．20．（12分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，过焦点垂直长轴的弦长为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右顶点作直线交抛物线y2=2x于A、B两点，求证：OA⊥OB．【解答】解：（1）椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，过焦点垂直长轴的弦长为3，则有，解可得a=2，c=1，则b2=a2﹣c2=3．所以，所求椭圆的标准方程为．（2）证明：设过椭圆的右顶点（2，0）的直线AB的方程为x=my+2．代入抛物线方程y2=2x，得y2﹣2my﹣4=0．设A（x1，y1）、B（x2，y2），则，∴x1x2+y1y2=（my1+2）（my2+2）+y1y2=（1+m2）y1y2+2m（y1+y2）+4=0．∴OA⊥OB．21．（12分）已知函数f（x）=x+，g（x）=﹣x﹣ln（﹣x）其中a≠0，（1）若x=1是函数f（x）的极值点，求实数a的值及g（x）的单调区间；（2）若对任意的x1∈[1，2]，∃x2∈[﹣3，﹣2]使得f（x1）≥g（x2）恒成立，且﹣2＜a＜0，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵，其定义域为（0，+∞），∴；又x=1是函数h（x）的极值点，∴f'（1）=0，即1﹣a2=0，∴a=1或a=﹣1；经检验，a=1或a=﹣1时，x=1是函数h（x）的极值点，∴a=1或a=﹣1；（2）假设存在实数a，对任意的x1∈[1，2]，∃x2∈[﹣3，﹣2]都有f（x1）≥g（x2）成立，等价于对任意的x1∈[1，2]x2∈[﹣3，﹣2]时，都有[f（x）]min≥[g（x）]min，当x∈[1，2]时，．∴函数g（x）在[﹣3，﹣2]上是减函数．∴[g（x）]min=g（2）=2+ln2．∵=，且x∈[1，2]，﹣2＜a＜0，①当﹣1＜a＜0且x∈[1，2]时，，∴函数在[1，2]上是增函数．∴[f（x）]min=f（1）=1+a．由1+a2≥2+ln2，得，又∵﹣1＜a＜0，∴不合题意．②当﹣2＜a≤﹣1时，若1≤x＜﹣a，则，若﹣a＜x≤2，则，∴函数在[1，﹣a）上是减函数，在（﹣a，2]上是增函数．∴[f（x）]min=f（﹣a）=﹣2a﹣2a≥2+ln2，得，∴．综上，存在实数a的取值范围为．22．（12分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为，（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的普通方程和极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是，射线OM：θ=与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【解答】解：（1）圆C的参数方程为，（φ为参数），则cosφ=x﹣1，sinφ=y，∵sin2φ+cos2φ=1，可得（x﹣1）2+y2=1，即圆C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1，又∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ；（2）由题意得，由极坐标方程ρ=2cosθ，得，由直线的极坐标方程，得极坐标方程几何意义可得线段PQ的长：．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
【全国校级联考】河南省豫南九校2016-2017学年高二下学期期中联考数学(文)试题(解析版)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 复数，若复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，则（）A. B. C. D. 5【答案】C【解析】解：有题可知：，则 5.本题选择D选项.2. 命题：,,,则命题的否定为（）A. ,，B. ,，C. ,，D. ,，【答案】D3. 抛物线上有两点，到焦点的距离之和为7，则，到轴的距离之和为（）A. 8B. 7C. 6D. 5【答案】D【解析】依题意，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，准线与轴的距离是，故到轴的距离之和为.点睛：本题主要考查抛物线的定义.对于圆锥曲线的定义，往往是解圆锥曲线小题的关键.如本题中的抛物线，由于抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，而准线与轴的为，这样的话两个点到轴的距离就比到准线的距离少.熟记圆锥曲线的定义，还需要熟练画出图像，结合图像来解题也是很重要的方法.4. 函数的单调递增区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：函数的定义域为，由题意可得：，函数的单调递增区间满足：，即函数的单调递增区间是.本题选择C选项.5. 若双曲线的渐近线的方程为，则双曲线焦点到渐近线的距离（）A. B. C. 5 D.【答案】A6. 用反证法证明“，，中至少有一个大于0”，下列假设正确的是（）A. 假设，，都大于0B. 假设，，中都不大于0C. 假设，，中都小于0D. 假设，，至多有一个大于0【答案】B【解析】解：由于命题：“，，中至少有一个大于0”的反面是：“，，中都不大于0”，故用反证法证明“，，中至少有一个大于0”，下列假设正确的是“假设，，中都不大于0”.本题选择B选项.7. 已知，是两个正实数，且，则有（）A. 最小值4B. 最大值4C. 最小值2D. 最大值2【答案】A【解析】解：∵，∴a+b=ab，，当且仅当a=b=2时取等号，故则ab有最小值为4.本题选择A选项.8. 两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类.如下图中实心点的个数5，9，14，20，…为梯形数.根据图形的构成，记此数列的第2017项为，则（）A. B. C. D.【答案】C点睛：根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：相邻项的变化特征；拆项后的各部分特征；符号特征．应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．9. 已知，满足不等式组，若直线平分不等式组所表示的平面区域的面积，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】不等式组表示的可行域为三角形，如图所示：目标函数所在直线将其可行域平行，因为，所以，设，则，得，所以.故选D.10. 函数的导函数，满足关系式，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A11. 已知椭圆（）的离心率为，则双曲线的离心率为（）A. 2B.C.D.【答案】B【解析】解：在椭圆方程中：，在双曲线中： .本题选择B选项.点睛：求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e的关系式求e或e的范围；另一种是建立a，b，c的齐次关系式，将b用a，e表示，令两边同除以a或a2化为e的关系式，进而求解．12. 函数是定义在区间上可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】解：构造函数：，则：，函数g(x)在区间上单调递增，不等式等价于：，即：，结合函数的定义域和单调性有：，求解不等式可得的解集为.本题选择D选项.点睛：对于该类问题，可从不等式的结构特点出发，构造函数，借助导数确定函数的性质，借助单调性或最值实现转化．构造函数法是在求解某些数学问题时，根据问题的条件或目标，构想组合一种新的函数关系，使问题在新函数下转化并利用函数的有关性质解决原问题是一种行之有效的解题手段。
《解析》河南省南阳市六校联考2016-2017学年高二下学期第一次月考数学试卷(文科)Word版含解析
2016-2017学年河南省南阳市六校联考高二（下）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．若复数（a2﹣4）+（a﹣2）i（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a=（）A．0 B．2 C．﹣2 D．±22．有一段“三段论”推理是这样的“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点；因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f'（x0）=0，所以x=0是函数f（x）=x3的极值点．”以上推理中：（1）大前提错误；（2）小前提错误；（3）推理形式正确；（4）结论正确．你认为正确的序号是（）A．（1）（3）B．（2）（3）C．（1）（4）D．（2）（4）3．用反证法证明命题：“若正系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a=0）有有理根，那么a，b，c中至多有两个是奇数”时，下列假设中正确的是（）A．假设a，b，c都是奇数B．假设a，b，c至少有两个是奇数C．假设a，b，c至多有一个是奇数D．假设a，b，c不都是奇数4．在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…（x n，y n）（n≥2，x1，x2，…，x n不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=2x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A．﹣1 B．0 C．2 D．15．已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如表：且回归方程是y=0.65x+2.7，则m=（）A．5.6 B．5.3 C．5.0 D．4.76．观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…则a11+b11=（）A．123 B．76 C．28 D．1997．为了调查中学生近视情况，某校150名男生中有80名近视，140名女生中有70名近视，在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力（）A．平均数B．方差C．回归分析D．独立性检验8．数列{a n}的前项和为，且，利用归纳推理，猜想{a n}的通项公式为（）A．B．C．D．9．设a，b，c大于0，则3个数的值（）A．至多有一个不大于1 B．都大于1C．至少有一个不大于1 D．都小于110．下面命题：①如果让实数a与ai对应，那么实数集与纯虚数集一一对应；②两个复数互为共轭复数的充要条件是其积为实数；③x=y=1是x+yi=1+i的充分非必要条件；④0比﹣i大．其中正确的命题的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．011．在平面几何中，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这个正三角形的高的．”拓展到空间中，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的（）A．B．C．D．12．已知P（x0，y0）是抛物线y2=2px（p＞0）上的一点，过P点的切线方程的斜率可通过如下方式求得，在y2=2px两边同时对x求导，得2yy'=2p，则，所以过点P的切线的斜率，试用上述方法求出双曲线在处的切线方程为（）A．2x﹣y=0 B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若复数z满足，则的值为．14．用反证法证明“若x2﹣1=0，则x=﹣1或x=1”时，应假设．15．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是．16．如图所示的三角形数阵角“莱布尼兹调和三角形”，它是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为，每个数使它下一行左右相邻两个数的和，如，则第7行第5个数（从左到右）为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．实数m分别取什么数值时，复数z=（m+2）+（3﹣2m）i（1）与复数12+17i互为共轭；（2）复数的模取得最小值，求出此时的最小值．18．设a，b，c 均为正数，且a+b+c=1，证明：（1）ab+bc+ca≤；（2）++≥1．19．为了了解高血压是否与常喝酒有关，现对30名成年人进行了问卷调查得到如下列联表：已知在全部30人中随机抽取1人，抽到正常血压成年人的概率为． （1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99%的把握认为高血压与常喝酒有关？说明理由；（3）4名调查人员随机分成两组，每组2人，一组负责问卷调查，另一组负责数据处理，求工作人员甲分到负责收集数据组，工作人员乙分到负责数据处理组的概率．参考数据： （参考公式：K 2=）20．对于三次函数f （x ）=ax 3+bx 2+cx +d （a ≠0），给出定义：设f'（x ）是函数y=f （x ）的导数，f''（x ）是f'（x ）的导数，若方程f''（x ）=0有实数解x 0，则称点（x 0，f （x 0））为函数y=f （x ）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若，请根据这一发现，（1）求三次函数的对称中心；（2）计算．21．已知数列{a n }满足：分别是公差不为零的等差数列{b n }的前三项． （1）求k 的值；（2）求证：对任意的n∈N*，b n，b2n，b4n不可能是等比数列．22．某民族的刺绣有着悠久的历史，如图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．先按照同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．（1）求出f（6）的值；（2）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f（n+1）与f（n）之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f（n）的表达式．2016-2017学年河南省南阳市六校联考高二（下）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．若复数（a2﹣4）+（a﹣2）i（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a=（）A．0 B．2 C．﹣2 D．±2【考点】复数的基本概念．【分析】复数是纯虚数，实部为0虚部不为0，求出a的值即可．【解答】解：因为复数a2﹣4+（a﹣2）i（i为虚数单位）是纯虚数，所以a2﹣4=0且a﹣2≠0，解得a=﹣2．故选：C．2．有一段“三段论”推理是这样的“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点；因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f'（x0）=0，所以x=0是函数f（x）=x3的极值点．”以上推理中：（1）大前提错误；（2）小前提错误；（3）推理形式正确；（4）结论正确．你认为正确的序号是（）A．（1）（3）B．（2）（3）C．（1）（4）D．（2）（4）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不难得到结论．【解答】解：∵大前提是：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，且满足当x＞x0时和当x＜x0时的导函数值异号时，那么x=x0是函数f（x）的极值点，∴大前提错误，推理形式正确；故选：A3．用反证法证明命题：“若正系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a=0）有有理根，那么a，b，c中至多有两个是奇数”时，下列假设中正确的是（）A．假设a，b，c都是奇数B．假设a，b，c至少有两个是奇数C．假设a，b，c至多有一个是奇数D．假设a，b，c不都是奇数【考点】反证法的应用．【分析】用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，求得命题：“a，b，c中至多有两个是奇数”的否定，即可得到结论．【解答】解：由于用反证法证明数学命题时，应先把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面．而命题：“a，b，c中至多有两个是奇数”的否定为：“a，b，c中全是奇数”，故选A．4．在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…（x n，y n）（n≥2，x1，x2，…，x n不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=2x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A．﹣1 B．0 C．2 D．1【考点】相关系数．【分析】根据所有数据的样本点都在一条直线上，这组样本数据完全相关，其相关系数为1，得出结果．【解答】解：在一组样本数据的散点图中，所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在一条直线y=2x+1上，那么这组样本数据完全正相关，且相关系数为1．故选：D．5．已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如表：且回归方程是y=0.65x+2.7，则m=（）A．5.6 B．5.3 C．5.0 D．4.7【考点】线性回归方程．【分析】根据已知中的数据，求出数据样本中心点的坐标，代入回归直线方程，进而求出m．【解答】解：∵=2，=，∴代入回归方程y=0.65x+2.7，得m=4.7，故选：D．6．观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…则a11+b11=（）A．123 B．76 C．28 D．199【考点】进行简单的合情推理；数列的函数特性．【分析】由a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…其规律a n+b n（n≥3）是前两个式的和．于是可得a6+b6=7+11=18，a7+b7=11+18=29，…．【解答】解：由a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…可以看到：其规律a n+b n（n≥3）是前两个式的和．可得a6+b6=7+11=18，a7+b7=11+18=29，a8+b8=18+29=47，a9+b9=29+47=76，a10+b10=47+76=123，∴a11+b11=76+123=199．故选D．7．为了调查中学生近视情况，某校150名男生中有80名近视，140名女生中有70名近视，在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力（）A．平均数B．方差C．回归分析D．独立性检验【考点】独立性检验的应用．【分析】这是一个独立性检验应用题，处理本题时要注意根据已知构建方程计算出表格中男性近视与女性近视，近视的人数，并填入表格的相应位置．根据列联表，及K2的计算公式，计算出K2的值，并代入临界值表中进行比较，不难得到答案．【解答】解：分析已知条件，易得如下表格．根据列联表可得：K2，再根据与临界值比较，检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关，故利用独立性检验的方法最有说服力．故选：D．8．数列{a n}的前项和为，且，利用归纳推理，猜想{a n}的通项公式为（）A．B．C．D．【考点】归纳推理．【分析】数列{a n}中，前n项和为S n，由a1=，S n=n2a n（n∈N*），可得S1；由S2可得a2的值，从而得S2；同理可得S3；可以猜想此数列的通项公式．【解答】解：在数列{a n}中，前n项和为S n，且a1=，S n=n2a n（n∈N*），∴S1=a1==；∴S2=+a2=4a2，∴a2==，∴S3=+a3=9a3，∴a3==；…∴猜想此数列的通项公式a n=，故选：B9．设a，b，c大于0，则3个数的值（）A．至多有一个不大于1 B．都大于1C．至少有一个不大于1 D．都小于1【考点】反证法．【分析】利用发证法，假设3个数的值均大于1，则a＞b，b＞c，c ＞a，显然矛盾，故假设不成立．【解答】解：由题意，若3个数的值均大于1，则a＞b，b＞c，c＞a，显然矛盾，∴若3个数的值至少有一个不大于1，故选C．10．下面命题：①如果让实数a与ai对应，那么实数集与纯虚数集一一对应；②两个复数互为共轭复数的充要条件是其积为实数；③x=y=1是x+yi=1+i的充分非必要条件；④0比﹣i大．其中正确的命题的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据特殊情况当a=0时没有纯虚数判断①；根据共轭复数的定义和复数的运算判断②；由x、y不一定是实数判断③；根据虚数不能比较大小判断④；【解答】解：对于①，当a=0时，没有纯虚数和它对应，故错；对于②，两个复数互为共轭复数时其积为实数，但是两个复数的积为实数不一定是共轭复数故错；对于③∵没有表明x，y是否是实数，∴x+yi=1+i不能得到x=y=1是错误的，故正确；对于④，实数与虚数不能比较大小，故不正确．故选：C11．在平面几何中，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这个正三角形的高的．”拓展到空间中，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的（）A．B．C．D．【考点】类比推理．【分析】平面图形类比空间图形，二维类比三维得到类比平面几何的结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体高的，证明时连接球心与正四面体的四个顶点．把正四面体分成四个高为r的三棱锥，正四面体的体积，就是四个三棱锥的体积的和，求解即可．【解答】解：从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，可得如下结论：正四面体的内切球半径等于这个正四面体高的．证明如下：球心到正四面体一个面的距离即球的半径r，连接球心与正四面体的四个顶点．把正四面体分成四个高为r的三棱锥，所以4×S•r=•S•h，r=h．（其中S为正四面体一个面的面积，h为正四面体的高）故选B．12．已知P（x0，y0）是抛物线y2=2px（p＞0）上的一点，过P点的切线方程的斜率可通过如下方式求得，在y2=2px两边同时对x求导，得2yy'=2p，则，所以过点P的切线的斜率，试用上述方法求出双曲线在处的切线方程为（）A．2x﹣y=0 B．C．D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】把双曲线的解析式变形后，根据题中的例子，两边对x求导且解出y′，把P的坐标代入求出切线的斜率，然后根据切点P的坐标和求出的斜率，写出切线方程即可．【解答】解：由双曲线，得到y2=2x2﹣2，根据题意，两边同时对x求导得：2yy′=4x，解得y′=，由，得到过P得切线的斜率k=2，则所求的切线方程为：y﹣=2（x﹣），即2x﹣y﹣=0．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若复数z满足，则的值为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由，得=，∴．则=．故答案为：．14．用反证法证明“若x2﹣1=0，则x=﹣1或x=1”时，应假设x≠﹣1且x≠1．【考点】反证法与放缩法．【分析】根据命题的否定的定义，求得命题“若x2﹣1=0，则x=﹣1或x=1”的否定为，即为所求．【解答】解：用反证法证明数学命题时，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的否定．而命题“若x2﹣1=0，则x=﹣1或x=1”的否定为：“若x2﹣1=0，则x≠﹣1且x≠1”，故答案为：x≠﹣1且x≠1．15．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是丙．【考点】进行简单的合情推理．【分析】这是一个简单的合情推理题，我们根据“四位歌手的话只有两句是对的”，假设某一个人说的是真话，如果与条件不符，说明假设不成立，如果与条件相符，则假设成立的方法解决问题．【解答】解：若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意．若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意．若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意．故答案为：丙．16．如图所示的三角形数阵角“莱布尼兹调和三角形”，它是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为，每个数使它下一行左右相邻两个数的和，如，则第7行第5个数（从左到右）为．【考点】归纳推理．【分析】根据题意，设“莱布尼兹调和三角形”中第n行第m个数为a（n，m），归纳可得每一行的第一个数字就是这个行数的倒数，且两个数字之和等于两个数字上方的数字之和，可得a（5，1）、a（6，1）、a（7，1）的值，进而可得a（7，2）与a（6，2）的值，而又由a（7，3）=a（6，2）﹣a（7，2），计算可得a（7，3）的值，结合“莱布尼兹调和三角形”的对程性，分析可得答案．【解答】解：根据题意，设“莱布尼兹调和三角形”中第n行第m个数为a（n，m），由于“莱布尼兹调和三角形”中，每一行的第一个数字就是这个行数的倒数，且两个数字之和等于两个数字上方的数字之和，则a（5，1）=，a（6，1）=，a（7，1）=，a（7，2）=a（6，1）﹣a（7，1）=，a（6，2）=a（5，1）﹣a（6，1）=，a（7，3）=a（6，2）﹣a（7，2）=﹣=，根据“莱布尼兹调和三角形”的对程性，分析可得a（7，5）=a（7，3）=；故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．实数m 分别取什么数值时，复数z=（m +2）+（3﹣2m ）i（1）与复数12+17i 互为共轭；（2）复数的模取得最小值，求出此时的最小值．【考点】复数的基本概念．【分析】（1）根据共轭复数的定义得到关于 m 的方程组，解出即可；（2）根据二次函数的性质求出|z |的最小值即可．【解答】解：（1）根据共轭复数的定义得：，解得：m=10；（2）|z |==，当m=时，复数的模取最小值．18．设a ，b ，c 均为正数，且a +b +c=1，证明：（1）ab +bc +ca ≤；（2）++≥1．【考点】不等式的证明．【分析】（1）a 2+b 2≥2ab ，b 2+c 2≥2bc ，c 2+a 2≥2ca ，由累加法，再由三个数的完全平方公式，即可得证；（2）+b ≥2a ， +c ≥2b ， +a ≥2c ，运用累加法和条件a +b +c=1，即可得证．【解答】证明：（1）由a 2+b 2≥2ab ，b 2+c 2≥2bc ，c 2+a 2≥2ca ，可得a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ca ，（当且仅当a=b=c 取得等号）由题设可得（a +b +c ）2=1，即a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca=1，即有3（ab +bc +ca ）≤1，则ab +bc +ca ≤；（2）+b ≥2a ， +c ≥2b ， +a ≥2c ， 故+++（a +b +c ）≥2（a +b +c ），即有++≥a +b +c ．（当且仅当a=b=c 取得等号）． 故++≥1．19．为了了解高血压是否与常喝酒有关，现对30名成年人进行了问卷调查得到如下列联表：已知在全部30人中随机抽取1人，抽到正常血压成年人的概率为． （1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99%的把握认为高血压与常喝酒有关？说明理由；（3）4名调查人员随机分成两组，每组2人，一组负责问卷调查，另一组负责数据处理，求工作人员甲分到负责收集数据组，工作人员乙分到负责数据处理组的概率．参考数据：（参考公式：K 2=） 【考点】独立性检验．【分析】（1）在全部30人中随机抽取1人，抽到正常血压成年人的概率为，求出正常血压成年人的人数，这样用总人数减去正常血压成年人的人数，剩下的是不正常血压成年人的人数，根据所给的另外两个数字，填上所有数字．（2）根据列联表所给的数据，代入求观测值的公式，把观测值同临界值进行比较，得到有99.5%的把握认为高血压与常喝酒有关．（3）利用列举法，求出基本事件的个数，即工作人员甲分到负责收集数据组，工作人员乙分到负责数据处理组的概率．【解答】解：（1）抽到正常血压成年人有30×=12人，（2）由已知数据可求得：K2==10＞7.879，因此有99.5%的把握认为高血压与常喝酒有关．（3）设其他工作人员为丙和丁，4人分组的所有情况如下表分组的情况总有6中，工作人员甲负责收集数据且工作人员乙负责处理数据占两种，所以工作人员甲负责收集数据且工作人员处理数据的概率是P==．20．对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f'（x）是函数y=f （x）的导数，f''（x）是f'（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若，请根据这一发现，（1）求三次函数的对称中心；（2）计算．【考点】函数的值；导数的运算．【分析】（1）先求出f′（x）=x2﹣x+2，f''（x）=2x﹣1，由f''（x）=2x﹣1=0，解得x=，再由f（）=1，能求出的对称中心．（2）由的对称中心为（），得到f（x）+f（1﹣x）=2，由此能求出．【解答】解：（1）∵，∴f′（x）=x2﹣x+2，f''（x）=2x﹣1，由f''（x）=2x﹣1=0，解得x=，∵f（）=1，∴由题设知的对称中心为（）．（2）∵的对称中心为（），∴，即f（x）+f（1﹣x）=2，∴=2×2016=2016．21．已知数列{a n}满足：分别是公差不为零的等差数列{b n}的前三项．（1）求k的值；（2）求证：对任意的n∈N*，b n，b2n，b4n不可能是等比数列．【考点】数列递推式；等比数列的通项公式．【分析】（1）a1=2，a n+1=﹣ka n+k，可得a2=4﹣k，a3=2k2﹣11k+16，又2a2=a1+a3代入解出即可得出．（2）由（1）可得：公差d=﹣，可得b n=．假设b n，b2n，b4n是等比数列，=b n•b4n，利用通项公式代入解出即可得出结论．【解答】（1）解：∵a1=2，a n+1=﹣ka n+k，∴a2=4﹣k，a3=2k2﹣11k+16，又2a2=a1+a3，∴2（4﹣k）=2+2k2﹣11k+16，化为：2k2﹣9k+10=0，解得k=2或，又公差不为零的等差数列{b n}，∴k=．（2）证明：由（1）可得：公差d=4﹣﹣2=﹣，可得b n=2﹣（n﹣1）=．假设b n，b2n，b4n是等比数列，∴=b n•b4n，∴=×，化为：解得n=0与n∈N*矛盾．因此假设不成立，于是对任意的n∈N*，b n，b2n，b4n不可能是等比数列．22．某民族的刺绣有着悠久的历史，如图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．先按照同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．（1）求出f（6）的值；（2）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f（n+1）与f（n）之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f（n）的表达式．【考点】进行简单的合情推理．【分析】（1）根据题意，写出f（1）、f（2）、f（3）、f（4）和f（5），f（6）的值；（2）根据前面5个函数值，得出规律，f（n）﹣f（n﹣1）=4（n﹣1），从而求出f（n）的表达式．【解答】解：（1）根据题意，得出f（1）=1，f（2）=5，f（3）=13，f（4）=25，f（5）=41，f（6）=61；（2）根据前面四个发现规律：f（2）﹣f（1）=4×1，f（3）﹣f（2）=4×2，f（4）﹣f（3）=4×3，…，f（n）﹣f（n﹣1）=4（n﹣1）；这n﹣1个式子相加可得：f（n）=2n2﹣2n+1．2017年5月6日。