组合变形
第九章 组合变形
授课学时：8学时
主要内容：拉弯、斜弯曲和弯扭组合变形的强度和变形的校核和计算。
§9–1 概 述
1．定义
在复杂外载荷作用下，构件的变形会包含几种简单变形，当几种变形所对应的应力属同一量级时，不能忽略之，这类构件的变形称为组合变形。
2．组合变形形式
两个平面弯曲的组合；拉伸或压缩与弯曲的组合；扭转与弯曲。
3．组合变形的研究方法 —— 叠加原理 对于线弹性状态的构件，将其组合变形分解为基本变形，考虑在每一种基本变形下的应力和变形，然后进行叠加。
4．解题步骤
外力分析：外力向形心简化并沿主惯性轴分解
内力分析：求出每个外力分量对应的内力方程和内力图，确定危险面。
应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的强度条件。
§9–2拉(压)弯组合
例 起重机的最大吊重kN P 12=，[]2/100m kN =σ。
试为横梁AB 选择适用的工字钢。
解：
（1）受力分析
由
0=∑A
M
得
kN T y 18=，kN T T y x 245
.12
==
（2）作AB 的弯矩图和剪力图，确定C
（3）确定工字钢型号
按弯曲强度确定工字钢的抗弯截面系数
[]36
3
12010
1001012cm M
W =⨯⨯=≥σ
查表取3
141cm W =的16号工字钢，其横截面积为21.26cm 。
在C 左侧的下边缘压应力最大，需要进行校核。
+
=
MPa
MPa W M A N 1003.94101411012104.26102463
4
3max max <=⨯⨯+⨯⨯=+=--σ
固所选工字钢为合适。
§9–3斜弯曲
1．斜弯曲概念：梁的横向力不与横截面对称轴或形心主惯性轴重合，这时杆件将在形心主惯性平面内发生弯曲，变形后的轴线与外力不在同一纵向平面内，
2．解题方法
1）分解：将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交的平面弯曲。
2）叠加：对两个平面弯曲进行研究；然后将计算结果叠加起来。
例 矩形截面悬臂梁，求根部的最大应力和梁端部的位移。
解：
（1）将外载荷沿横截面的形心主轴分解
ϕcos P P y =，ϕsin P P z =
（2）外载荷在固定端两平面内的弯矩
ϕcos Pl l P M y z -=-=ϕsin Pl l P M z y -=-=
（3）应力
由弯矩z M 引起任意点C 处应力
y I Pl I y M z
z z ∙-==
ϕ
σcos ' 由弯矩y M 任意点C 处应力
z I Pl I y M y
y
y ∙-
==
ϕ
σsin '
' （4）最大正应力—在C 处的应力叠加为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∙+∙-=+=z I Pl y I Pl y
z ϕϕσσσsin cos '
''
（5）变形计算 由y P 引起的垂直位移
z
z y y EI Pl EI l P f 3cos 333
ϕ
=
=
由z P 引起的垂直位移
y
y z z EI Pl EI l P f 3sin 333ϕ
=
= 将z f 、y f 几何叠加得
2
2
3
2
22
1sin cos 3⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
+=
y z I I E
Pl
f f f ϕϕ ϕψtan tan y
z
y z I I f f ==
上式说明挠度所在平面与外力所在的平面并不重合。
§9–4弯曲与扭转的组合
1．外力向杆件截面形心简化
P 向轴心简化得一等值力和扭矩
2
PD
m T =
= xz 平面内的弯矩 l
ab
P M t y =
max , xy 平面内的弯矩l Pab M z =max
,
2
22
max
,2max ,P P l
ab
M M M t z y +=+=
2．画内力图确定危险截面
在危险截面上，与扭矩T t W T =
τ 与合成弯矩对应的弯曲正应力的极值为
W
M =
σ D
点的主应力为
421
222231=+±=⎭⎬
⎫στσσσσ 3．确定危险点并建立强度条件 按第三强度理论，强度条件是
[]σσσ≤-31
PD M ab P τPab M
[]στσ≤+224
对于圆轴W W t 2=，其强度条件为
][2
2σ≤+W
T M
按第四强度理论，强度条件为
()()()[]
[]σσσσσσσ≤-+-+-2132322212
1
经化简得出
[]στσ≤+223
对于圆轴，其强度条件为
][75.02
2σ≤+W
T M。
材料力学组合变形
组合变形和叠加原理 拉伸或压缩与弯曲旳组合 扭转与弯曲旳组合
目录
§8-1 组合变形和叠加原理
一、组合变形旳概念
构件在荷载作用下发生两种或两种以上旳基本变形,则构件 旳变形称为组合变形.
l 基本变形 u 拉伸、压缩
u 剪切
u 扭转
u 弯曲
二、处理组合变形问题旳基本措施－叠加法
叠加原理旳成立要求:内力、应力、应变、变形等与外力之 间成线性关系.
M A(F) 0
F 42 kN
H 40 kN, V 12.8 kN
l 内力图 l 危险截面
C 截面
M C 12 kNm, N 40 kN
l 设计截面旳一般环节
u 先根据弯曲正应力选择工字钢型号； u 再按组合变形旳最大正应力校核强度，必要时选择大一号或 大二号旳工字钢； u 若剪力较大时，还需校核剪切强度。
按第四强度理论
Qy My T
r4
1 W
Mz Qz
M 2 0.75T 2 47.4 MPa [ ]
(3) 曲柄旳强度计算
l 危险截面 III-III截面
l 计算内力 u 取下半部分
Qx Qz
N R2 C1 13 kN Mx m H2 d /2
765 Nm
M z R2 (a b / 2) 660 Nm
横截面上任意一点 （ z, y） 处旳正应 力计算公式为
1.拉伸正应力
FN
A
2.弯曲正应力
Mz y
Iz
FN Mz y
A Iz
( z,y)
Mz
z
O
x
FN
y
3.危险截面旳拟定
作内力图
F1
轴力
组合变形(工程力学课件)
偏心压缩（拉伸）
轴向拉伸（压缩）
偏心压缩
F2 F2e
轴向压缩（拉伸）和 弯曲两种基本变形组合
偏心压缩（拉伸）
单向偏心压缩（拉伸）
双向偏心压缩（拉伸）
单向偏心压缩（拉伸）
外力
内力
平移定理
应力
+
=
弯矩
轴力
max
min
FN A
Mz Wz
【例 1】求横截面上的最大正应力
F 50 kN
e 10 mm
组合变形的概念 及其分析方法
杆件的四种基本变形
轴向拉压 剪切 扭转
F
F
F
F
Me
Me
沿轴线的伸长或缩短 相邻横截面相对错动 横截面绕轴线发生相对转动
Me
弯曲
Me
F
轴线由直线变为曲线 横截面发生相对的转动
两种或两种以上基本变形的组合，称为组合变形
常见的 组合变形
（1）拉（压）弯组合 （2）斜弯曲（弯、弯组合） （3）偏心压缩（拉伸） （4）弯扭组合
24 106 401.88 103
64
4.3 59.7 64 [ ] 满足强度要求
59.7 55.4
斜弯曲
平面弯曲
作用线与截面的 纵向对称轴重合
梁弯曲后挠曲线位于外力F所在的纵向对称平面内
斜弯曲
作用线不与截面 的对称轴重合
梁弯曲后挠曲线不再位于外力F所在的纵向平面内
图示矩形截面梁，应用叠加原理对其进行分析计算：
3、应力分析
( z,y)
横截面上任意一点 （ z, y） 处 的正应力计算公式为
Mz
z
O
x
1.拉伸正应力
N
简述几种工程中常见的组合变形
简述几种工程中常见的组合变形
在工程中，组合变形是指由多个形式不同的变形组合而成的变形形式，常见的组合变形有以下几种：
1. 弯曲和剪切组合变形：当物体同时受到弯曲和剪切的变形时，会出现这种组合变形形式。
在制造和使用过程中，这种变形会导致物体的强度和刚度下降。
2. 拉伸和压缩组合变形：当物体同时受到拉伸和压缩的变形时，会出现这种组合变形形式。
这种变形会影响物体的强度和刚度，严重时会导致物体的破坏。
3. 扭曲和弯曲组合变形：当物体同时受到扭曲和弯曲的变形时，会出现这种组合变形形式。
这种变形会影响物体的形状和尺寸，严重时还会影响物体的使用功能。
4. 压缩和剪切组合变形：当物体同时受到压缩和剪切的变形时，会出现这种组合变形形式。
这种变形会影响物体的强度和刚度，严重时还会导致物体的破坏。
以上是几种工程中常见的组合变形，工程师需要对这些组合变形进行分析和评估，以保证工程设计的可靠性和安全性。
- 1 -。
组合变形
第八章组合变形§8-1 组合变形和叠加原理一、组合变形的概念：构件的基本变形：拉压、剪切挤压、扭转、弯曲。
由两种或两种以上基本变形的组合---称为组合变形。
如：梁的弯曲和拉压变形的组合。
轴的扭转和弯曲变形的组合。
梁的弯曲与剪切变形的组合（横力弯曲）。
李禄昌liluchang二、叠加法---解决组合变形问题的基本方法*：1、叠加原理：复杂外力进行简化、分解为几组静力等效载荷。
→ →每一组载荷对应着一种基本变形。
→ →分别计算一种基本变形的内力、应力、应变、挠度。
→ →将所有结果叠加，便是构件发生组合变形时的内力、应力、应变、挠度。
2、叠加原理的几个原则*：⑴、分量（内力、应力、应变、位移）与外力成线性关系。
⑵、与外力加载的先后顺序无关，⑶、材料服从胡克定律（线弹性变形）。
⑷、应用原始尺寸原理。
注意：各分量叠加时，同方向的相同分量可以用代数和叠加。
如：正应力与正应力、切应力与切应力。
3、叠加原理应用的基本步骤：xxσ(1) 、将载荷进行分解，产生几种基本变形;（2）、分析每种基本变形，确定危险截面；（3）、计算构件在每种基本变形情况下的危险截面内的应力；（4）、将各基本变形情况下的应力叠加，确定最危险点；**（5）、计算主应力，选择适合的强度理论，进行强度校核。
而不同方向的分量，应采用不同的求和方法，如：正应力与切应力之间。
σσσ'''=+τττ'''=+22p στ=+xτ不要用这个公式。
斜弯曲PϕyzxyzlP zP yP 不考虑剪应力Kk σσσ'''=+y z z y M z M y I I -sin cos z yP z P y I I ϕϕ=--cos y yyM z P zI I σϕ''=-=-sin ,z z zM y P y I I σϕ'=-=-如果是圆截面？§8-2 弯曲与拉伸的组合变形一、受力及变形特点：xyzlFF轴向拉伸F偏心拉伸zMyM附加力偶1、轴向力：产生拉压正应力:()()12x x zN x M x yA I σσσ=+=+注意两个应力正负号。
《组合变形完整》课件
通过在平面上的移动，改变元素的位置并创造新的形状。
旋转变形
通过绕中心点或轴旋转，改变元素的方向和角度。
缩放变形
通过改变元素的尺寸和比例，实现大小的变化。
பைடு நூலகம்
组合变形的应用实例
汽车刹车灯组合变形实例
通过组合和变换不同形状的灯光元素，实现了刹车时的 亮起与变形效果。
纸牌变形实例
将纸牌变形为不同的形状和结构，创造出令人惊叹的魔 术效果和艺术呈现。
《组合变形完整》PPT课 件
组合变形是一种有趣而强大的技术，通过结合和变换不同元素，创造出新的 形状和结构，本课程将带你深入了解组合变形的概念与应用。
什么是组合变形？
组合变形是一种将不同元素通过结合和变换创造新形状和结构的技术。通过 组合和变换，可以实现创造性的设计和工程应用。
组合变形的基本类型
使用编程语言和计算机图形学的知识，实现组合 变形算法并应用于实际项目。
结语
组合变形技术的应用带来了许多好处，从提升设计灵活性到改善工程应用的 效率。展望未来，组合变形将继续发展并创造更多创新和突破。
组合变形在工程上的应用
设计软件的应用
组合变形在设计软件中被广泛应用，用于创建新的形状和结构，提升设计的创意和灵活性。
机器人操作的应用
组合变形技术使机器人能够通过结合和变换不同部件，适应不同的任务和环境，提高机器人 的操作效率。
组合变形的技术细节
1 算法分析
2 编程实现
通过深入研究不同的算法和数学模型，实现高效 且精确的组合变形技术。
组合变形
MT WT
在杆的根部a处取一单元体分析
y 0, x B , x T
计算主应力
1 B B 2 2 ( ) T 2 3 2
2 0
第三、第四强度理论
r 3 4
2 B 2 T
2 2 r4 B 3 T
即最大安全载荷为 790N。
r3
M 2 T2 W
(0.2Q ) 2 (0.18Q ) 2 6 80 10 0.033 32 Q 790N
例8-5 某齿轮轴，n=265r/min、NK=10kW、D1=396mm， D2=168mm， =20o ， d=50mm，[]= 50MPa。校核轴的强度。
C max
N M max c A Wz
例8-1 悬臂吊车,横梁由 25 a 号工字钢制成，l=4m，电葫芦重 Q1=4kN，起重量Q2=20kN, =30º , []=100MPa，试校核强度。
（1）外力计算
取横梁AB为研究对象，受力如 图b所示。
梁 上载荷为 P =Q1+Q2 = 24kN， 斜杆的拉力S 可分解为XB和YB
f
f f
2 y
2 z
如悬臂梁自由端挠度等于P的分量 平面内挠度的几何叠加。
py , pz
在各自弯曲
pl 3 fy cos 3 EI z 3 EI z pz l 3 pl 3 fz sin 3 EI y 3 EI y
pyl 3
故自由端的总挠度：
f
f f
2 y
2 z
总挠度 f 的方向线与y轴之间的夹角 可由下式求得
如图b所示。
（2）作内力图
组合变形实验实验原理
组合变形实验实验原理
组合变形实验原理：组合变形是一种使用微小组件（如导线、电流源、电阻等）进行实验，以探索电路中各组件的相互作用、电流和电压的变化规律的方法。
该实验原理涉及电路理论和基本电路组件的工作原理。
以下是一些实验原理的例子：
1. 串联电阻：当电阻器以串联方式连接时，电流在各个电阻器之间得到分割，而总电阻等于各个电阻器阻值之和。
根据欧姆定律，电压与电流成正比，因此在串联电阻中，总电压等于各个电阻器上的电压之和。
2. 并联电阻：当电阻器以并联方式连接时，电流在电阻器之间得到并联，而总电流等于各个电阻器上的电流之和。
根据欧姆定律，电压与电流成正比，因此在并联电阻中，总电阻等于各个电阻器阻值之和的倒数。
3. 电流分流法则：根据基尔霍夫定律，电流在分支处会根据电阻的比例进行分流。
当电流通过分支电路时，分支中的电阻越小，电流就会越大；反之，分支中的电阻越大，电流就会越小。
4. 电压合并法则：根据基尔霍夫定律，电压在回路中各个点之间的总和等于零。
通过在电路中放置电压源时，根据电压的正负方向可以确定各个电压的相对大小。
以上仅为组合变形实验的一些基本原理示例，实际实验中可能涉及更多的电路组件和变化模型，具体原理需根据实验设计和目标进行调整和解释。
组合变形
1 b
断裂破坏仅与最大正应力有关。适用于脆性材料的二向或
2最大正应变理论（第二强度理论） ：
由于
1 1 [ 1 ( 2 3 )] E
1 b
当最大正应变等于强度极限对应的正应变时，断裂破坏。
b
b
E
1 ( 2 3 ) b
m
x
m m
Pz
z Py y
m
z
P
P
y
Py P sin Pz P cos
矩形截面梁，作用集中力P与Z轴成角，确定m—m截面的应力
m
m
Mz
z
Mz My
m
z
My
m
M
y
y
Py P sin Pz P cos M yz Iy
Mzy Iz
M y Pz x Px cos M cos M z Py x Px sin M sin
z y cos sin 0 Iy Iz
过形心的斜直线
最大、最小正应力，a、b两点。
斜弯曲时中性轴斜率与弯矩作用面的关系
z y cos sin 0 中性轴方程 Iy Iz z Iy tan tan y Iz
z
y
中性轴
当 I y I z 时， 说明载荷作用面与中性层不垂直 当 Iy Iz 时
1 3 2
对应第四强度理论
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 3 2
复杂应力状态危险点单元体的强度条件：
ri [ ]
ri
第八章组合变形及连接部分的计算
P2 a
m
z
x
P1
m
x
y
m
z x
My
m
y
P1 在 m—m 面内产生的弯矩为 My = P1 x （使梁在 XZ 平面内弯曲，y 为中性轴）
P2 a
m
z
x
P1
m
x
y
m
MZ z x
My
m
y
P2 在 m—m 面内产生的弯矩为 MZ = P2 (x-a) （使梁在 XY 平面内弯曲，z 为中性轴）
二 、 梁横截面上的应力分析 （任意点 C(y, z) 的正应力）
z
tg Iy tg
Iz
M
y
梁的挠曲线一般仍是一条空间曲线，故梁的扰曲线方程仍应分别 按两垂直面内的弯曲来计算，不能直接用合成弯矩进行计算。
四、 强度分析
中性轴
Байду номын сангаас
作平行于中性轴的两直线分别与
D1 z
o
横截面周边相切于 D1 、D2两点
，D1 、D2 两点分别为横截面上
最大拉应力点和最大压应力点。
D2
A 截面： D 截面：
(max
)A
M zA Wz
M W
yA y
(21.5103)q
(max
)D
M zD Wz
M yD Wy
(16.02103)q
梁的危险点在 A 截面棱角处
max
(max )A
M zA Wz
M yA Wy
(21.5103)q
[]
160106
[q] 160103 7.44kN/m 21.5
§8-1 概述
一、 组合变形概念 : 构件在荷载作用下发生两种或两种 以上的基本变形,则构件的变形称为组合变形。
组合变形
第10章组合变形§10-1 组合变形的概念1.组合变形的概念组合变形：构件往往会发生两种或两种以上的基本变形的这类变形。
在前面各章分别讨论了杆件在拉(压)、剪切、扭转和弯曲基本变形时的应力和强度计算。
工程实际中，杆件在荷载作用下所发生的变形，经常是两种或两种以上基本变形的组合，这种变形称为组合变形。
例如图10．1(a)所示屋架檩条的变形，是由y/z两个方向的平面弯曲变形组成的斜弯曲；如图10．1(b)所示厂房柱，在偏心力F作用下，会发生压缩和弯曲的组合变形；如图10．1(c)所示的卷扬机轴在力F作用下，则发生弯曲和扭转的组合变行。
2．组合变形的分析方法及计算原理处理组合变形问题的方法：1.将构件的组合变形分解为基本变形；2.计算构件在每一种基本变形情况下的应力；3.将同一点的应力叠加起来，便可得到构件在组合变形情况下的应力。
叠加原理是解决组合变形计算的基本原理叠加原理应用条件：即在材料服从胡克定律，构件产生小变形，所求力学量定荷载的一次函数的情况下，计算组合变形时可以将几种变形分别单独计算，然后再叠加，即得组合变形杆件的内力、应力和变形。
计算原理：（1）圣维南原理以静力等效力系代替构件原有的荷载，为此，要求构件为细长杆，且所求应力的截面远离外力作用点；（2）叠加原理 按各基本变形计算后进行叠加，为此，要求构件处于线弹性范围内，且变形很小，可按构件的原始形状的尺寸进行计算。
在小变形和线弹性条件下，杆件上各种力的作用彼此独立，互不影响，即杆上同时有几种力作用时，一种力对杆的作用效果（变形或应力），不影响另一种力对杆的作用效果（或影响很小可以忽略）。
因此组合变形下杆件内的应力，可视为几种基本变形下杆件内应力的叠加。
本章中组合变形下杆件的应力计算，将以各基本变形的应力及叠加法为基础。
叠加法的主要步骤：a 、将组合变形按照各基本变形的条件，分解为几种基本变形，简称分解。
b 、利用基本变形的应力计算公式，分别计算各点处的正应力和切应力。