信号与系统第九章
例1.
x(t ) e u(t )
1 X ( s ) e e dt e dt 0 0 sa 在 Re[s] a 时，积分收敛。
at st ( s a )t
at
当 a 0 时， x(t ) 的傅里叶变换存在
X ( j ) e e
X ( j ) x(t )e t e jt dt F[ [ x(t )e t ]
x(t )e
t
1 2
X ( j )e j t d
t j t
1 x(t ) 2
1 X ( j )e e d 2
kn s pn s p
k1 k2 X ( s) s p1 s p2
系数 k ( s p ) k1 k2 i i s p1 s p2
( s pi ) X ( s) s p
i
i
25
1 例 1. 求 X ( s ) ( s 1)( s 2)
i i i i
12
零点：分子多项式的根 极点：分母多项式的根 零极点图：将 X ( s ) 的全部零点和极点表示在S平面上 零极点图及其收敛域可以表示一个 X ( s ) 最多相差一个常数因子
因此，零极点图是拉氏变换的图示方法。
13
9.2 拉氏变换的收敛域
The Region of Convergence for Laplace Transforms 可以归纳出ROC的以下性质： 1. 2. ROC是 S 平面上平行于 j 轴的带形区域。 在ROC内无任何极点。
X (s) e e dt e e dt
t st 2t st 0 0
t
2t
j
1
1 e u(t ) , Re[s ] 1 s 1
t
j
2
1 e u (t ) , Re[s] 2 s2
2 t
11
j
1 1 2s 3 X ( s) 2 , s 1 s 2 s 3s 2
0 在 ROC 内，1 0 ，则
T
x(t )e
1t
dt
T
x(t )e
0t
0t (1 0 ) t
e
dt
e
(1 0 )T
T
x(t )e
dt
表明 1 也在收敛域内。
16
6.双边信号的ROC如果存在，一定是S平面内平行 于 j 轴的带形区域。
u(t ) u(t )
Re[ s] 0
1 可知 u (t ) s
例2. x(t ) e
0
at
u(t )
0 ( s a )t
X ( s ) e e dt e
at st
1 Re[s] a dt sa
8
与例1.比较，区别仅在于收敛域不同。
显然X ( s ) 在 s a 也有一阶零点，由于零极点 相抵消，致使在整个S平面上无极点。
18
例2. x(t ) e
bt
b t
1 e u (t ) , Re[s] b s b
bt
1 e u (t ) , sb
x(t ) ebt u(t ) ebt u(t )
第9章
拉普拉斯变换
本章基本内容：
1. 2. 3. 4. 5. 6. 双边拉普拉斯变换； 双边拉普拉斯变换的收敛域； 零极点图与傅里叶变换几何求值； 双边拉普拉斯变换的性质； 系统函数与LIT系统的拉氏变换分析与表征； 单边拉普拉斯变换；
1
9.0 引言 Introduction
相当广泛的信号都可以表示成复指数信号的线性组合 复指数函数是一切 LTI 系统的特征函数 傅里叶变换是以复指数函数的特例 e j t 和 e j n 为基底分解信号的。以一般的复指数函数 e st和 为基底，也能对信号进行分解。 本章及下一章要讨论的中心问题
2 1
Re[ s] 1
思考： x(t ) e2t u(t ) et cos(3t )u(t ) 的收敛域？ 可见：拉氏变换的收敛域是各个收敛域的公共部 分。ROC总是以平行于 j 轴的直线作为边界的， ROC的边界总是与 X ( s ) 的分母的根相对应的。
(s ) N (s) M 若 X ( s ) 是有理函数 X ( s) D( s ) (s )
j
2
1
可以形成三种 ROC：
1)
2)
ROC： Re[ s] 1
ROC：Re[s] 2
此时 x(t )是右边信号。 此时 x(t )是左边信号。
3)
ROC： 2 Re[ s] 1 此时 x(t )是双边信号。
21
9. 3 拉普拉斯反变换
The Inverse Laplace Transform 一.定义： 由 X (s) x(t )e st dt 若 s j 在ROC内，则有:
x(t ) e e
t
2 t
u (t )
2 1
j
右边信号
27
（ 2） X ( s )
1 1 s 1 s 2
ROC : Re[ s] 2
1 t , ROC : Re[ s] 1 e u ( t ) s 1
0
at j t
1 dt a j
(a 0)
显然，在 a 0 时，拉氏变换收敛的区域为
Re[s] a ，包括了 0 （即 j 轴）。
7
比较 X ( s ) 和 X ( j )，显然有
X ( s)
s j
X ( j )
at
当 a 0时， x(t ) e
4
一.双边拉氏变换的定义：
X (s) x(t )e dt
st
双边拉氏变换 特例：
s j
s j 则有: X ( j ) x(t )e jt dt 若 0，
傅里叶变换 表明：连续时间傅里叶变换是双边拉普拉斯变换 在 0 或是在 j 轴上的特例。
3.
时限信号且绝对可积，则ROC是整个 S 平面。
14
4.
右边信号的ROC位于S平面内一条平行于 j 若 x(t ) 是右边信号, T t , 0 在ROC内，
轴的直线的右边。 则有 x(t )e 0t 绝对可积，即：
0t
T
x(t )e
dt
x(t )e
1t
24
部分分式展开式法（当 X ( s ) 是有理函数）
N s N (s) X (s) D s ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
1、 X ( s ) 有单阶实数极点
p1 , p2 , p3
pn 为 D( s) 0 不同实数根，则
kn s pn
例 1.
x(t )
e
0
at
0tT
其它 t
at st
X ( s ) e e dt
0
T
e
0
T
( s a )t
1 ( s a )T dt [1 e ] sa
17
X ( s )有极点
s a
( s a )T
考查零点，令 e
1
2 k（k为整数） 得 s a j T
1. 右边信号的ROC一定位于 X ( s ) 最右边极点 的右边。 2. 左边信号的ROC一定位于 X ( s ) 最左边极点的 左边。 3. 双边信号的ROC可以是任意两相邻极点之间 的带形区域。
20
1 例 3. X ( s ) 2 s 3s 2 1 1 s 1 s 2
9
3. 不同的信号可能会有完全相同的拉氏变换表达
式，只是它们的收敛域不同。 4. 只有拉氏变换的表达式连同相应的收敛域，才
能和信号建立一一对应的关系。 5. 如果拉氏变换的ROC包含 j 轴，则有
X ( j ) X ( s)
s j
10
二. 拉氏变换的ROC及零极点图：
) e u () t 例3. x(t) e u( t
5
由于 X (s)
x(t )e e
t jt
dt [ x(t )e t ]e jt dt
F[ [ x(t )e
t
]
表明： x(t ) 的拉氏变换就是 x(t )e t 的傅里叶变换。 引入 后，使得有些本来不满足狄里赫利条件 的信号 x(t ) 的傅氏变换不收敛，而它的拉氏变换 存在。 拉氏变换是对傅里叶变换的推广 拉氏变换比傅里叶变换有更广泛的适用性。
2 1
j
2 1
2 1
右边信号
左边信号
双边信号
26
（ 1） X ( s )
1 1 s 1 s 2
ROC : Re[ s] 1
1 , ROC : Re[ s] 1 e t u (t ) s 1
1 , ROC : Re[ s] 2 e2t u (t ) s2
的反变换
k1 k2 X (s) s 1 s 2
解：将X ( s )展开成部分分式得 其中
1 k1 ( s 1) X ( s) s 1 1 s 2 s 1
k2 ( s 2) X ( s) s 2 1 1 s 1 s 2
郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第9章 离散傅里叶变换以及其他离散正
1．离散傅里叶级数变换对
2 / 52
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台
N 1
DFS xp n X p k xp nW nk
n0
IDFS X p
k
xp
n
1 N
N 1 k 0
Xp
k W nk
其中，W
3．以 DFT[x（n）]表示的频响特性
将上面所得 X（z）内插表示式中的 z 限于单位圆周，令 z ej ，得 X（z）表示的频
响特性为：
X
e j
N 1
X
k 0
k keΒιβλιοθήκη jN 1Xk 0
k
k
2π N
其中，
1 N
sin
N 2
sin
2
e
j
N 1 2
，满足
k
2π 4
k
0
1
e
j
3π 2
k
21 cos
πk 2
N 1
【总结】离散周期序列傅里叶变换公式： DFS xp n X p k xp nW nk ， n0
其中，W
定义为
e
j
2π N
。
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9-2 若周期序列 xP（n）为实数序列，则 DFS[xP（n）]＝Xp（k）呈共轭对称性，即
定义为
e
j
2π N
。
2．离散傅里叶变换关系式
设有限长序列 x（n）长度为 N（在 0≤n≤N－1 范围内），它的离散傅里叶变换
X（k）仍然是一个长度为 N（在 0≤k≤N－1 范围内）的频域有限长序列，即
信号与系统-第九章1
2、状态变量：用以描述状态的变量叫状态变量。 ！注意几点：1）个数要合适，2）x( t 0 ) 是 t 0 的状态，以及其它点连接起来的曲线叫状态 轨迹，这个矢量空间叫做状态空间。 3）状态变量的选取不是唯一的。 3、状态方程的直观编写法 1）取所有独立的电感电流和电容电压作为状 态变量
6 2）对于电感电流写一个包括电流导数在内的
x 3 x 2 e
' 2 ' 3
则状态方程和输出方程可
以写为
x 4 x 3 e y x1 x 2 2 x 3
' x1 1 0 0 x1 1 ' x 2 0 3 0 x 2 1 e ' x3 0 0 4 x 3 1
At At At
Ce
x(0) Ce
At
B D ( t ) f ( t )
31
4、状态转移矩阵 e At 的计算方法
At At At At 1) e I At 2! 3! 4! n! k k At k! k 0
At 2 2 3 3 4 4 n n
2) e sI A ( s ) 1 ( s ) sI A 是复频域的状态转移矩 阵
若 H (z)
b z
k 0 N k
M
k
0 1 k ak z 0 0 k 0 则A 0 0 0 0 a0 a1
1
0 0 1 0
an 2
0 0 0 1 a23 n 1
21
2s 19s 37 例3、求 H ( s ) 3 s 12s 2 41s 30 2 2 s 19 s 37 的状态方程 ( s 1)( s 5)( s 6) 解： 则状态
同济大学信号与系统第九章第4讲_dft
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x1 (n)
X 1 (e j )
0
n
0
x2 (n)
X 2 (e j )
n
Ye
yn x1 (n) x2 (n)
j
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 n weixzh@
T 0.1ms
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二.DFT与连续信号傅氏变换相对数值的确定 1.连续时间非周期信号傅氏变换对
X j 1 xt 2
x(t )e
jt
dt
jt
X j e
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（二）快速相关 相关和自相关也可借助FFT完成。
x(n) h(n) X(k) x(n) FFT 序列相乘 共轭 H*(k) X(k)H*(k) IFFT y(n)
相关
y(n)
h(n)
FFT
H(k)
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IFFT
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在快速卷积过程中，共需要2次FFT，1次IFFT，相当 于3次FFT运算量，在一般数字滤波中，由h(n)求H(k) 是事先计算完成放在存储器中，故只需2次FFT的运算 量，若假设N1=N2 =N ，则补零后：
用DFT计算所得的频谱分量乘以T的理由：
设
t nT , dt T ,
X ( j )
n N 1
x (t )e jt dt
信号与系统课件sas第九章22
x1
(n)
0
n0
0 x2 (n) -an
n0 n0
求X1(z)及 X2(z)
9.1 分析离散信号与系统有力数学工具——Z变换（Z Transform，Z.T）
【解】
X1(z) an zn (az1)n
n0
n0
当公比 az1 1 即 z a 时级数收敛，
X1(z)
1 1 az1
z
z a
9.1 分析离散信号与系统有力数学工具——Z变换（Z Transform，Z.T）
9.1.1 离散时间信号（序列）的变换和它的收敛域
则有 X1(z) z2 2z1 3z0 4z1 z3
ROC：除 z 0, z 以外的整个 z 平面
X 2 (z) z2 3z3 5z4
ROC：除以外 z 0 的整个 z 平面
n0
n1
9.1 分析离散信号与系统有力数学工具——Z变换（Z Transform，Z.T）
故确定 X (z) 的收敛域有两情况：
情况I
a b 可见由于两个幂级数的收敛域互不重叠，
换句话说没有共同的收敛域，所以x(n) 的z 变换
不存在。
情况II a b 可见由于两个幂级数的收敛域相互重叠，
其重叠部分为一环域，所以 x(n) 的 z 变换为
【例9-3】已知序列
9.1.1 离散时间信号（序列）的变换和它的收敛域
序列 x(n)的 z 变换是一个无穷的幂级数，式中复函
数仅仅对那些使幂级数收敛的 z 值才有意义。因而对序列 的 z 变换必须标以它的收敛域（ROC）。
例如已知序列
x1
(n)
{1,
2,
3,
4,
0,1}
信号与线性系统分析(基于MATLAB的方法与实现)第九章
已知周期半波余弦信号与周期全波余弦信号的波形如图所示,用MATLAB编程求出它的傅立叶系数,绘出其直流、一次、二次、三次、四次及五次谐波叠加后的波形图,并将其与原周期信号的时域波形进行比较,观察周期信号的分解与合成过程。
% dm09101% 观察周期方波信号的分解与合成% m:傅里叶级数展开的项数display('Please input the value of m (傅里叶级数展开的项数)'); % 在命令窗口显示提示信息m = input('m = '); % 键盘输入傅里叶级数展开的项数t = -2*pi:0、01:2*pi; % 时域波形的时间范围-2π~2π,采样间隔0、01n = round(length(t)/4); % 根据周期方波信号的周期,计算1/2周期的数据点数f = cos(t)、*(t<(-3*pi/2))+cos(t)、*((t>(-pi/2))&(t<(pi/2)))+cos(t)、*(t>3*pi/2); %构造周期方波信号y = zeros(m+1,max(size(t)));y(m+1,:) = f';figure(1);plot(t/pi,y(m+1,:),'LineWidth',2); %绘制方波信号grid; %在图形中加入栅格axis([-2 2 -0、5 1、5]); %指定图形显示的横坐标范围与纵坐标范围title('周期信号'); %给显示的图形加上标题xlabel('单位pi','Fontsize', 8); %显示横坐标单位x = zeros(size(t));kk = '直流分量';pause;k=1;x = x+1/pi;y(1,:) = x; %计算各次谐波叠加与plot(t/pi,y(m+1,:),'LineWidth',2);hold on;plot(t/pi,y(1,:),'r','LineWidth',3); %绘制谐波叠加信号 hold off;grid;axis([-2 2 -0、5 1、5]);title(strcat(kk));xlabel('单位pi','Fontsize', 8);kk = strcat(kk,'与第',num2str(k));pause;k=k+1;x = x+0、5、*cos(t);y(2,:) = x; %计算各次谐波叠加与plot(t/pi,y(m+1,:),'LineWidth',2);hold on;plot(t/pi,y(2,:),'r','LineWidth',3); %绘制谐波叠加信号 hold off;grid;axis([-2 2 -0、5 1、5]);title(strcat(kk,'次谐波叠加'));xlabel('单位pi','Fontsize', 8);kk = strcat(kk,'、',num2str(k));pause;x = x+2/(3、*pi)、*cos(2、*t);y(3,:) = x; %计算各次谐波叠加与plot(t/pi,y(m+1,:),'LineWidth',2);hold on;plot(t/pi,y(3,:),'r','LineWidth',3); %绘制谐波叠加信号 hold off;grid;axis([-2 2 -0、5 1、5]);title(strcat(kk,'次谐波叠加'));xlabel('单位pi','Fontsize', 8);kk = strcat(kk,'、',num2str(k+2));pause;x = x-2/(15、*pi)、*cos(4、*t);y(4,:) = x; %计算各次谐波叠加与plot(t/pi,y(m+1,:),'LineWidth',2);hold on;plot(t/pi,y(4,:),'r','LineWidth',3); %绘制谐波叠加信号 hold off;grid;axis([-2 2 -0、5 1、5]);title(strcat(kk,'次谐波叠加'));xlabel('单位pi','Fontsize', 8);pause;plot(t/pi,y(1:m+1,:),'LineWidth',3);grid;axis([-2 2 -0、5 1、5]);title('各次谐波叠加波形');xlabel('单位pi','Fontsize', 8);% End-2-1.5-1-0.500.51 1.52-0.500.511.5周期信号单位pi-2-1.5-1-0.500.51 1.52-0.500.511.5直流分量单位pi-2-1.5-1-0.500.51 1.52-0.500.511.5直流分量和第1次谐波叠加单位pi-2-1.5-1-0.500.51 1.52-0.500.511.5直流分量和第1、2次谐波叠加单位pi-2-1.5-1-0.500.51 1.52-0.500.511.5直流分量和第1、2、4次谐波叠加单位pi-2-1.5-1-0.500.51 1.52-0.500.511.5各次谐波叠加波形单位pi% dm09201% 绘制周期信号的频谱特性 function CTFS_RP% 以周期矩形脉冲信号为例,计算其频谱特性% Nf:级数分解的谐波次数,由键盘输入% Nn:输出数据的准确位数% a0:直流项系数% an:第1,2,3,、、、次谐波余弦项展开系数% bn:第1,2,3,、、、次谐波正弦项展开系数% tao:周期矩形脉冲信号脉宽,由键盘输入% T:周期矩形脉冲信号周期,由键盘输入display('Please input the value of T, tao and Nf'); %命令窗口提示用户输入参数T = input('T = ');tao = input('tao = ');Nf = input('Nf = ');syms t n k x ; %定义符号变量Nn = 32; %输出数据的位数为32位an = zeros(Nf+1,1); %分配an系数数组bn = zeros(Nf+1,1); %分配bn系数数组x=(heaviside(t+tao/2)-heaviside(t-tao/2))*cos((pi/tao)*t); %构造一个周期的脉冲信号u(t+tao/2)-u(t-tao/2)A0 =2*int(x,t,-T/2,T/2)/T; %求出直流项a0As=2*int(x*cos(2*pi*n*t/T),t,-T/2,T/2)/T; %求出余弦项系数anBs=2*int(x*sin(2*pi*n*t/T),t,-T/2,T/2)/T; %求出正弦项系数bnan(1) = double(vpa(A0,Nn)); %获取参数组A0所对应的ASCII码数值数组for k=1:Nfan(k+1)=double(vpa(subs(As,n,k),Nn)); %获取参数组As所对应的ASCII码数值数组bn(k+1)=double(vpa(subs(Bs,n,k),Nn)); %获取参数组Bs所对应的ASCII码数值数组endcn = sqrt(an、*an+bn、*bn); %计算幅度谱t = -T*2:0、001:T*2;xx =(heaviside(t+tao/2)-heaviside(t-tao/2))、*cos((pi/tao)、*t);for kk=1:2xx=xx+(heaviside(t+tao/2+kk*T)-heaviside(t-tao/2+kk*T))、*cos((pi/tao)、*(t+kk*T))+(heaviside(t+tao/2-kk*T)-heaviside(t-tao/2-kk*T))、*cos((pi/tao)、*(t-kk*T)); %用pulstran函数生成矩形脉冲信号endsubplot(211); %将显示窗口分为3个子窗口,并指向第1个子窗口clear subplot;plot(t,xx); %绘制周期矩形脉冲信号axis([-T*2 T*2 0 1、1]); %指定坐标系范围%title('周期矩形脉冲信号','Fontsize',8); %标注标题s1 = strcat('周期矩形脉冲信号 T=',num2str(T),' Tao=',num2str(tao),'t');xlabel(s1,'Fontsize',8); %x轴标签subplot(212); %指向第2个子窗口k = 0:Nf;stem(k,cn); %绘制幅度谱hold on;plot(k,cn); %绘制幅度谱包络线xlabel('幅度谱 \omega','Fontsize',8);% EndPlease input the value of T, tao and Nf T = 2*pi tao = pi Nf = 30-10-55100.20.40.60.81周期矩形脉冲信号 T=6.2832 T ao=3.1416t幅度谱Please input the value of T, tao and Nf T = 2*pi tao = 2*pi Nf = 30-10-55100.20.40.60.81周期矩形脉冲信号 T=6.2832 T ao=6.2832t幅度谱 ωPlease input the value of T, tao and Nf T = 20*pi tao = pi Nf = 30-100-50501000.20.40.60.81周期矩形脉冲信号 T=62.8319 T ao=3.1416t幅度谱 ωPlease input the value of T, tao and Nf T = 20*pi tao = 4*pi Nf = 30-100-50501000.20.40.60.81周期矩形脉冲信号 T=62.8319 T ao=12.5664t幅度谱Please input the value of T, tao and Nf T = 200*pi tao = pi Nf = 30-1000-500050010000.51周期矩形脉冲信号 T=628.3185 T ao=3.1416t051015202530-3幅度谱。
信号与系统 Chapter9 SS-L3
s2Y (s) s 3sY (s) 3 2Y (s) / s
Y (s) (s 3)
,
(s 1)(s 2) s(s 1)(s 2)
Yzi (s)
Yzc (s)
zero-input response
zero-condition response
x(t)u(t) e2tu(t) LT X (s) X (s) 1 , Re{s}: (2, ) s2
x'(t)u(t) LT sX (s) x(0 ) s 1 s2 2
s 2 , Re{s}: (2, ) 2(s 2)
[x(t)u(t)]'LT sX (s) s , Re{s}: (2, ) s2
9 The Laplace Transform
9.9 The Unilateral LT
THE tool to analyze causal CT systems described by LCCDE’s with initial conditions
Definition: X (s) x(t)est dt 0
X 2 (s) X (s)
a
X (s) 1 s
aX (s)
1 X (s) s
9 The Laplace Transform
Example 9.28
H(s)
1
Y(s)
s 3 X (s)
We can describe the system as
d y(t) 3y(t) x(t) sY (s) 3Y (s) X (s) dt
(s 1) (s 2)
s
Y (s)
X (s)
1
E1(s) 1 Y2 (s) 1
信号与系统-奥本海姆-中文答案-chapter-9
第九章9.6 解：(a) 若是有限持续期信号Roc 为整个s 平面，故存在极点不可能，故不可能为有限持续期。
(b) 可能是左边的。
(c) 不可能是右边的，若是右边信号，它并不是绝对可积的。
(d) x(t)可能为双边的。
9.8 解：因为te t x t g 2)()(=的傅氏变换，)(ωj G 收敛所以)(t x 绝对可积若)(t x 为左边或者右边信号，则)(t x 不绝对可积故)(t x 为双边信号9.10 解：(a) 低通(b) 带通(c) 高通9.14 解：dt e t x s X st ⎰∞∞--=)()(， 由)(t x 是偶函数可得)()()(t d e t x s X st --=⎰-∞∞ dt e t x t s ⎰∞∞----=)()(dt e t x t s ⎰∞∞---=)()( )(s X -=421πj e s =为极点，故421πj e s -=也为极点，由)(t x 是实信号可知其极点成对出现，故421πj e s -=与421πj e s --=也为极点。
)21)(21)(21)(21()(4444ππππj j j j e s e s e s e s Ms X --++--=由⎰∞∞-=4)(dt t x 得 4)0(=x所以，M ＝1/4 即，42}Re{42<<-s 9.21 解： (a) 3121)(+++=s s s X 2}Re{->s (b) 25)5(541)(2++++=s s s X 4}Re{->s (c) 3121)(----=s s s X 2}Re{<s (d) 22)2(1)2(1)(--+=s s s X 2}Re{2<<-s (e) 22)2(1)2(1)(-++-=s s s X 2}Re{2<<-s (f) 2)2(1)(-=s s X 2}Re{<s (g) )1(1)(s e ss X --= 0}Re{>s (h) 22)1()(se s X s -=- 0}Re{>s(i) ss X 11)(+= 0}Re{>s (j) ss X 131)(+= 0}Re{>s9.23 解：1． Roc 包括 Re{s}=32． Roc 包括 Re{s}=03． Roc 在最左边极点的左边4． Roc 在最右边极点的右边图1：1，2}Re{>s2，2}Re{2<<-s3，2}Re{-<s4，2}Re{>s图2： 1，2}Re{->s2，2}Re{->s3，2}Re{-<s4，2}Re{->s图3： 1，2}Re{>s2，2}Re{<s3，2}Re{<s4，2}Re{>s图4： 1，S 为整个平面2，S 为整个平面3，S 为整个平面4，S 为整个平面9.25 解：图略9.27 解：)(t x Θ为实信号，)(s X 有一个极点为j s +-=1)(s X ∴另一个极点为j s --=1)1)(1()(j s j s M s X ++-+=∴ 又Θ8)0(=X16=∴M 则，)1(8)1(8)(j s j j s j s X -+-++= 1}Re{->s 或者1}Re{-<s 之一使其成立又 )(2t x e tΘ不是绝对可积的 ∴ 对任一个s ，右移2，不一定在Roc 中因此，1}Re{-<s9.35 解： (a) )(1)(*)(s X st u t x L −→−Θ 那么方框图表示的方程为)(*)(*)(6)(*)()()(*)(*)()(*)(2)(t u t u t y t u t y t y t u t u t x t u t x t x --=++即 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞-∞-∞-∞-∞-∞---=++t tt t t t dt d y d y t y dt d x d x t x ττττττττ)(6)()()()(2)( 对两边求导可得)(6)()()()()(2222t x dt t dx dtt x d t y dt t dy dt t y d --=++ (b) 126)(22++--=s s s s s H 121-==s s 是)(s H 的二重极点，由于系统是因果的所以 1}Re{->sRoc 包含虚轴，所以系统是稳定的。
清华大学信号与系统课件第九章离散傅立叶变换及其快速算法
1 N
N 1
x p (n )e
j 2N kn
n0
• FT
FT [ f ( t )] 2
n
• FT
F n ( n 1 )
FT [ f ( t )] 2 1 Ts N
N 1
2 Ts
n
a
k
( n )
所以知道DFT=X(k)就可以 求得离散周期信号的FT,也 就可以找到其他三种的FT
n
X p ( k ) ( n )
X ( k ) ( k LN ) 24
n0
例#：已知N 的x(n)序列的 DFT如图所示，求下图x1，x2， x3, , x4的FT
x(n)
0
n
N
1
0
X (k )
N
k
x1 x p ( n )
X (k )
x ( n )W
k (n N ) 2N
nk 2N
n0
N 1
2 N 1
x ( n )W
nk 2N
n0
nN
x ( n N )W
nk 2
N 1 n
x ( n )W N
k
k 2
n0
N 1
x ( n )W N W
kN 2N
n0
[1 ( 1)
k2 ] X 1N
3
（1）连续周期信号的傅立叶变 换
FT [ f ( t )] 2
n
F n ( n 1 )
jn 1 t
信号与系统概述第9章拉普拉斯变换特点与方法
X (s) e a te std t e (s a )td t1
0
0
s a
在 Re[s]时收a 敛
当 a 时0 ， x的( 傅t ) 里叶变换存在
X(j)0eatejtdta1j (a 0 )
显然，在 a 时0 ，拉氏变换收敛的区域
Re[s]，a包括了 （ 即 0 轴）。j
比较 X ( 和s ) X，( j显 )然有
9.1 拉普拉斯变换
The Laplace Transform
复指数信号 e s 是t 一切LTI系统的特征函数。
如果LTI系统的单位冲激响应为 h ( t ) ，则系统对
e s t 产生的响应是:
y(t)H(s)est ，其中 H(s) h(t)estdt
显然当s 时j，就是傅里叶变换。的根称为零点，分母多项式的根 称为极点。
将 X 的( s )全部零点和极点表示在 S 平面上就构 成了零极点图。零极点图及其收敛域可以表示 一个 ，最X ( s多) 与真实的 相差X一( s个) 常数因子 。
因此，M零极点图是拉氏变换的图示方法。
9.2 拉氏变换的收敛域
The Region of Convergence for Laplace Transforms
0
0
etu(t) 1 , s1
Re[s]1
e2tu(t) 1 , Re[s]2 2 s2
j
j
Re[s]1
j
2 1
可见：拉氏变换的收敛域是各个收敛域的公共部分。
ROC总是以平行于 轴的j 直线作为边界的，ROC
的边界总是与 的分X (母s ) 的根对应的。
若 X ( 是s ) 有理函数
X(s) N(s) M i (si) D(s) (si)
信号与系统实验九
西北工业大学《信号与系统》实验报告第九章拉普拉斯变换实验报告学院：软件与微电子学院学号：姓名：专业：软件工程实验时间：2016.12 实验地点：毅字楼311 指导教师：陈勇西北工业大学2016 年12 月ps3 = -1.0000 + 3.0000i 或 ps3 = -1.0000 - 3.0000i 或ps3 = -2.00002．对1中每个有理表达式，确定它们的收敛域。
分析：第一个表达式，因果系统收敛域 (3，inf),反因果的为(-inf,3)；第二个表达式，因果系统收敛域 (10，inf),反因果的为(-inf,10)；第三个表达式，因果系统收敛域 (10，inf),反因果的为(-inf,10)。
3．对输入和输出满足下面微分方程：)(5)(2)()(3)(22t x dt t dx dtt x d t y dt t dy ++=-9.2 二阶系统的极点位置1． 定义)(1s H ～)(4s H 分别是1=n ω，而1,41,0=ζ和2时，由上式确定的系统函数。
定义向量a1～a4分别是)(1s H ～)(4s H 分母多项式的系数向量。
求出并画出每个系统极点的位置。
代码：clear;clc;a1=[1 0 1];b=[1];a2=[1 0.5 1];a3=[1 2 1];a4=[1 4 1];2．定义omega=[-5:0.1:5]是这些频率，在这些频率上要计算这4个系统的频率响应。
用freqz 函数计算并画出在1中所定义的这4个系统的)(ωj H 。
对于1<ζ和1≥ζ的频率响应定性来看是怎样的不同？你能解释系统的极点位置为何会导致这种差别？另外，从几何上你能论证为什么对所有这4种系统都有相同的0)(=ωωj H 值吗？代码：clear;clc;a1=[1 0 1];a2=[1 0.5 1];a3=[1 2 1];a4=[1 4 1];b=[1];omega=[-5:0.1:5];H1=freqz(b,a1,omega)分析：当e>=1时，系统更接近理想低通系统。