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2020 年高考数学试题分类汇编：概率

【考点阐述】

随机事件的概率． 等可能性事件的概率． 互斥事件有一个发生的概率． 相互独立事件同时发生的概率．独立重复试验． 【考试要求】

（ 1）了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义． （ 2）了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率． （ 3）了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件

的概率乘法公式计算一些事件的概率．

（4）会计算事件在 n 次独立重复试验中恰好发生

κ 次的概率．

【考题分类】

（一）选择题（共

8 题）

1.（福建卷理 5）某一批花生种子，如果每

1 粒发牙的概率为

4 ,那么播下 4 粒种子恰有 2 粒发

5

芽的概率是（

）

16

96

C.

192

D.

256

A.

B.

625

625

625

625

【标准答案】 B

2

2

【试题解析】 由 P

4 (2) C 42

4

1 96

5

5 625

【高考考点】 独立重复实验的判断及计算 【易错提醒】 容易记成二项展开式的通项

,当然这题因为数字的原因不涉及

.

【学科网备考提示】 请考生注意该公式与二项展开式的通项的区别 ,所以要强化公式的记忆

.

2.（福建卷文 5）某一批花生种子，如果每

1 粒发芽的概率为

4

，那么播下 3 粒种子恰有 2 粒

5

发芽的概率是（

）

12 16

48 96

A.

B.

C.

D.

125

125

125

125

【标准答案】 C

2

1

【标准答案】 由 P 3

(2) C 32 4

1 48

5

5 125

【高考考点】 独立重复实验的判断及计算

【易 提醒】 容易 成二 展开式的通

.

【学科网 考提示】 考生注意 公式与二 展开式的通 的区

3.（江西卷理

11文 11） 子 一天 示的 是从 00:00 到 23: 59 ,所以要 化公式的

的每一 刻都由四个数字

.

成， 一天中任一 刻的四个数字之和

23 的概率 （

）

1

1

1

1

A ．

B ．

C ．

D ．

180

288

360

480

【 准答案】 C .

【 准答案】一天 示的 共有

24 60 1440 种 ,和 23 共有 4 种 ,故所求概率

1 .

360

4. （ 宁卷理 7 文 7） 4 卡片上分 写有数字 1，2， 3， 4，从 4 卡片中随机抽取

2 ，

取出的

2 卡片上的数字之和 奇数的概率 （

）

1

1

2

3

A ．

B ．

C ．

D ．

3

2

3

4

【答案】：C

【解析】：本小 主要考 等可能事件概率求解 。依 要使取出的 2 卡片上的数字之和

奇数， 取出的 2 卡片上的数字必 一奇一偶，

∴取出的

2 卡片上的数字之和 奇数的

概率 P

C 21 C 21 4 2 .

C 32 6 3

5.（全国Ⅱ卷理 6）从 20 名男同学， 10 名女同学中任 3 名参加体能 ， 到的

3 名同

学中既有男同学又有女同学的概率 （

）

9

10

C ．

19

20

A ．

B ．

29

D ．

29

29

29

【答案】 D

【解析】

P C 201 C 102

C 202C 101 20

C 303

29

6.（山 卷理 7）在某地的奥运火炬 活 中，有 号

1， 2， 3，?， 18 的 18 名火炬手 .

若从中任 3 人， 出的火炬手的 号能 成

3 公差的等差数列的概率 （

）

（A ）

1

（ B ）

1

（C ）

1

（ D ）

1

51

68 306

408

【 准答案】 :B 。

【 分析】：属于古典概型 ，基本事件 数

C 183

17 16

3 。

出火炬手 号

a n a 1 3(n 1) ，

a 1 1 ，由 1,4,7,10,13,16 a 1 2 ，由 2,5,8,11,14,17 a 1 3 ，由 3,6,9,12,15,18

可得 4 种 法；

可得 4 种 法；

可得 4 种 法。

P

4 4 4 1 .

17 16 3

68

【高考考点】 : 古典概型

【易 提醒】

: 求目 事件 会出 分 准不明确 致事件的重复 数，如令

a 1 4 所

得 号就与 a 1

1 的情形部分重复。

【学科网 考提示】 :概率的 算与排列 合知 有着密切的 系，情景 置极易生活化，需要构建数学模型。 理解能力要求 高，具有理解新事物 理新信息的能力。

7.（重 卷文 9）从 号

1,2,? ,10 的 10 个大小相同的球中任取 4 个， 所取 4 个球的最大

号 是 6 的概率 （

）

1 1

2 3

(A)

(B)

(C)

(D)

84

21

5

【答案】 B

【解析】 本小 主要考 合的基本知 及等可能事件的概率。

C 53

P

C 104

8．（四川延考理 8 文 8）在一次 活 中，一同学从 4 本不同的科技 和

中任 3 本， 所 的 中既有科技 又有文 的概率

（ ）

（ A ）

1

（ B ）

1

（ C ）

2

（ D ）

4

5

1 ，故 B 。

21

2 本不同的文

5

2

3

5

解：因文 只有

2 本，所以

3 本必有科技 。 等价于

3 本 有文 的概率：

C 43 4 4

P( A) 1 P( A) 1

1

5

C 63

20

（二）填空 （共

6 ）

1.（湖北卷文 14）明天上午李明要参加奥运志愿者活 ， 了准 起床，他用甲、乙两个 叫醒自己， 假 甲 准 响的概率是 0.80，乙 准 响的概率是

0.90， 两个 至少有

一准 响的概率是

.

【标准答案】 0. 98

【试题解析】用间接法做 : 两个闹钟一个也不准时响的概率是(1 0.8)(1 0.9)0.02 ,所以要求的结果是 1 0.02 0.98.

【高考考点】间接法求概率,分类讨论思想。

【易错提醒】计算出错 .

【学科网备考提示】本题还可以这样做:

要求的概率是 (10.8)0.90.8(10.9)0.80.90.98

2.（湖南卷理15）对有 n(n≥ 4)个元素的总体1,2, L ,n 进行抽样，先将总体分成两个子总体

1,2,L,m 和 m1, m2,L, n(m 是给定的正整数，且2≤ m≤ n-2),再从每个子总体中各随机抽取 2个元素组成样本 .用P ij表示元素i和j同时出现在样本中的概率，则 P1n=;所有 P ij(1 ≤i ＜ j≤n的和等于.

【答案】4, 6

m(n m)

C m11C n1m 14(m1)(n m1)4;

第二空可分:

【解析】 P1n

C n2

C m2m m(m1)(n m)(n m1)m(n m)

①当 i , j1,2, L , m 时,P

ij

C m2

1;

C m2

②当 i , j m1, m2,L, n 时,P ij 1 ;

③当 i1,2, L, m ,j m1, m2,L, n时,P ij m(n m)

4

4 ; m(n m)

所以 P ij11 4 6.

3.（江苏卷2）一个骰子连续投 2 次，点数和为 4 的概率为。

【答案】

1

12

【解析】本小题考查古典概型。基本事件共 6 6 个，点数和为 4 的有(1,3)、(2, 2)、(3,1)共

3 个，故P

63 1 。612

4.（江苏卷 6）在平面直角坐标系xoy中，设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域， E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域，向 D 中随意投一点，则落入 E 中的概率为。

【答案】

16

【解析】本小题考查古典概型。如图：区域 D 表示边长为 4 的正方形

ABCD的内部（含边界），区域 E 表示单位圆及其内部，因此

P12

。

4

416

5.（上海卷理7 文 8）在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、 B(2,0) 、 C(1,1) 、 D(0,2) 、E(2,2)、 F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（结果用分数表示）

【答案】

3

4

【解析】已知 A、C、E、F 共线； B、C、D 共线；六个无共线的点生成三角形总数为：C63；

可构成三角形的个数为： C 63C 43 C 3315 ，所以所求概率为：

C63C43C33

C633 ；4

.6.（上海春卷10）古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，

木克土，土克水，水克火，火克金 .”将五种不同属性的物质任意排成一列，设事件 A 表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件 A 出现的概率是（结果用数值表示）

【答案】

1

12

（三）解答题（共17 题）

1.（安徽卷文18）在某次普通话测试中，为测试汉字发音水平，设置了10张卡片，每张卡片印有一个汉字的拼音，其中恰有3张卡片上的拼音带有后鼻音“g” .

（Ⅰ）现对三位被测试者先后进行测试，第一位被测试者从这10 张卡片总随机抽取 1 张，测试后放回，余下 2 位的测试，也按同样的方法进行。求这三位被测试者抽取的卡片上，拼

音都带有后鼻音“ g”的概率。

（Ⅱ）若某位被测试者从10张卡片中一次随机抽取 3张，求这三张卡片上，拼音带有后鼻

音“ g”的卡片不少于 2 张的概率。

【解析】（ I ）记第一位被测试者抽取的卡片上，拼音都带有后鼻音“ g”为事件A，则p( A)

3

。10

记第二位被测试者抽取的卡片上，拼音都带有后鼻音“g”为事件B，则p(B)3

。记第三10

位被测试者抽取的卡片上，拼音都带有后鼻音“ g”为事件C，则p(C )3

B ，C

。又 A ，

10

相互独立则这三位被测试者抽取的卡片上，拼音都带有后鼻音“ g ”是ABC所以

p( ABC )p( A) p( B) p(C )33327 10 10 101000

C73C72C3111

（Ⅱ）p 1C10360

【试题解析】主要考查相互独立事件、互斥事件、对立事件概率的求法.

【高考考点】概率

【易错提醒】相互独立事件、互斥事件、对立事件概念

【学科网备考提示】高考对概率知识的考查，主要是以实际应用题为主，这既是这类问题的热点，又符合高考的发展方向，对这部分的学习要以课本的基础知识为主，难度不会太大. 2.（北京卷文18）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．

（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率；

（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率．

【试题解析】（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加 A 岗位服务为事件E A，那么 P(E A )

A331

C52 A44，

40即甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率是 1 ．

40

（Ⅱ）设甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件 E ，那么 P(E )

A441

，C52 A4410

所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P( E) 1 P(E)

9

．10

3.（福建卷文18）三人独立破译同一份密码.已知三人各自破译出密码的概率分别为 1 , 1, 1 , 且

543他们是否破译出密码互不影响.

( Ⅰ )求恰有二人破译出密码的概率；

( Ⅱ )“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由.

【试题解析】

解：记“第 i 个人破译出密码”为事件

A 1(i=1,2,3) ，依题意有

P( A )

1

, P( A )

1

, P( A )

1

, 且 A 1， A 2， A 3 相互独立 . 1

5

2

4 3

.3

（Ⅰ）设“恰好二人破译出密码”为事件

B ，则有

B ＝ A 1· A 2· A 3 · A 1· A 2 · A 3+ A 1 · A 2· A 3 且 A 1· A 2· A 3 ， A 1· A 2 · A 3， A 1 · A 2·A 3 彼此互斥

于是 P(B)=P(A 1·A 2· A 3 )+P （ A 1· A 2 · A 3） +P （ A 1 · A 2·A 3）

＝

1

1 2 1 3 1 4 1 1

5

4 3

5 4 3 5 4 3

＝

3

.

20

3 答：恰好二人破译出密码的概率为

.

20

（Ⅱ）设“密码被破译”为事件 C ，“密码未被破译”为事件

D.

D ＝ A 1 · A 2 · A 3 ，且 A 1 ， A 2 ， A 3 互相独立，则有

P （ D ）＝ P （ A 1 ）· P （ A 2

4 3 2 2

）·P （ A 3 ）＝

4

＝ .

5

3

5

而 P （ C ）＝ 1-P （ D ）＝ 3

，故 P （ C ）＞ P （ D ） .

5

答：密码被破译的概率比密码未被破译的概率大.

【高考考点】 本小题主要考查概率的基本知识与分类思想，

考查运用数学知识分析问题、

解决

问题的能力 .满分 12 分 .

【易错提醒】 对于恰有二人破译出密码的事件分类不清.

【学科网备考提示】 对于概率大家都知道要避免会而不全的问题 ,上述问题就是考虑不周全所

造成的 ,所以建议让学生一定注重题干中的每一句话

,每一个字的意思 .只有这样才能做到满分 .

4.（广东卷文 19）某初级中学共有学生 2000 名，各年级男、女生人数如下表：

初一年级

初二年级 初三年级 女生

373 x

y

男生

377

370

z

已知在全校学生中随机抽取 1 名，抽到初二年级女生的概率是0.19.

（1） 求 x 的值；

（2） 现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生，问应在初三年级抽取多少名？

（3）

已知 y 245,z 245,求初三年级中女生比男生多的概率.

【试题解析】

(1) 由

x

0.19 , 解得 x

380,

2000

(2)

,

初三年级人数为 y

z 2000 (373 377

380 370) 500

设应在初三年级抽取 m 人，则 m

48 ，解得 m=12. 答:

应在初三年级抽取 12 名.

500

2000

（ 3）设初三年级女生比男生多的事件为

A ，初三年级女生和男生数记为数对

( y, z) ，

由（ 2）知 y

z

500, ( y, z N , y 245, z

245) ，则基本事件总数有：

(245,255),(246,254),(247,253),(248,252),(249,251),(250,250),

(251,249),(252,248),(253,247),(254,246),(255,245)

共 11 个， 而事件 A 包含的基本事件有：

(251,249),(252,248),(253,247),(254,246),(255,245)

共 5 个，

∴ P( A)

5

11

5.（海南宁夏卷文 19）为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调 查部门对某校 6

名学生进行问卷调查， 6 人得分情况如下： 5， 6， 7， 8， 9，10。把这 6 名学

生的得分看成一个总体。 （ 1）求该总体的平均数； （ 2）用简单随机抽样方法从这 6 名学生中抽

取 2 名，他们的得分组成一个样本。求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5 的

概率。

【试题解析】

（１）总体平均数为

1 6 7

8 9

10 7.5

5

6

（２）设Ａ表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5”

从总体中抽取２个个体全部可能的基本结果有：

(5,6), (5,7), (5,8), (5,9), (5,10), (6,7), (6,8), (6,9),

(6,10), (7,8), (7,9), (7,10), (8,9), (8,10), (9,10), 共１５个基本结果。

事件Ａ包含的基本结果有： (5,9), (5,10), (6,8), (6,9), (6,10), (7,8), (7,9), 共有７个基本结果；

所以所求的概率为

P A

7

15

6．（湖南卷文 16）甲乙丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约。甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设每人面试合格的概率都是 1

，且面试是否合格互不影响。求：

2

（ I ）至少一人面试合格的概率；

（ I I ）没有人签约的概率。【试题解析】

用 A,B,C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A,B,C 相互独立，

且 P( A)P( B)P(C )1 . 2

（I）至少有一人面试合格的概率是1

1 P( A) P(B)P(C ) 1( 1) 3

2（II ）没有人签约的概率为P( A B C )P( A B C )

7 .

8

P( A B C)P( A B C )

P( A) P(B) P(C )P( A) P( B) P(C ) P( A) P(B) P(C )

( 1)3( 1)3( 1)3 3 .

2228

7.（江西卷文 18）因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出一种拯救果树的

方案，该方案需分两年实施且相互独立．该方案预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的 1.0倍、0.9 倍、0.8 倍的概率分别是0.2、0.4、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的 1.5 倍、1.25 倍、 1.0 倍的概率分别是0.3、 0.3、0.4．

（1）求两年后柑桔产量恰好达到灾前产量的概率；

（2）求两年后柑桔产量超过灾前产量的概率.

【试题解析】

（1）令 A 表示两年后柑桔产量恰好达到灾前产量这一事件

P( A) 0.20.40.4 0.3 0.2

（2）令 B 表示两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件

P(B) 0.20.60.4 0.6 0.40.3 0.48

8.（辽宁卷文18）某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100 周的统计结果如下表所示：

周销售量234

频数205030

（Ⅰ）根据上面统计结果，求周销售量分别为 2 吨， 3 吨和 4 吨的频率；

（Ⅱ）若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求

（ⅰ） 4 周中该种商品至少有一周的销售量为 4 吨的概率；

（ⅱ）该种商品 4 周的销售量总和至少为15 吨的概率．

【试题解析】

本小题主要考查频率、概率等基础知识解：（Ⅰ）周销售量为 2 吨， 3 吨和（Ⅱ）由题意知一周的销售量为

,考查运用概率知识解决实际问题的能力 .满分 12 分． 4 吨的频率分别为 0.2， 0.5 和 0.3． (4)

分 2 吨， 3 吨和 4 吨的频率分别为 0.2， 0.5 和 0.3，

故所求的概率为

P 1 0.740.7599

．·································8 分（ⅰ） 1

（ⅱ） P2C43 0.50.330.340.0621 ．························12分9.（全国Ⅰ卷文20）已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方案：

方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．

方案乙：先任取 3 只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这 3 只中的 1 只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外 2 只中任取 1只化验．

求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率．

【试题解析】

解：主要依乙所验的次数分类：

若乙验两次时，有两种可能：

①先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中概率为：

C42 A 331

=6 6 1

=

1

(

也可以用

C

4

21

=

61

=

1

)

A 53A13 3 4 5 35C53C311035

②先验三只结果为阴性，再从其它两只中验出阳性（无论第二次验中没有，均可以在第二次结束）

A 34A12

＝242

（

C34

＝

4 11

）

A 53A 22

=

C53

＝5 4 3 510 2 5

∴乙只用两次的概率为1＋2＝3。

5 55

若乙验三次时，只有一种可能：

先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好二次验中概率为：

C42 A 33（－1） 6 6 22也可以用C

4

2 A 1

2A 22= 6 42

311==(33

10 6= )

A 5 A 3 3 4 5 35C5 A 35∴在三次验出时概率为

2

5

∴甲种方案的次数不少于乙种次数的概率为：

3121

－1

）＝

12

＋

6

＝

18

（－）＋（－

555252525 55

解法 2：设 A 为甲的次数不多于乙的次数

则 A 表示甲的次数小于乙的次数

则只有两种情况，甲进行的一次即验出了和甲进行了两次，乙进行了 3次。

则设 A 1 ,A 2分别表示甲在第一次、二次验出，并设乙在三次验出为 B

1 1 1 1

2 1 6 2 2

A 4

C

4

则 P(A 1 )= 1 = ,P(A 2 )= 2 = ,P(B) ＝ 3（1－ 1 )=

=

C 5 5 A 5 5 C 5 C 3

10 3 5

1 1

2 7

∴ P(A)=P(A 1 )+P(A 2 ) P(B)= + = 25

5 5 5

∴ P(A)=1 － 7 = 18

25 25

作后感：遇到正作情况过于复杂的，要主动去分析应用对立事件来处理。

10（.全国Ⅱ卷文 19）甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一发子弹．根据

以往资料知，甲击中 8 环， 9 环， 10 环的概率分别为 0.6， 0.3， 0.1，乙击中 8 环， 9 环， 10

环的概率分别为 0.4， 0.4， 0.2． 设甲、乙的射击相互独立．

（Ⅰ）求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率；

（Ⅱ）求在独立的三轮比赛中，至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率． 【试题解析】

记 A 1， A 2 分别表示甲击中

9 环， 10 环，

B 1， B 2 分别表示乙击中 8 环， 9 环，

A 表示在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，

B 表示在三轮比赛中至少有两轮甲击中的环数多于乙击中的环数，

C 1， C 2 分别表示三轮中恰有两轮，三轮甲击中环数多于乙击中的环数．

（Ⅰ）

A

A 1 g

B 1

A 2 g

B 1 A 2 gB 2

， ·································2 分

P( A)

P( A 1 gB 1

A 2 g

B 1

A 2 g

B 2 )

P( A 1gB 1)

P(A 2 gB 1)

P(A 2 gB 2 )

P( A 1)gP( B 1 )

P( A 2 ) gP( B 1 )

P( A 2 )gP( B 2 )

0.3 0.4 0.1

0.4

0.1 0.4

0.2 ． ······························6 分

（Ⅱ）

B

C 1

C 2 ， ··········································8 分

P(C1 )C32[ P( A)] 2 [1P( A)] 3 0.22(10.2) 0.096 ，

P(C2 )[ P( A)] 30.230.008，

P(B)P(C1C2 )P(C1 ) P(C2 ) 0.0960.0080.104．·············12 分11（.山东卷文18）现有 8 名奥运会志愿者，其中志愿者A1， A2， A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语， C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名，组成一个小组．（Ⅰ）求 A1被选中的概率；

（Ⅱ）求 B1和 C1不全被选中的概率．

【试题解析】

（Ⅰ）从8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名，

其一切可能的结果组成的基本事件空间

{ (A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，( A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，( A1， B3， C2 ) ， ( A2， B1， C1 )，(A2， B1， C2 )，(A2， B2， C1) ， ( A2， B2， C2 ) ，( A2， B3， C1) ， ( A2， B3， C2 ) ， ( A3， B1， C1)，(A3， B1， C2 )，(A3， B2， C1 ) ，( A3， B2， C 2 )，(A3， B3， C1 )，(A3， B3， C2 ) }

由18 个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，

因此这些基本事件的发生是等可能的．

用 M 表示“A1恰被选中”这一事件，则

M{ ( A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，

( A1， B2， C2 )，(A1， B3， C1 )，(A1， B3， C2 ) }

事件 M 由6个基本事件组成，因而P(M )6 1 ．

183

（Ⅱ）用 N 表示“B1，C1不全被选中”这一事件，

则其对立事件 N 表示“ B 1， C 1 全被选中”这一事件，

由于 N

{ ( A 1， B 1， C 1)，(A 2， B 1， C 1 )，(A 3， B 1， C 1 ) } ，事件 N 有 3 个基本事件组成，

3 1 P(N ) 1 P(N )

1 5 所以 P( N )

，由对立事件的概率公式得

1

．

18

6

6

6

12.（陕西卷文 18）一个口袋中装有大小相同的 2 个红球 ,3 个黑球和

4 个白球 ,从口袋中一次摸

出一个球 ,摸出的球不再放回 .

（Ⅰ）连续摸球 2 次,求第一次摸出黑球 ,第二次摸出白球的概率；

（Ⅱ）如果摸出红球 ,则停止摸球 ,求摸球次数不超过 3 次的概率．

【试题解析】

（1）从袋中依次摸出

2 个红球共有种结果，

A 92 ，第一次摸出黑球，第二次摸出白球的结果

有

1 1

A 31 A 41 1

3 4 1

A 3 A 4 ，则所求概率为

P 1

，或

P

；

A 9

2

9 8

6

6

（ 2）第一次摸出红球的概率

A 21

，第二次摸出红球的概率

A 71A 21 ，第三次摸出红球的概率

A 9 1

A 9 2

A 7 2 A 21 ，则摸球次数不超过 3 的概率为 A 21

A 7 1A 21 A 7 2 A 21

7

A 93

A 91

+

A 92 +

A 93

9

；

【点评】 几何分布的模型，注意互斥事件的概率计算；

【易错指导】 摸球认不清不放回的特征，误用独立重复试验模型求解；

13.（四川卷文 18）设 进 入 某 商 场 的 每 一 位 顾 客 购 买 甲 种 商 品 的 概 率 为 0.5 ，购 买 乙种 商 品 的 概 率 为 0.6 ，且 购 买 甲 种 商 品 与 购 买 乙 种 商 品 相 互 独 立 ，各 顾 客 之 间 购买 商 品 也 是 相 互 独 立 的 。

（Ⅰ）求进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；

（Ⅱ）求进入商场的 3 位顾客中至少有 2 位顾客既未购买甲种也未购买乙种商品的概率。【试

题解析】

（Ⅰ）记 A 表示事件：进入商场的

1 位顾客购买甲种商品，

记 B 表示事件：进入商场的 1 位顾客购买乙种商品，

记 C 表示事件：进入商场的

1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，

C

A B

A B

P C

P A B

A B

P A B P A B

P A P B

P A P B

0.5 0.4 0.5 0.6

0.5

（Ⅱ）记

A 2 表示事件：进入商场的

3 位顾客中都未选购甲种商品，也未选购买乙种商品；

D 表示事件：进入商场的

E 表示事件：进入商场的

1 位顾客未选购甲种商品，也未选购买乙种商品；

3 位顾客中至少有 2 位顾客既未选购甲种商品，也未选选

购乙种商品；

D A B

P D

P A B

P A

P B

0.5 0.4

0.2

P A 2

C 22

0.22

0.8 0.096

P A 3

0.23

0.008

P E

P A 1

A 2

P A 1

P A 2

0.096 0.008 0.104

【点评】：此题重点考察相互独立事件有一个发生的概率；

【突破】：分清相互独立事件的概率求法；对于“至少”常从反面入手常可起到简化的作用； 14（.天津卷文 18）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为

1

与 p ，

2

且乙投球 2 次均未命中的概率为

1 ．

p ；

16

（Ⅰ）求乙投球的命中率

（Ⅱ）求甲投球 2 次，至少命中 1 次的概率；

（Ⅲ）若甲、乙两人各投球

2 次，求两人共命中 2 次的概率．

15.（浙江卷文 19）一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球。已知袋中共有 10 个球。从袋 中任意摸出 1 个球，得到黑球的概率是

2

；从袋中任意摸出

2 个球，至少得到

1 个白球的概

5

率是

7

。求：

9

（Ⅰ）从中任意摸出 2 个球，得到的都是黑球的概率；

（Ⅱ）袋中白球的个数。

【试题解析】

本题主要考查排列组合、概率等基础知识，同时考查逻辑思维能力和数学应用能力。满分 14

分。

（Ⅰ）解：由题意知，袋中黑球的个数为10

2

4.

5

记“从袋中任意摸出两个球，得到的都是黑球”为事件

A ，则

2

P( A) C 4

2

.

C 102

15

（Ⅱ）解：记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件 B 。

设袋中白球的个数为

x ，则

P( B) 1 P(B)

C n 2 1 7 ,

1

9

C n 2

得到 x =5

16．（重庆卷文 18）在每道单项选择题给出的 4 个备选答案中，只有一个是正确的 .若对 4 道选

择题中的每一道都任意选定一个答案，求这 4 道题中：

（Ⅰ）恰有两道题答对的概率 ;

（Ⅱ）至少答对一道题的概率 .

【解析】 本小题主要考查相互独立事件、互斥事件、对立事件概率的求法及运算能力。

【答案】 视“选择每道题的答案”为一次试验，则这是

4 次独立重复试验，且每次试验中“选

1

择正确”这一事件发生的概率为

.

4

由独立重复试验的概率计算公式得：

( Ⅰ ) 恰有两道题答对的概率为

P 4 (2) C 24

( 1

) 2

( 3)2

4 4 27 .

128

(

Ⅱ ) 解法一：至少有一道题答对的概率为

1 P 4 (0) 1 C 04 ( 1 )0 ( 3 ) 4

4

4 1

81

175 .

256 256

解法二：至少有一道题答对的概率为

1

1 3 2

2

1 2 3 2

3

1 3 3

4

1 4 3 0

C 4 ( 4)( 4) C 4 ( 4 ) ( 4)

C 4 ( 4) ( 4 ) C

4 ( 4 ) ( 4)

10854121

256256 256256

175 .

256

17．（四川延考文18）一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类： A 类、B 类、C 类．检验员定时从该生产线上任取 2 件产品进行一次抽检，若发现其中含有 C 类产品或 2 件都是 B 类产品，就需要调整设备，否则不需要调整．已知该生产线上生产的每件产品为 A 类品， B 类

0.05，且各件产品的质量情况互不影响．

品和 C 类品的概率分别为0.9 ， 0.05

和

（Ⅰ）求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；

（Ⅱ）若检验员一天抽检 3 次，求一天中至少有一次需要调整设备的概率．

【解析】（Ⅰ）设A i表示事件“在一次抽检中抽到的第i 件产品为 A 类品”，i1,2 ．

B i表示事件“在一次抽检中抽到的第i 件产品为 B 类品”，i1,2 ．

C i表示事件“一次抽检后，设备不需要调整”．

则 C A1 A2A1 B2 B1 A2．

由已知 P(A i )0.9， P( B i )0.05 ， i1,2 ．

所以，所求的概率为P(C ) P( A1 A2 )P( A1 B2 )P(B1 A2 )

0.9220.90.050.9 ．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一次抽检后，设备不需要调整的概率为P(C ) 0.9 ．

故所求概率为： 1 0.930.271