数学物理方程--有限差分法

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v . .

数学物理方法课程报告

题目：声波有限差分法数值模拟

学生姓名：xxx

学号：xxx

学院：地球科学与技术学院

专业班级：xxxx

教师：xxx

2016年 4月12日

. .

v . . 声波有限差分法数值模拟

Xxx

（地球科学与技术学院研15级学号：xxx）

摘要：数值模拟是最常用的正演模拟的方法。它通过给出的结构模型和物理参数，模拟地震波的传播轨迹，了解其规律以及过程，然后通过计算来推断观测点的地震记录。根据求解方法，地震波方程数值解法可分为有限元法、伪谱法、有限差分法。根据本门课程的要求，并且有限差分法具有内存占用较小，精度较高等优点，本文主要采用这种方法进行模拟。

关键词：数值模拟，声波，有限差分

正文

1、引言

在勘探过程中，数值模拟的作用很大。例如：1、采集上，可用于设计或者优化野外观测系统；2、处理上，可以通过数值模拟来检验是否采用了正确的反演方法。将正演反演不断的逼近，从而使结果更加准确；3、解释上，还可以检测一下解释的资料是否正确。

而有限差分法是数值模拟最常用的方法，本文利用有限差分法，通过对声波进行正演模拟，来了解其在地下的传播规律及特点。

2、二维各向同性介质声波方程数值模拟

使用规则网格差分对二阶方程进行求解。

具体过程：

在x方向上，关于0x对称分布的2N个网格节点的坐标分别为xqxN0，

xqxN10，……，xqx10，xqx10，……xqxN10，xqxN0。其 . .

v . . 中，x表示节点间的最小间距；iq表示任意正整数。2N个网格节点所对应的函

数值已知，分别为xqxfN0，xqxfN10，……，xqxf10，

xqxf10……，xqxfN10，xqxfN0。利用Taylor级数展开求解

xf在点0x处的一阶导数近似值。

120220220100!21!21NiNNiiiixqOxfxqNxfxqxfxqxfxqxf

120220220100!21!21NiNNiiiixqOxfxqNxfxqxfxqxfxqxf

其中，i=1,2，…，N

将上述两式相加，省略式中的误差项，得到

022044022000!21!41!21221xfxqNxfxqxfxqxqxfxfxqxfNNiiiii (1)

将相减后得到的式子整理成矩阵形式，有

xqxfxfxqxfxqxfxfxqxfxqxfxfxqxfxxfxNxfxxfqqqqqqqqqNNNNNNNNNN0002002010010202220420224222422221412122221!21!41!21 (2)

为了简化矩阵，可以记作

NNNNNNqqqqqqqqqA242224222214121，xqxfxfxqxfxqxfxfxqxfxqxfxfxqxfxDNN0002002010010222221

同时，构造两个简单矩阵，辅助计算

NNI111整理的，

1001NE

假设存在1A，使得IAA1，也可得IAATT1；即TA1为TA的逆，得到 . .

v . . IAATT1。式子两边右乘向量E就可得

EEAATT1 (3)

由式（2）可得

DAExfT10221 (4)

同时，假设

TNTTcccCEA,,,211 （5）

将NcccC,,,21带入式（4），得

xqxfxfxqxfcxxfnnNnn000120222121 （6）

整理得

xqxfxqxfcxfcxfxnnNnn00100022

可结合式（3）和式（5），可得到矩阵计算式：

00121222214424122221NNNNNNNcccqqqqqqqqq （7）

Niicc102

当iq的值确定后，可根据式（7）来求解nc的值，从而计算出01xf的值。

利用式（7）可以求得对称任意节点间距的一阶导数差分系数。其中，当iq取值为

),2,1(Nnn,则式（7）可表示为

00121212121222444222NNNNcccNNN （8）

此时，所求得的Nncn,,2,1就是等节点间距的一阶导数的规则网格不同差分精度的差分系数（表1所示）。

. .

v . . 表1 二阶导数规则网格各阶精度的差分系数

0c 1c

2c 3c 4c 5c 6c

2 -2.00000 1.00000

4 -2.50000 1.33333 -8.33333E-2

6 -2.72222 1.50000 -1.50000E-1 1.11111E-2

8 -2.84722 1.60000 -2.00000E-1 2.53968E-2 -1.78571E-3

10 -2.92722 1.66667 -2.38095E-1 3.96825E-2 -4.96032E-3 3.17460E-4

12 -2.98278 1.71429 -2.67857E-1 5.29101E-2 -8.92857E-3 1.03896E-3 -6.01251E-5

二维声波方程的形式可表示为：

22222221zuxutuvp （9）

时间导数采用2阶，空间导数采用2N阶近似，即

)(2)(222ttututtutut

xnxuxnxucxucxxuxNnn001000222

带入式（9）中，可得到在固定网格下，差分格式为

NnnpNnnpznzuznzuazuaztvxnxuxnxuaxuaxtvttututtu102102)(2)( （10）

. .

v . .

3、模型测试：

震源选取：

正演模拟过程中采用雷克子波作为震源子波，雷克子波的表达式为

Source (it) =((1-2π fm (t-t0)2 )e-2π fm (t-t0)2

模型建立：

建立了一个两层介质模拟，其上层纵波速度为v=2000m/s，下层纵波速度为v=3000m/s。模型大小为200×200，空间采样间隔为dx=dz=10m。采用30Hz的雷克子波作为震源子波，震源位于模型(70,100)处，时间采样间隔为1ms。

结果分析：

it=50 it=100

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偏微分方程的分类及其求解方法

偏微分方程是数学中的一个重要分支，它是描述现实世界中各种自然现象的一种工具。通俗来说，偏微分方程是一种与时间、空间或空间位置有关的方程式。偏微分方程的应用范围极广，如物理、数学、金融等领域，它的求解方法也因其类别不同而不同。

偏微分方程的分类

偏微分方程可以按照方程中未知函数的数量和自变量的数量分类。

1. 偏导数方程

偏导数方程是指方程中只有一个未知函数，但它依赖于多个独立变量（通常是时间和空间）的变量。常见的偏导数方程包括热传导方程和波动方程。

热传导方程：热传导方程可以描述物质中的热传导过程。在物质内部，热会沿着温度梯度传导，从高温区域传到低温区域。因此，热传导方程与物质的热扩散有关。

波动方程：波动方程可以描述许多物理过程，特别是电磁波、声波和其他类型的波动。波动方程的形式类似于二阶线性常微分方程。

2. 广义保守方程系

广义保守方程是指方程中有多个未知函数和多个独立变量的变量。它们可以描述流体动力学、多相系统等系统。常见的广义保守方程系包括纳维-斯托克斯方程和零阻力欧拉方程。

纳维-斯托克斯方程：纳维-斯托克斯方程可以描述流体运动。纳维-斯托克斯方程可以分为不可压缩纳维-斯托克斯方程和可压缩纳维-斯托克斯方程。

零阻力欧拉方程：零阻力欧拉方程是一种部分解析的解对称的不可压缩流体运动的偏微分方程。它是最基本的转子动量方程之一，在研究飞行器、导弹、宇宙航行器等方面起着重要的作用。

偏微分方程的求解方法

1. 分离变量法

分离变量法是偏微分方程求解的一种基本方法。其主要思想是将多元函数表示为各变量的单元函数乘积形式，再通过互相作为超定条件的单个变量的恒等式得到未知参数。

例如，假设在一维的热传导方程中，温度场函数是t(x,t)，其中x是空间变量，t是时间变量。则可以将温度场函数写成t(x,t)=X(x)T(t)的形式，从而将偏微分方程转化为两个常微分方程。通过求解这些常微分方程可以得到解。

有限差分法、有限单元和有限体积法简介

有限差分法、有限单元法和有限体积法的简介

1. 有限差分方法

有限差分方法(Finite Difference Method，FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。

对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。

2. 有限元方法

有限元方法(Finite Element Method，FEM)的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。

有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。

有限差分法求解拉普拉斯方程

收稿日期:2009-09-01第一作者简介:贾新民(1956-),男,四川邻水人,新疆昌吉学院计算机工程系,副教授,研究方向:计算机程序设计及其语言教学和理论物理研究。有限差分法求解拉普拉斯方程

贾新民1　严文2

(1.昌吉学院计算机工程系新疆昌吉831100;2.昌吉学院物理系　新疆昌吉831100)

摘　要:以极板上具有半圆截面沟槽的电容器内的电势分布为例,介绍了综合应用计算机软件利用有限差分法求解复杂边界的拉普拉斯方程数值解的方法。并利用数值解的结果讨论了沟槽表面的电场分布和电荷分布。关键词:拉普拉斯方程;有限差分法;五点差分格式中图分类号:O411.2 文献标识码:A 文章编号:1671-6469(2009)05-0105-05

1　引言

无源空间的引力场、静电场、稳定的温度分布等问题都满足拉普拉斯(Laplace)方程󰂈2u(x,y,z)=0(1)

但由于方程(1)是偏微分方程,只有在问题具有高度对称的情况下,才能求出解析解,而这种情形是极少

的。有些情形看上去很简单,但却求不出解析解。对于这些情况,只能寻求数值解。

2　计算机数值解法方案

文献[1][2][3]给出了拉普拉斯方程数值解的方法———有限差分法。

有限差分法的思想是用差分Δu(x+Δx,y)Δx,Δu(x,y+Δy)Δy代替导数5u5x,5u5y,用网格将求解区域覆

盖,对于平面拉普拉斯方程,第i行第j列小格的电势由Laplace方程的五点差分格式给出。

uij=14(uij-1+uij+1+ui-1j+ui+1j)(2)

考虑图1所示的具有半圆形截面的槽的电容器内部的电势和电场分布。

为了能够对坑(槽)内部的电场进行比较细致的观察,

应该将半径R取的大些,为了满足无限远的条件,应该使

求解区域尽量大些。

我们选

Excel为计算工具,因为Excel具有不用编写

程序和直观的优点。Excel的一个单元格代表求解区域的

一个网格,单元格的值表示该网格处的电势。根据Excel

有限差分法求解偏微分方程

摘要：本文主要使用有限差分法求解计算力学中的系统数学模型，推导了有限差分法的理论基础，并在此基础上给出了部分有限差分法求解偏微分方程的算例验证了推导的正确性及操作可行性。

关键词：计算力学，偏微分方程，有限差分法

Abstract：This dissertation mainly focuses on solving the mathematic model of computation

mechanics with finite-difference method. The theoretical basis of finite-difference is derived in

the second part of the dissertation, and then I use MATLAB to program the algorithms to solve

some partial differential equations to confirm the correctness of the derivation and the feasibility

of the method.

Key words：Computation Mechanics, Partial Differential Equations, Finite-Difference

Method

1 引言

机械系统设计常常需要从力学观点进行结构设计以及结构分析，而这些分析的前提就是建立工程问题的数学模型。通过对机械系统应用自然的基本定律和原理得到带有相关边界条件和初始条件的微分积分方程，这些微分积分方程构成了系统的数学模型。

求解这些数学模型的方法大致分为解析法和数值法两种，而解析法的局限性众所周知，当系统的边界条件和受载情况复杂一点，往往求不出问题的解析解或近似解。另一方面，计算机技术的发展使得计算更精确、更迅速。因此，对于绝大多数工程问题，研究其数值解法更具有实用价值。对于微分方程而言，主要分为差分法和积分法两种，本论文主要讨论差分法。

有限元法、有限差分法和有限体积法的区别

标签：函数有限元插值差分格式

有限差分方法(Finite Differential Method)是计算机数值模拟最

早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，

用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以泰勒级数展开等

方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离

散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一

种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表

达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。

对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶

格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风

格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、

显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，

不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，

网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。

构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方

法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向

后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶

计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不

同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。

有限元法(Finite Element Method)的基础是变分原理和加权余量

法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每

个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方

程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数

组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离

散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方

法。有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用

于流体力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限

有限差分法、变分法、离散元法、边界元法及有限元法

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偏微分方程的数值解法

偏微分方程（Partial Differential Equation, PDE）是数学和物理学中的重要概念，广泛应用于工程、科学和其他领域。在很多情况下，准确解析解并不容易获得，因此需要利用数值方法求解偏微分方程。本文将介绍几种常用的数值解法。

1. 有限差分法（Finite Difference Method）

有限差分法是最常见和经典的数值解法之一。基本思想是将偏微分方程在求解域上进行离散化，然后用差分近似代替微分运算。通过求解差分方程组得到数值解。有限差分法适用于边界条件简单且求解域规则的问题。

2. 有限元法（Finite Element Method）

有限元法是适用于不规则边界条件和求解域的数值解法。将求解域划分为多个小区域，并在每个小区域内选择适当的形状函数。通过将整个域看作这些小区域的组合来逼近原始方程，从而得到一个线性代数方程组。有限元法具有较高的灵活性和适用性。

3. 有限体积法（Finite Volume Method）

有限体积法是一种较新的数值解法，特别适用于物理量守恒问题。它通过将求解域划分为多个控制体积，并在每个体积内计算守恒量的通量，来建立离散的方程。通过求解这个方程组得到数值解。有限体积法在处理守恒律方程和非结构化网格上有很大优势。 4. 局部网格法（Local Grid Method）

局部网格法是一种多尺度分析方法，适用于具有高频振荡解的偏微分方程。它将计算域划分为全局细网格和局部粗网格。在全局细网格上进行计算，并在局部粗网格上进行局部评估。通过对不同尺度的解进行耦合，得到更精确的数值解。

5. 谱方法（Spectral Method）

谱方法是一种基于傅里叶级数展开的高精度数值解法。通过选择适当的基函数来近似求解函数，将偏微分方程转化为代数方程。谱方法在处理平滑解和周期性边界条件的问题上表现出色，但对于非平滑解和不连续解的情况可能会遇到困难。

数学物理方程的求解方法

在科学研究中，数学和物理都是不可缺少的学科，而将两者结合起来就形成了数学物理。作为学科之间的交叉领域，数学物理的基础是方程求解。本文将针对数学物理方程的求解方法进行

exploratory talk。

一、常用数学物理方程

要想掌握数学物理方程的求解方法，首先需要了解一些常用的数学物理方程。以下是一些常用的数学物理方程：

1. 微分方程：微分方程是描述变化规律的方程，可以用来描述上升和下降、加速度和速度等一系列现象。

2. 偏微分方程：偏微分方程是微分方程的一种，其中的未知函数是多元函数，其导数包括关于每个自变量的偏导数，被用来描述通常情况下与时间、空间、速度、温度等有关的形式变化。

3. 波动方程：波动方程是一种偏微分方程，被广泛用于描述波的传播。其中，狭义的波动方程只适用于自由波，而广义的波动方程适用于各种波。

4. 热传递方程：热传递方程是一种偏微分方程，用于描述有热流的温度变化，并且它在实际应用中是非常重要的。

5. 瞬态流体力学方程：瞬态流体力学方程是一类偏微分方程，用于描述粘度、密度、流速和不稳定性等参数随时间变化的流体。它们将被用于未来的空气动力学和工程流体力学应用中。

二、解析法

解析法是指使用数学分析手段来求解数学物理方程的方法。这是最基础的方法，因为它在整个数学物理领域中得到了广泛的应用。然而，在实际应用中，使用解析法求解方程往往困难重重，因为存在着许多难以求解的非线性方程、奇异点和复杂模型等等。因此，在现代科技中，解析法几乎被机器计算所取代。

三、数值方法

数值方法是一种更加普遍的数学物理方程求解方法。事实上，对于绝大多数实际问题，无论是科学中的还是工程中的，都需要采用数值方法来得到解。数值方法主要包括离散化方法和连续化方法。

1. 离散化方法

离散化方法是一种基本的数值方法，其基本思想是将求解区域离散，即将问题分成许多小问题，然后通过求解小问题来得到大问题的解。离散化方法主要包括：

有限差分法解薛定谔方程及其应用

薛定谔方程是量子力学最重要的一个基础方程。它是用来解释量子物理特性的机琙原理，可以用来分析复杂量子系统的性质。有限差分法是一种非常有效的方法，用于解决薛定谔方程。它允许计算复杂的精确结果，并允许获得解的近似解决方案。

有限差分法是一个按照固定算法和精确算法进行解算的迭代求解方法，可以用来解决复杂的算法问题。有限差分法用于解决薛定谔方程时，先将不变量用数学表述表示，然后用一定的算法对不变量作出差分，形成了一个系列算式，可以求出精确的解决方案。这样，原方程就分解成一系列算式，并用运算得到最终的解决方案。

有限差分法求解薛定谔方程的应用非常广泛，可以用来分析量子力学和核物理中的复杂系统性质。它可以有效地解决电子结构和能级演化的问题，也可以用来分析接触问题、散射问题和统计力学热力学问题。它还可以用来解决薛定谔方程的数值模拟，推导发射谱以及计算发射谱的光谱性质。

总的来说，有限差分法是一个数值解法，适用于解决薛定谔方程以及许多相关的量子物理问题。因此，有限差分法对量子力学和核物理研究有重要的意义。

有限差分法

finite difference method

用差分代替微分，是有限差分法的基本出发点。是一种微分方程和积分微分方程数值解的方法。

有限差分法 - 基本思想

把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。

有限差分法 - 主要内容

如何根据问题的特点将定解区域作网格剖分；如何把原微分方程离散化为差分方程组以及如何解此代数方程组。此外为了保证计算过程的可行和计算结果的正确，还需从理论上分析差分方程组的性态，包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性。对于一个微分方程建立的各种差分格式，为了有实用意义，一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程，这就是相容性要求。另外，一个差分格式是否有用，最终要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解，这就是收敛性的概念。此外，还有一个重要的概念必须考虑，即差分格式的稳定性。因为差分格式的计算过程是逐层推进的，在计算第n＋1层的近似值时要用到第n层的近似值，直到与初始值有关。前面各层若有舍入误差，必然影响到后面各层的值，如果误差的影响越来越大，以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖，这种格式是不稳定的，相反如果误差的传播是可以控制的，就认为格式是稳定的。只有在这种情形，差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解。

有限差分法 - 构造方法

最常用的方法是数值微分法，比如用差商代替微商等。另一方法叫积分插值法，因为在实际问题中得出的微分方程常常反映物理上的某种守恒原理，一般可以通过积分形式来表示。此外还可以用待定系数法构造一些精度较高的差分格式。

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