北京市清华大学附属中学2020-2021学年高一10月考数学试题
北京市清华大学附属中学2020-2021学年高一10月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．命题p :∀x ∈N ，x 3>1，则⌝p 为（ ） A ．∀x ∈N ，x 3<1 B ．∀x ∉N ，x 3≥1 C ．∃x ∉N ，x 3≥1 D ．∃x ∈N ，x 3≤12．已知全集U ={1，2，3，4，5}.集合A ={1，2，3}，B ={2，4，5}，则UB A =（ ）A ．{2，4}B ．{1，3}C ．{4，5}D ．{2}3．若正实数x ，y 满足2x +y =1.则xy 的最大值为（ ） A ．14B ．18C ．19D ．1164．设a R ∈，则“1a =”是“21a =”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．若0b a <<，0d c <<，则（ ）． A ．bd ac < B ．a bc d> C ．a c b d +>+D ．a c b d ->-6．若,a b ∈R ，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是A ．222a b ab +>B ．a b +≥C ．11a b +> D ．2b aa b+≥ 7．若关于x 的不等式ax +b <0的解集为(2，+∞)，则bx +a <0的解集为（ ） A ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭8．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足函数关系p=at 2+bt+c （a ，b ，c 是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟9．若关于x 的不等式21kx kx -<的解集为R ，则实数k 的取值范围是（ ） A ．()4,0- B ．(4,0]- C ．[]4,0-D ．(,4][0,)-∞-+∞10．已知非空集合A ，B 满足以下两个条件(){1,i A B ⋃=2，3，4，5，6}，A B φ⋂=；()ii 若x A ∈，则1x B +∈．则有序集合对(),A B 的个数为( ) A ．12 B ．13C ．14D ．15二、填空题11．集合{1，0}的子集的个数为_________.12．已知集合A ={x |y }，B =(2-m ，+∞).若A B R =，且A ∩B =∅，则m =__________.13．若{}20x N x mx *∈+<恰有三个元素，则实数m 的取值范围为___________. 14．已知集合A ={x |x 2-2x +a ≥0)，B ={x |x 2-2x +a +1<0}，若A B R =，则实数a 的取值范围为______.15．已知a >0，b >0，a +b >2，有下列4个结论:①ab >1；②a 2+b 2>2；③1a 和1b中至少有一个数小于1；④1a b +和1ba+中至少有一个小于2，其中，全部正确结论的序号为__________.三、解答题16．求下列关于x 的不等式的解集: （1）x 2-3x -4≥0； （2）-x 2+x -1<0； （3）x 2≤a .17．已知集合A ={x |x 2-(a +1)x -a >0}. （1）若1∈A 求实数a 的取值范围；（2）若集合B ={2，3}，且A ∩B 中恰好只有1个元素，求实数a 的取值范围. 18．已知x +y =1，x ，y ∈R +. （1）求x 2+y 2+xy 的最小值；（2（3）求x (1-3y )的最小值.19．在平面直角坐标系xOy 中，函数2y x mx n =++的图像经过点(1,0)，且对于任意的x ∈R ，总有0y ≥. （1）求,m n 的值；（2）若直线2y kx =+与函数2y x mx n =++的图像交于不同的两点1122(,),(,)A x y B x y ，且331214x x +=，求实数k 的值.20．已知集合A ，B 为非空数集，定义A -B ={x ∈A 且x ∉B }.（1）已知集合A =(-1，1)，B =(0，2)，求A -B ，B -A ；(直接写出结果即可) （2）已知集合P ={x |x 2-ax -2a 2≥0}，Q =[1，2]，若Q -P =∅，求实数a 的取值范围. 21．已知x ，y ∈(-1，1).定义x *y =1x yxy++.（1）求0*13及12*13的值； （2）求证:∀x ，y ∈(-1，1)，x *y ∈(-1，1)； （3）若{}123456511111,,,,,,,,,,764234x x x x x x ⎧⎫=---⎨⎬⎩⎭，求123456x x x x x x *****的所有可能值构成的集合.参考答案1．D 【分析】根据全称命题的否定规律写否定，即得选项. 【详解】因为∀x ，q 的否定为∃x ，q ⌝因此命题p :∀x ∈N ，x 3>1的⌝p 为：∃x ∈N ，x 3≤1， 故选：D 【点睛】本题考查全称命题的否定，考查基本求解能力，属基础题. 2．C 【分析】先根据补集定义求出UA ，再根据交集定义即可求出结果.【详解】{}4,5UA =，{}4,5UBA ∴=.故选：C. 【点睛】本题考查补集交集混合运算，属于基础题. 3．B 【分析】根据基本不等式求最值. 【详解】1218x y xy +≥≥≤当且仅当122x y ==时取等号，即xy 的最大值为18故选：B 【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题. 4．A 【分析】利用定义法判断即可. 【详解】当1a =时，21a =，充分性成立；反过来，当21a =时，则1a =±，不一定有1a =， 故必要性不成立，所以“1a =”是“21a =”的充分而不必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，本题采用的是定义法，考查学生逻辑推理能力，是一道容易题. 5．C 【分析】利用不等式的基本性质对各选项进行验证. 【详解】0b a <<，0d c <<，0bd ∴>，0ac <，则bd ac >，A 选项错误； 0a c<，0b d >，则a bc d <，B 选项错误；a b >，c d >，a c b d ∴+>+，C 选项正确；取1a =，2b =-，1c =-，5d =-，则2a c -=，3b d -=，a c b d ->-不成立，D 选项错误.故选C. 【点睛】本题考查不等式的基本性质，考查利用不等式的性质判断不等式是否成立，除了利用不等式的性质之外，也可以利用特殊值法来进行判断，考查推理能力，属于中等题. 6．D 【解析】 试题分析：，所以A 错；，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当时，B 错；同时C 错；或都是正数，根据基本不等式求最值，，故D 正确．考点：不等式的性质 7．C 【分析】根据不等式解集得对应方程的根，再解不等式得结果. 【详解】因为关于x 的不等式ax +b <0的解集为(2，+∞)， 所以2为方程0ax b +=的根，且0a < 即20,2a b b a +==-因此10202102bx a ax a x x +<⇒-+<⇒-<⇒< 故选：C 【点睛】本题考查根据不等式解集求参数、解一元一次不等式，考查基本分析求解能力，属基础题. 8．B 【解析】由图形可知，三点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)都在函数2p at bt c =++的图象上，所以930.7{1640.82550.5a b c a b c a b c ++=++=++=，解得0.2, 1.5,2a b c =-==-，所以20.2 1.52p t t =-+-=215130.2()416t --+，因为0t >，所以当15 3.754t ==时，p 取最大值，故此时的t=3.75分钟为最佳加工时间，故选B.考点：本小题以实际应用为背景，主要考查二次函数的解析式的求解、二次函数的最值等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力. 9．B 【分析】由题可知满足0k =或00k <⎧⎨∆<⎩即可.【详解】由题210kx kx --<的解集为R ， 当0k =时，10-<恒成立，满足题意；当0k ≠时，则()2410k k k <⎧⎨∆=-⨯-<⎩，解得40k -<<， 综上，40k -<≤. 故选：B. 【点睛】本题考查一元二次不等式的恒成立问题，属于基础题. 10．A 【分析】对集合A 的元素个数分类讨论，利用条件即可得出． 【详解】解：由题意分类讨论可得：若{}1A =，则{2,B =3，4，5，6}；若{}2A =，则{1,B =3，4，5，6}；若{}3A =，则{1,B =2，4，5，6}；若{}4A =，则{1,B =2，3，5，6}；若{}5A =，则{2,B =3，4，1，6}；若{}1,3A =，则{2,B =4，5，6}；若{}1,4A =，则{2,B =3，5，6}；若{}1,5A =，则{2,B =3，4，6}；若{}2,4A =，则{1,B =3，5，6}；若{}2,5A =，则{1,B =3，4，6}； 若{}3,5A =，则{1,B =2，4，6}； 若{1,A =3，5}，则{2,B =4，6}． 综上可得：有序集合对(),A B 的个数为12． 故选A ． 【点睛】本题考查了元素与集合之间的关系、集合运算、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 11．4 【分析】根据元素的个数可直接求出. 【详解】集合{1，0}中有2个元素，∴集合{1，0}的子集的个数为224=.故答案为：4. 【点睛】本题考查子集个数的求解，属于基础题. 12．1 【分析】求出集合A ，由交集和并集的结果易得结论． 【详解】由题意{|0}{|}A x m x x x m =-≥=≤，又B =(2-m ，+∞).若A B R =，且A ∩B =∅，∴2m m -=，解得1m =． 故答案为：1． 【点睛】本题考查集合的交集和并集的概念，属于基础题． 13．[)4,3-- 【分析】根据题意可知34m <-≤，解出即可. 【详解】{}20x N x mx *∈+<恰有三个元素，{}{}{}2001,2,3x Nx mx x Nx m **∴∈+<=∈<<-=，34m ∴<-≤，即43m -≤<-.故答案为：[)4,3--.【点睛】本题考查根据集合元素个数求参数，其中涉及一元二次不等式的求解，属于基础题. 14．1a ≥ 【分析】构造函数()()222,21f x x x a g x x x a =-+=-++，观察图像可得()f x 的图像与x 轴最多一个交点，通过判别式列不等式求解即可. 【详解】解：设()()222,21f x x x a g x x x a =-+=-++，则将()f x 的图像向上平移1个单位即为()g x 的图像， 当()f x 的图像与x 轴有两个交点时，如图：由图可知(][),,A a d =-∞+∞，(),B b c =或B =∅，此时AB R ≠，即()f x 的图像与x 轴最多一个交点，440a ∴∆=-≤，解得1a ≥. 故答案为：1a ≥. 【点睛】本题考查二次函数图像的应用，关键是要找到()()222,21f x x x a g x x x a =-+=-++的图像的位置关系，考查学生数形结合的能力，是中档题. 15．②③④【分析】举例说明①错误；利用基本不等式证明②正确；利用反证法说明③④正确.【详解】 因为13,3a b ==，满足2a b +>，但不满足1ab >，故①错误；222122a b a b a b ++>>∴+>，故②正确； 若111,1a b ≥≥，则由0,0a b >>得01,012a b a b <≤<≤∴+≤，与2a b +>矛盾，故③正确； 若112,2a b b a++≥≥，则由0,0a b >>得12,122222a b b a a b a b a b +≥+≥∴++≥+∴+≤与2a b +>矛盾，故④正确；故答案为：②③④【点睛】本题考查根据条件判断不等式、反证法应用、基本不等式应用，考查综合分析判断能力，属中档题.16．（1）(][),14,-∞-+∞；（2）R ；（3）见解析 【分析】利用解二次不等式的方法逐一求解.【详解】解：（1）x 2-3x -4≥0，即()()410x x -+≥，解集为(][),14,-∞-+∞；（2）-x 2+x -1<0，140∆=-<，解集为R ；（3）当0a <时，解集为∅；当0a =时，解集为{}0；当0a >时，解集为⎡⎣【点睛】本题考查二次不等式的解法，是基础题.17．（1）1a <；（2）2332a ≤< 【分析】（1）将1x =带入不等式求解即可；（2）将A ∩B 中恰好只有1个元素转化为2，3两个数中，一个满足不等式，一个不满足不等式，列不等式组求解即可.【详解】解：（1）1∈A ，()110a a ∴--->，解得1a <；（2）因为集合B ={2，3}，且A ∩B 中恰好只有1个元素，则()()42109310a a a a ⎧-+->⎪⎨-+-≤⎪⎩或()()42109310a a a a ⎧-+-≤⎪⎨-+->⎪⎩， 解得2332a ≤<. 【点睛】本题考查元素与集合的关系，交集的定义，是基础题.18．（1）34；（2；（3）59 【分析】（1）由题可知14≤xy ，则()222131144x y xy x y xy xy ++=+-=-≥-=；（2（3）将1x y =-代入(13)x y -，即可根据二次函数的性质求出最值.【详解】（1）1,,x y x y R ++=∈，2124x y xy +⎛⎫∴≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12x y ==时等号成立， ()222131144x y xy x y xy xy ∴++=+-=-≥-=， 22x y xy ∴++的最小值为34；（2）2112x y =++=+≤+=，≤；（3）1,,x y x y R ++=∈，1x y ∴=-，则()2225(13)1(13)341339x y y y y y y ⎛⎫-=--=-+=-+ ⎪⎝⎭， ∴当23y =时，(13)x y -取得最小值59. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题.19．（1）2,1m n =-=； （2）4 .【分析】（1）由函数2y x mx n =++的图象经过点(1,0)，求得10++=m n ，再由对于任意的x ∈R ，总有0y ≥，得到240m n ∆=-≤，联立求得2(2)0m +≤，进而求得,m n 的值； （2）由（1）可得221y x x =++，联立方程组，根据根与系数的关系，得到1212,x x x x +，再根据3322212121122121212()()()[()3]x x x x x x x x x x x x x x +=+-+=++-，列出方程，即可求解.【详解】（1）由题意，函数2y x mx n =++的图象经过点(1,0)，可得10++=m n ，又由函数2y x mx n =++对于任意的x ∈R ，总有0y ≥，可得240m n ∆=-≤， 将10++=m n 代入2224(1)44(2)0m m m m m ---=++=+≤，即2(2)0m +=，所以2m =-，可得1n =.（2）由（1）可得221y x x =++，因为直线2y kx =+与函数221y x x =-+的图像交于不同的两点1122(,),(,)A x y B x y ， 联立方程组2221y kx y x x =+⎧⎨=++⎩，整理得2(2)10x k x ---=，可得22(2)4(1)(2)40k k ∆=--⨯-=-+>且12122,1x x k x x +=-=-，又因为3322212121122121212()()()[()3]x x x x x x x x x x x x x x +=+-+=++-232(2)[(2)3]6151414k k k k k =--+=-+-=，整理得2(4)(27)0k k k --+=，解得4k =，即实数k 的值为4.【点睛】本题主要考查了待定系数法求解抛物线的方程，以及直线与抛物线的方程的应用，其中解答中联立方程组，结合立方和公式列出方程求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.20．（1）(]1,0A B -=-，[)1,2B A -=；（2）11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据定义可直接求出；（2）由Q P -=∅可得Q P ⊆，讨论a 的正负即可求出a 的范围.【详解】（1）(1,1),(0,2)A B =-=，由定义可得(]1,0A B -=-，[)1,2B A -=；（2）Q P -=∅，Q P ∴⊆，当0a =时，{}{}222200P xx ax a x x R =--≥=≥=∣∣，满足Q P ⊆； 当0a >时，{}{2220P x x ax a x x a =--≥=≤-∣或}2x a ≥， 021a a >⎧∴⎨≤⎩，解得102a <≤； 当0a <时，{}{22202P x x ax a x x a =--≥=≤∣或}x a ≥-， 01a a <⎧∴⎨-≤⎩，解得10a -≤<，综上，112a -≤≤. 【点睛】 本题考查集合的新定义问题，考查包含关系的判断及根据包含关系求参数范围，属于基础题. 21．（1）15,37；（2）证明见解析；（3）16⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 【分析】（1）由定义可直接求出；（2）根据,(1,1)x y ∈-，可以得到(1)(1)0x y -->和(1)(1)0x y ++>，再根据这两个不等式分两类讨论，得到1xy +和x y +的不等关系，进而可以确定111x y xy+-<<+； （3）可知该定义满足交换律和结合律，可得123456x x x x x x *****有唯一值511111764234⎛⎫⎛⎫⎛⎫-*-*-*** ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，根据定义求出即可. 【详解】（1）由定义101130133103+*==+⨯，111152311237123+*==+⨯； （2）,(1,1)x y ∈-，(1)(1)0x y ∴-->，即10,1xy x y xy x y --+>+>+，又10xy +>，11x y xy+∴<+， (1)(1)0x y ++>，即10,1()xy x y xy x y +++>+>-+，又10xy +>，11x y xy+∴>-+， 111x y xy+∴-<<+，即,(1,1),(1,1)x y x y ∀∈-*∈-； （3）由定义可知x y y x *=*，满足交换律，()11111x y z x y x y z xyz xy z x y xy xy xz x y yz z xyz +++++++*==++++++⋅=+**， ()11111y zx y z x y z xyz yz x y z x y z yz xy xz yzx yz +++++++**=*==++++++⋅+， ()()x y z x y z ∴**=**，满足结合律， 123456x x x x x x ∴*****有唯一值， 即123456511111764234x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫*****-*-*-*** ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭= 511111764234115111347614121⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯--⨯ ⎪ ⎪= ⎪**++⎝⎭⎝⎭⎝⎭+ 372747713⎛⎫=-** ⎪⎝⎭3727477372131477⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=*⎛⎫+-⨯ ⎪⎝⎭ 1171713⎛⎫=-* ⎪⎝⎭11711713117611713⎛⎫-+ ⎪⎝⎭==-⎛⎫+-⨯ ⎪⎝⎭， ∴123456x x x x x x *****的所有可能值构成的集合为16⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查关于函数的新定义问题，属于中档题.。
2020-2021北京市高一数学下期中第一次模拟试卷(含答案)
2020-2021北京市高一数学下期中第一次模拟试卷(含答案)一、选择题1．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥ 2．圆心在x +y =0上，且与x 轴交于点A （-3，0）和B （1，0）的圆的方程为（ ）A ．22(1)(1)5x y ++-=B ．22(1)(1)5x y -++=C ．22(1)(1)5x y -++=D ．22(1)(1)5x y ++-=3．直线(2)4y k x =-+与曲线2320x y y ++-=有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．53(,]124B ．51(,]122C ．13(,]24D ．1[,)2+∞4．如图是某四面体ABCD 水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体ABCD 外接球的表面积为A ．20πB ．1256π C ．25π D ．100π5．在我国古代数学名著 九章算术 中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中， AB ⊥平面BCD ，且AB BC CD ==，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为（ ）A ．12B ．12-C ．3D ．3-6．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离7．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积为 （ ）A ．3πB ．23πC ．43πD ．12π8．已知三棱锥S ABC -的每个顶点都在球O 的表面上，ABC ∆是边长为43的等边三角形，SA ⊥平面ABC ，且SB 与平面ABC 所成的角为6π，则球O 的表面积为（ ） A ．20πB ．40πC ．80πD ．160π9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．3010．已知实数,x y 满足250x y ++=22x y +的最小值为（ ） A 5B 10C ．25D ．21011．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，ABC V 是等腰三角形，BA BC =，123AC CC ==，，D 是AC 的中点，点F 在侧棱1A 上，若要使1C F ⊥平面BDF ，则1AFFA 的值为( )A ．1B ．12或2 C ．22或2 D ．13或3 12．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF=12．则下列结论中正确的个数为①AC ⊥BE ； ②EF ∥平面ABCD ；③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值； ④AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等， A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题13．给出下面四个命题：①“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α”； ②“直线//a 直线b ”的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”； ③“直线a ，b 为异面直线”的充分不必要条件是“直线a ，b 不相交”；④“平面//α平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”. 其中正确命题的序号是____________________14．若直线y x b =+与曲线234y x x =-b 的取值范围是______． 15．如图，以等腰直角三角形斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 与△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论： ①0BD AC ⋅≠u u u r u u u r；②∠BAC ＝60°；③三棱锥D ﹣ABC 是正三棱锥；④平面ADC 的法向量和平面ABC 的法向量互相垂直． 其中正确结论的序号是 ．（请把正确结论的序号都填上）16．直线10ax y ++=与连接A （4，5），B （-1，2）的线段相交，则a 的取值范围是___．17．在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 ．18．在平面直角坐标系xoy 中，ABC ∆的坐标分别为()1,1A --，()2,0B ，()1,5C ，则BAC ∠的平分线所在直线的方程为_______19．若圆C ：222430x y x y ++-+=，关于直线260ax by ++=对称，则由点(),a b 向圆所作的切线长的最小值为______．20．已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点．如果2AB AC ==，22BC =，则球心到平面ABC 的距离为__________．三、解答题21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，平面PBD ⊥平面ABCD ，2AD =，25PD =，4AB PB ==，60BAD ∠=︒.（1）求证：AD PB ⊥； （2）E 是侧棱PC 上一点，记PEPCλ=，当PB ⊥平面ADE 时，求实数λ的值 22．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=︒，12BC AD =，PA PD =，M ，N 分别为AD 和PC 的中点．（1）求证：//PA 平面MNB ； （2）求证：平面PAD ⊥平面PMB ．23．在平面直角坐标系xOy 中，直线2210x y +--=与圆C 相切，圆心C 的坐标为()2,1-（1）求圆C 的方程；（2）设直线y =x +m 与圆C 交于M 、N 两点. ①若22MN ≥，求m 的取值范围； ②若OM ⊥ON ，求m 的值.24．已知圆C 的方程：22240x y x y m +--+=． （1）求m 的取值范围；（2）若圆C 与直线l ：240x y +-=相交于M ，N 两点，且45||5MN =，求m 的值．25．如图，正方体1111ABCDA B C D 的棱长为2，E F M 、、分别是1111C B C D ，和AB 的中点．（1）求证：1//MD 平面BEFD ． （2）求M 到平面BEFD 的距离．26．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，A 1A 6，M 是CC 1的中点．(1)求证：A 1B ⊥AM ；(2)求二面角B --AM--C 的平面角的大小．.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确. 考点：空间点线面位置关系．2．A解析：A 【解析】 【分析】由题意得：圆心在直线x=-1上，又圆心在直线x+y=0上，故圆心M 的坐标为（-1，1），再由点点距得到半径。
清华附中朝阳学校2020-2021学年第一学期10月质量检测试题(高二数学)
2020 年 10 月 9 日
高二数学
（清华附中朝阳学校）
时量：120 分钟 满分：150 分 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的。）
（ ）1. 直线 2x y 1 0 在 y 轴上的截距为
, 经过点 (1,1) 且与直线 l 平行的直线方
程为
.
第2页共4页
14. 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 点 A(1,2,0) ， B(x,3,1) ，
C(4, y,2) ，若 A, B,C 三点共线， 则 x y ______.
15. 如图，正三棱柱 ABC A1B1C1 的底面边长为 a ，侧棱长为
果存在，求出 DH 的长度，如果不存在，请说明理由. F
C
O
A GB
第4页共4页
C． 90
D．120 O
（ ）10．已知平面 的法向量为 n (2, 2,1) ，点 A(x,3,0) 在
C B
平面 内，则点 P(2,1,4) 到平面 的距离为 10 ，则 x ＝ 3
A．－1
B．－11
C．－1 或－11 D．－21
（ ）11. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，
它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的 高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧 面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高 与底面正方形的边长的比值为
第3页共4页
19．(本题满分 16 分)在△ ABC 中，已知 csin A 3a cosC 0 ． （Ⅰ）求 C 的大小； （Ⅱ）若 b=2，c 2 3 ，求△ ABC 的面积.
2020-2021学年北京市海淀区清华附中九年级(上)月考数学试卷(10月份)(附答案详解)
2020-2021学年北京市海淀区清华附中九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.下列几何体中，其主视图为三角形的是()A. B. C. D.2.新冠病毒肆虐全球，截止至9月14日，全球约有29200000人感染新冠病毒，将29200000用科学记数法可表示为()A. 292×105B. 29.2×106C. 2.92×107D. 0.292×1083.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()A. B. C. D.4.如图，AD平分∠BAC，点E在AB上，EF//AC交AD于点G，若∠DGF=40°，则∠BAD的度数为()A. 20°B. 40°C. 50°D. 80°5.如图，A、B、C、D四个点在数轴上表示的数分别为a、b、c、d，则下列结论中错误的是()A. a+b<0B. c−b>0C. ac>0D. |b+d|=b+d6.某年级有“数学”，“航模”，“文艺”三个社团，每位同学随机被分到一个社团参加活动，小明参加“数学”社团的概率是()A. 13B. 23C. 19D. 297.调查显示，截止2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆，已知2013年底该市汽车拥有量为10万辆，设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，根据题意列方程得()A. 10(1+x)2=16.9B. 10(1+2x)=16.9C. 10(1−x)2=16.9D. 10(1−2x)=16.98.某小组有15人参加捐款，其中小明的捐款数比15人捐款的平均数多2元，下列说法正确的序号是()①小明的捐款数不可能最少；②小明的捐款数可能最多；③将捐款数按从少到多排列，小明的捐款数一定比中位数多；④将捐款数按从少到多排列，小明的捐款数可能是众数．A. ①②④B. ②③④C. ①③④D. ①②③④二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.若代数式1有意义，则x的取值范围是______．x−110.在平面直角坐标系中，点(3,−2)关于原点的对称点的坐标是：______．11.分解因式：3a2−12=______．12.请写出一个形如y=a(x−ℎ)2+k的二次函数的解析式，使得此函数最大值等于5______．13.如果一个正多边形的内角和与外角和相等，这个正多边形的一个内角=______°.14.如图，将Rt△ABC绕点A旋转一定角度得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AB=2，∠B=60°，则CD=______．15.如图所示的网格式正方形网格，A、B、P是网格线交点，则∠PAB+∠PBA=______ °.16.如图，点A在观测点北偏东30°方向，且与观测点的距离为8千米，将点A的位置记作A(8,30°)，用同样的方法将点B，点C的位置分别记作B(8,60°)，C(4,60°)，则观测点的位置应在______．三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）17.计算：|3−√8|−(13)−1−(2020+√2)0．四、解答题（本大题共11小题，共67.0分）18.解不等式组：{3x−5≤1 13−x3<4x．19.已知：如图，D是BC上一点，AB=BD，DE//AB，∠A=∠DBE．求证：AC=BE．20.已知关于x的一元二次方程x2−3x+k−1=0．(1)当k=1时，求此方程的根；(2)若此方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．21.下面是小明同学设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ⊥l．作法：如图，①在直线l上取一点A，以点P为圆心，PA长为半径画弧，与直线l交于另一点B；②分别以A，B为圆心，PA长为半径在直线l下方画弧，两弧交于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ为所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)(2)完成下面的证明．证明：连接PA，PB，QA，QB．∵PA=PB=QA=QB，∴四边形APBQ是菱形______(填推理的依据)．∴PQ⊥AB______(填推理的依据)．即PQ⊥l．22.已知直线l1：y=kx+b(k≠0)与y轴交于点A(0,−2)，与直线l2：y=−2x+6相交于点B，点B的横坐标为2．(1)求k和b的值；(2)点M是直线l1上的动点，过点m作MN⊥x轴，交直线l2于点N，当MN>8时，设点M的横坐标为m；直接写出m的取值范围为______．23.如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E，AB=BC，F为四边形ABCD外一点，且∠FCA=90°，∠CBF=∠DCB．(1)求证：四边形DBFC是平行四边形；(2)如果BC平分∠DBF，∠F=45°，BD=2，求AC的长．24.如图，在△ABC中，AB=8cm，点D是AC边的中点，点P是边AB上的一个动点，过点P作射线BC的垂线，垂足为点E，连接DE.设PA=xcm，ED=ycm．小石根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小石的探究过程，请补充完整：(1)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm012345678y/cm 3.0 2.4 1.9 1.8 2.1 3.4 4.2 5.0(说明：补全表格时相关数据保留一位小数)(2)建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；(3)结合画出的函数图象，解决问题：点E是BC边的中点时，PA的长度约为______cm．25.阅读下列材料，完成解答：材料1：国家统计局2月28日发布了2019年国民经济和社会发展统计公报，该公报中的如图发布的是全国“2015−2019年快递业务量及其增长速度”统计图(如图1)．材料2：6月28日，国家邮政局发布的数据显示：受新冠疫情影响，快递业务量快速增长，5月份快递业务量同比增长41%(如图2).某快递业务部门负责人据此估计，2020年全国快递业务量将比2019年增长50%．(1)2018年，全国快递业务量是______亿件，比2017年增长了______%；(2)2015−2019年，全国快递业务量增长速度的中位数是______%；(3)统计公报发布后，有人认为，图1中表示2016−2019年增长速度的折线逐年下降，说明2016−2019年全国快递业务量增长速度逐年放缓，所以快递业务量也逐年减少．你赞同这种说法吗？为什么？(4)若2020年全国快递业务量比2019年增长50%，请列式计算2020年的快递业务量．26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=x2−2mx+m2+m−1的顶点为P．(1)直接写出点P的坐标(用含m的式子表示)；(2)已知点A(m+1,m+3)关于直线x=t的对称点为点B，抛物线C与线段AB有公共点．①当t=1时，若点B恰好在抛物线C上，求m的值；②直接写出t−m的取值范围．27.在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为直线AB上一个动点(点D不与点A，B重合)，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得线段DE，连接BE．(1)如图1，若点D在线段AB上，设BC=a，CD=b，求BE的长(用含a，b的式子表示)；(2)若点D在线段BA的延长线上，且DA<AB．①依题意补全图2；②用等式表示线段BC，BD，BE之间的数量关系，请直接写出答案．28.在平面直角坐标系xOy中的点M(x1,y1)，N(x2,y2)，给出如下定义：若|x1−x2|≤|y1−y2|，则d(M,N)=|x1−x2|；若|x1−x2|>|y1−y2|，则d(M,N)=|y1−y2|.(1)已知点M(1,2)，N(3,0)，则d(O,M)=______，d(M,N)=______；(2)若点P满足OP≤2；①求d(O,P)的最大值；)且d(P,Q)≥1，直接写出线段PQ长度的取值范围．②点Q的坐标为(2,32答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、圆柱的主视图为矩形，∴A不符合题意；B、正方体的主视图为正方形，∴B不符合题意；C、球体的主视图为圆形，∴C不符合题意；D、圆锥的主视图为三角形，∴D符合题意．故选：D．找出四个选项中几何体的主视图，由此即可得出结论．本题考查了简单几何体的三视图，牢记圆锥的主视图为三角形是解题的关键．2.【答案】C【解析】解：将29200000用科学记数法表示为：2.92×107．故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≤10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】D【解析】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：D．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4.【答案】B【解析】解：∵EF//AC，∠DGF=40°，∴∠DAC=∠DGF=40°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，∴∠BAD=40°，故选：B．根据EF//AC，可以得到∠DAC=∠DGF，再根据AD平分∠BAC，可以得到∠BAD=∠DAC，从而可以得到∠BAD的度数．本题考查平行线的性质、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质和角平分线的性质解答．5.【答案】C【解析】解：根据数轴得：a<b<0<c<d，且|c|<|b|<|d|<|a|，∴a+b<0；c−b>0；ac<0.b+d>0，|b+d|=b+d．故错误的为C．故选：C．根据数轴上点的位置，利用有理数的加减乘除法则判断即可．此题考查了数轴上点的位置关系，弄清数轴上各点的位置是解本题的关键．6.【答案】A【解析】解：∵某年级有“数学”，“航模”，“文艺”三个社团，每位同学随机被分到一个社团参加活动，∴小明参加“数学”社团的概率是：1．3故选：A．直接利用概率公式计算得出答案．此题主要考查了概率公式，正确掌握概率求法是解题关键．7.【答案】A【解析】解：设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意，可列方程：10(1+x)2=16.9，故选：A．根据题意可得：2013年底该市汽车拥有量×(1+增长率)2=2015年底某市汽车拥有量，根据等量关系列出方程即可．此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．8.【答案】A【解析】解：∵小明的捐款数比15人捐款的平均数多2元，∴小明的捐款数不可能最少，故①正确；小明的捐款数可能最多，故②正确；将捐款数按从少到多排列，小明的捐款数不一定比第8名多，故③错误；将捐款数按从少到多排列，小明的捐款数可能是众数，故④正确；故选：A．由众数、中位数、平均数的定义分别对各个说法进行判断即可．本题考查了众数、中位数以及平均数，解答本题的关键是明确题意，判断各个说法是否正确．9.【答案】x≠1【解析】解：依题意得：x−1≠0，解得x≠1，故答案为：x≠1．分式有意义，分母不等于零，即x−1≠0，由此求得x的取值范围．本题考查了分式有意义的条件．(1)分式有意义的条件是分母不等于零．(2)分式无意义的条件是分母等于零．10.【答案】(−3,2)【解析】解：点(3,−2)关于原点的对称点的坐标是(−3,2)，故答案为：(−3,2)．根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．11.【答案】3(a+2)(a−2)【解析】解：3a2−12=3(a+2)(a−2)．先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后要继续利用平方差公式进行因式分解，分解因式要彻底，直到不能再分解为止．12.【答案】y=−(x−3)2+5【解析】解：∵二次函数具有最大值5，∴a<0，k=5，二次函数的解析式为：y=−(x−3)2+5，故答案为：y=−(x−3)2+5．由二次函数的性质，函数最大值为5可得．本题考查了二次函数的性质，根据函数最大值为5即可写出．13.【答案】90【解析】解：设此正多边形边数为n，由题意得：180°×(n−2)=360°，解得：n=4，=90°，∴这个正多边形的一个内角为：360°4故答案为：90．设此正多边形边数为n，根据内角和与外角和相等可得，180°×(n−2)=360°，求解即可．此题主要考查了多边形的内角和与外角和，关键是掌握多边形内角和=(n−2)⋅180°，多边形的外角和等于360°．14.【答案】2【解析】解：∵Rt△ABC中，∠B=60°，∴∠C=90°−60°=30°，∴BC=2AB=4，由旋转的性质得，AB=AD，又∵∠B=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=2，∴CD=BC−BD=4−2=2．故答案为：2．根据含30°角的直角三角形的性质可得BC=2AB=4，然后根据旋转的性质可得AB= AD，进而判断出△ABD是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BD=AB= 2，然后根据CD=BC−BD计算即可得解．本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，熟记性质并判断出△ABD是等边三角形是解题的关键．15.【答案】45【解析】解：∵PB//AC，∴∠B=∠BAC，∴∠PAB+∠PBA=∠PAB+∠BAC=∠PAC=45°，故答案为：45．利用平行线的性质可得∠B=∠BAC，然后利用角的和差关系可得答案．此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等．16.【答案】O1点【解析】解：如图所示：观测点的位置应在O1点．故答案为：O1点．直接利用BC点方向角相同，且到观测点距离不同，进而得出观测点位置．此题主要考查了坐标确定位置，正确理解点的坐标意义是解题关键．17.【答案】解：|3−√8|−(13)−1−(2020+√2)0=3−2√2−3−1=−2√2−1．【解析】依据零指数幂，负整数指数幂以及绝对值的性质，即可得到计算结果．本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂以及绝对值的性质，计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算．18.【答案】解：{3x−5≤1①13−x3<4x②，解不等式①，得：x≤2，解不等式②，得：x>1，不等式组的解集为：1<x≤2．【解析】分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集即可．此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是正确解出每个不等式的解集，掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．19.【答案】证明：∵DE//AB，∴∠EDB=∠CBA，而∠A=∠DBE，AB=BD，∴△ABC≌△BDE(ASA)，∴AC=BE．【解析】证明△ABC≌△BDE(AAS)，即可求解．本题主要考查的是利用角角边定理，判断三角形全等，涉及到了平行线的性质，本题较为容易．20.【答案】解：(1)将k=1代入方程x2−3x+k−1=0，得x2−3x=0，解得x1=0，x2=3；(2)∵关于x的一元二次方程x2−3x+k−1=0有两个不相等的实数根，∴Δ=(−3)2−4×1×(k−1)>0，．解得：k<134【解析】(1)将k=1代入方程x2−3x+k−1=0，解方程即可求出方程的解；(2)根据根的判别式Δ>0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．21.【答案】(1)如图所示．(2)四边相等的四边形是菱形；菱形的对角线互相垂直.【解析】解：(1)见答案；(2)证明：连接PA，PB，QA，QB．∵PA =PB =QA =QB ，∴四边形APBQ 是菱形(四边相等的四边形是菱形)(填推理的依据)．∴PQ ⊥AB(菱形的对角线互相垂直)(填推理的依据)．即PQ ⊥l ．故答案为：四边相等的四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直．【分析】(1)根据要求画出图形即可．(2)利用菱形的判定和性质判断即可．本题考查作图−复杂作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22.【答案】m >4或m <0【解析】解：(1)把x =2代入y =−2x +6得，y =2，∴B(2,2)，∵直线l 1：y =kx +b(k ≠0)经过点A(0,−2)，B(2,2)，∴{b =−22k +b =2，解得{k =2b =−2； (2)∵点M 的横坐标为m ，∴M(m,2m −2)，N(m,−2m +6)，∵MN >8，∴|2m −2−(−2m +6)|>8，即4m −8>8或4m −8<−8，解得m >4或m <0．故答案为m >4或m <0．(1)由直线l 2：y =−2x +6求得B 的坐标，然后根据待定系数法即可求得k 、b ；(2)根据题意得到∴|2m −2−(−2m +6)|>8，解不等式即可求得．本题考查了两条直线相交问题、直线解析式的求法；熟练掌握待定系数法，求出直线解析式是解决问题的关键．23.【答案】(1)证明：∵AC ⊥BD ，∠FCA =90°，∠CBF =∠DCB ．∴BD//CF ，CD//BF ，∴四边形DBFC 是平行四边形；(2)解：∵四边形DBFC是平行四边形，∴CF=BD=2，∵AB=BC，AC⊥BD，∴AE=CE，作CM⊥BF于F，∵BC平分∠DBF，∴CE=CM，∵∠F=45°，∴△CFM是等腰直角三角形，CF=√2，∴CM=√22∴AE=CE=√2，∴AC=2√2．【解析】(1)由这一点就证出BD//CF，CD//BF，即可得出四边形DBFC是平行四边形；(2)由平行四边形的性质得出CF=BD=2，由等腰三角形的性质得出AE=CE，作CM⊥BF于F，则CE=CM，证出△CFM是等腰直角三角形，由勾股定理得出CM=√2CF=√2，2得出AE=CE=√2，即可得出AC的长．本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．24.【答案】(1)x=5时，y=2.7；(2)；(3)6.8．【解析】解：(1)由题意，测量得x=5时，y=2.7(2)(2)根据已知数据画出图象如下图：(3)根据题意测量可得PA约为6.8故答案为：6.8根据题意画图测量即可．本题为动点问题的函数图象探究题，考查了函数图象的画法，应用了数形结合的数学思想．25.【答案】507.126.628【解析】解：(1)由材料1中的统计图可得：2018年，全国快递业务量是507.1亿件，比2017年增长了26.6%；(2)由材料1中的统计图可得：2015−2019年，全国快递业务量增长速度的中位数是28%；(3)不赞同，理由：由图1中的信息可得，2016−2019年全国快递业务量增长速度逐年放缓，但是快递业务量却逐年增加；(4)635.2×(1+50%)=852.82，答：2020年的快递业务量为852.82亿件．故答案为：507.1，26.6，28．(1)由材料1中的统计图中的信息即可得到结论；(2)由材料1中的统计图的信息即可得到结论；(3)根据统计图中的信息即可得到结论；(4)根据题意列式计算即可．本题考查了条形统计图，中位数的定义，正确的理解题意是解题的关键．26.【答案】解：(1)∵抛物线C：y=x2−2mx+m2+m−1，∴−b2a =−−2m2×1=m，4ac−b24a=4×1×(m2+m−1)−(−2m)24×1=m−1，∴点P的坐标是(m,m−1)，(2)①∵点A(m+1,m+3)与点B关于直线x=1对称，∴点B(1−m,m+3)，∵点B在抛物线C上，∴(1−m)2−2m(1−m)+m2+m−1=m+3，解得：m1=−0.5，m2=1.5，②∵点A(m+1,m+3)与点B关于直线x=t对称，∴点B(2t−m−1,m+3)，当y=m+3时，x2−2mx+m2+m−1=m+3，解得：x1=m+2，x2=m−2，∴C(m+2,m+3)，D(m−2,m+3)，∵抛物线C与线段AB有公共点，如图，∴2t−m−1≥m+2或2t−m−1≤m−2，解得：t−m≥1.5或t−m≤−0.5．【解析】(1)由顶点公式(−b2a ,4ac−b24a)计算得出定点P的坐标；(2)①由t=1，写出点B的坐标，再把点B的坐标代入抛物线C的解析式中求出m的值；②结合函数图象解题．本题考查了学生对二次函数顶点公式，轴对称知识的应用情况，对于两个未知数差的取值范围题型，这是学生的难点，可以用数形结合的思想进行解题，注意进行分类讨论，列出与t和m相关的不等关系，从而就可求出t−m的取值范围．27.【答案】解：(1)如图1，过点E作EF⊥AB交AB方延长线于F，∴∠F=90°=∠BAC，由旋转知，DE=CD，∠CDE=90°，∴∠EDF+∠ADC=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DCA+∠ADC=90°，∴∠EDF=∠DCA，∴△EDF≌△DCA(AAS)，∴EF=AD，DF=AC，∵AC=AB=BD+AD，∴DF=BD+AD，∵DF=BF+BD，∴BF=AD=EF，∴BE=√2EF=√2AD，在Rt△ABC中，AB=AC，BC=a，∴AC=√22BC=√22a，在Rt△ADC中，CD=b，AD=√CD2−AC2=√b2−12a2，∴BE=√2AD=√2×√b2−12a2=√2b2−a2；(2)①补全图形如图2所示，②BC+BE=√2BD，理由：如图2，过点E作EF⊥AB于F，∴∠DFE=90°=∠BAC=∠DAC，由旋转知，DE=CD，∠CDE=90°，∴∠EDF+∠ADC=90°，∵∠DAC=90°，∴∠DCA+∠ADC=90°，∴∠EDF=∠DCA，∴△EDF≌△DCA(AAS)，∴EF=AD，DF=AC，∵AC=AB=BF+AF，∴DF=BF+AF，∵DF=AD+AF，∴BF=AD=EF，∴BF=√22BE，∴AD=BF=√22BE，在Rt△ABC中，AB=AC，∴AB=√22BC，∴BD=AB+AD=√22BC+√22BE，∴BC+BE=√2BD．【解析】(1)先判断出△EDF≌△DCA，得出EF=AD，DF=AC，进而得出BF=AD=EF，再利用勾股定理，即可得出结论；(2)①根据题意补全图形，即可得出结论；②先判断出△EDF≌△DCA，得出EF=AD，DF=AC，进而得出BF=AD=EF，再用勾股定理即可而出结论．此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，构造出全等三角形是解本题的关键．28.【答案】1 2【解析】解：(1)d(O,M)=|0−1|=1；d(M,N)=|1−3|=2；故答案为1，2；(2)①若点P满足OP≤2，∴OP=√(x−0)2+(y−0)2≤2，∴d(O,P)的最大值为√2；②设P(x,y)，∵点Q的坐标为(2,32)且d(P,Q)≥1，∴PQ=√(x−2)2+(y−32)2≥√2，∴PQ长度的取值范围是PQ≥√2．(1)根据新定义计算解答即可；(2)利用勾股定理，根据新定义即可求得．本题考查了坐标与图形性质，新定义；能够将定义内容转化为不等式是解题的关键．。
2019-2020学年北京市清华附中高三(上)10月月考数学试卷试题及答案
2019-2020学年北京市清华附中高三（上）10月月考数学试卷一、选择题1．已知集合{|2}A x x =>，{|(1)(3)0}B x x x =--<，则(A B = )A ．{|1}x x >B ．{|23}x x <<C ．{|13}x x <<D ．{|2x x >或1}x <2．若角θ的终边过点(3,4)P -，则tan()(θπ+= ) A ．34B ．34-C ．43 D ．43-3．已知函数a y x =，log b y x =的图象如图所示，则( )A ．1b a >>B ．1b a >>C ．1a b >>D ．1a b >>4．设函数()y f x =的定义域为R ，则“(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知3cos 4α=，(2πα∈-，0)，则sin 2α的值为( )A ．38B ．38-C D ．6．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏7．某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分．若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为( ) A ．4B ．5C ．6D ．78．已知定义在R 上的函数2,0()(),0x a x f x ln x a x ⎧+=⎨+>⎩…，若方程1()2f x =有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( ) A ．1122a -<…B ．102a <… C ．01a <…D ．102a -<…二、填空题9．已知函数()y f x =的导函数有且仅有两个零点，其图象如图所示，则函数()y f x =在 x = 处取得极值．10．32-，123，2log 5三个数中最大数的是 ． 11．在ABC ∆中，13cos 14A =，73a b =，则B = ． 12．去年某地的月平均气温(C)y ︒与月份x （月)近似地满足函数sin()(6y a b x a πϕ=++，b为常数，0)2πϕ<<．其中三个月份的月平均气温如表所示：则该地2月份的月平均气温约为 C ︒，ϕ= ．13．在等腰梯形ABCD 中，已知//AB DC ，2AB =，1BC =，60ABC ∠=︒，点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且23BE BC =，16DF DC =，则AE AF 的值为 ． 14．如图，线段8AB =，点C 在线段AB 上，且2AC =，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D ．设CP x =，CPD ∆的面积为()f x ．则()f x 的定义域为 ；()0f x '=的解是 ．三、解答题15．已知函数()cos()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，0)2πϕ<< 的图象过点1(0,)2，最小正周期为23π，且最小值为1-． （1）求函数()f x 的解析式．（2）若[6x π∈，]m ，()f x 的值域是[1-，，求m 的取值范围．16．数列{}n a 的前项n 和记为n S ，若数列{}nS n是首项为9，公差为1-的等差数列． （1）求数列{}n a 通项公式n a ．（2）若||n n b a =，且数列{}n b 的前项n 和记为n T ，求415T T +的值．17．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对应的边分别为a ，b ，c ，8sin()17A C +=，且角B 为锐角．（1）求cos B 的值；（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求边长b ．18．已知函数1()xax f x e -=． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a <时，求函数()f x 在区间[0，1]上的最小值．19．已知函数3()9f x x x =-，函数2()3g x x a =+．（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点处且有公共切线，求a 的值； （2）若存在实数b 使不等式()()f x g x <的解集为(,)b -∞，求实数a 的取值范围．20．设满足以下两个条件的有穷数列1a ，2a ，⋯，n a 为(2n n =，3，4，⋯，)阶“期待数列”：①1230n a a a a +++⋯+=； ②123||||||||1n a a a a +++⋯+=．（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（2）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（3）记n 阶“期待数列”的前k 项和为(1k S k =，2，3，⋯，)n ，试证：1||2k S …．2019-2020学年北京市清华附中高三（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．已知集合{|2}A x x =>，{|(1)(3)0}B x x x =--<，则(A B = )A ．{|1}x x >B ．{|23}x x <<C ．{|13}x x <<D ．{|2x x >或1}x <【解答】解：集合{|2}A x x =>， {|(1)(3)0}{|13}B x x x x x =--<=<<，则{|23}A B x x =<<．故选：B ．2．若角θ的终边过点(3,4)P -，则tan()(θπ+= ) A ．34B ．34-C ．43 D ．43-【解答】解：角θ的终边过点(3,4)P -，则44tan()tan 33y x θπθ-+=-=-=-=， 故选：D ．3．已知函数a y x =，log b y x =的图象如图所示，则( )A ．1b a >>B ．1b a >>C ．1a b >>D ．1a b >>【解答】解：由图象可知，01a <<，1b >， 故选：A ．4．设函数()y f x =的定义域为R ，则“(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：函数()y f x =的定义域为R ，若函数()f x 为奇函数，则(0)0f =，反之不成立，例如2()f x x =．∴ “(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的必要不充分条件．故选：B ． 5．已知3cos 4α=，(2πα∈-，0)，则sin 2α的值为( )A ．38B ．38-C D ．【解答】解：3cos 4α=，(2πα∈-，0)，sin α∴===，3sin 22sin cos 2(4ααα∴==⨯⨯= 故选：D ．6．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏【解答】解：设塔的顶层共有1a 盏灯， 则数列{}n a 公比为2的等比数列， 717(12)38112a S -∴==-，解得13a =． 故选：B ．7．某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分．若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为( ) A ．4B ．5C ．6D ．7【解答】解：由题意可得，冠军得分比其他参赛人员高，且获胜场次比其他人都少，所以冠军与其他匹配场次中，平均至少为3场，A 选项：若最少4人，当冠军3次平局时，得3分，其他人至少1胜1平局，最低得3分，故A 不成立，B 选项：若最少5人，当冠军1负3平局时，得3分，其他人至少1胜1平，最低得3分，不成立，当冠军1胜3平局时，得5分，其他人至少2胜1平，最低得5分，不成立，故B 不成立， C 选项：若最少6人，当冠军2负3平局时，得3分，其他人至少1胜1平，最低得3分，不成立，当冠军1胜4平局时，得6分，其他人至少2胜1平，最低得5分，成立，故C 成立， D 选项：76>，故不为最少人数，故不成立，故选：C ．8．已知定义在R 上的函数2,0()(),0x a x f x ln x a x ⎧+=⎨+>⎩…，若方程1()2f x =有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( ) A ．1122a -<…B ．102a <… C ．01a <…D ．102a -<…【解答】解：由题意知当0x >时，()()f x ln x a =+，则0a …， 当0x …时，()1a f x a <+…，若0a …，当0x >时，()()f x ln x a lna =+…，若方程1()2f x =有两个不相等的实数根， 则11212a a lna ⎧<+⎪⎪⎨⎪<⎪⎩…，即1212a a a ⎧<⎪⎪⎪-⎨⎪⎪<⎪⎩…，得1122a -<…，0a …，102a ∴<…， 故选：B ．二、填空题9．已知函数()y f x =的导函数有且仅有两个零点，其图象如图所示，则函数()y f x =在x = 1- 处取得极值．【解答】解：函数()y f x =的导函数有且仅有两个零点，其图象如图所示， 1x <-时，()0f x '<，1x >-时，()0f x '…， 所以函数只有在1x =-时取得极值． 故答案为：1-．10．32-，123，2log 5三个数中最大数的是 2log 5 ． 【解答】解：由于3021-<<，12132<<，22log 5log 42>=，则三个数中最大的数为2log 5． 故答案为：2log 5． 11．在ABC ∆中，13cos 14A =，73a b =，则B 3或3． 【解答】解：在ABC ∆中，13cos 14A =，sin A ∴== 73a b =，sin 7sin 3b A B a ∴===(0,)B π∈， 3B π∴=或23π． 故答案为：3π或23π． 12．去年某地的月平均气温(C)y ︒与月份x （月)近似地满足函数sin()(6y a b x a πϕ=++，b为常数，0)2πϕ<<．其中三个月份的月平均气温如表所示：则该地2月份的月平均气温约为 5- C ︒，ϕ= ．【解答】解：函数sin()(6y a b x a πϕ=++，b 为常数），∴当51182x +==时，sin()6x πϕ+取得最大或最小值， ∴862k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈，解得56k πϕπ=-，k Z ∈， 又02πϕ<<，6πϕ∴=；31a b ∴-=，且sin 13a b π+=，解得13a =，18b =-；1318sin()66y x ππ∴=-+，当2x =时，1318sin(2)5()66y C ππ=-⨯+=-︒．故答案为：5-，6π．13．在等腰梯形ABCD 中，已知//AB DC ，2AB =，1BC =，60ABC ∠=︒，点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且23BE BC =，16DF DC =，则AE AF 的值为18． 【解答】解：2AB =，1BC =，60ABC ∠=︒，1122BG BC ∴==，211CD =-=，120BCD ∠=︒， 23BE BC =，16DF DC =， ∴21()()()()36AE AF AB BE AD DF AB BC AD DC =++=++ 12216336AB AD AB DC BC AD BC DC =+++ 122121cos6021cos011cos6011cos1206336=⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯⨯︒111291331818=++-=， 故答案为：291814．如图，线段8AB =，点C 在线段AB 上，且2AC =，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D ．设CP x =，CPD ∆的面积为()f x ．则()f x 的定义域为 (2,4) ；()0f x '=的解是 ．【解答】解：由题意，2DC =，CP x =，6DP x =- CPD ∆，∴262662x xx x x x +>-⎧⎪+->⎨⎪+->⎩，解得(2,4)x ∈如图，三角形的周长是一个定值8，故其面积可用海伦公式表示出来即()f x==()f x∴'=，令()0f x'=，解得3x=，故答案为：(2,4)，3．三、解答题15．已知函数()cos()(0f x A x Aωϕ=+>，0ω>，0)2πϕ<<的图象过点1(0,)2，最小正周期为23π，且最小值为1-．（1）求函数()f x的解析式．（2）若[6xπ∈，]m，()f x的值域是[1-，，求m的取值范围．【解答】解：（1）由函数的最小值为1-，0A>，得1A=，最小正周期为23π，2323πωπ∴==，()cos(3)f x xϕ∴=+，又函数的图象过点1(0,)2，1cos2ϕ∴=，而02πϕ<<，3πϕ∴=，()cos(3)3f x xπ∴=+，（2）由[6xπ∈，]m，可知533633x mπππ++剟，5()cos66fππ==cos1π=-，7cos6π=，由余弦定理的性质得：7336mπππ+剟，∴25918mππ剟，即2[9mπ∈，5]18π．16．数列{}n a 的前项n 和记为n S ，若数列{}nS n是首项为9，公差为1-的等差数列． （1）求数列{}n a 通项公式n a ．（2）若||n n b a =，且数列{}n b 的前项n 和记为n T ，求415T T +的值． 【解答】解：（1）数列{}nS n是首项为9，公差为1-的等差数列， ∴9(1)(1)10nS n n n=+-⨯-=-，即210n S n n =-+，① 2n ∴…时，21(1)10(1)n S n n -=--+-，②①-②可得1211n n n a S S n -=-=-+， 又当1n =时，119a S ==，满足上式， 211n a n ∴=-+；（2）由题意，|||112|n n b a n ==-，∴当15n 剟时，212(9112)102n n n nT a a a n n +-=++⋯+===-+；6n …时，2(5)(1211)2510502n n n T n n -+-=+=-+．41524125149T T ∴+=+=．17．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对应的边分别为a ，b ，c ，8sin()17A C +=，且角B 为锐角．（1）求cos B 的值；（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求边长b ． 【解答】解：（1）8sin()17A C +=， 8sin sin[()sin()17B AC A C π∴=-+=+=， 角B 为锐角， cos 0B ∴>，即15cos 17B ===．（2）ABC ∆的面积为2，118sin 22217S ac B ac ∴==⨯=， 则172ac =， 6a c +=，2222151717152cos ()2236223617154172217b ac ac B a c ac ac∴=+-=+--=-⨯-⨯⨯=--=， 则2b =．18．已知函数1()xax f x e -=． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a <时，求函数()f x 在区间[0，1]上的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）1a =时，1()xx f x e -=，x R ∈， 2()xx f x e -+∴'=， 令()0f x '>，解得：2x <， 令()0f x '<，解得：2x >，()f x ∴在(,2)-∞递增，在(2,)+∞递减；（Ⅱ）由1()xax f x e -=得： 1()xax a f x e -++'=，[0x ∈，1]， 令()0f x '=，0a <，解得：111x a=+<， ①110a+…时，即10a -<…时，()0f x '…对[0x ∈，1]恒成立，()f x ∴在[0，1]递增，()(0)1min f x f ==-；②当1011a<+<时，即1a <-时， x ，()f x '，()f x 在[0，1]上的情况如下：111()(1)aaf x min f ae +∴=+=；综上，10a -<…时，()1min f x =-，1a <-时，11()min aa f x e+=．19．已知函数3()9f x x x =-，函数2()3g x x a =+．（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点处且有公共切线，求a 的值； （2）若存在实数b 使不等式()()f x g x <的解集为(,)b -∞，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）2()39f x x '=-，()6g x x '=，设()f x 与()g x 的交点坐标为0(x ，0)y ，则3200020093396x x x a x x ⎧-=+⎪⎨-=⎪⎩，解得：015x a =-⎧⎨=⎩或0327x a =⎧⎨=-⎩，a ∴的值为5或27-；（2）令32()39h x x x x =--，则()y h x =的图象在直线y a =的下方的部分对应点的横坐标(,)x b ∈-∞，2()3693(1)(3)h x x x x x '=--=+-，∴令()0h x '=，得：1x =-或3，列表：()h x ∴的极大值为(1)5h -=，极小值为h （3）27=-，又当x →+∞时，()h x →+∞，当x →-∞时，()h x →-∞， 如图所示：∴当5a >或27a -…时，满足题意，∴实数a 的取值范围为：(-∞，27](5,)-+∞．20．设满足以下两个条件的有穷数列1a ，2a ，⋯，n a 为(2n n =，3，4，⋯，)阶“期待数列”：①1230n a a a a +++⋯+=； ②123||||||||1n a a a a +++⋯+=．（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（2）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（3）记n 阶“期待数列”的前k 项和为(1k S k =，2，3，⋯，)n ，试证：1||2k S …． 【解答】解：（1）数列12-，0，12为三阶期待数列，数列38-，18-，18，38为四阶期待数列．（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为d ， 1220130a a a ++⋯+=，∴120132013()02a a +=，120130a a ∴+=，即10070a =， 1008a d ∴=，当0d =时，与期待数列的条件①②矛盾，当0d >时，据期待数列的条件①②可得10081009201312a a a ++⋯+=， 100610051100622d d ⨯∴+=，即110061007d =⨯， *10071007(1007)(10061007n n a a n d n N -∴=+-=∈⨯，2013)n …，当0d <时，同理可得100710061007n n a -+=⨯，*(n N ∈，2013)n …．（Ⅲ）当k n =时，显然1||02n S =…成立； 当k n <时，根据条件①得：1212()k k k k n S a a a a a a ++=++⋯+=-++⋯+， 即1212||||||k k k k n S a a a a a a ++=++⋯+=++⋯+，12121212||||||||||||||||1k k k k n k k n S a a a a a a a a a a a +++∴=++⋯++++⋯+++⋯+++⋯+=…，1||(12k S k ∴=…，2，⋯，)n ．。
北京市首都师大附中2020-2021学年高一上学期10月月考数学试题
北京市首都师大附中2018~2019学年高一上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}0,2,4,6,8,10U =，{}2,4,6A =，{}2B =，则()C U A B 是( ) A ．{}0,2,8,10 B ．{}2,4,6 C ．{}0,8,10 D ．∅ 2．下列四组中，()f x 与()g x 表示同一函数的是（ ）A ．()f x x =，()g x =B ．()f x x =，()2g x =C ．()2f x x =，()3x g x x = D ．()f x x =，()()(),0,0x x g x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩ 3．已知A 满足{}{}1,11,0,1,2A -=-，这样的集合A 可能有( )A ．2个B ．4个C ．8个D ．16个4．已知函数()()21,343x x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，则()()5f f =( )A ．2-B ．4C ．9D ．16 5． 已知函数2211()f x x x x -=+，则f (3)＝( )A ．8B ．9C ．11D ．106．下列函数中，在区间()0,1上是增函数的是( )A ．2y x =-B ．3y x =-C ．11y x =+ D ．2y x =-7．若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数，则( )A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭ B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭ D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭8．若函数()()2212f x ax a x =+-+在区间(],4-∞上为减函数，则a 的取值范围为（ ）A ．105a <≤ B ．105a ≤≤ C ．105a << D ．15a >9．0a <，0b <的一个必要条件是( )A ．0a b -<B ．0a b +<C ．1a b >D ．1a b< 10．已知函数()f x 为奇函数，0x >时为增函数且(2)0f =，则{|(2)0}x f x ->=（ ） A ．{|024}x x x <<>或B ．{|04}x x x 或C ．{|06}x x x 或D ．{|22}x x x <->或二、填空题11．函数()14f x x =-的定义域为______. 12．已知命题:0p x ∀>，20x >，写出p ⌝______.13．已知集合2{|1},{|1}A x x B x ax ====，若B A ⊆，则实数a 的值为 ．14．设函数()()()()2211222x x f x x x x x ⎧+≤-⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若方程()f x t =有三个不等实根，则t 的取值范围为______.15．对于定义在R 上的任意函数()f x ，若实数0x 满足()00f x x =，则称0x 是函数()f x 的一个不动点，若二次函数()21f x x ax =-+没有不动点，则实数a 的取值范围是_____.三、解答题16．已知全集为R ，集合{|24}A x x =≤<，{|3782}B x x x =-≥-,{}|C x x a =< （1）求；（2）求()R A C B ⋃；（3）若A C ⊆，求a 的取值范围．17．解不等式.⑴23720x x -+<.⑵220x x --+≤.18．函数()21x b f x x+=+是定义在(1,1)-上的奇函数． （1）求函数()f x 的解析式；（2）用单调性的定义证明函数()f x 在(0,1)上是增函数．19．已知函数()()223f x x bx b =-+∈R .⑴若函数()f x 的图象经过点()4,3，求实数b 的值.⑵当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =的最小值为1，求当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =最大值.20．若()f x 是定义在()0,∞+上的增函数，且()()x f f x f y y ⎛⎫=-⎪⎝⎭. （1）求()1f 的值；（2）若()21f =，解不等式1(3)2f x f x ⎛⎫+-<⎪⎝⎭.参考答案1．A【解析】【分析】首先根据条件求出{}C =0,8,10U A ，然后再根据并集的定义求出()C U A B 即可. 【详解】解：因为{}0,2,4,6,8,10U =，{}2,4,6A =，所以{}C =0,8,10U A ，则(){}C =0,2,8,10U A B . 故选:A.【点睛】本题考查集合补集以及并集的运算，属于基础题.2．D【分析】A 项对应关系不同；B 项定义域不同；C 项定义域不同，初步判定选D【详解】对A ，()g x x =，与()f x x =对应关系不同，故A 错对B ，()2g x =中，定义域[)0,x ∈+∞，与()f x x =定义域不同，故B 错 对C ，()3x g x x=中，定义域0x ≠，与()f x x =定义域不同，故C 错 对D ，()f x x =，当0x ≥时，()f x x =，当0x <时，()f x x =-，故()()(),0,0x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，D 正确故选：D【点睛】本题考查同一函数的判断，应把握两个基本原则：定义域相同；对应关系相同（化简后的函数表达式一样）3．B【分析】根据题干条件可知：A 中至少包含0,2两个元素，可能含有-1或1，列举可得全部可能的集合A ，即可得到答案.解：{}{}1,11,0,1,2A -=-，则A 中至少包含0,2两个元素.{}A=0,2∴或{}A=0,2-1， 或{}A=0,21，或{}A=0,21-1，，共4个. 故选：B【点睛】本题考查集合并集的运算，考查子集的定义，考查学生转化的能力，属于基础题. 4．C【分析】首先计算最内层函数()5f =2，然后判断2<3,根据题意代入2所对应范围的函数解析式，计算即可求得结果.【详解】解：因为5>3,所以()542f ==， 则()()5ff =()2239f ==.故选：C.【点睛】本题考查分段函数求值，根据分段函数的表达式分别求解是解决本题的关键，属于基础题. 5．C【解析】 ∵f 1x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝1x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭2＋2， ∴f (3)＝9＋2＝11. 选C6．A【分析】根据增函数的定义逐个分析选项即可得出答案.【详解】解：A:()0,1x ∈时，22y x x =-=-，所以2y x =-在区间()0,1上是增函数.所以A 成立.B: 3y x =-在区间()0,1上是减函数，所以B 不成立. C ：11y x =+在区间()0,1上是减函数，所以C 不成立. D ： 2y x =-在区间()0,1上是减函数，所以D 不成立.【点睛】本题考查函数单调性的判断，牢记初等函数的图像和性质是解决本题的关键，属于基础题. 7．D【分析】函数()f x 为偶函数，则()()f x f x =-则()()22f f =-，再结合()f x 在(]1-∞-，上是增函数，即可进行判断.【详解】函数()f x 为偶函数,则()()22f f =-.又函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数. 则()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-，即()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭ 故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查化归与转化的思想，属于基础题.8．B【分析】对参数进行分类讨论，当为二次函数时，只需考虑对称轴和区间的位置关系即可.【详解】当0a =时，()22f x x =-+，满足题意；当0a ≠时，要满足题意，只需0a >，且()2142a a --≥， 解得105a <≤. 综上所述：105a ≤≤. 故选：B.【点睛】本题考查由函数的单调区间，求参数范围的问题，属基础题.9．B由题意确定是条件推选项，所以逐个选项分析，0a <，0b <只能推出0a b +<，由此得出答案.【详解】解：对于A ：0a <，0b <推不出a b <，即0a b -<，所以A 错误.对于B ：0a <，0b <则0a b +<，所以B 选项正确.对于C: 0a <，0b <时,1a b>不恒成立，例如当a=-1，b=-2时不成立，所以C 错误. 对于D ：0a <，0b <时, 1a b <不恒成立，例如当a=-2，b=-1时不成立，所以D 错误. 故选：B.【点睛】本题考查必要条件，解题的关键是先确定题干推选项还是选项推题干，同时考查了不等式的性质以及特殊值的用法，属于基础题.10．A【解析】由于函数()f x 为奇函数，0x >时为增函数且()20f =，可得函数在0-∞（，）上单调递增，且20f -=（） ， 故函数f x （）的单调性示意图如图所示：由函数的图象可得222x --＜＜ ，或220x --＜ ，解得 02x ＜＜ 或4x ＞ ，故选A ．11．()1,44,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】根据题干条件列关系式21040x x +≥⎧⎨-≠⎩，解方程即可得到答案. 【详解】解：由题意可知：21040x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得：21x ≥-且4x ≠，所以()f x 的定义域为()1,44,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭. 故答案为：()1,44,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，同时考查了不等式组的解法，属于基础题.12．20,0x x ∃>≤【分析】根据含全称量词的命题的否定结论，写出答案.【详解】解：命题:0p x ∀>，20x >则p ⌝：20,0x x ∃>≤.故答案为：20,0x x ∃>≤.【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，解题的思路是否条件，否结论，不否范围，属于基础题.13．0，±1【详解】试题分析：当时，集合B φ=，满足B A ⊆；当时，，又，所以若B A ⊆，则有，综上实数a 的值为0，±1． 考点：利用子集关系求参数．14．（0，1）【分析】画出分段函数的图象，将方程f （x ）＝t 有三个不等实根，转化为函数y ＝f （x ）与y ＝t 的图象有三个交点问题，根据图象，即可求得t 的取值范围．【详解】解：画出分段函数的图象如图所示，将方程f （x ）＝t 有三个不等实根，转化为函数y ＝f （x ）与y ＝t 的图象有三个交点问题， 画出y ＝t 的图象，可以得到0＜t ＜1，∴t 的取值范围为（0，1）．故答案为（0，1）．【点睛】本题考查了分段函数的图象，函数的零点与方程的关系，对于函数的零点，一般会转化成方程的根，或是利用图象转化成两个函数的交点问题．对于分段函数的问题，一般选用分类讨论和数形结合的思想方法进行求解，属于基础题．15．31a -<<【分析】将()21f x x ax =-+没有不动点转化为()21f x x ax x =-+=无解，然后利用二次函数根的判别式∆<0求解即可.【详解】解：因为二次函数()21f x x ax =-+没有不动点，所以()21f x x ax x =-+=无解.即()2110x a x -++=无解，所以()2140a ∆=+-<，解得：31a -<<. 故答案为：31a -<<【点睛】 本题借助于不动点这一概念，考查了函数与方程的综合运用，考查了学生转化问题的能力，属于中档题.16．（1）{}|34x x ≤<；（2）{}|4x x <；（3）[)4,+∞【解析】试题分析：（1）根据已知可得{}|3B x x =≥，由交集运算可得；（2）根据集合的补集，并集运算可得到；（3）因为A C ⊆，根据数轴可以得到4a ≥试题解析：（1）{}{}|3782|3B x x x x x =-≥-=≥，{}|34x x =≤<．（2）{}|3R C B x x =<{}{}()|24|3R A C B x x x x ∴⋃=≤<⋃<{}|4x x =<（3）{}{}=|24,|A x x C x x a ≤<=<集合且A C ⊆,4a ∴≥∴a 的取值范围是[)4,+∞考点：集合的运算17．⑴1|23x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；⑵{}|21x x x ≤-≥或. 【分析】⑴首先分解因式，然后根据一元二次不等式的解法，小于0取中间即可求解.⑵先把最高次项的系数化为正，转化为220x x +-≥，然后分解因式，根据一元二次不等式的解法求解即可.【详解】 解：⑴23720x x -+<，()()2310x x ∴--<， 123x ∴<<.所以不等式的解集为：1|23x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. ⑵220x x --+≤等价于220x x +-≥，即()()210x x +-≥，解得：21x x ≤-≥或.所以不等式的解集为：{}|21x x x ≤-≥或.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，考查学生的运算求解能力，属于基础题.18．(1) 2()1x f x x =+ (2) 见解析 【解析】试题分析：（1）根据奇函数定义得(0)0f =，解得0b =（2）先根据定义作差，通分提取公因式，再根据自变量范围确定各因子符号，确定差的符号，由增函数定义得证 试题解析：19．⑴b ＝2；⑵见解析.【分析】（1）把点的坐标代入f （x ）计算；（2）对f （x ）的对称轴与区间[﹣1，2]的关系进行分情况讨论，判断f （x ）的单调性，利用单调性解出b ，再求出最大值．【详解】解：（1）把（4，3）代入f （x ）得16﹣8b +3＝3，∴b ＝2．（2）f （x ）的图象开口向上，对称轴为x ＝b ．①若b ≤﹣1，则f （x ）在[﹣1，2]上是增函数，∴f min （x ）＝f （﹣1）＝4+2b ＝1，解得b ＝﹣32． ∴f max （x ）＝f （2）＝7﹣4b ＝13．②若b ≥2，则f （x ）在[﹣1，2]上是减函数，∴f min （x ）＝f （2）＝7﹣4b ＝1，解得b ＝32（舍）． ③若﹣1＜b ＜2，则f （x ）在[﹣1，b ]上是减函数，在（b ，2]上增函数．∴f min （x ）＝f （b ）＝﹣b 2+3＝1，解得b 或b （舍）．∴f max （x ）＝f （﹣1）＝4+2b ＝．综上，当b ≤﹣1时，f （x ）的最大值为13，当﹣1＜b ＜2时，f （x ）最大值为．【点睛】本题考查了二次函数的单调性与对称轴的关系，考查了分类讨论思想，属于中档题． 20．（1）(1)0f =；（2）()0,1.【分析】（1）特殊赋值法，令1x y ==，即可求得(1)f ；（2）利用()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭和(2)1f =，将1(3)2f x f x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭转化为()23(4)f x x f +<，再根据函数的单调性和定义域列式可解得结果.【详解】（1）令1x y ==，则有(1)(1)(1)f f f =-，(1)0f ∴=.（2）(2)1f =，()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭令4x =，2y =，则()()4422f f f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()()4222f f == ∴不等式1(3)23f x f ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭等价为不等式1(3)(4)f f x f x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭， ∴()23(4)f x x f +<，又()f x 是()0,∞+上的增函数，∴2341030x x xx ⎧+<⎪⎪>⎨⎪+>⎪⎩，解得01x <<，即不等式的解集为()0,1. 所以不等式1(3)2f x f x ⎛⎫+-<⎪⎝⎭的解集为()0,1. 【点睛】利用函数单调性解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉"f "，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g()x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内，考查学生的转化思想与运算能力，属于中档题.。