第三章系统时域响应分析共65页
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机械控制工程第三章控制系统的时域分析课件
G2 (s)
X o (s)
第三章 控制系统的时域分析
3.2.一阶系统的时间响应
一阶系统：以一阶微分方程描述的系统
标准形式
T
dxo (t) dt
xo
(t)
xi
(t)
1
传递函数 (s) Xo (s) 1
TS 1
Xi (s) Ts 1
一．单位阶跃响应
xi (t) 1(t)
xo
(s)
1 s
xo
tg(d t p + )=
2 1
d t p 0, , 2 , 3 .......
因为第一个峰值时间,取d t p , 则t p n
1 2
（3）超调量 p
p
xo (tp )-xo () xo ()
100%
e-n t p
2 1
sin(d t p
) 100%
e- / 2 1 sin 100% 2 1
-
p e 1 2 100%
（4）调整时间
根据| xo (t) - xo () | xo () t ts
| 1- e- nt
1
1 2
s in(d t
arctg
1 2
) 1|
解得 :
ts
1
n
ln
1
1 2
1
1
e - n t
1 2
4 ln 1
1
取 0.02,ts
1 2 n
3 ln 1
取 0.05,ts
-t
e(t) xi (t)-xo (t) T(1-e T )
x(t) T
T
t
t 时， 跟踪误差为T。
e() T ,
第3章_时域瞬态响应分析_3.2一阶系统的瞬态响应
(t ≥ 0)
1 斜率 − 2 T
1 0.368 T
1 − t /T xo (t ) = e T
T
一阶系统三种典型输入信号及响应关系： 一阶系统三种典型输入信号及响应关系：
xi (t ) = t
输 入
xt (t ) = t − T + Te x1 (t ) = 1 − e 1 1 −T t xδ (t ) = e T
x0(t) 1
1/T
xo(t)=1-e-t/T
86.5%
0
63.2%
95.0%
98.2%
T
2T
3T
4T
t
特点 一阶惯性系统总是稳定的，无振荡。 （1）一阶惯性系统总是稳定的，无振荡。 曲线上升到0.632的高度 。 反过来 ， 的高度。 （ 2 ） 经过时间 T ， 曲线上升到 的高度 反过来， 如果用实验的方法测出响应曲线达到0.632的时间 ， 的时间， 如果用实验的方法测出响应曲线达到 的时间 即是惯性环节的时间常数。 即是惯性环节的时间常数。 经过时间3 响应曲线达稳定值的95 95％ （3）经过时间 3T～ 4T，响应曲线达稳定值的95％～ 98％ 可以认为其调整过程已经完成， 98 ％ ， 可以认为其调整过程已经完成 ， 故一般取调 整时间( 整时间(3～4)T。 响应曲线的切线斜率为1/T。 （4）在t＝0处，响应曲线的切线斜率为 。
注意： 该性质只适用于线性定常系统， 注意 ： 该性质只适用于线性定常系统 ， 不适用于 线性时变系统和非线性系统。 线性时变系统和非线性系统。
1 T T = 2− + s s s+ 1 T
单位斜坡响应为 x0 (t ) = t − T + Te
第三章自动控制系统的时域分析(1)精品PPT课件
5）最大超调量σ％ ：在系统响应过程中，输出量的最大值超过稳态
值的百分数，σ％表示式为
%c(tP)c()10% 0
c()
6）振荡次数N ：在调节时间内，c（t）偏离c（∞）的振荡次数
第三章 自动控制系统的时域分析
4.稳态特性指标
稳态性能指标主要用稳态误差e ss 描述。 稳态误差是系统控制精度或抗干扰能力的一种度量。稳定的 控制系统，才会有稳态过程，此时讨论系统的稳态误差才有 意义。
从而得到控制系统直观而精确的输出时间响应曲线c(t)和性能指
标（描述曲线来分析系统的稳定性、动态特性和稳态特性）。
本章的内容是分析研究控制系统的动态性能和稳态性能。系统 动态性能可以通过在典型输入信号作用下控制系统的过渡过程 来评价，主要分析研究一阶系统、二阶系统的过渡过程。并对 高阶系统的过渡过程作适当的介绍。
ess1c()
第三章 自动控制系统的时域分析
第二节 一阶系统的动态响应
凡是以一阶微分方程作为运动方程的控制系统，成为一阶系统
一、一阶系统的数学模型
一阶系统的时域微分方程为
Tdc(t)c(t)r(t) dt
式中c（t）和r（t）分别为系统的输出、输入量；T为时间 常数，具有时间“秒”的量纲，此外时间常数T也是表征系 统惯性的一个主要参数，所以一阶系统也称为惯性环节
第三章 自动控制系统的时域分析
第三章：自动控制系统的时域分析
控制系统的数学模型建立之后，就可以分析控制系统的性能。在 经典控制理论中，常采用时城分析法、根轨迹法或频率响应法来 分析并综合线性定常系统的性能。
时域（Time Domain）分析法是在一定的输入条件下，根据描述系 统的微分方程或传递函数，使用拉氏变换直接求解在某种典型输 入作用下，自动控制系统时域响应（Time Response）的表达式，
第三章 自动控制系统的时域分析PPT课件
Xc(s)
1 1 s Ts1
1
63.2%
T
t
xc(t)L11sT1s1L11ss111eTt (t0)
T
注意：T t s
xssxtt
稳态分量
暂态分量
13
§3-1控制系统的暂态响应分析
三、二阶系统阶跃响应及性能指标
1、二阶系统是研究高阶系统的基础 为了兼顾控制系统的稳定性和快速性相矛盾的瞬
态指标，我们总希望系统阶跃响应是衰减振荡过程， 这与二阶系统欠阻尼阶跃响应非常相似，又因二阶 系统在数学分析、模型设计上都比较容易，而且高 阶系统又能转化（简化）成二阶系统（主导极点），
阶跃响应 y(t)L 1 [(snn)21 s] 1e nt(1n t)
非周期指数上升是振荡与不振荡的分界。
Im
Re
t
17
§3-1控制系统的暂态响应分析
③当 1 时，欠阻尼
s1,2 njn 12 （一对共轭复根）
阶跃响应
xc(t)L 1 [s2 2n n 2 sn21 s] 1 e 1 n t 2sin dt ()
1、一阶系统的数学模型 即一阶微分方程描述的系统，例如，RC电路
微分方程 传递函数
xr(t)Tx c(t)xc(t)
W(s)Xc(s) 1 Xr(s) Ts1
这就是一阶系统的数学模型，一阶系统也叫惯性环 节
12
§3-1控制系统的暂态响应分析
2、一阶系统的单位阶跃响应 xc (t)
输入 输出
1 Xr (s) s
一、典型输入信号
① 阶跃输入 定义如下
0 t 0 xr(t) A t 0
A=1时称为单位阶跃信号
单位阶跃输入的拉氏变换 Xr(s)=1/s
第3章 系统的时域分析 (1)
重点与难点： 深刻理解冲激响应 求解零状态响应的原理和方法 响应模式和激励与各响应分量之间的关系
第三章 LTI系统的时域分析法
3.1 连续LTI系统的时域分析
1、LTI系统模型的建立
vL(t ) Ri(t ) vC (t ) f (t ) f (t)
d vL(t) L dt i(t )
1
vC (t) C
n阶CLTI系统算子方程为: D( p) y(t) N( p) f (t) 其中：D( p) pn an1 pn1 a1 p a0
N ( p) bm pm bm1 pm1 b1 p b0
3.1 连续LTI系统的时域分析
2、微分方程的求解
初始状态
f (t) 0
CLTI
初始状态=0
t
i( )d
L
+Rຫໍສະໝຸດ i(t)C-
d2
d
1
d
L dt 2
i(t) R i(t) i(t)
dt
C
dt
f (t)
3.1 连续LTI系统的时域分析
连续时间线性时不变（linear, time-invariant, continuous-time 记作 CLTI）系统:
用常系数微分方程来描述
n阶CLTI系统可表示为:
kne(i ji )t，t
0
yx (t ) e1t [k1 cos1t k1 sin1t]
eit [ki cosit ki sinit]，t 0
特征响应模式：
e ，e ; h (h jh )t
( h jh )t
1,
i
系数
k
可由初始状态
i
y(0 )，y(0 )， ，y(n1)(0 ) 确定
第三章 LTI系统的时域分析法
3.1 连续LTI系统的时域分析
1、LTI系统模型的建立
vL(t ) Ri(t ) vC (t ) f (t ) f (t)
d vL(t) L dt i(t )
1
vC (t) C
n阶CLTI系统算子方程为: D( p) y(t) N( p) f (t) 其中：D( p) pn an1 pn1 a1 p a0
N ( p) bm pm bm1 pm1 b1 p b0
3.1 连续LTI系统的时域分析
2、微分方程的求解
初始状态
f (t) 0
CLTI
初始状态=0
t
i( )d
L
+Rຫໍສະໝຸດ i(t)C-
d2
d
1
d
L dt 2
i(t) R i(t) i(t)
dt
C
dt
f (t)
3.1 连续LTI系统的时域分析
连续时间线性时不变（linear, time-invariant, continuous-time 记作 CLTI）系统:
用常系数微分方程来描述
n阶CLTI系统可表示为:
kne(i ji )t，t
0
yx (t ) e1t [k1 cos1t k1 sin1t]
eit [ki cosit ki sinit]，t 0
特征响应模式：
e ，e ; h (h jh )t
( h jh )t
1,
i
系数
k
可由初始状态
i
y(0 )，y(0 )， ，y(n1)(0 ) 确定
第三章 时域响应
第三章线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法本章主要内容：时域分析的提法（概念，时域性能指标）一阶系统的分析（稳定性分析稳态分析动态分析）二阶系统的分析（稳定性分析稳态分析动态分析）控制系统的一般分析（稳定性分析稳态分析动态分析）3.1 时域分析的提法3.1.1 时域分析的基本思想时域分析法是控制系统常用的一种分析方法。
该方法直观，容易理解。
3.1.2 时域分析问题的提法时域分析问题是指在时间域内对系统的性能进行分析，是通过系统在典型信号作用下的时域响应，来建立系统的结构、参数与系统的性能的定量关系。
稳定稳定性能系统的分析包括三个方面：稳态稳态性能动态动态性能线性控制系统稳定性的定义：若线性控制系统在初始扰动的影响下，其过渡过程随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零，则称该系统为渐近稳定，简称稳定。
反之，若在初始扰动的影响下，系统的过渡过程随时间的推移而发散，则称该系统为不稳定。
在时域分析法中，控制系统的稳态性能是指：时间t趋于无穷大时，系统输出的状态，称为系统的的稳态响应。
反映系统动态过程的性能称为系统的动态性能。
描述系统动态性能的指标称为动态指标。
3.1.3 系统的时域响应∙系统的数学模型是微分方程描述时∙系统的数学模型是传递函数描∙当系统的数学模型是别的形式是，可转化为上面两种形式求解。
上面的两种形式是时域分析中常用的形式。
3.1.4性能指标的时域描述（性能指标，性能指标的定量化）3.1.4.1 稳定性描述控制系统的稳定性，是控制系统能正常工作的必要条件控制系统在实际工况中，总会受到内部和外界一部分因素的扰动。
例如负载或能源的波动、系统参数的的变化、环境条件的改变等。
对于不稳定的系统，当其受到这些扰动，即使这些扰动很弱，持续时间很短，照样会使系统中的各物理量偏离其原来的平衡点，并随时间的增加而发散，以至在扰动消失后，系统也不会再恢复到原来的工作点，显然不稳定系统是无法工作的。
为了使控制系统受到扰动后仍能稳定工作，需要分析并找出保证系统稳定工作的条件。
第3章 时域瞬态响应分析
控制工程基础
dt
t 0
T
二、一阶系统的单位斜坡响应
1 xi(t ) t 则 xi(s) 2 s xo(s) 1 1 1 T T xo(s) xi(s) 2 2 xi(s) Ts 1 s s s s 1 T
进行拉氏反变换，得
蓝色为瞬态 分量，红色 为稳态分量
经拉氏反变换
xo(t )
n nt e sin( n 1 2 )t 1 2
控制工程基础
欠阻尼二阶系统单位脉冲响应曲线
控制工程基础
2、
n n xo(s) 2 x i(s) 2 2 s 2 ns n (s n)
2 2
1
经拉氏反变换得
) (t 0)
控制工程基础
当 0 1 时，二阶系统的单位阶跃响应是以 wd 为角频 率的的衰减振荡，且随 的减小，其振荡幅值加大。
控制工程基础
2、当
1
时，称为临界阻尼。此时，二阶系统的极点是二重根
s1, 2 n n 2 1 n
xo(s) n 2 1 1 n 1 xo(s) xi(s) 2 2 xi(s) (s n) s s (s n) s n
1 xi(s) s
控制工程基础
进行拉氏反变换，得
xo(t ) 1 e
1 t T
(t 0)
控制工程基础
Байду номын сангаас
1、经过时间Ｔ，曲线上升到0.632的高度，即， 当响应曲线达到0.632的高度时，所用的时间即 为惯性环节的时间常数Ｔ。 2、经过时间3T~4T，响应曲线已达稳态值的 95%~98%，可以认为其调整时间已经完成， 故一般取调整时间ts=(3~4)T； 3、 dxo(t ) 1 故在t=0处，响应曲线的切线斜率为1/T。 4、一阶惯性系统总是稳定的，无振荡的，无超调 的优秀系统。
dt
t 0
T
二、一阶系统的单位斜坡响应
1 xi(t ) t 则 xi(s) 2 s xo(s) 1 1 1 T T xo(s) xi(s) 2 2 xi(s) Ts 1 s s s s 1 T
进行拉氏反变换，得
蓝色为瞬态 分量，红色 为稳态分量
经拉氏反变换
xo(t )
n nt e sin( n 1 2 )t 1 2
控制工程基础
欠阻尼二阶系统单位脉冲响应曲线
控制工程基础
2、
n n xo(s) 2 x i(s) 2 2 s 2 ns n (s n)
2 2
1
经拉氏反变换得
) (t 0)
控制工程基础
当 0 1 时，二阶系统的单位阶跃响应是以 wd 为角频 率的的衰减振荡，且随 的减小，其振荡幅值加大。
控制工程基础
2、当
1
时，称为临界阻尼。此时，二阶系统的极点是二重根
s1, 2 n n 2 1 n
xo(s) n 2 1 1 n 1 xo(s) xi(s) 2 2 xi(s) (s n) s s (s n) s n
1 xi(s) s
控制工程基础
进行拉氏反变换，得
xo(t ) 1 e
1 t T
(t 0)
控制工程基础
Байду номын сангаас
1、经过时间Ｔ，曲线上升到0.632的高度，即， 当响应曲线达到0.632的高度时，所用的时间即 为惯性环节的时间常数Ｔ。 2、经过时间3T~4T，响应曲线已达稳态值的 95%~98%，可以认为其调整时间已经完成， 故一般取调整时间ts=(3~4)T； 3、 dxo(t ) 1 故在t=0处，响应曲线的切线斜率为1/T。 4、一阶惯性系统总是稳定的，无振荡的，无超调 的优秀系统。
第3章_时域瞬态响应分析_3.5高阶系统的瞬态响应
×
1
偶极子 -1
0
s2×
相距很近的一对零点和极点叫作偶极子。 相距很近的一对零点和极点叫作偶极子。 一对靠得很近的零点和极点，在输出中， 一对靠得很近的零点和极点，在输出中，与该极 点相对应的分量可以忽略， 点相对应的分量可以忽略，也即这一对靠得很近的零 点和极点可以一起消掉，这种情况称为偶极子相消。 点和极点可以一起消掉，这种情况称为偶极子相消。 经验指出， 经验指出，如果闭环零点和极点之间的距离比它 们本身的模值小一个数量级时， 们本身的模值小一个数量级时，则这一对零点和极点 就构成了偶极子。 就构成了偶极子。 偶极子的概念对控制系统的综合设计是很有用的， 偶极子的概念对控制系统的综合设计是很有用的， 有时可以有目的地在系统中加入适当的零点， 有时可以有目的地在系统中加入适当的零点，以抵消 对动态性能影响较大的不利的极点， 对动态性能影响较大的不利的极点，使系统的性能得 到改善。 到改善。
m m −1 m m −1 X o ( s ) K ( s + b1s + L + bm −1s + bm ) K ( s + b1s + L + bm−1s + bm ) = q = n n −1 r Xi (s) s + a1s + L + an −1s + an ( s + pi ) ∏ ( s 2 + 2ξ jω j s + ω 2j ) ∏ i =1 j =1
《控制工程基础》 控制工程基础》
第3章 时域瞬态响应分析 章 3.5 高阶系统的瞬态响应
3.5.1 高阶系统的单位阶跃响应
一般的高阶机电系统可以分解成若干一阶惯 性环节和二阶振荡环节的叠加。 性环节和二阶振荡环节的叠加。其瞬态响应即是由 这些一阶惯性环节和二阶振荡环节的响应函数叠加 组成。对于一般单输入、单输出的线性定常系统， 组成。对于一般单输入、单输出的线性定常系统， 其传递函数可表示为
第3章 时域分析
教材P:85
Re[si]——稳定性，快速性 Im[si]——振荡性，准确性
第三章 系统的时间响应分析
3.2 典型输入信号
3.2 典型输入信号
时域分析中，为了比较不同系统的控制性能，需要规 定一些具有典型意义的输入信号建立分析比较的基础。 这些信号称为控制系统的典型输入信号。 对典型输入信号的要求 形式简单，便于解析分析；
Im
[s]
Re
若存在特征根的实部为零，其余的实部为负，则系统自由响应
项等幅振荡；
（系统临界稳定）
第三章 系统的时间响应分析
结论：
1. 特征根的实部影响自由响应项的收敛性
3.1 时间响应及其组成
若所有特征根均具有负实部，则系统自由响应收敛(系统稳定) 若存在特征根的实部为正，则系统自由响应发散 (系统不稳定) 若存在特征根的实部为零，其余实部为负，则系统的自由响应 等幅振荡(系统临界稳定) 2. 特征根的虚部影响自由响应项的振荡性 虚部绝对值越大，自由响应项的振荡越剧烈。
T
1 T 1 -0.368 2 T
2T
1 T 1 -0.135 2 T
3T
1 T 1 -0.05 2 T
4T
1 T 1 -0.018 2 T
0 0
xo (t )
0.368
0.135
0.05
0.018
(t ) xo
第三章 系统的时间响应分析
t 0
1 T 1 2 T
1
3.3 一阶系统时间响应
0 .368
0 .02
1 T
1 T
0
T
2T
3T
4T
t
调整时间ts反映系统响应的快速性。
Re[si]——稳定性，快速性 Im[si]——振荡性，准确性
第三章 系统的时间响应分析
3.2 典型输入信号
3.2 典型输入信号
时域分析中，为了比较不同系统的控制性能，需要规 定一些具有典型意义的输入信号建立分析比较的基础。 这些信号称为控制系统的典型输入信号。 对典型输入信号的要求 形式简单，便于解析分析；
Im
[s]
Re
若存在特征根的实部为零，其余的实部为负，则系统自由响应
项等幅振荡；
（系统临界稳定）
第三章 系统的时间响应分析
结论：
1. 特征根的实部影响自由响应项的收敛性
3.1 时间响应及其组成
若所有特征根均具有负实部，则系统自由响应收敛(系统稳定) 若存在特征根的实部为正，则系统自由响应发散 (系统不稳定) 若存在特征根的实部为零，其余实部为负，则系统的自由响应 等幅振荡(系统临界稳定) 2. 特征根的虚部影响自由响应项的振荡性 虚部绝对值越大，自由响应项的振荡越剧烈。
T
1 T 1 -0.368 2 T
2T
1 T 1 -0.135 2 T
3T
1 T 1 -0.05 2 T
4T
1 T 1 -0.018 2 T
0 0
xo (t )
0.368
0.135
0.05
0.018
(t ) xo
第三章 系统的时间响应分析
t 0
1 T 1 2 T
1
3.3 一阶系统时间响应
0 .368
0 .02
1 T
1 T
0
T
2T
3T
4T
t
调整时间ts反映系统响应的快速性。
第三章 时域分析
dt
1(t) d t
dt
10/23/2021
17
第三章 时域分析法
对一阶系统：
xo
(t )
1 T
t
eT
t
xo1(t) 1 e T
t
xot (t) t T Te T
xo
(t )
d dt
xo1 (t )
xo1 (t )
d dt
xot (t)
即：系统对输入信号导数的响应等于系统对该 输入信号响应的导数。
10/23/2021
38
第三章 时域分析法
二阶系统的单位脉冲响应
➢ > 1： ➢ = 1：
xo (t) 2
n e 2 1
2 1 nt e
2
1
nt
t0
xo (t) n2tent , t 0
➢ 0<<1： xo(t)
n 1 2
e nt
sin dt,
t0
➢ = 0： xo (t) n sin nt, t 0
34
第三章 时域分析法
➢ 无阻尼（=0）状态
xo (t) 1 cosnt, t 0
xo(t) 2
1
特点
频率为n的等
幅振荡。
0
10/23/2021
t
35
第三章 时域分析法
➢ 负阻尼（<0）状态 -1<<0：输出表达式与欠阻尼状态相同。 < -1：输出表达式与过阻尼状态相同。
xo(t)
xo(t)
n＝1/T为系统的无阻尼固有频率。
10/23/2021
25
第三章 时域分析法
二阶系统的特征方程：
s2 2ns n2 0
1(t) d t
dt
10/23/2021
17
第三章 时域分析法
对一阶系统：
xo
(t )
1 T
t
eT
t
xo1(t) 1 e T
t
xot (t) t T Te T
xo
(t )
d dt
xo1 (t )
xo1 (t )
d dt
xot (t)
即：系统对输入信号导数的响应等于系统对该 输入信号响应的导数。
10/23/2021
38
第三章 时域分析法
二阶系统的单位脉冲响应
➢ > 1： ➢ = 1：
xo (t) 2
n e 2 1
2 1 nt e
2
1
nt
t0
xo (t) n2tent , t 0
➢ 0<<1： xo(t)
n 1 2
e nt
sin dt,
t0
➢ = 0： xo (t) n sin nt, t 0
34
第三章 时域分析法
➢ 无阻尼（=0）状态
xo (t) 1 cosnt, t 0
xo(t) 2
1
特点
频率为n的等
幅振荡。
0
10/23/2021
t
35
第三章 时域分析法
➢ 负阻尼（<0）状态 -1<<0：输出表达式与欠阻尼状态相同。 < -1：输出表达式与过阻尼状态相同。
xo(t)
xo(t)
n＝1/T为系统的无阻尼固有频率。
10/23/2021
25
第三章 时域分析法
二阶系统的特征方程：
s2 2ns n2 0