第八章 相量法
（ 3）
注意：
电路
在这样的表示中舍弃了正弦量的时间因子。如果给 出一个正弦量的相量表示，要求出该正弦量的瞬时值 表达式，只要在相量式中乘以一个不变的量 2e jt ， 然后取其实部即可得到该正弦量的瞬时表达式。 例如，已知 U 10e V 求u=? ∵ U 2e jt 10 2e j 300 e jt 10 2e j (t 300 )
j
代数式 指数式 极坐标形式
U
电路
设a、b为正实数
j U a jb U e j U a jb U e j U a jb U e j U a jb U e
在第一象限Ⅰ 在第二象限Ⅱ
在一、二象限，一般取值：180° 0 °
设：
U e U 1 1 j 2 U e U
2 2
j 1
电路
则：
U1 U1 j 1 2 e U2 U2
A
90°旋转因子。+j逆时针 转90°，-j顺时针转90°
说明： 设：任一矢量 则：
e A
j 90
( j ) A
§8.2
一、交流电的概念
电路 5 、 一个正弦量对时间积分的相量等于该正弦量相量 除以 j
( idt )
I j
如： i
2I cos(t i ) I Ie j
i
1 2I uc idt cos(t i )dt C C
2I 2I sin(t i ) cos(t i ) C 2 C
–
U1 用正弦定理求角： U sin = U2 sin
1
=180º–
用余弦定理求U： U2=U12+U22 –2U1U2cos
u=
t 2U cos
= 1+
例3 已知 u1=141cos(ωt+60o)V ，u 2 =70.7cos(ωt-45o)V 。 求：⑴ 相量；(2) 两电压之和 u(t)；(3) 画出相量图
d (t ) (rcd/s) dt
2 2f （4）关系 T
ω 、T、f 都是反映正弦量变化快慢的物理量。直 流量可以视为ω=0的正弦量。
3、相位及其初相位
电路
i
2I cos t
：正弦波的相位角或相位 （t ）
：t = 0 时的相位，称为初相位或初相角。
∴ i1 i2 I 1 I 2
I 2 I 2 e j 2
1
1
1
电路 3、 一个正弦量与一个常数之积的相量等于该正弦量 相量乘以同一常数。 ( Ri) R I 4、 一个正弦量对时间微分的相量等于该正弦量相量 乘以 j di ( ) j I
dt
i(t ) I m cosω t
i(t ) I m cos( ω t 2)
判断初相位正负的方法有二：
电路
其一：若t=0时，正弦量的瞬时值为正，则 >0； 若t=0时，正弦量的瞬时值为负，则 <0。
其二：若计时起点在零值起点的右侧，则 若计时起点在零值起点的左侧，则 <0。
电路
五 、 有 效 值 概 念
热效应相当
有效值
2
T
0
i R dt I RT
2
电量必须大写
如：U、I
交流
直流
T 1 （均方根值） 2 则有 I i dt T 0 i I m cos t
电路
问题与讨论
若购得一台耐压为 200V 的电器，是否可用于 220V 的线路上?
u= u1 +u2 = 2U cos t
U2
t 2 u2 2U2 cos
U
t 1 u1 2U1 cos
同频率正弦波的 相量画在一起， 构成相量图。
2
1
U1
U U1 U2
复习余弦定理和正弦定理 U2 U
U2
U
2
= 2
U1
1
0
ui 2 180 60 240 选u 为参考正弦量时， u 0
0 0
0
∴
i 1 135
0
240 120
0 i2
0
u 311 cos tV
i1 5 cos(t 135 ) A
0
i2 10cos(t 1200 ) A
在一个电路中，只能取 一个计时起点，同样在一 个电路中，也只能取一个 参考正弦量。
>0；
电路 四、两个同频率正弦量间的相位差( 初相差)
t 2 t 1 2 1
i1 I m1 cos(t 1 ) i2 I m 2 cos(t 2 )
两种正弦信号的相位关系
同 相 位
电路
i2
2 1
i1
i2
t
i1
1 2
相 位 领 先 相 位 落 后
1 2 0
领先于 i 2 i t 1
1
2
i1
1 2 0
2
1
i2
t
i1 落后于 i2
电路
相 位 相 反
1 2
i 与i 反相
1 2
三相交流电路：三种电压初相位各差120。
i
t说明： 给出了观察Fra bibliotek弦波的起点或参考点，
常用于描述多个正弦波相互间的关系。
t 反映的是正弦量在每一瞬间的状态，是一个
重要的物理量，其原因为： 对于给定的时刻， t 能够决定该正弦量：
①在该时刻的大小；
②在该时刻的方向；
③在该时刻的变化趋势。 相位和初相都与计时起点的选择有关，计时起点 的选择不同，相位和初相都不同。 例如，一个正弦电流如选其 若选其瞬时值为最 达到零值（由负 正）的瞬 大值的瞬间为计时起 间为计时起点，则起初相为零， 点，则起初相为 2 ， 其解析式为： 其解析式为
~ 220V
有效值 U = 220V 电源电压 最大值 Um =
电器
最高耐压 =200V
2 220V = 311V
该用电器最高耐压低于电源电压的最大值，所以不 能用。
§8-3 相量法基础
正弦量的表示方法：
电路
相量
重点
必须 小写
前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。
一、正弦量的相量表示法
1、 正弦量的相量表示：
在第三象限Ⅲ 在第四象限Ⅳ
在三、四象限，一般 取值：0° -180 °
二、复数的运算
电路
U 1、 加减运算 设： 1 a1 jb 1 a jb U 2 2 2
2、乘法运算
j1 U1 U1e 设： j 2 U 2 U 2e
则：
3、 除法运算
∴
) I j ( i I I 2 Uc e j C C jC
小结：正弦波的表示方法
i
波形图
电路
Im
T
t
瞬时值
u U m cos t
如：i
2I cos(t i )
dt
j i
I Ie j i
2
∴ u L L di 2 LI sin(t i ) 2 LI cos( t i )
∴
U LIe
L
j ( i ) 2
LIe e jL I
j 2
电路
一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的有向线段 在纵轴上的投影值来表示。
矢量长度 =
Um
矢量与横轴夹角 = 初相位
矢量以角速度 ω 按逆时针方向旋转
旋转的有向线段包含了正弦量的三个要素。
在一个线性电路中，只要电源的频率是单一的， 则正弦交流电路中所有电流、电压的频率都与电源的 频率相同。 这样，就可把频率这个要素作为已知处理，只需 根据有效值和初相位两个要素就可确定一个正弦量。
电路 在复平面上，如果用复数的模表示正弦量的大小 ，复数的辐角表示正弦量的初相位，则把表示正弦量 的复数称为相量。用在大写字母上打点的方式表示。
i I m cos t
I m I m i
复平面上画出的相量的图形称为相量图，复数式 称为相量式。 j U U a jb U cos jU sin
b
U
a
+1
电路 2、相量的书写方式
最大值
U m
有效值
U
（1） 描述正弦量的有向线段或复数称为相量 。若 其幅度用最大值表示，则用符号：
Um、I m
、I U
（2） 在实际应用中，更多采用有效值，则用符号：
、I 包含幅度与相位信息。 （3）相量符号U
3、正弦量的相量表示法举例
正弦交流电
电路
如果电流或电压每经过一定时间 （T ）就重复变
化一次，则此种电流 、电压称为周期性交流电流或电
压如正弦波、方波、三角波、锯齿波 等。
记做： u(t) = u(t + T )
u t
T
二、正弦电压和电流
1、 定义
电路
量值和方向随时间作周期性变化，且在一个周期 内平均值为零的电压和电流，称为交流电压、交流电 流，统称交流电（AC） 量值和方向随时间按正弦规律变化的交流电压和 交流电流，称为正弦交流电压、正弦交流电流 2、正弦交流电的方向 一般按正半周的方向假设 实际方向和假设方向一致
第八章 相量法
ψ
0
ωt
Im , ω , ψ ——正弦量的三要素 正弦量的三要素 正弦量的
i(t)=Imcos(ω t+ψ) 二,正弦量的三要素 1, 幅值 (振幅, 最大值 m , 振幅, 振幅 最大值)I
i
ωT=2π π
ψ
0
ωt
2, 角频率ω : 反映正弦量变化的快慢. ω =d(ω t+ψ )/dt , 反映正弦量变化的快慢. 单位时间内变化的角度 单位: rad/s,弧度 秒 单位: ,弧度/秒 周期T 完成一个循环变化所需时间, 周期 : 完成一个循环变化所需时间,单位 s. . 频率f 每秒钟完成循环的次数,单位: 赫兹) 频率 : 每秒钟完成循环的次数,单位:Hz(赫兹 . 赫兹
T i 2 ( t ) Rdt R W交 = ∫0
周期电压如图所示.求其有效值U. 例 周期电压如图所示.求其有效值 . u(t)/V 2 1 0 1 2 3 4 5 6 t/s
根据有效值的定义, 解 根据有效值的定义,有
1 U= T =
∫
T 0
u 2 ( t )dt
2 3 1 1 2 2 1 dt + ∫ 2 dt + ∫ 0 2 dt = 1.29 V ∫0 1 2 3
π
UL
I
相量图
或
U I= ωL
I
3,相量形式: ,相量形式: jω L
+
UL
U L = jωLI = jX L I
XL=ω L,称为感抗,单位为 (欧姆 欧姆) ,称为感抗,单位为 欧姆
-ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
相量模型 4,感抗的物理意义 ,
U (1) 表示限制电流的能力; I = 表示限制电流的能力; ωL (2) 感抗和频率成正比 ω =0 直流(XL=0) , ω→∞开路; 感抗和频率成正比, 直流( →∞开路 开路; XL
电路原理(邱关源)习题答案第八章 相量法
第八章 相量法求解电路的正弦稳态响应，在数学上是求非齐次微分方程的特解。
引用相量法使求解微分方程特解的运算变为复数的代数运运算，从儿大大简化了正弦稳态响应的数学运算。
所谓相量法，就是电压、电流用相量表示，RLC 元件用阻抗或导纳表示，画出电路的相量模型，利用KCL,KVL 和欧姆定律的相量形式列写出未知电压、电流相量的代数方程加以求解，因此，应用相量法应熟练掌握：（1）正弦信号的相量表示；（2）KCL,KVL 的相量表示；（3）RLC 元件伏安关系式的相量形式；（4）复数的运算。
这就是用相量分析电路的理论根据。
8－1 将下列复数化为极坐标形式：（1）551j F --=；（2）342j F +-=；（3）40203j F +=；（4）104j F =；（5）35-=F ；（6）20.978.26j F +=。
解：（1）a j F =--=551θ∠25)5()5(22=-+-=a13555arctan -=--=θ(因1F 在第三象限)故1F 的极坐标形式为 135251-∠=F（2） 13.1435)43arctan(3)4(34222∠=-∠+-=+-=j F （2F 在第二象限）（3） 43.6372.44)2040arctan(40204020223∠=∠+=+=j F（4） 9010104∠==j F（5） 180335∠=-=F（6） 19.7361.9)78.220.9arctan(20.978.220.978.2226∠=∠+=+=j F注：一个复数可以用代数型表示，也可以用极坐标型或指数型表示，即θθj ae a ja a F =∠=+=21,它们相互转换的关系为：2221a a a += 12arctan a a =θ和 θcos 1a a = θsin 2a a =需要指出的，在转换过程中要注意F 在复平面上所在的象限，它关系到θ的取值及实部1a 和虚部2a 的正负。
8－2 将下列复数化为代数形式：（1） 73101-∠=F ；（2） 6.112152∠=F ；（3） 1522.13∠=F ；（4） 90104-∠=F ；（5） 18051-∠=F ；（6） 135101-∠=F 。
第8章-相量法
拉 cos ej e-j
公
2
式
sin
ej
e-j 2
F* a jb F ej F
2. 复数运算
设 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2 ①加减运算 —— 采用代数形式
F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2)
Im F2
F1+F2
Im
F1+F2
F2
o 图解法
F1 Re o
F1
Re
F1-F2 -F2
②乘除运算 —— 采用极坐标形式
设 F1=|F1| 1 ，F2=|F2| 2
则:
F1F2 F1 ej1
F2 ej2 F1
F ej(1 2 ) 2
F1
F2 1 2
模相乘 角相加
F1F2 F1 F2
Im F1F2
argF1F2 argF1 argF2
F2 θ2 θ1 F1
2
2
us
2Us cos wt u
1 2
U sme jwtu
U
e-jwt
sm
u
i
2I cos wt i
1 2
I
m
e
jwt
i
Ime-jwti
取Usmejwtu
Imejwti
代入方程
Ri L
di dt
1 C
idt us
RImejwti jwLImejwti
1
jwC
Ime jwti
高频
HF
330MHz
短波
100m10m 天波与 地波
甚高频 VHF 30-
300MHz 米波
8第八章 相量法
i1 滞后于 i2
i1
同 相 位
i2
1 2
1
2
t i1与 i2 反相
三相交流电路：三种电压初相位各差120。
u A uB
uC
t
可以证明同频率正弦波运算后，频率不变。
如：
u1 u2
2U1 s in t 1
u u1 u2
2U 2 s in t 2
解：
i2 10 2 s in(6280 t 30 ) A
小结：正弦波的四种表示法
i
波形图
Im
T
u U m sin t
U
t
瞬时值
相量图
I
复数
符号法
a jb U e j U U
提示
计算相量的相位角时，要注意所在 象限。如：
U 3 j4
T
t
T
正弦交流电路
如果在电路中电动势的大小与方向均随时间按 正弦规律变化，由此产生的电流、电压大小和方向 也是正弦的，这样的电路称为正弦交流电路。 正弦交流电的优越性： 便于传输； 便于运算；
有利于电器设备的运行；
. . . . .
正弦交流电的方向
正弦交流电也有正方向,一般按正半周的方向假设。
i
U
I
i
不同频率的相量不能画在一张向量图上。
将正弦量与相量建立起对应关系这实际上是一种变 换思想，由时域变换到频域：
时域：在变量是时间函数条件下研究网络，以时间为 自变量分析电路。 频域：在变量经过适当变换的条件下研究网络，以频 率为自变量分析电路。 相量法：将正弦时间函数 “变换” 为相量后再进行分析, 属于频域分析。
邱关源《电路》第五版 第八章 相量法
电力系统简介
HVDC Rectifier(整流器)
相量法
Inverter(逆变器)
Power Line(输电线) Power Plant Generator 电厂(发电机) Transformer 变电站（变压器）
第八章 复数（自学） 正弦量 相量法的基础 电路定律的相量形式
相量法
§8-1 复数（自学）
Charles Proteus Steinmetz
(1865～1923)
§8-3 相量法的基础
一、正弦量的相量
i 2I cos(t i )
设有一个复指数函数
2 Ie j( t i )
2 Ie j( t i ) 2 I cos( t i ) j 2 I sin( t i ) Re[ 2 Ie j( t i ) ] 2 I cos( t i ) i
1 I T
T
0
1 i dt T
2
T
0
2 I m cos2 ( t i )dt
Im 0.707 I m 2
I m 2I
i I m cos( t i ) 2I cos(t i )
§8-2 正弦量
四、同频正弦量的相位差 同频正弦量相角之差称为相位差。用 表示。
i
u
反 相
t
u
正 交 0
i t 0
1 2
i
t
电 压 超 前 电 流
§8-3 相量法的基础
The notion of solving ac circuits using phasors
was first introduced by Charles Proteus Steinmetz
电路(第五版).-邱关源原著-电路教案--第8章相量法
电路(第五版).-邱关源原著-电路教案--第8章相量法第8章 相量法● 本章重点1、正弦量的两种表示形式；2、相量的概念；3、KVL 、KCL 及元件VCR 的相量形式。
● 本章难点1、 正确理解正弦量的两种表示形式的对应关系；2、 三种元件伏安关系的相量形式的正确理解。
● 教学方法本章是相量法的基础，对复数和正弦量两部分内容主要以自学为主，本章主要讲授相量法的概念、电路定律的相量形式以及元件V AR 的相量形式。
讲述中对重点内容不仅要讲把基本概念讲解透彻，而且要讲明正弦量的相量与正弦时间函数之间的对应关系；元件V AR 的相量形式与时域形式之间的对应关系，使学生加深对内容的理解并牢固掌握。
本章对元件的功率和能量这部分内容作了简单讲解，以便为下一章的学习打下基础。
本章共用4课时。
● 授课内容8.1复数1. 复数的三种表示bj a A += 直角坐标=θ∠r 极坐标 =θj re 指数形式θθθsin cos 22r b r a ab arctgb a r ==⇒=+=⇒直极极直θθsin cos jr r A += 三角表示形式欧拉公式：θθθsin cos j e j +=2. 复数的运算已知：11111θ∠=+=r jb a A ，22222θ∠=+=r jb a A求：212121,,A AA A A A ⋅±i()()212121b b j a a A A ±+±=±212121212121θθθθ+∠=+∠=⋅r r A A r r A A 8.2正弦量一、正弦量：随时间t 按照正弦规律变化的物理量，都称为正弦量，它们在某时刻的值称为该时刻的瞬时值，则正弦电压和电流分别用小写字母i 、u 表示。
周期量：时变电压和电流的波形周期性的重复出现。
周期T ：每一个瞬时值重复出现的最小时间间隔，单位：秒（S ）； 频率f ： 是每秒中周期量变化的周期数，单位：赫兹（Hz ）。
第八章相量法.ppt
正弦i、u 本章内容
相量法
正弦i、u的相量表示法、相量法 KCL、KVL的相量形式
§8-1 §8-2 §8-3 §8-4
复数 正弦量 相量法的基础 电路定律的相量形式
§8-1
复数
一、复数表示方法：
（1）直角坐标形式：
A = a + jb
说明：
a = Re A ...... 实部
b = Im A
§8-3
相量法的基础
２、相量法分析思路
时域模型——相量模型——时域模型
举例说明相量法分析思路
§8-4
电路定律的相量形式
一、KCL、KVL相量形式 二、R、L、C元件VAR的相量形式
三、相量法分析思路
四、举例说明相量法的简单应用
§8-4
电路定律的相量形式
一、KCL、KVL相量形式
1、KCL：
（1）时域形式
i(t) 为 2 I e jωt + φ 在实轴上的波形
+1
i
i = 2 Icos(ωt + )
+j
2I
φ
O
O
t
§8-3
相量法的基础
二、相量法 1、引入相量法优点 （1）正弦量加减运算 * 时域运算 i = i1 t + i2 t + i3 t （必须利用三角函 数变换公式） * 相量运算： I = I1 + I2 + I3 * 推广： i = i1 - i2 I = I1 - I 2
i t
= 0
i1 ( t )
i2 ( t )
i1 ( t ) 2 3cos(314t 30) i2 ( t ) 2 4cos(314t 60) 求i3 ( t ) ?
第8章 相量法总结
第八章 相量法由于工业中电力系统的电压电流均采用正弦形式，且在电子线路中，往往各点电位与各处电流均为同频率的正弦量，同时非正弦形式的周期函数均可通过傅立叶变换分解为频率成整数倍的正弦函数的无穷级数，……因此，正弦交流电路的特殊分析方法具有十分重要的意义。
而相量法正是正弦交流电路主要分析方法，其意义与拉氏变换有类似之处。
意于用相量代换电路中的电量，将电路方程的性质从微分方程变为代数方程，从而简便地求取以正弦函数作为输入函数的微分方程的特解。
◆ 重点：1． 正弦量的三要素及其表示方法 2． 基尔霍夫定律的向量形式 3． 电路元件的VCR 的相量表示8.1 有关的数学知识复习8.1.1 与电路分析相关的正弦函数的有关知识一、正弦函数的表示形式（以电流为例）i (t (rad )1．代数形式：)cos()(φ+ω=t I t i m2．正弦函数的三要素◆变化的幅度——幅值（最大值）、有效值幅值（最大值）——m I ，工程中所指的耐压值指最大值。
有效值——均方根值⎰=T dt i T I 021，与正弦量的相位及频率无关。
工程中所指的正弦电压电流大小均指有效值。
幅值（最大值）、有效值的关系（学生自行推导）I I m 2= ◆ 变化的快慢——周期、频率、角频率周期T ——最小正周期T ：)()(t T f t f += 频率f ——周期函数每秒变化的次数角频率ω——相角（φ+ωt ）随时间变化的速度ω=φ+ωdt t d )(周期T 、频率f 、角频率ω之间的关系：f T 1=，T f π=π=ω22变化的计时起点——相位、初始相位、初始相角正弦量的相位：φ+ωt 正弦量的初始相位：φ相位超前（滞后）：)sin(a m t A a φ+ω=，)sin(b m t B b φ+ω=，b a φ>φ，即相位差b a φ-φ=φ∆时，称正弦量a 超前于b ，正弦量b 就滞后于a ，；同相：同频率的正弦量相位差为零时，称“同相”；反相：同频率的正弦量相位差为180度时，称“反相”；8.1.2 复数的有关知识一、复数的表示形式 1．代数形式：jb a +=A2．三角形式：ϕ+ϕ=sin cos A A A j 。
第8章相量法-文档资料
总结：两个正弦量进行相位比较时，应满足同频率、
同函数、同符号，且在主值范围比较。 15
五. 有效值
1. 周期交流量有效值的定义：
交直流同一段时间流过R，发出的热量相等，直流 电的大小为交流电的有效值。
直流I R
交流i R
一个周期时间T内
W直 RI 2T
2. 周期交流量有效值
I def 1 T i 2dt
则相位差 ： φ = (ωt+Ψ1 ) – (ωt+Ψ2 )= Ψ1 – Ψ2
注意：
=初相位之差
相位差是个很重要的量，同频率的两正弦量虽然各 自随时间作正弦的变化，但相位差不变。
12
2. 相位差的意义：
相位差可以表示正弦量到达最大值 的先后次序。 i
i1 i2
0
t
|y1| |y2|
φ
注：y < 0
iC C
+
uC
iL L
+
uL
_
iC
C
duC dt
根据KCL、KVL建
_
uL
L diL dt
立方程：微分方程。
所以求解电路的正弦稳态响应，在数学上即是求非
齐次微分方程的特解。
4
三. 研究正弦电路（正弦量激励）的意义
1.正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十 分重要的地位。
t 落后i1 3 /2？
φ = /2，正交；
因此规定： |φ| (180°)。
思考：是否可以比较一个电压和一个电流的相位差？
事实上，在今后的分析中我们就是利用电压和电流的 14
相位差来判断电路的性质。
第8章相量法(修改)
同频率的正弦激励，响应也是同频率的正弦量， 同频率的正弦激励，响应也是同频率的正弦量， 仅在有效值和初相上有差异。 仅在有效值和初相上有差异。
二. 正弦量的相量表示
u (t ) = 2U cos(ω t + θ )
•
U = U ∠θ
•
称 U 是正弦量U对应的有效值相量。
相量也可用正弦量的振辐定义： 相量也可用正弦量的振辐定义：
(17 + j9) (4 + j6) 220 ∠ 35 + 20 + j5 19.24∠ 27.9 × 7.211∠ 56.3 = 180.2 + j126.2 + 20.62∠14.04 = 180.2 + j126.2 + 6.728∠70.16 = 180.2 + j126.2 + 2.238 + j6.329 = 182.5 + j132.5 = 225.5∠ 36
ψu ψi ϕ
O
ωt
从波形图上看相位差可取变化趋势相同点来看。 从波形图上看相位差可取变化趋势相同点来看 。 计时起点不同，相位不同。 计时起点不同，相位不同。
特例： 特例：
u, i u i O u, i
ϕ =0： 同相： ： 同相：
ωt
ϕ =π (180 ) ：反相： 反相： π
o
u O u, i u iω t
u (t ) = U m cos(ω t + θ )
三.相量的正弦量表示 相量的正弦量表示
U = U m ∠θ
•
U = U ∠θ
•
已知ω
•
u (t ) = 2U cos(ω t + θ )
称u (t )是相量 U 对应的正弦量。