2.3 不等式的解集(解析版)
第二单元
第3课时不等式的解集
一、选择题
1.下列说法中,正确的是( ).
A.x=3是不等式2x>1的解 B.x=3是不等式2x>1的唯一解
C.x=3不是不等式2x>1的解 D.x=3是不等式2x>1的解集
【答案】A
2.不等式3x+2<2x+3的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D;
【解析】解:3x+2<2x+3移项及合并同类项,得x<1,故选D
3.设a,b是常数,不等式+>0的解集为x<,则关于x的不等式bx-a<0的解集是( )
A.x> B.x<- C.x>- D.x<
【答案】B;
【解析】解:解不等式+>0,
移项得:>-,
∵解集为x<,
∴-=,且a<0.
∴b=-5a>0,=-.
解不等式bx-a<0,
移项得:bx<a,
两边同时除以b得:x<,
即x<-. 故选B.
4.不等式>﹣1的正整数解的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】D.
【解析】解:去分母得:3(x+1)>2(2x+2)﹣6,
去括号得:3x+3>4x+4﹣6,
移项得:3x﹣4x>4﹣6﹣3,
合并同类项得:﹣x>﹣5,
系数化为1得:x<5,
故不等式的正整数解有1、2、3、4这4个.
5.关于x的不等式2ax2的解集如图所示,则a的值是( ).
A.0 B.2 C. -2 D.-4
【答案】A;
【解析】因为不等式2ax2的解集为22ax,再观察数轴上表示的解集为1x,因此122a,解得0a
6.x=3是下列哪个不等式的解 ( )
A.x+3>5 B.x+3>6
C.x+3>7 D.x+3>8
【答案】A
【解析】 将x=3代入检验,只有A项成立.故选A.
7.下列说法正确的是 ( )
A.x=-1是不等式x<0的一个解
B.不等式x<0的解是x=-1
C.x=0是不等式x<0的一个解
D.不等式x<0的解是x=0
【答案】A
【解析】(1)一般地,一个不等式的解不止有一个,往往有无数个,如所有大于5的数都是x>5的解,但也存在特殊情况,如x2≤0,就只有一个解x=0.(2)虽然不等式的解一般有无数个,但这并不意味着任何一个数都是它的解.比如不等式2x+3<6-x,它的解是所有小于1的数,有无数个,但所有不小于1的数都不是它的解.(3)若要判断某个值是否是不等式的解,可直接将该值代入不等式的左、右两边看不等式是否成立,若成立则是,否则不是.
8.在下列所表示的不等式的解集中,不包括-5的是 ( )
A.x≤-4 B.x≥-5
C.x≤-6 D.x≥-7
【答案】C
【解析】 ∵-5<-4,∴x≤-4包括-5,故A选项不符合题意;∵-5=-5,∴x≥-5包括-5,故B选项不符合题意;∵-5>-6,∴x≤ -6不包括-5,故C选项符合题意;∵-5>-7,∴x≥-7包括-5,故D选项不符合题意.故选C.
9.给出下列四个结论,其中正确的是 ( )
①x=4是不等式x-3>0的解集;②x>4是不等式x-3>0的解集;③x=3是不等式x+3≥6的解;④x≥3是不等式x-3≥0的解集.
A.①② B.②③
C.③④ D.①③④
【答案】C
【解析】 ①x=4能使不等式x-3>0成立,但x=4只能说是不等式x-3>0的一个解,不能说x=4是不等式x-3>0的解集;②不等式x-3>0的解集是x>3,x>4可以使不等式成立,但不是这个不等式的解的全体,所以不是不等式x-3>0的解集;③x=3能使x+3≥6成立,故x=3是不等式x+3≥6的解;④不等式x-3≥0的解集是x≥3.故选C.
10.若一个不等式的正整数解为1,2,则该不等式的解集在数轴上的表示可能是 (
)
【答案】D
二、填空题
11. 若a>0,则关于x的不等式ax>b的解集是________; 若a<0,则关于x的不等式以ax>b的解集是_______.
【答案】bxa,bxa;
【解析】不等式两边同除以一个正数,不等号不变;不等式两边同除以一个负数,不等号改变方向.
12.不等式x﹣4≤的解集是 .
【答案】x≥﹣2;
【解析】解:x﹣4≤
3(x﹣4)≤4x﹣10
3x﹣12≤4x﹣10
3x﹣4x≤﹣10+12
﹣x≤2
x≥﹣2.
故答案为:x≥﹣2.
13.若m>5,试用m表示出不等式(5-m)x>1-m的解集______.
【答案】15mxm.
【解析】∵5m,∴50m,所以(5-m)x>1-m,可得:1155mmxmm
14.若关于x的不等式30xa只有六个正整数解,则a应满足________.
【答案】1821a;
【解析】由已知得:3ax,673a,即1821a.
三、解答题
15.解不等式,并把它的解集在数轴上表示出来.
(1)5x﹣12<2(4x﹣3); (2)≥﹣1.
【解析】
解:(1)去括号得:5x﹣12<8x﹣6,
5x﹣8x<﹣6+12,
﹣3x<6,
x>﹣2, 在数轴上表示不等式的解集为:
;
(2)去分母得:3(3x﹣2)≥5(2x+1)﹣15,
9x﹣6≥10x+5﹣15,
9x﹣10x≥﹣15+5+6,
﹣x≥﹣4,
x≤4,
在数轴上表示不等式的解集为:
.
16.当310)3(2kk时,求关于x的不等式kxxk4)5(的解集.
【解析】
解:310)3(2kk
6-1810-kk<
4k<
kxxk4)5(
-54-4kxkxk>
(4)>kkx
4kxk<.
高中数学人教B版 2.2.2 不等式的解集 课后练习、课时练习
一、单选题
1. 不等式解集是( ).
A. B.或
C.或 D.
2. 若条件,条件,则p是q的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3. 不等式的解集是( )
A. B.
C.或 D.或
4. 数轴上的三点M,N,P的坐标分别为3,-1,-5,则MP-PN等于( )
A.-4 B.4 C.12 D.-12
5. 集合,,则
A. B.
C. D.
6. 已知不等式成立的一个必要不充分条件是,则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题
7. 已知,则不正确的有( )
A. B.
C. D.
三、填空题
8. 若,则的取值范围是_______ 9. 记,设函数 ,若对于任意x∈R,都有成立,则实数t的取值范围为________.
10. 不等式组的解集是_______.
11. 不等式4x﹣6≥7x﹣15的正整数解的个数是______.
四、解答题
12. 对x,y定义一种新运算T,规定:T(x,y)= (其中a,b均为非零常数),这里等式右边是普通的四则运算,例如:T(0,1)==b.已知T(1,-1)=-2,T(4,2)=1.
(1)求a,b的值;
(2)若关于m的不等式组恰好有3个整数解,求实数p的取值范围.
13. 求下列不等式或不等式组的解集:
(1);
(2);
(3).
14. 已知,解关于x的不等式组
15. 求关于x的不等式的解集:
(1)
(2).
不等式的解集表示
不等式的解集表示
不等式是数学中一种常见的数值比较关系表达式。解不等式时,我们需要找到满足不等式的所有可能取值。而表示不等式的解集时,一般采用不等式的符号表示,或者用区间表示。
1. 不等式的解集表示方式一:使用不等式符号表示
对于一元一次不等式,通常使用不等式的符号表示来表示解集。以下是一些常见的不等式符号表示:
1.1 大于不等式:> 表示。例如:x > 3表示x的取值范围为3以上的所有实数。
1.2 小于不等式:< 表示。例如:x < 5表示x的取值范围为5以下的所有实数。
1.3 大于等于不等式:≥ 表示。例如:x ≥ 2表示x的取值范围为2及以上的所有实数。
1.4 小于等于不等式:≤ 表示。例如:x ≤ 4表示x的取值范围为4及以下的所有实数。
1.5 不等式和等号:>、<、≥、≤ 均可与等号结合使用,表示不等式中包含等号。例如:x ≥ 3表示x的取值范围为3及以上的所有实数,包括3本身。
2. 不等式的解集表示方式二:使用区间表示 除了使用不等式符号表示外,我们还可以使用区间来表示不等式的解集。区间表示法可以更直观地表示不等式的解集范围。以下是一些常见的区间表示方法:
2.1 左开右开区间:使用圆括号表示。例如:(3, 5)表示解集中的所有实数x满足3 < x < 5。
2.2 左闭右开区间:使用左闭右开的符号表示。例如:[2, 4)表示解集中的所有实数x满足2 ≤ x < 4。
2.3 左开右闭区间:使用左开右闭的符号表示。例如:(1, 3]表示解集中的所有实数x满足1 < x ≤ 3。
2.4 左闭右闭区间:使用方括号表示。例如:[0, 2]表示解集中的所有实数x满足0 ≤ x ≤ 2。
需要注意的是,在表示解集时,可以将多个不等式的解集表示进行合并,得到复合不等式的解集表示。例如:x < 3 或 x > 5可以表示为解集为(-∞,3)∪(5,+∞)。
综上所述,不等式的解集表示可以通过不等式符号表示或者区间表示两种方式来表达。在解不等式时,我们可以根据具体情况选择较为方便和直观的表示方式。无论采用哪种方式,都需要准确地表示解集中满足不等式的取值范围,以便于数学问题的进一步分析和求解。
高考不等式专题-讲解
高考重难点专题突破之——不等式
一、 综述(内容、地位、作用):
在苏教版高中数学教科书必修系列中,直接涉及“不等式”内容的部分为必修5第三章《不等式》。另外,在实际教学过程中,在学到必修5《不等式》之前的某些章节(如集合、函数的值域等),无论文理科班,基于教学内容的关联性和完整性,老师们基本上都要对选修4-5中的部分基础性内容进行选讲。所以“不等式”的内容主要来自必修5第三章《不等式》以及选修系列4-5《不等式选讲》。综合来看,不等式的内容主要可分为不等式的求解、证明和应用三部分,它们又分别以一元二次不等式的求解、均值不等式相关的证明、不等式在应用题以及线性规划中的应用为主。
不等式是中学数学的主干内容之一, 它不仅是中学数学的基础知识,而且在中学数学中起着广泛的工具性作用,对学生们步入大学之后的数学学习也具有基础性的铺垫作用。在历年的高考中,不等式虽很少单独命题(理科附加卷除外),但无论从它所涉及到的知识点或是题量来看,有关不等式的试题分布范围极广(甚至有些题目很难界定其中对不等式的考查所占到的比重,所以我们也很难准确给出高考中不等式所占分值),试题不仅考查了不等式的基础知识、基本技能、基本思想方法,还考查了运算能力、逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的应用能力等数学素养。
在高考命题趋势上,不等式的考查极其突出工具性,淡化独立性、突出解,是不等式命题的总体取向。高考中不等式试题的落脚点主要有:一,不等式的性质,常与指数函数、对数函数、三角函数等结合起来,考查不等式的性质、函数的单调性、最值等;二,不等式的证明,多以函数、数列、解析几何等知识为背景,在知识网络的交汇处命题,综合性强,能力要求高;三,解不等式,往往与公式、根式和参数的讨论联系在一起,考查学生的等价转化能力和分类讨论能力;四,不等式的应用,以当前经济、社会生产、生活为背景与不等式综合的应用题是高考的热点,主要考查学生阅读理解能力以及分析问题、解决问题的能力。
人教A版数学必修一四川省成都七中高一数学复习:初高中衔接内容:不等式的解法(2)
-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------
信达
不等式的解法(2)
一、课标要求
掌握简单分式不等式和绝对值不等式的解法,会利用分类讨论解含有参数的二次不等式.
二、知识要点
1.处理分式不等式和绝对值不等式时,需保证同解变形.
2.求解含参不等式的关键是分析出参数对解的影响,进而分类讨论.譬如:
①根据二次项系数(大于0,小于0,等于0);
②根据根的判别式讨论(0,0,0),也可利用因式分解确定根值;
③根据根的大小讨论(121212,,xxxxxx).
三、典型例题
例1.(1)不等式252(1)xx≥的解集是()
A.132, B.132, C.11132U,, D.11132U,,
(2)不等式32xx<1的解集为 .
【解析】(1)首先1x,在这个条件下根据不等式的性质,原不等式可以化为2)1(25xx,即03522xx,即0)3)(12(xx解得321x,故原不等式的解集是3,11,21.选D.
(2)232351100222xxxxxx(5)(2)025xxx -------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------
信达 ∴不等式的解集为{|25}xx.
第19讲 分式不等式(解析版)
第19讲:分式不等式
【学习目标】
1.掌握通过分式不等式转化为一元二次不等式求解,分母不为零;
2.掌握分式不等式含参的分类讨论.
【基础知识】
分式不等式的解法
【考点剖析】
考点一:分式不等式(一)
例1.若集合𝐴={𝑥|𝑥+2𝑥−1≤0},𝐵={𝑥|𝑥2−𝑥−2<0},则(∁𝑅𝐴)∩𝐵=( )
A.(1,2) B.[1,2) C.(−1,2) D.[−1,2)
【答案】B
【详解】
解:∵𝐴={𝑥|𝑥+2𝑥−1≤0}={𝑥|{(𝑥−1)(𝑥+2)⩽0𝑥−1≠0}={𝑥|−2≤𝑥<1},
∴∁𝑅𝐴={𝑥|𝑥<−2或𝑥≥1},
又∵𝐵={𝑥|𝑥2−𝑥−2<0}={𝑥|−1<𝑥<2},
∴(∁𝑅𝐴)∩𝐵=[1,2),
故选:B.
变式训练1:不等式𝑥+1𝑥−1≤0的解集是( )
A.(−∞,−1] B.(−1,1] C.[−1,1) D.(−∞,−1]∪(1,+∞) 【答案】C
【详解】
不等式𝑥+1𝑥−1≤0,等价于{(𝑥+1)(𝑥−1)≤0𝑥−1≠0,
所以−1≤𝑥<1.
故选:C
变式训练2:不等式𝑥𝑥−2≤0的解集为( )
A.[0,2] B.(0,2) C.(−∞,0)∪[2,+∞) D.[0,2)
【答案】D
【详解】
原不等式可化为{𝑥(𝑥−2)≤0𝑥−2≠0,解得0≤𝑥<2.
故选:D.
变式训练3:已知集合𝐴={𝑥|2𝑥2+𝑥−6≤0},𝐵={𝑥|𝑥+3𝑥−1<0},则𝐴∩𝐵=( )
A.{𝑥|−2≤𝑥<1} B.{𝑥|−2≤𝑥≤1}
C.{𝑥|−4≤𝑥<2} D.{𝑥|32<𝑥<2}
【答案】A
【详解】
∵𝐴={𝑥|2𝑥2+𝑥−6≤0}={𝑥|−2≤𝑥≤32},𝐵={𝑥|𝑥+3𝑥−1<0}={𝑥|−3<𝑥<1},
第二章 2.2 2.2.2 不等式的解集
2.2.2 不等式的解集
课标要求 素养要求
1.了解不等式(组)解集的概念,会求简单的一元一次不等式(组)的解集.
2.了解绝对值不等式的概念,会求形如|x|≤m,|x|≥m的绝对值不等式的解集. 1.通过学习不等式(组)解集的概念,提升数学抽象素养.
2.通过求不等式(组)的解集,提升数学运算素养.
3.通过学习绝对值不等式及其解法,提升直观想象及数学运算素养.
教材知识探究
如图为某三岔路口交通环道的简化模型,在某高峰时段,单位时间进出路口A,B,C的机动车辆如图所示,图中x1,x2,x3分别表示该时段单位时间通过路段AB,BC,CA的机动车辆数(假设:单位时间内,在上述路段中,同一路段上驶入与驶出车辆数相等).
问题1 你能用x3,x1,x2分别表示出x1,x2,x3吗?
提示 x1=50+x3-55=x3-5,x2=x1-20+30=x1+10,
x3=x2-35+30=x2-5.
问题2 你能判断出x1,x2,x3的大小吗? 提示 由1知x1=x3-5,x2=x3+5,则x1
1.不等式的解集与不等式组的解集
(1)不等式的解集不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集.
一元一次不等式均可化归为ax≥(>或
(2)不等式组的解集对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说,这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集.
不等式组中若有一个不等式的解集为,则不等式组的解集为;每一个不等式的解集均不是,不等式组的解集也可能是
2.绝对值不等式
(1)绝对值不等式的概念一般地,含有绝对值的不等式称为绝对值不等式.
至少一个绝对值号内含有未知数,如x>|-2|不是绝对值不等式
(2)两种简单的绝对值不等式的解集
①关于x的不等式|x|>m(m>0)的解为x>m或x<-m,解集为(-∞,-m)∪(m,+∞); 当m=0时,其解集为{x∈R|x≠0},当m<0时,其解集为R
②关于x的不等式|x|0)的解为-m
2023年中考数学----不等式与不等式组之解与解集知识回顾与专项练习题(含答案解析)
1
2023年中考数学----不等式与不等式组之解与解集知识回顾与专项练习题(含
答案解析)
知识回顾
1. 不等式的解:
使不等式左右两边不等关系成立的未知数的值叫做不等式的解。不等式的解有无数
个。
2. 不等式的解集:
一个含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集。
3. 不等式组的解集:
不等式组中所有不等式的解集的公共部分构成不等式组的解集。
4. 在数轴上表示解集:
步骤:①确定边界是实心圆还是空心圈。若有等于(即≥或≤)则是实心圆,若无
等于(即>或<)则是空心圈。
②确定解集的方向:大于向右,小于向左。
5. 不等式组解集公共部分的确定:
若ba>
①同大取大。当
bxax
>时,则解集为ax。
②同小取小。当
bxax
<时,则解集为bx<。
③大小小大去中间。当
axbx
<时,则解集为axb<。
④大大小小无解答。当
bxax
<时,则无解。 2
专项练习题(含答案解析)
1.(2022•梧州)不等式组
−
21
<>
xx的解集在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
【分析】求出两个不等式的公共解,并将解集在数轴上表示出来即可.
【解答】解:
所以不等式组的解集为﹣1<x<2,
在数轴上表示为:
,
故选:C.
2.(2022•十堰)关于x的不等式组中的两个不等式的解集如图所示,则该不等式组的解集
为 .
【分析】读懂数轴上的信息,然后用不等号连接起来.界点处是实点,应该用大于等于
或小于等于.
【解答】解:该不等式组的解集为:0≤x<1.
故答案为:0≤x<1.
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式(析训练)-2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划
2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列(人教A版2019必修第一册)
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.3二次函数与一元二次方程、不等式
一、单选题
1.(2021·全国高一专题练习)不等式220xx的解集为( )
A.2xx B.2xx
C.02xx D.0xx或2x
2.(2021·全国)关于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是( )
A.1x或3x B.{x|-1
C.{x|13}
3.(2021·全国)二次不等式210axbx的解集为1{|1}3xx,则ab的值为( )
A.5 B.5 C.6 D.6
4.(2021·江苏)不等式2110mxmxm的解集为,则m的取值范围是( )
A. 1m B.233m C.233m D.233m或233m
5.(2021·全国)将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时,能卖出400个,每涨价1元,销售量就减少20个,为了使商家利润有所增加,则售价a(元/个)的取值范围应是( )
A.90100a B.90110a C.100110a D.80100a
6.(2021·全国高一课时练习)已知不等式220xbxc的解集是|13xx,若对于任意|10xxx,不等式224xbxct恒成立,则t的取值范围是( )
A.|2tt B.|2tt C.|4tt D.|4tt
7.(2021·全国高一专题练习)已知命题p: “1,x,20xa”,命题q: “0xR,200220xaxa”,若命题p,q均为真命题,则实数a的取值范围为( )
A.|2,1aaa或 B.|2,12aaa或
29 在数轴上表示不等式的解集(解析版)初中数学
1 专题29 在数轴上表示不等式的解集
一、单选题
1.一个不等式组的解集在数轴上的表示如图,则这个不等式组的解集是( )
A.-1≤x<3 B.-1<x≤3 C.-1<x<3 D.-1≤x≤3
【答案】A
【分析】
根据在数轴上表示不等式解集的方法进行解答即可.
【详解】
解:∵-1处是实心圆点且折线向右,3处是空心圆点且折线向左,
∵-1≤x<3.
故选:A.
【点睛】
本题考查的是在数轴上表示不等式的解集,熟知“小于向左,大于向右”是解答此题的关键.
2.不等式组24020xx的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】
先求出不等式组的解集,再在数轴上表示出来即可.
【详解】
解:24020xx①②,
解不等式∵,得2x,
解不等式∵,得2x,
不等式组的解集是22x, 2 在数轴上表示为:,
故选:C.
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集,能求出不等式组的解集是解题的关键.
3.不等式组5031xx的解集在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】
先将每一个不等式解出来,然后根据求解的口诀即可解答.
【详解】
解:50,1xx3-②>,①,
解不等式∵得:x≥﹣5,
解不等式∵得:x<2,
由大于向右画,小于向左画,有等号画实点,无等号画空心,
∵不等式50,1xx3->,的解集在数轴上表示为:
故选:C.
【点睛】
本题考查了不等式组的解集在数轴上表示,不等式组解集的表示方法:大小小大中间找,大大小小无处找,同大取大,同小取小.
4.不等式3x﹣1>5的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】
依次移项、合并同类项、系数化为1即可得. 3 【详解】
解:3x﹣1>5,
3x>5+1,
人教版七年级下册数学期末考复习专题04不等式及其基本性质(知识点串讲)(解析版)
1 专题04 不等式及其基本性质
知识框架
重难突破
一、不等式的概念
一般地,用“<”、 “>”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子,叫做不等式.用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.
备注:
(1)不等号“<”或“>”表示不等关系,它们具有方向性,不等号的开口所对的数较大.
(2)五种不等号的读法及其意义:
符号 读法 意义
“≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的,但不能确定哪个大,哪个小
“<” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小
“>” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大
“≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”,表示左边的量不大于右边的量
“≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”,表示左边的量不小于右边的量
(3)有些不等式中不含未知数,如3<4,-1>-2;有些不等式中含有未知数,如2x>5中,x表示未知数,对于含有未知数的不等式,当未知数取某些值时,不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系,我们说不等式成立,否则,不等式不成立.
例1.(2018·四川省初二期末)根据天气预报,2018年6月20日双流区最高气温是30C,最低气温是23C,则双流区气温tC的变化范围是( ) 2 A.30t B.23t C.2330t D.2330t
【答案】D
【解析】解:由于最高气温是30℃,最低气温是23℃,
∴23≤t≤30,
故选:D.
练习1.(2020·全国初二课时练习)高钙牛奶的包装盒上注明“每100克内含钙≥150毫克”,它的含义是指( )
A.每100克内含钙150毫克 B.每100克内含钙高于150毫克
C.每100克内含钙不低于150毫克 D.每100克内含钙不超过150毫克
【答案】C
【解析】根据≥的含义,“每100克内含钙≥150毫克”,就是“每100克内含钙不低于150毫克”,
故选:C.
例2.(2020·河北省育华中学初一期中)式子①x-y=2,②xy,③x+y,④x2-3y,⑤ x≥0,⑥12x3中,属于不等式的有( )
